Esfuerzo cortante El esfuerzo cortante, de corte, de cizatla o de cortadura es el esfuerzo interno o resultante de las tensiones paralelas a la sección transversal de un prisma mecánico como por ejemplo una viga o un pilar. Se designa variadamente como T, V o Q Este tipo de felicitación formado por tensiones paralelas está directamente asociado a la tensión cortante. Para una pieza prismfitica se relaciona con la tensión cortante mediante la relación: , -— •p*v!•. q- —— Tensión cortante x*•. —— Fig 1. Esquema del esfuerzo cortante. La tensión cortante o tensión de corte es aquella que, fijado un plano, actúa tamente al mismo. Se suele representar con la letra griega ron T(Fig 1). En piezas prismfiticas, las tensiones cortantes aparecen en caso de aplicación de un esfuerzo cortante o bien de un momento torsor.1 En piezas alargadas, como vigas y pilares, el plano de referencia suele ser un paralelo a la sección transversal (i.e., uno perpendicular al eje longitudinal). A diferencia del esfuerzo normal, es más difícil de apreciar en las vigas ya que su efecto es menos evidente. Tensión cortante promedio Fig 2. EsfuRrzo cortante sobre tornillos. Un problema que se presenta en su cálculo se debe a que las tensiones no se distribuyen uniformemente sobre un si se quiere obtener la tensión media es usada la fórmula: donde V (letra usada habitualmente para designar esta fuerza) representa la fuerza corianie y A representa el área de la sección sobre la cual se está aplicando. En este caso, el esfuerzo cortante, como su nombre lo indica, corta una pieza. En esta imagen (Fig 2.), el tornillo y el perno presentan esfuerzo cortante al ser cortados por las piezas que unen (lfnea verde). Fórmula de Collignon-Jourawski [editar] Si se requiere encontrar la tensión cortante debida fuerza cortante en un punto específico, lo cual es común en vigas, se usa la siguiente fórmula, conocida como fórmula de Collignon (1877): donde Y, representa la fuerza cortante, Qy el producto del centroide y el área que se abarca desde un externo hasta el punto donde se quiere encontrar el esfuerzo, I el momento de inercia de la sección total respecto a un eje perpendicular a la dirección del cortante y r, el espesor de la figura a lo largo de un eje perpendicular a la dirección del cortante. Aunque esta fórmula fue publicada por Collignon en 1877 y se conoce con su nombre, previamente había sido utiliz ada en 1844 por el ingeniero mso D. J. Jourawski para calcular tensiones en vigas de madera, publicando esta fórmula en 1856. Puntos importantes: • • • El I^sfuerzo cortante E'n El cordón supRrior y el inferior I^s cRro. El Rsful^rzo cortantE' E'n la línI^a nI^utra dI^ la pieza (coincidentR con I^l cRntro de gravedad) es máximo. El £zIomE'nto de inRrcia y £*l cI^ntroide de las figuras Es con rI^spRctO BI £*je neutro de la pieza. Deducción de la fórmula de Collignon La fórmula de Collignon anterior no proporciona el valor exacto de la tensión tangencial, sino sólo el promedio a lo largo de una línea que divida en dos la sección transversal. Para comprender ese hecho conviene examinar la deducción de la misma. Para la deducción partiremos de las ecuaciones de equilibrio elfisiino cuando no existen fuerzas mfisicas, la primera de ellas para la componente X es igual a: i) & ’+ + 8s ”=0 Si se presupone que sólo el esfuerzo cortante estfi dirigido según el eje Y (y que esta dirección coincide con una de las direcciones principales de inercia), y que el eje X coincide con el eje de la pieza y, ademfis, que las tensiones están provocadas únicamente por un esfuerzo normal constante y un momento fiector y un esfuerzo cortante variables, tenemos: Substituyendo estas dos últimas ecuaciones en la ecuación de equilibrio ( 1), se tiene la relación entre la tensión tangencial y el esfuerzo cortante: Integrando directamente esa última ecuación se llega a: La anterior ecuación resulta incómoda porque depende de la coordenada Cíz) situada sobre una vertical donde el cortante se anula (puede comprobarse que coincide que es la coordenada de un punto sobre el contorno de la sección, usando las condiciones de contorno que acompañan a las ecuaciones de equilibrio elástico). Sin embargo, se puede definir la tensión cortante media como: dy=— Esta última coincide signo) con la fórmula de Collignon usada para calcular la distribución media de tensiones cortantes a lo largo de la sección que se mencionaba en el apartado anterior. Cabe seiialar