Institución Educativa Privada “Tú ingreso, es nuestra meta” “STEVE JOBS” Magnitudes proporcionales I I. MAGNITUD Es todo aquello que experimenta cambios y puede ser medido. Por ejemplo: la sombra de un árbol, la velocidad de un automóvil, los días trabajados, etc. II. MAGNITUDES PROPORCIONALES Se dice que dos magnitudes son proporcionales, cuando al variar una de ellas la otra también varía. A DP B → A = constante B 2. Magnitudes inversamente proporcionales (IP) Un capataz contrata a 15 obreros para que construyan una pared en 10 días y luego de algunos razonamientos elabora la siguiente tabla: ÷3 ×2 III. CLASES DE MAGNITUDES A. Magnitudes directamente proporcionales (DP) Ejemplo: María realiza las compras en el mercado, en el cual adquirió 6 kg de gallinas por un costo de S/. 30. Comparando los valores de las magnitudes peso y costo, tendremos: ÷3 ×2 Peso Costo (S/.) 2 10 6 30 ÷3 12 60 ×2 Conclusiones: ●● Si el peso adquirido se duplica (6 × 2 = 12), el costo también se duplica (30 × 2 = 60). ●● Si el peso adquirido se reduce a la tercera parte (6 ÷ 3 = 2), el costo también se reduce a la tercera parte (30 ÷ 3 = 10). ●● Valores (peso) = 2 = 6 = 12 = cte. Valores (costo) 10 30 60 Definición Dos magnitudes son directamente proporcionales (DP) si al aumentar o disminuir una de ellas, el valor de la otra también aumenta o disminuye en la misma proporción. También se cumple que el cociente entre sus valores correspondientes es una cantidad constante. Es decir, dadas las magnitudes A y B: 1ro SECUNDARIA 49 N.° de obreros N.° de días 5 30 15 10 ×3 30 5 10 15 ÷2 Podemos observar: ●● Si se duplica el N.° de obreros (15 × 2 = 30), el número de días se reduce a la mitad (10 ÷ 2 = 5). ●● Si se reduce a la tercera parte el numero de obreros (15 . 3 = 5), el número de días se triplica (10 × 3 = 30) ●● El producto del número de obreros y número de días es constante. N.° de obreros × N.° de días = 5 × 30 = 15 × 10 = 30 × 5 = 150 (constante). Definición Dos magnitudes son inversamente proporcionales (IP) si al aumentar o disminuir una de ellas, la otra disminuye en el primer caso o aumenta en el segundo caso en la misma proporción. También se cumple que el producto entre sus valores correspondientes es una cantidad constante. Es decir, dadas las magnitudes A y B: A IP B → A × B = constante Aritmética Institución Educativa Privada “Tú ingreso, es nuestra meta” “STEVE JOBS” Observación: Fórmula empírica Es la fórmula a partir de la relación de diferentes magnitudes. Ejemplo: Si se cumple: A (DP) B2 A× C = cte B2 × D A (IP) C A (DP) D Trabajando en clase entre ellas y calcula m + n. Integral A B 1. Si A DP B cuando A = 12 y B = 18, calcula A si B = 36. 2. Si A es IP B3, entonces ________. # días # obreros obra velocidad tiempo 4 6 2 m n 12 24 1 Resolución: El cuadro muestra magnitudes IP. Entonces se cumple: A . B = cte 3. Determina si las siguientes parejas de magnitudes son directas (D) o inversas (I). # obreros 3 8 3 x 8 = 2.m y 3.8 = n.12 24 = 2.m y 24 = n.12 m = 12 y n=2 ∴ Se pide m + n = 12 + 2 = 14 Católica 9. ¿Cuántas parejas de magnitudes son directamente proporcionales en la fórmula mostrada? M.N.P.Q = cte R.S. 10. Si A es DP B e Ip cuando A = 5, B = 4; C = 6; calcular