CONTENIDO 1.- Incertidumbre en las Medidas Científicas 2.- Exactitud y Precisión 3.- Tratamiento estadístico de muestras finitas 3.1.- Medidas de Tendencia Central: Media y Mediana 3.2.- Medidas de Variabilidad: Desviación estándar, varianza y coeficiente de variación 4.- Tipos de errores en datos experimentales 4.1.- Errores sistemáticos (o determinados) 4.2.- Errores Aleatorios (o indeterminados) 4.3.- Errores Brutos 5.- Tabulación de datos y resultados experimentales 6.- Calibración de materiales volumétricos 1.- INCERTIDUMBRE EN LAS MEDIDAS CIENTÍFICAS Cuando se realiza cualquier medición es necesario considerar que existe una incertidumbre y es importante desarrollar habilidades para determinar, analizar los datos y sacar conclusiones que estén realmente justificadas. La mayoría de las técnicas que consideramos para dicha evaluación de datos están basadas en conceptos estadísticos. Cada vez más se reconoce que los métodos estadísticos son eficaces en la planificación de los experimentos que darán la mayor información a partir del mínimo número de mediciones, y para “abreviar” los datos en tal forma que su significado se presente en forma concisa. 2.- EXACTITUD Y PRECISIÓN La exactitud indica cuán cercana está una medición del valor real de la cantidad medida. La precisión se refiere a cuánto concuerdan dos o más mediciones de una misma cantidad. Se refiere al grado de reproducibilidad de la magnitud medida. Para entender la diferencia entre estos dos términos, vamos a ver la siguiente figura donde se ilustra muy bien lo que se quiere aclarar. Figura No.1. Ilustración de la exactitud y precisión por medio del ejemplo de la distribución de impactos en una diana Podemos ver que es posible tener resultados muy precisos (arriba a la derecha) con una media con una gran inexactitud (baja exactitud) y una media exacta (abajo a la izquierda) con datos imprecisos (baja precisión) Después de analizar cada una de las imágenes presentes en la figura No.1, podemos decir: Las medidas muy exactas también suelen ser precisas. Por otro lado, mediciones muy precisas no necesariamente garantizan resultados exactos. ¿CÓMO SE EXPRESA LA EXACTITUD? La exactitud se expresa en términos del error. “Mientras más pequeño sea el error, mayor es la exactitud” Podemos distinguir dos tipos de errores que se utilizan en los cálculos: ● Error absoluto. Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida. Ea = Xi – Xt Donde Xi corresponde a la medida experimental y Xt, al valor verdadero o al valor aceptado. Aquí el significado del término “absoluto” difiere del que tiene en matemáticas. Aquí se entiende el error absoluto como la diferencia entre un resultado experimental y un valor absoluto, incluido el signo. En muchos experimentos se toma como valor real o aceptado (que se acerca al valor exacto) la media aritmética simple de los resultados (ver medidas de tendencia central). ● Error relativo. Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto. No tiene unidades. Frecuentemente este error es más útil que el error absoluto. Er = (Xi – Xt / Xt) x 100 % Ejemplo de cálculo del error absoluto promedio Cuando obtienen un valor por triplicado al cual le van a determinar el error absoluto promedio, deben calcular tres valores absolutos ( Ea 1, Ea 2 y Ea 3)con la fórmula: Ea = Xi – Xt Recordar que Xi corresponde a cada uno de los valores y Xt al valor teórico. Al tener 3 errores absolutos, determinan el Ea promedio: Ea promedio = (Ea1 + Ea2 + Ea3) / 3 Manteniendo cada error absoluto el signo obtenido en su cálculo previo. Recuerden que es importante determinar si el error es por defecto o exceso. Por ejemplo, si se tiene una masa promedio de 2,4990 g y se obtiene un error absoluto promedio de 6,67 x 10-4 para tres valores de masa experimentales, este resultado en el error lo tenemos que redondear a 7 x 10-4, porque el resultado nos indica que la variación está en el número 6 a la izquierda, los otros valores no tienen sentido Y el resultado de la experiencia debe venir expresado como: El valor promedio, 2,4990 y su error absoluto como 0,0007. 