Números de Fibonacci

Sucesión de Fibonacci
María Camila Delgado Ortiz - Oswaldo Ali Pasinga Guenis - Manuel Fernando Tosse Anacona
Licenciatura en Matemáticas
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Resumen: La Secuencia De Fibonacci, es una sucesión de números que, sin explicación, y para muchos de
forma misteriosa, suele aparecer en diferentes aspectos de la naturaleza. Dicha secuencia fue definida hacia
fines del siglo XII precisamente por el italiano Leonardo Fibonacci. La sucesión de Fibonacci cuenta con
aficionados que se han dedicado a investigar las relaciones más insospechadas de estos números y han
encontrado resultados de estas características, en la mano humana, en los pétalos de una flor, las espirales
de los girasoles, las espirales de las piñas, la altura de un ser humano, la cría de los conejos, la Mona Lisa,
y otras más que se desarrollarán a continuación.
1. Introducción
hacerlo a partir del segundo mes.
b) Cada parto es de dos conejos.
El presente trabajo tiene como finalidad explicar
algunas de las propiedades de la sucesión de
Fibonacci, la cual tiene la característica de que cada
término en ella es la suma de los dos términos
antecesores. Los términos de esta sucesión fueron
descubiertos por el gran matemático italiana Leonardo
de Pisa, gracias a un problema basado en el proceso de
reproducción de conejos.
Usaremos también herramientas del Álgebra Lineal y
el cálculo matricial, como, por ejemplo, el uso de la
diagonalización y la sucesión de Fibonacci, la cual
podremos usar para deducir y/o hallar matrices donde
también podemos diagonalizar otras, pondremos en
práctica la sucesión en algunos ejercicios y
utilizaremos eigenvalores y diagonalización para
deducir una formula explicita para el n-ésimo término
de la sucesión.
Si se supone que ninguno de los conejos muere, el
proceso sería el siguiente:
1.
2.
3.
El mes nacerían un par de conejos, con lo cual ya
habría un par de parejas.
Durante el segundo mes, el par de conejos inicial,
produciría otra pareja, con lo que ya sumarían tres
pares.
A lo largo del tercer mes, la pareja original y la
primera pareja nacida producirían nuevas parejas,
es decir ya existirían cinco parejas
Figura 1 Árbol genealógico de los conejos de Fibonacci
1.1.Conceptos y fórmulas
La sucesión de Fibonacci se define a través de las
siguientes ecuaciones:
𝐹0 = 0
𝐹1 = 1
𝐹𝑛 = 𝐹𝑛−1 + 𝐹𝑛−2 , 𝑛 ≥ 2
(1)
Esta sucesión se encuentra encriptada en múltiples
configuraciones biológicas y geométricas, como, por
ejemplo, en las plantas, algunos animales, la Física, la
Matemática, etc.
El nombre de esta sucesión se debe al más destacado
matemático de la Edad Media: Leonardo de Pisa,
conocido como Fibonacci, quien nació en 1.179 y
murió en la primera mitad del siglo XIII.
La sucesión de Fibonacci fue descubierta gracias a un
problema que propuso Leonardo de Pisa en 1202 en su
libro Liber abaci. El problema consistía en determinar
cuántos conejos se pueden obtener a partir de una
pareja durante un año, sabiendo que:
a)
La pareja inicial puede procrear desde el primer
mes, pero las parejas siguientes sólo podrán
Tras un breve análisis se obtiene la siguiente sucesión,
en los meses siguientes, del número de parejas de
conejos:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …
(2)
Fue así como el gran matemático Leonardo de Pisa,
analizó y estudió dicho problema, descubriendo la
famosa sucesión de Fibonacci (2), que fue la solución
al problema matemático basado en el proceso de
reproducción de una pareja de conejos.
La ecuación 𝐹𝑛 = 𝐹𝑛−1 + 𝐹𝑛+2 define una relación de
recurrencia, dado que, para calcular cualquier término
en la sucesión, se deben de haber calculado dos
términos anteriores. Por ejemplo, para calcular 𝐹40 se
necesitan 𝐹39 y 𝐹38 , los cuales a su vez requieren de
los términos 𝐹37 y 𝐹36 y así sucesivamente.
