Ministerio de Educación Pública Direccion Regional de Educación San Carlos Centro Integrado de Educación de Adultos de Venecia Correo electrónico: [email protected] Teléfono 2472-1135 Código 5746 Guía de trabajo autónomo Módulo: 75 “¿Cómo nos puede ayudar las relaciones, el álgebra y la geometría a entender el mundo que nos rodea? VI” Centro Educativo: CINDEA de Venecia Educador/a: Noemy Morera Chaves Asignatura: Matemática Nivel: III Nombre completo: _________________________________Cédula: ___________Grupo: __________ Entrega de las tareas: Estudiantes presenciales: se entrega en físico al docente en las clases presenciales posteriores a la fecha de vencimiento de cada semana. Estudiantes a distancia: se entrega en digital en un solo documento en pdf al correo electrónico: [email protected] (las 3 tareas en un solo documento en pdf antes del 10 de setiembre). Número para consultas (horario a distancia): 85148178. 1. Me preparo para hacer la guía Pautas que debo verificar antes de iniciar mi trabajo. Materiales o recursos que voy a necesitar Condiciones que debe tener el lugar donde voy a trabajar Tiempo en que se espera que realice la guía Papel, lápiz, calculadora científica. Buena iluminación, mesa con silla o un lugar donde pueda apoyar el cuaderno cómodamente, buena ventilación En cada actividad cuenta con aproximadamente para su resolución. cuatro lecciones semanales Guía # 1: Del 23 al 27 de agosto 2. Voy a recordar lo aprendido y/ o aprender. Indicaciones Actividad Actividades para retomar conocimientos ya adquiridos. Lea detenidamente el siguiente material de refuerzo. Anote las dudas puntuales para cuando esté en clase presencial o tenga sesión virtual con la docente. Se presentan en esta sección algunos de los conocimientos matemáticos correspondiste al sexto periodo del módulo 75, asociados a las habilidades del programa de matemática: 6. Identificar si una relación dada en forma tabular, simbólica o gráfica corresponde a una función. Página 1 de 17 Actividad de ambientación Indicaciones: Lea atentamente el siguiente material y complete los espacios correspondientes. La ganancia de la empresa autobusera Carrillo-Jacó, está en función de la cantidad de personas que viajen. ¿Por qué? ____________________________________________________ Analicemos esta afirmación numéricamente: Si por cada persona esta empresa cobra ¢300, completemos la siguiente tabla: De manera general, podemos afirmar que, sabiendo la cantidad de pasajeros, puede obtener la ganancia de la empresa con la siguiente fórmula: Además, es posible asignar una correspondencia (o relación) entre la cantidad de pasajeros y la ganancia obtenida, de la siguiente manera. G= ________________ Notemos que la correspondencia se establece entre dos conjuntos no vacíos, y además cada elemento del primer conjunto se relaciona con un único elemento del segundo. Concepto de función Una función es una correspondencia entre dos conjuntos A y B no vacíos, en la cual, para todo elemento “a” que pertenece al conjunto A, existe un único elemento “b”, que pertenece al conjunto B, al cual se asocia o corresponde. Para simbolizar que se ha establecido una función f, de un conjunto A en un conjunto B, usaremos la siguiente notación: 𝑓: 𝐴 → 𝐵 𝑥→𝑦 Página 2 de 17 Ejemplo 1 (𝑥, 𝑦) Los siguientes diagramas ilustran tres diferentes correspondencias entre A= {a, b, c} y B= {1, 2, 3}, las cuales son funciones. 1. 2. 3. Estos otros diagramas presentan tres diferentes correspondencias entre A= {a, b, c} y B= {1, 2, 3}, las cuales no son funciones. 1. 2. Análisis: En la correspondencia 1, el elemento “a” se relaciona con dos elementos en B, lo cual contradice la condición «existe un único elemento “b” » del concepto de función, por tanto no es función. (o sea, en el primer conjunto NO pueden relacionarse más de una vez) El diagrama 2 no es función pues el elemento “c” no se asocia con ningún elemento en B, lo que contradice la condición «para todo elemento “a” » de la definición de función. (o sea en el segundo conjunto pueden sobrar elementos, pero en el primero NO). Ejemplo 2 Análisis: Cuando se tiene una tabla, basta analizar los valores correspondientes a la variable x, si sus valores son diferentes corresponde a función, en caso que los valores de x sean iguales se debe analizar los valores de f(x), si estos son diferentes NO corresponde a función. En este caso los valores de x son todos diferentes por ello corresponde a una función. Ejemplo 3 Análisis: Cuando se tiene un gráfico funcional, basta analizar los valores correspondientes a la variable x dentro de los pares ordenados, si sus valores son diferentes corresponde a función, en caso que los valores de x sean iguales se debe analizar los valores de y, si estos son diferentes NO corresponde a función. En este caso tenemos dos pares ordenados con el de 17 mismo valor de “x” diferente valor de Página y tal es3el caso de (4,4) y (4,5) por ello no es función. Ejemplo 4 ¿Corresponde a una función la relaciones que se muestran en las siguientes gráficas? 