BBDD EDP BlackScholesModel

Introducción al modelo Black-Scholes-Merton
César Lara - 614181009 - Fundación Universitaria Konrad Lorenz
21.08.2021
Abstract
El presente documento tiene la intención de presentar los aspectos básicos que permiten hacer una primera aproximación al modelo de ecuaciones diferenciales parciales
Black-Scholes-Merton (BSM), el cual es una aplicación matemática en la economı́a
financiera. La importancia de abarcar este modelo radica en que se le atribuye revolucionar al sector financiero mundial mediante la utilización de una herramienta objetiva
antes inexistente, computacionalmente eficiente y de alta robustez técnica. Inicialmente fue escogida la ecuación del movimiento browniano geométrico (MBG), pero se
consideró adecuado dar extensión para conocer el Modelo BSM el cual incorpora al
MBG como elemento central para su desarrollo conceptual,
1
Introducción
En primera instancia se definirán algunos conceptos financieros que permiten entender los
parámetros y variables involucradas en la modelación matemática. En un segundo apartado
se ilustrará una breve ilustración del contexto histórico de los autores y cómo influenciaron en la construcción de la EDP. La tercera sección dará una aproximación a conceptos
matemáticos neurálgicos en el desarrollo del Modelo BSM como el cálculo estocástico y el
movimiento browniano geométrico necesarios para la obtención de la ecuación del modelo.
Finalmente, en la cuarta sección se realizarán algunos ejemplos que permitirán evidenciar la
utilidad del modelo.
2
Conceptos financieros preliminares
En virtud que el desarrollo matemático del que se va a discutir en este documente obedece
a una necesidad especı́fica en el mundo financiero, es necesario ilustrar algunas claridades
técnicas financieras. Como contexto, debe entenderse que el modelo BSM fue obtenido con
el propósito de obtener una valoración de contratos financieros llamados opciones de compra
o venta sobre un artı́culo en particular sobre el cual haya un precio de cotización en un
mercado bursátil (oro, azúcar, acciones de una empresa, etc).
Dado que estos productos de manera inherente sufren riesgos y oportunidades en función de
1
la volatilidad propia de la negociación, un modelo matemático del tipo BSM busca pronosticar el valor actual de ese contrato teniendo en cuenta mútliples factores, entre ellos, el
tiempo y la volatibilidad.
Algunos conceptos financieros relevantes para comprender el modelo matemáticos son[1]:
• Opción: Es un contrato financiero derivado en el cual el suscriptor adquiere el derecho
(pero no la obligación) de comprar un activo financiero a un tiempo determinado y con
un precio determinado. Para ello, el precio de este contrato se llama prima.
• Contrato derivado: Es un producto financiero que permite a dos partes establecer
un acuerdo de pago, repartición del riesgo y rentabilidad en función de la evolución
de un precio de un activo financiero asociado a un bien o mercancı́a real (oro, café,
metales), productos de renta variables o ”acciones” o indicadores financieros (ı́ndices
busátiles).
• Call: decisión de comprar un activo mediante un contrato de opción.
• Activo Subyacente: corresponde al artı́culo sobre el cual se realiza el contrato de
opción financiera. Por ejemplo, la opción de compra o ”call opción” consiste en comprar 100 carga de 125 kgs café pergamino en la Bolsa Mercantil de Colombia a un
precio de 2.000.000 por carga.
