Centroides y Momentos de inercia Apuntes

Centroides y Momentos de inercia
Apuntes
Mecánica de Materiales II
Alumno: Hernández Valverde Rubén
Profesor: Ing. Cortez Olivera Ricardo
Grupo: 5MM4
1
Índice
Centroides y Momentos de inercia ……………………………………………………………………………………………………………………………..1
Reacciones ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….3
Flexión asimétrica ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….4
Deformación en vigas ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….12
Método de superposición de efectos ………………………………………………………………………………………………………………..……..23
Primer Teorema de Mohr ……………………………………………………………………………………………………………………………………..….27
Segundo Teorema de Mohr ………………………………………………………………………………………………………………………………………27
Método de la viga conjugada ……………………………………………………………………………………………………………………………………28
Vigas Continuas ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..36
Método de la Ecuación de Tres Momentos para Vigas Continuas …………………………………………………………………………….36
Esfuerzos combinados ………………………………………………………………………………………………………………………………………………46
Columnas …………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………..56
Centroides y Momentos de inercia
Centroides y Momentos de Inercia
Problema: Determinar el momento de inercia (momento centroidal) de la figura que se muestra a continuación
) $ " # $ () !"
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+ !" 1 **&% !"
1
Centroides y Momentos de inercia
Problema: Determinar el centroide y los momentos de inercia centroidales de la figura que se muestra.
3 ,
+ ! , ! +*++% !
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4 ' 51 ! % ! / % !
) 4 ' 51+ ! ! / ) + !
2
2
Área
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% !
+ !
*++% !
FIgura
1
2
3
Total
6 7 89
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1
/ 6
78
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8 in
7.5 in
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&%* !"
2
Reacciones en una viga (repaso)
Reacciones
Carga ABCDEFGEHI
Figura
JJCKHGECI
L L
M
M O
4
Figura
2do grado
N
2do grado
O )
4
3er grado
Problema: Calcular las reacciones en los apoyos de la siguiente figura
7 N8 PQ R PQSR R +R &PQ T R U
VWSX X
Y *&&&&&R , Z?[= \R PQ T R PQ T R &PQ T R +%PQ T R , Z?[= \R ?[= $######VWTX
/ ?[=
:X
] 7 ^= ,PQ , PQSR R ,
*++PQ
VWSX X
?
*++PQ , PQ , +PQ , %PQ ?
?
=
&&PQ
=
=
3
Flexión asimétrica
Flexión Asimétrica
La flexión simple se genera con respecto aun eje principal, donde los momentos se aplican
en un plano paralelo a dicho eje.
Sin embargo por lo común los momentos se aplican en planos o ejes no paralelos a los ejes
principales lo que se conoce como flexión asimétrica.
La forma más sencilla de flexión asimétrica se presenta en vigas que tienen por lo menos
un eje de simetría y están sometidas a momentos como se indica en la siguiente figura:
En la figura se observa que el momento se aplica sobre un eje en el
plano X,Y, el cual tiene un ángulo _ con respecto al eje X.
Para poder analizar este problema, el movimiento aplicado se tendrá que descomponer sobre cada uno de los ejes
principales y aplicar la ecuación de esfuerzo normal para que posteriormente utilizando la superposición de efectos
se encuentre el resultado.
Para determinar la ecuación que utilizaremos en el análisis de nuestra viga, tomemos
como referencia la siguiente figura, la cual tiene un momento aplicado sobre el eje “B” y
tiene un ángulo _ con respecto al eje “Z”.
Si se determinan las componentes del momento sobre el eje “Y” y “Z”, se tendrá:
N` Na bcd _
N= Na d-. _
N` g N= h
ef
f
`
=
En la última figura se observa q se genera un eje i, en el cual los esfuerzos tendrán un valor igual a cero, para esta
condición de carga este es el eje neutro, por lo cual es esfuerzo resultante es igual a cero. Se observa que tiene
también un ángulo j con respecto al eje “Z” el cual se puede determinar con la siguiente fórmula.
`
kl. j m n kl. _
=
4
Flexión asimétrica
Problema: La sección rectangular que se muestra en la figura está sometida al momento flexionante indicado, el
cual tiene un valor de 25 kN/m. Determinar el esfuerzo normal en cada uno de los vértices del elemento.
No N d-. _ 1 %PQ T R d-. +% %&PQR
N= N bcd _ 1 %PQ T R bcd +%p %&PQR
` X X 1
e` ###:)VWTX X
qr =
1
) $)))'tu Xu
sr
= e= X X 1
qv `
sv
1
&%%*&&& ' (" R"
&%%*&&& ' (" R"
###:)VWTX X
) $)))'tu Xu
**%
**%
VW
X;
VW
X;
En el punto A (tensión, compresión)
VW
**% X; , **%
VW
X;
VW
X;
En el punto B (tensión)
VW
VW
VW
**% X; **% X; &%+% X;
En el punto C (tensión, compresión)
VW
VW
VW
**% X; , **% X; X;
En el punto C (compresión)
VW
VW
VW
,**% X; , **% X; ,&%+% X;
5
Flexión asimétrica
Problema: En la figura que se muestra, una viga sobre la que actúa un momento de 15 Klb*ft, determinar el
esfuerzo flexionante en los puntos A y B si la flexión es asimétrica como se indica.
Cálculo del centroide
4 ' 51 ! ! / 4 ' 51 ! ! / Figura
1
2
Total
w6 <
Áreas
!
+ !
&+ !
7 8`
1
/ w6
78
)";
7 8=
#:
1
/ 78
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Z
AZ
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Y
AY
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++ !)
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< + !
Cálculo del momento de inercia
w w
*&&&& !"
** !"
w w w !
w !
w w w
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+%**+ !
!
w *&&&& !" ! +%**+ ! ** !" + ! ! w &%& !" &%%*& !"
w %**%+ !"
