UNIVERSIDAD NACIONAL DE LOJA AREA DE LA ENERGÍA, LAS INDUSTRIAS Y LOS RECURSOS NATURALES NO RENOVABLES CARRERA DE INGENIERÍA ELECTROMECÁNICA APUNTES DE DINÁMICA 10 CAPITULO III CINÉTICA DE PARTÍCULAS: MÉTODOS DE LA ENERGÍA Y DEL MOMENTO LINEAL Ing. Milton León Tapia, Mg. Sc. 3.8. TEOREMA DEL MOMENTO LINEAL ( Principio del Impulso y Momento) El tercer método para la solución de problemas que involucran movimiento de partículas, se basa en el principio del impulso y la cantidad de movimiento, y se usa para resolver problemas que implican fuerza, masa, velocidad y tiempo. Es de particular interés en la resolución de problemas que implican movimiento impulsivo e impacto. Considere una partícula de masa m sobre la que actúa una fuerza F. Aplicando la segunda ley de Newton, se puede escribir: Donde mv es la cantidad de movimiento lineal. Si se multiplica ambos miembros de (3.32) por dt, y luego se integra desde el tiempo t1 hasta el tiempo t2, se obtiene: Ing. Milton León Tapia, Mg. Sc. Transponiendo el último término: El vector representado por la integral de la ecuación anterior, se conoce como impulso lineal, o simplemente impulso de la fuerza F, durante el intervalo de tiempo Δt = t2 – t1 Descomponiendo F en sus componentes, se puede escribir: Se hace notar que las componentes del impulso de la fuerza F, son iguales al área bajo las curvas que se pueden graficar con Fx, Fy, y Fz expresadas en términos del tiempo (Fig. 3.13) Ing. Milton León Tapia, Mg. Sc. Fig. 3.13 Si se usan unidades del SI, la magnitud del impulso se expresa en N•s = kg.m/s, y en unidades de los países de habla inglesa, en: lb•s (son las mismas unidades de la cantidad de movimiento. La ecuación (13.28) expresa que cuando sobre una partícula actúa una fuerza F durante un intervalo dado, la cantidad de movimiento final mv2 de la partícula puede obtenerse al sumar vectorialmente su cantidad de movimiento inicial mv1 y el impulso de la fuerza F durante el intervalo considerado (figura 3.14). Esto es: Ing. Milton León Tapia, Mg. Sc. Fig. 3.14 Adviértase que si bien la energía cinética y el trabajo son cantidades escalares, la cantidad de movimiento y el impulso son cantidades vectoriales. Para obtener una solución analítica, es necesario entonces sustituir la ecuación (3.36) por las correspondientes ecuaciones de componentes (3.37) Ing. Milton León Tapia, Mg. Sc. Si varias fuerzas impulsivas actúan sobre una partícula, debe considerarse el impulso de cada una de ellas; por tanto: La ecuación (3.38) representa una relación entre cantidades vectoriales; en la solución real de un problema, ésta debe sustituirse por las correspondientes ecuaciones de las componentes. Cuando un problema incluye dos o más partículas, cada partícula puede considerarse por separado y la ecuación (3.38) debe ser escrita para cada partícula. También es posible sumar vectorialmente las cantidades de movimiento de todas las partículas y los impulsos de todas las fuerzas implicadas. Se escribe entonces Ing. Milton León Tapia, Mg. Sc. Puesto que las fuerzas de acción y reacción ejercidas por las partículas entre sí forman pares de fuerzas iguales y opuestas, y puesto que el intervalo de t1 a t2 es común para todas las fuerzas implicadas, los impulsos de las fuerzas de acción y reacción se cancelan y sólo necesitan ser considerados los impulsos de las fuerzas externas. Si no se ejerce fuerza externa sobre las partículas o, de manera más general, si la suma de las fuerzas externas es cero, el segundo término en la ecuación (3.38) se anula y la ecuación (3.38) se reduce a: La ecuación (3.40) expresa que la cantidad de movimiento total de las partículas, se conserva (Principio de conservación de la cantidad de movimiento). Consideremos, por ejemplo, dos botes, de masas mA y mB, inicialmente en reposo, que están siendo jalados uno por el otro (figura 3.15). Ing. Milton León Tapia, Mg. Sc. Fig. 3.11 Fig. 3.15 Si se desprecia la resistencia del agua, las únicas fuerzas externas que actúan sobre los botes son sus pesos y las fuerzas de flotación ejercidas sobre ellos. Puesto que estas fuerzas están equilibradas, se escribe: donde vA y vB representan las velocidades de los botes después de un intervalo de tiempo finito. La ecuación obtenida indica que los botes se mueven en direcciones opuestas (uno hacia el otro) con velocidades inversamente proporcionales a sus masas. Ing. Milton León Tapia, Mg. Sc. 3.9. MOVIMIENTO IMPULSIVO. Una fuerza que actúa sobre una partícula durante un breve intervalo, pero que es de valor suficientemente grande para producir un cambio definido en la cantidad de movimiento se conoce como fuerza impulsiva y el movimiento resultante se denomina movimiento