Sucesiones Concepto de sucesión Se llama sucesión a un conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro. a 1 , a 2 , a 3 ,..., a n / 3, 6, 9,..., 3n Los números a 1 , a 2 , a 3 , ...; se llaman términos de la sucesión. El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión. El término general es a n es una expresión matemática que nos permite determinar cualquier término de la sucesión. Determinación de una sucesión: Por el término general El término general es a n es un criterio que nos permite determinar cualquier término de la sucesión. a n = 2n-1 a 1 = 2 ·1 - 1 = 1 a 2 = 2 ·2 - 1 = 3 a 3 = 2 ·3 - 1 = 5 a 4 = 2 ·4 - 1 = 7 1, 3, 5, 7,..., 2n-1 No todas las sucesiones tienen término general. Por ejemplo, la sucesión de los números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,... Por una ley de recurrencia Los términos se obtienen operando con los anteriores. Escribir una sucesión cuyo primer término es 2, sabiendo que cada término es el cuadrado del anterior: 2, 4, 16,... Sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ... Los dos primeros términos son unos y los demás se obtienen sumando los dos términos anteriores. Sucesiones especiales Números triangulares 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ... Esta sucesión se genera a partir de una pauta de puntos en un triángulo. Añadiendo otra fila de puntos y contando el total encontramos el siguiente número de la sucesión. Pero es más fácil usar la regla xn = n(n+1)/2 Ejemplo: El quinto número triangular es x5 = 5(5+1)/2 = 15, y el sexto es x6 = 6(6+1)/2 = 21 Números cuadrados 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ... El siguiente número se calcula elevando al cuadrado su posición. La regla es xn = n2 Números cúbicos 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ... El siguiente número se calcula elevando al cubo su posición. Sucesiones y Progresiones Página 2 de 11 La regla es xn = n3 Números factoriales ¡y cualquier otra sucesión que veas en tus viajes! Progresiones aritméticas Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d. 8, 3, -2, -7, -12, ... 3 - 8 = -5; -2 - 3 = -5; -7 - (-2) = -5; -12 - (-7) = -5…. d= -5. Término general de una progresión aritmética 1 Si conocemos el 1er término y la razón d. a n = a 1 + (n - 1) · d 8, 3, -2, -7, -12, .. a n = 8 + (n-1) (-5) = 8 -5n +5 = = -5n + 13 2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión y la razón d. a n = a k + (n - k) · d a 4 = -7 y d= -5 a n = -7+ (n - 4)· (-5)= -7 -5n +20 = -5n + 13 Interpolación de términos en una progresión aritmética Interpolar medios diferenciales o aritméticos entre dos núme ros, es construir una progresión aritmética que tenga por extremos los números dados. Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m. Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12. 8, 3, -2, -7, -12. Casi siempre, al hablar de interpolar medios, hemos de calcular la nueva diferencia o razón d. Sucesiones y Progresiones Página 3 de 11 1 Halla la d para interpolar 5 medios aritméticos entre 26 y 80. Respuesta: 9 (la progresión es: 26. 35. 44. 53. 62. 71. 80) 2 Entre 65 y 165 queremos interpolar 9 medios aritméticos. Calcula d y la suma de todos los términos. Respuestas: d = 10; S = 1265 3 Entre –5 y –35 interpolar 5 medios aritméticos. Escribe la progresión. Respuesta: d = -5; la progresión es: -5,-10,-15,-20,-25,-30,-35. 4 Las edades de 11 personas están en progresión aritmética y la suma de todas ellas es de 561, si la mayor tiene 86 años, ¿cuántos tiene la más joven? Respuesta: 16 años. Solución: Primero calculamos el valor de d de la fórmula del último término: Como nos ha quedado una ecuación con dos incógnitas, necesitamos otra ecuación que la tomamos de la fórmula de la suma: Dividiendo ambos miembros del signo ‘=’ por 11 nos queda: Conociendo el valor de d calculamos el valor del primer término: Sucesiones y Progresiones Página 4 de 11 Suma de términos equidistantes de una progresión aritmética Sean a i y a j dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que la suma de términos equidistantes es igual a la suma de los extremos . ai + aj = a1 + a n a 3 + a n-2 = a 2 + a n-1 = ... = a 1 + a n 8, 3, -2, -7, -12, ... 