*&&&&& !" ! ! * !" + ! ! *&&&&& !" * !"
&&&& !"
Cálculo del esfuerzo flexionante
N %Px4 T yz ;
%Px4 T yz ! Syz
*Px4 T ! { *x4 T !
N` N bcd _ 1*x4 T ! bcd &p / N` %%**+%x4 T !
N= N d|. _ 1*x4 T ! d|. &p / N= x4 T !
6
Flexión asimétrica
Punto A
e` e= $$" }T $$ "
qr =
1
$#$:"u
sr
qv `
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1
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Punto B
e` e= $$" }T :#"#
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1
sr
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1
:}T :))))u
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,&*&
}
~R€@‚
;
ƒ!
7
Flexión asimétrica
Problema: Se aplica un par de 20 kNm a la sección transversal de una viga como se indica en la figura. Determinar
el esfuerzo en el punto A, punto B y en el punto D:
N PQ T R { Q T R
N` N bcd _ Q T R bcd &p / N` &%**QR
N= N d|. _ Q T R d|. &p / N` QR
4 ' 51R R / + ' () R
4 ' 51*R R / +* ' () R
()
) 4 ' 51R R / ) + ' R
Z
R
R
R
Figura
Área
1
+ ' () R
2
+* ' () R
3
+ ' () R
Total * ' () R
w6 7 8`
# $'tu X
1
/ w6
78
# $'t X;
w w w) w w )
AZ
Y
AY
+R +% ' (" R)
+ ' (" R)
R
+* ' (" R)
+* ' (" R)
("
)
R ++ ' ( R)
+ ' R
("
)
* ' R * ' (" R) R
X X ** '
t
Z$' X\#X X X w w ($ R"
7 8=
# $'tu X
1
/ 78
# $'t X;
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** ' ($ R"
X X
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Z$'t X \#X
X X
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(# R"
%&&&& ' (: R"
* ' (# R"
w
w) ) )
)
< R
w R
w R
w) R
+R
R
) ,+R
) w) w ** ' ($ R" + ' () R +R &&+%&&& ' (# R" +* ' () R R w +++ ' ( R" &&+%&&& ' (# R"
w ++&& ' ( „"
* ' (# R" + ' () R R %&&&& ' (: R" +* ' () R R ' ( R" %&&&& ' (: R"
%&& ' ( R"
8
0++&& '
%&& '
( „"
+***& ' ( R"
( R"
Flexión asimétrica
Punto A
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"#":))'t †u
sr
qv `
sv
WTX X
1 #:))'t
W
Xu
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W
W
‡R€@‚
X;
+*++ X; ‡R€@‚ ƒ!
ƒ!
W
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Punto B
e` e= ) $$WTX X
qr =
1 "#":))'t †u
sr
qv `
sv
1
WTX X
#:))'t Xu
/ +*++
W
X;
W
&%%&*& X; ‡R€@‚ ƒ!
+*++
, &%%&*&
W
X;
W
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X;
+&*
ƒ!
W
z!‚
X;
ƒ!
Punto D
e` e= ) $$WTX $$X
qr =
1
"#":))'t †u
sr
qv `
sv
WTX "X
1 #:))'t
W
Xu
&&%+*%
W
W
z!‚
X;
+*** X; z!‚ ƒ!
/ &&%+*% X; +***
W
X;
ƒ!
W
&%%%*& X; z!‚ ƒ!
9
Flexión asimétrica
Problema: Una viga en ménsula de 3 m de longitud con la sección transversal mostrada, soporta dos cargas
inclinadas como se indica. Determinar:
a.) Inclinación de la línea neutra en el empotramiento
b.) Esfuerzos máximos de tensión y compresión.
N` ,+PQ bcd &p R , &PQ d-. +%p &R
N` ,*&&PQ T R , &&&PQ T R
N` ,&+PQ T R
N= ,&PQ bcd +%p &R +PQ d-. &p R
N= ,&&&PQ T R +PQ T R
N= ,&&&PQ T R
Cálculo del centroide
w6 Z
%R
%R
Áreas
& ' () R
+ ' () R
' () R
Figura
1
2
Total
'tu X
't X;
%R
<
AZ
% ' (" R)
& ' () R)
%% ' (" R)
)'t X
't X;
Y
.21 m
.1 m
AY
& ' (" R)
+ ' (" R)
& ' () R)
++*%R
Cálculo del momento de inercia
w w X X X X ' ( R"
&&& ' ( R"
10
X X
X X
%% ' R
(#
Flexión asimétrica
"
&&&& ' ( R"
w ' ( R" & ' () R *%+R &&& ' ( R" + ' () R ++*%R w %&+ ' ( R" % ' ( R"
w &+%*%+ ' ( „"
%% ' (# R" & ' () R R &&&& ' ( R" + ' () R R %% ' (# R" &&&& ' ( R"
%%*&& ' (# R"
Cálculo del esfuerzo
Compresión máxima = 59126.31386 Kpa
e` e= ) : #" #VWTX $" :X
qr =
1
)"$"'t †u
sr
qv `
sv
1
)#):#)VWTX X
$))'t‰ Xu
*&&+++
VW
&*+ X;
ˆW
X;
Tensión máxima = 61329.65371 kpa
e` e= ) : #" #VWTX "" $X
qr =
1
sr
)"$"'t †u
qv `
sv
1
)#):#)VWTX X
$))'t‰ Xu
ˆW
%+&++%+ X; VW
+%* X;
11
Deformación en vigas
Deformación en vigas
Cuando se realiza el diseño de una viga, es importante determinar la deformación que ésta puede tener al aplicarle
cargas dado que se generar varios problemas si se tiene una gran deformación.