1. 2. PRUEBA DE LA RECTA VERTICAL: Si al pasar una línea vertical sobre las gráficas, esta sólo las interseca en un solo punto a la vez podremos concluir que son funciones. La gráfica 1. Es función. La gráfica 2 no es función. Si es función No es función Conceptos básicos de una función Una vez que determinamos que una relación satisface la definición de función, se tienen las siguientes definiciones para la función 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵 Dominio: Es el conjunto de salida (A), se representa con 𝐷𝑓 . Codominio: Es el conjunto de llegada (B), se representa con 𝐶𝑓 . Ámbito o rango: El ámbito de una función son los únicos elementos del codominio que tienen relación con los elementos del dominio, se denota con el símbolo 𝐴𝑓 . Preimagen: Son los elementos (valores) que pertenecen al dominio. Imágenes: Son los valores del ámbito. Dominio: {1, 2, 3, 4} Codominio: {𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} Ámbito: {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} La imagen de 3 es 𝑑 La preimagen de b es 2 Página 4 de 17 TAREA GTA 1 Nombre completo: ____________________________________________ Sección: ____________ 3. Pongo en práctica lo aprendido en clase Se le presentan una serie de ejercicios que pretenden reforzar su Indicaciones aprendizaje. Resuelva en forma clara y ordenada. 1. Marque con equis (x) sobre el número de relaciones que corresponden a una función. 2. Determine si los siguientes gráficos corresponden a una representación de función o no. Anote Si o No. a. {(3,1), (0,-1), (-3,4), (1,2)} _________ b. {(3,0), (0,-1), (-3,2), (3,2)} _________ c. {(3,0), (0,-1), (-3,2), (4,2)} ________ 3. Determine cuáles de las siguientes representaciones tabulares corresponden a funciones. Anote SI o NO. ______ ______ _______ Página 5 de 17 4. De acuerdo a las siguientes representaciones gráficas determine cuáles corresponden a funciones. Anote SI o NO. ______ ______ ______ 5. De acuerdo con el diagrama escriba lo que se le solicita. Cuadro Autoevaluación Indicaciones: Marque con una x el aprendizaje adquirido Matriz de autorregulación y evaluación: Marque con una (X) el nivel de desempeño que considera usted que alcanzo con las actividades anteriores. Indicadores del aprendizaje Niveles de desempeño esperado Inicial Intermedio Avanzado Identifica características, condiciones o valores que debe tener una relación para considerarla función, expresada en forma tabular, simbólica o gráfica Menciona aspectos generales que debe cumplir una relación para ser función, en cualquiera de sus representaciones. Brinda aspectos específicos de las relaciones que las hacen funciones, en cualquiera de sus representaciones. Indica aspectos significativos que hacen que una relación sea función. Autoevaluación del estudiante. Evaluación del docente. Página 6 de 17 Guía # 2: Del 30 de agosto al 03 de setiembre 2. Voy a recordar lo aprendido y/ o aprender. Indicaciones Actividad Se presentan en esta sección algunos de los conocimientos matemáticos correspondiste al sexto periodo del módulo 75, asociados a las habilidades del programa de matemática: 7. Evaluar el valor de una función dada en forma gráfica o algebraica, en distintos puntos de su dominio. Actividades para retomar conocimientos ya adquiridos. Lea detenidamente el siguiente material de refuerzo. Anote las dudas puntuales para cuando esté en clase presencial o tenga sesión virtual con la docente. Material de apoyo Actividad de ambientación Considere la función definida por el criterio 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3 y complete la siguiente tabla: De esta manera, es posible determinar cuáles números se relacionan entre sí, sabiendo el criterio de la función. Además, notemos que lo que hemos hecho es calcular las respectivas imágenes (y) de los números. Página 7 de 17 Evaluar el valor de una función en forma algebraica La ecuación 𝑦 = 2𝑥 + 5 describe la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 5 y se lee como "𝑓" de 𝑥 es igual a dos 𝑥 más cinco. Cálculo de imágenes (y) Para calcular la imagen de una función, sustituimos “x” por el valor dado, y resolvemos las operaciones indicadas. 