Probabilitat

5. PROBABILITAT
1. Introducció
La teoria de la probabilitat va sorgir a partir de la necessitat de conèixer els
guanys esperats en els jocs d’atzar al segle XVI.
Els fenòmens aleatoris (dependents de l’atzar) es poden trobar en tots els
camps de la ciència i, per tant, també en el camp empresarial o econòmic.
2. Conceptes previs
• Experiència: procés d’observació.
• Esdeveniment: resultat d’una experiència.
• Fenomen = experiment + esdeveniment
3. Tipus de fenòmens
• Determinista: coneixem a priori el resultat.
• Aleatori: no coneixem a priori el resultat.
4. Espai mostral
Conjunt de tots els esdeveniments possibles d’un experiment aleatori.
5. Tipus d’esdeveniments
• Elemental: cada un dels elements de l’espai mostral.
• Compost: format per més d’un element.
•
•
•
Contrari: donat un esdeveniment S, el contrari,
d’esdeveniments que formen l’espai mostral.
Segur: el format per tot l’espai mostral.
Impossible: el contrari del segur.
s , és el format per la resta
6. Relació entre esdeveniments
• Dependents: quan el fet que un dels esdeveniments es verifiqui altera la
probabilitat de l’altre.
• Independents: quan el fet que un dels esdeveniments es verifiqui no altera
la probabilitat de l’altre.
• Incompatibles: no es poden realitzar simultàniament.
• Compatibles: es poden realitzar simultàniament.
7. Definició de probabilitat
La probabilitat és una quantificació o mesura de la possibilitat que tingui lloc un
esdeveniment (S).
Definició clàssica o a priori (Laplace)
Nombre de casos favorables a l’aparició de l’esdeveniment, dividit pel nombre
de casos possibles, igualment probables.
50
P( S) =
CF
CP
Definició freqüencialista o a posteriori (Bernoulli, Von Mises, Kolmogorof)
Nombre cap al qual tendeix la freqüència relativa del resultat quan el nombre
d’observacions tendeix a infinit. En aquesta definició s’assumeix que la
probabilitat és una freqüència relativa.
ni
N →∞ N
P( S ) = lim
Definició subjectivista (Keynes)
És el grau de credibilitat assignada per un individu en particular al fet que tingui
lloc un determinat esdeveniment.
No té formulació matemàtica.
8. Camp de variació de la probabilitat
La probabilitat varia entre 0 i 1, ja que és una freqüència relativa.
0 ≤ P( S ) ≤ 1
9. Variables aleatòries
Són variables que depenen de l’atzar.
Les variables aleatòries poden dividir-se en:
• Discretes, quan entre dos valors no n’hi ha cap d'intermedi.
• Contínues, quan entre dos valors sempre n’hi pot haver un d’intermedi.
10. Distribució de probabilitat d’una variable aleatòria discreta
És el conjunt format pels valors d’una variable aleatòria (que depèn de l’atzar) i
la probabilitat de cada valor o freqüència relativa.
El símbol utilitzat per a les variables aleatòries és una xi o una ξ.
Exemple:
Nre. fills(xi)
Probabilitat f(x)
0
0,30
1
0,25
2
0,35
3
0,10
Suma
1
La distribució pot presentar-se gràficament mitjançant un gràfic de barres.
51
Probabilitat
0,4
0,3
0,2
0,1
0
1
2
3
4
Fills
Funció de quantia
És la funció que proporciona la probabilitat de cada esdeveniment.
f(x) = P( ξ =x)
Propietats de la funció de quantia
1. f(x) ≥ 0
2.
∑ f (x) =1
Funció de distribució
Probabilitat acumulada fins a un valor.
F(x) = P( ξ ≤ x)
Presentació de la funció de distribució:
F(x) = 0 per xi <0
F(x) = 0,30 per 0 ≤ xi < 1
F(x) = 0,55 per 1 ≤ xi < 2
F(x) = 0,90 per 2 ≤ xi < 3
F(x) = 1 per xi ≥ 3
Probabilitat entre dos punts
• P (c < ξ ≤ d ) = F (d) – F (c)
• P (c < ξ < d ) = F (d-1) – F (c)
• P (c ≤ ξ < d ) = F (d-1) – F (c - 1)
• P (c ≤ ξ ≤ d ) = F (d) – F (c-1)
11. Distribució de probabilitat d’una variable aleatòria contínua
Si la v.a. és contínua, pot tenir tots els valors de l’interval (a,b) en el qual està
definida.
La probabilitat que una v.a. contínua agafi un valor determinat és sempre zero.
No hi ha funció de quantia.
Funció de densitat
Probabilitat d’un interval infinitesimal.
52
f (x ) = ∫
x + dx
x
f (x ) ⋅ dx
Perquè una funció sigui funció de densitat ha de complir les propietats
següents:
1.
f(x) ≥ 0
b
2.
∫ f (x ) ⋅ dx
a
=1
Funció de distribució:
Probabilitat acumulada fins a un valor.
F (x ) =
x
∫ f (x ) ⋅ dx
a
Probabilitat d’un interval
d
P(c ≤ξ ≤ d) = ∫ f (x) ⋅ dx= F(d) − F(c)
c
Exemple
La demanda diària d’un determinat tipus d’article segueix una llei de
probabilitat definida per la funció de densitat:
f(x) = 1 – ½ x per 0 ≤ x ≤ 2
f(x) = 0
per la resta de valors.
x està en milers d’unitats.
Es demana:
a) Funció de distribució.
b) Probabilitat que la demanda estigui entre 635 i 1.870 unitat.
a)
F (x ) =
∫
2
0
1
x2
1−
x ⋅ dx = x −
2
4
b)
P (635 ≤ ξ ≤ 1870