Existen algunas propiedades de la sucesión de
Fibonacci, las cuales mencionaremos a continuación:
1.
𝐹1 = 1
𝐹2 = 1
𝐹3 = 𝐹1 + 𝐹2 = 1 + 1 = 2
𝐹4 = 𝐹2 + 𝐹3 = 1 + 2 = 3
𝐹5 = 𝐹3 + 𝐹4 = 2 + 3 = 5
𝐹6 = 𝐹4 + 𝐹5 = 3 + 5 = 8
𝐹7 = 𝐹5 + 𝐹6 = 5 + 8 = 13
𝐹8 = 𝐹6 + 𝐹7 = 8 + 13 = 21
𝐹9 = 𝐹7 + 𝐹8 = 13 + 21 = 34
𝐹10 = 𝐹8 + 𝐹9 = 21 + 34 = 55
𝐹11 = 𝐹9 + 𝐹10 = 34 + 55 = 89
𝐹12 = 𝐹10 + 𝐹11 = 55 + 89 = 144
Fórmula de Binet: el 𝑛 −ésimo número de
Fibonacci está dado por
𝐹𝑛 =
1
√5
𝑛
[(
𝑛
1 + √5
1 − √5
) +(
) ]
2
2
(3)
𝑛 = 1, 2, 3, 4, …
2.
Número áureo: la sucesión formada por los
cocientes de cada número de Fibonacci y el
anterior, es decir,
∴ 𝐹12 = 144
1 2 3 5
, , , ,…
1 1 2 3
(4)
1+√5
Tiene como límite el número ϕ =
, conocido
𝟐
como el número áureo, el cual tiene relación con
algunas proporciones, la espiral áurea, etc.
3.
Identidad de Cassini: El cuadrado de cada número
𝐹𝑛 se diferencia en ±1 del producto de los dos
números situados a sus lados, es decir:
𝐹𝑛−1 𝐹𝑛+1 − 𝐹𝑛2 = (−1)𝑛
4.
5.
2.
Explique
porque
la
matriz
identidad
𝐹𝑛−1 + 𝐹𝑛−2
1 1 𝐹𝑛−1
[
][
]=[
] puede utilizarse
𝐹𝑛−1
1 0 𝐹𝑛−2
para generar recursivamente la sucesión de
Fibonacci.
Solución:
Partimos de la sucesión de Fibonacci:
𝐹𝑛 = 𝐹𝑛−1 + 𝐹𝑛−2
(5)
Dados cuatro números de Fibonacci consecutivos,
la diferencia de cuadrados entre el tercero y el
segundo es igual al producto del primero con el
cuarto, es decir:
2
2
𝐹𝑛+2
− 𝐹𝑛+1
= 𝐹𝑛 𝑥𝑛+3
(6)
∞
𝐹𝑛−1 = 𝐹𝑛−1
(10)
A partir de (9) y (10) se puede establecer el siguiente
sistema de ecuaciones de recurrencia:
𝐹𝑛−1 + 𝐹𝑛−2 = 𝐹𝑛
𝐹𝑛−1 = 𝐹𝑛−1
(11)
Que matricialmente puede ser escrito como
(7)
𝑘=1
En las referencias se encuentra una amplia gama de
propiedades de los números de Fibonacci. Allí se
relaciona esta sucesión con los números primos,
cuadrados, cubos, números de Lucas, etc.
Ejercicios prácticos
1.
(9)
Tenemos por propiedad reflexiva
Una interesante relación entre 𝜋 y los números de
Fibonacci de la forma 𝐹2𝑘+1 , está dada por la
siguiente ecuación:
𝜋
1
= ∑ arctan (
)
4
𝐹2𝑘+1
(8)
Calcular los primeros 12 términos de la sucesión
de Fibonacci.
Solución:
Para encontrar los 12 primero términos de la sucesión
de Fibonacci utilizaremos la formula recursiva dada en
(1):
[
1
1
𝐹
1 𝐹𝑛−1
][
]=[ 𝑛 ]
𝐹𝑛−1
0 𝐹𝑛−2
(12)
Al sustituir (9) en (12) se obtiene
1
[
1
𝐹
+ 𝐹𝑛−2
1 𝐹𝑛−1
][
] = [ 𝑛−1
]
𝐹𝑛−1
0 𝐹𝑛−2
(13)
De esta manera, hemos establecido la representación
matricial de la sucesión de Fibonacci en términos de la
1 1
matriz 𝐴 = [
].
