Curso: 3° medio,
Plan Diferenciado
Algebra
Guía de ejercicios Plan Diferenciado de Matemáticas
3er año Medio
I.
Ecuaciones lineales con coeficientes fraccionarios
La principal dificultad de este tipo de ecuaciones es, justamente la
característica que las define: los coeficientes fraccionarios.
Sin embargo, las ecuaciones fraccionarias se pueden transformar en
ecuaciones equivalentes con coeficientes enteros.
Para ilustrar este procedimiento, examinemos el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1. Resolver la ecuación
x − 3 x − 2 x −1
+
=
5
3
6
1°) Determinar el MCM de los denominadores que, en este caso es, 30.
2°) Multiplicar por 30, cada uno de los términos de la ecuación dada. Así
resulta:
6( x − 3) + 10( x − 2) = 5( x − 1)
Esta ecuación es equivalente a la ecuación original, esto es, tiene la
misma solución.
3°) Resolviendo esta última ecuación, se obtiene:
6 x − 18 + 10 x − 20 = 5 x − 5
16 x − 38 = 5 x − 5
16 x − 5 x = −5 + 38
11x = 33
x=3
4°) La solución de la ecuación propuesta es x=3.
Ejercicios I. Resuelva las siguientes ecuaciones fraccionarias:
1)
x 3x x − 6
−
=
2 5
2
2)
x + 3 2 − 3x 4 x
−
=
2
7
3
3)
x 3x − 5
−
−8 = 0
3
2
4)
4x + 3 4x − 1 1
−
=
6
9
2
5)
1 3x − 2 2 x + 3
−
=
4
8
6
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II.
6)
x+5
x−6
−2=
+5
3
8
7)
3x + 10
3x + 6
−x−4=
2
4
8)
5 x + 7 3x + 5
=
+ 2x + 3
2
4
Ecuaciones con paréntesis.
En la resolución de este tipo de ecuaciones, el manejo fluido de la
multiplicación de expresiones algebraicas, en particular, de los productos
notables, juegan un papel relevante.
Recordaremos mediante algunos ejemplos, estos productos:
a)
(3 x − 5)(2 x + 3) = 6 x 2 + 9 x − 10 x − 15
b)
(3 x − 5)(2 x + 3) = 6 x 2 − x − 15
c)
(4 x + 7)(4 x − 7) = 16 x 2 − 49
(2 x − 5) 2 = 4 x 2 − 2 ⋅ 2 x ⋅ 5 + 25
(2 x − 5) 2 = 4 x 2 − 20 x + 25
d)
( x + 12)( x − 8) = x 2 − 8 x + 12 x − 96
( x + 12)( x − 8) = x 2 + 4 x − 96
Resolveremos una ecuación que contiene productos, para ilustrar un
procedimiento de resolución.
Ejemplo 2. Resolver la ecuación (3x − 5) 2 = (9 x − 2)( x + 7)
(3x − 5) 2 = (9 x − 2)( x + 7)
9 x 2 − 30 x + 25 = 9 x 2 + 61x − 14
− 30 x + 25 = 61x − 14
− 30 x − 61x = −14 − 25
− 91x = −39 /⋅ ( −1)
91x = 39
39
x=
91
3
x=
7
Ejercicios II. Resuelva las siguientes ecuaciones:
1) (3x − 4)(4 x + 5) = (2 x − 7)(6 x + 3)
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2) ( x + 9)( x − 5) = ( x + 7)( x − 3)
3) (2x + 5)(2x - 5) = (2x - 3)2
4) (3x + 4)(3x - 4) = (3x - 2)2 + 12x -20
5) (x - 11)(x + 5) = (x - 7)(x - 9)
6) (4x – 5)2 = (8x + 3)(2x – 9)
7) (x +13)(x – 5) = (x – 4)(x + 9)
8) (2x + 3)(x – 5) – 24 = (x + 4)(x – 9)
III.
Ecuaciones con expresiones fraccionarias.
Para resolver este tipo de ecuaciones es conveniente tener presente algunas
restricciones que, por la estructura propia de estas ecuaciones, debemos
ponerle especial atención.