2,4990 ± 0,0007, lo que nos indica que hay muy buena exactitud, ya que el error es muy bajo y está afectando el valor de la cuarta cifra decimal a la derecha. Otro ejemplo, si se tiene una masa promedio de 2,4990 g y se obtiene un error absoluto promedio de 0,088 para tres valores de masa experimentales, este resultado en el error lo tenemos que redondear a 0,09, porque el resultado nos indica que la variación está en el número 8 a la derecha y el 8 a su derecha sólo sirve para realizar el redondeo. Y el resultado de la experiencia, obliga a redondear el valor de la masa promedio y debe venir expresado como: 2,50 ± 0,09, lo que nos indica que la exactitud es baja, ya que el error es más alto y está afectando el valor de la centésima. ¿CÓMO SE EXPRESA LA PRECISIÓN? La precisión se expresa por lo general en términos de la desviación. Son tres los términos de uso generalizado para describir la precisión de un conjunto de datos duplicados: desviación estándar, varianza y coeficiente de variación. En este curso sólo vamos a utilizar la desviación estándar (la cual definiremos más adelante, en medidas de variabilidad). Los tres son funciones que informan sobre cuánto difiere de la media (X un resultado Xi, lo que se llama desviación absoluta o desviación media. prom)( ) de Da = Di = ǀ Xi – X prom ǀ En la ecuación anterior, las barras indican valor absoluto. La desviación también puede expresarse en forma relativa, al igual que el error. 3.- TRATAMIENTO ESTADÍSTICO DE MUESTRAS FINITAS Son dos las maneras de justificar el esfuerzo adicional requerido para analizar varias muestras. ● En primer término, el valor central de un conjunto debe ser más fiable que cualquiera de los resultados. Normalmente se usa la media o la mediana como valor central de un conjunto de medidas (medidas de tendencia central). ● En segundo lugar, el análisis de la variación de los datos permite estimar la incertidumbre relacionada con el resultado central. 3.1.- Medidas de tendencia central: media y mediana La medida de tendencia central más utilizada es la media, X prom ( ). Donde, Xi representa cada uno de los valores de X que componen el conjunto de N medidas realizadas. La mediana es el resultado medio cuando los datos se escriben en orden creciente o decreciente. Hay números de resultados iguales mayores o menores que la mediana. Para un número de resultados impar, la mediana se evalúa de manera directa. Si es par, se usa la media del par central. En casos ideales, la media y la mediana son idénticas, pero difieren cuando el número de medidas del conjunto es pequeño. Ejemplo: Calcule la media y la mediana de los siguientes datos: X prom = (19,4 + 19,5 + 19,6 + 19,8 + 20,1 + 20,3) / 6 = 19,78 ~ 19,8 El resultado se está expresando según lo aprendido en cifras significativas. El conjunto tiene un número par de medidas, de modo que la mediana es el promedio del par central: Mediana = (19,6 + 19,8) / 2 = 19,7 Otra medida de tendencia central es “la moda” (valor que más se repite), pero tanto la mediana como la moda son medidas de tendencia central mucho menos eficientes que la media. 3.2.- Medidas de variabilidad Para un número finito de valores, la medida más simple de variabilidad es la dispersión (llamada también el rango), el cual es la diferencia entre el valor más grande y el menor. En estadística, la desviación estándar es mucho más significativa que el rango. Para un número finito de valores se utiliza el símbolo s para denotar la desviación estándar. La desviación estándar se calcula empleando la siguiente fórmula. Xi N = Cada uno observados de los valores = Media = Número de determinaciones Si N es grande (digamos que 30 o más), entonces, por supuesto, es imperceptible que el término en el denominador sea N-1 (lo cual es estrictamente correcto) o N. Recuerde esta premisa al momento de realizar el cálculo directo con la calculadora ya que la mayoría de las calculadoras poseen ambas formas de dicho cálculo. Hay que recordar que la desviación estándar es uno de los tres términos utilizados para describir la precisión de un conjunto de datos experimentales. 4.- TIPOS DE ERRORES EN LOS DATOS EXPERIMENTALES Los análisis químicos se ven afectados por tres tipos de errores: 1.- Error aleatorio (o error indeterminado), hace que los datos se dispersen más o menos de forma simétrica con respecto a un valor medio. En general, la precisión de una medida refleja el error aleatorio. 2.