1 0
𝐹
1
3. Empiece con [ 2 ] = [ ], para demostrar que
𝐹1
1
𝐹𝑛
1 1
𝑛−2 1
𝐴
[ ]=[
], donde 𝐴 = [
].
𝐹𝑛−1
1
1 0
Solución:
Con el fin de encontrar la relación de recurrencia,
evaluamos (12) en 𝑛 = 3, 𝑛 = 4 y 𝑛 = 5 para obtener
las siguientes relaciones:
1
[
1
𝑥3
1 𝑥2
] [ ] = [𝑥 ]
0 𝑥1
2
1
[
1
𝑥4
1 𝑥3
] [ ] = [𝑥 ]
0 𝑥2
3
(15)
1
1
𝑥5
1 𝑥4
] [ ] = [𝑥 ]
0 𝑥3
4
(16)
[
(14)
𝑛 = 𝑘 y veamos que también es cierta para 𝑛 = 𝑘 + 1.
En efecto:
1 1 (𝑘+1)−2 𝑥2
]
[𝑥 ]
1 0
1
𝑘−2 𝑥
1 1 1 1
2
=[
][
]
[𝑥 ]
1 0 1 0
1
1 1 𝑥𝑘
=[
][
]
1 0 𝑥𝑘−1
𝑥 +𝑥
= [ 𝑘 𝑥 𝑘−1 ]
𝑘
𝑥𝑘+1
= [𝑥
]
(𝑘+1)−1
=[
Ahora, si se sustituye (15) en (16), se obtiene
1
[
1
𝑥5
1 𝑥3
] [ ] = [𝑥 ]
0 𝑥2
4
1 1
][
0 1
(17)
Donde se ha utilizado la hipótesis de inducción en la
línea tres y el hecho que 𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 + 𝑥𝑘−1 . Esto
demuestra que
Es decir
=[
2
𝑥5
1 𝑥3
] [ ] = [𝑥 ]
0 𝑥2
4
1
[
1
𝑥𝑘+1
1 (𝑘+1)−2 𝑥2
]
[𝑥 ] = [𝑥
]
(𝑘+1)−1
0
1
1
1
12 1
] [
0 1
𝑥5
1 𝑥2
] [ ] = [𝑥 ]
0 𝑥1
4
Por lo tanto, se ha probado que para todo 𝑛 = 1,2, …
[
(19)
Así que
𝑥5
1 3 𝑥2
] [ ] = [𝑥 ]
0 𝑥1
4
1
[
1
𝑥6
1 𝑥5
] [𝑥 ] = [𝑥 ]
0 4
5
1
1
(20)
Solución:
𝐴=[
(22)
1
1
1
]
0
1−𝜆 1
|
1
−𝜆
det(𝐴 − 𝐼𝜆) = (1 − 𝜆)(−𝜆) − 1
det(𝐴 − 𝐼𝜆) = 𝜆2 − 𝜆 − 1
det(𝐴 − 𝐼𝜆) = |
1
[
1
1
]
0
𝑥𝑛
𝑥2
[ 𝑥 ] = [𝑥 ]
1
𝑛−1
(23)
Para toda todo 𝑛 = 2,3,4, … Se procede por inducción
sobre 𝑛. Notemos que para 𝑛 = 2, en (23)
1 1 0 𝑥2
] [ ]
1 0 𝑥1
1 1 2−2 𝑥2
=[
]
[𝑥 ]
1 0
1
𝑥
1 0 2
=[
] [𝑥 ]
0 1 1
𝑥2
= [𝑥 ]
1
(29)
El polinomio característico de 𝐴 está dado por
De las ecuaciones (20) y (22) podemos afirmar que
𝑛−2
(28)
Encuentre una matriz 𝑃 que diagonalice a 𝐴.
4
1
[
1
(27)
Consideremos la matriz 𝐴 definida por:
Y sustituyendo (20) en (21) vemos que
𝑥6
1 𝑥2
] [ 𝑥 ] = [𝑥 ]
0
1
5
𝑥𝑛
1 𝑛−2 𝑥2
]
[ 𝑥 ] = [𝑥 ]
0
1
𝑛−1
𝐹
1
𝐴𝑛−2 [ ] = [ 𝑛 ]
𝐹𝑛−1
1
4.
