ESTÁTICA SERIE DE EJERCICIOS COMPOSICIÓN Y RESOLUCIÓN DE FUERZAS, MOMENTOS DE FUERZAS CON RESPECTO A PUNTOS Y A EJES Febrero de 2011 1. Conocido el vector equipolente de la fuerza F = -4800i - 3600 j - 2500k [N ], dibujarla y obtener todas sus características. ® Resp. ® F xi = -4800i [ N ] ® F yj = -3600 j [ N ] ® F zk = -2500k [ N ] Fx = 4800N Fy = 3600N Fz = 2500N ® F = 6500N ® e F = -0.738i - 0.554 j - 0.385k a = 137.56° b = 123.64° g = 112.64° cos a = -0.738 cos b = -0.554 cos g = -0.385 2. Dada la fuerza, a través de su expresión vectorial F = 3i + 4 j [N ], determinar sus características. ® Resp. ® F xi = 3i [ N ] ® F yj = 4 j [ N ] F x = 3N Fy = 4N ® F = 5N ® e F = 0.60i + 0.80 j a = 53.13° b = 36.87° cos a = 0.60 cos b = 0.80 3. La placa de la figura está sujeta a la acción de las cinco fuerzas mostradas. Determinar las y expresiones vectoriales de éstas. Resp. F2 230 N ® F 1 = 200i + 200 j [N ] ® F 2 = 230 j [N ] ® F 3 = -170i [N ] F3 170 N 2N 45° x 0 ® 30° F 4 = -150 j [N ] F5 200 N ® F 5 = 173.2i - 100 j [N ] F1 200 F4 150 N 2 4. Tres fuerzas actúan sobre el cuerpo ubicado en el plano inclinado de la figura. Sabiendo que α = 40° obtener los vectores equipolentes correspondientes. y F=80 N 2 Resp. F=120 N 3 ® F 1 = 60i [N] α N α F=60 1 ® F 2 = 61.28i + 51.42j [N] x ® F 3 = 77.13i - 91.92j [N] 20° 5. El cable en el extremo del punto de sujeción de la grúa ejerce una fuerza F = 250 N. en el anclaje como se muestra en la figura. Expresar F como un vector cartesiano. Z Y 70° Resp. 30° ® [ ] F = 217i + 85.5 j - 91.2k N X F=250 N 6. La fuerza F que actúa en la estaca tiene una magnitud de 100 N. Obtener su vector equipolente representativo. z F 5 3 4 y 70° x 7. Un buque de vapor está siendo jalado por los dos remolcadores mostrados en la figura. El origen del sistema está en el buque de vapor tal como se indica; el remolcador 1 ejerce una fuerza F1 y el remolcador 2 una fuerza F2 . Las magnitudes de F1 y F2 son de 10 KN. Determinar los respectivos vectores Y fuerza. Obsérvese la denominación de los ejes. P Q1(10,-25,-18) Resp. F1 ® X F 1 = 3.08i - 7.71j - 5.55k [KN] Remolcador 1 ® F 2 = 4.15i - 7.20 j + 5.55k [KN] Q2 (15,-26,20) Z F2 Remolcador 2 3 8. Sobre la placa de la figura actúan las tres fuerzas mostradas. Determínense los vectores fuerza representativos de cada una de las fuerzas indicadas. y 316 kg x A 7,5 cm 7,5 cm 500 kg 361 kg B C 5 cm 5 cm 9. Cada una de las fuerzas que actúan en el punto E tienen una magnitud de 28 KN. Expresar cada fuerza como un vector. Los puntos A, B, C y D se ubican en el plano XY. Resp. Z ® F EA = 12i - 8 j - 24k [KN] ® F EB = 12i + 8 j - 24k [KN] E ® FEA F EC = -12i + 8 j - 24k [KN] FEB ® F ED = -12i - 8 j - 24k [KN] F EC FED D 12 m A 6m 4m 4m X C B 6m Y 10. El pescante AB de la figura está sostenido por un soporte de bola y cuenca en A y por los cables CD y CE. Si las tensiones en cada cable son de 1000 lb y están dirigidas hacia el punto C, expresar dichas tensiones a través de sus vectores equipolentes. 