La intención real consiste en que comprador de la opción deseará comprar el contrato
(call option) a un precio fijo con la expectativa que al vencimiento del contrato, el valor
de ese activo en esa fecha futura sea superior al precio fijo pactado en la opción, con lo
cual generará una utilidad. La situación contrarı́a, cuando se preve una dismunición
del precio del activo subyacente, una opción de venta (put option) permitirá fijar un
precio mayor al precio que eventualmente tendrá el mercado al vencimiento
3
Breve reseña histórica
Son tres matemáticos, tanto teorı́cos como ingenieros matemáticos, de origen canadiense
y americano, a los que se les atribuye este desarrollo [2]: 1) Fischer Black (1938-1995),
2) Myron Scholes (1941) y 3) Robert C. Merton (1944). El punto de conexión entre los
tres académicos corresponde a que en 1970 los tres fueron profesores investigaddores en la
escuela de negocios Sloan del Massachusetts Institute of Technology (MIT). Inicialmente
Fischer habı́a tenido experiencia en la década de 1960 como asesor financiero cuantitativo
en la firma bursátil ”Arthur D. Little”, donde conoció a Jack Treynor, un precursor de la
valoración de activos con la creación del modelo ”Capital Asset Pricing Model (CAPM).
El modelo BSM en realidad no fue una contribución unificada con resultados contundentes
de forma inmediata. En realidad, la primera versión del modelo fue presentado bajo el tı́tulo
The pricing of Options and Corporate Liabilities en 1973 con la firma de Black y Scholes, el
cual habı́a sido rechazada previamente por dos revistas antes de ser finalmente publicado en
2
el Journal of Political Economy.
No obstante, Robert C. Merton presentó el artı́culo Theory of Rational Option Pricing
en 1973, haciendo extensiones al modelo BS, entre las que se destaca su usabilidad para
modelar dividendos, relajando algunos supuestos y derivando una fórmula mejorada, que
fue la que finalmente aceptó el gremio financiero y la comunidad académica. En 1997 los
tres académicos recibieron el Premio Nobel de Economı́a por estos documentos, siguiendo la
lı́nea de sus mentores, otros notables economistas Paul Samuelson y Merton Miller.
4
Conceptos matemáticos preliminares
Para la derivación de la EDP del Modelo BSM, se debe hacer uso de dos conceptos matemáticos
importantes:
• Movimiento Browniano Geométrico: De acuerdo con la definición de Sigman [3],
se puede definir que el precio de un activo financiero S(t) puede modelarse con un
componente aleatorio X(t)
S(t) = S0 eX(t) ,
X(t) = σZ(t) + µt
Se considera a Z(t) una distribución normal estándar, es decir, es el comportamiento
aleatorio de la variable X(t). Dentro de sus propiedades se puede afirmar que el valor
esperado de esta variable E(X(t)) = µt, es decir, su valor esperado cambia con el
tiempo, y su volatitlidad tambien depende del tiempo, dado que depende también del
tiempo. Aplicando derivada parcial sobre X(t), se obtiene una ecuación que exlica la
variación del precio del activo en términos de su volatilidad σ ası́ :
dX(t) = µdt + σdZ(t)
• Lema de Itô: Dentro del cálculo estocástico, se tiene una proposición derivada que
se considera la versión análoga de la regla de la cadena del cálculo infinitesimal. Aplicado al contexto de la valoración de activos financieros, el teorema en mención puede
expresarlo de la siguiente forma [4]:
Sea S la función del valor del activo definido que satisface la ecuación diferencial estocástica.
dS = Sµdt + SσdZ
(1)
donde Z(t) es un movimiento browniano.
Sea V una nueva función, de la forma V (S, t) doblemente diferenciable, que representa
el valor del producto financiero, entonces se satisface la siguiente igualdad :
∂V
∂V
1 2 2 ∂ 2V
∂V
dZ +
+ µS
+ σ S
dt
dV = σS
∂S
∂t
∂S
2
∂S 2
3
5
Derivación de la Ecuación Diferencial Parcial:
Entre las principales condiciones y generalidades del modelo se tienen las siguientes (tomando
como referencia el trabajo de Duana & Millan[5]:
1. El precio del activo V (S, t) sigue un proceso estocástico del tipo movimiento browniano
geométrico
2. El objetivo del modelo es encontrar una valoración de un producto financiero V =
V (S, t) que iguale tanto los riesgos y los beneficios, e identificar las condiciones sobre
las cuales el inversionista podrı́a tomar la decisión de compra o venta.