(21)
1
1
1 1
Ahora, llamando 𝐴 = [
] y observando que
1 0
𝐹2
1
[ ] = [ ] se obtiene el resultado requerido:
𝐹1
1
Repitiendo una vez más este proceso para 𝑛 = 6, en la
relación (12), se obtiene
[
(26)
(18)
Y si se sustituye (14) en (18) queda
1
[
1
(25)
Por lo tanto, la ecuación característica
𝜆2 − 𝜆 − 1 = 0
=[
(30)
(31)
Implica los siguientes valores propios:
(24)
Luego se verifica el paso base. Ahora para el paso
inductivo, supongamos válida la relación (23) para
−(−1) ± √(−1)2 − 4(1)(−1)
2(1)
1 ± √1 + 4
=
2
1 ± √5
=
2
𝜆1,2 =
𝜆1,2
𝜆1,2
(32)
Por lo tanto
𝜆1 =
1 + √5
2
y
𝜆2 =
1−√5
1 − √5
2
Para 𝜆2 =
se procede a resolver el sistema
2
homogéneo (𝐴 − 𝜆2 𝐼)V2 = 0
Son respectivamente los valores propios de 𝐴.
Calculemos ahora los vectores propios asociados.
(𝐴 − 𝜆2 𝐼)V2 =
[
Calculemos ahora el vector propio asociado al valor
propio 𝜆1 =
1+√5
2
1 − √5
1
2
]−
0
[ 0
1
1
(
.
1−(
1 + √5
[𝐴 − (
) 𝐼] V1 = 0
2
(𝐴 − 𝜆1 𝐼)V1 =
(𝐴 − 𝜆1 𝐼)V1 =
1
]−
0
1 + √5
2
(
1−(
(𝐴 − 𝜆1 𝐼)V1 =
1 + √5
)
2
V1
1
1 + √5
−(
)
2
]
1
[
1 − √5
2
(𝐴 − 𝜆1 𝐼)V1 =
1
V1
0
(𝐴 − 𝜆1 𝐼)V1 = [ ]
0
[
−1 − √5
2
−1 − √5
2
1
1
1 − √5
[ 2
[1
0
[2
0
1
1
|
|
2
|
0
|
|
−1 − √5 |
|
0
|
−1 − √5
V2
1
V2
𝑣1
[ ]
√5 − 1 𝑣2
2 ]
1
1
[
0
(𝐴 − 𝜆1 𝐼)V1 = [ ]
0
Lo cual implica
1 + √5
2
𝑣1
[
1
𝑣1
0
[ ]=[ ]
√5 − 1 𝑣2
0
2 ]
1
Aplicando operaciones elementales entre filas
Aplicando operaciones elementales entre filas
1 − √5
2
1 + √5
2
(𝐴 − 𝜆1 𝐼)V1 =
[ ]
−1 − √5 𝑣2
]
2
1
[
1 + √5
2 ])
0
[
0
1 − √5
2 ])
1 − √5
−(
)
2
]
1
[
1
[
1
1 − √5
)
2
0
|
→
| 0
𝑓2 → 𝑓2 ⇄ 𝑓1
|
0
|
]
|
→
| 0
1 − √5
𝑓 → 𝑓2 − (
) 𝑓1
|
0 2
2
|
]
0
0
→
] 𝑓 → 2𝑓
1
1
0
]
0
1 + √5
2
[
1
1
1 + √5
[ 2
[1
0
[2
0
|
|
√5 − 1 |
|
2
−
1
|
√5
|
2
|
1
|
1
0
0
→
𝑓2 → 𝑓2 ⇄ 𝑓1
]
0
→
0
𝑓2 → 𝑓2 − (
]
1 + √5
) 𝑓1
2
|
√5 − 1 | 0
→
] 𝑓 → 2𝑓
2
|
1
1
0
0
|
|
0
√5 − 1 |
]
|
0
0
|
Se sigue que
2𝑣1 + (√5 − 1)𝑣2 = 0
Por lo tanto, el vector propio asociado es
Se obtiene
V2 = [1 − √5]
2
2𝑣1 − (1 + √5)𝑣2 = 0
Formamos la matriz P.