La deformación que se puede tener en una viga se puede dividir en:
•
•
Deformación angular, la cual se conoce como la pendiente de la viga
Deformación lineal, la cual es perpendicular el eje longitudinal de la viga y se conoce como la flecha de la misma
Cálculo de vigas en relación a su rigidez
Algunas ocasiones el diseño de una viga depende más de su rigidez que de su resistencia, por tal motivo se debe hacer
que a parte de no sobrepasar los esfuerzos máximos establecidos, la flecha de la viga no debe sobrepasar cierto valor
pues de lo contrario se tendría problemas, esto es muy importante en maquinaria de precisión como en tornos, cepillo y
en un ámbito mas completo, en células de manufactura.
Para poder determinar la deformación de una viga se tienen varios métodos de los cuales vamos a analizar tres.
a) Método de la doble integración. El cual toma como referencia la ecuación de momentos de una viga integrando
una vez para obtener la pendiente y se integra una segunda vez para obtener la flecha.
b) Método del área de momentos. En este método se toma como referencia el diagrama de momentos de la viga y
utilizando los teoremas de Mohr se determina la pendiente y la flecha.
c) Método de la viga conjugada. Se genera una viga de las mismas dimensiones de la vida real y se carga con el
diagrama de momentos de la viga real, obteniéndose la flecha y la pendiente de la viga utilizando los teoremas
de Mohr.
Los métodos B y C son métodos semigráficos por lo cual se tiene que tomar varias consideraciones para poder aplicarlos.
Ecuación diferencial de la elástica de la viga
Para determinar esta ecuación tomaremos como referencia una viga en voladizo como se indica en la figura.
La cual se somete a una carga en el extremo B de la
misma, generándose una deformación como se indica.
12
Deformación en vigas
Al aplicar la carga P, el eje longitudinal se flexiona tomando la forma
de una viga curva. Esta forma se conoce como elástica de la viga, así
mismo se observa que hay un desplazamiento lineal el cual se conoce
como flecha de la viga y un desplazamiento angular conocido como
pendiente de la viga. El ángulo que gira a la sección transversal con
respecto a su posición original se denomina pendiente de flexión
angular.
Para determinar la ecuación de la elástica de la viga tomemos como referencia un tramo de la viga, el cual tiene las
siguientes condiciones:
Š‹Œ4 1Š4‡
‘
Ž
‘
Ž
z _ / 
Ž

Ž
Œ4 x1 Œ ’1 ‡ ’1 ‡ gXŽ9
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N
•
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/
s
N ›—˜™
ššs
œ
–—˜™
Basados en ecuaciones diferenciales, el valor del radio es:
’
ž Ÿ
como:
Ÿ
{ 1 ’ )
¡
Sustituyendo en la ecuación que tenemos para momentos se llega a lo siguiente.
N
“
13
Deformación en vigas
Obteniendo así la “Ecuación diferencial de la elástica de la viga”
“
N
La deformación en las vigas comúnmente será en el eje Y negativo, por lo tanto la ecuación anterior será afectada en el
momento con un signo negativo para que al calcular las deformaciones si el valor es positivo esta sea hacia abajo.
“
,N
_ g ^x‡5Œ
14
Deformación en vigas
Problema: Para la viga mostrada en la figura determinar la deformación que se tiene sobre el punto C.
¢ £Na ,¤Q R ?8 %R , *¤Q &R , *¤Q R ?8 ˆWšX¥ "ˆWšX¥$ˆWšX
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"9(" ;
~ ššššššššššš ~ ~ šššš Sustituimos en la ecuación 2
$$( #
$() #
"(" u
"
, ~ ~ &
~ ~ 15
Deformación en vigas
Si x = 6 ; ga = 0 ;
#( #
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$$#( #
$$#( #
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$#() #
"#(" u
"
"#(" u
"
~ ~ ~ ~ ~ +
§
(
¦
¦;§¨
©
©
# +
~ §
(
¦
;§¨¦
#
©
©
# ,+&
NOTA. La primera integral nos determina la pendiente de la viga o deformación angular, mientras que la segunda
integración nos determina la flecha de la viga o deformación lineal.
_ L! !z g ^x‡5Œ
g
9 +( R" “ ­LŒ
Si x = 3 ; _® =? ;
‘=
“ ‘9 )( ;
,
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#9 WšX;
Xu ¯°Ž
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Si x = 3 ; g® =? ;
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“g +¤Q š R)
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"
+& +
*&() R *&RR
16
Deformación en vigas
Problema: Se tiene una viga de madera como se indica en la figura. Determinar la ecuación de la elástica así como la
deformación en el extremo libre. Se sabe que el Emadera=12GPa
£^– ,¤Q , ¤Q , *¤Q ?8› ?8› ¤Q
¢ £N8 ¤Q %R ¤Q &%R *¤Q %R ¤Q š R
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“ ‘9 ,
“g ,
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)9( #
)9( u
"
,
,
)9(" ;
)9(" #
)9(" u
"
~ šššššššššš ~ ~ šš Si x = 0 ; g8 = 0 ;
Sustituimos en la ecuación 2 y aplicando las ecuaciones de singularidad
Si x = 0 ; _8 = 0 ;
Sustituimos en la ecuación 1
~ ~ Si x = 7.5 ; ga = ? ;
“ga ,
#
Sustituimos en la ecuación 2
: ;
":9 WšX
Xu ¯°Ž
ga #9t
## #
) u
"
,
)) u
"
% +¤Q š R)
R RR
17
Deformación en vigas
Si x = 7.5 ; _a = ? ;
;
“_a ,
Sustituimos en la ecuación 1
%
#:9 WšX;
Xu ¯°Ž
_a #9t
## ;
) #
,
@Πp
)) #
%¤Q š R
Problema: Para la viga que se muestra en la figura, determinar las reacciones en los apoyos así como la deformación
al centro de la misma en función de EI.
