2 fractions exercises

FRACTIONS EXERCISES
Mathematics for Academic Studies 3rd ESO
ALFONSO GONZÁLEZ. I.E.S. FERNANDO DE MENA. MATHEMATICS DEPARTMENT
SECTION 1: Equivalent and irreducible fraction. Comparing fractions
NOTE: In each exercise, it is recommended checking your answers by means of your calculator.
1. Check whether the following fractions are equivalent:
a)
b)
c)
2
and
3
25
16
7
and
5
d) 
and
2
5
and
30
45
(Sol: YES)
5
4
(Sol: NO)
84
60
(Sol: YES)
26
65
(Sol: NO)
2. In each section, simplify –if possible– and amplify to find an equivalent fraction:
a)
3
2
b)
25
16
c)
24
36
d) 
5
8
3. Find out the fractions with a denominator of 100 equivalent to the following ones:
a)
13
25
b)
39
50
c)
11
20
4. Complete the missing terms:
5
7

15

84
5. Express the following fractions in the simplest form (if some of them are irreducible, explain why):
a)
18
90
(Sol: 1/5)
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siempre y cuando se respete la mención de su autoría, y sea sin ánimo de lucro. En otros casos se requiere el permiso
del autor ([email protected])
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b) 
c)
d)
e)
252
108
(Sol: -7/3)
25
16
(Sol: Irreducible)
51
17
(Sol: 3)
37
999
f) 1404
900
(Sol: 1/27)
(Sol: 39/25)
g) 252
420
(Sol: 3/5)
h) 495
330
(Sol: 3/2)
231
770
(Sol: 3/10)
147
231
(Sol: 7/11)
63
110
(Sol: Irreducible)
969
361
(Sol: 51/19)
296
999
(Sol: 8/27)
13
143
(Sol: 1/11)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o) 1 000
99
(Sol: Irreducible)
p) 210
113
(Sol: Irreducible)
q)  660
420
r)
s)
113
339
49
9900
(Sol: -11/7)
(Sol: 1/3)
(Sol: Irreducible)
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6. Find out which of the following fractions are equivalent (do not use the decimal form!):
3
15
,
12
60
,
6
20
and
2
10
7. Reduce 3/4 and 4/5 to a common denominator and put them in order (from smallest to largest).
8. In each section, reduce the fractions to a common denominator and put them in order from smallest to largest:
a) 1
2
3
4
b) 1
2
3
5
c) 1
5
3
4
5
6
7
15

2
7
(Sol: 7/15<1/2<3/5)
9
8
6
5
5
6
(Sol: -2/7<1/5<3/4<5/6<9/8<6/5)
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9. In each case, find any fraction between the two given fractions (do not use the decimal form!). Then, check
your answer using your calculator:
a)
10.
4
5
b)
3
c)
5
2
4
and
and
and
2
3
5
3
4
3
Put the following fractions in order, and find a(n) (irreducible) fraction between the first two ones:
(Sol: 1/13<13/143<2/11)
13
143
1
13
2
11
11.
Use your head: Put the following fractions mentally in order: 
2
3
,
7
5
and
3
4
. Explain your answer.
EXAM
STYLE
12.
Given the following fractions:
3
5
,
4
3
and
5
2
a) Reduce them to a common denominator and put them in order from smallest to largest.
(Sol: 3/5<4/3<5/2)
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b) Represent each one on a number line:
13.
Do the same here:
5
3
,
15
4
,
12
5
and 
2
5
a)
(Sol: -2/5<5/3<12/5<15/4)
b)
14.
a) Mark the following rational numbers on a number line:
2
7
16
3
6
3

5
7

18
5
3
5

4
9
2
b) According to the previous result, arrange them from smallest to largest.
(Sol: -9/2<-18/5<-5/7<2/3<7/6<5/4<3<16/3)
c) Use your calculator to check your answers.
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15.
a) Write the (irreducible) fraction pointed out by the arrow inside each box:
0
1
0
1
0
1
b) In each case, calculate the corresponding decimal expression (indicating the corresponding division). What
kind of decimal are they?
c) Obtain the fraction with a numerator of 18 equivalent to the first one. Explain your answer.
d) Find out an integer number and five (irreducible) fractions between the two last ones. Explain your answer.
16.
Given the following fractions:
5
1
and
6
2
a) Reduce them to a common denominator and put them in order (from least to greatest):
(Sol: 1/2<5/6)
b) Using the previous result find the simplest fraction between the given ones.
(Sol: 2/3)
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c) Show on a number line the two given fractions and the fraction obtained before, and check graphically your
previous answers.
0
0
0
17.
Given
11
21
and
,
6
10
a) In each case, calculate its decimal expression (indicating the corresponding division) What type of decimal
is it?
b) According to the previous result, write an integer number between the two given fractions.
c) Find a(n) (irreducible) fraction between the former integer and the first fraction.
d) Represent the fractions of the problem statement on a number line:
18.
0
1
0
1
a) Write the (irreducible) fraction pointed out by the arrow inside the box:
0
1
2
3
0
1
2
3
Approximately represent 5/3:
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b) Find out the corresponding decimal expression (indicating the division) of the two previous fractions. In both
cases write what type of decimal it is:
5

3
c) Obtain the fraction with a denominator of 42 equivalent to the second one. Explain your process:
5