4 Z 3 pie E 4 pie 4 pie D A 4 pie 2 pie 4 pie X C Y B 11. Sustituir el sistema de fuerzas de la figura por una sola fuerza capaz de producir los mismos efectos externos; proporcionar además la magnitud y los ángulos directores de la citada fuerza. Resp. ® y 100 lb R = 60.22i + 29.37 j [lb ] 60° ® R = 67 lb 100 lb 30° a = 26° x 20° b = 64° 45° 100 lb g = 90° 100 lb 12. El cuerpo que se observa en la figura está bajo el efecto de las cuatro fuerzas mostradas. Determinar la resultante, su magnitud y sus ángulos directores. ® N [ ] y 300 N R = 170.01i + 230.22 j N 2 ® R = 286.19 N Resp. 1 3 4 a = 53.55° x b = 36.45° 5 g = 90° 2 12 130 N 3 180,5 N 13. Los cables A, B y C ayudan a soportar la columna de una estructura. Las magnitudes de cada una de las fuerzas ejercidas por los cables son iguales y valen 68.2 KN. Proporcionar la magnitud de la fuerza capaz de sustituir, en cuanto a efectos externos se refiere, a las tres fuerzas ejercidas por los cables. 6m A 4m B C 4m 4m 5 ® Resp. R = 200KN 14. Determinar la magnitud y los ángulos directores de la resultante de las dos fuerzas mostradas en la figura. z F2 =250 N 5 3 4 y 60° 60° ® 30° R = 369N 45° F1 =350 N x Resp. a = 19.5° b = 78.3° g = 105° 15. En la figura el peso W = 600 N. y las fuerzas en los cables AD, BD y CD tienen una magnitud de 300, 400 y 500 N., respectivamente, obtener la fuerza resultante, su magnitud, sus ángulos directores y un punto de su línea de acción o soporte. (Los puntos A, B y C se ubican en el plano xy). B 2m ® 2m [ ] R = -108.47i + 0.14 j + 229.44k N Resp ® z 2m 1m 1m A R = 253.79N y 2m a = 115.30° b = 89.97° x g = 25.30° C D D( 0, 0, - 2 ) W 16. Descomponer la fuerza de 250 N que se aplica en la estructura de la figura en dos componentes, una en dirección de la barra RQ y otra en una dirección perpendicular a ésta. Para la solución pedida utilizar los siguientes procedimientos: a) Trigonometría; b) Postulado de Stevinus; c) Producto Escalar. R 45° 250° N P 20° Q Resp. FRQ = 234.92N F^ RQ = 85.50N 6 17. La fuerza de 140 N actúa en el punto A de la estructura de la figura. Descomponer la fuerza mencionada en tres componentes en las direcciones ortogonales L, M y N, mismas que son paralelas a los ejes x, y y z, respectivamente. Resolver el problema aplicando los métodos Trigonométrico, Postulado de Stevinus y Producto Escalar. N z Cable Resp. A FL = 40N L M FM = 60N FN = -120N 6m 140 N C 2m 2m O 3m x B 3m y 18. Cuatro miembros de una armadura transmiten las fuerzas que se indican. Determinar las componentes cartesianas de dichas fuerzas. y F1200 x = 1200N Resp. 1000 N 70 N F1200 y = 0N F1000 x = 866.02N 45° 30° F1000 y = 500N F70 x = 49.50N P 500 N 1200 N x F70 y = -49.50N F500 x = -500N F500 y = 0N 19. Obtener las componentes cartesianas de las fuerzas aplicadas en la barra de la figura. Z 700 N 1.0 m 2.4 m 0.6 m 0.5 m 0.8 m 0.4 m 0.7 m A x y 1.2 m 300 N 500 N 20. Descomponer la fuerza F de la figura en dos componentes, una perpendicular AB y otra paralela a BC. 80 N 3 F 5 C Resp. 35 ° A B 7 FBC = 39.78N F^ AB = 50.24N 21. En la figura la fuerza P de 500 N. está aplicada a una pequeña polea. Obtener las componentes vectoriales de la fuerza en las direcciones CB y CA. Considérese que el ángulo a es de 30°. y A 30° B 45° C o x ® Resp F CA = 431.17i - 251.83 j [N ] ® P F CB = -181.17i - 181.17 j [N ] 22. La lámpara de la figura pesa 20 N., descomponer dicha fuerza, en sus componentes oblicuas, tanto escalares como vectoriales, en las direcciones AB y AC. Utilizar el