?8± ?a±
?8› ?a› &¤Q
¢ £N8 ¤Q R &¤Q +R %¤Q R , ?a› *R , N8 Na N9 ?8› , “
‘; =
‘9 ;
‘=
, N8 , ,?8› , “ ‘9 ,
“g ,
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N8 , N8 , , , q² 9( ;
, & , +
, 9(
9( #
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, % , & , +
)9(" ;
)9(" #
9( ;
9( #
% , ~ ~ ~ 18
Deformación en vigas
Si x = 0 ; g8 = 0 ;
Sustituimos en la ecuación 2
Si x = 0 ; _8 = 0 ;
Sustituimos en la ecuación 1
Si x = 8 ; ga = 0 ;
Sustituimos en la ecuación 2
~ ~ ,
²› $ #
q² $ ;
# #
)" #
,*%&&?8› &N8 ,&& &
Si x = 8 ; _a = 0 ;
“_a ,
²› $ ;
#
* Sustituimos en la ecuación 1
N8 *
,&?8› *N8 ,+ +
# ;
)" ;
;
,*%&&?8› &N8 ,&&
,&?8› *N8 ,+
?8› %¤Q
N8 &¤Q š R
?8› ?a› &¤Q
%¤Q ?a› &¤Q
?a› &¤Q , %¤Q %+*¤Q
¢ £N8 ¤Q R &¤Q +R %¤Q R , ?a› *R , N8 Na ¤Q R &¤Q +R %¤Q R , %+*¤Q *R , &¤Q š R Na
Na +**¤Q š R
19
Deformación en vigas
Calculo de deformación al centro de la viga
Si x =4 ; g® = ? ;
“g® ,
"( #
):#"( ;
“g® %%+¤Q š R "#9 WšX
s
"( #
)9"(" #
"( #
Problema: Para la viga que se muestra en la figura, determinar las reacciones en los empotramientos
7 ^= ?8= ?a= , ¤Q ,
Z)ˆW«X\)X ;
)X
?8= ?a= +%¤Q …….(1)
N9 ?a= , , Na , 9(# )9(# ;
9() N8 , * )
9(# 9() )9(# ;
, ,
,
, N8 , * )
9(# u
9( ;
9() u
)9(# ,
,
, N8 , * ~ ………..(2)
#
"$
, , ‘; =
,?a= , Na , ‘9 ;
9( ;
‘=
Na , “ , ³v
‘9
³v 9( q³ 9( ;
9( “
“ ,
#
#
9()
#
,
,
)9(# u
"
,
9(#
"
Si 1ga sustituyendo en (3) y aplicando funciones singulares
,
³v ( ~ #
q³ ( ;
,
q² 9($ ;
~ ~ …………(3)
~ ~
20
Deformación en vigas
Si 1_a sustituyendo en (2) y aplicando funciones singulares
,
³v ( ;
~ Na , ~
Si *1g8 sustituyendo en (3)
,
³v $( #
q³ $( ;
$( #
$()
#
< ?a= ,+&% ………….(4)
&Na , *% &
Si *1_8 sustituyendo en (2)
,
³v $( ;
Na * , $( ;
*Na , &?a= ,&*&% ………...(5)
,
)$(# u
"
$() u
,
,
)$(# #
$(#
"
,
,
q² $($ ;
$(# u
"$
, N8 * , *
Planteando y resolviendo el sistema de ecuaciones con (4) y (5)
< ?a= ,+&%
&Na , *% &
*Na , &?a= ,&*&%
´
©(")# ($)©
($") ")$
()$)## ()
Na ()")))))# %%¤QR
´
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($)
©
©
$
()
)
(")#
©
©
(# )$ #"
()")))))# *&+¤Q
?a= $ ) ()$)##
´
($)
©
©
$
()
Sustituyendo en (1)
?8= *&+¤Q +%¤Q
?8= *%
Problema: Para la viga en voladizo mostrada, determinar la pendiente la pendiente en el extremo A. Considerar que
µ ¶·¸¹º» ¼I½
U
;
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Y
U
Y
;
$)))); ¾¿ ;
9 ;
§;
U Y
u §;
+ x4«
yz
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21
Deformación en vigas
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¢ 7 N ,&¤ € %yz , ¤ € %yz N N %¤ €yz
N9 , , ,
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“ #
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Si 1_8 Â sustituyendo en (2) y aplicando funciones singulares
‘=
“ ‘9 ‘=
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¾¿ u "#9à }« ;
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,&() @Œ ,+%&+p ←
Si 1g8 Â dÄdk-kÄÅ|.Æc|.& y aplicando funciones singulares
( , #
#:###9 }¾¿ *yz
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¾¿
“g8 g8 &&% ! ←
22
Deformación en vigas
Método de superposición de efectos
Uno de los métodos prácticos para calcular las reacciones en vigas hiperestáticas es considerar que las vigas soportan
diversas cargas las cuales pueden ser reacciones, con los cual se elimina la condición de estáticamente indeterminado,
como se indica en la figura.
Para cargas básicas y condiciones de apoyos básicos, la deformación máxima lineal y angular ya se encuentran
tabuladas, lo cual permite resolver de una forma sencilla algunas vigas hiperestáticas.
Problema: Para la viga que se muestra en la figura, determinar las reacciones en los apoyos.