3 + (-7) = (-2) + (-2) = 8 + (-12) -4 = -4 = -4 Suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética 5 Existe una progresión aritmética con este formato: …………14,6.16.……………..44 Sabemos que tiene 31 términos. ¿Cuánto vale la suma de todos los términos? Respuesta: 713 6 La sucesión es una progresión aritmética? Si lo es, ¿cuánto vale el término 15 y la suma de los 50 primeros términos? Respuestas: Se trata de una progresión aritmética de La suma de los 50 primeros términos = 127,50 Solución: Para calcular el valor de d restamos Ejercicios de progresiones aritméticas 1 El cuarto término de una progresión aritmética es 10, y el sexto es 16. Escribir la progresión. 2 Escribir tres medios aritméticos entre 3 y 23. 3 Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12. 4 El primer término de una progresión aritmética es -1, y el décimoquinto es 27. Hallar la diferencia y la suma de los quince primeros términos. 5 Hallar la suma de los quince primeros múltiplos de 5. 6 Hallar la suma de los quince primeros números acabados en 5. Sucesiones y Progresiones Página 5 de 11 7 Hallar la suma de los quince primeros números pares mayores que 5. 8 Hallar los ángulos de un cuadrilátero convexo, sabiendo que están en progresión aritmética, siendo d= 25º. 9 El cateto menor de un triángulo rectángulo mide 8 cm. Calcula los otros dos , sabiendo que los lados del triángulo forman una progresión aritmética. 10 Calcula tres números en progresión aritmética, que suman 27 y siendo la suma de sus cuadrados es 511/2. Progresiones geométricas Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, llamada razón. Si tenemos la sucesión: 3, 6, 12, 24, 48, ... 6 / 3 = 2; 12 / 6 = 2; 24 / 12 = 2; 48 / 24 = 2; r= 2. Término general de una progresión geométrica 1 Si conocemos el 1er término y la razón r. a n = a 1 · r (n- 1) 3, 6, 12, 24, 48, .. a n = 3· 2 (n – 1) = 3· 2 n · 2 – 1 = (3/2)· 2 n 2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión. a n = a k · r n- k a 4 = 24, k=4 y r=2. an = a4 · rn – 4 a n = 24· 2 n – 4 = (24/16)· 2 n = (3/2)· 2 n Interpolación de términos en una progresión geométrica Interpolar medios geométricos o proporcionales entre dos números, es construir una progresión geométrica que tenga por extremos los números dados. Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m. Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48. 3, 6, 12, 24, 48. Sucesiones y Progresiones Página 6 de 11 Suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente Calcular la suma de los términos de la progresión geométrica decreciente ilimitada: En la fórmula de la suma de los n primeros términos de una PG , si -1 < r < 1, se tiene que , es decir, rn se acercará a cero tanto como queramos, tomando n suficientemente grande. En consecuencia la fórmula de la suma de los infinitos términos de una PG sería . Calcula la longitud de la línea quebrada cuando el proceso de inscribir cuadrados se hace infinito. ¿Cómo será el perímetro del copo en ese mismo caso? Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48, ... Producto de dos términos equidistantes Sean ai y aj dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que el producto de términos equidistantes es igual al producto de los extremos. ai . aj = a 1 . an a 3 · an- 2 = a 2 · an- 1 = ... = a 1 · an 3, 6. 12, 24, 48, ... 48 · 3 = 6 · 24 = 12 · 12 144 = 144 =144 Producto de n términos equidistantes de una progresión geométrica Calcular el producto de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48, ... Sucesiones y Progresiones Página 7 de 11 Cálculo del término general de una sucesión 1 Comprobar si la sucesión es una progresión aritmética. 