3
d) Find an integer and a(n) (irreducible) fraction with a denominator of 2 between the two former fractions:
19.
a) Reduce, if possible, the following fractions, explaining your process. If some of them are irreducible, explain
why:
147
231
(Sol: 7/11)
63
110
(Sol: Irreducible)
b) Find a fraction between the two numbers given (do not use the decimal form!). Then, check your answer
using your calculator:
c) Reduce the following fractions to a common denominator and put them in order from smallest to largest
63
110
7
11
11
10
(Sol: 63/110<7/11<11/10)
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d) Mark the last fraction on a number line:
0
20.
Consider the fractions A 
5
2
and B 
1
17
6
a) Find a fraction with a denominator of 18 that is equivalent to B:
b) Reduce A and B to a common denominator and put them in order from smallest to largest:
c) Find a fraction C between A and B (do not use the decimal form!). Then, check your answer using your
calculator:
d) Show A and B on a number line:
e) Calculate the corresponding decimal expression of A and B (and write the divisions). What kind of decimal
are they?
A MATHEMATICAL CURIOSITY: The Italian mathematician Leonardo de Pisa (first half of the 13th
century), better known as Fibonacci, was the first in using the current notation for fractions, that is to say,
two numbers separated by an horizontal bar.
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SECTION 2: Adding and subtracting fractions
1. Work out these fractions, giving your answer in the simplest form (as in the examples):
a)
3 1 4
 
5 5 5
o)
7 3
 
3 2
(Sol: 5/6)
2 1
 
5 2
(Sol: 9/10)
8 7
 
5 2
(Sol: -19/10)
4 1
 
3 8
(Sol: 35/24)
5 2
b)
 
3 3
p)
c)
5 1
 
6 6
q)
d)
7 2
 
5 5
r)
e)
2 3 4  9 13
 

3 2
6
6
s) 2 
1 6 1 7


3
3
3
f)
2 3
 
5 2
t) 1 
7

5
(Sol: 12/5)
2

3
(Sol: 7/3)
5
2
3
(Sol: 11/3)
1
3 
3
(Sol: -8/3)
g)
(Sol: 19/10)
3 1
 
4 2
u) 3 
(Sol: 5/4)
h)
7 2 35  6 29
 

3 5
15
15
v)
i)
4 1
 
3 2
w)
j)
k)
l)
m)
4 1
 
3 2
3 2
 
2 3
2 3
 
3 2
1 5
 
5 2
1 2
 
n)
4 7
(Sol: 5/6)
x) 
(Sol: 11/6)
y)
(Sol: 5/6)
6 3
 
3 2
z) 
(Sol: -5/6)
) 
(Sol: 27/10)
2 4
 
3 5
(Sol: -22/15)
(Sol: 7/2)
9 1
 
4 2
(Sol: -11/4)
3 1
 
5 3
(Sol: -14/15)
2

5
(Sol: 13/5)
10 49


9
45
(Sol: 11/5)
) 3 
(Sol: -1/28)
)
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)
1 1


3 15
)
(Sol: 2/5)
3 31


8 63
(Sol: -59/504)
2. Do the same here:
a)
3 2 1 18  20  15 53
  

5 3 2
30
30
b)
3 1 2
  
2 4 3
j)
3 1 2
  
2 4 3
(Sol: 7/12)
k) 
(Sol: 29/12)
c)
3 1 2
  
2 4 3
(Sol: -13/12)
3 1 3
  
5 3 2
l)
(Sol: 53/30)
2 1 3
  
7 3 2
(Sol: 89/42)
1 2 5
d)   
6 3 2
m)
(Sol: -5/3)
1 1 1
  
3 6 2
(Sol: 2/3)
1 5
e) 1   
3 2
n) 2 
1 4
 
3 5
(Sol: 23/6)
(Sol: 23/15)
f)
7 1 2
  
3 3 5
o) 1 
(Sol: 46/15)
g)
8 2
 2
5 3
(Sol: 2)
p)
(Sol: 64/15)
h)
7
1
 1 
2
3
1 2 1
  
3 5 6
(Sol: 17/30)
q)
(Sol: 29/6)
i)
1 3
 
4 4
1 1 3 7
   
2 4 5 3
(Sol: 191/60)
5 3 1
  
6 4 3
(Sol: 23/12)
r)
1
1
1



5 29 145
(Sol: 7/29)
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1 1 1
1
 


2 3 15 50
s)
v) (*)
(Sol: 23/25)
(Sol: 7/29)
w)  8 
25 6 4
1

 

9
81 3 27
t)
1
1
1
1
1





6 24 58 87 232
8 2
  10 
3 4
(Sol: -1/6)
(Sol: 4)
x)
25 6 1
u)

 
4 16 8
3
3
1



21 84 28
(Sol: 1/7)
(Sol: 6)
3. Work
out, alternating in each section between supressing conveniently brackets or calculating
expressions inside of brackets (as in the examples):
a)
1  3 2  1 3 2 15  18  20 23


   

2  5 3  2 5 3
30
30
b)
7  4 1  7 8  3 7 5 42  20 22 11


 
  


4  3 2  4
6
4 6
24
24 12
c)
2 1 4



5  2 3 
 supressing brackets
s
t
e
k
c
a
r
b
f
o
e
d
i
s
n
i
s
n
o
i
s
s
e
r
p
x
e
g
n
i
t
a
l
u
c
l
a
c

(Sol: 37/30)
5 1  1 2
d)        
8 6 2 3
(Sol: 23/24)
5 
1 4
 1    
2 
3 5
(Sol: 59/30)
e)
f)
2 
4 1 3
 2    
3 
5 3 4
2 1 3
g) 1      
9 3 4
h)
1  5  1 4 




2  2  3 5  
 2 1  3 
i) 1        
 7 3  2 
(Sol: 233/60)
(Sol: 67/36)
(Sol: -37/15)
(Sol: -19/42)
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SECTION 3: Products and divisions of fractions
1. Calculate the following products, simplifying every step (not only at the end!) (See the examples):
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
3 7 3ꞏ7 21
ꞏ 