L ?8=
N8 LÇ
N9 ?8= , , N8 , N9 L , , LÇ , ‘; =
“ ‘9 ; ,L , ‘=
“ ‘9 “ (°9(
(°9(
#
;
LÇ , LÇ , °È9(
;
~
~ ~
Si / 8 1_8 ~ 1~ 23
Si Ç / a
q8É
_q8É N9 ?8= , ?8= MÇN8 ÌÈ;
‘=
“ Ì9( ;
(ÌÈ9( ;
ÌÈ;
, (ÌÈ9( #
_q8É ÌÈ;
"
a
ÌÈ;
q8É
s
(
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q8É 1_8
tÍË ÍË ÍË
¥
¥
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;
‰
a , a
ÌÈu
°È
a s , $s
³v È
ÌÈu
)s
$s
)ÌÈ
?a=À $
a
,
, Si Ç / Ì9( ;
ÌÈ;
Si / 8 1_8 ~ 1~ a
,
,
“ ‘9 ; ,MÇ , “ ‘9 N9 MÇ , ‘; =
, N8 , ÌÈ
#s
ÍËu ÍËu ÍËu
¥
¥
‰
u
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s
(
Deformación en vigas
ÊË ÊË
¥
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;
tÊË;
¥°È;
;
s
q8É 1_8 _q8É s
°È;
s
°È
)s
Ì9( ;
Ì9( ~
#
u
Ì9(
~ "
a
~
_q8É
←
ÌÈu
$s
/ L ?a= 7 ^= ?8= ?a= , MÇ ?8= MÇ ,
)ÌÈ
$
¢ 7 N8 ,N8 N8 ÌÈ;
,
)ÌÈ;
$s
ÌÈ
$
ÌÈ;
, ?a= Ç ÌÈ;
$s
24
Deformación en vigas
Problema: Para la viga que se muestra en la figura determinar el valor de las reacciones y momentos
ga Šq8É ga Šq8É ga Šq8É "ˆWX
s
°Ž ;
&Ç ,
#s
)ˆWX
s
°Ž ;
&Ç
#s
ga) Šq8É ,
ga ga ga ga) ´X
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"ˆWX
)ˆWX
,
s
s
s
)
)
<
%&%¤QR , ?a= + &R ?a= +&¤Q
°È
)s
Π,Π,
ˆW )X ;
#s
#ˆW X ;
#s
³v X )s
,
&R , &
&R , % ´X
³v ")
s
Î 7 N8 ,% & , % + N8 Î N8 &¤QR
25
Deformación en vigas
Problema: Para la viga que se muestra en la figura determinar las reacciones y momentos en los empotramientos
ˆW )X ;
°;
&+ & &&%*¤Q
&Œ
4
X È
;
;
ˆW "X
°Ž
+ && +&¤Q
?a Œ &4 X È
;
;
ˆW "X )X
°Ž
&+&*¤Q
N8 È; X ;
ˆW )X "X ;
°Ž
,Na , È; ,
,%*¤Q
X ;
?8 ?8 ?a ÏÈ
N8 ,Na Z"ˆW«X\X
ÏÈ;
+¤Q
&<¤QR
?8 ?8 ?8 &&%*¤Q +¤Q &%*¤Q
?a ?a ?a +&¤Q +¤Q +&¤Q
< ¤QR &*¤QR
N8 N8 N8 &+&*¤Q &
< ¤QR %¤QR
Na ,Na , Na %*¤Q &
26
Deformación en vigas
Primer Teorema de Mohr
El ángulo que forman las tangentes a la elástica (o deformada de la viga) entre un punto “x2” y otro “x1”, es igual al área
de la ley de momentos flectores comprendida entre esos dos puntos, dividida por la rigidez (EI).
Ñ;
Ð
ѧ
_«
Ñ;
_ Ð
ѧ
N _ , _ _«
“
@Œ
“
Segundo teorema de Mohr
Dados dos puntos pertenecientes a una línea elástica, la ordenada de B con respecto a la de A es igual al momento
elástico con respecto a B del área de momentos reducidos comprendida entre A y B.
El momento elástico recientemente mencionado puede calcularse en forma muy simple multiplicando el área total del
diagrama de momentos reducidos comprendida entre A y B por la distancia de su centro de gravedad. Por otro lado, si la
figura que representa el diagrama puede descomponerse en figuras elementales, tales como rectángulos, triángulos,
parábolas etc. El momento elástico total resulta ser la suma de los correspondientes a cada una de las figuras
elementales.
27
Deformación en vigas
Método de la viga conjugada
Utilizando los teoremas de Mohr, se desarrollo un método denominado de la “Viga Conjugada”, el cual permite
determinar la pendiente y la flecha en una viga, en puntos determinados sin que se tenga que desarrollar la ecuación de
momentos.
En este método, la pendiente se determina utilizando el primer teorema de Mohr, con lo cual se tiene que:
_
^ҁ@wŒ~@zŒ!z xŒÓ Œ~!ÔҍŒ Œ
“
_
Ó
“
Mientras que la flecha es igual al momento elástico de la viga conjugada, con respecto al punto donde se desea
determinar esta.
Este método proporciona solamente valores absolutos, por lo que se tiene que tomar en cuenta las condiciones graficas
de la viga para establecer los signos correspondientes.
Procedimiento de Análisis
Para determinar la pendiente y la flecha por el método de la viga conjugada, se siguen los siguientes pasos:
1. Se determinan las reacciones en los apoyos.
2. Se establecen los diagramas de momentos que generan las reacciones y las cargas en la viga.
3. Aplicar a la viga conjugada los diagramas de cargas o momentos.
4. Determinar las reacciones de la viga conjugada.
5. Para determinar la pendiente, calcular el valor de la fuerza cortante en el punto deseado y dividirlo sobre la
rigidez (EI).
6. Para calcular la flecha, determinar el momento estático del diagrama de momentos de las áreas que se tienen a
la izquierda o derecha del punto y dividirlo entre la rigidez (EI).
28
Deformación en vigas
× Ö ØÙ
× Ú ÕÚ ØÙ
ÕÖ 29
Deformación en vigas
Problema: Para la viga que se muestra en la figura, determinar las pendientes en los poyos, así como la flecha en el
punto “c”, utilizando el método de la viga conjugada.
