Posiciones relativas en el espacio

POSICIONES RELATIVAS EN EL ESPACIO
1.- Posición relativa entre dos planos:
Dos planos en el espacio π1 y π2 pueden ser entre sí paralelos, secantes y coincidentes.
π 1 ≡ Ax + By + Cz = D
y
π 2 ≡ A' x + B ' y + C ' z = D '
⎧ Ax + By + Cz = D
⎛A B C⎞
⎛ A B C D⎞
Se forma: ⎨
Donde: M = ⎜⎜
⎟⎟ ; M * = ⎜⎜
⎟⎟
⎩ A' x + B' y + C ' z = D '
⎝ A' B ' C ' ⎠
⎝ A' B ' C ' D ' ⎠
Se puede presentar:
-
Si rg(M)=1 y rg(M*)=1, el sistema es compatible indeterminado con dos grados
de libertad, lo que corresponde a planos coincidentes.
Si rg(M)=1 y rg(M*)=2, el sistema es incompatible, lo que se corresponde con
planos paralelos.
Si rg(M)=2 y rg(M*)=2, el sistema es compatible indeterminado con un grado de
libertad, lo que se corresponde con planos secantes.
Además
los
planos
A B C D
=
=
=
,
A' B' C ' D'
proporciones.
serán
paralelos
si
A B C D
=
=
≠
,
A' B' C ' D'
coincidentes
si
y secantes si no se cumple alguna de las tres primeras
2.- Posiciones relativas de tres planos:
Sea los planos π1, π2 y π3, de ecuaciones:
π 1 ≡ Ax + By + Cz = D
π 2 ≡ A' x + B' y + C ' z = D'
π 3 ≡ A' ' x + B ' ' y + C ' ' z = D ' '
Donde:
En el sistema:
⎧ Ax + By + Cz = D
⎪
⎨ A' x + B ' y + C ' z = D '
⎪ A' ' x + B ' ' y + C ' ' z = D ' '
⎩
D⎞
⎛ A B C⎞
⎛ A B C
⎟
⎟
⎜
⎜
M = ⎜ A' B ' C ' ⎟ y M * = ⎜ A' B ' C ' D ' ⎟
⎜ A' ' B ' ' C ' ' ⎟
⎜ A' ' B ' ' C ' ' D ' ' ⎟
⎠
⎠
⎝
⎝
Se puede presentar:
-
Si rg(M)=3 y rg(M*)=3, el sistema es compatible determinado, y los tres planos
se cortan en un punto.
Si rg(M)=2 y rg(M*)=3, el sistema es incompatible, y los planos pueden ser
secantes dos a dos o dos paralelos y el tercero secante a ambos.
-
-
Si rg(M)=2 y rg(M*)=2, el sistema es compatible indeterminado con un grado de
libertad, y los planos pueden ser que se corten en una recta o que dos planos
sean coincidentes y el tercero los corte en una recta.
Si rg(M)=1 y rg(M*)=2, el sistema es incompatible, y los planos pueden ser
paralelos entre sí o que dos sean coincidentes y el tercero paralelo a ambos.
Si rg(M)=1 y rg(M*)=1, el sistema es compatible indeterminado con dos grados
de libertad, y los planos son coincidentes
3.- Posiciones relativas de dos rectas:
r
r
Sean dos rectas r y s de la forma: r ≡ ( A, v r ) y s ≡ ( B, v s ) , las rectas pueden ser:
→ r r
r r
- Que se cruzan: rg ( v r , v s ) = 2 y rg ( AB, v r , v s ) = 3
→ r r
r r
- Secantes: rg ( v r , v s ) = 2 y rg ( AB, v r , v s ) = 3
→ r r
r r
- Paralelas no coincidentes: rg ( v r , v s ) = 1 y rg ( AB, v r , v s ) = 2
→ r r
- Paralelas coincidentes: rg ( AB, v r , v s ) = 1
4.- Posiciones relativas entre un plano y una recta:
Dados una recta r y un plano π en el espacio, pueden ser secantes, paralelos o que la
recta esté contenida en el plano.
⎧ A' x + B' y + C ' z = D'
Sean: π ≡ Ax + By + Cz = D y r ≡ ⎨
⎩ A' ' x + B' ' y + C ' ' z = D ' '
⎧ Ax + By + Cz = D
⎪
En el sistema: ⎨ A' x + B ' y + C ' z = D '
⎪ A' ' x + B ' ' y + C ' ' z = D ' '
⎩
D⎞
⎛ A B C⎞
⎛ A B C
⎟
⎟
⎜
⎜
Donde: M = ⎜ A' B ' C ' ⎟ ; M * = ⎜ A' B ' C ' D ' ⎟
⎜ A' ' B ' ' C ' ' ⎟
⎜ A' ' B ' ' C ' ' D ' ' ⎟
⎠
⎠
⎝
⎝
Se puede presentar:
-
Si rg(M)=3 y rg(M*)=3, el sistema es compatible determinado, y la recta y el
plano se cortan en un punto.
Si rg(M)=2 y rg(M*)=3, el sistema es incompatible, y la recta y el plano son
paralelos.
Si rg(M)=2 y rg(M*)=2, el sistema es compatible indeterminado con un grado de
libertad, la recta está contenida en el plano.