Es decir, el objetivo es maximizar el valor del portafolio compuesto por un sólo activo,
donde dicho valor se expresa como Π = ∆S − V (si Π > 0) o pérdida (si Π < 0). Los
dos estados de beneficio son i={up: valor del activo subyacente mayor al precio de la
opción; down:valor del activo subyacente mayor al precio de la opción}
3. La tasa de interés de riesgo nulo r disponible en el mercado (la que paga un CDT, una
cuenta de ahorro, bonos soberanos) y la volatilidad σ se considera constante.
4. El activo subyacente no paga dividendos
5. Los beneficios o costos del producto financiero (opción de compra o venta) solo pueden
hacer hasta el vencimiento.
A partir de la condición 2) del modelo, se puede establecer la siguiente igualdad
∆Su − Vu = ∆Sd − Vd
δV
∂V
Vu − Vd
=
=∆=
∆=
Su − Sd
δS
∂S
Esto se debe a que estos movimientos pueden darse en tiempo continuo, y también cuando
los cambios de valoración sean muy bajos o tiendan a cero.
Sustituyendo los resultados anteriores en la ecuación (1), el cambio en el valor del portafolio, que depende de la volatilidad del mismo a lo largo del tiempo, se puede reexpresar de la
siguiente forma:
dΠ = ∆dS − dV = ∆(Sµdt + SσdZ) − dV
En virtud que el modelo considerado satisface las condiciones de continuidad hasta su
segunda derivada, y que la función V depende de dos variables continuas t y S, se puede
aplicar el Lemma de Itô definido en la sección 4, para obtener la volatilidad total de la
función de valor del producto financiero u opción V (S, t) ası́:
∂V
∂V
∂V
1 2 2 ∂ 2V
dV = σS
dZ +
+ µS
+ σ S
dt
∂S
∂t
∂S
2
∂S 2
En otras palabras, la volatilidad de la opción está determinada por una parte por la
velocidad o valoración propio del activo subyacente (término a la izquierda) y un componente
4
asociado a la aceleración de la valoración del activo en función del tiempo. Reemplazando
el resultado anterior dentro de la expresión del valor del portafolio, se obtiene la siguiente
expresión:
∂V
∂V
1 2 2 ∂ 2V
∂V
dZ −
+ µS
+ σ S
dt
dΠ = ∆Sµdt + ∆SσdZ − σS
∂S
∂t
∂S
2
∂S 2
Factorizando los términos en función si son factores de dZ o dt se obtiene:
∂V
∂V
∂V
1 2 2 ∂ 2V
dΠ = ∆σS − σS
dZ + ∆µS −
− µS
− σ S
dt
∂S
∂t
∂S
2
∂S 2
, se anula el primer término de la expresión anterior y
Teniendo en cuenta que ∆ = ∂V
∂S
solamente quedan los términos de volatilidad en función del tiempo t:
∂V
1 2 2 ∂ 2V
dΠ = −
+ σ S
dt
(2)
∂t
2
∂S 2
Por otra parte, en virtud que el análisis se hace en un momento donde se igualan ganancias
y pérdidas, con una tasa de interés de rendimiento de bajo riesgo r constante, el cambio total
del portafolio se puede reexpresar que el cambio del valor del portafolio en el tiempo sigue
una EDO de la forma:
dΠ
= rdt
Π
dΠ = Πrdt
(3)
Reemplazando el lado izquierdo de la igualdad (3) en (2), se obtiene:
∂V
1 2 2 ∂ 2V
Πrdt = −
+ σ S
dt
∂t
2
∂S 2
1 2 2 ∂ 2V
∂V
dt = −
σ S
dt
Πrdt +
∂t
2
∂S 2
Reemplazando la condición 2 de la especificación del modelo Π = ∆S − V y adicionalS − V se obtiene
mente ∂V
∂S
∂V
∂V
1
∂ 2V