5 2 5ꞏ2 10
5 2 5ꞏ2
5ꞏ 2
5
ꞏ 


4 3 4ꞏ3 2ꞏ 2 ꞏ3 6
5 3
ꞏ 
6 4
(Sol: 5/8)
7 2
ꞏ 
5 5
(Sol: 14/25)
2 3
ꞏ 
3 2
(Sol: 1)
23 3
ꞏ

5 23
(Sol: 3/5)
3 1
ꞏ 
4 2
(Sol: 3/8)
7 2
ꞏ

8 14
(Sol: 1/8)
4  1
ꞏ 

3  5 
10  11 
ꞏ 

3  2 
 3  7 
k)    ꞏ   
 2   12 
l) 16ꞏ
m)
n) 44ꞏ
13

8
15 21
ꞏ 
14 5
(Sol: -4/15)
(Sol: -55/3)
(Sol: 7/8)
(Sol: 26)
(Sol: 9/2)
7

11
(Sol: 28)
o)
7 6 1
7ꞏ6
7ꞏ 3 ꞏ 2
7
ꞏ ꞏ 


3 5 4 3ꞏ5ꞏ4 3 ꞏ5ꞏ 2 ꞏ2 10
p)
2 1 7
ꞏ ꞏ 
5 2 8
(Sol: 7/40)
2 5 3
ꞏ ꞏ 
9 4 2
(Sol: 5/12)
4 8 1
ꞏ ꞏ 
3 5 3
(Sol: 32/45)
q)
r)
s)
t)
1  12  7
ꞏ 
ꞏ 
3  5  3
1
7
ꞏ4ꞏ 
8
5
 2  7  25 
u)    ꞏ ꞏ 

 3  5  21 
v)
5 7 5
ꞏ ꞏ 
3 2 4
w) 3ꞏ
x)
y)
z)
1 6
ꞏ 
27 5
6  3  4 
ꞏ  ꞏ 

3  2   13 
9 1 8
ꞏ ꞏ 
4 2 3
4 3 7
ꞏ ꞏ

9 5 6
(Sol: -28/15)
(Sol: 7/10)
(Sol: 10/9)
(Sol: 175/24)
(Sol: 2/15)
(Sol: 12/13)
(Sol: -3)
(Sol: 14/45)
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) 3 ꞏ
)
108

72
2 7 3 5
ꞏ
ꞏ ꞏ 
3 15 4 2
)
(Sol: 9/2)
δ)
(Sol: 7/12)
3
3  14 
ꞏ 8 ꞏ ꞏ 

7
5  9 
(Sol: -16/5)
22 21 20
ꞏ
ꞏ

25 24 23
(Sol: 77/115)
15 21
:

14 5
(Sol: 25/98)
2. Do the same:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
4 5 4ꞏ2
8
: 

3 2 3ꞏ5 15
m)
5 7 5ꞏ2
5ꞏ 2
5
: 


4 2 4ꞏ7 2ꞏ 2 ꞏ7 14
n) 90:
5 3
: 
6 4
(Sol: 10/9)
o)
7 5
: 
5 2
(Sol: 14/25)
7 2
: 
5 5
(Sol: 7/2)
100 50
:

3
7
(Sol: 14/3)
3 1
: 
4 2
(Sol: 3/2)
7 2
:

8 14
(Sol: 49/8)
4  1
: 

3  5 
10  11 
: 

3  2 
 3  7 
k)    :    
 2   12 
l) 25:
5

4
(Sol: -20/3)
(Sol: -20/33)
(Sol: 18/7)
(Sol: 20)
9

7
(Sol: 70)
7
:14 
3
(Sol: 1/6)
2 7
p)  : 
5 8
(Sol: -16/35)
q)
r)
s)
t)
5 3
: 
4 2
4 8
:

3 5
(Sol: -5/6)
1 7
: 
3 3
(Sol: -1/7)
 1 7
:

8 5
(Sol: 5/56)
 2   10 
u)    :    
 3   21 
v)
(Sol: 5/6)
(Sol: 7/5)
5 5
: 
3 4
(Sol: 4/3)
6

5
(Sol: 5/2)
w) 3:
 1  1
x)    :    
 2  3
(Sol: 3/2)
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siempre y cuando se respete la mención de su autoría, y sea sin ánimo de lucro. En otros casos se requiere el permiso
del autor ([email protected])
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y)
z)
)
9 1

:
4 2
(Sol: -9/2)
4
:  2  
9
 4
) 1:    
 5
)
3

4
)
) 1:
12

18
(Sol: 120)
5 1
:

6 12
(Sol: 10)
(Sol: 2/9)
4
:1
3
) 1:
3

5
) 72 :
3
1
:

108 72
(Sol: 2)
(Sol: 3/2)
3. Do the same here:
a)
b)
c)
d)
3 2 7 3 ꞏ2ꞏ2
4
ꞏ : 

5 3 2 5ꞏ 3 ꞏ7 35
3 1 2
: ꞏ 
2 4 3
(Sol: 4)
3 1 3
ꞏ : 
5 3 2
(Sol: 2/15)
1 2 5
3 ꞏ5
3 ꞏ 5
5


: ꞏ 
6 3 2 6 ꞏ 2 ꞏ 2 3 ꞏ 2 ꞏ 2 ꞏ 2 8
e) 1 :
f)
g)
h)
7
3
1 5
ꞏ 
3 2
 1
ꞏ 
 3
(Sol: 15/2)
 2
: 5 

8 2
ꞏ :2
5 3
(Sol: -35/18)
(Sol: 8/15)
i)
7
1
:12 ꞏ 
2
3
5 3 1
: : 
6 4 3
(Sol: 7/72)
(Sol: 10/3)
3  1  2
: 
ꞏ 

