Capı́tulo 1
Teorı́a de Conjuntos
El concepto de conjunto es de fundamental importancia en las matemáticas modernas.
La mayorı́a de los matemáticos creen que es posible expresar todas las matemáticas en el
lenguaje de la teorı́a de conjuntos. Nuestro interés en los conjuntos se debe tanto al papel
que representan en las matemáticas como a su utilidad en la modelización e investigación
de problemas en la informática. Los conjuntos fueron estudiados formalmente por primera
vez por Georg Cantor.
1.1.
Conjuntos y subconjuntos, pertenencia e inclusión
Definición 1.1.1 Definición informal de conjuntos y elementos.
Un conjunto es una colección de objetos, llamados elementos, que tiene la propiedad que
dado un objeto cualquiera, se puede decidir si ese objeto es un elemento del conjunto o no.
Observación 1.1.2
La definición de un conjunto no debe ser ambigua en el sentido de que pueda decidirse
cuando un objeto particular pertenece, o no, a un conjunto.
Los objetos pueden ser números, letras, rı́os, lugares, etc.
Para denotar conjuntos se utilizan, en general, letras mayúsculas como A, B, C, X,
Z, etc.
Entonces, vamos a convenir denotar a los conjuntos con letras mayúsculas y a sus elementos
con letras minúsculas.
La afirmación “el elemento a pertenece al conjunto A” se escribe
a∈A
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La negación de este hecho, ¬(a ∈ A) se escribe
a∈
/A
y se lee “a no pertenece al conjunto A”.
Ejemplo:
Sea A = {1, 2, 3}, entonces 1 ∈ A,
2 ∈ A,
4∈
/ A.
Definición 1.1.3 Cardinalidad de un Conjunto
Si A es un conjunto finito, se llama cardinal de A, a la cantidad de elementos de A y se
denota #A o |A|.
Ejemplo: Si A = {2, 4, 6, 8} entonces |A| = 4.
Las definiciones comunes de un conjunto son por extensión y por comprensión.
Definición 1.1.4 Un conjunto está definido por extensión cuando se especifican todos
los elementos que forman el mismo. Se enumeran todos sus elementos colocandolos entre
llaves y separandolos por comas.
Ejemplos:
El conjunto de las vocales del alfabeto:
A = {a, e, i, o, u}.
El conjunto formado por los números enteros, pares, no negativos, menores que 10:
B = {0, 2, 4, 6, 8}.
Nota 1.1.5 El orden de los elementos no importa en un conjunto, y en un conjunto no
se tiene en cuenta repeticiones de elementos.
A veces resulta inconveniente o imposible nombrar todos los elementos de un conjunto
(por ejemplo en el caso de conjuntos que tienen infinitos elementos). En tales casos el
conjunto se puede definir por comprensión.
Definición 1.1.6 Un conjunto está definido por comprensión cuando se especifica una
propiedad que caracteriza a todos los elementos del mismo.
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Ejemplos:
A = {x : x es una vocal del abecedario}
B = {x : x ∈ Z, x es par y 0 ≤ x < 10}
En general, A = {x : P (x)} donde P (x) es una propiedad que cumplen sus elementos.
Los siguientes conjuntos numéricos se denotan por sı́mbolos especiales:
N = {x : x es un número natural} = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
N+ = {x : x es un número natural positivo} = {1, 2, 3, 4, ...}
Z = {x : x es un número entero} = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
nm
o
Q = {x : x es un número racional} =
: m ∈ Z y n ∈ Z y n ̸= 0
n
R = {x : x es un número real}
Definición 1.1.7 Conjunto Universal y Conjunto Vacı́o
Los elementos de todos los conjuntos en consideración pertenecen a un gran conjunto fijo
llamado conjunto universal, que generalmente se denota U.
El conjunto que no tiene elementos se llama conjunto vacı́o y se denota ∅.
Definición 1.1.8 Subconjuntos e Inclusión.
Sean A y B dos conjuntos. Diremos que A está contenido en B, y lo notaremos A ⊆ B,
si cada elemento de A es un elemento de B. En este caso decimos también que A está
incluido en B, o que A es un subconjunto de B.