?8 % , *
? %
*
?8 *&%PQ
? %PQ
Û 45 Û * %
*PQ , R
Û 45 Û *PQ , R
)
45 + *PQ , R
"
"
& &%
45
!
&
&%PQ , R
Î¥ £N8 ? * &%% , * * , *%&&&& ? ++&PQ , R
Î¥ £N ,?8 * * , * * , &%% ?8 %PQ , R
Pendientes en los apoyos:
¢ ÕÖ %PQ , R
× Ö ØÙ
ØÙ
30
× Ú ++&PQ , R
Î ÕÚ ØÙ
ØÙ
Deformación en vigas
Flecha en el punto C
#
Û 45 Û + &%% %PQ , R
Û 45 Û PQ , R
Î¥ £N® ,?8 + %&& , N® ,%PQ , R)
Ü
®
N® %PQ , R)
“
“
31
Deformación en vigas
Problema: Para la viga mostrada en la figura, determinar la deformación o flecha en el extremo libre, en función de EI.
ÕÖ × Ö ØÙ
Û 45 Û * *
&PQ , R
Û& 45 Û& * +
PQ , R
Î¥ £Na ,
%&&
,
Na ,%PQ , R)
Ü
a
%PQ , R)
Na “
“
32
Deformación en vigas
Problema: Para la viga que se muestra en la figura, determinar la flecha en el punto C.
E = 200GPa
I = 1x10-3 m4
?8 ?a , % +%
+*PQ
$ ¥: ¥"
&&%PQ
En el procedimiento de viga conjugada, cuando se tienen tramos en voladizos, estos se separan de la viga, analizándose
por separado los efectos y posteriormente se superponen los mismos.
Û 45 Û *%
*%%PQ , R
Û 45 Û % %PQ , R
)
)
Û 45 Û & &%
&%PQ , R
_a Ý ?a
“
Þ N8 ,*%%+ %%&&
&%% ?a ?a +%PQ , R
_a +%) Q , R
%(" @Œ
: LŒ() R"
33
Deformación en vigas
Ý
"
kl._a &(" R &RR
Û 45 Û PQ , R
N Ý PQ , R)
 ÝÝ
 ÝÝ

]
&&&(# R

N Ý
) PQ , R)
“
: LŒ() R"
Ý
 ÝÝ
&(" R , &&&(# R
(" R
RR
Problema: Para la viga que se muestra en la figura, determinar la pendiente en los apoyos y la deformación en el
punto C mediante el método de viga conjugada.
E = 200GPa ; I = 2.5x10-3 m4
¢ 7 Na ?8 % , , & ,
& < ¤Q
?8 &
Î 7 N8 ?a % , % , +% ,&%% < ¤Q
?a &
34
Deformación en vigas
Û 45 Û % %
*%PQ , R
Û 45 Û &PQ , R
)
"
Û 45 Û & & +%PQR
45 & &PQ , R
Û& 45 Û +PQ , R
¢¥ £N8 ,?a % *%% , &%% , +%% , & , +
?a *+&*PQ , R
¢¥ £Na ?8 % , *%% & +% &% +%
?8 &PQ , R
_8 _a #
&) Q , R
?8
*(" @Œ
“ : LŒ%() R"
*+&*) Q , R
?a
*(" @Œ
“ : LŒ%() R"
Û 45 Û +% +PQ , R
Û 45 Û & PQ , R
N® &+% , +% N® PQ , R)
®
N®
) Q , R)
+(" R +RR
“ : LŒ%() R"
35
Vigas continuas
Vigas Continuas
En el diseño de elementos mecánicos, se cuenta con algunos de estos, los cuales se pueden analizar como vigas que
tienen más de dos apoyos, entre estos se pueden mencionar las tuberías, algunas armaduras y algunos marcos. La
determinación de las reacciones en los apoyos no se pueden establecer mediante la estática, por lo que se denomina
hiperestáticos, teniéndose que recurrir a la mecánica de materiales para poderlos analizar.
En la figura se muestra que una viga continua, en un extremo puede tener un apoyo fijo o un empotramiento y
posteriormente una serie de apoyos móviles; así mismo en cada apoyo actúan momentos los cuales surgen de la acción
de un tramo de la viga sobre otro (denominaremos tramo a la distancia que hay entre dos apoyos). Los momentos que
se generan en los apoyos pueden ser calculados por un procedimiento denominado “Ecuación de los Tres Momentos”.
Conociendo estos momentos se pueden determinar las reacciones en los apoyos, diagramas de fuerzas cortantes y
diagramas flexionantes, así como la deformación en la viga.
Método de la Ecuación de Tres Momentos para Vigas Continuas
Para determinar la ecuación a utilizar en este método, tomemos en cuenta que se tiene una viga continua infinita con
diferente tipo de carga en cada uno de sus extremos y tomemos de la misma dos tramos los cuales tienen longitud L1 y
longitud L2 como se observa en la figura:
36
Vigas continuas
_ _ _ Ý _ ÝÝ
_ ß _ ßß
Tomemos por separado cada uno de estos tramos y se observa que las cargas externas producen un diagrama de
momentos pero también aparecen momentos hiperestáticos al separar cada tramo de la viga.
Los dos tramos tienen un punto común el cual se ubica en el apoyo No. 2 y en el cual se sabe que θ = 0.
El ángulo que se genera en este punto debe ser igual a 0. También se observa que cada uno de los tramos es afectado
por las cargas y los momentos.