2  4   3 
(Sol: 4)
 3  1 2
k)    ꞏ    : 
 2  4 3
(Sol: 9/16)
j)
l)
4
3
4 2
ꞏ :  
5 3
 3  1 2
m)    :    : 
 2  4 3
(Sol: 9)
 3   1  2 
n)    :    :  
 2   4  3 
(Sol: 4)
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SECTION 4: Combined operations with fractions (I)
1. Work out the following mixed operations, simplifying every step (not only at the end!). Remember hierarchy
rules (BEDMAS):
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
1 3 2
ꞏ


2  2 3 
(Sol: 13/12)
1 3 2
ꞏ  
2 2 3
(Sol: 17/12)
1 3 14
 ꞏ

2 2 5
(Sol: 47/10)
2 1 4 1
ꞏ   
5 2 3 6
(Sol: 41/30)
2 1 4 1
 ꞏ  
5 2 3 6
(Sol: 9/10)
2 1 4 1
:  : 
5 2 3 6
(Sol: -36/5)
5 1

8 6
1 2
ꞏ   
2 3
(Sol: 47/72)
5 1 1 2
 ꞏ  
8 6 2 3
(Sol: 29/24)
17 1 4
ꞏ  
15 5 3
(Sol: 39/25)
5
1 4
 1: ꞏ 
2
3 5
(Sol: 1/10)
2 
4 1
 2 :   
3 
5 2
(Sol: -7/3)
12) 1 
3 2 1 2
:   
4 9 3 3
(Sol: -49/24)
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13)
1  2 2  3 
1  2  2  3 
14) 4 ꞏ

343
16 45 7 17
ꞏ 
3:


64
49 4 4 16
3  2 1  2
15) 1   :      
4  9 3  3
(Sol: 11/15)
(Sol: 12)
(Sol: 85/12)
1 5 1 4
 ꞏ 

2 2  3 5 
(Sol: 5/3)
1 5 1 4
17)    ꞏ  
2 2 3 5
(Sol: -22/15)
16)
1 5 1 4
18)    ꞏ   
2 2 3 5
(Sol: 14/15)
2 3
 1 4
19)    1 :    
3
2

 4 3
(Sol: -2/13)
20)
21)
22)
23)
24)
2 3
1 4
   1:   
3 2
4 3
2 3
 1 4 

 1:     
3  2
 4 3 
1 2 1 3
ꞏ

 
5  7 3  2
3
2
(Sol: -37/6)
(Sol: 7/78)
(Sol: -317/210)
1 6 3

ꞏ      3  
3 5 2

(Sol: -11/5)
1

: 2   1
5

(Sol: 38/27)
1 8 5
ꞏ 
2 3 3
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1 2 1 6
2
25)   3   :  ꞏ 
3 3 3 5
5
26) 4 :
27) 8 ꞏ
28)
64
25 45 5 17
ꞏ 
 3ꞏ


125
16
4 4 16
65
25
 7ꞏ

23
23
2 1
:
3  3

5 1

ꞏ 1     5 
3 2


(Sol: -19/5)
(Sol: 12)
(Sol: 15)
(Sol: 12/89)
3 6 4 2
29) 4  ꞏ   : 4 
8 5 3 3
(Sol: 283/60)
3 6 4 2

30) 4  ꞏ   : 4  
8 5 3 3

(Sol: 249/80)
 2 1  3 
31) 1:     ꞏ  
 7 3  2 
32)
1 1 1 1
:
 :

35 35 7 35

5  7 2 15    2 
33)  5  :   ꞏ   ꞏ   
6  5 5 4   5 

34)
1
 1

1  3
2 
4


 1  =
:
ꞏ

35  7
5 
13  3
 4

35) 2  3 ꞏ 4 :  1  3 ꞏ 1   1
3 2 9 
5 6
(Sol: -14)
(Sol: -4)
(Sol: 4/3)
(Sol: 2/3)
(Sol: -31/33)
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36) 3 ꞏ
37
7
23
 2ꞏ
 4ꞏ

7
4
56
37) 6 : 23  11ꞏ 25 
65
23
38) 2 ꞏ
37
7
23
 3ꞏ
 2ꞏ

7
4
56
1 
1  
1
 1 1  5 
39)        2   ꞏ  1    ꞏ  1   
2
3
2
3
7
3

 

 
 

40) 2 ꞏ
301
109
5
 3ꞏ
 2ꞏ

65
65
13
 51

 51

41) 5 ꞏ  2 ꞏ
 3   8 ꞏ 4 ꞏ
 9 
 22

 22

42) 3 ꞏ
301
109
5
 2ꞏ
 4ꞏ

65
65
13
(Sol: -75/7)
(Sol: 5)
(Sol: -43/7)
(Sol: 1/2)
(Sol: -5)
(Sol: 6)
(Sol: -9)
2. ¿True or False? If false, correct the mistake:
a)
A +B
A

B
2
2
b)
A + BC
A
BC


2
2
2
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SECTION 5: Combined operations with fractions (II)
1.
Calculate the following mixed operations, simplifying every step (not only at the end!) and taking hierarchy
rules (BEDMAS) into account!:
2 4
5 4
a)


(Sol: 3/4)
4

4
(Sol: 0)
c)

16

4
(Sol: -3)
d) 
4
2 3
5 5

b)
5 5

(Sol: -14/3)
e)  32  1  4   16  3  2  
2


·
1 3
6 5
1 4
f)


·
1 3
6 5
1 4



1 5
·
1
2 3
h)

(Sol: 16)
(Sol: 7/10)

(Sol: 1/15)
2 3
1 2
·
4 3
(Sol: 0)
2
1 3


j)  
k)  