Analicemos una de estas ecuaciones.
Ejemplo 3. Resuelva la siguiente ecuación:
x
x 2 + 8x − 9
4
+
= 2
x − 3 x + 5 x + 2 x − 15
1°) Sabemos que las fracciones con denominador 0 (“cero”) no están
permitidas. Aceptando lo anterior, en nuestra ecuación, no podrían
aparecer como soluciones los números 3 y -5.
2°) A continuación veremos como se “resuelve” una ecuación de esta clase.
(1)
x
x 2 + 8x − 9
4
+
= 2
x − 3 x + 5 x + 2 x − 15
Al igual que las ecuaciones fraccionarias con denominador numérico,
debemos multiplicar por el MCM. En este caso, dicho MCM es:
x 2 + 2 x − 15 = ( x − 3)( x + 5)
La ecuación que se obtiene (al operar la ecuación (1) por una expresión
que contiene a la variable x) no siempre es equivalente a la ecuación
dada, es decir, su o sus soluciones podrían no ser válidas para la
ecuación dada.
(2) x( x + 5) + 4( x − 3) = x 2 + 8 x − 9
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x 2 + 5 x + 4 x − 12 = x 2 + 8 x − 9
x 2 + 9 x − 12 = x 2 + 8 x − 9
9 x − 8 x = −9 + 12
x=3
La ecuación (2) tiene como solución 3. Pero, esta solución no es
solución de la ecuación (1).
Por lo tanto, la ecuación (1) no tiene solución en IR
Teniendo en cuenta las restricciones planteadas en el ejemplo, estudiaremos
dos tipos de ecuaciones con expresiones fraccionarias:
III.1 Ecuaciones con forma de proporción.
III.2 Ecuaciones con expresiones fraccionarias.
Ejercicios III. Resuelva las siguientes ecuaciones:
1)
3x − 1 2
=
5x − 4 3
2)
x−5
3x
=
x − 4 3x + 1
3)
2 x − 5 3x − 4
=
4x − 1 6x + 9
4)
4 x − 3 8x + 5
=
2x − 3 4x − 1
5)
x + 5 x −1
=
x+3 x−3
6)
2 x − 1 3x − 5
=
4x + 3 6x + 1
7)
2
1
5
+
= 2
x + 2 2 x − 1 2 x + 3x − 2
8)
5
4
12 x + 6
+
= 2
2x + 1 x − 1 2x − x − 1
9)
4
5
3
+
=
2 x − 3 5x − 4 x + 2
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10)
x+7
8x − 9 4x + 9
=
−
2x − x − 3 2x − 3 x + 2
11)
x + 3 2x + 3
3x + 8
=
−
x + 4x + 3 x + 1 2x + 5
12)
x − 2 x + 3 2x 2 + x + 5
+
=
x +1 x −1
x2 −1
2
2
x − 5 x + 2 2 x 2 − 3x − 14
13)
+
=
x+3 x−2
x2 + x − 6
14)
6x
42
= 10 −
x+7
x+7
15)
1
1
1
1
−
=
−
x+5 x+8 x+3 x+6
Ejercicios IV. En los problemas siguientes, para cada ecuación dada se pide
determinar para qué valor de m, la ecuación tiene solución x = 5.
1)
x−3 x−2
x
+
=
m+2 m+6 m+4
2)
x−3
x +1
2x − 6
+
=
m + 5 3m + 5 m + 3
3)
x−2
x−4
1
−
=
3m + 7 2m + 18 2m − 2
Soluciones
I.
1) 5
II. 1)
−1
35
III. 1) 5
9) 1
IV. 1) 6
2) 3
2) φ
2)
−5
2
− 33
7
17
3)
6
3)
3) 7
10) 5
11) -4
2) 5
3) 11
4)
−1
2
5) 0
59
5
4) IR
5)
4) 9
5) φ
12) IR − {1,−1}
6) -21
7) -2
6) -2
7)
6)
−3
7
13) -30
29
3
7) 1
14) φ
8) -3
8) 3 y -1
8) 7
15)
− 11
2
0