Tomando en consideración el teorema de área de momentos, la contribución de las cargas externas del tramo 1 a θ2´ es
la siguiente:
_ Ý
La contribución de los momentos hiperestáticos en θ2 es:
_ Ý
<
Œ
Ç “
N Ç N Ç
1
&“
“
<
Œ
Ç “
N Ç N Ç
“
&“
37
Vigas continuas
La contribución del tramo 2 con sus cargas y momentos en θ2´ de forma similar seria:
_ ÝÝ 4<
N Ç
N) Ç)
Ç “
&“
“
Igualando θ´ con θ´´ y tomando en cuenta que el momento de inercia es constante, se tendrá lo siguiente:
J¹ ๠¶J¶ ๠චJá ච,
»â¹ F́¹ »â¶ ã́¶
,
à¶
à¹
Problema: Para la viga continua que se muestra en la figura, determinar los momentos hiperestáticos que se generan.
38
Vigas continuas
Tramo 1-2
N x N x x N) x ,
N + N + N) ,
<
Œ
x
,
x
4<
&
+ ,
+
+N N N) ,&& ä ä ä ä ä ä ä ä Tramo 2-3
N x N) x x) N" x) ,
N N) N" ,
x
Œ<
,
<
) 4)
x)
* &
&
,
N +N) N" ,+% ä ä ä ä ä ä ä ä Si M1 y M4 son igual a 0 y resolviendo sistema con ecuaciones (1) y (2) tenemos:
N N) ,&&
N +N) ,+%
N ,PQ , R
N) ,PQ , R
? PQ
? Ý &PQ
? ÝÝ &&PQ
?) Ý PQ
39
Vigas continuas
?) ÝÝ PQ
?" &&PQ
40
Vigas continuas
Problema: Para la viga que se muestra en la figura determinar los momentos que se generan en los apoyos.
•
Tramos 1-3:
N x N x x N x ,
<
Œ
,
x
x
L4
Ç , 4
N N ,
Ç
+
, +
N N ,
N N , ä •
<
4
Tramos 2-4:
N x N x x
N) x ,
<
Œ
,
x
x
LŒ
Ç , Œ
N N + N) ,
Ç
, N +N N) ,
N +N N) ,&&& ä 4<
41
Vigas continuas
•
Tramos 3-5:
N x N) x x) N" x) ,
OÇ)
N N) N" x) ,
+
N N) ,* % ,
N N) +% ä &
x
%
+
Œ<
,
<
) 4)
x)
)
Resolviendo el sistema de ecuaciones
N , N-m
N ,%&N-m
N) ,+ N-m
Calculando las reacciones:
R1=16.523 kN
R2’ =3.477 kN
R2’’=-0.6810 kN
R3’=0.6810 kN
42
Vigas continuas
R3’’=14.628 kN
R4’=15.372 kN
Por lo tanto:
R1=16.523 kN
R2=2.796 kN
R3=15.309 kN
R4=19.372 kN
43
Vigas continuas
Problema: Para la viga que se muestra en la figura determinar los momentos hiperestáticos que se generan en los
apoyos.
•
Tramos 1-3:
N x N x x
N) x ,
<
Œ
,
4<
x
x
åÇ) LŒ
+ N + N) , ž
Ç , Œ ¡ , #OÇ) Ç
+
+ + ) + , ¡ , #& )
N N) , ž
+
+
N N) , ä •
Tramos 2-4:
N x N) x x) N" x) ,
x
Œ<
,
<
) 4)
x)
N
, &4 , Ç
N N) N" % Ç
+
$
)
N N) N" % ,#& , && , %
%
N N) %N" ,** ä $
,#OÇ)
44
Vigas continuas
•
Tramos 3-5:
N) x) N" x) x" N x" ,
N
N) % N" % , &Œ , Ç
Ç
+
N) % N" , & , %
%
%N) N" ,+ ä &
N ,*&%QR
N) ,+QR
<)
)Œ
x)
,
<
" 4"
x"
N" ,*QR
Calculando las reacciones:
R2’’=4.1127 kN
R3’=4.8873 KN
R1=13.4119 kN
R2’ =12.5881 kN
R3’’=0.5051kN
R4’=-0.5051 kN
Por lo tanto:
R1=13.4119 kN
R2=16.7014 kN
R3=5.3924 kN
R4=-0.5051 kN
45
Esfuerzos combinados
Esfuerzos combinados
En el 1 primer curso de mecánica de materiales se analizaron elementos sometidos a tensión, compresión, torsión y en
lo que cabe en este curso sometido a flexión. Todos estos temas se manejan con condiciones idealizadas donde solo un
efecto ocurre a la vez. Comúnmente esto es muy difícil dado que se pueden presentar 2 o mas efectos al mismo tiempo.
Como se puede ver en la siguiente figura:
46
Esfuerzos combinados
Problema: Un elemento se somete a una carga como se muestra en la figura. Determine el esfuerzo que se presenta
en el punto A y B del mismo.
æç æ bcd % &èé
æÅ æ d-. % èé
ê
ê
ìí
î
æ & ' ) é
*æl
ë
„
en los puntos A y B no existe momento flexionante
47
Esfuerzos combinados
Problema: Un eje de transmisión por carrera de 40mm de diámetro esta sometido a las fuerzas que se indican en la
figura. Las fuerzas sobre la polea son horizontales y las que actúan sobre B son verticales. Determinar los esfuerzos
resultantes, normal y cortante máximo.
¢ 7ïÖ &%% , %% , ïÖ ïÖ &é„
¢ 7ïð , % & % ïð ïð &é„
48
Esfuerzos combinados
Horizontalmente
Î 7 N® ?ñ9 * , % ?ñ= %Q
¢ 7 Nñ ?®9 * , % ?®9 Q
49
Esfuerzos combinados
Î 7 N® ?ñ= * , & ?ñ= Q
¢ 7 Nñ ?®= * , & ?®= %Q
Para punto A
Para punto B
ïÖò óïëô ïëõ 0
ïÖò *+*%é„
öÖò &é„
S
ìí
îø
ý
þù
î
e
ý
ìù
Tú u
‰u
)#:)W(X X
ûüüu u
‰u
þù
Tú u
;
) †
Tüüu u
;
ïðò óïô÷ ïõ÷ 0
ïðò &&é„
öðò &é , „
&
*NLŒ
&*+ïæl
50
Esfuerzos combinados
Problema: Diseñe un árbol circular para soportar las cargas en la figura. Si el cortante máximo es de 60 Mpa, el
esfuerzo normal de 80 Mpa. Las correas de transmisión de A y B son horizontales y la polea E son verticales.