(Sol: -7/3)
l)   1  1  1  ꞏ 6 


(Sol: 13/15)
1 5
·
2 3
1
i)   
2
(Sol: 13/20)
g)   


2
3 5
(Sol: -1)
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·
1 3
6 5
4 5
·
1 3
2 5
m) 


o) 1 
4 3
2
7

14

(Sol: 151/36)
8 3
5 4
ꞏ


(Sol: -34/75)
2
1 1




8 3
·
5 4
1 3
t) 
2
1 1
4 3
·
1 3
1 2
1 2
2

1
(Sol: 19/30)
·
1 3
6 5
4 5
·
1 3
2 5
4
s) 
(Sol: 1/3)









r) 

1 1 2
 ꞏ 
2 3 5
p)  
q)





(Sol: -8/15)
2 5
·
1 3
1 2
1
n)  

1
5


2

ꞏ
7

(Sol: 157/36)

(Sol: -1/14)
1 4 2  1 5
ꞏ 
 ꞏ 
2  7 14  2 7
(Sol: 1/7)
u) 21  19 :  1  2 ꞏ 15   9 : 3 
2
5
2
1 5

 
 2 




3 2
3 4

 

5


 


6 8
1
:
4 3
1
1 2
2
3 4




:




(Sol: -11/2)
4

(Sol: 26/9)
4
9
1 2



5
1 1
5 6
:
4 3
1
2 2
y)



2 3
1 3
x)

5
1 8
2 5
5 5
1





2
0 9
1
3 2
7 9
1
w)

1 5
:
4 3
v)
5 8 
(Sol: 73/15)
(Sol: 1/2)
2

 1
 
4
(Sol: -3/4)
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SECTION 6: Combined operations with fractions (III)
1.
Work out the following mixed operations, simplifying every step (not only at the end!). Remember
hierarchy rules (BEDMAS)!:
1 6
 
  
 
3 4
1
2 3
a)

 


(Sol: 13/12)
b) 4  7 ꞏ 3  1  2  1   7  4: 6 
5
3
5
7
2 3
(Sol: 13/10)
5
c) 2  5  3  4   5   3 : 4  12 
(Sol: 193/60)
d) 2  1 :  2  7  2  5  
(Sol: 112/55)
4 5
3
5 
10 
3
5
4

5
3
4
e)  2  4  2  ꞏ 3  7 : 4 
(Sol: -797/280)
33
7
23
 3ꞏ
 2ꞏ

7
4
56
(Sol: -28)
7
f) 5 ꞏ
8
5
2
5 7
g) 21  15 ꞏ 16  15  12 : 5  3 
5

1 3



1 2

 

3 4

1 2
 
 
 
(Sol: 291/10)
4
6 5

4
1 3



30
2 5

1 5



3
3 2
2 3
h)
4



(Sol: -37/20)
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siempre y cuando se respete la mención de su autoría, y sea sin ánimo de lucro. En otros casos se requiere el permiso
del autor ([email protected])
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ALFONSO GONZÁLEZ. I.E.S. FERNANDO DE MENA. MATHEMATICS DEPARTMENT

(Sol: 31/165)
(Sol: 259/225)

 

(Sol: 71/30)
1







 

(Sol: -1)
(Sol: 19/36)
2 5
1
:
1 6
3
1
2
5

6
3
5



5 8
1
2 3
4 3
:
4 3
1 2

 
 
 




1 1 
ꞏ   
 6 15 
3 8

2 3
3 2
q)




1 6
6
2 1
1
:
4 5
p)




 

7 2
2 3

 

2

1
 1 4   1 
5
n)    ꞏ  1 ꞏ 3 
3
 3 5   3 

o)
1 5

(Sol: -49/30)
(Sol: 29/20)
1 8
7 2
5 4
5 4


1 
 4
  4 5 
m)   7 :  
 6 2   3 12 






 

 
 
 

2

 

1 4
2 5
2
2
   
    
  
4 3
1 3

 
   
 
1 9
4 3




1 2
4

 

 
 
 



0
7 1
3
5 2
 
 
 
3 8

l) 


2 5






k) 
1 2
4 3



2
j)
2
i)

 

(Sol: 23/26)
(Sol: 1)
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SECTION 7: Operations with stacked fractions (I)
1.
Calculate the following operations using complex fractions, simplifying every step (not only at the end!) and
taking hierarchy rules (BEDMAS) into account! (See the example):
1 21 2
3 52 3
11

11ꞏ6 11ꞏ2ꞏ3
33
 10 


1

10
2ꞏ5
5
6

a)

1 21 3
3 43 5


b)

(Sol: 25/4)
1 35 6
21 2
5 1
c)


:
(Sol: 5/36)
1 3
1 2
26
55


2 3
d)

(Sol: 7/24)

1 6
1 6 :
3 23 2
1 21 2
e)







3

 







(Sol: 35/27)
4 9
: 1 3
2
2
5
2 6
1 5
3 5





1 5
4 9
h)
 
 
 
5 4
1

(Sol: -39/17)

2 3
2
4 3 1
:
1 3
2

 
g) 
1 3

4
2 3
: 2 5
1 2
3 5
f)
(Sol: 1/16)







(Sol: 27/17)
 
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3
3
1 51 5
·
1 31 3
·
1 21
2

1
i)
1
EXAM
STYLE



 
   

 

 


(Sol: -73/98)
1
1
1
1
1
j) 2  7  14  112  224
1 1 1
1
1
 


2 8 16 32 112

(Sol: 1)
1 2  31

2  3  5  : 5

k) 