impulsivo. Por ejemplo, cuando se golpea una pelota de béisbol, el contacto entre el bate y la pelota se realiza durante un intervalo Δt muy corto. Sin embargo, el valor promedio de la fuerza F ejercida por el bate sobre la pelota es muy grande, y el impulso resultante F Δt es lo suficientemente grande para cambiar el sentido de movimiento de la pelota (figura 3.16). Fig. 3.16 Cuando actúan fuerzas impulsivas sobre una partícula, la ecuación (3.38) se convierte en: Ing. Milton León Tapia, Mg. Sc. Es posible ignorar cualquier fuerza que no sea una fuerza impulsiva, puesto que el impulso correspondiente FΔt es muy pequeño. Las fuerzas no impulsivas incluyen el peso de un cuerpo, la fuerza ejercida por un resorte o cualquier otra fuerza que se sabe que es pequeña comparada con una fuerza impulsiva. Las reacciones desconocidas quizá sean o no impulsivas; sus impulsos deben consecuentemente incluirse en la ecuación (3.41) siempre que no se haya demostrado que se pueden ignorar. El impulso del peso de la pelota de béisbol considerada antes, por ejemplo, puede ignorarse. Si se analiza el movimiento del bate, también es factible ignorar el impulso del peso del bate. Los impulsos de las reacciones de las manos del jugador sobre el bate, sin embargo, deberán incluirse; estos impulsos no serán despreciables si la pelota se golpea de manera incorrecta. Ing. Milton León Tapia, Mg. Sc. Debe notarse que el método del impulso y la cantidad de movimiento es en particular efectivo en el análisis del movimiento impulsivo de una partícula, ya que implica sólo las velocidades inicial y final de la partícula y los impulsos de las fuerzas ejercidas sobre la misma. Por otro lado, la aplicación directa de la segunda ley de Newton requeriría la determinación de las fuerzas como funciones del tiempo y la integración de las ecuaciones de movimiento sobre el intervalo t. En el caso del movimiento impulsivo de varias partículas, es posible usar la ecuación (3.39), la cual se reduce a: El segundo término de la ecuación anterior, implica sólo fuerzas impulsivas externas. Si todas las fuerzas externas que actúan sobre las diversas partículas son no impulsivas, se anula el segundo término de (3.42) y la ecuación se reduce a la ecuación (3.40). Se escribe: Ing. Milton León Tapia, Mg. Sc. que expresa que la cantidad de movimiento total de las partículas se conserva. Esta situación ocurre, por ejemplo, cuando dos partículas que se mueven libremente chocan entre sí. Sin embargo, se debe advertir que mientras se conserva la cantidad de movimiento total de las partículas, su energía total no se conserva en general. Ing. Milton León Tapia, Mg. Sc. Ejemplo 1. La velocidad inicial del bloque en la posición A es de 30 ft/s. Si se sabe que el coeficiente de fricción estática entre el bloque y el plano es μk = 0.30, determine el tiempo que tarda el bloque en alcanzar B con velocidad cero, si a) θ = 0, b) θ = 20°. Ing. Milton León Tapia, Mg. Sc. Ing. Milton León Tapia, Mg. Sc. Ejemplo 2. Sobre una partícula de 2 kg actúa una fuerza F = (8 – 6t)i + (4 – t2)j + (4 + t)k, donde F se expresa en newtons. Si se sabe que la velocidad de la partícula es v = (150 m/s)i + (100 m/s)j – (250 m/s)k en t = 0, determine a) el tiempo en el cual la velocidad es paralela al plano yz, b) la velocidad correspondiente de la partícula. Ing. Milton León Tapia, Mg. Sc. Ing. Milton León Tapia, Mg. Sc. Ejemplo 3. Un velero y sus ocupantes con un peso de 980 lb navegan a favor del viento a 8 mi/h cuando se levanta otra vela para incrementar su rapidez. Determine la fuerza neta proporcionada por la segunda vela durante el intervalo de 10 s que requiere el velero para alcanzar una rapidez de 12 mi/h. Ing. Milton León Tapia, Mg. Sc. Ing. Milton León Tapia, Mg. Sc. Ejemplo 4. La bala B pesa 0.5 oz y los bloques A y C pesan 3 lb cada uno. El coeficiente de fricción entre los bloques y el plano es μk = 0.25. En un inicio, la bala se mueve con una velocidad v0 y los bloques A y C se encuentran en reposo (figura 1). Después de que la bala pasa a través de A se incrusta en el bloque C y los tres objetos se detienen en las posiciones mostradas (figura 2). Determine la rapidez inicial v0 de la bala. Ing. Milton León Tapia, Mg. Sc. Ing. Milton León Tapia, Mg. Sc. Ing. Milton León Tapia, Mg. Sc. Ejemplo 5. Un carro de ferrocarril de 20 Mg que se mueve a 4 km/h se acoplará con un carro de 40 Mg que se encuentra en reposo con las ruedas aseguradas (μk = 0.30). Determine a) la velocidad de ambos carros después de completar el acoplamiento, b) el tiempo que le toma a ambos carros quedar en reposo. Ing. Milton León Tapia, Mg. Sc. Ing. Milton León Tapia, Mg. Sc. GRACIAS Ing. Milton León Tapia, Mg. Sc.