Por lo tanto,
V1 = [1 + √5]
2
𝑃 = [1 + √5
2
1 − √5]
2
(33)
Ahora encontraremos 𝑃 −1 para ello usamos la
propiedad:
(
1
𝑏 −1
) =
𝑎
𝑑
det (
𝑐
𝑎
𝑐
𝑑
𝑏 −𝑐
)
𝑑
−𝑏
)
𝑎
(
1 + 2√5 + 5
4√5
4
(34)
4√5
(
+
𝑃
=
( 2 √5 − 1)
det (1 + √5 1 − √5) −2 1 + √5
2
2
1
√5
0
√5 + 5
det (1 + √5
2
(
1 − √5)
2
0
∴ det (1 + √5
2
2√5
1 + √5
2
∴𝐷=
0
1 − √5
2 )
0
1 − √5) = 4√5
2
(39)
𝑃𝐷𝑃−1 = 𝐴
(1 + √5
2
1
( 2 √5 − 1)
4√5 −2 1 + √5
(37)
1 + √5
2
1 − √5)
2
0
(
1
0
√5 − 1
1
4√5
4√5
−2 1 + √5
𝑃 −1 =
(4√5
→
4√5 )
(2√5
1
∴ 𝑃 −1 =
( 2√5
4√5 )
∴𝐴=(
√5 − 1
2√5
4√5
−1 1 + √5
(2√5
√5 − 1
3 + √5 3 − √5 2√5
4√5
(
)
−1 1 + √5
1 + √5 1 − √5
√5 − 1
2√5
4√5
−1 1 + √5
𝑃 −1 =
√5 − 1
2√5
4√5
1 − √5
−1 1 + √5
2 ) (2√5
4√5 )
1
2
)
Verifiquemos ahora que
Ahora se tiene que:
𝑃 −1 =
√5(1 − √5)
0
(
(
2[2√5]
0
2√5
→
2√5 )
(36)
)
√5(1 + √5)
√5 − 5
2[(1 + √5) − (1 − √5)]
2[(1 + √5) − 1 + √5]
4√5
0
2√5
Calculamos el determinante:
2√5 − 10
0
(
(35)
1
+
4√5 √5
2√5 − 6
1
−
4√5
√5)
√5
4√5
1
4
−
2√5 + 10
Tenemos que:
−1
1
+
1
1
4√5 )
1
)
0
Por tanto, la matriz P que diagonaliza a la matriz
𝐴 es:
4√5 )
Comprobación:
𝑃 𝐴𝑃 = 𝐷
1
𝑃 = (1 + √5
2
(38)
−1
√5 − 1
1 1 1 + √5
2√5
4√5
(
)[
−1 1 + √5 1 0
2
(2√5
1 − √ 5] = 𝐷
2
4√5 )
5.
1 − √5)
2
Deduzca una formula explicita para el 𝑛 −ésimo
término de la sucesión de Fibonacci. Use esta
fórmula para calcular 𝐹1 , 𝐹2 , 𝐹3 .