procedimiento de trigonometría y el Postulado de Stevinus. y 4m ® Resp. ® C [ ] F AB = -8.394i - 10 j N ® B 50° [ ] F AC = 8.394i - 10 j N ® F AC = F AB = 13.05N 40° A X 23. El motor M de la figura está sujeto a la acción de una banda que produce las tensiones Ta y Tb. Si la fuerza resultante de estas dos tensiones se ejerce a lo largo de una dirección que forma un ángulo de 60° con la vertical, y tiene una magnitud de 500 N, descomponer la resultante en dos componentes a lo largo de las direcciones Ta y Tb. Ta 45° M Tb 20° NL Resp. Ta = 205.47N Tb = 306.17N 8 24. La fuerza F = 60i + 12 j - 40k [N ] de la figura debe descomponerse a lo largo de las direcciones BA, CA y AO. Determinar dichas componentes. ® z 0.75 m 1m BA = 88.62N Resp. 1m m C B CA = 29.61N AO = 47.18N 1.5 m o y A 3m x F 25. Una placa circular de 600 N. de peso, contenida en el plano xy, está suspendida por tres alambres que forman ángulos de 30° con respecto a la vertical y se encuentran unidos a un soporte en D. Descomponer la fuerza del peso en tres componentes en las direcciones de los alambres AD, BD y CD. Z D 0 A C 50° 60° B 40° Y X 26. Un collarín puede deslizar verticalmente en una varilla y está sujeto a la acción de tres fuerzas. La dirección de la fuerza F puede ser variada. Determinar la dirección de la fuerza F y la magnitud de ésta de manera que la resultante de las tres fuerzas sea horizontal y su magnitud sea de 996.37 N. 240 N 160 N 60° ® Resp. F = 915N a = 69.53° F 27. Encontrar las magnitudes de las fuerzas F1 y F2 que se aplican al perno de la figura, si se sabe que la fuerza resultante es F y tiene una magnitud de 10 N, como se indica. Las tres fuerzas se ubican en un espacio bidimensional. (10 N) F F1 30° 45° F2 9 ® F 1 = 13.7N Resp. ® F 2 = 7.07N 28. La altura h = 10 cm. y la tensión en el cable AD es de 200 N. ¿Cuáles son las tensiones en los cables AB y AC para satisfacer la condición de que la fuerza resultante del sistema sea nula? B 12 cm A D C 12 cm 8 cm 12 cm h 8 cm TAB= 136.91N Resp. TAC= 84.79N 29. Las fuerzas que operan en la placa de refuerzo de un nudo en una armadura de un puente, actúan como se observa en la figura. Determinar los valores de P y F para que la fuerza que sustituya al sistema sea nula. 2000 N P 45° 15° ® 60° F = 1671.466N Resp. ® F = 400.518N F 1500 N 30. En la figura F1 = F2 = 30 N, determinar los ángulos θ y φ de tal forma que la fuerza resultante esté dirigida a lo largo de la parte positiva del eje x y tenga una magnitud ® R = 20 N. 10 y F1 x F2 Resp. q = j = 70.5° 31. Se aplica una fuerza de 5 kN. en el punto A de la varilla acodada ABC. Encontrar el momento de la fuerza con respecto al punto C mediante: a) El caso trivial, calculando el brazo de palanca d de la fuerza. b) El caso trivial, descomponiendo la fuerza en componentes en dirección de los ejes x y y. c) El producto vectorial. 600 mm C B 450 mm 5 kN A 30o Resp. MC = –3448.5kN . m 32. Cuatro fuerzas actúan sobre la parte de máquina mostrada en la figura, calcular el momento de cada una de las fuerzas con respecto al punto 0. Utilícese el caso trivial, determinando la distancia d. Considérese al sistema placa-fuerzas en el plano xy. 4 kN ® M2KN = -600k [KN × mm ] ® 30° ® Resp. M3KN = 0 [KN × mm ] ® M4KN = 361k [KN × mm ] ® 2 kN 300 mm ® M5KN = 0 [KN × mm ] 0 3 kN 300 mm 5 kN 400 mm 33. Sobre un tablón de 3.6 m de largo y peso despreciable actúan las fuerzas P ( vertical ) y T ( horizontal ) de 100 y 200 N, respectivamente. Calcular el momento resultante de las fuerzas con respecto a los puntos A y B. Emplear el caso trivial, si es necesario descomponer las fuerzas. 