7ïÖ ,% + +% + , ïÖ ïÖ *é , „
7ï + + , &% + , ï ï é , „
7ïÚ & , & , ïÚ ïÚ é , „
51
Esfuerzos combinados
Horizontalmente
?a9 *%Q
?ñÉ %Q
?a= ,%Q
?ñ= &Q
Para punto A
Para punto B
ö× *é„
ï× *QR
ö× *é„
Para punto C
ï× 0ïõ
Verticalmente
ïô
0* ++
ö× *
Para punto D
ï× +é„
ö× é„
52
Esfuerzos combinados
Para punto E
ï× ö× QR
Condición crítica en B
ö| ó* * *&*%é„
ï| ï× ö| * *&*% %%é„
þ
Tù
' # $):$
Tù $):$
T#'‰ &„„ &„
Æ „„
"ì
S Tù
" :: T$'‰ &+„„ &+„
Æ *„„
53
Esfuerzos combinados
Problema: En un elemento actúa una carga que se indica en la figura y tienen las dimensiones mostradas en cada uno
de sus lados así como la ubicación del eje neutro.
N & + ¤Q
N & + ¤Q
e ' ) *NLŒ
' )
+) *& ' (" R"
) +
* ' ( R"
e ' ) *
*NLŒ
* ' (
e L
& ' )
*NLŒ
&*+
e e , e , e * , * , * &NLŒ
e[ ,e , e , e ,* , * , * ,&&NLŒ
e~ ,e e , e * * , * ,NLŒ
54
Columnas
Columnas
Una columna es un elemento cargado axialmente, sometido a compresión, el cual tiene su sección transversal muy
pequeña comparada con su longitud, por lo que al aplicársele una carga, fallará primero por pandeo, antes que por
aplastamiento.
Las cargas que puede soportar una columna pueden ser concéntricas, cuando se aplican sobre su centroide, o
excéntricas, cuando se aplican a cierta distancia de su eje centroidal
.
P
P
e
P
P
Cuando se incrementa la longitud de una columna, disminuye su capacidad de soportar carga. Cuando la excentricidad
es pequeña y la columna es corta, la flexión lateral es despreciable, comparada con el efecto de la compresión; por el
contrario al aumentar la longitud, una pequeña excentricidad puede producir un gran esfuerzo de flexión.
Las columnas se pueden clasificar en: a) cortas, las cuales simplemente se aplastan o comprimen y el esfuerzo se
determina por la ecuación e ʲ; b) intermedias y c) largas, para las cuales existen ecuaciones para analizarlas.
Fórmula de Euler para Columnas
Esta fórmula sólo es válida para columnas largas y permite determinar la carga crítica que puede soportar la columna
antes de fallar.
P
P
M
Q
P
P
55
Columnas
N ,L
“
,N ,L
,L
“
L
“
°
Suponiendo que: ¤ s, se tiene que:
¤
Resolviendo la ecuación diferencial se tiene:
bcd ¤ [ d-. ¤
En la ecuación anterior se deben determinar las constantes de integración A y B, por lo que si tomamos las condiciones
en la frontera, se tendrá lo siguiente:
Si x=0; y=0
bcd ¤ [ d-. ¤
ä Si x=L; y=0
[ d-. ¤Ç ä La ecuación 2 tiene valores característicos de kL, los cuales son: 0, T, 2T, 3T,…,nT; por lo que considerando el valor
general de kL=n, se tendrá:
G
à
µ
G¶
¶
à¶
µ
56
Columnas
L P
P
P
P
P
P
> “
+> “
> “
L L Ç
Ç
Ç
SI:
L e
L
> “
Ç
@
Para determinar el esfuerzo critico en una columna se tiene:
L L
L
> “ @
Ç
> “@
Ç
> “
e
Ç«@
57
Columnas
Problema: El esfuerzo que soporta una columna no debe sobrepasar el límite de proporcionalidad por lo que para un
acero estructural con E=200 GPa y el σy=250 MPa, se tendrá una relación de esfuerzo contra la relación de esbeltez
como se indica en la figura:
> “
e Ç
Ÿ
@
Ë
È
È
> “
e
2; 
=
Á
2; 9Ã
9‰
À$$$
Si:
)
)
/ @ @ @)
Longitud Efectiva de la Columna
El efecto de las condiciones que se tengan de la columna en sus extremos afecta a la carga crítica y al esfuerzo crítico,
como se indica a continuación:
58
Columnas
Probelema: Determinar la carga crítica para una columna cuadrada de 2x2 pulgadas, con una longitud de 10 pies. Si se
fabrica de madera, la cual tiene un módulo elástico de 30x106 lb/in2, para:
a)
b)
c)
d)
Los dos extremos articulados
Un extremo articulado y el otro empotrado
Doblemente empotrada
Empotrada en un extremo y libre en el otro.
45) )
&&&&& !"
Para:
a)
Ç Ç
L > &# &&&&
&+x4
L > &# &&&&
%%*x4
b) Ç Ç
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Problema: Se tiene una columna articulada de 2.5 metros de longitud y con sección transversal circular, se fabrica de
madera, suponiendo que el módulo elástico es de 13 GPa y el esfuerzo permisible de 12 MPa, así mismo usando un
factor de seguridad de 3. Determinar:
a) Las dimensiones de la columna en su sección transversal si debe soportar una carga de 110 KN.
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