2 3 4  1
 ꞏ :  
3 2 9  2
(Sol: -1/2)
l)
3 2
6 7
 3:  
2  5
5  20

3 4  6 4

 3  2 ꞏ 10  : 5  5


(Sol: 20/11)
5
·
74 92
16 73
·
4

  : 
 
m)  3
2 
4
 : 
5 
7
74
13 1
5
1
 :3  8
3

n)

7

 1 1
3 : 4   3 8



+
:
13

:

(Sol: -2600/931)
(Sol: -245/51)
20  1
2
o) 7 ꞏ  5  3 
3 2
7 :   
4 5

(Sol: 1/15)
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1 1
 2 9
 2 : 3  2 · 5  5



p)
1 2
1 5 2
:
·


3  3
3 2  3
(Sol: -9/20)
1 7 5 1

3    : 
4 8 2 2
q) 

 3 1 1   1 19 


:


 

 4 2 3   8 12 
(Sol: -5/8)
35 35
+
2
2
15 15
+
35 35
1  


:


  
10  



r)
1  


 :  :   
10  


(Sol: -104/29)
1 2
1
2
1

1
s)






2 7 2 7



1 3 1 3

 

1 2 1 2

3
2 5
t)
3
:
2 5



(Sol: 9/4)

3
1

1 3


(Sol: -47/606)
3






 



1 2
:
5 2
2 7
1 7
 
 
 
9 4
2 3 1 3
1
:
3 5
u)

 


(Sol: 1323/3665)





5


5

1 41 4
:
:
3 23 2
2 52 5
·
1 3 1·
3
1 21
2
v)

 


(Sol: -31/9)
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




(Sol: 81/50)
1 3
1 22 3
6 5






2 36 4
1


2 5

1 2 1 3


 
2 5
6 3
x)
2 5 5 2
·
·
2 1 3
1 3 2 3
:
1 2 :
1 3


w) 



(Sol: 893/1512)
2
3


1 4


2


1
·
1 4 16

1 35 2
1 2 2
y)
(Sol: -49/130)



7
1 3

5 42 5
1
: 5 3
3 41
5 3
z)

(Sol: 205/162)
2 5
3 23 2
:
71 2
8 2
·
·
7
3 28 2
·
1 2
3 2
:
2 5 3
3

 
) 

 



















(Sol: 59/32)



2
13
2





29 65

34 13
24
14
)




(Sol: 55/152)
)
5 2 2
 :
3 3 5
14 13

3
3

1  3
  3   ꞏ
2  11


2
 1
:   3 
5
 2
(Sol: 13/41)
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SECTION 8: Operations with stacked fractions (II)
1.
Work out the following operations using complex fractions, simplifying every step (not only at the end!). Take
hierarchy rules (BEDMAS) into account!:
1 
2 25 
:2  ꞏ

3
5
8 

a)

 2 1  25


:
2
ꞏ


 5 3  8
1
5 3
:
2
b)
2
2
:
1 51 5
1
:
2
5 3


  



 
1
(Sol: 8/5)

3
3
2 5
2 5
1 3
1 3
2 3 2:3
1 2 1 2
1 7 1 7


  

e) 







(Sol: 311/342)

2
3







(Sol: -21/380)
3

1 6





(Sol: 108/299)
2 3
2 2 4
3 83
: 1 3
2 3
3 5


1
 

1
5
59 2
92
:
:
3 53 5
8 38 3
1 21 2

(Sol: 139/39)

2 3
3
2
3


h)
(Sol: 585/347)
1 2
1

g)



 



1
1

f)



(Sol: -125/189)
0
0
1 91 9
·




1


:
:

d)
1 51 5
3 5
3 5
2 52 5
:
1 21 5
3 53 5
c)

(Sol: -64/455)
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




 



4
2
5
6 7
3
1

3 2
2
3
:
:
3
3



3 2



2 5 2 5
7 8 7
8 2
2
3 2

1 2
j)
1 2
i)









(Sol: 59/32)
(Sol: 233/151)




 


 


1






 

 
25 32





0 45
72
65
65 :
:
0
3 41




3




4
4

 


(Sol: -11/13)
(Sol: 20/11)

13 13
·
23 23
:
:
15 15
23 23
 






(Sol: 128/33)
(Sol: 325/21)







 

3 2 3 2
1 5 1 5
:
:
1 3 1 3
2
2








32


 

q)







p)
 

 
1 5 1 5


o) 

1 5 1 5




1 4
3
3 9
0 3 6
2 5
3 4 1





4 :
2 2
0
5 1
5 3
1 6
1 3
3 5


n) 









(Sol: 1/2)
(Sol: -125/28)




2 5 2 5
:
:
1 5 1 5
2 3 2 3
2
2
2 3 2:3
4 3 4 3

 


m)




2
1 5
2 31 3
5
1 82 3
2 3
0
3 29 1

2 3
l)
5
:
9
2 6 8 9
2 1
3
2
:
4 5
2 32 3
3 1
5 2
3 2




k)








