Los números relativos

Universidad Estatal a Distancia
Escuela Ciencias de la Administración
Cátedra de Estadística
VIDEOTUTORÍA Estadística I
Capítulo 4
Los Números Relativos
Arlyne Alfaro Araya
Los números relativos
Números relativos ayudan a resumir la información, a hacer
comparaciones con otros grupos de datos, a expresar relación entre
dos o más números. Se incluyen razones, porcentajes, tasas e índices.
Razón
Relación entre dos números. Los números pueden provenir del mismo
universo de datos o universos diferentes.
Sea A=50 la cantidad de hombres y sea B=25 la cantidad de mujeres
A/B= 50/25 = 2, Hay 2 hombres por cada mujer.
Los números relativos
Proporción
Es una razón pero relaciona dos números del mismo universo y relaciona una parte con el
todo.
Sea A=450 la cantidad de hombres y sea B=150 la cantidad de mujeres, entonces C=600
total de hombres y mujeres.
A/(A+B)= A/C = 450/600 = ¾= 0,75 , varía entre 0 y 1.
Amplificación para facilitar la interpretación multiplicando con 100 o 1000 etc, según sea el
caso
0,75*100= 75% , de los estudiantes el 75% son hombres.
Índice de masculinidad: hombres/mujeres= 50/25=2, 2 hombres por cada mujer
2*100=200, se expresa 200 hombres por cada 100 mujeres.
Los números relativos
Importancia de la base en la razón o proporción
Ejemplo: pág. 131
Mujeres regidoras en 1990=157
Mujeres regidoras 2010= 442
Aumento absoluto entre 1990 y 2010 = 285
1. 442/157 *100 = 281%, por cada 100 mujeres regidoras del 1990 hay 281 en el 2010.
2. 285/157 * 100= 181%. El número de mujeres regidoras aumentó un 181% con
respecto al 1990. O bien por cada 100 regidoras electas en el 1990 hubo 181 más en
el 2010.
3. 157/442 * 100 = 35%, por cada 100 regidoras 2010 había 35 en el 1990.
4. 285/442 * 100= 64%. El aumento en el número de regidoras representa un 64% del
total de regidoras en 2010.
Los números relativos
Ejemplo:
Una universidad aceptó un total de 4.500 estudiantes nuevos para el próximo año lectivo,
en lugar de los 4.000 recibidos este año.
Si se quiere saber en qué medida está la universidad respondiendo a las demandas de
ingreso el valor absoluto no es suficiente.
Si se sabe que el número de aspirantes fueron 8.000 y 10.000 en cada año, se pude calcular
la proporción de admitidos:
1. 4.000/8.000 * 100 = 50%, se recibieron 50 de cada 100.
2. 4.500/10.000 * 100= 45%, se recibirán 45 de cada 100.
A pesar de que en términos absolutos se están recibiendo 500 estudiantes más,
relativamente se reciben un 5% menos con respecto a los aspirantes de cada año.
Los números relativos
Ejemplo:
1. Si decimos que el 45% de la población es masculina cuanto sería el total de hombres si
el total de la población es de 4.000.000?
4.000.000*0,45 = 1.800.000
2. Cuánto sería el porcentaje y la cantidad de mujeres?
1-0,45 = 0,55
4.000.000*0,55= 2.200.000
3. Si la población urbana es de 3.000.000 y representa un 60% cuánto es la población total.?
X*0,60=3.000.000
X=3.000.000/0,60=5.000.000
Los números relativos
Ejemplo:
4. Si hacemos compras en una tienda por 60.000 y tenemos que sumarle el 13% de I.V.
cuánto es el total a pagar?
60.000*0,13 = 7.800
60.000 + 7.800 = 67.800
Es lo mismo que:
60.000*1,13 = 67.800
5. Si el total pagado es de 75.000 con I.V.I. cuánto es el valor de las compras sin impuesto?
75.000/1,13 = 66.372
Los números relativos
Ejemplo: Pág. 133
Suponga que el número promedio de visitantes por semana a un parque de diversiones
era de 2.000. Al gerente le informan que ese número se ha reducido en un 40%.
En qué porcentaje debe aumentarse el número semanal de visitantes para obtener de
nuevo una visita promedio de 2.000?
El 40% de 2.000 es 2.000*0,40 = 800, 2.000-800=1.200. Esta es la cantidad de visitantes que
actualmente llegan rebajando el 40%.
800/1.200*100= 66,7% representa el % de visitantes que debe aumentarse.
