ÁLGEBRA PROGRAMA ACADÉMICO VIRTUAL Ciclo Intensivo UNI Determinantes Semana 17 CURSO DE ÁLGEBRA Objetivos: ✓ Definir y calcular el determinantes de una matriz. ✓ Aplicar propiedades en el calculo de las determinantes. ✓ Desarrollar destrezas en la resolución de problemas tipo referidos al tema. CREEMOS EN LA EXIGENCIA CURSO DE ÁLGEBRA Índice I) Introducción II) Determinantes III) Teoremas de Laplace IV) Propiedades de las determinantes V) Determinante de Vandermonde VI) Problemas diversos CREEMOS EN LA EXIGENCIA CURSO DE ÁLGEBRA Alexandre-Théophile Vandermonde (1735-1796) Su primer amor fue la música y su instrumento fue el violín. Siguió una carrera musical y solo se dedicó a las matemáticas cuando tenía 35 años. Fue Fontaine des Bertins cuyo entusiasmo por las matemáticas se contagió a Vandermonde. Es miembro de la Academia de las Ciencia de Francia en 1771, y hace su contribución a las matemáticas en cuatro notable artículos. En el último artículo estudió la teoría de los determinantes. Muir afirma que debido a este documento, Vandermonde es: “El único apto para ser visto como el fundador de la teoría de los determinantes”. Vandermonde, define el determinante como una función y planteo sus propiedades. Mostró el efecto de intercambiar filas y columnas. De esto dedujo que un determinante con dos filas idénticas o dos columnas idénticas es cero. Finalmente dio una notación notablemente para los determinantes. 1 1 1 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎2 𝑏2 𝑐2 CREEMOS EN LA EXIGENCIA Determinantes CURSO DE ÁLGEBRA CÁLCULO DEL DETERMINANTE DETERMINANTES Es una función que aplicada a una matriz cuadrada, la relaciona con un escalar. Notación: Si 𝐴 = 𝑎11 → 𝐴 = 𝑎11 𝐴= 6 → 𝐴 =6 𝐵 = −2 → 𝐵 = −2 Ejemplos: Sea A una matriz cuadrada, el determinante de A se representa por: 𝐴 𝑜 𝐷𝑒𝑡(𝐴) Luego: Matriz de orden 1: 