Solución:
1
2√5
−1
[( 2√5
+
+
4 √5
1 + √5
4√5
1 + √5
4√5
√5 − 1
( 4√5
Se sabe que
1
√5 − 1
2√5
[1 + √5
1
2
−
]
2√5)
1 − √5]
2
1
2√5
(1 + √5
2
1
−
2√5)
1 − √5)
2
(
𝐹𝑚 + 𝐹𝑚−1
𝐹
) = ( 𝑚+1 )
𝐹𝑚
𝐹𝑚
(40)
Escribimos el miembro izquierdo de (40) como un
producto matricial para obtener
(
1
1
𝐹
𝐹
1
) ( 𝑚 ) = ( 𝑚+1 )
𝐹𝑚
0 𝐹𝑚−1
(41)
Entonces, llamando 𝐴 = (
1
1
1
) se obtiene la relación
0
𝐹
𝐹
𝐴 ( 𝑚 ) = ( 𝑚+1 )
𝐹𝑚−1
𝐹𝑚
(43)
𝐹
𝐹
𝐴 ( 𝑛−1 ) = ( 𝑛+1 )
𝐹𝑛−2
𝐹𝑛
Usando la relación recursiva (43) obtenemos la
siguiente cadena de igualdades
𝐹
𝐹
𝐴 ( 𝑛+1 ) = 𝐴2 ( 𝑛−1 ) =
𝐹𝑛
𝐹𝑛−2
(44)
𝐹
𝐹
𝐴3 ( 𝑛−2 ) = ⋯ = 𝐴𝑛 ( 1 )
𝐹𝑛−3
𝐹0
1 − √5
2
(𝜆 − 1)𝑥1 − 𝑥2 = 0
{
}
−𝑥1 + 𝜆𝑥2 = 0
Para 𝜆 = 𝜆1
Tomamos:
(45)
Por el ejercicio 4, sabemos que 𝐴 es diagonalizable. Y
por tanto, 𝐴𝑛 = 𝑃𝐷𝑛 𝑃 −1 . Así que, sustituyendo
Calculamos el polinomio característico
1 0
1
)−(
0 1
1
𝜆 − 1 −1
|
|
−1
𝜆
1
)|
0
𝑃(𝜆) = |𝜆 (
(52)
Despejamos 𝑥1
𝑥1 = 𝜆1 𝑥2
(53)
Solución del sistema
(46)
𝑎𝑛+1
𝑛 −1 1
( 𝑎 ) = 𝑃𝐷 𝑃 ( )
𝑛
0
(51)
Nota: Cuando hacemos el cambio el sistema resultante
tiene infinitas soluciones por lo tanto las ecuaciones
son iguales
−𝑥1 + 𝜆1 𝑥2 = 0
𝐹
𝐹
( 𝑛+1 ) = 𝐴𝑛 ( 1 ) con 𝐹0 = 0 , 𝐹1 = 1
𝐹0
𝐹𝑛
𝑥1
𝜆 𝑥
𝜆
(𝑥 ) = ( 1 2 ) = 𝑥2 ( 1 )
𝑥2
2
1
(54)
Vector característico asociado al valor característico
𝜆1 =
1+√5
2
.
(47)
𝜆2 − 𝜆 − 1
𝜆
𝑣1 = ( 1 )
1
(55)
Para 𝜆 = 𝜆2
Se tiene la ecuación característica:
Tomamos
(48)
𝜆2 − 𝜆 − 1 = 0
−𝑥1 + 𝜆2 𝑥2 = 0
Para resolver la ecuación (48) usamos la formulas:
𝑥1 = 𝜆2 𝑥2
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
(56)
Despejamos 𝑥1
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, donde:
(57)
Solución del sistema
De esta manera de (47) tenemos que:
𝑏 = −1 ;
𝜆2 =
(50)
Para encontrar los vectores característicos asociados a
los valores característicos debemos resolver el
siguiente sistema de ecuación:
De esta manera, vemos que
𝑎=1 ;
1 + √5
2
(42)
Ahora en la igualdad (42) se hace 𝑚 = 𝑛 − 1 para
obtener
𝑥=
𝜆1 =
𝑥1
𝜆 𝑥
𝜆
(𝑥 ) = ( 2 2 ) = 𝑥2 ( 2 )
𝑥2
2
1
𝑐 = −1
Reemplazamos:
(58)
Vector característico asociado al valor característico
𝜆1 =
−(−1) ± √(−1)2 − 4(1)(−1)
𝜆=
2(1)
1 ± √1 + 4
𝜆=
2
1 ± √5
𝜆=
2
1−√5
2
.
𝜆
𝑣2 = ( 2 )
1
(49)
(59)
Formamos la matriz P:
𝜆
𝑃=( 1
1
Valores característicos:
Calculamos 𝑃 −1 .
𝜆2
)
1
(60)
𝑃
−1
1
=
𝑎
det (
𝑐
6.
𝑑
(
𝑏 −𝑐
)
𝑑
−𝑏
)
𝑎
(61)
Determine el límite de 𝐹𝑛 /𝐹𝑛−1 cuando 𝑛 se
aproxima a infinito. ¿Reconoce este número?
