Razonamiento Matematico-Pre-Universitaria-Ing-Mario-Paiva

D
esde el presente año, empezarán las variaciones y modificación en el planteamiento de los exámenes de admisión, sobre todo en 10 que respecta al
curso de Razonamiento Matemático, es por ello, que realizando un estudio de
mercadeo y condicionamiento aplicados a las pruebas de ingreso, los postulantes y
personas interesadas, encontrarán una diversidad de temas y ejercicios, editados en la
presente obra, de tal manera acondicionada, de acuerdo al requerimiento de cualquier
prospecto de la institución universitaria, para que el joven que postule, este preparado
para rendir la exigente evaluación y así, de esta forma se adjudique tan ansiada vacante;
necesariamente debe cubrir este requisito para realizar los estudios académicocientíficos universitarios.
Debo señalar, que las pruebas en este campo (Razonamiento Matemático) tienen como
finalidad ubicar la verdadera orientación aptitudinal del joven para el área que ha
elegido, de tal manera que recomendamos, observar, analizar y cuestionar su verdadera
preparación académica, antes de considerar asistir a la prueba.
Desde aquí deseamos 10 mejor a nuestra juventud.
Gracias por su adquisición.
Ing. Mario Paiva Ramos
mariopaivaramos.hotmail.com
Telf. 01-9-803-62-06
A
mi madre Isabel, a mi padre Mario, a mis hermanos,
Jorge, Carlos, Miguel y Joen, y desde aquí a mis hijos
Alissa y Mario, de recordar en la vida, que lo más indispensable es la lucha constante de mantenerse vivo, para estar
siempre con los seres que tanto uno quiere.
Expreso también mi gratitud a Dios y deseo pedirle como
siempre, me lleve con bien y me traiga con bien a donde me lleve
mi destino laboral.
También quiero aprovechar para saludar a mis amigos y colegas
que cultivo durante mis recorridos por toda nuestra hermosa
Latinoamérica, les deseo lo mejor a todos sin excepción, y
aprovecho en dar las gracias al apoyo incondicional de todos
ellos.
Ing. Mario Paiva
Autor
Ihif.!~~Elfffi!~!':f!ª[f
> Capítulo N°1:
> Capitulo N° 2:
> Capítulo N° 3:
> Capítulo N° 4:
> Capítulo N° 5:
> Capítulo N° 6:
> Capitulo N° 7:
> Capítulo N° 8:
> Capitulo N° 9:
> Capitulo N°10:
> Capítulo N°11:
> Capitulo N°12:
> Capítulo N°13:
> Capítulo N°14:
> Capitulo N°15:
> Capítulo N°16:
> Capitulo N°17:
> Capitulo N°18:
> Capítulo N°19:
> Capítulo N° 20:
> Capitulo N° 21:
> Capítulo N° 22:
> Capitulo N° 23:
MATEMÁTICA LÓGICO - RECREATIVA
SERIES CONTINUAS
Del N° 01 al N" 80
Del N°81 al N" 106
INDUCCiÓN MATEMÁTICA I
• Expresiones al Infinito
Del N° 107alN" 114
INDUCCiÓN MATEMÁTICA 11
• AplicaciónAlgebraica
• Ecuaciones Exponenciales
Del N·115al N" 120
INDUCCiÓN MATEMÁTICA 11 I
Del N·121 al N" 136
MÁXIMOS COMUNES
• Divisores y Múltiples
Del N·137al N" 152
DIVISIBILIDAD OPERATIVA
ALGORITMIASENSORIAL
LOGARITMOS I ALGORITMOS
Del N° 153al N" 169
Del N·170al N" 188
Del N° 189al N" 210
RAZÓNARITM~TICA
• RAZÓN GEOM~TRICA
• Proporción: Aritmética I Geométrica
• Cálculos de Términos
• P.A.: Continua y Discrela
• P.G:ContinuayDiscrela
• R.G: Equivalentes Continuas
• RazónArmónica
• P.Armónica: DiscrelayContinua
• P.Armónica:Anarmónica
Del N° 211 al N" 243
SUCESIONES NUM~RICAS NOTABLES
• Sucesiones:Aritméticas y Geométricas
• Sucesiones: Polinomial I Por Recurrencia
• Sucesionesde:SA/S.G/S.P.
Del N° 244 al N" 263
RELACIONES BINARIAS
• Fracciones
Del N° 264 al N" 276
SUCESIONES MATEMÁTICAS
SUCESIONES LITERALES
NUMERACiÓN
PROPORCIONALIDAD
OPERADORES MATEMÁTICOS
OPERADORES MATEMÁTICOS EN lR
OPERATIVIDAD ECUACIONAL
PLANTEOS ECUACIONALES
Del N° 277 al N" 284
Del N° 285 al N" 295
Del N° 296 al N" 309
DeIN·310aIN·321
Del N· 322 al N" 343
Del N· 344 al N" 363
Del N· 364 al N" 380
Del N· 381 al N" 394
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
• Sistemas Equivalentes
• Sistema Lineal No Homogéneo
• Sistema Lineal Homogéneo
• Regla de Cramer
Del N· 395 al N" 403
SUMATORIAS
• Sumas Notables
• Naturales al Cuadrado
• Naturales al Cubo
• NúmerosAcrios
• Series Geométricas Decrecientes
• Aplicación de Propiedades
Del N· 404 al N" 433
ESTADlsTICADESCRIPTIVA
• Esladlstica Inferencial
• Distribuciones de Frecuencias
Del N· 434 al N" 447
> Capitulo N° 24:
> Capítulo N° 25:
> Capitulo N° 26:
> Capitulo N° 27:
> CapítuloN°28:
>
Capítulo N° 29:
> CapltuloN°30:
> CapítuloN°31:
MEZCLASYALEACIONES
• Regla de Mezcla
• Precio Unitario
• Costo Parcial
• Precio Medio
• Mezcla Directa /Inversa
• Regla deAspa
• MezclaAlcohólicas
Del N" 448 al N" 459
PLANTEAMIENTOS SOBRE EDADES
PLANTEAMIENTOS SOBRE MÓVILES
DelN"460alN"471
Del N" 472 al N" 482
REGLAS DEALEACIÓN
• Ley de una Aleación
• Escala de Ley
• Liga deAleación
• Número de Kila!es
• Conversión de Número de Kilates (Au) a la Ley
Del N" 483 al N" 495
CALCULOS DE RENDIMIENTO Y
MAGNITUD MATEMATICAPROPORCIONAL
Del N" 496 al N" 512
ANALlSIS COMBINATORIO
• Factoriales
• Permutaciones
• Variaciones
• Combinaciones
• Permutación Circular
• Permutación de Repetición
Del N" 513 al N" 533
PROBABILIDADES I
• Aleatorias (E)
• Muestral (n)
Del N" 534 al N" 550
MATRICES
• Matriz Cuadrada
• Matriz Nula
• Igualdad de Matrices
• Operaciones con Matrices
• Multiplicación por un Escalar
• Multiplicación de Matrices
• Traza de una Matriz
• MatrizTriangularSuperior
• MatrizTriangularlnferior
• Matriz Diagonal
• Matriz Escalar
• Matriz Unidad o Identidad
• Casos Particulares
• MatrizTranspuesta
• Matriz Simétrica
• Matriz Hemisimétrica
• Matriz Conjugada
• Matriz Hermética
• Matriz Hemihermética
• Determinante de una Matriz Cuadrada
• Determinante de Segundo Orden
• Determinante de Tercer Orden
• Regla de Sarrus
• MatrizAdjunta
• Determinante de MatrizAdjunta
• Matriz Inversa
• MatrizAmpliada
• Matriz Ortogonal
• Submatrices
• Rango de una Matriz
Del N" 551 al N" 601
> CapítuloN'32:
> Capítulo N' 33:
> Capitulo N' 34:
> Capítulo N' 35:
> Capitulo N' 36:
> Capítulo N' 37:
> Capitulo N' 38:
> CapítuloN'39:
> CapítuloN'40:
> CapltuloN'41:
> CapltuloN'42:
> CapltuloN'43:
> CapltuloN'44:
> CapítuloN'45:
> CapltuloN'46:
> CapítuloN'47:
> CapltuloN'48:
> CapítuloN'49:
> CapltuloN'50:
> CapítuloN'51:
> CapítuloN'52:
> Capítulo N' 53:
> CapítulO N' 54:
> Capitulo N' 55:
> Capitulo N' 56:
> Capitulo N' 57:
> Capítulo N' 58:
> CapítuloN'59:
> CapltuloN'60:
> CapltuloN'61:
• Matrices Equivalentes
• Matriz Canónica
PROBLEMAS SOBRE RELOJES
• Problemas de Horarios
Del N' 602 al N' 621
DESCUENTO INTEGRAL
PLANTEO DE INTERÉS I
REPARTO PROPORCIONAL
REGLADE COMPAÑiA
REGLADEL TANTO POR CIENTO
REGLADE INTERÉS 11
REGLADETRESI
RESOLUCiÓN DE OPERACIONES ELEMENTALES
Del N' 622 al N' 632
Del N' 633 al N' 651
Del N' 652 al N' 662
Del N' 663 al N' 676
Del N' 677 al N' 694
Del N' 695 al N' 700
Del N' 701 al N' 714
Del N' 715 al N' 734
TANTO POR CIENTO
• Regla de Tres 11
Del N' 735 al N' 752
PROPORCIONALIDAD INTEGRAL 11
Del N' 753 al N' 770
REGLADE DESCUENTO
• Letra de Cambio
• Valor Nominal
• Valor Actual
• Tiempo de Vencimiento
• Descuento
• Descuento Comercial
• Descuento Racional
• Pagos Equivalentes
• Vencimiento Común
Del N' 771 al N' 786
CÁLCULOS TOPOLÓGICOS
PERIMETROS POLIGONALES
CONTEOS GEOMÉTRICOS
GEOMETRIAINTUITIVA
REGIONES POLIGONALES
ÁREAS GEOMÉTRICAS INSCRITAS
ÁREAS SOMBREADAS
CÁLCULO GEOMÉTRICO TRIANGULAR
CÁLCULO EN CUADRILÁTEROS
POLIEDROS REGULARES E IRREGULARES
PIRÁMIDEYTRONCO DE PIRÁMIDE
Del N' 787 al N' 805
Del N' 806 al N' 824
Del N' 825 al N' 848
Del N' 849 al N' 868
Del N' 869 al N' 889
Del N' 890 al N' 904
Del N' 905 al N' 928
Del N' 929 al N' 951
Del N' 952 al N' 971
Del N' 972 al N' 975
Del N' 976 al N' 983
CILINDRO RECTO DE REVOLUCiÓN
• Tronco de Cilindro Recto
Del N' 984 al N' 990
CONO RECTO DE REVOLUCiÓN
• TroncodeConoRecto
Del N' 991 al N' 999
ESFERA
• Superficie Esférica - Partes
Del N' 1000 al N' 1005
FIGURAS GIRATORIAS
• TeoremadePappusyGuldin
Del N'1006 al N' 1011
BANCO DE PROBLEMAS DESARROLLADOS
• NivelAcadémico: Superior
• 481 Problemas con Solucionario Explicado
• Métodos y Artificios
Del N'1012 al N' 1491
SIMULACRO INTEGRAL
• NivelAcadémico: Repaso Total
• 1045 Problemas (Solucionario en Claves)
• Temas Variados
Del N'1492 al N' 2536
TABLERO DE RESPUESTAS
® deParaFermrn,
el brindis por el cumpleaños
se ha servido vino a 60
G) Tú no puedes mover las fichas 1; 3 Y
7. ¿Cuántas fichas, de las otras, debes mover como mínimo para lograr
que los números de las tres filas horizontales, las tres filas verticales y
las 2 diagonales presenten la misma
suma?
A)1
B)2
C)3
~¡:
0 0
'2'
\.V
® CD ®
® ® 0
RESOLUCION:
000C::
®
o
CD (-":
® ® C) 1Rpta. el
1'5'
\.V
~"aA"~
,..-_ _
personas en dos clases de copas:
las más pequeñas eran de 30 mt
y las más grandes eran de 40 mt.
Para la ocasión se habran comprado 3 botellas de vino de "a" litros,
de las que se gastaron completamente 2 y fue necesario abrir la
tercera, para terminar de servir dos
copas de las grandes.
Si las damas brindaron con las copas pequeñas y los caballeros con
las grandes. ¿cuántas damas estuvieron presentes? (1 litro =1000 mt)
A)28 B)30 C)32 E)35 E)36
RESOLUCION:
Se sirvieron 2080 mt.
Estando las 60 copas, servimos 30
mta cada una, van 60x30 =1800 mt
Con los 280 mi que nos quedan tenemos para completar 10 mi a 28
copas de las grandes.
En consecuencia son 60 - 28 = 32
las damas.
1Rpta. I
4+4-V4=6
5+5+5=6
.,,¡:.¡a.;a = 6
8-
9 - 9 +Y9r--.9==-,6,--~
Rpta.
1
el
® ¿Es
posible encontrar dos números
menores que diez que sumados re-
sulte un cuadrado perfecto y multiplicados den un cubo perfecto?
A) sr, es posible
B) No hay esos números
C) Son números irracionales
O) Son imaginarios
E) Ninguna anterior
RESOLUCION:
Los números 8 y 1 cumplen la condición del problema.
1 Rpta. A I
@ EntreAlfredo y Luis tienen menos de
6 hijos, Luis tiene más hijos que Ramón y aunque Alfredo tuviera un hijo
menos, seguiría teniendo más hijos
que Ramón. ¿Cuántos hijos tienen
entre los tras?
A)4
B)5
C)6
0)7
E)8
RESOLUCION:
Alfredo tiene 3; Luis 2 y Ramón 1
1 Rpta. C I
® Un
caminante ha recorrido 1000 m,
unas veces avanzando otras retrocediendo. Si sólo ha avanzado 350 m.
¿Cuánto anduvo retrocediendo?
A) 675
B)820
C)325
0)765
E)460
RESOLUCION:
Oe no haber retrocedido habria avanzado 1000 m, como sólo avanzó 350
m, entonces de los 1000-350 = 650m,
la mitad (325 m) avanzó y la otra mitad (325 m) retrocedió.
1 Rpta. I
e
@
30 naranjas, entonces el precio de
cada naranja varia.
A) entre 2 y 3 soles
B)entre 1 y3soles
C) entra 1 y 6 soles
O) entre 2 y 3 soles
E) el precio es único de 3 soles
RESOLUCION:
...
60
PreCIo maxlmo =
= 6 c/u
24=x-x+x-x ............ oo
E)48
24 =x-Jx-x+x-x ..... rol,
24
24=x-24
I
~ x=48
I 1Rpta. E I
® Las
letras A; B; CyO representan a4
números enteros tales que al ser divididos entre 5, dejan siempre residuos
diferentes de cero y diferentes entre
sí. ¿En qué cifra terminaA+B+C+O?
A)En5
B)EnO
C) En una cifra diferente de Oy 5
O) En 5 ó O
E) No se puede saber
RESOLUCION:
Los números deben ser:
1; 5, +2;
3; 5. +4; lue"o
(5 + 1)+ (5 + 2)+ <,5 +.3) + (5+4)= 5+
+(1 +2+3+4)=5+5
10
5+
.. ..
30
PreCIo mlmmo = 30 = 1c/
r:~u-,-_
1Rpta. C l'
e!) Una acequia de regadio debe atra-
vesar 2 chacras YA" y"B"; la primera
de 320m y la segunda de 232m. Los
propietarios contratan a un obrero
por 5/.92 y los 3 hacen el trabajo en
partes iguales. ¿Cuánto debe pagar el propietario de "A"?
A) 5/.24
C)S/.52
B) 5/.48
0)5/.60
E) 5/. 68
RESOLUCION:
El obrero cobró 92 soles por hacer
(320+232) + 3 = 164 m, o sea 0.50
soles por metro. El propietario A, de
los 320 m el mismo hizo 184 m, al
obrero le pagó por 320 - 184 = 136m
que a 5/.0.50 porm resulta:
136 x 0.50 = 68 soles
"1Rp'--ta-.-E"'I
Hallar el valorde "x" en:
A)O B) 1 C)24 O) 12
RESOLUCION:
Paradoja de Bo/zano
e
® (y)
Provisto de los signos (+)(-)(x), (+) y
tienes que establecer correcta- ® Un cajón de naranjas cuesta entre
30 y 60 soles y contiene entre 10 Y
mente las igualdades. Colocando
entre los números que están a la izquierda del signo = de tal manera
que todas las lineas horizontales
den como resultado el mismo 6. Usa
lo menos posible el signo (y).
222=6
666=6
333=6
777=6
444=6
888=6
555=6
999=6
¿Cuántos signos Y has utilizado?
A)1
B)3
C)4
0)5
E)2
RESOLUCION:
2+2+2=6
6+6-6=6
3x3-3=6
7+7-7=6
les sobrando 20 soles; entonces con
estos 20 soles y 2 objetos de 40 soles, le consigue uno de 100.;..'_ _--,
Total objetos: 25 -2+1 = 24 1 Rpta. B I
5+
=5
Si la suma es 5, entonces termina en
cero o cinco.
1 Rpta. D I
@
¿Cuáles son las coordenadas del
punto medio del segmento de la Irnea
OP que se ha dibujado entre el punto
(O; O)yel punto P(6; 4);
A)(2,3)
B)(12,8)
C)(6,2)
0)(3,2)
E)(1,4)
RESOLUCION:
J;[4;0 J
=t~ ;~J
Punto medio = [6;0
=(3,2)
1 Rpta. D I
® Se
debe comprar objetos de 2 pre- @ Puesto en una balanza de dos platillos, un ladrillo se equilibra con % de
cios distintos, gastando exactamente 5/.1 020. Los precios por unidad son 5/.40 y 5/.1 OO. ¿Cuál seria
la máxima cantidad de objetos que
se podrla comprar?
A)25 B)24 C)23 0)20 E) 18
RESOLUCION:
Oebemos comprar más del más
barato. Los 5/.1020 alcanzan para
comprar 25 objetos de 40 soles so-
un ladrillo y una pesa de % kg.¿Cuánto pesa el ladrillo?
~6kg
~4kg
q3kg
~1kg
e
~2kg
RESOLUCION:
W\f/
::L
@2=~
: ladrillo < >
!
1 ladrillo < > 3 kg
@
@ Se han de repartir 160 caramelos @
kg
I Rpta. e I
Se dan a multiplicar 18 y 25. Si se aumenta 12 unidades al multiplicando;
en cuántas unidades hay que disminuir al multiplicador para que no varie el producto?
A)8 B)5 C)12 D)10 E)12
RESOLUCiÓN:
La multiplicación se puede escribir:
18x25 = 3x6x5x5 = 6x5x3x5=30x15
Puesto que 30 = 18+12y 15 = 25-10,
se ve que al aumentaren 12 el multiplicando, el multiplicador debe disminuir en 10, para que no varie el
producto.
Rpta. D
I
@
entre 45 niños de un salón, dándole
3 caramelos a cada var6n y 4 a cada niña. ¿Cuántas niñas hay en estaaula?
A)24 B)25 C)23 D)20 E)22
RESOLUCiÓN:
Démosle 3 a todos gastando 3x45 =
135, nos quedan entonces 160-135
= 25, que nos alcanza para dar uno
más a 25 niñas.
Rpta. B
el
@ Con motivo de navidad,
Julian ha
comprado juguetes entre muñecas
y carritos, gastando 45 soles. Las
muñecas le costaron 7 soles y 4
soles los carritos. A cada amiguita
le dio una muñeca y a cada amiguito, un carrito. ¿Cuántas amistades
de Julian fueron beneficiados con
los regalos?
A)7 B)8
C)9
D)10
E)6
RESOLUCiÓN:
Con 45 soles se puede comprar:
45ll..
3 6
6 muñecas sobrando 3 soles. Vamos
devolviendo las muñecas una por
una, hasta que con los 3 soles mas el
importe de las muñecas devueltas,
se pueda comprar un número exacto
de carritos de 4 soles. Compro 3 muñecas y6 carritos.
Rpta.
I
@
I
El producto de dos factores es2184;
si el multiplicando aumenta en 5, el
producto resulta 2444. Hallar los dos
factores e indicarla suma.
A)42 B)52 C)94 D)84 E)90
RESOLUCiÓN:
El aumento del producto es 2444 2184 = 260. Al aumentar en 5 unidades el multiplicando, el producto aumenta en 5 veces el multiplicador,
entonces este valdrá: 260 + 5 = 52 Y
el multiplicando: 2444 + 52r.=-:-42=::.---:::"l
Rpta.
I
I
el
@ En un barco iban 300 personas, ocurrió un naufragio y de los sobrevivientes 1/8 eran peruanos y 1/11
eran chilenos, de los muertos 1/9
eran peruanos. ¿Cuántos peruanos
iban en el barco?
A)37 B)35 C)41 D)43 E)23
RESOLUCiÓN:
El número de sobrevivientes debe
tener octava y onceava parte: puede
ser 88; 176 ó 264. El número de
muertos debe tener novena parte,
esto es posible si solo si:
# Sobrevivientes = 264 # Muertos = 36
••• Peruanos:
264+8+36+9=37
'Rpta.A ,
®
I
"A"?
A)10min
B)15min
D)12min
RESOLUCiÓN:
o para B:
En 30'
I
Por la venta de cierto número de camisas se ha obtenido 2800 soles. Si
cada camisa se hubiese vendido en
9 soles más, se habria recaudado
S/.3520. ¿A qué precio se vendieron las camisas?
A) 20 soles B) 25 soles C) 30 soles
D) 35 soles
E) 40 soles
RESOLUCiÓN:
El incremento de 9 soles en el precio de cada camisa, ocasiona un incremento en la venta, equivalente a
9 veces el número de camisas. Este
incremento es 3520 -2800 = 720; en
consecuencia, el número de camisases720+9=80
El precio: 2800 + 80 = 35 sr0=,les~.---::,
Rpta. D
I
Hallar dos números consecutivos
cuyo prodUcto es igual a 2070. Indicarlasuma.
A)50 B)80 C)86 D)81 E)91
RESOLUCiÓN:
El menor de los números debe ser
igual a la raiz cuadrada por defecto
de 2070 quees-v2070=45.
Entonces el mayores: ,~---.,
2070+45=46
. Rpta. E .
"A" puede caminar cierta distancia en
20 minutos y "B" puede caminar la
misma distancia en 30 minutos. Si "A"
parte 5 minutos después que "B".
¿Cuánto tiempo habrá estado caminando "B" antes de que lo alcance
A)
CV.
n(C-V.)
B) nCV.
C-V.
D) n(C-V.)
CV.
C)_n
C-V.
E) n(C+V.)
C-V.
RESOLUCiÓN:
En 1 segundo la luz recorre OC" metros y el sonido "Vs" metros.
Cuando llega la luz; ¿cuántos metros atrás está el sonido? como desde ese instante va a tardar n segundos en llegar, debe estar a nV. metros atrás. Luego:
Recorriendo C metros, la luz le saca
una ventaja de (C-V.) metros al sonido, ¿cuántos metros recorrió para
aventajarlo en nV. metros?
d = nVsC
C-V.
I Rpta.B I
d
En 60 min
{
AreCOrre
3d (-)Id
B recorre
2d ~
Adescuentaa B, Id
Lueoo:
En 60 minAdescuenta 1 d
en? minAdescuenta d/6 ,r'"R-ta-A"",
?=10mlnutos
. p. .
@
Dos personas parten al mismo tiempo desde dos puntos "A" Y°B" en sentidos contrarios; en el momento que
se encuentran, la primera habia recorrido 36 km más que la segunda. A
partir de ese momento, la primera
empleó 4 horas en llegar a "B" y la
otra, 9 horas en llegar a "A". Hallar la
distancia de Aa B.
A)150km
B)160km
C)180km
D)200km
E)240km
RESOLUCiÓN:
"I"h
"I"h
....................................
...........................
9h
4h
A~0)B
® Unrayoobservador
ve relampaguear un
sobre la cima de un monte, al
cabo de "n" segundos oye el trueno
producido por dicho rayo. Calcular
a qué distancia de la persona cayó
el rayo, si:
c = velocidad de la luz (mis)
V. = velocidad del sonido (mis)
En5'
u
o
C)8min
E)5min
Lo que A recorre en "I"h B recorre
en9h.
Lo que A recorre en 4 h B recorre
enth.
~t=
o
4x9
t
~t2=36~t=6h
Para A: En 6 h recorre 36 + e
en 4 h recorre e
~e= 4(36+e)
6
6e=4x36+4e~e=72km
:. AB=36+2e=36+2(72)=180km
IRpta. el
@ Todos los dlas sale de Cusco a Arequipa un ómnibus a 40 km/h. Este se
cruza siempre a las 11 h con un ómnibus que va de Arequipa con una velocidad de 35 km/h. Cierto dla el ómnibus que va de Cusco encuentra malogrado al otro a las 12:45 amo ¿A qué
horas se malogró ese ómnibus?
A) 12:45
B)II:00
C)10:45
D) 10:00
E) 9:00
RESOLUCiÓN:
El ómnibus de Cusco recorrió del
punto habitual de encuentro hasta
4
encontrarlo malogrado, durante 1'3 h
cubriendo 40 x [1
! J=
40 x
~
km. En consecuencia el ómnibus de
Arequipa se malogr6 fallándole 70
km para el punto de encuentro, lo
cual iba a cubrir en 70 + 35 = 2h. Por
lo tanto se malogró 2 h antes de las
11,oseaalas9am.
Rpta. E
I
I
@ Diariamente Mónica sale del colegio
a las 13 h Y su padre la recoge puntualmente en la puerta del colegio
para llevarla a casa. Un d la, Mónica
salió a las 12h 40min. yfue caminando al encuentro de su padre, éste la
recogió en el camino y llegaron a casa 24 minutos antes que de costumbre. ¿Cuánto tiempo estuvo caminando Mónica antes de ser recogida?
A)8min.
B)16min
C)48min.
D)20min.
E)24min.
RESOLUCION:
El ahorro de 24 mino es debido a que
el padre evitó llegar hasta el colegio
Este ahorro de 24 mino significa que
el padre habria tardado 12 mino en ir
del punto de encuentro hasta el colegio, lo que implica que encontr6 a
Mónica 12 mino antes de las 13 h, o
sea a las 12 h48 mino Por tanto, Mónicaandó de 12h 40 mino hasta 12 h
48 mino es decir, durante 8;:m!!:in:!:._~
®
I Rpta.A I
Un tren que viaja a 60 km/h, tarda un
minuto en salir de un túnel de 800 m
de longitud. ¿Qué longitud tiene el
tren?
A)200m
B)400m
C)600m
D)800m
E)1000m
RESOLUCION:
Se sale dela mitad para afuera:
al
11
400 m
800 m
..
El tren recorre:
60000 m en 60 mino
400 + Lten 1 mino
400 + Lt 1 x 60000
60
~ Lt=600min.
h~AB=3x20=60km.
otro Método
Sea "r' horas el tiempo deAa B ~ (5
-t)el de B a C. Si en 1 h se corre 20
km, en t horas recorre 20 t:
I
al
Lt
[Rpta.
AC= 120km~20t+30(5-t)=
120~ t=3
AB=20t=20(3)=60km.l Rpta.A
@
® raPara5 irh.deElA,trayecto
a C, un ciclista se demoes ascendente
desde A hasta B y descendente de B
a C. La subida lo recorre a 20 kmlh Y
la bajada, a 30 km/h. Si la longitud
del trayecto AC es 120 km. ¿a qué
distancia deA, está ubicado B?
cibe la comunicación de que a 48 km
delante de él, unos malhechores están fugando en un auto rojo a 80 kmlh
¿A qué velocidad debe correr el patrullero para alcanzar a los fugitivos
antes que crucen la frontera?
A) 100 km/h B) 105 km/h C) 106 kmlh
D)107km/h
E) 108 km/h
RESOLUCION:
Alos malhechores les falta 188 - 48 =
140 km para alcanzar la frontera, corriendo a 80 km/h cruzarán la frontera
en 1,75 h; esto es, debe correr a más
de 188+1,75 = 107,4 km/h [ Rpta. D
I
Dos ómnibus salen de Cusco hacia
Arequipaa las 17 h; el ómnibus A, a
40 km/h Y el B a 36 km/h. ¿Qué horas, el ómnibus A le ha sacado una
ventaja de 24 km al B?
A)20h
B)21h
C)18h
D)22h
E)23h
RESOLUCION:
En cada horaAle saca a B, 40 - 36 =
4 km de ventaja, entonces para sacar 24 km de ventaja requiere 24 + 4
= 6 horas. Esto se producirá a la 17
+6=23h.
[Rpta.EI
I
@
@ Un ciclista va por una carretera, con
velocidad constante y observa que
el poste kilométrico indica ab km.
Luego de una hora de recorrido, nota que el poste kilométrico indicaba
ba km y una hora más tarde se encuentra en el km aOb. ¿Cuál es la
velocidad del ciclista? (En km/h).
A)32km/h B)30km/h C)40km/h
D)45km/h
E)50km/h
RESOLUCION:
1h
1h
~ba-ab=aOb-ba
(10b+a) - (1 Oa+b) = (1 OOa+b)(10b+a)
9b-9a=99a-9b
18b=108a{
b=6
~b=6a
a=l
el
I
® Un188 policla
de carreteras situado a
km de la frontera con Bolivia, re-
O~
tu
400 m
con rapidez uniforme. ¿Será posible,
con estos datos, calcular el ancho del
río?
A)18m
B)20m
C)24m
D)30m
E) F. D.
RESOLUCION:
Hasta el primer en- ~12m B
cuentro, entre ambos han cubierto
6m
un ancho del río. A
Hasta el segundo encuentro, entre
ambos, han cubierto 3 anchos del río.
El nadador B recorrió 12 m. hasta el
primer encuentro, entonces hasta el
segundo encuentro habrá recorrido
12 x 3 = 36 m. Por tanto el ancho del
ríoes36-6=30m.
Rpta. D
A)60km
B) 50 km
C)70km
D)55km
E) 65 km
RESOLUCION:
Si las 5 h corriera a 20 km/h, avanza
sólo 100 km; faltarían 20 km. Quiere
decir que 2 horas viaja a 30 km/h,
recuperando en cada hora 10 km
(en la bajada).
:. DeAa B va a20 km/h durante 3
= 70
:. Velocidad =61-16=45km1h
I Rpta. D I
@ Dos nadadores se lanzan simultá-
neamente de las orillas opuestas de
un río yse cruzan a 12 m. de la orilla
más próxima. Tras llegar a sus destinos inmediatamente regresan cruzándose esta vez a 6 m. de la otra
orilla. En cada momento ellos nadan
La ciudad de lca se encuentra en el
km 340 de la Panamericana Sur.
¿Qué hora debe salir de Lima para
estar en la fiesta de la Vendimia de
lca a las 10 de la noche? iAh! ... te informo que los ómnibus corren por la
Panamericana a 85 km/h.
A)15h
B)16h
C)17h
D)18h
E) 19h
RESOLUCION:
Puesto que cada hora recorre 85 km,
el viaje dura 340 + 85 = 4 h. Por tanto, debes salir 4 h antes de las 22 h,
oseaalas18h.
Rpta.DI
I
@
Un tren demora 3 minutos para pasar
por delante de un observador y 8 minutos para atravesar completamente
el túnel de 250 m de longitud. ¿Con
qué rapidez corre el tren y cuál es su
longitud?
A)60m/min, 150m B)60m/min, 180m
C) 50m/min, 175m
D)50m/min, 150m E)50m/min, 180m
RESOLUCION:
Para pasar por delante de un observador recorre su propia longitud (Ltr)
\~~
Para atravesar un túnel recorre la
longitud del túnel y la suya propia:
(Ltr+ Ltu)
••
'mox--x-aO
~
@
b) Momento de oartida
160 kmlh
;;;¡p •
...
r¡s..
Momento de encuentro
1 !mnu-a
'-----y----A--Ltr
Ltu
En una hora el l' avanza 50 km, el
2', 30 km; entonces e11' descuenta
al 2', 50 - 30 = 20 km en cada hora.
Para alcanzarlo debe descontarle
los 160 km que le separa; ésto le tomará 160 + 20 = 8 horas Rpta. A
Mt:TODO(1)
Sea V la de rapidez del tren:
Ltr=3V
(1)}de (2):V= 50 m/min
Ltr+Ltu=8v(2) en(1):Ltr=150m
3V250;;.
Mt:TODO(2)
Le toma 3 min cubrir su longitud y 8
min cubrir su longitud y 250 m más,
entonces 5 de los 8 min utilizó para
cubrir los 250 m. Por tanto, corre a
250 + 5 = 50 m por minuto y su longitudes3x50= t50m.
I
@
@ Coquín le comenta a su amigo: "Mi
colegio queda muy lejos de mi casa,
tardo 2 horas en llegar, viajo media
hora a pie y hora y media en carro".
¿Cuántos kilómetros viaja Coqufn, si
él camina a razón de 5 kmlh Y el carro lo lleva a 30 km/h?
A)42,4km B)45,Okm C)47,Okm
D)47,5km
E)50km
RESOLUCiÓN:
Caminando: En 1 h recorre 5 km
"" En 1/2 h recorre 2,5 km
En carro: En 1 h recorre 30 km
"" En 1 Y, hora recorre 45 km
:. Viaja 45 + 1 Y,=47,5km Ir.Rp::---:ta-.-=D"1
@
Dos automóviles se encuentran en
dos ciudades separadas por 160 km
de carretera. Ambos parten simultáneamente a razón de 50 km/h Y 30
km/h respectivamente. ¿Luego de
cuántas horas se encontrarán
a) Si parten en sentidos contrarios
(al encuentro)?
b) Si parten en el mismo sentido siguiendo la misma carretera?
A) a)2h
B) a)2h
C) a)3h
b)8h
b)6h
b)6h
D) a)3h
E) a)2h
b)8h
b)10h
RESOLUCiÓN:
A) Momento de partida
~kmlh
30k~
Momento de encuentro
(-65>~)
i
En una hora el l' se acerca 50 km al
otro y éste 30 km al 1'; en una hora
se acercan 50 + 30 = 80 km. Para
acercarse 160 km necesitan 160 +
80=2h.
®
I
Cuatro hombres y dos muchachos
tienen que cruzar un río en una canoa; en cada viaje puede ir uno de
los hombres o los dos muchachos,
pero no un hombre y un muchacho
a la vez. ¿Cuál es el número de veces que la canoa tiene que cruzar el
río. en cualquier sentido, para que
pase a todos?
A)4 B) 12 C)5 D) 16 E) 17
RESOLUCiÓN:
1' Cruzan 2 muchachos
2' Retoma uno de los muchachos
3' Cruza un hombre
4' Retoma el otro muchacho
Hasta aquf, con 4 viajes ha cruzado
un hombre, con 3 x 4 = 12 viajes,
cruzan los 3 hombres restantes,
quedando los dos muchachos en la
primera orilla, que en 1 viaje más logran cruzar.
:. Total=4+12+1=17I Rpta.EI
I
@
I
I
Una escalera cuelga de un bote, de
modo que el último peldano queda
a 20 cm por encima del nivel del
agua. Los peldaños están igualmente espaciados 40 cm. Si la marea sube 50 cm por hora, ¿cuánto
tiempo demora el agua en cubrir 5
escalones?
A)3h
B)4h
C)3,5h
D)4,5h
E) Nunca
RESOLUCiÓN:
Nunca, porque la escalera sube junto con el bote. Rpta. E
I
I
La figura adjunta representa una habitación cuadrada de 6 m de lado. En
las esquinas opuestas de la habitación aparecen un gato y un ratón que
se divisan simultáneamente. Tanto el
gato como el ralón pueden correr con
la misma rapidez.
Orificio
Ratón
De las afirmaciones, indique la más
acertada.
A) El gato no atrapa el ratón
B) El gato atrapa al ratón
C) Ambos llegan simultáneamente al
orificio.
D) Los gatos no cazan ratones
E) El ratón enfrenta al gato
RESOLUCiÓN:
En cuanto se divisan, el ratón corre
hacia el orificio, mientras que el gato
corre siempre dirigido al ratón, describiendo una trayectoria curva y más
larga.
I Rpta. A
En un circuito cuadrado compiten
dos ciclistas, ambos llevan rapidez
uniforme. Se cruzan por primera
pero diferente a la primera. El tercer
cruce también ocurre en otra esquina. Si la rapidez del más lento es 5
metros por segundo ¿cuál es la rapidez del otro?
A) 10 mis
B)15m/s
C)20m/s
D)16m/s
E)25 mis
RESOLUCiÓN:
La rapidez del otro debe ser tres veces la del más lento,
Rpta. B
osea 15m/s.
I
~ .--------
vez en una esquina, el segundo cruce también ocurre en una esquina,
®
Pueda que la pregunta te parezca absurda, hasta puedas pensar que el
autor está loco,
pues ... tienes ra...
W
digo, no hay razón.
Es un asunto de lo
más cienlffico.
¿Cuándo te mueves más de prisa con respecto al Sol,
de día o de noche?
A) De día
B) De noche
RESOLUCiÓN:
La tierra tiene dos
movimientos con
relación al Sol:
traslación y rotación. En el hemisferio donde es de día, la velocidad
de rotación se resta a la de traslación.
En el hemisferio donde es de noche,
ésta se suma. Por lo tanto, por la
noche nos movemos más rápido con
relación al Sol.
Rpta. B
®
I
¿De cuántas maneras puede ordenarse 6 hojas de examen, si deben
quedar de tal manera que la hoja menor contestada y la peor contestada
queden juntas?
A) 120 B)240 C)360 D)720 E)540
RESOLUCiÓN:
Considerando pegadas las dos hojas
las tomaremos como un solo elemento. El número de permutaciones con
5 elementos tomándolos todos a la
vez resulta: 5x4 x3 x2 x 1 = 120
Pero las dos hojas puedan estar pegadas en dos posiciones, entonces:
# Maneras = 120x2 = 240 I Rpta. B
I
@ ¿De cuántas maneras puede repar- @ ¿Cuántos números de 3 cifras se
.j.
.j.
.j.
.j.
# Formas {12xll xl0x9=1188
[Rpta. D
@
.j. .j. .j.
4x3x2=24
[Rpta.
J.
I
Cada país de los tres que forman un
mapa es pintado de diferente color.
¿De cuántas maneras diferentes
puede ser pintado el mapa si se dispone de cuatro colores?
A)4 B) 12 C)24 D)36 E)48
RESOLUCION:
MAPAS A B C
@
@ Con cinco colores: Blanco, Rojo, Ne-
Puede ocupar '\ AMARILLO
Puede ocupar
cualquiera de -..: COLOR 1 I ~ cualquiera de
los 4 colores
l' los 3 colores
restantes
COLOR 2 F- restantes
I #Banderas=4x3=12 I
Puesto que el amarillo puede ocupar
cualquiera de las 3 franjas: # total de
banderas = 12x3=36. [Rpta.
el
@
Un alumno tiene que ir 5 dlas al colegio y puede escoger cualquiera de 4
transportes. ¿De cuántas maneras
puede realizar los viajes al colegio,
durante los 5 días?
B)256
C)120
A) 24
D)1024
E) 2048
RESOLUCION:
r-----:=-----,
Olas
1
1·12·13·14· 5·1
1 1 1 1 1
Trans2 2 2 2 2
portes { 3 3 3 3 3
4 4 4 4 4
N" de
maneras { 4x 4 x 4 x 4x4 = 1024
[Rpta. D
@
J.
[Rpta.B
I
Seis niños participan en un concurso de ajedrez. Cada uno de ellos
tiene que jugar una partida con cada uno de los demás ¿Cuántas partidas se jugarán en total?
A)10 B)12 C)15 D)20 E)30
RESOLUCION:
Cada uno de los 6 juega 5 partidas,
en consecuencia son 6 x 5 = 30 partidas. Pero en el rozamiento estamos contando los partidos de ida y
vuelta. Ya que se trata de partidos
de una sola vuelta, son:
30 + 2 = 15 solamente. [ Rpta.
@
Una de las personas que asistió a
una reunión observó que los apretones de manos entre los asistentes
fueron 78. ¿Cuántas personas concurrieron a la reunión?
A)12
B)13
C)14
D)15
E) Ninguna
RESOLUCION:
Si "n" es el número de personas, cada una saludo a (n-l) personas, entonces hubieron n(n-l) apretones
de mano; pero aquí estamos contando dos veces cada saludo; luego
n(n-l)
# apretones = - - = 78
3x2xl=6
Los números pueden ser escritos de
6 maneras, en las cuales s610 123 y
321 están ordenados.
Luego: # de casos
desordenados 6 - 2 = 4
[ Rpta. C [
ca, de cada curso debe haber un ganador. ¿De cuántas maneras pueden
clasificarse los ganadores, si todos
están en la posibilidad de ocupar el
primer lugar?
A)24 B)30 C)60 D) 120 E) 180
RESOLUCION:
Cursos: { A B L
J. J. J.
5x6x4 =120 [Rpta.DI
® Geomelría
En una biblioteca hay tres libros de
y seis libros de Algebra.
¿De cuántas maneras se puede seleccionar dos libros, uno de GeomeIría y el otro deAlgebra?
A)9 B)15 C)16 D)18 E)21
RESOLUCION:
Cursos: { Geom. Alg.
~ ~18[RPta.DI
@
2
~n(n-l)=13xI2
In = 131
[Rpta.B
I
® Ennosuna
bicicleta hay 10 libros latiy 6 griegos. ¿De cuántas maneras se puede colocar 5 libros en
un estante, de los cuales 3 sean latinos y 2, griegos?
A) 1200
B)1500
C)1600
D)1800
E) 600
RESOLUCION:
Ir:R=-p.,....ta--:.D:-II
I
® Aritmética,
Hay 5 finalistas en el concurso de
6 en Biología y 4 en Lógi-
eI
C 10 xC 6 =ll0X9X8]16X5] = 1800
32L3x2L2
Se escriben al azar los dlgitos 1; 2 Y
3. ¿En cuántos casos pueden estar
desordenados?
A)6
B)5
C)4
D)3
E)10
RESOLUCION:
999
.j.
5x4x3=60
el
gro, Azul y Amarillo (siempre utilizando el amarillo). ¿Cuántas banderas de tres franjas horizontales de
distintos colores se podrá formar?
A)12 B)24 C)36 D)48 E)18
RESOLUCION:
gados del salón. Si esta comisión debe tener 3 miembros. ¿Cuántas comisiones diferentes se puede formar
con dichos candidatos?
A)42 B)35 C)32 D)30 E)70
RESOLUCION:
Son 710s candidatos .
Para formar una comisión, no interesa el orden, cada comisión es un grupo de 3 elementos, luego:
..
7x6x5 35
#Comlslones= 3 2 = ~_~
x
[Rpta.BI
puede formar con los dígitos 3,5,7,
4 Y8, sin repeMos en el mismo número?
A)30 B)60 C)120 D)72 E)48
RESOLUCION:
Son 5 dígitos
a b c
tirse 12 objetos diferentes entre 4
personas?
B)1440
C) 1200
A) 720
D)1188
E) 1278
RESOLUCION:
Personas {A B C D
® Se
tira un dadode6carasyun dado
chino de cuatro caras. El número de
maneras diferentes que pueden
caer éstos es:
A)6 B) 10 C)24 D)20 E)36
RESOLUCION:
pado eomún, padoychino,
6
x
4
=24
[Rpta. C
I
@ Pedro, Luis, José, Juan, Hugo, Jorge y Carlos; son candidatos para
formar parte de la comisión de dele-
¿De cuántas maneras pueden seleccionarse una consonante y una vocal
de las letras de la palabra RAZONAMIENTO?
A)10 B)15 C)20 D)24 E)18
RESOLUCION:
~~
5
@
x
4=20 [Rpta.cl
Estoy en una juguería. Veo papaya,
plátanos, piña, durazno. Deseo un jugo de dos frutas; ¿cuántas opciones
tengo para escoger?
A)4 B)6 C) 12 D) 18 E) 15
RESOLUCION:
Cada opción es la combinación de 2
frutas. No interesa el orden. Luego:
#opciones= 4;3 =6
[Rpta.BI
@ El mayor número de banderas diferentes que se puedan construir disponiendo de 3 colores y con máximo
de 2 costuras es:
A)18 B)6 C)12 D)9
E)15
RESOLUCION:
SeanA, By C los colores:
1· Sin costura: A, ByC-+3 banderas
2· Con 1 costura: AB, AC y BC -> 3
banderas.
3· Con 2 costuras: ABC, ACB, BAC,
BCA, CAB, CBA,ABA, BAB,ACA,
CAC, BCB, CBC-+ 12 banderas.
Total=3+3+12=18
Mfi4
IRpta. A I
@ De una urna que contiene 2o pares
de guantes rojos y 10 pares deguan·
tes blancos, se van extraye ndo uno
por uno sin reponerlos. ¿En cuántas
extracciones se tendrá la plena seguridad de tener un par de guantes
utilizables del mismo color?
A)3 B)2 C) 10 0)21 E)31
RESOLUCiÓN:
Para tener la seguridad, debemos
ponernos en un caso extremo de infortunio. Las primeras extraeciones
pueden ser de puros gua ntes izquierdos, que con seguridad se aeabarían en la 30ava. extraccio·n. La31
ava. debe ser un guante derechodel
color que fuera, con uno de los izquierdos hacen un par utiliza bies del
mismo color.
I Rp ta.EI
A)1 B)2 C)3 0)2,5 C)3,5
RESOLUCiÓN:
Platillo: Derecho Izquierdo
4 conos ... 1 lad
11ad
... 1 cono
11 d= 1 cono'4conos
~ a
11ad
(1 lad)2=4 conos2
111ad = 2 conos 1
@
6 Edmundo ve desde la ventana de
su casa que las personas allí reunidas en la plaza, se han dado en total
210 apretones de manos. Diga Ud.
¿Cuántas personas ha visto? Cada
una saluda una vez a cada una y todas se saludaron.
A) 15 B) 14 C)20 0)21 E)24
RESOLUCiÓN:
Si "n" es número de personas, cada
una saluda a (n-1) personas, entonces el número de saludos es n(n-1);
pero aqu í estamos considerando 2
veces cada saludo. Por tanto:
#saludos = n(n-1)/2 = 210
n(n-1)=21'20
meradas de 1 al 10. De la caja se
sacan tres fichas. ¿Cuántas posibilidades se tienen de consegu irque la
suma de los números de las fichas
sea9?
A) exactamente 5
B)másde5
C) más de 5 y menos de 8
O) menos de cinco
E) Ninguna
RESOLUCiÓN:
Anotando las posibilidades:
1 +2+6=9}
1 +3+5=9
Hay4posi bilidades
2+3+4=9
Rpta. D I
2+2+5=9
I
¿Cuántas veces debemos lanzar un
dado para obtener al menos 2 veces
la misma puntuación?
A)2
B)4
C)5
O) 6
E)7
RESOLUCiÓN:
En 6 lanzamientos hay la posibilidad
de obtener puntos diferentes en cada lanzamiento, pero en eI séptimo
lanzamiento se repite con seguridad
uno de los puntajes.
Rpta. D I
I
®
Calcular el número total de puntos
de intersección de 100 circunfereneias como se muestra en la figura
(formando un anillo de 100 circunferencias).
I Rpta. B I
Una arañita se encuentra en el vérticeAdelladrillo, como se indica en
la figura. En el vértice B, se encuentra la entrada a su nido que está debajo del ladrillo. ¿Cuáles la longitud
dela trayectoria más corta que describe la arañita para llegar a B?
A)15
B)19
C)14,8
0)19,2
E) 14,5
RESOLUCiÓN:
Desarrollando convenientemente:
, '
"~,~~
2 B
9
Q 2 B
PorT. de Pitágoras:
AB=VW+ 102= 14,8m I Rpta. C I
@ Definitivamente
esta bal anza está
"chiflada". En una balanza "cuerda",
¿con cuántos conos se equilibra el
ladrillo?
.
-
I Rpta. C I.
La reyna "Vanidosa 1" compró 27 perlas, todos del mismo color y tamaño.
Días después de la compra, informaron a la reyna, que una de las perlas
es falsa, la cual podría identificarla
por pasar menos que las demás. Inmediatamente la reyna encargó a
uno de sus ministros la identificación
de la perla falsa. ¿Cuántas pesadas
tuvo que efectuar el ministro, si para
ello utilizó una balanza de 2 platillos?
A)1
B)2
C)3
0)14
E)27
RESOLUCiÓN:
1ra. Pesada ~
I\,.:>.;LJ
2da. Pesada ~ 1<-;.;.<'-'
3ra. Pesada ~
Perla Falsa ....
IRPta.CI
@ - No hay duda. La vrctima se resistió
al asalto. La esfera del reloj ha quedado partida en tres -dijo el policra.
- iQué casualidad! -hizo notar su
compañero-- si sumamos los números de cada pedazo, resultan iguales.
¿Cómo quedó dividido el reloj?
RESOLUCiÓN:
Disponiendo los números del 1 al 12 tal
como en el cuadro:
4
5
6
12 11 10 19
8
7
1
Q
C)150
A)100
B)200
0)400
E) 500
RESOLUCiÓN:
Por cada circunferencia hay 2 puntos de intersección:
# puntos = 100'2=200 I Rpta. B I
-
JULlACA
@
.~
i,
I Rpta. D I
1n=211
@
~
RESOLUCiÓN:
En 800 km debemos
tener en cuenta la
curvatura terrestre. El
avión se precipitó al
Este de Juliaca.
:::L Ó /
-f2L/
:r.'''~
:::L
@ En una caja se tiene diez fi chas nu-
@
D)AI Surde Juliaca
E)AI Norte de Juliaca
¿52/
@ Del aeropuerto de Juliaca sali~ un
avión en dirección al Sur, recornendo 800 km; entonces viró al Este recorriendo 800 km, volvió a virar al
Norte y recorrió otros 800 km. Por
último viró al Oeste recorriendo 800
km, entonces se precipitó a Tierra.
¿Dónde cayó el avión?
A) En Juliaca
B)EnPuno
C)AI Este de Juliaca
2
3
la suma de cada pareja resulta 13.
Resulta fácil percatarse de cómo deben formar los 3 grupos.
@ Estás preparando un exquisito pastel
en tu horno microondas. Pero resulta
que el reloj del horno está malogrado
y lo único disponible son dos relojes
de arena de 3 y 5 minutos. ¿Podrás
medir con estos dos relojes de arena
los 7 minutos de cocción que requiere el pastel?
A)Sí
B)No
RESOLUCiÓN:
Si, es posible. Pones a funcionar los
dos relojes. Cuando acabe el reloj
de 3, introduces al horno el pastel.
Cuando el reloj de 5 haya acabado,
el pastel habrá estado en el horno 2
minutos. Inmediatamente das media
vuelta y cuando haya acabado este
reloj de 5 retiras el pastel del hamo.
I
@ El carpintero que construyó el corral
@
Rpta. D
I Rpta.A I
@ Un mono trepa 30 pies al comienzo
de cada hora y resbala 20 pies en el
transcurso de la hora. Si comienza
su ascenso a las 9:00 a.m. ¿A qué
hora hará el primer contacto con un
punto a 120 pies del terreno?
A)4pm
B)5pm
C)6pm
D)7pm
E)8pm
RESOLUCiÓN:
En cada hora avanza 30 - 20 = 10
pies. En 9 horas o sea a las 18 h estará a 90 pies del terreno. Al iniciar
esta hora, trepa 30 pies y hace contacto con un punto ubicado a 90 +
30 = 120 pies del terreno, es decir,
al iniciarlas 18h(6p.m.) [Rpta. e
I
Hay cinco copas de vino sobre la
mesa, ordenadas en fila e intercaladas entre una vacla y otra a mitad.
¿Cuántas copas es suficiente mover
para alterar el orden, de manera que
queden tres vacias de un lado y dos
a mitad del otro lado?
I
@
@ Debemos colocar 6 litros de agua en
un recipiente y tenemos un balde de
4 litros y otro de 9 litros de capacidad
ninguno de los baldes tiene marcas
que indique cantidades más pequeñas. Usando dos baldes. ¿es posible
medir los 6 litros que necesitamos?
A) es posible
B) sólo en forma aproximada
C) no se puede responder
D) pregunta mal formulada
E) no es posible
@
@
A
® enUn uncultivo
de microbios se colocaron
matraz a las 2 de la tarde. En
I
[RPta.A
I
En una habitación hay cierto número
de niños. Cada uno de los niños ve 5
niños. ¿Cuántos niños hay en la habitación?
A)5 B)6 C)20 D)25 E)30
RESOLUCiÓN:
"Tomemos· uno de los niños. Este niño ve 5 niños en la habitación. Con él
son 6 niños. Aplique el mismo razonamiento para cada uno. [Rpta. B
Aquí tienes una figura hecha con palitos de fósforo.
~~
I
I
D
I
~~~~~
~00~
B)2 C)3
D)4
E)5
RESOLUCiÓN:
Levanta una de las copas a mitad y
vaclala en el vaso ubicado en el extremo opuesto.
[ Rpta. A
IIIII
Estas anchovetas están cansadas
de viajar en la formación A, para
romper la monotonla quieren viajar
en la formación B. Mínimamente,
¿cuántos de ellos deben cambiar
de posición?
~~~
A) 1
cada minuto estos seres diminutos
se duplican. ¿A qué horas el matraz
estaba a la mitad de su contenido, si
a las 3 de la tarde ya estaba lleno?
A)14h20 B)14h30
C)14h40
D)14h48
E)14h59
RESOLUCiÓN:
Puesto que se duplica en cada minuto, el minuto anterior a las 3 de la tarde estuvo a la mitad.
Rpta. E
para las ovejas de la señorita BoBeep descubrió que podia ahorrarse
dos postes si el campo a cercar fuera
cuadrado en lugar de rectangular.
"De cualquiera de las dos maneras
servirá para el mismo número de ovejas", dijo, ·pero si es cuadrado habrá
un poste donde atar cada oveja".
¿Cuántas ovejas habia en el famoso
rebaño? Se supone que en ambas
formas los postes estaban separados por iguales distancias, que las
áreas del corral cuadrado y del rectangular eran iguales y que el rebaño
estaba formado por menos de tres
docenas de ovejas (SAM LOYD).
A)8 B)9
C)12 D)16
E)15
RESOLUCiÓN:
C
9 tenA. DeA4 ta B, =:> queda 5 en
A. Vaciar B. De A a B, 4 t =:> queda
1t en A. Vaciar B y pasar el litro de
Aa C. llenarA. DeAa B 4 t=:>queda 5 t en A, los cuales vertír a C.
@ El hermano de Elisa tiene un herma-
L--'--_--' [
B
A
I Rpta.A I
no más que hermanas. ¿Cuántos
hermanos más que hermanas tiene
Elisa?
A)O
B) 1 C)2
D) 3
E) No se puede saber
RESOLUCiÓN:
trozo de 1 cm; el 2do. dia con el de 2
cm y recibe de vuelto el de 1 cm con
el que pagó el día anterior, ... etc.
Así puede efectuar
[Rpta. D
los 7 pagos diarios.
RESOLUCiÓN:
Sean:
B
A)3
B)5
C)6
RESOLUCiÓN:
~~
D)7
E)4
é~,e
'0)3
~~~~~
~....,.. ~ ,,~
~~~~e
~~
@
'!~.;1
e
[Rpta.
el
Un joyero llegó a un pueblo buscando posada para quedarse durante 7
dias. Una vez encontrado y como
no disponia de efectivo ofreció pagarle con una barra de 7 cm de oro.
El posadero aceptó la oferla, pero
con la condición de que el pago se
hiciera diariamente y por adelantado. ¿Cuántos cortes como mínimo
tuvo que realizar el joyero sobre la
barra de oro, para efectuar el pago
diario?
A)7
B)6
C)4
D)2
E) 1
RESOLUCiÓN:
Divide la barra en tres trozos de 1,
de 2 y 4 cm. Eller. dia paga con el
A) Mueve 4 palitos y forma 2 cuadrados. (No vale dejar "cabos sueltos")
B) Mueve 3 palitos y forma 3 cuadrados.
C) Retira un palito y forma 3 cuadrados.
RESOLUCiÓN:
@ En este marco de letras se esconde
un refrán conocido. Intenta leerlo.
Empieza por una de las letras y, saltando siempre una, da dos veces la
vuelta al marco.
¿Cuál es ese refirán? Indicar la última letra.
MRIALFPIA
G
R
S=
C
L
S = 2+ + 1 +
~
+
+ ...
.,J
1
x1- x 1
-x-
Un niño tarda 2 horas en ver un programa de televisión. ¿Cuánto tardarán 3 niños en ver el mismo programa?
A)4h B)6h C)8h D)2h E)3h
RESOLUCION:
Dos horas. Por más niños que vean
el programa, éste dura el mismo
tiempo.
Rpta. D
2
222
S = 2"
Finalmente en "n° segundos el móvil
"B" le descontará los 600 m de ventajaa-A",
([~J = 2,,(4) = 8"
1-2
!Rpta. C I
!
~
Pero:
t,= 1+(n-1)3 = 3n-2
Luego:
n(3n-1)
1 + 4 + 7 + ... +(3n-2) = - - - metros
~
A)A B)E
C)S
D)O
E)R
RESOLUCION:
El refrán es: UN GRÁFICO VALE
PORMILPALABRAS.Laúltimaletra
@
El móvil "B" en "n" segundos recorre
n(1 + t )
n
1+4+7+ ... +t n
2
t
N
O
O
A
U
V
PSEALRAB
esS.
2"(2)+~~(1)+2,, [1}2" [±}. ..,
n(3n-1) _ n(n+1) =600
'Rpta.AI
IS=8,,1
@
2
¿Qué precio pide por su caballo
quien exige por el primer clavo de
sus herraduras S/.125; S/.216 por
el segundo; S/.343 por el tercero;
hasta S/.1331 por el penúltimo cla-
T
vo?
1
A)S/.5316 B)S/.5984 C)S/.5397
D) S/.5270
E) S/.6084
RESOLUCION:
Penúltimo dla
I
@
t
S = 125+216+343+ ... +1331+1728
S = 53+6 3+ 73+ ... + 113+ 123
S = (13+23+ ... +123)_(13+23+33+43)
n?¡ :Dn
S=[~]'- [ 4 ~5)]'=5964
1
polígono de 24 m de lado. Un corredor se para sobre un vértice y recorre todo el pollgono; luego repite el
proceso sucesivamente recorriendo en cada vuelta un lado menos, si
ha recorrido en total 864 m. ¿Cuántos lados tiene el polígono?
A)7 B)8
C)6
D)9
E)10
RESOLUCION:
Sea:
"n" --> n lados del pollgono
S = 24n + 24(n-1) + 24(n-2) + ... +
+ 24(3) + 24(2) + 24(1)
S = 24[n+ (n-1)+ (n-2)+ ... + 3 + 2 + 1]
864= 24n(n+1)
E=2+ 12+36+80+ ... + 1100
A)2710
B)2640
C)2810
D)2570
E)2610
RESOLUCION:
Desdoblando:
E = (1'+1')+(2'+2')+(3'+3')+(4'+4')+ ... +(10'+10')
E = (1'+2 3 +33 +... +10')+(1'+2'+3'+ ...+10')
'-----.r------- '-----.r------E
=[~]'-
1 E =2640 1
@
n=10
10
'Rpta. si
1
(~)21
!Rpta.sl
2
En un cuadrado cuya área es igual a
su perimetro se inscribe una circunferencia. Calcular la suma de todas
las circunferencias concéntricas cuyo radio es la mitad de la mayor.
A)8" B)14" C)151t D)12" E)181t
RESOLUCION:
Del gráfico:
Por dato:
L2=4L
L=4
L
Del gráfico:
2R=4 --> R=2
Sumando todas las circunferencias:
72=n(n+1)
8(9) = n(n+1)
"-------J"
'Rpta.sl
18=nl
@
Un móvil "A" sale con 600 m de ventaja sobre otro móvil "B" . "A" anda 1
m en el primer segundo; 2 m en el
segundo, 3 m en el tercero y asi sucesivamente; "B" anda 1 m en el primer segundo; 4 m en el segundo, 7
m en el tercero y así sucesivamente
¿Cuánto tardará "B" en alcanzar a
-A"?
A) 16s
B)24s
C)18s
D)25s
E)30s
RESOLUCION:
El móvil "A" en "n" segundos recorre
n(n+1)
metros
1 +2+3+ ... +n= - -
2
T
n = 25 segundos
!Rpta. D I
1
En el trabajo de perforación de un pozo de cierta profundidad; el costo es
de S/.6 para el primer metro y S/.4
más para cada metro adicional; si el
costo dela perforación totales S/.720
¿cuáles la profundidad del pozo?
A)12m
B)16m
C)18m
D)20m
E)15m
RESOLUCION:
Sea "n" metros la profundidad
Metro: 10 2° 3°
n°
.¡. .¡..¡.
@ Sobre el suelo se ha dibujado un
@ Calcular el valor de "E"
n=10
S=S/.5964
2
3n2-n-n 2-n=1200
2n 2-2n = 1200
n2-n=600
n(n-1)=25(24)
.¡.
Costo: 6+10+14+ ... +t,=720
Pero:
t,=6 + (n -1)4=4n + 2
Luego:
6+ 10+ 14+ ... +(4n+2)=720
Sumando:
n(6+4n+2)
2
720
n(8 + 4n) -720
2
Simplificando: n(2 + n) = 360
n(2+n)=18(20)
T
1
®
n = 18 metros
1
T
Rp-ta-.c""'1
'-,
Sobre un terreno hay colocadas 10
piedras distantes una de otra 8 m.
¿Cuánto tendrá que recorrer una persona que tenga que llevarlas una a
una a un camión colocado a 12 m de
la primera piedra si la persona se
baja del camión?
A)960m
B)640m
C)920m
D)760m
E)1100m
RESOLUCION:
Graficando:
camión
Si empieza desde el camión siempre
recorrerá en traer cada piedra el doble de la distancia que hay en el camión y dicha piedra luego:
n° piedra: 10 2° 3°
n°
.¡. .¡..¡.
.¡.
S=2(12+20+28+ ... +64)
S=2x
10(12+84)
2
10term.
I
En forma de una pirámide triangular
regular se usaron 56 esferas ¿Cuán·
tas esleras conlorman la base?
A)20 B)21 C)18 D)16 E)24
RESOLUCiÓN:
M = (-3) + (-7) + (-11) +... + (-39)
~~
-4
-4
Sumando la progresión aritmética:
.1
~
10(-3-39) = - 210 1 r - - 2 1 Rpta. B...JI
@ Calcular "M"
1
2
3
4
M=-+-+-+-+
<Xl
282877'"
A) 1 B) 2 e) 2/5 D) 3/4 E) 1/2
RESOLUCiÓN:
1
2
2
2x4
3
4x7
4
7x11
M = - + - + - + - - + .. ,oo
o
3
6
10
2
3
4
1 Rpta.A
IM=11
SUCo de números triangulares (Suc.
cuadrática)
1,3,6,10,15,21, ...
Fórmula general:
l't-,=--,,---(n
-+1-)'1
2
Sumando hasta obtener 56 esferas
en total.
base
,¡.
1 +3+6+10+15+21 =56
Finalmente en la base habrá el mayor número de esferas
Rpta. B
quees21.
I
I
@ Hallar"S"
S=7x8x8x9x9x 10+ ... +24x25
A)5216
B)5318
C)5088
D)5415
E)5010
RESOLUCiÓN:
Completando los productos binarios
S=(1 x2x2x3+ ... +24x25)
-(1 x2x2x3+ ... +6x7)
24(25)26 _ 6(7)8 = 5088
3
3
~----,
1
el
Rpta.
Resolver:
3 = 1 + a + a2 + .... 00; si: O< a < 1
A) 1/3 B)314 C) 1/2 D)2/3 E)3/5
RESOLUCiÓN:
@
2
R=8
v~--'
8
16
E=1 C;+8C~+8e~
E=n+ 8n(n-1) + 8n(n-1)(n-2)
45su';:;andos
'1M-=--4':::;51
6
@
Para:n=20
E=20+ 8(20)19 + 8(20)19(18)
6
r-IRp-ta-.-A I
'1E-=-10-66-0 1
@Si:
a+(a+2)+(a+4)+ ... +(7a) = xa(ya+1)
Hallar: "x+y"
A)6
B)7 C)8
D)9
E) 10
RESOLUCiÓN:
t,
t,
t
t
3=~~' + ... <Xl
xa
xa
2
7~-a
1
2
3 =a 1 1 Rpta. D I
® Hallar
el valor de "M"
M = 1'_2'+ 3'-4'+ ... -20'
A)-200
B)-210
C)-180
D)-190
E)-220
RESOLUCiÓN:
Agrupando de 2 en 2:
M = (12-2')+ (3'_4') + (52-6') +
+ ... +(19'-20')
Sumando:
(3a+1)(a+7a)
2
3
3
t,=-9+(n-1)3
t,=3n-12
Cálculo de la suma:
n(-9+3n-12)
2
=180
+1
n(3n-21)=360
Simplificando: n(n -7)= 120
n(n-7)= 15(8)
T
xa(ya+1)
TT
x=4
@
TT
;
T
r:[Rp~ta--.E~1
In=151
(3a+1)4a = xa(ya+1)
Ordenando: 4a(3a+ 1) = xa(ya+ 1)
y=3
Finalmente:
'1x-+-y-=7-'11 Rpta. B
@Si:
l(n)=n(n+1)'
Cuántos términos deben tomarse de
la progresión aritmética:
+ -9,~,-3 ...
para que la suma sea 180
A)14 B)12 C)13 D)16 E)15
RESOLUCiÓN:
+-UU'"
n=3a+1
3=_1
1-a
3-3a= 1
eI
t,
~
2
[ Rpta.
t
a + (a+2) + (a+4) + ... + (7a)
Sabemos: n =
I
M=1-2+3-4+5- ... -90
A)-90 B)-45 C)-50 D)-55 E)-100
RESOLUCiÓN:
Agrupando de 2 en 2
M = (1-2)+ (3-4) + (5-6)+ ... + (89-90)
M = ~-1)+ (-1) + (-1) +... + (-11
24
2
[Rpta. D
@ Hallarelvalorde"M"
8
2
[~]' =24200
1R=24200 1
-......J'''--''
8
1 Rpta. B I
Hallar el valor de "R"
R = 1(1) + 1(2) + 1(3) +1(4) + ... +1(10)
A)25100
B)23400
C)21700
E) 22800
D)24200
RESOLUCiÓN:
R=2+4+6+8+ ... +20
Extrayendo el lactor (2'):
R= 2'(1'+ 2'+ 3'+4'+ ... +10')
I
20 términos
B) 11200
e) 12300
A) 10660
D)10000
E) 12500
RESOLUCiÓN:
Es una serie aritmética de orden superior:
E=1+9+25+49+
-......J' -......J' ____
6
@ Si: I(n) = (2n)'
Hallarelvalorde"E"
E=1'+3'+5'+7'+ ...
\
n';20
- [20(21)J' 20(21)41 =41230
R- - - -
M =.1 J.1_.1IJ.1_.i1J.1_J..I+
2 l2 4) l4 7) l7 11) ...
'--/f'--/f~
@
n=20
Desdoblando:
1
S
Hallar el valor de "R"
R = 1(0) + 1(1) + 1(2) + ... +1(19)
A)42130
B)41230
C)44100
D)41620
E) 42620
RESOLUCiÓN:
R=Ox1'+1 x2'+2x3'+ ... +19x20'
Despejando:
R= (1-1 )1'+ (2-1 )2'+ (3-1 )3'+ ... + (20·1)20'
R= (1 '-1 ')+ (2'-2') +(3'-3') +... +(20'-20')
R=.11 '+2'+ ~...... +20~ '.112+22+32+ ... +20'),
~
1Rpta.A
IS=960ml
@
M=~1-4)+(9-16)+(25-36)+ ... +(361.4001
=960m
I
Hallarelvalorde"x"
4+7+10+ ... +x=175
A)26 B)31 C)30 D)29
RESOLUCiÓN:
t,
t,
t
t
4 + 7 + 10 + ... + x = 175
'-.../''-.../'
3
3
E)28
M=1(1+4)+2(2+4)+3(3+4)+... +36(36+4)
M= 1'+4+22+8+32+12+ ... +36'+144
M=(1 '+2'+3'+ ... +36') +(4+8+12+ ... +144)
M= (12+2'+3'+ ... +36') +4(1 +2+3+ ... +36)
• Cálculo de "n":
t" - t,
• Sabemos: n = - - + 1
r
x-4
x-l
Luego:n=-3 +1 =-3-
~~
n=36
Pero: S = n(t"2+ t,)
Luego:
t
x; 1
M = 3(37)73 + 4 x (36)37
6
2
J (4; x) = 175
~
c=
@
t,
1M=21520 1
@
I Rpm.A!
@ Calcular"M"
M=! +2+3+2+3+4+3+4+5+ .."
240 su;;;andos
A)10000
B)9250
C)9870
D)9960
E)9710
RESOLUCiÓN:
Agrupando de 3 en 3:
M=(1 +2+3)+(2+3+4)+(3+4+5)+ ... +(80+81 +82)
v
80 sumandos
M = 80(6+243)
@
21
21
I Rpm. e!
Hallar"M"
M=l x5x2x6+3x7+ ... +36x40
A) 16250
B) 17520
C) 18510
D) 17740
E) 18870
RESOLUCiÓN:
Descomponiendo:
1T= 101
6
I Rpm.E!
xn+yn
A=" x"+y"
A=~
x"-y"
x"-y"
1A=xy 1
IA=xyl
@!) Hallarelvalorde"X"si:
x
x
x
2 +2
+2 +
2
+3 =
208
RESOLUCiÓN:
Descomponiendo:
2" + 2'.22+ 2'.2'= 208
Faclorizando:
2"(1 +2 2+2')=208
2"(1 +4+8)=208
2'= 208
13
2X=16
-
IM=~=91
@
I Rpm.S!
En una PA de 15 ténminos, la suma
de los términos es 360. ¿Cuál es el
valor del1érmino central?
A)20 B)24 C)25 D)22 E)26
RESOLUCiÓN:
Sesabeque:S=nxt, Luego:
360=15xt, 1 24=t,1
2
T=~l~
Además por propiedad se tiene que:
Calcular el valor de "S"
S = ~8(90+91 +92+... +920)+ 7
A)8
B)9 C)7 D)6
E)10
RESOLUCiÓN:
921 -9
921 -9
9'+92+9'+ 920 = - - = - ...
9 -1
8
Dada la P.A.: {t"=2n+3); hallarla suma de los 20 primeros ténminos.
A) 260
B)370
C)480
D)510
E)420
RESOLUCiÓN:
t,=2(1)+2=5
t20= 2(20) + 3 = 43
Luego:
S= 20(5+43) =480
@
I Rpm. D!
Multiplicando medios por extremos:
M=2~8[90+~J+7
@ Si:WW=3Hallar:A=WWW+1
rg
7J
21
RESOLUCiÓN:
M= 8[-8-+7='11921-7+7
t"
M=,6 + 9 + 12 + ... + 243,
(2")(5")
T=" __1,--_
5n + 2n
(10)"
T=Y1O"
2
n(n-l)(n-2)
M = 3n + n(n-l) + -""'--'é:"-'-="3
Paran=40
M =3(40)+40(41)+ 40(39)(38)
3
n(n+l) _ 5
n(3n+l)
-2--14 x
2
2
2
2
n(n+l) _ 5
n(n+l+2n)
-2--14 x
2
t
C)20250
E)21520
M=3C;+2C~+2C~
-n" siguientes
14(n+l)= 5(3n+l)
14n+14=15n+5
2n +5 n
n 5n+ 2n
2"+ 5"5
M =3n + 2n(n-l) + 2n(n-l)(n-2)
,1 +2+;+ ... +I)+Jn+l)+(n:2)+ ... +2n,
1M=9960 1
n
2n +5 n
1
1
-+2" 5"
~--
,\2
t
t,.--...,.--...
3 3
~--
T=
M=~Y5YS3+ ...
t"
t
t,
RESOLUCiÓN:
Resolviendo tendremos:
40té~inos
Si la suma de los "n" primeros números enteros positivos es 5/14 de la
suma de los "n" siguientes. Hallar "n"
A)9
B) 10 C)8
D) 12 E)7
RESOLUCiÓN:
19=n 1
2- + S-l'I
Calcular"M"
M=3+5+9+15+23+
...;
,
A) 18640
B)19310
D)24500
RESOLUCiÓN:
IRpm.S!
"n" primeros
___5,--"
T=n-.2,--"-,-+
n
I Rpm. E!
1M=18870 1
(x-l)(x+4)= 1050
(x-l)(x+4) =30 (35)
T
x-l =30
IX=311
n=36
@!) Hallarelvalorde"rsi:
I Rpta.S!
Sabemos que una suma en el exponente proviene de una multiplicación
por lo tanto: A = WW W.W
Además una multiplicación en el exponente proviene de una potenciación, porlotanto:A= (WWW)W
También sabemos que podemos permutar los exponentes de la base y de
la expresión en potencia de potencia.
A= (JVW)WW
Reemplazando: WW= 3
A=3'
IA=27 1
® Si:
XX=
v:
Hallar:2x
RESOLUCiÓN:
Tratando de buscar la simetria; tendremos:
EXPRESIONES AL INFINITO
@ Hallar"N"si:Y12+Y12+Y12+ ...oo
RESOLUCiÓN:
Como vemos: 12=3x4=3 3+1
N=
X
X =
X
X
=
~
~;
XX=~!
X
X
=
:. x= 1/2
3x4+Y3x4+Y3x4+ ... oo
1N=41
Piden:
I 2x = 1 I
[;J+
@ Sabiendo que: 3 "= (3
3
3 )"
@
""Yíl
Calcular:A=
RESOLUCION:
Operando: 33" = 3 3"
Igualando exponentes: 3" = 3n
•
3"
.. 3=n
RESOLUCION:
Vemos que ambas bases son potencias de "3"
IA=3 I
Hallarelvalorde"K"si:n=
2 2n+1 _ k318 = 22n
!
,en:
RESOLUCION:
Transponiendo términos:
22n+1 _ 2 2n = k3J8
2 2' . 2 - 22" = k3/8
Factorizando:
2 2'(2 -1) = k318
22n= k3l8
Pero:n=%
2 .. =k 8
2[3J 3
3x-6=-4
3x=2
1x=213 1
43x..
Ox 12
119 Resolver'. 27 2x
-4 = X -
@)
RESOLUCION:
Transformando:
(22)3x-6
(33)2x-4 XOx-12
2 6x- 12
--=X
36x-12
@
~~
@
[83J4 =k 38
3
w= Y(111111)2-11.!1.1.4
[~J6x-1~ X 6x-12
ex-12
Porlotanlo:
Dando forma: AtJ[tLkt
2
12345654321
Observamos que este número es el
desarrollo de:
12345654321 =(111111)2
33x.. = 3-4
Por lo tanto:
Reemplazando en "A":
@
~ ]'
(3 3)X-2 = [
n =3 n-1
A='\l3""'
RESOLUCION:
Operando primero la cantidad subradical:
10305050301 +
2040604020
27x-2= [;1]'
Hallar"x"si:
1x=213 1
Hallarelvalorde"X"si:
Ix-1 + 7x-1 + 7x-1 +..... + 7x-~= 343
@ Hallar "m+n" si: (lx3x5x7x ... )2= ... mn
RESOLUCION:
Observaremos que lo que esta elevado al cuadrado es un número formado por factores impares, siendo uno
de los factores el número 5. Además
recordemos que:
49~ces
RESOLUCION:
Como sabemos que una suma repetida es igual a una multiplicación
3
(24)8 =k8
k=2 4
5
@ Hallar"a" en:
tenemos:
49(7X-1) = 343
Pero: 72(7~1) = 73
x-l = 1
~=52sV5
RESOLUCION:
Resolviendo:
.'
.....
5'" =52sV5
ParxN=par
Sin imporlarsi N es paro impar
Impar x Impar= impar
También sabamos que al multiplicar
un número por otro que termina en cifra 5 se observa:
Parx( .... 5)= .... 0
Imparx( .... 5)= .... 5
Por lo tanto:
(1 x3x5x7x ... )2 =( .... 5)2 = .... 25 = .... mn
Porlolanlo --+ m=2
n=5
.'Vs
5--' =52sV5
Igualando exponente:
3
a Vs =25Vs
5
a 3 = 125
@
ECUACIONES EXPONENCIALES
@ Resolver: 94x" =
X Ox•
@ Hallar la suma de cifras de"w" si:
w= (~79 cifras
RESOLUCION:
Las bases no son iguales y tampoco
los exponentes pero le damos la
misma expresión a los exponentes si
(32)4x" = X Ox· 12
38x-12= X ax-12
@
®
Resolver: xxx= 16
RESOLUCION:
Pero: 16=24_2 22
Por lo tanto: x xx = 2 22
@
RESOLUCION:
Observaremos que n = 35, por lo
tanto:
Suma de cifras =9(35) = 3151
12
17 .. ;778)2
77 cifras
RESOLUCION:
Observaremos que como el sustraendo tiene 2 cifras menos que el
minuendo estará dos lugares a la
derecha de éste.
:.1 x=31
79 cifras
,--------A-----
~
:.ln=781
Suma de cifras = 9(78) = 7021
@
:i:::
:1{re~~lladO)
15
Evaluando:
Si: a+b+c=25
• (a+b+cI2=a25
•
78 cifras
w= (99 ... 99)2
~:~I::en::::
a=6'si:
, a+b+c=25
+ '--y-'
,999.;.999,
Hallar"x" si: 3x+1= 9
RESOLUCION:
Observamos que: 9 = 32
Entonces: 3x+1= 32
x+l=2
:.lx=11
Siendo a, by e cifras; hallar"b+c" si:
(a+b+c)2=a25
RESOLUCION:
Observaremos que: a +b + e = .... 5
Puesto que: (a + b + C)2 = a25
Observamos que:
152=225
252=625
352 = 1225 (No puede ser ya que es
•• ~ J25
1077 ... 777 77 ... 778
:. I x = 2 I
m+n=71
Hallar la suma de cifras de "M" si:
M =.<3:5~~:1,2
APLICACiÓN ALGEBRAICA
Hallar la suma de cifras de "M" si:
M=Yl00xl0l xl02xl03+1
RESOLUCION:
Operando:
M = y'-(1"'"'0'""0-x"c"
CC3
'"""'+"C"1)'"""2
10
M = 10300 + 1 = 10301
Suma de cifras de M = 1+0+3+0+1 =51
Hallarelvalorde"W"si:
W = Y 10305050301 + 2040604020
1.
b + e = 19; lo cual no podía ser puesto
que el mayor valor que puede tomar
una cifra es 9; y dos cifras podrian sumar como máximo 18.
Entonces si: (a + b + e) = 15
(a+b+c)=a25
'---y--'
1s2
+
225
C = (31427')21~= (.... 7)48
Dividiendo: 48 ~
-8 12
:. a=2;si:a+b+c=15
~ "---r"
,
13
Rpta.:b+c=13I
@- se repite Oveces
@ Hallar "W' y dar como respuesta la
"n"cirru
"n"Clfras
........
(n-1)
~s
D = (21422)4314 = (... 2) 14
Dividiendo: 14 ~
3
®- se repite 2 veces
@ Si "n° es un número natural, hallar la
cifra terminal de:
W= (4174)8""+ (2149)'6"+'
RESOLUCION:
Debemos recordar que:
PAR± PAR = PAR
PAR±IMPAR=IMPAR
IMPAR±IMPAR=PAR
Además: PAR x N = PAR
Por lo tanto:
(4174)'" =(...4)"'"<""'"= (...4)'""'"= ...4
(2149)16"+' = (...4)"'"+""'= (... 9)""'= ... 1
W=( ... 4)+( ... I ) = 4
@ Hallarel resultado de "P" si:
P = (999997)(999993)
RESOLUCION:
Observemos
Suman 10
,-------,
P=(~)=9999900000211
Igual cantidad
de cifras -9"
Hallarla cifra terminal de:
P=(RAZONAMIENT019+
MATEMATIC099-12)LQ.MAXIMO
RESOLUCION:
Operando las cifras terminales:
P= [( ... 9)+ (... 9)- (... 2)](LO+MAXIMO)
P = [.... 6]LO+MAXlMO
n = número natural.
A= (3147)4"+'+(2173)8"+1-(132)4"+3
RESOLUCION:
Como "n° es un número natural
donde a "n" cualquier valor natural
se cumple el mismo residuo al dividir entre 4 puesto que este valor esta multiplicado porun múltiplo de 4.
Observación: Por propiedad de divisibilidad:
Si: N =A+b; secumplequeb=residuo de dividir N +A
Si: N =A-c; se cumple que c= residuo por exceso de N + A, además
b +c=A, porlotantoc=A-b
Entonces: Dando el valor n = 1
(3147)4"+' = (... 7)6= (... 7)' = ... 9
(2173)8"+1 = (... 3)9= (... 3)' = 3
(132)4"+3= (... 2)'= (... 2)3= ... 8
Elvalorde "A", sera:
A= (... 9) + (... 3) - (... 8) = 4
=4
@
Hallarla cifra terminal de:
A= (21474)1217 + (32879)3146
RESOLUCION:
(21474)1217= (....4)'MPAR= ....4
(32879)3146 = (.... 9)"AR= .... 1
Entonces:A= (....4) + (.... 1)=.4
Hallarla cifra terminal de:
A= (2143)437'
B = (3148)'473
C = (31427)'148
D = (21422)4314
RESOLUCION:
A= (214:!)43!>.= ( .... 3)'.
Dividiendo:
75~
3518
@-- residuo ~se repite 3 veces
A= ¡... 3)( ..})( ... 3) =
=4-
3veces
B = (314!1)74~= (... 3)'3
Dividiendo:
73~
33 18
residuo ~ se repite 1 vez
B=( ... 8)==4
G)--
~
(33333333)'
r333333331
(11111111)' = 11111111:J = 3
l:
@
Hallar el resultado de "M" y dar como
respuesta la suma de sus cifras:
M = (244; .. 4,+~8 .;. 89)'
(3a+2b+1)
(3a+2b)
cifras
cifras
RESOLUCION:
244 ..... 44+
88 ..... 89
,333.~... 33,
(3a+2b+1)
cifras
M = (333 ... 33)' ~ Suma de cifras =
'----y----'
= 9(3a+2b+l) =
= 27a + 18b + 91
(3,:::!,;')
@ Hallar la cifra terminal de "A" si:
y sabemos que un número que termina en 6 al elevarse a cualquier pe>tencia termina en 6, por lo tanto:
P= [.... 6]LO+MAXlMO=
@
1 1111111088888889
~ 123456787654322 - 1
D=( ... 2)( ... 2 ) = 4
Además:a+b=10
@
Simplificar:
RESOLUCION:
C = (... 7)( ... 7)( ... 7)( ... 7) = 4
suma de sus cifras, si:
W=Y50x98x 198x97+ 1
A)16 B)18 C)17 D)15 E)19
También tenemos el caso del producto de dos números formados por
la misma cantidad de cifras 9 y las cifras de las unidades suman 10.
~;~~=~900 ... 0axb
~
~
~
DIVISORES Y MULTIPLES
@ Al calcular el MCD mediante el algoritmo de Euclides de los números:
(2a)bb[~J
[~J O [~J<2a-2)
se obtuvo por cocientes sucesivos 2;
3; 4; 2 Y3 en ese orden.
Determinar a' + b' si la tercera división se hizo por exceso.
A)70 B)88 C)77 D)99 E)90
RESOLUCION:
Sean:
Hallar la suma de las 3 últimas cifras de "N" si:
N =(99)'+(999)'+ ... +~;~'
20 cifras
RESOLUCION:
Observamos:
(99)'=9801
(999)' = 998001
(9999)' = 99980001
A=
(2a)bb[~J
B=
[~J O [~J<2a-2)
Divisiones sucesivas:
2
3
4
2
A
B
25d
3d vd
25d
7d
3d
7d
d-
25d1
~
(~)'=~8~1
20 Cifras
19 cifras 19 cifras
Operando tendremos:
99~~g~+}
~~~~~~~~
y
3d
3
O
División por exceso
D = 4(7d) - 3d
ID-25dl
'B=82d
• A = 2B+25d = 2(82d) + 25d = 189d
19 sumandos
......... 819
Sumadelas3últimascifras: 8+1+9= 181
J;
de: (2a)bb [a;3
a=X;3
-->
la=31
-->6bb3=189x@=6993-->lb=91
Verificando:
[~J O
m
(2a-2)= 3034 = 82 x 37
I Rpta. E J
_'. a2+b2=32+92=90
@ El mlnimo común múltiplo de 4 números consecutivos es 5460. Calcular la suma de los 4 números, si el
menor de dichos números es múltiplode3.
A)38 B)54 C)58 D)60 E)52
RESOLUCION:
Sean los 4 números consecutivos.
@, a+1, a+2
,@
.¡.
.¡.
Dato:
MCM[a; a+1; a+2; a+3] = 5460
MCM(a;a+1)=m,
MCD(a; a+1) = 1
MCM(a+2; a+3) = m2
MCD(a+2; a+3) = 1
--> MCM[m,;m>l=5460
MCM[a(a+1 );(a+2)(a+3)] = 5460
Observación:
El producto de 2 números consecutivos es 2.
MCD[~(a+1 ),(a+2)(a+3)] = 6
.¡.
.¡.
:3
:3
Propiedad:
[a(a+1 )][(a+2)(a+3)] = 6 x 5460
a(a+1)(a+2)(a+3)= 12 x 13 x 14 x 15
TT
TT
T
T
T
T
Nos piden: 1a = 121
a+a+1+a+2+a+3=4a+6=54
[Rpta. B
J
@ Se saba que la diferencia entre el
MCM y MCD de 3 números es axbxc
donde: a, b y c forman una progresión aritmética creciente de razón 10
yen ese orden. Calcular el mayor de
ellos si se sabe que C~, = 78 Y además la diferencia entre mayor y el intermedio es 26 y del mayor con el
menores 65.
A)90 B)65 C) 105 D)93 E)91
RESOLUCION:
Se tienen los númerosA, By C, siendoA<B<C.
Dato:
MCM(A,B,C)· MCD(A,B,C) =a x b x e... (a)
• a, b, e están en progresión aritmética creciente de razón 10.
-->
la=b-101
;
IC=b+101
b!
•
11! x (b-11)! 78
relb----:::-l1
Identificando:
13
b
Cll =
Observación:
13 -C 13 - 13x12 -78
C 112 2! -
Reemplazando: 1a = 31 ; 1c = 23 1
@ Se calcula el MCD de los números
1a6 yaba mediante el algoritmo de
Euclides y se obtienen 4 cocientes
iguales que suman 8.
Si la penúltima división se realizó por
exceso. Calculara + b
A)4
B)6
C)7
D)5
E)8
RESOLUCION:
Cálculo del MCD de: 1a6 < aba mediante el algoritmo de Euclides
A=MCDxq, ; B=MCDxq2;
C=MCDxq3
Dato: C-B=26
C-A=65
En (a):
MCD[q,q2q3-1] = 3 x 13 x 23
Identificando: 1MCD = 131
q,xq2 x q3=2x5x7 ;
TT¡TTT
~
q,
A=13 X 2=26
B=13x5=65
{
C=13x7=91
aba
MCM y el MCD de tres números es
897, que la diferencia entre el mayory el intermedio es 26 yque la diferencia entre el mayor y el menor
es 65. Dar como respuesta la suma
de dichos tres números.
A) 184
B)183
C)182
D)179
E) 176
RESOLUCION:
Sean los números A, B YC; Tal que
A>B>C
Datos:
MCM-MCD=897 ....... (a)
A-B=26
....... (P)
A-C=65
....... (1)
Si admitimos que: MCD(A;B;C) = d,
entonces:A=d xa; B =d x byC=
dxc,donde:
MCM=dxaxbxc
En (a):
l!,x a x b x Col!,= 897
d(abc-1)=897
d(abc-1)=3x13x23 .... (e)
En (~):
d xa-d xb=26
q.
@-->MCD
1a6
Dato: q,=q2=q3=q.=q
y:
q,+q2+q3+q.=4q=8
-->lq=21
2
2
2
aba
_ 2d
1a6 f.-3d
d
3d
2d
#
2
d
O
Por exceso
?=2x2d-d=3d
·1a6=2(3d)+2d=8d=8x17
.:::::>...d=17;1a6=136--> la=31
• aba=19d=19x17=323
~_..,
--> 1b=21
:. a+b=3+2=5
®
l
Calcular k + 1
A)6 B)4
C)8
RESOLUCION:
Se tiene:
..... (IfI)
I Rpta. D J
Si se cumple:
MCM 1 13k . .§I<.. 8k
7 ' 14' 7
d(a-b)=~
t
J
520
D)7
E)9
l
MCM 113k . .§I<.. 8k = 520
7 ' 14' 7
J
l
Multiplicando x 14:
d(a-c)=~
kx MCM[13 x2; 5; 8 x2] = 520 x 14
kx1040=7280
d(a-c)=5x13
..... (ro)
De las igualdades (e), (1fI) y (ro) concluimosque: ~
-->lk=71
~
Nos piden:
k+1=7+1=8
:. axbxc-1=69
-->axbxc=70
axbxc=2x5x7
®
TfL.J'TT
Para identificar valores observamosque:
En (1fI): a-b=2
yen(ro):a-c=5
~ 1a=71 ; 1 b=51
q3
O
@ Se sabe que la diferencia entre el
d(a-b)=2x13
En (r):
l!,xa-lI,xc=65
q2
1c=21
Finalmente como:
A=dXa}
B=dxb +
C=dxc
A+B+C=d(a+b+c)
A+ B + C = 13(7 + 5+ 2) r=--c----::--.
:.A+B+C=182
1 Rpta. CJ
[RPta.CJ
Para 2 números se sabe que la suma
de su MCD y su MCM es 770 y la diferencia de los mismos es 700. Hallar la
suma de los 2 números.
Sabiendo que no son divisibles entre
sI.
A) 350
B)320
C)280
E) 360
D)300
RESOLUCION:
SeanAy B los números
MCD + MCM = 770
....... (1)
MCM - MCD = 700
••••••• (11)
De(l)y(lI)
1MCD=35 1 ; 1MCM=735 1
Sabemos que:
Para 2 númerosAy B
Secumple:
1MCM=MCDxq,xq21
Iq2=31
'--PESI./'"
q,=7;q2=3>(
(A ..
S)
9
~
M,
M2
B)
[Rpta.A
~
M,
D)~
M2
RESOLUCION:
Sea a y b los números
• MCD(A; B)=d
I
MCM=1 x2x3x4x5=120
120",1);16
; cb",6x1: 1 cifra
~ cb=6(2)=12
C) M, M2
Nos piden:
a+ b+ c=2+2+ 1 =5
(a) x(P):
n x MCD(A, B) x MCD(A; B) M, M2
n
MCD2(A, B)= M, M2
:. MCD(A,B)=~ [Rpta.EI
La última 2'ifra del MCM:
MCM - .....4
MCDxp
MCDxq
P • q • r
T
9
PESI
B=MCDx@---./
MCM=MCDxq,xq2
En (a):
MCD+MCDxq, xq,=703
MCD(1 +q,xq2)=37x19
MCDxr
T T
c-=
TT
1
Identificando factores:
1MCD=371;
q,xq,=18
J. J.
18
°
1>< (MB)
®®V
Ip=71 ; Iq=51 ; 1r=31
Nos piden el mayor de dichos números:
[Rpta. E
A=17x7=119
a+1+a+3+a+5=9
Sabiendo que la suma del MCD y el
MCM de 2 números es 703. Hallar la
suma de estos números. Si se sabe
además que el MCD es el mayor posible y los números no son divisibles
entre sI.
A) 327
B)409
C)407
D)409
E)410
RESOLUCION:
SeanAy B los números
Datos:
(a): MCD + MCM = 703
(P): MCD--> es máximo
A=MCDx@~
MCM=MCDxpxqxr
1785=17xpxqxr
:. pxqxr=105=7x5x3
Identificando:
c: ~
I
. Rpta. D .
Se sabe que:
PESI
CMgVx(p+q+r)=255
J.
p+q+r=255/17
17
:.1 p+g+r= 151
resulta al invertir ello es 36. Hallar la
suma de dichos números.
B) 1332
C) 1334
A) 1321
D)1352
E) 1355
RESOLUCION:
MCD[(a+l)[a+3)(a+5)+(a+5)[a+3)(a+l)]= 36
~
I
(r):MB
~+Cf+~255
@ El MCD de (a+l )(a+3)(a+5) y el que
A=37x9=333
B=37x2=74
:. A+B=407
[Rpta. C I
I @ 3 corredores A, B Y C parten juntos
3a+ 9=9
3a=9
a -3°-/""'"0 ><
--'---3V
~
:.la=31
Los números son:
468 ;864
:. La suma de dichos
números es 1332
Sisecumple:_ _
MCM(cb, (2a)0)= 120
MCD(cb; (2a)0) = a2
Hallar:a+b+c
A)6
B) 12 C)8
D)4
RESOLUCION:
MCM = [7x(10-1 )+1][7x(10+1 )-1]
MCM = [10- 7 + 1][10 + 7 -1]
MCM = (1°0-6)(10+6) = 1°0 - 36 = 10+4
I
MCD(A;B) = 17}
MCD(A;C)= 17 MCD(A;B;C)= 17
MCD(B;C) = 17
• MCM(A;B;C) = 1785
Dato:
MCD(A; B)
n
=M2 .. ·(P)
~
Rpta. E
Secumple:
MCD(A; B)=17; MCD(A;C)=17
MCD(B;C)=17; MCM(A;B; C)=1785
y A+B+C=255
Indicar el mayor de dichos números
A)121
B)117
C)129
D)131
E)119
RESOLUCION:
Se tiene:
E)YM,M2
Criterio por 9:
I
@ Dad03númerosA,ByC
[A'~J
=M2
n ' n
• (a+1 )(a+3)(a+5) - 36
MCM=[7x(I°0-1 )215+ 1][7x(10+1 )646-1]
:. 1a = 21 ; 1b = 21 ; 1c =1 1
Dato:' MCD(Axn;Bxn)=M,
n x MCD(A; B)=M, ... (a)
• MCD
MCM = (743' + 1)(7 1293 -1)
Analizando: 72= 49 = 10 - 1
MCM = [7'x7 430 + 1][7'x7'292-1]
MCM = [7x(7')215+ 1][7'x(7')646_1]
Si: (2a)0
2 números al multiplicarse por un ter·
eero se obtiene que su MCD es "M,.'
Y cuando se dividen por dicho tercer
número el MCD es "Mi. Hallar el
MCD de dichos números.
A)
Por diferencia de cuadrados:
(19k1J(743' + 1)(7'293 - 1)
MCM=
~
1cb=6a 1
:. A=35x7=245
B=35x3=105
Nos piden:
1A+B=350 1
Despejando:
_ (7 862 - 1)(7 1293 - 1)
MCM (743' _ 1)
De:
MCM [cb; (2a)0] = 120
MCD ]cb; (2a)0] = a 2
--> cb x(2a)0 = 120 xa2
cb x10x2a=120xa 2
Identificando:
;
IAxB=MCDxMCM 1
1AxB=MCDxMCM 1
735
--> Q,xq2= 35 =21 =7x3
Iq,=71
Para 2 números se cumple:
E)5
Hallar en que cifra termina el MCM
de los números
A=7"2_1 ;B=7'293_1
A)2 B) 1
C)3
D)4 E)5
RESOLUCION:
Se tiene:
A=7 862 _1
B=7""'-1
Por propiedad:
MCD(A; B) = 7 MCD(862; '293) - 1
MCD(862; 1293)=431
:.1 MCD(A;B)=7431 -11
de un mismo punto de un circuito de
3600 m de longitud, la velocidad deA,
B y C es 75 m/min, 50 mlmin y 1
m/seg respectivamente. ¿Dentro de
cuánto tiempo volverán a pasar juntos, por la línea de partida?
A)600min B)720min C)740min
D)480min
E)750min
RESOLUCION:
3600 m
VA=75m/min ;VB=50m/min
A mfnimo=2 4 x36 x5 7
m
m 60$lj
.
Ve=l sg =lx $ljx min =60m/mln
D(A) = (4+1 )(6+1 )(7+1) = 280
;
@
I b=51
0(2) =2[23 X 36 X 5']
0(2) = (3+1)(6+1)(7+1) =224
:. 280 - 224 = 56
"'1
Rp"--ta-.s.....1
El tiempo que demora cada corredor
en dar 1 vuelta es:
3600
.
tA=~=48mln
tB=
3600
.
s¡¡= 72 mln
3600
.
te= ---¡¡¡¡- = 60 mln
Volverán a pasar juntos, por la línea
departida
--> MCM(tA;tB;tc)
--> MCM(48; 72; 60)
--> 12 MCM(4; 6; 5)= 720r=---:--=-'I
:. Dentro de 720 min
1Rpta. S I
,2; 4; 6; ......... ; 750",
750-2
y
-2-+1 = 375 números
@
@ Si: A-B=5
yel MCM (A, B)= 150
Hallar(A+B)
A)40 B)50 C)60 0)45
RESOLUCION:
Se tiene:
A-B=5
....... (1)
MCM=150
....... (11)
Reemplazando:
E)55
PESI
B=MCDxq 2
MCM=MCDq, x q2
En (1):
MCD(q,-q:zl=5xl
"'L
Iq,-q2-11
Iq2=51
~ A=30
;
:. A+B=55
@
8=2rn+1x3 nx7 2
MCD(A, B) = 2 mX 3"
D[MCD(A, B)] = (m+l )(n+l) = 20
.j.
.j.
®
:·lm=41;ln=31
2001~ 1994~
1987~
r2a4
r2a3
:. La suma es:
375+250+50 = 675#s
@
@
31255 ~ 1778=7+3
Observamos que a 1788 le falta 3
unidades para ser7 más 6.
:. Daniel nombrará:
.-::-----::-.
1788+3= 1791
Rpta. O
B=5
A=a mx(a+l)2"xb 7
...... (D.C.)
...... (D.C.)
B=(a+l)"xa m+1x7 2
Si A Y B tiene 20 divisores comunes
¿Cuántos divisores impares tiene A,
sabiendo que es minimo?
D.C.: Descomposición Canónica
A)55 B)56 C)50 0)54 E)58
RESOLUCION:
Se tiene:
A= amx (a+l)2"x b7
...... (D.C.)
B=(a+l)"xa m+1x7 2
...... (D.C.)
O [MCD(A, B)] = 20
Cálculo del MCD:
a ya+1 son números primos consecutivos. ~
~
la+1-31
A=2rnx3 2n xb7
" Cantidad de múltiplos de 3: 7;0 =250
" Cantidad de múltiplos de 15:
l2a5
En (11):
MCDq1 x q2=150
5xq1 x q2=150
q, x q2=30=6x5
Identificado:
Iq,=61
2
Los cuales forman una progresión
aritmética de razón 7 pero al dividir
entre 7 se obtiene:
6
6
6
Donde observamos que:
2001 = 7+6; 1994 = 7+6; 1987 = 7+6
Lo cual es deducible ya que el primer término es 7+6, los demás al
restarles 7 unidades (7) serán también 7 más 6 por lo cual podemos
afirmar que uno de los números
mencionados deberá ser "7 más de
6, pero sabemos que:
1788li....
==r= Tf
IMCD-51
Pero como son números consecutivos que empiezan desde la unidad la
regla práctica consiste en: "Dividir el
mayor de los números consecutivos
entre el módulo y el cociente entero
de la división será la cantidad de múltiplos de dicho módulo.
Aplicando en este problemita dicha
regla:
750
" Cantidad de múltiplos de 2:
=375
Daniel cuenta hacia atrás comenzando por el 2001 y nombrando cada 7 años de 2001; 1994; 1987;
1980; ... uno de los números que ha
nombrado Daniel en la sucesión es:
C)1790
A) 1768
B) 1789
O) 1791
E) 1792
RESOLUCION:
Los años que nombra Daniel son:
2001; 1994; 1987; ....
..............................
7
7
A=MCDxq1~
.......J
En los 750 primeros números enteros
positivos:
" ¿Cuántos son múltiplosde2?
" ¿Cuántos son múltiplos de 3?
" ¿Cuántos son múltiplos de 15?
Dar la suma de dichos resultados.
A)375
B)600
C)300
0)275
E) 675
RESOLUCION:
Los 750 primeros números enteros
son: 1; 2; 3; 4; ...... ; 750
Los múltiplos de 2 son:
I
~
A~
rq;-
Rpta. E
I
¿Cuántos números del uno al mil son
múltiplos de 5 pero no de 25?
A)200 B)18 C)150 0)100 E)160
RESOLUCION:
Los números mencionados son:
1;2;3; ........... ; 1000
Del cual los múltiplos de 5 son:
5; 10; 15; ....... ; 1000
Ylos múltiplos de 25 serían:
25; 50; 75; ..... ; 1000
Graficando mediante los diagramas
deVenn:
Obsérvese que los múltiplos de 25
están contenidos en los múltiplos de
5, además nos interesa cuántos números hay en la región sombreada.
° 1000
Cant.#S 5: -5-=200
° 1000
Cant.#S 25: 25 = 40
~ A= 1°5+ 13
.
rq;-
11
~ B=1°5+11
Al multiplicarse tiene:
AB = (1°5+ 13)(1°5+ 11)
1 Rpta.EI
°
°
• • Cant. #S: 5 pero no 25 ers::-:--:--=-'1
200-40=160
1Rpta.EI
B~
AB= 1°5+ 143
.j.
AB=1°5+B
El residuo es 8
I
=50
I
Al dividir dos números entre 15 los
residuos son 13 y 11.
Hallar el residuo del producto de
estos números entre 15.
A) 16 B)32 C)42 0)48 E)8
RESOLUCION:
SiendoAy B los números:
13
~5~
@
2
Del 1 all OO. ¿Cuantos son ó 3? Dar
como respuesta la suma de las cifras
de dicho número.
A)15 B)17 C)21 0)19 E)23
RESOLUCION:
De acuerdo a los diagramas de Venn
- Euler se tiene:
Nos interesa los números de la región sombreada para lo cual primero debemos hallar los "7 y luego los
91.
Además al indicar que es divisible por
9 y por 15 será divisible por 45 (MCM
de9y 15) pero no por25.
Graficando sería así:
Como los números son:
3001;3002;3003; ..... ;4999
Completando resulta así:
1; 2; 3; ... ; 3000; ~001; 3002; ... ;4999,
Oel cual nos interesa cuántos números hay en la reqió,! sombreada porque al pedir los 2 ó 3 nos interesa los
números de la unión de los conjuntos.
Si tenemos: 1; 2; 3; ....... ; 1000
Los:1 son: 1~OO = 500#S
namaros que ~os interesan
1°) Los "7 son: 4999 _ 3000 =
~~
parte
parte
entera
=714-428=286#S
2°) Los 91 ;on: 4999 _ 3000 =
~~
parte
parte
°
1000
Los 3 son: - 3 - = 333#s
Los6son:
I~OO
entera
entera
entera
=54-32=22#s
= 166#s
•
°
°
•• Los#S7noI3son:
286-22 = 264#S
Entonces tenemos:
1 Rpta.A 1
.
.
@ ¿Cuántos números enteros positivos no mayores que 5000 son múltiplos de 5 y 6 a la vez pero no de 7?
~I~
~IOO
En total hay: 334+166+167 = 667#S
.-. ~cifrases:
1 Rpta E 1
6+6+7=19
.' .
@ ¿Cuántos
números enteros positivos de 3 cifras son múltiplos del3?
A)67 8)69 C)71 0)74 E)82
RESOLUCION:
Los números de cifras son:
lOO; 101; 101; 102; ..... ;999
Pero si dicha sucesión lo completamos para que sean números consecutivos desde la unidad será lo siguiente:
1; 2; 3; ..... ; 99;,100; ...~ .. ; 999,
numeros que interesan
Ahora para hallar los 1'3 que hay de
100 al 999 aplicamos la regla práctica, para hallar primero cuántos 1'3
hay del 1 al 999 y luego restamos la
cantidad de 1°3 que se tiene del 1 al
99.
999
1°) 13dell al 999: 13 =776
2°)13dell al 99:
99
13
=7
,".OeI00aI999hay:
76-7=69#S 1°3
@!)
[Rpta. B
I
¿Cuántos múltiplos de 7 pero no de
13 existen entre 3000 y 5000?
A) 254
8)258
C)286
0)324
E) 350
RESOLUCION: Números 7 Números 1°3
Para visualizar
mejor el problema utilizamos el diagrama de VennEuler.
~Ia
ql~
~In
RESOLUCION:
Los números mencionados son:
1;2;3; ...... ;5000
Además como el enunciado indica
múltiplos de 5 y 6 a la vez significa
que deberá ser múltiplo de 30 (30
es el menor número que contiene a
5y6).
Luego según el diagrama de Venn Euler seria asf:
° (MCM(45;25)=225
225
La región sombreada representa lo
que nos piden:
Primero vamos a calcular los múltiplos de 45 para lo cual deberá
cumplir que:
abcd =45 k ........... (2)
Al reemplazar (2) en (1):
1000S45k< 10000
22,2,; k < 222,2
Luego k;,{23; 24; 25; .... ; 222)
~ Los45son:222-22=200#s
Ahora nos falta hallar los múltiplos
de 225.
abcd = 225k' ........ (3)
Al reemplazar (3) en (1):
1000 S225k' < 10000
4,4,; k' < 44,4
k'=e{5;6;7; .... ;44}
~ Los2:15son:44-4=40#s
9
:. Los y 15 pero no de 25;--,:::--:----:,-,
[ Rpta. A
200 - 40 = 160#s°
I
@ Al dividir 93 entre "n° el residuo es 2.
Calcular cuántos valores puede to-
mar"n",
A)2
8)8 C)3 0)15
RESOLUCION:
Según el enunciado:
°
210
Como nos piden los múltiplos de 5 y
6 a la vez o sea los múltiplos de 30
pero no "7 a los 30 habrá que quitar
la intersección que son los múltiplos
de: 30·7=210
Primero: Hallamos los 30.
5000 ~ ~ Ha 166#s 30
Y
201166
Segundo: Calculamos los 21 O.
210
5000 1
~ Ha 23#s210
170 23
Y
,". Lo que nos piden es: 1
1
166-23= 143#S
. Rpm. B .
@j) Calcular cuántos números de 4 ci-
fras son divisibles por9y por 15 pero no por25.
8)170
A) 160
C)180
0)150
E) 130
RESOLUCION:
Como el número es de 4 cifras debe
cumplir la siguiente relación:
1000,;abcd<10000 ....... (1)
E)35
93~
2 q (2<n)
~93=nq+2
---
91 =n
~
nesdivisorde91.
Pero: 91 =7·13
91 7
I~ 13
91=7·13
1
:. n puede ser:
7; 13;91 (3 valores)
[RPta.cl
@ En un almanaque que tiene 365 hojas cuántas veces se cumple que el
número de hojas arrancadas es múltiplo de las que quedan.
A)2 8)3
C)4
0)5
E)6
RESOLUCION:
Según el enunciado se tiene:
36~jas
~-----------
----------~~
000.··-000 0.··-000
"
v
ti hojas arrancadas: 365-n
;
'------y-----l
f. hojas que quedan: n
Según dato se cumple:
365-n=,;
365=n+n
365="
"--"
De donde n es divisor de 365 excepto 365 porque el número de hojas
arrancadas no puede ser cero.
Pero: 365 = 5' 73
"n" puede ser: 1; 5; 73 (3 valores)
.'. Se cumple 3 veces
Rpta. B
I
~
I
Si la siguiente suma es múltiplo da a.
Hallarel máximovalordea.
a1o+a2.+ a3.+ .... + a8.
A)3 B)4
C)6
D)8
E)9
RESOLUCiÓN:
Tenemos por dato:
a19+a29+ a39+ .... + a89=a
(9a+l )+(9a+2)+(9a+3)+ .. +(9a+8)=a
(a+l )+(a+2)+(a+3)+ ... +(a+8) =
a+(1+2+3+ .... +8) =a
a+36=a
36=a
De donde "a" es divisor de 36 pero
como es cifra en base 9, deberá ser
menor de 9.
rfactores de 361
~ a E {1; 2; 3; 4; 6) menores que 9j
a
l
.'. El máximo valor
deaes6
@
IR
. pta.
C
I
.
Se conoce que un numeral de 4 cifras es divisible por "n", pero si desde
su primera cifra se les aumenta 1, 3,
4 Y 2 respectivamente el nuevo numeral también de 4 cifras es divisible
porn.
¿Cuántos valores puede tomar"n"?
A)2 B)4
C)6
D)8
E) 10
RESOLUCiÓN:
Sea: abcd el numeral por dato:
abcd=f¡ ...... (1)
.(~a~+=1)=(b~+=3)~(c~+~4)~(d~+=2) = f¡ ...... (2)
Al restar miembro a miembro:
2}(-)
(a+l )(b+3)(c+4)(d+2) a
b c d =n
Se tiene: 1
3
4
2 =ii
Pero:13422
6 7 1 11
6 1 61
@
Si:abc,4+cba,4= .... 2,3
Calcule: a + c
A) 1 B)7 C) 14 D)20 E)22
RESOLUCiÓN:
Descomponemos polinómicamente:
196a+14b+c+l44c+12b+a= 1'3+ 2
197a+26b+ 145c= 13+2
o
.J,.
oJ,.o.J,.
o
13+2a+13+13+2c=13+2
2(a+c)=1'3+2
a+c=1°3+1
cl
Hallar: (p - r).
A)2
B)3 C)4
D)5
E)6
RESOLUCiÓN:
Del dato planteamos:
• abc-cba=pqr=7
Descomponiendo:
(100a + 10b +c)-(100c+ 10b+a)= pqr=7
Al reducir queda:
99(a-C)=pqr=7
....... (a)
Dedonde:a-c=7
~a-c=7
........ (13)
Luego reemplazando (13) en (a):
99(7)=pqr
693= pqr
De donde: p=6
r=3
.'. p-r=3
Rpta. B
I
IRpta. B I
@
I
@!) ¿Cuántos números 23xy son múltiplosde91?
A)3
B)5
C)7
D)1
E)9
RESOLUCiÓN:
Del dato: 23xy = 91
Descomponiendo por bloque se obtiene:
2300+xy=9'1
Como 2300 pasa al módulo 91, vamos a reemplazarlo por su residuo
que se obtiene al dividirlo entre 91.
2300 ~
182
25
480
455
~~ <-- Residuo
25+xy=9'1
~xy=66
cuatro cifras en una hoja de papel,
Vladimir regó tinta en la hoja de tal
fonma que los últimos dígitos ya no
se pueden ver:
8 6
Calcular la suma de todos los términos de:
1
1 1
1 2 1
133 1
1 464 1
1 5 1010 5 1
1615201561
1;' .....
n '1
C)2'+1 + 1
A)2'-1
B)2'+1-1
D)2'+1_2
D)2'-1-1
RESOLUCiÓN:
1 ~ 1 =2 0
1 1 -+2=2 '
1 2 1 ~ 4=22
1 3 3 1 -+8=2 3
1 ~ 6 4 1,-+16=2'
,
1 n .: ........ n1 ~2'
.'. La suma de todos los ténminos es:
2 n+ 1 _ 1
1+2' +22+23+... +2'= 2-=-1 =2'+1-1
..
.
Hallar:
I Rptll. B I
I @ '{I2(3+1
4
)(3 +1 )(3 + 1)(3"+1 )(3 "+1 )+1
@!) Alguien habla escrito un número de
I
Descomponiendo polinómicamente
por bloques:
8600+ab=60'
Como: 8600~
.¡.
60
143
20+ab=60'
260
240
Porlocual: ab=40
200
:. a+b=4+0=4
180
20
(§) Si:abc-cba=pqr=7
I
1
I
I
.'. Solamente el número r-=-""'-~
2366 es 91
Rpta. D
1342=2'11'61
Dedonde:2"11'61 =n
Como n es divisor de 1342, entonces
n E {1; 2; 11; 22; 61; 122; 671; 1342)
.'. n toma 8 valores.
Rpta. D
~86ab=60'
Dedondea+c=1 va+c=14
No puede ser a + c igual a 1 porque
aocseriaO.
.'. a+c=14
Rptll.
IT:::Il
Si el número es divisible por tres por
cuatro y por cinco, entonces la suma de los d Igitos tapados por la tintaes:
A)3
B)4
C)9 D)6
E)13
RESOLUCiÓN:
Hagamos que el número escrito
sea: 86ab
Del enunciado tenemos:
.86ab=3}
'86ab=1 ......(a)
• 86ab= 5
De (a) detenminando el múltiplo común de3y 14es 12, luego de 12y5
es 60.
2
'
A)1
B)2
C)3
RESOLUCiÓN:
D)8
E)9
E ='{I2(3+1)(3'+1)(3'+t)(3"1)(3 16+1)+1
E ='{I(3-1)(3+1 )(32+1)(34+1 )(38+1 )(316+1 )+1
E ='{I (3'-1)(3'+1)(3'+1)(3"1)(3 ' ''1)+1
~I
(3".1)
.
I Rpta. E I
® Hallar
el resultado de la siguiente
multiplicación:
(79-1)(78-2)(77 -3) ... (3-77)(2 -78)(1-79)
A) 80 '0 B)_80 'O C)73 D)1 E)O
RESOLUCiÓN:
(79·1)(78·2) ... (41-39)(4040)(394) ... (1-70)
Hay un factor cero en la múltiplicación, en consecuencia el
resultado es cero.
[ Rptll. E 1
~
~
an+ 1_1
Si aO+a 1 +a2 +a 3 + ... +a n =-----;-:¡Hallar:
E=II+101+1001+10001+ .. +~
A)
10100+88
9
10'0_1 100cfs.
B)-9-
C)
10'00+881
9
D)
10'00_81
9
10'00+81
E)
9
:. Suma de cifras:
9(2n"+2n+2)+9 = 9(n"+2n+3)
_ 4 (15625+2)(15625-2)+4
(625-3)(625+3)+9
[Rpta.S 1
@ Hallar la suma de las 4 últimas cifras del resultado de efectuar:
[1 x2x3x4x5 .... x97x98]'
A)4 B) 1 C)5
D) 10
E)O
RESULTADO:
(2n+1)cfs
(2n+1)cfs
,--------"----
,--------A-----
E = 11+101+1001+10001+... +100 ... 01
,12xl 010 ... 101 O~+,21 xl 01 0 ...10101,
E = (10'+1)(10"+1)+(103+1)+(10'+1)+ ... (10"+1)
E = (1+10'+10"+10 3+10'4 ... +10""+98)
10'00_1 + 98
E = 10-1
10'00_1
10'00+881
E=
9
+98=
9
,12122".;.121212, + ,21211.:}12121,
~
[f-::Rp--:ta-.c~1
~
Calcular la suma de las cifras del resultado de:
2mn cifras
v
2(n+2)cfs
~
ab + ab
. . mn
+
~n
ab +... + ab =m.,fabl
mn
mn
mn Su~ndos
lJnr9
mn..;
r=,..:a:::b----::-,
[Rpta. D 1
@ Resolver
11 xl 01 xl 0001 xl 00000001 x... xl 000 ... 01
'-----r----'
n
2 +1 cifras
Calcular la suma de las cifras del resultado.
A)2(n+l)
B)2n
D)2'
RESOLUCION:
2cfs.--> 11 xl 01 x10001 x100000001 x... x1000 ...01
j
2
2 cfs.--';Ji'i1'.
J
23 cfs.--> Jlll1111 v--~
2" cfs.-->
~
1111111111111111
I
111111 ....... 11111111
:. La suma cifras del
resultado: 2'+'
@ Calcular la suma de las cifras del resultado:
(~)2
(n 2+ 2n + 3) cifras
A)(n 2 +2n+3) B)9(n 2+2n+3)
C)9(n 2+2n+2) D)9(n 2+2n+2)+8
E)9(n 2+2n + 1)+8
RESOLUCION:
92=81
992=9801
9992= 998001
99992= 99980001
~?~2=~~PO~o,l
544
i
i
¡999?... 912 = 999 ... 98000 ... 01
(n2+2n+3)
'-----,----' '-----,----'
(n2+2n+2) (n2+2n+2)
2(n+2)cfs
~ 1212 ... 1212+ <--(2n+2)cfs
2121...2121 <-- (2n+2)cfs
Resultado: 3333 ... 3333 <-- (2n+2)cfs
, Rpta. S ,
.
.
:. Suma de cifras:
3(2n+2) = 6n+6
@ Calcular:
A) 1
B)2 C)4
D)5
RESOLUCION:
E= ~255x257x65537+ 1
E)3
[Rpta.sl
,--------'-----
222 ...... 222
~
400 cifras
Sabiendo que la diferencia de los
ténminos es 3.
A) 10 B) 15 C)200 D)400 E)20
RESOLUCION:
400cfs
,--------'-----
m
222 ...... 222
S ea-=
n~
400cfs
n
,400,cfs,
2xll1.. .. 11
4
6
9
s-'I
E).1.
2
1' ... .1.=.1.
2
2
3' ... 2+4+6 = .!
1+3+5 3
@ Resolver:
Vr.lco23;;c4C;:5~78;o;;9c-_co24"'6;;;c8
Indicar la suma de cifras de la raíz
cuadrada.
A)10
B)8
C)9
D)6
E)5
RESOLUCION:
• Se sabe que:
11 2= 121
111 2= 12321
11112= 1234321
111112= 123454321
• V"12;;;3~4~56"'7°;;;89;C--""2~46""8 = V 123454321
=V11111 2
= 11111 <--Suma de cfs. 5 [ Rpta. E 1
@ ¿Cuáleselrestodedividir
14 x24 x34 x44 x ... x 324 entre 5?
A)4
B)3
C)O
D)1
E)2
RESOLUCION:
Todo número que lenmina en 4 es 5-1
(5-1)(5-1)=5+1
(5-1 )(5-1 )(5.1) = 5-1
.
{5+1sinespar
5-1 si n es impar
Sea: E= 14x24x34x ... x324
E =.(5-1 )(5.1 )(5-1 )... (5-1>,= 5+1
v
:. AldividirEentre5,
el resto es 1.
4 15267x15623+4
622x628+9
4 15267x15623+4
=
622x628+9
C) 2223
2222
par 32 factores
@ Calcular el valor de:
RESOLUCION:
D) 2221
2220
RESOLUCION:
• .!
9 - 6 = 3 ~9 + 6 =@ ,r"'R-p-ta-.
A)V2 B)Ys C) 1 D) 5
B) 2222
2221
A) 4444
4443
J5-1)(5-~) ... (5-1),=
nn" factores
=-=-=-
6
2+4+6+8+ ... +4444
1 +3+5+7+ ... +4443
,
3x~~d·~'
2
3
@ Efectuar:
[Rpta. C 1
una fracción equivalente a
400 cifras
m
[ Rpta. D 1
.J
2222' ... 2+4+6+ ... +4444
4
1+3+5+ ... +4443 ¿.3=-:---=->
@ Hallar la suma de los ténminos de
n =
l 625
;
E=~(2564-1)+I- ~2564=~
m
~ r1562512 =Y"W=Y'54=5
!
E = ~ (256-1 )(256+1 )(65535+1)
E = ~ (256 2 -1 )(65536+1) + 1
E = ~ (256 2 -1)(2562 +1) + 1
E=~=2
=
2'... 2+4 =.1.
1+3
2
~'-2"'55~x'OO25"'7°-x--c6"'5"'5"'3"'7-+-o-1
,------J-----.,
ab + abab + 8ba6a6 + abab ... ab
mn mnmn mnmnmn mnmn ... mn
'----.r------'
cifras
v
= 4 (156252-22)+4
(6252 -32 )+9
[ Rpta. D 1
@ Efectuar:
E) 25
V;-i"'12--+"'1'--2-3-x-l-04+-4-2-x-l02
e indicar la suma de cifras del resultado.
A)3
B)4
C)5
D)8
E)11
RESOLUCION:
@
V 11 2+ 123x 10'+42 x 102 =
[(:yen i "ir· ti
crrcr:r¡
í i.: t •n
=V121+1230000 +4200
=V1234321
=v'i1i1'= 1111
:. Suma de cifras:
1+1+1+1=4
@
Hallarlaraizcuadradade
V9 x 1014 + 12 x 10 ' °+4 x 106
e indicar la suma de cifras del resultado.
A)5 B) 10 C) 12 D) 15 E)21
RESOLUCION:
V 9x 10 14 + 12 x 10' °+4 x 106 = V10 6 (9x 10 14 + 12 x 10' °+4)
I a2+2Bb+b21
I
@
A)x e < 10-3; 105 >
B)x e < 10'; +00>
C)x e <O; 10-3>
D)x e <O; +00>
E)xe<10-3;+oo>
RESOLUCION:
Resolver:
Si: O < a9 < a 6 -+ O< a < 1 -+0 < a k < 1,
V keZ+
Entonces, la desigualdad se puede
expresar asr:
log .(x-1)4<log .[(x-1){t3-X]3
logx [ X+3J
x-1 > 1
A) <O; 3>
B)<O; 1>
D)<1;3>
RESOLUCION:
C)<2; 3>
E) <2; 4>
•
~~--[Ji(.~+~b)~']
B 10gf r2-X- !J;, logf[¡J
[1
'ÍS6'
\!5'
B X2 -x- -ª- > O A X2 -x- -ª- ,; ..§.
4
I
Efectuar: 13150285+225J'
l6140586+196
65
B) 315
614
~J[x- ~J > OA (x+1)(x-2)'; O @
Resolver:
1
256
E)_1_
16
64
E = 1 (300+15)(300-15)+225J
l (600+14)(600-14)+196
4
)3002-152 +225J'
E L6002-142 +196
6
13002J4 1300J 6 11
1
E=l60Q2 =l600 +l"2Y256
1 Rpta. C I
¿En qué cifra termina: 34400?
A)4
B)6
C)2
D)8
RESOLUCION:
34 ' = ...4 <- "Termina en 4"
E)O
34:: ... 6 } 34" = .. .4 si n es impar
~:4::::: 34"= ...6sinnespar
,
:.
3~400= ...6 <-"Terminaen6"
1Rpta. S I
¿Cuál es el menor número que multiplicado por 77 nos da un producto
formado solamente por cifras 37
A) 4329
B)4339
C)4379
D)4229
E)4329
RESOLUCION:
Sea N =
~ffnl·· ~
= 33333
223
154
693
693
000
B-1 ,;x<_.1 v -ª-<x,;2
2
2
@ Las estrellas se clasifican de acuer-
1315X285+225]'
Sea: E = L614x586+196
= 77 x 4329
I Rpta. E I
do a categorias de brillo "m" llamadas magnitudes y flujo luminoso "L".
A las estrellas más débiles (con flujo luminoso Lo) se les asigna magnitud 6. La relación entre la magnitud
de brillo "m" y el flujo luminoso "L"
está dada por la fórmula:
De la desigualdad, se obtiene:
nZI2-lzl+1]
IzI 2-lzl+1
-=
109"'C Izl+2
<2BO< Izl+2 < v3
2
BO < IzI -lzl+1 <3(lzl+2)
... 0 < IzI 2-lzl+1 A IzI 2-lzl+1 <3Izl+6
B Vlzl ;,OA IzI 2-4Izl-5< O
B (Izl+ 1)(lzl-5)<0 Blzl-5<0 Blzl<5
"'--Y--"
+
Cuya gráfica en el plano Gausseanoes:
Se pide el área
de la región
sombreada:
S = ".52 u2
1Rpta.D I
log3[~J
Dándole forma a la desigualdad:
{[~~rr0g2x > {[ttx+'}'B
x,
B { [ H r . > {[trrogx+n
m=ko-..§..lolL~
2
lLoj
Hallar ko y m si:
L=100.6 .Lo
A)ko=5;m=6
B)ko=6;m=5
C)ko=4;m=6
D)ko=6;m=4
E)ko=5;m=7
RESOLUCION:
Recuerde que para el módulo de
Izl" O, V z e C.
1Rpta. S I
dar un subconjunto de su conjunto
solución.
A)<-2; 1>
B)<-4+V5;-1+V5>
C)< -1+V5; 4+V5>
D)<V5-1; 2+V5>
E)< V6+V5-1; 2+V5>
RESOLUCION:
Recuerde que, si O < a < 1, se cumple
que: aF(x) > aG(x)B F(x) < G(x)
Ix e[-1; -t> u<%; 2]11 Rpta. E I
RESOLUCION:
í
i
...{x<_.1 VX >-ª-}A-1 ';x<2
2
2
-
C)
D)_1_
@
12<x<31
4
-1 <2log [x+1-V5]+1 <
A)~
@
B[X+
4
•
B (x-1 ){t3-X< OA(x-1 )4>[(x-1 ){t3-XJ3
B (x-1 )(x-3)< OA(x-1 )'>(x-1 )3(3-x)
B (x-1 )(x-3)< OA(x-1 )3(2x-4) > O
B (x-1 )(x-3)< OA(x-1 )(x-2) > O
... 1 <X<3Alx< 1 vx>21
2
10gf [X -X- !J;, log2 [:J B
= V10 6 x [3 X 10'+ 2]2
=10 3(3x104+2)
=3x10'+2x10 3
=30002000
:. Sumadecifras=3+2=51 Rpta. E
Hallar el conjunto solución de la desigualdad:
(6,25)'-log'x> {(0,4),ogX+'}4
B log2x-1< 2(log x+7) Blog2 x-210g
x-15<0
B (logx+3)(log x-5)< OB-3< log x< 5
B10-3<x< 10'
Ixe<10-3;10'>1
@
[Rpta.A
I
Luego de resolver:
logx2 .log2x2 .log2(4x) > 1
Señale un intervalo de su conjunto
solución.
C)<2v:2; 1>
A)<1;2>
B) <3; 4>
D)<1;2 V2>
E)<0;2 V2>
RESOLUCION:
De la primera desigualdad resulta:
x-Iog 6,;x-xlog 2-log(1+2X)
-+ x log 2 + log(1 +2")'; log 6
-+ log [2 X (2)+1)'; log 6 -+ 2X (2)+1)'; 6
-+(2x+3)(2 X -2)';0, como: 2x+3 >0
-+2x-2';0-+2x';2x';1
..... (a)
Dela segunda, se tiene que:
log(vx2-4x-1 +3»0 B vx2-4x-1 +3>1
X2_ 4x-1;' O... x,; 2 -V5x;, 2+"1/5 ... (Jl)
Luego, interseclando (a) y (Jl) para
obtener el conjunto solución del sistema de desigualdades se obtiene:
I xe<-oo;2-V5] I
[Rpta.sl
~
Luego de resolver:
Y2'.,fi3~.Vx-') = 26'OO9~~·Vx-')) +48
4
Oarelvalorde: x+x+2Y'X3
A)4 B)9 C) 16 0)25 E)36
RESOLUCiÓN:
Oe la primera ecuación:
log.(x") = log.(y') --> a log.x =
log.x
b
= b log.y --> log. Y =
a
En la segunda ecuación:
(y. ca )a= y' --> ya.c' = y'--> c'= y'-a
I Rpta.A I
@ Resolver:
2'ooJ~) . [~:J''''' ~x
f.
24-2x-x' >
25-X'}
-14
16
.... {0<25-x'<16 1\ 192-16x-8x'<175-7x'} v
v {25-x'>16 1\ 192-16x-8x'>175-7x'}
.... {9<x'<25I\x'+16-17>0}v
v {x'<91\ x'+16x-17<0}
.... {{-5<x<-3 v 3<x<5} 1\ {x<-17 v x>l}} v
v {-3<x<3 1\ -17<x<l}
.... {3<x<5}v{-3<x< 1}
I xe<-3; 1>u<3;5> I IRpta. B I
@ Resolver:IOgf[X'-x- :J~2-109,5
>u<2;3]
1
B)[-3;-1>u<2; 1]
1
C)[-2;-1>u<2; 1[
0)[-3;-
~
,
,
,
C)a""
"+"
O
~
I
I
-00
-1t
O
I
O
I
O
O
I
•
2
e <1; 2>
-{~}
3
a""
(~+2k:n;J;
Z=l+i=Y2.e 4
,VkeZ
Luego reemplazando:
"<") .
= In Y2+ln e (-.- "
1\
[8~lJ "i
Parak=2:lnZ=lnY2+
1~" i
Que no es el mismo valor que aparece en la alternativa O; pero las
otras si contienen valores para la In
Z, como el lector podrá comprobar
de inmediato.
Rpta. D
!
I
@ La desigualdad:
log
A) <-3; -2> u [2; 3>
B)[-3; 2> u <2; 3]
C) <-3; -2> u <2; 3]
O) <-3;-Y3>u<Y3; 3>
E) <-3; 1>u<2;3>
RESOLUCiÓN:
log'OO.[~J.C 27~,,,,
J> x....x>OAX"ll\
Lx6 1CJUx2 J2''''''''2.27 '.,,,, ~x
InZ = In(V'2 e({·''''h=
6
.... x>OAX"l 1\2' '00"'·7 ~ 2~'"
.... x>OAX..lI\8 logx 2-7 ~ log, x
.... x>OAX,,11\Iog,x+7-6log x 2'; O
(Iog,x-l )(Iog, x+8) O
++ x>OI\X:::J:. 1A
<
log,x
.... x>OAX>'ll\{log, x,; -8vO<log, x,;1}
I 0<x,;2"vl <x';21
!Rpta.AI
@ Si: Z = l+i, donde i = v:1
124-2x-x'l > 1
~~:'J[ 14 :J
se verifica para:
A)xe<1;4>
B)xe <-3; 1>u<3; 5>
C)x e <-3; -1>u<3;4>
O)x e <-3; 3>
E)xe <-3; 1>u<3;4>
RESOLUCiÓN:
Se sabe que, por trigonometría:
Vx e R: Isen xl E [O; 1] pero, la desigualdad, por ser base de un sistema de logaritmos.
Entonces:
R-{~}Vkez
~
RESOLUCiÓN:
Considerando la condición y la base
del logaritmo, se tiene que:
a> 0I\a .. lI\12a'+4a-31 <3
--> 0>0 1\ 0..11\ ·3<20'+40-31\20'+40-3< 3
--> {0>0 1\ 0,,11\20'+4a>0} 1\ (0+3)(0·1)<0
1 < x < 2}
gualdad logarltmica:
log~[log6(x'-3)] > 10g.1
Luego, la desigualdad se obtiene:
E)[-1'-~>u<-ª-'2]
• 2
2 '
1\
@ Hallar el conjunto solución de la desi•
B)c'··
Isenxl e <O;l>-->xe
>u<1;2]
O
X
E)
O)
RESOLUCiÓN:
Expresando el número complejo z
en forma exponencial, se tiene:
25-x'
<1" 24-2x-x' <25-X'}
-14
16
~
I Rpta. E I
1
xeR-{~}I\X> ~ l\(x-l)(x-2)<0
A
{ log. [ yxJ = log.x
log.y ;c>Oc"l
InZ= InY2+
,tl ....1°<16<
A)[-2;-
32
a'"
asumir las dos posibilidades para
A
23
-->x+3>O, entonces:
xa=y,;a>b>O
•
tenece la base, entonces, se debe
16
Ax2-4X+4~O--+x~
A)c""
A)x e <O; 256">u<1;2] B)x e 121
C)xe0
O)xeR
E)x<O; 1>u<1;2>
RESOLUCiÓN:
Oado que no es posible determinar,
directamente, el intervalo al cual per-
25-x'
v { -->1
23
~
-->xeR-{~}I\{l <x<2}
@ Hallar el valor de y en el sistema:
,
r24-2x-x'l
109~'~:'JC 14
-->x -ª- I\x-l ~Y2x-3-->x> -ª-I\X'2
- 2
2x+l ;,2x-3
--+X~
comox>
-->xeR-{~}+> ~
-->2x-3~0I\x- Y2x-3~ 1
1 x;'
--+x=y.c&
Reemplazando en la primera:
ésta:
logYx-Y2x-3';0 --> YX-Y 2x-3~1
(x-2)'~0
10g.[~J=, ~ --> ~ =c~
I y=c,~·1
-->a>Ol\a"ll\a-l <O
--> O < a < 1, entonces, de la desigualdad se tiene:
xeR-{ }AX>01\7X-6>0 I\log¡aa,,¡X3
> log¡..,,¡ (7x-6)
-->xeR-{~H X>OAX> ~ }l\x3 <
< (7x-6)
-->XER-{~}I\X> ~ l\(x-l)(x-2)(x-3)<0
Entonces, no es un valor de: In z
A)lnY2+
~
i
C) InY2 + 13" i
4
B)lnY2+~i
O) InY2 + 17" i
2
C) InY2 + 25" i
4
RESOLUCiÓN:
En primer lugar, consideremos dos
condiciones extraídas de la desigualdad, que nos permitirá determinar el
intervalo al que pertenece la base,
asl:
x+3
x>OAX"ll\-- >O....x>OAX"lAX-l >0
x+l
....x>OAX"lAX-l ....x>O
y con esto, la desigualdad la desarrolIamosasf:
X+3J
IOQx [- >1 ++ x> 1 J \x+3
- - >x'
x+l
x+l
.... x> 1 I\x+3> x(x-l)
Es posible esto, pues como x > 1 -->
(x-l) >O,luego:
....x>lAX'-2x-3<O++x>11\(x-3)(x+ 1)<0
....x>lAX-3<0++1<x<3
""+
Ixe<1;3>1
I Rpta.DI
@ Considerandoque:e=2,718281
@ Sea x>Ol\x"I, talque:
Resolver:
M
'OI4.. ;",x=
~
logx2+~logx=-O,718,281
{ logx3-logy2= 1,718281
X";-""'= {I09,.(1 +3+5+7+ .. )}',.,..
, MnM su~andos'
Oar el valor de: I09(XY)
A) 8-3e
16
B) 8-3e
8
C) 3e-8
16
O) 6-5e
E) 6-5e
16
8
RESOLUCION:
Según el enunciado del problema,
por cada fósil encontrado, el pago
será:
1'1 2'1 3'1 4·1·····1 x
m 2m 4m 8m ..... 2 x.1.m
El pago total, por todos los fósiles
encontrados fue "1", Luego:
m+2m+4m+8m+ +2x-1.m = t
--> m(I+2+22+2 3+ ... +2x-1) =t
o ••
t
t
-->m(2X-l)=t2x-l =m--> 2x=m+1
-->x=log
F(x) = log2(109210g2x)
F(x) e R .... I09210g2x>0 .... log2x>2°
.... Iogx> l .... x>2
-n sumandos
[~+IJ
x=log2 [t+mmJ
[Rpta.
el
@ Hallar todos los valores reales de x
U
2
5
[ Rpta. D I
@ Para la función real de variable real:
< 1+-v5 ; +00>
O) X e [1+j5; +00>
E)Xe[I-;'5 ;0>
I09x 2.10g2x (4x»1 .... x>O
2
B)x e [1-;'5; 1+j51
C) x e [1-Ys '0> u [1+-v5. +00>
2'
2'
así:
1\
X" 1;
1092 (4x)
x> l'
log2x.log2(2x)
,
1
2+I092 x
of+x>OI\X:#1;-/\
>1
2 log2 x[1 +I092x]
--> 1092 X < log.! 3
3
,og[2J3
0<x<2 3
[Rpta.cl
... x>O",,,I;
t
A)xe<I;3)
B)xe<2;3>
C)xe <-<Xl; 3>
0)xe<-<Xl;2>
E)x e <O; 1>
RESOLUCION:
log2[x(x+3)]<I-->x(x+3»0 1\ x(x+3)<2
-->{x< -3)vx>0) I\x2+3x-2<0
.3- v'ff
1 (log2 x+v'2)(log2 x--Y2)
<O
2
log2x[I+log2x]
Haciendo la intersección en la recta
numérica real:
o
f
1\{2·V2<x<2·' v2"<x<2"'l
1
xe<2·v2;"2> u<l; 2 V2> [Rpta. D
O
O
O
I
-3
I
O
I
2'
'2
[Rpta.
@ SobreC,si:
{:
El
::~I~:~:~.~,i~:~r2~XJ
Calcular: [
R=log.
Y1
J
1+ 1
2 cos kx
n
B)2knp1ti
@ Resolver:
log2 (x-2)< -v'2 x-4
{ logx(log.x2) > O
A) <2; 4> u <6; +00>
B) <2; 4>
O) <3; 4> u <6; +00>
C) <4; 6>
E) <3; 4>
RESOLUCION:
Para la función:
I
I
-3+-v'f7 +00
2
xe< -3--v'f7 '-3> u <O' -3+-v'f7 >
1\{--Y2<I09,x<-lvO<1092x<v'2j
.... x>OI\X"I;
·3+v'ff
-->{x< -3)vx>0) 1\ {-2-<x< -2-)
2
2+I092x
1
.... x>OI\X;<1 ; -1\1<O
2
log2 x[1 +I092x]
I
10g'[~J. 10gf 3 < I09f 3
•
++ x>OAA'#:- 1; - / \
ma: 1xe<3; 4> u <6; +00> 1 [ Rpta. D
log2 x .
I
-<Xl -3--v'f7
2
Entonces, del gráfico, se observa
que:
F(x)<G(x)....xe<2; 4> u<6;+00> ...(a)
Oe la segunda desigualdad, teniendo en cuenta (a), se tiene:
log.(x2»I .... x 2>9-->x>3 ..... (~)
Luego intersectando: (a) y (~) para
hallar el conjunto solución del siste-
Multiplicando ambos miembros por
10g[fJ 3, el cual es negativo resulta:
•
J...I\
RESOLUCION:
Consideremos las funciones reales:
F(x) = 1092 (x-2) G(x) =...;2X-4
Oonde: Oom(F)= <2; +00> Oom(G)= R
y cuyas gráficas son:
1092X.1093[~J >1
log.,(x-l )2< 109." [(x-l )ffi]
F(x) = I092109210g2x
el dominio es:
A) <2; +00> B) <4; +00>
C)<O,5;+00> 0)<0,125;+00> E)R+
RESOLUCION:
La desigualdad se puede colocar
2
ne:
10932 .109,X·1092X>1 --> I09,x(I0932 ·1) > 1
.§.109~0~.LJ
2
t Lo ) --> m=6-.§..109l0~
2
@ Si: O< a' < ac, resolver:
'1m-_-4:-l1
es un número real.
A) x e < 1-Ys ;0 >
~ log t~~J
--> m = 6 -.§. . ..!
[X~IJ
B)xe<-00;2--v5]
C)x e <1;2+-v5] O)x e <2+Ys;+00>
E)x e [2-Ys;I>
RESOLUCION:
Transformando la inecuación, se tie-
6= ko-.§. 109 rLOJ -->ko=6
2
[Lo
para una estrella con flujo luminoso:
L=10o,·.Lo
su magnitud de brillo m resulta:
m=6-
[r-"R-p-ta.-A"""'I
Resolver:
x-IOg 6,;xlog 5-log(I+2X)
{ log(-Yx2-4x-l +3) > O
A)xe <-00; 1]
m, es la magnitud de brillo
L, es el flujo luminoso, de una estrella.
En primer lugar, para las estrellas
más débiles:
L = Lo 1\ m = 6, reemplazando:
para los cuales la expresión:
10g1'
8
Hallarel equivalente de:
E=I092I09xn
A)n 2(n+l)2
B)n 2(n+l)2+1
C) n 2(n+l )2_1
0)n 2+n+l
E)n 2+n-l
RESOLUCION:
Según la fórmula:
m=ko-
IOom(F)= <2; +00> I
A)p1ti
0)2kp1ti
RESOLUCION:
10g.1. [log.(x2-3)] >0....
"P
C)knp1ti
E)kp1ti
0<I09.(X2-3)<[~JO
3
++x2·3 > O 1\60< x2·3 < 6 1
.... {x <-V-3 v X >-v'3} 1\ {4 < X2 < 9)
11 +_1_+_1_+
(1~~
3 3x4 4xS ... +~
.... {x<Y-3 v x>V3} /\ {-3<x-2 v 2<x<3}
0--0
0--0
o
~
-00
I
-2
I
-3
I
ma=
-..;3
I
I
..;3 2
•
3
+00
ma=
Ixe<-3;-2>u<2;3>IIRpta.CI
ma =
área de la región que
describen, en el plano Gausseano,
los números complejos z que verifican la desigualdad:
z2 z
log,,"
I -l l+l < 2
2+lzl
®
A) 3" u2
2
0)2S"u 2
RESOLUCION:
La desigualdad se puede colocar asf
-1 <109 (X+l-v'5)2+ 1 <1093UJ
.... -2 < 10g* (x+l-Vs)2<
..
~'lbe=
@
< -Ve vVe < x+l-v'5 < 3
.... -4 +v'5< x -1 -Ve+Vs v-l+Ve+
+v'5 < x < 2+Vs
R""p-ta-.-E"""'I
"1
@ Se contrata un obrero para cavar en
busca de fósiles al que se le promete
pagar "m" soles porel primer fósil encontrado y por cada nuevo fósil que
encuentre; se le pagará el doble de
lo que se le pagó por el anterior.
¿Cuántos fósiles encontré sabiendo
que en total recibió "1" soles?
A) 10gm[t: J
C) log2
[m,;~
E) log2
[~J
-ª-=~=k
Oato:
2
e
Ik=21;
[k:J~os[k:}isen[~J]
""1
1+Y1
rk,,¡.
rk,,¡
2cos [~J = cos
sen
= e"
[ilt'
[ilJ
Luego, reemplazando en R, se obtiene:
~
~a=3x22 ~ la=121
.
-2xae
Nos piden: mh(a; e) = a+e
~_~
, -- 2x12x3
•• mh
12+3
4,8 I Rpta. B 1
®
Hallar la ma de los "n" números
1 1
1
1
"6' 12' 20 ' ........ (n+l)(n+2)
A) J...
B) 2n+3
n
O)
1
2(n+2)
E)
RESOLUCION:
1 1
1
"6 ' 12 ' 20 ' .....
ma
C)(l +n)2
n
1
2(n+l)
1
(n+l )(n+2)
b'
ae = b 2
1
.......
~---=
21
~
(11)
-7
1b=61
Reemplazando:
En (1) a+e= lS~a+e=3+12
En (11) axe=36 .... axe=3x12
~Ib=ekl
TTT=r-
1
....
1a = ek21
Identificando:
1+Y1 = 2eos2 [k:}i'2sen[k:Jcos[k:J
1+Y1 = 2eos
b
r
(a+b+b+e)
4
a x b2 x e = 48(a+2b+e)
Reemplazando:
ck2 x e2 k2 x e = 48c(k+2k2+1)
~ x ~= ~x 3(k+l)
109m[m,;~
1+cos[2~"J+i sen[2~"J
...... (1)
• mh(a b e)= 36
"
7
3abe
_ 36
ab+be+ae
7
Reemplazando:
3xb2xb
3b2xl1
~
2
ab+be+b
b(a+b+e)
3xb2 36
~
a x b x b xc= 192 x
RESOLUCION:
Primero, hallemos un equivalente
para la expresión que está entre paréntesis:
1+Y1 =
~
El producto de los 4 términos de
una proporción geométrica continua 192 veces el promedio aritmético de los mismos sabiendo que el
cuarto término es par y la razón es
mayor que 1.
Hallar la media armónica de los términos extremos.
A)3,6 B)4,8 C)2,4 E)7,2 E)10
RESOLUCION:
Sea la proporción geométrica continua:
B) log2 [ t : J
O)
La media aritmética de 3 números es
7. La media geométrica es par e igual
a uno de los números y su media armónica es 3617.
Hallar el menor de dichos números.
A)3
B)6
C)4
0)7
E)8
RESOLUCION:
Sean (a < b < e) los números
a+b+c
• ma(a,b,e)=
3
-7
• mg(a,b,e)=b
{labe=b
.... 6 < (x+l-Vs)2< 9 .... -3 < x+l-Vs
X e <-4+v'5;-1-v'6+v'5>
U <-1+v'6+Y5;2+Y5>
I Rpta. D 1
~ 1a+b+e=21 1
log{~J-l
.... -2 < log 1 (x+l-Vs)2< log,6 ....
3
3
[~r > (x+l-Vs)2>6
¡í
2(n+2)x¡í
•
1
•• ma = 2(n+2)
J
1
n
n+~-~ =
2(n+2)xn
@ Calcular el
n
l:
n
O~-------+
@
I Rpta.A 1
~-~
la=3Iv; le=121
Tres números a, b y e tienen una media aritmética de 14 y una media geométrica de -?¡ 1680. Además se sabe
que el producto axe = lOS.
Oeterminar el menor de dichos números.
A)4 B)21 C)S 0)10 E)16
RESOLUCION:
Se tienen los números: 8, b yc
Oato:
mata; b; e)= 14
......... (1)
mg=~1680
......... (11)
ae=10S
......... (111)
a+b+e
r-c---=
Oe(l) -3-=14 ~ 1a+b+e-421
Oe(lI) {tabc= {l1680
~ 1abe-1680 1 .......... (IV)
(1I1)en (IV):
bxl0S= 1680~b= 16
:, a+e=26 .... a+e=21 +S
axe= 10S~axe=21xS
~
1a=211 ; 1e=slv
I Rpta. C 1
@ En un salón de 1/4 alumnos tiene 15
o
ma(C;15)=10-->A~10
o
\.
v~---'
Promedio ponderado:
E= 15xI5+18xI3+27xll+3x21
15+18+27+3
:. E = 13
[rR=-,,-ta.--'A-'1
8
Dos números son proporcionales a
dos pares consecutivos cuya mh es
4,8. Hallar el mayor de los números
si la suma de los números excede a
la diferencia de los mismos en 32.
A)24 B)32 C)28 D)18 E)26
RESOLUCION:
Sean M y N los números que son
proporcionales a los números a y
a+2 (a: número par).
Dato: mh (a; a+2) = 4,8
--> 2a(a+2) 4 8
a+a+2
•
a(a+2)
24
--> --¡¡:¡::¡- = ""5
1fT
[ Rpta. B
I
~
:. N=6x4=24 [RPta.A
El promedio deAy 10 es 15. El promedio de C y 15 es 10 y el promedio
de lOA, 35 By 15Ces 185. Hallar el
valordeA+B+C.
A)32 B)33 C)29 D)31 E)30
RESOLUCION:
Datos:
A+l0
o ma(A;10)=15-->-2-=15
El promedio aumenta
en: 17 -15 = 2
@ Hallarel promediode~O, 40, ~0, ... ,40,
-n-veces
,50, 50, ~0, ... ,50,
Y
M4n-veces
A)48 B)46 C)47 D)45 E)44
RESOLUCION:
Se tiene los números:
~0,40,~0, ... ,40" ,50,50,~0, ... ,50,
"n"veces
Por promedio ponderado:
40.n+50.4n
n+4n
x
01 n=61
48
[Rpta.A
I
@ La mg de dos números es 4 y la iTiIi es
Vx=9--> 1x=811
32/17. ¿Cuál es el menor de los números?
ma=81+1=82
a+b
-2-=82-->a+b=164 ....... (a)
a-b=36 ....... (~)
Aula A
"4n"veces
40+40+ ... +40+50+ ... 50
ma=
n+4n
40+40x4n 240n
ma=
5n
5n
:. ma=48
WW ~ ~
3n= Y16x=4Vx
x:impar:3n=4x@=36
[ ler.caso:
P, = 17 1
InlA ..... R
[Rpta. D
N4
I
las secciones A y B son 14 y 18 respectivamente. La sección B tiene
1/3 del número de alumnos que tiene A. Si la relación del número de
alumnos se invierte. ¿En cuánto aumenta la nota promedio al juntar las
dos secciones?
A)4
B) 1 C)5
D)3 E)2
RESOLUCION:
I
1
Reemplazando:
(a-b)2 =4(x+l +x-l )(x+l-x+l)
(a-b)2=4.(2x)-2 = 16x
--> 3n 2= 16x
@ En un curso, la nota promedio de
Dato: (M+N) - (N-M) = 32
10k -2k=32
®
~~ ~ ~
I(a-b)2 = 4(ma+mg)(ma-mg) I
:.a=100
Aula B
Por promedio ponderado:
P 14a+18b _ 14b+18(3b)
b+a
b+3b
La diferencia de 2 números enteros
y positivos es 3n. Hallar el mayor de
ellos, si se sabe que la media aritmética y media geométrica de ambos son 2 números pares consecutivos.
A)89 B)99 C)93 D) 100 E)97
RESOLUCION:
Sean a y b los números (b < a)
Datos:
o a-b=3n
o maymg--> son dos números
pares consecutivos
-->ma=x+l ; mg=x-l
donde x: número impar
Propiedad:
o
I
fblial ..... ~
10(20)+35B+15C = 555
35B=280
De(a)y(~):
TTT
8k=32-->
AulaA
ma(10A; 35B; 15C)= 185
3
o
--> 5xax(a+2) = 24(a+l)
Identificando factores:
ax5x(a+2) = 4x(a+l )x6
[ 2do. caso:
10A+35B+15C = 185
8
fl fl fl rl
P!~~~iO ~ lEJ Ld Ld
=10
-->IC=51
-->IB=81
Nos piden:
A+B+C = 20+8+5 = 53
al~~;:os
1p = 151
--> 1A=20 1
anos; 2/5 del resto tiene 13 anos y
los 27 restantes tienen 11 anos. Si
entran luego 3 alumnos cuya suma
deedadeses63. ¿Cuál es el promedio de edad del alumnado?
A)13 B)12 C)14 D)15 E)16
RESOLUCION:
Sea N el número de alumnos de una
aula.
I
~2
q3
~5
~1
RESOLUCION:
Sean a y b los números.
Dato:
mg(a; b) =4
32
mh(a;b)=17
Reemplazand;:.:oc.,:---,-"
Val) =4 ~ lab=161
2ab
32
o
a+b = 17
o
..... (1)
..... (11)
(1) en (11):
2x16
32
a+b = 17 --> a+b = 17
..... (111)
De (1) en (111):
a+b= 16+1--> 1a= 161
Aula B
Aula única
ialfbl ..... ~
axb=16xl--> 1b=11
:. El menor de dichos
números es 1.
I Rpta. E I
~ ~ ~ ~ @ De una muestra de "P" personas, el
Dato: b=
~
-->la=3bl
Por promedio ponderado:
P = 14a+18b
a+b
14(3b)+18b = 15
3b+b
promedio de las edades de los que
bailan es 0q" años, de los que no bailan es "r" y el promedio de las edades
de todas las personas es "E" años.
¿Cuántas personas bailan?
A) P(q+r)
E
B) P(E-r)
r-q
C) P(r-E)
r-q
a
D) P(r-E)
E) P(r+E)
r-q
r+q
RESOLUCiÓN:
Se tiene "pO personas de las cuales
"a" bailan y ftbll' no bailan
:. la+b-pl
[J [J
q
r
Bailan
No bailan
~ [:]+b pe~~as
., ® promedio
Edad
q "E""---- R-E = ~
r / '-E-q
b
Por proporciones:
a
r-E
----;:;~- =
r-E+E-q
a+b
p(r-E)
r-q
@ Calcular:
H = D+I+A+N+A
Si:
• "D" es la tercera proporcional de
343y49
• "1" es la tercera armónica de 60 y 40
• "A" es la media armónica de 60 y 30
• "N" es la media proporcional de 49
y16.
A)130
B)128
C)142
D)139
E)145
RESOLUCiÓN:
Cálculo de:
-+
Dato(3) H+M=180
(n+a)(n+b)= 180
5n
7n
2n+-+ -=6n=180
3
3
.
1N =281
Nos piden:
H = D+I+A+N+A= 7+30+40+28+40
:. H = 145
[ Rpta. E
®
Agua
~
24
Alcohol
V.;zA
Agua = Alcohol
V-24
24
'---------'--=-'------'
Proporción de
los componentes
Seextrae@
de la mezcla
de los cuales:
(IV)
@
Pto.de
B
D
E
M- 2500 ml--->l
3
.
.
Agua+Alcohol
V
Agua = Alcohol
24
V-24
24
=V
ObservacIón:
~ IAlcohol = ~ (V-24) I
Cuando el tiempo es común se
cumple que la relación de espacios recorridos es a la relación de sus velocidades.
Luego la cantidad de alcohol que quedaes:
24
(V-24) - V (V-24)
(V-24)2
I
mero de hombres que no bailan es al
número de personas que están bailando como 5 es a 6. Además el número de damas que no bailan es al
número de hombres como 7 es a 8.
Encontrar el número de hombres
que no asisten a dicha fiesta. si el total de personases 180.
A)60 B)70 C)55 D)90 E)180
RESOLUCiÓN:
Sea "n" el número de hombres que
están bailando, osea H B = n en consecuencia M B = n
BAILAN I
NO BAILAN I
(111)
.~
AC 11
BC
BC
3
-+-=--->--=-=-BC 3
AC-BC 800 11-3
Dato: V_o.
Vddlsla
=L;
2
=> Vaguafinal = V-d
25
V-A 24
Reemplazando:
(V-24)2
DE = 2500 mt
-
CE 7
CD
2
-+-=--->--=CD 2
CE-CD 7-2
-+2~~0 = ~
=> Valcohol final = - V - = A
Dato:~=
-+ I BC = 300mt I
@ En un instante de una fiesta, el nú-
a
[Rpta.EI
"A". simultáneamente un ciclista sale de un punto "B" distante 800 mt
del punto "A". Ambos recorren el camino ABX en el mismo sentido, con
velocidades iniciales que son entre
si como 11 es a 3; pero una vez que
el motociclista alcanza al ciclista. la
razÓn de velocidades es como 7 es
a 2. Calcular la distancia del puntoA
al punto en el cuál el ciclista está
atrazado 2500 mt respecto al motociclista.
A)2100mt B)2300mt C)1800mt
D)1870mt
E) 1500mt
RESOLUCiÓN:
Vddlsla
49
N
• N:N=16~N=.y49x16
M
n
b
Seextrae@
y se reemplaza
por agua
(11)
Dato: V_o. =11; IAB =800 mt I
60-A=~-->IA=401
H
n
3
-ªº=L -+ lb = 7n I
8n
8
3
M- 800 mt --->1
• l' 6040 = ~ --> 1I = 30 1
. 40-1
I
.
n+
A
• D' 343 = 49 --> 1D = 71
. 49
D
I
b
7
------sn
= 11
@ Un motociclista parte de un punto
•• 8 = - -
. A-30
b
7
Dato (2) n+a = 11 -->
:.H=80
-r-E
- =®
r-q
P
'A
Si la cantidad de alcohol que queda
en el barril es a la cantidad de agua
que hay en el barril como 25 es a 24.
¿Qué capacidad tiene el barril?
A)901t
B)721t
C)841t
D)861t
E)801t
RESOLUCiÓN:
V: Volúmen del barril
(1)
-+ln= 30 1
Nos piden:
5n 8n 8x30
H = n+a = n + - = - = - 3
3
3
Aplicando Regla del aspa: (q<E<r)
•
C5nl
5
Dato(1) n+n =6 --> ~
V
V
--> ICD=1000mtl
Nos- piden:
- AD=AB+BC+CD
AD=800+300+1000 r=--:-~
AD=2100mt
[Rpta.A
-+~=~=
V
25+24
25
24
r
= (V-24)2 = V-24J2J 5J2
V2
l V
l7
V-245
V
77
-+--=---+-=-=V
7
24 7-5 2
:.V=
~X24-+V=84
[Rpta.cl
Si los términos: a; b; e y d forman una
I @ proporción
geométrica y además:
@ Se han sacado 24 litros de un barril
lleno de alcohol, después se ha llenado con agua y de esta mezcla se
han sacado otros 24 litros y el barril
es nuevamente llenado con agua.
6859x(a2c+ac2) = 4913x(b2d+bd 2)
Hallar:
c2 + a2 +YaC
Q=
d2 + b2 + v'bd
A)~
B)~
19
C)11
19
19
D)~
E)~
19
RESOLUCiÓN:
~
Se tiene:
~
=k
~ = k~ ~~ = k
1
d
a' c
9ea'xb
~-x-=k3~-=~-b' d
9ab'xb
~ = k~ ~~ = k
1
~
1
ac2
Reemplazando en H:
a'c+ac' _ ,
b'd+bd' - k
Dato:
6859(a'c+ac') = 4913(b'd+bd')
~ k' =
a' c+ac'
b' d+bd'
46985139
rl. 1179J'
l~k=171
19
H=~J<áX;'=V1 r---~
I Rpta.A I
:.H=1
@ Se cumple que:
a
c
b d f
a c e
-+-+-=27
Y'· -+-+-=48'
mnP
'mnp
M=
3
C) ..11!.
13
5
D)-ª-
E)-ª8
4
RESOLUCiÓN:
S e flene: I)=(j=f=k
a
c
e
De' .l'.=..c:. = k~ axc = k'
. b d
bxd
~IYaC=kl
y'bcf
Igualando:
YaC c'+a'+YaC
y'bcf = d' +b' +y'bcf = k
-Vd' +b'
:.Q=k~Q=~;
I Rpta.sl
@ Si: ~ = ~ = ~
Hallar:
~~~~~~~~~
8c' d+e' a-9ea' b b' +d' +1'
H=
x~~~
8d4 +f2 t>-9db'
a' +c' +e'
A) 1
B) 2 C) 3
RESOLUCiÓN:
~=..cl..= JI.
Se tiene:
b
a e
De'-=-=k
. b
D)..!..
2
f
d
f
E)..!..
8
=k
p_
k = _m
__
n_"c
b
d
f
-+-+m
n
p
Por dato:
~+~+-"-=27
n
p
..tl..+..cl..+...!..=48
m n
p
27
9
Reemplazando: k = 4s = 16
.
_
ax+cy+ez
Nos piden.
M-
bx+dy+fz
"'-1~=k'l
De: I)=(j=f=k
....... (1)
c
c'
8c'xd
De: (j= k~(j3= k'~ 8d'xd'
8c'd
8d'd 3
a c e
-=-=-
r---rI":kl
/
~
~ Itx~=k'l
~
Dividiendo cada ténnino convenientemente: a
c
e
-=-=m
n
p
k
b
d
f
-+-+m
n
p
Por propiedad:
m
3
k
.
a
c
e
=Vk=~ 196 ~M
81
D) 103
85
E) 103
RESOLUCiÓN:
Por proporciones:
Se tiene:
m2 +n 2
5
~
4
m2 +"2 +m2 _n 2
m'-n'-(m'-n')
=
5+4
5-1
~m'=~~lm=31
n'
n
l'
1
p'+n'+p'-n'
17+8 25
p'+n'-(p'-n') = 17-8 = 9
~ -"'_
n -
3x3
1x3
p = 51
n
3
~ 1mn -_
9 1.1 P _ 51
3 • n - 3
:. 1m = 9k 1; I n = 3k 1; I p = 5k I
Reemplazando:
b
c
-a - 9k-3k-5k
a
b
c
~-=-=-=q
9
3
5
Nos piden:
_a",xb
...+:.-b...c-:.+--:ac..
E=- 2 2 2
a +b +c
a-9
r-
q
-b=3q
\""""'C=5q
E = 9x3q' +3x5q'+9x5q' _ 87q'
81q'+9q'+25q'
115q'
•
87
.. E = """i15
I Rpta. C I
@ Se tienen 3 recipientes de vino cuyos
contenidos están en la relación de 9;
6 Y 10. Se pasa °a"litros del primer al
segundo recipiente y luego °b" litros
del tercero al segundo. siendo la nueva relación de 4; 6 Y 5 respectivamente. Calcular el volumen final del tercer
recipiente. Si: a- b = 14
A) 120
B)135
C)175
D)138
E)177
RESOLUCiÓN:
Se tiene 3 recipientes cuyos volúmenesson: V1 ;V2;V3
V,= V'=~=k
9
6
10
Multiplicando convenientemente cada término:
~ = .EL = ~ = ax+cy+ez = k
bx
dy
fz
bx+dy+fz
:. M
C) 115
117
• m
n
p
•• g=""3=S=k
ax+cy+ez
bx+dy+fz
B)J!..
A)..1..
87
B).!1!
~...!"...=...§'..~I
n2
32
e
I)=(j=f
Hallar:
Vc2+82
3
k
8c3d = e'a = 9ea'b = k'
8d 4
f2b
9db3
Por propiedad:
8c' d+e2a-9ea' b
3
8d4 +f2 b-9db3 = k
b2d = b(j2 = k'
~
9
Igualando (1); (11) Y (111):
c'.a = k' k = k'
d'.b
.
a2 e
e
a2 +c3 +e 3
° I)=(j=f= k~ b3+d3+1'
2
De:
82
A) 115
1
a
ab+bc+ac
a2 +b 2 +c2
Hallar: E
.... (111)
2
a .c = k2 k = k'
2
b .d
.
~
m'+n' _.É... p'+n' _11'
y m'-n' - 4' p'-n' - 8
'---+~ = k
2
De:
De:
=
23
@ Secumpleque: ~=..tl..=~
b
n
p
r--- ~=k2
b'
a
c
De:I)=(j=<
3
4 I Rpta.DI
~ I'"'""V'--,=--'9""kl ; I V2 = 6k 1; I V3 = 5k I
Nuevos volúmenes:
(V,-a): (V2+a+b); (V.-b)
axb
bxc
cxd
-> 4x6 = 6x15 = 15x12
Dalo: 9k-a = 6k+a+b 10k-b
465
9k+6k+10k
25k
-> ~4~+~6O-:+-;;;5~
15
-> axb+bxc+cxd = k2 = 9
24+90+180
ab+bc+cd = 9x294 = 2646
. 9k-a
5k
De. -4- = 3 -> 27k-3b = 20k
Reemplazando: H
De: 1Ok-b =
5
~ ->
3
30k-3b = 25k
k
->lb=53 l
Dalo: a-b = 14
Reemplazando:
7k 5k 2k
3 - 3 - 3 = 14->1 k=211
Nos piden:
V3=V",,(.)=V.-b
= 10k- ~ = 25k
3
ª
:. V,=
2~k x21
= 175
I
3
Rpta. el
4
3
B) 47
D)~
4
E)~
45
45
RESOLUCION:
Se tiene:
a2b2
c5
-=-' -=- y -=b
3'c
5
d
4
Convenientemente:
1ro.:
2do.: Se completa:
a:2@@
b:32@
c:@ 5 5
d:
d:@@ 4
4
Si'
.
~=~=~=~
2
b
d
f
~ =~
C)225
E) 180
3ro.: Se multiplican y luego se simplifican:
a:2x2x6 ~ 4
b:3x2x6~ 6
c:3x5x6~ 15
b:3x$x4 ~ 12
:. k2 = 3789 = 9 -> 1 k = 31
421
I
I
a+2'.a = 260
...... (1)
a(2' +1) = 4x65
TT TT
Nos piden: H
Sabemos:
13:~~::::c':l)
a+b+c+d - k - 3
4+6+15+12 - -
la=41; 2'+1=2 6 +1->ln=61
I Rpta.B I
1~
= :
y además: 7ac+5ae-21b = 12bd
c2 ·e2
Hallar: - • •
c -e
->Iac=bdl
Dalo: 7xac+5xae-21 xb = 12xbd
Reeemplazando:
7x10b+5xbd-21xb= 12xbd
De:
~=~->1~=1701
Nos piden:
102_7 2
c 2_e 2
51
17
--=--=--=-c'_e'
10'_7' 657
219
C
métricas continuas equivalentes,
donde cada consecuente es el doble de su antecedente, además la
suma de sus extremos es 260. Indicar el mayor término.
C)140
A) 246
B)256
D)128
E) 220
RESOLUCION:
Se la serie de razones geométricas
equivalentes continuas:
a
2a
22.a
2'·1.a
•• 2a=22:8=22:8="'=2ii:B=k
=
~=:
1 ac = 10b 1
~=~
@ Se tiene una serie de razones geo-
~
c
~:t~YC~
1 c+1=18 1
@ Se cumple que:
b
e
tán en la relación de 9 a 8, dentro de
12 años estarán en la relación de 13 a
12. ¿Calcular la suma de las edades
quetenian hace 7 años?
A)37 B)29 C)41 D)39 E)43
RESOLUCION:
Sean las edades de Margol y Caroli-
Nos piden:
c2+f2= (c+f)-2cf= 18-2r:.x:..:.7=.2_~
:. c2+f2= 180
Rpta. E
En(I):
4+2'.a = 260
El mayor término es:
2'.a = 256
~ = ~ ->
c
@ Las edades de Margot y Carolina es-
->axb = 2x48 = 96
Identificando factores:
Dalo: a2+b2+c2+d = 3789
.
a2+b2+c2 +d 2
2
Por propiedad: 4 2+6 2+152+122 k
De:
b
,=..:..::.'---~
T
Dato:
~=~=~
I Rpta. D I
2
b
Dato: axb+cxf = 168
->
Seliene:
C) 17/231
E) 17/319
49~=1qd~ 1d=71
Además: axb+cf= 168
y: c+de+f=90
Hallar:
c 2 +f2
A) 120
B)144
D)320
RESOLUCION:
Se tiene:
a 48 c e
2=b=(j=f
De: ~=~~de=cf=72
d
f
Reemplazando:
c+1+72=90
C)Tg
a:2
b:32
c:
5 5
~
~
I Rpta.A 1
96+cxl = 168 -> 1cxl = 721
Dato: c+de+f = 90
392(a+b+c+d)
185(ab+bc+cd)
A)T5
4
De:
Se cumple que:
a 2 b 2
c 10
b=3; " = 5 y ( j = a
además: a 2+b2+c2+d2 = 3789
Hallar:
392x111
185x2646
H=45
k
->la=73 l
A)21/219
B)31/219
D) 17/219
RESOLUCION:
8
{M=9k
C=8k
Dentro de 12 años sus edades serán:
(M+12) y (C+12)
Dato:
M+12
13
C+12 = 12
-> 12(M+12)= 13(C+12)
12M+144 = 13C+156
,12(9k) ~ 13(8k),= 12
4k
=12-> 1 k=31
Reemplazando:
M = 9x3 ~ '1M-=2-7'1
C=8x3 ~ 1C=241
Hace 7 años sus edades eran: 20 y 17
:. Suma de sus edades: [
[
20+17=37
Rpta.
e
@ Los números A, ByCson entre si co-
mo los números 18; 9 Y 12 sabiendo
que la cuarta diferencial de A, B Y C
es igual a 15. Hallar la cuarta proporcional deA; By C.
A) 25 B)32 C)48 D)30 E)35
RESOLUCION:
Setiene:A=~=~
18
Reduciendo:
9
12
~=~=~=k
6
3
4
->rIA-=-6k~l; IB=3kl; IC=4kl
Dato: La cuarta diferencial de A, B Y
Ces 15.
A - B = C - 15
6k-3k- 4k-15->lk= 151
Nos piden:
~-~
B -
Ordenando convenientemente:
a
b
c
b=c=(j=P
®
B.C
..... x=A= 3.k.4.k = 2k = 2x15
6.k
1 Rpta. D 1
:. Ix-301
@
Se tiene una serie de 4 razones geométricas equivalentes donde el SE>gundo y cuarto antecedente son 65 y
117. El primer y tercer consecuente
son 14 y49. Hallar la media aritmética del segundo y cuarto consecuente sabiendo que la suma del primer y
tercer antecedente es 117.
A)98 B)49 C)30 D)27 E)52
RESOLUCiÓN:
Sea la serie: -"- = -"- = -"- = JL = k
b
d
f
h
Datos: c=65;g=117;b=14;
f=49;a+e= 117
a
e
a+e 65+117 13
De:
-b-T-ti+f
d+h
17
..... ld+h-981
.
d+h 98
Nos piden: -2- = 2 = 49
i-.IR=-,,""fa--:.s:-II
@
continua cuya razón es un número
-"- =-"- =k
b
c
~
~
Si:
Identificando factores convenientE>mente:
I'c--4;-;050"'1 ; 1k = 21
:. a = 450x22 = 1800
S'.
l.
Ir-:Rp::--:-ta.--:A:-"II
-"-= c+a = b+c = P
b
b+d
c+d
H 11
ab+bc+ac
a ar. c(a+b+c)
C) p2
A)p
B)p+l
D) p2+p
E)dxp
RESOLUCiÓN:
.
a
c+a
b+c
Se liene: b = b+d = c+d = p
Por propiedad:
• -"- = c+a = (c+a)-a ~ -"- =-"b
b+d
(b+d)-b
b
c
a
c
b+c
(b+4-"
b
• b=(j= c+d = (c+'d)-Cl =c
~=~=-º-=2.
a
c
b
I
I
A) 2/3
B) 1
D)4/9
RESOLUCiÓN:
A
B
Reemplazando:
C
C) 8/27
E) 3/7
M
2
A+B+C+18
a+b+c+27
2
3
'-----@
@
A
B
C
2
De' - = - = - = . a
b
c
3
N+B2+C2+18
~ a2+b2+c'+27
4
A
B
C
2
De' - = - = - = . a b c
3
A3 B3 C3
40
8
~ a3 = 1)3 =-c> =135=]7
=
~
=
~
=
~
= k ... (1)
E±l EIl
H = " (bd+fh)(ac+eg)
De(I):
Ic-dxkl
Reemplazando:
N+B'+C2+40
8
~ a'+b'+c'+135 =]7
I e-fxkl
~--~---
Nos piden:
A+B+C+18 .'+b'+c'+27 A'+B'+C'+40
x
x
.+b+c+27 A'+B'+C2+27 .'+b'+c2+135
Reemplazando:
2
9
8
4
- x - x - = - 1Rpfa.D 1
3
4
27
9
=
~
Nos pide;-n:'---_ _ _ _ __
H = " abcd+acfh+bdeg+efgh
Factorizando
H = y'' 'a' 'C(c-bd-c+-=fhcc)-+-eg--c(c-bdc-+fh-=-C)
~ a'+b'+c'+27 = 9
@ Si: ~ = ~ = ;
H=
H=
~ [f .d+f. t J(a.dk+fk.g)
Y
(ad+fg),I«ad+fg)
H = '¡(ad+fg¡t = ad+fg ~--:--::-\
Dato: ad+fg = 324
[ Rpta. S 1
~
además:
(a+c)(b+d)
["V'AC+VBD]4 _
[.yac+ Vilcl]4 x (A+C)(B+D) = pq
Calcular el menor valor de p+q:
A) 6
B) 5 C) 9
D) 5 E) 2
RESOLUCiÓN:
A
BCD
Dado: a=b=c=(j=k
De:
~=-º-=
a e
A+C = k }
a+c
B_D_B+D_k
b - ( j - b+d A+C
B+D
..... - - = - - = k
a+c
b+d
.....
(A+C)(B+D)
(a+c)(b+d)
k2
1
En la siguiente serie de razones geométricas equivalentes:
a_c_e_g
b-(j-T-h
Se cumple: ad + fg = 324
Hallar el v;-a...lo",r__d...
e"--:_ _ _ __
H = " abcd+acfh+bdeg+efgh
A)260
B)324
C)180
D)260
E) 230
RESOLUCiÓN:
Se tiene:
12
4
]7 = 9
N+B'+C2+12
[ Rpfa. S
:. (p+q) mínimo es: 7
De: a=b=c=]7=3
=>
(p+q) mínimo
1
4 =k2 =pq ~
-xk
k2
3'
Hallar el valor de:
A+B+C+18 a'+b'+c'+27 A'+B'+C'+40
x
x
a+b+c+27 A'+B'+C2+27 .'+b'+c2+135
"----1 b = ck I
TT TT
Dato:
["V'AC+VBD]4 _
(a+c)(b+d)
[.yac+ Vilcl]4 x (A+C)(B+D) = pq
H = .dZ¡lZ.p~ = p
~~
,...---.
Rpta.A
'r;---;-l
Nos piden: a =?? (máximo valor)
Dato:
(a+c)- (b+b) = 450;
ck2+c-(ck+ck) = ck2-2ck+c =450
c(k2-2k+1) = 450
c(k-1)2 =450x1 2
~
Nos piden: __
a...bcc+...
bc-c+__a-oc
H=
c(a+b+c)
Reemplazando:
H = dp3.dp2 +dp2.dp.dp.dp
dp(dp3 +dp2 +dp)
Se tiene una proporción geométrica
entero. Sabiendo que la suma de extremos menos la suma de los mE>dios es 450. Hallar el máximo valor
que puede adoptar el primer antecedente.
A) 1800
C)820
B)512
D)324
E) 2000
RESOLUCiÓN:
Sea la proporción:
r-la-ck 2 1
Q
3 1; 1b = dp21 ; '1c-=""C"dp'l
..... '1a-="""C
dp-::-l
~
Hallar el término de lugar 22 en:
2;4;6;20;58; 132; ........
A) 8002
B)14328
D)24032
RESOLUCiÓN:
C) 16004
E) 7229
2JJJ'!0~32;
Como:
9
...
Números
impares
~
O +12 +24 +36
1 . 1 . 5 . 7'
'--" '--" '--"
-+ n = 15
3 • 6 ' 9' 12 , ......... .
n+2
"--" "--" "----"
nn-1
m=+10 +16 +22
E)-
"--""--"
3
nn
Denominador:
3;
6;
9;
12; .......... ; enésimo
.j.
.j.
3.1 3.2
ª
.
.j.
3.3
nn
.j.
3.4
.j.
3.n
nn-1
.. T,= 3n =-3Hallar el término que ocupa el lugar
18 de la siguiente PA
+20; 16; 12; .........
A)48 B)-52 C)-48 D)52 E)-44
RESOLUCiÓN:
Como es una sucesión aritmética, ya
que:
2'tJ.6J2; ..... }T,=20
-4
-4
r=-4
Como: T ,=T,+(n-l)r
Q T= 20+(n-l)(-4)
T=24-4n
Luego:
Para n = 18-+ T,.=24-4(1;.:.8)~_--.
T,.=-48
Rpta. C
I
I
@ Hallar"n"en:
_1
.-ª-.-ª-. 11.
2 ' 12' 6 ' 16' ........
.
29
S 1: a, = 30
A) 10 B) 16 C) 15
RESOLUCiÓN:
IRpta. C I
T'=t_A.J9z..J9Jl; .......
a=+4 +14 +30 +52
C)--"'-
RESOLUCiÓN:
(Método analítico)
Analizando los numeradores y denominadores, tratando de hallar una
ley de formación. Luego se encontraráque:
Numerador:
1; 4; 27; 256; .......... ; enésimo
.j. .j.
.j.
.j.
.j.
D) 14 E) 12
I
r=+6 +6
Luego:
- T (n·l)a (n-1)(n-2)m (n-1)(n·2)(n·3)r
+
Tn- 1+--+
1
1.2
1.2.3
Para n = 20
T -1 194 19.18.10 19.18.17.6
20- +
. +
2
+
6
Too = 7601
~
IRpta.B I
@ Hallar el primer término negativo en
la sucesión:
64; 57; 50; 43; .........
A}-l B)-3 C)-6 D)-8
RESOLUCiÓN:
64; 57; 50; 43
-+T,=64;r=-7
Luego: T,=T+(n-l)r
T,=64+(n-l).-7
T,=71-7n
ª
I Rpta. C I
¿Cuántos términos de la sucesión:
13; 16; 19; ...... ;613
resultan tener raíz cuadrada exaota al sumarle 2 unidades?
A)l
B)7 C)ll
D)10 E)53
RESOLUCiÓN:
El término enésimo será:
T=3n + 10
Según enunciado:
VT ,+2=k; k: entero positivo
.j.
3n+l0+2=k2
3(n+4)=kn+4=3p
3.3p2= k2
Pero:
13<9p2<613
1, .... <p2<68, .... ..
1, .... <p<8 .... .
PE (2; 3; 4; 5; 6; 7; 8) -+ 7 valores
"----" "----" "----"
-7 -7
-7
I
@ Si la sucesión {S.,} n " 1 está definido
Hallar el vigésimo término en:
1;5;19;49;101; ........
C)7601
B)8001
A) 7600
D)4421
E) 7281
RESOLUCiÓN:
Observando las diferencias sucesivas.
_1 .~. 27. 256
44
I2n-1\
~
2n-l
Q a'=2i1
@ Dar el término enésimo en:
33
_
Luego: n E {11; 12; 13; ........ }
:. El 1ero término negativo será para
n = 11 ; entonces:
Tll=71-7(11)=-6
Rpta. C
enésimo
--
Números
pares
I Rpta. C I
l' 22
se
deduce
,2: 4 ~ 6: 8 j .... _
+12 +12 +12
Sucesión de tercer orden (cúbica)
considerando el método práctico directamente:
T ,= 2+(n-l ).2+k(n-l )(n-2)(n-3)
Paran=4:
T.=,2-(4-1).2+k.3.2.1 =20,
v
k=2
T22= 2+22(22-1).2+2.21.20.19 = 16004
D)-""
3
Como queremos términos negativos
entonces:
71
71-7n<OQ71 <7n Q 7 <n
10,1 ........ <n
5
Luego la sucesión será:
~.........."..........,,'-"
B)_n_
n+2
14
12=2 Y 16=e
Raz6n:r+21 +2 +14 +38 +74
A) _1
3'
1
E)-13
por:
S, = 1; S2=2; S,= S,.,+S'.2; n;,3
hallar "Si
A)8 B) 10 C) 12 D) 13 E)21
RESOLUCiÓN:
Para:
n=3-+S3=S2+S,= 1+2=3
n =4 -+S.= S3+S2= 3+2 =5
n = 5-+S,= S,+S3= 5+3 =8
n=6-+S.=S,+S.=8+5= 13
n = 7 -+S,= S6+S,= 13+8 = 21
:. S7=21
,r-:Rp,.....,...ta.""c"'l
La suma de los 6 términos centrales
de una progresión aritmética creciente de 16términoses 141 yel producto
de sus extremos es 46. ¿Cuál es la
razón de la progresión?
A)2
B)4
C)3
D)5
E)6
RESOLUCiÓN:
3(a+a) = 141
Porque la suma de equidistantes es
igual a la suma de los extremos.
a,.a'6=46 (dato)
Resolviendo:
a,=l
a,.=46
Pero:
a'6=a+(16-1)r
Rpta. C
46=1+15r-+r=3
I
I
@ ¿Cuál es la razón de una P.G de 12
términos siendo el primero 1 yel últim02048?
A)l
B)2
C)4
D)8
E)16
RESOLUCiÓN:
Como se trata de una sucesión geométrica, luego:
Tn =T1.qn-1
pero:
n=12,
T,= 1
T12=2048
ª
-+ Para: n = 12
T12=l.q12.'
2048=q"
2"=q"-+ q=2
I Rpta. B I
¿Cuántos términos de tres cifras hay
en la siguiente sucesión:
3; 4; 11; 30; 67; 128; ........ ?
A)4
B)5
C)6
D)7
E)8
RESOLUCiÓN:
3;
4; 11' 30' 67; 128'
.j.
.j.
.j.' .j.'
.j.
.j. , .....
0'+3 1'+3 2'+3 3 3+3 4 3+3 5'+3
.j.
.j.
.j.
(1-1) (2-1) (3-1)
Luego: T 0= (n-1)'+3
Por condición:
100,;(n-1)'+3 < 1000
97,;(n-1)'<997
4, ...... ,;(n-1)<9, ......
5, ...... n< 10, ......
-> n E {6; 7; 8;9; 10}
A) 720
B)460
D)912
RESOLUCION:
primeros números naturales
.D,:1;3;6; ......... n(n +1)
2
primeros números triangulares
= 8 n+;2+an; n;;:: 1
a" = -11
A)8 B)-8 C)11 D)-11
RESOLUCION:
Como: 8n+1 = an+~an
8 n+1
• D.; 1;4; 10; ........ n(n+1)(n+2)
6
E)64
primeros números cuadrangulares
Luego piden el término 15 de la secuencia de los cuadrangulares el
cual será:
-+8 n =8 n+1-8 n+2
Para n = 8 -+88=89-810
Para n = 9 ->a9=a,,-a11) (+)
15.~.17
ao+~=~-a11
Q
88=811
ao=(-11) (dato)
ao = 11
I""Rp'--ta.-c--1
@ En el siguiente arreglo:
S2 -> 22; 32 = t 2 3 r
2
34
S,->4 2; 52; 62-> (1+2+3)2=t 2
Luego:
+12
+12
1
r
~~r25.2612
S 25-+81 •....• X , .... ··-C 2 )
/
v
"25 términos"
Término central: X2
25.26
donde: x+12 = - 2 -
Según el siguiente arreglo:
D,
/1 D2
1
.l D
I
1 1 #I 1 I ' D
4
" " " 3,1" 1,1Ds~"..
,/1,'3,1
"1//,,
I
+12
501; ........
+6
T 0= 5+(n-1)= 6n-1
SEGUNDO:
Pero como es de 2do. orden, le aumentamos k(n-1)(n-2) para que de
este modo salga cuadrático y además que esta última expresión se
debe eliminar para n=1 y n=2. Para
hallar "k" se utiliza el tercer término,
dandoan=3.
T 0= 6n-1 +k(n-1 )(n-2)
paran=3
T= ~(3)-1 +k(3-1 )(3-2) = 1!!,
k;1
Luego.
T 0= 6n-1 +(n-1 )(n-2)
T 0= 6n-1 +n 2-3n+2
T n =n 2 +3n+1
I Rpta. O I
@ Dada la sucesión numérica:
x = 313
La expresión a calcular será:
v'X2 = x = 313
Ir-Rp-ta.-c--I
1/1
+10
+2
+2
+2
M~TODO PRÁCTICO:
PRIMERO:
Se considera como si fuera una sucesión aritmética del 1ero orden:
•
•
•
•
•
•
'1'2'1'
+8
1; ......
'--'" '-..-/ '-..-/
1
S 1-> 12=t 22r
ª
Hallarellérmino enésimo en:
5; 11; 19;29;41; ........
C) n2+2n+2
A) n2+3
B) n2+4n
D)n'+3n+1
E)4n+1
RESOLUCION:
+6
Hallar la raiz cuadrada del término
central de S25
A)315
B)325
C)313
D)328
E)411
RESOLUCION:
,
I Rpta. E I
= 680
5010 9U 90
S,->1
S2->4;9
S,->16;25;36
S4->49; 64; 81; 100
•••
•••
•••
•••
•••
•••
é
" 1,'4,'
6,'4,'1,1
I
'
I
I
I
'''.
/1/5/10/10/5/1
Calcular el valor de t'5en la diagonal
número cuatro (D4)
{T,)n;' 1
={; ;~ ; ~; ~~; . . }
¿a partir de qué lugar los términos
de la sucesión son menores que
3/4?
A) 10mo
B) 11"""
C) 12"""
D) 13·""
E) 14"""
RESOLUCION:
Cálculo del término enésimo de los
numeradores:
U09;
11; ........
+2
+2
T o=5
r=2
T 0= 5+(n-1).2 =2n+3
Para los denominadores por simple
inspección:
3'
6'
9; ....... enésimo
,¡.'
Observación:
·02:1;2;3; .......... ;n
@ Hallaraosi:
•
•
•
•
•
•
C)564
E) 680
,¡.'
,¡.
,¡.
3(1)
3(2)
3(3)
3(n)
Luego el enésimo de la sucesión:
T= \
2~~3y <
!
I
(Condición)
[r-Rp""""ta.--:o--I
12 < n
@ Hallar el segundo término negativo
en la siguiente sucesión:
284;278;272;266; ........
A)-7 B)-8 C)-9 D)-10
RESOLUCION:
E)-11
2~~~6; ........
-6
-6
-6
Comparando con la sucesión de los
múltiplos de 6.
284
278
~
272 ... 8
sededuce
2 -4
-10
)+2 )+2 )+2 +2)+2)+2)+2
282 276 270 ... 6 O -6 -12
Luegolopedidoserá:-10 Rpta. O
I
I
@ Si n es entero positivo y: Xo = 3n+n 2
Siendo:
Yn=Xn+1-Xn
afirmamos que:
l. Los números Yo están en progresión aritmética de razón 2.
11. Los números Yo están en progresión geométrica de razón 4.
111. y"2 = yo.' +2 para cada entero positivon.
¿Cuáles de las afirmaciones anteriores son verdaderas?
C)Todas
A) Sólo I
B)lyll
D)lylll
E)lIylll
RESOLUCION:
Analizando yo:
Por dato:
x'" = 3(n+1 )+(n+1)2
X n+1 =n2 +5n+4
Luego:
Yo = n2+5n+4-3n-n 2-> Yo= 2n+4
dando valores:
n=1 -> Y1=6 )+2
n=2 -> Y2=8
n=3 -> y,=10)+2
Observamos: Y1; Y'l. ya; ........
r::--:---:::1
Forman una progresión
aritmética de razón 2.
Rpta. O
I
I
@ Dadas las sucesiones S, y S", hallar
cuántos términos comunes tienen
ambas sucesiones:
S,=5; 8; 11; 14; ....... ; 122
S2=3; 7; 11; 15; ....... ; 159
A)20 B) 11 C) 12 D) 10 E)41
RESOLUCION:
Hallando los términos enésimos para:
S, =T 0= 3n+2 =3+2 =3-3+2 = 3-1
para:
S2=T o=4n-1 =4-1
Los términos comunes deberán ser
múltiplos de:
.... b=9a
1
3:4-1 = 1°2-1
y tendrán la siguienteforma:
tk=,12k-\< 122,(segúnS,)
@
.... k E (1;2; 3; .......... ; 10)
Quiere decir que existen rlR=-'n-:ta-.-=D'"'I
10 términos comunes.
,"
,
@
En el siguiente triángulo numérico,
hallar la suma del primery último término de la fila 25.
1
3
F2
7
9 11 Fa
13 15 17 18 F.
21 23 25 27 29
F.
/
C
F,:1=1~2
Le toca al primero
I Rpta.D
'----.-/~
( )2
x2
Se deduce que en la fila 25, la suma
de extremos será:
2.252= 1250
D
1
2
3
Hallar una fracción tal que si se le
suma su cubo se obtiene el cubo de
la misma fracción multiplicada por:
A)3/4 B)5/4 C)7/4 O) 1/3 E)2/7
RESOLUCION:
41
Sea la fracción T.
Oel problema: f + f3 = f3 . 2s
a+b = 5. Ji...
b+b
b
.... a+b = lOa
.... a+b = 5. Ji...
b+b
b
@
H
Por condición:
¿Cuál es la cantidad que debe
agregarse al numerador y denominador de la fracción 4/7 para que la
fracción resultante este comprendidaentreO,7yO,75?
A)2
B)3
C)4
0)5
E)6
RESOLUCION:
Sea la cantidad "x".
7
4+x
3
Por condición: <-- < -
@
Oos grifos A y B pueden llenar un
tanque en 12h. El grifoAfuncionando solo puede llenarlo en 28h. Estando vaclo el tanque se abre el grifo B. ¿En cuántas horas lo llenará?
A) 18h B)20 C)21 0)24 E)27
RESOLUCION:
ENUNAHOBA
1~ V
AyBlollenanen12h
llenan:
Ala llena en 28h
llena: _l_V
28
(24-H) = H
Los 2/5 de un barril mas 3 litros son
de petróleo y 6/7 menos 39 litros son
de H2 O ¿Cuántos litros son de petróleo?
A)48 B)56 C)59 0)60 E)72
RESOLUCION:
t
Petróleo:
~ V+3
V 1-----"----1
~
11
I Rpta. C J
~
Falta
Transcurrir
168-7H=54
168= 124
H=14h !Rpta.EJ
~
"B" en una hora hará:
1
1
V
12 V - 28 V=21
!Rpta. D J
124-HI
Transcurren
~4
@!)
8
= 19
Al mirar un reloj observo que los 7/5
de lo quedaba del día era igual al
tiempo transcurrido ¿Qué hora es?
A)6a.m.
B)12a.m.
C)9p.m.
O) 10 p.m.
E) 2 p.m.
RESOLUCION:
:-:---=-0
I..Rpta.DI
Oel: 3<X}.
.. x =4
Oe 11: x > 5
:.~
'------y---' '-------y---'
7
Por condición: 9-x = 10
FRACCIONES
¿Cuáles la fracción ordinaria que resulta quintuplicada si se agrega a
sus 2 términos su denominador?
A) 1/3 B) 1/5 C)3/4 O) 1/9 E)5/9
RESOLUCION:
Sea la fracción: ~ ; Por condición:
nml" = 10
2'3'5-4'14=10
@!)
@
J
7
•
83
"x=1O
~ !Rpta.SJ
2-n
Oel problema: 1-2n > .... n > 95;
¿Cuánto se le debe de quitar a los
2/3 de los 5/7 de los 6/5 de los 3/4
de 21 para que sea igual a la mitad
de 1/3 de 2/5 de 3/4 de 147
B) 69/1 O
C)79/10
A) 53/100
0)83/10
E) 97/10
RESOLUCION:
2 563
3'7'5'4'21 =9;
1
!Rpta. J
.... f=~f3
25
a
2-nb
.... a(1-2n) = b(2-n) .... 1)= 1-2n
13 C =13 (20800) = 12800
( )2
x2
F.:21 .25=5~ 29-21+29=50
:.f=
.... a+nb = 2b+na
La otra parte costará:
5
8
x2
9=3 2 11-7+11=18
.... f+f3=f3·~f3
25
Por cond"ó
a+nb 2
ICI n: b+na =
5
Por condición: 13 C = 8000
~~
8
I
15/13 C 1 5/8 C 1
@
J
mayor
que 5/12 tal que al sumar veces el
denominador al numerador y veces
el numerador al denominador, se obtiene como numero 2?
C)9/16
A)6/13
B) 10/17
0)8/19
E) 7/19
RESOLUCION:
Sea la fracción: Ji... . donde Ji... > ~.
b '
b 12'
.... C=8000
Suma de extremos
I Rpta. C
@ ¿Cuál es la menor fracción
'------y---'
'\,
i
J
Una casa es de 2 hermanos. La parte del primero es los 5/13 de la casa
y esta valorada en 800 soles. Hallar
el valor de la parte del otro hermano
A) 20800
B) 10020
C) 11200
0)12800
E) 13000
RESOLUCION:
I
A) 625
B)325
C)650
0)1250
E) 3000
RESOLUCION:
Observando las filas impares:
Fa: 7
I Rpta.D
"-¡¡=g
k<10; ......... .
V
21
V
t = 21
lh
. a
H20:t V +39
Se observa que:
52
6
V+3+ lV-39 = V
44
.... --36=V
35
.... V=140
Me piden: Petróleo
~
(140)+3 = 59
!Rpta. e J
@ Encontrar una fracción entre 2/18 y
41/52 cuya distancia al primero sea el
doble de la distancia al segundo.
A)
J1.
52
O)~
26
B)~
52
C) 49
104
E)~
13
a
b
2
1 dla - -
41
52
x
13
--+X-~=2[~-xI
13
52)
.1n + _1_
= --ª2n
2n
Junios en 1 dla harán:
~~
A)1001
B)997
0)998
RESOLUCION:
7 . 13 . 19
--ªobra
2n
8 dias - - 1 obra;
~~
:. n = 12; A
Juan le tomará 12 dias 1Rpta. C
I
6
13
26
45.
15
--+3x=Ts .. x=Ts IRpta.ol
Un vendedor compro manzanas a
2,5 cada una. Si vende los 3/7 de
ellas a 2,8 y luego los 3/5 de lo que le
queda a 3,0; perderia hasta ese mDmento 114 soles ¿Cuántas manzanas compro?
B)320
C)400
A) 300
0)420
E)480
RESOLUCION:
Total de manzanas: "T"
-ª-T
7
-ª-r~TJ=~T
5L7
35
2,8
~T
3,0
~T
El vendedor invirtió: 2,5 T
2,5'T-[~~ T+ ~~ rJ= 114
Una vendedora lleva paltas al mercado y vende la mitad de las que tenia mas media palta; deja encargada la mitad de las que quedan mas
media palta; obsequia la mitad del
nuevo resto mas media palta y le SDbra todavia una ¿Cuántas paltas llevo al mercado si no partió ninguna?
A)12 B)14 C)15 0)17 E)18
RESOLUCION:
VENDE·
ENCARGA ETC.
1ro.
2do.
3ro.
ª
ª
IRpta.ol
:. T=420
@
--------
35
35
N 1
-+2 2
N-1 1
-+4
2
N-3 1
-+2
3
Por condición:
N~7
I
Pedro hace la obra en '2n" dias:
r=--,--=--
I Rpta. B I
@ Hallar el término que continúa:
1.8 .' ..!5 .' .1.ª-12 .' ~7 .,....
4
A) ~ B).!!l C) 20 O) 23 E) 24
13
12
17
16
16
RESOLUCION:
5
5
5
5
-ª-.-ª-. . .1.ª- . ..!!!..1!
8 ' 10 ' 12 ' 14 ' 16
'---""" '---""" '-----" '---"""
2
@
2
I
Calcular el término que continúa:
1
2
5
6
5
4
7
-"-"-"I
I
I
Hallarelt40enlasucesión:
6; 11; 18;27; ..... .
A) 1572
B) 1618
C) 1683
O) 1596
E) 1719
RESOLUCION:
c=3~ 6; 11 ;18; 27; ...
10 , ....
A).1.ª- B).!!l C) ~ O).!!I E).1§.
6
8
10
13
7
RESOLUCION:
1. . ~ . .1Q.. -.L .
4 ' 6' 8 ' 10 , ....
~'-'" '-'" '-'"
9
(1'+1) . (2'+1). (32+1) . (42+1) . (52+1)
- 4 - ' - 6 - ' - 8 - '---;¡¡¡'~
'-"''-'"
'---.../'---.../'---.../'---.../
2
2
2
2
~
I
Oe (a):
a= 1 en (P): b=2
t.=n 2 +2n+3
t,,= (40)2+2(40)+3 = 16831 Rpta. B
2
''-1
1Rpta.B I
7
2
Rp-ta-.---O
B
I tn = an 2 +bn+c
~
5
~~---..~
T
3~
E)-ª-
3
.1X8X1.X-ª-X~
9
2
7
4
5
[TI
(a)--+2a=
2
2
2
Suco Cuad-;::rá=t:.:ica=-:_ __
HACEN
1
n
1
2n
T
0)2
5
RESOLUCION:
'-'" '-..-/'
4
C)~
B) 1
4
tn = an 2 +bn+c I
(p)--+a+b=
Juan es el doble de rápido que Pedro. Si juntos pueden hacer cierto
trabajo en 8 dlas ¿Cuánto tiempo le
tomará a Juan hacerlo solo?
A)9dlas
B) 10
C)12
0)15
E)16
RESOLUCION:
EN UN OlA
Juan hace la obra en "n' dlas:
Hallar el número de términos:
6; 15;28;45; ..... ; 1891
A)26 B)30 C)36 0)24 E)25
RESOLUCION:
C=1~6. 15 . 28 . 45
'-./'--"~
(p)--+a+b=
5 9 13
17
Oe(a):a=2
Oe(f3):b=3
t.=2n 2 +3n+1
Igualando:
2n 2 +3n+1 = 1891
2n 2 +3n = 1890
n(2n+3) = 30(63)
IRpta.cl
Quélérminocontinua:
A)..É...
1Rpta. C I
pMmerpositivo
I
1
3 3
9;4;7;2;·····
..:--'-'-----~
=1
:. N=15
@
.
ª
1Rpta.B
19971
I
(a)--+2a=
4
Suco Cuadrática:
LE QUEDA
N 1 N-1
---=2 2
2
N-1 1 N-3
---=4
2
4
N-3 1 N-7
---=2
8
8
Cuál es el primer término positivo:
-641; -628; -615; ...... ..
A) 13 B)8
C)9
0)6
E)4
RESOLUCION:
-641;
-628;
-615; ......
13
13
Si todos fueran múltiplos de 13 tendria: -637; -624; 611; ..... ; O; 13
Restando 4 a cada término tendrla:
-641; -628; 615; .... ; 4; 9
AL
OBTINO
PRECIO EN DINERO
llEN!lE
Pierde:
@
6
Como el salto (razón) va de 6 en 6;
veamos si 1000 es divisible entre 6.
1000 ~
4 166
Veamos; que no lo es, pero si es divisible 996. Luego; la sucesión que va
de 6 en 6 y son múltiplos de 6 es:
6; 12; 18; .... ; 996; 1002
si le agregamos 1 nos dará la sucesión original:
7; 13; 19; .... ; 997; 1003
Entonces ambos valores 997 y 1003
son igualmente cercanos a 1000.
Como en las claves sólo hay uno de
ellos la respuesta será:
--+3x=~+~-2x
@3>
C)1002
E) 996
OI..:.IJ
I
Cuál es el término más cercano a
1000 en la sucesión:
+ 7; 13; 19; ......
~
1 Rpta. O I
Cuál es el primer término negativo:
695; 689; 683; 677; .....
B)-5 C)-6 0)-3 EH
A)-1
RESOLUCION:
695 ; 689 ; 683 ; 677 ; .....
'-----""'-----"" '-----""
-6
-6
-6
Si todos fueran múltiplos de 6 tendrramos:
696; 690; 684; 678; .... ; 6; O; -6; ....
Reslando 1 a cada término tendría:
695; 689; 683; 677; .... ; 5; -1;-7
@
I
p~m.r~eg.tlvo ! Rpta. A )
15
Qué letra continúa:
W;U;R;f:j; ....
A)K
B)G
C)I
D)J
E)H
RESOLUCiÓN:
W;U;R;I'l;Q)
24 22 19 15
10
RESOLUCiÓN:
Transformando a fracción se tiene:
2
abcdef
x = 99999 (+)
@
-3
-51'-R=-p"-ta--:.D:"I)
-4
Qué letra continúa:
X;P;K;G; ....
A)D
B)F C)G
D)E
RESOLUCiÓN:
X;P;K;G;@
25 17 11
7
5
luego por D.P.
3a
--> _2 =__1,..0__
___b...c,-,+___d...e~f
3
5
10 def + abc
E)B
-8
Qué letra continúa:
R;M;Q;N;P; .....
A)O B)1'l
C)Q
RESOLUCiÓN:
@
D)L
E)K
~~
~~;I'l
!Rpta.s)
5
--> _2 = ---",10...0..1...
ab
...c__+,---""42.,.9"--
D)X
E)V
@
5
5
,..--.,.,..--.,.,..--.,. ,..--.,.,..--.,.
6
S
E
I
S
11
O
N
C
E
16
D
I
E
C
I
S
I
S
21
27
V
E
V
E
I
I
N
T
N
T
U
S
N
I
O
E
T
8
E
@
! Rpta.E)
Hallarla letra que sigue:
B;F;I;M;O; ..... .
A)S B)X
C)P
D)Q E)T
RESOLUCiÓN:
B;F;I;M·O·S
7
2
6
@
~...------@
13
~' ~
,
,
~
6
20
~
11
,
€!§) Qué letra sigue:
7 8 9
7 9 11
1 1
2 2
@
'J''J'
Qué letra continúa: U; T; C; S; .....
A)V B)N
C)O D)X
E)D
RESOLUCiÓN:
U T C S N
N R I
I
U
O E N E E
S C T V
Rpta. s)
Qué término continúa:
_A ._E ._C ._K
B' B' H' D' ....
@
IRpta.c)
Si:O,MIL(A)=O,AAM;
Hallar: M+I+L+A
A)12 B)13 C)14 D)15
RESOLUCiÓN:
Transformando a fracción:
E)16
MIL(A) _ AAM . Por descomposición
1000(A) - 1000 'Polinómica
N.M+A.I+L
A3
N.M+A.I+L
# entero
AAM
1000
'--------v-----
A3.(AAM)
=~~o=1000
Port90rra:
M < A < 10, además A3.(AAM) es un
múltiplo de 103, solo cumple para:
A = 5 ; M = 2 ; reemplazando:
3
2 M+ I+L = 5 .(552)
5.
5.
1000
-->
2
5.
..
M+ I+L = 125.552
5.
1000
25(2)+5.1+L = 69 --> I = 3 ; L = 4
- - -
34
:·IM+I+L+A=141
IRpta.c)
dades de ab y ba en kmlh y la longitud
de cada uno es igual a 110m. ¿Cuál
es la velocidad del más lento en mis?
'J''J'
A)18 ~
3 3
Rpta. D)
BA~
CEG I !'"=Rp:-ta-:-.--:s:"l)
:.x=7
D)-º- E)-'='N
T
S
7 10 13
!
999999 = x.142857
Dos trenes lardan "a" segundos para
~X~X~X~X* @ cruzarse
cuando marchan en direcIRpta. C)
ciones opueslas, siendo sus veloci-
E)S
Qué término continua:
BA; DI; FU; HE; ...... .
A)JE B)JO C)FU D)MO E)LE
RESOLUCiÓN:
vocales
x - 999999
20
Ir"""".R;.P:::.ta-.-::s'""')
G-;1-;K-'I ; 1G; J; M 1
1G; H; I 1 ; '1
'J''J'
~ - 714285
~
! Rpta. E)
429.103+100abc
858.10 3+2002abc = 5005abc+2145
855855 = 3003abc --> abc = 285
Luego: def = abc+429 --> def = 714;
Reemplazando
K·S
Hallar el término que sigue:
(A; B; 2); (C; D; 12); (E; F; 30); ....
A)(G; H; 42)
B)(G; H; 56)
C)(G; H; 36)
D)(G; 1; 40)
E)(G;K;42)
RESOLUCiÓN:
(A;B;2);(C;D;12);(E;F;30); (G;H;56)
1x2 J 3x4 J
5x6 J
7x8 J
M
N
RESOLUCiÓN:
5
E)Q
A)~ B)~ C)~
--------,..::::."-:--=-7
7
!Rpta.D)
G; H; 1; G; 1; K; G; J; ...... .
A)N B)P
C)R
D)M
RESOLUCiÓN:
D)P
!
t
' 7 '
9
,
1
2
3
6
(Suc. de Tribonacci)
U;5;O; D;V; .....
A)U
B)B C)Z
RESOLUCiÓN:
5
5
5
1
U
N
O
-2 !'-R=-p"-ta--:.D:"I)
-4
Qué letra continúa:
A; B;C; F; K; ....
A)R B)S
C)T
RESOLUCiÓN:
A·B·C·F·
~
€!§) Qué letra continúa:
-6
103Bbc + [429+8bc]
103 [429+abc]+abc
2
'---""'---"" '--"''---"''
@
abcdef
= defabc '
5
abcdef
x= 99999
~'--"''---"''
-2
2
5
B)72 ~
C)28 ~
D)45 ~
RESOLUCiÓN:
Q2'---"
Si:x=O,abcdef
é
5
.---..
x=O,defabc
Además: def - abc = 429; Hallar "J("
A)13 B)21 C)7 D)39 E)41
Por teoría:
"1" de cruce
-km
VA=ab"
E)54 ~
Longitud del tren
=-=-'===-==='--Suma de Velocidades
A
=!=+1M-110m
.....
-km
VB=ba"
I
I I
I
I
I
I
I
B
I
I
tj:::
a
2
18
110
~a= 396
(ab+ba)
ab+ba
~ a.(a+b).11 =396
{a=4
a.(a+b) =36=4.(4+5) b=5
Velocidad del más lento:
lab= 45
'l'-1
[Rpta.DI
TLJT
V=
te ;V cte. (M.R.U.)
Por dato:
(112)h
V
abO -aOb
1/2
aab - abO
1/2
~
2.abO = aab+aOb; Por descomposición Polinómica.
200a+20b = 100a+l0a+b+l00a+b
18b=
1oa~ltH{~~~
:. 1a + b - 141
Ir:Rp::-:-ta.--:D"1
@ En una fiesta en la que asistieron mn
chicos y nm chicas en un momento
dado el número de chicos que no
bailan es "2m-n" y el número de mujeres que no bailan es "m+n". Hallar
el número de asistentes.
A) 341
B)143
C)132
D)165
E)176
RESOLUCiÓN:
Se deduce que # chicos que bailan =
# de chicas que bailan.
mn-(2m-n)= nm-(m+n);
Por Descomposición Polinómica:
1Om+n-2m+n = 10n+m-m-n
m=7
8.m=7.n~ { n=8
Luego: mn = 78 chicos
nm = 87 chicas
/"C',~8C:""ClI650 = 3162(,)= cdef(,)
@ Sisecumpleque:
206
@
8
25
[Rpta. D 1
abab, Sb(7)= cdef, ba(,)
Hallar: a+b+c+d+e+f
A)19 B)20 C)21 D)22 E)24
RESOLUCiÓN:
Igualando parte decimal y parte entera en su respectiva base se tiene:
~
ab(7)
ba(7)
O,ab(7) = O,ba(') .... 66(7) = 100(7) ....
7a+b 8b+a
~48=64
4(7a+b) = 3(8b+a) .... 28a+4b = 24b+3a
8
58718 = 1.85 +6.84+2.83+5.8 2+3.8' +
+6.8"
Se utilizan: 1 pesa de 32768 kg
6 pesas de 4096 kg
2pesasde 512kg
5 pesas de 64 kg
30 pesas de 1 kg
Obs. No hay pesas de 8 kg. entonces
se fgemp/azan porpesas de 1 kg.
3.8kg<>24.1kg
G)G)
c = 3 ; º-=-1 ; !l.-=-!l ; f = 2
:.1 a+b+c+d+e+f=21 1
,rR=-p"""'ta-.""c'"'l
@ Hallar un número capicúa de 6 cifras que cumple los siguientes requisitos: Si la primera cifra se multiplica por 11, se le añade la segunda; luego todo se multiplica por 11;
finalmente se añade la tercera cifra
y se obtiene 985.
A)985589 B)640046 C)816618
D)327723
E) 648846
RESOLUCiÓN:
Sea el número capicúa: abccba
(a.ll+b)ll+c= 985
a.11 2+11b+c=985
abc(11)= 985;
Por Divisiones Sucesivas
~985=816(11)
985 ~
89l...!!..-
1Mfnimo#de pesas =44 pesas 1
[RPta.A 1
@ Utilizando una balanza de 2 platillos y
la siguiente colección de pesas: 1 gr,
10 gr. 100 gr•.... 10 gro. se pregunta:
¿Cuál es el menor número de pesas
que se pueden emplear para pesar
un paquete de 8891 gr?
A)5 B) 10 C) 18 D) 15 E)26
RESOLUCiÓN:
Llevando 8891 a base 10.
8891 =8.103+8.10 2+9.10'+1.10"
Llevando 8891 a cifras mínimas:
1
= 1
9-10
= 1
8+1=9 .... 9-10=1
8+1=9 .... 9-10=1
0+1
= 1
3-1.10 28891 = 1111 1 = -1.104 -1.10
-
®
~®
abc(11)= 816(11)~{a = 8
b=1
c = 6 r::--:--::-.
:. "1a=bcc=ba~=-8-16-'-6=-18"":;1 [RPta. C 1
@ Un vendedor tiene pesas ~e 1 gr; 4
gr. 16gr. 64 gr•.... etc. ¿Cuantas pesas se utilizan para pesar una masa
de 831 gr si no se posee más de 3
del mismo tipo?
A)6 B)9 C)12 D)16 E)13
RESOLUCiÓN:
Llevando 831 a base 4 se obtiene:
831 4
@207 4
3514
@ 12
:.1 #deAsistentes=165personas 1
'
Luego:
abab(7) = cdef(,)~4545(7)= cdef(,)
Por Descomposición Polinómica
1650 = cdef(,~
Por Divisiones Sucesivas
@ Un ciclista viaja por una carretera a
la velocidad constante. Parte del km.
aOb .YJlna hora después está en el
km. aab. Si en la primera media hora
llegó al km. abO. Hallar (a+b)
A)15 B)13 C)12 D)14 E)16
RESOLUCiÓN:
RESOLUCiÓN:
Llevando 58718 a base 8 por Divisiones Sucesivas:
25a=20b .... 5a=4b~a=4· b=5
~®@
4
~ 831
= 30333(4)
Luego: 3.~4+0.~3+3.~23.~'+3
Se utilizan: 3 pesas de 256 gr
3pesasde 16gr
3pesasde 4gr
3 pesas de 1 gr
I 1: # de pesas = 12 I ,r:R=-p.,....ta--:.c:-II
@ Se
desea equilibrar un peso de
5871 kg. con pesas de 1 kg. 8 kg. 64
kg. 512 kg •...... Si las pesas han de
colocarse en un solo platillo y no se
tienen pesas de 8 kg ¿Cuál seria el
menor número de pesas a usarse?
A)44 B)23 C)16 D)43 E)15
Se utilizan:
, 1 pesa de 10000 gr.} 1.' I 1"11
'lpesadelgr.
palo
, 1 pesa de 1000 gr. }
, 1 pesa de 100 gr.
2 doplatillo
, 1 pesa de 10gr.
:.1 Mínimo#depesas- 5 11
8
Rpta.A 1
Un automóvil sale a las 8 a.m. de una
ciudad "A" rumbo a 'B" con una velocidad de a(b+2) km/h. a las 9 a.m. Sale otro automóvil de la ciudad 'B" hacia "A" a una velocidad de ba km/h.
Encontrándose ambos automóviles a
medio dla en un punto equidistante
de las 2 ciudades. Hallar la distancia
entrenA".
C)342 km
A)192km
B)284km
D)384 km
E)374 km
RESOLUCiÓN:
Porteoría:e=V.t (M.R.U.)
--km
-km
V.=a(b+2)h
VB= bah
A
O
8:00am
1--- e
B
-"'ro='
12:00am
O
9:00am
--+---e ----1
A)128026 B)186280 C) 120862
D)162608
E) 102860
RESOLUCION:
Sea N = abcdef
{4[4(ab.25+2)+cd]+2}.25+9f = 121712
{4[100ab+8+cd)+2].25+9f= 121712
{400.ab+4.cd+34}.25+9f = 121712
10000.ab+l00cd+ef+850 = 121712
--+ e = a(b+2).4 = ba.3;
Por Descomposición Polinómica:
(1 0.a+b+2)4 = (10b+a).3
40.a+4b+8 = 30b+3a
37a+8=26.b
b = 37a+8
{a =4
26 --+ b=6
Luego: 2e = 2.64.3
:. I 2e-364 km I
IRpta.DI
les aOc son narcos, ab criminales,
"a" inocentes y "e· locos. Si el núme-
8
Las magnitudesAy B se comparten
como muestra el gráfico:
A.I.P.B.
6 • ____________ •
11.(I)+c {C=7
9
--+ b=2
:.1 abe = 127 reos 1
[Rpta.A
I
b
R
pués de 1h su marcador marca abO
km y al final del vuelo que duró 12h
el marcador señala baOO km. ¿En
cuántas horas recorrió (a+b)OO km,
siendo la velocidad constante?
A)3h B)5h C)2h D)6h E)4h
RESOLUCION:
_A.D.P.B.
:,
:
:,
:
@ Un aviador inicia en "O" km y des-
----i:;--.
!
a
e
:ux!
--f~-~26:--3.i..2--4..LO- Edad
:
8
Hallar (a+b+c) si Sx= 24 u2
A) 17 B) 18 C)20 D)23
RESOLUCION:
Del área: Sx= 24 = 8' b
Se va obtener. ~ b = 3
En la relación directa:
e
3
V=T ; Vcte.(M.R.U.)
II.abO = baOO - abO
12abO = baOO;
Por Descomposición Polinómica:
1200a+120b=1000b+l00a
--+1100a=880.b
lOa =8b--+5a=4b--+a=4; b= 5
TLJ"T
(a+b)OO
abO
900
400
:·lt=2hl
@ Hallar un número de 6 cifras en el
que se cumpla los siguientes requisitos: Si a las dos primeras cifras
se multiplica por 25, se le añade 2 al
resultado y se multiplica todo por 4.
Se le añade las dos cifras intermedias y se multiplica todo por 4. Se
le añade 2 a todo lo obtenido y se
multiplica por25, finalmente se agregan las dos últimas cifras y se obtiene121712.
E)25
De la relación (I.P.):
40'y=32'x
40'y=32'480
y=384
A los 41 años tendrá 5% menos, o sea:
95
100 (384) = 364,80
6
En la nación inversa:
6-a=3-8:::::)8=4
:. a+b+c=23
baOO - abO
11
De la recta (D.P.):
x
390
=
32
26
8=c~c=6
Porteorra:
--+ V = abO - O
1
mente proporcional hasta los 32 años
y de los 32 años hasta los 40 anos su
sueldo es inversamente proporcional
a su edad en adelante será del 5%
menos por cada año. Calcular cuál
será el sueldo de un empleado de 42
años si uno de 26 años gana 5/.390.
A) SI. 432,56
B) 5/.346,56
C) SI. 347,56
D)S/.345,6
E)SJ. 364,80
RESOLUCION:
Vamos a elaborar el gráfico de acuerdo al enunciado.
Sueldo
:.1 N=120862 1
ro de reos esta comprendido entre
100 Y200 ¿cuántos son los reos?
A)127
B)175
C)131
D)185
E)172
RESOLUCION:
b
@ El sueldo de un empleado es directa-
abcdef = 120862
--+ a=1
d=8
b=2
e=6
c=O
f=2
@ En u-"-P.enal hay abe reos de los cua-
Por dato: 100 <abc<200--+a= 1
abe = aOc+ab+a+c;
Por Descomposición Polinómica:
1OO.a+l O.b+c=1 OO.a+c+l O.a+b+a+c
9.b = II.a+c
:.x=20·32 =180
®
[Rpta. D
En un fenómeno donde intervienen
las magnitudes A y B se ha descubierto cuando B ;, 72 se cumple que
A es D.P.B2, pero cuando B " 72 A
es I.P. ~ (B = 72 es un punto de
enlace o continuidad) si cuando B =
9;A=40. HallarAcuandoB =216.
A)20 B)320 C)80 D) 180 E)216
RESOLUCION:
Buscando el gráfico según el enunciado tenemos:
A
®
I
El gráfico muestra la variación de la
fuerza (F) que se debe aplicar para
producir un estiramiento (X) de un resorte. Detenminarel trabajo realizado
para estirar el resorte 16cm en Joules
si sabemos que este es directamente
proporcional a la fuerza y al estiramiento con su respectiva constante
1/2. F(N)
AaB'
~-=~.~:~
x ___
40 ._---
y
_ _ _)
A los 42 años tendrá 5% menos.
9
.'. 1;0 (384,80) = 346,56 [ Rpta. B
I
,,,
-----t--.
, ,
::,
,
¡,
-+--~~~~~----2~~~6-+B
Primerode:A.I.P.W
---l'''--:-4---'---,':---. x(cm)
X1
16
A)16J
B) 1,6J
D) 1600J
RESOLUCION:
Del gráfico:
C)160J
E)3,2J
.b.. = ..§..
16
4
De acuerdo a la información del en unciado se tiene:
~y=20
(trabajo)
=k
(fuerza)(estiramiento)
Tenemos: W =?
F2=20N
x2=16cm=0,16m.
Los cuales reemplazamos en la fórmula:
W
=-:-'-::-:-::- =
20N - 0,16m
:.1 W = 1,6 Joules 1
8
2
147k = 1089
60
k=420
.'. Inscritos el tercer día:
420
k
1,=4=4=105
['"""Rp-ta-.s-'I @
#VA -#V. -#Vc - 50 -15 =
=#V. -#Vc-#Vo -40-25
#VA-3=#Vo-4
Sabemosque:#VA= 120
[Rpta.cl
Las magnitudes A y B son D.P. para
todos los valores A y B excepto
cuando B está entre 4 a 8 donde son
1. P. Hallar el valor de A cuando B es
24 si cuandoAes 4, B es 2 y las mag-
Una obra se empezó con "m" obreros, a partir del segundo día se fue
despidiendo un obrero cada día,
hasla que no quedó ninguno para
que se temninara la obra.
¿En cuántos d las se terminó la obra
si la primera parte correspondiente
nitudes son continuas.
al primer día uno se hizo un noveno
A)4 B)8 C)12 D)16 E)24
RESOLUCiÓN:
Ubicando los valores en un tabla se
tiene:
de la obra?
A)15 B)17 C)19 D)21 E)25
RESOLUCiÓN:
Se conoce que: obra a # obreros
obra a tiempo
Entonces:
obra
# obreros-tiempo
Graficando tenemos:
A
Sea la obra:
k
..... (1)
=-ª-
fal1a
,-_~A 9
1/9 'A B C ........ PQ'
Tiempo: 1" 2" 3" 4" ...... (t-1)" t días
Obrero: m(m-1 )(m-2)(m-3) ... 2 1 obrero
Reemplazando en la Fómnula (1):
Se tiene:
1
..1'1. = -±.. ~ m = 8
4
9
2
Luego: m - 4 = 8 - n ~ n = 4
x
:.Ix= 121
4
9
A+B+C+ .... +P+Q
=
m-1 (m-1 )+(m-2)+(m-3)+ ... +2+1
@ En un examen de admisión a un instituto superior donde se inscribieron
1089 postulantes se observa que
la cantidad de inscritos diariamente
era inversamente proporcional a la
cantidad de días que faltaba para el
cierre de la inscripción (excepto el último dla en que se inscribieron 60).
Si la inscripción dura 7 dlas ¿Cuántos se inscribieron el tercerdla?
A)72 B)87 C)105 D)120 E)232
RESOLUCiÓN:
Datos:
- Inscrilospordlal.P.dlasquefaltan .... (1)
- Total de inscrilos = 1089
.... (1)
- InscriloseI7mo.dia=60
.... (11)
De(I):
k
# dlas que faltan
Como la inscripción duró 7 dias, entonces:
k
k
k
k
k
k
1, =6;1 2 ;1,4;1 4
15
1.=...,-
"3; "2;
5
..... (111)
Sabemos que el tolal es:
r, +12+1.+ .... +1, = 1089 ............. (",)
J<. + J<. + J<. + J<. + J<. +k+60 = 1089
6
5
4
3
2
C
- ..... - 2-1
24 = ""9
(# inscrilos por dial =
B
--"-=--º1-1
Finalmente: --"-- = --"24
8
r---:-::-,
A
m-1 = (m-1 )-2 = (m-2)-1 = (m-3)-1
1
8
9
9
=
m
(m-1)m
2
~1=~
(m-1)
~m-1=16
:. # días = t = m = 17
con otra B de 40 dientes, fijo al eje
de B hay una rueda C de 15 dientes
que engrana con una rueda D de 25
dientes. Si la rueda Ada 120 RPM.
¿Cuánto tiempo demora la rueda D
en dar9900 revoluciones?
A)75 B)80 C)85 D)90 E) 100
25
RESOLUCiÓN: '"
Graficando:
== ~entes
50
A
e
dientes- ~
~
=
40
B
:. Tiempo es:
D
9900
.
90
= 110 minutos
¡Rpta. El
@ La atracción de un planeta sobre su
satélite varia proporcionalmente a la
masa del planeta e inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia.
El cuadrado del tiempo de una revolución de un satélite sería proporcionalmente a la dislancia e inversamente proporcional a la fuerza de
atracción. Hallar el tiempo de una revolución del satélite de Júpiter cuya
distancia de Júpiter es a la distancia
de la luna a la Tierra como 35 a 31 y la
masa de Júpiter es 343 veces la de la
Tierra y el período de revolución de la
luna es 27 días. Dar como respuesla
la parte entera del tiempo perdido.
A)1
B)2
C)3
D)4
E)5
RESOLUCiÓN:
Del enunciado:
Primero: FaM
F.I.P.D2
~
F·02
---¡,¡= K,
................ (1)
Segundo: T2aD
T2I.P.F.
T2-F
~ ---¡) = K2 ................ (2)
De (1)y (2) al dividir miembro a miembro se tiene:
FD2
~=...&
T2F
K2
D
D'
~ T2 M = constante ..... (",)
De acuerdo al problema tenemos los
siguientes datos:
--º'-=-ªª- => DJ = 35d Y DT= 31d ... (3)
DT 31
_.M.t=343 => MJ= 343m y MT= m ... (4)
MT
1
- T L = 27 días. Nos piden TJ = x .... (5)
Reemplazamos (3) (4) Y (5) en:
Para la 1ierra
Para Júpiter
~
~
(31 d)'
(35d)'
=
(27)2 m x 2.343m
'15
ParaAy B:
dientes
#VA-50=#V.-40 ..... (1)
Para ByC:
#V. =#Vc
...... (2)
ParaCyD:
#Vc -15 =#Vo -25 ...... (3)
Al multiplicar miembro a miembro
(1); (2) Y(3):
90=#~ro===-________,
IrR=-p-:ta-.-=s"'l
@ Una ruedaAde 50 dientes engrana
dientes- _
~120-3=#VA-4
y despejando: x =
: .1 x aprox. = 1 1
~ t~~ J'
¡r:R:-,,:-ta.-:A"1
@ Un camión que transporta cierta cantidad de bolsas de cemento de igual
peso larda 16 horas en hacer su recorrido. Con igual número de bolsas,
pero, teniendo cada bolsa 2 kg más
se demorará 17 horas. Si cada bolsa
es 8 kgs menos y se aumenta en 5 el
número de bolsas tarda 15 horas.
¿Calcular el número de bolsas sabiendo que los tiempos son proporcionales a las cargas?
A) 15 B)20 C)28 D)25 E)30
RESOLUCiÓN:
Del enunciado:
• tiempo a carga ~ tiempo = K ... (1)
carga
También:
• ",:' bolsas de peso ·P" tarda 16 he>ras.
• ",:' bolsas de peso ·P+2" tarda 17
horas ...... (2)
• "x+5" bolsas de peso "P-8" tarda 15
horas.
Pero también podemos deducir que:
carga = (#bolsas)(peso de elu) .... (3)
Reemplazando (3) en (1 ):
tiempo
.... Fórmula
(#bolsas )(peso de elu)
(11)
~
k
'-1
@ Sabiendo que "S" es la suma de tres
cantidades, la 1ra. y 2da. Son directamente proporcional a x y a x' respectivamente y la 3ra. es inversamente proporcional ax'.
Si:x=2;S=6,125
x=0,5;S=8,750
Hallar el mínimo valor de ·S".
A) 1/3
B)2 C)3 D)4 E)5
RESOLUCiÓN:
Asumamos que: S =A+B+C ..... (~)
Donde A; B Y C son la 1ra., 2da. y
3ra. Parte respectivamente.
Por dato:
A
p+2
P
2
En (1) reemplazando el valor de (P = 32)
17
15
x(34) (x+5)(24)
2x - 8(x+5)
4x+20 = 5x
:·120=xl
1Rpta. 8 1
A es D.P. a la diferencia de B y C. B
es proporcional a D. C es proporcie>nal a D'. Si D = 2 cuandoAes igual a
48 D = 5 cuando A = 30 ¿Para cuántos valores de D,Ase hace cero?
A) 1 valor B)2valores C)3valores
D) 4 valores
E) 5 valores
RESOLUCiÓN:
Del dato:
• Aa(B-C)~A=(B-C)K ........ (1)
• BaD
~B=DK,
....... (2)
• CaD' ~C= D'K,
....... (3)
• Cuando:D=2;A=48 ....... (p)
• Cuando: D=5;A=30
Reemplazando (2)y (3) en (1):
A= (DK,- D'K'¡K
A= DK,- D'K,K
A= Dq,- D'q,
....... ('1')
Sustituyendo los valores de (p) en ('1')
48=2q,-4q,
30 = 5q ,- 25q,
Al resolver el sistema se obtiene:
q,=36;q,=6
Dichos valores reemplazamos en
('1') y se tendrá:
A=36D-6D'
A=6D(6-D)
.;. .;.
•
x
Reemplazando (1) Y (2) en
Para x = 1:
.;. .;.
•
x
@
y
Si: (2x-3) * (5y+2) = 4xy Hallar: 7*17
RESOLUCiÓN:
Identificando valores tendremos:
(2x-3) * (5y+2) = 4xy
"--y-C' ~
17
:.2x-3=7
2x= 10
5y+2=17
5y= 15
IX=51
ly=31
Reemplazando: 7*17 = 4(5)(3) = 60 1
.... (3)
@ Si:a*b=3a+b;sia;,b
Para x = 2:
a*b=a+2b; sia<b
Hallar: (5*2) * (1*8)
RESOLUCiÓN:
Trabajando por partes:
(5*2)*(1*8)
.... (4)
Al resolver (3) y (4) se obtiene:
K,=l;K,=l
Reemplazando en ('1'):
"-r-"
1
S=x2 +x+-
x'
x'~ x2 • x·1
----=~->
1
x'+x+-, ;,3
x
:. I Sml" -
b
i % ii = 13# 12 =3(13)-4(12) =
.;..;.
=39-48=-91
(~):
S = 6K'+a = 6,25
3
b
ii) 3A2 =2(3)+3(2) =6+6= 12
.... (2)
Sabemos que por teoría de promedios: ma;, mg.
1
,--~
x2 +x+-
_1___5_
ii
7
·C·x'=K,~C=-,
S=4K1+8K,=8,75
De(I):~=...!Z...~~= 17-16
%
i
i) 2 A3 = 2(2)+3(3) = 4+9 = 13
B
K,
Si:aAb=2a+3b.
Además: x % y = 3x-4y
Hallar(2A3)%(3A2)
RESOLUCiÓN:
Trabajando lo que esta afectado por
el paréntesis:
(2A3) % (3Ll2)
~~
.,,=)(2= K ~ (A+B)=(x+x')K, .. (1)
3
(1)
@
Rp::-:-ta--:.8:-11
:. I D toma 2 valores I
K,
16
,x·p = :(P+2l, = (x+5)(p-8)
p
@
Haciendo queAsea cero:
0=6D(6-D)
Para lo cual: D=OyD=6
x'
'"--y--"
ii
i) 5*2 = 3(5)+2 = 17
a>b
ii) 1*8=1+2(8)=17
a<b
:. i*¡¡ i)17*17=3(17)+17=51+17=681
a=b
@ Se tiene que: a*b=3a+1;sia;,b
a*b=2b';sia<b
1Rpta. C 1
Calcular: E = 7* [y'2* va]
S;,3
1"7-:-"7"1
31
RESOLUCiÓN:
Operando de adentro hacia afuera:
~ 2*y'3 = 3(2)+1 =y7
1"1'
Entonces: E=7*y7=3(7)+1 =221
1'1r
@
@ p * q = 4p'-q
Hallar: (2*7)*(3*20)
RESOLUCiÓN:
Trabajando lo que esta entre parentesis:
(2*7) * (3*20)
"-r-"
i
~
ii
i) 2*7=4(2)'-7=16-7=9
.;. .;.
p
q
ii) 3*20=4(3)'-20=36-20=16
.;. .;.
p
q
Operando los resultados:
i * ii =9*16 =4(9)'-16
.;. .;. =324-16= 308 1
p
q
Si:m'¡'n=4m-3n
Además: 5'¡'x= 11
Hallar"x*
RESOLUCiÓN:
Operando como si tuviéramos valores numéricos:
5'¡' x = 4(5)-3x = 20-3x
.;. .;.
m n
Pero: 5'¡'x= 11
Por lo tanto: 20-3x = 11
3x=9
x=3
@ Si: ~ =5a'-1
@
=3b+1
Hallar~-®
RESOLUCiÓN:
Tomando: a = 5; b = 8
Tenemos:
[IJ = 5(5)-1 = 124
® = 3(8)+1 = 25
Entonces: [IJ - ® = 124-25 = 991
@ En la siguiente tabla:
,
abcde
acdeab
bdeabc
ceabcd
dabcde
ebcdea
1) Hallar si 'es cerrada
2) Hallar si 'es conmutativa
3) Hallarsi'esasociativa
4) Hallar el elemento neutro
5) Hallar los inversos de cada elemento
RESOLUCiÓN:
1) Para que una operación sea cerrada se debe cumplir que los valores que resulten de la operación
sean los mismos en que esta definida la operación. Por ejemplo en este
caso la operación' se define {a; b; c;
d; el y vemos que en las respuestas
solamente encontramos estos valores, no habiendo ningún valor que
sea distinto a estos por lo tanto se dice que * es cerrada.
2) Para que una operación sea conmutativa el orden de los operandos
no debe afectar el resultado final. Asf
a*b=b*a
tenga los valores en el mismo orden
que los que se va a operar. En el
ejercicio tendrfamos:
, a b c 'd e
a c d e a b
b d e a b c
c e a b c d
Id a b c d el
e
b c d ~ a
"d" es elemento neutro.
5) El inverso de un elemento es
aquel que operado con dicho elemento nos da como resultado el
elemento neutro. Para que exista
elemento inverso debe existir elemento neutro.
En el ejercicio como "d' es el elemento neutro, tenemos:
a* b=d => ·b· es el inverso de "a-<> b=a-1
b' a =d ~ "a' es el inverso de "b' <> a =b·'
c'c=d ~ "e' es el inverso de 'c' <> e=c·'
d' d=d ~ "d" es el inverso de "d' <> d=d·'
e e=d => ·c· es el inverso de -aY <> e= 9,1
a
b
c
d
e
c d e
d e a
e a b
a b c
b c d
a
b
c
d
e
b
c
d
e
a
Vemos que son simétricos ambos lados por lo tanto' es conmutativa.
3) Para que una operación sea asociativa se debe cumplir que se toma
de dos en dos en cualquier orden y el
resultado no debe variar. Asf:
a' (b'c) = (a'b)'c
~=~
a*a=d*c
'--y-' '--y-'
e = d
Vemos que se cumple. Generalmente cuando una operación es cerrada
y conmutativa es asociativa.
4) El elemento neutro es aquel elemento que al operar con cualquier
otro valor nos de como resultado este último. Ej.A'EN=A
Para encontrarlo buscamos la intersección entre la columna y la fila que
9
@
=4c-3
@ Si consideramos "a·"
como inverso
de "a" en la tabla adjunta.
Calcular: P = [(2-1'3-1)'4-1]-1
RESOLUCiÓN:
Trabajando de adentro hacia afuera
~
(1)= 4(1)-3 = 1
~
Hallar: (AS B) q (C SA)
A A
B B
C C
RESOLUCiÓN:
Operando:
A
.¡
S B
.¡
A
B
e
S
r¡;,
B
e
lA
B
A
B
el
A
A
B
e
e
B
B A
e
e ~ A
ASB=B
le
e
Al
e
CSA=C
(AS B) S (C SA) = B S C
ce
9
A
B
A
A
B C
e
B A
e
e
e ~
B9C=C
I
4
1
2
3
1
2
3
4
2
3
4
1
t.j.
2
5
3
20 5
5 20
2 23
3
23
50
Calcular: 253 t.j. 523
RESOLUCiÓN:
Operando: 2531'.j. 523
S
lB
Si:
2
5
3
B C
A C
C A
El resultado será la intersección de
los valores de ambos.
e
3
4
1
2
C
columna fila
B A
1
2
3
4
P=l·' =ll
@ Si Sesta definida en la tabla:
B
1 2 3 4
P = [(2·" 3·')·" 4-']-'
P = [(4 '3)-" 2]·1
P= [4.1'2]-1
P= (2 '2)-'
& = 3(3)-1 = 81
A
,
RESOLUCiÓN:
Hallando primero el elemento neutro
observamos que este es 3, asf tendremosque:
1 = 1-1; 4=2·'; 3 =3-'; 2 =4·'
Operando:
~ W=2(1)+1 =3
S
7
=
x=51
Hallar:~
~ =2b+1
• (1 *x)
Observamos que el único valor operad con 9 que nos de como resultado
esel7, por lo tanto:
l'x=7
Volvemos a hacer un análisis similar
y observamos que el único valor que
operando con 1 nos da 7 es 5, por lo
tanto:
@) Si: .&, =3a-1
d
Si se cumple en todos los casos es
conmutativa.
Pero en forma práctica se traza una
diagonal de izquierda a derecha y si
las cantidades que se encuentran en
ambos lados están distribuidos en
forma simétrica significa que la operación es conmutativa. Así tenemos:
*
abcde
~'''--y--'
jo
'--y-' '--y-'
d =
3 5 7 9
@Si: '
1 3 5 7 9 1
3 5 7 9 1 3
5 7 9 1 3 5
7 9 1 3 5 7
e 1 3 5 7 9
Hallar: "x" en: (3 '5)' (1 'x) =7'9
RESOLUCiÓN:
(3*5)'(1*x)=7'9
523 t.j. Se opera de abajo hacia arriba
253
3 t.j. 3 =50, se pone el "O' se lleva 5
5
5231'.j. 5 t.j. 2 =5, se opera ahora con
el5 que se lleva
253
5 t.j. 5 =20, se pone el "O' se lleva 2
O
2
523t.j. Se opera 2 t.j. 5 =5, se opera ahora
con el 2 que se lleva
253
5U2 =5
00
253t.j.
523
500
@ Si: 0
=a2 -9
[&]=a(a+6) Calcularelvalorde:
R=&+~ +[±]&
RESOLUCiÓN:
Si:
[!] =a-9
Perotambién:x*y=4
Por lo tanto: X2+y2 = 4
Entonces:
(x+1) * (y+1) = {x+1 )2 {y+1 )2
{x+1)*{y+1)=8
Por lo tanto: {x+1 )2+{y+1)2 = 8
x 2+2x+1 +y2+2y+1 = 8
Operando yordenando:
X2+y2+2x+2y = 6
'---r-'
4 +2x+2y=6
2{x+y)=2
Entonces: 1&.1=&2_9
Pero sabemos que:
1.&1= a{a+6) = a2+6a
Por lo tanto: &2_9 =a 2+6a
&2=a2+6a+9
&2= {a+3)2
&=a+3
Resolviendo: &'=3+3=6
~ =22-9=4-9=-5
\
[!] =42-9=16-9=7
Si:a8 #bb=bAa
x YAyx=2x+y
Calcular: (4# 1)+{3'8#224)
RESOLUCION:
Operando:4 #1 =1 A2
@
A 9
a8 #bb=b a
a8=318
bb=2 24
a8 = (32)9 bb = (2 3)'8
aO =9 9
bb=8 8
lL ft
x y Ayx=2x+y
x Y=8;
yX=9
xY=23
yX=3 2
Entonces:~ + ,(3'8~ 224),
@
7 = 111
Si: P#Q=3p2+4
Hallar. E = (5#{6#{7#{8# .... ))))
RESOLUCION:
Observamos que si: P#Q=3p2+4
El valor de "Q" no interviene en el resultado, por lo tanto:
E = E = (5#{6#{7#{8# ....
U'
P
»)))
v
'
Q
:. E=3(5)2+4=75+4=791
@
db = = {a+b)2
Entonces tenemos:
15.1-13 = {15+13)2= 282
12.1-13 = {12+13)2= 252
Reemplazando:
282-252
{28+25ll28-25I =
®
rn
Por lo tanto: 11 x2-111 = 12
W
Si:a*b=a2+b2
Además:x*y=4
(x+1)*{y+1)=8
Hallar. M = (x+2) * (y+2)
RESOLUCION:
Observamos que por definición del
operador.
%
3
[j]]
53
1
Si "x" es N, se define:
o =2x+5;
101 =x2+2
[!] = a
Hallar "a" en
RESOLUCION:
Por definición:
o =2x+5
~=20+5
rn
Pero:
~
=x2+x
Entonces: 20 +5=x2+2
I.:l x2-3
20 =x2-3
~ = -2Por lo tanto:
[!] = a
a 2 -3 =a
2
(9) Si:
1 y=31
+
[§J
56 = 7(8) = 7{7+1) =
Por lo tanto:
156= 12(13)= 12{12+1)=
Tenemos en la igualdad:
Ilx2-111 = 156= [j]]
Entonces: x2-1 =
x2-1 = 3
x2 =4
x=21
8 A 9 = 2(2)+3 = 7
4
[!D = n{n+1)
Pero: 12=3(4)=3{3+1)=
la=91Ib=81
Ix=21
RESOLUCION:
Por definición de sumatoria:
a.1-b = 1+3+5+7.... = {a+b)2
Si: @]=n 2+n
30 = 5(6) = 5{5+1) =
ly=21
3
'----y-----'
Impares=n2
Por lo tanto deduciremos que:
lL ft ft
lL
.
4
RESOLUCION:
Observamos que:
ft ft
Ahora:
SisecumPle:a.1-b=J+3+~+7 ..... ,
Hallar' (15.1-13)-{12.1-13)
Hallar ")(' en la siguiente expresión
six>O:
Ilx2-111 =156
x y Ayx=2x+y
x Y= 1;
yX=2'
1
(a+b) sumandos
4
lL lL ft ft
lL
@
M=4+4+9=161
aa#bb=bAa
a8 =4
bb= 1
bb=1'
a8 =2 2
Ahora: 1A2=2(1)+2=4
3'8#224 = 8
(7)517 = 7 Lo'7 5= 5
Nos piden:
M = (x+2)*{y+2) = (X+2)2+{y+2)2
M = x 2+4x+4+y2+4y+4
M = X2+y2+4{x+y)+8
'--T-' ~
Reemplazando:
R=6+{-5)+72=6-5+49=50 1
Ix=11
Sedefine{alb)2=c ... a=b
b>OAb,,1
Calcular: (7)('17)
RESOLUCION:
Por definición de logaritmo:
Si: Logba=c~b'=a
En el operador tenemos:
<alb> = c ... a = b'
:. <alb> = Logba
Operando:
Ix+y=11
&=-1+3=2
@
@
X*Y=X2 +y2
a*b={b*a)2a.b
Hallar: (5 * 7)*{7 * 5)
RESOLUCION:
Operando en la condición tenemos:
a*b={b*a)2a.b
Entonces: b* a = {a *b)2b.a
Reemplazando:
a * b = [{a * b)2b.aj2a.b
a * b = {a* b)4b2.a2.a.b
.
. 1 _ {a * b)4
RedUCiendo. a3 b3 - a * b
a2-3=2a
a 2-2a-3=0
a-3=O a+1 =0 (a-3){a+1) = O
a=3
a=-1
Rpta. correcta a = 3
(a E N)
a-3=O a+1 =0
a=3
a=-1
Rpta.correcta a=31
(a E N)
[a~r= {a * b)3
1
a*b=ab
1
1
Ahora operamos: 5 * 7 = 57 = 3s
* __1___1_
7 5 - 75 - 35
1
(5 * 7){7 * 5) = 3s
1 = ~I
• 3s
~
8
Si § = m2+m+1,hallareltérmino
independiente de@
A)2
8)3
C)-3
0)-5 E)-6
RESOLUCION:
@
= ~-2)+}) = {x-2)2+{x-2)+1
= (x2 -4x+4) + (x-2)+1
=x2 -3x+@
Se deduce que O = + (Adición)
Por lo tanto la respuesta:
t
Independiente
Si: 294
753
6 1 8
0,100,200,3
0,4 O 0,5 O 0,6
I Rpta_ B I
término
Calcular:
~
~+n+í
n+U-í
A)~
B)10 C)1! D)12 E)~
2
2
2
RESOLUCiÓN:
2+1+8
11
Rpta_ C
1+9-8
2
I
~
Si m* = m+
A)~
para m;«), hallar (2*)*
B)~
2
I
C) 25
4
5
D)~
E) 29
10
19
RESOLUCiÓN:
• 2* = 2+1/2 ~ 2* = 5/2
• (2*)* = (5/2)* = 5/2 + _1_ = 29/10
t
5/2
I
IRpta. El
+
par impar
x
par
par impar
par
impar impar par
par impar
par
• (L*24)*39=J*39=J*(7+4)=
~
=J.4=L
1
• [(L*24)*39]*100=L*Ó'+2)=
= L *2 = m
1
'---------i
[2~J· = XX
1
También [¡J4= mm y ¡"m
Sabiendo que: x O m =
C)-ª5
5
D)~
E} 0,9
5
RESOLUCiÓN:
Si:
[tr [[H]i=[1Jf~[1Jf=xx~x=1
!=
Formar:
!=
[[H]+=[tJ+~[tJ+= mx~m=t
.
5
6
1
3
1
2
5
6
S,xOm=-~-O-=-
IRpta. C I
bólizada por y. Se muestra algunas
de las operaciones:
18y12=6
15y40=5
32y20=4
21y56= ... .
13y7=1
44y132= ... .
Señalar la suma de los números
que completan la tabla.
A)15 B)16 C)17 D)18 E)19
RESOLUCiÓN:
El operador y representa el M.C.D.
de dos números. En consecuencia:
21y56=7 y 44y132=11
~ 7+11 = 18
,rR=-p-ta-.-=o:-\1
~
B)~
5
t
@ Se define en Q una operación sim-
Calcular: 0,100,200,3
0,400,500,6
A}~
I
'7
impar par impar
Si:
SeaF(x)=2F(x-l)Vxe;Z
¿Cuál de las siguientes afirmacionesestalsa, si F(O} = 1?
A) F(3) = F(l)' F(2)
B) F(l) = F(3)' F(2)
C) F(3) = F(4}+F(l}
D) F(2) = F(O} + F(l}
E} F(4} = [F(1)]4
RESOLUCiÓN:
F(O)= 1
F(l) = 2F(0) = 2(1) = 2
F(2) = 2F(1) = 2(2) = 4
F(3)= 2F(2) = 2(4) = 8
F(4) = 2F(3) = 2(8) = 16
A)8=2'4/
B)2=8+4/
C)8=16+2/ D)4=1 +2 ><
E)16=24/
Rpta. O
• L*24=L*Ó'+3)=L*3=J
(24 = + 3), esto es en 24 días han
pasado un número exacto de semanas y 3 días más, de modo que de L,
han pasado los días M, m y J.
impar
par
I
junto de días de la semana donde
cada día está representado por su
inicial. Definimos una operación de
Ax PI ..... A mediante la siguiente regia:
A. n = b, donde besel día de la semana n días posterior a a. Hallar el
resultado de la siguiente operación:
[(L*24).39]*100
A)L
B)M
C)m D)J E)S
RESOLUCiÓN:
par impar
par
I
@ Sea A = {D, L, M, m, J, V, S} el con-
RESOLUCiÓN:
x
0,6 =~
1,5 ;5=--:----:::-"1
Rpta.B
I
En el conjunto P ={par, impar}, la adición es una operación intema, puesto que al sumar dos elementos cualesquiera de P resulta un elemento
de P. Puedes verificarlo en la primera tabla. ¿Puedes completar la siguiente Tabla?
§
B) 100= 1000 (mód. 9)
C) 35 = 125 (mód. 5)
D)15=1 (mód. 7)
E)16=8(mód.5)
RESOLUCiÓN:
A)20=6+2 y 8=6+2~20=8(mOd.6)
B) 100=9+1 yl000=9+1~ 100= 1(mód.9)
C) 35 =5+0y 125 =5+0 ~35 = 125 (mOd. 5)
D)15=7+1 Y 1=7+1~15=1(mOd.7)
E)16=5+1 y 8=5+3~16,,8(m6d.5)
Para todo entero A, B Y para todo
entero positivo M, se define:
A=B(mód. M)<o>A= M+rI\B=M+r
De las siguientes afirmaciones indique la que es talsa.
A)20=8(mód.6)
I Rpta. El
m+n
.
353 S,m8.n=--,hallar258.24
@
m-n
A) 25 B) 24 C) 2
RESOLUCiÓN:
D) 49 E) 49/2
IRpta. O I
258.24 = 25+24 = 49
25-24
~
Para todo n e ;Z ; definimos la operación:
= 1-2+3-4+ .... -nsi n es par
= 1-2+3-4+ .... +n si n es impar
Hallar. ~ + 1100
A) 100 B)50 C)-50 D)O E) 199
RESOLUCiÓN:
• ~ = 1-2+3-4+ ... +97-98+99
'-r' '-r'
'--y--'
Di::
Di::
-, -,
-,
~~ =-1-1-1-... -1+99=-49+99=50
• 1100 =1-2+3-4+ ... +99-100=-50
'-r' '-r'
'----,----'
-, -,
-,
.-• ~ + 1100 = 50-50 = O Ir-:Rp::--ta.--:o:-"ll
@ En el conjunto de los enteros se define la operación:
o
~ =m<o>a'b=(a+b)+m
Siendom<a+bym eZ·
Hallar.~
A)25
B)12
C)13
D)6
E)10
El srmbolo (") en la parte superior
de un número se lee: "multiplo
de ... "
RESOLUCiÓN:
"
~= m<o>12x13= 12+13+m
156 = 25+m
"'--r-' "
25+6=25+m
L............I
'-.lm=61~~=6
IRpta.ol
156'
si0=~,caICUlar®si@=3
~
x+2
A)2 B) 1 C)~
RESOLUCiÓN: 2
D)~
4
E)~
6
® =.ill2 ....(1)
6
si0=~ ~
x+2
@=.W:2 .... (2)
4
G)=2
02 ....(3)
2
Para @ = 3 en (3): G)=
2~)
=3
Para G) = 3 en (2): @=
2~3)
= 3/2
Para ®= 3/2 en
(1):®=~=1/2
A)40 B)46 C)240 0)180 E)100
RESOLUCION:
• Cálculo de ~:
Múltiplos de 5 menores que 90
5; 10; 15; ....... ; 85
!Rpta. C 1
@ En el conjunto M = {1; 2; 3; 4} definimos una operación mediante la siguiente tabla:
+
1
2
3
4
1
2
3
1
4
2
3
4
2
1
3
4
2
3
2
0)3
@
• Cálculo de 11501:
5; 10; 15; ....... ; 145
,1.
@
9
(-9'Z)3+53= 134~(-9'Z)2--;.;9~_~
@
!RPta.cl
En el conjunto M = {a, b, c} definimos
la operación intema de MxM -> M
simbólicamente por.L La tabla de la
operación .L se muestra a continuación:
.L
a
b
c
a
a
b
c
b
b
e
a
c
c
a
b
x
x
M = __a.,-.L",[b=.LC",-]
[c.Lb].Lc
~--"--=-ª-~I
x-3
5
E)2
~=a.b+2
11 a.bll =Ja~b),+4
.j.
@
Por dato:
.j..j.
11 a.bll = x + 4
Poranalogia.
Se deduce: a.b = x
Oedonde: (a.b)la'bl=x
@
!Rpta. D 1
Para todo n E Z+, definimos Sen) como la cantidad de cifras que se necesita para escribir desde 1 hasta n.
Hallar S(300).
C)600
A) 900
B)720
0)741
E) 792
RESOLUCION:
S(300)~ 1;2; ... 9; 10; ... 99; 100; ... ;300
90110
201110
lJ
lJ
lJ
9cfs. 180cfs.
Un comprador va a tomar un lote de
tenreno con el frente a una calle; el 10te va a ser rectangular, yel triple de su
frente sumado al doble de su fon-do
va a ser 96 metros. ¿Cuál es el número máximo de metros cuadrados
que puede tomar? Oar como respuesta la suma de cifra.
A)14 B)15 C)16 0)13 E)12
RESOLUCION:
• 3x+2y=96
1+-- Y----+l
fx
3
y=2"(32-x) .... (1) •
EJ
Area=xy
• Area=xy
Area = x
[~ (32-X~ = ~ (32x-x2)
3
Area = 2" (256-256+32x-x2)
3
Area = 2" [256-(16-x)2] ....... (1)
603cfs.
Para que área sea máximo:
:. S(300)=9+180+603=,:.7..:9=-2_~
16-x=0~x=16
!Rpta. El
800stécniCOSAYBhanCObrad0512
soles y 200 soles respectivamente,
habiendo reparado B tres computaM=a.La=~
1 Rpta. A 1
a.Lc
c
dores menos queA. Oespués se les
contrató de nuevo, de modo que A
Si Z:;+definimos [ij] como el número
reparó las máquinas reparadas por
de múltiplos positivos de 5 menores
B en la vez anterior y B reparó las
quen.
de A, cobrando esta vez ambos la
Hallar 1901+ 11501
misma suma.¿ Cuánto cobran estos
!Rpta. B 1
2y=96-3x
'---y---' '---y---' '---y---'
9#s
x=81
:. Acobra512+8=64solesporcada una yB, 200+5=40soles.
1a.b+21 = a.b+2+2
¿Cuál es el resultado
de la expresión
M a.L[b.L(c.La)]
[(c.La ).Lb].Lc
RESOLUCION:
M a.L[b.L(c.La)]
[(c.La).Lb].Lc
@
Si Ila.bll=x+4
0= x+2 Se sabe que 11 a.b 11 = x+4
'--y--'
E)~
tonces 200. x. Puesto que esta vez
x-3
ambos cobraron lo mismo, entonces:
512
200x
X2
64
(x-3) = (x-3) ~ (x-3)2 = 25
!
Si Ix-ll=x+l ~ IX-ll=(x-l)+2
'--y--'
Six3 D yZ=XZ+y3, hallarzen:
zD25=134.(Zell'l+)
A)3
B)9
C)27 O) ~
RESOLUCION:
3
ZD25=134
,-9'Z)~ D 5~ = 134
~IZ=271
x
mientras que B reparó Y' y cobró en-
Además: Ix-ll=x+l
Calcular: (a.b)la'bl
1
A)x B)x2 C)" O)XX
RESOLUCION:
!Rpta.EI
A.aA. =
Aa A. = {5; 6}
:. (A,aA.) n (A.nA.) =
={4;5}n{5;6}={5}
!Rpta.EI
@
paró (x-3), entonces cobró 512 (x-3);
:. 1901 + 1150 1= 17+29 =~4:!:6----,0""I
Rpta.B 1
A3aA. =
A. A3 = {4; 5}
A.aA.= (A.uA.)-(A.nA.)
'--y--'
,1.
~ 11501=29
Para los conjuntos A, ={1}, Az = {1;
2},A= {1; 2; 3},A.= {1; 2; 3; 4}, .... , se
define la operación AaB = (AuB) (AnB). Hallar: (A3aA.) n (A.aA.)
A){l; 2; 3; 4; 5; 6}
B){2; 3; 4; 5; 6}
C){4; 5; 6}
0){4; 5}
E){5}
RESOLUCION:
A3aA. = (A3UA.) - (A3nA.)
'--y--'
.j.,1.
1x5 2x5 3x5, ..... , 29x5 ~ 29#s
+'--¡"""'
~
,1.
~~=17
E)4
E =!!.t~+[3+i4tl »)
E= 3 + [3+4]
E= 3
.j.,1.
lx5 2x5 3x5, ..... , 17x5~17#S
4
1 Según esta tabla
1 calcular:
4 E = (1 +2)+[3+(4+1)]
3
A)4+4 B) 1
C)2
RESOLUCION:
E=
,1.
técnicos por la reparación de una
computadora?
A) 64 soles y 50 soles
B) 64 soles y 40 soles
C) 60 soles y 50 soles
O) 66 soles y 40 soles
E) 64 soles y 56 soles
RESOLUCION:
Sea "-;:" el número de computadoras
que reparó A, entonces B reparó
(x-3). A cobra por cada reparación
5121x y B, 200/(x-3). Al otro díaA re-
3
~En(1):Area=2"(256) r-=---,-.
=384m 2
@
!Rpta.A 1
Una mujer compró cierto número de
naranjas por 12 soles. Al día siguiente le han dado 10 naranjas más por la
misma cantidad, con lo cual le ha resultado 20 céntimos más barata cada
naranja. ¿Cuántas naranjas compró
el primer dia y cuál fue el precio de
cada una?
A)15y40soles
B)30yO,40soles
C)20yO,60soles 0)24yO,50soles
E) 10y 1,20 soles
RESOLUCION:
Sea "-;:" el número de naranjas que
compró el primer día, entonces el
precio de cada unaes 121x, al otro día
le han dado (x+l0) naranjas por 12
"Un kg de café costó 8 soles más
que un kg de té':
soles, entonces el precio es ahora
12/(x+l0), éste es 20 céntimos
(0,20) más barato. Luego:
J1.-~=020
8400 _ 7200 = 8~ 1050 _ 900 =
x
x+60
x
x+60 1
12(x+l0)-I2x=~
1050(x+60)-900x = x(x+60)
1050x60 = x(x-90) ~ 300x21 O=
x
x+l0
'
20 30 = (+10)
5 ~ x
xx
x(x+l0)
I
x = 20 ~ Precio = 12+20
= 0,60 soles
Rpta.
e
@ El mago extrajo una cinta de tres colores muy larga -comento MariaCuando sacó la parte de color verde
faltaba salir los 3/5 de la cinta y comenzó a salir la parte azul, tenminando este color ya habla exlraldo 66 m
de cinta y empezó el tramo rojo que
tenia 8 m más que la parte azul.
¿Será posible calcular la longitud de
la cinta? En caso de sí, indica~o.
A)90m
B)85m
C)95m
0)98m
E)100m
RESOLUCION:
1 x=300 1
= x(x-90)
I
,', Precio de 1 kg de café
8400+300 = 28 soles [Rpta. B I
@ Un comerciante compró tres televi-
En(I): y=26
.'. x+2y+8 = 40+2(26)+8 [
[
=100m
Rpta. E
sores de distintos precios. El primero lo vendió ganando 120 soles; el
segundo, 140 soles yel lercero, 150
soles. Las ventas de los dos últimos
le alcanza para comprar tres de los
del primer tipo. Tendrla que vender
3 televisores del segundo tipo para
ganar el doble de lo que cuesta uno
del primer tipo. ¿Cuánto gastó en la
compra de los tres televisores?
A) 340 soles
B)480soles
C) 550 soles
O) 690 soles
E) 630 soles
RESOLUCION:
• Vendiendo 3 televisores del segundo tipo ganaria 3x140 = 420
soles. Esta ganancia equivale al
doble de lo que costó el primero,
esto implica que el primero costó420+2=210soles.
"La venta de los últimos alcanza
para comprar tres de los del primertipo".
Si "x" es el costo del segundo e 'Y el
del tercero, entonces:
(x+140)+(y+150) = 3(210)
x+y=340
.', Los tres costaron:
210+x+y = 210+340 = 550 soles
@ Para comprar una chompa me falta
1 I Rpta, cl
VERDE
AZUL
ROJO
,----¿---,~
I I I I I I
\,
.1
v
66m
Oe la figura:
• x+y=66 ................... (I)
x
y+(y+8)
· 2=
3
3x=4y+16 .................. (2)
(l)x4+(2)
7x+4y = 66x4+4y+16
7x=280~ I x=40 I
"a" soles y para comprar una casaca
me falta "b" soles. ¿Cuánto dinero
tengo, sabiendo que 4 chompas
cuestan tanto como 3 casacas?
A) 44-3b
B)3b-4a
C)3a+4b
O) 12ab
E)7ab
RESOLUCION:
• Si "x" representa el dinero que tengo, una chompa cuesta (x+a) y
una casaca, (x+b).
• "4 chompas cuestan tanto como 3
casacas": 4(x+a) = 3(x+b)
4x+4a = 3x+3b ~
~
~
1 x=3b4a 1
IRpta. B I
Un exportador compró café por 8400
soles y té por 7200 soles, habiendo
comprado 60 kg más de té que de
café. ¿Cuánto pago por el kg de café
si un kilogramo de café importó 8 soles más que un kilogramo deté?
A)20soles B)28soles C)36soles
O) 24 soles
E)26 soles
RESOLUCION:
# do kg. Impor1o Prado porkg
x
8400
8400lx
I Gafé
I
Té
x<tiO
7200
7200(x+60)
L
@
En un concurso de matemática que
tiene 40 preguntas, por cada respuesta acertada se asigna tres puntos y por cada equivocación se
asigna un punto en contra. Si uno
de los concursantes obtuvo 100
puntos habiendo respondido todas
las preguntas. ¿Cuántas preguntas
respondió equivocadamente?
A)15 B)12 C)10 0)8 E)5
RESOLUCION:
Respuestas equivocadas: x
Respuestas conrectas: (40-x)
Oel dato: 3(40-x)-x = 100
120-3x-x= 100
20=4x~ 1 x=51
I Rpta. E I
@ Un grupo de niños está Ionmado de
modo que hay tantos niños por columnas como filas. Para fonmar con
un niño más por columna y un niño
más por fila, harian falta 13 niños.
¿Cuántos son los niños?
A)9 B)16 C)25 0)36 E)49
RESOLUCION:
Sea "x" el número de niflos por fila
como por columna, luego, el núme-
ro de niños es X2. Para que haya
(x+l)2 hacen falta 13, entonces:
(x+l)2_x2= 13
2
x +2x+l-x2= 13
2x+l = 13
1 x=61
I Rpta. D I
~x2=36
@ Un ómnibus debió cubrir la rutaAB en
un detenminado tiempo; paro como el
chofer era nuevo recorrió todo el trayecto con una rapidez menor en 1/5
que la nonmal, llegando retrasado 4
horas respecto a la hora habitual.
¿En cuántas horas se cubre la ruta
normalmente?
A)8h B)16h C)14h 0)15h E)18h
RESOLUCION:
Sea "(" el tiempo en horas que debió utilizar yendo con una rapidez
de "v" km/h, entonces:
AB=vt ................... (I)
• Pero la rapidez fue de 4/5 v y el
tiempo (t+4), entonces:
4v
AB =""5 (t+4) ...... (2)
(1) = (2): vt =
~v
(t+4)
~ '1t-=-'-16--'1
I Rpta. B I
@ Se sabe que una manzana y una naranja cuestan 80 céntimos de sol entre las dos. Sabiendo que 6 naranjas
cuestan tanto como 4 manzanas.
¿Cuánto cuestan 15 manzanas?
A) 6 soles B) 6,4 soles C)7soles
0)7,20 soles
E) 8,4 soles
RESOLUCION:
Sean "x" e "y" los precios en céntimos de sol de una manzana y una
naranja respectivamente, entonces:x+y=80 .......... (I)
"6 naranjas cuestan tanto como 4
manzanas'.
6y= 4x
En (1)
"-=.1...C Y =2k }
x
3
x=3k
5k=80
Ik=161
• 15 manzanas cuestan:
15x= 15(3k) = 15'3'16
= 720 céntimos
I Rpta. D I
@ Ramiro llevó cierto número de caramelos al colegio; le obsequió a
Esme-ralda tanto como a Javier; de
los que le quedaban le regaló a
Carmen, quedándole el doble de lo
que reci-bieron Esmeralda y Canmen
juntas. Si hubiera traldo sólo la mitad
de los que trajo, tras obsequiarle a
Esme-ralda se hubiera quedado con
5 ca-ramelos. ¿Cuántos caramelos
llevó Ramiro?
A)5 B)10 C)12 0)14 E)15
RESOLUCION:
AEsmeralda: x
AJavier
:x
ACarmen :2
Le quedó
: 2(x+2)
~
Total
:4x+6
La mitad
: 2x+3
Condición: (2x+3)-x = 5
x=2
:. Llevó 4x+6 =
(Rpta. D
=4(2)+6= 14
@
A)30 B)80 C)70 D)78 E)87
RESOLUCION:
Sea "x' el número de participantes e
y el número die bancas. De los datos tanemos:
x=(y-4)3 ............... (l)
x=2y+16 ............... (2)
I
Una ama de casa compró cierto número de objetos por la suma de 120
soles. SI por cada objeto hubiera pagado 2 soles menos, habrfa comprado 3 objetos más por la misma suma.
¿Cuántos objetos compró?
A)8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 15
RESOLUCION:
" Sea "1<' el número de objetos comprados, entonces el precio de
cada objeto es 1201x.
" Comprando 3 objetos por la misma
suma, e! precio de cada uno resu~
ta 120/(x+3). Este precio, por dato,
es 2 soles menos que el anterior.
(1) = (2): (y-4)3 =2y+18=oy= 30
En (2):
x=2(30)+18=ox=76
Rpta. D
I
~
120 _ 120 =2
x
x+3
120(x+3)-120x = 2=>120"3 = 2x(x+3)
x(x+3)
=o 12"15 =x(x+3)
=oIX=121
(Rpta.cl
@
I
x
5
"4
x
#d.m.... = Id.anDO
(NIETO)
~
7 Veoes
J
7x
cm
(Rpta.A
@
el
Femando tiene en el bolsillo cierta
suma de dinero. Compra una lámpara y una cafetera, entonces le quedan tantos soles como costó la lámpara. Si quisiera comprar una caleteramás, lefaltarla 10 soles. ¿Cuánto costó la lámpara, sabiendo que si
hubiera obtenido una rebaja de 10
solas en cada objeto, sólo hubiera
gastado 48 soles?
A)39so1es B)29so1ies C)30soIes
D) 58 soles
E) 34 selles
RESOLUCION:
Lámpara: x x+l0=y ................ (1)
Cafetera: y =o(x-l 0)+(y-l0) = 48 ... (2)
Queda : x (1)+(2)
2x-l0=48 r-=-:-~
Ix=291
I Rpta.sl
@ Si los participantas en la reunión se
sienten de 3 en 3 sobrarían 4 bancas
an cambio si se sientan de 2 en 2,
quedarlan de pie 16 integrantes.
¿Cuántos son los participantes?
+
12x
=100
:. Edad (ABUELO) = 12(5) = 60 aI\os
(Rpta.cl
I
#deGallinas:9x }1.. . . #~Pa1"debe
#depatos :15x
..
+ # de Conejos: 20x
4 MCM(5,3) =15
=ISx
Total de Cabezas=44x = 176
x=4
# de galinas • de patos # de canijos
"
, 9x4=36
'
, .ISx460"
204'80'
x =
®}.~
t
~
120
I
x
x=5
"--r"
Luego: x+y= 120 ....... (1)
x-y = 2 ........... (2)
(1 )+(2):
r.::-:---:;,
2x= 122=ox=61m
Rpta.
+
por cada 5 patos y 4 conejos por cada
3 patos. SI en total se cuentan 176
cabezas ¿Cuál es el número total de
patas?
A)412
B)464
C)512
D)521
E) 544
RESOLUCION:
I x-321
(32)= 50
12 Veces
~~
+ EDAD
HUO + EDAD NIETO +EDAD ABUELO =100
16x+20x+25x = 122
16
61x = 122x16
4
(ABUELO)
lmes hno=12m....
25x
:..§. (! xJ = ~~
1dla
~
=> x+ "4 x+ """"16 = 122
Se compraron dos piezas de alambre que juntas miden 120 metros.
Cada pieza de alambre costó tantos
solas como metros tiene la pieza.
Una de ellas costó 240 soles más
que la otra. ¿Cuál es la longitud de la
pieza más grande?
A)58m
B)60m
C)61 m
D)62m
E)72m
RESOLUCION:
SI "x"' e y son las longitudes en m&Iros, los coatos sonx2e y2, donde:
x2-y'=240
(x+y)(x-y) = 240 =o x-y = 2
(NIETO)
@ En un corral se observan 3 gallinas
x
"4l"4
1semana =7dla.
I
5 (5 ~
I
Un abuelo, el hlJoye! nietotienenjuntos 100 allos. El abuelo dice: "Mi hijo
tiene tantas semanas corno mi nieto y
mi nieto tiene tantos meses como yo
ailos" la edad del abuelo es:
A)40 B)5O C)80 D)70 E)80
RESOLUcION:
'desemanas =.dedi..
(HIJO)
Aun alambre de 122 cm de longitud
se le ha hecho dos cortes. La longitud de cada trozo es Igual a la del inmediato antarlor más 1/4 de esta
longitud . ¿Cuál es la longitud del
trozo más grande?
A)50cm
B)60cm
C)62cm
D) 54 cm
E)48cm
RESOLUCION:
Cuando una cantidad es aumentada en su cuarta parte resulta los 5/4
de la cantidad original.
5
@
... ~y3
~r
36x® =72 6Ox® =12O 8Ox® =320
DONDE:
C¡ .. # de patas de cada animal
:. Total de patas:
I R ta
@
En un triángulo rectángulo el triple
del cateto menor excede en una
unidad al cateto mayor pero le falta
una unidad para ser Igual a la hipotenusa. ¿Cuál es la longitud del cateto mayor?
A)35 B)25 C)37 D)12 E)24
RESOLUCION:
Cateto
Menor
"a"
t3:
"c-
TEOD~
PITAGORAS
c2 = 82 +t>2
8
A;ll
JI •
eI
En una granja se tienen: palomas, loros y gallinas, sin contar las palomas
tenemos 6 aves, sin contar los loros
tenemos 9 aves y sin contar las gallinas tenemos 7 aves ¿Cuál es el número de palomas en dicha granja?
B)2
C)3
D)4
E)5
A)1
RESOLucION:
T
,-'-,
Je
+
SegOO,
# de Palomas =P ~ Todos-P =6
# de Loros = L + Todos-!. = 9 ...... +
# de Gallinas =G Todos-G = 7 ciado
Todos =T = P+L+G Y3T-P-L-G = 22
3T· (P+L+G) =22
"---.r--"
T
Cateto Mayor
"b"
Según el problema:
(Cateto menor)2 + (Cateto mayor)'
= (Hipotenusa)'
x2+(3_1)2 = (3x+1)2
x 2+9x2-6x+l = 9x2+6x+1
x'= 12x
X.X= 12x
x = 12 (Menor)
:. Mayor = 3( 12)-1 = 35 (-,(Rp::-:::ta-.
72+120+320 = 512
. . 2T=22
T= 11
Pero: T-P = 6
l1-P = 6
P = 5 (Palomas)
@
En un campeonato de ajedrez, donde
intarvienen 60 Jugadores, compitiendo cada uno die ellos una sola vez, se
observa que el número de ganade>res era Igual al número de empates
¿Cuántos jugadores perdieron?
RESOLUCION:
[""'_ganadorl
...-J
(110 0I1iiia)
hay ...
¡ooIo~
#de
x
hsbltantas p!lf penIOfla
# JugadOlllS ganadores: x ~
~ + # jugadOlllS perdadOlllS: x
# JugadOlllS empatados: x
x,
kIic:io
llaspiMs
+44
(.hora) x+44
Total de jugadores: 60=3x
20=x (perdedores)
Un estante puede guardar 24 libros
de RM y 20 libros de RVo 36 de RM y
15 de RV ¿Cuántos libros de RM
puede contener el estante?
RESOLUCION:
Les magnitudes son el ancho de:
~
11
. (RM)=... 24a(RM)
24 libros + .. 36a(RM)
36 libros +
• , libro
• , I'bro (RV)=b ~ 24 libros
I
~ 2Ob(RV)
151ibros
.. 15b(RV)
"Estante = x =,24a+20b = 368+15b,
v
20b-15b = 368-24a
5b = 12a
Pero lo que nos piden "y;'" en función
de "a" (RM)
+12
48
+12
(6()
+12 (
@
)-6
Rpta.: 72(RM)Y (Ninguno de RV)
@
I Rpta. D I
Elena paga por 2 pollos y 5 pavos un
total de 495 pesos. Si cada pavo
cuesta 15 pesos más que un pollo
¿Cuántos pesos cuestan un pollo y
un pavo juntos?
A)120
8)105
C)145
E)135
D)95
RESOLUCION:
Gas'"
Total en:
PoIoo
x ,
x
- +--{+15} t - - ----t----{ +
x+15 5(x+15) -
"""" x+15
@ A los habitantes de un pueblo le ce>rresponde 60 litros de agua diarios,
al aumentar la población en 4 hab~
1Rpta. El
Con S/.I6464 se han comprado latas de sardinas, en cierto número
de cajones, cada uno de los cuales
contiene un número de latas triples
de cajones. Ceda lata de sardinas,
cuesta un número de soles doble
del número de cajones. ¿Cuántas
son latas de sardinas?
A) 14 8)438 C)588 D)42 E) 196
RESOLUCION:
Dato:
Preguntando a un alumno porsu nota
en un examen responde: si cuadruplico mi nota y resto 40 tendría lo que
me hace falta para obtener 20. ¿Qué
nota tiene?
A)12 8)14 C)17 D)16 E)15
RESOLUCION:
SU
lo que ,.
noIa falta a "1:
I QSaaSUnota:x
pIII1I20
{
Cuadrupllcar.4xy
[~~~
A
Disminulren40:4x-40
lI--X.
K
l
Lo que lelalta para 20: 20-.
~
. . 4x-40= 20-x
lI----- 2O------i(
5x=60
x=12
[Rpta.A)
3
@
Lo que cobra y gasta un profesor suman 600 y están en la relación de 3 a
2. ¿En cuánto tiene que disminuir el
gasto para que dicha relación sea de
583?
A)16 8)24 C)32 D)15 E)20
RESOLUCION:
Luego dabe disminuir
el gasto en 'x":
( Cobra = 3k . . Cobra Gasta (después)
(+j Gasta = 2k
- S3
\. 600 = 5k
(Enunciado al fin8J)
120 = k
31(20) 2(12O)-x
S
8
I
En un banquete, hablan sentados 8
invitados en cada mesa, luego se Irajeron 4 mesas más y entonces se
sentaron 6 Invitados en cada mesa.
¿Cuántos invitados hablan?
A)32 8)64 C)36 D)21 E)96
RESOLUCION:
(110_.)
#de
personas
por me..
IIitio
~} 2x}[1tJx(deto:~J=(=J
([n5o] '2x, ~
I
@
Deopués 0+4
8
6
Total
de
Invitados:
8n "
6(n+4)t
"8n=6(n+4)
8n=6n+24
2n=24
n=12
:. Total de Invitados: 8n = 96 [Rpta. E
= 6x'
Pero el Costo Total = 16464
. . 6x'= 16464
x'=2744
x=14
:. Total de Latas
3x'= 3(14)'= 588
Rpta. C
3
3x360 = 5(240-x)
lOBO = 1200-5x
5x= 1200-1080
5x= 120
x=24
[Rpta. B
/rC:~n~sl=x
}r!1~Jx~a~~;O~JT~~~
~
l nes) l: caJon) U_tas)
~[~:~J= 3x 7, '3x = 3x'
. . Gasto Total = 495
'"'1
IRpta.B I
@
~~
ilIaI
,2x+5(X+1:-:S:-)--4:::9~5'
2x+5x+ 75 = 495
7x=420
x = 60 (Precio 1 pollo)
. . 60+ 15 = 75 (Precio 1 pavo)
Rpta.: 60+75 = 135
R':-P-'-ta-:.E=->I
58(x+44) T
La hierba crece en el prado con
Igual rapidez y espesura, se sabe
que 60 vacas se la comerlan en 25
dlas y 40 en 45 dlas ¿Cuántas vacas se comerlan toda la hierba en
75dlas?
RESOLUCION:
'devaeas fJIt.dlIl TotaJde hiefba
1+25C
60
25
1+45C
40
45
1+75C
x
75
I : Hierba Inicial
C: Crecimiento diario
Hierba consumida en 1 dla por una
Reempl828ndo:
. . x=3O
5 )-6
~
58
1+25C
1+45C 1+75C
60x25 = 40x45 = 75)(
BM .B'l
20} Disminuye
15
en "15"
10)-6
6Ox"!PI)
-2
vaca:
. . x = 24a+20b = 24a+5>s..5b)
x=24a+4xI2a----r=
--,--=-x = 72a (RM)
1Rpta. D I
Otro método:
Aumenta {24
en "12" (36
Total
de agua:
60'
. . 6Ox= 58(+44)
x=1276(lnicio)
:. Ahora:
1276+44 = 1320
1Rpta. D I
~
RESOLUCtON:
Sea "y;'" el número:
. . 4x+x = 2x+3x (enunciado)
. . 5x = 5x (Igualdad)
Como la expresJ6n 5x = 5x es una
igualdad entonces se cumplirá para
1Rpta. E I
cualquier valor de "y;'".
tantes, a cada uno le conresponde 2
litros ¿Cuántos habltanlas tiene
ahora el pueblo?
RESOLUCION:
I
I
¿Cuál es el número cuyo cuádruplo
sumando al mismo el igual al doble
del número, más el triple del mismo?
8)3
C) 1/4
A)2
E) Todo valor
D)O,5
8
Son sistemas lineales:
{ { t
ax1+X,+X..x.=1
3x+4y=17; 2x1+X..X~; X1+ax,+x..x.=a
2x·Sy--4 x,-2x,+x....S x,+x,+ax..x..=a'
Un sistema. con m ecuaciones lineales y n variables o incógnitas. tiene la
siguiente forma general:
= h1
8nXn+812X;2+813X3+ ••• +81nXn
a21X1+a22X~a23Xa+ ... +a2nXn = h2
a31X1+a32X~a33Xg+ ... +a3nXn = h3
{
a~1X1+am2Xz+-am3Xa+
••• +amnXn=
~m
donde Xi; X;Z; X3; ... ; Xn son las variables o incógnitas del sistema.
ay(Vi = 1;m. j = 1;n) son los coeficientes.
y: h,; h2; h,; ... ; h".,; son los términos
independientes en cada ecuación.
8
1-41
[A:H]=
z=2
[~ j -~
I
ó
i]
x-2y+z=7
3x-y-z=8
2x+y =5
Usando la matriz ampliada:
=[~ =~ -~ ~]-[6 -~ ll-~J1
210505-2-9J
O 5 -2
3
1 0-5
4
O
5
O 5 1
-9
9
5
13
5
2
3!, 9
1 -2 __
5 i 5
4 i 13 O 1 -5 i-s
O 5
-[~
2
1
4
O O i 3]
1 O 1-1
O 1! 2
Esta última matriz nos da la solución
del sistema: x = 3; Y = -1; z = 2 (para
lo cual. lea cada fila como si fuese
una ecuación del sistema).
@§) Resolverel sistema:
{
Xi +X2+X3+X4= O
X1+X2+Xa-X4=4
X1+X2-X3+X4=-4
X1-X2+X3+X4=2
De la matriz ampliada:
[A:H]
.
=[~ ~ ~ -~ ~]1 1 -1 1 -4
1 -1 1 1 2
El sistema lineal:A.x = O
0010200102
0001-20001-2
Es homogéneo, es decir, cuando la
matriz de los términos independientes H es nula (H = O). Siendo el sistema de n incógnitas. es fácil deducir
que la matriz de coeficientes A y la
matriz ampliada [A : O] tienen la misma caracteristica y por lo tanto el sistema siempre es compatible.
Luego: x, = 1; x2=-1; x,=2;x.=-2
SISTEMA LINEAL NO
HOMOGENEO
X,+2X2+3x,=0
@ Resolver: { 2x,+ X2 +3x, = O
3X1+2X2+ X3=O
Usando solamente la matriz de coeficientesA:
A=
1 1-1i1]f2-2f,[1 1-1i1]
[A:H]= 2 1 1 i O 2 -1 3i-2
[ 3 2 O i 1 fa-3f, O -1 3 i-2
@ Resolverelsistema: {
-
_[6 ~ 66-~]_[6 ~ ~ L~]
{x,+ X2-X, = 1
2x1+ X2+X3=O
3x,+2x2
=1
Usando la matriz ampliada:
Dos sistemas lineales. exactamente
con las mismas incógnitas. se dice
que son equivalentes si y sólo si la
solución de una es también la solución de la otra.
-[~ -~ -~ ~l-
SISTEMA LINEAL HOMOGENEO
@ Resolver:
SISTEMAS EQUIVALENTES
[A:H]
00-20-400-20
0-2002000-2
El sistema lineal: A.X = H; H '" O es
no homogéneo; es decir cuando la
matriz de los términos independientes H no es nula.
2X+Y-3Z=7
Para el sistema: y+2z=5
{ x-4y+z=2
su representación será:
[~ ~ -~]. [~] =[~]
-[6 66-~ ~]_ [6 -~ 66-4~4]
O.x, + 0.X2+ O.x,= 9. es una ecuación
que no tiene sentido. no se satisface
para ningúnX={x,; X2;X,}.
[~ 1 ~] ;:~;: [~ ~ =1]
-tf2[1 2 3]f'-2f2[1
O 1 1
O
f, O 1 2 fa-f2 O
-+
1
1 -111] f,-f2 [1 O 2 1- ]
(-1)f2[101-3,2
01-3,2
O -1 3 i-2 f,+f2 O O O i O
de donde la característica es r = 3 Y
también n = 3. luego el sistema tiene
solución única. la trivial:
De ésta última. A y [A: H] tienen la
misma caraclerlstica r = 2 y además
n = 3 (tres variables). entonces el
X1=X2=X3=O.
REGLA DE CRAMER
sistema tiene infinitas soluciones
Dado el sistema lineal no homogéneo de n ecuaciones y n incógnitas:
A.x=H
(6.9)
Es decir. Aes una matriz cuadrada de
orden n; la condición necesaria y suficiente para que dicho sistema tenga
solución única es queAsea de caraoterrstica r = n. es decir: I Al'" o. y la
solución del sistema esta dada por:
(r < n) con n - r = 1 variable arbitraria
También, de las dos primeras filas,
obtenemos que:
x,+2x,=-1; x2-3x, = 2;
haciendox,=a. resulta:
x,=-2a-1 y x2=3a+2
Luego la solución general del sistemaes:
x= [x,; X2; xa]'= [-2a-1; 3a+2; a]'
X1+ X2+X3
=4
x -.l.&l·x _IA21.
,- IAI • 2- IAI •
@ Resolver: { 2x, +5X2-2x, = 3
x,+7x2-7x,=5
Con la matriz ampliada:
1 5
1 -2
114]f2-2f,[1
1 11]
[A:H]= 2
3
2 31 -4
-5
[ 1 7 -7 5 f,-f, O 6 -8 1
1
l!, [:
1
4
5
6 -8
7
3
4
fa-6f2 O 1
5
O O O
f,-f2
1 O
-¡1
.X _IA,I . . X _IA,I
. '-IAT····· '-IAT
4X1- X2+ 2X3+ X4=O
2x,+3x2- x,-2x.=O
7X2- 4x,- 5x. = O
2x,-11x2+ 7x,+8x.= O
Con la matriz de coeficientes:
@ Resolver: {
4 -1 2 1]
[
2 3-1 -2]
4 -1 2 1
[2 -11 7 8
= 2 3 -1 -2
A
O 7-4-5
2 -11 7 8
17
3
5
3
9
De donde se observa que la caraoteristica de la matriz de coeficientes
A en 2 y la característica de la matriz ampliada [A: H] es 3; en consecuencia el sistema no tiene solución
(es INCOMPATIBLE). De la última
fila se desprende que:
(6.10)
f'2
- O 7-4-5
,
1 - -- -1
1 - -- -1
2 2
fz-4f,
2 2
3
1
.
[
4 -1 2 1
O3
-7 1
4 5]
- [ O 7 -4 -5 f.-2f, O 7 -4 -5
O -14 8 10
2 -11 7 8
,f,
3 1
5 1
- -- -1
l, 1 O
2 2
14 14
5 1,-71,
4 5
-,1, O 1 -4- - O 1 ---7 7
7 7
O 7 -4 -5 1.+141, O O O O
O -14 8 10
O O O O
Resolviendo:
1+2+3+....................+@
I,-t
,
De aquí, la característica de Aes r =
2y n =4; entonces, como r< n, el sistema tiene infinitas soluciones. Además el sistema tiene n - r = 4 - 2 = 2
variables aribitrarias. Luego, de la
matriz equivalente aA, se tiene que:
5
Si:
~
~
1
v
númerodenabJralH
~n
donde:
4
1+3+5+ ............. +49
RESOLUCiÓN:
S=1+3+5+ ...............+@
5
Qn=5])
n= 25
4x1+x2+4x3=-2
,------->-----.
20+21+22+ .......... +49
RESOLUCiÓN:
Vemos que para hallar la suma pedida no podemos usar la lórmula de
suma de números naturales puesto
que no empieza en el número 1; por
lo cual le aumentaremos al principio
la suma del 1 al 19 y si le restaremos lo mismo para que no varie el
resultado.AsI:
~+20+21+22+ ... .
se suma
... +49-(1+2+3+ ... +19)
Como lA I '" O, el sistema tiene soluciónúnica.
~ -~1 ~ 1=6;
Luego: IA,I = 1
-2
1=12;
820
= 100
®
1_1..
2
a
a
Por lo tanto en la suma anterior:
S = 512+256+128+64+ ..... +00
S = 2(512) = 10241
2
@ Hallar:
1
1
1
1
P=4+-¡2+-¡2+ 4' + ...... 00
1'+2'+3'+ ............. +30'
RESOLUCiÓN:
S=l'+2'+3'+ ............ +@
=
5
S
30(31 )(61)
6
@!)
RESOLUCiÓN:
Aplicando la propiedad tendremos:
1
1
P 4-1 3
~n'
n'=30'
vV'-J'-J
3 3 3
(3xl +1 )+(3x2+1 )+(3x3+1)+ ....
.... +(3x14+1)
S=[~1)J:210'=44100 1
1x2+2x3+3x4+ ..... +20x21
RESOLUCiÓN:
1
4+7+10+13+ ....... +43
RESOLUCiÓN:
Observamos que varlan de 3 en 3 por
lo tanto sera de la 10rmaAx+B
4+7+10+13+ ....... +43
Hallar: 13+23+3 3+ ............. +30 3
RESOLUCiÓN:
S=13+23+3 3+......... +@
n3=20 3
~2n-l
@9) Hallar:
=
@ Sintetizaren lorma de sumatoria:
~=2Q)
Hallar: 1+2+3+ .................. +79
RESOLUCiÓN:
I
---+
2
1-2
10
@ Hallar:
IA31 -12
X3=IAT=a=-2
1
S=--1-=-1-=2a
49(50) _ 19(20)
1225 - 190 = 10351
1
2
a
a
a
S=a+"2+4+8+······ 00
(1+2+3+ .... +@}-(1+2+ ... +@)
.j.
.j.
n
n
~=3Q)
~
Hallar: 512+256+128+64+ ..... 00
RESOLUCiÓN:
Vemos que: r= 1/2; a=512
Por lo tanto tenemos dos sumas notables de números naturales:
-
=~
S=~=_1_=1024
se re...
2
=
512
"-------v-----
25
40(41)
--
1~0
40
Operando 1+2+;;0.. +
@ Hallar:
IAI=I~4 -~1 4~1=6;
-1 1 = -12;
-4
-2
Observe que A, se obtuvo de A
reemplazando su primera columna
por la de los términos independientes (H); A, al reemplazar la segunda
columna por H y A3 la tercera columna también por H.
IA,I
6
Entonces· x, = - - = - = 1
IAI
6
.
Suma de narurales In=40 I
S = (25)'= 625
Por la regla de Cramer:
IA'I=I~ ~ ~
IA31=1~ ~
Hallar: 0,01+0,02+0,03+ ...... +0,40
RESOLUCiÓN:
Escribiendo en forma de fracción:
1
2
3
40
-+-+-+ +100 100 100 ..... 100
1
X1+X2+2x3=-1
2x, -X,+2X3=-4
®
~2n-l
2n-1 =49
G= 2-D
{2}:5}~
@ Hallar:
~a
-.! b·.i.a+~b· a· bl '
14
4' 7
7"
'J
IA,I 12
X'=IAT=S=2
3+6+9+12+ ........ +72
RESOLUCiÓN:
Vemos que es igual a:
3xl +3x2+3x3+3x4+ ... +3x24
,3(1+2+3+..... +24),
S =45(46)=2070 1
x,= O, haciendo: X3= a
= 3080 1
@ Hallar:
~=4i>
Luego la solución general es:
@ Resolver: {
7srr = 3160 1
2n=90
x, = -14a --;¡¡-b yx,= 7a+7b
x= [-
~n
2+4+6+ ............. +90
RESOLUCiÓN:
Resolviendo:
2+4+6+ ....................+@
y x, = b resulta que:
5
7
20~x22
@ Hallar:
1
X3-
40
S = 79(7:+1)
x,+-;¡¡-x3+-;¡¡-x,=0 y
x,-
Cii=7~
Vemos que: 1x2+2x3+3x4+ ... +20x21
14
Por lo tanto sera:
~
x·,~ 3x+1
Sinletizarenlormadesumatoria:
2+5+10+17+ ............. +101
RESOLUCiÓN:
2+5+10+17+ ......... +101
U
\.....1\.....1
+3 +5 +7
\.....1\.....1
+2 +2
Vemos que como tiene 2 niveles es
de segundo grado su fónmula y será:
Ax'+Bx+C
(1'+1 )+(2'+1 )+(3'+1 )+ .... +(10'+1)
Entonces sera: 10
I:x'+l
x·,
@ Sintetizaren fonma de sumatoria:
lx3+2x4+3x5+ ...... +20x22
RESOLUCiÓN:
Dandole fonma:
lx3+2x4+3x5+.......+20x22
\.....1
'-..-J
\.....1 \.....1
+2 +2 +2
+2
1.(1 +2)+2.(2+2)+3.(3+2)+ ....
.... +20(20+2)
Por lo tanto:
2Il
I: x(x+2)
x·,
@ Hallar"R"si: R=2'+4'+6'+...+32'
8umadecuad-;dosln;;161
R =4
[16.~.33J = 59841
También podíamos sintetizaren forma de sumatoria:
x=1
@ Hallar"x",si:
1+2+3+5+7+ ........+x= 15625
RESOLUCiÓN:
Haciendo
x = 2n-l
,1+3+5+7+ .... +(2n-l ),= 15625
n'=(125)'
n=125
x=2n-l =2(125)-1 =2491
@)Si:
(x+l )+(x+2)+(x+3)+ ... +(x+40)= 1140
Calcular: P= 1+2+3+ .......+xx
RESOLUCiÓN:
Podemos escribir:
~+~=1140
4Osumand08
40 sumandos
2Il
4Ox+ 40(41) = 1140
X"'1l6)
x=1
= 5984
1
1
1
1
W = lx2 + 2x3 + 3x4 +... + 60x61
RESOLUCiÓN:
1
1 a+b
Cuando tenemos: - + -b =-b
a
IX=81
88~89) = 391 1
@ La suma de los "n" primeros números naturales es igual a 300.
Entonces "n" vale:
RESOLUCiÓN:
Planteando tenemos:
n(n+l) = 300
2
IT
t
t
1
b-a
i)= a.b
.
1
1 7+5 12
Por ejemplo: 5 + 7 = 5.7 = 35"
1
1
7-5
2
5-7= 5.7 =35"
In=241
Detenminar el valor de "S" si:
1
2
3
S = 10+ lO' + lO' +......0)
RESOLUCiÓN:
Multiplicando ambos valores por 10
(denominador del primer lánmino) tenemos:
lOS =J.Cl..+ 2(10) + 3(10) + 4(10) +
10
lO'
103
104 ...0)
Simplificando:
234
lOS = 1+ lO' + 1Q2+ 103 +....... 0)
Restando: 1OS-S
234
lOS = 1+
1O +1Q2+ 103 +.......0)
-S = __1__
10
Por lo tanto cuando tengamos en el
numerador la suma o diferencia de
los factores del denominador lo podemos descomponerasl:
3
1
lO'
O)
103 ...... .
9S = l+fo-+~+~+ .......,,:
v
suma geométrica. decreciente al a;J
4x7=4-7
9S = 1+1/9
9S = 10/9
S = 10/81
También veremos que:
1
234
S =-r +~+---;:a+f4 +....... 00
11
1
1
-=-+2x9 2
9
En el ejercicio podemos escribir:
1111111
W = 1--+---+---+ +-+22334···6061
Observamos que se eliminan todos
menos el primero y el último y nos
queda:
1
1
W= 1 - - + 60 61
@ Efectuar: E=(lx3)+(2x4)+(3x5)+
(4x6)+ ... +(22x24)
RESOLUCiÓN:
Sintetizando:
22
22
x=1
x=1
~ X' = 22x23x45 - 3795
6
x=1
2~X = 2 r22X23J = 506
x=1
..1... _--ª-+
1
x=1
44
n(n+l) =600
n(n+l) = 24x25
a-
22
4Ox+820 = 1140
40x= 320
x=320/40
P = 1+2+3+ ..... +88 =
a.
1
= 210' = 44100
1
@ Hallar el valor de "W' si:
I:X(X+2) = X'+2X= I:X'+2I:X
2
20X21J
F(,)+F(,¡+F(3)+F(4¡+ ... +F(2Il) = [ 2-
~(2x)'= ~4x'= 4~= 116.17.331 @
x=1
@ Sintetizaren fonma sumatoria:
2+8+18+32+ ........... +200
RESOLUCiÓN:
Veamos que es de la fonma:
2.1'+2.2'+2.3'+2.4'+ ....... +2.10'
Porlo tanto es: 10
I:2x'
En este tipo de problemas observaremos lo que se cumpla en cada fila o
columna según el problema, As!:
Filal: 1
91'
Fila2: 3+5=8
92 3
Fila3: 7+9+11 =27
933
Fila 4: 13+15+17+19=64 943
F(,¡+F(2¡+F(3¡+F(4)+ ... +F(20)= 13+23+33
+4'+ ... +20 3
RESOLUCiÓN:
Podemos descomponer así:
R = (1.2)'+(2.2)'+(3.2)'+ .... +(16.2)'
R = 1'.2'+2'.2'+3'.2'+.... +16'.2'
Factorizando:
R= 2~l'+2'+3'+ ..... +16't
l
2
E = 3795+506 = 43011
@ Se escriben los números en el orden mostrado:
Fila 1: 1
Fila2: 3,5
Fila3: 7,9; 11
Fila4: 13,15,17,19
¿Cuál es la suma de todos los números hasta la fila 20?
RESOLUCiÓN:
S=
r
[1-+]'
Por lo tanto:
1
S=
10
1
1
=~=....!Q...=1D.
r_...!..] , rJl.]'
l
L 10
Ll0
-ª1..
81
100
@ Hallar"W" si:
1
5
19
65
W=-¡¡+ 36+216+ 1269 +..... 0)
RESOLUCiÓN:
Descomponiendo:
19
65
1
5
W = - + - - + - - + - - + O)
2x3 4x9 8x27 16x81 ...
11111111
W= ---+---+---+---+ 00
2 3 4 9 8 27 16 81 ...
Agrupando:
+
w=.&+++t+~+ ...
,
[1
1
1
1
:1
-.[3+9+~+81+·"O»)
,~
W = 1-1/2 =1/21
@ Se agrega a 42 la suma de 25 núme-
Pierre lee·1 OO· páginas
Alexander lee: 10+20+30+... + 1On =
= 10(1+2+3+... +n)
10(1+2+3+ ... +n)= 100n
ros impares consecutivos. ¿En qué
cifra termina el resultado?
RESOLUCION:
Veamos que cada 5 números impares consecutivos:
.... 1+.... 3+ .... 5+ .... 7+ .... 9= .... 5
Si son 25 impares esto se repite 5
Mr[
100n
n+1 = - 5n
n+1=20
In=191
P = 100x19 = 1900
5( ... 1+ ... 3+ ... 5+ ... 7+ ... 9 = 5( ... 5)= ... 5
42+ .... 5= .... 7
Hallar"x" si:
x+(x+4 )+(x+8)+(x+12)+ ... +5x = 720
RESOLUCION:
Descomponiendo: 5x =4+4x
x+(x+4)+(x+8)+(x+12)+ ..........+(x+4x) = 720
Agrupando:
X+X+X+X+ ... +x+4+8+12+ ... +4x
,x+x+x~x+ ... +xt4(1 +2+3+ ... +x)=720
X
IT
@
t
1.0
áreas que se forman (incluyendo la
del primer cuadrado) al unirlos puntos medios de cada cuadrado.
A2
A2
A -A2+-+-+
2
4 ....... --
1/
S=2A2
¿Cuál fue el aumento porcentual
desde 1985a 1991?
A)4%
B)8%
C)50%
D) 125%
E) 200%
RESOLUCION:
El presupuesto creció desde 0.4 millones en 1985 a 0.9 millones en 1991
es decir aumentó en: 0,9 - 0.4 = 0.5
millones.
En porcentaje será:
1x=161
Dado que:
(1 +2+3+ ... +n)(2+4+6+ ... +2n)= 6050
Determinar: A= n2+n-1
RESOLUCION:
~1 +2+~+ m+nU2+4+6;m +2n~= 6050
[n(n+1)]
t
= 6050
0,5 xl00%=125%
0,4
[n(n+1 )]2 = 1200
[n(n+1])2= 1102
n(n+1)= 110
n(n+1)=10.11
IT
mejor estimado de las ventas anuales de dicha compañía?
A) S/.6'000.000
B) SI. 10'000.000
C)S/.35·000.000 D)S/.70·000.000
E) S/.300'000.000
RESOLUCION:
Para los meses fijos (según gráfico):
Enero:
SI. 4'000.000
Junio:
SI. 6'000.000
Agosto:
SI. 6'000.000
Noviembre: SI. 8'000.000
Diciembre: SI. 10'000.000
SI. 34'000.000
Febrero:
SI. 5'500.000
Marzo:
SI. 5'000.000
Abril:
SI. 7'000.000
Mayo:
SI. 5'750.000
Julio:
SI. 7'000.000
Octubre:
SI. 5'000.000
1 n=10 1
t
Un caño malogrado gotea un dia 63
gotas y cada día que transcurre a
partir de ese día gotea dos gotas menos que en el día anterior. ¿Cuántos
dlas goteará el caño y cuántas gotas
dará en total?
RESOLUCION:
Gotea: 63+61 +59+57+ ... +3+1
Osea: 1+3+ .... +61+
2n-1 =63
2n=64
In=321
@
~2n-1
~Totaldedías
Total de gotas = n 2= (32)2= 1024 1
@
I Rpta. D)
@ ¿Cuál de los siguientes montos es el
A= n2+n-1 = 102+10-1 = 1091
@
0.5
V
1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991
t
[n(n2+1~
I
El gráfico muestra el presupuesto de
una empresa durante los anos indicados:
Presupuesto anual (millones de soles)
@ Determinar la suma de las infinitas
720
(x+1 )+2x(x+1) = 720
3x(x+1) = 720
x(x+1) =240
x(x+1)= 15.16
@
r19~
2
AX(x+1)
I
A= 10(1+2+... +19)=10 l:-2-r 1900
(x+1)veces
(x+1 )x+
J
n(n +1) = 100n
2
5n(n+1) = 100n
veces
@
RESOLUCION:
Sumando los totales de boletos cobrados durante los años (6) pedidos.
En 1992: 300 millones
En 1993: 325 millones
En 1994: 350 millones
En 1995: 350 millones
En 1996: 325 millones
En 1997: 250 millones
Total
: 1900milones
Rpta. E
Pierre y Alexander leen una novela
de 3000 páginas. Pierre lee 100 páginas diarias y Alexander 10 páginas
el primer dia, 20 páginas el segundo
día, el tercer día y así sucesivamente. ¿Después de haber leído cuántas
páginas coincidirán?
RESOLUCION:
n = número de días que transcurren
~
El histograma muestra el transporte
público en el área metropolitana
450
400
350
300
250
200
150
100
50
o Subterráneo
O Tren el6ctrico
SI. 35'250.000
Las sumas parciales dan un "aproximado· para SI. 70·000.00,..0._ _....,
1992 1993 1994 1995 1996 1997
¿A cuántos millones de soles asciende el número total de boletos
sobrados desde 1992 hasta 1997
incluye?
A)41x10 2 B)13x10 2 C)13x10 2
D)17x10 2
E) 19x102
I Rpta. D)
@
El siguiente diagrama ha sido elaborado con las estaturas en centlmetros de un grupo de jóvenes.
f,
Para Miraflores y San Isidro, el número total de personas que votan
porAoBserá:
1000+630 = 1630
[ Rpta. B
6 ----------------------------------------
¿En qué ano se mantuvo la máxima
producción de los tres alimentos?
A)91 B)93 C)94 D)96 E)98
RESOLUCION:
Observando detenidamente los 'picoso de los gráficos vemos que el año
en cuestión es 1993.
[ Rpta. B
I
5
N° de personas
en miles
800
700
600
500
400
300
200
100
Estatura
(en cm)
120 130 140 150 160 170 160
Calcular cuántas personas tienen
estaturas entre 135cmy 165 cm_
A)26 B)6 C)8 D)10
E)12
RESOLUCION:
Llevando los datos a un cuadro de
distribución de frecuencias.
1,
O
3
4
3
2
6
2
,--i.,,.l..,,---L, ,---L,
I
130 1140
I
l'
150
160 1 170
~
x
~
;
-<l "'z-~~
TOKIO
FRANKFURT
NEWYORK
LIMA
MADRID
WASHINGTON
LLJ....L.J....L.JLLLLLL4
Combi
Microbús
Para Tokio: Si:
00
I
Para Madrid: Si:
¿Qué cantidad de personas de Miraflores y San Isidro votan porAo B?
A) 1545
B) 1630
C) 1730
D)1910
E) 1982
RESOLUCION:
Para el candidato A:
100%
x=630
200
165
100
65
95
155
=
=
!OO%}
81%
'
~~
~OO% }
=>x = 10x100% = 1176%
85
'
150
Para Washington' Si·
-100%}
=>x = 5x100% = 3 33%
85
'
~
~
I Rpta.: En Madrid I I Rpta. D I
In
95
96
97
®
98
¿En qué porcentaje del total representa lo consumido en 1995?
A)17,6%
B)19,2%
C)22,1%
D)23%
E)25%
RESOLUCION:
El total de miles de litros consumidos estará por la suma del consumo
parcial por año.
Esta suma será:
90+100+110+120+100 =520
Luego:
120, ¿qué porcentaje es de 5207
P%de520= 120
~x 520 = 120
P _ 100x120
=>
520
100
Candidato B
Total = 1800 personas
100%-2500}~x= 2500x35%
180
170
100
85
85
150
------------~
911
Candidato A
Total = 2500 personas
Para el candidato B:
1995
.. 5 -x
10
94
x= 1000
~~5
=>x = 15x100%
185
consumo de leche para determinados anos.
Milas de litros
20
@ De acuerdo al gráfico:
100% -2500}~x = 2500x40%
35% x
100%
1990
¿En cuál de las ciudades aumenta
más en porcentaje el costo de vida de
1990a 1995?
A) Tokio B) Frankfurt C) NewYork
D) Madrid
E) Washington
RESOLUCION:
.... x=2
x+y+3+2 = 10 [Rpta. D
x
~ ~ §
De acuerdo al cuadro sobre estado
de vida.
CUADRO DEL COSTO DE VIDA
<
@ El gráfico muestra la variación en el
170~160~y=~ .... y=3
35% -
~ _!!_fj§
li!- -z.¡¡
I
~
y
140~130 ~x= ~~
~ ~ ~
.~
li!' "z.¡¡
¿Cuál es la diferencia del total de
niños que viajan en microbús con
el total de adultos que viajan en
combi?
A) 150
B)200
C)300
E) 1000
D)400
RESOLUCION:
De los diagramas:
El total de ninos que viajan en microbús es 600.
El total de adultos que viajan en
combi es 400.
La diferencia es:
[Rpta.B
600-150 = 200
N =20
•
®
Taxi
f,
[120-130)
[130-140)
[140-150)
[150-160)
[160-170)
[170-180)
I
[Rpta.DI
:. P=23%
'441'
~
Ton.
Producción de alim ntos (millones)
701---~~~~~'----:'~
~~ ,! :! :!~..;·T·",,!
::
40
30
: :00::
i
7: ./
! V"]~i".. ]/1
ví7L.·... "·.l5( , '
00"'0"',-i,"'. . . . '--+,~,->i"H,-+!/-,lAzúcar
20 110 /,
-JI,
, , "
,
89 90 91 92 93 94 95 96 97 98
Anos
El gráfico muestra la asistencia para
verjugara 3 equipos.
Millones Asist.
Alianza
101-,-,--,--,-,-,--.,-.'T.-,-.--T--T--, -Lima
i i ! i !/]'
:
i '/\.l/¡ i
tI¡ l l U¡i~..itario
lA
l/, l/, l l i
V
!Xi/¡ . . . !/!./¡ ·.Ji;,· !
41/
,l'!
i \!
/!
!M~nicipal
3~'--+~~~~-+~~
l ~" l
l i
2
Afios
¡
i
!
!
!
!
!
!
¡i
1
7
6
5
.
80 8182 8384 85 86 8788 89 9 9192
¿Algún año dos de los equipos igualaron en cantidad de aficionados
asistentes para ver uno de sus encuentros deportivos?
A) 84
B)85
C)86
D)87
E) N.A.
RESOLUCION:
Se puede apreciar en la gráfica, que
ninguno de los 3 equipos, 2 a 2 igualaron su cantidad de aficionados.
[Rpta.
El
@ Los datos están en miles de dólares
RESOLUCION:
Ingresos
provenientes de:
Ingresos
revertidos de:
• Para 1987:
J.L x12 000000=204000
• Para 1988:
~x12
000000=204000
100
•
tOO
cipiente agregamos "n° litros de alccr
hol puro para elevar su pureza y en el
segundo recipiente agregamos "n" litros ele agua pera bajar su pureza .
Luego: enel primer recipiente:
'
A = Variación = 300000O - 240000
= 960000
@
IRpta. B I
El gráfico muestra la variación de la
temperatura en 3 ciudades del planeta:
25
20
15
10 /
i ¡
5.~~~~-L~~-L+
I
N"de
empleados
I
~==¡II
~
¡¡
10 20 35 40
60 70
¿Cuántos empleados ganan entre
5/.20 Y S/.50?
A)21 B)23 C)28 D)40 E)45
RESOLUCION:
Llevandolo a un histograma:
10
20
35
40
l5~J
Luego: 15+20+5=40
1987
gm
360+100n
Volumen
Pureza
valor
5
n
88
440
O
O
5+n
gm
440
I
80 ·- -·························
I¡
9+n
360
360+100n
440
=-9+n
5+n
Al restar los antecedentes y consecuentes se tiene:
360+100n
440
=
9+n
5+n
Slmpllflcandotenemos:
(5n-4)(n+5) =88 = l1x8
Igualando factores se tiene:
n=3
r--~
Rpta. E
Se debe agregar: n = 3 t
¿Entre qué horas las temperaturas
de las ciudades Ay B se mantuvieran constantes y en el mismo valor?
A)2pm,3pm
B)10am,3pm
C)9am,3pm
D)1 pm,3pm
E) N.A.
RESOLUCION:
Entre las 2 y 3 pm
Rpta.A
conTO =30·
cias absolutas acumuladas correspondientes al Ingreso diario (en soles) de cierto número de empleados.
l00n
Igualando (1) Y (2) por dato:
9.ml01112ml",,23 4 5 6 7
@ La ojiva mostrada Indica las frecuen-
valor
40
100
360+100n
....... (1)
9+n
En el segundo recipiente:
30
IRpta. D I
Pureza
9
n
De donde: gm =
T'
45
40
35
Los Ingresos revertidos a la investigación para cada rubro; (para los
anos 1985-1990). El rubro al cual le
fueron revertidos todos sus ingresos
por motivo de exportaciones para
ser usados en Investigación fue:
A) mlnerfa
B) otros
C) pesca
D)Agro-industrfa
E) Industrta manufacturera
RESOLUCION:
Por inspección de los dos gráficos,
observamos que esAgro-lndustria.
Volumen
60
I Rpta. D I
1988
De acuerdo a los gráficos. ¿En cuánto varia lo destinado a salarios del
ano 1987 al ano 1988?
A)Aumenta en 96000
B)Aumenta en 960000
C) Disminuye en 84000
D) Disminuye en 960000
E) No varia
@
Dos recipientes contienen 9 y 5 li-
tros de alcohol de 40' y 88' respectivamente, se agrega cierta cantidad de alcohol puro en uno e igual
cantidad ele agua en el otro, resultando alcoholes ele Igual grado en
ambos recipientes. ¿Cuántos litros
de agua o alcohol se agregaron a
los recipientes?
A)8t B)6t C)5t D)4t E)3t
RESOLUCION:
Grefiquemos los recipientes:
1')
~o'
2')
98'
De donde observamos que para
que tenga Igual pureza al primer re-
I
Un comerciante compra dos costales
de café de calidades diferentes, cada
uno pese 150 kg Y pagó por todo
SI. 630 mezcla de ta primera y la segunda en cantidades como 4 a 1 vendiendo esta mezcla a 5/.2,444 el kg .
Si gana en esta venta el 10%. Calcular la diferencia de precios de los costales.
A) SI. 42
8)5/. 63
C)S/.8
D) SI. 45
E) SI. 30
RESOLUCION:
Vamos a suponer que SI. a Y SI. bson
los precios de los Ingredientes por
Kilo por lo cual planteamos:
150(a+b) =630
a+b=4.20 ........... (1)
Como al mezclar en la proporción de
4 a 1 la primera y segunda, el precio
de venta es 2,244 con una ganancia
del 10%.
=:. Pm+l O%Pm = 2,244
Pm=2,04 ......... (2)
Además dicho precio medio se obtiene ele la regla ele mezcla directa.
Volumen
Pureza
Valor
4
1
a
b
4a
b
5
Pm= 2,04
4a+b
=:. 4a+b = 204
5
4a+b = 10,20 ............. (3)
Al resolver (1) Y (3) se obtiene:
a=2yb=2,20
,', Diferencia = 150(b-a) = 150(0,20)
=5/.30
!Rpta. El
Se mezclan 70 t de alcohol de 93"
con 50 t69%, a la mezcla se extrae
42 litros y se reemplaza por alcohol
de n°, resultando una mezcla que
contiene 28,8 litros de agua. Deter-
minar-n".
A) 69" B)65" C)80" D)35" E)63"
RESOLUCiÓN:
En la primera mezcla tenemos:
Volumen
Pureza
Valor
70<>7
50<>5
93-69=24
69-69=0
O
O
12
gm-69-?
168
168
~gm-69=12=14
gm= 83"
Los 120 ttienen una pureza de 83" si
retiramos 42 tel restante que es 78 t
tendrá la misma pureza es decir 83".
En la segunda los ingredientes son:
1") 78 tde 83" del cual
VOH puro = 83% (78 t) Y
VH20 = 17% (78)
2")42tde n" del cual
VOH puro = n% (42) y
VH20 = (1 OO-n)% (42)
Luego el volumen total de agua es:
17%(78) + (1 OO-n)% (42) = 28,8
17%(78)+420042n = 2880
,'. n =63"
I Rpta. El
En un recipiente hay 40 tde alcohol
de 60" del cual es extraído 10 t Y
reemplazado por agua, pero nuevamente se extrae 15 t de mezcla y
reemplazado por alcohol puro ¿Cuál
es el grado de la mezcla alcohólica
final?
A) 45"
B)65,625"
C)57,125"
D)71,25"
E) 55, 125"
RESOLUCiÓN:
Del enunciado notamos que el volumen total es 40 tluego tenemos:
1")AI extraer los 10 Lt. quedarán 30
Lt. De 60" que se va a mezclar
con 10 t de agua cuya pureza es
O". Ahora vamos a determinar la
pureza dela nueva mezcla.
Volumen
Pureza
Valor
30<>3
10<>1
60
O
180
O
4
- 180
gm4 -45"
-
180
La nueva mezcla es de 40 I de 45" de
pureza.
2")De la nueva mezcla al extraer los
15 tqueda 25 tde 45" que se va a
mezclar con 15 t de alcohol puro
de 100" de pureza.
Luego por regla de mezcla inversa:
Volumen
Pureza
Valor
25<>5
15<>3
4545=0
10045=55
O
165
gm 4 5-?
4
~
, 45
gm
165
165
=-¡¡-
g' m= 45 = 20,625
_-_ g'm= 65,625
!Rpta.B I
¿Qué porcentaje se ganó al vender
una mezcla de tres tipos de café: 50
Kilos de café 5/.42 el Kilo. 60 Kilos
de café de 5/.4,3 el Kilo y 20 Kilos
de café de 5/.4,8 el Kilo. Si en total
se obtuvo SI. 637,32.
B)10%
C)11%
A) 12%
D)13%
E)15%
RESOLUCiÓN:
Dalos:
Cantidad PrecloxKllo Gasto Parcial
50
5/.4,2 -+
5/.210
60
5/.4,3 -+
5/.258
20
SI. 96
SI. 4,8 -+
El costo total es:
SI. 564,00}(_)
Precio de venta es: 5/.637,32
La ganancia será: 5/.73,32
Ganancia es:
Del cual debemos hallar:
Pm' = a+b ....... (3)
2
De (1) Y (2) sumamos miembro a
miembro.
4a+4b = 224
a+b=56
Al reemplazar en (3) se tiene:
Pm'= a+b
2
=~=28
2
~--:-~
!RPta.CI
@ Se mezclan volúmenes de alcohol de
60",40" Y 30" obteniéndose un volumen de alcohol de 37.5". Si se sabe
que el volumen del alcohol de 60" es
la tercera parte del volumen de 40".
Hallar el porcentaje que representa el
volumen de alcohol de 30" del volumen total de la mezcla.
A) 60%
B)40%
C)50%
D)37,5%
E) 62,5%
RESOLUCiÓN:
Volumen
Pureza
Valor
n
3n
V
60-30=30
40-30=10
30-30=0
30n
30n
O
4
37,5-30=7,5
60n
7;é!2 x100%=13%delcoslo
!Rpta. D I
Se tiene dos sustancias A y B de
precios diferentes. Si de A se loma
el triple de lo que se loma de B el
precio de la mezcla es 24 soles
cada Kilogramo. ¿Cuál será el precio de la mezcla si las cantidades
mezcladas deAy B son iguales?
A)20 B)30 C)28 D)15 E)19
RESOLUCiÓN:
Sean a y b los precios por e/Kilo de
los ingredientes Ay B.
En la primera mezcla:
Volumen Precio
Sust.A
Sust.B
Valor
3
1
a
b
3a
b
4
P m=24
3a+b
De donde:
3a+b = 4"(24) = 96 ....... (1)
En la segunda mezcla:
Volumen Precio
Sust.A
Sust.B
1
3
4
a
b
Pm=34
Valor
a
3b
guientes condiciones:
Sust.A
Sust.B
~(4n+V)7,5=60n
4n+V=8n
V=4n
Siendo el volumen Iotal:
n+3n+V=8n
:. -"-x100% = 4n x100% = 50%
8n
8n
IRpta. el
@ Si se mezclan dos clases de frijol en
la proporción de 2 a 3 se vende ganado a18% pero si se mezclan en la proporción de 3 a 2 se vende ganando el
12%. Si el precio de venta en los dos
casos fue el mismo. Hallar la relación
entre los precios de costo de cada tipo de frijol.
A) 6/5
B)27/28
C)7/8
D) 11112
E) 2/3
RESOLUCiÓN:
Si "a" es el precio unitario del primer
ingrediente y"b" es el segundo precio
unitario del segundo ingrediente.
" En la primera mezcla:
Valor
1
1
a
b
a
b
2
Pm'= ?
a+b
Costo
Cantidades
Precios
2
3
a
b
3a
2b
5n
Pm,= 2a+3b
5
2a+3b
a+3b
Del cual:
a+3b = 4(32) = 128 ....... (2)
Nos piden una mezcla con las siVolumen Precio
Se cumple:
yel precio de venta es:
r
2a+3bJ
108oYo l 5 - ......... (a)
" En la segunda mezcla:
Parcial
• Para la segunda mezcla se tiene:
21 KlitrosdeS/.14ellitro
60 litros de SI. 1ge1litro
De donde: Pm'+20% Pm' = 20,4
Pm'=S/.17
21K:14_
..--2
17
60: 19 -3
Costo
CantIdades
Precios
3
2
a
b
3a
2b
5n
Pm2= 3a+2b
5
3a+2b
Parcial
Su precio de venta es: t 3a;2bj ...
Por 20
:. VTOTAL=21K=2x20=40Iitros
Por dato igualamos (a) y (p):
3a
3a
108%t ;2b} 112%t ;2bj
• a
27
@
IRpta.B I
@
I Rpta. B I
.. b =28
Se mezclan ingredientes de SI. 10 Y
SI. 20 precio unitario en la proporción de "a" a "b". Si se mezclan en la
proporción de b/a el precio unitario
resultante sería 50% mayor. Hallar
alb.
A) 1/4 B)4/1 C) 1/3 D)3 E) 1/5
RESOLUCION:
En la primera mezcla:
a:10_ pm ..--20-pm ...... (a)
b:20-Pm-10
--
a+b
10
En la segunda mezcla el precio medio es 50% mayor osea es 1,5 Pm.
a: 10_
..--20-1,5Pm .... (a)
Pm
b:20-1,5Pm-10
-a+b
10
De (a) y (~) notamos que el total
(a+b) es proporcional a 10, entonces
De (a) a es proporcional (20-Pm)
De (p) a es proporcional a (1,5 Pm10). Luego podemos afirmar que:
1,5 Pm-1 O= 20-Pm
2,5Pm=30
Pm=12
b
Pm-10
2
@
=
12-10
=8- -4-
Se mezcla café de S/.24, S/.36 y
S/.30 al tostarlos ocurre una merma
de 20% vendiendo el Kilo de café
tostado S/.53,2 con una ganancia
del 40%. Si del segundo
ingrediente hay 10Kg más que el
primero y a su vez es la tercera
parte del tercero. Hallar la cantidad
de café sin tostar.
A)150Kg B)140Kg C)132Kg
D)120Kg
E) 170 Kg
RESOLUCION:
Como el Kilo de café tostado se
vende en SI. 53.2 ganado el 40% se
tiene:
Pc+40%Pc=53,2
Pe = S/.38 el Kilo
Pero dicho precio por Kilo es después de la merma del 20% y para
hallar el precio por Kilo antes de la
merma, aplicamos la siguiente regladetres:
Peso
Precio
SI. 38
1 Kilo
0,80 Kilo
P
(D) 80
~P= 100 (38)=
Dicho precio es el precio medio antes de la merma, entonces por regla
AI reemplazaren (a) se tiene:
.. -ª- = 20-Pm = 20-12
I
t
(~)
IRpta. B I
Cantidades
Precios
Costos
n-10
n
3n
24-24=0
36-24=12
30-24=6
12n
18n
5n-10
30,4-24=6,4
30n
O
OJO: Hemos restado 24 para anu-
Se quiere llenar un tonel con tres clases devino de SI. 12, SI. 14yS/. 15
el litro y un litro de agua por cada 20
litros devino, y porcada litrodeS/.12
tres de S/.14 y 16 de S/.15. ¿Cuántos litros de dicha mezcla se deberán
tomar tal que al mezclarse con 62 t
de vino de S/.19 se obtenga una
mezcla que se vendió en S/.20,4 el
litro ganado un 2%?
Volumen
Precio
Valor
K<>1
3K<>3
16K<>16
K<>1
SI. 12
SI. 14
SI. 15
O
12
42
240
21K<>21
Pm=?
294
294
Del cual: Pm ="""21= S/.14
O
larel (n-10)
(5n-1 0)(6,4) = 30n
n=32
I
:. La cantidad inicial es: I R A
5n-10 = 150 Kilos
. pta. .
@
Se tiene alcohol de 15', 16'y18'de
pureza, cuantos litros habrá que
tomar de cada uno de ellos para obtener una mezcla de 36 Litros si
luego de esta mezcla se adiciona
alcohol puro y se obtuvo alcohol de
20,4' aumentando en 20' su pureza. Sabiendo que la relación inicial
entre el alcohol de 15' y 16' es como 2 a 3. Hallar la mayor diferencia
entre dos de sus volumenes.
A)17
B)12
C)9
D)21
E)15
RESOLUCION:
Sea g mla pureza de la mezcla antes
de agregar el alcohol puro.
Según dato:
gm+20%gm=20,4
gm= 17'
Además la mezcla inicial es 36 t de
los cuales:
VOH de 15'
2
=
VOH de 16'
3
De donde vamos a suponer que:
VOHde15'=2V
VOHde16'=3V
VOHde18'=36-5V
Luego por regla de mezcla directa:
Volumen
Pureza
Valor
2V
3V
36-5V
15-18= -3
16-18= -2
18-18 = O
-6V
-6V
36
17-18 =-1
-12V
2
=-1
3
~-
O
~V=3
Los volúmenes son: 6 t, 9 ty 15 t
:. La mayor diferencia es: Rpta C
9 Litros.
•
I
I
@9) Hace 6 años la edad de un Uo es 8 veces la de su sobrino; pero dentro de 4
años sólo será el triple.
Calcular la suma de sus edades.
A)56años B)48años C)64años
D) 52 años
E)42 años
RESOLUCION:
Hace 6 años las edades eran:
Edad del sobrino = x
= 8x
Edad del Uo
Haca &
1Iloo
AcIuII
DonIrodo
4lftOl
Tlo
8x
8x+6
8x+10
SOBRINO
x
x+6
x+10
+6
+4
Por condición del problema:
8x+10=3(x+10)
8x+10=3x+30
x=4
Edad delUo
= 8(4)+6 =38años
Edad del sobrino = 4+6 = 10 años
Suma de edades: 38+1 O= 48 años
IRpta. B I
@l) Él tiene la edad que ella tenía cuando
él ten ía la tercera parte de la edad
que ella tiene. Si ella tiene 18 años
más de lo que él tiene.
¿Cuántos años tiene ella?
A)54 B)36 C)45 D)63 E) N.A.
RESOLUCION:
Digamos que "ÉL" tiene: x años
entonces "ELLA" tiene: (x+18) años
Como el problema dice: "~L" tiene
la edad que ELLA tenía, entonces
ELLAtenia: xaños.
Pero en este mismo pasado, él tenia
la tercera parte de la edad que ELLA
A=3x
B=4x
C=5x
Colocando estos datos en el cuadro
que sigue obtenemos:
Pongamos estas edades en sus
respectivos casilleros, tal como se
muestra en el cuadro que sigue:
Tenl••
Tienes
~L
x+18
3
x
ELLA
x
x+18
Resolviendo:
x=36
Entonces ELLA tiene x+18 = 54 años
[RPta.A
I
@ Yo tengo el doble de tu edad, pero él
tiene el triple dela mia.
Si dentro de 6 años tú edad sumada
a la mía es 18 años menos que la
edad de él. ¿Qué edad tengo?
A)12anos B)14anos C)18anos
D) 24 años
E)16años
RESOLUCiÓN:
Edades actuales son:
EdaddeTU=x
Edad de YO = 2x
Edad de ~L = 3(2x) = 6x
YO
2x
2x+6
TU
x
x+6
~L
6x
y
C
21ftOl
Haca 18
3x
3x+2
3x+4
1Il00
4x
4x+2
4x+4
Luis
5x
5x+2
5x+4
Nino
De las dos primeras ecuaciones,
obtenemos:
6(3x+4) = 5(4x+4)
18x+24=20x+20
2x=4~x=2
Edad del mayor:
5x+2=12años
@ Las edades de 3 hermanos hace 2
años estaban en la misma relación
que: 3, 4 Y 5. Si dentro de 2 años serán como: 5, 6 Y7 ¿Qué edad tiene el
mayor?
A)8años B) 12años C) 14años
D) 18años
E)6años
RESOLUCiÓN:
Por dato, las edades hace 2 años
fueron:
-
HacaS
B
El
[ Rpta.B
I
Hace 5 años las edades A y B estaban en la relación 9:1. Actualmente
la relación es 5: 1 ¿Dentro de cuánto
tiempo la relación será 2: 1?
A) 25 años B)30años C)35años
D)20años
E) 27 años
RESOLUCiÓN:
Las edades de A y B hace 5 años
fueron:
edaddeA:9x
edaddeB: x
Sea "n" el tiempo que debe transcurrir para que cumpla la condición
dada.
A
Por condición del problema:
(2x+6)+(x+6) = y-18
De donde: y = 3x+30
Por diferencia de edades entre TU y
~L se obtiene:
6x-x = y-(x+6)
5x = 3x+30-x-6
Resolviendo: x = 8
Luego, Yo tengo = 2(8) = 16años
[Rpta.
B
DonIrodo
3x+4 = 4x+4 = 5x+4
5
6
7
x+18
x- - 3 - = (x+18)-x
Dentro de
hilos
A
Actual
Dentro de 2 años, las relaciones
son como: 5, 6 Y7 es decir:
Ahora bien, la DIFERENCIA DE
EDADES entre 2 personas, en cualquiertiempo, siempre es el mismo.
Actual
-
Haca 2
tiene, entonces ~I tenía: (x+; 8) años
Hace 18años Ninotenía: 8x-18
entonces Luis tendrá el doble:
2(8x-18)= 16x-36
cuando Nino tenga la edad que ahora
tiene Luis: 9x
Esquematizando:
Actual
DonIrodo
9x
9x+5
9x+5+n
x
x+5
x+5+n
"n"lfios
-
8x-18
Tongo
9x
16x-36
8x
9x
(*) Por diferencia de edades:
9x-8x = (16x-36}-9x
Resolviendo: x = 6 años
Diferencia de Edades:
[Rpta.
9x-8x = x = 6 años
El
@ La edad de un padre y la de su hijo
suman 63 años. Cuando el padre tenia la edad de su hijo ambas edades
sumaban 25 años. La edad del padre
es:
A)43 B) 19 C)21 D)41
E)47
RESOLUCiÓN:
Sean: x = edad actual del padre
y = edad actual del hijo
Tanla
Hoy
Padre
y
x
Hijo
z
Y
Por dato:
x+y=63 ........ (1)
y+z = 25 ........ (11)
Por diferencia de edades:
y-z = x-y
,x;z,= 2y ........ (111)
Sabiendo (1) y (11):
(x+z)+2y = 88
De (111):
2y+2y=88~y=22
En el presente, la relación es de 5 a
1:
9x+5 =.§.
x+5
1
9x+5=5x+25
4x=20=?x=5
Dentro de "n° años, la relación será
de2a 1:
9(5)+5+n
1
5+5+n
1
Resolviendo:
[ Rpta.B
n=30años
I
La edad actual de Luis y la de Nino
son entre si como 9 es a 8. Cuando
Nino tenga la edad que tiene ahora
Luis, éste tendrá el doble de la edad
que tenía Nino hace 18 años.
¿Cuál es la diferencia de sus edades?
A)6años B) 5 años C) 4 años
D)3años
E) 10años
RESOLUCiÓN:
Las edades actuales son:
Edad de Luis = 9x
Edad de Nino = 8x
En (1):
x+22 =63
x=41 años
@ Hace 10 años tenia la mitad de la
edad que tendré dentro de 8 años.
Dentro de cuántos años tendré el doble de la edad que tuve hace 8 años.
A) 18años B) 16años C)8años
D)10años
E) 12 años
RESOLUCiÓN:
Sea x = edad que tengo
--
Haca 10
x-lO
Dentro do Dentro do
"n" lftoI
a_
x
x+8
x+n
r
1
Edad hace] = mitad de edad
[ 10 años
Ldentro de 8 añosj
1
x-lO ='2 (x+8)
2x-20 = x+8
x=28
!Edad d~nt,..;j = [Doble de ~dadJ
L
de n anos j
hace 8 anos
x+n=2(x-8)
Sustltuyendo el valor de x:
28+n = 2(28-8)
De donde:
r::::---,
n = 12 allos
Rpta. E
I
I
@
padre tenia 36 anos ¿Cuántos años
tiene el hijo?
A)12allos B)30años C)27años
D)15años
E) 9 años
RESOLUCION:
2(v-w)=u-w
2v-2w=u-w
2v=u+w
@
Sean
x = edad del padre
9O-x = edad del hijo
Es obvio que, cuando el hijo nace
éste tiene Oaños.
lasedadesdeAlbertoyGabrielasl>man en la actualidad 120 alios. SiAlbario tiene la adad que ella tenía
cuando él tenia la tercera parte de su
adad actual.
¿Qué adad tiene Gabriela?
A)54 B)45 C)75 D)75 E)NA
Cuando
nace el hijo
Actual
Padre
36
x
Hijo
O
90-x
RESOLUCION:
Sean:
x = Edad actual deAlberto
120-x = Edad actual de Gabriela
De acuerdo al enunciado, elaboramos el esquema adjunto:
Tenia
Por diferencia de edades:
36-0 = x-(90-x)
36=2x-90
2x= 126
x=63
Ac:tuaJ
Edad del hiJo = 90-63
27 años
=
Alberto
x/3
x
Gabrlela
x
120-x
RESOLUCIÓN:
A
?if?7
x
3
3
@
3
x=45
!Rpta. B I
Marisol le dice a Noelia: la suma de
nuestras adades es 46 allos y tu
adad es el triple de la edad que tenlas cuando yo tenia el trlpie de la
edad que tuviste cuando yo nacr.
¿Qué edad tiene Noelia?
RESOLUCION:
Sean:
x = edad actual de Noelia
46-x = edad actual de Marisol
De acuerdo al enunciado, podemos
elaborar el siguiente esquema:
-
CIIando Marisol
9x
x
NoeIia
AduaI AduoI
3y
46-x
x
3
x
P'--'----'II
I)y.o = ~ -3y
3
x
4y = "3 x=>= 12y
11) y-O = x-(46-x)
y=2x-46
y=2(12y)-46
23y=46=>y=2
En(I):x =24aftos
@
9'
En el trayectoAE:
x+3O=vAt
......... (1)
En el trayecto EB:
x=vA(4)
......... (11)
I MóvIlB I
~ =120
@
-
IMóvIlA I
~ = 120-2x
12~5=75anos
B
x ~
4'
B:
= (120-x)-x
Luego, Gabriela tiene:
E
A:
.
La dilerencia de edades es constante:
x- -
x+30
Vo
I a ...... e I
.•.."...
Dos móviles parten de dos puntos de
una recta, con velocidades constar>tes y se dirigen uno hacia el otro. El
primero ha recorrido 30 m más que el
segundo, cuando se cruzaron, y el
resto lo hace en 4 minutos. El segur>do demora 9 minutos después del
cruce, para llegar al punto inicial del
primero.
¿Qué distancia los separaba?
A)100m
B)130m
C)150m
D)170m
E) N.A.
...... (1)
Tres móviles alineados parten en
una misma dirección desde los puntos A , B Y C con velocidades u, v y
w respectJvamente. Si inicialmente
estaban separados por distancias
AS = BC. ¿Cuál debe seria relación
de las 3 velocidades para que los 3
móviles se encuentren al cabo de
cierto tiempo?
A)u+w=v B)u+v=w C)u+v=2w
v
D)u+w= "2
la edad de un padre y la de su hijo
suman 90. SI el hijo nació cuando el
_t_
4
,...,-_~2L+L' =ut
......... (1)
Aplicando: e = V.t
L+L'= V.t
.. ....... (11)
~IMó-vr-Ie~1
e = v.t
L' =w.t ........ (111)
(1I1)en (1): 2L+wt= u.t
2L=t(u-w) ...... (IV)
(1I1)en (11): L+wt=v.t
L=t(v-w) ..... (V)
(V) en (IV):
2Qv-w) =j (u-w)
=J!.. => t2 =36
x+30 = ~
x
4
Resolviendo:
x=60m
DistanciaAB = 2x+3O = 2(60)+30
AB=150m
@
IM6v1IB I
.......... (VI)
t
t= 6
Reemplazando en (V):
Sea E el punto de encuentro.
Como partan simultáneamente; el
tiempo que emplea cada móvil hasta el encuentro es el mismo.
Aplicando:
I Rpta. B I
4
Dividiendo (IV) + (111):
x+3O
- = -9
x
t
Igualando (V) y (VI):
A
B
C
E
_L_L_L'--M
e=v.t
.......... (V)
x
- - -
Aplicando:
......... (IV)
x+3O
- =- t
w
IM6v1IA I
......... (111)
En el trayecto EA:
x+3O=vo(9)
Dividiendo (1) + (11):
E)u+w=2v
RESOLUCION:
u
v
En el trayecto BE:
x=vot
!Rpta. el
En una canrera donde participaron 3
caballos, el ganador corrió a una velocidad de 33 mis y llegó s antes que
el último, a su vez éste llegó 8 s después que el segundo caballo. Si los
tiempos empleados por los dos primeros suman 24 s.
¿Qué velocidad en mis empleó el último caballo?
A)12
B)18
C)15
D)20
E) NA
RESOLUCION:
Sean:
A = el caballo que llegó primero
B = el caballo que llegó segundo
C = el caballo que llegó último
Si A empleó t segundos, entonces C
empleó (t+12) segundos y B empleó
(t+12)-8 = t+4 segundos.
Por dato:
tA+t.= 24
t+(1+4)= 24
Dedonde:t=10
RESOLUCION:
Primero calculemos el espacio recorrido con una velocidad de 40 km/
h durante
1
t,=15min= -¡-h
Aplicando: e, =v, t,
1
e,=40x-¡-=10km
1Caballo A 1
Aplicando: e = V.t
L=33(10)
L=330m
a las 7.40 a.m., Recorriendo 100 m
cada 80 s ¿A qué hora llegará, sabiendo que si recorre 400 m cada 6
min, llegarla 2 min más tarde?
A)7:58am B)7:56am C)7:59am
D) 7:54 am
E) N.A.
RESOLUCION:
Luego calculemos el espacio recorrido con una velocidad de 10 kmlh
durante
.
1
h=30mln= -=h
t
A
2
'1C-a-ba-lIo-C'1
Aplicando: e=v.t
330 = v(t+ 12)
330=v(10+12)
330=v(22)
330
v=22"
:. v=15m/s
@
@ Pepe salió de su casa para ir a clases
e2=10x
etotal
V media =
I Rpta_ C I
Un viajero recorre los 2/3 de un camino en automóvil a la velocidad de
40 kmlh Y el resto en motocicleta a
80 km/h. Si en total tardó 6 h 15 mino
¿Cuántas horas estuvo viajando en
automóvil?
A)5 B)4,5 C)6 D)4,2 E) N.A.
RESOLUCION:
v=80kmlh
~
A~_2 L
~ 3
B
L
C
---<'''''f-- 3 ---11
b
1
t,
1+1.----- L----_.I
Aplicando: e2=v2t2
3
[Rpta.AI
-¡-
@ Un perro parte de A en dirección a
B, al mismo tiempo que dos personas parten de B en la misma dirección y velocidad pero en sentidos
contrarios.
Sabiendo que el perro encuentra al
primero en C y al segundo en D;
donde CD = 60 km Ysu velocidad es
el doble que la correspondiente a
las personas. CalcularAB.
A)45km
B) 90 km
C)60km
D) 120 km
E) NA
RESOLUCION:
v
v
- -
-
C
A
AA
B
400m 400m 10m
-v=--=--=-6min 6x60s 9 s
Sea I el tiempo que demora en llegar
a las 7:40 am.
Aplicando:
e=v.t
100
5
L = 80 t --+ L = -¡- I ..... (1)
Si recorriera con una velocidad de
400 m cada 6 min, emplearía un liempode:
(1+2min) = (t+120)s
Aplicando: e = v.I
L=
4~0 (1+2) --+ L = ~
(t+120) ... (11)
Igualando (I)y (11):
: t=
~O
(1+120)
9t = 8(t+120)
9t = 8t+8x 120
t = 8x120 s
t = 8x120 = 16 min
60
Llegará a las 7:40+16 min Rpta B
= 7:56 amo
.
'.
I
I
D
1+- Y - ....
I.f-- Z -@DosmóvileSm,ym2partensimUltá+_x---+.I+"--60----II.1
neamente de una ciudad a otra distantes 60 km, siendo la velocidad de
C: Encuentro del perro con Persona 1
m, 4 km/h menor que la de m2, a su
Aplicando: e=vt
destino emprende el viaje de regrePero A:
x=2vt
..... (1)
so, resulta que se cruza con el móvil
Personal:y=vl
..... (11)
m, a 12 km de la segunda ciudad.
D: Encuentro del perro con Persona 2
Determinar
en km/h la velocidad de
Aplicando: e = V. I
T=-ra-y-ect-o-'AB:-::-l1
rel
Aplicando: e = V. t
2
L
SL= 40t, ~ t, = 60
1 Trayecto BC 1
Aplicando: e = v.t
L
L
S= 8012 ~ t2 = 240
Reemplazando los valores de t, y t2
en (1) obtenemos:
...h... __L__
60-240-4
-ª
4L+L 25
5L
25
240 =--¡¡-~ 240 =--¡¡Pero:
L = 300
L
300
t, = 60 = 60 = 5 horas [Rpta.A
15 =20km/h
1
-1 + 4
2
2v
Por dato: t,+h = 6h 15' = 6-¡25
t,+h = --¡¡- ...... (1)
=5km
61 +e2
= ti +i2
ttotal
10+5
Vmedia
~
I
@ Un auto va a velocidad constante de
40 kmlh durante 15 minutos cambiando luego su velocidad a 10 kmlh
recorriendo cierto espacio durante
30 minutos.
Calcularla velocidad media del recorrido.
A)20kmlh B)22kmlh C)24kmlh
D)25kmlh
E)48km/h
Pero A: x+60 = 2 v.I'
Persona 2: z = v.1'
Por dalo: y+z = 60
Por(lI)y(IV):
v.I+v.I'=60
..... (111)
..... (IV)
m,.
A)8 B) 12 C)6
RESOLUCION:
~v(t+r)=60
1+-12km_
l+u----60----~u
Móvil 1 1
Este móvil recorre tan sólo:
60-12=48km
1
Dividiendo (11)+ (1):
y
1
x
- = -~y=­
2
I
Aplicando: le = v.t
,-,,-----, 48 = (v-4)1
1
30
y=-=15
2
AB = x+y = 30+15
AB=45km
v-4
v_~=m,
IX=301
2
E) NA
~
Sumando (1) y (111):
2x+60 = 2v.I + 2 v.1'
2x+60 = 2v(t + 1')
2x+60 = 2(60)
2x=60
x
D) 16
I Rpta.A I
Móvil 2
...... (1)
1
Este móvil recorre 60+12 = 72 km
Aplicando: e = v.I
72 = v.t
...... (11)
Diviendo (11) + (1):
R=~~ -ª-=_v_
48
(v-4)t
3(v-4)=2v
3v-12=2v
v=12
Velocidad de m,:
v-4=8 kmlh
2
Encuentro del ciclista yalleta 1 (M)
v-4
Aplicando:
Para el ciclista: x=nv.t
..... (1)
Para el atleta 1: y = v.t
..... (11)
Encuentro del ciclista y atleta 2 (N)
I Rpta.A I
Aplicando:
@9) Miguel y Carlos parlen simultánea-
mente de dos ciudades, caminando
el uno hacia el otro. Si la velocidad
de Carlos fuera 1 km/h mayor que la
de Miguel y se encontrarán luego de
6 h; pero si ambos caminaran a la
misma velocidad se encontrarán
luego de 7 h. ¿Qué distancia separa
a las dos ciudades?
A)48 km
B)42 km
C) 50 km
D)36km
E) NA
RESOLUCION:
M---x
Dividiendo (11) + (1):
y
1
x
II~
L----_II
I
A
I+-x
@
M
U
:
0,900
~ -0,912
/100n-x
"
0,912
81n/
100n_.
x. 100n-x
100n
100n-x
~--
e
100n se efectúa del modo siguiente:
8
100n
45,5
:. El porcentaje es: 12,5
e
2~
x340x1250
Simplificando:
e = 21250 m
81 n-91,2n+0,912x
100n-x
100n
x=-8
_8_ .100% = 12,5%
100n
910e = 45,5(340)(1250)
e=
100n-x '
0,012
Para saber que porcentaje de 100n es
I
340 - 1250 = 45,5
I
~-0912
12n
100n-x
~--
Por dato:
taire - tagua =
"0012
'
I Rpta. E I
~
I Rpta. B I
Una aleación de 18 kilates se funde
con Oro puro para obtener otra aleación de21 kilates, luego se funde con
Cobre para bajar a 18K, luego con
Oro puro para subir a 21 K Y así sucesivamente hasta obtener 686 gramos, luego de realizar 7 fundiciones
de la aleación. ¿Cuál es el peso de la
aleación inicial?
A)36g
B)27g
C)49g
D)63g
E)54g
RESOLUCION:
Primera fundición:
Pesos
Relación
E) NA
: lBK"
/3K
21K
W"",: 24K/
"3K
O
WTotal(1)
B
Y
It =
Ley
100n
Si la velocidad del sonido en el
agua de mar es 1250 mis y en el
aire 340 mis. Detenminar a qué
distancia de la orilla exploló una
bomba si la dife-rencia de tiempo
entre el sonido transmitido por el
agua yel aireesde45,5 seg.
A)2500m B)29520m C)8230m
D)18725m
E)21250m
RESOLUCION:
Sea "e" el espacio buscado.
Recuerde que:
W
:!--U~
.u
Peso
n
D-'I
Un ciclista parte de A en dirección a
B, al mismo que dos atletas parten
de B en sentidos opuestos y con la
misma velocidad constante. Si el ciclista avanza con una velocidad que
es n veces la de los atletas, y encuentra a uno en M yal otro en N,
donde MN = d km. ¿Cuántos kilómetros mideAB?
A) d(n+l)2 B) d(n-l)2 C) d(n'-l)
n-l
2n
n2+1
I
[1+~J
~IR-p-ta-.
L-y _ _
I~
=~
d(n-l)
y=2il
x=n~y=n
= d(n-l)
2n
Sea el peso de la primera y la segunda barra 1OOn, entonces de la segunda barra cuya leyes 81/1 00 se tendrá
W"'a" = 81n; WTotal = 100n. Luego al
extraer"J(" g de metal de liga queda:
W"'ata = 81 n; WToIal = 100n-x
81n
y la nueva leyes: 100n-x
2
d(n-l )(n+l) d(n'-l)
AB=
2n
=~
M---y
81
• L2 = 100 = 0,81
x = d(n-l)
2x+d=nd
~!
O
• Lm = 0,912
2x+d=~!!!)
L-x _ _
AA
D) d(n 2+1)
n2+1
RESOLUCION:
nv
Sumando (l)y(III):
9
~=v(t+t')
Aplicando: e=v.t
Miguel:
y = v(7)
Carlos:
L-y = 7v
Sumando las dos ecuaciones obtenemos: 12v+6 = 14v
6=2v
v=3
En(II):L= 14(3) =42 km
Rpta. B
@
• L, =10 =0,9
~!
u
L
u
Aqur se encuentran en un tiempo de
t=6h
Aplicando: e=v.t
Miguel:
x = v(6)
Carlos:
L-x = (v+l)6
Sumando las dos últimas ecuacioL= 6v+6v= 6
nes:
L= 12v+6
........ (1)
!~
I e = v.t I
Para el ciclista: x+d = nV.t' ..... (111)
Para el atleta 2: z=v.t'
..... (IV)
Sumando (11) y (IV):
y+z = v(t+t')
d(n-l) d(n-l)
AB = x+y = 2 i l + 2 i l
AA
!~
de la segunda barra ¿qué porcentaje
de la segunda barra, es, para que
aleación que se desea obtener sea
de912 milésimas?
A) 22,5
B) 12,5
C)25
D)30
E)35
RESOLUCION:
Datos:
I e = v.t I
I
N
U~
z--+l
d
u
@
2
WTotal(1)
Se desean fundir dos barras de Plata de igual peso; la primera de 9 décimos y la segunda de 81 centésimos pero si extraemos metal de liga
2 ~ W_ = 2W
W
~
WTotal(1) = 2W
Segunda fundición:
Pesos
3
Relación
2W : 21K"
/18K
Lm = ---c----c---:_1_+ _1_ + _1_
L2
L3
L,
6
18K
WOm :
OK/
"3K
:. Lm = M.H.(L,; L2; L,)
WTotaI(2)
7
@§) Se dispone de varios lingotes, to-
WToIal(2)
7
W
7W
2W - 6 ~ TotaI(2) = 3
Tercera fundición:
Pesos
Relación
7W
3 : 18K" /3K
18K
WOm : 24K/
"3K
WTotaI(3)
2
r
J
WToIal(3) 2
7
7W = 1 ~ WToIal(3) = 2 L6(2W~
3
WToIal(3) = 2 t
~ (2W~
Si continuamos la aleación sucesivamente se obtendrá como peso total:
2t~ [2t~ H~ (2~JJJJ = 686g
,¡. ,¡. ,¡. ,¡. ,¡.,¡.
,¡.
7°; 6°; 5°; 4°; 3°; 2°; 1° aleación
:. Al resolver: W = 27 g
,r.Rp;:-:"ta-.-=s"l
@ Se funde tres lingotes cuyas leyes
son: L,; L2 y L3- Halle la ley media si
cada lingote posee la misma cantidad de Oro puro.
A) MG(L,; L,; L3)
B) MA(L,; L,; L3)
C) MH(L,; L,; L3)
D) MA(L,; L3)
E) MH(3L,; 2L,; L,)
RESOLUCiÓN:
Siendo W,; W., W,los pesos de cada lingote y W el peso de Oro de cada lingoteseva a cumplir:
dos ellos de 1 kg de los cuales encontramos dos grupos cuyas leyes
son 650 y 900 milésimos. ¿Cuántos
lingoles de cada clase hay que tomar para que al alearlos se obtenga
un lingote cuya ley sea 750 milésimos si el peso total está comprendido entre 25 y 34 kg?
A)18y12 B)14y18 C) 10y20
D)20y15
E)24y16
RESOLUCiÓN:
Vamos a suponer que hay:
x lingoles de 0,650 de ley.
y lingoles de 0,900 de ley.
Además: Lm=O,750
25 <x+y< 34 ........ (a)
Por la regla del aspa tenemos:
/0,150
x : 0,650"
0,750
Y : 0,900/
"0,100
son n, (n-l); (n-2); ...... ; 1 SI setomaron 2 kg; 4 kg; 6 kg; sucesivamente
de cada uno. Hallar de cuántos kilates es la aleación que resulta al funn+l
dirtodas.
C) n+2
A)n
B)2
3
E) F.D.
W
W
W2
L2
W
W
RESOLUCiÓN:
21 #
Pesos KlI_
W,
L,
4
Deteminando la ley media (L.,)
Leyes
Valor
L,
W
2 <> 1
4 <>2
6 <> 3
I
n
n-l
n-2
W
W2=L2
W
W,=L,
Valor
l'n = l(n+l-l)
2'(n-l) = 2(n+I-2)
3'(n-2) = 3(n+I-3)
i
I
L2
W
W
W
-+-+L,
L,
L2
W
L3
W
Lm
W
n(n+l)
2
n'l = n(n+l-n)
Lm
(m+l) n(n+l). n(n+1X2n+l)
2
6
(n+l )(n+l)n
n(n+l )(2n+l)
2
6
Lm=--~~--~~~~---
n(n+l)
3
Lm = -:CWC:C-----CW:-:----:CWC:-+-+L,
L2
L3
Cancelando W en el numerador y
denominador queda:
7
• Del segundo metal: 10 (50kg)=35kg
15(51.8)+35(5/.10) = 5/.470
Como se gana el 30% del costo.
:. Pv= 130%(470)
Ir-:Rp::----:s'"'l
=611 soles
.
tao .
@ Se funde dos lingotes de Oro puro de
700 g de peso y 0,920 de ley y otro de
300 g de peso y 0,880 de ley. Se extraen "n° gramos de esla aleación
que son reemplazados por "n" gramos de una aleación de 0,833 de ley
y resulta que la ley de la aleación
ahora es 0,893. Hallar "n".
RESOLUCiÓN:
En la primera fundición tenemos:
700 9 : 920"
/
Lm -880
Lm
300 9 : 880 /
" 920-L m
1000g
40
tL _ _ _ +25 _ _..Jt
Lm = 908 milésimos
En la segunda fundición:
1000-n : 908"
/ 60
4
"15
1
893
n
: 833/
1000
2n <> n
W
W,=L,
I
@ El número de varias banras de Oro
D) n+3
L,=-~W3=-
2
I
W
L,
L2=-~W2=-
3
x+y
5
De donde notamos que (x+y) debe
ser múltiplo de 5 considerado (a) el
únicovalorque puede adoptar seria
x+y=30
En la regla del aspe de 5 a 30 ha sido multiplicado por 6 y se tendría:
• x=3'6=18
•• y=2.6=12
Rpta.A
W
W,
L,=-~W,=-
Pesos
R=-p""'ta-.""'c'"'l
r,
sión y que ha tenido una merma de
un 4%. El precio inicial era de SI. 8 Y
5/. 10 el kilogramo respectivamente.
A) 5/. 722
B)S/.611
C)S/.322
D)S/.611
E) 5/. 332
RESOLUCiÓN:
Del peso inicial "W" una mema de
4% resullando 48 kg; esto se plantea
W-4%W=4kg
así:
W=50kg
Pero este resulla de una aleación de
metales que están en la proporción
de 3 a 7 entonces tenemos que el tolal es como 10 del cual:
3
• Delprimermetal: 10 (50 kg) = 15kg
2
•
2n+l
n+2
•• Lm= n+I-----=-33
1Rpta. C I
@§) Se han fundido dos clases de me-
lales en la proporción de 3 a 7, se
quiere hallar el precio de 48 kg de
esta aleación que ha ganado un
30% de su valor, después de la fu-
5
tL---- por 200 ~:::::::~t.,
:.n=I'200=200
'Rpta.DI
@ Hallar el peso de una aleación de Oro
de ley 0,920 sabiendo que si se añaden 250 9 de Oro de ley 0,880 y luego
de la aleación obtenida se quita 100
gramos y en vez de ello se agrega
360 gramos de Oro de 840 milésimos
se obtiene una aleación de 890 milésimos.
A) 850 9
B)700g
C)800g
D)750g
E) 480 9
RESOLUCiÓN:
Sea x el peso de la aleación cuya ley
es 920 milésimos .
Primero: Agregamos 250 g de 880
milésimos.
x
: 920"
/ Lm-880
Lm
250
: 880 /
" 920-L m
x+250
40
~_x_ = L m-880 ....... (1)
x+250
40
RESOLUCiÓN:
Primera aleación:
Peso:
ag : OK"
Segundo: se quita 100 g quedando:
(x+150) cuya es Lm
x+150: L m "
890
360 : 840/
/
50
}
48g : 21K/
(-)t
"Lm-890
21
~ _a_ = --"- ....... (1)
a+48
:~~~~
21
48g
: 21K"
ag
: 14K/
x~-750
I Rpta. D
a
@
I Rpta. D
J
Se funden "a" gramos de Cobre puro
con 48 gramos de Oro de 21 K Y se
obtiene una aleación de(21-b) kilates. Si se funden los 48 gramos de
21 K con "a" gramos de Oro de14K la
ley resulta 2 kilates mayor. Hallar
(a+b).
A)10 8)11 C)12 0)14 E)15
b
I Rpta.B
J
@ Se tiene 2 aleaciones de Oro, una
que pesa30g de 12 kilatesy oIra de
25 g de 21 kilates, si se funden con
'n' gramos de Oro puro la primera y
con "n" gramos de Cobre, la segunda resulta que ambas nuevas aleaciones tienen la misma pureza de
Oro. ¿Cuánto vale "n"? (Dar la respuesta aproximada?
A)10 8)12 C)14 D)15 E)18
RESOLUCiÓN:
Debemos considerar que el Oro puro es de 24K y el Cobre de Okilates.
Primero:
30 g : 12"
/
n g : 24/
n' '100
170
1OO(n)(n+l )(2n+l)
6
24-m
" m-12
n
m-12
Segundo:
25g : 21"
/
J
De donde: W = 40 gramos.
Yel peso total es: 60 gramos.
2' Los gramos de 22K los vamos a
fundir con el Cobre que es O kilates
para regresarlo a lo que era esencialmente, es decir de 18 kilates.
Peso
Relación
9
60: 22"
/18
22K
~ 1º- = 24-m ...... (a)
x:
n
m
O/
10n
A 20 gramos de Oro de 18 kilates se
le eleva su ley hasta 22 kilates agregando Oro puro. ¿Qué peso de Cobre será necesario mezclar con este
nuevo lingole, para volverlo a su ley
original?
A)13,3g
8)17,lg
C)21,4g
D) 15,8g
E)20g
RESOLUCiÓN:
l ' Debemos considerar que el Oro
puro es de 24 kilates y su peso es de
Wgramos.
Entonces:
: Relación
Densidad
20: 18K"
/2Ki
1
x2
22K'1
por 2
v, : 24K/
"4K
2
m
ng :
10n
100
400
900
@
3
:. a+b= 11
O/
x
"4
2
2
De donde: 60 = 9
"21-m
~~=.....Ill..... ...... (P)
:. El peso del Cobre es:
40
_
r::--x=T=13,3g
[Rpta.A]
n
21-m
Al dividir (a) entre (~) tenemos:
6
m' -45m+504
5
m'-12m
Resolviendo m = 15 el cual al reemplazaren (a):
:_ n=10
IRpta.AJ
3
--por12-~=t~
1
10
20
30
I
a+48 =7=21=21=7
Como los pesos son iguales las diferencias también deben ser iguales.
21-n=3
n=18
Como resultado tenemos 72 g de
21K.
2' Como el lingote inicial es de 18 kilales y pesa 36 gramos al extraer X
gramos de Oro puro quedarfa (36-X)
gramos de 15K el cual para regresar
a su ley de 21 K se debe agregar los
X gramos de Oro puro (24 kilates),
entonces:
Peso
Diferencia Relación
36-x: 15" / 3
1
21
x : 24/ "6
2
_-_ X=24gramos
7
Reemplazando en (1):
J
puro a una aleación de 36 gramos
resulta una aleación de 21 K. ¿Cuántos gramos de Oro puro hubiera sido
necesario quitar al lingote inicial para obtener una aleación de 15K?
A) 12g
8)96g
C)20g
D)24g
E) 15g
RESOLUCiÓN:
l ' Se tiene 36 g de n kilates
Agregamos 36 g de Oro puro (24 kilates). Se obtiene una aleación de 21
kilates.
Diferencia
full
36
n ...... / 3
21
36: 24/ "21-n
tL
7
De (1) y (2) se cumple:
b-2
b
b=3
7=21
@ Si al aumenta~e 36 gramos de Oro
36
"b-2
a+48
a+48
Valor
1OO(n)(n+l )(2n+l)
6
Lm =
170
10(n)(n+l)
2
10(2n+l )
= 170
3
n =25
El número de
Rpta. E
barras es 25
9-b
~_a_ = b-2 ....... (2)
x+150 x+250
3x+160Ox-1950·250 = O
3x ______ t ____ +650
:. x = 750 gramos
/
(23-b)
Al restar miembro a miembro:
1+~-~
10
20
30
n(n+l)
2
Segunda aleación:
10=~- 18000
x+250 x+150
Ley
"21-b
a+48
40x
De (1): Lm-880 = - 2
O
x+ 5
De (2): Lm -890 =
/b
(21-b)
Peso
~
Las leyes de varias barras de Plata
son 10; 20; 30; ... milésimos y al fundir la ley media resultante es 170
milésimas, si tomamos de cada uno
10; 20; 30; ......... gramos respectivamente.
Detenminar el número de barras.
A)20
8)21
C)27
0)24
E)25
RESOLUCiÓN:
MAGNITUD MATEMÁTICA
PROPORCIONAL
@
El sueldo de un empleado es D.P. a
sus anos de servicio e I.P. al cuadrado de su cociente intelectual. Si Luis
que trabaja hace 8 años y tiene un co-
ciente intelectual de 100 gana $2000
¿Cuál; es el cociente intelectual de
Andrés que trabaja hace 20 anos y
gana$5000?
C)120
A)100
B)80
O) 110
E)90
RESOLUCION:
SO.P.A} :::::>
S I.P.C2
~I S~C2
=KI
=
20
I Rpta.A I
_·.C= 100
@ Un grupo de M albañiles ha trabajado en una obra O dias a razón de H
horas, otro grupo de m albañiles ha
trabajado en la misma obra d dias a
razón de h horas. El monto total pagado a los 2 grupos de albaniles es
"S". ¿Cuánto le corresponde al2do.
grupo de albañiles?
A
hdmS
) HOM+hdm
C
B
hOmS
) HOM+hdm
hdMS
) HOM+hdm
O
HdmS
) HOM+hdm
• Para 1 cubo:
303 _ 603
50 - X
:.X=8
@!)
IX=4001
• Para 9 cubos:
Tiempo = 9x400 = 360 minutos
:. T=60hr
,r-Rp-ta-.E--'I
@ Oividir el número 700 en tres partes
,r=Rp'--'ta-.E-'I
Para ejecutar una obra se cuenta
con 2 cuadrillas, la primera tiene 45
hombres y puede concluir la obra
en 40 ds, la segunda cuenta con 50
hombres y puede terminar en 32
dras, si solamente se emplean los
2/3 de la 1ra. cuadrilla y los 4/5 de la
2da. cuadrillla ¿En cuántos dlas terminaron la obra?
A)20ds
B)26ds
C)28ds
0)24ds
E)32ds
RESOLUCION:
;[
¡
i
40 obreros
40dias
OBRA
¡
i
500b181OS
32dia.
Rendimiento
Rendimiento
®
®
Monto = cte
A
0.P·
B2
0,2 _ 5 _ 1
3 - 3 - 15
0,5 _~_
O.P. 6 - 12 -
5
C
2
0,4 _ 5 _ 3
2
0.P·
8 - 8 - 20
-
-
3
3
Al
B2
C2
1
5
3
- 15
12
20
~-=-=-
M.C.M.(15; 12; 20) = 60
60X[;oJ
R, = 8K,
Oato:
~
1
V:
x45 = 30 obreros de la 1ra. cuadrilla
Valores correspondientes
1ero conjunto: S 1; MxOxH
2do. conjunto: S2; mxdxh
Reemplazando:
~S
S2 =
~
mxdxh MxOxHxmxdxh
~S___~_
S2= mxdxhx
MxOxHxmxdxh
•
hdmS
•• S2= MOH+mdh
I
,
I Rpta.A I
@ Hace 8 años, el precio de un libro de
una colección dada de las ciencias
matemáticas, varra O.P. al número
de páginas e I.P. al cuadrado del número de libros que se compraban.
Si cuando se compraban 10 libros de
50 páginas cada uno estos valían
S/.42 la unidad. ¿Cuántos libros de
80 páginas saldrian al precio de
S/.l05cadauno?
A)7 B)6
C)10
0)9
E)8
RESOLUCION:
~
Np
Po.P.N~
: x50 = 40 obreros de la 2da. cuadrilla
~45x40xR, = (30R,+40R2)XX
45x40x8xK, = (30x8K, +40x9K,)XX
45x40x8K,=600K,xX
:. X=24
Rpta. D I
I
Al
B2
A
B
C
2
5
3
C2
4="25=9
~ R2=9K,
Thoru
P O.P.NP}
2
PI.p.N L
1
2
I (OBREROS) (OlAs) (RENDIMIENTO) =K I
8
R,
R2 =9
RESOLUCION:
Monto O.P. total de horas
S,
MxOxH
cuyos cuadrados sean O.P. a 0,2; 0,5;
0,4 e I.P. a 3; 6/5; 8/3. Indicarla menor
de dichas partes.
B)160
C)140
A) 120
E)210
0)180
RESOLUCION:
45x40xR, = 50x32xR2
hOMS
E
) HOM+hdm
~
E
XN~
Np
--=K
P --> precio de un libro
NL --> número de libros
Np --> número de páginas
Valores correspondientes
ler. conjunto:
Np= 10 ; NL =50 ; P=S/.42
NL=X ; Np=80 ; P=S/.l05
Reemplazando:
42xl02
105xX2
50
80
S O . PA. C2
S --> sueldo
A -+ años de servicio
C --> cociente intelectual
Reemplazando los valores correspondientes:
5000XC2
2000xl00 2
8
~
Por serie de razones geométricas:
A+B+C 700
2+5+3
10
70
~=~=-º-=70
253
I Rpta. el
:. A= 2x70 = 140
Para elaborar 20 libros hemos inverti@9) Un obrero tarda en hacer un cubo @ do
S/.18000. ¿Cuánto se invertirá pacompacto de concreto de 30 cm de
arista en 50 minutos. ¿Qué tiempo
tardará en hacer 9 cubos, cada uno
de 60 cm de arista?
A)46hr
B)70hr
C)80hr
0)78hr
E)60hr
RESOLUCION:
Eo+l]J+
Cubo compactado
Cubo compactado
V --> volumen (cm)
T --> tiempo (minutos)
Vo.p.T
~I ~ =KI
Reemplazando los valores correspondientes:
ra elaborar 15 libros que tienen las
tres cuartas partes del número de hojas que tienen las anteriores y que en
cada hoja se puede escribir el 20%
menos de palabras, que en las hojas
de los libros anteriores? Se sabe que
el costo de un libro es O.P. al número
de hojas que tiene y a la cantidad de
palabras que se puede escribir en
ellas.
A)S/.8100 B)S/.9400 C)S/.3025
E) SI. 10840
0)S/.6098
RESOLUCION:
CostoD.p.#dehojas(H)
CD.p.HxP
Costo o.p.# de palabras (P)
Q
:·1 H:P = K 1(1800/20)
HxP
(X/15)
=~""""'---
(
~ H)(80%P)
Xx4
4
(3H)x( 5 P)x15
900
HxP
4
X2
Reemplazando en (9):
Simplificando:
900 = ; --> X= 8100
I Rpta.A I
r1
fiesta varia en forma directamente
proporcional al número de chicas
presentes, a la calidad de la música
e inversamente proporcional al número de madres presentes. ¿Qué
sucede con dicha alegria si el núme·
ro de chicas se duplica la calidad de
la música se triplica y la tercera parte
de madres se duermen?
8) se triplica
A) permanecen igual
C) se quintuplica
D) queda multiplicada por9
E) queda multiplicada por 7
RESOLUCION:
A --> alegria
N --> # de chicas presentes
C --> calidad de música
M --> #de madres presentes
DP N
. .
A",= D.P C
A D.P. N~
c::>
..
en un recipiente con agua, en los 2
primeros minutos se ha disuelto
800 gr. ¿Cuántos gramos quedarán
después de 2 minutos más si la cantidad de sal que no se disuelve es
inversamente proporcional al cuadrado del tiempo?
A)200gr
8) 600 gr
C)340gr
D)300gr
E)280gr
RESOLUCION:
s --> cantidad de sal que no se
disuelve
SN l.p.7 2
~ISNX72=KI
La alegria queda
Multiplicada por 9
@ Sabi.endo que "y" es la suma de dos
canlldades una proporcional a ">t' y
la otra proporcional a [;2J y que pa·
rax= 1, y= 6yque parax= 2; y= 5.
Hallar 'y" para x = _1
•8
DP
~
~.~.~ ~~:
Para x = 1 ;y=6
Reemplazando:
p
,
o_m_
12
x
12
X
yx=48
Reemplazando:
16xm=12xp=48
m=3; p=4
1
42
.
30 dlss; 42 obreros
II
O~l'Os L
3
~
tg9=
,
I
Rendimiento
(1 )
1- 30 =.l
100 10
(OBREROS)(OIAS)(RENOIMIENTO) = K)
=
1~
-->1 n=11
!r:R=-p-ta-.-s.....1
m+n = 3+1 = 4
@ En un proceso de producción se descubre que dicha producción es D.P. al
número de máquinas e I,P. a la raíz
cuadrada de la antigüedad de ellas
inicialmente hablan 15 máquinas co~
9 años de uso; si se consiguen 8 maquinas más con 4 años cada una.
Calcular la relación de lo producido
actualmente con lo producido anteriormente.
A)4/5 8)3/2 C)3/5 D)4/7 E)5/6
RESOLUCION:
P --> producción
M --> #de máquinas
A --> antigüedad de las máquinas
P
<
D.P.
IP.
40 obreros; x dlss
Rendimiento
:. X = 45
..... (P)
p
n
I
contrataron 42 obreros para
construir un colegio y faltando 30
días para terminarlo 2 de los obreros renunciaron a la obra y los restantes disminuyeron su rendimiento
en un 30%. ¿Cuántos dlas más tardaron los obreros restantes para
culminar lo que falta en la obra?
A)29 8)45 C)42 D)46 E)48
RESOLUCION:
42x30x1 = 40x.l xX
10
parax=2;y=5
Reemplazando:
Deay p:
K, = 2 ; K2=4
,I--+-~"'"
........
@ Se
1
x
~:
..
!Rpta. DI
c=J
6 = 1xK,+ K: --> K,+K2= 6 ..... (y)
5=2K,+
y
16 ....................
M
2Kg
E)20
~: I
~7
16 ....................
(2000 gr.)
2
~ 1200x2 =X+4 2
:. X=300
= K, --> 1A = xK, 1
;2 --> [!J = K2 --> I 8 =
~6
q5
RESOLUCION:
Y
2
X -->
~4
N2
1200
I Rpta. D I
D)19
x
Determinarel valor de (m+n)
i ........... f
Reemplazando los valores corres·
pondientes:
AxM _ A'x(213M)
NxC - (2N)(3C)
A'
A=g--> 1A'=9AI
• A D.P.
I Rpta. el
@ De 2 Kg de sal que se introdujeron
[~rK-->~
A)16 8)15 C)17
RESOLUCION:
Dato:
y=A+8
4
:.y=17
~
A
4
4 min { : ::: .........
l.p.M
.
J
y=2l2 +GJ=1+m=1+16
@ Suponiendo que la alegria de una
L
..... (9)
~y=2x+­
=---0---
M
YA
c::>
P D.P.
~
YA
:·lp:=KI
Reemplazando los valores correspondientes:
1
p,xv'9
15
!Rpta.S I
@ En la gráfica siguiente la línea ON
representa proporcionalidad directa entre dos magnitudes.
=
P2x2
8
P,
P2
P,
4
-= --->-- 5
4
P2 - 5
Ir:R:-p""'ta.--:A"1
@ SI "N" es el número de obreros que
pueden hacer una obra en (3/4)N
dias trabajando (1/3)N horas diarias.
¿Cuélas el número N de los obferos,
si al duplicarse hacen la misma obra
en 72 horas?
A)22 B)28 C)3O D)24 E)21
RESOLUCION:
Se cumple:
(5x2X)x3x240
1:
®
Valores correspondientes:
ler. conjunto:
3N
N obreros : 4 ds ;
2do. conjunto:
2N obreros: 72 horas
Reemplazando:
~
64xXx3O~
1:~
Una bomba demora 10 horas 25 minutos para llenar un reservorio.
Cuando el tanque esté lleno hasta
1/5 se malogra y su rendimiento disminuye en 1/3. ¿Cuánto tiempo tardará la bomba para llenar el reservarlo?
A)12hr35min
B)13hr25min
C)14hr35min
D)11 hr12min
E) 14 hr25 min
RESOLUCION:
=2Nx72
Simplificando:
@
N2
4
=144
I Rpta.D)
:. N=24
~
El volumen 1 (reservorio) llena en
10 hr25 mln. 1/5 del volumen lo lIena2hr5mln.
11 obreros deben entregar una obra
dentro de 24 dias para lo cual 5 de
ellos trabajan 3 horas por dia, mientras que los restantes trabajan "x"
horas por dia, si 64 obreros pueden
realizar una obra similar cuya dificultad es 3 veces la anterior trabajando
"x" horas por dia durante 30 dias.
Hallar el valor de x, si el rendimiento
de estos últimos son el 30% del rendlmlento de los primeros obreros?
A)6,5 B)7 C)8 D)9
E)7,5
RESOLUCION:
ler. caso:
:. : del volumen lo llena en: 8 hr
20mln
IMIHIMIHIMI
TIempo I.P. Rendimiento
Total de maneras de acomodarse las
mujeres: 3! Maneras
Total de maneras de acomodarse los
hombres: 21
Total de maneras pedidas:
31'21=12
Rpta.
1 TxR=K 1
Reemplazando los valores conrespondientas:
(Sh 20min)xl = Xx [1-
3
A
6 obreros: X h/d; R = 10; D = 1
Sabamos:
K
Reemplazando:
5x3x24xl0 _ 6xXx24xl0 _ K
Axl
Bxl
UtIlizando serie de razones geométricas
(5x2X)x3x240 K
A+B
.... (1)
2do.ca80:
64 obr. ;Xh/d ;30ds; R,=3; D,=3
Reemplazando:
Igualando: 1 y 2
K
@
3
:. X = 2; hr = 12hr 30m in
1
Rendimiento = 10 ; Dificultad = I
64xXx30x3
Tx3
I
T
®: 5 obreros: 3 h/d
(obrerosXhldXdsXRend.)
(ObraXDif)
~J
~hr=Xx~
ob~ros 1--------1 f
6
obreros ' -_ _ _
B_ _ _...1
.... (2)
:. T""" = 2hr 5min+12hr 30 min
T lobo' = 14hr 35mln
Rpta. C)
I
@
Tresmujerasydoshombresvanalcine y encuentran 5 asientos juntos en
una misma fila donde desean acomodarse ¿De cuántas maneras ditere ...
tes pueden sentarse si las mujeres no
quieren estar juntas?
A)6 B)8 C)12 D)18 E) 24
RESOLUCION:
(Cte)
14/51
_24dlas _ _
@:
1600x52
Xx4 2
6OOx128
9Ox256
Simplificando:
X = 7500 [ Rpta. D 1
Simplificando:
15+6x=8x
15=2x
:. x=75
1(OBREROS)x(h/d)(dias) = K 1
Nx 3: x
....
El costo de una mlcrocomputadora
es D.P. a su eficiencia y a su capacidad de memoria e I.P. al cuadrado
del tiempo que demora en procesar
un trabajo, si para una eficiencia
como 60, una capacidad de memoria como 128, una microcomputadora cuesta SI. 1600 que demora en
procesar un trabajo como 5. Determinar cuénto costará otra microcomputadora que tiene una eficie ...
cIa como 90; una capacidad de memoria corno 256 y que demora un
tiempo como 4.
A)S/.7800 B)S/.7600 C)S/.7890
D) SI. 7500
E) S/.6450
RESOLUCION:
/ ' Eficiencie (E)
Costo D.P. ,
Capacidad de memDria (M)
Costo I.P. Tiempo (T2) ; Costo (C)
C
DP.
ExM
T2
~ I CxT2 = K I
ExM
e
I
¿Cuéntos paralelogramos se pueden
formar al cortar un sistema de 8 reotas paralelas con otro sistema de 5
rectas paralelas?
A) 80
B)160
C)180
D)280
E) 320
RESOLUCION:
Cada una de las combinaciones de 5
rectas tomadas de 2 en 2 forman paralelogramos al cortar a cada una de
las combinaciones de 8 rectas tomadasde2en2.
C~ r=----.
# Paralelogramos =
=10 '28=280 [Rpta. D)
Ci .
@ ¿De cuántas fonnas pueden sentarse 5 personas alradedor de una mesa circular; si una de ellas permanece
fija en su asiento?
A)6 B) 12 C) 18 D)24 E)36
RESOLucION:
Se trata de hallar el número de permutaciones circulares de 5 elementos; luego:
#maneras=Pc(5)=(5-1)! r--~
=41=24
[Rpta. D)
@
¿Cuántas senales se pueden hacer
con 4 banderas de diferentes colores
Izando cada vez; 2; 3 64 banderas?
A)30 B)40 C)50 D)60 E)80
RESOLUCiÓN:
Como interesa el orden en el cual se
van a ir izando se trata de variaciones.
41
V',= - - = 12
2!
V'=~=24
a 1!
V'.=~=24
O!
• Total de señales:
12+24+24=60
[Rpta. D
sea escoger un grupo de 4 personas
¿De cuántas maneras se podrá rea·
lizar esto; si en cada grupo debe ha·
bera lomasde2 médicos?
A) 65
8)85
C)105
D)125
E)155
RESOLUCiÓN:
Cuando el grupo está formado
por 2 médicos y 2 ingenieros:
#maneras=Ci -C~=60
Cuando el grupo está formado
por 1 médicoy3ingenieros:
#maneras=Ci -C;=40
Cuando el grupo está formado
por 4 ingenieros:
# maneras = C~ = 5
Total de maneras:
60+40+5 = 105
[ Rpta. C
I
@ De 5 Fisicos; 4 Ouimicos y 3 Mate·
máticos se tiene que escoger un co·
mité de 6 miembros de modo que in·
cluyan 3 Flsicos, 2 Oulmicos y 1 Ma·
temático ¿De cuántas maneras pue·
de realizarse esto?
A)120
8)140
C)160
D)180
E) 200
RESOLUCiÓN:
# de maneras de escoger 3 Físicos:
C;=10
# de maneras de escoger 2 Ouimi·
cos: C~=6
# de maneras de escoger 1 Matemá·
tico: C~=3
Total de maneras de escoger 6
miembros=10-6-3=180 [Rpta.DI
De 5 hombres y 4 mujeres se deben
escoger un comité de 6 personas
¿De cuántas maneras se podrá real·
zar esto si en el comité deben haber
2 mujeres?
A)15 8)20 C)25 D)30 E)35
RESOLUCiÓN:
# de maneras de escoger2 mujeres:
Ci=6
# de maneras de escoger 4 hombres
C~=5
Total de maneras de escoger 6 pero
sanas:
6-6=30
[Rpta.DI
@ Una alumna tiene 12 stickers para
colocar en la pasta de su cuaderno;
pero sólo tiene espacio para 8 ¿De
marse con estas letras si cada cuadrado puede llevar indistintamente;
una; dos; tres o cuatro letras?
A)36 8)48 C)56 D)64 E)72
RESOLUCiÓN:
Como interesa el orden en el cual se
van a tomar, se trata de variaciones.
V'.=~=24
O!
I
V'=~=24
@ ¿De cuántas maneras puede selec-
V,'=~=12
2!
I
@ De 5 Ingenieros y 4 Médicos se de·
~
cuántas maneras puede seleccionar los stickers que no va a colocar?
A) 365
8)385
C)425
D)495
E) 545
RESOLUCiÓN:
Si se colocan 8 stickers quiere decir
que no se van a colocar 4; como no
interesa el orden entonces:
12
12!
#demaneras=C. = 4! 8! =495
[Rpta_ D
cionarse una partida de naipes de 4
a más personas si hay 10 disponibles?
A) 828
8)848
C)850
D)864
E) 896
RESOLUCiÓN:
Como no in!eresa el orden de las
personas se tratara de combinaciones:
# de maneras = C1O +C 1O +C 'O +C;1O+
+~~'-T-'
210
252
210
120
+C10+C10+C10
~\_~_n_$
45
10
1
# de maneras = 848
I~R=-P-:ta-_-::B:"""II
•
1!
V '-~-4
,- 31 Total de códigos:
24+24+12+4 = 64
[Rpta. D
I
@ Una caja contiene 2 focos de 25 voltios; 3 de 50 voltios y 4 de 100 voltios
¿De cuántas maneras pueden escogerse 3 de ellos?
A)74 8)84 C)94 D) 104 E) 124
RESOLUCiÓN:
Como interesa el orden, el número de
maneras viene dado por
cg
•
9!
9-8-7-6!
Ca= 3161 = 6-61 = 84[ Rpta. B
I
@ Un equipo cientlfico consta de 25 @ En una suma se encuentran 6 bolos
miembros de los cuales 4 son doctores; hallarel número de grupos de
3 miembros que se pueden formar
de manera que en cada grupo haya
parlo menos un Doctor_
A) 970
8)980
C)900
D)940
E) 950
RESOLUCiÓN:
• Cuando el grupo está formado
por 1 doctor:
# maneras: Ci-C~' =4-210=840
• Cuando el grupo está formado
por2doctores:
# maneras: C~-C:' = 6-21 =126
• Cuando el grupo está formado
por3doctores:
# maneras: C: = 4
Total de grupos:
840+ 126+4 = 970
Rpta_ A
I
I
@ En una reunión hay 12 hombres y 7
mujeres; se desea formar grupos
de 3 personas ¿De cuántas maneras podrá hacerlo si deben de haber
por lo menos 2 mujeres en el grupo?
A) 285
8)287
C)290
D)315
E) 325
RESOLUCiÓN:
Cuando el grupo está formado
por2 mujeres y 1 hombres
# grupos: C; -C:'= 21-12 =252
Cuando el grupo está formado
por3 mujeres
# grupos: C~ = 35
# total de grupos:
[Rpta_B
252+35=287
I
@ Se tiene 4 lelras de cartón A, 8, C
y D ¿Cuántos códigos pueden for-
numerados del 1 al 6 ¿De cuántas
maneras se podrán extraer en sucesión y sin reemplazo 3 de estas bolitas?
A) 100
8)120
C)180
D)130
E)150
RESOLUCiÓN:
Como interesa el orden en que se
van extrayendo el número de maneras viene dado por V~
V~=
lª-
lª-
16-3 = @. =
6-5-4-@.
@.
= 120
[Rpta. B
I
@ Se tiene un estante con capacidad
para 9 libros, si en el se quiere ordenar 4 libros de Flsica; 3 libros de Ourmica y 2 de Aritmética_ ¿De cuántas
maneras podrá realizar esto; si los de
Aritmética siempre se ubican a los
extremos?
C) 1080
A) 5040
8)2520
D)1520
E) 2060
RESOLUCiÓN:
Posible orden:
IA11 F11 F21 Fal F.lo110210a1A21
Si A, YA2 son fijos entonces: # maneras=p,=5040
Cuando A, y A, cambian de posición
habrán P maneras más adicionales_
Total de maneras: p,+p,= 1;..:0:::8:.::0,-~
[Rpta.
el
@ Se va a colorear un mapa de 4 parses
con colores diferentes para cada
pais, si hay disponibles 7 colores diferentes ¿De cuántas maneras puede colorearse el mapa?
A) 1050
B)1220
C)840
E) 1680
D)1520
RESOLUCiÓN:
Como interesa el orden, la cantidad
de maneras viene dada por:
7 7!
7·6·5·4·3!
V.= 3r
31
840
Rpta.
.
. 1
manera que cada mujer este entre 2
hombres?
A)4 B)18 C)24 D)32 E)36
RESOLUCiÓN:
# maneras que se pueden colocar 3
hombres en una mesa circular:
cl
Pc3=~ =~=2
# maneras que se pueden colocar
las 3 mujeres que faltan:
@ En una competencia automovilística
intervienen 5 autos A; B; C; D y E
¿De cuántas maneras diferentes podrán culminar la competencia si el
coche A siempre llega delante del
cocheB?
A)12 B)24 C)18 D)36 E)48
RESOLUCiÓN:
Posible orden:
Pc3=~ =~=2
Total de maneras: 2·2 = 41 Rpta. A 1
colocar 12 libros diferentes sobre
una estanterfa de manera que 3 de
ellos siempre deben estar juntos?
A)3!'9!
B)3!'10!
C)3!'12!
D)3!·II!
E)3!'7!
RESOLUCiÓN:
Los 3 libros juntos se pueden colocar de: 3! maneras.
Estos 3 libros se van a considerar
como uno solo y con los 9 restantes
harán 20 libros los cuales se acomodaran de: lO! maneras.
IAIBlclDIEI
Se considera como único elemento
[Rpta.BI
El total de maneras es:
3!·10!
@ En una biblioteca hay 7 libros de Matemática y 5 libros de Fisica ¿De
cuántas maneras puede colocarse
en un estante los libros en grupos de
5 de los cuales 3 sean de Matemáticay2deFlsica?
A) 36000
B) 38000
C)39000
E) 42000
D)40000
RESOLUCiÓN:
# de maneras de escoger 3 libros de
Matemática: C~ = 35
# de maneras de escoger 3 libros de
C~=35
Ffsica:
# de maneras de escoger 5 libros de
: 35·10=350
Cada grupo de 5 se podrá colocaren
el estante de: 5! maneras
# de maneras de colocarse en el es-tante: 5! ·350 = 42000
1 Rpta. B 1
@ De un grupo de 5 peruanos, 7 chilenos y 6 argentinos se quieren seleccionar un comité de 10 personas de
tal modo de que en el se encuentren
3 peruanos, 4 chilenos y 3 argentinos ¿De cuántas formas diferentes
se puede hacer dicha selección?
A) 5000
B)6000
C)7000
E) 9000
D)8000
RESOLUCiÓN:
# de maneras de escoger 3 peruanos:C~=10
# de maneras de escoger 4 chilenos:
C~=35
# de maneras de escoger 3 argenti-
nos:C~=35
# de maneras de hacer la selección:
10·35·20 = 7000
1Rpta. C 1
@ ¿De
cuántas maneras se pueden
colocar 3 hombres y 3 mujeres alrededor de una mesa circular de tal
Ir=Rp""'ta-'D=->I
.
@ ¿De cuántas maneras se pueden @ Tres caballos intervienen en una ca-
'----y---'
Siempre juntos
#maneras=P.=1!=24
bilidad de que los ganadores sean
una pareja mixta?
C)8/17
A) 5/17
B)6/17
E) 13/17
D)9/17
RESOLUCiÓN:
Casos favorables : 8 . 9 = 72 combinaciones.
:C~7=136
Casos totales
72
9
Probabilidad
: 136 =1'7
I Rnta. B I
rrera -A", tiene el doble de probabilidad de ganar que B, y C tiene el
triple de probabilidad de ganar que A
¿Cuál es la probabilidad de que gane
C?
A) 1/3
B)2/3
C)7/5
D)3/4
E) 4/7
RESOLUCiÓN:
Del problema: P(A)= 2a
P(B)=a
P(c)=6a
Sabemos que: P(A) + P(B)+ p(C)= 1 ->
1
9
[Rpta. B 1
->9a= l->a=-
.".
Luego: p(C) = 2/3
@ 10 libros de los cuales 6 son de Arit-
mética y 4 de Algebra; se colocan al
azar en un estante. Hallar la probabilidad de que los libros de cada materia estén juntos.
B) 1/35
A) 1/21
C) 1/105
D)3/75
E) 7/205
RESOLUCiÓN:
<ALEATORIAS - MUESTRAL>
<E/O>
~
En una bolsa se tiene 9 caramelos
de limón y 3 de fresa. Si se extraen
al azar 2 caramelos ¿Cuál es la probabilidad de que salgan 2 caramelos de limón?
C)5/13
A) 7/13
B)3/11
E)11113
D)6/11
RESOLUCiÓN:
Casos totales: C~2= 66
~:
=
2
3
4
A
A
A A A A
5
6
1
2
3
4
A A
A
A
: P 10
Casos totales
Casos favorables : p •. p •. P2
Pe·24 ·2
Probabilidad 10. 9 . 8 . 7 p.
1
105
1Rpta. C 1
@ En una caja hay 10 focos de los cua-
Casos a favor: C~ = 36
Probabilidad:
1
-f.¡- [RPta. D 1
@ En una carpeta se van a ubicar 5
hombres y 4 mujeres ¿Cuál es la
probabilidad que se ubiquen en forma altemada?
C)5/21
A) 3/35
B) 11/252
E) 1/126
D)7/63
RESOLUCiÓN:
les 4 están en buen estado, una persona toma al azar 3 focos. Hallar la
probabilidad de que por lo menos una
este en buen estado.
A) 1/3
B)5/6
C)2/5
D)3/4
E) 4/7
RESOLUCiÓN:
Focos buenos: 4 Focos malos: 6
D
Casos totales: ci = 120
Casos favorables:
4
6
464
C,' C 2+C 2' C,+C 3 = 100
'-----,-----' '-----,-----' '-r-'
eo
Casos favorables: 5! . 4!
Casos totales
: 9!
5!'4!= 1Probabilidad
. 9!
126
[Rpta. E
36
4
Probabilidad:
~ ~~
@ Se
1
@ En un concurso particular 8 alumnos y 9 alumnas si deben de haber
2 ganadores. ¿Cuál es la probabili-
=
~
lanzan 3 monedas y 2 dados
¿Cuál es la probabilidad de que aparezcan 3 caras y2 números pares?
A) 1/64
B) 1/32
C) 1/16
D)2/5
E) 3/64
RESOLUCiÓN:
• Para las monedas:
Al lanzar 3 monedas se puede obtener:
Casos favorables: 1 } Probabilidad: ~
Casos totales
:8
8
• Para los dados:
Casos favorables: 3 . 3 = 9 }
Casos totales
: 6·6 = 36
{CCC; CCS; CSC; SCC; SSS; SCS; CSS}
Probalidad de obtener 2 caras:
Probalidad de no obtener 2 caras:
~
Probabilidad: ;6 =
3
'l'd ad
"
1 1 =32
1
Proba bII
esUnlcas:
8'4
[Rpta. B
I
1- 8
Del gráfico:
0,3-x+x+0,5-x = 0,5 -+x = 0,3
Me piden:
(0,4-x)+(0,5-x) = 0,2
~
""--.
I Rpta. B I
@j) Una caja contiene 6 focos defectuo- @ En una urna se tiene fichas numerasos y 5 buenos. Se sacan 2 a la vez.
Se prueba uno de ellos y se encuentra que es bueno ¿Cuál es la probabilidad de que el otro también sea
bueno?
A) 2/5
B)3/5
C)4/5
D)5/6
E) 2/3
RESOLUCION:
Focos buenos: 5
Focos malos: 6
Si se extraen 2 focos entonces quedaran:
:9+1 =10
Casos totales
Casos favorables: 5-1 = 4
1~
~
das del 1 a140. Se extrae una ficha y
se sabe que es par. ¿Cuál es la probabilidad de que ese número sea
divisible por3?
A) 1/10
B) 3/5
C)2/15
D)3/20
E)7/20
RESOLUCION:
# Pares
:2;4;6; .... ;40
# Múltiplos de 6 : 6; 12; 18; .... ; 36
: 20
Casos totales
Casos favorables: 6
3
Probabilidad: :0 = 2 0 1 Rpta. D I
1 Rpta. A I
@ La probabilidad de un alumno de
@ Se lanzan 2 dados ¿Cuál es la pro-
aprobar Flsica es 3/4, la probabilidad que tiene ese mismo alumno de
aprobar Qulmica es 2/3. Si la probabilidad de este alumno de aprobar
por lo menos uno de los cursos es
4/5 ¿Cuál es la probabilidad de
aprobar ambos cursos?
A) 43/60
B)47/120
C)37/60
D)39/60
E)41/60
RESOLUCION:
Probabilidad:
=
babilidad de obtener al menos 5 como resultado?
A) 2/3
B)3/4
C) 11/36
D)5/18
E)7/12
RESOLUCION:
PRIMER
SEGUNDO
DADO
DADO
5
1;2;3;4;5;6 (6 casos favOlables)
1;2;3;4;5;6 5
(6 casos favorables)
El caso (5;5) se repite
Casos totales
: 6 . 3 = 36
Casos favorables : 11
Probabilidades
: 11/36 [ Rpta. C
~
F=%
5
=8
[Rpta.DI
Entre los números: 1,2, 3, ...... , 50 se
escoge un número al azar ¿ Cuál es la
probabilidad de que el número elegido sea divisible por4 ó6?
A) 7/15
B}9/25
C)7/50
D)3/50
E) 8/25
RESOLUCION:
Múltiplosde4 : {4; 8; 12; .... ;48}
Múltiplos de 6 : {6; 12; 18; .... ;48}
Múltiplos de 12: (12; 24; 36; 48)
•
8
6=50
• 12
4=50
.
8
4
4
16
8
Me piden 50 + 50 + 50 =50=25
[Rpta.
El
@ Se va a seleccionar un comité de 3
personas a partir de 6 hombres y 4
mujeres ¿Cuál es la probabilidad de
que los 3 son hombres?
A) 1/6
B) 1/3
C)2/3
D)3/4
E) 4/5
RESOLUCION:
Casos totales: C~o= 120
Q=2/3
Casos a favor: C~ = 120
20
Probabilidad: 12 0 =
+
I
[Rpta. A
I
@ Tres cazadores A; By C están apuntando a un búfalo. La probabilidad de
que A; B YC acierten son 3/5; 4/7 Y
2/3 respectivamente. Los 3 disponian ¿Cuál es la probabilidad de que
acierten?
A) 7/25
B)8/35
C)9/35
D) 13/35
E) 17/35
RESOLUCION:
Sabemos que:
P(AnBnC)= P(A).P(B).P(C)(Para eventos independientes)
Luego: P(AnBnC)=
3
4
2
8
"5' 7' "3 = 3s
1 Rpta. B I
@Y
La probabilidad de que HUGO compre un pantalón es 0,3 y de que compre una camisa 0,5. Hallar la probabilidad de que compre sólo una de
dichas prendas. Si la probabilidad de
que no compre ninguna es 0,5.
A)O,l
B)0,2
C)0,3
D)0,4
E)0,6
RESOLUCION:
Por dato:
3
2
4
37
--x+x+--x=--+x = 4
3
5
60
~-~
1Rpta.
eI
@ 10 parejas de casados se encuentran en un cuarto. Si se escogen 2
personas al azar ¿Cuál es la probabilidad de que una sea hombre y la
otra mujer?
A) 7176
B)5/38
C)8/19
D)9/19
E)10/19
RESOLUCION:
Casos totales : C~ = 190
Casos a favor: 10 . 10 = 100 combi-
nacion~.
100 10 ~_~
Probabilidad: 190 =
Rpta. E
191
I
(@ Si se lanzan 3 monedas ¿Cuál es la
probabilidad de no obtener 2
caras?
A) 2/3
B)3/4
C)4/5
D)5/8
E) 7/8
INTEGRALES - EXCLUSIVAS
CASOS ESPECIALES
MATRIZ CUADRADA
Es aquella donde el número de filas
es igual al número de columnas. Una
matriz de "n° filas y "n° columnas se
denomina matriz de orden n.
@ A= [a111
a12 a13]
822
823
832 833
812 813 8104]
822 823 824
832 833 834
842 843 844
3A=[-~ ~] y_5A=[-1~ -~J
En toda matriz cuadrada de orden
"n", la diagonal principal es aquella
linea imaginaria formada por los ele-
9 -6
mentos: 811, 822, 833, ....• 8nn.
Luego: C =AB = [cid donde:
p
C·iJ
-15 10
Los elementos de la forma: a,,; V i =
:~pe:'B [~:~.'
MATRIZ NULA
=
811 b12+812b22J
821 b12+a22b22
matriz columna de
¡orden pxl; entonb o' ces el producto
de multiplicar las matrices Ay B(AB
en ese orden) es otra matriz C de
orden 1xl, tal que:
IGUALDAD DE MATRICES
[b 11 ]
e = AS = [a11 812813 ••• 81p]1xp
@ Sean dos matrices A y B del mismo
orden mxn es decir:
A= [a,Jl; B = [b'l]; i = 1; 2; 3; ..... ; m;
Las matrices A y B son iguales si sus
elementos correspondientes son
respectivamente iguales.Asi:
A= B++aij=b¡j;Vi = 1; m ,j= 1; n
es decir: C =
•
• [3 0-21]
J
A= [2a+b -4 l B
19 a+2bl
13 3c+dJ y
Lc+3d 15 J
Si son iguales se debe cumplir que:
2a+b= 19 , a+2b=-4
c+3d=13 , 3c+d=15
Dedonde:a= 14, b=-9,c=4,d=3
OPERACIONES CON MATRICES
ADICiÓN DE MATRICES
Sean A = [alj] y B = [b,j] dos matrices
de orden mxn, entonces la adición
de las matrices A y B(A+B) es otra
matriz C = [c;], llamada matriz suma,
tal que: C = [cll] = [all+b,Jl
y también de orden: mxn
sea[nlla~2m]atrices: [-~ ~
A=
L
3
4 -1
C =A+B =
3x2
[-~:~ ~:~] [-i ~]
=
1+4 5-1
5 4 3><2
Dos matrices A y B del mismo orden
mxn, se dice que son CONFORMES
con respecto a la adición.
MULTIPLICACiÓN DE UNA
MATRIZ POR UN ESCALAR
Sea la matriz: [alJl y un escalar k(k;tQ)
entonces: k·A= [k· a'l] óA·k= [all' K]
Es decir, el escalar k multiplica a cada uno de los elementos de la matriz
@) :~a: A = [-~
~]
3 -2
entonces:
=
b p1
px1
If a
Lk= 1
1k
boJ
J
[~l-~J
= [3.1+0.2+(-2).(-3)+
+1.4] = [13]
a,~, a,p2 a'~3 ...... a'p"
a2~' a2p2 a2~3 ...... a2p"
AB = a3~' a3p2 a3~3 ...... a3p"
::
:
:
amlh amlh .... amj3n
@ Sean las matrices:
2 -1]
A= [ -13 1
1
2]
Y B = [14 O
2.3
-1
3 3.2
C=AB=[a,p, a,p2]
a2j31 a2Jh 2x2
donde: a, p, = [-1 2 -1] U] = [8]
Definición: Sean dos matrices:
A= [a,¡] de orden mxpy B = [b;] de
orden pxn, entonces el producto de
multiplicar las matrices Ay B es otra
matriz C(A.B = C, y no de otra manera) de orden mxn, talque:
C = [CII] =
If a,. bkjl ;1;m, j = 1;n
Lk=
J
a, P2 = [-1 2 -1] [~] = [-5]
a 2P '=[311]U]=[S]
1
El producto de multiplicar matrices
(AB en ese orden) está definido si y
sólo si el número de columnas deA
es igual al número de filas de B,
siendo asi A y B (en ese orden)
CONFORMES a la multiplicación.
@ Sean las matrices:
A=[~ ~]
Y
B=[~ ~]
[~ -~]
[6
11]
3.2+1.5]
2.2+2.5 = 8 14
21
b22 2x2
3.2
como el número de A(2) es igual al
número de filas B(2), entonces Ay B
son CONFORMES a la multiplicación.
= [9]
@ Sean las matrices:
21 -3O21]
[1-32,.3 Y
B=
~ -~ ~
201]
-- [~:~:
a3p,
[-~ ~]
1 -1
'.3
donde: a, p, = [2 O 1]
3x2
[10]
-1 _2 =
11 3><2
~:~:]
a3p2
P2
a, p, a,
[b
y B= b" b'2]
m
2.2
[ 1-32
@ Sean las matrices:
a11 a'2]
A= a2' a22
[ 831 832
Luego: C =
C = AB =
C=AB=[~ ~H~ ~]=
3.1+1.3
= [ 2.1+2.3
a2p2 = [311]
A= 2 O 1
donde A (de 2 columnas) y B (de 2
filas) son CONFORMES con respecto a la multiplicación, luego:
3><2
Definición: Sean dos matrices:
A = [ald de orden mxp tal que a, es su
i-ésima fila y B = [b,j] de orden pxn tal
que ~j es su j-ésima columna, entonces el producto de multiplicar A y B
(AB en ese orden) es:
amj31
[1-12{~] = [1.3+(-1 ).2+2.(-1 )]=[-1]
@ Hallar los valores de a; b; c y de, para
que las matrices sean iguales:
br
b2'
831 b12+a32b22
= [a11 b11+a12b21 +a13b13 +... +81 p b p1]1x1
j=1;2;3; ..... ;n
B= 1
k=1
MULTIPLICACiÓN DE MATRICES
Definición: Sean dos matrices:
A= [a 11 a'2a'3 .... a,p], matriz fila de
1;ii pertenecen a la diagonal principal.
@
= ~
~ 8;k bkj •. 1'3
•• J' = 1'2
•
4><2
[-1]
= [3]
a, P2 = [-1 2 -1] [_~] = [-1]
3x2
a,p, = [1 -32]
MATRIZ DIAGONAL
[-1] = [6]
Es aquella matriz cuadradaA= [ali]
que es triangular superior e inferior
a la vez, es decir:
a,p,= [1 -3 2][J] = [8]
8ij=O,
Además: a3p, = a, p, ; a3p, = a, p,;
a.p, = a.p, ; a.p, = a.p,;
Luego: C =
[Lf]
6 -8
Es aquella matriz cuadrada A = [a,d
cuyos elementos que están por debajo de la diagonal principal son todos nulos, es decir:
ali=O, Vi>j
8{g 1-1]
-2
2
O 3
c=[6~~i]
811 812 813
o ••
81n
[~ ~ ~]
O
O
833 ...
I
aan
~];13=[~ ~ ~];
1.= ~ O~ O~ ~]1
O 1
O
I
@ Es aquella matriz cuadrada A = [a,;]
cuyos elementos que están por encima de la diagonal principal son todos nulos, es decir:
all=O, Vi<j
8=
CASOS PARTICULARES DE
MATRICES CUADRADAS
=A Ak+2=A2 Ak+3=A3
Ak+4=A4 yasisucesivamente.
Ak+1
Si:N=A--+Aes una matriz
IDEMPOTENTE
[!
Además,si:N=A--+A"=A;Vn e Z+
n;,2
-2000]
r::c-:--=---=----:----,
1 -2 O O
Si:AP- O; p e Z+ --+Aes una
matriz NILPOTENTE
C=31-20
[
O 3 1 -2
a"
O O ...
a"a220 ...
8n
A'=A'A=
[-~-1 -~3
-;].
[-~-1 -~3
-;]
a 32 a 33
...
al
i
0
i i
1 8 2 8 3 .•. 8nn
n
n
Si P es el menor número entero positivo que verifica la condición anterior, entonces A es una matriz nilpotente de índice "p". Además:
AP+'=O ; AP+'=O ; AP+3=0
AP+' = O Yasí sucesivamente.
5
[-~-1 -~3
_555] =
5
N = A --+ A es indempotente
Además, siendo A indempotente, se
cumpleque:A"=A;Vn e N, n<:2
@ Sea la matriz: A = [~ :~]
A' =AA=
[~ :~H~ :~]=[~ ~]= O
A' = O --+ A es nilpotente de Indice 2
@ Sea la matriz: 8 = [-~
-~ ~]
1 -34
8' = 8-B =
Si:A'= 1; k e Z+ --+Aes una
matriz PERiÓDICA
Si k es el menor número entero positivo que satisface la condición anterior, entonces A tiene período "k".
Además:
;]
-1 3 5
= Diag (7; 7; 7)
Es aquella matriz escalar donde
k= 1 yse representa asl:
O ... a"
MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
i"
A = [-
822 823 ... a2n
O
[1-1 O]3
::~~:o~atriz: ~ _~
=
MATRIZ UNIDAD O IDENTIDAD
[
(@
= Diag (4;4) ;
1
O O 8 9
O O O 10
[
!]
@> [ci
MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
En general: A =
MATRIZ ESCALAR
811 = 822=833= .... =8nn= k
Traza (A) = 6+(-2)+5 = 9
A=
=[_~ _~][_~ 6] =[-6 _~] =-1
A4=A3 ·A= (-1 )(A)=-A
A5=A4·A=(-A)A=-A'
N=A" ·A= (-A)A=-A'=-(-1)= 1
luego A es periódica, además se observa que k = 6 es el menor número
entero positivo que satisface la condición anterior, entonces k = 6 es el
a"
O O ...
Oa220
... O
0
A= O O a33 ... O = Diag (a,,;
I
I azz; a33; ...
[ I I
O O O ... a"
... ;a,,)
Es aquella matriz diagonal donde
los elementos de la diagonal principal son iguales a un escalar k(k;«),
es decir:
O
O
[_~ m-~ 6]=[-~ -~]
N=A'A=
= Diag (1; -3; 2)
1
:~3 5~]
En general: A =
@ Sea la matriz: A = [_~ 6]
A3 = N'A
"
@ A= [~_~]
@) [6 _~]=Diag(4;2);
yen consecuencia:A"=A, si n es impar; A" = 1, si n es par.
En general:
4x2
A la suma de los elementos de la diagonal principal de una matriz cuadrada A se le denomina traza y se
denota por:
traza (A) = 811+822+833+ ... + 8nn=
4
Vi>j v i<j
[~ -g g]
TRAZA DE UNA MATRIZ
@9) Sea:A= [~
Si:N= 1--+Aes una matriz
INVOLUTIVA
[-~ -~ -:] . [-~ -~ ~] =
1-3-4
1-34
=[~ ~ ~]=O
O O O
8' = O --+ es nilpotente de Indice 2
MATRIZ TRASPUESTA
@ SeaA= [a'i] una matriz de orden mxn;
la matriz traspuesta de A, que se
denota por A', se obtiene colocando
las filas (o columnas) de A como columnas (o filas) en A', es decir:
A'= [a'l] de orden nxm
A=
[~ -~] entonces: A' = [_~ i ~]
5 6
3><2
'"
2] entonces: 8 = [1
-2 1]
1 -3
8 = -2
4 5
' -3 4 -3
[
1-30 3 • 3
250 3 • 3
MATRIZ SIM~TRlCA
€9>
Una matriz cuadrada A = [alj] de orden n es simétrica si y solo si: A' = A,
esdecirsi:
8ji=SiJ ;\fi;j=1;n
Para la matriz:
A=[_~ -nA'{~ -~]=A,
luego A es simétrica.
Para la matriz:
B=
[-~4 -1-~ -i];
B' = [-~ -~ -i] = B,
2
4 -1 2
luego B es simétrica.
MATRIZ HEMISIM~TRlCA O
ANTISIM~TRICA
La matriz cuadradaA= [all1 de orden
n es hemisimétrica si y solo si: A' =
-A; esdecirsi:
8j¡=-Sij; Vi;j=1;n
Observe que los elementos de la
diagonal principal son nulos, pues
para que:
811 = -811; 822= -822; 833= -83g; ... ;A nn
• B=
5]
i 1+3i
entonces B = -2 -i-l 3i
[ 3-i -6 -5i
Una matriz cuadradaA= [alj] de orden n l!!! denomina hermítica si y
solosi:A'=A, es decir:
8ji=Sij ;Vi;j=1;n
Para los elementos de la diagonal
principal a .. k= 1; n setieneque:
8kk=SkkB8kk.E
@). A= [1~3i
=[1~3i
se debe cumplir que:
luego A es hemisimétrica.
Para la matriz:
[-~-350
Ó-;]; B' = [~ ci -;] = -B,
3-50
luego B es hemisimétrica.
@
Dada la matriz cuadrada: A = [all1 de
orden n, demostrar que A+A' es simétrica y queA-A'es hemisimétrica
• Sea B = [b,;] =A+A'= [al;]+[ajl]
= [a;+ajl]
donde b'j= alj+ajl= ajl+alj= bjl
Vi;j = 1;n, es decir: B = B'
Luego: B =A+A'es simétrica
• Sea e = [clj] =A-A' = [a'j]-[aj']
= [ag-ajl]
donde Cg= a'j-aj' = -(ajl-aol= -Cjl
Vi;j = 1;n, es decir: e= -e'
Luego: e =A-A'es hemisimétrica
J'
3i
15 ] =A
Y B' = [
'~
573' • A = [2+i
1-1
-i]
7
entonces A=
[~:i ~] =
= [2-i 7i]
l+i
donde d, indica el número de decrementos en la permutación j ti2 j, ... j,
y que para cada d,se considera una
y sólo una de las permutaciones de:j,
joh··· j,
Pa~
=B
811
6
luego B es hermltica.
MATRIZ HEMIHERMITICA
Una matriz cuadradaA= [alj] de orden n se d~nomina hemihermítica
si ysolosi:A'= -A; es decir:
8j¡=-Sij ;Vi;j=1;n
Para los elementos de la diagonal
principal a .. k= 1; n setieneque:
8kk=SkkB8kk=O v 8kk=mi,
donde i =Y-1
osea, éstos elementos deben ser
nulos o imaginarios puros.
-2-i]~
O -
812
luego B es hemihermltica.
@ Siendo la matriz cuadrada: A =~alj]
de orden n, demostl"lli" que A+A' es
hermítica y que A - A' es hemihermrtica
• Sea B = [b;¡] =A+A'= [a;¡]+[ajl]
= [Sij+8ji]
__
donde b'j = ag+¡¡¡ = ajl+¡¡¡ = ¡¡¡,(1);
Vi;j = l;n, es decir: B= 8f
[:~~ :~1
1
IAI= a2' a22 =(-I)'1.atta'2+
1
+(-I)'2·a'2a2'
Pero: d, = O(la permutación 12 no
tiene decrementos)
yd2= 1 (la permutación 21 tiene
Un decremento)
Luego: ~_ _ _ _ _~
IIAI=a"a22-a'2a2'
®·IAI=I~:~ ~:~I=
=(2+V3)(2-V3)-(1+V2)(1-V2) = 2
-secxl=
I BI=ltanx
cosx cotx
= tan x· cotx- cosx ·(-secx) =
= 1-(-1) = 2
DETERMINANTE TERCER ORDEN
Para la matriz: A =
se tiene que
MATRIZ CONJUGADA
Si A es una matriz de orden mxn tal
que A = [alj ],entonces la matriz conjugada deAes:
A= [alj] también de orden mxn
k=1
la matriz: A =
se tiene que
6
¡ ~ ~~~i]
"
lA I = ~ (-1)',· a'j, a2j2a,;, .... a'j,
DETERMINANTE SEGUNDO ORDEN
¡ ~ ~~~i]
3-2i 4+7i
A=[~ -nA'{~ ~]=-A,
B=
3i
3i
15 ] yAi= [1!3i l i
luego A es hermítica.
• B= [
Dada la matriz cuadrada A = [al;] de
orden "n", se denomina determinante
de A denotado por I A I y se dice también de orden "n°- a la suma de todos
los términos que se pueden obtener
de dicha matriz, es decir:
R.
osea, éstos elementos deben ser
reales.
3-2i 4+7i
@ Para la matriz:
DETERMINANTE DE UNA
MATRIZ CUADRADA
MATRIZ HERMITICA
=-8 nn.
811 = 822=833= .... =Snn= O
Luego: B =A+A'es hermítica.
• Sea e = [CI;] =A-At= [alj]-[8j]
= [a;-8;I]
Pero: Clj= alj-8;I= -(ajl"¡¡¡~= -C]i;
Vi; j = 1;n, es~ecir: e =-0
Luego: e =A-A' es hemihermrtica.
i 1-3i 5]
2 i-l -3i
[ 3+i -6 5i
[:~~
831
::
:~:]
832 833
a" a'2 a"l
IAI = a21 a22 a2' =
l 831 832 833
= (-I)"·a"a22 a ,,+(-I)'2·a'2 a 21 a ,,+
+(-1 )" ·a"a2' a'2 +(-1)"'· att a23a32+
+(-1 )" ·a'2a2,a" +(-I)do. a"a22a"
Pero: d, = O(la permutación 123 no
tiene decrementos)
d2= 1 (la permutación 213 tiene
un decremento)
d, = 2 (la permutación 312 tiene
dos decrementos)
y así con los demás. Luego:
IAI =811822833-812821 833+813821
832- 811 823832+ 812823831813822831
columna i enAson los elementos de
la fila i enADJ (A), es decir:
ADJ (A) = [a,;]'= [a;l]
REGLA DE SARRUS
Mediante ésta regla se puede obtener el determinante anterior en forma rápida. Consiste en repetir la primera y segunda columna a continuación de la tercera. Se toma el
producto de los tres elementos de la
diagonal principal y también el de
sus paralelas siguientes, cada uno
con signo positivo; y luego el producto de los tres elementos de la diagonal secundaria y el de sus dos paralelas siguientes, pero cada uno con
signo negativo, tal como lo muestra
el esquema siguiente:
@)
~]
Para la matriz: A= [ ;
@ HB;lIar el determinante de la matriz
adjunta de:
~~g~~) =[a11
a21] =[q
0.12 0.22
-p
@l) Para la matriz: S = [~ -~
-2
IAI =811 822833+812823831+
813821832 -a31 822813-
832823811-833821812
'II-AD-J-(A-)I-=-IA-I~1--'1
all=(-l)'+'·IM"I=q
a21=(-1)2+1·IM211=-n
a'2= (-1)1+2·1 M'21 =-p
a22= (-1)2+2·1 M221 = m
a,,=(-l)'+'·
a21 = (_1)2+1
a31 = (-1)3+1
a12=(-1)1+2
a22=(-1)2+2
a32=(-1)3+2
a13=(-1)1+3
a23=(-1)2+3
a33=(-1)3+3
lA· ADJ (A)I =11 A 1·/,1-+
-+ lA I·IADJ (A)I = lA l' ·1/,1
--+ IAI·IADJ (A)I = IAI'
por lo tanto:
-mn]
!]
3 -1
:
Sean A Y S dos matrices cuadradas
de orden n, tales que:AB = SA= /, entonces se dice que S es la matriz inversa deAyse denota así: S =A-' ; o
también se dice queAes la matriz inversade Sysedenolaasí:A= S·1.
Luego:
kA·1 = / V A·1 ·A= /
:~]
2
§
DETERMINANTE DE LA
MATRIZ ADJUNTA
IAI = 2·0Hl)+(-3)(-2)·0+(4)·1·(-5)0·0·(4)-(-5)(-2)·2-(-6)·1·(-3)
IAI = 0+0+20-0-20-18--+ IAI =-18
@ Hallar el determinante de la matriz:
A=[~-7 -~1 ~]3
Operando como lo indica el esquema se tiene:
IAI = 2·1·3+4·1·1 +(-3)·2·(-7)-(-7)·1·
1-1·2·24·(-3)·3
IAI =6+4+42+74+36=91
MATRIZ ADJUNTA
Dada la matriz cuadrada:A= [al;] de
orden n y su correspondiente matriz
adjunta: ADJ (A) = [a;l] también de
orden n, se tiene:
a" a'2 813 ...... 8in
a21 a22 823 ...... 82n
A-ADJ (A) = a31 a32 833 ...... a3n
I
a"
a" 8 n3 ...... 8 nn
a 11
821
a 12
822 832 ...... 8n2
0.11
0.21
0.12
0.22 0.32 ...... an2
0.31 ...... Un1
i a" .a;,]
k=1
Aplicando las propiedades se obtiene que:
O .... O
IAI O
O IAI O .... O
O IAI .... O =
A-ADJ (A) = O
!
ADJ (A) = a'3 a23 a33 ...... a,3
O
O
!
O ····IAI
= DIAG(IAI; IAI; IAI; .... ; IAI)
n1n
a2n a3n ...... Unn n)ln
Nótese que los adjuntos de los elementos de la fila j en A son los elementosde lacolumnaj enADJ (A), o
los adjuntos de los elementos de la
A=[~ ~]
YS=[-~ _~]
AB=[~ ~n-~ -~]=
[:~:~ ~:~]=[b ~]=/
SA=[-~ -~H ~ ~]=
De donde afirmamos que S es la matriz inversa de A, osea:
a2n 83n ...... 8nn
de donde: A·ADJ (A) = [
Dada una matriz cuadrada: A = [al;]
de orden n, donde a,] es el adjunto
del elemento a,~ se define como la
matriz adjunta deA-y se denota por
ADJ(A)-a:
Sean las matrices:
=[-~~23 -;~] =[ b ~] =/
831 ...... 8n1
a'3 a23 a33 ...... a'3 = ADJ (A)·A
8in
]
MATRIZ INVERSA
0.13 0.23 0.33
2 4
1
Se pide IADJ (A)I Y para esto no es
necesario calcular laADJ (A), puesto
que por la propiedad: (4.6) se tiene
que:
ADJ (A) = IA1 3.1= IAI2
donde: IAI = 9-8-8-148-12 =-68
Luego: IADJ (A)I = (-68)2 = 682
Por otra parte, si A es una matriz singular (1 A I = O) de (4.4) se deduce
que:
A·ADJ (A)=DIAG(IAI; IAI; IAI; ..
... ; IAI)=O (matriz nula)
M"I=-13;
M211=8
M311=-7
M'21=-8
M221=4
M321=-8
M'31=2
M231=4
M331=2
[-~~
3 -2
A= -2 1 4
143
~:g~~) = [~~: :~ ~:] =
=
[
es decir:
A-'
=[-~ _~] =S
Asimismo, también A es la matriz inversa de S, asl:
S-1 =
@)SiA=[~
[~ ~] =A
nhallarA-1
Sea A·1 = [ ;
~], luego por (4.9) se
tiene:A.A.'=[~ ~H; ~]=/
A-·A-D-J-(A-)=-I-A-1·/-"
'1
1
Luego, tomando determinantes:
--+ [5m+3 P 5n+3q ] = [1 0]--+
3m+2p 3n+2q
O 1
--> 5m+3p = 1 5n+3q = O
2
1 = -8;
a3' = 11O -21
1 = 1; a32 =- 13 -21
3m+2p = O 3n+2q = 1
a33=I~
resolviendo: m = 2 ; n = -3 ;
p=-3;q=5
entonces: A-'
{~
-;]
61=-3
Luego: ADJ (A) =
CONDICiÓN NECESARIA Y
SUFICIENTE PARA QUE UNA
MATRIZ CUADRADA POSEA
INVERSA
Sesabeque:A'ADJ (A) = IAI'/
yademás:
A·A-'=/
considerando que lA I " O, se tiene
que:
ADJ (A)
A· IAI
de donde:
_, _ ADJ (A) __1_
(A)
A IAI - IAI ·ADJ
Es decir, A-' existe si y sólo si A es
una matriz regular(IAI "O); perosiA
es una matrizsingular(IAI = O)sedice que A no posee inversa o no es
inversible.
[~12
~]
-8
-2
-9
entonces por (4.13):
A-' =
4
33
8
33
1
33
4
11
2
33
3
11
8
O 1
7
yADJ (A) =
[~
1] Por (4.13):
A-' _17 .[1-3 41]
=
=
[+ +.
3
-7
4
7
@§) Hallar la inversa de la matriz:
A=
2 1 -2]
[
3
O 1 ,siexiste
-1
4
11
Dadas dos matrices:A= [a,;] de orden mxn y B = [b,; ] de orden mxp
(osea, con el mismo número de filas), se denomina matriz ampliada
Por la propiedad (3.22), con respecto a la segunda fila, se tiene que:
2
IAI =3(-1)' 41 -21
O +1·(-1)· 1-1 11
1
= 3(-8)+1·(-9) = -33; lA 1" O
entonces A posee inversa. Calculando la matriz adjunta deA:
~
a11 = 1
61 = -4; a'2
=-I_~
61 = -1;
a'3=1_~ ~1=12
a21=11
a23=-I_~
-~I=-8;a22=I_~ -~I =-2;
11=-9
i
=[. ~]
a:
[A:B] = [ag' b'l] de orden mx(n+p)
es decir:
811
812
8a13 ...... 81n
a21
822
23 ...... 82n
!
i
ar ai ar . . . ar I
~]
21-210
3 O 1 O 1
[ -1 4 O O O
1,~12 [~ ~ -f 6 ~ 6]
-1
4
O O O 1
12-31,[1 5 -2 1 O 1J
O -15 7 -3 1 -3
13 + 1, O 4
-2
1 O 1
1 5 -2 1 ¡i O 11
1
-1512 0_12.1: __
11
_
15 5: 15 5
[
09-21102
O
1
3
12-31, O 1 _2.
15
11
O O 15
O
1
3
O
15
3
5
5
1
1. __1_
5
4
5
mx(n+p)
[1
@ Si: A = [-13 2]
O YB = 2
5
-1 2]
3 -3 ,
1-52
4-2
entonces:
20,23-3
1-1 2]
[-1 -211-52
1
[A:B] =
@) Si:A= [-~2
~]YI3=[6 ~ ~1]'
-6
O -2
O O
entonces:
O
7
Por la propiedad (4 17):
am1 am2 am3 ..... amn !
lA I = 4
3 -11
1 = 7, lA 1" O,
1
entonces A posee inversa, además:
0<1,=(-1)"'·(1)=1
a'2= (-1 )'.2. (3) =-3
a2,=(-1)2·'·(-1)=1
a22= (-1 )2.2. (4) = 4
:]=[I:B]
[~-1 64 -f]O
A=
MATRIZ AMPLIADA
[A:B] =
_~
Calcular la inversa de la matriz:
33
8
33
1 -2
Luego: B = A-'
[A:!] =
@ Hallar la inversa dela matriz:
. .t
A= [43 -1]1 ,SleXlse
[
= [I:A-']
1 -1 O ¡ 1 O O]
[A:!.1 = -1 O 2 1 O 1 O
[ 20-2¡001
@!) Calcular la inversa de la matriz:
A=[~ -~]
Por la propiedad (4.17)
[A'I] = [4 -1: 1
.
3 1¡0
O] 1,-12
1
-
1 -2! 1 -1] 12 _1, [1 -2! 1 -1]
[ 3 110 1 071-34
1 [1-2
-12
7_
O 1
1.!-1]
_-ª-
7 7
1, ":..212
Luego: A-' =
4
33
1
33
4
11
--ª- __1
33
2
33
3
11
@ Hallar la inversa de la matriz:
A=
[-~4 5~ -7-~]
~ :~
6~
~]
1,:1, [6 ~ -~ 6 ~
~]
[A:!] =
[o}
13-41, O -3 -3
OO 1
-4 O -3
33
8
33
1
11
~_f2 ~ ~
[:
! l.
-1
--> C·1 =
0-3-3-40-3
h+3f2
f, - 212
2
5
1
5
3
5
3
5
1
5
1 O -3
o
1
o
O O
3
5
1
5
5
Una matriz cuadrada: A = [ag] de orden n se denomina ORTOGONAL,
siysólosi:
A'AI=A"A= I
AA"[--; 1]
-../31
2
2
~+!
=[
r
-../3
2
2
-../3
2
A=
4
-ª-
Luego:Aesortogonal.
De(4.19)setieneque:A·AI= 1-->
-->A-"A ·AI=A·1·I--> I·AI=A·1·1
De donde, si A es ortogonal entonces:
AI=A-' v A·I =AI
I
I
@ Averiguar si: C =
2
3
2
3
1
3
3
2
3
2
3
2
3
1
3
2
3
es ortogonal.
C=
~ [-~ ~
J]-->ICI=-1
AADJ (C) =
A
~ [:~ -~ ~]
9-6-36
Luego:
1
C-1 = - . ADJ (C) =
ICI
=
-~ ~ [-~ ~ -~]
.
[~-1 ~]3
Siendo r el orden de una submatriz
cuadrada: r " mín {3; 2}, es decir:
r ,; 2. Las submatrices cuadradas
de orden 2 son:
Hallar la caracterlstica de la matriz:
A=
[~1 -~3 2~ -~]O de orden 3x4
En este caso, el orden de una submatriz cuadrada r ,; min (3; 4), es
decir: r'; 3. Las submatrices cuadradas de orden 3 son:
[~ -! gH~ -! -!l
[~ ~ -!]{! ~
2
4
-6
I~ ~I=o; I~ :~I=o; I~ ~I=o
En vista que sus determinantes son
nulas, entonces la característica no
es 2. Tomando ahora las submatrices
cuadradas de orden 1, vemos que,
por ejemplo: I 3 I = 3 "O. Luego A tiene característica r = 1.
~
Hallar la determinante de la matriz:
[~ ~]{~ ~H-~ ~]
B=
[3 6 -9]
Como la matrizAes de orden 2x3, tomaremos primero las submatrices
cuadradas "mas grandes", osea las
de orden 2:
de orden 3x2
@ Sea la matriz:
2
8
@ Sea la matriz:
[1]; [4]; [2]; [O]; [-1]; [3]
-"1+Yf] =[1 0]=1
+~
O 1
4
4
4
--..(3 +-..(3
=CI
Las submatrices cuadradas de orden 1 son:
=
distinto de cero; es decir, la característica de A es igual a r si al menos
una de sus submatrices cuadradas
de orden r tiene determinante no nulo, siendo los determinantes de las
submatrices cuadradas de orden r+1
(si es que existen)todos nulos.
Dada una matriz: A = [all] de orden
mxn, se denomina submatriz cuadrada de orden r(r,; mín){m; ni) a
aquella que se obtiene luego de eliminar una o más lineas (filas y/o columnas) de la matrizA.
MATRIZ ORTOGONAL
_AH
1
3
2
3
2
3
SUBMATRlCES CUADRADAS
donde se observa que los tres primeros elementos de la tercera fila son
nulos, con lo cual se hace imposible
la formación de la matriz identidad
en la parte izquierda. En conclusión,
la matriz dada no tiene inversa. (Tenga en cuenta que esto también significaqueIAI=O).
@ ...
2
3
2
3
1
3
Entonces: C es ortogonal.
12
--5
17
2
3
1
3
2
3
B=[j
4
r~l
5 -7
Considerando primero las submatrices cuadradas "mas grandes", las de
orden 3, vemos que:
1
2
-1
2 -1
1
4 -2 =0 ; 2
3 6
4
1
-1
4
-2
2 -1
3 6 =0 ; -1
4
5 -7
2 -1
4 -2
5 -7
= O;
4 -2
3 6 =0 ;
5 -7
Ahora, las submatrices cuadradas de
orden 2; basta con encontrar una con
determinante no nulo, por ejemplo:
I_~ ~ 1= 10" O Y concluimos que la
característica de A es r = 2.
O!]
Las submatrices cuadradas de orden 2 son:
5 2].[0 -1].[5
[ O -1 '1 3' 1
2].
3'
2 1J' [-1 O]. [2
[ -1 O ' 3 2 ' 3
2'
1]. etc.
sólo se han indicado seis submatrices cuadradas de orden 2, pero en
total se pueden obtener 18. Las
submatrices cuadradas de orden 1,
son fáciles de indicar, como el lector
habrá podido percatarse.
CARACTERlsTICA O RANGO
DE UNA MATRIZ
Dada una matriz A = [a;j] de orden
mxn, se llama caracterlstica o rango de la matriz A al orden de aquella
submatriz cuadrada de mayor orden posible cuyo determinante sea
MATRIZ COVALENTES
Dos matrices A y B del mismo orden
se dice que son equivalentes si una
de ellas se obtiene de la otra como resultado de la aplicación de un número finito de transformaciones de linea
(por lo general, de fila) y éstas además tienen la misma caracterlstica.
@ Hallar la caracteristica de la matriz:
A=
[~ ~ ~ ~]
134 5
Transformando la matriz A se tiene:
A=[~ ~ ~ ~]f2~211[~ _~ _~ _~]
1 3 4 5
h-~ O 1 1
3
(-1J2[~ ~ ~ ~]fa:~[~ _~ ~ ~]=B
0113
0000
La matriz B es equivalente a la matriz A
En B, todas las submatrices cuadradas de orden 3 tienen determinante
nulo, pero una de sus submatrices
cuadradas de orden 2:
I~
iI
@9) Hallar la matriz canónica equivalente de:
[ 1 2 1 O]
3 2 1 2
tiene
A= 2 -1 2 5
5 632
determinante no nulo; luego la caraclerfstica de B, y por consiguiente
la deA, es r = 2.
Para hallar la caracteristica de una
matriz cualquiera es más sencillo
calcularlo por medio de su matriz
equivalente; en ésta puede observarse répldamente a aquella submatrlz cuadrada cuyo determinante es
distinto de cero.
Una matriz C = (c;; 1de orden mxn y
cuya caracterfstica es r, se denom~
na canónla si satisface las siguientes condiciones:
a) Uno o más elementos en cada
una de las r primeras filas son distintos de cero, siendo nulos todos
los elementos de las ITH filas restantes.
b) El primer elemento no nuloen cada una de las r primeras filas es la
unidad; siendo, obviamente, nulos todos los elementos anteriores a éste.
c) Apartirde la segunda fila hasta la
r-éslma, el número de elementos
nulos anteriores a la unidad siempre debe ser mayor al de la fila
anterior.
d) En la columna ala cual pertenece
el primer elemento no nulo de
una cierta fila (osea la unidad), todos los demás elementos deben
ser nulos.
Para que dos relojes malogrados
que estén marcando la hora
correcta lo vuelvan a hacer, tiene
que pasar un tiempo igual al
M.C.M. de los tiempos parciales
que debe pasar para volver a
marcarla hora exacta.
1 3 -1 -3
Transformando hasta obtener la
matriz canónica:
1 2 1 0]f'-3I'[1
3 2 1 2 fa-2f, O
A= 2 -1 2 5
O
5 6 3 2 f.-5f, O
1 3 -1 -3 f.-f, O
2 -2
1 O
2
O 5
-4
-5
-4
1
-2 2
-2 -3
Entonces hallando el tiempo que debe transcurrir para que el 1ero reloj,
vuelva a marcar la hora correcta.
6~ -~ -~] ;::~:[6 ~ -~ -~]
MATRIZ CANÓNICA
Se adelanta
x=
B=[~:~ ~ ~ ~]
x=
Transformando:
OOOOO
c.=[6O 6O -~O g]1
C. no satisface la condición (B), Cs
no satisface las condiciones (c) y (d);
Y C. no satisface la condición (d).
Pero, con algunas transformaciones
elementales de fila, éstas se pueden
llevar a matrices canónicas.
12 hrxl)lf x
.zmlfi
1)11'
x = 240 hr = 10 dras ................ (2)
Después de 10 dfas de atraso el2do.
reloj vuelve a marcar la hora correcta.
El M.C.M.es 10y15es: 30
Entonces deberé pasar 30 dias para
que los dos relojes marquen la hora
correcta simulténeamente.
B=[H Hl]-[H -LH]
O 2 -2 -4 2
Con la paIÚ "bU del problema:
Para que dos relojes malogrados
que estén marcando lo mismo
vuelvan a coincidir, tienen que
separarse 12 horas.
donde la caraclerfstlca de C , es r = 2,
lade C,esr=3yladeC.es r= 3.
Nótese que éstas matrices satisfacen todas las condiciones anteriores
En cambio, las siguientes matrices
no son canónicas:
OOOO
(.6ó ",rn]
20
Queda para elleclor, determinar las
transformaciones empleadas. De
ésta última, la matriz C y por consiguiente B tienen caracleristlca r= 3.
104
1 O 1
Cada
3mln - - lhr
12hr - - x
0012000000
~ -~ ~]cs=[~ ~ OO-1]
1)11'
Se adelanta
Hallar la matriz canónica equivalen-
[6 ~ ~ -ci ~l = C
O O O 1 2 O
[6O O~ -~O O6] c, = [~O O~ O~ Or~]O -[6O O~ -1-~ :~-2 ~]_
C4=[6
xl
Después de 15 dfas de adelanto el
1ero reloj marcaré la hora correcta.
Hallando el tiempo que debe atrasarse el 2do. reloj para que vuelva a
marcarla hora correcta.
2 -2 1 O 2
1 1 -1 -3 3
C3=[~O 6O O~ ~]1
~mlfi
(
x = 360 hrG:~~J = 15 dfas .... (1)
Se podré observar que la matriz canónica obtenida tiene caraclerfstica
r = 3; luego A también seré de caracterfstlca r= 3.
1 1 -1 .J 3
12 hrxl)lf
x = 360 hr
O 0-10 -10 f.-lot3 O O O O
te de:
.6ó ",rn]
30
.f~.[~ LLl]f::-~.[~ ~ ~ -1]
@
Cada
2mln - - lhr
12hr - - x
f,xf. O -5 O 5
O 0-10-10
O -4 -2 2 f.-4I, O 0-10 -10
O -4 -2 2 fs-41, O 0-10 -10
@ Son matrices canónicas:
C, =
B) 2 dras, 9 dfas
A) 30 dfas, 6 dlas
D)5dfas, 6dfas
C) 7 dfas, 3 dras
E) 9 dfas, 3 dfas
RESOLucION:
Con la paIÚ "a" del problema:
Si el primero se adelanta 2 mino por
hora y el segundo se atrasa 3 mino
por hora, entonces la separación total por hora es 5 min., Luego:
Separación
Cada
5mln - - lhr
12hr - - x
12
§
X
Se tiene dos relojes sincronizados a
las 12 del medio dfa (hora exacta).
Si el primero se adelanta 2' cada
hora y el segundo se atrasa 3' cada
hora responder:
a. ¿Dentro de cuánto tiempo marcarén nuevamente la hora correcta los 2 relojes simultáneamente?
B. ¿Dentro de cuánto tiempo marcarén la misma hora?
= 12 hrxl )lf x
~mlfi
(.6ó Il1fn]
1)11'
x = 144 hr
x = 144)1([
~:~J = 6 dfas
Deberé pasar: 6 dfas
@
R=,,--=ta:--.--=A'"')
r[
La campanada de un reloj indica las
horas con igual número de campanadas. Para indicar las n horas tarda 4
segundos. ¿Cuántas horas habrén
2
2
A) n +n
B) n -n
2
2
. - - 1 21 d'las
8 21mln
2
12hr
C) n -n
4
2
n 2 +n-1
E)--4--
D) n +1
4
~
8
12ptx1;Zdras x [60
x
17_",
y
x = 127
1~
r~J s
n-1
n(n-1 )
Los - 4 - intervalos corresponden
[n(~-1) +~ campanadas.
n(n-1)
n2 -n+4
4
..... (2)
-4-+1 =
En "2n" segundos habrán:
--ª'- = 2n(n-1) = n(n-1) intervalos
n(n-1)
Los - 2 - intervalos corresponden
Habrán transcurrido: (3) - (2):
2n 2 -2n+4-n'+n-4
4
2
I Rpta. B I
= n -n horas
8
4
Un reloj empieza a adelantarse a
partir de las 8:30 a razón de 8 minutos y medio cada dia y medio, luego
de ¿cuánto tiempo marcará la hora
correcta nuevamente?
A) 103 :3 dlas
~~
¿A qué hora, inmediatamente después de las 2:00 p.m., el minutero
adelanta al horario, tanto como el
horario adelanta a la marca de las
12?
A) 2:32 p.m.
B)2:28 p.m.
C)2:35p.m.
D)2:24 p.m.
E) 2:40 p.m.
RESOLUCiÓN:
Graficando la condición del proble-
~
ma:
B) 127
10
1~
dras
D) 120 dias
días
RESOLUCiÓN:
Para que un reloj malogrado que
se adelanta o se atrasa vuelva a
marcar la hora correcta deberá
adelantarse o atrasarse 12 horas.
8
6
Del gráfico podemos establecer:
2a=6M·
a=3M· .................. (I)
a-
Si el duplo de las horas transcurridas
en un día es igual al cuádruplo de las
que faltan para terminar el día. ¿Qué
hora es?
A)3a.m.
B)5p.m.
C)4p.m.
D)4a.m.
E)2p.m.
RESOLUCiÓN:
Asumiendo:
Horas transcurridas del día = x
Se deduce que:
Faltan transcurrir del día = (24-x)
Del enunciado del problema
2x=4(24-x)
2x=96-4x
6x=96
x=16
Como han transcurrido 16 horas del
día, son las: 4 p.m.
Rpta, C
I
I
Hallar"a" en el gráfico
12
10
[~J~ 2(30·)
9
3
M·
a-T =60' ........... (2)
8
(1) en la ecuación (2)
M'
5M·
3M· - - - = 60 ~ = 60
2
M = 120
5
e) 103 17 días
E) 107
8
I Rpta. B I
8
n(n-1) 1 = n2 -n+2
(3)
2 +
2
.....
n2 -n+4
la hora correcta.
9
[n(~-1) +~ campanadas.
n2 -n+2
días marcará
2
n-1
--2-- - --4-- =
*
días
Luego de: 127
ln-1
En "n" segundos habrán:
n
n(n-1)
4 = - 4 - intervalos
a
,,,,n
,-----;------,
De(1)afirmamosque un intervalo de
4
~nJ
1):tf
_ 12x3x60 _ 1260 dr
x17
- 17
as
x=[n~1Js ....... (1)
4
min
3
1 joteIvaIox4s
x=
(n-1) joteIvaIo
a
-- x
12 hrx1fdías
x
RESOLUCiÓN:
En "n" horas, el reloj da "n" campanadas, las cuales transcurren en (n-1)
intervalos de tiempo.
(n-1) intervalos ---4s
1 intervalo - - x
tiempo transcurre en
minutos que pasaron desde las 3 hace 15 minutos, que es el tiempo que
espero a mi amada. ¿Qué hora es?
A)3h55min
B)3h45min
C)3h35min
D)3h25min
E)3h 15min
RESOLUCiÓN:
Asumiendo que:
# de minutos que pasaron desde las 3
=Mmin.
Si hubieran pasado 25 minutos mas
tendríamos; (M+25); entonces faltarían para las 5:
[120-(M+25)] minutos
Desde las 3 hace 15 minutos pasaron
(M-15)minutos.
Planteando el problema, tenemos:
120-(M+25) = M-15
120-M-25 = M-15
110=2M
De donde: M = 55
Desde las 3 pasaron 55 minutos.
Son las: 3h 55 mino
IrR=-p-,ta-.--:A--.1
Entonces, por condición del problema y usando regla de tres:
Se adelanta
Cada
transcurrido desde el instante en
que empleó n segundos para indica~a, hasta el instante en que utilizó
2n segundos para indicar la hora?
5
6
2
M = 24 mino
Han transcurrido desde las 2; 24 minutos.
Entonces son las:
Rpta.
2hr24min.
I
DI
@ Al preguntarle la hora a un romántico responde: pasan de las 3 sin ser
las 4 de esta hermosa tarde. Si hubieran pasado 25 minutos más; faltarán para las 5 horas los mismos
A) 120·
B) 110·
C) 130·
D) 142·
E) 135·
RESOLUCiÓN:
Observaciones en el gráfico:
El minutero se encuentra en la marca
de las 4, por lo tanto avanzó 20 minutos.
En 20 minutos de avance del minutero el horario giró 10· con relación a la
última hora marcada. (Demostrado
en la parte teórica).
Graficando:
12
11\......-r-..~,
RESOLUCiÓN:
Graficando:
A)
~1°
3
2°
3°
4°
nx
~1°
loj? Si: 3a - 6 = 40'
12
9 +-------j~=--+ 3
t = n x ....... (2)
nx-l
Pero t = x, entonces en (2):
n2 x
x = nx-1
"c(nx-l) = n2"c
nx-1 = n2
nx = n2 +1
De donde:
n2 +1
x=-Rpta.
n
6
D) 10:
~
B) 10: 9;
C) 10:
80
73
11
E) 10: 1!0
11
RESOLUCiÓN:
Pordalo:
3a-6 = 40' ........ (1)
Del gráfico:
a+6 = 360' ....... (2)
Sumando (1) Y(2):
4a=400'
a=100· ........... (3)
"a" es el ángulo entre el horario y el
minutero, entonces; como el horario
está delante del minutero:
11
a=-T M+30H
I
2
100'-300' = - n
2
-200·=_n M
2
x
400 =M
11
de donde: M = 36 1~ mino
Son las:
1Ohr 36 1~ mino
Rpta. C
I
@9) Un campanario tarda n
2 x sag.
en tocar tantas campanadas como "n" veces el tiempo que demora entre
campanada y campanada, hallar el
tiempo en función a "n" que demora
entre campanada y campanada si es
igual a "x·.
¡;;:¡::¡-
A)~nseg.
C) n seg.
E) n41 sag.
n
x = %lnterVá.los
3
B) n(n+2)
--¡¡:;¡- sag.
D)
~ 4~~1 seg.
®
a
14
s ........ (1)
~4
seg.
En (n+l) horas, tenemos "n" intervalos de tiempo.
Entonces los "n" intervalos, transcurrenen:
El
4
14
n[ 13 J=1 3 s 1
®
I Rpta. DI
Un reloj da 7 campanadas en 28 segundos. ¿En cuánto tiempo indicará las "n+l" horas, si el reloj marca
las horas con igual número de campanadas.
I Rpta.A I
La mitad del tiempo que ha pasado
desde las 9:00 a.m. es una tercera
parte del tiempo que falta para las
7:00p.m. ¿Qué hora es?
A)ll a.m.
B)l p.m.
C)4p.m.
D)2:20p.m.
E)10: 20 p.m.
RESOLUCiÓN:
3
Sabemos que de 9:00 a.m. a 7:00
p.m. existe una diferencia de 10 hr.
Asumiendo que:
TIempo transcurrido desde las 9 a.m.
=xhoras.
Entonces, se deduce:
Falta transcurrir hasta las 7 p.m. =
(lO-x) horas
Por condición del problema:
1 interValo x$S
AlnterValos
I 7 horas I
_1
28 sag
Un intervalo transcurre en
Un intervalo transcurre en 2 seg.
En 20 segundos tenemos 10 intervalos de tiempo, entonces se ejecutaron 11 campanadas.
Pepito se acostó a las 11 p.m.
En 10 segundos tenemos 5 intervalos de tiempo, entonces se ejecutaron 6 campanadas.
Pepito se levanta a las 6 a.m.
De 11 p.m. a 6 a.m., transcurren 7
horas, entonces, Pepito duenme:
I
7°
14
RESOLUCiÓN:
4 intervalos - - 8s
1 intervalo - - x
M
6°
1 interValo x 28S
igual número de campanadas. Para
indicar que son las 5 emplea 8s. Pepito se acuesta a una hora en que el
reloj emplea 20s en indicarla y se levanta al día siguiente, a una hora
en que el reloj emplea lOs para indicarla. ¿Cuántas horas duenme
Pepito?
A)8h
B)6+h
M+30(10)
5°
Tenemos 6 intervalos de tiempo:
6 intervalos - - 28s
1 intervalo - - x
D)7h
100' = - n
4°
Intervalos de TIempo
x=
@ Un reloj indica la hora que es con
en donde:
3°
1_
2
8
A) 10:
2°
t~4J t~4J t~4J t~4J t~4J t~4J
II=C-ll
l=nx-l ...... (l)
Luego; hallando el tiempo que dura
cada intervalo:
nx-l - - n2 xseg.
l--t
de donde:
10
E) 4n s
.r . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sabemos que el # de intervalos de
tiempo es uno menos que el # de
campanadas. entonces:
@ ¿Qué hora indica las agujas del re·
D) 4(n+l)s
# de campanadas
Intervalos de Tiempo
I Rpta. C I
(n+l)s
RESOLUCiÓN:
Graficando:
n2 x seg -----.¡
Del gráfico:
6=30'(4)+10'
6= 130'
~4
B)
3
. . .·"'1
rIÁÁÁ
~
4
s
C) ~ (n-l)s
# de campanadas
9
l~n
x
2
1
=3 (lO-x)
De donde: 3x=2(10-x)
3x=20-2x
5x=20
x=4
Se concluye que desde las 9:00 a.m.
han transcurrido 4 horas, entonces
Rpta. B
son la: 1 p.m.
I
~
I
¿Qué hora es?, según el gráfico mos12
trado:
11
1
10
9 +--"'--'71---+ 3
4
8
6
5
2
A) 10:38"
C) 10:39
B) 10:36"
2
D) 10:38
7
9
7
7
E) 10:39"
Si te fijas bien, observaras que el ángulo entre el horario y minutero es
90· [Rotar las manecillas].
Dado que el horario está delante del
minutero, entonces:
¿Cuántas campanadas se escucharán en 1 día?
B)202
C)348
A) 204
D)342
E) 324
RESOLUCiÓN:
Cálculo del # de campanadas en 12
horas de avance:
# de total de campanadas en las horas:
12(12+1)
1+2+3+ ... +12 =
2
# total de campanadas en las me-
2
diashoras:
11M = 300.-90.
2
12veces
= 24 campanadas
Total de campanadas en las 12 horas: 78+24 = 102 campanadas
En un día se escucha: 102(2) = 204
campanadas.
Rpta. A
2
M= 420
11
M =38
1~
I
mino
El minutero avanzó desde las diez,
38
1~
minutos
1Ohr 38
1~
I Rpta. A I
mino
@ Arturo al
observar un campanario
nota que da 5 campanadas en 10
segundos. ¿Qué tiempo demorará
en dar 25 campanadas?
A) 50 seg. B)62seg. C)60 seg.
D)52seg.
E) 65 seg.
RESOLUCiÓN:
Graficando:
# de campanadas
L1
0
2°
3°
4°
5°
.r [t]·. . [t]s [t]s [t]·
/"""""oII. ..............................
~10seg~
Intervalos de Tiempo
Se observa que, 4 intervalos de
tiempo transcurren en 10 segundos,
entonces:
4 intervalos - - 10s
1 intervalo - - x
x
1 interValo x WS
AlnterValos
x=t~Jseg.
Cada intervalo de tiempo dura
t
~ J seg.
En 25 campanadas hay 24 intervalosdetiempo.
Entonces las 5 campanadas trans-
curren en:
24 t
I
@ Un reloj da 8 campanadas en 3 segundos. ¿Cuánto se demora para
dar 12 campanadas?
Entonces son las:
~ J = 60 seg. I Rpta. C I
@ Un reloj indica las horas tocando tantas campanadas como hora indica y
además toca 2 campanadas en las
medias horas.
5
A)3-¡¡seg. B)3
5
3
7
seg.
RESOLUCiÓN:
Graficando:
# de campanadas
L 1• 2· 3· 4· 5· 6· 7" 8·
[f] ,...,.
[f] ,...,.
[f] ,...,.
[f] ,...,.
[f] ,...,.
[f]
ffi ,...,.
,...,.
3seg
14
Dentro de 10 minutos faltará transcunrirhasta las8a.m. = [120-(M+10)]
Del enunciado:
+
[120-(M+10)]
1
M-10 = 9 [120-M-10)]
1
M-10 = 9 [110-M]
9M-90 = 11 O-M
10M=200
M=20min.
Desde las 6 a.m. Han transcunrido 20
minutos.
Son las: 6h 20 mino
Rpta. E
I
I
@ Una persona al ver la hora, confunde
1
C) 47 seg. D) 25 seg. E) N.A.
r
Hace 10 minutos habían transcurrido
desde las6a.m. = (M-10)min.
Entre las 6 a.m. y las 8 a.m. hay 120
M-10 =
,2+2+2~ .... +12,= 12(2)
11M =210.
a.m.=Mmin.
minutos.
= 78 campanadas
90.=- 11M +30(10)
A) 6:30 a.m. B) 7:20 a.m. C) 5:45 a.m.
D)8:10a.m.
E)6:20a.m.
RESOLUCiÓN:
Asumiendo que:
# de minutos que pasaron desde las 6
el horario con el minutero y
viceversa, y dice: ·Son las 4:42".
¿Qué hora era realmente?
A) 8:24
B) 8:22
C) 8:27
5
D)8:25
E)8:23"
RESOLUCiÓN:
Graficando la hora supuesta (4:42)
12
~I
Intervalos de Tiempo
Hallando el # de intervalos de tiempo:
II=C-11
1=8-1
1=7 ....... (2)
Hallando cuanto dura cada intervalo de tiempo:
7 intervalos - - 3s
1 intervalo - - x
1 inteníalo x~
x
AinterValos
3
s ...... (2)
x=7
En 12 campanadas tenemos 11 intervalos de tiempo:
Entonces las 12 campanadas trans-
curren en:
11t;J=3;=4;
I Rpta.cl
En 42 minutos de avance del minutero, el horario gira 21· con relación a la
última hora marcada.
Observar que el minutero avanzó 2
divisiones desde las 8; por lo tanto gir612·.
Entonces:
6 = 12·+3(30)+9·
6=111· ........... (1)
Debes darte cuenta que el ángulo 6
entre el minutero y el horario novaña
Ahora, graficando la hora correcta
12
@ Son más de las seis, sin ser las
ocho de esta mañana, y hace diez
minutos los minutos que habían
transcunrido desde las seis eran
iguales a
+
del tiempo que faltará
transcunrir hasta las ocho, dentro de
diez minutos. ¿Qué horas es?
3
Dado que el número adelanta al minutero, entonces:
tll·=_11 M·+ 30 H"
@
¿Qué hora marca el reloj de la figura mostrada, sabiendo que 9°. 0.0 =
3,75·?
12
El !i32U') i· n
2
111·=-
~
Il:id?fYU!1
M·+30(8·)
11 M =240-111
(Del
9
2
3
11 M =129
M = 258
11
5
6
A)4h 37' B)4h 36'35" C)4h 37'30"
D)4h 38'
E)4h 37'16"
RESOLUCION:
.
M =23 11 mln.
Han transcurrido desde las 8,
23
1~
@
4
2
minutos
Entonces son las:
8hr 23
@
1~
mino [Rpta. E
I
Un reloj da 6 campanadas en 5 segundos. ¿En cuántos segundos dará 12 campanadas?
A)9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13
RESOLUCION:
Graficando:
# de campanadas
L1
2°
0
3°
,r. . . ,. . . ,. . ., . . . . . .
18
18
I~
18
14
1I
Observar que:
# Intervalos
# Campanadas = de tiempo +1
a+
[~J:' 2(30·)
a+
[~J: 60· ........ (1)
a
En adelante asumimos que:
# campanadas = C
# de Intervalos de tiempo = 1
Entonces:
I c=l+ll
VoxtxR
100
=60· -[~r
...
6M·-180·- [60.6M·-180·~0·+
D'.=
@
(4)
x = %InterValos
x=ls ......... (2)
Un intervalo transcurre en 1 seg.
En 12 campanadas tenemos 11 intervalos.
Entonces las 12 campanadas se suceden en:
11(1)= ~
Observar que: I T= I.t I
Donde:
T = Tiempo total en segundos
I = # de intervalos de tiempo
t = Tiempo entre campanada y campanada en segundos.
[Rpta. C
I
75
= 3·+ 100
M·
15·
= 3·+2
4
6M·-240·+ -
4
13M
15+960
--L =
~
1
75000x80 x16x20
100xl0xl0x3
[Rpta. D
..... (1)
..... (U)
..... (a)
..... (~)
(a)+(~):
2
26M=975
975
M= M =37,5 mino
26
Convirtiendo a minutos y segundos:
37,5min = 37min+0,5min
. 05 . ~60SJ
= 37mln+ , mln 1min
L
= 37min+30seg.
V .,+V.2= VO,+V02-(D.,+D.,.)-2,5% (V01+VOJ
Reemplazando (1) y (U):
59725 = 63000-(D.,+D.,.)- 2,5% x63000
D., + D",,= 1700; t, = 3 meses;
t2=5meses;R=8%
Reemplazando:
Vn1x3x8
Han transcurrido desde las 4; 37 minutos con 30 segundos.
Entonces son las:
[ Rpta. e
4hr37min 30seg
I
I
Un banco descuenta a la tasa deI8%,
2 letras pagaderas uno a los 3 meses
la otra a los 5 meses. Al mismo tiempo cobra 2,5% de comisión sobre el
valor nominal de cada letra. El portadorde las letras recibe SI. 59725. Sabiendo que la suma de los valores nominales de las letras es 5/.63000.
Hallar el menor de dichos valores nominales.
A) 12000
B)27000
C)30000
E) 32000
D)30000
RESOLUCION:
V 01 +V 02 = 63000
V 01 +V 02 = 59725
V.,+VO,-D.,-2,5%VO,
V.2+V 02 - D",,-2,5% V 02
13M = 15· +240
2
1 inteníalo x M
M·
~
15-+~
:. D'.=6400
~.J = 3,75·
2
Vo
V' 0= 75000; t, = t-20% t = 80% t;
R,= R+60% R= 160% R
Voxt,xR, 75000x80%txI60%R
D'.=
100
=
100
De la ecuación (2):
O· =6M·-180· .......... (5)
(4)y(5)en la ecuación (3):
De los datos del problema en la fórmula:
6=1+1
1=5 .......... (1)
Estableciendo una regla de tres:
5 intervalos - - 5s
1 intervalo - - x
t: años
R%anual
Reemplazando:
0+180· = 6M· ........... (2)
Por dato:
O·-{l· =3,75· ............ (3)
De la ecuación (1):
Intervalos de Tiempo
I
14
~
V.=V o-D·=15 XV'-+ ~
18 18
55
Una letra es descontada comercialmente y se obtiene un valor actual
equivalente a 14/15 del valor nominal
¿Cuál será el descuento comerci~1
que sufrirá otra letra cuyo valor nomInal es 5/.75000. Cuyo tiempo de descuento sea un 20% menor y su tasa
de descuento sea un 60% mayor?
A) 6300
B)6420
C)6320
D)6400
E) 6800
RESOLUCION:
Caso 1:
I V·=15=V'
Del gráfico podemos establecer:
4°
"O 02 .1"0 02)
Vn2 x5x8
- 12
"ccOccO- +
1200
1700
3V 01 +5V 02
150
- 1700
3V,,+5V'2= 255000}
(1) por3: 3V,,+3V'2= 189000
2V'2=66000
V'2=33000
:. V,,=30000
Rpta. C
j
t6?
~
I
12xV,
~Va = 3V'-"""""i2ll
I
vencimientos.
A)24dias B) 120dias C)840dias
O) 150dias
E) 145dias
RESOLUCION:
AAA ..A:~nal
~~~ ~~I~:
@ Los valores nominales de las lelres
M y N eslán en la relación de 5 a 9,
ambas se descuentan al 25%. La
primera por 2 meses y 24 dlas y la
segunda por 4 meses. Si el descuento de la segunda lelra ha sido
de SI. 2520. Calcular cuál fue el
descuenlode la primera lelra.
A) SI. 630 B)S/.680 C)S/.670
O) SI. 635
E) 5/.620
RESOLUCION:
I
~~ ~ I
VNx4x25
1200
=2520
(1-1 )!+I!+(I+l )!
3
(1-1 )!+I(I-l )!+(I+l )xlx(l-l)! = 150
(I-l)! [1 +1+12+1[ = 150
(l-l)![12+2r+l]= 150
(l-l)!x(l+l)2= 150
(1-1 )!x(l+l)2 = 6x52
=r
J"T
Idenlificando factores: 1=4
Nos piden:
(I+l)! = (4+1)! = 5! = 1x2x3x4x5
(l+l)!=120dias, Rpta.B
VMxlMxR
36000 ; 1M : dlas
OM = 16800x54x25 = 630
",.:~RP-ta-.-A
I
que debe una suma de $ 2400
I @ Pilar
pagables denlro de 8 meses se libe-
C)$1920
E) $ 2930
ra pagando $ 676 al contado y suscribiendo 2 pagarés. el primero de
$ 864 pagable en 5 meses y el airo
pagable en un ano. ¿Calcular el valor nominal de esle úllimo pagaré?
(tasa del descuenlo 5% comercial)
A) $ 820
B) $ 860
C) $ 875
0)$840
E) $ 835
RESOLUCION:
~=676+~JV~
~ ~~
IV al,)= 676+V.,+Va21
V., =
v,--ffi- . . .
V a2 = v,+o"" = V,-
(1)
V,x4xl0
1200
4V,
V'2 = V'-m
..... (TI)
V,x6xl0
V a3 = v,+o"" = V,- 1200
V -3 = V n _ 6V,
120
V·I,) = 2400-
..... (TII)
(1)+(II)+(m):
(2+4+6)xV,
~Va = 3V,120
~
'Rpta. D
I
[iJ
LiJ
oooo
5%
®
6%
12000
2,5%
®
®
Oalos:
• 1,+12+13=27
• Oc,=O""=O,,,,=O
........ (a)
........ (P)
8000><l,x5 10000xl,x6 _ 120ooxbx(2,5)
1200 =
1200
1200
Simplificando:
41,=612=313
MCM (4, 6, 3) = 12
41,
612
313
-->"""12="""12="""12
_.k_.h_
1,+12+13 =~=3
3+2+4
9
---,
Ih=6ml
Ih= 12m l
2 - 4 -
Nos piden: ~ Va
Va,+V,,+V'3 = (V,,+V'2+V ,.r(0+0+0)
~ V a = (8000+10000+12000)-30
O
I
@ El valor nominal de una lelre en los
3
~ x45000 = 150000
cuenlro leniendo como valores nominales SI. 8000, SI. 10000 Y 12000;
siendo sus tasas de descuenlo: 5%,
6% Y 2,5% respeclivamenle. Si los
tiempos de descuenlo de las 3 lelras
suman 27 meses. Calcular la suma
de los valores actuales.
B)27820
C)29200
A)28100
0)29350
E)29100
RESOLUCION:
11,=9ml
V,x12x5
1200
=_ V, = 19V, =798
20
20
,. Rpta. D
:. V,= 840
I V'2 = 45000 I
:. Oc, = 45000
"3-
Va, +V a2 =2320 - 676 = 1644
864x5x5
Va, = 864- 1200
846
--> V,
V""x7x29
36000
V" xl,xR
150000x84x9
=
36000
36000
1,
R = 5%
2400x8x5
1200
- 2320
V .. = 798 = V,-
.... (1)
@ Tres lelras han sufrido el mismo des-
5
36000
O"" = 810 =
VN
=
12
VM= gXVN=gX30240 = 16800
OM =
0
V" = 13
V'2
V,,; R=9% ;1, = 84dias
V'2; R=9% ;h=72dias; 0",,=810
Oe (1):
V" =
--> I ON = 30240 I
5
1
V" = 3 3 V'2-->
-->
=
Vn+Vn+V n
T
I
IM=2 meses 24 dlas = 54dlas
IN=4meses
R=25%; ON = 2520; OM=??
lelra única
V, x(l-l )!+V ,xl!+V,x(l+l )!
50 =
'Rpta.A
:.V,=$2900
El vencimienlo común de 3 lelres de
idénlicos valores nominales es de 50
dias. Si los vencimientos de dichas
lelras están representadas por los
factoriales de tres números conseculivos. Calcular el mayor de los
50
V,
29xV, _ 10
~Va = 3V,-W ="""""10 - 84
han descontado al 9% por 2 meses y
24 dias la primera y por 2 meses y 12
dlas la segunda, el descuenlo de la
segunda lelra ha sido SI. 810. ¿Cuál
ha sido el descuenlo de la primera
lelra?
B)1850
C)3158
A)3120
0)3150
E)3110
RESOLUCION: ~_ _,
del valor nominal de aire. Se
8000x9x5 = 300
1200
•'. ~ Va = 30000-3x300
= 29100
I
I
Rpta E
.'.
@ Una empresa que debe 41elras de SI.
250, SI. 1200, 7200 Y SI. 6000 pagaderos denlro de 8; 6; 5 Y 3 meses,
propone a una financiera cancelar la
deuda con 2 pagos; uno de SI. 9000
dentro de 2 meses y el otro de SI.
12000 dentro de un cierto tiempo.
¿Cuántos días pasarán para efectuar el último pago si se dispone del
descuento comercial a15% anual?
A) 1024
B) 1023
C) 1103
0)1028
E) 1020
RESOLUCION:
Por cambio de lelras
@
Si se hubiera hecho efectiva una letra, hace 9 meses, cuando faltaba 2
anos para su vencimiento, se hubiera recibido el 90% de su valor.
Si se hace efectiva hoy se recibiría
5/.9375. ¿Cuánto se recibiría dentro de 6 meses?
C)9580
A) 9525
B) 9370
0)9620
E) 9625
RESOLUCION:
O,~
V,,=V,,- 0, =5250-
V = V - O = 7200 - 7200x5x5 = 7050
., "' ,
1200
V..=V".-O. = 6000 - 6000x3x5 = 5925
.~
1200
~Va= 19220
9000x2x5
V 'lit V'llf 0(1) = 9000 - 1200 = 8925
~V.= 19220 =V"{I)+Valll )
V alll ) = 10295 = V'III)-Olll)
10295 = 12000 - 0(11)
12000xtx5
36000
; t : dlas
[Rpta.SJ
:.t=1023
@
Si se descuenta matemáticamente
una letra. Su valor actual es 80% del
valor nominal. Si se descontara comercialmente. ¿Qué porcentaje del
valor nominal sería el valor actual?
A) 72%
B)60%
C)80%
0)75%
E) 85%
RESOLUCION:
Caso 1:
I V'R=80% V, I
C+
+
100
+
9 meses
Hace 9
meses
••
6 meses
9 meses
Actual
(192+16+9+4)C = 221C = 5525
192
192
2al'los---........
V,x2xR = 100V,
I R=51
100
100--+
Caso 11:
HOY (FALTAN 15 meses)
V,x15x5 V,
V.,=V,-02;V2- 1200
16
Oato:
V,
15V,
V., = 9375 = V, -16 = --;¡s --+
--+
C + --º- + 3C + --º- = 5525
12
64
48
Vencimiento
Caso 1:
V'1 = 90% V,--+ V a1 = V,- 0,
--+ V, = 10% V,
Reemplazando:
Iv, = 10000 I
Caso 111:
OENTRO OE 6 MESES (FALTAN 9
meses)
Va3=?;Va3=Vn-D3
[Rpta. C J
:. C =4800
~
Se tiene dos capitales donde el primero es el doble del segundo. Si se
sabe que el monto producido por el
primer capital en 10 anos y el monto
producido por el segundo en 12 anos
y 6 meses, están en la relación de 16
a 9; habiéndose sometido a la misma
tasa de interés anual. Halle esta tasa.
A)10%
B)25%
C)15%
0)20%
E) 30%
RESOLUCION:
C,=2C,; R%anual
M, ;t= 10años } M
16
.... (a)
M,;t= 12añosy
M: = 9
6 meses
En (a):
C,+I,
16
C2+I, = 9
C
O = 10000 x9x5 = 375
,
1200
[ Rpta. E J
5525
100
1+
C
2+
C,x10xR
100
C2 x(12,5)xR
100
16
9
(2C,)x10x(10+R) _ 16
C,x(12,5)(8+R) - 9
5(10+R)
@ Los 2/3 de un capital se impone al
6% anual, los 3/4 del resto al 1,5%
bimestral y el resto al 1% mensual.
Si al cabo de 2 años y 1 mes el monto fue 5525 soles. ¿Cuál es el capital original?
C)4800
A) 4000
B)4500
E)5100
0)5000
RESOLUCION:
_1 = txR --+ I txR=251
4
100·
.
Caso 11:
IV.,=X%V,I
V,x25 = 25% V
100
'
Yac =Vn-Dc=x% Vn
[ Rpta. D
+
1200
[%}25X1
t y R en las mismas unidades.
V,-25% V,=x% V,
75%V,=x%V,
:. x=75
[2~}25X6 [~}25X6X[!J
C, (100+10R)
C,(100+(12,5)R)
Reemplazando:
20% V = V,xtxR
, 100+rxR
1
txR
=
4
100+rxR
Por proporciones:
1
txR
--+5-1
100+rxR-txR
V,xtxR
100+rxR
R2= 1,5% bimestral = ! % mensual
Monto=M =M,+M2+M, =5525
C+I,+12+I,= 5525
_ __
V" = 10000 - 375
:. V" = 9625
V·R=V,-OR=80%V,
--+OR=20%V,
Sabemos:
O _ V,xtxR
R- 100+rxR
l:
5250x8x5
1200 =5075
V =V -O = 1200 - 1200x6x5 = 1170
a, '" ,
1200
0(11) = 1705 =
• cJ2C +-º-J= C- 11C =--º3
4
12
12
• t=2añosy1 mes=25meses
J
~5
x(8xR)
4
9
10+R
10
8+R =9
90+9R = 80+1 OR
:.R=10
[Rpta.A
J
@ Un capital de SI. 55900 se divide en
3 partes los cuales son impuesto al
30%,45% Y25% Y resulta que producen un mismo interés anual. Calcular
la parte impuesta aI25%.
A) 5/.24320
B) SI. 23400
C) SI. 23800
S) SI. 231 00
E) SI. 23520
RESOLUCION:
@ Una persona coloca hoy una suma
R1=30%
R2=45%
Rs=25%
En1 año:
1,=1,=13
30%C,=45%C,=25%C3
Simplificando:
6C,=9C,=5C3
MCM (6, 9, 5) = 90
6C,
9C, 5C3
de SI. 3528 a la tasa de 3%; 36 d ias
antes de ella habla colocado una
suma de SI. 2160 a la tasa del 3,5%
¿En cuántos dlas estas sumas habrán producido intereses iguales?
A)80 8)70 C)98 0)90 E)46
RESOLUCION:
Simplificando:
90
100 210
10x 40+x
100 + 100 + 100 + 100 =10= 5
40+x= 50
:. x = 10
@g) Dos capitales han estado colocados
durante 2 meses, uno al 3% y el otro
al 5% anual obteniendo juntos un interés de SI. 10600. Si el tiempo de imposición hubiera sido 4 meses, el primero al 5% y el segundo al 3% los
intereses serian SI. 20400. ¿Cuáles
son los capitales? Dar como respuesta su diferencia.
A) 130000 8)125000 C)120000
O) 140000
E) 130000
RESOLUCION:
90=90=90
C,
C,
C3
15=ro=18
.... (a)
Dato:
C,+C,+C3=C=55900
En (a) propiedad de serie de razones geométricas:
C,
C,
C3
15=10=18=
C, +C,+C3
15+10+18
= 55900 = 1300
43
Entonces:
C, = 19500; C,= 13000; I Rpta. B 1
C3=23400
.
@§) Tres
vendedores de automóviles
han recibido como gratificación por
navidad una suma total de 20000 dólares los cuales son depositados al
8%, 6% Y 4% respectivamente. Al
cabo de un año, los intereses ascienden a 1160 dólares en total. Si la
gratificación del segundo es tres veces más que la del primero. ¿Cuánto
recibió el tercero por concepto de intereses al cabo de ese año?
A) $ 250
8)$190
C)$540
0)$200
E)$240
RESOLUCION:
C,+C,+C3=20000 ....... (a)
Se depositan al 8%; 6%y4%
En 1 año producen:
1, +1,+13= 1160
8% C, + 6% C,+ 4% C3 = 1160
4%(C,+C,+C3)+4%C,+2%C,= 1160
4%(20000)+2%(2C, +C,) = 1160
'-------'-y----
800+ 2C, +C, = 1160
50
2C,+C, = 360
50
12C,+C,=18000 1 .......... (~)
Dato:
C,-C, =3C,~C,=4C,
Dato:
3528.x.3 = 2160.(36+x).(3,5)
-J6OOtr
-J6OOtr
7x=5(36+x)
Rp-ta-.
x=90
~
En (a):
15000+C3=20000
C,=5000
Nos piden:
13=4%(5000)=200
10600
1200
1200
C, +5C, = 636000 .......... (a)
final del primer año se retiran los intereses y una parte del capital igual
a los intereses. Lo mismo se hace al
final del segundo año, quedando
entonces el capital disminuido en
S/.18000. Calcular el capital.
A) 32000
8)40000
C)60000
0)50000
E) 38000
RESOLUCION:
e,: t =4 meses; R', = 5%11' +1' =20400
e,: t = 4 meses; R', = 3%f' ,
C, x4x5
e, x4x3
1200
+
1200
20400
5C, +3C, = 612000 ........ (M
(a) - (~):
2C, - 2C, = 240000
:. C,= 120000
Rpta.
I
c,
'ÍÍ41'
el
Calcular la tasa anual, de una capita-
~ lización anual que sea equivalente al
10% trimestral de una capitalización
trimestral.
A) 29%
8)40%
C)45%
0)46,41%
E)48%
RESOLUCION:
Dato:
C,=C-20%C=80%C ..... (a)
C,= C,-20% C, = 80% C, ..... (M
Gasol:
(a) en (~):
R = 10% trimestral
Capitalización trimestral
C,=80%80%C=64%C
Dato:
C,=C-18000
64%C=C-18000
3~~g~~gggg
11 año =4 trimestres 1
1eFINAL=e(1+R%)'1
I Rpta. El
C= C(1+10%) =C(11/10)4
= 146,41%C ....... (a)
@ El 30% de un capital se impone al
3% anual, el 25% al 4% anual y un
35% al 6% anual. ¿A qué porcentaje se deberá imponer el resto para
obtener en un año un monto igual al
105% del capital?
A) 20%
8)5%
C)18%
0)28%
E)10%
RESOLUCION:
R,=3%
R,=4%
R3=6%
R,=x%
t= 1 año; M= 105%C=C+1
11=5%CI
I Rpta. 01
-,C=c'",x~2",x3=- + C,x2x5
@ Se ha impuesto un capital al 20%, al
En (~):
2C,+4C,=18000
C'=3000
{ C,=12000
C,:t=2meses; R'=3%}1 +1 = 10600
C,:t=2meses; R,=5% ' ,
0--1
r""1
[ Rpta. E 1
r, + 1,+1,+1,= 5% C
3%(30%)+4%(25%C)+6%(35%C)+
+x%(1 O%C) = 5%C
Gasoil:
R=x%anual;t=1 año
CFINAL =C(1+x%)'= C(1+x%) ...... (~)
(a) = (p)
,C(1+x%) ='c(146,41%)
1+x%=1+46,41%
:. x%=46,41%
I Rpta. O 1
®
Una persona vende su auto y el dinero lo prestó por un año y 9 meses al
1,25% trimestral y los intereses producidos los reparte en sus tres hijas.
A una de ellas le dio los 3/7 a la otra
los 4/11 ya la otra SI. 640. ¿En cuánto vendió el auto?
C)38000
8)36000
A) 35000
0)32500
E) 35800
RESOLUCION:
Capital =Pventadalcarro =
©
t=1 añoy9 meses =21 meses
R= 1,25% trimesbal =4(1 ,25)% anual =5%
I = CxtxR = Cx21 x5
1200
1200
........ (a)
5
5
18 años = 10 x12 =@fmeses
26900 soles. Determinar la ganancia de José.
A) SI. 33200
B)S/.35000
C)S/.38000
E) SI. 33100
f
0)5/.39000
Ahora bien, también se cumple:
RESOLUCION:
Para José:
• C=S/.66000}1' = 66000xlx70
t= 1 año
R=70%
v
77
~~ =640~11=30801
En (a):
1=3080
1 ano
C, = (110%)' C
Cx21x5
1200
:. C = SI. 35200
®
1 ano
1 Rpta. D I
Los 3/4 de un capital es colocado al
24% semestral durante 3 meses y el
resto es capitalizado anualmente a
una tasa del 10% durante dos afios
obteniéndose un interés de 1140.
Calcular el capital.
A) 6000
B)7000
C)8000
0)9000
E) 8500
RESOLUCION:
'--------1©I-------,
1 ano
=t~~J~ =,133,~%C,
Cantidad de dinero que racibe al final José
Ganancia = I = 33,1 % C = ??
Para Juan:
C ; R 1= 5% trimestral = 20% anual
t=años
Cx3x20
IJ,., 100 = 60% C
Dato:
IJ,., - IJ'" = 26900
60% - 33, 1%C = 26900
26,9%C = 26900
~
I C=26900 I
Nos piden:
IJ... = 33,1 %(1 00000)
IJ... = 33100
(-1-=Rp""ta:-.--:EO"lI
@§) Un capital de SI. 66000 fue impuesR, = 24% semestral
R,= 10% anual
t,=3meses
t,=2años
(1,)
(t,)
I - C,xt,xR,
1100
R, = 24% semestral = 4% mensual
(3C/4)x3x4
1, =
100
~ 111 = 19~ 1
Interés compuesto:
R= 10%
1;' =
10%[~J= ~
1" = 10%r11CI= llC
2
[40) 400
Q
to a interés simple por cierto número de años, meses y dlas. Por los
años se cobró el 70% anual y por
los meses el 48% anual y por los
dlas el 27% anual. Determinar la
utilidad producida por el capital de
5/.66000 sabiendo que si se hubiera impuesto todo el tiempo al 60%
hubiera producido SI. 25300 más
de interés que si se hubiera impuesto todo el tiempo al 30% anual.
A) 55000
B) 53200
C) 54600
0)52800
E)54615
RESOLUCION:
R,=60%
t1=(!)años
} 1"+I,,_21C
1 2 - 400
R,=30%
t,=(!) años
.....
.....
I - 66000xtx60
1100
I - 66000xtx60
2100
1, = 39600 t
12 = 19800 t
Dato: IroTAL = 1140
Dato:
57C = 1140
400 :. C = 8000
1,-1,=25300
396001 - 198001 = 25300
198001 = 26900
1Rpta. el
Hace 3 años, José le prestó a Juan,
cierta cantidad de dinero al 10% de
interés compuesto, capitalizable
anualmente. Para obtener una ganancia, Juan el mismo dla que recibió el dinero lo depositó en una
financiera que le pagaba el 5%
trimestral. Si hoy, al devolver el dinero Juan ha obtenido de ganancia
t=253
198
t=
~~
~
It=231
18
anos = 1 año, 3 meses y 10 dlas
CALCULOSo
23
l.!I!....
5
1
1
100
= 46200
• C = SI. 66000}
66000x3x4
t= 3 meses
1:'
R=48%anual
100
= 4% mensual
= 7920
~I
:.
mes = 10 días
• C=S/.66000
t= 3 meses
1
}
l' _ 66000x(I/36)x27
,100
= 495
R= 10dlas=-año
R= 27%
36
Nos piden la utilidad:
1',+1',+1',=54615
@Y
Rp=-ta-_--:E:-\[
.
r[
.
Dora impone su dinero al 20% anual
de interés simple durante 5 años. Determinar su monto final sabiendo que
si hubiese impuesto su capital inicial
al 20% anual de interés compuesto el
interés recibido en el tercer año habrla sido 288 soles.
RESOLUCION:
Por Interés Compuesto:
©
1,=20%C 1,=20%C, 1,=51.288
,.---....,..
,.---....,..,.---....,..
1 año
1 ano
C1: R 1=50%}
C2:R,=20%
Dato:
I M,
M,
=
1 año
CD años
51~
4
C,+I, =-ªC2+I,
4
Reemplazando valores:
C, +
C, xtx50
100
C,xtx20
C2+
100
rc; (100+501)
=(~
5
(100+201) ="4
Reemplazando:
4 5(2+t)
5
-x -=5 2(5+t)
4
2+t
5
5+t =8
16+8t = 25+5t
3t=9años
1Rpta. B
:. t=3
I
@> Un capital es depositado durante un
año al interés simple y a una determinada tasa de interés. Si la tasa hubiera sido mayor en un 50% entonces el
monto obtenido habría sido 30% mayor. ¿Hallar la tasa a la cual se depositó el capital?
A) 50%
B) 100%
C)150%
0)200%
E) 140%
RESOLUCION:
I M=C+II
En 1 año; R% (Porcentaje anual)
Casal:
Luego de 8 meses:
Precio = 115% (1400)
M=C+R%.C=C(1+R%) ...... (a)
Caso 11:
R, = C+R%+50%(R%) = [150%R]%
1 Precio = S/. 1610 1
1200
R, =[.a;J% ; M, = M+30%M
I
M, = 130%M
.............
~
(~)
R%
Monto=1610=C+1
M, = C+I, = C+[3:J %C
=
C[1 + 3: %J ...... (e)
1610 = C+ CxRx8
1200
(a) y (e) en (p):
J= ~~ xC(1+R%)
10 [1+ :~J = 13 [1+ 1~OJ
@
:. R = 150 ,rRp=--ta-.c-'I
@ Se presta el capital de SI. 2100 al
10% de inlerés mensual sobre el saldo deudor de cada mes. El primer y
el segundo mes no se amortiza nada, el lercer y cuarto mes se amortiza una canlidad igual a "M" soles.
¿Cuánto debe ser "M" para que la
deuda se cancele al cuarto mes?
A) 1537,31 B)1464,1 C)1355,10
0)1437,31
E) 1155
RESOLUCiÓN:
R = 10% mensual
12
;,
13
1 mes
Una persona impone su capital en
dos negocios de los cuales uno reporta el 6% y el aIro el 12%. Ella relira de la primera una renta anual inferior de 5400 a la que da la segunda. Cuando ella hubiera invertido
sus imposiciones habria oblenido el
mismo beneficio en cada una de las
empresas. ¿Cuál es el capital total?
A) 90000
B) 80000
C) 95000
0)92000
E) 93000
RESOLUCiÓN:
O.P.
Partes
51 {_23
2t (1")
3t (2")
xt
~1=5
51
K'=5=1
2do. reparto:
L .~
.2
_
(nuevo
os. 5 del resto. 5 (201) - 81 resto=12t)
I.P.
81
{
~
O.P.
Parles
5~'15=3
xt
31(1")
~.15=5
xt
51(2")
5
3
8t
K'=S=t
3er. reparto:
R,=30%
R2 = 45%
En 1 año:
12-1,=5400
12%C2-6%C,=5400
........ (a)
l.
12C2-C, = 90000 1
1 mes
Caso 11:
C'R=6% }
C:R=12% t:1año
1, = 10% (2100)= 210
12= 10% (2310)= 231
13= 10% (2541)= 254,1
1.= 10% (2795,10- M)
Al final--> M = 110%(2795 - M)
Oalo:~_~
11,=121
6%C2= 12%C,
1C2=2C, 1
IM=C+II
......... (~)
(a) en (p):
2(2C,)-C, =90000
3C,=90000
M = 110%(2795,10-M)
11
M = 10 (2795,10-M)
--> 1C, = 30000 1 ;
10M = 11[2795,10]-11 M
21M =30746,1
M=1464,1
. Rpta.B.
=------',
Nos piden:
C,+C2=90000
r-,
El resto: 121
QE.
121{ 57
Partes
_~xt'"""-
5t(1")
71 (2")
~1=12
K,=121=t
12
Al primer hermano le locó:
2t+3t+51= 101
Y al segundo hermano le corresponde: 31+5t+ 7t = 15t
Pero se sabe por dala:
151-101=7000
t= 1400
Monto es: 251= 25(1400) , Rpta. E ,
= SI. 35000 :2::=-::....
L.
C=-2-=6""'00"""0""'01
ccl
I Rpta.A I
@ A qué tasa debo imponer mi dinero
sabiendo que tengo S/.1200 y denlro
de 8 meses debo comprar un televisor que actualmente cuesta SI. 1400
y que al cabo de dicho liempo su
precio aumentará en un 15%.
B)29%
C)51%
A) 50,25%
0)51,25%
E) 52%
[CJ ~~
~ (251) = 51 (resto 201)
~;=8
.----,.. .----,.. ,.---....,. ,.---..,..
1 mas 1 mes
La quinta parte:
I
10+ 15R = 13+ 13R
100
100
~~ = 3
1er. reparto:
1610 = 1200+ 1200xRx8
1200
8R=410
:. R=51,25
Rpta. DI
C [1+ 3: %
si a uno de los hermanos le locó SI.
7000 más que al otro. Hallar el monlo
de la herencia.
A)S/.27500
B)S/.47500
0)S/.42500
C)S/.53000
E)S/.35000
RESOLUCiÓN:
Como de la canlidad total se reparte
1" la 1/5 parle, luego las 2/5 del resto
vamos a asumir que la cantidad total
sea 25N. Entonces efectuamos lo siguiente:
@ Se distribuye 3645 directamenle proporcional a todos los múltiplos de 2
de dos cifras. ¿Cuánto le corresponde al indice 70?
RESOLUCiÓN:
Según dato:
O.P.
10
12
14
16
3645
@
Dos hermanos se reparten una herencia de la siguiente manera: la
quinta parte O.P. a 2 y 3 los 2/5 del
resto I.P. a5y3yel resto O.P. a 5y7
70 _~xt,-+
98
x
~ = (10+98) 045 = 54'45
I
2
¿Qué cantidad se repartieron?
A)41000
B)23400
C)23800
0)23200
E) 23500
RESOLUCION:
a
b
Sea la P.GC.: b= c=k
3645
3
K,= 54'45 = 2
Nos piden:
x = 70k,
:.X=70k';=105
~
I Rpta.DI
Una persona dispuso que se reparo
tiera SI. 666000 entre sus tres hijos
A; B Y en forma inversa a sus eda·
des, A que tenia 30 años recibió
SI. 180000 pero renunció a ellos y
los repartió entre los otros dos en
forma O.P. a sus edades y a B le Iocó
SI. 8000. Hallar la diferencia entre
las edades de B y e.
A)5
B)4
e) 1
0)2
E)3
RESOLUCION:
A renunció a sus 5/.180000 Y los re·
partió entre B y e directamente pro·
porcional a sus edades del cual:
B obtuvo: SI. 80000 Y
e recibió: 5/.180000-5/.80000=
=5/.100000
Entonces sus edades son como:
Edad de B
80000
4
=
Edad de e
100000
5
Luego en el primer reparto se tiene:
I.P. ~ O.P.
Partes
30 1/30'60x = 2x -> 180000
e
666000 4x1/4x'60x= 15}486000
{
5x 1/5x'60x= 12
De donde se cumple:
2x
180000
=
15+12
486000
Resolviendo: x=5, 4x=20; 5x=25
:. La diferencia es:
Rpta.A
26-20=5
I
1")D.P.
{
32
N 1:->16:a
~;=56
2") O.P.
{
I
reparte cierta cantidad "M" en
partes directamente a 382; 572Y762.
Si al menor le ha tocado 729. Hallar
el valor de "M".
RESOLUCION:
Pero sabemos que al menor le ha 10cado:
O.P.
Partes
38 3 =2 3 .193 = 152-> 152k
M 57 3 =32'192=9 -> 9k
{
762=42'192= 16 -> 16k
Pero sabemos que al menor le ha 10cado:
9k = 729
k=81
Hallando el Iotal:
M = 152k+9k+16k= 17;...7k~_~
:. M = 177'81 = 14337
Rpta. E
I
@ Tres hermanos cuyas edades forman una proporción geométrica
continua cuya razón es un número
entero se reparten una suma de dinero en forma proporcional a sus
edades. Si lo hacen dentro de 4 años
cuando la edad del mayor sea el triple de la del menor entonces el mediano recibe SI. 200 más.
@
N 20->20:a
12
a2 +b 2 +c2.
A) 490
B)539
C)784
0)980
E) 1089
RESOLUCION:
Según el enunciado: a+b+c = 49.
O.P. Partes
359100
a
N b
718200 ........... (a)
{
•x
c
a
359100
1
~ b - 718200 = 2 ....... (1)
O.P.
Partes
~
831900
{
~;=68
I Rpta. e I
:. N = 23800
entre dos obreros A y B en forma
O.P. a sus rendimientos. Un dia A
recibe SI. 17600 Y B el reslo, al otro
día A disminuye su rendimiento en
un 25% y B aumenta en un 20%.
Hallar la diferencia que recibieron A
y B en ese nuevo reparto.
A)S/.3400 B)S/.5500 C)S/.8000
0)5/.4500
E) SI. 6400
RESOLUCION:
El primerdla:
Arecibe: SI. 17600y
B recibe: SI. 33000 - SI. 17600 =
=5/.15400
Entonces sus rendimientos están
en la relación de:
rA
17600
6
-=--=rs
15400
7
Como el rendimiento de A disminuye en 25% ahora será:
8-25% (8) =
!
(8) = 6
Y el rendimiento de B aumenta en
20% siendo ahora:
7+20% (7)
........ (13)
837900
Y
=2
Por dalo: 20N _ 16N = 200
68
56
=~(7) =
5
42
5
y = 1675800
Entonces el Iotal es:
N = y+8377900
N = 1657800+837900
N =2513700
Luego del primer reparto se tiene:
3591 00+718200+x = 2513700
x=1436400
Del reparto directo:
a
b
c
359100
718200
1436400
abc
S'l"fid
Imp I lcan o: -1 = 2 = 4
Aplicando propiedad de razones:
a _ b _ c _a+b+c_49_
1-2-4--7--7- 7
Se obtiene las edades:
~a=7; b= 14yc=28
:. a2+b2+c2 = 72+142+28 2
= 1029
33000 { ~ <o> ~'5 = 7
5
5
~;= 12
I Rpta. E I
@ Si A tiene "a" años, B tiene "b" años, C
tiene "c" años y O tiene "d" años. Una
cantidad 5 soles se reparte I.P. a las
edades de A, B, C Y D. Siendo la
constante de reparto:
1 1 1 1
r=-+-+-+- además se tiene:
a bcd
. --ª= 120000
ar
• Cr = 72000
6<0>1'5=5
....... (1)
~
S
Luego al segundo día:
O.P.
IRpta. B I
Una cantidad N de soles se reparte
directamente proporcional a las edades de 3 personas A, B Y C correspondiéndole a A SI. 359100, a B SI.
718200. Si los N soles se reparten
entre A y B inversamente proporcional a sus edades entonces B recibe
SI. 837900 si la suma de sus edades
es: a+b+c = 49. Calcular el valor de:
36
@ Diariamente se reparten SI. 33000
@ Se
I
Las edades son: a = ck2; b =ckyc
Dentro de 4 años serán:
ck2+4; ck+4; c+4
Pordalo:
(Ck2+4)=3(c+4)
c(k2-3)=8
De donde: c=8yk=2
Por lo cual las edades son:
a=32;b=16yc=8
Dentro de 4 años serán:
a'=36; b'=20yc'= 12
Efectuando los repartos:
K, = 33000 = 2750
12
La diferencia: (7-5)'2750
= 5500
•
--ª= 90000
br
•
dr = 45000
S
Si se reparte S entre A, B Y C directamente proporcional a sus edades.
¿En cuánto excede la parte de A a la
parte de C?
A)S/.20825O B)S/.8175O C)S/.109000
O) 5/.54500
E) 5/.45000
RESOLUCION:
Al sumar las igualdades miembro a
miembro (ley de uniformidad) se tie-
ne:
N
S
S
S
S
- + - + - + - = 120000+90000
ar
br
cr
dr +72000+45000
a
a
a
~,
2
~.
r= 327000
r
El menor es: 60
S = 327000
Como deseamos repartir "S" entre A,
B y C nos interesa conocer en que
proporción están a; by c. Luego para
ello de los datos despejamos l/a; 1/b
1
120000r
y l/c.
S
1
90000r
=
b
D.P.
1470{r
Lo cual al cancelar el factor común
Al multiplicarpor60 se obtiene: 3; 4y
5. Los cuales son proporcionales a
las edades a; byc.
Efectuando el reparto directo:
D.P. Partes
327000
12
k
,
:. La diferencia es:
(5-3)' 327000
12
@
54500
[ Rpta.
DI
Se reparte N en 40 partes D.P. a los
números consecutivos y la menor re-
~
sulta ser
¿Qué parte de N será
el menor al hacerse el reparto en
forma D.P. a los siguientes 40 números consecutivos?
A) l/53
B) 1/20
C) 1/45
D) l/50
E) 1/72
RESOLUCION:
La menores:
D.P.
N
{
~+1
I,P.
~D.P.
b afb·ab=a 2
1/2
2'ab=2ab
1
b
-·ab=b2
a
b
Necesariamente: (a+b) es 7
Pero como: a > b > 2
De donde: a=4yb=3
:. a-b=1
1 Rpta.A
Ylo que da e12' all' es:
N
k, = 40x+780
!
x+39
~;= 40x+780
La menores:
N
x· 40x+780
x
2x+39
M=8k-
17k=~
3
3
Por dato: M+N = 54
N
79
20
79
I
Un padre reparte cierta cantidad de
dinero entre sus tres hijos al primero, segundo y tercero en la proporción de 4, 5 Y 8 respectivamente,
pero luego decide repartirlo en partes iguales por lo cual el tercero da
al segundo "M" soles seguidamente
el segundo da al primero "N" soles.
Si el reparto se hubiera hecho en
forma proporcional al orden de nacimiento ¿Cuánto le habrla correspondido al tercero, además se sabe
que (M+N) es 56?
A)S/.119 B)S/.714 C)S/.504
D)SI. 816
E) S/. 408
RESOLUCION:
Como el reparto es D.P.los tres hermanos reciben: 4k; 5k Y 8k respectivamente.
Siendo el total: 17k
Como se reparten en partes iguales
cada uno recibe: 1;k
x+2
2~8
2~8
r
= S/.1 1=9-:-"'71
1 Rpta.A I
k, = _1_4_7_0_ = __3"c'7"c2~'~2~'5__
(a+b)2
(a+b)2
@
~;= 12
[31~OJ = :a
~; = (a+b)2
Como las partes son enteras entonces la k, también debe ser entera:
1
12
H ~~
Al 3' le tocó: 3'
repartir S/.1470 directamente
proporcional a los números: a; 1 y
l/a e inversamente proporcional a
los números b; 1/2 Y l/b (a > b > 2)
siendo a y b números enteros se observa que las cantidades obtenidas
son enteras. Hallar (a-b).
A) 1 B)3 C)5
D)2
E)4
RESOLUCION:
S
15 y
k,=
@j) Al
Entonces a; b y c serán proporcionalesa:
S
S
S
120000r; 90000r y 72000r
Sil
{~
Rp~ta-.A"I
72000r
6000r setendra: 20 ;
238
3180
"1
S
c
S=327000
40(60+99)
a
a
N
k,= 3180
99
S [1
1 + lJ
-+
- + -1 + - =327000
r
{~
Luego realizamos el reparto directo al
orden de nacimiento que serIan: 1; 2
y3.
D.P.
~~+ 5k =54
3
3
k= 14
Siendo el total: 17k= 17(4) = 238
@
Tres socios han impuesto sumas
iguales pero su participación ha tenido tiempos distintos. Si la ganancia
ha sido de SI. 74200 pero uno de
ellos renuncia a los 25200 soles que
le correspondla entonces el reparto
se efectúa entre los otros socios por
lo que a uno de ellos le tocó S/.1 0080
más de lo inicial. Hallar qué tiempo
estuvo el que tuvo mayor ganancia.
A)3 anos
B)2 anos
C) 1 ano
D) 2,5 anos
E) 1 ,5 anos
RESOLUCION:
De los 25200 soles que renuncia a
uno de ellos le toca:
SI. 10080 más entonces al otro le tocará: 25200-10080 = 15120 más
Del cual se plantea que:
10080
15120
Al simplificar se obtiene:
h
2
t2=2n
h=3~t3=3n
Si la ganancia total asciende a 74200
Y el 1ro. renuncia a su herencia entonces dichas ganancias se han dividido entre el 2do. y el 3ro. proporcionales a sus respectivos tiempos.
g2 g3 g2 +g3
g2 g3
2n = 3n :::::)2=3= 2+3
g,
g3
74200
2
3
5
~-=-=---
.'. Mayor ganancia es:
g3 = S/.44520
1 Rpta. E I
@Y "N" socios forman una empresa y al
cabo de cierto tiempo se reparten 155
millones de utilidad. Sabiendo que
cada socio aporta el doble del
anterior y que el primer socio recibió
por todo 7 millones incluidos su capital, siendo su utilidad 2,5 veces el capital que aportó. Calcular el número
de socios.
A)4
B)5
C)6
D)7
E)8
RESOLUCION:
Si tenemos que la utilidad dell ero Socio es 2,5 veces su capital, entonces
ell ero socio recibió:
utilidad+capital = 2,5C+C = 3,5C
Según dato ell er socio recibió 7 millones.
o:> 3,5C = 7000000
C = 5000000 = 2 millones
Su respectiva utilidad es:
g = 5000000 = 5 millones
Como cada socio aporta el doble
que el anterior entonces sus ganancias también serán el doble por lo
cual las ganancias serán:
5 millones; 10 millones; 20 millones;
... ; (n ganancias)
1+22+2+ .... +2'-1 = 31
2,,"1-1=31
2,,"1=32
~~~erodesocioses:
I Rpta. B I
@ Tres comerciantes invierten la misma cantidad en la compra de mercancias de distinta clase, vendidas
totalmente las mercancías, cada
uno divide el importe invertido en la
compra entre la ganancia que ha obtenido, resultando para el primero 4
de cociente y 3 de resto, para el segundo 7 de cociente y 6 de resto; para el tercero 10 de cociente y 1 de
resto por exceso. Hallar el importe
de la compra y dar la suma de sus cifras sabiendo que la suma de estas
ganancias esta comprendida entre
S/.200 y S/.250.
A)10 B)12 C)18 D)14 E)16
RESOLUCiÓN:
Según dato:
•
C~o:>C=4g1+30:>g1=C-3 ...(1)
344
C~o:>C=7g2+60:>g2=~ ...(2)
677
• C ~ o:> C = 10g3+1 o:> g3 = C-l ... (3)
1 10
10
• 200 < g_'< 300 ......... (4)
Reemplazando (1), (2) Y (3) en (4):
200 < C-3 + C-6 + C-l < 300
4
7
10
Multiplicando por 140:
28000 < 35C-l0S+20C-120+14C-14<42000
28000 < 69C-239 < 42000
28239 <
69
< 42239
409<C<614 ....................... (a)
Pero aplicando divisibilidad se tiene:
.
•
C=4+3+108 }
C=7+6+105
C= 10+1+110
.
C=140+111
.......... (P)
De(a)y(~):
C= 531
o:> El importe total es: 3C = 1593
:. ~cifras= 18
Aplicando:
g,
o:> abOO'a
De:
'1
1~1~r5m~s'
I Rpta. C I
@ Luis inicia un negocio con S/.1700 a
los 3 meses se incorpora Paco aportando S/.3400 y 4 meses después
ingresa José con un capital de SI.
5100, si el negocio se cierra al afio y
3 meses de iniciado y se repartieron
Reemplazando en (a):
g,
28800
151800
o:> 2300'2
3200'3 = 2200'23
g,
g2 g3
g, +g2+g3
12=18=15=
45
Luego:
Pero como: g, +g2+g3= 10500
_. _ La mayor ganancia es:
g, =
151800
11
I Rpta.A I
:. g, = 13800
700
r-=---:-~
g2= 18' 3=4200 Rpta. C
I
I
@ Después de 3 meses que Alberto
había fundado una empresa para lo
cual depositó S/.6000 se asocia con
Beto que aportó 1/5 menos que Alberto; 2 meses más tarde se unió
con Carlos que aportó 3/4 de lo que
habían aportado Alberto y Beto. Al
cabo de 2 meses liquidaron la empresa y tuvieron que afrontar una
pérdida de S/.3870 soles. ¿A cuánto asciende la pérdida de Carlos?
A)S/.630
B)S/.960
C) S/.81 O
D) S/.21 00
E) S/.645
RESOLUCiÓN:
Datos:
Capital
• Alberto: SI. 8000
• Beto: SI. 6000-1/5(6000)= SI.4800
• Carlos: 3/4(6000+4800) = S/.81 00
I
l~l~r 2 m~es '
~
Dos hermanos forman una compañia
con medio millón de soles cada uno,
a los 6 meses el mayor incrementa su
capital en un 20% y el menor retira el
25% de su capital, si 4 meses más
tarde se repartieron una ganancia de
S/.132000 soles. Determinar la diferencia de las ganancias entre los dos.
A)S/.2400 B)S/.ll000 C)S/.l0000
D) S/.9000
E) S/.8000
RESOLUCiÓN:
Datos: g, +g2= S/.132000
C, +C2 = 500000
Para el1 er. hermano:
I
PA _ PB _ Pe _ PA+PB+PC
2
o:> 210 - 96 - 81 - 210+96+81 ... ( )
5/.500000
5/.600000
I
t
20%(500000) = 100000 más
g,
g,
500000.6+600000.4
5400000 - k ... (1)
Para el 2do. hermano:
I
(Cartos)
• Pérdida:
PA+PB+PC= SI. 3870 ......... (1)
Tenemos:
PA
PB =~
6000'7 4800-4 8100'2
I
f~r4m~ses'
5/.60000 5/.4800 5/.8100
(Beto)
48 = 23
ba'b
a·ab
De donde igualando factores:
a=2yb=3
Luego por regla de compañia se
plantea:
g,
g2
g3
1700'12 = 3400'9 = 5100'9
(Alberto)
151800
aaOO'abJ .... (a)
ab'a
23'2
23'2
:::::)--=--=--=-ba'b
48'2
32'3
(José)
I
28800
baOO'b
,
v
A
(Paco)
ganancia
=k
capital·tiempo
(1)
1 año = 12 meses
('
(Luis)
-n" sumandos
•
RESOLUCiÓN:
5/.1700 5/.3400 5/.5100
0:>5+10+20+ .... = 155
:.
una ganancia de SI. 10500 ¿Acuánto asciende la mayor ganancia?
A) S/.21 00 B) S/.2800 C) S/.4200
D) S/.3500
E) S/.4900
RESOLUCiÓN:
Grafiquemos las partes y sus respectivos tiempos de los tres socios.
I
l~r4m~ses'
5/.500000
5/.625000
I
t
+25%(500000) = 125000 más
g2
500000'6+625000'4
g2
5600000 - k ... (2)
De (1) Y (2):
Al reemplazar (1) en (2), tenemos:
Jl1... = Jl2. = g, +g2 = 132000
Pc = 3870 = 10
o:> 81
387
27
Pc= SI. 810
@ Tres socios se
I Rpta. C I
reúnen aportando
las sumas de abOO; baOO y aaOO soles, durante a; by ab meses. Si a los
últimos les corresponde SI.28800 y
SI.151800 soles ¿Cuánto le corresponde al primero en soles?
A)S/.13000
B)S/.14100
C)S/.I4400
D)S/.75900
E) SI. 14200
28
55
2400
55
g,- g2= (28-27)'2400
= S/.2400
I Rpta. A I
@ Carlos emprende un negocio con SI.
17000 a los 2 años se asocia con Arturo con S/.21 000 soles y después de
4 años se asoció Miguel aportando
SI. 32000 soles quien estuvo 6 años
en el negocio. Si la ganancia fue de
S/.80000 soles ¿Cuánto le corresponde a Carlos?
@ Tres socios A, By C se asocian "A"
A)S/.28800
B)S/.25600
D)S/.40000
C) S/.272000
E)S1.26200
RESOLUCiÓN:
De acuerdo al enunciado:
I
I
1~1~1~
8/.17000 8/.21000 8/.32000
(Ca~os) (Arturo) (Miguel)
Dato:gA+g.+gM=80000
Luego:
gA
g.
gM
17000·12 21000·10 32000·6
Simplificando:
gA g. gM gA+g.+gM
34 = 35 = 32 = 34+35+32
gc = 80800 = 800
32
101
:. gc= 25600 soles
I Rpta. B I
@ Juan y Carlos forman una empresa,
siendo el capital de Juan el doble del
capital de Carlos, a los 5 meses de
iniciado, Juan disminuye su capital
en 217 y 3 meses después Carlos aumenta el suyo en 215. Si el negocio
dura un año y 2 meses, al cabo de
los cuales las ganancias obtenidas
por ellos se diferencian en S/.1130.
Calcular la ganancia total obtenida.
A) S/.2061 B) S/.6870 C) S/.3435
O) S/.2260
E) S/.3390
RESOLUCiÓN:
Asumamos que el capital de Juan y
Carlos sean 70C y 35C.
Para Juan:
1 afio 2 meses = 14 meses
A
(
I
1~1~
70C
50C
I
t
Disminuye en ; (70C) = 20C
gJ
gJ
70C.5+50C.9 = 800C = k ... (1)
t
P,
2
2
~-~
400 - 287
gJ+gc g,-gc
687 =113
gJ+gc = 1130 = 10
687
113
_'. Ganancia total es:
gJ+gc= 6870
Rpta. B
P2
3
P,+P2
2+3
3
25000 = 5000
5
De donde: p,= 10000yP2= 15000
Como el segundo se retira entonces queda:
Capital
Primero: 100000-10000 = S/.90000
Tercero: S/.120000
Como 6 meses después se reparten la ganancia entonces se tiene:
Capital
ganancia
Primero: S/.90000
SI. 6600
Tercero: S/.120000
g
gJ
gc
De (1) y (2): 800C = 574C
I
P2
~ -"'- = ~ =
Disminuye en ; (35C) = 14C
gc
gc
35C.8+49C.6 574C = k ... (2)
De donde:
pérdida = k
capital
~-=-=--
1~1~
I
S/.150000 en una compañia, a los
4 meses hay una pérdida de SI.
25000 por lo que el 2do. retira lo
que le queda de capital y entra un
3ro. con S/.120000 mientras que el
1ro. sigue con lo que le queda; 6
meses más tarde se reparten una
ganan-cia, si el1 ro. recibe S/.6600.
Hallar ¿cuánto le toca aI3ro.?
A) S/.9000
B) S/.8800
C)S/.7700
D)S/.7800
E) F.O.
RESOLUCiÓN:
1') Hasta los 4 primeros meses:
P,+P2=S/.2500
P,
I
49C
@ Dos personas aportan S/.l 00000 y
~ 100000 - 150000
A
35C
I Rpta. D I
:, gc= 750
Además:
Para Carfos:
1 ano 2 meses = 14 meses
(
aporta S/.28000 durante 7 meses,
"B" impone S/.4000 más que A por
un tiempo de 9 meses y C impone
una suma de SI.25000 durante 5
meses. Si "A" ganó S/.552 menos
que B. ¿A cuánto asciende la gananciadeC?
C)648
A) 564
B)782
0)750
E) 656
RESOLUCiÓN:
Datos:
Capital
tiempo
Para A:
28000
7 meses
ParaB: 28000+4000=32000 9 meses
Para C:
25000
5 meses
Además: g. -gA=S/.552
gA
g.
gc
28000·7
32000·9
25000·5
Reduciendo:
gA
g.
gc
~-=-=196 288 125
Aplicando propiedad se tiene:
g.-gA
gc
=
125 288-196
gc
552
~ 125 =92=6
Aplicando:
I
9
~ 120000
ganancia
capital
6600
90000
k
La ganancia del3ro. es: ,--_----,
SI. 8800
Rpta. B
I
I
@ Dos socios A y B inician un negocio
para "P" meses aportando P millones
cada uno pero q meses antes de finalizar A aportó "q" millones. Si la utilidad totales 16 veces la diferencia de
las utilidades que reciben los socios.
HallarP/q.
A) 114
B)3 C)2 0)4 E)1/5
RESOLUCiÓN:
Datos:
• g,+g2= 16(g,-g,) ........ (a)
ParaA:
P m!,ses
(
'1
r(p-q)
;;'ese"l~
P millones q millones más
~ p(p-q)+(p+q)q
9'
=k
(1)
.......
Para B:
P meses
A
(
I
r(p-q)
;;'ese"l~
P millones q millones menos
92
~ p(p_q)+(p_q)q = k ....... (2)
De (1) Y (2):
g,
g2
p2 +q2 = p2 -q2
Aplicando propiedad de S.R.GE.
9,+g2
9,·g2
16(g,-9') (9,-g2)
-2p-2- =-2q-2- ~~~p'2~
q2
p2
~16=q2
:. p/q=4
Rpta.DI
I
@ Tres amigos iniciaron un negocio. el
primero contribuyó con mercaderia,
el segundo con S/.2400 y el tercero
con cierto capital. Se sabe que al terminar el negocio el capital total se redujo a S/.5700 de los cuales el primero solo recibió SI.1350 y el tercero
S/.2550. Calcular el importe de la
mercaderla aproximadamente.
A)S/.1456 B)S/.1624 C)S/.2030
D)S/.1912
E)S/.1434
RESOLUCiÓN:
Siendo m el valor de la mercaderia
te-nemos:
Capital
Primero:
m
Segundo: 2400 .............. (a)
Tencero:
C
Como el total se redujo a S/.5700 de
los cuales recibieron cada uno:
Primero: 1350
Se9undo:2550
Tencero: 5700-(1350+2550)= 1800
Lo que recibe cada uno es en proporción a su capital ya que:
pérdida k ~ capital-pérdida = 1-k
capital
capital
Luego se cumple: recibe = cte
capital
carla al 75% y el resto del monto se
coloca al 25" ambos por "f' meses.
Si al final se obtuvo los mismos beneficios en ambas partes. Calcular
la suma de cifras de "f'.
A)6
B)3
C)7
D)8
E)4
RESOLUCION:
Dado el capital C se tiene:
C·30·t
Ct
Monto: C+ 1200 = C+ 40
Reemplazando (a) y (~) en la relación:
recibe = k
capital
Se tiene:
1350
2400
1800
~--=--=-m
2550
C
:. El importe de la mercaderla es:
m =5/.1434
, Rpta.
El
@
Tres personas forman una empresa
imponiendo capitales que están en
progresión aritmética creciente; al
inicio del sexto mes cada socio aumenta sus capitales en 5/.200, SI.
120, 5/.480 respectivamente, luego
de 6 meses mas, al repartirse las ganancias se observa que estos son
D.P. a 25, 33 Y 42. Hallar el capital
inicial aportado por la tereera persona.
B)S/.40200
A) 5/.21600
D)S/.30200
C)S/.17200
E) 5/.23700
RESOLUCION:
Según dato:
Capllallnlclal CapHaI flnal Ganancial
1°)C_r
C-r+200
25
2°) C
C+120
33
3°)C+r
C+r+480
42
Como:
25
= -=~3,-,3'"=c~
(C-r)12+200'6
C'12+120'6
42
k
(C+r)'12+480'6
Simplificando el denominador:
25
33
42
~
2C-2r+200 2C+120 2C+2r+480
........ (I¡I)
=
Aplicando propiedad de S.P.GE.
33
25+33+42
~ 2C+200 = 6C+800
100
99
~ 2+60 = 3C+800 ~ 3C+180 =
100
3C+800
33
1
~ 3C+800 = 720 ~ C+23700
Al sustituir en (I¡I):
33
42
47400+120 2(23700+r+240)
De donde: r = 6500
:. C+r = 23700+6500
= 30200
, Rptll. D 1
t;J
lo im-
1=
[f}5.t
Ct
1200
32
2°) El resto del monto se coloca al
25% durante "f' meses.
,
[ f +f¡j-}25ot
ranle "f' meses al termino del cual se
retira la mitad del capital para cole>-
Se esta ganando: 28' Pe ........ (1)
(20+t)l
1200
40'48
1
Del enunciado tenemos:
1=1'
Ct C(20+t)t
~32
40'48
Al simplificar queda:
Sevaaganar: 44' Pe ........ (2)
De (1) Y(2) notamos ~ue en el segundo caso se gana: (44 -28' )Pe = 16'
Pe más.
Pordato:
• 16'Pe=360~Pe=2250
~60=20+t
t=40
~ Cifras de "f' es:
:.4+0=4
@
, Rptll.
El
Un individuo vivla de los inlereses
que le producía un capital impuesto
al 5" anual durante 8 años y al final
de cada uno retiraba los intereses
para cubrir sus gastos; pero al final
del octavo año tiene que retirar además 2000 soles del capital. Hechas
las cuentas al empezar el décimo
año, se deduce que el capital primitivo sumado con todos los intereses
recibidos, dan en total 5/.137650.
¿Cuál es el capital que posee ultimamente?
C)47500
A) 24000
B) 95000
D) 19000
E) 85000
RESOLUCION:
El interés anual que se retira mensualmente es:
C'5'1
C
1=100=20
C
Al final del octavo año se retira 20
más 2000 soles quedando de capital (C-2000) soles el cual en el noveno año gana el interés de:
1'= (C-2000)5·1 = C-2000
100
20
Como las cuentas se hicieron al
empezar el décimo año implica que
tenemos que considerar el interés
de 8 años y el del noveno año.
Por dato:
@ Un capital se ha colocado al 30" du-
Para fijar el precio de un articulo se
aumento su costo en 60% pero al momento de realizar la venta se rebaja
en un 20%. Si en lugar de 60% se hubiera aumentado el costo en 80% haciendo el mismo tanto por ciento de
descuento se hubiera ganado 5/.360
más. Calcular el precio al que se vendio.
A) 3320
B)2880
C)4680
D)2230
E) 2460
RESOLUCION:
10 Se realizo:
al 75% durante 'f' meses.
ganancia
_k
capital-tiempo
~
33
1°) La mitad del capital
§
137650
~~~ (2250)=2880
'Rpta. S
~
1
Aumentar el X' , Y luego rebajarlo el
Y"del precio de un artículo equivale a
no variarlo. ¿A cuánto equivale en
aumento poreenlual aumentarlo X' y
"X"
luegoY'sisesabeque s y
"Y"
S
son
números enteros consecutivos.
A)50' B)25' C)69' D)92' E)68"
RESOLUCION:
Según dato:
• (1 OO-X)"(1OO-Y)' = lOO'
(1 OO+X)(1OO-Y) = 10000
100(X-Y)= X·y ..... (a)
"X" -y,
Como
y
son numeros conse-
S
S
tivos. De (a) multiplicamos y dividimos
por5.
500t~ - ~J=XY~500=XY
500XY
XY
25
5
5
5
5
Dedonde:X=25yY=20
El aumento que nos piden es:
Au = (100+X)" (1 00+Y)"-100"
Reemplazando los valores de "X" y "Y"
Au = (125)"(120)"-1 00" = 50"
-=-·-~5·4=-·-
'Rpta.A 1
• c+i"'<::"l+ C-2000 = 137650
l.20.J
20
~ =29=-,C",-~20:.:0:.::.0
20
:. C = 95000
Pv= 128'Pc=
@!) El X por 80 mas, del X por 90 menos
s-'I
'-,R=-p-ta--:.
de N, e igual a "N' ¿Cuánto par ciento
menos de N es el X" menos de su X"
mas?
A)10%
B)I%
D)5%
RESOLUCiÓN:
Primero lo vende: perdiendo el 50%
Venta = 50%(100) = 50 Pierde 5/.50
Luego al comprar azúcar gana el
b% de la venta anterior.
C)2%
E)II%
x
80+x
El x por 80 mases: 1+80 =80
Yelxpor90menoses: 1- ;0 =
Venta = (1 OO+b)% (50) =
9~~X
• (80+x) = (90+x) (N) = N
80
90
(80+x)(90-x) = 7200 = 90' 80
Del cual igualando faclores: X = 10
Hallando lo que nos piden:
El X% menos de su X% mas es: ell 0%
menos de su 10% mas, osea:
(100-10)%(100+10)% N = 90% xll0%
N=99% N
:. Es l%menosde N
Rpta. B
I
Venta = 50%
b% ti
100(7980+ab)
100-ab
....
(3)
De la misma forma al despejar
%
125 Pe
100(7984)+ab .... (4)
100-ab
Al igualar (3) y (4) se tiene:
100(7984)
100-ab
-b
+a
100(7980+ab)
100-ab
+ab = 100'
(ab4)
(100-ab)
Resolviendo se obtiene: ab = 20
El cual reemplazamos en (3)
%
_ 100(7980+20)
125 Pe100-20
:.Pe=S/.8000
",-----.
I Rpta.D I
@ Un comerciante compra arroz y lo
vendió perdiendo el 50% y con el
dinero compra azúcar y lo vendió
ganando el b%, luego con ese dinero
compró frijoles que los vendió perdiendo el 50, por último gasto todo
en arroz y lo vende ganando el b%.
Hallar "b" si la última ganancia es
igual al 72% de la primera perdida.
A)40 B)40 C)50 D)80 E)75
RESOLUCiÓN:
Sea el costo del arroz 5/.100
:. El vino es:
80% (1,7) t= 1,36
8
O~+b]= 72% (50)
b(100+b) = 14400
@ Para fijar el precio de venta de un ar-
125%Pe=
tl0~+bJ = tl0~+bJ
~~gg+b)=80'180
8
I Rpta. DI
Si a una cantidad "C" se le aumentó
su 20% y a la cantidad total obtenida se le aumenta nuevamente en
su 20% y asi sucesivamente K veces obteniéndose en total al final
172,8% C. Hallar K.
A)2
B)3
C)4
D)6
E)5
RESOLUCiÓN:
En el primer aumento se tiene:
120%C
Hasta el segundo aumento tenemos: (120%)(120%C)= (120%)2C
y hasta el tercer aumento tenemos:
(120%)(120% C)2 = (120%)3C
Entonces si son K veces se tiene
(120%)KC = 172,8% (C)
r120I"= 1728
l100)
1000
t~~r =t~~r
Una vendedora compra una cantidad
de huevos va al mercado y comienza
a vender, cuando ha vendido el 40%
de los huevos ganando el 30% se da
cuenta que el 31 % de los huevos que
compro se habran roto ¿En qué porcentaje deberá aumentar el precio
original de los restantes para tener
una ganancia del 10% del costo?
A) 50
B)100
C)80
D)120
E) 350
RESOLUCiÓN:
Resolvamos por falsa suposición para lo cual asumimos que el costo total
es SI. 100.
1. Vende e140%
Costo = 40%(1 00) = 5/.40 gana 30%
(5/.40)=5/.12 ......... (1)
2. Del resto que es 60% esta malogrado el 31%, es decir que tenemos
en ella una perdida de:
31%(5/.100)=5/.31 ......... (2)
Considerando (1) Y (2) ya tenemos
una pérdida de: 5/.31-5/.12 = 5/.19
Como deseamos ganar ell 0% del total es decir 10%(5/.100) = 5/.10 en
los huevos restantes que están sin
romper debemos ganar 29 soles pero
sabemos que su costo es: 5/.100(40+31)%100.
29%(100) = 29 soles
I
®
I Rpta.B I
@§) En el "Cerezo" sirven la jarra de
sangria con el 80% de vino y el resto
gaseosa, debido a la demanda el
dueño del bar desea reducir la cantidad de vino y pensaba: "Puedo reducir el vino por jarra en 5% o agregar en cada jarra un 15% de gaseosa". Al final el dueño ejecuta las dos
medidas ahorrando de esta manera
17 mililitros de mezcla por jarra
¿Qué cantidad de vino se servía inicialmente por jarra?
A) 0,68 t
B) 0,81 t
C) 170 t
D)I,361
E)O,84t
RESOLUCiÓN:
La jarra de sangría originalmente
contiene: 80% de vino y 20% de gaseosa.
Al reducir 5% de vino e incrementar
15% de gaseosa se tendrá:
95% (80%) de vino < > 76%vino
115% (20%) de gaseosa <> 23% gaseosa
Lo cual hace: 99% de mezcla resultando 1% menos que lo inicial.
IRpta. D I
.'. Deberá incrementarse Rp
C
en un 100%
.
tao
'r---~
:.K=3
17ml
X
~X=1700ml=I,7t
Finalmente al comparar arroz y
venderlos gana el b%.
Ganancia: b%
Según dato:
I
ticulo se aumenta su costo en un
25% al vender dicho artrculo se rebaja ab% y luego ab soles pagándose
por él 5/.7980; pero si se rebaja ab
soles y luego ab% se pagarra $7984
¿Cuál es el precio de costo?
A)S/.8750 B)S/.8250 C)S/.7500
D) 5/.8000
E) 5/.1 000
RESOLUCiÓN:
Si el precio de costo es Pe el precio
fijadosera: 125%Pe
_
1ra. Forma: Se rebaja ab% y luego
SI. ab ~ 7980 = (100-ab)%(125% Pe)
-ab ........ (I)
2da. Forma: Se rebaja SI. ab y luego
ab% ~ 7984 = (100-ab)%(125% Peab) ........ (2)
De(l)despejando 125% Pese tiene:
PORCENTAJE VOLUMEN
Ahorro:
Total:
tl0~+bJ
Después al comprar frijoles y venderlo pierde el 50%
Por dato:
EntoncesporR.3. S.:
I
.
El costo de un artículo producido en
los EE.UU. ha aumentado en un 20%
yel precio del dólar se ha incrementado en un 25% si antes de los incrementos un comerciante importaba
600 artículos ahora con la misma
cantidad de dinero ¿Cuántos articulos importará?
A) 600
B)900
C)450
D)300
E)400
RESOLUCiÓN:
Planteando por R.3.C.
Ir-~/==~\\
Costo Dólar
Inicial:
100% 100%
Después: 120% 125%
(1)
N" Artículos
600
X
(1)
X = 600' 100. 100
120 125
X=
8
600.~.~
6
5
:, X = 400 artlculos
I Rpta. E I
Un jugador aposto todo el dinero que
tenia ganando el 10%; esta nueva
cantidad la aposto perdiendo el 80%;
si la cuarta parte de lo que le queda
la aposto ganando su 15%. Calcular
cuanto dinero tenia al inicio sabiendo que si deposito el dinero con el
cual se retira a una tasa de 7% anual
al cabo de 9 meses, obtendrla un beneficiode 119831 ,25.
A) 155635 B) 256235 C) 300000
0)6000000
E) 600000
RESOLUCION:
Sea C el dinero que tenía inicialmente después de las dos opuestas le va
a quedar:
(100+10)% (1 00-80)%C = 22C
por lo cual apuesta:±(22"C)=5,5%C
y gana e115% entonces tiene:
~(55%C)
100
'
Mas el 22" C-5,5% C = 16,5% C que
no aposto tiene en total 16,5% (C)+
115%% (5,5% C) = 45% (5,5% C).
De todo ese capital recibiria un beneficio anual de 7% (415% (5,5%»
pero como solo lo deposito 9 meses
su verdadero beneficio es:
9
12 [7"(415%(5,5%C))] = 119831 ,25
_-_ Ces6000000
~
I Rpta. D I
Al fijar el precio de un articulo el costo se duplico al momento de venderlo se hizo dos descuentos sucesivos
del 10% y 20%; si sus gastos de venta y la ganancia están en la relación
de 1 a 4. Hallar en que relación se
encuentran la ganancia neta y el preciofijado.
A)29a300 B)72a300 C)33a200
0)29a 100
E)29a 180
RESOLUCION:
Siendo el costo total 5/.900 se tiene:
Ou = 100%-90%'80%=28%
Pv= 72%(200%P)=I44%Pe
La ganancia es: 44% Pe: G.=44% Pe
Pero según dato:
gastos
ganancia bruta
~
gastos
44% Pe
1
4
1
4
~ gastos = 11% Pe
Siendo la ganancia neta:
GN=44%Pe-ll%Pe= 33% Pe
_ GN
33%Pe
33
= 200% Pe
200 Rpta. C
--P.
I
I
@9) Los 2/5 de una mercaderia se vende
ganando el 20%, los 4/9 con una perdida dell 0% que tanto por ciento debe ganarse del resto para que al final
haya una ganancia del 5,8% del total
de la venta.
B)20%
C)15%
A)12%
0)18%
E)10%
RESOLUCION:
Siendo el costo total de 5/.900 se tie-
ne:
l ' Los 2/5 con una ganancia del 20%
2
Costo =5(900) = 360
®
ganancia: 20% (360) = 5/.72
2' Los 4/9 con una perdida del 10%
Costo= :
(900)=400
perdida: 10%(400) = 5/.40
3' El resto tendrá un costo de:
900-360-400 = 140
Además la ganancia total debe ascandera:
3
5,8% (900) = ;0 0 (900) = 5/.53
r
Pero en el l ' y 2' se tiene una ganancia de: 72-40 = 5/.32 el cual
para llegar a 5/.53 faltarla a 5/.21 y
esta suma debe ganar de los 140
soles.
Debe ganarse:
Recorrido: 50% e falta recorrer: e
~ 50%e+e= 120Km~e=80Km
Observa que hace "N" Km habla recorrido la misma distancia que le faltarla recorrer después de recorrer el
175%de400Km.
@ Una piedra pómez es sumergida en
I Rpta. D I
@ Un sastre compra un cierto número
de ternos a 5/.240 el par, si los vende con una ganancia neta de 5/.
85000 Ylos gastos ascendieron al
15% de la ganancia bruta ¿Cuántos
ternos compro si en total recibió 700
mil soles?
A) 5/.4000 B) 5/.2500 C) 5/.5200
0)5/.1250
E) 5/.5000
::~~~~~?:;noes: 2~0 =120 soles
Además tenemos los datos:
• GN=85000;gastos=15%G.
• Pve.... =700000soles
Sabemos por aplicación mercantil
G.=GN+gastos
~ G.= 85000+15% G.
Resolviendo: G.= 5/.1 00000
También sabemos porteoría:
Pv= Pe+ Ganancia
~ 70000= Pc+ 100000
De donde: Pe= 5/.600000
.-. N' ternos
=
600000
120
Pe
costo de c/u
5000
I Rpta. E I
I
'--------.r---- '---------v----
I Rpta. C I
.-. Disminuye en:
18
136 '100" = 13,2"
,
I
1~~ xl 00% = 15%
agua al sacarla se nota que el peso
aumento en 36% si se saca la mitad
del agua. ¿En qué porcentaje disminuirá el peso de la piedra pómez?
A) 14%
B) 15%
C) 13,5%
0)13,2%
E) 14,2%
RESOLUCION:
Asumiendo que el peso de la piedra
pómez es 100gr al introducirlo en
agua su peso aumenta en 36% y su
nuevo peso seria:
136%(1 OOgr) = 136 gr
si sacamos la mitad del agua que
contiene se extrae:
18
136 (36gr) = 18gr
Juan desea ir de una escuela "A" a
otra "B" distante 120Km. Cuando habla recorrido el 50% de lo que le faltaba recorrer observa que hace "N" km
habla recorrido la misma distancia
que le faltarla recorrer después de recorrer el 175% de los que ha recorrido
realmente. Hallar N.
A)35 B)50 C)60 0)40 E)30
RESOLUCION:
Cuando había recorrido 50% de los
que falta recorrer
120Km
40-N "N'Km 175"(40) faltaria=80-175"(40)
,--'---, ,...... -------------.. r-'------,
I
I
I
I
I
'-----y---' ,
v
40Km
80Km
'
Por dato: (40-N)= 80-175%(40)
40-N =80-70 ~--,---=->
'-_ N=30
[Rpta,
el
8
Una persona compra 20 objetos "A" y
los vendió ganando eI40%; con el importe de la venta compra 60 objetos
"B" y los vendió ganando el 15% con
el importe de esta venta compra 828
objetos C a precio de 5/.9800 la docena. ¿ Cuánto le costarán los objetosA?
A) 5/.2200 B) 5/.21 00 C) 5/.221 O
0)5/.2220
E) 5/.2222
RESOLUCION:
Del enunciado tenemos:
Primero:
Costo de 20 objetos A = 20A
La ganancia es: 40% (20A)
El precio de venta es: 140%(20A)
~ 140% (20A) = 60B ....... (a)
Segundo:
Costo es: 60B
Gana el 15" (60B)
El precio de venta 115"(60B)
~ 115"(60B) = 828C ....... (~)
Al multiplicar (a) y (p)
140%'115% (20A) = 828C
Si los objetos C la docena cuestan:
5/.9800
9800
C/u costo: C = ~
Reemplazando en
(M:
115" (60B) = 828' 9800
12
115"'140"(20A) = 828' 9800
12
.-. Los objetosAcostarán: 5/. 21 00
IRpta. B I
@
@
La cantidad de 306000 soles se divide en tres partes que son proporcionales a los números a; by c los cuales al ser colocados bajo las tasas de
(a+1 )"; (b+2)" Y (c+3)" en ese orden al cabo de un año producen
montos que son como a2; b2y c2 respectivamente. Hallar la mayor de las
partes en que fue dividida la cantidad inicial.
A) 5/.103000
B)S/.102000
C)S/.10100
D)S/.14000
E) 5/.132000
C+
De (1):
e
100
C3·(c+3)·1
C3(103+c)
M3 = C3+
100
100
~ M3 = ck(103+c) ....... (y)
100
Reemplazando (a);
(~)
y (y) en (3):
ak(101+a) bk(102+b) ck(103+c)
100b2
100a2 100c2
Al simplificar queda:
101+a
102+b
103+a
- a - =- b - =- c 101
102
103
b
c
Al invertir tenemos:
~--=--=--
a
a
100
b
--.¡¡¡;¡- =
c
102
Multiplicamos por "k" al numerador
para obtener los capitales.
ak
bk
ck
100 = ----:¡()1 = 102
C,
~ 100 =
C2
--.¡¡¡;¡- =
C3
103
Por propiedad de S.R.G.E.
Reemplazamos el dato (1)
C,
C2
C3
C,+C2+C3
100 = --.¡¡¡;¡103
306
Reemplazamos el dato (1)
C,
C2
C3
306000
100 = --.¡¡¡;¡- = 103 = 306
.'. C3= 103000
,r:R=-p-=-ta-.A:-')
100
2C' ............ (1)
e'·
r· 6
1200
21' ............ (2)
-ª-C'= 21'
2
~
C' =2... 21 7
50
20
50
9000
80+4r = 50+5r
.'. r"=30"
@
=
80%[ ~ J
Falta cancelar: 20"
[~J = 4"C
Luego el nuevo préstamo es:
C+4"C= 104"C
Segun dato:
104 C"+ (104"C)· 5 ·1 3276
100
De donde: C = 3000
Como inicialmente habia ganado
80"[
~ J = ~~ [3~00J = 480
En total pago: 3276+480 = 3756
.'. En total ganó:
, Rpta. A )
3756 - 3000 = 756
Asumamos que la suma depositada
en el banco sea C, como en 1 mes
gana e15%, el monto serfa:
J
Un prestamista da un capital durante
4 años, a una tasa anual del 5", vencido el plazo el deudor paga sólo el
80" de los intereses e indica ·prestame el capital y los intereses que te
debo por un año más al cabo de los
cuales cancelamos la deuda". El
prestamista accede y vencido el plazo recibe una suma de 5/.3276.
¿Cuánto ganó el prestamista al final
de todo?
A) 756
B)276
C)480
D)576
E) 520
Si el capital es ·C" los intereses serfan:
C
100
5
Cancela el 80" del interés:
RESOLUCION:
98 105198 105
49 21 49 21
C
100·100L100·100 = 50· 20· 50· 20 C
,'Rp-ta-.E--')
RESOLUCION:
Una persona deposita una suma de
dinero en un banco, el cual se capitaliza mensualmente al 5" sin embargo luego procede a descontar el
2" del monto mensual por gastos
de operación. A los 2 meses la persona decide retirar su monto obtenido y presta la mitad a otra persona
esperando duplicar la suma prestada en 1 año, sin embargo se le devuelve el capital prestado y una suma equivalente a lo que corresponde como ganancia 6 meses después si esta suma entregada equivale a 21' soles. ¿A cuánto equivale el capital depositado inicialmente?
A) 1134·10.
B) 1024·10.
C)2321·10'
D)4536·10'
E) 2268·1 O.
Para el segundo mes se procede de
la misma forma y se tendrá:
2
:. C = 2268000000
, Rpta. D )
105 C
100
Pero si descontamos el 2% del
monto tendriamos:
98
105
100· 100 C
20
~ 1000000C=2."3.37.77
9000 ............ (1)
C(1~g;5r)
3
~ .1.!. • ~ .1.!. .C = 2C'
32 .7.
10440-9000 ..... (2)
21'
Pero se sabe que:
=
@
C'-r-1
De (1): r" = 100"
C'·100·6
En (2): C'+
1200
Dividiendo miembro a miembro:
100+5r
900
10+r
144
Reduciendo queda:
20+r
25
10+r = 4
~ M, = ak(101+a) ....... (a)
~ M2 = bk(102+b) ....... (P)
• C'+
De (2): c,,1g;r) = 1440
De (1): C, = ak; C2= bk; C3 = ck
Hallamos los montos:
C1"(a+1)·1
C, (101+a)
M, = C, +
100
100
C2(102+b)
100
c·100
r· 5
C(r+10)·1
100
• !-1.!2 =~2 =-º-'2- ................... (3)
100
C"¡b+2)·1
M2 = C2+
100
• C'+
Siendo el capital C
y la tasa inicial: r"
Se cumple por enunciado:
Por dato:
• C'+C2+C3=306000 ............ (1)
C,
C2
C3
· a = t ) = c = k ............. (2)
b
Hagamos que dicha expresión sea
2C'.
Por dato:
RESOLUCION:
RESOLUCION:
a
Cinco años después de realizado
un préstamo se tenfa que pagar incluyendo intereses 5/.9000 como
aun no se podfa pagar se pide un
año más de plazo, el cual es concedido pero con un recargo del 10%
en la tasa anterior al cabo del año
se pago 5/.1 0440. ¿Cuál era la tasa
de interés inicial? Sabiendo que el
interés cobrado es simple en todo
instante aplicado al capital inicial?
A) 20"
B)25"
C)27"
D) 30"
E) 35"
@
Se tiene un capital ·C" del cual 1/n se
impone al1 ", los 2/n al 2"; los 3/n al
3" y así sucesivamente. Si luego de
un año produce un interés total del 59
del capital. ¿Calcularen cuántas partes se dividió el capital como mlnimo
yel valor de n?
A) 1948y44
B) 2048 y66
B)3916y44
D)2916y88
E) 1958y88
RESOLUCION:
123
n
n
n
x
n
~ (x)(x+1) = 1
2n
x(x+1) = 2n
Además la suma de intereses es 59"
(nk) el cuales igual a:
1 (nk'1'1)
-
n
2 (nk'2'1)
+-
100
n
+
A) 16+
100
100 •
6
E)
[17
Como: x(x+1) = 2n
6
Aplicando:
n obreros al 100,,"~ hacen en 20 dlas
1
1
Total = ~ partes
I
• Acciones de la Telefónica:
65K-(25K+26K)= 14K
Hallando la renta anual.
25K'1O'1
26K'7'1
14K'14'1
+ ...c...:.~C-'---'100
= 18840
628K
1
'-----.r-----'j~l'
8 días
4 días
--:¡()() = 18840
K= 3000
Se
IrR=-p""'ta-::.0:-\1
.
8 días
Total = Suma de partes
1
~ 24'20 = 24'8+16'4+(16+n)'8
:. Al resolver: n = 12
@
:. SepagoS/.25(10)
= S/.250 adicionales
S
I
Rpta. E
I Rpta. e 1
A
B
1 C
1
~j~r~l~
• ••
18 obreros
10 obreros (10+&) obreros
8 dio
"8" obreros
Porteoría de magnitudes se sabe:
Obra a tiempo
Obra a N" Obreros
obra
Un grupo de obreros tienen proyectado terminar una obra en cierto
I
18 obreros pueden hacer cierta obra
en 20 dfas, al cabo de 8 dfas de labor
se retiran 8 obreros y después de 6
días se contratan "a" obreros mas,
terminando la obra en el plazo fijado.
Hallar"a".
A) 10 B)6
C)8 D) 16 E) 18
RESOLUCION:
Grafiquemos de acuerdo al enunciado:
1
Además debemos suponer que todos trabajan el mismo número de
horas diarias por lo cual:
dias con un rendimiento de 75" después de 3 dias se agregan 2 obreros
Reemplazando en (a):
20n = (8n-96)+(2n)+(1 On-24+12x)
x=10
El último día trabajaron 10 obreros
adicionales.
Todo lo hacen 18 obreros en 20 dlas
Apliquemos:
@j) Se tiene 5 obreros que trabajan 4
Total = n'1 00"'20 = 20n
ParteA = (n-12)'1 00"'8 = 8n-96
Parte B = (n-12)'1 00"'2+15'80"'2 =
=2n
Parte C = (n-12)'100"'10+12'80'"
·10+x·120"·10= 10n-24+12x
Se oontratan 2
enferman 8
1
10dias •
Total = ParteA+Parte B+Parte C ... (a)
@ Un grupo de 24 operarios terminan
(65K) = 26K
1
C
Se sabe que:
I
un trabajo en 20 dfas trabajando
8h/d. Al final del octavo dfa de labor
se enferman 8 de los operarios y 4
dfas más tarde se comunica al contratista para que entregue el trabajo en la fecha fijada previamente
¿Cuántos operarios adicionales se
contratan para cumplir con tal exigencia?
A) 10 B) 14 C) 12 D)8 E) 16
RESOLUCION:
Se tiene:
• 24 obreros lo terminan en 20 dfas
(8h/d)
1 B 1
j~l'2dr.:li
Cancelando 25% y reduciendo queda: 28d = 105+(69)+(77)
•
27
.. d=8
Rpta.O
2s
A
4Se retiran 3 obrart'16
12 SI retiran 2 reemplazan
de 80% de rend.
de 100% rend. por 15 de
80% rend.
Se contratan
x obreros de 120%
de rendimiento
1
14'50"d =5'75"(4+3)+(5+75" ·3+2·
·100" '3)+(1'75" '7)+(2'100" '7)
13
El premio es:
65K = 195000
I
Pero previamente es conveniente
notar que intervienen el rendimiento el cual es I.P. al número de obreros, por ello se multiplica n" de
obreros, entonces:
@ Jorge jugó a la tinka y se ganó el pre-
100
I
Todo lo hacen 14 obreros al 50% en
"dO días.
n = 88(89) = 3916
2
r-=--:-::-\
:. nyxes2916y88
I Rpta.O 1
100
1
2 obreros Se retirun
(lOO') 4 obraros (75")
x= 88
Hallando el valor de "n°
=~~-'-+
28
~~~r3dq~
K • 2n(2x+1) _ 59nK
~
81"L
05 obreros el 75" ·1 obrero al 75"
5 obreros al 75" ·2 obreros al 100" ·2 obreros al1 00"
= 100 (nk)
• Costo de las tierras:
17
RESOLUCION:
Grafiquemos:
59
mio mayor entonces para no desaprovechar su suerte decidió invertir
las 5/13 del premio en la compra de
casas, 2/5 en la adquisición de tierras y el resto en acciones de la Telefónica. Las casas le reparten un interés anual del 10", las tierras 7" y las
acciones 14" sabiendo que su renta
anual es de 18840 soles. Determinar
el premio que ganó Jorge en la tinka.
A) 65000
B)62000
C) 186000
D)195000
E) 74200
RESOLUCION:
Asumamos que el premio dela tinka
sea 65K.
5
• Costo de las casas:
(65K) = 25K
~
C)11
D)30-:¡-¡-
K
59
100 (12+22+32+ ... +X2) = 100 (nk)
x(x+1 )(2x+1)
2
B) 12 13
1
3 (nk'3'1)
x (nk'x'1)
++ +
n
100
n
100
K
número de días pero faltando 20 días
para terminar la obra 12 de los obreros se accidentan y no son reemplazados hasta después de 8 dfas por 15
obreros cuya eficiencia es 20%
menos, luego de 2 d fas mas se contratan a un grupo de obreros que son
20% mas eficientes que los recién
contratados y se retiran 3 obreros a
85% de rendimiento logrando cumplir
con el lapso fijado. Si al iniciar la obra
el jomal de cada obrero es S/.25
¿Qué cantidad de dinero de mas se
pago el último día dela obra?
A) S/.300
B) S/.138
C) S/.240
D) S/.252
E) S/.250
RESOLUCION:
Siendo: "n° el número de obreros que
había inicialmente.
Grafiquemos los que falta hacer:
con un rendimiento del 100" Y ellos
trabajan durante 3 días, luego del
cual, se retiran 4 obreros de 75% de
rendimiento y los restantes trabajan
7 dfas hasta concluirla obra.
¿Cuántos días trabajaron 14 obreros con un rendimiento de 50% para
hacer toda la obra?
- + - + - + ..... +-=1
---c---c----'-'--'--cc--- = K
n" obreros' tiempo
A
B
C
A+B+C
=
18'8 10'6 (10+a)'6
18'20
Por propiedad de S.R.GE. se cumple:
A+B+C
A+B+C
-o1~8'-;2coO~+1;c;0;-C'6O;c+cO(I:;-;Ooc+-ao-)'6;o = 18.20
150braros
\
'1
ITotal = suma de partes I
Donde cada parte es el producto del
número de obreros y el tiempo.
@ Se construye una obra con 4 máquinas que trabajan 10 h/d debiendo
culminarla en 30 dias al final del sexto dia una de ellas se malogra durante 'X" d las. Hallar el valor de "X" si
desde el séptimo dla las otras tres
máquinas trabajan 12 h/d Y cuando
se repara la malograda esta sólo
puede trabajar 8 h1d, pero se termina
la obra en el plazo estipulado.
A)10 B)11 C)12 0)14 E)13
RESOLUCION:
Veamos el siguiente gráfico.
Toda la obra la hacen 4 máquinas en
30 dlas (10 h1d).
Toda la obra la hacen 4 m1tluinas en 30 dlas (10hJd)
Ll. - 1
6 di..
24dias
J
~
Se repara la maquina
411'1équmas
malograda y trabajo
(10 h1d) Se malogra una (24-x) a 8 h1d
máquina durante
Ydlas
Recordemos que a partir del séptimo
dia trabajan las 3 máquinas durante
24 dias a 10 h/d, incorporan dos después de x dias, la máquina malograda. Entonces apliquemos de nuevo:
Falla
'----y----"
v
25 Jornadas • Los 15 obreros lo hacen
(8hId)
en 20 jornadas (8h1d)
• nobreros más lo deben
hacer en 15jomadas
(5 di.. menos) trabajando
x hldiarias más
Entonces podemos afirmar que:
18'8+10'6+(10+a)6= 18'20
Al resolver:
a = 16 IrR=P--:ta-.-=D"-'1
NOTA: En problemas de regla de
tres como el caso anterior apliquemos lo siguiente:
Planteando la R.3 S. para la obra
que falta:
N° obreros
Tiempo
15
20'8
(15+n)
15(8+x)
(1)
160
15+n = 15' 15(8+x)
15+n = 160
8+x
Con n debe ser lo menor posible entonces x debe ser la mayor posible
que sumado a 8 divida a 160 pero
dicha división debe ser más de 15.
:- x=2 y n=1
15~~ ~~+108+24-X I--:R=-p""""'ta-.-=c"l
@
Una cuadrilla de 15 obreros pueden
hacer una obra en 25 jamadas de 8
horas diarias, pasadas 5 jornadas se
les pidió que la terminaran 5 dias
antes de lo proyectado, esto motivo
aumentar el número de horas de trabajo diario y contratar mas obreros.
¿Cuáles el menor número de obreros que se debe contratar?
A)1
B)2
C)3
0)4
E)5
RESOLUCION:
En este problema vamos a suponer
que el número de obreros contratados es IOn" y n x" el incremento en el
número de horas diarias.
I Rpta.A I
@ Dos grupos de pintores empiezan a
pintar los lados opuestos de una pared, el ler. grupo acaba su trabajo
en 42 dlas cuando el segundo grupo ha hecho los 3/4 del suyo. Si del
1ero grupo se pasan todos al 2do.
grupo para ayudarlos ¿En cuántos
dias antes de lo previsto se termino
la obra correspondiente al segundo
grupo?
A)2
B)5
C)6
0)9
E)7
RESOLUCION:
Tenemos que el 1ero grupo ha hecho el total de la obra que es como 1
y el 2do. grupo hace los 3/4 entonces trabajando con esos datos podemos deducir los rendimientos R,
y R2dellery2do. grupo respectivamente.
Rendimiento
Obra
1
3
4
ITotal = ~ partes I
Como en este problema intervienen
las h/d esta se multiplica al número
de dias, luego:
4·30·1 O= 4·6·1 0+(3·24·12+ 1·(24-X)·8)
Cancelando el factor 8 se tiene:
Rendimiento Tiempo
2do. grupo:
3
14
1ero y 2do. grupo: 7
1
Eller. y 2do. grupo lo hacen:
Grafiquemos:
(O)
3
R,
4
=> R1 e -= R2-1:::::)- =4
R2
3
Si trabajan los dos grupos tendrán
un rendimiento total de:
4+3=7
Trabajemos con el2do. grupo:
2do. Grupo
~ t = 14·
73
:, De (a)y(p) notamos que lo termina:
(14~)=8diasantes
Rpta.A
I
cada uno en 15 dlas de 8 horas diarias hacen una obra ¿Cuántos obreros de 60% de rendimiento cada uno
harán en 20 dlas de 9 horas diarias
una obra de triple volumen pero de dificultad 2/3 que la primera?
A)7
B)9
C)12 0)8
E)11
RESOLUCION:
Planteando:
/~/~=====-,-----,\
Rendimiento Total Tiempo
Obra
6'90"<>9
15'8=120 21'1=1
X'60%<>X
20'9=180 3'3=2
(1)
• Lo que falta, el2do. grupo lo hace
en:
31
(42) = 14 dlas ............ (a)
Entonces tenemos para la obra que
falta:
(O)
•
120 2
"x=9'
'
=12
Rpta.
180
Comentario: Para no trabajar con
varias magnitudes usted debe considerarlo siguiente:
Cuando interviene el n° de obreros
yel rendimiento, se multiplican los
valores correspondientes y se toma como magnitud al rendimiento
total.
Igualmente cuando interviene la
obra y dificultad de la obra, ambas
se multiplican y se reemplaza por
la magnitud obra.
I
1
cl
@ Un grupo de 36 obreros han construido en 20 dias los 4/9 de una obra, un
segundo grupo de 24 obreros han hecho en 35 dlas 1/3 de la misma obra y
un tercer grupo de 30 obreros terminan el resto de la obra en 18 d las. Si
para realizar otra obra, el doble que el
anterior en 60 dlas se ha contratado
26 obreros del primer grupo y cierta
cantidad del 3er. grupo ¿Qué grupo
es más eficiente y cuántos se contratan del tercer grupo?
A)I°;20
B)I°;42
C)2°; 30
0)3°;30
E)3°;20
RESOLUCION:
Sea la obra:
36 obreros
24 obreros
1
30 obreros
J
: •H-<>+I~:+I
I :' I:I
42 días
I
@ Seis obreros de 90% de rendimiento
\
'---y--'
= 6 dlas ........ (p)
'---y---"
,
20 días
35 días
"
,
'
18 días
Por teorla de magnitudes se deduce
que:
Obra O.P. tiempo
Obra O.P. N° obreros
Obra O.P. Rendimiento
~
obra
=K
tiempo'N° obraros'Rendimiento
Si los rendimientos son R,; R2 y R3
apliquemos la fórmula para cada
caso:
434
9
9
9
35·24·R2
18·30·R3
-=-~:- = ~~:-
20·36·R,
Al simplificar queda:
R,
R2
R3
42=27=28
de donde sea R, = 42; R2 = 27 Y R3 = 28
Notamos que el más eficiente es el
primer grupo. Luego planteando la
R. 3 C. para el primer grupo:
I
,
2
Tiempo
20
60
(O)
(1)
Obra
4/9
,\
N'Obreros
36·42
26·42+X·28
:. El l' es más eficiente y se han
contratado 42 del2' grupo.
rlR---p-ta-.s--I
@ Tres prados tienen la misma área
pero en c/u el grado de crecimiento
del pasto es el doble del anterior. El
pasto del 1ero Prado puede alimentar
a 72 ovejas en 36 dias y el2do. puede alimentar a 48 ovejas en 90 dias
¿Cuántas ovejas se comerán todo el
pasto del tercero en 60 dias?
A)75 B)72 C)81 0)78 E)84
RESOLUCiÓN:
Si en el primer prado "n° ovejas se
encargan de comer el crecimiento
diario del pasto, para el2do. y tercer
prado serán "2n" y "4n" el número de
ovejas que se encargan de comer el
crecimiento diario del pasto ya que
será proporcional al crecimiento del
pasto. Luego planteamos que la
cantidad inicial de pasto de cada
prado lo pueden comer:
N' ovejas tiempo
(2) ..... {
4~~!~
~n
60
...
(1)
Oe(1):
Oe (2):
Multiplicando en linea:
3t-9=2t ~ t= 9 horas
:. Como empezaron a las 6 a.m.
~
Terminarán a las:
I Rpta. D I
@ Un terreno de 10 acres pueden alimentar a 12 bueyes por 16 semanas o a 18 bueyes por 8 semanas.
¿Cuántos bueyes podrian alimentarse en un campo de 40 acres durante 6 semanas, si el pasto crece
regularmente todo el tiempo?
A)77 B)80 C)88 0)85 E)90
RESOLUCiÓN:
Sea n el número de bueyes que se
encargan de comer el crecimiento
diario del pasto, entonces la cantidad de pasto inicial lo pueden comar:
N'bueyes
Tiempo
12-n
16<>2
8<>1
18-n
(1)
~(18-n)·1
= (12-n)·2
n=6
Si para 10 acres se requieren 6 bueyes para comer el crecimiento diario del pasto para 40 acres se va a
requerirde 24 bueyes.
Luego planteamos:
¡
\1'--'\
N° acres
10<> 1
40<>4
(1)
Tiempo
16<>8
6<>3
(1)
4
8
1
3
:::::>x-24 = 6·x-·-
(x-48)60 = (48-24 )-=·9..::.,0----::;-,
:. X=84
Rpta.
Ir
N' bueyes
12-6
x-24
(O)
(48-2n)(90) = (72-n)(36)
240-1 On = 144-2n
n=12
El
x-24 = 64
,""'''''''''''-',
.'. x = 88 bueyes Rpta. C
granjeros para arar un terreno
@ Para pintar una casa primero se pa- @ Ocho
de 112,50 m 2 se demoran 12 d ras
sa la primera mano, luego el acabado, Adrián y Arturo se disponen a
pintar una casa a las 6:00 horas, Arturo el encargado del acabado espera que Adrián pinte durante 3 horas
aduciendo que él lo hace en 2 horas
lo que hasta ese momento ha pintadoAdrián. Si terminaran simultáneamente el trabajo a que hora fue:
A) 12 horas B)13horas C)14horas
O) 15 horas
E) F.O.
RESOLUCiÓN:
Oel dato tenemos que lo que Adrlan
hace en 3 horas Arturo lo hace en 2
rarian 12/2 = 6 d ias mas. Veamos el
gráfico:
8 granjeros
\
'-------y------'-----v---'
12 dias
pero luego de iniciado la obra se les
comunica que aparte de lo anterior
tienen que arar otro terreno de 4,5
por 12,5 metros por lo cual contratan 4 granjeros mas acabando la
obra a 15 dias de iniciado ¿Cuántos
dias trabajo el segundo grupo?
A)3dras
B)4dras
C)9dras
O) 6 dras
E) 8 dras
RESOLUCiÓN:
El área del otro terreno que deben
arar es 4,5·12,5 = 56,25 m 2 el cual
notamos que es la mitad del terreno
inicial y para dicha mitad se demo-
6 dfas
Se han trabajado x dras entonces
I s.
hizo
I
I
Falta
'-----v---' '-------y-----X dlas
olo harán en 18-x dlas
trabajando 8 granjeros
• Lo hacen en 15-x dias
trabajando 4 granjeros más,
(1)
6+9 = 15 horas
~X=42
72-n
horas, entonces los rendimientos
de Arturo y Adrián son como 3 y 2
respectivamente ya que el rendimiento es I.P. al tiempo.
Luego si asumimos que "r- horas es
el tiempo que se demoró Adrián en
terminar la obra, entonces Arturo se
habrá demorado "t-3" horas, ya que
el empezó después de 3 horas, luego planteamos:
Rendimiento
tiempo
Adrián:
2
t
Arturo:
3
t-3
en total 12 granjeros
Luego se plantea R.3 S. para la obra
que falta:
N' granjeros
Tiempo
8<>2
18-x
15-x
12<>3
(1)
~
3(15-x)=2(18-x)
45-3x = 36-2x
9=x
:. El2do. grupo lo hace
en: 15-9=dias
I Rpta. D I
@ Una familia de 10 personas disponen
de 9000000 de soles para vivir durante un año; a los 4 meses llegan 2 sobrinos y a mitad del año el costo de vida se incrementa en 20% ¿Qué cantidad de dinero tiene que pedir prestado el jefe de familia para poder sobrevivirun año?
A) 1280000
B)1128000
C)1240000
0)210000
E) 2280000
RESOLUCiÓN:
Primero: Determinamos cuánto gastan (g1) las 10 personas en 4 meses.
¡
N' Personas
10
10
(O)
\1
\
Gasto
9·10·
Tiempo
12
g,
4
(O)
Al resolver. g, =3·10·=30·10"
Segundo: Calculando el gasto (g2)
de las 12 personas hasta la mitad del
año faltan 2 meses.
N° Personas
Gasto
Tiempo
10
9·10·
12
12
2
g2
(O)
(O)
Oe donde: g2 = 18·10" es el gasto en
dos meses pero como falta 6 meses
para terminar el año va a gastar el triplede 18·10"osea 54·10" pero como
el costo de vida se ha elevado en 20"
el gasto en ese medio año es:
g3= 120%(18·10")=6480000
Siendo el gasto total:
g,+g2+g3=300000+1800000+
+6480000=11280000
El préstamo es:
11280000-9000000 = 2280000
I Rpta. El
2x+5x=42 ~ x=6
:. Fueroncambiadas2 (6)= 12monedas.
Rpta. C
I
@
@
En una provincia A, el kg de papa
cuesta 0,80 soles; en otra provincia
B, cuesta 0,95 soles. El transporte
de cualquiera de estas provincias
cuesta 0,01 soles porkg y por km. En
una provincia C intermedia entre Ay
B, la papa traída de A como la de B
cuesta lo mismo. Si la carretera que
une A con B pasando por C, tiene
una longitud de 45 km, ¿qué longitud
tiene la carretera que uneAcon C?
A) 25 km
B)45km
C)30km
D)15km
E)35km
RESOLUCION:
La diferencia de precios de papa entre A y C es 0,95-0,80 = 0,15 soles
por kg, para que esta diferencia "desaparezca",la distanciaAC debe ser
0,15 + 0,01 = 15 km más larga que
BC. Si de los 45 km, le quitamos los
15 km de más que tiene AC que BC,
nos queda 30 km; de los cuales 30 +
2 = 15 km corresponde a cada uno.
:. LacarreteraACtiene15+15=30
km de longitud.
Rpta.
I
@
I Rpta. A I
Ernesto tiene 21 Osoles en monedas
de 5 soles y 2 soles. Cuando cambia
tantas monedas de 2 soles como de
5, por monedas de un sol, resulta
que le quedan 168 soles en monedas de 2 soles y 5 soles. ¿Cuántas
monedas cambió?
A)8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16
RESOLUCION:
Tenia 210 soles en monedas de S/.2
y S/.5; luego de cambiar le quedan
168 soles, entonces cambió por un
importe de 210-168 = 42 soles en
cantidades iguales de monedas de 2
soles y de 5 soles.
Sean 2x las monedas cambiadas (x
de 2 soles y x de 5 soles), entonces:
I
Dos números suman 325. Uno de
los números es mayor q ueelotroen
19 unidades. ¿Cuál es el menor de
los números?
A)151
B)153
C)163
D)143
E)l72
RESOLUCION:
La suma 325 contiene a I menor y al
otro que tiene 19 unidad es más que
el menor. Si de los 325 le quitamos
las 19 unidades, nos quedamoscon
325-19 = 306, la mitad d e los cuales
es el menor y la otra mitad le corresponde al mayor.
§
2
I
@
"a" premios. pero si se entrega "a"
premios a cada alum no, entonces
"a" alumnos no recibi rían premios.
¿ Cuantos alumnos hay en total?
A) a(a+l)
a-l
B) ~
a-l
C)
a
a+l
D)~
E) F.D.
a+l
RESOLUCION:
Sea x el número de alu mnos.
"Si se entrega 1 premio a cada
alumno, sobran "a" pre mios·
~ número de premios =x+a .... (l)
"Si se entregan "a" premios a cada
alumno, quedan "a" alumnos sin
premio"
~ número de premios = (x-a)a ... (2)
(1) = (2): (x-a)a = x+a
ax-a2 x+a
=
ax-x=a2 +a
x(a-l)= a(a+l )~x
= a(a+l)
a-l
3
C)S
D)2S
E)-ª-
4
les queda
JaCObo:x+S> S/2~ x+S/2
Alonso: x
x+ S::,:/2:'-:---::1
IrRpta. C I
§2
I@
En un salón de clases si se da un
premio a cada alumno, sobrarían
B)-ª-
RESOLUCION:
TIenen
I Rpta. B I
De una pieza de tela de 36mseha
vendido un parte a 90 soles y otra
parte a 72 soles, quedando 9 m.
¿ Cuál es el precio por metro, si en la
primera vez se vendió 3 metros más
de tela que en la segunda vez?
A) 4 soles B) 5 soles C) 6 soles
D) 7 soles
E) 8 soles
RESOLUCION:
Una diferencia de 3 m de tela ocasiona una diferencia e n el costo de
90-72 = 18 soles; en consecuencia,
cada metro cuesta:
Rpta. C
18+3=6soles.
Jacobo tiene "S" soles más queAlonso ¿Cuánto debe darle Jacobo a
Alonso, para que ambos tengan la
misma suma?
A)-ª-
:. El número menor es 306+2=153y
elmayor153+19= 172
I
Un padre dejó al morir 1360 soles a
cada uno de sus hijos; pero el mayor
renunció a su parte y la parte de éste
se repartió por igual entre los menores, recibiendo entonces cada uno
de ellos 1530 soles. ¿Cuántos hermanos son en total?
A)9
B)8
C)7
D)6
E)5
RESOLUCION:
Cada uno de los menores ha recibido 1530-1360 = 170 soles de más,
debido a la renuncia del mayor, esto
implica que, habiendo dividido la
parte mayor entre los menores, a cada uno le tocó 170 soles ~ # hermanos menores es 1360 + 170 = 8.
-'. Son 8+ 1 = 9 hermanos
®
e
§2
Una empleada ha sido contratada por
15 meses, tiempo por el cual se le ha
ofrecido pagar 3240 soles y un televisor. Cumplido los 8 meses la empleada renunció al trabajo, recibiendo como paga 1560 soles y el televisor. ¿En cuánto estaba valorizando el
televisor?
A) 240 soles
B) 360 soles
D)420soles
C) 350 soles
E) 520 soles
RESOLUCION:
Por dejar de trabajar 15-8 = 7 meses,
dejó de percibir 3240-1560 = 1680,
entonces por cada mes se le paga
1680 + 7 = 240 soles.
Por los 8 meses debería recibir 240 x
8 = 1920 soles, sin embargo recibió
1560 soles y el televisor, se deduce
entonces que el televisor vale 19201560 = 360 soles.
Rpta. B
I
I
Un comerciante ha vendido 5 televisores, de las utilidades ha tenido que
pagar ciertos gastos como impuestos
entre otros por un monto equivalente
al precio de costo de un televisor y le
ha quedado como utilidad neta 960
soles. Si no tuviera que pagar los
gastos, dos operaciones de esta naturaleza le producirian una utilidad
suficiente para comprar 5 televisores
nuevos. ¿Cuál es el precio costo de
un televisor?
A) 480 soles
B) 540 soles
D)640soles
C) 960 soles
E) 560 soles
RESOLUCION:
En una operación gana lo que cuesta
un televisor y 960 soles; en dos operaciones ganará lo que cuesta 2 televisores y 2x960 = 1920 soles. Esta
cantidad alcanza, según el enunciado, para comprar 5 televisores, esto
implica que 1920 soles alcanza para
5-2 = 3 televisores. Por lo tanto un televisor cuesta 1920 + 3 = 640 soles.
IRpta. D I
Ricardo compró cierto número de obI Rpta.A I @ jetos
por 14000 soles, vendió parte
@ Arnaldo tuvo su hijo a los 24 años.
¿Qué edad tendrá su hijo cuando
él tenga 63 años?
A) 40 años
B) 39 años
C)49 años
D) 29 años
E) 37 años
RESOLUCION:
Tendrá 63-24 = 39 añ os Rpta. B
I
I
de ellos 5400 soles a 45 soles cada
uno, ganando en esta venta 600 soles. ¿Cuántos objetos compró Ricardo?
A) 300
B)320
C)350
D)360
E)480
RESOLUCION:
# de objetos vendidos: 5400+45 = 120
Costo de los objetos vendidos es
5400-600 = 4800 soles ~ oosto de
cada uno: 4800 + 120 = 40 soles.
: . #objetosoomprados:
1400+ 4O=350objetos
RpbJ. C
Tiempo
enmin
Importe
Nonnal
n
0,20 n
Adicional
m- n
0,30 (11HI)
I
Habra ahorrado lo suficiente como
para comprar cierto número de espejos; pero cuando fui a comprarlos,
el precio del ejemplar había subido
en tres soles, razón por la cual el dinero me alcanzó para 1/5 menos del
número previsto. ¿Cuál es el precio
actual de cada espejo?
A) 12 soles B) 14 soles C) 15 soles
O) 16 soles
E) 18 soles
RESOLUCION:
Sea "J(" el precio de cada espejo y
sea y el número de espejos que habra planificado comprar, entonces el
dinero ahorrado es xy. Ahora el precio es (x+3) y sólo podré comprar
4y/5 espejos, esto implica que gaslaré
¿
@
@
7)
[Rpta.A
I
Una lala de sardinas pesa 360 g, pero con la mllad de su contenido pesa
200 g. ¿Cuánto pesa la lala?
A)60g
B)50g
C)40g
0)30g
E)80g
RESOLUCION:
La mllad del contenido pesa:
360-200=160g
El peso de la sardina debe ser.
160 . 2=320g
En consecuencia la lala pesa:
320-320=40g
[Rpta. C
I
S
¿Cuál es el menor número que se le
puede sumar a 349752 para que resulte un numeral de cifras iguales?
A) 3333
B)14342
C)3428
0)94692
E) 94592
RESOLUCION:
El numeral de cifras iguales que podemos obtener agregando el menor
número posible es 444444, entonces es precios agregar: r:::-:----;::-\
444444 - 349752=94692 [Rpta. D
Una máqUina fabrica 48 botellas en
12 minutos y otra máquina fabrica
75 botellas en 15 minutos. ¿Cuánto
tiempo se necesita para fabricar
243 botellas con ambas máquinas?
A)25mln
B)27mln C)29min
0)30mln
E) 42min
RESOLUCION:
Un viajero llenó completamente el
tanque de oombustible de su camioneta en el km 12. Al anribar al grifo
ubicado en el km 552 llenó nuevamente ellanque con 18 galones. En
el km 792, decide "lanquear" nuevamente la camioneta. ¿Cuántos galones serén necesarlos?
A) 12 galones
B) 15 galones
C) 10 galones
O) 8 galones
E) 9 galones
RESOLUCIÓN:
Entre los kilómetros 12 y 552 hay 540
km, en este tremo ha gastado 18 gaIones de gasolina, puesto que los 18
galones que echa en el km 552, reponen lo gastado en el tramo del km 12
al 552, entonces un galón alcanza
para 540 + 18 =30 km.
Del km 552 al 792, hay 240 km; por
consiguiente habrá gastado 240 + 30
= 8 galones. Para llenar ellanque ha[ Rpta. D
rán falla 8 galones.
I
En un minuto la primera fabrica 48 +
12 =4 botellas y la segunda, 75+15
= 5 botellas. Entre ambas, en un minuto fabrican 4+5 = 9 botellas, por
consiguiente, para fabricar 243 betellas, requieren:
243 ... 9 = 27 minutos
Rpta. B
5
5x=4x+12~x=
I Rpta. C I
Una persona que viajó a Bolivia, Irajó 38 casacas para venderlas en el
Perú. Al pesar por la aduana, le robraron Impuesto por un monto equivalente al 20% del oosto de la mercaderra, no teniendo suficiente dinero para cubrir el citado impuesto, la
persona optó por pagar con 6 casacas y 54 soles en efectivo. ¿Cuál es
el precio de cada casaca?
A) 36 soles B)48soles C)50soles
O) 42 soles
E)45 soles
RESOLUCION:
El impuesto equivale a 20%36 = 7,2
casacas. Este importe fue cubierto
con 6 casacas y 54 soles, lo que implica que 7,2-6 = 1,2 casacas, cueslan 54 soles. Luego:
@
I
ahorrado, luego:
4y
xy= (x+3)
@
(6017=8
I
(x+3), que equivale al dinero
12
:. El precio actual es:
12+3= 15 soles
El
libros de álgebra o en su defecto 36
libros de aritmética y 45 de álgebra.
¿Cuántos libros de álgebra entran
en el estante?
A)95 B)82 C)85 0)90 E)105
RESOLUCION:
Para colocar en el eslante 36 libros
de aritmética y 45 de álgebra en lugar de 42 libros de aritmética y 35
de álgebra, es preciso retirar 45-35
= 10 libros de álgebra y reemplazarlos por 42-36 = 6 libros de aritmética
entonces, donde caben 10 libros de
álgebra entran 6 de aritmética.
Para llenar, sólo con libros de áJgebra habrla que retirar los 38 de aritmética y en su reemplazo colocar
60 de álgebra.
:. Caben: 60 + 45 = 105 libros de
álgebra.
[ Rpta. E
El oosto de cada uno de los "n" primeros minutos de una llamada telefónica es 0,20 soles y cada minuto
adicional a los "n" primeros, cuesla
0,30 soles. SI una persona habló durante "m" minutos (m>n). ¿Cuál es el
importe de la llamada?
A)(m-n)/10
B)3(m+2n)/10
C)(3m-2n)/10
0)(3m-n)/10
E)(m-n)/10
RESOLUCION:
Importe total = 0,20n+0,30(m-n)
= 0,3Om-O, 1o-;.:n':""-:-7"1
= (3m-n)/1 O [ Rpta. D
@
En 20 dras la vaca termina todo el
pasto, en 60 dras acabarla con 3 chacras samejantes.
Entre ambos, en 60 dras terminarlan
entre 4 + 3 = 7 chacras. Por consiguiente, una chacra lo acaban entre
los dos en 6017 dras.
4
Un eslante de libros tiene capaciI @ dad
para 42 libros de aritmética y 35
I
@
Sil ,2 casacas cueslan 54 soles.
=> 1 casaca cuesta x:
[RpbJ.
54/1 ,2=45so1es
I
@
I
Mientras llevaba al alfalfar una vaca
y un caballo, un agricultor meditaba
"el caballo tarda 15 días para comer
todo el pasto, mientras que la vaca
20 dras. ¿Qué tiempo les llevará camer a los do! el pesto de la chacra?
¿Puedes ayudarle a resolver el problema?
A) 8 ; dra! B) 8
O) 18
~
dlas
~
@
..--
,.-
--
.....
2 ninos --+ 2 naranjas --+ 2 dras
x
5 niños --+ 5 naranjas
dras C) 35 dras
(1)
(O)
2 5
~x=2' 5 ' 2 =2dras [Rpta.A
E) 5 ; días
RESOLUCION:
En 15 dras el caballo termina todo el
pasto, en 60 dras terminarla con 4
chacras samejantes.
Dos niños comen 2 naranjas en 2
dras. ¿Cuántos dras lardarán 5 niños
en comer 5 naranjas?
A)2 B)2,5
C)4
0)5 E)10
RESOLUCIÓN:
@
I
Un vendedor de autos gana 10% de
comisión sobre las venias. En el roomento de vender un automóvil ha re-
bajado e14% del precio venta, importe que le será descontado de su comisión. Si recibió 720 de comisión.
¿en cuánto vendió el auto?
B) 14000sole8
A) 15soles
C) 12000 soles
D) 10000 soles
E) 8400 soles
RESOLUCION:
Del 10% que le corresponde de comisión sólo recibió eI6%. Luego:
S%-+720
7
9S% -+ x = ..c.=2",Ox9"Sc..c%'-.r::-:--::-.
e
x = 12000 soles S
, Rpta. C
Lo que debieron consumir 6 parsonas en 5 días consumieron 2 personasenxdlas.
x= 6;5 = 15dlas
mentación. Si el precio de los víveres se ha incrementado en 5% y mi
sueldo no ha variado,¿qué % de mi
sueldo representan ahora mis gastos de alimentación?
A) 65%
B)64%
C)63%
D)60,3%
E)60%
RESOLUCION:
Sea mi sueldo 100
~Gastosdealim. SO
Con el incremento:
GastosdeAlim.: 105%SO=S3
:. Sueldo
100 .... 100%
GastosAlim. 63 .... 63% ,f-Rp=--Cta-.-:c"l
@ El gerente de una empresa ahorra
364xl00%
lOO.'
IO~X=
6
§
280 so Ias
Los 280 soles representan el 40%
del sueldo del subgerente,luego:
40% -+ 280 soles
100x280
700 soles
100% .... y
40%
, Rpta. C
9
'Rpta.
@
'" ;"'.~ : ~{r~1
RESOLUCION:
En "x" llena
x=
~
~
80tlmin....
~ h{
~
1/8
= 3,5h = 3h30min' Rpta. D
l'
@ El cajero de una compañía ha per-
dido el 20% del dinero a su cargo.
¿Qué % de lo que le queda restituirla lo perdido?
B)25%
B)30%
A) 20%
D)10%
E) 12,5%
RESOLUCION:
Suponiendo que tenia 100 soles a
su cargo, entonces perdió 20 soles
y le quedó 80 soles. Los 20 soles
que debería reponer representan la
cuarta parte de los 80 soles que le
queda osea 25%.
, Rpta. B
En la compra del artefacto:
Rebaja: 18% .... 180 soles
Pagué:
82x180
82% .... Y = 18% - 820 soles
, Rpta. C
I
@ Una familia de S miembros tiene vl-
I
(í3)
El
Las facturas de ventas llevan:
Subtotal
Tenía 640 soles, con el 20% compre un regalo, con el 30% un juego
de ollas y con ell0% una mesa
¿Cuánto dinero me queda?
B) 344 soles
A) 240 soles
C) 360 soles
D)11520soles
E) 256 soles
RESOLUCION:
Llevo gastados 20%+30%+10% =
SO%, entonces me queda 40% de
IGV 18% f-----i
Total
Donde el 18% de IGV se aplica sobre
el "Sub Total". Sin embargo un contribuyente descuidado aplicaba sobre
el "Total". ¿Ganaba o perdía?
A) Ganaba B) Perdla C) Es lo mismo
D) Depende del monto facturado
E) Gana si el SubTotal es mayor que
el total.
RESOLUCION:
Total
>
Subtotal
~~>
80 Mmin, ha llenado en media hora
la octava parte de la capacidad de
un tanque. ¿Cuánto tardará en llenar lo que falta vertiendo al mismo
ritmo?
A)80min B)2h40min C)3h50min
D)3h30min
E) 3,30h
Precio:
18xl00
100% .... x = 10% = 180 soles
veres para 24 d las, pero como recibieron la visita de un Uo y su esposa,
los vlveres se terminaron 5 dlas antes. ¿Cuántos dlas duró la visita de
los tíos?
A)10 B)12 C)15 D)18 E)20
RESOLUCION:
Si #Alumnos = 100
Varones desaprobados = 9
~ #Alumnos = x
~ Varones desaprobados = 108
108xl00
x=
= 1200 alumnos
@ Un caño que vierte agua a razón de
@ Al comprar un artefacto me rebajan
Rebaja: 10% .... 18 soles
~
640 = 40 .640 = 256 soles
100
"',R==-P-ta-'.E~I
I
18%; con lo que ahorré de la rebaja
me alcanzó para una camisa, donde
también me rebajaron, esta vez el
10%, de este modo aún me quedó
18 soles. ¿Cuánto pagué por el artefacto?
B)800soles
A) 720 soles
C) 820 soles
D) 840 soles
E) 860 soles
RESOLUCION:
En la compra de la camisa:
I
@9) De mi sueldo, el 60% gasto en ali-
I
30% más de lo que ahorra el subgerente, pero éste ahorra el 40% de su
sueldo, mientras que aquél, el 35%
de lo suyo. Si el gerente gana 1040
soles por mes. ¿Cuál es el sueldo
del subgerente?
B)650soles
A) 600 soles
C) 700 soles
D)720soles
E) 840 soles
RESOLUCION:
El gerente ahorra 35 xl040 = 364
100
por mes.
Para el subgerente, 364 soles representa 130% de su ahorro, luego:
130% -+ 364 soles
'Rpta. C
B)600
C)840
A) 900
D)1080
E) 1200
RESOLUCION:
Si fueran 100 los alumnos, serían 15
los desaprobados en matemática; de
éstos 40% son mujeres, entonces
SO% son varones, esto es SO% 15 = 9
serian varones desaprobados en
matemática, sin embargo, por el
enunciado son 108. Luego:
El 15% de alumnos de un colegio
han salido desaprobados en matemática, de ellos el 40% son mujeres
¿Cuántos alumnos tiene el colegio,
sabiendo que son 108 los varones
desaprobados en matemática?
IGVsobre
el "Total" >
~
IGVsobre
el "Subtotal"
11
11
Paga más
Paga menos
impuesto
impuesto
~ Pierde
~ Pierde menos
Al cometer el error, pierde., Rpta. B
@
I
Un fabricante encuentra que el 0,4%
de su producción es defectuosa y no
puede enviarse al mercado. ¿Cuántos artlculos de cada diez mil producidos serán rechazados? (SM '70)
A)4 B)40 C)400 D)14 E)140
RESOLUCION:
Son rechazados:
4
0,4%(10000)= 1000 xl0000=40
'Rpta. B
I
® Alsoles,
comprar 38 camisas pagué 1425
pero esta suma no cubrla el im-
porte, por lo que tuve que devolver
una camisa y el vendedor me devolvió tanto como me faltaba para cubrir
el valor de las 38 camisas. Hallar el
precio de cada camisa.
A) 37 soles B)38soles C)40soles
D) 19 soles
E)24 soles
RESOLUCION:
Consideremos x soles los que faltaban para cubrir el importe de las 38
camisas.
Del enunciado:
Por 38 camisas debla pagar (1425-x)
Por37 camisas pagué
(1425-x)
Si mi ganancia va a representar el
30% del pnacio de venta, el pnacio
de costo (los 140 soles) napnasentan el 70% del precio de venta.
Luego:
~ 1425-x = 37(1425+x)
38
1425x38-38x = 37x1425+37x
140 Soles --+ 70% ~ P = 100%x140
Pv--+ 100%
v
50%
1425=75x~lx=191
Luego: 38 camisas cuestan 1425+
19 = 1444, entonces cada una cuesRpta. D
ta 1444 + 38 = 38 soles.
I
@
IPv- 200 I
que pienso comprar, gastaré "a" soles, en cambio, si compro "m" manzanas menos de lo que quiero comprar, gastaré "b" soles. ¿Cuántas
manzanas pienso comprar?
Se contrataron 36 obreros para
construir un puente. Faltando 15
dias para terminar la obra, 6 de los
obreros se accidentaron. ¿Cuánto
demorarán los obreros restantes en
acabar la obra faltante?
A) 22 dias B) 16dias C)17dias
D) 18dias
E) 20 dias
RESOLUCION:
Lo que deblan hacer 36 obreros en
15 dlas harán 30 obreros en xdlas.
36x15
~x=
= 18 dlas [ Rpta. D 1
A) m(a+b)
ab
B) (a+b)m
a-b
@
b(x+m)
~x-m=~-;;:a~
ax-am = bx+bm
ax-bx = bm+am
@
x(a-b) = m(b+a) ~x =
Antes"'" Después
20
10
200
C) mab
a+b
:. Huancayo tendrá 50x8000 = 400000
habitantes.
I Rpfa. e 1
E) a+b
D) mab
m
a-b
RESOLUCION:
Sea "x" manzanas las que quiero
comprar.
Del enunciado:
Si compro (x+m) gasto a soles
Si compro (x-m) gasto b soles
La base de un rectángulo disminuye
en un 10%, ¿en qué porcentaje debe
aumentarse la altura para que el
área aumente en un 8%?
A)10%
B)20%
C)30%
D)40%
E)8%
RESOLUCION:
BASE
ALTURA
AREA
1Rpfa. D 1
I @ Si compro "m" manzanas más de lo
----as
@
relación de 31 a 50. Se ha proyectado que en el ano 2005, entna ambas
ciudades tendrán 648000 habitantes.
Suponiendo la misma tasa de crecimiento en ambas ciudades, determinar la población de Huancayo en el
año 2005.
A) 320000 B)420000 C)360000
D)400000
E)44000
RESOLUCION:
En el año 2005, los 648000 habitantes serán como 50+31 = 81, esto es;
648000 + 81 = 8000 es como 1.
m(a+b)
a-b
~IR=-p-=-fa--:.8=->1
18
12
216
e
'--"
@)
De lOa 12 aumenló en 20%
@
750~~~0%
@
Rp=-ta-.--:c,....,1
r[
Cada uno de los lados de un cubo se
aumenta en un 50%, el porcentaje
en el aumento del área del cubo es:
A) 59%
B) 125%
C) 150%
D) 300%
E)750%
RESOLUCION:
La variación porcentual no depende
de la medida de la arista del cubo,
por ende, vamos a asumir que la
arista mide 10.
• Superficie original: 6(10)2=600
• Nuevasuperficie: 6(15)2= 1350
• Incremento:
1350-600 = 750
Luego:
600--+ 100%
750 --+ x
125%
@
1
Tres fábricas A, B Y C fueron intervenidas por la SUNAT. Los impuestos deAy B eran entre si como 7 es
a4ylosde ByC, com05esa3. La
fábrica C canceló el importe total de
los impuestos que adeudaba con
300 soles, mientras que A pagó de
lo suyo 700 soles a cuenta. ¿Cuánto le falta pagar?
B) 180soles
A) 150 soles
D) 175 soles
C) 200 soles
E)215soles
RESOLUCION:
Planteamiento:
B:@]
[ Rpta.8 1
¿Cómo vendo lo que me costó 140
soles para ganar el 30% del precio
de venta?
B) 192 soles
A) 182 soles
D) 200 soles
C) 195 soles
E)210soles
RESOLUCION:
C: 3
tx@
~
B: 20 C: 12 <> 300
tx@
~1 <>25
A deberia pagar: 35x25 = 875, entonces falta pagar 875-700 = 175
soles.
1 Rpta. E 1
@
Actualmente la población de Chimbote con la de Huancayo están en
Una naranja de 6 cm de diámetro se
ofrece a S/.O,30; mientras que otra de
la misma calidad y de 8 cm de diámetro se ofrece a S/.0,40.
¿Cuál de ellas es más barata, la primera o la segunda?
A)Ambas son del mismo pnacio
B) La primera
B) La segunda
D) No se puede saber E) N.A.
RESOLUCION:
Para naranjas de la misma calidad, el
precio depende del volumen.
Los diámetros están en la razón de
3/4 entonces, sus volúmenes están
en la razón de 3 3 /4 3 = 27/64.
Los pnacios están en la razón de 3/4
.
3x9 27
que es lo mismo que 4x9 = 36 . Por
lo tanto, un volumen como 64 deberia
tener un precio como 64, sin embargo, el precio de la segunda naranja
es como 36; en consecuencia, es
más barata la segunda naranja.
r:1
Rp:--:ta-.s::-11
B:20
(Aumento porcentual
del área)
@
LVttv
El tarro de pintura fue suficiente
para pintar dos
de los cubitos.
¿Cuántos de es~
tos tarritos serán
suficientes para
pintar el cubo grande? Si dibujáramos la cara del cubo grande a la escala de 1:10, tendria el mismo "tamaño" que el dibujo de la cara de uno
de los cubitos, a la escala de 1:1.
A)5 B)10 C)50 D)100 E)500
RESOLUCION:
Es evidente que la arista del cubo
grande es 10 veces la del cubito, por
consiguiente el área de una cara es
102= 100 veces el de una cara del cubito. Puesto que 1/2 tanro alcanza para un cubito con una superficie como
1, entonces son suficientes 50 tanros
para un cubo con una superficie
como 100.
1Rpta. 1
@
Juan nació "x" años antes que Luis.
Hace "n° años sus edades eran como
3 es a 2 y dentro de "2n" años serán
como 5 a 4. ¿Cuál es la relación actual entre sus edades? (ADUNI' 96)
A) 7/4
B) 11/8
C) 12/5
D) 1316
A)6litros
B)7litros
D) 12 litros
RESOLUCiÓN:
E) 14/5
RESOLUCiÓN:
3n
~
/~
Son 30 + 74 = 104 litros que finalmente va a quedar dividido en dos
partes que han de ser ocmo 3 y 5.
Juntando ambas partes hacen 3+5
= 8 que equivale a 104, esto es que
104 +8 = 13 tes como 1, en consecuencia en un recipiente va a quedar13x3= 39 tyenel otro 13x5=
65 litros, para ello se ha transferido
~'\.
Hace n
Ahora
dentro
de 2n
Juan
3x3
?
5x3
Luis
2x3
??
4x3
6
~
/A
A'\.
I-I....:J:.:::ua:::n:.......¡I-.:.:-+-I----'~.:.1--+I_~.:..:::........¡I
.
Luis.
.
.
.
.'. Relación actual de edades es 11 :8
1 Rpta. B 1
@ Dos
naranjas, casi perfectamente
esféricas, están a la venta. La primera de 4 cm de radio, cuesta 40 céntimos y la segunda de 3 cm de radio
cuesta 30 céntimos. ¿Cuál de ellas
es más barata que la otra?
A)Ambas son del mismo precio
C) La segunda
B) La primera
E) N.A.
D) No es posible saber
RESOLUCiÓN:
Los precios son proporcionales a los
pesos y éstos son proporcionales a
los volúmenes, o sea al cubo de los
radios.
Si r=3~r"=27 ~S/.O,30
Si r=4~r"=64~x=O,71
La de 4 cm de radio deberia costar
5/.0,71 pero cuesta sólo 5/.0,40, entonces es la más barata. 1 Rpta. B 1
@ En cierta pellcula, el actor Charles
Cobum representaba el personaje
de un "tia" ya mayor al que se le reprochaba el casarse con una chica a
la que triplicaba la edad. A lo que él
respondía con agudeza.
- SI, pero dentro de veinte anos, sólo
se la doblaré.(1) ¿Qué edad tenIa el
'tIa" hace 1Oaños?
(1) Tomado de Matemáticas Recraativasde Michael Hall.
RESOLUCiÓN:
La diferencia de edades entre dos
personas siempre es la misma durante todo el tiempo.
Ahora
"Tia":
Novia:
Dentro de 20 años
3
(-~2
1
2x2 = 4
Ti
lempo
(-)11x2
',/
Transcurrido 1 x2 = 2
-----------
1 <>20años
El tiempo como 1 equivale a 20 años
entonces la edad del "tío" como 3,
equivale a 3x20 = 60 anos. Haca 10
anos tenía 50.
1 Rpta. E 1
74-65 = 9 litros.
1 Rpta. C 1
@j) Don Joaquln era un hombre muy
machista. Carita, su única hija, nunca tuvo la oportunidad de tener novio debido a la actitud celosa del padre. Ya madura, Carita salió embarazada. Don Joaquin, al ver que su
hija sería una madre soltera, le dejó
su fortuna de 350 mil soles en las
rón,las dos terceras partes para él y
el resto para la madre. En cambio,
si nace mujer, las dos terceras partes para la madre y el resto para la
nina. Tras la muerte del padre, Carito dió a luz mellizos, un hombre y
una mujer. ¿Cómo se repartieron la
fortuna?
RESOLUCiÓN:
Si nace varón Si nace mujer
Total
M.~dre: 1x2
HIJO
: 2x2
Mad... 2} M.~dre: 2 :::::> hijo ': 4 7<> 350mil
Hijo: 1
hija: 1
11
.
1<> SOmll
:. Madre:2<>2x50=100mil;
hijo :4<>4x50=100mil;
hija : 1 <>50mil;
@ Adela, Carmen y Néstor fueron de
paseo al campo. Adela y Carmen
llevaron 5 y 4 panes respectivamente. Ellas compartieron con Néstoren partes iguales. ~I, en agradecimiento, les retribuyó con 9 soles.
¿Cuánto le correspondió a cada
una?
A) 5 soles y 4 soles
B) 4,5 solesy4,5 soles
C) 7 soles y 2 soles
D)6solesy3soles
E) 8 soles y 1 sol
Para compartir en partes iguales,
de cada pan hicieron tres pedazos
iguales, uno para cada uno. Con 9
panes hicieron 27 pedazos, de los
cuales cada uno consumió 9. Adela
aportó 5x3 = 15 pedazos, de éstos
se comió 9 y dio a Néstor 6; mientras que Carmen aportó con 4x3 =
12 pedazos, 9 de los cuales se comió y dio a Néstor sólo 3. Por tanto,
de los 9 soles, 6 le corresponden a
Adela y 3 a Carmen.
1 Rpta. E 1
nidos se encuentren en la razón de
3:5? (SM '75)
Pero dentro de 5 años, Lalo tendrá
2 veces la edad que tiene Nino ahora. ¿Qué edad tendrá Nino dentro
de 8 años?
A)15 B)16 C)17 D)18 E)19
Dentro de 5 afios
Lalo:)
N·Ino:
2k )
+
-k 4
(k 5) 4.... diferencia
de edades
2k-(k+5) = 4 ~ k = 9
Nino tiene 9 años, dentro de 8 tendrá
17 años.
1Rpta. C 1
~
Julián le dice a su hijo Walter: "nuestras edades actuales son entre si como 7 a 2, pero dentro de 22 años serán como 5 a 3". Hallar la suma de las
edades actuales.
A) 32 años B)34años C)36años
D) 38 años
E)40años
RESOLUCiÓN:
Actual En 22 años
7
Julián:
5
(2.)15
¡
Walter:
Ux2
14
(.) )10
4"
siguientes condiciones: si nace va-
@ En un recipiente de 30 litros y otro de @ Nino es 4 anos más joven que Lalo.
74 litros. ¿Cuántos litros deben ser
transferidos del segundo recipiente
al primero de manera que los conte-
Ahora
C) 9 litros
E) N.A.
('»)2
3
La diferencia de
~ edades debería
Ux5
25
(-) }o~
1.5
por 2 y 5 res·
pectivamente.
",---"""o
Suma:
ser la misma,
como no lo son
multiplicamos
los números de
las 2 columnas
UID@
Del es'l"!'ma el tiempo transcurrido
como l!1J es 22 años (2 veces 11),
entonces la suma de edades como
[j]] es 2 veces [j]] o sea 2x18 = 36
1Rpta. C 1
años.
@ En el mercado:
- ¿Cuánto cuesta 5 kg de pera? -preguntoAna.
- Veinte soles -respondió Toña el frutero- Si te llevas 20 kg te dejo a SI. 50
- Quiero llevarme 10 kg
- Como 5 kg cuesta 20 soles, 10 kg
son 40 soles.
- iUn momento! -dijo Ana- Me dijiste
que 20 kg son 50 soles, entonces, 10
kg son 25 soles ¿Quién de los dos tie-
nerazón?
A)Ana
B) Toña
C)Ambos
D) Ninguno
E) No es posible
saber
RESOLUCiÓN:
Ninguno de los dos tiene razón
15
~5 ~ 20]X_20
L10~x
1
30 => 15 .... 30
5-+x-20
20~50
•
•• x-20
5x30
x= 30
15
10 kg debe costar: SI. 30.00
=--~
Rp-ta-.D---I
'-1
@ De un grupo de niños y niñas se retiran 15 niñas quedando dos niños por
cada niña. Después se retiran 45 niños y quedan entonces 5 niñas por
cada niño. ¿Cuál es el número inicial
de niñas?
A)36 B)38 C)40 D)45 E)54
RESOLUCiÓN:
Consideremos que finalmente quedaron 5 niñas y 1 niño, entonces antes de retirarse los niños, las niñas
eran 5ylos niños el doble, osea 10.
Si habia 10 niños y quedo finalmente
1, entonces se retiraron 9. Pero por
dato son 45, esto es 5 veces 9. Por lo
tanto, las niñas eran 5x5 = 25.
Si quedaron 25 niñas, tras el retiro
de 15 niñas, entonces inicialmente
hablan25+15 =40 niñas 1 Rpta. C I
@
250000 - 200000 = 50000
o #deaños:50000+4000
= 12,5 años r lR=p-=ta:-.-:cO"">I
@
Tres empresarios, tras haberse re·
partido las utilidades de un negocio
proporcionalmente a sus capitales
invertidos que son como 15; 21 Y 24
respectivamente, decidieron que el
reparto fuera en partes iguales, por
lo que el tercero tuvo que dar al se·
gundo 240000 y el segundo entregó
al primero una cantidad que se pide
calcular.
A)250000 B)300000 C)350000
E) 320000
D)360000
RESOLUCION:
Si las partes fueran 15; 21 y24; lasu·
ma repartida serra 15+21 +24 = 60.
Al repartirse en partes iguales a ca·
da uno deberia tocarle 60 + 3 = 20,
por lo tanto, el tercero debe devolver
I!l para 9!(edarse con 20 y el primero
recibir ® para tener 20. Pero el ter·
cero devuelve 240000 soles (60000
veces I!l), entonces el primero recio
be 60000 veces @, o sea 300000
soles.
1 Rpta. B I
Un hombre decide repartir una herencia en forma proporcional al orden en que nacieron sus hijos. La
herencia total es 5480000; adicionalmente deja 160000 para el mayor, de tal modo que el primero y el
último hijo reciban igual herencia.
¿Cuál es el mayor número de hijos
que tiene este personaje? (UNI' 81)
A)3
B)4
C)5
D)6
E)7
RESOLUCION:
Siendo 1; 2; 3; .... ; n el orden de nacimiento de los hijos y de ser éstos
las partes correspondiente, tendriamos:
Para que sea fácil la solución vamos
a suponer que dichas tres letras se
reemplazan el 2 de Diciembre. Entonces se tiene:
LETRA
TIEMPO
20000
o
61 dias
30000
61 +8 = 69 días
40000
Luego:
t - 2000000+30000061+40000 069
v-
20000+30000+40000
0
t - 3 61 +4 069
459 - 51 d'
v-
cancelar, la primera por S/.8000 dentro de 40 dras y la segunda por SI.
7000 y la tercera por S/.5000 dentro
de 3 meses y20 dlas. Se decide cambiar las letras por una sola cuyo valor
nominal sea S/.20000 y firmada para
cancelar dentro de 75 dias. ¿Dentro
de cuánto tiempo vencía la segunda
letra?
A) 90 dras
B) 98 dras C) 60 dras
D)65dras
E)80dras
RESOLUCION:
Datos del enunciado:
LETRAS
TIEMPO
t,=40dras
V" = SI.8000
t,=t
V'2 =SI. 7000
h = 3 meses-200
V,,=S1.5000
dras= 100d.
t v = 75 días
V ov = S/.20000
Como las letras suman S/.20000 vamos a aplicarla siguiente relación:
Diferencia de partes mayor y menor
n-l <> 16000
. n(n+l)
480000
Luego. 2(n-l)
160000
~ n(n+l) = 6(n-l)
1 Rpta.A I
~n=2ó3
~200000 75
= 320000+70001+55000
1500 = 320+7t+550
630 = 7t
1 Rpta.A I
:. t = 90 dras
El
Una persona tiene 200000 soles y la
otra 75000 soles. Cada una de elllas
ahorra anualmente 4000 soles.
¿Dentro de cuántos años, la fortuna
de la primera será el doble de la segunda?
A)10 B)II,5 C)12 D)13 E)13,5
RESOLUCION:
La diferencia entre las dos fortunas
permanecerá invariable, ya que ambas ahorran igual suma.
Fortuna inicial
Fortuna final
1'"
200000
00
(,>)11250001 (:»I!l
2'·
75000
1
Del esquema:
[ ] <> 1125000 1
Diferencia:
Fortuna Final 1'" [l] <> ? -> ? =
=2x125 =250000
o Ahorro dela segunda:
I Rpta. E I
@ Un comerciante tiene tres letras por
@ Un comerciante de Cañete comenta
@
las
--9--
:. El dia es:
2Dic. +51 = 22 febrero
n(n+l)
Herencia: 1+2+3+... +n =-2-<> 480000
que por cada 2 t de pisco vende 7 4
de vino y 8 tde cachina. En la última
semana ha vendido 816 t entre pisco, vino y cachina. ¿Cuántos litros
de vino ha vendido en la referida semana?
A) 332 t
B)336t
C)348t
D)384t
E)363t
RESOLUCION:
La cantidad de licor vendido es como
2+7+8 = 17, esto es, 816 tes como
17, entonces, 816 + 17 = 48 tes como 1, por lo tanto, ya que el vino vendido es como 7, el vino vendido en
Iitroses48x7=336t.
1 Rpta.
9
@
@
Setiene3pagarés,unodeS/.20000
que vence el 2 de Diciembre, otro
de S/.30000 que vence elide febrero del año siguiente y otro de SI.
40000 que vence el9 de febrero, se
desea reemplazar estos tres pagarés por uno solo. ¿Cuál es el día de
su vencimiento?
A)12marzo B)19marzo C)22enero
E) 22 febrero
D) 14 marzo
RESOLUCION:
Veamos el siguiente gráfico:
~
2 Diciembre
~
1 Febrero
~
9 Febrero
'----.r-----' '---y---../
29+31+1 = 61 dls. 8 dla.
Si la media geométrica de la razón
geométrica de la suma con el producto de "Vn" y "Dc" con la inversa del
"D.' de una letra de cambio es 1/80.
Calcular el valor de "m" si el valor de
la razón aritmética entre el "Yn" y "m"
es igual al valor de razón geométrica
del producto del "DR" por el "Yn" con
el "De".
A)40
B)20
D)60
RESOLUCION:
Datos:
C)80
E)100
o Vn+Dc _1_ = _1_ ...... (a)
VnoDc DR
80
oV -m = DRoVn ...... (~)
,
Dc
DcoDR
Sabemos: V, = Dc-DR ......
Reemplazando (a) en (6):
«)
u
[~- DoJcDC-DR) = 500
DC'Do
Dc-Do
Al reducir: Do = 80
Sustituyendo (5) en
D/-º"--- -1lcDc-DR) = 500
lDc-DR :J
(~)
se tiene:
_D_c'_D_o _ m =_D_o .-cD=,c__.D~R,,Dc-DR
Dc (Dc-DR)
DC'DR
DR'Do
(Dc-DR) - (Dc-DR) = m
DR(Dc-DR)
(Dc-DR)
2n+10 = 800n+1200n+66000
1800
2n+10 = 4n+6n+330
9
8n = 240
_'. n = 30
I Rpta.A I
@ En cierto momento se observa que si
una letra es descontada comercial y
racionalmente a una misma tasa la
MG entre el mayor valor actual y la
diferencia de los descuentos externo
e inlemo es 500. Halle la MH entre el
descuento comercial y el valor nominal.
A) 800
B)1000
C) 1200
D)1500
E)1150
RESOLUCION:
Se sabe por teorla:
Vac=Vn-Dc
VaR=Vn-DR
Como Dc > Do entonces el mayor
valor actual es el racional, es decir:
VaR=Vn-DR
Datos~:--=-=~c-c
• y(Vn-DR)(Dc-DR)- 500 ...... (1)
1
2
__1_+_1_
DcDR
Dc
_D_c-_D_R +_1_'D_R
Dc-DR DC'DR
I Rpta. el
Un comerciante firmó tres letras de
5/.800; 5/.600 Y 5/.400. la primera y
la tercera letra vencían al cabo de "n"
y 165 días respectivamente, si el
vencimiento de la letra única de
cambio es tanto como los dias que le
faltan a la segunda aumentando en
10. Calcular "n", sabiendo que el
vencimiento de la segunda es el doble de la primera.
A)30 B)40 C)60 D)50 E)45
RESOLUCION:
Según dato:
TIEMPO
LETRAS
5/.800
n
5/.600
2n
5/.400
165
Además: t, = 2n+1 O
Luego:
2n+10 = 800'n+600'2n+400'165
800+600+400
Nos piden: MH =
2
MH=--~---~=--=---=-~~­
m
:. m=DR=80
~
Al sustituir (3) en (2):
2
1
..... (2)
-+-
Vn
Dc
DcDR
Se conoce: V" = Dc-DR ...... (3)
Al reemplazar (3) en (1) tenemos:
2
Dc
DC'DR
I
I
MH = 2DR = 2(500)
= 1000 . Rpta. B .
8
La suma de los valores nominales
de 3 letras es 5/.90000 si se descuenta al 40% anual la primera por
5 meses, la segunda por 6 meses y
la tercera por 8 meses, se recibe 5/.
70400 por los tres. Hallar el valor
nominal de las primeras si la relación entre el valor nominal de la
2da. y 3ra. es 5/6.
B) 35000
C)25000
A) 30000
E) 24000
D)36000
RESOLUCION:
Datos:
·Vn, +Vn2+Vn3= 90000 ...... (1)
·Va1+Va2+Va3=70400 ....... (2)
-t1= 5meses·h=6 meses -t3=
=8 meses
'r,%=r2%=r3%=40%
• Vn2 =~ ...... (3)
Vn3
6
De (1) Y (2) se tiene que:
Descuento total = 90000 - 70400
De, (5 meses)+De, (6 meses)+De, (8 meses)=19600
: ~Ita 1 mes t
l
falla 3 meses
Como la tasa de descuento es la
misma, la anterior equivale a:
D90ooopor5meses+Dvn2por1 mes+
+D vn3 por3 meses = 19600
90000'40'5 + Vn 1040'1 + Vn3'40'3 = 19600
1200
1200
1200
Pero de (3) se puede afirmar que:
Vn2=5KyVn3=6K
15000+ 5K'40 + 6K'120 = 19600
1200
1200
Al resolver: K = 6000
Como:Vn2+Vn3= 11K=66000
:. Vn 1= 90000-66000 = 24000
~
I Rpta. El
@ La suma de los valores nominales
de dos letras es 5/.6400 y se ha recibido por ellas 5/.6215 descontadas al 5% la primera por 6 meses y
la segunda por 8 meses. ¿Cuál es
la diferencia de los valores nominales
de cada letra?
A) 5/.300
B) 5/.400
C)S/.500
D)S/.600
E) 5/.700
RESOLUCION:
Datos:
• Vn,+Vn2= 64000 ....... (a)
'Va,+Va2=6215 .......... (~)
'r,%=r2%=5%
·t, =6 meses·t2=8 meses
Nos piden la diferencia entre Vn 1 y
Vn2. De (a) y (~) al restar miembro a
miembro:
DC1 (6 meses)+Dc2(8 meses) = 185
Como la tasa de descuento es la misma para ambas letras podemos afirmar que el descuento total es igual al
descuento del valor nominal total (5/.
6400) por 6 meses más el descuento
del valor nominal "Vnt por dos meses ya que el descuento de esta última por los 6 meses ya está incluido
por el descuento que se realiza de 5/.
6400, entonces:
D de 6400 por 6 meses + D del Vn2
por 2 meses = 185
6400,5·6 Vn2·5·2
1200 + 1200 = 185
Vn2 = 5/. 3000
Vn2=3000yal reemplazaren (a)
Vn, =5/. 3400
:. Vn,=Vn2=S/.400
Rpta.A
I
I
@ Un empresario posee dos letras que
ascienden en total a $ 42000, los negocia al 6% de descuento y ambas
por 5 meses. Si por la primera le han
descontado $ 150 más que por la otra
¿Cuál es el valor nominal de esta última?
A)$19250 B)$18000 C)$18100
D)$1615
E)$20000
RESOLUCION:
Vamos a indicar con DC1 y DC2 los
descuentos de la primera y la segunda letra.
Por dato:
DC1-Dc2= 150 ............. (1)
Como la tasa y el tiempo es el mismo,
entonces podemos calcular el descuento del modo siguiente:
4200·6,5
DC1 - DC2 = 1200 = 1050 .... (2)
De (1) Y (2) obtenemos que:
DC2 = 450
Vn2'6'5
1200 = 450
:. Vn2=$18000
I Rpta. B I
@ Una persona obtiene un automóvil
cuyo precio al contado es $20000 paga al instante $5320 y por el saldo firma "m" letras todos del mismo valor
nominal e igual a $1600 con vencimiento mensual, si la tasa de descuento es del 18%. ¿Cuántas letras
firmó?
A)8 B)10
C)9
D)7
E)12
RESOLUCION:
Nos piden: "m"
Porteoría sabemos que:
Precio al contado = cuota inicial + ~
Val. actuales.
Reemplazando los datos del enunciado tenemos:
20000 = 5320+Va, +Va,+Va3+ ... Vam
14680 = Va'+Va'+Va3+ ....Vam=
~ V actuales ...... (a)
Luego para hallar el valor actual de
cada letra vamos a graficar.
1"
2°
3"
(m-1t
m"
I~~~""""'~~
'---r-'
'--y---' '---r-' '---r-'
1 mes 1 mes 1 mes
Vi
a,
1 mes
= 1600 _ 1600·18·1
1200
Va = 1600 _ 1600'18'2
,
1200
como descuento total 120 soles.
¿Cuál es el valor nominal del menor
precio?
A)5/.7200 B)5/.6000 C)5/.2400
D)5/.1400
E) 5/.1200
RESOLUCiÓN:
5ean Vn, y Vn, los valores nominales.
Datos:
·Vn'+Vn'=8400 ....... (a)
• Dc, (2 meses)+Dc,(3 meses)=120
5e observa que ambos se descuentan al 6% por lo cual, el descuento
total será igual al descuento de los
84000 al 6% durante 2 meses más
el descuento del Vn, por 1 mes, entonces:
8400'6'2
Vn"6'1
120
+ 1200
1200
84+ Vn, = 120
200
Va = 1+1600 _ 1600'18'3
3I
1200
I:Vactuales = m(1600) _ 1~~~~8 (1+
:. ~~a~~ndofactores:
5000'72'5 Vn,·5·18
36000 + 36000
(~)
~IR-p-fa-.-B~I
@ La suma de los valores nominales de
dos letras es 14000 habiéndose recibido 13762 soles por ambas descontadas al 5% y 4 meses la primera y la
segunda al 7% y 3 meses. ¿Cuál es
el valor nominal de la letra de mayor
peso?
A)5/.8400 B)5/.8000 C)5/.7800
E) 5/.7200
D)5/.7500
RESOLUCiÓN:
'Vn,+Vn,= 14000 ...... (1)
• Va,+Va, = 13762 ...... (2)
'r,%=5%
·t,=4meses
'r,%=7%
·t,= 3 meses
De (1) Y (2) el descuento total es:
14000-13762 = 238
Pero como: r,' t, = 20
R,·t,=21
Entonces vamos a suponer que la
tasa es de 1% anual y los tiempos
son 20 meses y 21 meses respectivamente.
Luego se sabe que:
Recibe = VnroTAL - DroTAL
4936,25 = 500 -
@ Un artículo puede ser comprado a
plazos de dos formas, la primera forma es mediante dos letras de $208 y
$324 de nominales pagaderas bimensualmente con una cuota inicial
de $100 y la otra forma es mediante
una, si la letra pagadera a los 7 meses. Calcular cual es el valor de dicha
letra considerando una tasa de 24% y
además tomar en cuenta el descuento racional en cada caso.
A) 5/.504
B) 5/.532
C)5/.500
E)5/.612
D)5/.684
RESOLUCiÓN:
Grafiquemos:
1400'20'1 Vn"1'1
1200
+ 1200 = 238
28000+Vn,= 285000
Dedonde:Vn,=5600
Al reemplazaren (1):
Vn,=8400
:. El V"de mayor peso es: 51. 8400
I Rpfa. El
@ La suma de los valores nominales de
dos letras es 5/.8400 y al descontar
ambas al 6% la primera por 2 meses
y la segunda por 3 meses se obtuvo
'--.r---''--.r---'
.
rl
'-------y-----" 2meses
4 meses
Como:
Pcontado =Cuota inicial +1: V actuales
100+208'~+324'~= 50Vn
Vn'24'2
- 1200+24,2/
í,vn
Vn'2404
- 1200+24'4j
'1
48Vn
se firman 25 letras mensuales descontables comercialmente al 10%.
Hallar el valornominal de cada letra.
A)$214
B)$250
C)$240
D)$300
E)$150
RESOLUCiÓN:
Graficando:
96Vn
1325 = 2Vn- 79Vn
702
:. Vn = $ 702
1"
I Rpfa. A I
@ Un banco descuenta a la tasa del
5% dos letras, la otra a los 90 días.
Al mismo tiempo deduce O, 125% de
comisión. El portador de las letras
recibe 5/.4936,25 sabiendo que la
suma de los valores nominales de
las letras es 5/.5000. Calcular el valor nominal de la segunda letra.
A) 5/.2000 B) 5/.2400 C) 5/.3750
D) 5/.2550
E) 5/.3000
IRpfa. D I
@ Para cancelar una deuda de $5350
~ $1325 = Vn- 1248 +Vn- 1296
702
~57=----~
26
27
.'. Vn = 684 soles
'1
í,vn
J
+ 324-324'24'2 =
_ Vn'24' 7
1200+96
V" 1200+24.7
'r----'
1325 = 1325Vn
rl
5/100+ 208- 208·24·ii +
1200'48)
I
L
=~,'--y----'~
I
C,l.oSI.11111 2 meses 2 meses
7 meses
5ecumple:
5/.100+VaRde 208+VaRde 324 =
=VaRdeVn
IVnl
~ $1900 =$575+ L
I Rpta. E I
:. Vn,= 3000 soles
@ El precio al contado de una micro-
I
~6,25+ ~;~ J
Vn,
400 = 7,5
I
I
Vn,
+ 400
El descuento total resulta:
Vn,
Vn,
50+ 400 +6.25 = 56.25+ 400
El cual reemplazamos en (a):
7200+Vn,=84000 ~----..
:. Vn,=5/.1200
Rpfa. E I
computadora es de $1900. 5in embargo una persona decide comprarla a plazos mediante dos letras bimensuales de iguales valores nominales y una cuota inicial de $575.
Calcular dicho valor nominal sabiendo que se aplica el descuento
racional, con una tasa del 24%
anual.
A) $ 702
B)$810
C) $ 750
D)$830
E)$742
RESOLUCiÓN:
Graficando tenemos:
50
Dese. por comisión: O, 125%(5000)= 6,25
Vn,= 700
!
Va '= 1600 _1600·18·m
m
1200
+2+3+ .... +m) .....
Al reemplazar(a) en (~):
14680= (1600)-12m(m+1)
10x367 = m[400-3(m+1)]
RESOLUCiÓN:
Como la tasa es la misma, entonces
el descuento de las letras será:
Dsooopor72 días+DVn,por 18 días
I
2"
3"
24"
25"
rw rw rw . . . rw rw
~
'--y---' '---r-' '---r-'
1 mes 1 mes 1 mes
23°
'---r-' '---r-'
1 mes 1 mes
5e cumple que:
Deuda = Va, +Va,+Va3+ ... +Va25
5350 = (Vn-D,)+(Vn-D,)+(Vn-D3)+ ....
... +(Vn-D25)
5350 = 25Vn-(D, +D,+D3+ ... +D'5)
5350 = 25n-
~;~g (1+2+3+ ...+25)
5350
=25Vn _ 65Vn
posibles. ¿Cuántos cortes debo
darle al alambre, de modo que cada
arista del sólido sea de un solo
alambre?
A) 1
B)2
C)4
D)6 E) 12
24
5350
= 535Vn
24
_-_ Vn = 240
~
Si el banco descuenta las letras al
47,5% anual y además cobra 2% de
comisión por cambio de plaza.
¿Cuánto recibirá un comerciante
que presenta una letra de 5/.92000
pagadera a los 60 dias, si pagara comisión y cambio de plaza?
A) 89246t B) 78042t C) 10043t
D) 80246t
RESOLUCION:
El sólido regular de
menor número de caras es el tetraedro.
Basta un solo corte
para construirlo.
@
3
Comisiónycambio: 3% V o = 100 x
x92000 = 2760
El descuento total asciende a:
81956
f
, Rpta.
I
El
S
¿Cuántas de las siguientes figuras
requieren más de 2 colores para ser
pintadas de modo que 2 regiones
con un lado común no estén del
mismo color?
E8~~~
A)O
@
Isaac está a punto de ingresar por la
puerta A, a este centro histórico para
recorrer todas sus calles y salir por la
puerta B. "¿Será posible recorrer
B
todas las calles de
~3
~4
B)l
C)2
D)3
E)4
RESOLUCION:
Sólo la última figura requiere 2 colores, la otras tres requieren más de 2
colores.
, Rpta. D
I
¿Cuáles de las siguientes figuras se
pueden dibujar de un solo trazo y sin
levantar la punta del lápiz del papel?
(1)
A-+Q; B-+P;C-+N; D-+M
@
q2
®IDGID
Mediante una linea une los circuitos
equivalentes:
RESOLUCION:
7283+ +2760 = 10043+
~
@
C&-~
Dffi c{§}
3
Pero también sabemos que:
Comisión: 2% Vn
Cambio de plaza: 1% Vn
92000-10043 =
\ "
, Rpta. A
~1
RESOLUCION:
La tercera no es recorrible [ Rpta. D
0~
1
El comerciante recibirá:
0;
~O
~}@-
E) 81956t
RESOLUCION:
Hallando el descuento comercial.
D _ 92000'47,5'60
c36000
Dc = 7283
Una figura se dice que es reconible,
si es posible dibujarla de un solo trazo y sin levantar la punta del lápiz del
papel.
(2)
(3)
A) Sólo (1) B) Sólo (2) C)(1)y(2)
E) Ninguna
D)Todas
RESOLUCION:
Una figura continua es recorrible, si
tiene a lo más 2 puntos impares:
(1) Todos los puntos son pares (Recorrible)
(2) Todos los puntos son pares (Recorrible)
(3) Tiene dos puntos impares, los extremos del segmento. Es reconible, siempre que se empiece de
uno de los puntos imparesr-::;.--,-.....,,..,
[Rpta.A
I
Sefialar la pareja de objetos que no
son topológicamente iguales.
A) Borrador -ladrillo
B) Rosquilla-taza de té
C)Perro-gato
D) Pelota - canica de vidrio
E) Plato -tablero de ajedrez
RESOLUCION:
La pelota es vacia por dentro, mientras que la canica no. Son topológicamente diferentes.
[ Rpta. D
I
@
¿Cuál de las figuras asignadas con
letras, es topológicamente igual a la
mostrada?
I
@
~I
~~1
una sola vez?"
Se
pregunta
Isaac.
~VL.......J
Tú ¿qué opinas?
A) Que si
A
B)Queno
RESOLUCION:
¿Cuantos colores se necesitan como mlnimo para pintar esta figura,
de modo que dos regiones que
comparten un lado común, no estén
coloreadas del mismo tinte?
Wl
A) 1 B)2
C)3
D)4
E)5
RESOLUCION:
Puedes comprobar que cuando
una figura tiene todos los puntos
pares, requiere a lo más 2 colores
para ser coloreada siguiendo las
condicio-nes señaladas., Rpta. B
I
La linea en negro
es recorrlble.
I§
[ Rpta. A
.
.
@ Con un alambre de 24 cm de longitud deseo construir un sólido regular
que tenga el menor número de caras
¿Cuantas de las figuras mostradas
son reconibles?
A) SóloA
B) Sólo D
C)ByD
E) Ninguna
D)Todas
RESOLUCION:
Imagina que las figuras están hechas
de hilo elástico (liga), donde cada linea es un tramo de hilo y cada punto
de intersección es un nudo; si partiendo de una figura podemos transformarla en otra, sin quitar ni agregar
nudos, entonces se dice que ambas
figuras son topológicamente iguales.
Dos figuras son topo/ógicamenle
iguales, si mediante un proceso de
transformaciones continuas, una
puede adquirirla forma de la otra.
[ Rpta.
@
~
el
¿Cuál de los puntos
está dentro de la figura?
A)ElpuntoA
B)EI puntoB
C)Arnbos puntos
O)Ninguno
RESOLUCION:
Usando el mismo criterio que en el
problema anterior, se determina que
Aestá dentro y B,fuera. [Rpta.A
ii
iii
A) En todas
B) En ninguna
C)Sóloi
O) Sólo ii
E) Sólo iii
RESOLUCION:
I
@
Coquito había dibujado en la pizarra
una curva simple y cerrada. Iván borro una parte de la figura y sólo qUE>dó la parte central. Si el punto A es-
~~b~~~~:~::la figura;~~ce~sel
B) Oentro
~
C) No es posible saber ~
'B
O) No dibujó una curva
cerrada
RESOLUCION:
Si unimos A con B mediante un segmento, éste va a cortar un número
impar (5) de curvas, por tanto, ambos puntos se encuentran en regiones diferentes. Si A está dentro, B
está fuera.
[ Rpta. A
Ci2s6~~.,
~W't1.Lt1
Es posible
En estos dos casos no
es posible, porque las
figuras en líneas continuas no son recarribies.
Una figura es recorrible cuando se
puede dibujar de un solo trazo y sin
levantar el lápiz del pape.,...l.-=-"-7"1
l:::J
[ Rpta. C
(1)
(2)
~
c---_
(3)
'--T-;(1
!.,. r-~ --T ! ! ~---b;'=?, !
" I !. c,"" ! -~ I
"c¡ d
.L i i~'
H>'
i
Hl~ T i i
1- _J i
i
1.:.
i
L____ •____ J
L_ I - L____ J
lC__ ---.I ____\J
! "'
I >1
Pi
T
tr
I
8
Las curvas en líneas continuas, las
tres, son recombles.
[Rpta. C
I
@
[ Rpta. B
I
¿Cuántos puntos hay fuera de la figura?
A) 1
B)2
C)3
0)4
E)5
RESOLUCION:
Hay cuatro puntos fuera de la figura.
[ Rpta. B
I
Acontinuación se muestra los planos
de tres museos muy peculiares por
su diseño. ¿Será posible pasar por
todas las puertas de cada museo
exactamente una vez? No interesa
A) Sólo en (1)
B) Sólo en (2)
C) Sólo en (3)
O) Sólo en (1) Y(2)
E)SI. En todos
RESOLUCION:
Para entrar por una puerta y salir por
otra, la habitación debe tener un número par de puertas. En cada plano,
todas las habitaciones tienen un número par de puertas excepto una, se
debe empezar de ésta o empezar de
afuera y terminar en ella. [Rpta. E
A) Sólo (1)
B) Sólo (1) Y(2)
C) Todos O) Ninguno E) Sólo 3
RESOLUCION:
~---.
I
@:)A~¡:¡~
I
t{~}J t~;t;l [fr{]
consecuencia,
@
~
tos departamentos. ¿Cuál o cuáles
de ellos se prestan para pasar por
todas las puertas de una sola vez,
empezando y terminando afuera?
@ La figura muestra
como B' esta fuera, B está dentro.
[Rpta. C
@ Aquf mostramos los planos de cier-
I
una curva simple
cerrada y dos
puntos A y B.
Respecto a los
puntos:
A)Aestá dentro y B, fuera
B) B está dentro y A fuera
C)Arnbos están dentro
O)Arnbos están fuera
E) No es posible saber
RESOLUCION:
La línea APi corta
un número par de
curvas (8); entonces, tanto Pi comoA están fuera.
La línea BB' corta
un número impar
de curvas (9); en
cada persona que tomaron de pareja
para bailar. Terminada la fiesta, se
supo por los comentarios que: Ana
bailó 2 veces; Carlos 3; Carina 3 veces; Zoila un número par de veces,
Luisa un número impar de veces, Oarío un número par de veces, Beto 2
veces y Nora 1 vez. Entonces Ernestobailó:
A)1 vez B)3veces C)4veces
O) 5 veces
E)3ó5veces
RESOLUCION:
En una fiesta en la que se baila en parejas, el número de personas que
bailan con un número impar de personas siempre es par. Puesto que ya
son 4 las asistentes que han bailado
con un número impar de personas,
entonces Emesto tuvo que bailar con
un número par de damas; y la única
altemativa que se ajusta es la (C).
¿En cuáles de las siguientes figuras
se puede dibujar una curva simple y
abierta que pase exactamente una
vez a cada uno de los segmentos
de recta de la figura? (Una curva es
simple si no se cruza a sí misma y
los segmentos de recta son los que
unen dos puntossucesivos).
¿En cuál de las habitaciones debemos empezar a recorrer los ambientes de esta residencia de una planta,
para pasar por todas las puertas una
sola vez y terminar afuera?
A)En10
1
B)En6
....¡ 2..1 3 4 T 5
C)En7
6
8'
7
0)En3
...I.
9
10
11
E)En4
RESOLUCION:
En 4 porque tienen un
número imparde puertas. Rpta. E
L
r Ir
Los asistentes a una reunión se saludan con un apretén de manos y
cada uno cuenta el número de personas con las que se ha saludado.
Si N es el número de asistentes que
se ha saludado con un número impar de personas, entonces N es:
A) Siempre par B) Siempre impar
C) Puede ser par o impar
O) Siempre primo
E) Siempre múltiplo de 3
RESOLUCION:
Siempre es par. Compruebalo gráficamente.
[ Rpta.A
I
I
I
@
En una fiesta participaron 4 varones
y 5 mujeres, todos ellos bailaron en
parejas (hombre-mujer) al menos
una pieza, pero una sola vez con
8
¿En cuál de las formas se necesita
más cuerda para atar tres cilindros de
igual diámetro?
(XX)
(]j
(A)
(B)
®
~H~i;A=3cm.
A)EnA
B)EnB
C) En ambas se utiliza igual
2,,/3
RESOLUCION:
'{IX'R}<
," -¡
- _...... "-t> ¡~~4'_
,..
Ip=8r+2.1
@!)
2,
6r+9r=30~r=2
Longitud de la
circunferencia de
radiar:
2"r = 2,,(2) = 4"
.(>~
<¡;
Ip=6r+2.1
I Rpta.A I 8
A) 6"
B~CO,
D)3"
C)5"
r
I Rpta. C I
O
Los segmentos verticales están
igualmente distanciados entre sr.
¿Cuál es la suma de sus longitudes?
I~
'"
3
18m
6;7 = 21m
'",
1
~
, ....
¡.
t--.t--,
r.....t--...
I Rpta. DI
@ Los
lados del triángulo equilátero
ABC se dividen en 3 partes iguales;
uniendo consecutivamente los puntos de división se forman un exágono regular. El perímetro del exágono
yel del triángulo suman 30 cm.¿Cuál
es la longitud de la circunferencia
circunscrita al exágono?
A) 2"
B)3"
C)4"
D)6"
E)9"
F
• AEFQequilátero: (~s iguales)
FQ=QE=FE=10
• A NPQ equilátero: (~ s iguales)
~NQ=PQ=19
'
______ ;t.:.
~
a
N
AFIO
Q
NQ=a+13=19~ 1 a=61
También:
PN=NQ
I Rpta.A I
Los puntos 0, y 02 son centros de
los cfrculos mostrados. Si el perfmetro del sector sombreado es 6
cm. ¿Cuál es el perfmetro del cfrculo en blanco?
A)4cm
B)3cm
C)2cm
D)1 cm
E)2,5cm
RESOLUCION:
Se pide hallar 2"r
Del dato:
02
2"(2r)+(2,,r) = 6
2r
6"r=6
.
...... 10
4+b+a=19~1 b=91
Perímetro pedido:
a+b+4+5+1 0+3 = 37
~
Cada lado del cuadrado ABCD mide
3 cm. ¿Cuál es el perímetro de la superficie sombreada? Las figuras formadas en el perímetro del cuadrado
son semicírculos.
A
r1
..
RESOLUCION:
Sumando las longitudes de los 7
segmentos verticales de 6 m cada
uno, estamos sumando 2 veces la
longitud de cada segmento pedido.
Por tanto:
A
n
p=4r~I~+2r~2~~_~
®
u
B
• A CPD equilátero: (~s iguales)
CP=PD=CD=4
A,........¡Q4-4'::'
P = 6" cm
A)
36m
B)40m
C) 18m
D)21m
E) 30m
E
(n-2)180' , para n = 6 ~ 120'
E)8"
':::o:+-+-6¡.......J C
RESOLUCtON:
El perímetro pedido está compuesto de 4 semicircunferencias de radio 1 cm y dos arcos de cuadrante:
P = 2,,(4) + 2,,(1) 2,,(2) 2,,(1)
4
2 +-4-+ -2-
~
O
C)4"
D)6"
0, N
OC
ExágonoABCDEF equiángulo ~ cada ángulo interno mide:
B)5"
M
E)&t
A
RESOLUCION:
r
En la figura ABCD es un cuadrado
de 4 cm de lado. ¿ Cuál es el perfmetro de la región sombreada? M,
N, P Y Q son puntos medios de los
lados del cuadrado.
Hallar el perfmetro de la figura somo
breada, ABCD es un cuadrado de lad04m, 0, y02son centros de los semicírculos, D es centro de los cuadrantes, M es punto medio de CD y
N, punto medio deAD.
A)37t
B)4"
C) 36 cm
D)57cm
E) 37 cm
RESOLUCION:
RESOLUCION:
Del dato:
2~2'
4,
Hallar el perímetro del exágono equiángulo, si CD = 4 cm, DE = 5 cm, EF =
:·12"r=21
®
I Rpta. C I
El perfmetro del cuadrado C es 15
cm, el cuadrado B tiene 3 cm de perfmetro más que A. ¿Cuál es el perfmetro del cuadrado A ?
~~:;~~
C)8cm
D)6cm
E)4cm
RESOLUCION:
• 4(a+b)= 15
~4a+4b= 15 ... (1)
4b-4a = 3 ..... (2)
• (1}-(2): 4a+4a= 12
O
C
A)8" B)61t C) 10" D)II" E) 14"
RESOLUCION:
La longitud de una semicircunferencia es D"'2 donde D es el diámetro.
oB
C
a
Perímetro de la región sombreada:
B
a
b
C
~14a=61
I Rpta. C I
"a
"b
"k
P=T+T+·····+T
"
P=T(a+b+ .... +k)
'---¡fa)
P = 6" cm 2
IRpta. B I
~
En el triángulo equiláteroABC de perímetro 12 cm, PMIIBC y MOI/AB.
¿Cuál es el perímetro de la superficie sombreada?
B
@!)
~
A)12cm
B)Scm
Q
C) 18cm
p
D) 15cm
E)8cm
A
RESOLUCION:
M
• BPMQ es paralelogramo:
PM=BQ=ayPB=MQ=b
e
@!)
A
a M
b
e
[ Rpta.A
~
I
¿Cuál es el perímetro de esta silueta
de una escalinata? Se muestra las
dimensiones.
15 m
A~adelrectángulo:
S-ab
"
S = a{10-a)
2
S=10a-a
S = +25-25+1 Oa-a2
S = 25-{25-1 Oa+a2)
_
15 m
~ @
B)71t
C)121t
D)151t
E)81t
RESOLUCION:
La longitud del semicírculo en función del diámetro es 1tD/2.
El perímetro de la figura sombreada
está en línea gruesa:
_ 1t8 1tb 1tC 1td 1t{a+b+c+d)
P -2+2+2+2+
2
1t{a+~c+dl ~
!P=61t!
~
[ Rpta.A
D
I
b
"
b
RESOLUCION:
B
~{Sméxo>5.a=o
=>1.=51 =>lb=51
I
@9) Hallar la longitud de la espiral for-
~I
La figura muestra 5 semicírculos con
diámetros ubicados en la misma recta. El diámetro del semicírculo mayor es S cm. ¿Cuál es el perímetro de
la figura sombreada?
A)S1t
P=
I
cuadrado manteniendo el área invariable. ¿Qué pasa con el perímetro:
aumenta o disminuye?
I
I Rpta. C I
@
b]O
@ Esta cruz se ha transformado en un
El área es máximo cuando el rectángulo es cuadrado.
:. S=axb=55=25
Rpta.A
}"
1111
O
S-25-{5-a)
~I
A)SOm
B)19m
C)38m
D)40m
E)30m
RESOLUCION:
El perímetro de la figura es el mismo
que del rectángulo:
P=2{4+15)=38m
I~
CJ
2
~
D)D
E) Todas
tienen
Igual
perímetro
RESOLUCION:
Todas tienen el mismo perímetro
igual al del cuadrado.
Rpta. E
I Rpta.DI
Este rectángulo tiene 20 cm de perímetro. ¿Cuál puede ser el área
máximo del triángulo?
A) 25 cm 2
B) lScm
C) 24 cm 2
D)23cm 2
E)20cm2
RESOLUCION:
Delda!o:
2a+2b=20
b=10-a .... {l)
Q
b
t
Se muestra 4 cuadrados congruentes de 4 m de lados, cada uno. Inscrito en cada uno hay una figura sombreada, ¿cuál de ellas tiene mayor
perímetro?
A)A
B)B
C)C
4a=3t
"
8"
@
·D· ~~+=+
•
• Ll.APM YLl. MQC equiláteros
• Perímetro pedido:
B
• 3a+3b=?
Del dato:
3a{a+b) = 12
P
b
~ 3a+3b=12cm"
"
¿En qué relación se encuentran los
lados de un cuadrado y de un triángulo, si ambos tienen el mismo perímetro?
A)l:l B)2:1 C)2:3 D)3:4 E)4:5
RESOLUCION:
mada por semicircunferencias con
diámetros en segmento AG de longitud 12 cm. Los puntos ubicados
enAG son equidistantes.
A) 181tcm
B) 151tcm
C)121tm
D) 241t cm
E)211tm
RESOLUCION:
Los radios de la semicircunferencia
son respectivamente 1 cm, 2 cm, 3
cm, 4 cm, 5cm y 6 cm, en consecuencia,la longitud del espiral es:
L = 1t{l )+1t{2)+1t{3)+1t{4 )+1t{5)+1t{S)
L=211tcm
Rpta.
I
El
I
'iV'
A) 121t
B)241t
C)S1t
D) 181t
E)l57t
RESOLUCION:
El perímetro
de los sectores
sombreados,
es el mismo
que el de los
tres circulas:
21t{S)+21t{4)+21t{2)=241t
¿Cuál es la longitud de este tramo
de la pista? AOB, PBC Y CQD son
cuadrantes de radios 3 km, 5 km y 2
km respectivamente.
A,
A)91tkm
~~::~~ ~~··3···E!···~P
'5
ic
D)121tkm
E)3pkm
RESOLUCION:
(N.A.)
Q
@ ¿Cuántos
2 D
L = 21t(3) + 21t(5) + 21t(2)
I
AB reemplaza aAPQB
AB más corto queAPQB
.'. El perímetro disminuye Rpta. A
Los radios de los círculos son S cm, 4
~ cm y 2 cm respectivamente. ¿Cuál es
el perimetro de los sectores sombreados?
4
"'!L-=-=-51t--'!
4
4
'"'11II-=;n-g-u-na
.....1
I
I Rpta. B I
A
triángulos tienen por lo
me-nos una'.'.
A)8
B)9
C)10
D) 12
E)7
*
*
*
@Calcular el total de triángulos en la
RESOLUCiÓN:
De2': b.
De3":ad.;b.f;ce.
De4": abd.; bc.e
De 6": abcd.; abc"f; bc.ef.
De 9': 1 triángulos
ITotal = 10 I
@ ¿Cuántos
~;:,'."
11
[S]
I Rpta. C I
cuadriláteros no contie-
D)12
E)10
RESOLUCiÓN:
•
~
De 1': 5 cuadriláteros
De2':23;34; 13;45
De3':234
ITotal = 10 I
~
rectas se deben añadir
para formar 1Otriángulos?
A)1
B)10
C)3
D)4
E)5
RESOLUCiÓN:
~
~fE
IZI
diagonales se pueden
trazar?
A) 96
B)100
C)110
D)120
E) 112
RESOLUCiÓN:
1
2
4
3
5
m
~
12=3x4
Para 20 cuadraditos por lado habrá:
120x21 =4201
I Rpta. B I
@ ¿Cuántos "." hay en el rectángulo y
circulo pero no en el triángulo?
A) 1
B)3
C)2
•••••
D)4
E)O
I Rpta. C I
I
hayen la figura.
r;::::::;:::::;:::;:::;::;::;~
A) 40
~m
_ 5(5-1) _ 10
SeH--2
_ 4(4-1) _ 6
Scv--2
ST= SeHXScv
ST= 10x6
1260 = 120 diagonales 1I Rpta. D
1111111
E)52
RESOLUCiÓN:
t
En 1 cuadrilátero se puede trazar
sólo 2 diagonales.
Luego:
En 60 cuadriláteros se podrá trazar:
n =7
I
~
I N' Semieí",.= 2(N' CiltUnfer)(N' Diámetros) I
~
i¡ji i
í
7(7-1)
- - =21
2
Horizontal inferior: también habrá: 21
Verticales: 7
~ ¿Cuántos semicírculos existen en
la figura?
A) 20
B)24
C)27
D)21
E)26
RESOLUCiÓN:
RESOLUCiÓN:
I Rpta. D
@ Calcular el total de segmentos que
5
La parte sombreada es la que
pertenece al rectángulo y circulo
pero no al triángulo; vemos que
hay 2 corazones
6=2x3
3 cuadraditos por lado:
4
ITotal = 10 I
2=1x2
EEI
@ ¿Cuántas
2
,
..._..
2 cuadraditos por lado:
I
3
1": 4 triángulos
2":a1;12
3": 3b2; 3b4; 1b4
4": a12b
M
E) 390
'
RESOLUCiÓN:
• Porinducción:
1 cuadradito por lado:
26 = 52 +1
172 +1 - 50 cuadraditos 1I Rpta. A
@ ¿Cuántas
@
83 Hallarel número de triángulos.
10 = 32 +1
En la figura habrá:
4 cuadraditos por lado.
I Rpta. El
IRpta. B I
2 = 12 +1
3 cuadraditos por lado:
~
~
3
Donde:
N' circunferencias = 3
=4
N'diámetros
N' semiclrculos = 2(3)(4);..,=~2:..:4----:::-"I
2 cuadraditos por lado:
[ 1'111]
B)9
C)8
3
fiIgura.
A )48
B)50
C )42
D)52
E)46
RESOLUCIÓN:
Por inducción:
1 cuadradito por lado:
1 Total=21+21+7-49 1 I Rpta.DI
~
Hallar el total de triángulos en la figura.
A) 98
B)96
C)102
D)108
E) 112
RESOLUCiÓN:
De 3': acd; cdb; dba; bac
1ac; 1ab; 3ea; 3cd
4dc; 4db; 2ba; 2bd
De 6': 1ac3d; 3cd4b2;
4db2al; 2ba1c3
RESOLUCION:
234
5
"'~+--.I"""'~~3
®
9(9-1)
--=36
2
1 Rpta.D 1
136x3=1081
@ ¿Cuántos triángulos hay en la figura?
A)16
B)18
C)19
D)20
E)15
RESOLUCION:
~
5(5-1)
SCH=-2-=10
2
ST= SCHXSCV
DI
5(5-1)
2 =10
4(4-1)
....._~n=4-->-2-=6
fI--4----~ n=3--> 3(3-1)=3
1Total = 10+6+3 = 191
C)84
D)64
E)88
RESOLUCION:
2
1Total = 10+15 = 251
®
7(7-1) = 21
2
[HJ
@9) Hallarel total de ángulos en figura.
A) 22
B)16
C)24
D)18
E)20
RESOLUCION:
2
C)6
D)7
E)8
RESOLUCION:
De 1': 1 cuadrilátero
De2': bc; 11; c1
De3': 1dl
De4':aldl
...-_ _ _---.:D:.:e:.:7_.:...;:1 cuadrilátero
1Total = 7 cuadriláteros 1 1 Rpta. D 1
2
Contando:
1 Rpta. El
1Total = 20 1
@j) ¿Cuántos exágonos hay en total?
~'~2~3-·4~'~6
n=6--> 6(6·1) =15 !nango
2
1Total = 15+5+15 = 251I'R=-p-ta-.-c""'1
!lid
@ Hallar el total del paralelogramo.
C)18
D)20
E)15
RESOLUCION:
~
M
2
2
~~::
1 Rpta. D 1
~
@ Calcular el total de triángulos en la
5 !néngulos
5
Hallarel total de cuadriláteros.
~~:
1 Rpta. C I
figura.
A) 32
B)36
C)35
D)30
E)40
RESOLUCION:
4
5
6(5-1) = 15
2
paran=7
1Total = 3+10+21 = 3411 Rpta. A 1
3
4
5(5-1) = 10
2
paran=6
@ Hallar el total de triángulos en la fi-
n=3--> 3(3-1) =3
2
n=5--> 5(5-1) =10
2
L-L-.............o......I...-lo n=7--> 7(7-1)=21
1234567
2
3
paran=5
2
1 Rpta. B 1
gura.
A) 34
B)32
C)36
D)40
E)28
RESOLUCION:
~
2
@ ¿Cuántos sectores circulares hay?
A)
80
~
B)76
~+-
A)120
B) 110
C)96
D)100
E)90
Hallar el total de ángulos en la figura.
A)18
B)22
C)24
D)25
E)30
RESOLUCION:
Scv= 5(5-1) =10
1ST= 10xl0 = 100 1 1 Rpta.
tl-f4-~n=5-->
1 Rpta. D 1
1Total = 20 exágonos 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
~
1j
~
Hallarel total de cuadriláteros.
A)10
B)12
C)14
D)9
E)13
RESOLUCION:
2
a
b
C
d
3
De 1#: 4 exágonos
4
Del': 4 cuadriláteros
De2':al;23;4b;24; 13
De4':aI23;234b
De6':aI234b
1Total = 12 cuadriláteros 11 Rpta. B 1
@ i~~:ntos triángulos h~aYen
la figura?
@
B)18
C)20
D)22
E) 24
RESOLUCION:
@
RESOLUCION:
4
Un aro está formado por dos
circunfe-rencias concéntricas que
distan 15 cm, las diferencias de las 2
circunfe-rencias difieren
aproximadamente en
A) 94
B) 114
C)120
D)128
E) Ninguna
It~
paran =4
o R-r =15
o LR-L,= 2"R-2"r
=2,,(R-r)
=2(3,14)(15)
4(4-1) = 6 segmentos
2
En cada lado hay 4 puntos (n = 4)
luego habrá 6 segmentos en cada
lado.
En 5 lados habrá:
De 1': 7 triángulos
De2':23; 15;56;67;
34; 47; 06; 04
De3': 104;567;206;347
De4':0476
16x5 = 30 segmentos 1 I Rpta. D J
1Total = 20 triángulos 1 I Rpta. C
8
@
J
Calcular el total de segmentos.
A) 36
p
B)32
E
C)40
RA Z O NA R
D)28
E)42
RESOLUCION:
@!)
:
R
1 P
2 E
R A Z 03 NA R
1 2 3 4
567
4 S
5 A
6 R
Horizontalmente: n = 7
7(7-1) = 21
2
Verticalmente: n = 6
6(6-1) = 15
2
I Rpta.A
1 Total = 21+15 = 361
~11r
C)13
D)14
E)16
RESOLUCION:
b
~
A
~
2d
1
e
1
De 1': 2 cuadriláteros
De2': a1; 1e; b2; 21; 12
De3': a1e; b2f; a1c;
C1e; b2d; 2df
De 8': 1 cuadrilátero
1Total = 14 cuadriláteros 1I Rpta.A
B)26
C)28
D)30
E)32
1>:
a
C
I Rpta.SJ
6
J
iY:i
I
I
J
Con 12 cerillas se ha construido un
triángulo rectángulo de 3; 4 Y 5 cerillas de lado. Obviamente el área de
este triángulo es igual a la mitad del
rectángulo de 3 por4, es decir 6 "cerilIascuadradas".
~
A) Mueve dos cerillas y forma una
figura con un
área de 5 cerillas cuadradas.
B) Mueve tres cerillas y forma una
figura con un área de cuatro
"cerillas cuadradas".
C) Mueve cuatro cerillas y forma una
figura con un área de tres "cerillas
cuadradas".
¿Cuál es el área del cuadrado MNPQ
inscrito en el triánguloABC? La base
AC y la altura relativa a esta base del
triángulo, miden 12 cm y 6 cm
respec-tivan¡nte.
Mi">. N
2
C)2
D)3
E)4
A
2
C
RESOLUCION:
B
Dividiendo el
triángulo como
se muestra en
la figura, disponemos sólo de 4
1
C
regiones, en el A 1
interior de cada uno de los cuales
podemos elegir 1 punto, de tal suerte que disten entre ellos más de 1
cm. El quinto punto, necesariamente tenemos que elegir en el interior
de una de las regiones, que con el
punto ya elegido va a
distarmenosde 1 cm.
Rpta. e
y\z
¿Cuántos segmentos existen en la
~~~?
x
@
En el interior del triángulo ABC de
lado 2 cm, se eligen 5 puntos.
¿Cuántos puntos como mrnimo distarán menos de 1 cm?
B
~l~
~
c
Un edificio de
36 m de altura
está frente a
otro de 25 m
de altura. En- ....L--.JI:::...._..:L..--L.
tre ellos hay
una avenida cuyo ancho queremos
averiguar. Si uniéramos el pie de
cada edificio con el extremo superior del otro, las dos líneas resultarian perpendiculares. ¿Puedes indicar el ancho de la avenida?
A)25m
B)30m
C)32m
D)24m
E)40m
~:1:!-:
J
@ ¿Cuántos cuadriláteros existen en la
@!)
=!fí\IPta. A
A
;1 I~c
Q
P
A)12cm 2
B)16cm 2
C)9cm 2
2
D)25cm
E)36cm2
RESOLUCION:
B
oaMBN- aABC
6-a
6
-=-~a=4
a
12
:.50 =42= 6cm 2
AU
12
II C
IRpta. S
J
@Y Toma un papel cuadriculado de 13
por 8 cuadraditos, recorta según las
líneas (ilustración de arriba) indicadas. En seguida arma el
"rompecabe-zas" tal como la
ilustración de abajo. Compara las
áreas y busca una expli-cación.
~
Area = 8x13 = 104
Area =5x21
Con el cuadrado de 13 por 13 cuadraditos se forma un "rompecabezas" de 5 piezas tal como la ilustración de la izquierda; en seguida se
arma tal como la ilustración de la
derecha y verá que desaparece un
cuadrado.
®
A
RESOLUCiÓN:
~
Toma un papel cuadriculado y dibuja
un cuadrado de 13 por 13 cuadraditos, forma un rompecabezas
cortando por las líneas como se
muestran en la ilustración superior.
En seguida arma el rompecabezas
tal como se indica en el dibujo
inferior. Compara las áreas y busca
una explicación.
'""':::;'-.;tt
"7"7"--¡'l :-'
24
g-,---l
.liii!
¿Cómo se explica la desaparición
del cuadrado?
• Inventado por el mago Paul Curry.
NewYork(1953).
A)95 B)62 C)85 0)90 E) 105
RESOLUCiÓN:
El lado izquierdo dela pieza 3, no es
8 sino 8
~
L2
MOTS?
A)12
B)40
C)28
0)8
E)21
«
M
O
/
/
/
S'---------'T
RESOLUCiÓN:
A)l
B)2
C)3
O) O
E) Ninguna anterior
RESOLUCiÓN:
2 Rayos < > 1 ángulos
~
3 Rayos < > 6 ángulos
~
4 Rayos < > 3 ángulos
3
Q5
7
rectángulo en el inO
terior del circulo de
centro O. Lo que
quisiéramos saber
es, cuál es la longitud de la línea oblicua señalada con un signo de interrogación. El círculo tiene un diámetro de 8 cm. ¿Puedes ayudamos?
A)8cm
B)4Y2cm C)4cm
0)5cm
E)2Y2cm
RESOLUCiÓN:
Al trazar la otra diagonal del rectángulo, ésta resulta ser el 1 Rp
C 1
radio del círculo, 4 cm.
.
ta. .
1
6/
6/
3
1
Es suficiente
el tapón
mostrado.
!Rpta.EI
@ ¿Cuántos ángulos contiene la figura
3
3
/
1
Total = 4(1)+4(3)+2(6) = 281 Rpta. C 1
! Rpta.A I
® gación de "X'?
¿Cuál de los segmentos es la prolonx
A)y
B)z
y
C)Ninguno
O) Es posible los dos
E) No es posible saber ·z
sin la ayuda de una regla.
RESOLUCiÓN:
~--,
Rpta. B
EselsegmentoZ.
@ Estás en una competencia de "pa-
@ hemos
En la ilustración,
dibujado un
MNIIPO
1
RESOLUCiÓN:
Cuando se arma el rompecabezas,
hay un ligero solapamiento entre el
triángulo inferior y el triángulo superior. La superficie de solapamiento,
se muestra sombreada. El área de
esta superficie es igual al de un cuadradito.
Q
Q
D
pos de orificios. ¿Cuántos tapones
de madera se necesitan como mrnimo para obturar perfectamente los
tres orificios?
Area =21x8 =168
A
4
@ A continuación se muestran tres tiArea = 13x13 = 169
B
N
M
de modo que colocada
en la nueva ubicación, hace que el
cuadrado crezca en 1/13 hacia abajo, de modo que el área del cuadrado crece en 13x13 = 1 cuadradito.
El cuadradito desaparecido compensa el crecimiento del cuadrado.
M
0)1 cm
D
e
E) Falta información
RESOLUCiÓN:
El hecho de que MN y PO sean paralelos, no implica. que sean necesariamente paralelos a AB o CO, en cuyo
caso PN mediría 2 cm; pero como tal
paralelismo no se puede probar, en
consecuencia, falta información. Ver
figura.
A
B
2
Cuando annes el "rompecabezas",
6
till
A)4cm
B)2cm
C)3cm
=105
notarás que la línea oblicua de juntura no calza exactamente, aparece
un pequeño vacío a lo largo de la
línea. El área de este vacío es igual
al de un cuadradito.
En el paralelogramo ABCO, MN es
paralelo a PO, MO = MO = BO = 4 cm
y AM = OC = 2. ¿Cuánto mide el segmentoPN?
tear" un balón pretendiendo acertar
en un poste. Te dan dos opciones:
l' Patearas un balón de 30 cm de
diámetro. 2' Chotear un balón de
20 cm de diámetro contra un poste
de 15 cm de grueso. ¿Cuál escoges?
B) 2da. opción
A) 1ra. opción
C) 3ra. opción
O) Cualquiera de las dos
E) No sé patear
RESOLUCiÓN:
Según criterios para encontrar las
probabilidades de choques intermoleculares, se disminuye el balón
hasta volverlo un punto y se aumenta el grosor del poste tanto como el
diámetro del balón.
l' Caso: 30+10 = 40 cm de grosor
2' Caso: 20+15 = 35 cm r-::-:---:-.
de grosor
Rpta. A
I
I
I
®
~
I
Seis hermanos se disponen a repartirse este terreno que tiene la
forma de un exágono
regular, a cada hermano le debe corresponder la misma área de terreno, con
perímetros exactamente iguales y
con un roble para cada uno. ¿Cómo
deben trazarlos límites@?
RESOLUCiÓN:
•
~
• ••
• •
~
Esta es la silueta de
una célula que esta a
punto de reproducirse
en dos células hijas.
cada una de las cuales
tendrá la misma forma
de la madre. ¿Puedes
indicar la linea de división? 0,. 02 Y
03son centros de los semicirculos.
RESOLUCION:
ángulo rectángulo (m ~AOB = 90·).
Si OB = 8 m.AO =4m. ysi la suma
del ancho y de la altura de cada peldaño dela escalera es de 0,4 m. entonces el número de peldaños de la
escalera es: (SM' 79)
A)34 B)26 C)32 D)28 E)30
RESOLUCION:
#Escalones =
,.
........-_.---_........
Sea "R" la suma de las medidas de
los ángulos internos convexos de la
estrella. entonces:
R =,x+x+x+ m+X,= nx;
:~
#Escalones =~
0,4
#Escalones = 30
y
"n"veces
pero x = 180. (n-4)
n
xn = 180· (n-4);
I Rpta.E)
Luego: R = 180· (n-4)
@
v@
a) (A)
b) (B)
c) Son iguales
RESOLUCION:
Las~oscircunferencias
son Iguales.
@
I R ta. C I
L.- - ' - , ,_ _ _- ' - ' .
¿Son paralelos los segmentosAB y
CD?
='""'-B
A) SI B) No C) No es posible saber
RESOLUCION:
Rpta.A )
Sí son paralelos.
I
~
Dato' 160· - 180·(n-2) --> n = 18
¿Cuál de las circunferencias es más
grande?
En el triángulo
D
B
equilátero ABC
de perlmetro
45 cm. los puntosMyNson
e
puntos medios. A
N
respectivamente. de los lados BC y
AC. ¿Cuáles la longitud de MN?
A)15cm
B)7.5cm
C) 30 cm
D) 17.5 cm
E) El triánguloABC no es equilátero
RESOLUCION:
a
.
@ Al disminuir en 5· la medida de cada
I Rpta. B )
@
Una escalera debe ser diseñada por
uno de los vértices (A o B) de un tri-
ángulo interno de un polígono equiángulo. el número de lados disminuye en 1. Calcular el valor de la razón
aritmética entre los números de diagonales medias del pollgono inicial y
final.
RESOLUCION:
Sea el cuadro:
~ En un campeonato de futbol participan "n" equipos de los cuales la mitad de equipos jugaron "5n" partidos (sin repetirse los partidos jugados) se desea saber cuántos partidos juega un equipo.
RESOLUCION:
Sean los puntos medios de
cada lado un
polígono de
"n" lados. los
equipos participan.
Donde:
~lnIIrIor
n
a=---
Ido cIIogonMo
medl..
n(n-l)
x=-2-
18O'(n-2)
n
180'(..3)
a-S=
Dato: 5· =
(n-l)(n-2)
x =--2-
------n:r-
180·(n-2) 180·(n-3)
n
(n-l)
n(n-l) = 36[(n-l )(n-2}-n(n-3)]
n(n-l) = 36[n2-3n+2-n 2+3n]
n(n-l) = 72 n --> (n-l) = 9(9-1)
Poranalogfa: n =9
n(n-l) (n-l)(n-2)
Nos piden: x-y =-2-2
"1 Los partidos que juega un eguipo estará representado por: In-ll
I I
"2 El total de partidos jugados están representados por:
Ido
ladoI
n·l
E,. E2. Ea. E....... E,--> Los equipos
Luego se cumple:
n(~-I)
n(n-l) (n-l)(n-2)
x-y =-2-2
"3 Los partidos jugados de "k" equipos (k < n) estarán representados
Ikn-~I
por:
B
Si bien en el dibujo del enunciado ABC no
M
es un triángulo
equilátero. pero
el enunciado lo A
7.5 e
define como tal.
N
en consecuen- M---15 -------M
cia ABC es triángulo equilátero.
Cada uno de los lados mide 45 + 3 =
15cm.
AC
15
MN=NC= 2=2=7.5
n
Finalmente: R = 180·(18-4)
:. R = 2520'
3n-2
5=--
8
n = 14 Es decir existen 14equipos
Nos piden: x=14-1
:. x= 13
@ En un polígono regular su ángulo in-
terior es 160·. Calcular la suma de
las medidas de los ángulos internos
convexos de la estrella formanda al
prolongar en ambos sentidos.
RESOLUCION:
:. x-y=8
®
Calcular la suma de sus números de
diagonales de dos poligonos. Sabiendo que su diferencia es4.
RESOLUCION:
• Sean "n" y "m" los números de lados de los poligonos(n > m)
• Dato:
n(n-3) m(m-3)
-2-4
2
n2-m 2-3(n-m) = 8; n 2_m 2= (n+m)(n-m)
(n-m)(m+n-3) = 8
4x2 --> a
8xl --> b
2x4 --> c
lx8 --> d
A) n-m =8}NocumPle}LosvaI0re6de
n+m = 5
"n" y "m" deben
_ }
ser enteros y
B) n-m -8 Nocumple
posilivos
n+m=4
Los valores de
C) n-m =2 }
n+m=7
}'n'Y'm'dobon
No cumple se,onlerosy
poSitiVOS
D) n-m =1 } .
n+m=11 Slcumple(n=6Am=S)
• Nos piden: x =
6(~-3) + S(;-3)
m~WRI=m~RID=120"
En un poligono equilátero cuyo lado
mide S cm. Calcular su perimetro.
sabiendo que desde (n-8) vértices
consecutivos se trazan "4n" diagonales. siendo 'n" el número de lados.
OESOW',,"',o'
@ Calcular el número de diagonales de
un poligono regular DILO ... en el cuál
el ángulo DIL es el triple del ángulo
DOL.
RESOLUCION:
Sea el gráfico:
En el c:> DILO:
a- . . . . . . I-P
Entonces: x+2 = y+3
x-y = 1
N
=m~DOL=
= ~ (propiedad)
Luego se tiene:
3~+~ = 180" B = 4S" ....... (1)
Por ~ exterior:
~= -360"
........ (11)
n
A
De (1) y (11):
(n-14)(n+3) = O
Luego: n = 14
3~0"
= 4S" -> n = 8
8(~-3)
Nos piden: x =
3
:. x = 20
Nos piden: x = Sn --> x = 70 cm
@ Se
tiene un exágono equiángulo
WALDIRdonde: WA=8;AL=6yDI =
S. Calcular: IR.
RESOLUCION:
Observación:
El perlmetro de un poHgono equilá-
I
tero se calcula así: Lxn
I
Donde: L --> longitud de cada lado
del poligono
n -+ # de lados del poligono
~
D
m~RIL=
... DE "n"-,ªd~as mediatrices de
los lados LE y RD forman un ángulo
de 7S". Entonces el número máximo de diagonales trazados desde
(n-1S) vértices consecutivos es:
RESOLUCION:
Según el gráfico:
8n = 2n2 -16n-(n-7)(n-6)
8n = 2n'-16n-n 2 +13n-42
n
Por lo tanbo: '1' + a = 120"
Ahora se tiene:
.1.NED= .1.NID(A-L-A)
Es decir:
@ En un poHgono regular LEONARD
Dato:
5
4 - ( 81) (n-8+1 )(n-8+2)
n-nn2
0= n2 -11n-42 }
n><14
l)Ax-~
m~NIP=m~NRP='I'
Luego por ~ interior
:. x = 14
@
Luegoenel ~JAE:
Nos piden: x-y
Como PN -+ Mediatriz de RI.
Entonces: RN = NI = . . 1111.
m ~ JQE = m ~ PQR =
~
(propiedad)
Además por ~ central se tiene:
Las medidas de un ángulo central y
un ángulo interior de un poligono regular, son entre sí: comol a 19. Hallar el número de diagonales que se
pueden trazar desde un vértice.
RESOLUCION:
Sea el poligono regular con centro
9n"0·.
e
(Q --> centro del poi ígono)
Luego por dabo:
-->a=1ge,
Luego:
180"(n-2)
360"
n
19 x - n-
~
2
2
Se
pid~" x = 9x24 _ (9+1 ~9+2)
.. x = 161
un polígono equiángulo
JOSEPH siendo JO = 7, OS = 3, SE
= S Y PH = 2. Calcular JE.
RESOLUCION:
la mediatriz de RI intersecla a AL en
"N",siWA=2, LD=3.
Calcular la diferencia de efecluar la
sustracción entreAN y NL.
RESOLUCION: E
Hallar el número de lados de un polígono regular sabiendo que la longitud de cada lado es 3 cm yel número
de diagonales es 2 veces el perímetroencm.
RESOLUCION:
Sea: 'n" el número de lados del polígono irregular mostrado.
........
-~
n(~3)
~
= 2(3xn)
.... n-3=12
n = IS
@ En un campeonabo de futbol partici-
~
R
§
Dabo:
~. 3~
J o--(J>--.W
Se prolonga ciertos lados del poligono para obtener el ¡;. MEN equilátero.
(ME=EN=MN)
Luego se tiene: S+X+K= 14+K
:. X=9
Se sabe que:
@ Se tiene
-->n=40
:. x = 37
@ En un exágono equiángulo WALDIR
N
W
!. +e+e+e+e+!. = 7S"-+ e = IS"
8=360" -+IS" =360" -+n=24
n
n
Entonces: n-1S = 9
1
Dabo: "=19
-+n-2=38
Nos piden: x = n-3
m~EQO=m~OQN=m~NQA=
=m~AQR=e
Al prolongar ciertos lados, tal como
se muestra en el gráfico, se obtiene
el.1. RIN equilátero:
(RI=IN=RN=IS)
pan "n" equipos, si se sabe que (n-4)
equipos jugaron "Sn" partidos, hallar
el número total de partidos jugados
durante el campeonabo.
RESOLUCION:
Dato: 5n = (n-4)xn5n
=
~ (n-4)(n-3)
360"
2n' -8n-(n' -7n+12)
2
360"
Luego: - - = 18" -+ n = 20
n
® Hallar
la suma de las medidas de
los ángulos internos cóncavos de
IOn = n'-n-12
0=n-lln-12} (n-12)(n+l)=0
n
-12
luego:
n=12
nX 1
Nos piden: x =
una estrella regular. Si el ángulo intemo en las puntases 170".
RESOLUCiÓN:
Sea 0)(' la suma de las medidas de
los ángulos internos cóncavos de la
estrella.
12(~2-1)
:. x = 66
@
RESOLUCiÓN:
~=-n-
Donde:
(i, +i,+;'+ ... +i,) -+ suma de las medidas de los ángulos interiores convexos de la estrella.
(C1 +C,+C3+ ... +c,) -+ suma de las medidas de los ángulos interiores convexos de la estrella.
(a1 +a, +a3 +...+a,) -+ suma de las
medidas de los ángulos interiores del
polígono convexo.
Sea ")(' el número de diagonales del
pollgono convexo:
n(n-3)
x=-2
El ángulo interno convexo de una estrella regular es 160". Hallar el ángulo interno del poligono que da origen
a la estrella.
RESOLUCiÓN:
,--'"'.;::...•.~
a
a
•
\)
Entonces: x = ,C+C+~+ .... +C,= Cxn
-nWvecas
./
n
180"(n-2)
2
Se sabe: a =
Dato:
160" = 180" (n-4) -+ n = 36
Dato:
C, = 180"(n+2)
n
:.a= 170"
@ En un polígono regular, la medida de
un ángulo interno y su respectivo ángulo externo difieren en 151"12' el
número de lados del poligono es
RESOLUCiÓN:
Sea °n° el número de lados del pollgono.
Nos piden:
Por propiedad:
a+~ = 180" } ... (I)
C=C,=C,=C,=C,= ... =C,= 180"(n+2)
n
a,= 1980"
x=5
(~3)
En un pentágono equiángulo NIELS.
Calcular:
NS
x=--¡:g Si:NI=EL
RESOLUCiÓN:
Sea el gráfico:
En un polígono regular su ángulo interno es 165" al prolongar en ambos sentidos los lados del polígono
se fonna una estrella cuyo ángulo
en las puntas es x. Hallar x.
RESOLUCiÓN:
= 151"21'
De (1):
2~ = 28"48'
-+ P = 14"24'
Se sabe:
áANI "á ELO (A-L-A).
Esdecir(72"· .-72")
áASO -+ isósceles.
Entonces: AS = SO - 111111
Luego: 111111 _+a=b+_
Por lo tanto: a = b
360"
~=-
n
Luego: 14"24' = 360" ...... (11)
n
Se sabe: x = ....1...
80__"-,"(n-=-4'.-'-)
24
14"24' = 14"+r
J"= 74"
60
5
n
l:
Ahora en (11):
8
k "'1
:. x= 5
@!)
Observacl6n:
@
k"'1
Luego: 360"(n-l)+180"(n-2) = 1980"
n=5
-+n=72
Finalmente: x = 180"(72+2)
x = 13320"
a = 180" (3;~2)
,
~ i,+ ~ c,+ ~
k "'1
Dato: 170" = 180"(n-4)
Finalmente:
,
~
Luego: x = 180"(n+2)
n
a-~
,
Pero: C = 180" (n+2)
........__.----_....
7~"
=
3~0"
-+ n = 25
En un poligono regular de °n" lados
AVION ... las prolongaciones deAVy
NO se cortan en "RO. Hallar "n°. Si:
m~VRO=126".
R
RESOLUCiÓN:
1121;' ~
f\.
Enelt---'-VROI:
180-~=
= p+126"+p
-+~=18"
Se sabe:
Ir
~
~
o
Sepide:x=
Dato: 1 "
165" = 80 (n-4) -+ n = 24
n
Finalmente:
~
:. x= 1
x = 180" (24-4)
24
:. x= 150"
~ La suma de las medidas de los ángulos internos más la suma de las
medidas de los ángulos internos
cóncavos mas la suma de las medidas de los ángulos inlemos del poligono convexo que da origen a la estrella es 1980". Hallar cuántas diagonales tiene el pollgono convexo
8
Hallar el área de la región sombreada
A) 8" a'/36
C)4"a'/35
E)lhta'/30
B) 91t a'/64
D)7"a'/20
4A=~
a
~.
B......:::--_ _-,¡C
2
a'
A=e
a
3A=3[~'J=
'Rpta.A
: a'
I
@ Hallar el área de la región sombrea-
RESOLUCION:
A)6
da.
B)4
C)1t+2
0)1t-2
E)2
RESOLUCION:
a
A M- -"- --00 M
A
~
4
(a-x)
oe la figura: BC
= CP
=a
MA=CP=x
oelLilMOC
Por Pilágoras:
(a+x)' = a'+(a-x)'
(a+x)'-(a-x)' = a'
4ax=a'
B
P
2
En el LilAMO
Por el teorema de Pilágoras:
(a-R)2 = R2+[ ~
4x=a~x= -"4
a
3
r
Luego: a-x = a-
a2
a' -2aR+R' = R' + 3
4
-a'=2aR
As=
4
~
a= R
As=1t[:
ay
=1t::
x
91ta2
As =--¡¡¡-
@
, Rpta.B
iil
I
B)261t
C)321t
0)241t
E)2S1t
A
5
D
4
As = 21t-21t+4
As=4
RESOLUCION:
A = 1351< (R'+ ') = 1351< (64)
s
360
r
360
As = 241t
'.--R--p-ta-.-D---I
@ Hallar el área de la región sombrea-
mI
Hallar el área de la región sombreada.
®
Hallar el área de la región sombreada.
R
As= 1t(4'-2')+,,(3'-1')
As=1t(12)+1t(S)
As=201t
R
~
R
1@
'Rpta.
el
@
Calcular el área de la región sombreada.
A) 4"
B)5"
C)6"
O) S"
E)3"
RESOLUCION:
En el Ll.ABC: Por Pilágoras:
R'+r'= 64
............ (1)
135°1tr' 135°1tr'
As = 36iJ + 36iJ
A)3a'/S
B)a'/2
C)2a'/5
a
a
0)3a'/7
E)4a'/7
RESOLUCION: '--_ _ _---.J
'Rpta.BI
, Rpta. B I
A)"R'/2
B)"R'/3
C)1t R'/4
0)21tR2/3
E)" R'/5
RESOLUCION:
A-8-C
da.
3
=e a'
1t(2)'
As = -2- - (21t4)
8
C
4
2
=4 a
A) 16"
B)1S"
C)20"
0)22"
E) 24"
RESOLUCION: '--_----''--_-J
(2) en (1):
B
..
{tr [*I*J
1t(S) 16
x=-4--""4=21t4 .... (2)
Hallar el área de la región sombreadasiAC=S.
A) 30 1t
8
As= O-x
.... (1)
x=9-V
[faJa
4
8
2
As=2~
0
"R'
60
As= 2x 3600
"R'
, Rpta. B I
As=-
3
I[lJI
1
1
Hallar el área de la región sombreada.
A)2a'/3
B)3a'/S
C)2a'/5
0)3a'/7
E)a2 /2
RESOLUCION:
a
a
As= 51t
~
'Rpta. B I
Hallar el área de la región sombreada
i¡i
0)1
~
~
E) 2
1 - - - 4 ----1
RESOLUCION: '--_ _ _ _J
-ª-R2=L2~~R=1
Porlraslación de regiones:
4
~ As=4~)=4
As=D-o
~ I Rpta. A )
As= : R2-
1--_ 4
~ Hall~r el área de la región sombreadasIAB=4.
A)41t
~ {fs]'
4
"R2
As=-R2--1t
5
10
A
B
As=
B)31t
C)21t
0)51t
E)61t
RESOLUCiÓN:
A
@
Vs
@
~~
I Rpta. D )
(8-1t)
0
1+--3 _ _
Calcular el área de la región sombreada.
2
A)a 2(6v'3-21t)/6
B)a (4v'3-3)/4
C) a2(9v'3-41t)/6
0)a2(5v'3-31t)/3
E) a 2(9v'3-31t)/2
RESOLUCiÓN:
Sabemos que el ángulo inlerior de
un polrgono regularse calcula.
m~
.
1=
I.......J....--_ _
As=D-Q
As= a2 -2
180(n-2)
n
4
As=
@
As = 2
As=®-2~
~
f
2
As=6 a
As = 2 (2Rr) = 1tRr
I Rpta.A
)
Hallar el área de la región sombreada
o
Calcular el área de la región sombreada.
-2 [1t;2J
a
9a2y'3-41ta2
6
a2
As = 6 (9y'3-41t)
I Rpta. C )
2
6S = a y'3
4
2
12S = 2a y'3
4
2
12S = a y'3
Ea
@ Calcular el área de la región somB) R2(4-1t)/4
O) R2(8-1t)/10
IRpta. C)
3a 2y'3
21ta2
AS=-6---3As=
A)R2(6-1t)/10
C) R2(6-1t)/8
E) R2(8-1t)/6
RESOLUCiÓN:
(4..,,)
A)a 2Vs/2
B)a v'3
C)a2y'3/4
0)a2v'3/3
E)a2v'3/2
RESOLUCiÓN:
Sabemos que el ángulo inlerior de un
a
1t
Pero: Rr= 4
Luego: As = 41t
~
2
[(R2+2r+r2-R2-r2]
2J2]
a
As= a 2 - 7 t -
As=V-'C}-CJ
1t
[[1t~
2
3
As = 1t(R+r)2 _ "R2 + 1tr2
2
2
2
1t
As = 2 [(R+r)2 _R2 -r2]
i
l
3
para un exágono: n = 6
180(6-2)
m~ i=
6
= 120·
En el.¿l OCO'
Por Pitágoras:
(R+r)2 = (R-r)2 +42
(R+r)2-(R-r) = 16
4Rr= 16
Rr=4 ........... (1)
0
Calcular el área de la región soma
breada.
2
A)a 2(6-1t)/3
B) a (4-1t)/2
C)a2(4-1t)/4
a
0)a2(1t-2)/3
E) a2(5-1t)/2
RESOLUCiÓN:
Sabemos que el ángulo inlerior de un
polígono regular se calcula.
3
breada:
2
A)a 2(6-1t)/6
B) a (4-1t)/3
C)a2(6-1t)/4
3
0)a2(6-1t)/3
E) a 2(4-1t)/2
RESOLUCiÓN: '--_ _ _---J
2
T
~V3
2
EnelAONM
Por Pitágoras:
R2= L2+t;J
L...--..J--=-'-'
I-~--l
As=
D-\7
1
2
60°1ta2
As=a2 - - 360·
1ta2
2
As=a - As =
a2
6
6
(6-1t)
I Rpta. B )
@
Hallar el área sombreada siendo "O·
B
el baricenlro.
Además S'ABe = 66u 2
A)22u 2
B)33u 2
C)44u 2
0)55u 2
E)Nosepuede A
e
RESOLUCiÓN:
B
OP=2(ON)~NP=S
A
360'
A",mb = &-Sv3-37t
__ • A",mb = 5'It-Sv3
Poseer -O· (baricentro); trazamos
las medianas de los lados respectivos:
As= A'ABC
6
SS
As=As= 11
S
__ • A",mb. = 11 x4 = 44u 2 1 Rpta. C I
@
@ En la siguiente figura ABCD es un
cuadrado de lado 6m. El área de la
región sombreada es:
C)2(10-8Y2-9~)
= ~(2)2 -2 ~(1 )2 _(1)2
4
o
A
:~:
Pero: A",mb T.... = 2 [ ; -IJ
=
@ Hallareláreasombreada_
B)(8Va-4) m2
C)8Vam2
D)4Y2m2
E)20m 2
A",mb = 2 S2 _~(3X2)2J _ 4(S-3v2)2
2
2
1
E-I
8
áBMN-áABC ~ -YSr
YS; = BM
BC .... (1)
áMQC-áABC ~ -YSr
vs. =MC
BC .... (11)
(1) + (11):
YS; + vs.=-YSr
Al cuadrado:
ST=(YS;+YS:z)2
ST= (-..f4+Y9)2= (2+3)2
~ ST=25
S=ST.S,.S2
S=25.(4+9)=12u2
~:28
T
B)30
C)26
15
1
AN8=J
C) (4~-3v'3)m2
D) (5~-6v'3)m2
8
E)(6~-5v'3)m2
o
B
T
2;13
t
N P"----,:+---,,x p
60'
0'-"'-------' B
A",mb=AVAOP-(A CANM)+A !l,PNO)
1:>.. ONPes notable (30'y60')
2
(11)
2
ACBD = A I;::".CPD -A I;::".BPD
_ 4x4v3 4x4v3
L -_ _---I
f--
13 ----1
Se ·'trasladan"
los pedazos de
segmentos
15
15 hacia los lados
AByBC.
Por tanto:
01--13 --1 e
Perfmetro = AB+BC+DC+AC
Perímetro=2xI5+2xI3,...-_ _
Perimetro = 56
1 Rpta. D I
I
A",mb. = AHBE + A. CBO ........ (1)
AP = 4; PB = 4 en ell;::".APB isósceles
En el I;::".APE: PE = 3
En el 1;::". CPD: PC = 4v3
4x4 4x3
AABE=--- = 2m 2
1
I ------- I
Rpta.D
1---8m---l
A'ABE=A6PB-A~E ........
I
RESOLUCION:
AI--13 --1 B
Calcular el área de la sl!l1erficie sombreada.ON=NA=2y'3m
1
Determinar el parámetro de la figu-
D)56
E)32
I
~~_.lp""':~.3 O
A",mb. = 213S~-9~j-2(3S-3SV2+18)
Aoomb. = 72-1 &-72+72V2-36
A""mb. = 72V2-36-18~ rl":R:::Pta-.
S'ABC = S, ....... (1)
2;13
~
B .;,.
A.omb.= 2 IO-Oj-4I;::".PMB
,=-f-2--_..3. e
RESOLUCION:
A
e
~~---'p~-3. o
RESOLUCION:
1---8m---l
Usamos los triángulos notables de
30',60'y53'ytendremos:
. L
A",mb. = 2 [36~ - 9;2J-2(S-3V2)2
A)(2~-v'3)m2
B) (3~-v'3)m2
(~-2) m2 '"'1Rp=--ta-_c"""'1
A.omb. = ¡z'l + ~ -4 1;::". PBM
e
B
~
4
Asomb = 1t-~-1 = ~-1
2
2
A)(8 Va-6) m2
D)2(5-18Y2-9~)
E) 18(4-2Y2-'1t)
RESOLUCION:
B
RESOLUCION: A
B~C
A) 2(5-1 SV2-'1t)
B)2(10-9Y2-97t)
Encontrar el área ·S·. Si: S 1 = 4u 2
S2=9u 2; MNIIAC; MQIIAB.
A)8u 2
B)25u 2
C)42u 2
D) 12u2
E)64u 2
I Rpta. D I
= AaectDr FMN -2Aaector MPA -AFPAQ
=~-2~-(1)2
4
4
2V3x6 ~(2V3'f
--2 - 4
- nSO'(4V3)
oomb-
AlOmb
1
2
2
16v3-16
2
A",mb. = 8v3-8+2
= (8v3-6)m2
® Hallar el área sombreada, si el radio =
'12.
A)~m2
B)2~m2
C)2v3m2
D) (2-v'3-3) m2
E)(2v3-'1t)m 2
RESOLUCION:
Calculareláreasombreada.
A)(~+2)m2
B)(2~+I)m2
~
C)(~-2)m2
D)(~+3)14 m2
E)(~-15) m2
1--- 4m----;
RESOLUCION:
M
Trazando los_
radios QA y PA
En el sector
FMN:
~
pi
r--
F
~
N
1-2m-+-2m-l
1---4m----;
[]
~
Reemplazando:
:. S(x)=(2Y3-7t)m 2
@
Enlafigura:BF=ED;ABCD=30m 2.
ABCF = 5m 2. El área sombreada es:
A)20m2
e
~~~~~~
B~
A
RESOLUCiÓN:
A=A; portenerigual base (BF = ED)
e igual altura; sus triángulos respectivos.
8
I Rpta. A I
&
Encontrar el área sombreada. Si el
ABC es equilátero de lado "L".
A) L2(lt+2)14
1
E)N8
D
e
RESOLUCiÓN:
Considerando que el desplazamiento del triángulo es paralelo a
los lados del rectángulo se tendrá la
posición final de la forma:
'1
.~¡
e
D
2
:. A",mb =
(aJL~U2)
e
A
RESOLUCiÓN:
R/B~
I
60"
xix
~
!
2
t
=
~
L~
@ ¿En qué porcentaje difieren el área
sombreada del área del círculo?
A) 33,33%
B)66,6%
C)75%
D)50%
E)25%
RESOLUCiÓN:
A(PQRT)
-2- .........
De (l)y(II): S =A+B+C+D = 15
.". S = 15 u2
~
,f"""Rp-ta.-D-'1
Si: r = 2 m. Calcular el área de la región sombreada.
A)4m 2
B)8m 2
C)4V2m2
D)2V2m2
E)8V2m 2
RESOLUCiÓN:
Observamos que:
B
OA=OB=ON=
=2V2+2
~ PA=2V2
1:':". MPQ-I:':".BOQ
P
Q
~QA=2V2-...;2
=V2
A
A",mb. = 2xA.MOA = 2xl/2(QAxMP)
A",mb. = (...;2)(2) = 2V2 m2 Rpta. D
I
g ; J Be
A)96m2
B)105m 2
C)108m2
D)216m2
i
i
;
E)F.D.
A
RESOLUCiÓN:
, __....,.",......._ _,C
"
R=~V3
ltL2
L2V3
~A(x)=m-~
2ltR2
A",mb.=ltR2_=ltR2(1-2/3)
3
A",mb. = ltR2 (1/3)
Luego:
Si: ltR2 -100%
nR2
"......
A ..
mb=6[~~ - L~~J
A ..mb. = 6
~
(2lt-3V3)
I Rpta. C I
rg:r
Si el área es 24 u 2. Hallar el área de
~ la parte sombreada.
A) 1 u2
B
B)2 u2
C)3u 2
D)4u 2
E)5u 2
A=----;l!M~-....:..C
B
'
@ Hallar"S·,siA+B+C+D=15.
Q!........._""R
B)7,5u 2
C)8u 2
D) 15 u2
E)22u 2
l!JN
moes 12 m yBM = MN = NC. El área
B
M N
e
sombreada es.
2
A)5m 2
B)4m
C)4,5m2
o
D)6m2
E)5,5m2
A
E
F
,
T
!h
;
;
f::....----'-~..L.~"Ji
A
E
F
D
A..aCD= 3ah = 12~ah =4(1)
Además:
Aaomb. =AAMNO-AAOD
I Rpta.B I
D
RESOLUCiÓN:
Se sabe que:
SApoN = SApNM =
A=-~~-~C
M
Entonces: 3S = 6
:.S=2u 2
I Rpta. C I
@ En la figura 2si el área del paralelogra-
I Rpta. B I
RESOLUCiÓN:
RESOLUCiÓN:
-2-
216
A",mb. = -2- = 108 m2
Difieren en: 100-33,3 = 66,6%
A) 5 u2
Haciendo
los trazos
respectivos:
SABeD
Aaomb.=
---x~x=333%
3
D'.111
SABeD = 18x12
SABeD = 216
A ..mb. = A.-2A.
Entonces:
A",mb. = 6A(x)
I
@ Hallar
A(x) = ltR2.60· _ R2Y3 .... (1)
360·
4
Pero:
3
(1)
el área sombreada, siendo
ASCD un paralelogramo de altura 12
myAD=18m.
e
A
Luego:X+S+Y=
o
I Rpta. El
D)(L Y3+lt)2
E) L";-7t
e
BC If B'C'1f PQ = B'C' = ~
B
B)L2(lt-Y3)13
C) L2(2lt-3Y3)16
A(pQRT]
AzD+2®=-2-
a
D)N7
Al!. BFe =AIJ.DEC
Además:
Asomb. = AABco- 2AAsCF
A",mb. = 30-2(5) = 20 m2
Sabemos que:
ts:JT
B)N5
C)N6
.... - - - ...... D
F
D)10m 2
E)8m 2
Si el triángulo sombreado se desplaza hasta que "M' ocupe el centro
del rectángulo de área "A". El área
del triángulo que queda será:
A)N4
Al--- L ----1 B
A ..mb = (a+3a) h _ AABCD
.
2
2
A""mb. = 2ah-1214
A""mb. = 2(4}-3 = 5 m2
@
I Rpta.A 1
@
En la figura hallar el área de la parte
rayada; siA(-2; -2); B(2; 4) Y C(5; -2)
~B
2
Si el lado del cuadrado mide 2m 2•
hallar el área sombreada.
A)7u
B) 14 u2
C)28u 2
D)21 u2
A) ,,+2
B~C
B)(,,+2)14
E
C),,-2
o
D)2(,,+2)
E) 4(,,-2)
A
D
RESOLUCION:
Uamemos"x" el área incógnita:
A(x)=A""""AEO-A....me"toAM ..... (1)
Además:
_ 45',,(2)2
"
A ..oto,AEO- 360'
""2 ........ (11)
B
~
e
1 M
o
..••.•
x
A
45.
Para el segmento
circular AM.
OAM = 45' Y
OA=OM
i
:Jk
•
........... e
• '. A.omb. =
D
AaegmentoÁM = AaectorAOM -
AtrlánguloAOM
,,(1)2 (1)2
AsegmelllU
~AM- = - - _ 4
2 ........ (111)
~ -[~ - ~J=
I Rpta. B 1
@ ¿Qué % del área representa la suma
de las áreas sombreadas?
~
30
A)
B)40
C)50
D)60
E)80
RESOLUCION:
Considerando que los cuadrados
sean de lado "L" entonces:
Ato", = 15L2; A",mb. = 9L2
9L2
A_,= 15L2 x100%
:. AtoIB,=60%
I Rpta. DI
Asomb.=
2
h(1+3+5+ ...........+(2n-1)
2
I Rpta. e 1
A""mb. = 4n 2
@
D
Hallar "x" en:
V2]
\
l \ \.
Por ser "O' baricentro del a ABC;
se cumple OAC =
30'.
Entonces como
AM=2V3
1xh+3xh+5xh+ .... +(2n-1 )h
Asomb.=
t i:1H"Gi/] f IJ
A.omb. =Ae-A €l ........ (I)
_ 30'"a 2 + 160·"a2 _ a 2
A",mb. - 360' 21: 360'
2
2
2
"a
"a2 a y'3
A~mb. = """12 + 3
-- 2 5"a2
e
A
1
T
~:::..!L.ll
5
A2v'3M
e
=:.OM=2yOA=4
Además: OA= OB = 4
4+x=5
=:.x= 1
:. A.="(1)2=,,m 2
B=:-il
r lR=-p-:-ta--:.
e
4~3
.¿) t·
1
a
breada. Si el triángulo ABC es equilátero y los 3 arcos son iguales.
2
I/~
A)7tl2m
~
_ 28
somb'-2
14u2
h=8
D)n 2 +1
E) 2n 2 -1
_':;1_.L.J.-3...-'-S-y-->.-{;.;2:-n.l':1)RESOLUCION:
1xh 3xh 5xh
(2n-1)h
Aoomb.= 2 + 2 + 2 + " ' + - 2 -
1
@ Calcular el área de la región som-
~0.
A
,,:2
/
B)(n+1)n
C)4n 2
Air-:::::::¡;;::::::....,¡B
B=--I
D)3"m 2
E)4"m 2
RESOLUCION:
@ Hallar el área de la parte sombreada,
siendo la altura igual a 8.
A)2n(n-1)
T
somb'-2-2
X
I Rpta. D 1
RESOLUCION:
r lR=-p"""ta--:.
~~;:~2
:~mb:~:~~X2
Encontrareláreasombreada.
2
A)a 2(2"-V3)14
~
B) a (2,,-2V3)13
C)a2(5,,-6V3)112
D)a2(V3-,,)l4
E) a 2(3V3+,,)l5
(11) Y (111) en (1):
A(x)=
x
E) Imprecisable
RESOLUCION:
@
(1)+(11)+(111):
VS = Ys; + vs.+.ys,
VS = V9+Y1fW'11
VS=3+4+1 =8
:. S=64u 2
I
RESOLUCION:
a 2y'3
A~mb. = ~ - - 2 -
2
:. Aoomb. = a [
@
5,,~s;a J
I Rpta.
e1
Hallar el área del hexágono ABC
DEF. Si: AMlQC = 9u 2;A"'PF = 1u;
AmET= 16u2
BCIIPT; EDIIPQ;AFIIQT
A) 16u2
B)49u 2
C)81 u2
D)64u 2
E)25u 2
6
p
F
E
T
RESOLUCION:
Trazamos BE Y AD; además el diámetro XX'.
Q
aBQC-aQPT
Ys; _Ys; .... (1)
VS
VS
aEDT-aPQT
~~~~~ ..¡s:, _ ED
P
F
TVS
E
PQ
VS
PQ
... (111); pero ED = AB
e1
@ ¿QuévalorpuedetomareIPNen:
fu
2
39
29
... (11)
MPF-aPQT
..¡s:, _ AP
I
Según el gráfico:
9+x=30'
Entonces: 2x+29 = 60'
Se forma el aDRO equilátero:
DR=RO=DO=Luego: aRIO = aION (L_L_L)
Esdecir:(e---e)
Por lo tanto: 29 = x
pero: 9+x = 30' -+ x = 20' I Rpta.
9
P
A)4,1
B)4
D)3.8
RESOLUCION:
EnelaPJN:
Se traza la ceviana JM
•
N
C)2,2
E)3
J
QL.ll"-'--....:.::J~p~........:~..
Talquem ~ PJM=29y
m~ MJN=9.
Luego en el A QJM es isoángulo lo
cual: QJ=JM=2
Luego el A DRN es isósceles DN =
DR= . El A DRAes equilátero.
(DR=RA=DA=.-j
Además A MAN es equilátero donde
AR es mediatriz del NM. Luego el
ROM es isósceles RO = MO = •
yademásADQR= DPA(A-L-A) El A
DQP es equilátero:
DQ = QP = DP = • y DE es mediatrizdelQP.
Finalmente: AARO "A FAP (L-A-L)
Por lo tanto: x = 30·
Q
.-..-t;Y1I....
Análogamente en el AJMN:
JM=MN=2
Además JP = PM = a, en el A PJM
isósceles.
J
n
EneIAQJP:
~ 29 < 49 (propiedad)
a<2 ......... (I)
EnelAJPM
~ 2 < 2a (propiedad)
1 <a ......... (II)
Q
2
a
29
49
o
RESOLUCiÓN:
Luego se tiene: A REC = A DPR (LA-L). Es decir (--54·- .).
Entonces: m ~ RCE = 30·
o". x=6°
~p
De(l)y(III):1<a<2.
a 2
Entonces: a = 1,ALGO.
29
Luego "a" puede valer a = 1,8 P a M
Según el gráfico: PN = a+2
Reemplazando: PN = 3,8.. -_ _~
@ Hallar"x" en:
@ En la figura mostrada, calcular "9"
EneIAMAR:x=3
LuegoenelAMO:
3x+9= 180·
Reemplazando: 3x+ -"- = 180·
3
I Rpta.D I
@ Si:UN=lyCP=2
@ Calcular"x"en:
Hallar"x". e
RESOLUCiÓN:
R
u
RESOLUCiÓN:
x=54·
~
p
RESOLUCiÓN:
e
E
D
En el A DRO: se traza RM a fin de
obtener el A MRO isósceles RM =
MO = . . Luego se tiene el A MQR
equilátero QR = QM = MR = •
Finalmente en el QMO isósceles se
tiene 29 = 20· ~9= 10·.
B
En el ADRO: DR = 2xPN y DR 11 PN
(Teorema de los puntos medios).
Luego en el A PAN: PN = 2RM (Corolario de los puntos medios) y en el
A DAP: DP 11 CR (Teorema de los
puntos medios).
Entonces m ~RBP= m ~DPE=x.
Finalmente en el i;:".DEP:x=31·
8
En la figura, calcular"x":
RESOLUCiÓN:
A
U
Se tiene el A POC isósceles OC = CP
= 2. Luego en el A UCO isósceles OU
=UC=.
Se traza la mediana UM (OM = MC =
1). Entonces UM J..OC. Luego se tiene: AMUC"ANUC(L-A-L)
Entonces: m ~ UNC = 90·. Asimismo
en elACUI (CN = NI) propiedad.
Además en el A UNI: 9+49 = 90· ~
9= 18·. LuegoeneIAANI:x=3S·
@ En la figura mostrada, calcular "x".
@ Calcular"x"en:
fu
RESOLUCiÓN:
I
RESOLUCiÓN:
A DRO es isósceles (DR = RO = - )
En el A DRE se tiene que a mayor
lado se opone mayor ángulo. Entonces ->b~-=a+b(a=algo
en longitud).
B
Se construye el A BAO equilátero BA
=AO=BO= - ,Iuegosetiene:
ABAN "AAMO (L-A-L).
DondeAM = MO = •.
R
@
®
Se tiene: A ENO "ADRO (A-L-A)
Entonces NO = RO = _
Análogamente A DON" A RIO (A-LA). Donde se cumple DO = 10 =.
Finalmente se tiene que:
ARIO"ADIR(A-L-A)
Esdecir(p-IR-2x)
Entonces DI =.
RESOLUCiÓN:
Luego se tiene el A DIO equilátero
Donde: x = 10·
D
EneIADRO:P=x y
DA=AR= _(propiedadespeciai)
Luego en dicho triángulo:
4x+P= 180·
Reemplazando: 4x+x = 180·
x=36·
Del gráfico. Hallar"x"
~
a
4a
RESOLUCiÓN:
RESOLUCiÓN:
o
4x
N
R
EIADENesisóscelesED=DN= Análogamente el A MRO isósceles
OM = MR = e y A DOM isósceles
DO=OM= e
Luego: A DON" A ARO (A-L-A). Es
decir (5x- _ -4x).
Entonces: DO = AR = e . Finalmente
en el AOMRA
m~OAR= 120·-x
Luego en el A ORA:
4x+5x+120·-x= 180·
RESOLUCiÓN:
D
A
o
E
@~'A
a
Calcular ·x" en:
R
A
x=7.5°
En el A DOAisósceles:
(DO = OA= _ ) se traza OH mediana DH= HA=3a.
Además se tiene que:
A DUO "AANO (L-A-L)
Entonces UO = ON =
Luego en el
A UON isósceles OH es mediana por
lo tanto OH --'- UN. Además el A DON
esisóscelesDO=5a. ~o
e.
5.
Aislando el I:o.DHO
.". x=53·
@
D
x 3.
H
8
Según el gráfico: 2x+0 = 45·. Entonces: 4x+20 = 90·
Luego: m ~ MAO = 20+x. Además
se notaque:AMAR"APAN (L-A-L)
Es decir ( _ -3x+20- e) Entonces:
2x+0 --+ x = O, pero: 2x+0 = 45·
."_ 15·
@ Del gráfico calcular·x"
Hallar·x"en:
RESOLUCiÓN:
A
RESOLUCiÓN: R
P ""-ll"--''''--+-'t~''''O
Según el gráfico:
A MIO "A MAR (L-A-L)
Es decir: (e-p-e)
Entonces RM = MO = _ . Luego en
el A PMR isósceles:
m~ RPM=m ~MRP=O
Finalmente en el A PAM:
20+20+0 = 180·
." _ 0=36·
@9) Hallar·x" en:
En la figura mostrada calcular "x".
Se construye el A POR isósceles
PO = OR = - con la finalidad de obtener: A PON "A DRO (L-A-L)
Entonces: O= 4x
Luego en el A NOR:
1Ox+20 = 180· --+x= 10·
@ En la figura mostrada calcular "x":
A DRO es isósceles DR = RO. Por
lo tanto RH --'- DO.
Luego en el 1:0. RHO se traza HM
mediana relativa a la hipotenusa
donde HM = MO = RM = 2n. Además se observa que: HM 11 DR.
Entonces m ~ DAH = m ~ AHM = O.
Luego: A ARE" A MEH (A-L-A) es
decir(O-e-p).
Entonces HM = RA = 2n. Luego el
A MAR es isósceles donde:
RESOLUCiÓN:
B
m~RMA=90·-x.
En eII:o.HPA: 2x+0 = 90· Y en A HEM
se tiene m ~ HEM = 90·
Por lo anterior. Entonces por mediatriz de un segmento O= x.
Como:
2x+0 = 90· --+ x = 90·
R
Se forma el A MAR isósceles
MA=AR='
Luego el AABC es equilátero
AB=BC=AC=-.(-=2e).
RESOLUCION:
Sea el gráfico:
Además se tiene el!!. MBC isósceles
donde: MC= BC=_
Luego se observa:
!!.AMB ",!!.ARC (L-A-L).
Por lo tanto p = 20·, finalmente en el
!!. MRC aplicamos el teorema de los
puntos medios: x = 40·+p
:. x=60·
8
En el!!.PNR isósceles (PN = NR =-)
se traza NH altura relativa aliado desigual, para obtener (PH = HR = a) y
además se tiene que: • = 2a, luego
en el!!. PND se traza NIJe DP donde
se tiene (PH = IN = a). Para asl obtenerell:>..DINnotablem ~ IDN=30·,
luego se tiene que: 1:>.. DAN", 1:>.. POR
(A-L-A).
Entonces (AN = RO = b). Además se
tiene que: 1:>.. NAR '" 1:>.. NOR (4to. caso de congruencia). Donde 2x = 8. Finalmente en el 1:>.. DPR: 2x+8 = 60·
Luego: 4x = 60·
x= 15·
B
Enlafiguracalcular"x".
A~~~~~--(Il~~~e
R
@
I
I
Enell:>..ABCsetrazaBRtalque:
(AR= RC= n)ycomotal se tiene:
RESOLUCION:
m~BRC=90·
(propiedad de!!. isósceles).
Luego en el 1:>.. AQC: QR = n (propiedad). Además se observa que el
1:>.. BQR es notable de 26,5·, luego
por simple inspección:
2x = 26,5· -+ x = 13·15'
Af-r-::--'lr-t:o
U
I
P
8
En el O UNCP: CP = 2xUN (propiedad especial)
Luego si UN = n. Entonces CP = 2n.
Además se observa que:
!!.CIP",!!.MAC(A-L-A)
Es decir (90·- • - x) Entonces se tiene MC = CP = 2n,Iuego en el!!. UMC
isósceles.
2x=30·-+x=15·
Calcular"x"en:
~
I
•
le
OxE
lorentero que puede tomar NI.
RESOLUCION:
o
En el!!. MAR: 4x+8 = 90·. Luego se
prolonga RM hasta N tal que el !!.
MAN sea isósceles (AM =AN = • =
2a)yasf obtener el !!. RAN isósceles
(AR=NR=_)
Además en dicho triángulo se traza
la altura RP donde se tiene que:
(NP=PA=a).
Luego se observa que:
1:>.. PAR", I:>..ARO (A-L-A)
Es decir (x- _
-3x+8). Entonces
(PA=OR=a).
Finalmente ell:>..BORes notable:
3x=30·-+x=10·
M
En el!!. UNI, se trazan las cevianas
NQ y NM, tal que:
m~JNM=m ~QNU=28ym~QNM
=8.
Los triángulos MNI, MNQ YQUN son
isoángulos, donde se cumple que:
MN = NI =x, MQ= QN =ayQU = UN
= 6, respectivamente.
N
Enel!!.QUN:
x a
M
ea
Q
~
Se tiene que: 1:>.. ABC '" I:>..CDE (L-AL)esdecir(. - 8 - - )
Entonces (AB = DE = 16)
Luego en el 1:>.. DOE notable de 30· y
60· se tiene: x = 8.
® Si:Hallar"x".
ADEF y ACMN son cuadrados.
B
Calcular"x"en:
N
Luego:a<12
2a<24 ..... (II)
De(l)y(lI)sumando(m.a.m) a 6
2e
x+2a < 2a+24
x<24>x_=23
Q
6 U
8
Af----I---II_.......,...,~ e
RESOLUCION:
A
=4m~UIN.
,4
fJ
Se tiene un triángulo rectánguloABC
recto en B, se ubican los puntos E y D
exterior y relativo a la hipotenusa; de
tal forma que los triángulos AEC,
BCD resulten equiláteros, hallar la
distancia de Ea BDsiAB = 16
RESOLUCION:
Sea el gráfico:
B
® NUI
En el triángulo UNI, si UN = 6 Y m ~
Hallar el máximo va-
Enel!!.MQN:
=o>x<2a ......... (1)
@
Se tiene el triángulo ABC, se ubica el
punto "Q" exterior relativo aliado AB
tal que: m ~AQC = 90· Y m ~ BQC =
m ~ QAC. Calcular m ~ QCA. Si además;AB=BCyQB=AC.
RESOLUCION:
D
..:::ll:~~--<!~lt::~R
1---+-----1
NII!<---"M
RESOLUCION:
D ADEF: se traZlija diagonal AE,
que corta en "O" a DF. Entonces AO =
OEym ~AED=45·
!!.AEC: OP es base media porqueAO
= OE Y OPI/EC, entoncesAP = PC
TambiéncomoACI/NM
=O> m ~ DPC = m ~ QRM = 45+x
G
@ SiABCD es un trapecio.
@ Del gráfico. Calcular "x"
~
CalcularBH
l?\
RESOLUCION:
B
A_1D_D
RESOLUCION:
/!" DCP Isósceles
(m iDPC=m iPDC=45+x)
""PC=DC=a
Finalmente se prolonga AD hasta
"G", de tal manera que m iAGC = x;
Luego /!"ACG es isósceles
""AC=GC=2a
GC
.'. ¡;", DCG notable (DC = 2 )
I x=~ ..... RPta·1
~
Calcular "x", si ABLM y BFGC son
cuadrados.
M
~--~L
/!" PMB Isósceles (PM = BM)
"" m i BPM=m ~ PBM=6
/!" BMQ Isósceles (BM = MQ)
"" m ~ BQM=m ~ QBM=a
LUeg<l se trazan PD y QE -1- s al ladoAC.
__
Entonces se observan que AP y CQ
son bisectrices, luego por el teorema
de la bisectriz:
PR=PD=3 y QE=QS=5
Finalmente o, DPQE: "MH" es mediana.
5+3
x=--
'!::==1c10i==:::O
Se prolonga CB hasta un punto "E"
de tal manera que EAII CD. Entonces o, AECD es un paralelogramo
/!" EAB Isósceles
(m iAEB = m iABE = 90·-6) en dicho triángulo se traza AM altura"
que también será mediana y bisectriz. Entonces:
EM= MBym iEAM= mi BAM=6.
Luego se observa que por el T.
bisectriz: MB = BH = x, y como EC =
AD ",,2x+4 = 10.
2
I :. x=4 ...... RPta·1
~
Si:AB=BCyAC=AD.Calcular"x".
~
1:. X=3 ..... RPta·1
@ En la figura mostrada. Si:AB = BC =
~
CD. Hallar "x". B
G
~c
F
RESOLUCION:
M
A
O
RESOLUCION:
A~
o
LL----..!..IIIal
A
O
Se construye el /!"AED "/!,,ABC
"" AE=ED=AB=BC y
m~EAD=m~EDA=
m~BAC=m~BCA=x
G
F
Se trazan BR y BH -1- s a QL y AF
respectivamente. Luego se observa
que ¡;", BRL" ¡;"'BHA(ALA)
"" BR=BH=a
D QRBH es un cuadrado
"" QR=RB=BH=QH=a
A continuación se traza GP -1- AF,
observándose que ¡;"'BHF" ¡;"'GPF
(ALA)
"" BH=PF=a y
HF=GP=a+b
Finalmente ¡;", GPQ es Isósceles
(GP=QP=a+b)
I :. x=45· ...... Rpta. I
SetrazaAE = CE
"" OABCE: T. Simétrico
.'. BE -1-AC y m iABE =
miEBC=54·
/!"ABE Isósceles
(miBAE=m i EBC=54·):setraza EM altura, que también viene a
ser median~ bisectriz.
Entonces:AM = BM = a
/!"AME "/!,, EHC (ALA)
"" AM=CH=a
_
DC
/!" DHC notable (CH = 2)
"" AM=CH=a
m CDA=30·y
m ACD=12·
Finalmente se observa:
I x=48·1
AABDE:
m ~ABD = 120·-x (propiedad)
/!"ABC:
x+120·-x+3x+x= 180·
4x=60·
I :. x= 15· ..... RPta·1
@ HallarRM,si:DC=6
B
A
M
e
RESOLUCION:
Se prolonga RM hasta 'P" tal que:
RM=MP
Luego c:J ARCP es un paralelogramo, entoncesAD 11 PC.
.-----..
® Calcular "K".
~ AO=OC
AAIC: OM base media
~
OM=j\L
2
Reemplazando:
I OM = 3... ... Rpta·1
@l) Si:AD=2AB=2BE.Hallar"K"
Finalmente se obseva que O PRDC
es un trapecio isósceles.
~ 2x=6
B
E
RESOLUCiÓN:
e
H
B .---::-. ......,::--.
;
Calcular "K", sabiendo que ABCD es
un cuadrado.
~:""----..ILlD
D
2;2
. -
RESOLUCiÓN:
x
2a I
--_:..1E
A a
e
B
2a
;
;
x! x
1:. x=3... ... RPta·1
8
e
;
;
A BAC se trazaAH.1.BC.
Luego,BH=HC=a y
x
m ~BAH=m ~CAH=2
A-....'f-~D
2a
E
RESOLUCiÓN:
B_----7"'i. c
A continuación se traza AE J.. a la prolongación de CD.
~ D AHCE es un rectángulo
:.HC=AE=a
~ AED notable (AD = 2AE)
D
Se traza CH --.l AD, luego en el A
ACD sabemos por propiedad que
m~CAD=30·.
AABE Isósceles (AB = BE)
~ m ~ BAE=m ~ BEA= 45·
Finalmente:
m ~ BAD=90·
=> 45°+x+30° =90°
1:. x=15· ..... Rpta.I
1:. x=30· ..... RPta·1
~
En la figura, calcular PH; sabiendo
que:AM=lyNC=5.
Además:AP=PC
B
@ Si se cumple que: RO+MA= RA.
Calcular"x".
0r-:::-___
Se trazaJ".diagonalAC ~AO = OC
AACE: OM es base media
~ OMIIAE Y m~CAE=9º"A FAE es isósceles porque AN es al·
tura y bisectriz, luego también será
mediana.
~ FN=NE
A CEF: MN base media ~ MN 11 FC
A~M~--~P~N~--~~C
RESOLUCiÓN:
B
R""""----=...JCI A
RESOLUCiÓN:
1:. x=45· ..... RPta·1
~
Hallar OM, siABCD es un rectángulo
de centro ·0".
B
¡
1
D
RESOLUCiÓN:
B
¡
6Y2
1A
~AP=PC=BP
e
6Y2
A
Como ~ABCrectángulo:
e
¡
6Y2
1
D
Se observa que AB = CD = 6 Y2 y
que el AAIB rectángulo isósceles
~ AI=BI=6
Luego se traza la diagonal AC que
pasa por el centro ·0".
a+b
Se construya el triángulo REAequilátero
~ RE=EA=RA=a+b
Luego se prolonga AO que corta en
"F" aliado RE, observándose que:
m~RFO=m~ROF=80·
Entonces A FRO isósceles y FR =
OR=a
AARF "AREM (L.A.L.)
~ m~RAF=m~ERM=40·
ARFI:
x = 40·+80· ( ~ exterior)
I :. x= 120· ..... RPta·1
Ahora comoAP = BP
~ m ~ PAB=m ~ PBA=a
Análogamente se demuestra que:
m ~ PBC=m ~ PCB=9
Luego se trazan AR y SC --.l a la prolongación de ED entonces:
AM =AR = 1 Y NC = SC = 5 (Teorema dela bisectriz)
5 1
D CARS: PH es mediana ~ PH = ;
1:. PH=3... .. Rpta.I
@ Si: A BCE equilátero y ABCD paralelogramo. Hallar "x".
:t:;;¡l'
E
RESOLUCION:
,.,.------. C
8
Si: AB+CD = AD; Hallar el segmento que une los puntos medios de las
diagonalesAC y BD.
RESOLUCION:
Br---------~~C
A....
E
......... N
""-",
Se observa que:
y m~BAD=75'
Luego 1'1 EAD ,,1'1 ECD (L.A.L)
Se traza DO -.l AC
Luego 1:>.. APB" I:>..COD (ALA)
~ AP=OC=2
También se traza DE -.l a la prolongación de PN y se observa que
D EPOD es un rectángulo
~ PO = ED = x-2
x-2-2
Finalmente O EAPD: 1 = - 2 -
~ m~ADE=m~CED=x
EFD: x+x= 60' ( ~ exterior)
2x=60'
1:. x=30' ....... RPta·1
Hallar"x", si: BE = FD
B
D
E
m~ABC=105'
@
(j)
C
1:. X=6 ...... RPta·1
@ Calcular RM, sabiendo que: AB = 6 Y
RESOLUCION:
Se prolongaAB y DC hasta "O"
~ 1'1 AOD equilátero. Se ubica "L"
punto medio de BC, luego en el:
F
.::--:::::=-_ _ _:.C
I'1ABC:ML=
~B =a
BC=8.
y
AB
I'1DBC: NL=T=b
F
Se traza la diagonal BD, luego:
BO=OD=AO=OC
I'1AOD Isósceles (AO = OD)
RS= BC =3
2
1'1 MLN ,,1'1 ROS (L.A.L)
~
Siendo "G" baricentro 1'1 ABC. Cal-
I :. x=31·45' ...... RPta·1
H
~
Calcular "x" (ABCD es un cuadrado)
:~:J
A
B
H
B-Sa-c
1
6a
j
F
A_ss_D
I'1AND: se traza OF base media
Luego:AO=ON=a y
OF=3a
~ MOF Notable (MO = OF = 3a)
~ m ~OMF=45'
Analogamente se demuestra que:
m ~ PNE=45'
I'1MNO: 45+45+x= 180'
1:. x=90' ...... RPta·1
C
3~~c;.~!!!o..
A
4
a 4
C
Se prolonll"-PR hasta que corte en
"S" aliado BC.
Luego 1'1 PBS es isósceles porque BR
es bisectriz, altura y también será
mediana, entonces PR = RS y PB =
BS = 3 análogamente el 1'1 OCT sería
isósceles.
~ OM=MTyOC=TC=4
O PSTO: RM es mediana del trapecio.
5+3
~RM=-
RESOLUCION:
a: . . .~ . . .
~t--~I(X'\
RESOLUCION: B
D
P;~
B
3
BFD Notable (BF = 2FD)
2x=63'30'
~
C
RESOLUCION:
1:. x=3... .... RPta·1
cular"x",
~ m~OAD=m~ODA=x
a
A
1'1 BOC se traza RS (base media)
~
B
2
----'C--~~
~ "'--------"'---+"~
A
M
C
Se prolonga BG hasta que corte a
AC en su punto medio "M", luego
GM = 2. Luego se traza CK -.l a la
prolongación de HG, entonces: GM
es mediana. OAHKC
:. CK = 3. Finalmente:
~ GKC notable (3,4 y 5)
I :.x=37· ........ RPta·1
@ Si:ABCDrectángulo.HallarPC
(AM=MD)
B "-----771 C
A ""--....,,...,...,....... D
I :. x=4 ...... RPta·1
@ Calcular uno de los diedros de un 00taedro regular de arista "a". A
Observese que AC
es i9lJ81 a la diagonal PM del cuadraMlh''-I-+''''''
doMNPO.
AC=MP=aV2
P
Sabemos queAB y BC
son alturas de triángulos
equiláteros:
C
AB=BC=~...¡a
V tronco = V prisma
2
1
22
Para mejor observación; extraemos
el triángulo isóscelesABC:
x=arccosx= [-
L_ .
(2+8)+" (2)(8>J = L,2_.
=IL= 7m l
(aV2)2=(~...¡a)2+(~...¡a)2_2(~...¡a)
2
2
a_r.>
A
(2v 3)cosxO
1
De donde: cos x = - 3
[~
@Y Hallar el volumen de un tronco de pi-
2
rámide regular de base hexagonal
circunscrito a una esfera, sabiendo
que las aristas básicas miden 4 y 9m.
RESOLUCION:
~J
e t----@---lc
O
@ En un cubo se unen consecutiva-
Sea "d" la distancia pedida:
En el I:>.AOE: d2= (a ...f6/3)2+r2
Pero: "r" es el inradio del triángulo
equilátero BCD, entonces:
mente los puntos medios de dos
aristas consecutivas de cada cara.
Si el área de la figura obtenida es
3V3 m2. Hallar la arista del cubo.
RESOLUCION:
A
F
r=a...¡a/S
Sustituyendo en la 1ra. ecuación:
d2 =(aV6/3)2+(aV3/S)2
Porel T. de Pilot: a =
~Y3
I d=a...¡a/21
Para hallar"h" hacemos un corte ima-
gina~~:=a2_[5~J
Reemplazando el valor "a":
h=S...¡a
~
Según los datos se forma un exagono regular.
Cuya área es:
S exagono = -ª-...¡a3L2.
2
. L= ~V2
2
Porlotanlo: 3V3 = 3·
V=
Las áreas de las bases de un tronco
t...¡a{a.~I2J @!) de
pirámide son 4 y 9 m2. Calcular el
~
En un tetraedro regular de arista "a"
calcular la distancia del baricentro
de una cara lateral a la altura del
sólido.
RESOLUCION: A
O ..............
x
e
Sea")(' la distancia del baricentro "o"
de la cara lateral ABC, a la altura AH
del tetraedro.
Para aprovechar los baricentros de
las caras, se trazan las medianas
AMyDM: AO=20M
Como "H" es el baricentro de la cara
BCD se cumple:
MH=DM/3=_1 . a...¡a
MH=aY31S 3
2
De la figura:AFO -AHM:
3K
2K =(aY3/S)lx
De donde finalmente se deduce:
I X=a/3V31
~
Calcular la distancia de la cúspide de
un tetraedro regular a la circunferen-
4
A= 24...¡a;
B = ; .9 2Y3
B=
Reemplazando:
h
V=
ÁreaGHI=x
Del gráfico:
E
O-GHI-O-ABC-O-DEF
Reemplazando:
D
9
(a+h)2
a2 (a+3h)2
Extraemos la ralz cuadrada:
I
@!)