Sr − V r = −
− σ2S 2 2
∂S
∂t
2
∂S
Separando los términos a la valoración de un portafolio alterno invirtiendo a una tasa de
bajo riesgo al lado derecho de la igualdad versus la valoración propia que da la adquisicón de
una opción o producto financiero sujeto a volatilidad, se obtiene La ecuación diferencial
parcial de segundo orden no homogénea del modelo Black-Scholes-Merton :
∂V
1
∂ 2V
∂V
+ σ 2 S 2 2 + rS
= rV
∂t
2
∂S
∂S
5
(4)
6
Aplicación:
Consideremos un ejemplo en donde se requiera valorar una opción con las siguientes condiciones [6]: Posee un precio de ejecución a la madurez de K = 90 unidades monetarias (UM);
precio del subyacente en la actualidad S0 = 100 UM. Faltan 6 meses para el vencimiento,
y se compara contra una tasa de interés de bajo riesgo del 10%, junto a una volatilidad (σ
=0.25). Es decir, es un activo con alta volatilidad y cuya expectativa esel precio de cierre de
la opción sea inferior al precio actual del subyacente en 6 meses, lo cual el comprador de la
opción de compra le conviene adquirir esta opción siempre y cuando sus expectativas sean
que el precio del subyacente sea mayor a 90.
La solución analı́tica a la EDP definida en (4) genera la siguiente fórmula para calcular
el valor V (S0 , t0 ) = V0 de la opción:
V0 = S0 × Z (d1 ) − Ke−rT × Z (d2 )
con
h
2 i
T
+ r + σ2
√
d1 =
σ T
√
d2 = d1 − (σ T)
ln
S0
K
Los pasos para optener el valor de V serı́an:
• Estimar d1 y d2 :
2 i
h
S0
T
ln K + r + σ2
√
d1 =
σh T
2 i
0.25
ln 100
+
0.10
+
0.5
90
2
√
=
0.25 0.5
0.1053 + 0.0656
= 0.9672
=
0.1768√
√
d2 = d1 − (σ T) = 0.9672 − (0.25 0.5) = 0.7904
• Obtener los valores de la distribución de probabilidad acumulada normal estandar Z
para los argumentos d1 y d2 obtenidos en el paso anterior. Es decir
Z(d1 ) = Z(0.9672) = 0.8340
Z(d2 ) = Z(0.7904) = 0.7852
• Calcular el valor de V0 sujeto a los parámetros y cálculos anteriores.
C0 = S0 × N (d1 ) − Ke−TT × N (d2 )
= 100 × N(0.8340) − 90e−0.10×0.50 × N(0.7852)
= 16.17
6
Conclusión: El valor de la opción de compra que deberı́a pagar el inversionista para
tener una rentabilidad que equipare la que podrı́a obtener en una inversión de bajo
riesgo r = 10% es del 16 UM
References
[1] CFI Education Inc. European option. https://corporatefinanceinstitute.com/resources/knowledge/tradi
investing/european-option. Fecha consulta: 2010-08-18.
[2] Petr HOUSTECKY.
Black scholes model history and key papers.
https://www.macroption.com/black-scholes-history. Fecha consulta: 2010-08-19.
[3] Karl Signman. Geometric Brownian Motion. ”http://www.columbia.edu/ ks20/FENotes/4700-07-Notes-GBM.pdf”, 2006.
[4] Johnatan GODMAN. Lesson 4, ito´s lemma. https://www.math.nyu.edu/ goodman/teaching/StochCalc2018/notes/Lesson4.pdf. Fecha consulta: 2010-08-20.
[5] Duana D. Millán C. Modelo black-scholes-merton, para la toma de decisiones financieras.
[6] ANALYST PREPP Co. Valuation and risk management - the black schole models. Fecha
consulta: 2010-08-22.
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