En sı́mbolos:
A ⊆ B ⇔ ∀x (x ∈ A → x ∈ B)
Si A no es un subconjunto de B se nota A ⊈ B. En sı́mbolos:
A ⊈ B ⇔ ∃x (x ∈ A ∧ x ∈
/ B)
Ejemplo 1.1.9
Sea A = {1, 2, 3} entonces
{1} ⊆ A,
N⊆Z⊆Q⊆R
{2, 3} ⊆ A,
∅ ⊆ A,
A ⊆ A,
{3, 4} ⊈ A.
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Si A ⊆ B y además B tiene al menos un elemento que no está en A, diremos que A está
estrictamente contenido en B y lo denotaremos por A ⊂ B.
En sı́mbolos:
A ⊂ B ⇔ A ⊆ B ∧ ∃x (x ∈ B ∧ x ∈
/ A)
Nota 1.1.10 El sı́mbolo ∀ significa “para todo” y el sı́mbolo ∃ significa “existe”.
Definición 1.1.11 Igualdad de Conjuntos.
Dos conjuntos A y B son iguales si tienen los mismos elementos.
A = B ⇔ A ⊆ B ∧ B ⊆ A,
o bien
A = B ⇔ ∀x (x ∈ A ↔ x ∈ B).
Es decir, A = B si tienen exactamente los mismos elementos (sin importar el orden y sin
tener en cuenta las repeticiones).
Ejemplo: Los conjuntos A = {Rojo, Amarillo, Azul} y B = {Azul, Rojo, Amarillo} son
iguales.
Proposición 1.1.12 Propiedades de la inclusión.
1) Todo conjunto A es subconjunto de sı́ mismo.
2) El conjunto vacı́o ∅ es subconjunto de cualquier conjunto.
3) Si A es un subconjunto de B y B es un subconjunto de C, entonces A es un subconjunto de C.
Demostración
1) ∀A : A ⊆ A ya que se cumple
∀x (x ∈ A → x ∈ A).
Esta última afirmación es verdadera ya que para cualquier x, siempre que el antecedente de la implicación sea verdadero, el consecuente también lo será. Ası́ la
implicación resulta verdadera.
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2) ∀A : ∅ ⊆ A ya que se cumple
∀x (x ∈ ∅ → x ∈ A).
Esta última afirmación es verdadera ya que para cualquier x, el antecedente de la
implicación es falso, luego la implicación resulta verdadera.
3) Suponemos el antecedente de la implicación que debemos demostrar, es decir, se
supone que:
A ⊆ B ⇔ ∀x (x ∈ A → x ∈ B)
(Hipótesis 1)
B ⊆ C ⇔ ∀x (x ∈ B → x ∈ C)
(Hipótesis 2)
Se quiere demostrar que
A⊆C
(Tesis),
es decir, se debe probar que
∀x (x ∈ A → x ∈ C).
Sea
x∈A
⇒x∈B
⇒x∈C
(1.1)
(por hipótesis 1)
(por hipótesis 2)
Luego, por Teorema de la deducción vale
x ∈ A → x ∈ C,
y dado que x es arbitrario queda demostrado (1.1).
Definición 1.1.13 Conjunto Partes.
Sea A un conjunto. El conjunto de partes de A, que se nota P(A), es el conjunto formado
por todos los subconjuntos de A, o sea el conjunto cuyos elementos son los subconjuntos
de A. Es decir,
P(A) = {X : X ⊆ A}
o bien
X ∈ P(A) ⇔ X ⊆ A.
Ejemplo 1.1.14
a) Sea A = {a, b}, entonces P(A) = {∅, {a}, {b}, A}.
b) Cualquiera sea el conjunto A, ∅ ∈ P(A) y A ∈ P(A).
c) P (∅) = {∅}, o sea el conjunto que tiene como único elemento al conjunto vacı́o.
Para pensar: Si A tiene n elementos, ¿cuántos elementos tendrá P(A)?