- Error sistemático (o determinado), hace que la media de un conjunto de datos difiera del valor aceptado. En términos generales, la presencia de un error sistemático en un conjunto de resultados, hace que los resultados sean muy altos o demasiado bajos. 3.- Error bruto, éste es diferente de los errores determinados e indeterminados. Por lo general ocurre de manera ocasional, suele ser grande y puede hacer que un resultado sea alto o bajo. Es común que un humano cometa este tipo de error. Por ejemplo, si se pierde parte de un precipitado antes de pesarlo, los resultados analíticos son bajos. Tocar un pesa-sustancia con los dedos después de determinar su masa, origina valores de masa alta de los sólidos que se pesan en él. Los errores brutos dan como resultado valores atípicos que difieren mucho de los demás, en un conjunto de resultados. Para determinar si un resultado es un valor atípico se pueden realizar varias pruebas estadísticas (pruebas o test Q). 4.1.- Errores sistemáticos (o determinados) Los errores sistemáticos tienen un valor definido y una causa asignable, y son de la misma magnitud para varias medidas realizadas de la misma manera. Fuentes de errores sistemáticos: Hay tres tipos de errores sistemáticos: Fuentes de errores sistemáticos: En función de los tres tipos de errores sistemáticos, se puede establecer: (1) Los errores instrumentales, causados por el comportamiento no ideal de los instrumentos, las calibraciones deficientes o el uso de los mismos en condiciones no apropiadas.Los errores instrumentales, causados por el comportamiento no ideal de los instrumentos, las calibraciones deficientes o el uso de los mismos en condiciones no apropiadas. Ejemplo: Las buretas, pipetas o balones aforados pueden contener o entregar volúmenes un poco distintos a su graduación (este error se puede eliminar con la calibración). (2) Los errores de método, que derivan del comportamiento físico o químico no ideal de los sistemas analíticos. Los errores inherentes a un método suelen ser de detección difícil y, por tanto, son el tipo más grave de los tres tipos de errores sistemáticos. Ejemplo: Entre las fuentes de no idealidad están: - la lentitud de muchas reacciones químicas, el hecho de que otras no se completen, la inestabilidad de ciertas especies, la falta de especificidad de muchos reactivos y la posible aparición de otras reacciones secundarias que interfieren en el proceso de medida. - un error de método común en el análisis volumétrico resulta del exceso de reactivo necesario para hacer que un indicador experimente el cambio de color que señala el fin de una reacción. (3) Los errores personales, que resultan del descuido, falta de atención o limitaciones experimentales del experimentador. Ejemplo: Muchas medidas requieren juicios personales. - la estimación de la posición de una aguja entre dos divisiones de la escala, el color de una solución en el punto final de una titulación o el nivel de líquido con respecto a la graduación de una pipeta o una bureta. - Otra fuente de error personal es el perjuicio o predisposición. Muchas personas, sin importar cuán honestas sean, tienen una tendencia natural a estimar las lecturas de escala en una dirección que mejora la precisión de un conjunto de resultados. 4.1.1.- Errores instrumentales (error sistemático) Debido a la propia capacidad de medida que tiene un instrumento de medida analógica, es posible determinar el error instrumental (error cometido en la lectura) debido al propio instrumento. Ei = A / 2 Donde: “A” es la apreciación del instrumento, la cual indica la menor lectura que podemos realizar con ese instrumento. “A” se puede determinar fácilmente: A = (Lectura Mayor - Lectura menor) / No. de divisiones Para equipos digitales: Para determinar el error instrumental, se toma el error en la última cifra que aparece en la pantalla. El error de lectura (instrumental) es igual a la apreciacion del instrumento. La apreciacion no se determina, simplemente es el error instrumental Ejemplo: - Si en la pantalla aparece el número: 9,52, el error instrumental será ± 0,01 Si en la pantalla se lee 12,483, el error instrumental será: ± 0,001 4.2.