1.200*0,667=800
1.200+ (1.200*0,667)= 1.200+800=2.000.
Los números relativos
Tasas
Frecuencia relativa de un fenómeno en un período dado.
Tasas vitales: tasa bruta de natalidad, tasa bruta de mortalidad, tasa de crecimiento natural.
Tasa bruta de natalidad = (Nacimientos vivos ocurridos durante el año natural Z/ Población
total a mitad de año natural Z)*1.000.
Taza bruta de natalidad= (75.187 / 4.451.205) *1.000= 16,9 por mil.
En 2008 ocurrieron en Costa Rica alrededor de 17 nacimientos por cada mil habitantes.
Si la tasa de mortalidad es igual a 4,0 por mil habitantes
Tasa de crecimiento natural = tasa natalidad menos tasa de mortalidad.
(16,9 – 4 = 12,9 por mil)
En 2008, Costa Rica creció a un ritmo de 13 personas por cada 1.000 habitantes.
Los números relativos
Tasas de crecimiento: resumen el comportamiento de una variable en un cierto período e
implican la selección de un modelo de crecimiento.
Nt : población en el año final t.
No: población en el año inicial o.
r : tasa de crecimiento por período
t : número de años (tiempo)
Modelo aritmético: supone que la población creció en una cantidad igual cada año. El aumento
se aplica a la población inicial de cada período, así que los aumentos absolutos son
constantes.
r = (Nt-No)/(No) *(1/t)
Nt = No (1+ rt)
Los números relativos
Ejemplo: Pág. 139
En 1993 Costa Rica recibió 684.005 turistas y en el 2008 ingresaron 2.089.174. Cuál es el
crecimiento en el número de turistas ingresados durante 15 años?
(Nt- No) / (No) = aumento relativo en 15 años
(2.089.174-684.005)/684.005 = 2,0543 *100 = 205,43%
205,43% indica que por cada 100 turistas que ingresaron en el ´93, en el ´08 entraron 205.
Para determinar la tasa de crecimiento, debe relacionarse el cambio relativo con el tiempo
transcurrido (15 años) y suponer que el número de turistas que ingresan siguen un
determinado patrón de crecimiento
Los números relativos
Ejemplo:
Si se supone un crecimiento aritmético (crece la misma cantidad cada año)
r = (Nt-No) / (tNo)
r = (2.089.174-684.005)/ (15*684.005) *100 = 13,69%
13,7% tasa promedio anual de crecimiento del número de turistas entre 1993 y 2008.
Proyección de la cantidad de turistas para el 2013, tomando como base el 2008:
Nt = No (1+ rt), si r= 13,69 y t = 5 años
N2013 = 2.089.174*(1+ 0,1369*5) = 3.519.213
Los números relativos
Modelo geométrico: supone que la población crece en un mismo porcentaje cada año. La tasa
es aplicada a la población al principio de cada año incorporando los aumentos de cada año.
Aumentos anuales absolutos son crecientes.
Nt = No (1+ r)t
r = (Nt / No)(1/t) -1
Modelo exponencial: Incrementos se dan en períodos regulares anuales, los aumentos se
producen al final de cada año. La tasa se aplica a la población del comienzo del año.
Crecimiento continuo.
Nt = No ert
r = 1/t ln(Nt/No)
Los números relativos
Comparación gráfica de las
curvas de crecimiento
Los números relativos
Algunos ejemplos del uso de números relativos con datos del censo de población del 2000
Porcentaje de población urbana: Población urbana / población total *100
= 2.249.414/3.810.179*100 = 59%, en el 2000, 59 de cada 100 personas residentes en Costa Rica
vivían en la zona urbana
Densidad de población: Población total/superficie en km2
=3.810.179/51.100= 74,6 habitantes/km2
Tasa bruta de actividad = (PEA, julio 2008)/(Población total julio 2008)
=(2.059.613/4.533.162)*100=45,4%, En el 2008 participaban en la actividad económica un 45,4%
de la población total.
Índice de Masa Corporal: Peso (kg)/m2
= 60/(1,60)2 = 23,43, Menos de 25 está en peso ideal
Los números relativos
Promedio de relativos
Cuando se requiere hacer un promedio de los relativos (proporciones, razones o
tasas índices) de diferentes zonas o grupos para obtener un valor para un
conjunto, es posible calcular un promedio simple solo si los valores relativos
tienen la misma base de lo contrario debe usarse un promedio ponderado.