𝐷𝑒𝑡: ℝ𝑛×𝑛 ℝ 𝐴 𝐴 Sabías que: Al matemático y samurái Seki Kowa (1642-1708) se le da el crédito por la invención de los determinantes. Matriz de orden 2: 𝐴= 𝑎 𝑐 𝑏 𝑑 → 𝐴 = 𝑎𝑑 −𝑏𝑐 Ejemplos: 1) Si 𝐴 = 5 3 7 2 → 𝐴 = 5.2−3.7 = −11 CREEMOS EN LA EXIGENCIA CURSO DE ÁLGEBRA 𝑛 𝑛+2 2) Si 𝐴 = 𝑛−2 𝑛 → 𝐴 = 𝑛. 𝑛 −(𝑛 − 2)(𝑛 + 2) = 𝑛2 −(𝑛2 − 4) → 𝐴 = 𝑛2 −𝑛2 + 4 = 4 Matriz de orden 3: (𝑹𝒆𝒈𝒍𝒂 𝒅𝒆 𝑺𝒂𝒓𝒓𝒖𝒔) 𝑎 Si 𝐴 = 𝑑 𝑔 → → 𝑏 𝑒 ℎ 𝑐 𝑓 𝑖 → 𝐴 = 𝑎 𝑑 𝑔 𝑏 𝑒 ℎ 𝑐 𝑎 𝑏 𝑓 𝑑 𝑒 𝑖 𝑔 ℎ 𝐴 = 𝑎𝑒𝑖 +𝑏𝑓𝑔 +𝑐𝑑ℎ −𝑔𝑒𝑐 −ℎ𝑓𝑎 −𝑖𝑑𝑏 𝐴 =4 Ejemplo: 3) Si 𝐴 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 −𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 → 𝐴 = 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜃 − −𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 → 𝐴 → 𝐴 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 +𝑠𝑒𝑛2 𝜃 = 1 → = 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 −(−𝑠𝑒𝑛2 𝜃) 𝐴 =1 1 Si 𝐴 = 0 1 2 3 1 2 1 0 → 𝐴 = 1 0 1 2 3 1 2 1 2 0 1 1 0 1 1 → 𝐴 = 1.1.0 +2.2.1 +3.0.1 −1.1.3−1.2.1−0.0.2 → 𝐴 = 0 +4 +0 −3 −2 −0 → 𝐴 = −1 CREEMOS EN LA EXIGENCIA CURSO DE ÁLGEBRA Otra forma: 𝑎 Si 𝐴 = 𝑑 𝑔 → Método de la estrella: 𝑏 𝑒 ℎ 𝑐 𝑓 𝑖 → 𝐴 = 𝑎 𝑑 𝑔 𝑎 𝑑 𝑏 𝑐 𝑒 𝑓 ℎ 𝑖 𝑏 𝑐 𝑒 𝑓 𝐴 = 𝑎𝑒𝑖 +𝑑ℎ𝑐 +𝑔𝑏𝑓 −𝑔𝑒𝑐 −𝑎ℎ𝑓 −𝑑𝑏𝑖 → 𝑏 𝑒 ℎ 𝑏 𝑒 ℎ 𝑐 𝑓 𝑖 𝑎 𝑑 𝑔 𝑏 𝑒 ℎ 𝑐 𝑓 𝑖 𝑐 𝑓 𝑖 𝐴 = 𝑎𝑒𝑖 +𝑏𝑓𝑔 +𝑐𝑑ℎ −𝑔𝑒𝑐 −ℎ𝑓𝑎 −𝑖𝑑𝑏 Ejemplo: Ejemplo: 2 Si 𝐴 = 0 1 𝑎 𝑑 𝑔 𝑎 Si 𝐴 = 𝑑 𝑔 1 0 2 1 3 2 → 𝐴 = 2 0 1 2 0 1 2 3 1 2 0 1 2 0 1 → 𝐴 = 2.2.2+0.3.0 +1.1.1−1.2.0 −2.3.1−0.1.2 → 𝐴 = 8 +0 +1 −0 −6 −0 → 𝐴 = 3 Si 𝐴 = → 3 1 2 0 1 2 1 1 0 3 1 2 0 1 2 1 1 0 3 1 2 𝐴 = 0 +0 +1 −4 −3 −0 → 0 1 2 1 1 0 𝐴 = −6 CREEMOS EN LA EXIGENCIA CURSO DE ÁLGEBRA Entonces, el menor 𝑀13 es TEOREMA DE LAPLACE Menor 𝑴𝒊𝒋 Sea 𝐴 una matriz de 𝑛 × 𝑛 y sea 𝑀𝑖𝑗 la matriz de orden 𝑛−1 × 𝑛−1 obtenida de 𝐴 −1 𝐴 = −4 7 eliminando la fila 𝑖 y columna 𝑗. 