que hemos introducido el llamado primer momento de área parcial definido como: Tensión cortante máxima La anterior ecuación puede usarse para calcular la tensión tangencial máxima para diferentes ñpos de sección y comparar su valor con el de la tensión promedio. Puede probarse que para cualquier tipo de sección transversal se cumple que: Para una sección rectangular de medidas b x h sometida a un esfuerzo cortante paralelo a uno los lados de la misma, la distribución de tensiones cortantes y la tensión cortante máximas vienen dadas por: Donde 't$ b t es la altura del punto donde se calculan las tensiones respecto al centro de la sección. Eso significa que para las secciones rectangulares k„ 3/2 Sección circular Para una sección circular maciza de radio fi sometida a un esfuerzo cortante paralelo a uno los lados de la misma, la distribución de tensiones cortantes y la tensión cortante máximas son: 4F 3rA 4 3 .4 Eso significa que para las secciones circulares ••• ' Esfuerzo interno 4/3 4 RRprRsRntacion gráfica de las tensiones o componentI^s dRl tI^nsor tensión I^n un punto de un cuerpo. En ingeniería estructural, los esfuerzos internos son magnitudes físicas con unidades de fuerza sobre área utilizadas en el cálculo de piezas prismfiticas como vigas o pilams y también en el cálculo de placas y láminas. Contenido • • • • 1 Definición 2 Esfuerzos E^n vigas y pilares o 2.1 Cálculo práctico de esfuRrzos en prismas o 2.2 Cálculo de tRnsionRs en prismas 3 EsfuRrzos en placas y láminas o 3.1 Cálculo de esfuerzos £*n placas o 3. Cálculo de tensiones en placas 4 Vúase también 5 Enlaces Externos Definición Los esfuerzos internos sobre una sección transversal plana de un elemento estructural se derwen como un conjunto de fuerzas y momentos estáticamente equivalentes a la distribución de tensiones internas sobre el área de esa sección. Así, por ejemplo, los esfuerzos sobre una sección transversal plana Z de una viga es igual a la integral de las tensiones r sobre esa área plana. Normalmente se distingue entre los esfuerzos perpendiculares a la secci6n de la viga (o espesor de la placa o lámina) y los tangentes a la sección de la viga (o superficie de la placa o lámina): • Esfuerzo normal (normal o pI^rpRndicular al plano considRrado), I^s el f ue viE'ne dado por la rRSUltante de tensionE•s normalE'S á, E'S dRcir, pRrpRndiculares, al área para la cual prRtendRmOS detI^rminar E'l RsfuRrzo normal. + Esfuerzo cortante (tangencial al plano considerado)r E's el f ue vienE' dado por la rE'sultante de tE'nsionE's cortantE's z, E's decir, tangencialRS, al área para la cual prE'tendemos determinar E'l esfuerzo cortante. iisfuei zos en vigas y pilares meditar} Para un prisma mcc ánico o elemento unidimensional los esfuerzos se designan como: • • Esfuerzo normal (/V ) EsfuE'rzo cortante totá ( , F o Q) o sfuerzo cortantE' sE'gún Y (7) o Esfuerzo cortantE' según Z (7,) Dado un sistema de cjes ortogonales, en que el eje X coincide con el eje barieéntrico de un elemento unidimensional con sección transversal Euniforme los anteriores esfuerzos son las resultantes de las tensiones sobre cada sección transversal: dA En un abrisu de len uitjc, es comú n también denominar esfuerzos a: • MomRnto torsor (M ) • Momento flE'ctor (‘ o Momento hector según Z (M,) o MomE'nto fIE'ctor sE'gún Y (Mi) Bimomento (By) • Donde (If )es el alabeo sccciunal de la sección transversal. Cada un‹i de estos esfuerzos van asociados a cierto tipu de tensión: • • tensión normal, E'l E'sfuE'rzo normal (tracción o comprE'sión) implica la E'XistE'ncia de tensiones normales o, pE'ro E'stas tRnsiones normales también puE'den E'star producidas por un momento flRctor, de acuerdo con la lE'y de NaviE'r. Los bimomE'ntos tambiE'n provocan tensionE's normales por E'fE'ctO dE'l alabeo seccional. tensión tangencial, por otro lado IOS E'sfuRrzos cortantRs y El momento torsor implican ió E'Xistencia de tensiones tangenciales x. Cálculo práctico de esfuerzos en prisnias [cdit 1 Consideremos la viga o prisma mesánico que se observa en la primera figura y supongamos que se encuentra vinculado al resto de la estructura de forma isoestática. Supondmmos también que sobre este prima actúan fuerzas externas activas en el plano de su eje baricéntrico (o línea recta que uno los baricentros de todas las secciones transversales rectas del prisma). El primer paso es dividir el rfgido en dos bloques más pequeiios. Quedan determinados los bloques 1 y 2 