Solución:
Sabemos que los primeros 8 términos de la sucesión
de Fibonacci son los siguientes y se determinan de la
siguiente manera:
1
1 −𝜆2
(
)
𝜆1 𝜆2 −1 𝜆2
det (
)
1 1
1
1 −𝜆2
𝑃 −1 =
(
)
𝜆1 − 𝜆2 −1 𝜆2
𝑃 −1 =
En (50) tenemos cuales son los valores de 𝜆1 y 𝜆2 , por
lo tanto, tenemos que:
𝜆1 − 𝜆2
(62)
1 + √5 1 − √5
−
2
2
𝐹1 = 1
𝐹2 = 1
𝐹3 = 𝐹1 + 𝐹2 = 1 + 1 = 2
𝐹4 = 𝐹2 + 𝐹3 = 1 + 2 = 3
𝐹5 = 𝐹3 + 𝐹4 = 2 + 3 = 5
𝐹6 = 𝐹4 + 𝐹5 = 3 + 5 = 8
𝐹7 = 𝐹5 + 𝐹6 = 5 + 8 = 13
𝐹8 = 𝐹6 + 𝐹7 = 8 + 13 = 21
𝐹8 ⋮
Ahora analicemos el comportamiento del cociente
𝐹𝑛 /𝐹𝑛−1 para algunos valores de 𝑛
∴ 𝜆1 − 𝜆2 = √5
Así tenemos que:
𝑃 −1 =
1
1
−1
√5
(
𝑛=1 →
−𝜆2
)
𝜆2
(63)
𝑎𝑛+1
𝑛 −1 1
( 𝑎 ) = 𝑃𝐷 𝑃 ( )
𝑛
0
𝑛=4 →
𝑛=5 →
Sustituimos:
𝑛
𝜆2 𝜆1
)(
0
1
𝜆1
1
1
√5
(
𝜆1
1
1
√5
1
√5
(
𝜆1
1
𝑛=2 →
𝑛=3 →
En (46) teníamos que:
(
(
𝜆1
1
(64)
1 1 −𝜆2
0
1
)[ (
)] ( )
𝜆𝑛2 √5 −1 𝜆2
0
𝑛
𝜆2 𝜆1
)(
0
1
0
1
𝑛) (
−1
𝜆2
𝑛
𝜆2 𝜆1
)(
0
1
−𝜆2 1
)( )
𝜆2
0
𝑛=8 →
1
=1
1
2
= =2
1
3
= = 1,5
2
5
= = 1,667
3
8
= = 1,6
5
13
=
= 1,625
8
21
=
= 1,615
13
34
=
= 1,6190
21
=
(68)
Definamos ahora la sucesión 𝑎𝑛 como
𝑎𝑛 =
𝐹𝑛
𝐹𝑛−1
(69)
Supongamos que 𝑎𝑛 converge a 𝐿 ≠ 0 a medida que
𝑛 → ∞, esto es,
(65)
1 𝜆1𝑛+1 − 𝜆𝑛+1
𝐹
2
( 𝑛+1 ) =
( 𝑛
)
𝐹𝑛
𝜆1 − 𝜆𝑛2
√5
lim 𝑎𝑛 = 𝐿
𝑛→∞
De lo anterior se deduce que:
√5
𝑥1
𝑥0
𝑥2
𝑥1
𝑥3
𝑥2
𝑥4
𝑥3
𝑥5
𝑥4
𝑥6
𝑥5
𝑥7
𝑥6
𝑥8
𝑥7
⋮
0
1
)( )
𝜆𝑛2 −1
Por lo dicho en (46) se tiene que:
1
𝑛=6 →
𝑛=7 →
𝑛+1
𝜆𝑛
− 𝜆𝑛+1
1 𝜆
𝜆2
2
) ( 1𝑛 ) = ( 1 𝑛
)
√5
𝜆1 − 𝜆𝑛2
1 −𝜆2
𝐹𝑛 =
(67)
(66)
(𝜆𝑛1 − 𝜆𝑛2 )
(70)
Como 𝑎𝑛 → 𝐿 entonces la subsucesión definida por
𝑎𝑛+1 también converge a 𝐿
lim 𝑎𝑛+1 = 𝐿
𝑛→∞
(71)
Sustituyendo (50) en (66) se concluye
Afirmamos ahora que
𝑛
𝑛
1 + √5
1 − √5
𝐹𝑛 =
[(
) −(
) ]
2
2
√5
1
𝑎𝑛+1 = 1 +
1
𝑎𝑛
En efecto, usando que 𝐹𝑛+1 = 𝐹𝑛 + 𝐹𝑛−1
(72)
𝐹𝑛+1
𝐹𝑛
𝐹𝑛 + 𝐹𝑛−1
=
𝐹𝑛
𝐹𝑛 𝐹𝑛+1
= +
𝐹𝑛
𝐹𝑛
𝐹𝑛+1
=1+
𝐹𝑛
1
=1+
𝑎𝑛
𝑎𝑛+1 =
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛+1
lim 𝑎𝑛 = lim
(73)
lim 𝑎𝑛+1 = lim (1 +
𝑛→∞
lim 𝐹𝑛+1 = lim (1) + lim (
𝑛→∞
𝑛→∞
lim 𝐹𝑛+1
𝑛→∞
lim 𝐹𝑛+1
𝑛→∞
𝑛→∞
1
= 1 + lim ( )
𝑛→∞ 𝑎𝑛
1
= 1+
lim 𝑎𝑛
Sustituyendo (70) y (71) en (74)
siguiente ecuación en términos de 𝐿.