11 P 0 ,9 1 ,5 m B m T A 1 ,2 m 36,9° 60° 34. Utilizando el caso trivial, descomponiendo las fuerzas inclinadas en dirección de los ejes indicados, determinar el momento resultante de las fuerzas que actúan en la viga de la figura con respecto a los puntos A y B. 50 N Resp. 5m Y 130 N M A = 1830 N × m O M B = 2950 N × m x 50 N 12 340 N 5 8 A 4m 8m B 15 10 m 4 6m 3 100 N 35. En las patas delanteras de una silla plegable actúan las cuatro fuerzas mostradas. Determinar el momento resultante de dichas fuerzas con respecto al punto B. D P = 600 N Hy = 300 N Ay = 300 N 30 ° P = 600 N P C y + B E F 30 ° 0.25 m G 35° 35° x 0.25 m H A Ay Hy Resp. MB = 0N m 36. ¿Cuál será el momento resultante con respecto al punto P de las fuerzas que actúan en la placa de la figura? Utilizar el producto vectorial para la solución del problema. y 150 lb P A x 45° 45° C 12 45° B Cuadrícula de 2 x 2 in. 37. Sobre una varilla actúan las tres fuerzas que aparecen en la figura. Determinar el momento resultante que éstas crean con respecto a la brida en el punto 0 y calcular su magnitud. z F1 =-60i+40j+20k [lb] Resp. ® M 0 = 30i - 40 j + 60k éëlb × ft ùû A F2 =50j [lb] O ® M 0 = 78.10lb × ft y 2 ft x 4 ft B 5 ft F3 =80i+40j-30k [lb] 38. Se colocan cuatro paquetes sobre una mesa, los cuales ejercen fuerzas del modo que se muestra en la figura. Calcular el momento de cada una de las fuerzas con respecto a los puntos A y B que se indican. Z 100 mm 0 X Y 400 mm 400 mm 40 N 50 N 40 N 60 N A B 100 mm 100 mm 200 mm 100 mm 39. Una barra rígida que tiene la forma que aparece en la figura está sostenida por tres anillos lisos de apoyo en A, B y C. Obtener el momento de cada una de las fuerzas indicadas con respecto a los anillos A y B. A 10 cm Resp. D Z P= 39 N 15 cm B F = 26 N E 7,5 cm 10 cm Y 10 cm X C 13 ® 26 M A = 390 j + 520k [N × cm ] ® 39 M A = 390 j [N × cm ] ® 26 M B = 195 j + 260k [N × cm ] ® 39 M B = 390i [N × cm ] Z 40. La lámpara de la figura tiene un peso de 138 N y es sostenida por el poste A0 y los cables AB y AC. Si la suma de momentos con respecto al punto 0 del peso y de las fuerzas en los cables es nula, calcular las tensiones en dichos cables. 1.5 m A B 4m O C Y 2m 6m 1.5 m 1.5 m Resp. TAB = 103.448N TAC = 80.558N x 41. Determinar el momento resultante, con respecto a los puntos A y C producido por las fuerzas que actúan en la armadura de la figura. Aplicar el caso trivial, en los casos en que sea posible, sin descomponer las fuerzas. Z 240 N 250 N 275 N 200 N H 150 N G E 100 N D 10 m F C A y 9m B X 11 m 42. Un poste vertical AE está sostenido por cables desde A hasta B, C y D. Si las tensiones en cada cable están dirigidas hacia abajo y sus magnitudes son T AB = 128N, T AC = 176N y T AD = 126N y la fuerza resultante de estas tres tensiones es una fuerza R vertical de magnitud 373 N y pasa por el punto A; determinar el momento de la resultante con respecto al punto F y comprobar el resultado aplicando el Teorema de Varignon. 