CABLES

CABLES
Introducción
Los cables son uno de los tres elementos estructurales de forma activa1. Por ello, a continuación se
indica las propiedades del cable como elemento estructural sometido a tracción, con el propósito de indicar el
comportamiento que rige el elemento, así como las unidades adicionales requeridas para el diseño con
elementos tipo cable, asimismo se indica el procedimiento para estimar las dimensiones de la sección
transversal del cable requerido para el diseño arquitectónico.
Para distinguir las propiedades del cable primero se define el elemento donde se indica las ventajas,
comportamiento ante las cargas que se aplican, materiales empleados para la construcción, elementos
necesarios para garantizar la estabilidad del cable y los principales usos dados a esta unidad estructural.
Posteriormente se señala las ecuaciones y metodología necesaria para establecer las fuerzas que se generan
dentro del cable y así determinar las propiedades del cable necesario para cumplir con las necesidades del
proyecto.
Propiedades de los cables
Definición
Los cables son elementos flexibles debido a sus dimensiones transversales pequeñas en relación con la
longitud, por los cual su resistencia es solo a tracción dirigida a lo largo del cable. La carga de tracción se
divide por igual entre los hilos del cable, permitiendo que cada hilo quede sometido a la misma tensión
admisible. (Salvadori y Heller, 1998; Beer y Johnston, 1977)
Figura 1. Forma que toma el cable según la carga
Nota. De Estructuras para Arquitectos (p.71), por Salvadori, M. y Heller, R., 1998, Buenos Aires, Argentina: Kliczkowski Publisher.
Comportamiento
Por su flexibilidad, los cables cambian su forma de acuerdo a las cargas a las que está sometida y
pueden dividirse en dos categorías:
1
Elementos que trabajan a tracción o compresión (los otros dos elementos estructurales son el arco y la
cercha).
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1. Cables que soportan cargas concentradas. Forma de polígono funicular, esta es la forma natural
requerida para que las cargas sean de tensión.
2. Cables que sostienen cargas distribuidas. Para una carga distribuida horizontal adquiere la forma
de una parábola y para el peso propio adquiere la forma denominada catenaria. (Beer y Johnston,
1977; Salvadori y Heller, 1963)
Ventajas
Los cables son una solución económica puesto que el área necesaria por tracción es menor a la
requerida por compresión; pero a pesar de la eficiencia y economía, los cables de acero no son soluciones
comúnmente empleadas en estructuras pequeñas, ya que el cable es inestable y este es uno de los requisitos
básicos para las estructuras.
Por otra parte, el esfuerzo de tensión de un cable es inversamente proporcional a la altura h. El
problema económico de un cable con una gran altura, es que esto implica una mayor longitud, pero reduce la
fuerza de tracción. (Marshall y Nelson, 1995; Salvadori y Heller, 1963).
Materiales
Debido a que los cables solo sostienen fuerzas de tracción, se hacen de acero.
Elementos
Un cable no constituye una estructura auto portante a menos de contar con medios y procedimientos
para absorber su empuje. En el proyecto de puentes colgantes, este resultado se logra canalizando sobre las
torres la tracción del cable y anclando estos últimos en tierra. Compresión en las torres, flexión en las
armaduras y corte en los bloques de anclaje. (Salvadori y Heller 1998).
Figura 2. Esquema de puente colgante y puente estabilizado por cables.
Nota. De Cable-stayed bridge, por Wikipedia, 2011, [En Red].
Usos
El puente colgante y el puente estabilizado por cables son las formas más usuales de observar sistemas
formados por cables (véase Figura 2), pero existen estadios en los cuales el elemento de soporte es un arco de
concreto armado y el techo esta formados por cables.
En la Figura 3 se observan disposiciones para techos de cables los cuales son una serie de sistemas
paralelos colgando desde el tope de columnas capaces de resistir la flexión y transmitir la carga a la
fundación, vigas o placas unen los cables paralelos. De forma similar se observa la disposición de forma
radial donde el rango de luz entre apoyos es de 80 a 500 m para la disposición paralela y 60 a 200 m de
diámetro para los orientados de forma radial (Engel, 2001; Salvadori y Heller, 1963).
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Figura 3. Esquema de sistema de cables paralelos y radiales.
Nota. De Sistemas de Estructuras, por Engel, H., 2001, Barcelona, España: Editorial Gustavo Gili, S.A.