Ejemplo
En una encuesta de opinión realizada en enero del 2009 se entrevistó a personas de
18 años y más y se les preguntó si en la vivienda donde residían tenían
computadora.
Los números relativos
Población costarricense de 18 años y más residentes en viviendas con computadora según
región. Enero 2009
Número de residentes
Porcentaje residen en
Costarricense 18
Región
en viviendas con
vivienda con
años y más
computadora
computadora
Metropolitana
1.432.786
858.239
59,9%
Resto Valle Central
449.540
180.266
40,1%
Resto de país
904.732
281.372
31,1%
COSTA RICA
2.787.058
1.319.877
Fuente: Instituto Nacional de Estadística y Censos. Encuesta Hogares y Propósitos Múltiplos 2008.
Cuál es la proporción a nivel nacional de entrevistados que residen en viviendas con
computadora?
El promedio simple es= (59,9+40,1+31,1)/3= 43,7%. Este valor no es correcto porque supone que el
número de costarricenses adultos es el mismo en cada una de las zonas, lo que no es cierto.
Lo correcto es ponderar por el número de costarricenses que hay en cada región.
El porcentaje de adultos residentes en viviendas donde hay computadora =
1.319.877/2.787.058 = 47,3%
Los números relativos
Índices
Es un número que expresa el cambio relativo ocurrido entre un período o
situación base y otro período o situación de interés específico, período de
referencia, en un conjunto de variables.
Permiten comparaciones de las variables de un cierto fenómeno a los largo del
tiempo o del espacio.
Índice simple, son relativos simples construidos para una sola variable
Índices compuestos, consideran un grupo de variables.
• Precio-cantidad en el año de interés / precio-cantidad en el año base * 100
Los números relativos
Ejemplo de Índice simple: pág. 156
Se desea analizar la evolución del número de homicidios en Costa Rica tomando como base el
año 1990, el índice para el año 1999 sería:
Número homicidios 1999/Número homicidios 1990= 236/135 *100= 174,8%
Por cada 100 homicidios de 1990 se produjeron 175 en el año 1999.
Para el año 2009, el índice = 525/135*100=388,9%, El número de homicidios en el 2009 alcanzó 3,9
veces los ocurridos en 1990.
Número de homicidios registrados anualmente en el período
1990-2009
Año
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
Número
homicidios
135
128
162
166
184
179
195
205
214
236
Número
homicidios
Año
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
241
243
236
285
251
310
318
334
484
525
Fuente: Estadísiticas Vitales 1990-2009. Unidad Estadísticas Demográficas, INEC
Los números relativos
Índices de precios:
Mide la evolución de los precios para un conjunto de productos. Refleja la variación en el
poder adquisitivo de la moneda (colón, dólar etc).
Agregado simple = es la suma de los precios de los artículos en el año de interés y dividiendo
entre la suma de precios del año base. Sirve principalmente para series cronológicas.
Ejemplo: pág. 160
Suponga que una familia consume solo 5 artículos y se está interesado en conocer cómo ha
afectado los cambios en los precios de esa “canasta” de artículos que consume en 3 años.
Los números relativos
Consumo familiar de cinco artículos
Artículo
Arroz bolsa
Aceite
Sal
Café
Pan baguette
Total
Unidad
2 kg
1 litro
bolsa 500 gms
bolsa 1 kg
corriente
Año base 2003
400
485
90
1170
200
2345
Año 1 2006
600
690
140
2415
320
4165
Año 2 2009
1220
1100
200
1730
400
4650
Índice 2006-2003 = 4.165/2.345*100 = 177,6%.
Por cada 100 colones pagados en el 2003 se deben pagar en el 2006, 178 colones
Tiene la desventaja de no considerar las cantidades consumidas de cada artículo y
su importancia dentro del consumo familiar, además de que se ve afectado por la
unidad de medida con la que se recoge el precio.
Solo toma en cuenta el total gastado por año.
Los números relativos
Índices de precios ponderados
Se multiplica el precio de cada producto para cada año de interés por la cantidad
comprada para cada producto en el año de referencia. Con la suma de estos productos
por año se calcula el índice.
Fórmula de Laspeyres: Considera en el cálculo la canasta de productos del año base.
I= (Σ pn*qo)/(Σpo*qo),
donde po y qo son el precio y cantidad del año base
pn es el precio del año de interés.
Si el índice es 174,4% para la relación 2003-2006 se interpreta: Comprar la canasta de
bienes del 2003 cuesta un 74% más en el 2006.