- Errores aleatorios (errores indeterminados) Numerosas variables no controladas, que son parte inevitable de todos los análisis causan errores aleatorios. La mayor parte de los factores que contribuyen al error aleatorio no puede identificarse con certeza. Incluso, si se pudieran identificar las fuentes de incertidumbre, es imposible medirlas, ya que son tan pequeñas que no pueden detectarse individualmente. - En todas las medidas existen errores aleatorios llamados indeterminados. Este tipo de errores son aquellos que ocurren a pesar de ser muy cuidadoso y meticuloso. Son errores fortuitos que no pueden reducirse más. Con frecuencia, este tipo de errores es la principal fuente de incertidumbre en una determinación. - El efecto acumulativo de cada una de las incertidumbres hace que las medidas repetidas fluctúen al azar alrededor de la media (X prom) del conjunto. Se pueden utilizar métodos estadísticos para evaluar los errores aleatorios. El análisis estadístico de los datos analíticos se basa comúnmente en la suposición de que los errores aleatorios siguen una distribución gaussiana o normal. 5.- TABULACIÓN DE DATOS Y RESULTADOS EXPERIMENTALES - La química por ser unas de las ramas de las ciencias naturales es experimental y cuantitativa, es decir, en el trabajo del laboratorio se tendrá la necesidad de medir magnitudes físicas y químicas disponiendo así de datos experimentales. - Es una norma elemental que dichos datos, deben ser presentados en forma clara y ordenada, y la mejor forma de lograr esto es ubicar los datos en tablas, de modo que en ellas se destinen diferentes columnas a cada conjunto de datos. - La realización de tablas de valores no se limita necesariamente a los datos que se recogen directamente en el trabajo experimental, sino que se extiende a los resultados de efectuar operaciones con dichos datos. Para mayor información, las tablas de datos y de resultados deben poseer un título y un número, en su parte superior. En la parte superior de cada columna, deben aparecer las magnitudes que se miden con sus unidades de medición. Al momento de reportar un dato o un resultado hay que tomar en cuenta el número de cifras significativas que posee la medida de la variabilidad. Debe haber concordancia entre la magnitud medida y su error instrumental. Entre la magnitud y su error o su desviación”. - Así por ejemplo si una media de las medidas tomadas de una balanza digital cuya apreciación es de 0,01 gramos, fue 2,6545678 y la desviación estándar fue 0,0563456 se debe hacer un redondeo y reportar: 2,65 0,06. 6.- CALIBRACIÓN DE MATERIALES VOLUMÉTRICOS La calibración de un material volumétrico de vidrio se realiza midiendo la masa de un líquido (por lo general, agua destilada) de densidad y a temperatura conocida, la cual está asociada al volumen medido por el material volumétrico, por ejemplo pipetas, cilindros graduados etc. Es importante calibrar para establecer con exactitud que los resultados que arroja un instrumento de medida sean los mismos que la magnitud que se mide con él. El objetivo principal de la calibración es determinar el volumen verdadero medido por el material volumétrico. . ¿Cuáles factores pueden alterar un material volumétrico calibrado con anterioridad? Una vez que se calibró un instrumento éste se puede ver alterado por: ● ● Contaminación Daño físico ¿Cómo se determina el volumen de calibración? Se hace uso de una tabla que contiene valores de densidad del agua en función de la temperatura, para conocer la densidad del agua según la temperatura medida utilizando un termómetro y se determina la masa de un determinando volumen de agua medido con el material volumétrico que se quiere calibrar. Conociendo el valor de masa de agua y densidad de agua se calcula el volumen de agua medido por el instrumento, haciendo uso de la ecuación: D = m /V Se determina, entonces, el verdadero volumen medido (calibrado) por el instrumento. Este volumen, posiblemente diferirá del volumen leído por dicho instrumento. Por ejemplo, el volumen leído puede ser 10,00 ml, pero el volumen real (calibrado) puede ser 9,95 ml Se recomienda hacer la calibración realizando el proceso por triplicado de manera de obtener un volumen promedio, así como los valores de exactitud y de precisión, asociados a este volumen calculado. Es necesario que el material volumétrico sea acondicionado previamente, es decir, lavado con agua y jabón, posterior enjuague con agua de grifo y después con agua destilada. No puede haber restos de suciedad o de grasa en el material que se va a calibrar.