Predimensionado
Diseño del cable
El tamaño del cable se determina según el diseño por tracción para elementos de acero, tomando en
cuenta que la forma de la sección transversal será como la que se indica en la Figura 4. Cabe destacar que la
tensión bajo carga horizontal uniformemente distribuida se multiplica por un factor de seguridad de 3 y los
esfuerzos últimos de los cordones y cuerdas son respectivamente σult= 13600 kgf/cm2 y σult= 14200 kgf/cm2
(Segui, 2000; Suspension Bridge Technical Data, s/f).
Areq =
3Tmax
σ ult
(1)
Tipos de cables
Guaya galvanizado para cables de guayas paralelas de puentes. El diámetro recomendado 0,196
pulgada.
Cordón galvanizado de puente: formado por varias guayas, de diámetros diferentes y unidos de forma
enrollada.
Cuerda galvanizada de puente: formada por seis cordones torcidos alrededor de un cordón central
(véase Figura 4).
Figura 4. Tipos de cables.
Nota. De Suspension Bridge Technical Data, [En Red].
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Cable parabólico
Llamando w la carga por unidad de longitud (medida horizontalmente). La curva formada por cables
cargados uniformemente a lo largo de la horizontal es una parábola, cuyas ecuaciones se indican a
continuación, según el esquema de la Figura 5 y 6.
wx 2
TO =
2y
Tmax
Donde:
 L
= T + w 
 2
2
2
O
(3)
TO ≡ Tensión mínima del cable en el punto más bajo, en la dirección horizontal (Véase Figura 5).
Tmax≡ Tensión máxima, en la dirección tangente a la curva del cable, en el punto más alto (véase Figura 6);
w≡ Carga horizontal uniformemente distribuida (véase Figura 6);
tan θ =
Donde:
(2)
wx
wx 2
; y=
; W = wx
TO
2TO
(4)
θ ≡ Angulo de la tangente con el cable (véase Figura 5);
x, y≡ Coordenadas x e y medidas desde el origen en la parte más baja del cable (véase Figura 6).
Tmax
θ
TO
w
Figura 5. Esquema del cable parabólico
Tmax
y
θ
y=h
TO
x/2
x
W=w *L/2
W
x=L/2
Figura 6. Diagrama de cuerpo libre del cable parabólico
Catenaria
Cuando el peso del cable se vuelve importante, se realiza el análisis con la carga uniforme a lo largo
del cable. Se denomina wpp al peso del cable por unidad de longitud medido a lo largo del mismo, donde la
magnitud W de la carga total soportada por una porción de cable de longitud s medida desde el punto más
bajo a un punto a lo largo del cable es W = ws. Las ecuaciones para esta configuración se indican a
continuación según los esquemas de las Figuras 6 y 7 (Beer y Johnston, 1977; Das, Kassimali y Sami, 1999).
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Tmax
θ
y
TO
wpp
Y
c
x
X
Figura 7. Esquema de catenaria
s = c senh
Donde:
T
x
; y = h + c ; c = max − h
w pp
c
(5)
s≡ Longitud del arco del cable (véase Figura 8),
wpp ≡ Peso propio del cable,
y, c, W y T se indican en la Figura 7 y 8.
Tmax
y
θ
s
TO
wpp
W=wpps
c
x
Figura 8. Diagrama de cuerpo libre de la catenaria
Los pasos para determinar las tensiones de la forma catenaria son:
0.
Estimar Th0, otorgando un valor a
α que cumpla con la condición α > 1 ; Th 0 =
w pp L
2α
y este
valor se toma como Th1 para el paso 1,
α=
w pp L
(véase Figura 9),
2Th1
1.
Calcular α según la ecuación
2.
determinar Th2 con el valor de α obtenido en el paso 1, según
3.
obtener Th3 según
Th3 = 2Th1 − Th 2 ,
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5
Th 2 =
wpp h
cosh α − 1
,
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4.
5.
el nuevo valor de Th1=Th3 y se repite el procedimiento desde el paso 1 hasta que Th1≈Th3.
Cuando el proceso haya convergido se determina Tmax según Tmax = Th cosh α , con los últimos
valores de Th y α.
Tmax
α
Th
h
wpp
L
Figura 9. Esquema para el cálculo de las tensiones de catenaria
Ejemplo
Predimensionar el arco de la figura:
h
w
L
h= 18 m; L= 50 m; w= 500 kgf/m
Cable parabólico
Para la carga uniforme en la dirección horizontal de 500 kgf/m el cable adopta la forma de una
parábola.