14 AZ 3,6 m 2,7 m 1 ,2 m 0,9 m C 1,8 m E 1 ,2 X B m D F Y ® Resp. MF = 671.4i [N × m ] 43. El mástil de la figura tiene un acoplamiento esférico en el punto 0 y permite la rotación en cualquier dirección. Las tensiones en los alambres AB y CB tienen una magnitud de 500 y 750 N, respectivamente. Si 0A = 0C = 3 m, 0B = 4 m y 0D = 5 m, determinar las coordenadas vectoriales de cada tensión y comprobar que dichos vectores son perpendiculares entre sí. Z D B O A Y C X ( ( Resp. , 1200i N × m [ ] , - 1800 j N × m TCB º -450i + 600k N [ ]) [ ] TAB º -300 j + 400k N [ ]) 44. Dados los vectores A = -i - 2 j + 2k [N ] y B = 6i - 6 j - 3k [N × m ] ® ® a) Demostrar que esta pareja ordenada de vectores puede servir como coordenadas ® vectoriales de una fuerza F . ® b) Hallar la magnitud F y los cosenos directores de dicho vector. ® c) Hallar la ecuación vectorial del soporte de F . ® d) Encontrar las ecuaciones del soporte de F en forma paramétrica y simétrica. e) Obtener los puntos de intersección del soporte de la fuerza con los planos coordenados. ® b) F = 3N cosa = - 31 cosb = - 32 cosg = 2 3 15 ® Resp. c) d) r = (2 - t)i + (1 - 2t)j + (2 + 2t)k x-2 -1 = y-2 -2 = z-2 2 x = 2 - t, y = 1 - 2t, z = 2 + 2t e) Pxy (3, 3, 0) [m ] Pxz ( 3 2 , 0, 3) [m ] Pyz (0, - 3, 6) [m ] 45. Las coordenadas del punto A de la lámpara ajustable son (0.2, 0.5, 0.7)[m] . Encontrar los ® ® ® momentos M x , M y y M z del peso W de la lámpara alrededor de los ejes x, y y z, respectivamente, si la lámpara tiene una masa de 1.5 kg., mediante: a) El caso trivial b) El producto vectorial A Z W ® Mx = -7.35i [N × m ] O Y ® Resp. My = 2.94 j [N × m ] X ® Mz = 0k [N × m ] 46. La placa rectangular está conectada con bisagras al eje y está ubicada en el plano xy. ® ® ® Determinar los momentos M x , M y y M z de la fuerza F = 30i - 50 j + 180k [N ] a través del caso trivial obteniendo las componentes de la fuerza y mediante el producto vectorial. ® Z ® Mx = 540i [N × m ] Resp. 3m ® My = -720 j [N × m ] ® Mz = -290k [N × m ] 3m O 4m A D C 2m Y B X F 47. Para cada una de las fuerzas que se aplican en la armadura de la figura, y mediante el caso trivial, calcular su momento con respecto a cada uno de los ejes coordenados; todas las fuerzas son paralelas a algunos de los ejes coordenados. 16 11 0 N z 70 N 10 0 N 80 N 90 N 4m 4 m 60 N 50 N 2m 2 m 30 N x 10 N 40 N y 20 N ® 48. Determinar el momento de la fuerza F mostrada en la figura respecto a la barra BC. Z ( 0 ,0 , 4 ) m C F = - 2 i+ 6 j+ 3 k (k N ) A ( 4 ,2 , 2 ) m B X Y ( 3 ,0 , 0 ) m Resp. M = -6.96i + 9.28k [KN × m ] BC 49. La armadura mostrada en la figura, la cual consta de seis elementos, se sostiene mediante un eslabón corto en A, dos eslabones cortos en B y una rótula en D. Para la carga mostrada, determínese su momento con respecto al eje AB. Z 7 ft 7 ft A 10 ft X B O 24 ft Resp. D C Y 400 lb ® MAB = -3151.95i + 4505.15k[lb.ft] 50. Determinar el momento resultante de las fuerzas que actúan en la armadura espacial de la figura con respecto a un eje que pasa por E y por D. La línea de acción de la fuerza de 5 KN coincide con la barra BC. 17 1m 1m A F=3 kN 2m X F=5 kN 2m B 1,5 m Resp. Y ® MED = 1.1686i + 1.1686k [kN × m ] 18