𝑀𝑖𝑗 se llama 2 −5 −8 3 6 −9 𝐹𝑖𝑙𝑎 1 𝑀13 = −4 7 −5 −8 2 3 −8 −9 𝐶𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 3 menor 𝑖𝑗 de 𝐴. Entonces, el menor 𝑀21 es Ejemplo Dada la matriz cuadrada 𝐴= −1 −4 7 2 −5 −8 3 6 −9 −1 𝐴 = −4 7 2 −5 −8 3 6 −9 𝐹𝑖𝑙𝑎 2 𝑀21 = 𝐶𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 1 CREEMOS EN LA EXIGENCIA CURSO DE ÁLGEBRA Cofactor Ejemplo Sea 𝐴 una matriz de 𝑛 × 𝑛. El cofactor 𝑖𝑗 de 𝐴, Dada la matriz cuadrada denotado por 𝐴𝑖𝑗 , está dado por: 𝐴= 𝐴𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗 𝑀𝑖𝑗 −1 −4 7 2 −5 −8 3 6 −9 Entonces, el cofactor 𝐴13 es ൝ Observación: 𝐴13 = (−1)1+3 𝑀13 = 1 Además, el cofactor 𝐴21 es 𝐴21 = (−1)2+1 𝑀21 = − ൝ (−1)𝑖+𝑗= ൝ 1 ; 𝑖 + 𝑗 es par −1 ; 𝑖 + 𝑗 es impar −4 −5 = 67 7 −8 −1 2 3 −8 −9 CREEMOS = −6 EN LA EXIGENCIA CURSO DE ÁLGEBRA TEOREMA DE LAPLACE Entonces el determinante de 𝐴,está dado por: Sea A una matriz de orden 𝑛 × 𝑛. 𝐴= 𝐴 = 𝑎𝑖1 . 𝐴𝑖1 +𝑎𝑖2 . 𝐴𝑖2 +𝑎𝑖3 . 𝐴𝑖3 + ⋯ +𝑎𝑖𝑛 . 𝐴𝑖𝑛 𝑎11 𝑎12 𝑎13 … 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎22 𝑎23 … 𝑎2𝑛 𝑎31 𝑎32 𝑎33 … 𝑎3𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 𝑎𝑛3 ⋮ … 𝑎𝑛𝑛 o 𝐴 = 𝑎1𝑗 . 𝐴1𝑗 +𝑎2𝑗 . 𝐴2𝑗 +𝑎3𝑗 . 𝐴3𝑗 + ⋯ +𝑎𝑛𝑗 . 𝐴𝑛𝑗 (Expansión por cofactores) Observación: La expansión por cofactores se aplica a cualquier fila o columna, pero se recomienda elegir la fila o columna que tenga la mayor cantidad de ceros CREEMOS EN LA EXIGENCIA CURSO DE ÁLGEBRA Ejemplo Calcule el valor del siguiente determinante 2 1 0 3 0 3 2 0 3 2 0 2 2 3 = +3 0 0 3 2 6 0 5 0 Resolución Elijamos la columna 2 para la expansión por cofactores por tener la mayor cantidad de ceros 0 3 2 0 3 2 0 2 6 0 = 𝑎 . 𝐴 +𝑎 . 𝐴 +𝑎 . 𝐴 +𝑎 . 𝐴 42 42 12 12 22 22 32 32 5 0 ൝ = 𝑎12 . (−1)1+2 𝑀12 +𝑎22 . (−1)2+2 𝑀22 ൝ −1 1 −1 ൝ +𝑎32 . (−1)3+2 𝑀32 +𝑎42 . (−1)4+2 𝑀42 ൝ 2 1 0 3 = − 0. 𝑀12 + 3. 𝑀22 − 2. 𝑀32 + 0. 