Para resolverlo, se realiza un diagrama de cuerpo libre sobre la mitad del cable cortándose en la parte
más baja del cable.
Tmax
B
θ
h
TO
L/2
W=w*L/2
L/4
w
Diagrama de cuerpo libre del cable.
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La distancia horizontal del punto más bajo al alto es L/2 y se realiza ΣM en el punto B para obtener T0.
∑ M B = 0 ⇒ 18T0 − 500 * 25 *12,5 = 0 ⇒ T0 = 8681kgf
Tmax = TO2 + (wx )
2
Según la Ecuación 2
; tenemos
Tmax = 8680,6 + (500 * 25) ⇒ Tmax = 15218,5kgf
2
2
Areq =
El área requerida se determina al emplear la Ecuación 1
galvanizados de acero
Areq =
15218
⇒ Areq = 3,22
14200
3Tmax
σ ult
donde σult=14200 kgf/cm2 de la Tabla para Torón
cm2
De la Tabla para Torón galvanizado de acero obtenemos que para el diámetro nominal de 3”; A=0,837 cm2 y wpp=28,13 kgf/m
por lo tanto, n cables =
3,22
= 3,8 se colocan 4 cables de 3” por lo que
0,837
A=3,348 cm2 y wpp=112,5 kgf/m.
Catenaria
Para el peso propio del cable, este toma la forma denominada catenaria, luego se aplica el método
indicado para esta configuración.
1.
Se
Th 0 =
estima
w pp L
2α
Th0
⇒ Th 0 =
según
un
valor
Se calcula α según la ecuación indicada si Th1=2557,3 α =
3.
Se
Th 2 =
w pp h
cosh α − 1
condición
α = 1 ,1
112,5 * 50
⇒ Th 0 = 2557,3 ;
2 *1,1
2.
determina
la
con
Th2
⇒ Th 2 =
el
valor
w pp L
2Th1
⇒α =
de
112,5 * 50
⇒ α = 1,1
2 * 2557,3
anterior
α
según
112,5 *18
⇒ Th 2 = 3029,6 ;
cosh (1,1) − 1
Th3 = 2Th1 − Th 2 ⇒ Th 3 = 2 * 2557,3 − 3029,6 ⇒ Th 3 = 2084,9 ;
4.
Se obtiene Th3 según
5.
Se iguala Th1=Th3; es decir Th1=2084,9 y se vuelve al paso 2 hasta que
Th 3 ≈ Th1 .
La siguiente Tabla indica los valores que se obtienen de repetir los pasos 2 al 5.
Iteración
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Th1
2557,27
2084,92
2253,55
2220,18
2229,16
2226,86
2227,45
2227,30
2227,34
2227,33
α
1,1
1,34921164
1,24825347
1,26701420
1,26191163
1,26321516
1,26287632
1,26296401
1,26294129
1,26294718
Th2
3029,62
1916,29
2286,92
2211,20
2231,46
2226,26
2227,61
2227,26
2227,35
2227,33
Th3
2084,92
2253,55
2220,18
2229,16
2226,86
2227,45
2227,30
2227,34
2227,33
2227,33
El procedimiento se repitió 10 veces hasta que Th= 2227 kgf luego con α=1,26294718 se determina Tmax según
Tmax = Th cosh α ⇒ Tmax = 2227,3 cosh (1,26294718) ⇒ Tmax = 4253 kgf
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Comprobación del cable
Con los resultados obtenidos se comprueba que el diseño es capaz de resistir las cargas asignadas
(carga horizontal más peso propio del cable).
Tmax parabolico =15218 kgf ; Tmax catenaria=4253 kgf;
Tmax=Tmax parabolico +Tmax catenaria ⇒ Tmax=15218 + 4253=19471 kgf ;
σ trabajo =
Tmax
19471
⇒ σ trabajo =
⇒ σ trabajo = 5815,8
3,348
A
Debido a que el esfuerzo de trabajo es menor al esfuerzo del cable (5815,8 kgf/cm2 <14200 kgf/cm2),
la solución de 4 cables de 3” es la adecuada.
Longitud del cable
La longitud necesaria de cable se determina según la Ecuación 5.