(Sol: 131/23)
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SECTION 9: Decimal expression of a fraction
1. Work out the decimal expression of the following fractions, by dividing numerator and denominator without
using your calculator, and indicate the type of decimal obtained in each case:
a)
5
3
(Sol: Pure repeating decimal)
b)
7
6
(Sol: Mixed repeating decimal)
9
5
(Sol: Exact decimal)
d)
17
6
(Sol: Mixed repeating decimal)
e)
51
3
(Sol: Integer)
c) 
f) 
g)
84
210
111
240
(Sol: Exact decimal)
(Sol: Exact decimal)
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h)
3
20
(Sol: Exact decimal)
i)
5
12
(Sol: Mixed repeating decimal)
j)
51
50
(Sol: Exact decimal)
k)
25
18
(Sol: Mixed repeating decimal)
l)
1
11
(Sol: Pure repeating decimal)
m)
8
3
(Sol: Pure repeating decimal)
n)
3
8
(Sol: Exact decimal)
o)
4
15
(Sol: Mixed repeating decimal)
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12
5
(Sol: Exact decimal)
q)
231
175
(Sol: Exact decimal)
r)
21
440
(Sol: Mixed repeating decimal)
s)
84
120
(Sol: Exact decimal)
t)
1
120
(Sol: Mixed repeating decimal)
u)
3
7
v)
21
60
(Sol: Exact decimal)
w)
23
60
(Sol: Mixed repeating decimal)
p) 
(Sol: Pure repeating decimal)
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A MATHEMATICAL CURIOSITY: Some examples of long repetend numbers:
Number of
repeating figures
Examples
6
1/7=0 . 142857
6
1/13=0.076923
6
1/21=0.047619
16
1/17=0.0588235294117647
22
1/23=0.0434782608695652173913
PRACTICAL RULE TO FIND OUT IF AN IRREDUCIBLE FRACTION IS EQUAL TO AN EXACT OR
REPEATING DECIMAL (without doing the division): "If the only prime factors of its denominator are 2
and/or 5 then its decimal expression is exact; otherwise, is repeating"
2.
3.
(In your notebook) Repeat exercise 1, but this time use the practical rule.
(In your notebook) Apply the practical rule to find out what type of decimal (exact or repeating) the following
fractions are equivalent to, and check your answers by doing the divisions:
a)
b)
4.
5.
1
3
7
23
1
3
23
1
7
16
12
1
7
2
20
50
21
12
18
18
35
9
3
7
23
13
2
3
23
132
7
4
5
20
25
3
7
9
21
6
(Sol: E, E, E, R, R, R, E, R, R, E, R)
(Sol: E, E, E, E, R, R, R, R, R)
Apply the previous rule to find, in each case, three fractions equivalent to:
a)
Integers numbers:
b)
Exact decimals:
c)
Repeating decimals:
MENTAL CALCULATIONS: Write the decimal expression of the following most common proper fractions:
1
2
=
1
3
=
1
4
=
1
5
=
2
3
=
3
4
=
2
5
=
And then, convert the following proper fractions to a decimal number by decomposing (rounding off to 2
decimal places), as in the examples:
a)

16 15 1
1

  5   5  0 .3  5 .33
3
3
3
3
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siempre y cuando se respete la mención de su autoría, y sea sin ánimo de lucro. En otros casos se requiere el permiso
del autor ([email protected])
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b)
9

4
c)
4

3
d)
4 .5 4  0 .5 4 0 .5

 
 2  0 .25  2 .25
2
2
2
2
e)
3 . 75

3
f) 7 ꞏ
1

5
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SECTION 10: Decimals and their corresponding fraction
1. Express as a(n) (irreducible) fraction and check your answers by dividing numerator and denominator (Do not
use your calculator!):
1)
0.25
(Sol: 1/4)
2)

0.6
(Sol: 2/3)
3)

0.23
(Sol: 7/30)
4)
0.12
(Sol: 3/25)
5)

0.12
(Sol: 11/90)
6)

0.12 35
7)
1.125
8)
0 . 126
(Sol: 14/111)
9)

0.345
(Sol: 311/900)

(Sol: 1223/9900)
(Sol: 9/8)

.
10) 118
(Sol: 107/90)

11) 1.23
12) 25.372
(Sol: 37/30)
(Sol: 6343/250)
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
13) 12 . 20
(Sol: 1208/99)

14) 5.135
(Sol: 2311/450)

15) 12.13 40
(Sol: 120127/9900)

16) 24.121

17) 0.012
(Sol: 21709/900)
(Sol: 2/165)

18) 0. 012
(Sol: 4/333)

19) 3. 09
(Sol: 34/11)

20) 1.5 6
(Sol: 47/30)
21) 2.56
(Sol: 64/25)
22) 1.012
(Sol: 253/250)

23) 1.012
(Sol: 167/165)

24) 1. 012
(Sol: 337/333)
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
25) 2. 21
(Sol: 73/33)

26) 2.0 3
(Sol: 61/30)
27) 20.5
(Sol: 41/2)

28) 1.12
(Sol: 37/33)

29) 1.12
(Sol: 101/90)
30) 1.12
(Sol: 28/25)

31) 3. 09
(Sol: 34/11)

32) 1.5 6
(Sol: 47/30)
33) 1.012
(Sol: 253/250)

34) 0.047 72
(Sol: 21/440)
35) 9 .32
(Sol: 233/25)

36) 47. 72
(Sol: 525/11)
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
37) 2. 6
(Sol: 8/3)

38) 0. 0099
(Sol: 1/101)
39) 0.375
(Sol: 3/8)

40) 0.2 6
(Sol: 4/15)
2. Explain why a repeating decimal whose repetend part is 9 actually does not exist, that is to say, it is no use in
considering 0.9 or 0.09 .
EXAM
STYLE
3. Work out the following operations in two different ways (and verify that the same result is obtained):
1st Doing the decimal operation, directly (without calculator).
2nd Converting each decimal into its corresponding fraction, like in the example a):


a) 0.3  0.6 
3
9

6
9

9
9
1
(Sol : 1)

.  0.15 
b) 03

(Sol : 49 / 330 = 0.148
)

c) 0.4  0.1 
(Sol : 2 / 45 = 0.04)


d) 3. 1  2.03 
(Sol : 463 / 90 = 5.14)
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
e) 4 ꞏ 2.5 
(Sol : 92 / 9 = 10.2)
f)