𝟑(−𝟐) − 𝟕 −𝟏𝟑 𝟐(−𝟓)𝟐 + 𝟓(−𝟓) − 𝟐 −𝟐 𝟑(𝟎) − 𝟕 −𝟕 𝟐(𝟎)𝟐 + 𝟓(𝟎) − 𝟐 −𝟐 𝟑(𝟑) − 𝟕 𝟐 𝟐(𝟒)𝟐 + 𝟓(𝟒) − 𝟐 𝟓𝟎 Cálculo de preimágenes (x) Para calcular la preimagen de una determinada función, se iguala el criterio al valor dado (imagen “y”) y se despeja la “x”. Ejemplo: Nota: Para realizar despejes puede usar la función shift calc = de su calculadora científica. Página 8 de 17 5=𝑥+9 −1 = 3𝑥 − 7 2= −1 + 7 = 3𝑥 6 = 3𝑥 6 =𝑥 3 2=𝑥 2𝑥 − 7 3 5−9 = 𝑥 3 ∙ 2 = 2𝑥 − 7 −4 = 𝑥 6 = 2𝑥 − 7 6 + 7 = 2𝑥 13 = 2𝑥 13 =𝑥 2 Resolución de problemas El costo de producción (C) de una empresa que produce “x” periódicos está modelado por la función C(x) = 400x + 200. (a) ¿Cuál es el costo de producir 25000 periódicos? (b) ¿Cuántos periódicos se produjeron si el costo fue 6000200? Solución: “x” son los periódicos, entonces x = 25000 Solución: C(x) es el costo, entonces C(x) = 6000200 escribimos la cantidad antes del = luego despejamos la “x”: Sustituimos en el criterio el valor que nos dan: 6000200 = 400x + 200 C(25000) = 400(25000)+200 6000200 – 200 = 400x C(25000) = 10000200 6000000 = 400x R/ El costo de producir 25000 periódicos es 10000200 6000000 =𝑥 400 15000 = x R/ Para un costo de 6000200 se produjeron 15000 periódicos. Página 9 de 17 Evaluar el valor de una función en forma gráfica −1 2 −3 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 2 TAREA GTA 2 Nombre completo: ____________________________________________ Sección: ____________ 1. Pongo en práctica lo aprendido en clase Se le presentan una serie de situaciones que pretenden reforzar su Indicaciones aprendizaje. Resuelva en forma clara y ordenada. 1) Sea f(x) = 2x – 3. Calule f(–6). 2) Sea 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 − 6𝑥 − 5. Calcule la imagen de 3. Página 10 de 17 3) Sea 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 6. Calcule la preimágen de 12. 4) En cierta fábrica el costo “C” en colones de producir “x” artículos a la semana, está dado por C(x)= 500x + 200000. a) ¿Cuál es el costo de fabricar 735 artículos? b) ¿Cuántos artículos se fabricaron la semana pasada si el costo fue de ¢697500? 5) De acuerdo con los datos de la gráfica, determine: a) La preimagen de −2: _______ b) La imagen de 1: _________ c) El valor de 𝑓(5): _______ Página 11 de 17 Cuadro Autoevaluación Indicaciones: Marque con una x el aprendizaje adquirido Matriz de autorregulación y evaluación: Marque con una (X) el nivel de desempeño que considera usted que alcanzo con las actividades anteriores. Indicadores del Niveles de desempeño aprendizaje esperado Inicial Intermedio Avanzado Reconoce las Resalta aspectos Halla nuevas imágenes y Descubre relaciones de causalidad entre los imágenes y las importantes de la pre- imágenes de una relación de función determinada, elementos del dominio pre-imágenes en una función, causalidad entre dada en forma tabular, y del ámbito de una función, al determinar dada en forma la imagen y la pre- simbólica o gráfica, al tabular, imagen de una establecer nuevas la imagen o la presimbólica o función. relaciones de causas y imagen, según los gráfica. efectos entre ellas. . datos que se proporcionen, de manera tabular, simbólica o gráfica. Autoevaluación del estudiante. Evaluación del docente. Página 12 de 17 Guía # 3: Del 06 al 10 de setiembre 3. Voy a recordar lo aprendido y/ o aprender. Indicaciones Actividad Actividades para retomar conocimientos ya adquiridos. Tema o unidad: Números racionales Lea detenidamente el siguiente material de refuerzo. Anote las dudas puntuales para cuando esté en clase presencial o tenga sesión virtual con la docente. Se presentan en esta sección algunos de los conocimientos matemáticos correspondiste al sexto periodo del módulo 75, asociados a las habilidades del programa de matemática: 8. Analizar una función a partir de sus representaciones. Material de apoyo Actividad de ambientación En una zona turística hicieron un reporte sobre las ganancias obtenidas en un año, según el número de semana. Para ello resumieron los datos de manera aproximada en una gráfica. Con respecto a esa gráfica, conteste lo que se le solicita. (a) ¿En cuál semana del año se obtuvo