𝑀42 6 2 3 5 −2 1 2 0 3 2 6 0 0 = + 3 ∙ 5 (−1)2+3 2 3 − 2 ∙ 6 (−1)1+3 1 2 3 2 3 2 = −3 ∙ 5 ∙ −5 − 2 ∙ 6 ∙ −4 = 75 +48 = 123 Observación: El signo (−1)𝑖+𝑗 se puede hallar por: + − + − − + − + + − + − − + − + 1 CREEMOS EN LA EXIGENCIA CURSO DE ÁLGEBRA PROPIEDADES DEL DETERMINANTE Sean las matrices cuadradas A; B; I (matriz identidad) y Ο (matriz nula). 1) El determinante de una matriz triangular (superior o inferior), es igual al producto de los elementos de su diagonal principal. 3) Si a una fila (o columna) se le suma (o resta) un múltiplo de otra fila (o columna), su determinante no se altera. 𝑎 𝑑 𝑔 𝑏 𝑒 ℎ 𝑐 𝑓 𝑖 𝑓1 +𝑘𝑓2 = 𝑎 + 𝑑𝑘 𝑑 𝑔 𝑏 + 𝑒𝑘 𝑒 ℎ 4 0 8 3 2 5 17 6 10 4 0 0 3 2 5 17 0 6 𝑐 + 𝑓𝑘 𝑓 𝑖 Ejemplo 6 a) 0 0 2) 𝜋 2 0 2 5 = 36 3 𝐼 =1 ; a) 1 0 0 1 0 0 b) 4 𝜋 2 0 1 7 0 0 = 20 5 Calcule 0 0 b) 0 0 0 0 0 0 =0 0 3 2 6 2 15 10 Resolución 4 −4 8 Ο =0 0 0 =1 1 4 −4 8 3 2 6 2 15 10 𝑓2 +𝑓1 = 𝑓3 −2𝑓1 = CREEMOS EN = 120 LA EXIGENCIA CURSO DE ÁLGEBRA 4) Si una matriz tiene una fila nula (o columna nula), su determinante es cero 𝑎 a) 𝑑 𝑔 0 0 0 𝑐 𝑓 𝑖 𝑎 b) 0 𝑓 =0 𝑏 0 𝑔 𝑐 0 𝑖 5) Si una matriz tiene dos filas (o columnas) iguales, su determinante es cero. 𝑎 a) 𝑑 𝑔 =0 𝑎 𝑑 𝑔 𝑐 𝑓 𝑖 =0 𝑎 b) 𝑎 𝑔 𝑏 𝑏 ℎ 𝑐 𝑐 𝑖 =0 Ejemplo 5 4 8 2 2 5 5 10 10 𝑐2 −𝑐3 5 4 8 3 4 5 7 10 14 𝑓3 −2𝑓2 = = 5 4 8 0 2 0 5 0 10 = 0 5 4 0 3 4 5 7 0 0 =0 6) Si dos filas (o columnas) son proporcionales, su determinante es cero. 𝑎 a) 𝑑 𝑔 𝑘𝑎 𝑘𝑑 𝑘𝑔 𝑐 𝑓 =0 𝑖 𝑎 b) 𝑑 𝑘𝑎 CREEMOS 𝑏 𝑒 𝑘𝑏 EN 𝑐 𝑓 =0 𝑘𝑐 LA EXIGENCIA CURSO DE ÁLGEBRA 7) Si se intercambian dos filas (o columnas), el determinante cambia de signo. 𝑎 𝑑 𝑔 𝑏 𝑒 ℎ 𝑐 𝑓 𝑖 𝑑 = − 𝑎 𝑔 𝑒 𝑏 ℎ 𝑓 𝑐 𝑖 𝑒 = 𝑏 ℎ 𝑑 𝑎 𝑔 Calcule Resolución 3 3 0 𝑎𝑘 𝑑 𝑔 𝑏𝑘 𝑒 ℎ 𝑐𝑘 𝑓 𝑖 𝑎 = 𝑘. 𝑑 𝑔 𝑏 𝑒 ℎ 𝑐 𝑓 𝑖 Ejemplo 5 2 5 5 6 10 5 2 5 5 6 10 Si los elementos de una fila (o columna) se multiplican por un escalar, su determinante queda multiplicado por dicho escalar. 