8, 3, -2, -7, -12, ... d= -5 a n = 8 + (n - 1) (-5) = 8 -5n +5 = -5n + 13 2 Comprobar si la sucesión es una progresión geométrica. 3, 6, 12, 24, 48, ... r= 2 a n = 3· 2 n- 1 3 Comprobar si los términos de la sucesión son cuadrados perfectos. 4, 9, 16, 25, 36, 49, ... Observamos que las bases están en progresión aritmética, siendo d = 1, y el exponente es constante: b n = 2 + (n - 1) · 1 = 2 + n -1 = n+1 Por lo que el término general es: a n = (n + 1) 2 También nos podemos encontrar con sucesiones cuyos términos son números próximos a cuadrados perfectos. 5, 10, 17, 26, 37, 50 ... a n = (n + 1) 2 + 1 6, 11, 18, 27, 38, 51, ... a n = (n + 1) 2 + 2 3, 8, 15, 24, 35, 48, ... a n = (n + 1) 2 - 1 2, 7, 14, 23, 34, 47, ... a n = (n + 1) 2 - 2 4 Si los términos de la sucesión cambian consecutivamente de signo. Si los términos impares son negativos y los pares positivos: Multiplicamos a n por (-1) n . -4, 9, -16, 25, -36, 49, ... a n = (-1) n (n + 1) 2 Si los términos impares son positivos y los pares negativos: Multiplicamos a n por (-1) n- 1 . 4, -9, 16, -25, 36, -49, ... a n = (-1) n- 1 (n + 1) 2 5 Si los términos de la sucesión son fraccionarios (no siendo una progresión). Se calcula el término general del numerador y denominador por separado. Sucesiones y Progresiones Página 8 de 11 a n = b n /c n 2/4, 5/9, 8/16, 11/25, 14/36,... a n = (3n - 1)/(n + 1) 2 II. Término General de una Sucesión Se llama término general de una sucesión, y se simboliza con aun, al término que representa uno cualquiera de ella. Hay sucesiones cuyo término general puede expresarse mediante una fórmula: Dándole a n un cierto correspondiente. valor natural, se obtiene el término En otras sucesiones, para hallar un término es necesario operar con dos o más de los anteriores y se llaman sucesiones recurrentes. Para hallar un término concreto hay que obtener, previamente, todos los anteriores. Ejemplos: 1) 5; 8; 12; 17; 23 2) 42; 36; 28; 18; 6; 8 3) 1; 2 ;6 ; 24; 120; 720 III. Tipos De Sucesiones a) Sucesión por Recurrencia En las cuales encontramos la serie Fibonacci. Es aquella en la cual se usa sus términos anteriores para formar el siguiente. Ejemplo: 1; 1; 2;3 ; 5; 8; 13; ……. b) Sucesiones Aritméticas Ejemplos: 5; 8; 12; 17; 22;… 30; 28; 26; 24; 22;… c) Sucesiones geométricas Ejemplos: 5; 20; 80; 320; 1280;… 600; 300; 150; 75;… d) Sucesiones combinadas Ejemplos: Sucesiones y Progresiones Página 9 de 11 0; 4; 8; 12; 24; 28;….. 30; 15; 20; 10; 15;… e) Sucesiones alternadas Son las que se dan al intercalar don o más sucesiones que se rigen cada uno de ellas por su respectiva ley de formación. Ejemplos: 6; 5; 8; 7; 11; 10; 15; 14; 20; 19 Solución 1º) 6; 8; 11; 15; 20 2º) 5; 7; 10; 14; 19 2; 17; 2; 16; 4; 14; 12; 11; 48; 7 Solución 1º) 2; 2; 4; 12; 48 2º) 17; 16; 14; 11; 7 f) Sucesiones Literales Es un conjunto de letras del abecedario, cuyo procedimiento es el mismo que el de una sucesión numérica. Se considera a la letra “CH” y “LL” cuando por lo menos una de ellas aparece como dato del problema. Ejemplos: A; C; E; G; I; J A; CH; G; J; N; P g) Sucesiones Alfanuméricas Es una sucesión donde convergen una sucesión numérica y una sucesión literal o alfanumérica, cada uno con respecto a la ley de formación. Ejemplos: 1; C; 2; E; 4; I; 7; Ñ Solución 1º) 1; 2; 4; 7 2º) C; E; I; Ñ h) Sucesiones graficas Se da por lo general en los gráficos circulares, cuya ley de formación puede ser en sentido horario o antihorario. Solución 4; 9; 16; 25; 36; X Donde x=36+13=49 IV. Termino Enésimo Es el término general mediante el cual se obtiene un término cualquiera de la sucesión en función de otros anteriores. Sucesiones y Progresiones Página 10 de 11 Este término será dado por la variable “n” que toma los valores de 1, 2, 3, …. y así sucesivamente donde se obtiene el primer, segundo,… y así sucesivamente el Enésimo Termino. Sucesiones y Progresiones Página 11 de 11