4. 89 3. 78 
(Sol : 10 / 9 = 1.1)

g) 8 - 2.7 
(Sol : 47 / 9 = 5.2)

h) 1.5 ꞏ 3.3 
(Sol : 5)


i) 1.25  1.16  1. 1 
(Sol : 43 / 36 = 1.194)


j) 1.1  1.01 
(Sol : 1 / 10 = 0.1)
k)
1 .5

1.25
(Sol : 6 / 5 = 1.2)

1.0 1
l)
 
1. 01
(Sol : 1001 / 1000 = 1.001)
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4. Convert each decimal into a fraction and calculate the result of the following operations:



a) 2 . 7 ꞏ1. 8  2 . 26 : 0 . 113 



b) 1.92  0.25 (0.25  0.5) 
c)
(Sol: 25)

2.7 
(Sol: 17/8=2.125)

(Sol: 5/3= 1.6 )



d) 0.83  0.8 : 0.6 


(Sol: -11/30= 0.36 )

e) 4.083ꞏ11. 1  0.15 : 0.3 


f) 0.6  1.38ꞏ0.72 


(Sol: 1211/27= 44. 851 )

(Sol: 5/3= 1.6 )

g) 2.5 ꞏ 1. 1  2.2 
(Sol: 5)
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

.  118
.
ꞏ 18
. 3
h) 101

(Sol: 953/300= 3.176 )
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SECTION 11: 19 Word problems involving fractions
1.
a) How much is the half of 300 m3?
b) What is a third of 90 kg?
c) Work out two thirds of 90 kg.
d) Work out 1/5 of 1 000 euros.
e) Calculate 4/5 of 1 000 euros.
f) What is half of a half of a dozen?
g) How many days are in a third of a half of September?
h) Calculate the 5% of 1000 €.
i) Calculate 5% of 20% of an amount.
(Sol: 1%)
2. The reverse problem:
a) The half of my age is 20. How old am I?
b) A third of my savings is 150 €. How much money do I have?
c) Two fifths of Ana’s savings are 6 $. How much money does she have?
(Sol: 15 €)
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d) 10% of an amount is 15. What is this amount?
e) 3/8 of a total country population is 6 000 000 inhabitants. What is its population?
3.
(Sol: 16 000 000 inhabitants)
f) 15 % of a the total price of a consumer good is 9 €. What is its price?
(Sol: 60 €)
g) 20 percent of the total price of a book is 12 $. How much is the book?
(Sol: 60 $)
h) 60 % of a product is 21 €. How much does it cost?
(Sol: 35 €)
i) 78 is 15% of what number?
(Sol: 520)
Juan has spent 18/45 of his savings, María 21/35 and Pedro 4/5. Who has spent more? (Do not use decimals!)
(Sol: Pedro)
4.
Juan has eaten 2/5 of a pie and María has eaten 4/7 of the other one. Who has eaten more? (Do not use
decimals!).
(Sol: María)
5.
Miguel eats 1/4 of a cheesecakeand later eats 2/5 of the cheesecake. What fraction remains?
6.
The cost of a Ford is 2/13 of the cost of a Rolls Royce. If the current price of a
Rolls Royce is € 211 250, what is the cost of a Ford?
7.
8.
9.
(Sol: 7/20)
(Sol: € 32 500)
The price of tracksuit pants is 4/5 of the price of the matching top. If the two
items together cost € 36, find the price of each.
(Sol: pants € 16, tops € 20)
A family spends 1/3 of its weekly budget on rent, 1/4 on food, 1/8 on clothes,
1/12 on entertainment, and the remainder is banked. How much is banked if
the weekly income is € 864.72.
(Sol: pants € 180.15)
Raúl used 1/3 of a length of pipe and later used 2/3 of what remained. What fraction of the pipe is left?
(Sol: 2/9)
10.
9/10 of the weight of a loaf of bread comes from the flour used in its baking. 2/9 of the weight of the flour is
protein /ˈprəʊtiːn/. What fraction of the weight of the loaf is protein?
(Sol: 1/5)
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FRACTIONS EXERCISES
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11.
12.
A farmer has 364 ewes1 and each ewe has either one or two newborn lambs. If there are 468 lambs in total,
what fraction of the ewes have twin lambs?
(Sol: 2/7)
A tree is losing its leaves. Two thirds fall off in the first week, two thirds of those remaining fall off in the second
week, and two thirds of those remaining fall off in the third week. Now there are 37 leaves. How many leaves
did the tree have originally?
13.
14.
(Sol: 999 leaves)
A butcher sells 2/3 of his hamburger patties2 on Monday and 1/2 of the
remainder on Tuesday. What fraction of the patties remains unsold? (Sol: 1/6)
A lemon drink is mixed using one part lemon juice to seven parts water. If
250 ml of lemon juice is used, how much water should be added?
(Sol: 1 750 ml)
15.
At a Real Madrid vs Barcelona basketball match, the ratio of supporters is
5:3. If there are 4 000 in the crowd, how many are Real Madrid supporters?
(Sol: 2 500)
16.
Find, in minutes, 3/8 of 2 hours and 16 minutes.
17.
How many 2.4 m lengths of wire can be cut from a roll 156.4 m long? How much wire is wasted?
(Sol: 51 minutes)
(Sol: 65 lengths; 40 cm)
18.
A profit of € 85 000 is to be split amongst two business owners in the ratio 3:2. What is the smaller share?
(Sol: € 34 000)
19.
A painter paints 1/3 of a house on one day and 1/4 of the house on the next day. What fraction of the house is
yet to be painted?
(Sol: 5/12)
1
2
Ewe, in Spanish “oveja hembra” (cordera, borrega), is pronounced as “you”.
Patty: hamburguesa, medallón de carne (o pescado) // empanada, empanadilla
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