mayor ganancia? _____________________ (b) ¿En cuál semana del año se obtuvo una ganancia de 250 millones de colones? _____________________ (c) Después de la semana 24, ¿en cuáles semanas fue disminuyendo las ganancias? ___________________ (d) ¿Cómo fueron las ganancias en el mes 23? _____________________ (e) ¿Qué comportamiento tuvieron las ganancias a partir de la semana 44? _____________________ (f) ¿En cuáles semanas no hubo ganancias ni pérdidas? _____________________ (g) ¿En cuáles semanas solo se reportaron pérdidas? _____________________ (h) ¿En cuál rango se ubican las ganancias en millones de colones? _____________________ (i) ¿El reporte incluye la primera semana de enero? _____________________ Página 13 de 17 Análisis gráfico de funciones DOMINIO: es el intervalo que se localiza en el eje x, formado desde el menor y hasta el mayor valor de x que se relaciona con algún valor de y por medio de la gráfica. Se lee de izquierda a derecha en el eje X. AMBITO: está formado por el intervalo cuyos extremos son el menor y mayor valor de la gráfica de la función en el eje y. Se lee de abajo hacia arriba en el eje Y. PREIMAGEN: corresponde a la primera coordenada de un par ordenado, es decir, el valor que tome un punto en el eje x. IMAGEN: corresponde a la segunda coordenada de un par ordenado, es decir, el valor que tome el un punto en el eje y. Intervalos (creciente, decreciente, estrictamente creciente, estrictamente decreciente y constante: se leen en el eje “x” de izquierda a derecha. MONOTONÍA: Se escribe en intervalo. Me indica si la gráfica es creciente, decreciente o constante. Se lee de izquierda a derecha en el eje X. Creciente Decreciente Significa que el intervalo va cerrado Constante Resumiendo Significa que el intervalo va abierto Significa infinitud de la gráfica en dicho extremo Página 14 de 17 Ejemplo: [−4, +∞[ (3, 3) 𝑁𝑜 ℎ𝑎𝑦 ]−∞, 3] ]1,3[ 1 2 (6, 0) ]3, +∞[ ]4, 1[ Opcional En caso de tener la tecnología adecuada y acceso a internet puedes visualizar los siguientes videos correspondientes a la temática. Ya sea mediante el link o el código QR. https://www.youtube.com/watch?v=VlXjE2cm0Ss Página 15 de 17 TAREA GTA 3 Nombre completo: ____________________________________________ Sección: ____________ 1. Pongo en práctica lo aprendido en clase A continuación, se le presentan unas gráficas, realice el análisis Indicaciones completo, respondiendo a lo solicitado. Crecimiento del PIB e ingresos del gobierno central 1. De dicho gráfico responda: a. ¿En qué intervalos la función es creciente? ___________________________ b. ¿En qué intervalos la función es decreciente? ___________________________ c. ¿Cuál es el dominio de la función? ___________________________ d. ¿Cuál es su ámbito (aproximado)? ___________________________ f. ¿Cuál es el valor máximo (aproximado) de la función? ___________________________ g. ¿Cuál es el valor mínimo (aproximado) de la función? ___________________________ 2. Dominio de f: ____________________ Ámbito de f: _____________________ Intervalos donde la función es creciente: ______________ __________________ Intervalo donde la función es decreciente: _____________ Máximo: ________ Imagen de 6 = ______ Mínimo: ________ Preimagen de 7= ________ Página 16 de 17 Cuadro Autoevaluación Indicaciones: Marque con una x el aprendizaje adquirido Matriz de autorregulación y evaluación: Marque con una (X) el nivel de desempeño que considera usted que alcanzo con las actividades anteriores. Indicadores del Niveles de desempeño aprendizaje esperado Inicial Intermedio Avanzado Establece detalles de las funciones a partir de sus representaciones, para describirla en términos de su dominio, imágenes, preimágenes, ámbito, inyectividad, monotonía, ceros, máximo y mínimo Anota generalidades de una función, como es lo que se entiende por: dominio, imágenes, preimágenes, ámbito, inyectividad, monotonía, ceros, máximo y mínimo; a partir de cualquiera de sus representaciones. Destaca el dominio, imágenes, preimágenes, el ámbito, la inyectividad, la monotonía, los ceros, máximos y mínimos de una función; a partir de cualquiera de sus representaciones. Designa aspectos relevantes de una función, como lo son justificar el dominio, imágenes, preimágenes, el ámbito, inyectividad, monotonía, ceros, máximos y mínimos; a partir de cualquiera de sus representaciones en un contexto determinado. Autoevaluación del estudiante. Evaluación del docente. Página 17 de 17