1, 87
 1, 87 −
4

2
)=
F (1,87 ) − F ( 0 , 635 ) =
 
0 , 635
 −  0 , 635 −
4
 
53
2

 = 0 , 461

12. Característiques d’una distribució de probabilitat
Mesura de posició: esperança matemàtica
Valor esperat o mitjana de la distribució.
•
•
V. a. discretes
E[xi ] = ∑xi f (x)
V. a. contínues
E [x i ] =
∫
b
a
xf ( x )dx
Propietats de l’esperança
1.
2.
3.
4.
E[ξ1 ± ξ 2 ] = E[ξ1 ] ± E[ξ2 ]
E kξ = kE ξ
[ ]
[ ]
E [k ] = k
E[ξ1 ·ξ 2 ] = E[ξ1 ]·E[ξ 2 ]
Mesures de dispersió: variància, desviació tipus
• Variància:
V [xi ] = ∑ xi2 f ( x ) − (E[xi ])
2
• V. a. discretes
b
V [xi ] = ∫ x 2 f ( x )dx − (E [xi ])
• V. a. contínues
• Desviació tipus:
2
a
σ = V [ xi ]
Propietats de la variància
1.
2.
3.
4.
V[ξ1 ±ξ2 ] =V[ξ1] +V[ξ2 ]
V kξ = k 2V ξ
[ ]
[]
V[k] = 0
V[ξ ± k] =V(ξ )
54
Distribució v.a. discreta
Nombre de fills esperats, variància i desviació
xi
0
1
2
3
Total
E[ xi ] =125
,
Pi
0,3
0,25
0,35
0,1
xi Pi
0
0,25
0,7
0,3
1,25
2
2
xi
0
1
4
9
x i Pi
0
0,25
1,4
0,9
2,55
V[ xi ] = 255
, −(125
, ) = 09875
,
2
σ = 0,9875=0,99
Distribució v.a. contínua
Vendes esperades
E [x i ] =
∫
2
0
x2
x3
1 
22 23