de la figura. Seguidamente estudiaremos el bloque 1, donde aparecen 2 fuerzas externas reactivas actuando (P l y II)- Como se puede ver este bloque ahora no se encuentra vinculado isoestáticamente, así que para que pueda quedar en equilibrio deben existir fuerzas que equilibren al mismo. Estas fuerzas son fuerzas reactivas también y corresponden a la acción del bloque 2 sobre el bloque 1. Las fuerzas reactivas del bloque 2 sobre el 1 pueden ser reducidas a una fuerza y un momento actuando sobre el baricentro de la sección recta A. De hecho estas fuerzas y momentos son la fuerza resultante y el momento msultanie de la distribución de tensiones sobre el área recta A. Como estamos tratando el caso especial de fuerzas externas activas actuando sobre el plano del eje baricéntrico, el momento y la fuerza al que se reducen las fuerzas reactivas del bloque 2 sobre el bloque 1, deben de ser una fuerza contenida en dicho plano y un momento perpendicular a mismo plano. Llamaremos a la fuerza 2. del bloque 2 sobre el bloque y al momento lo llamaremos Jf2.I- La fuerza fi,., puede descomponerse en una componente vertical y otra horizontal en el plano que se halla contenida. Llamaremos 2. , a la fuerza descompuesta en sentido vertical y fii.iq a la descompuesta en sentido horizontal. Resumiendo tenemos que el sistema de fuerzas en equilibrio que está formado por + • Las fuRrzas acti'VaS E'xtE'rnas sobrI^ I^l bl•9uR 1. Las fuI^rzas rRactivas Pi Y P2 + Las fuI=rzas rRactiVBS R2 L„, R2- \ E'l £rIomE'nto 2 1 A las fuerzas reactivas A2- , Pz. „ y al momento M2 I se los conocen como esfuerzos internos. Y representan respectivamente el esfuerzo normal í N = 2.1..), el esfuerzo de cone (9 - 2. , ) y el Momento flector íMy - M2- )- Cálculo de teiuiones en prisnias teditarJ Articula principal: Teoria de vigas de Navier-Bernouilli En piezas prismfiticas sometidas a flexión compuesta (no esviada y sin torsión), el cálculo de las tensiones resulta sencillo si se conocen los esfuerzos internos, para una pieza simétrica en la que el centro de gravedad esté alineado con el centro de cortante y con un canto total suficientemente pequeiio comparado con la longitud de la pieza prismática, de tal manera que se pueda aplicar la teon"a de Navier-Bemouílli, el tensor tensión de una viga viene dado en función de los esfuerzos internos por Donde las tensiones normal esfuerzos internos N tan encial (i) pueden determinarse a partir de los . Si se considera un sistema de ejes principales de inercia sobre la viga, considerada como prisma mecánico, las tensiones asociadas a la extensión, flexión y cortante resultan ser: N A Donde kg es el coeficiente que relaciona la Tensiõn corante mãxima y la tensiõn cortante promedio de la secciõn. Un criterio frecuentemente empleado para las vigas metálicas es verificar que en todas las secciones se verifique la siguiente condición: Siendo ‹üa tensión última o tensión admisible normalmente definida en términos del límite elástico del material. Para piezas prismfiticas susceptibles de sufrir pandeo el cálculo anterior no conduce a un diseiío seguro, ya que en ese caso se subestima la tensión normal susceptible de desarrollarse en la pieza. Esfuerzos en placas y láminas [editar] Artículos principales: Teoría de placas y Nóminas y Membrana e/ósrico En un elemento bidimensional, pmmetrizado por dos coordenadas a y §, el número de esfuerzos que deben considerarse es mayor que en elementos unidimensionales: « • • EsfuE'rzos dR mRmbrana, sI^gún la dirRcción de la línE'a coordinada a, ” sRgún la dirE'ccion de la IínE'a coordenada , t . EsfuE'rzos cortantes: • 6 EsfuRrzos de flexión, ^^ › t , Cálculo de esfuerzos en placas [editar] En una lámina sometida fundamentalmente a flexión en la que se desprecia la deformación por cortante y los esfuerzos de membrana se llama lámina de LoveKirchhof, los esfuerzos internos se carazterizan por dos momentos f1ecton•s i según dos direcciones mútualmente perpendiculares y un esfuerzo torsor m„. Estos esfuerzos están directamente relacionados con la flecha vertical +r(x, y ) en cada punto por: -D(I —— -D n) —— —D Donde: V, I^S I^l CCleficiRntR de Poisson dE'l FrlatRrial dR la placa. D G /12(1 ), £*s la rigidRz I^n flRxión dR la placa, siI=ndo: PRH modulo de Young dRl matRrial dR IB placa. LI^S E'l I^spesor de la placa. Cálculo de tensiones en placas meditar] Las tensiones sobre una placa son directamente calculables a partir de los esfuerzos anteúoms:
