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Función lineal
Felipe Marín Álvarez
Función lineal
2019
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FUNCIÓN LINEAL
La función lineal permite modelar diversos problemas de depreciación lineal entre otras aplicaciones. La definición formal se detalla a continuación:
Definición 1. Toda función f : R → R definida por f (x) = mx + n donde m, n ∈ R, se
denomina función lineal. Las constantes m y n se denominan pendiente y coeficiente de posición
respectivamente.
Ejemplo 1.
f (x) = 3x + 1, función lineal con pendiente m = 3 y coeficiente de posición n = 1.
f (x) = 2x, función lineal con pendiente m = 2 y coeficiente de posición n = 0.
Teorema 1. Considere f : R → R una función lineal definida por f (x) = mx + n, entonces:
f está definida en todo R, es decir Dom(f ) = R.
La Imagen de la función lineal depende de la naturaleza de la constante m, la cual se
denomina pendiente. De hecho:
si m 6= 0
R
Im(f ) =
{n} si m = 0
Si m > 0, entonces f (x) = mx + n es una función creciente.
Si m < 0, entonces f (x) = mx + b es una función decreciente.
Si m 6= 0 entonces f tiene función inversa f −1 (y) =
y−b
.
m
Como se ha mencionado las funciones permiten modelar y resolver diversos problemas de aplicación. Por ejemplo, el costo, el ingreso o la utilidad de un determinado negocio, podrı́a presentarse como una función lineal. Ası́, una función costo podrı́a expresarse por C(q) = Cv + Cf ,
notemos que el costo variable dependerá de la pendiente y el costo fijo será nuestro coeficiente
de posición.
O también la función utilidad U (q) = I(q) − C(q) que se encuentra dada por la diferencia entre
los ingresos y los costos. Por nombrar algunos casos.
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A continuación revisemos algunas aplicaciones de la función lineal.
Ejemplo 2. Un negocio con un capital inicial de $200.000 tiene ingresos y gastos semanales
de $40.000 y $32.000, respectivamente. Si todas las utilidades se conservan en el negocio:
1. Exprese el valor del negocio en términos del número de semanas t.
Solución. Observe que el valor del negocio se incrementa semanalmente en $8.000 (que
corresponde a la diferencia entre lo que ingresa y lo que gasta), por lo tanto la función
que relaciona el valor del negocio y el número de semanas es:
v(t) = 200000 + 8000t
2. ¿Después de cuántos meses el valor del negocio es $328.000?
Solución. Para determinar cuándo el valor del negocio será de $328000 debemos resolver
la siguiente ecuación:
v (t) = 328000 ⇔ 200000 + 8000t = 328000
⇔ 8000t = 128000
⇔t=
128
= 16
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Por lo tanto el negocio alcanzará el valor de $328000 en la semana 16.
3. ¿En cuántas semanas el negocio adquirirá un valor que duplique el capital inicial?
Solución. Para determinar cuándo el valor del negocio será el doble del capital debemos
resolver la siguiente ecuación:
v (t) = 400000 ⇔ 200000 + 8000t = 400000
⇔ 8000t = 200000
⇔t=
200
= 25
8
Por lo tanto el negocio alcanzará el valor de $400.000 en la semana 25.
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Ejemplo 3. En la fabricación de un componente para una máquina, el costo inicial de un
troquel es de US$850 y todos los costos adicionales son de US$ 3 por unidad producida:
1. Exprese el costo C como función lineal del número q de unidades producidas.
Solución. Observe que el costo de producir unidades es:
C(q) = 3q + 850
2. ¿Cuántas unidades se producen si el costo total es de US$ 1.600?
Solución. Para determinar cuántas unidades producen un costo de 1600 dólares, debemos resolver la siguiente ecuación:
C (q) = 1600 ⇔ 850 + 3q = 1600
⇔ 3q = 750
⇔ q = 250
Por lo tanto el costo total es de 1600 dólares si se producen 250 unidades.
Finalmente, notemos que la función costo presenta un costo fijo de 850 dólares, lo que podrı́a
ser, por ejemplo, el valor de pago mensual por concepto de arriendo. Y además presenta un
costo variable de 3 dólares por cada artı́culo que produzca. Ası́, observemos que su gráfica
será una lı́nea recta como se muestra a continuación:
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Referencias bibliográficas
1. Haeussler - Paul (1990). Matemáticas para Administración y Economı́a, Décima Edición.
México: Editorial Pearson,Prentice Hall.
2. Rodrı́guez, J. Carballo, A. Cruz, T. Hernández O. (2000). Razonamiento Matemático.
Fundamentos y Aplicaciones, segunda edición. México: Thomson Editores internacional.
3. Swokowski, E. (1974). Algebra Universitaria sexta Impresión. México: C.E.C.S.A.
4. Tan, Soo T (2012). Matemáticas Aplicadas a los Negocios, las Ciencias Sociales y de la
Vida, Quinta Edición. México: Editorial Cengage Learning.