x  1 − x dx =
−
=
−
= 0 , 66
2
2
6
2
6


Vendes esperades = 0,66 × 1000 = 660
55
Models de variables aleatòries
Models de variables
aleatòries
Models de v.a. discretes
Models de v.a.
contínues
BINOMIAL
NORMAL
POISSON
T DE STUDENT
HIPERGEOMÈTRIC
A
KHI QUADRAT
F DE SNEDECOR
Per facilitar l’estudi de les distribucions de probabilitat de les variables
aleatòries, es treballa amb models concrets que en faciliten l’ús i la
interpretació.
La majoria d’aquests models poden transformar-se en una distribució normal,
en cas que compleixin determinades condicions.
Distribució binomial. B(n,p)
És la llei de les proves repetides, independents entre si (amb reemplaçament).
Es caracteritza perquè la variable presenta 2 caràcters possibles que acaparen
plegats tot l’espai de probabilitat.
Imaginem un experiment aleatori tal que la seva realització impliqui l’aparició
de l’esdeveniment S de probabilitat p, o l’aparició de l’esdeveniment contrari,
de probabilitat 1-p = q.
Fem n proves, independents; la variable aleatòria és:
ξ = nombre de vegades que apareix l’esdeveniment S en n proves.
B(n,p)
n = nombre de proves, p = probabilitat de l’esdeveniment S
Funció de quantia
 n
f (x) =   p x qn−x
 x
Funció de distribució
n
F(x) = ∑   pxqn−x
0  x
X
Característiques de la distribució
V[ξ] = n⋅ p⋅ q
E[ξ] = n⋅ p
56
Distribució de Poisson. P(a)
Es la distribució seguida per un esdeveniment de probabilitat molt petita però
que pot donar-se un nombre molt gran de vegades.
Variable aleatòria: ξ = nombre d’ocurrències de l’esdeveniment S durant un
gran nombre de proves.
P(a)
a = valor esperat
Funció de quantia
a x −a
f ( x) =
e
x!
Característiques de la distribució
E[ξ] = a
Funció de distribució
x
F ( x) = ∑
0
a x −a
e
x!
V[ξ] = a
Aplicació pràctica: en tots aquells esdeveniments de probabilitat molt petita
(accidents, trucades telefòniques, etc.).
Distribució hipergeomètrica
Aquest model és com la llei binomial però sense reemplaçament, és a dir, els
esdeveniments no són independents.
Sigui N el nombre d’objectes d’una població finita de manera que k sigui d’un
tipus i N-k d’un altre. Si se selecciona una mostra aleatòria de la població que
consta de n objectes, la probabilitat que x sigui d’un tipus i n-x de l’altre tipus és
determinada per la següent funció de quantia:
Funció de quantia
 k  N − k 
  

x
n
−
x

f ( x ) =  
N
 
n 
Funció de distribució
x
F ( x) = ∑
0
 k  N − k 
 

−
x
n
x
 

N
 
n 
Característiques de la distribució
E[ξ ] =
nk
N
V [ξ ] = npq
Aplicació pràctica
Control de qualitat.
57
N −n
N −1
Distribució normal o de Gauss
És la més important de les distribucions estadístiques de probabilitat.
Gauss va ser un dels primers que va utilitzar-la per estudiar els errors de
mesura.
Una llei normal es defineix mitjançant la mitjana i la desviació de la distribució
N(µ,σ).
El gràfic d’aquesta distribució és una campana definida en l’interval entre - ∞ i
+ ∞. La funció de densitat de la distribució normal és:
f (x ) =
1
2πσ
∫
+∞
−∞
−
e
( xi − µ )2
2σ 2
dx
La mitjana de la distribució ens indicaria la situació de la campana en un eix de
coordenades cartesianes, i la desviació si es tracta d’una campana més o
menys aplanada.
L’àrea sota de la corba normal és igual a 1.
Característiques de la distribució normal:
• És simètrica.
• No té límits en els extrems, és a dir, no talla mai l’eix d’abscissa.
• L’àrea sota la corba és igual a 1.
Hi ha moltes lleis normals però totes poden convertir-se, mitjançant la
tipificació, en una normal N(0,1). Això permet calcular qualsevol probabilitat
amb l’ajuda d’una taula.
zi =
xi − µ
σ
Exemple: N(60,2) el valor xi = 64.
N(0,1). En tipificar zi = 2.
L’àrea entre la mitjana i aquest valor és la mateixa.
58
Punts a destacar de la corba normal:
P(µ − σ ≤ ξ i ≤ µ + σ ) = 0,68
En la normal tipificada P(− 1 ≤ z i ≤ +1) = 0,68
P(µ − 2σ ≤ ξ i ≤ µ + 2σ ) = 0,95 En la normal tipificada P(− 2 ≤ z i ≤ +2 ) = 0,95
P(µ − 3σ ≤ ξ i ≤ µ + 3σ ) = 0,997 En la normal tipificada P(− 3 ≤ z i ≤ +3) = 0,997
Això indica que a partir de -3 i +3 pràcticament no hi ha probabilitat
Teorema de l’addició
La suma de diverses v.a. independents entre si, que són lleis normals, és una
altre v.a. que també segueix una llei normal.
Teorema central del límit
Si una v.a. és suma de diverses v.a. independents entre si, la seva distribució
tendirà a ser normal quan el nombre de sumands tendeixi a infinit.
59