A cuando B = 36 y C = 3 4. Si A es IP B , cuando A = 4 y B = 9, calcula B si A = 2. Resolución: A . B = cte. A. 9 =2. B 4.3=2. B 11. Determina la fórmula para la relación entre magnitudes A IP B2 DP C IP C B =6 B = 36 UNI 12. Si A es DP B, cuando A = 15, B = 18, calcula B. cuando A = 20 Resolución: A = cte B 15 = 20 B 18 6 4 18 x 20 B= 15 3 1 5. ¿Cuál de todas las alternativas identifica a la fórmula entre magnitudes? A IP B DP C 6. Si A es IP con B, Dp con C cuando A = 3, B = 5 y C = 2, calcular C, cuando A = 9 y B = 15. 7. En: P.A.M = E R ¿Qué sucede con la magnitud E cuando todos les damos el triplicar? UNMSM B = 24 8. Según el siguiente cuadro de valores para las magnitudes A y B, determina la relación existente Aritmética 50 1ro SECUNDARIA Institución Educativa Privada “Tú ingreso, es nuestra meta” “STEVE JOBS” 13. Determina si es directa (D) o inversa (I). la relación entre las siguientes parejas de magnitudes distancia tiempo eficiencia # días dificultad capital 14. Para el siguiente cuadro de valores de 2 magnitudes M y N, calcula x2 . y obra tiempo M N 12 9 20 25 x 16 24 36 28 y 40 100 Sigo practicando Integral 21. En 16. Si A DP B cuando A = 18, B = 54, calcula A cuando B = 15. a) 6 c) 7 e) 9 b) 5 d) 8 cuando todas las demás se reducen a su mitad? a) Queda duplicado b) Se reduce a su mitad c) No varía d) Quedo cuadriplicado e) Queda triplicado 17. Si A3 es DP B , entonces la fórmula es: A3 = cte a) A3 . B = cte d) B 3 A e) b) A2 . B = cte = cte B c) A . B2 = cte 22. Se tiene el siguiente cuadro, el la cual M y N son inversamente proporcionales; calcula x + y. M N obra # días eficiencia # días dificultad # días # horas/diarias x 10 5 60 2 y d) 120 e) 180 23. Si A2 × B = cte. A B 3 19. Si A es DP B2 es IP C cuando A = 4, B = 3 y C = 8; calcular A cuando B = 9 y C = 27. a) 22 c) 24 e) 28 b) 23 d) 26 1 24 2 6 a) 2 d) 4 b) 3 e) 2 x 8 c) 5 UNMSM PUCP 24. Si P es DP a e IP R2, cuando P = 21, a = 49 y R = 6, calcula «a» cuando P = 12, R = 3. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 20. Si A es DP B y DP C, cuando A = 18, B = 12 y C = 15; calcula B, cuando A = 4 C = 10. a) 4 d) 5 b) 6 e) 10 c) 7 1ro SECUNDARIA 20 15 a) 100 b) 200 c) 150 18. Determina la relación entre las parejas de las magnitudes siguientes: # días T.R.I = U, ¿qué sucede con la magnitud U N.F.O 51 Aritmética Institución Educativa Privada “Tú ingreso, es nuestra meta” “STEVE JOBS” 29. Determina la fórmula: «A es inversamente proporcional a C y directamente proporcional a B». 25. Determina la fórmula para: A DP B IP C IP D2 a) b) c) A . B = cte C×D A2 × B = cte C×D 2 d) B = cte B . C . D2 e) A = cte B.C.D a) A × B = k C b) A × C = k B =k c) A B×C A × D2 = cte B×C d) A × B × C = k 26. Se tiene el siguiente cuadro: A B 20 81 halla x + y. a) 18 b) 80 60 9 x 25 c) 70 d) 66 e) y 36 1 =k A×B×C 30. Se tiene el siguiente cuadro: M N e) 68 halla x + y a) 18 b) 120 27. Si A es DP B e IP a «C», cuando A = 8, B = 5 y C = 4, calcular A cuando B = 10 y C = 16. a) 14 c) 8 e) 10 b) 12 d) 4 3 5 12 20 c) 60 d) 59 x 15 e) 80 UNI 28. Para el siguiente cuadro de valores de 2 magnitudes A y B, calcula x + y. A B a) 52 b) 51 16 28 9 21 c) 53 d) 47 Aritmética 64 56 x 14 49 y e) 50 52 1ro SECUNDARIA 30 y