𝑓 𝑐 𝑖 Ejemplo 3 3 0 8) 7 6 1 Calcule 𝑓2 −𝑓1 = 𝑓2 ×𝑓3 3 0 0 3 − 0 = 0 5 2 0 3 6 10 5 6 0 2 10 = −54 3 14 21 12 30 2 10 Resolución 7 6 1 14 21 12 30 2 10 1 1 =7∙6 1 2 3 2 5 2 10 =7∙6∙0 =0 CREEMOS EN LA EXIGENCIA CURSO DE ÁLGEBRA 𝑎 Si 𝐴 = 𝑑 𝑔 𝐴 𝑏 𝑒 ℎ ; 𝑛 = 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝐴 𝑐 𝑓 𝑖 → 𝑎𝛼 𝛼𝐴 = 𝑑𝛼 𝑔𝛼 𝑏𝛼 𝑒𝛼 ℎ𝛼 𝑐𝛼 𝑓𝛼 𝑖𝛼 Luego 𝑎𝛼 𝛼. 𝐴 = 𝑑𝛼 𝑔𝛼 𝑎 𝑑 𝑔 𝑐𝛼 𝑎 𝑓𝛼 = 𝛼 3 𝑑 𝑖𝛼 𝑔 𝑏 𝑒 ℎ 𝑐 𝑓 = 𝛼3 𝐴 𝑖 1 0 0 Entonces 𝑐 𝑓 𝑖 = 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ℎ 𝑖 𝐴∙𝐵 = 𝐴 . 𝐵 11) 𝑏𝛼 𝑒𝛼 ℎ𝛼 𝑏 𝑒 ℎ 3 5 2 4 7 1 0 3 8 0 0 5 0 9 1 1 = 0 0 3 5 4 7 0 3 2 1 8 𝛼. 𝐴 = 𝛼3 0 0 5 0 = 120 9 1 ൞ 𝛼. 𝐴 = 𝐴𝑇 = 𝐴 10) ൞ 9) 𝛼𝑛 10 12 𝐴 Donde el orden de la matriz A es 3. 12) 𝐴𝑛 = 𝐴 𝑛 CREEMOS EN LA EXIGENCIA CURSO DE ÁLGEBRA 13 El determinante de una matriz antisimétrica de orden impar, es cero. Ejemplo: Sea A una matriz antisimétrica, así 𝐴𝑇 = −𝐴 0 −5 7 donde orden A = 𝑛 (impar) 5 0 −8 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑠𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 3 (𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟) −7 8 0 =0 Tomando determinante en ambos miembros 𝐴𝑇 𝐴 = = −𝐴 −1 𝐴 → 𝐴 = −𝐴 → 𝐴 = (−1)𝑛 𝐴 como 𝑛 es impar, entonces: 𝐴 = (−1) 𝐴 → 𝐴 =−𝐴 → 2𝐴= 0 ∴ 𝐴 = 0 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑠𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 5 (𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟) 0 3 5 −3 −5 0 4 0 7 1 −7 −7 0 −9 −8 0 −1 9 0 6 −4 7 8 −6 0 =0 CREEMOS EN LA EXIGENCIA CURSO DE ÁLGEBRA DETERMINANTE DE VANDERMONDE Aplicación: Determine Se tiene que: 1 1 1 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎2 𝑏2 Resolución: = (𝑏 − 𝑎) (𝑐 − 𝑎) (𝑐 − 𝑏) Por propiedades, tenemos: 𝑐2 −𝑐1 𝑐2 𝑐3 −𝑐1 Ejemplo: 1 1 3 5 4 9 25 1 1 1 1 𝑎 𝑎2 1 𝑏 𝑏2 = (𝑎 − 1) (𝑏 − 1) (𝑏 − 𝑎) Ejemplo: 1 2 1 2 2 1 𝑎+1 𝑏+1 1 𝑎2 + 1 𝑏2 + 1 = (3 − 2) (5 − 2) (5 − 3) = 6 1 1 1 3 5 6 36 9 25 27 125 216 1 2 4 8 = (5 − 3) (6 − 3) (6 − 5) (2 − 3) (2 − 5) (2 − 6) = −72 CREEMOS EN LA EXIGENCIA