Tmax catenaria=4253 kgf; wpp= 112,5 kgf/m; tenemos que c es
c=
Tmax
4253
−h⇒c =
− 18 ⇒ c = 19,8m
w pp
112,5
s = c senh
x
 25 
⇒ s = 19,8 * senh
 ⇒ s = 32,19m
c
 19,8 
Dado que s es la mitad del cable, la longitud total del cable es L=2s⇒L=2*32,19⇒L=64,38 m
Referencias
Beer, F. y Johnston, E. R. (1977). Mecánica Vectorial para Ingenieros (Estática Tomo I). Bogotá,
Colombia: McGraw-Hill Latinoamenricana S.A.
Das, B., Kassimali, A. y Sami, S. (1999). Mecánica para Ingenieros. Estática. México D.F., México:
Editorial Limusa S.A. de C.V.
Engel, H. (2001). Sistemas de Estructuras. Barcelona, España: Editorial Gustavo Gili, S.A
Marshall, W. y Nelson, H. (1995). Estructuras. México D.F., México: Alfaomega Grupo Editor, S.A.
de C.V.
Salvadori, M. y Heller, R. (1963). Structure in Architecture. s/d: Prentice-Hall.
Salvadori, M. y Heller, R. (1998). Estructuras para Arquitectos. Buenos Aires, Argentina: Kliczkowski
Publisher.
Segui, W. (2000). Diseño de estructuras de acero con LRFD. México D.F., México: Internacional
Thomson Editores, S.A. de C.V.
Suspension Bridge Technical Data (s/f). Suspension Bridge Technical Data [En Red]. Recuperado 9 de
marzo, 2004. Disponible en: http://www.inventionfactory.com.
Wikipedia (2011, 20 de junio). Cable-Stayed Bridge [En Red]. Recuperado 12 de julio, 2011.
Disponible en http://en.wikipedia.org/wiki/Cable-stayed_bridge.
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Cordones galvanizados de acero
Todos los cordones contienen 7 guayas
Cuerda galvanizada de acero
Diámetro
nominal
plg
Diámetro
nominal
Peso
Area
cm2
plg
kgf/m
1/2
0.77
0.0231
9/16
0.98
0.0295
5/8
1.22
0.0361
11/16
1.47
0.0440
3/4
1.76
0.0521
13/16
2.07
0.0614
7/8
2.40
0.0724
15/16
2.75
0.0817
1
2.98
0.0894
1 1/16
3.42
0.1028
1 1/8
3.88
0.1164
1 3/16
4.35
0.1307
1 1/4
4.79
0.1443
1 5/16
5.33
0.1612
1 3/8
5.79
0.1752
1 7/16
6.38
0.1922
1 1/2
6.99
0.2108
1 9/16
7.60
0.2294
1 5/8
8.21
0.2480
1 11/16
8.90
0.2682
1 3/4
9.60
0.2899
1 13/16
10.30
0.3100
1 7/8
11.04
0.3317
1 15/16
11.83
0.3550
2
12.62
0.3767
2 1/16
13.36
0.4015
2 1/8
14.09
0.4216
2 3/16
15.08
0.4495
2 1/4
16.12
0.4821
2 5/16
16.80
0.5038
2 3/8
17.58
0.5255
2 7/16
18.23
0.5456
2 1/2
19.72
0.5906
2 9/16
20.54
0.6076
2 5/8
21.53
0.6402
2 11/16
22.56
0.6712
2 3/4
23.63
0.7022
2 7/8
25.83
0.7688
3
28.13
0.8370
5/8
3/4
7/8
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
4
1/8
1/4
3/8
1/2
5/8
3/4
7/8
1/8
1/4
3/8
1/2
5/8
3/4
7/8
1/4
1/2
3/4
Peso
Area
cm2
kgf/m
0.97
0.0282
1.41
0.0415
1.90
0.0560
2.49
0.0730
3.14
0.0924
3.93
0.1155
4.78
0.1404
5.68
0.1668
6.71
0.1969
7.80
0.2279
8.97
0.2620
10.19
0.2976
11.50
0.3364
12.89
0.3751
14.30
0.4170
15.77
0.4604
17.29
0.5069
18.96
0.5549
20.69
0.6061
22.49
0.6588
26.79
0.7812
31.25
0.9037
35.72
1.0416
40.18
1.1718
σu (kgf/cm2)
13600
σu (kgf/cm2)
14200