1
)
𝑎𝑛

(74)

se obtiene la
(75)
1
𝐿
𝐿2 = 𝐿 + 1

(76)
2
𝐿 +𝐿+1=0
Para resolver la ecuación (76) usamos la formulas:

𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, donde:
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
De esta manera de (76) tenemos que:
𝑎=1 ;
𝑏 = −1 ;
𝑐 = −1
𝐿1 =
1 + √5
2
1 ± √1 + 4
2
𝐿2 =
De acuerdo a lo estudiado en este documento
es posible concluir que la sucesión de
Fibonacci es muy importante en las
matemáticas y se ve plasmada en la
naturaleza.
Como lo mencionamos anteriormente la
sucesión de Fibonacci aparece en gran
número de partes mayormente en la
naturaleza por ellos es muy útil en la
agricultura. También puede presentarse en el
arte y todo lo relacionado con lo bello.
Esta sucesión puede emplearse para crear
obras de arte estéticamente perfectas. En
muchas obras aparece una relación con esta
sucesión, por lo tanto, la podemos usar para
crear esculturas, obras de arte, edificaciones
que se consideren estéticamente bellas. Es
bastante hermoso el hecho de que algo tan
abstracto como las matemáticas este tan
relacionado con la estética.
Se comprobó que la secuencia de Fibonacci
está estrechamente relacionada con el
numero áureo, ya que, si se divide cualquier
número de la sucesión por su antecesor, el
cociente siempre se acerca a ϕ
[2]Kolman, B., & Hill, D. (2006). Álgebra Lineal.
México: Pearson Educación.
(77)
1 ± √5
2
y
1 + √5
≈ 1,6180 …
2
[1]Gardner, M. (1987). Miscelánea matemática.
Barcelona: Biblioteca Científica Salvat.
−(−1) ± √(−1)2 − 4(1)(−1)
𝐿=
2(1)
𝐿=
=
3.Referencias
Reemplazamos:
𝐿=
(78)
2. Conclusiones
Multiplicamos por L toda la ecuación
𝑥=
1 + √5
2
Vemos entonces que el número áureo posee
propiedades matemáticas bastante interesantes, y es un
número que está relacionado intrínsecamente con la
naturaleza.
𝑛→∞
𝐿 =1+
𝐹𝑛
𝑛→∞ 𝐹𝑛−1
1
)
𝑎𝑛
=
Que precisamente es el número áureo
ϕ = lim
Haciendo que 𝑛 → ∞ en ambos lados de (72)
𝑛→∞
𝐹𝑛
𝑛→∞ 𝐹𝑛−1
𝑛→∞
1 − √5
2
1−√5
De los valores anteriores, descartamos 𝐿2 =
2
dado que 𝑎𝑛 ≥ 0 para toda 𝑛 = 1,2, … De esta manera,
podemos concluir que
[3]Rocha,
M.
I.
(s.f.).
Obtenido
de
https://www.famaf.unc.edu.ar/~revm/Fibona
cciFinal2.pdf