Por los cambios en las costumbres de compra de las familias la canasta de productos del
año base se va desactualizando.
Los números relativos
Fórmula de Paasche: Considera en el cálculo la canasta de productos del año de interés o
actual.
I= (Σ pn*qn)/(Σpo*qn),
donde po el precio del año base
pn y qn son el precio y cantidad del año de interés.
Si el índice es 172,5% para la relación 2003-2006 se interpreta: El costo de las cantidades
compradas de cada bien en el año 2006 es un 72,5%, más caras de lo que había costado en el
año 2003.
Para mantener actualizada la canasta debe mantener un registro continuo de las cantidades
consumidas de cada artículo en cada año, por lo que si solo se quiere es medir los cambios
en los precios es más práctico el uso de Laspeyres, además de que éste último permite hacer
comparaciones entre cada año y el año base como también entre años.
Articulo
Arroz
Sal
Café
Azúcar
Leche
Laspeyres
2007 (0)
P0
Q0
10
20
8
1
40
2
16
15
36
2
2010 (1)
P1
Q1
20
18
9
1
40
2
17
17
37
2
I= (Σ pn*qo)/(Σpo*qo),
Articulo
Arroz
Sal
Café
Azúcar
Leche
Total
Índice
Paasche
I= (Σ pn*qn)/(Σpo*qn),
2007 (0)
20*10
1*8
2*40
15*16
2*36
600
2010 (1)
20*20
1*9
2*40
15*17
2*37
818
600/600*100=100
818/600*100=136
La canasta de productos del año base (2007)
cuesta en 2010 un 36% más de lo que costó
en el año base.
Artículo
P 07-Q10
P 10-Q10
Arroz
18*10
18*20
Sal
1*8
1*9
Café
2*40
2*40
Azúcar
17*16
17*17
Leche
1*36
2*37
Total
612
812
Indice
812/612*100 =133
Los costos de la canasta comprada en 2010 es un
133% de lo que había costado en el año 2007.
Los números relativos
Aspectos que deben considerarse para cálculo de los índices:
•
•
•
•
•
•
selección del período base (típico o normal),
selección de los artículos (ingresos, hábitos de consumo y gasto de las familias),
fórmula para el cálculo del índice (según uso que se dará),
ponderaciones o pesos de los artículos (importancia relativa en el presupuesto),
procedimiento de recolección (artículos y cantidades),
cambios de calidad y productos nuevos
Los números relativos
•
Usos de índices de precios:
Indica la evolución de los precios para un conjunto de productos. Refleja la variación en el
poder adquisitivo de la moneda (colón, dólar etc).
Cuando se tienen valores de una serie expresados en una cierta moneda que ha sufrido
cambios en su poder adquisitivo, es difícil comparar o sacar conclusiones acerca de su
comportamiento, por lo que se deflacta la serie para remover el efecto del cambio en los
precios y expresarla en Valores reales.
•
Para deflactar se toma las cifras de una serie indicadas en colones de los años en
consideración (Valores nominales) y se divide entre los índices de precios de esos años,
obteniendo una nueva serie expresada en colones con el poder adquisitivo del año base
del índice.
Valor real en colones del año base=
valor nominal del año Z/Índice de precios del año Z* 100
Los números relativos
Deflactar precios
Ejemplo: Si el salario mensual de un operario de la industria era de $540 en enero de 1991 y de $600
en abril de 1994. Queremos deflactar $600.
El número índice del mes al que se quiere llevar este monto: IPC de enero de 1991, base 1988=100.
El número índice del mes en el que se encuentra expresado originalmente este monto: IPC abril de
1994, base 1988=100.
•
La fórmula es: $600*(IPC Enero1991)/ IPC Abril 1994 = (600*141.703,9 )/306.980,6 =
= $ 276,9
Con este cálculo, la capacidad de compra de ambos salarios se vuelve comparable. El resultado
muestra que, entre enero de 1991 y abril de 1994, el poder adquisitivo del salario de un operario
de la industria se redujo de $540 a $276,9. En otros términos, con el salario de $600 en 1994, este
operario puede adquirir un 49 % menos de lo que podía adquirir con su salario de $ 540 en 1991.
(276,9-540)/540)= -0,488
Muchas gracias…
Licenciada
Arlyne Alfaro Araya
Tutora de Estadística, Cátedra de Estadística
Escuela de Ciencias de la administración,
ECA
UNED