Calculo Aplicado - Guia 1d

Cálculo Aplicado – Guía 1d
Integración múltiple
1. Calcule las siguientes integrales dobles:
1
3
2
1
1
1) ∫0 ∫0 (𝑥 + 1) 𝑑𝑦𝑑𝑥
1
2
𝑥
1
1
3
4
4) ∫0 ∫0 (𝑦 + 𝑥𝑦 2 ) 𝑑𝑦𝑑𝑥
2
𝜋
2
22) ∫0
3
2𝜋
3
√4−𝑦 2
2
2
2
𝜋
16𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑥
23) ∫1 ∫0 (𝑥 − 3𝑦 2 ) 𝑑𝑥𝑑𝑦
24) ∫1 ∫0 𝑦𝑠𝑖𝑛(𝑥𝑦) 𝑑𝑦𝑑𝑥
𝑦
𝑑𝑥𝑑𝑦
√𝑥+1
√4−𝑦 2
9−4𝑥 2
∫0
4
𝑦
4
𝑦+1
√
25) ∫0 ∫𝑦/2
(𝑥 2 + 𝑦 2 ) 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑑𝑥𝑑𝑦
26) ∫−2 ∫1𝑦2 −3 𝑥𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦
2
𝜋
17) ∫𝜋 ∫0 (sin(𝑥) + cos(𝑦)) 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝜋
sin(𝑥)
1
𝐿𝑛(𝑦)
2
𝑦2
18) ∫0 ∫0
1
∫0 𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥𝑦) 𝑑𝑦𝑑𝑥
1
1 4𝑥𝑦
𝑑𝑥𝑑𝑦
1+𝑦 2
16) ∫0 ∫0
8) ∫0 ∫0 𝑥𝑠𝑖𝑛(𝑦) 𝑑𝑦𝑑𝑥
𝜋/3
1
15) ∫−1 ∫0
7) ∫0 ∫0 (3𝑦 2 + 𝑦𝑒 𝑥 ) 𝑑𝑦𝑑𝑥
9) ∫0
4
2
𝑦
6) ∫1 ∫0 𝑦𝐿𝑛(𝑥) 𝑑𝑦𝑑𝑥
2
2
𝑦2
3/2
𝑦
) 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑥2
14) ∫0 ∫0
5) ∫0 ∫−1 (𝑥𝑦 + ) 𝑑𝑦𝑑𝑥
𝑥
1
1
21) ∫0 ∫0 3𝑦 3 𝑒 𝑥𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦
13) ∫1 ∫0 (𝑥 2 − 2𝑦 2 + 1) 𝑑𝑥𝑑𝑦
3) ∫−1 ∫0 (2𝑥 − 𝑦) 𝑑𝑦𝑑𝑥
2
2
12) ∫−1 ∫1 (𝑦 2 −
2) ∫0 ∫0 (𝑥 + 2𝑦) 𝑑𝑦𝑑𝑥
2
2
11) ∫0 ∫1 (2𝑥 + 𝑦 − 1) 𝑑𝑥𝑑𝑦
19) ∫0 ∫0
2
10) ∫−1 ∫−2(𝑒 2𝑥 + 𝑒 𝑦 ) 𝑑𝑦𝑑𝑥
𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥
𝑒 𝑥+1 𝑑𝑥𝑑𝑦
20) ∫1 ∫𝑦 1 𝑑𝑥𝑑𝑦
1. Respuestas
1) = 9/2
2) = 4
6) = 24𝐿𝑛(3) − 16
3) = 0
7) = 2𝑒 + 6
4) = 52/15
8) = 4
9) = 1/2
5) = 0
10) = 4𝑒 2 − 4𝑒 −2
11) = 7/2
12) = 2/3
13) = 20/3
14) = 𝐿𝑛(2)
15) = 3
16) = 6
17) = 2𝜋
18) = 𝜋/4
19) = 2 − 𝑒
20) = 5/6
21) = 𝑒 − 2
22) …
2.- Use integración doble para los siguientes problemas.
1. Calcule la integral doble sobre de la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥/𝑦 entre las curvas 𝑦 = 𝑥, 𝑦 = 2𝑥 para 𝑥 = 1, 𝑥 = 2.
1
2. Determine la integral doble en la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 entre las curvas 𝑦 = 1, 𝑦 = 2 entre 𝑥 = 1, 𝑥 = 2.
3. Para 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥/𝑦 calcule la integral doble de f sobre el área triangular de vértices (0,0), (1,0) y (0,1).
4. En la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦𝑐𝑜𝑠(𝑥𝑦) resuelva la integral doble de f en el área determinada por las curvas 𝑦 = 1,
𝑦 = 0 para 𝑥 = 0, 𝑥 = 𝜋.
5. Dada la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 − √𝑦 determine la integral doble de f en la superficie del primer cuadrante
acotada por 𝑥 + 𝑦 = 1.
6. Calcule = ∫𝑅 ∫ 𝑒 𝑦 𝐿𝑛(𝑥) 𝑑𝑦𝑑𝑥 sobre la región que se encuentra en el primer cuadrante acotada por la curva
𝑦 = 𝐿𝑛(𝑥) entre las rectas 𝑥 = 1, 𝑥 = 2.
7. Determine el volumen debajo de la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 𝑦 2 acotado entre 𝑦 = 𝑥, 𝑥 + 𝑦 = 2 para 0 ≤ 𝑥 ≤
1.
8. Calcule el volumen de la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 delimitado por el área encerrada entre las curvas 𝑦 = 𝑥, 𝑦 =
2𝑥.
9. En la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4 + 𝑥 determine el volumen debajo de f cuyos limites se encuentran en el área
encerrada por 𝑦 = 4 − 𝑥 2 e 𝑦 = 3𝑥.
2
10. Obtenga el volumen bajo la función 𝑧 = 𝑥𝑦+𝑥+𝑦+1 entre las curvas 𝑥 = 0, 𝑥 = 𝑦 para 0 ≤ 𝑦 ≤ 4.
2. Respuestas
3
2
2
1) = 𝐿𝑛(2)
2) = (𝐿𝑛(2))
3) = 1/6
6) = 1/4
7) = 4/3
8) …
4) = 2/𝜋
5) = −1/10