~V3
~V3
~
A= ; .4 2Y3
a
2h
B
iD
(A+B+YAB)
Ojo: A y B son áreas
de las bases.
área de la sección determinada por
un plano paralelo a las bases, trazando a 2/3 de la altura.
RESOLUCION:
la=2ml
~
2~3Y3
[~.24v'3+ 24~v'3 + 24,,;.243 \"'3J
V= 1197m3
1
El lado de la base mayor de un tronco
de pirámide regular cuadrangular mide 2Y2 m y su altura es de 1 m, las
aristas laterales forman ángulos de
45° con el plano de la base. Calcular
su volumen.
RESOLUCION:
a
Yx- =2- = -3 a+h
a
a+3h
Resolviendo:
@
Ix = '::' I
Las bases de un tronco de pirámide
son de 2m2 y 8m 2 de área respectivamente. Calcular el lado de la base de un prisma cuadrangular de
igual altura cuyo volumen es los
21/2 del volumen del tronco.
'L---.:H~,;:::=~.C
V =??
V=
1 - - - 2-./2 ----1
[~ B+b+VBbJ
Ojo: b = base menor; B = base mayor
Reemplazando:
V=
~ [M)2 +b+"(m)2 bJ. .... (1)
En elt::,.BEC (~45°)
EC = BE = 1
distancia de la sección al vértice para que el volumen del prisma sea
igual a la lencera parte del volumen
del tronco de pirámide que queda.
RESOLUCION:
OB = HE = HC-EC = 2V2><V2 -1 = 1
2
a'!}- = 1; a =V2;
b=a2~b=(V2)2
b=2
RESOLUCION:
15
Reemplazando b = 2 en la ecuación
(1). 1
,r..........
V = 3 (8+2+ v'8.2)
Operando:
I
~
v=t
.........___......./ L = 62,8
Reemplazando datos:
62,8 =2.(3, 14)(r)
r=10m
Sustituyendo en la 1ra. ecuación:
V=".102.15
IV=1500"m 3 ó 4710m 2
m3
1
En el tetraedro S-ABC de 36m 3 de
volumen se toma "O· punto medio de
OS. Hallar el volumen de la pirámide
O-ABC.
RESOLUCION:
S
AL----c6:_-l'"
I V p'''''. = V1m,,,, X
+
I
Dato del problema:
1
V,
1
8
1
3V'="3(V-V,);,,=w
Por semejanza: -"'- = --"'- = _1_
V
103 10
B
x={l1QO
A
Como las pirámides S-ABC y O-ABC
tienen el triedro ·C" en común, sus
volúmenes serán proporcionales a
los productos de las aristas que forman dicho triedro:
~
Calcular el área total de un tronco
de pirámide cuadrangular, el lado
dela base menor mide 2m, la altura
mide 2
m y las caras laterales
están inclinadas 60· con respecto a
la base mayor.
RESOLUCION: 2
Reemplazando:
V= 16t60;30]
8
En el tetraedro trirectángulo V-ABC
el triedro 'V" es tri rectángulo, siendo:
~~:. Ai!i?,
ST=SL+Sb+S.
'-y-'
4
ST=ST+SL+4 .......... (1)
~AHB(~60·y30·)
B
AIi?,
B
Aplicamos Pitágoras, aprovechando
los ~ s rectos:
6.AVB:x2+y2=152
6. BVC: y2+Z2 = 132
6.AVC: X2+Z2=
106)2
1
<,v
Sumando las 3 ecuaciones:
2(X2+y2+Z2) =152+13 2+106
X2+y2+Z2 = 250
x2+132=250
I x=9m I
@ Una pirámide regular cuya altura es
de 10m tiene por base un cuadrado
cuyo lado mide 6m. Se le corta por
un plano paralelo a la base y sobre
la sección se construye un prisma
recto cuya base superior pasa por el
vértice de la pirámide. Calcular la
I V=720 m3
V11
1
Un cilindro de revolución de radio en
la base 5 cm, es cortado por dos pIanos paralelos de manera que los ejes
de las elipses que se forman miden
16cm y las generatrices del cilindro
oblicuo que aparece es de 30cm.
Calcular el volumen (tomar" = 3, 14)
RESOLUCION:
16
V=?
V="r2g
Reemplazando:
V="x52x30
2-'3=
Ap...;3
V.:J
2 ''Ap=4'HB=2
,
L=2BE = 2(EB+HB)= 2(1+2) =6
S.=L2 5.=6 2 5.=36 ...... (2)
SL = (P+P')Ap .......................... (3)
Reemplazando (2) y (3) en (1):
ST=(4+12)4+36+4= 104
IS=104m 2
"
V=".r2.[9';92J
Ojo:r=_4-
VOABC
V
Se tiene un tronco de cilindro recto,
sabiendo que la generatriz mayor es
60m y la generatriz menor 30m. Además el radio de la base mide 4/Yi. Se
pide calcular el volumen.
RESOLUCION:
V = ".r2.(eje)
Pero el:
Eje: g, +g2
E
2
g
jjf
---
I x=4.64m I
va
VSABC = 2a.BC.AC
VOABC
a.BC.AC
3
36m
2
I VOABC= 18m3 I
@
Vc="r2.h
Calculamos "r"
Para esto utilizamos
la longitud de la circunferencia:
L=2.".r
I V=2355cm 3
t R""""-<"::::J
30
.j.
1
r=5
~
Un cilindro esta lleno de agua hasta la
mitad, se suelta un pequeño peda-zo
metálico y el nivel de agua sube 3,5
cm. Si el diámetro del cilindro es 8cm
¿cuál es el volumen del pedazo?
RESOLUCION:
4
.--------H
2
TRONCO DE CILINDRO RECTO
~
Calcular el volumen del cilindro recto de 15m de alto, si la longitud de
la circunferencia de la base es de
62,8m.
H
2
Pedazo
1--- 8 ----1
metálico 1--- 8 ----1
El volumen del pedazo metálico es
igual al volumen aumentado:
VX=,,(4)2x3.5
4
I Vx= 176cm' I
8
Que cantidad de agua será necesario vertir en un recipiente cilíndrico si
se desea que el nivel de líquido a~
cance la base superior de un cubo
sólido de 1m de arista. La base infe.rior del cubo se halla inscrita en la
base del cilindro.
RESOLUCION:
La base del cubo
esta inscrita en el
círculo dela base:
L.= rv'2
r=
L.
v'2
Sacando la rarz cúbica:
Convertimos a dm las medidas:
BC=5dm
OC=4dm
En el t::".OBC: OB = v' BC2_0C2
Reemplazando:
OB=v'25-16=9
Los planos tangentes al cilindro forman un ángulo de 60", entonces el
A
OB
ánguloOBA=30",yOA=T ó
T1l'=i=~"'1
1m
Pero: L.= 1
Reemplazando:
r=
V
2
x'
V=16 ;x'=8
1
v'2 m
ON= OB
2
2
La cantidad requerida de agua es
igual a la diferencia de los volúmenes del cilindro de 1m de alto, menos
el volumen del cubo:
Vagua = Vcilindro - Vcubo
IX=2ml
8
=Jl..
4
-
9
Luego: V = " ONxOC ~"x 4x4
RESOLUCION:
g = v' 302+402- 50m
Iv = g" dm'l
Las bases de un cilindro oblicuo miden 36 m2, a una longitud de 7v'3 m,
sobre la altura se traza una sección
recte que con el plano de la base forma un ángulo de 30". Hallar el valor
de la generatriz del cilindro.
RESOLUCION:
En la base:
36T="r2,
TRONCO DE CONO RECTO
circular que se obtiene al desarrollar la superficie lateral de un cono
equilátero.
RESOLUCION:
~
yLH =
~
@
V3=10v'3
Se tiene un cilindro de revolución de
40 cm de altura y un punto situado en
el plano de la base que dista 50 cm
del centro de la base superior calcular en decrmetros cúbicos, el volumen del cilindro, sabiendo que los
planos tangentes a el, que pasan por
el referido punto, forman un ángulo
de SO" (" =3,14).
RESOLUCION:
Calcular el volumen del cono recto de
5m de generatriz, si el desarrollo de
su superficie lateral es un sector de
216".
RESOLUCION:
~~~e360"x [~J
V3
I g=20m I
Ix-12ml
Siendo el cono equilátero, la generatriz será igual al diámetro de su
Medidas del cono: g = 2r
Reemplazando:
(Triángulo mnemotécnico)
~
Sustituyendo valores: 20x15 = 25xx
8
Equivalentemente; que:
7v'3 tiene que ser LM y entonces:
LH = 7v'3+3v'3 = 10v'3
ComoAH =
En el t::". BOH: OB2 = BH2 +OH2
Osea: (40-r)=20+r ~ r=15m
Por relaciones métricas en el t::".OHB
BHxOH = OBxHF
(§j) Calcular el ángulo central del sector
De donde:
R=6
NB=6
B
Tangentes
iguales:
AC=AH=30
HB =50-30 =20
Aprovechando
El punto de
Tangencia
Trazaremos:
CH-.lAB
V.,. . =,,[.'If}1Cm)-1'
I Vag,. =[f-1] m' I
~
Se muestra un cono de 40 m de alto
y 30 m de radio. Hallar el radio de la
sección circular originada por los
puntos de tangencia con las generatrices.
a"=360x;r
®
1
Sabemos que: V",,,= :3 .".r.h
I a"=180" I
e= 3S0". --'"-g
.¡.
Se tiene un vaso cónico de 4 cm de
radio en la base y cuya altura es de
2 ncm, se le llena con volúmenes
iguales de agua y mercurio, se pide
calcular el espesor de la capa de
21S" = 3S0".
Por ser un t::". notable de 53": h =4
Sustituyendo los valores en la 1ra.
ecuación tenemos:
mercurio.
RESOLUCION:
Por semejanza de conos:
VHg
--y=
x3
x3
(2{'2)' - 16
~ ~ r = 3m
V""'O= -} ".32.4
8
rl-V-oono
-=-1-2-,,-m-"1
El volumen de un tronco de cono circular mide 33S" cm'. La altura mide 4
cm y el radio de la base mayor es el
doble del radio de la base menor.
Hallar el radio de la base mayor.
RESOLUCION:
R=?
e
Ojo: Se fomnan
2 conos
A-E---rl-'--'-1!'!':-'H B
Dato: V = 336"
Reemplazando
valores:
PARTES DE LA ESFERA
v = V conoA+V conoB
~ [R+t~N~JRJ =336"
V = .!."CH2 xAH+.!."CH2 xBH
R2 = 144 .... R = 12
Ojo del gráfico: r =
~
3
1 ---
V = 3"CH2.<AH~BH),
20
Calculemos HB para lue!l()hallaren
el L BHC, el segmento HC.
Por el T. de Euclides:
(6 Y5)2 = 102+202-2x20xBH
BH=8
CH =VBC2_BH2_V102-8 2= 6= CH
....... (dato)
Un triángulo isósceles de base 10m
y altura 8m gira alrededor de una
perpendicular a la base levantada en
uno de sus extremos. Calcular el volumen engendrado.
RESOLUCION:
-~~
V=?
8
h" (R2 +r2 +Rr) _.!."r2 h = V
3
~
V = 8,,;0 (10+5)
~
Iv
V
.".6 2.20 = 1240" m31
Se muestra un semicírculo de diámetro AB = 2R, el cual se IlI"Qlonga
hasta "O", de modo que: OB = R.
Calcular el área de la ~erficie engendrada por la línea OG al girar alrededordeAO.
V = h"R (R+r)
3
En la base de un cono circular recto
se hallan tres esferas de radio "r". En
estas se han colocado una cuarta esfera del mismo radio, cada una de las
cuatro esferas es tangente a la superficie lateral del cono y a las otras
tres esferas. Hallar la altura del cono.
RESOLUCION:
Piden la altura del cono en función
de "r".
Sea "h"la altura: h = VA+AH+BT... "'11"
Reemplazando en la 1ra. Ecuación:
V=
3
3
Faclorizando:
IR = 12cm I
8
@
';;' (R2 +r2 +Rr) = 336"
Por semejanza:
LVEA-LAHD
VA
r
=
= 1256m3 1
Un cono tiene 4 m de altura y la suma
de la generatriz y el radio es de 8 m.
Calcular el ángulo en el centro del
sector circular que se obtendrá por
el desdoblamiento de su superficie
lateral.
RESOLUCION:
A
2r
;
t2~j
VA= R"1/3
Q~~-hr~-~.
B
O
A
RESOLUCION:
Al girar OG, se origina la superficie
lateral de un cono OGN.
Sgenerado= 1t.r.g
Sgenerado= 1t.r.QG
Hallando el valor de "r" y "OG"
AH = 2rv'6
3
BT= r
Reemplazando valores:
I h = r(1 +Y3+2Vs/3) I
~ Detemninar la altura de una zona de
una base, de una esfera de 8m de radio, de modo que la superficie de esta
zona, aumentada en la superficie de
su base sea igual a los 7/16 de la superficie de la esfera.
RESOLUCION:
9°=?
g+r= 8 (dato del problema)
g2_r2 = 16 (en elLAOB aplicamos
Pilágoras)
Resolviendo estas 2 ecuaciones:
g=5 y r=3
Sabemos que: O' = 360'r
ReemPlazandovalore~: O' = 36~.3
1 0 '=216' I
@ Los lados de un triángulo son AB =
20 m, AC = 6Y5 m y BC = 10m. Calcular el volumen generado al girar el
triángulo alrededor deAB.
RESOLUCION:
Trazamos OG, formandose el
LOGO, en el cual:
00
OG=- .... 00G=30'y
2
OG = 2-Y3R .... OG =
2
Rv3
Por dato: ON = 8
7
2"(8)h+,,n 2= 16 (411.82)
n2= 112-16h ............. "'11"
De la figura: OM = h
Enel LNMO:n 2+h 2=82
En el LGSO: OGS = 30'
:::::)n2 +h 2 =64 ......... "9"
OS = OG =.B.. .... r =.B.. v'2
2
2
2
Reemplazando valores:
S,.,...,. = "(Rv3/2)(Rv3)
De "'1'" y "O": h 2-16h-48 = O
12
h
-4
h=4;h=12
h = 12 (no es rpta., porque"h" < 8)
I S,.,..... =
-ªf R21
hX-
Ih= 4m l
@
La curva de longitud mlnima, trazada de A a AB (sobre una misma generatriz) que da una vuelta completa
en tomo al cilindro recto de radio 1 y
altura 2 (ver figura) tiene por medida
Liguala:
.,-
......
",-
",-
S"",.=2"Rhx2"x13h; R= 13
Calculando "h"
h = ED+OP= "132-52+ "132-122
h=12+5=17
Reemplazando en la 1ra. ecuación:
S"",.=2"x13x17 =442"
B
I
..::::.__._-.....
"
RESOLUCiÓN:
Desarrollando el
"""'m_
B'
!
2~
A
",--
B
__
l'-
i'"
A
3
Luego: L2= (2,,)2+22
L2=2 2(,,2_1)
2
t:;,.PCO: _1_ + _1_ = _1_
PC2 QC2 GC2
Reemplazando:
1
1
1
-+-=-G2
R2 (2v'3)2
IL=2~1
@
1
esfera se trazan las tangentes PA,
PB Y PC; tal que P-ABC es un tetraedro regular de arista 6cm. Hallar
el radio de la esfera.
RESOLUCiÓN:
R=?
A, B Y C son puntos de tangencia y
G es el baricentro del t:;,. ABC.
Luego:
GC=~ (6v'3) =2---13
~2 -_. .._-,
/>!
Szoo. =442 m2
Los lados de un triángulo miden 10m,
24m y 26m, sus vértices distan de
una recta exterior 16,15 Y 8 m. Hallar
el volumen generado por el triángulo
al giraren torno a la recta.
RESOLUCiÓN:
~ Desde un punto ·P" exterior a una
A
1"
B
@
Szana: ?
Una esfera esta inscrita a un cono
recto de altura 12 cm y radio 5 cm.
Calcular el radio de la sección determinada por un plano tangente a la
esfera y paralelo a la base del cono.
RESOLUCiÓN:
Por el T. Pappus
V =Area (BAC).2xx
Como: 102+242=26 2
Resulta:A=90·
Area(BAC): 10x24 = 120
2
PorTeorema:
16+8+15
x=
13
3
I
V= 1202"x13=3120"m3
1
~ Los ladosAC y BC de un triángulo miden 2Y3m y 3 Y3m respectivamente
IJ()I" C se levanta una perpendicular a
BC. Hallar el volumen generado por
el triángulo al girar alrededor de la
perpendicular como eje de giro. Si el
ángulo C mide 60·.
RESOLUCiÓN:
V=?
Vtronco=VconoAB VconoAC
B
t:;,. AHC (60· y 30·)
Del gráfico:
t:;,.AGN - ~FC
-
2v'3 _r;;
-"- = AB ............... "9"
5
12
_1 (10)(12) = 18R ~ R = 10/3
-
2
3
Reemplazando en "9"
Ix= 2~ I
~ En una esfera de 26cm de diámetro,
los radios de las bases de un segmento esférico miden 5m y 12m respectivamente. Calcular el área de la
zona si las bases están a uno y otro
lado del centro.
RESOLUCiÓN:
T
h
1
---
_ r;; _ r;;
V = 3; [(v'3)2 +(3v'3)2
Area (ABC) = P. R
Luego: AG = F-2R
20
AG =12--
-
AH =-2- =v 3, HC=v3.v3 =3
TEOREMA DE PAPPUS
YGULDIN
@
En un rectánguloABCD, la diagonal
AC tiene un-ª-Iongitud 2a, y forma
con el lado AB un ángulo de 30·; el
rectángulo gira alrededor de una
paralela BE a CA. Calcular el volumen engendrado.
RESOLUCiÓN:
V=?
Por el teorema de Pappus y Guldin
V G= AABCD-2xx
= a.a---l3.2"
I
[a~J
vG=3"a3 1
D
~ ,,(Y3)2.3
I
+(v'3)(3v'3~ _
V = 367 m3 1
@se prolonga el diámetroAB de un semicirculo hasta un punto E, tal que
OE = 5Y5m, se traza ET tangente a la
semicircunferencia. Hallar el radio
del semicirculo de manera que el volumen generado p<>r el semicírculo al
girar alrededor deAB sea igual al volumen engendrado por el triángulo
OTE al rotar en torno al radio OTo
RESOLUCiÓN:
~T
R=?
VE=VC
Reemplazando:
Gr
A
'Y B"'
B
01- s-/51
.!
3 "R3 = J.."
3 TE2.OT
Ojo:TE=2R _ _ _
Porteorema: TE2 = EA.EB
Reemplazando:
(2R)2 = (sY5+R)(mR)
I R=5m I
@
Dado un rombo cuyo lado mide 5m y
su diagonal mayor am, gira alrededor de una paralela a esta diagonal
mayor, trazada por el extremo de la
diagonal menor. Calcular el volumen
engendrado.
R
RESOLUCiÓN:
®
Un exagono regular de lado 1 gira
alrededor de uno de sus lados determinarelvolumenengendrado.
RESOLUCiÓN:
HN =
C
~ -.(3
Se pide:
_
V = SABCDER(21t)(HN)
Reemplazando:
De la figura:
AMNO:
o
NO =y 52-42= 3m. Se pide:
V=21t.SMRSO.(NO)
S
AAHN:
AH = 1/2
B
M
Graficando:
De la figura:
m~ANR= 3S0' =SO'
rs.a]
V=S(1)2
Reemplazando:V=~l:~ .3
V=
Iv= 144m3 I
v¡
~ 1t ->
J
(21t{t-.(3
I V=4,51t I
81BI0) 111
~ ~ ~ IlIlBJMllIIlffl
,,,
MlJ¡IMI~Llo) IB11IGII'I,
~~~
t
t
t
t
t
t
t
t
t
Problemas desarrollados y con explicaciones
académicas y objetividad matemática aplicada
Métodos de aplicación
Artificios y recurrencias
Planteamientos rápidos
Nuevas formas de operatividad
Aplicación teóricas y formulaciones a consid llr!2'"Temas variados y alternados
-)
Problemas extraídos de los exámenes de
en su último proceso de admisión, a las
universidades de nuestro país
Del Ejercicio N° 1012 al N° 1491
481 problemas desarrollados
NIVEL ACADÉMICO: SUPERIOR
@
.
Hallar el
~rea ~e la región sombrea-
'''.,~
Total.de =x+n
premios
Al resolver:
n2 +n
N
®
1
1
R sombreada = - ,,(R+r)2 - - "r2 _
2
2
1
- -1tr2
2
R. sombreada = "Rr
Aplicando el teorema de las cuerdas
(2R)(2r) = 22
~ Rr=1
Reemplazando:
:. R. sombreada = ,,(1) = "u2
®
--
90
'-----v--------
16,6
. J::L_l
M - 4
¿Cuál es el número comprendido
entre 200 y 300 que leído al revés es
el doble del número que sigue al original?
RESOLUCiÓN:
200<n<300 n=2ab
Por condición: ba2 = 2(2ab+ 1)
se observa que b = O, b = 5; pero b;«)
~ b=5.Luego: _
_
5a2 = 2(2a5+1) ~ 5a2 = 2(2a6)
'-r-'
502+1 Oa = 2(206+1 Oa)
~ a=9
:, n =2ab=295
Un reloj se adelanta 205 cada 1 mino
Si empieza retrasado 1 min respeoto de la hora nonmal ¿Dentro de qué
tiempo tendrá un adelanto de 2 minutos respecto de la hora nonmal?
RESOLUCiÓN:
Ya que el reloj tiene un atraso de 1
min y según las condiciones del
problema debe tener un adelanto
de 2 min deberá adelantarse 3 minutos < > 180 s tendrá que transcunrir:
En
Adelanta
x9 (1 mino
9min.
:, 9minutos
®
premio a cada alumno, sobrarran "n"
premios; pero si se entrega 'n" premios a cada alumno, entonces "n"
alumnos no recibirán premios.
5
+[:J
Resto
Costo = 20x Costo = 40x Costo = 40x
Gana=20%(20x) Gana=40%(4Ox) Pierde=25%(4Ox)
Gana=4x
Gana=16x
Pierde=1Ox
Dos ruedas dentadas tienen en conjunto 180 dientes, pero como una de
ellas ha sido puesta fuera de uso, se
la reemplaza por otra cuyo número
de dientes es los 3/5 del que tiene la
rueda reemplazada. Dígase el número de dientes que tenran las ruedas
primitivas, si el total de ellos ha disminuidoen48.
RESOLUCiÓN:
es reemplaza
\
®®.©®
5x
180-5x
3x
Dientes Dientes
180-5x
Dientes Dientes
Por dato:
3x+ 180-5x = 18048
x=24
Luego, inicialmente:
Atiene 5(24) = 120 dientes
B tiene 180-5(24) = 60 dientes
20seg. ) x9
180seg.
Un lote de cierta mercadería se
vende de la siguiente manera:
La quinta parte ganando el 20% de
su precio de costo, la mitad del resto ganando el 40% de su precio de
costo, finalmente se vende lo restante con una pérdida de 25%. Si en
la venta total se ganó 125 soles.
¿Cuál es el costo de todo el lote?
RESOLUCiÓN:
Costo total = 100x
En un salón de clases si se da un
¿Cuántos alumnos hay?
RESOLUCiÓN:
Sea "x" el número de alumnos
'-----v--------
= 18
Entonces hay 50 hombres y 40 mujeres.
@
@
Producto
Producto
obtenido
conrecto
Se obtiene que para hallar el producto correcto hay que agregar:
129720.
~n=50
@
--
4324xa ...4b = 129720=4324xa... 7b
= 90(18)
En una suma se tiene 10 bolas verdes, 8 blancas y 12 rojas. Se extraen
al azar una por una, ¿cuántas se debe extraer como mínimo para estar
seguro de tener 5 bolas de un mismo
color?
RESOLUCiÓN:
Para poder tener a lo seguro 5 bolas
de un mismo color, debemos tener
primero 4 bolas de cada color; es decir 4 verdes, 4 blancas y 4 rojas. Luego, al sacar una sola más cualquiera
sea su color tendremos ya 5 de un
mismo color. Por lo tanto lo mrnimo
que se debe extraer es:
,-,4+4+4+1 = 13 bolas
--
4324xa ...4b = 4324xa ... 7b-129720
®
r
Suma de edadesI
de 'n' hombres j+Lde (9()..n) mujeresj
. 90(18)4n+2(90-n)
Un alumno al efectuar la multiplicación de 4324 por un número dado
obtiene cierto producto, pero uno
de sus companeros le hace notar
que ha tomado un 7 por un 4 en la
cifra de las decenas del número dado. ¿Cuánto debe agregar o restar
al producto obtenido para hallar el
producto verdadero?
RESOLUCiÓN:
Sea: a ... 7b el número dado, entonces el producto correcto es:
--
~ [suma de edadesl
uego.
@
4324xa ...4b = 4324(a ... 7b-30)
Mujeres
l' 2' 3'...... n' (n+1)' 90
Prom = [}+D +[}+ ... +[}+ ... +D+... +D
90
r125J
Costototal=100L1O =5/.1250
4324xa ...4b
Luego:
~~
I
(x - n)n
4324xa ... 7b
Pero se tomó el 7 por un 4 con lo
cual el producto obtenido es:
En una reunión a la que asisten 90
personas, la edad promedio es 18.
Pero si cada hombre tuviera cuatro
anos menos y cada mujer tuviera
dos anos más, la nueva edad promedio serra 16,6.
Dar como respuesta la relación del
número de hombres del número de
mujeres en dicha reunión.
RESOLUCiÓN:
Hombres
"
\
=
x =----n=:I
R.som·=~-LD-~
En la venta total se gana:
125
10x= 125~x= 10 =5/.12,5
'n' alumno no reciben
'------y-------
RESOLUCiÓN:
.
"n" premios a rJu
1 premio a elu
sobran 'n' premios
@
Una piscina se ha estado desocupando durante 3 dras, hasta que solamente ha quedado 10 galones de
agua. En cada día se extraía sus 2/3
partes, más 3 galones. ¿Cuál es el
volumen total desalojado hasta el
momento?
RESOLUCiÓN:
I
~í
l
Si sale siempre
"x"L
~
de lo que hay más
3 galones, entonces siempre va quedando
!
de lo que habra menos 3 ga-
lones.
Luego de 3 días ha quedado:
~ t~ t~ (X)-3J-+3 = 10 ~ x = 387 @
Volumen desalojado: 387-10 = 377
@Si: 1@I=X+l; 1x+ll=x-l
@+y
Hallar:
RESOLUCION:
-2
--
-2
I'X+~l como I@G~
entonces: @-2=x+l
.
:.~+3
@
.
LUego:~
Reemplazando en:
®=+V=S=(~:V
+4
~.
Ifa",-b
Ifm",n
x+l
Además
=""""X-1 ,lfx", 1
0
Hallar 12011
RESOLUCION:
Hallemos:
2 1
1 + 1
3+1
12811
2-1
3-1
2.1 = 2+1 =-3-=3=-3-
@
a=40'=-
3
2
Luego: 12.11 =1
~ 1=
-+1
; -1 =_
3
@
~
=-5
3
'Í028' S'.
~
@
m-a _-ªm-b - 2
Del gráfico: m+a = 4; n+b = 6
m=2
1
a=2
b=2
Luego los puntos son:
[~;2JYG;4J
Lfh= (n+l )n"
l.
n-b = 2
n-4
@
; calcular:
E=L09,ffi+L09,&+ ...+L09'&
c-b = a-b
27
8
~
x
7
@Si:
donde b = 104/7
RESOLUCION:
'f
{} = n+l .
=~ . ~ =-ª-.
~
n'~ 1 ,~ 2'
ffi=
3
... + Lag, 100
99
r.
3 4 5
99 100l
E = LOg'L2x"2xax4x ... x 98 x 99
J
~E=Log,100
Por definición de Logaritmo:
Lag, 100 = E ~ 100 bE
4E
~ 102 = (10 4l7)E ~ 2 = •
14
7
•• E=4=3,5
@
En el siguiente anreglo:
f,
f2
fa
f4
El rendimiento de "A" es 3/5 del rendimiento de "B". Si juntos pueden
hacer un trabajo en 6 dias. ¿En qué
tiempo harra dicho trabajo "A" trabajando solo?
RESOLUCION:
4
E = LOg,2+LOg'"2+ Log , "3+'"
a (a-b) = 99
Un empresario pensaba de la siguiente manera: "si le pago S/.15 a
cada uno de mis empleados me faltarra S/.400, pero si les pago S/.8,
me sobrarían S/.160. ¿Cuántos
empleados hay en la empresa?
RESOLUCION:
Sea "n" el número de empleados:
15n-400 = tengo en soles = 8n+160
de donde: 15n-400 = 8n+160
Resolviendo: n = 80
~ ; ....; & = ~90
Reemplazando:
:. a-b=72
(a,b)
Del dato = __m
..-..-a__=-:ó3__
(x)+30(5)
27 (a-b}-2(a-b) = 99
8
11
/(m,n)
/(2,3)
Dato:
~
Pero uno de los ángulos contados es
recto por lo cual:
N· de ángulos agudos = 66-1 = 65
Además: c+b-2a = 99
Hallar: "a-b"
RESOLUCION:
Del dato: c-b+2b-2a = 99
c-b-2(a-b)= 99 ........ (a)
27
Ahora: c-b = 8 (a-b) reemplazandoen (a):
Si (2;3) es un punto cualquiera, hallar las coordenadas de 2 puntos que
equidistan de dicho punto, sabiendo
que las diferencias de sus abscisas y
ordenadas están en la relación de 3
a 2. Los 3 puntos son colineales y el
segmento determinado pertenece a
la parte positiva de los ejes coordenados.
RESOLUCION:
y
11(12)
N· total de ángulos: - 2 - = 66
~x=20 :. H.E:5:20
5
-
RESOLUCION:
¿A qué hora inmediatamente después de las 5 p.m., las agujas de un
reloj fonman 40· por 1ra. Vez?
RESOLUCION:
5:x
rn
=~
-, 'Di
'-----v----' '-------y------ ~
x+2
x
2x+2
luego: 2(x+2)+8x = 34
x=3
Total de monedas: 2(3)+2 = 8
IMbl
m+n
eS¡;aob= a+b ;mAn= m-n
2.1
I.P.
En un recipiente hay una cantidad
Relación de
......-.....
Rendimientos Tlempoa Rendlm.
desconocida de esferitas, de las
cuales el 75% son de color rojo y las
A: 3
6
8 - (AyB)
demás son blancas. Si se triplica las
B: 5
x
3-(Asoles)
blancas y se disminuye en 20% a
Luego: 8(6)=3x~x= 16
las rojas, ¿cuál es el porcentaje de
las blancas respecto al nuevo total? @Sialdobledemiedad,SeleqUitan 13
RESOLUCION:
años; se obtendria lo que me faltan
Asumamos total = 100 esferitas
para tener 50 años. ¿Cuánto me faltan para cumplir el doble de lo que teR:
75
-20%
60
nía hace 5 años?
B:
25
x3
75
RESOLUCION:
Total: 100
135
Sea x mi edad:
75
2x-13 = 50-x
x=21
B: 135 xl00%=55,5
Ahora tengo 21 años hace 5 años tenra 16 años para cumplir el doble de
Tenemos entre monedas de S/.2 y
esa edad, es decir 32 años me faltan
S/.8, S/.3400 y hay 2 monedas más
11 años.
de S/.2 que de S/.8 ¿Cuántas monedas en total tenemos?
@¿Cuántos ángulos agudos se obserRESOLUCION:
Moneda 5/.2 Moneda SI.8 Total de
!
1
8
27
64 125 216
343 512 729 1000
/
!
\
Hallar la raiz cúbica del último ténminodef20
RESOLUCION:
Sacando.q--a los últimos ténminos de
cada anreglo.
fl') ..........-!.= (1 x2)/2
f(2) ............ = (2x3)/2
f(3) .............. ~= (3x4)/2
fl.) ................ ~ = (4x5)/2
-ª-
a
I
f(20) .................... ~= (20x21)/2
:.210
@
@
El volumen de un sólido rectangular.
cuya base y caras laterales tienen 12
m2• 8m 2 y 6m 2 de área respectivamente.es
RESOLUCiÓN:
_4m_
3m/":
/.
t
t
12m2
:.6<L<16
2m
3m
2m
2
1
@se inscribe un circulo en un triángulo
equilátero, y se inscribe un cuadrado
11 cuadraditos
en el circulo. La razón del área del
triángulo al área del cuadrado es:
RESOLUCiÓN: B
x cuadraditos
2
Total de cuadraditos: x +11
~~~h~d
_._ V= (4m)(3m)(2m) = 24m 3
El precio de un diamante es proporcional al cuadrado de su peso. Si un
diamante de 7g vale S/.29400 y se
cambia por un diamante de 5g y un
reloj. ¿cuál es el valor del reloj?
RESOLUCiÓN:
Precio
- cte
(PesO)2
1..
7gr
29400
Pero si queremos hacer un cuadrado mayor necesitaremos al menos
24 cuadriláteros. entonces:
x
~
Necesitaremos
almenas
[IJ·········DQx
~~~uadraditos
29400 = 600
72
1.. --"-52
5gr
SI. X
Hallar el ténmino enésimo de la siguiente sucesión armónica:
15,5,3, ..........
RESOLUCiÓN:
Sabemos que la inversa de los ténminos de una progresión armónica origina los ténminos de una progresión
aritmética.
P.H.: 15.5.3•..........• _1
1 1 1
to
- , - , - , ........• tn
15 5 3
2
+15+15
@
_
~
~ IVOI=R'XHI~
Vol = 22X2
Vol=8
Vol = 12X2
Vol = 1
~,
que distribuimos da:
Seobservaquex= 17
:. Total de cuadraditos = 172+11 =300 @Si 1092 = a y log3 = b. entonces log.12
es iguala:
Si las horas transcurridas y las que
RESOLUCiÓN:
faltan transcurrir son (a-2) y (a+2)
L09512 = Logs(2 2x3)= L0952 2+Log53
respectivamente. ¿Qué hora es en
L09512 =2Log52+Log53
estos momentos?
®
RESOLUCiÓN:
Horas transcurridas
=
Hora
Faltan transcurrir
~t~
24 horas
@
-
Si quedan del dla 1/3 del tiempo
transcurrido. ¿Qué hora será dentro de 2 horas?
RESOLUCiÓN:
Horas transcurridas
Hora
ll
L0921 + Log3 = 2Log2+L093
L095j Log5
Log5
_ 2Log2+Log3
a-2 +a-2 =24
a= 12
Luego:
La hora exacta es: 12-2 = 10:00 am
2n-1
15 - 15
_. t o - 2n-1
Un cono sólido de vidrio pesa 10 kg.
Si se quiere construir un modelo
exacto de dicho cono. también de vidrio. pero que tenga la mitad de las
dimensiones del original. ¿cuánto
pesará?
RESOLUCiÓN:
Inicio
Final
...~::::..
Los 11 que sobraron más los 24 que
agregamos hacen 35 cuadraditos
~n __1
__
~to- 15
_1 _~
~
,
De la gráfica observamos que el punto '0" es centro del triángulo. del cuadrado y del círculo.
tOMC notable de 30' y 60' MN = Y2
(lado del cuadrado) yAC = 2...f3 (lado
del triángulo).
(m)2V3
4
4x3xV3 3V3
2x4
2
(Y2)2
17
17~.v
'-"'---"
2
{~}
=
= 600
~x= 15000
Se observa: 29400 = 15000+S/.R
SI. R= 14400
@
x
sobran
[IJ············D
x
/?
8m'
3m
! '------:-_---V/
-4m-
@
El cono final. su volumen es la octa- @Si Y es un número real entre 4 y 7 Y
va parte del volumen inicial. entonademás "y" es un número entre 42 y
ces su peso también será la octava
64. Entonces entre qué valores se
parte del original:
encuentra 'y/x"
•
10
RESOLUCiÓN:
- - Peso =
= 1.25kg
Por dato:
4<x<7
Se dispone de un cierto número de
42<y<64
cuadernos con los cuales se consSabemos que para todo a. b. m, n potruye el mayor cuadrado posible.
sitivos se cumple:
sobrando 11 cuadrados; pero si hubiera al menos otros 24. se podría
a<x<b . . ~<-"-<J>.construir un cuadrado mayor.
n<y<m
m
y
n
¿Cuántos cuadrados hay?
42
y
64
Entonces' - < - < RESOLUCiÓN:
. 7
x
4
L09t~Oj
_ 2Log2+Log3 = 2a+b
- Log10-Log2
1-a
•
2a+b
- - L09512 =-1-
®
-a
Calcular el valor del ángulo "a", si la
figura es un cubo.
Horas que faltan
transcurrir
~t~
24 horas
3x+x=24
x=6
La hora exacta es:
dentro
3(6)=18:00 de2h 20:00<>8pm
-
RESOLUCiÓN:
~--=-B
El nuevo precio del equipo (ya descontado) es: 5/.513
Al sueldo "x" de ella se le hacen 3 A.
5.(10%;20%;25%)
ahora su sueldo nuevo será:
125 [120 r 110 ~J 33
100 100 l100xJ = 20 x
C
El!>. ABC es un triángulo equilátero
ya que tiene como lados las diagonales de las caras del cubo.
:. a=60°
@
En una asamblea la séptima parte
de las mujeres usa gafas, mientras
que la octava parte de los hombres
tiene auto. Si desde que empezó la
reunión sólo se fueron 6 parejas,
quedando reducido el total a 41.
¿Cuántas mujeres no usan gafas?
RESOLUCiÓN:
Total personas = los que quedaron +
los que se fueron
Total =41+12=53
Mujeres + hombres = 53
7M+8H=53
J,
J,
3
4
P
7
1111111
RESOLUCiÓN:
Total de cuadriláteros: 6x7 x 3x4 = 126
2
Total de cuadrados: 6x3+5x2+4xl = 32
Total de cuadriláteros que no
son cuadrados (reclángulo) = 126-32 = 94
U~O t19~0 (950~J =
9
= ! t : [ 10 (950~J = 513
Con 20 obreros puede hacerse una
obra en 18 dias. Se empieza la obra
y al cabo de 6 días se retiran 10
obreros y 4 d ias más tarde se contratan a cierto número de obreros,
para tenminar en el tiempo previsto.
¿Cuántos obreros se contrataron?
RESOLUCiÓN:
I Rendimientoxtiempo = obra I
Sea el rendimiento de un obrero
iguala 1.
I
20x18 - - - - - 1
Total de cuadriláteros = 94
que no son cuadrados
20obraros
1 20(6)
6 dlas
18 dlas
10(4)
j
se van 10 obreros
@
x+2
4 dlas
t
(10+X)81
Asi: 20(6)+10(4)+8(10+x) = 20(18)
x = 15
Con 15 obreros se puede hacer una
obra en 18 dlas, pero al cabo de 12
dras sol han hecho 3/5 de la obra.
¿Con cuántos obreros deberán ser
refOlzados estos 15 obreros para
lenminar a tiempo?
RESOLUCiÓN:
Toda la obra
5k ~
I-----a
clW:J&J
12 dlas
'----y----'
un huevo
una docena
de huevos
6 dlas
15 obreros (15+x) obreros
Costo de
12t~j-12tx~~J = 1
Resolviendo: x = 16
Al final la cocinera lleva:
16+2 = 18 huevos
®
Dos obreros, uno viejo y otro joven,
viven en un mismo apartamento y trabajan en la misma fábrica. El joven va
desde la casa a la fábrica en 20 minutos, el viejo, en 30 minutos ¿En cuántos minu10s alcanzará el joven al
viejo andando ambos a su paso
normal, si éste sale de casa 5
minutos antes que el joven?
RESOLUCiÓN:
El joven se demora 20 min y el viejo
30 mino Si asumimos que la distancia
de la casa a la fábrica sea 60 m tendremosque:
V_, =
~~
= 3m/min
VV1~O
~~
= 2m/min
=
2m/min
8 dlas
se conb'atan x obreros
[x+2
'----y-'
Costo de
Por condición:
,-J---,
Total = 60-3(8) = 5/.36
Costo de
una docena
~~12r12J
Final
r-"--"
'----y----'
Costo de
un huevo
de huevos
Total = 2(12-x)+5x
= 24+3x
~ 60-3x+12=24+3x~x=8
'----y-'
Sin embargo por 12 ctv:
recibió x+2 huevos:
d"ó {(12-X)mOnedasdeS/.2
ICI n: xmonedasdeS/.5
Inicio
Una secretaria quiere comprar un
equipo de sonido valorizado en SI.
950. El vendedor le comunica que se
le hará tres descuentos sucesivos
del 10%, 20% Y 25%. Como su sueldo no le alcanzaba en ese momento,
solicitó un aumento a su jefe, el cual
se le fue otorgado; se le hizo tres aumentos sucesivos a su sueldo del
10%,20% Y25%, pero aún asr le faltó 5/.18 para comprar el equipo de
sonido. ¿Cuál era el sueldo de la secretaria antes del aumento?
RESOLUCiÓN:
0.5. (10%; 20%; 25%) al hacer estos
descuentos queda:
"Pagué 12 centavos por los huevos
que compre al almacenero", explicó
la cocinera, "pero le hice darme dos
huevos extra, porque eran muy pequenos, eso hizo que en total pagará
un centavo menos por docena que el
primer precio que me dio". ¿Cuántos
huevos llevó al final la cocinera?
RESOLUCiÓN:
Por 12 ctv reciblax huevos:
~ ~12[~J
Total = 2x+5(12-x)
=60-3x
orcon
~
¿Cuántos cuadriláteros que no son
cuadrados se observan?
7
1;0
Una persona tiene una cierta cantidad de dinero entre monedas de
5/.5 y monedas de 5/.2. Si el número de monedas de cada valor se intercambiase, la cantidad inicial se
incrementaría en 5/.12. Hallar la
cantidad de dinero que posee la
persona si tiene en total 12 monedas.
RESOLUCiÓN:
~
®
@
@
2K
Se tiene:
{x monedas de S/.2
12monedas (12-x)monedasdeS/.5
-ª-(21) = 18
2
3K
33 x+18 = 513 ~x = 300
20
Luego el sueldo es: 5/.300
@
(15+x)6 ~x=5
15.12
Luego por dato:
7(3)+8(4)=53
:. Mujeres=21
Hombres =32
Luego: Mujeres que no usan gafas =
@
(.#,--=,ob::cre"-ro=s)",.(c:ctie::cm,,,p=-=o,,-)
= cte
obra
1- sale el
anciano
i
f\N\fl-
~60 _ _ _ U
IU3~~~,¡~
I
_
~~d
2x5 -10m
I
Entonces, el joven alcanza al viejo en:
10
3-2 =
@Si:X+~
10'
m,"
=3
Calcular: x3 + -;X
RESOLUCiÓN:
Elevando al cubo el dato:
[x+
litros de alcohol de 100' se debe
agregar a esta mezcla para obtener
la concentración inicial?
RESOLUCiÓN:
!]'=(3)3
x 3 +3x.-!Jx +_!J+ ~ = 27
xl"----v---'
xJ x
x
~ Si: x =
\!!5'
27"
x3 +
40%
xl
1$10<>1
1
H2oJiit§J~l~~~~
OH: 60'
- 3= 18
x
a-b
aa+bb " Y=8i)
@
Hallar: x+y
x-y
RESOLUCiÓN:
a+b
a-b
2a
2
x+Y=8i)+8i)= ab =1)
a-b
a-b
2a
2
x-y = 8i)+8i) = ab = "
2
x+y
b
a
Luego: x-y = 2 = 1)
a
~ Se ha disuelto sal de cocina en agua
OH: 100' OH: 60' 60%
5 38} (Cada solución representa una
10 36 forma de hacer el cambio)
15 34 19 Soluciones
Si a una cantidad le quitamos su
60% y luego a la cantidad resultante
le aumentamos su 40%, obtendriamos un número igual a la cantidad
original disminuida en 44 unidades.
Determinar la cantidad inicial.
RESOLUCiÓN:
Sea la cantidad: "x"
Sólo con lo que queda:
140% (40%x)=x44
14
2
-x-x=x44
10
5
:. x= 100
952
3
2
1
o~~
I I
®
,[J,
Luego:
4xl,35 = (15+x)(O,12)
• x=30L
~ ¿Cuántos triángulos hay?
~
3x4 = 6
2
2
Total: 21
@
A 80 litros de alcohol de 60' se le
agrega 40 litros de agua. ¿Cuántos
~
6h
12
Rend.
72
1
~
t
4t
,
....-.-... ...--....
4
i
I
1
...
(Rend) (Rend)
4t+4t= 72" t= 9
!:total: 6+9+36 = 51 h
:. a+b+c=51-12=39h
Una escalera mecánica se mueve
hacia arriba. Si una persona sube caminando sobre ella emplea 48s, pero
si baja por ella emplea 80s. ¿Qué relación hay entre la rapidez de la escalera y la rapidez de la persona?
RESOLUCiÓN:
48S.~
~~E.--I /
/0
"/
--"'''''--..J
80 seg
• V,: Rapidez do
d
la persona
• VE: Rapidez de
la escalera
@un ovillo pesa 171 kg más los ; de
100 vueltas
~
~(II)
~(I) dLJ
# triángulos (11)
Un obrero se compromete a pintar
una pared en 12 horas. Luego de pintar la mitad, disminuye su rendimiento a la tercera parte, luego de pintar la
mitad del resto, disminuye su nuevo
rendimiento a la cuarta parte, terminando de pintar toda la pared ¿con
cuántas horas de retraso terminó de
pintar la pared?
RESOLUCiÓN:
Asumiendo rendimiento: 12 y aplicando (cantidad de obra)
__
A__
12h
Luego:
V
E
1
d = (V,+VE)3 = (V.-V.)5 ~ V. = 4
RESOLUCiÓN:
Separando la figura original.
5x6 = 15
CD
En el gráfico se observa que la suma que tiene mayor ocurrencia es
la7.
Una rueda con llanta de caucho tiene un diámetro exterior de 25 pulgadas. Cuando el diámetro disminuye
en un cuarto de pulgada, entonces
el número de vueltas que la rueda
dará en una milla sufre una variación porcentual de:
RESOLUCiÓN:
4kg-0,12kg
(15+x)kg -I,35kg
# triángulos (1)
Dado
:.n=19
F
@
123456
'----y---.J
15kg
+
Trabajando con el agua de la mezcla final, tendremos:
72=40'(120+x)x= 60 t
pura a 4'C obteniéndose una disolución que pesa 15 kg Y contiene el 9% @AI lanzar dos dados normales,
¿cuál es la suma que mayor probade su peso de sal. Se desea saber,
bilidad de ocurrencia tiene?
¿cuántos litros de agua en las misRESOLUCiÓN:
mas condiciones se debe agregar a
la disolución para que 4 kg de la nueGraficando total de casos posibles:
va disolución contenga 120 g de sal?
Dado@
2
RESOLUCiÓN:
6
xL< >xkg
9% (15kg)
5
'----'.r--='
~
4
1,35kg
® @
x monedas y monedas
10xctvs + 25yctvs = 10 dólares .... (1
dólares 100ctvs)
1Ox+25y = 1000
2x+5y = 200
(120+x)1
OH-~8~~-OH
3
1
x 3 +9+-=
3
80%
RESOLUCiÓN:
Planteamos:
100X25=X[24
x vueltas
!J ~x=10I,01
El número de vueltas aumentó:
1,01%
@
los
~
de
-f.¡- de su peso. ¿Cuánto
pesa el novillo en kilogramos?
RESOLUCiÓN:
Por condición del problema tendremos:
Peso del ovillo:
171+ ; x ~ x 1~ (peso del ovillo)
Sea "n" el número de formas en que
10 dólares pueden ser cambiados
Resolviendo: 231 kg.
en monedas de 10 Y 25 centavos,
@¿QUé
tanto por ciento de 160 es 50?
usándose por lo menos una de caRESOLUCiÓN:
da denominación. Luego "n" es
iguala:
Planteamos:
x%de 160=56. luego:
n.2n =
x
100 x(160)=56~x=35
~
~ Restar
1
4
de
1
1
3; de S
Simplificando: 2b'= 9ac
1
2 ;
restar
+
6x"
@
sumar las diferencias y agregarle el
resultado de sumar a
los
~~
mitad de 3.3. Los
total es:
~
a
,......-'---.
de la
420
4
x=13=32
13
+-1 1~
:. Son la 1:32 ,~
=
}8umandO las diferencias:
1
3
13
1 1
3
---=---=12 10 60
5 2
10
@
Ahora: ...!..x-ª-x...!..x~ = 397
3 5 2 10
300
L
._~_ 397 _ 332
uego. 60 300 - 300
¿Cuántos números de la forma:
[5- ;J (3-b)(C+4>[a;4J existen?
~j
6x= 180+[39-
del resultado
RESOLUCiÓN:
Hallar el valor de la siguiente serie:
S = S'+S'+S3+S.+...... +S4O
donde: So = 80+78+76+74+72+ ....
'~---v
./
"n" sumandos
RESOLUCiÓN:
8,=80
8,=80+78
8,=80+78+76
8.=80+78+76+74
RESOLUCiÓN:
Analizando los posibles valores:
a = 4. -2. O. 2. 4. 6. 8.~ 7 valores
(3~b)=0.1.2.3 •.....• 9~ 10 valores
(c+4) = 0.1. 2. 3 ......... 9~ 1Ovalores
Luego; por el principio de multiplicación:
- - - - - -
[5- ;]3-b)(C+4) [a;4J
'----y---' '-y-' '--y-'
7 x 10 x 10 = 700 números
@Setiene un cajón de 84 manzanas de
10 gr cada uno y otro cajón con 54
manzanas de 25 gr cada uno ¿Cuánlas manzanas deben intercambiarse
para que sin variar el número de manzanas de cada cajón. ambas adquie8 0 = 80+78+76+74+ .... +4+2
ran el mismo peso?
8 = 80x4O+78x39+76x38+ ... +6x3+4x2+2xl
RESOLUCiÓN:
8=2(40+39+38+ ..... +3+2+1)
.
30 r33i1 2
Nos piden: 83l300rS
@
~[;~J' = 2~
9+---I'-~:-+3 iminutos6
Luego el tanto por ciento es 35%.
~ => n2 = 2~
IIIII
Hallar: a+b+c. si L,: x-3y+a = O
L,: y = 5x+b y L3: y = -2x+c
y
8=2x 40x41x81 =44280
6
@
(2:0)
RESOLUCiÓN:
Toda coordenada perteneciente a
una recta. debe cumplirla ecuación:
(0,4) E L,yL3:
L,:x-3y+a=Oa= 12
.j. .j.
"....--......"....--............--.............--......
L
Mi
Ju
Vi
+4K=24
K=6
.j. .j.
4 O
luego. el viernes gané 30 y el día
anterior. es decir. el día Jueves ganéS/.24.
(2.0) EL,:
y=5x+b~b=-10
.j. .j.
@
O 2
:.12-10+4=6
/\
CII'!IIysello CII'!IIyaeloCll'!llylllllo
Casos favorables = C~ xC~ = 3
Probabilidad = Casos favorables = 3
Casos totales = 8
:. La probabilidad es 3/8
12
'~'
! 1 2
@SegÚnelgráfico.
¿Que hora es?
o
9
..•..•.. .•..•.• 3
•
a
8
; a.
4
7
6
5
@se pagó S/.87 por un traje. un libro y
un sombrero. El sombrero costó S/.5
más que el libro. y S/.20 menos que el
traje. Hallar el precio del libro.
RESOLUCiÓN:
T+L+S=87
.j. .j.
(x+25)+x+(x+5) = 87 ~ x = 19
Un comerciante compra carteras al
precio de 75 soles cada una yademás le regalan 4 por cada 19 que
@Calcularel área del circulo. si a = 64
compra. recibiendo en total 391 carteras. ¿Cuál fue la inversión del cocm.
merciante?
RESOLUCiÓN:
Compran Le regalan
RESOLUCiÓN:
19n +
4n =391 ~ n=17
Recordando:
Compro: 17(19) = 323 carteras c/u
aS/.75
Inversión: 323x75 = 24225
d=2vRxr
Para que una de las raíces de la
ecuación: ax2 +bx+c= O
sea el doble de la otra. los coeficienLuego:
tes deben estar relacionados como
sigue:
2V64xr = 32
RESOLUCiÓN:
=>r=4cm
ax2 +bx+c=O
sean: ny2n son raíces
:. Areadel
círculo =
n =-~
n+2n = - -"10(4)' =1&
a
3a
~
000
2 x 2 x 2 =8
/\
Peso:840g
Hecho el intercambio. se tiene:
840-10n+25n = 1350-25n+10n
Resolviendo n = 17
M
Al lanzar 3 monedas ¿cuál es la probabilidad de obtener una cara y dos
sellos?
RESOLUCiÓN:
Casos totales = l'
2'
3'
/\
Ma
~
O 4
L3:y=-2x+c~c=4
@
En cada dra de lunes a viemes
gané S/.6 más de lo que gané el dra
anterior. Si el viernes gané el quintuple de lo que gané el lunes.
¿Cuánto gané el jueves?
RESOLUCiÓN:
@
~
~
1
@
En el gráfico, ABCD es un rectángu10,AB =20cm, BC=22cm. Si r=7cm
calcular CT, si "r es punto de tangencia.
@
3; -1; -5, ........... , -73
RESOLUCiÓN:
3;-1;-5; ....... ;-73
Bn-bCJ-T------",.,C
'--"'--"
-4-4
t n =-+4n+7
Luego:
-4n+7=-73
n=20
.'. La sucesión tiene 20 términos
A-O
RESOLUCiÓN:
22cm.
B
C
2ocm·~120cm.
AI-7 I
15----1
De la figura: x2+7 2 = 252
x=Y576
Halla~ la .cantidad de ténminos de la
P.A. siguiente:
@
0
_-_ x=24
@Juan y Raúl comienzan a jugar entre
sí con igual suma de dinero cada uno.
Cuando Raúl ha perdido los 3/4 del
dinero con que empezó a jugar, lo
que ha ganado Juan es 24 soles más
que la tercera parte de lo que le
queda a Raúl. ¿Con cuánto empezaron ajugar?
RESOLUCiÓN:
Juan
,----,
~=~\
Los ángulos interiores de un triángulo están en progresión aritmética.
Hallar el complemento del ángulo
intenmedio.
RESOLUCiÓN:
~24+....I<...=3k ~
@
a+a-r+a+r = 180 0
~a=60·
}ES ccmo si fueran @
2°3°4°5°6° 6elementos:P6= 6!
,¡. HH
Las vocales entre sí también se ordenan:P=5!
.'. Número de palabras = 6!x5! = 86400
@
24 carpinteros pensaban hacer 100
carpetas en "(" días, pero a los 9 días
10 de ellos se enfenman por lo que
disminuyeron su rendimiento, cada
enfenmo en un 30% terminando las
carpetas con 3 dras de retraso. Hallar el valor de "r.
RESOLUCiÓN:
Asumiendo rendimiento nonmal: 10 Y
aplicando (cantidad obra)
~
Rond. L_--...¡i_....:.R::..n::.d...._.J
~
24(10)xt=24(10)x9+
+[14(10+10(7))](t-6)
24(10)1 = 24(1 0)x9+210(t-6)
24t=216+21t-126
I
E= [1- ~J ~- ~l ~} . .
+
I~J
Se obtiene:
RESOLUCiÓN:
Efectuando la sustracción en cada
factor, tendremos:
E
=[~J[!J[:}""{~~J
2 2" A
1$
I cando E = -x-x-x···x-S·ImpI'fi
2
1
E=16=a
A+B+C
Tiempo: 11 dlas
@AlsimPlificareIProductO:
2" A
1)
16
EL-----~R~~S~~~O
RESOLUCiÓN:
c
3
IB+cl
C
I
®
3
J= AQ+QC+AE+ER+RS+SD+CD
~
2P.~
F'IIullI
~
~
sombreada
=
----
----------"--"""--""
4 dras
1 dia 6 dras
3t=90~t=30
c
A
2(A+B+C)
~
18 m
A+B+C
~
9m ..... (2)
de (1) Y (2) se deduce que C en un
día~1 m
148m
I
1-- 36m --+- 6m -+- 6m--l
!~4(10):10(7),
~~
p
Una obra puede ser hecha por "A" y
"B" en 6dias, por"ByC" en 8dias, y
por "A y C" en 12 dias. La obra es
empezada por los 3 juntos y cuando
ya han hecho las 3/4 partes "A" se
retira, "B y C" continúan hasta que
hayan hecho la mitad de lo que quedaba, entonces se retira "B", tenninando OC" lo que falta de la obra.
¿En cuántos días se hizo la obra?
RESOLUCiÓN:
Sea una obra = 48 m de pared
Obreros Obra(48)
1 dla
----
(t-6) días
Hallar el perímetro de la figura sombreada, si O, C Y P son centros de circunferencia de radio igual a 3, r = 1;
<tABC= 120·.
A
.'. El complemento de 60· es 30·
A+B ~ 6días ~ 8m ..... (I)
B+C ~ 8días ~ 6m
A+C ~ 12dras ~ 4m
t días
_____
A,______,
r9 dias ,
k=9
,'. Rául empezo al igual que Juan
con: 4(9) = 36 soles
[QT~~:ºlM RC LG
1
I4K)=3K
Pero se sabe que lo que uno pierde
es la ganancia del otro:
3
palabras diferentes se
pueden fonmar con todas las letras a
la vez, de la palabra "murciélago", si
todas las vocales deben estar juntas? (Las palabras no necesariamente van a ser pronunciables).
RESOLUCiÓN:
0
dJ?f
Gana:24+b
@!9l ¿Cuántas
,¡.
Raúl
,----,
~
(21t.3)+
• fi>
= 57t+6v3+4
@
~
(21t.3)+3+(3Va-l)7t+
+(3Va-l)
Dos ciclistas parten simultáneamente al encuentro, el uno del otro, con
rapidez que están en la relación de 4
a 3 y se encuentran cuando el más
veloz ha recorrido 60 km más que el
otro. Calcular el espacio recorrido por
el más lento hasta el momento del
encuentro.
Luego: _ Jl. _ 397 = 332
60 300 300
Un triángulo equilátero y un exágo.
30 r332J 2
no regular tienen perrmetros iguaNos piden: !i3l300
les. Si el triángulo tiene una superficie de 2 u 2, ¿qué área tiene el exá@Si mezclamos 80 litros de alcohol al
gono?
70% de pureza con 60 litros de alcoRESOLUCiÓN:
hol al 40% de pureza ¿qué porcentaPor dato:
je de pureza tendría la mezcla resulPerímetro del L. = Perímetro del O
tante?
3(2a)
=
6a
RESOLUCiÓN:
r"5
M+M=~
OH: 70%
456t
OH:~~
1~0 (140)
@
donde:
140
100 (x) = 56+24
x=57,14
Luego el porcentaje de pureza es
57,14%
@
Tanto en el numerador como en el
denominador de la siguiente igualdad, existe el mismo número de términos. Calcular"a+b"
Aplicando tiempo de encuentro en
ambos casos obtenemos:
8- L,+L,
- V,+V,
L,+L,
(1IIitl)+(110+3)+(110+5)+ ...+ (110+2n-l)
6 = L,+L,
n Términos
110n+n' = 11
n'
-11
= 11
@
a
a
~a+-=45°
2
2a+67' = 90'
2a = 23'
a = 11,5'
_.!= 2VA+V'
3
a
67'
VA+V'
@!§>calcule el área del triángulo ABC en
función de las áreas "U" y "T". Además:
U = 10 cm'; T= 2,5cm'; "O" centro .
B
Pablo vende una radio descontando el 25% del precio que fijó, pero
aún asi ganó el 35% del precio de
costo. Calcular el precio de lista si la
ganancia fue 5/.63.
RESOLUCiÓN:
35% Pe
25% PL
RESOLUCiÓN:
P~~L
I
I
100K
35K
I
135K=75M 25M 100M
Dato: Ganancia: 35k = 63 5 ~ k = 9
Pv: 135K=75M
27(5K)=75M
27(9)=75M
~25M=81
5e sabe que:
(a+x+T)+(b+T +y) = x+y+u
a+T+b+T=u
'---y--'
STriéngulo+T =u
5=u-t
5= 10-2,5
5=7,5
:. PL = 100M = 4(25M) = 4(81) = 5/.324
®
Un juego consiste en trasladar los
discos de madera del primer eje al
tercero. ¿Cuántos movimientos como mrnimo deberán realizar, sabiendo que un disco grande no puede situarse sobre uno pequeño?
En la figura MC = 2AB, calcular "a"
B
A .ot::Jc...!:!=-------:::..,C
~ ~
!
VA+V,
L,+L,
2V,+V,
4VA+4V.= 6VA+3V.
V.=2VA
• VA
1
.. V. =2"
@
5e compraron pares de zapatos a
precios que varian desde 200 soles
hasta 350 soles y se venden a precios que varian de 300 soles a 450
soles inclusive. ¿Cuál es la mayor
ganancia posible que puede obtenerse de la venta de 8 pares de zapatos?
RESOLUCiÓN:
200,; P,,; 350
300,;Py ,;450
Compra: 200x8 = 5/.1600
Vende: 450x8 = 5/.3600
Ganancia: 3600-1600 = 5/.2000
6
2V,+v,
b
:. a=110+2(11)-1 =131
b=2x11-1 =21
:. a+b= 152
@
.. ..8.=
~ 11,0)0( = 1,On'
~n
RESOLUCiÓN:
"VB".
111+113+115+ .... +a = 11
1+3+5+ .... +b
RESOLUCiÓN:
Expresando cada sumando como sigue:
n Términos
a
\1+3+5:",,+[~1 1
¡ k\,
Dos trenesAy B de longitudes "Lty
"Li se desplazan en sentidos
opuestos con rapideces constantes
y tardan 8 segundos en cruzarse totalmente entre sr, pero si A duplicará su rapidez, tardarran 6 segundos
en cruzarse. Determinarla razón de
sus rapideces (A/B).
RESOLUCiÓN:
5ean las rapideces iniciales "VA" Y
@
RESOLUCiÓN:
B
La ecuación de la recta qu~asaJlQr
los puntos medios de AB y CD,
siendo:
A= (3;4), B = (4;5), C= (-2;6),
D = (5;7), es:
RESOLUCiÓN:
RESOLUCiÓN:
Pongamos números de menor a maTrazamos la bisectriz <i MAC
Luego trazamos la ceviana MQ.1.a
la bisectriz (Q sobreAC)
NPes base mediaAQMC (NPIIQC)
El trapecio APNC es isósceles (AP
= NC)~m<iPAQ=m<iQCN =a
Yor:ffi __
2
(1')3
(S') 12
iL
(2')3
iL
(7')
1
(S')
L!
(4')
1
iE
(5') 1
H!
(12') 1 3
1
2
(13')
21
(14')
_H
(9')
_H
(lO')
Hi
1
2
iL
!H
(3')3
(11')1
Li
!11
1 (15')
Hi
3
2
3
_11
2
3
__ i
12;,1
15
Movimientos
Por pendientes:
y_n.
.2
•• L=-3-=-1
x--
Enel ~ABC:4a=90'
a=22,5'
@
En la figura se muestra un cuadrado
y un triángulo equilátero de lados
iguales. Hallar el ángulo formado
porla prolongación deAB yCD.
2
13
3
y-2" = -x+"2 ~x+y+5 = O
@
Al lanzar una moneda 3 veces consecutivas, ¿cuál es la probabilidad de
obtenertressellos?
ce girar a "C". ¿Cuándo "C" haya
dado una vuelta completa, ¿cuántas vueltas daráA?
RESOLUCiÓN:
Casos totales = 2x2x2 = 8
Casos favorables =@@@= 1
~ Ana
compró con 108 soles 3 litros
más de los que pensó comprar, pues
la oferla indicaba que 1/4 de docena
costaba 9 soles menos. ¿Cuántos Iibroscompró?
RESOLUCiÓN:
Pensó comprar: "J(" libros
Compró: "x+3" libros
Dato:
3 libros costaba 9 soles menos
Entonces, 1 costaba 3 soles menos.
Luego:
1 libro llibro
108 _ 108 =3
x
x+3
Desarrollando: x = 9
:. Compró:9+3=12Iibros
P b bT d d = Casos favorables = ~
ro a I I a
Casos totales
8
:. La probabilidad es 1/8
@
En la figura se muestran 3 circulos
iguales de radio igual a R. Entonces
el área de la región sombreada es:
&
1 vuelta
RESOLUCiÓN:
~ Si la suma de 20 números naturales
consecutivos es M, entonces la suma
de los 20 números siguientes es:
RESOLUCiÓN:
20 números
20 números
Como sabemos: #V.I.P. #d
. . 120xl = 30(x)
x=4
Ada4vueltas.
@
Del gráfico: S = (2R)(R)
S=2R2
@
b
~
¡ ¡
La suma de los 20 números siguientes es: M + 400
@
"----y----'
"----y----'
'-------y----'
a- 1 =c
b-1 =b
c· 1 =a
12
/~Ahora~-'"
Futuro
Pasado
RESOLUCiÓN:
P(2) = P
r
I
Luego reemplazando en:
E=(38-6)8-7
E=-18-7=-6
En la figura A, B, C son engranajes
con 30, 60 Y 120 dientes respectivamente. "A" hace girara "B" y este ha-
= P(4)-P(2)
Juan~ 2n
2n:;:¡'
Rosa: 3n
3n+4
6n
3n
Apreciamos que:
3n=12
n=4
:. Edad de Rosa: 3(4)+4 = 16
®
En el gráfico ABCD es un trapecio, si
AP+PB = 30, Y 3AB = 5CD. Calcular
CP+PD.
~
p(')
'--y--'
~--=2
¡í+e+2=¡í --+le=-21
Luego:
a8a-1=e (por definición)
a8a-1=-2
a+a- 1+2=-2
-12-1=_6
•• a --4-a ~ 3-1=_7
[;J
Luego: P(2) = P(4)-P(2)
~ 2P(2) = P(4)
Elomenlo,,"""
a8e=a
a8b=a+b+2
J
Si: P [ ; = P(x)-P(y), calcular:
P(4)1P(2)
RESOLUCiÓN:
Si: a-1: elemento inverso de "a"
r--sn
--------
b
@Si:a8b=a+b+2
Hallar: E = (382.1)83.1
Hace 4 años la edad de Juan era los
2/3 de la edad de Rosa y dentro de 8
años será los 5/6. ¿Cuál es la edad
de Rosa?
RESOLUCiÓN:
~
En la pregunta:
E=(a8c)-18b
@
11
Razón # de términos
del grupo
E=b- 18b~E=b8b=b
ab=42
mn=27
Nació: 1642
Murió: 1727
@
.l. _____ J
cbL.~.Ja
Hallar: E = (a 8 c)-18 b
RESOLUCiÓN:
a a b c
Elemento
neutro
a c a b
¡
b a b cl e=b
c b c a
ab+12=2mn}_
[2 _
2 ab+12 = 2 -ab-l
mn+l =3 ab
3
~
suma =??
suma = M
t
I
+1 x20 2 (Teorla)
Luego:
a8a-1=b b8b-1=b c8c-1=b
de la labia a8c=b
b8b=b c8c=b
RESOLUCiÓN:
Año de nacimiento: 16ab
Año en que murió: 17mn
.I
....................
+1
+1
'a'i_____bi c,
l. ____
Jo...
,¡--------
0 + 0 + 0 + .................... ·
a a b c
a }?_J~l _ ~,
Newton nació en el siglo XVII y murió
en el siglo XVIII. Se desea saber el
ano de su nacimiento y el ano de su
muerte, sabiendo que el número foro
mado por las dos últimas cifras del
año de su nacimiento aumentado en
12, es el doble del número formado
por las dos últimas cifras del año de
su muerte y que este número aumentado en 1 en las 2/3 partes del
primero.
r~~A
Dada la siguiente tabla:
P(2)
@
La diferencia entre un número de 3
cifras y otro número obtenido escribiendo el anterior, pero con las cifras en orden invertido, siempre es
múltiplo de:
RESOLUCiÓN:
Número original: abc
De la condición:
abc-cba = (100a+l0b+c}_ .--11 OOc+l Ob+a) = 99a-99c
~abc-cba = 99(a-c) = llx9x(a-{:)
.'. La diferencia es múltiplo de 11
A~B
RESOLUCiÓN:
3k
A~~--------~B
5k
Por el dato: 5m+5p = 30 ~ m+p = 6
Luego: 3p+3m = 3(p+m)
3p+3m = 3(6) = 18
@
En una fábrica la producción diaria
de pantalones es inferior a 120 unidades. Cierto dla se recogió tal cantidad de pantalones que al contarlos
de4a4sobraron2, de5en 5 sobró 1
yde 7 en 7 sobró también 1. Lacantidad de pantalones recogidos ese dla
fue:
RESOLUCiÓN:
N" pantalones < 120
Por dato:
N" pantalones = 4+2
@
4
. . 36,71,106
Calcular el área de la región sombreada, si: R, = 6cm, R2= 2cm, R3=
4cm.
x-l
4ncm 2
-.' ~=167tCm2
~=::~~~3)+
M+N+P+47tcm 2+47tcm 2=
= 567tcm2
=3
@
@WSi:a#b=t
@
Dos nadadores parten al mismo
tiempo de extremos opuestos de
una piscina de 90m de longitud con
rapidez de 3 y 2 mis respectivamente. Cruzan la piscina varias veces
durante 12 mino Suponiendo que no
pierden tiempo al voltear, ¿el número de veces que se han encontrado
es?
RESOLUCiÓN:
a2~:5bjb-1; Va"O
hallar: 5#[5#{5#{5#........ )}]
RESOLUCiÓN:
2
#b a b+35b =-ª-+l§..
a
4a
4
20
Si: 3x+2y+z = O
x+z
Calcular: - z-y
RESOLUCiÓN:
Sumando a ambos números "2z"
tendremos:
3x+2y+z+2z = 0+2z
3x+3z= 2z-2y
3(x+z) = 2(z-y)
x+z
2
--=z-y
3
zt
&=2=22=(3-1)2=
_-_ x=3
:. L: 4x+3y-13 = O
RESOLUCiÓN:
Nos piden: "M+N+P"
Luego:
A64=82=(9-1)2=~
,&=9=32=(4-1)2= z55,
3
4
Luego la pendiente de Les: -4/3
(por L , ...l L)
Punto de paso: (1; 3)
Entonces la ecuación de la recta L
será: y-3
4
: _ N" pantalones = 106
@
4
Pendiente de L,:
N·panlalones=~+1 }(7X5)+1 =35+1 J
N" panlalones=7+t
Entonces el número de veces que se
Hallar la ecuación dela recta que es
han encontrado es: 20.
perpendicular a L, cuya ecuación
es: 3x-4y-l = O y además pasa por
el punto (1 ;3)
@Lih=(n-l)2,hallar"X"en:
RESOLUCiÓN:
,A64,si:xeZ+
L,:3x-4y=11
3
11
RESOLUCiÓN:
y=-x--
Observamos que la regla de definición sólo depende del ler. elemento
(a).
5
35
~5#5=-+-=3
4 20
:. 5#[5#{5#(5# ..... )}] = 3
@
Indicar el vigésimo quinto término de
la siguiente sucesión:
4, 10, 16,22,28, ..................... .
RESOLUCiÓN:
Es una PA de razón r=6
:. t,=6n-2
luego: t25 = 6(25)-2 = 148
@Si:X+~=3
Calcular: x 3 +
...t,
x
RESOLUCiÓN:
Elevando al cubo el dato:
[x+
:]'=
(3)3
X3+3X . ....!..rX+....!..J +_1_= 27
x
l
x
'----y-----'
3
90m
El tiempo para el primer encuentro
90
es: 3+2 = 18s
x3+9+_1_= 27 . . x 3+ _1_= 18
@
Continúan
~~
El tiempo para el segundo encuen180
tro es: 3+2 = 36s
Se deduce que a partir del primer
encuentro, los encuentros se producirán cada 36 s.
Luego: 12 min = 720s
720 s-18 s = 702 s
L
Por el prlmerancuentro
702~
18 19 encuentros más
x3
@
x3
x3
Si tuviera 2 veces más de lo que tengo tendría 1 vez más de lo que perdí.
¿Cuánto tenia, si perdIS/.30?
RESOLUCiÓN:
Tengo: S/.n, pardl: 5/.30
~tenía: n+30
tuviera: 3n = 2x30 ~ n = 20
:. Tenía: 20+30 = 50
Hallarel número que falta en:
d:E ;12W;13M;14[2O]
RESOLUCiÓN:
Buscamos la ley de formación y observamos que esta es:
!'~2m) !2~6[!J)(L~~~)';:~2~1.8)
@
@
Hallar el área máxima del triángulo
que puede ser inscrito en un semicírculo cuyo radio es "R".
RESOLUCiÓN:
El área sería máxima cuando la altura sea la mayor posible. Esto sucede
cuando toma el valor del radio:
~
\.
A=n>V3
4
@
v~---'
2R
: . SmOx.
@
= R2
Hallar el ángulo "C" en función de los
ángulos "A" y "B" (la figura la componen tres cuadrados iguales).
Un automóvil de 4 m de longitud viaja con rapidez "v" por una pista paralela a la vía del tren. A 150 m de
distancia viaja un tren de 46 m de
longitud que se desplaza en la misma dirección del auto con una rapidez de 20 mis. Hallar la rapidez del
auto, si logra pasar al tren. luego de
20s.
RESOLUCiÓN:
Tren
I~
!
!
!
!
4m
150m
e)
~: = ~
En el mismo tiempo "A" recorre como
4 espacios mientras que B recorre
como 3 espacios.
~.~
Porcondición:4e-3e=60 ~ e=60
Luego, el más lento recorrió:
3(60km) = 180km
@
;~
;
RESOLUCiÓN:
SeanAyBlosciclistas:
20m/s
-'.rlrer.t.
".TlTer.ll~
I
I
Dos ciclistas parten simultáneamente al encuentro, el uno del otro, con
rapidez que están en la relación de 4
a 3 y se encuentran cuando el más
veloz ha recorrido 60 km más que el
otro. Calcular el espacio recorrido por
el más lento hasta el momento del
encuentro?
RESOLUCiÓN:
Encontrar el área de la región sombreada, si los 3 círculos son iguales y
de radio "R".
46m
Lo pasó en 20 s
20 = 4+~~~:6
~1AB11 1 1
~
~
~
A=B=-
~ Calcular el área de la región som-
2
2,/
A+B=~=~L'_ _ _ _
RESOLUCiÓN:
breada, si el área del paralelogramo
ABCD es 120 u2.
T
~
C=45-
\..
~ V = 30 mis
,!SE{
@¿Cuántoscuboshay?
Area=~-2~
RESOLUCiÓN:
= "R2 -2 [ ,,:2
AI.C._~!....Iiiíi~
RESOLUCiÓN:
1 2 345
2
3
4
5
Número de cubos = 5x5x4 + 4x4x3+
3x3x2 + 2x2x1 = 170
Respuesta: Hay 170 cubos
@
A partir de la figura. el área de la región sombreada es: (AB es base media).
12S=120u2
S=10u 2
:. 4S=40u 2
@
La figura muestra un cuadrado de
lado "L". Hallar el área de la región
sombreada. si M y N son puntos
medios.
:~'
A
RESOLUCiÓN:
D
@
J :.
Área = ,,:2
Una persona con el dinero que tiene
puede comprar 30 manzanas y 24
naranjas o 25 manzanas y 32 naranjas. Si compra sólo naranjas, ¿cuántas podrá comprar?
RESOLUCiÓN:
30M y 24N
~
1-5MI
JI+8NI
25M y 32N
:.5M<>8N JX6
30M <>48N
luego si sólo compra naranjas:
30M y 24N
'--y-'
48N + 24N = 72N
@se tiene una mezcla al 60% de alcohol. Si quisiéramos que la mezcla sea
al 50% de alcohol, ¿qué porcentaje
de agua deberíamos agregar respecto al total inicial?
RESOLUCiÓN:
Asumamos que el total inicial sea 10
xlitros H20
RESOLUCiÓN:
Trabajando:
~::o ~H20:50%
~OH:50%
OH: 60%
OH: 50%
Nos piden:
mero tantas cosas como aún quedaba en ese primer montón. Si ahora los 3 montones tienen cantidades iguales, ¿cuántas rosas habla
al principio?
RESOLUCiÓN:
De los datos:
2
10 x100% = 20%
@
Si la base de un triángulo aumenta
en un 20% y su altura disminuye en
un 20%, ¿en qué porcentaje varia su
área?
RESOLUCiÓN:
1°
Al inicio:
1
~=2bxh
h
Final:
12 x
+12
-20%
lx12
-4%
8 = 96
Al final:
~:.: 51
1
Comp......
losvaloresdel
ftnalal ilicio
+8
[ill + [ill + [ill =48
G=1
I
@
L:
~ Una persona demora en
I!egar a un
pueblo hacia su casa 4 dlas. El pnmer dla recorre el 20% del camino,
más 100m. El segundo dla recorre la
cuarta parte del resto, más 125m. El
último dla recorre el 25% del dla anterior. Hallar el recorrido total si el tercerdla avanzó 800m.
RESOLUCiÓN:
5xm
~,~
1ero Día
:. ler. 22; 2do.: 14y3ro.12
Si la ganancia repres~nta e125~ del
precio de costo, ¿que porcentaje representaria esta ganancia respecto
del precio de venta?
RESOLUCiÓN:
Del problema:
P.c.
1x2
[IJ
+[ill +í24l
~
:, Disminuye4%
@
[El + [El + @] = 48 = 4(12)
'+1(1x2
A
Inicio: (10 X(10 = 10)
+20%
3°
[IJ+~
El área depende de la base y de la altura mas no de la constante l1..
b
2°
y+5 = 2(x-2) ~ 2x-y-9 = O
Comparando:
y = 2x-9 (Sol. de Daniel) ~ Correcta
y-7 = -2(8-x) (Sol. de Betty) ~ Correcta
Los dos tienen la respuesta correcta
';;:100'
Calcular el área del pentágono cuyos vértices son los puntos de coordenadas A(-5,-2), B(-2,5); C(2,7),
D(5,I)yE(2,-4)
RESOLUCiÓN:
D(5;1 )
_-I-_l----,f-+
x+25+125
~
3er. Día
4to. Día
'ailil' '2ilil'
:~~~~~J
Planteamos:
5x = x+l00+x-25+125+800+200
x=400
Luego el recorrido total es:
5(400) = 2000 m
@Sielsistemadeengranajes:
25% P.C.
Nos piden:
--ºxl00% = ~xl00% = 20%
P
5
y
@
En una competencia participaron
hombres y mujeres. Ocho mujeres
salieron de la competencia, quedando en ellas 2 hombres por cada mujer. Luego se retiran 20 hombres
quedando 3 mujeres por cada hombre. ¿Con cuántas personas se inició la competencia?
RESOLUCiÓN:
Hombres
Mujeres
•
a
a
b
b-8
b-8
• a-20
Luego:
a=2(b-8)
b-8 = 3(a-20)
:. a=24
b=20
~ 24+20=44
@
@
Calcular el valor de: "x+y"
"V'4x+l-"V'3y-2= 1
"V'x+14+"V'y+2=6
RESOLUCiÓN:
Buscamos valores adecuados para
que las cantidades bajos los radicales tengan ralz exacta.
Asi, para x = 2 Y Y = 2 se cumplen
las igualdades.
Nos piden x+y = 2+2 = 4
Se tiene 4 docenas de rosas repartidas en 3 montones diferentes. Del
primer montón se pasó al segundo
tanta rosas como hay en éste, luego,
del segundo se pasó al tercero tantas flores como habla en ese tercero,
y por último se pasó del tercero al pri-
Hallando el área por determinante:
70d
funciona 1 minuto ¿en qué relación
estará el número de vueltas de "A" a
"F"?
+
(
:. Area
1~
35
:~~)
2
+
2
20
-20
-4
71
-61
N'D
171-(-61)1 = 132 = 66u'
2
2
@unovillopesal71kg, más los
~
•
de los - 5 de - 6 de su peso ¿ Cuan-
7
N'V
11
to pesa el ovillo en kilogramos?
RESOLUCiÓN:
Por condición del problema tendremos:
2 5 6
Peso del ovillo: 171 + 3 x 7 x 11
(peso del ovillo)
Resolviendo: 231 kg.
15
;~
luciones a un problema de la tarea
asignada. El problema era: "Hallar
la ecuación de la recta que pasa por
los puntos (2;-5) y (8;7)". Daniel halló: y = 2x-9 YBetty encontró: y-7 = 2(8-x). Hallar la ecuación e indicar
quién tenia la respuesta correcta.
A. (2, -5)
B: (8; 7)
y-(-5) _ 7-(-5)
x-2 ----¡j:2
(x; y)
A (2; -5)
'--y--'
0:70
E: 30
y
®""
F:20
N'V
®
14
21
• Como C y O están unidos mediante
un eje; dan la misma cantidad de
vueltas. Luego establecemos:
N'VA=15=5
N'VF
21
7
@calcular el término de lugar 10 en la
P.G. siguiente:
4,6,9,27/2, ............ .
RESOLUCiÓN:
Acomodamos cada término de acuerdo a la posición:
1°
2°
~ Daniel y Betty comparaban sus so-
R~S~LUCIÓN: 2ixl(8; 7)
N'D
'--y--' '--y--'
A:20
B:30
C:50
2:3 0 2:3 1
2-120
. --ª'-
3°
2~3'
2'
~ ............. 10°
2 :3
2'
.........
r2~
L...:!.8...J
19683
•• 128 =~
@Si un arco de 60' sobre un circulo I
tiene la misma longitud que un arco
de 45' sobre un circulo 11, entonces la
razón del área del circulo I a la del circulo 11 es:
RESOLUCiÓN:
(1)
2·
1·
(11)
\...JJ3 ~~(b)
~4
20'
Del dato:
20'
~~(a)
~{
t
3
20'(
_--ª-
@
""
¿Qué ángulo forman las manecillas
de un reloj a las 9h:60?
RESOLUCION:
Las9hI60·1 ...... 1 hson las 10 horas
El <l: formado será:
{
60% -> (3tv0B
BOL
OH:4&.
{
AG:32L
_36
. AG:32L . 40% -> (2) -> 72
,AG:40L ,
LJ'
'---------'
)(36
se observa: x = 60 L
@Si:
@
&=(x-1)2+n
A
Efectuar:
&-~
M=----
x
RESOLUCION:
A=((X+2}-1)2+n
Luego:
[(X-1)2 +n]-[(x+1)2 +n]
x
M=
X2 -2x+1 +n-[x2+2x+1 +n]
x
M=
= -4x =-4
x
Se tienen 4 velas de igual longitud y
calidad. Cada vela se prende 20 minutos después de la anterior. La primera vela se consumió totalmente
cuando la cuarta se había consumido en su tercera parte. En ese instante, ¿en qué relación se encuentran las longitudes de las otras dos?
RESOLUCION:
1
2
@
El perlmetro de un velódromo es de
750 m. Si recorrió 10 km. ¿cuántas
vueltas completas ha efectuado y
en qué posición del punto de partida
se detuvo?
RESOLUCION:
:. N· partidos empatados = 28-1 = 27
@
Dos autos parten simultáneamente
en sentidos opuestos. el primero
viaja 5 kmlh más rápido que el segundo. Después de 8 horas se encuentran separados 360 km. ¿Cuál
es la rapidez del primer auto?
RESOLUCION:
Una tela al lavarse. se encoge e110%
en el ancho y el 20% en el largo. Si se
sabe que la tela tiene 2m de ancho.
¿qué longitud debe comprarse si se
necesitan 36 m 2 de tela después de
lavada?
RESOLUCION:
10x
8
~21
EJ.l.8ml
Luego:
36 = 1.8(8x) ~x=
410
:.Iongitud: 10 [~O} 25 m
@
Hallar el área del triángulo que forman las rectas:
L,:y=x+2
L2:y=-x+2
L3:Y= 1
En el plano cartesiano
RESOLUCION:
L2:y=x+2
En un campeonato de fútbol participan 8 equipos. Si en cada partido se
disputan 2 puntos y todos juegan
contra todos. ¿Cuál fue el máximo
número de partidos empatados si el
campeón absoluto resultó con 8
puntos?
RESOLUCION:
Como son 8 equipos. cada equipo
debe jugar 7 partidos. como nos piden el máximo número de partidos
empatados. supongamos que todos los partidos de cada equipo son
empatados. en conclusión. obtendría 7 puntos. Pero el campeón absoluto obtuvo 8 puntos. es decir.
que de sus 7 partidos. tuvo que ganar 1 partido.
Sabemos:
N· de partidos= 8;7 = 28
.'. M =-4
@
¡
3K
1 vuelta = 750 m
2 vueltas = 1500 m
Enl0m<>10000m
habrá: 9750 m + 250 m <> 13v+250
Habrá 13v+250 m del punto de partida.
:. A250 m del punto de partida.
rOH~;----
+
2·
3·
Del gráfico se tiene:
e=(v+5)8
Además:
360-e= vx8
~ 360 = 8v+40+8v
v=20kmlh
:. v+5=25kmlh
SO'
o
A80L de alcohol al 60% se le agrega
40L de agua. ¿Cuántos litros de alcohol puro se debe adicionar a esta
mezcla para obtener la concentración inicial?
RESOLUCION:
OH:4BL
I--e ---1
:. 1: 2
Del gráfico: 60·
BOL
¡
2K
ah (V+5)kmIh
1 - - - - 360 km - - - - - - 1
Tiempototal: t+60'
El tiempo de consumo es para todos por que son de la misma calidad.
@
@
¡
lK
ah
~~
20'
~a=3
b=4
A, = 7«3)2
A"
7«4)2 - 16
V kmIh
~¡ ~'f
20'
~(a) =~(b)
3
4·
3·
L,nL2{ y=x+2 .....,.., y=2
Y=-X+2 '""" x=o
(0:2)
Y=-X+2 '""" x= 1
'-V y=1
(1 :1)
L,nL.{ y=1
L
,n
L {Y=X+2 '""" x=-1
2
y=1
""""'y=1
(-1;1)
2~~X~~0
-1~1
+
+ -1
-
1
O
O
2
-
1
2
-1
11-(-1)1
2
Luego'. S = - 2 - = 1u
@
¿Cuántos cuadriláteros hay?
cE§:n
RESOLUCION:
r----..,
! !
r····
~ _.,i
L.._2
23
....,
..
Podemos contar:
3x4
2x3
RESOLUCION:
Calculando la pendiente:
(-4)·(9)
·13
m - (.8).(5) - -13 = 1
.
-2- x -2- = 18 cuadnláteros
,....1....
2 .....l....,
r····m····"
L...L..
3 ....L...!
Los cuadriláteros a contar son:
(1). (12). (123)
@
~
3 cuadriléteros
r-···,
r-••
-~._••_~. __•."
Además:
m=tg6=1 ~6=45'
:. m=1;6=45'
Luego:
Ahora:
En la figura. cada línea representa
un camino. ¿Oe cuántas maneras
distintas se puede irde la ciudad 1 a
la ciudad 20?
Nos piden: --"-- (1 00) = 70
........ 100
~
t
3
~
t
cludtIu3~n...
MIIneru anBiIl8l pueden
penw.¡Itne con 1116
mIIn... lndlCldu
Entonces:
Total de cuadriláteros = 18+3+9 = 30
@
Pnlfilgllrall
+ciud.cl20
II!Jndrlflll101:
3K6)(9)(.....x57 maneras
~ 311{1x2x3x'H 19) ITII!Ineru
~311(191)lTIInlillll
:. #maneras=3 19 (19!)
Un libro se empieza a enumerar des·
de su primera página y se nota que
58 números comienzan con la cifra.
@
¿Cuántos números escritos terminan con la cifra 7?
RESOLUCION:
Oel dato sabemos que hay:
58 números que empiezan con la cifra 7
un número 10 números
47 números
2°
r
'----~v~----'
@
Una rueda "A" de 50 dientes engrana
con otra "B" de 25 dientes. a su vez.
fijo al eje de B hay una rueda "C" de
15 dientes que engrana con una rue·
da "O" de 25 dientes. Si la rueda """
da 120 R.P.M .• ¿cuánto tiempo de·
mora la rueda "O" en dar 1440 revo·
luciones?
RESOLUCION:
3 ........ 19° 20°
~
r
~
r
~
Entonces: Rojos: :0 x100% = 30%
2+19r=59
:. r=3
Blancas:
Una ficha cuyas caras están marcadas con los números 3 y 4 respectivamente es lanzada 5 veces. ¿Cuál
es la probabilidad de obtener un total de 17?
RESOLUCION:
# casos totales: 2" = 32
# casos a favor: 10
~
av
1202x2= 1xa~a=240
~ax3=bx5
240x3=bx5~b=144
Para la rueda "O":
1' --144vueltas )
10 (
x
10' --1440vueltas x10
Se demora 10 minutos.
Hallar la pendiente y el ángulo de in·
clinación de la recta que contiene al
par de puntosA(·8;-4) y B(5;9)
Azules:
@
x100% = 20%
~
3!x2! = 10
~~ =
5
1S
@con 5 kg de arena pueden construirse 3 cubos de 10 cm de arista ¿Cuántos cubos de 5 cm de arista pueden
construirse. con 10 kg de arena?
RESOLUCION:
~~
# kgArena
I
5
# Cubos
1+
+
10
Volumen
3
I X I
10 3
x
X
53
_5_ _ --.1º-...
3(10)3 -
@
X(5)3
:. x = 48
En el gráfico mostrado BO = 5 Y m
OBC = S' entoncesAC es:
Antes Tolal: 100K Después
'H:40K'....!Z4 '40K+70'
M: SOK ~ SOK-20
100K+50
1
P(As) = 52 = 13
En una reunión. el 40% son hombres y el resto son mujeres. Oespués ingresan 70 hombres y salen
20 mujeres. entonces el número de
hombres es el SO% del nuevo total.
¿Qué porcentaje del nuevo total de
damas son las personas que ingresaron después?
RESOLUCION:
Nuevototal;
2~
x100% = 50%
4
:I :I :I :I =}I ~:;2)=
@
~~
Oe un juego nonmal de naipes (casinos). ¿cuál es la probabilidad de obtener un "AS" al extraer una carta?
RESOLUCION:
La baraja tiene 52 cartas de las cuales4 son ases; luego:
.L. 2° 30 4° 5°
:. P(suma en total sea 17) =
av
Luego:
Total: 20 esferas
O 0 ...... ·0.59
~
7.17.27.37 .................. 737
74
3° ........ 20°
O O ...... ·.~
l'
2.
~--~,
737·7+10
Tenemos:
10
2°
En una suma hay esferas de color rojo. azul y blanco. Las rojas son eISO%
de las blancas y las azules son el
25% del número de rojas y blancas
juntas.
Respecto del total. ¿qué porcentaje
representan las esferas azules. rojas
y blancas respectivamente?
RESOLUCION:
Asumiendo que las blancas sean 10
tendremos por las condiciones del
problema:
2
S=t ;X}0=S10 -+x=59
Ahora escribimos los números que
terminan en 7.
,
En una progresión aritmética creciente de 20 ténminos. el primertérmino es 2. Si la suma de los 20 términosesS10. hallarla razón.
RESOLUCION:
1°
2.
1,---------~-------....y7, .....,'----y---J
70, .... , 79, ..... , 700, 701, ..... ~
'------v-------
@
Que%de .....
x=70
.-. El porcentaje es 70%
~ ........ ®
9 cuadriláteros
H: 150
M: 100
rnuevototal de mujeres
RESOLUCION:
Los cuadriláteros a contar son:
(1). (12). (123). (1234). (12345)
(5). (45). (345). (2345)
@
:~~+70= l.iJ(100K+50)
~ ........ @
i i2 i3i
@
Por condición:
~SO%
A
~
D
e
«
.
As
RESOLUCiÓN:
En el gráfico. trazamos la mediana
BMeneIAAB
A
~
M
I
RESOLUCiÓN:
D
•
@Hace 10 anos tenia la mitad de la @SeSabeqUedehOya5anos."A"Será
edad que tendré dentro de 8 anos.
tan viejo como lo es hoy "B". quien tiene la cuarta parte de la edad que tenSi tú naciste cuando yo tenra 15
años. ¿cuál será la suma de nuesdrá OC" en ese entonces. Hallar la sutras edades cuando yo tenga el doma de las edades de los tres dentro
de 10 años. si además OC" es mayor
ble de la edad que tuve hace 11
que"B"en 16años.
años?
C
mente tengo esta edad)
Hace 13 años tuve 15 años y tú naciste cuando yo tenía esa edad; luego tu edad y la mía se diferencian
en 15 anos. Hace 11 anos tuve 17
anos. el doble de esto en 34 anos.
entonces:
Cuando tenga:
Ahora
2(28-11)=34)_15
Yo
(28
Tu -15 13
19
Suma=¿?
:. Suma=53años
Indicar cuales de los siguientes
enunciados son verdaderos:
1. La suma de dos números triangulares siempre es un número triangular.
11. La sucesión de Fibonacci es:
1.2.3.6.11.20.37•......
111. En la sucesión 12. 19.26.33 •... el
término de lugar 20 es 145.
RESOLUCiÓN:
1. Números triangulares: 1; 3; 6; 10;
15; ....
Suma de 2 términos cualesquiera
1+3= [:{]
5.8 ...... .
RESOLUCiÓN:
@JuancercósUjardinYlacercaformó
un cuadrado en el que habían 15
postes en cada lado. ¿Cuántos postes utilizó?
20 L
"x"L
@
7
RESOLUCiÓN:
Supongamos que la hora es: 9:n'
12
DEMI PADRE
r1~~ ~
{7~"ú
~O
~
{7
SUHIJO
8
iíIíI :.EsmiPadre . . .
3
9
s
30L
C2
Mi abuelo nació el siglo XIX y en
1887 cumplió tantos años como la
suma de las cifras del año de su nacimiento. Yo naci exactamente 100
anos después del ano de su nacimiento. ¿Cuántos anos cumplí el
ano 1995?
RESOLUCiÓN:
6
RESOLUCiÓN:
.a=t~r
""a=6n-120
Luego:
n
9
6n-120 = - "" n = 21-
~ [Q
~
@JB
@
Del problema. planteamos el siguiente esquema:
UNICA HERMANA
¿Qué hora marca el reloj mostrado
en la figura?
12
11
1
3
2
0
Monacimienlo '18 b
del abuelo
. a + (a+b+9)
Ano de Referencia: 1887
"" 18ab+a+b+9 = 1887
lla+2b=87
Resolviendo: a = 7. b = 5
Luego: el abuelo nació en 1875. entonces yo nací el año 1975.
En 1995 cumplí 20 anos
11
•
9'
•• 9:21-;¡;¡-
@
20-x = _x_ "" x = 12 t
x
30-x
El lío del hijo de la única hermana de
mi padre. ¿qué parentesco tiene
conmigo?
Suma:3x+41
sumaanaspa
x+4x= x+16+x+5
x=7
Suma = 3(7)+41 = 62
~
Denotemos:
C:calidad
Para que tenga la misma calidad las
dos mezclas deben estar en la misma proporción. es decir:
Luego:
N" de postes utilizados:
15+25+13+13 = 56
x+5
x+l0
x+26
"x"l
C,
RESOLUCiÓN:
YO
A: x-5
x
B: x
x+5
C:x+16 X 4x
'-------y------
ferente calidad. El primero contiene
20 L Y el otro 30 L. Se saca de cada
barril la misma cantidad y se echa
en el primero lo que se sacó del segundo y viceversa. ¿Qué cantidad
de vino ha pasado de un barril a otro
si el contenido de los dos resultó de
la misma calidad?
El enunciado 11 es Falso.
111.12;19;26;33; ...... .
t,=7n+5sin=20
"" t20=7(20)+5=145
El enunciado es Verdadero.
MI PADRE
t:!QX
~ Se tienen 2 barriles con vino de di-
"" No es un número triangular.
El enunciado I es Falso.
11. Sucesión de Fibonacci: 1.1.2.3.
@
~
Fut.
EY1.
x-lO = 2" (x+8) "" x = 28 (Actual-
I
"" AM=MB=MC=BD=5
:. AC =AM+MC= 5+5= 10
@
RESOLUCiÓN:
1
Un par de conejos siempre da crla;
una vez al mes dos conejitos (un macho y una hembra). Al cabo de dos
meses de nacimiento estos conejitos
comienzan a tener erras. ¿Cuántos
conejos habrá al cabo de tres meses.
si al comienzo había un par de conejos?
RESOLUCiÓN:
Inicio:
Gr fJ Padres:
,.a{,d{,i
I
,.a{ ~{,
1 mes{GrfJ
... 2
... 2
Tolal:l0
... 2
Gr~ ... 4
:. 10 conejos
@
Hallar la ecuación de la recta L que
pasa por el punto (-2;3) y es perpendicular a la recta: 2x-3y+6 = O
@
RESOLUCiÓN:
m,=7?\
L,
(-2;3)
2
m'=3\
=---'tL-_-. L,: 2x-3y+6=0
'
.
.
L
Hora: 4:n'
1 Pc 1 32% Pc 1 En total 132% Pc
9+-+-~f----+
Ganancia
I mL1xm~=-11
1 Pc 112% Pc 1 En total 112% Pc
L,
2
12
.".-¡--...
Ganancia
Recordando:
a=120+~-6n
132% Pc-112%Pc=240
20% Pc = 240
~ Pc = 1200 soles
3
mLl'3=-1 ~mC,=-2
Luego:
3
L2: y-3 = -2(x+2)
@
L2: 3x+2y= O
@
mado por las manecillas del reloj están en la relación de 10 a 26. Antes
que el minutero pase al horario.
RESOLUCiÓN:
Al vender un objeto ganando el
32% del costo, se ganó 240 soles
más que si se hubiera vendido
ganando solo el 12% del costo.
¿Cuánto cos-tó el objeto?
RESOLUCiÓN:
En la figura, si el triángulo tiene base
"b" y altura "h"¡ entonces ·x" es:
2
e = 240-~+6n
2
La edad en años de una tortuga es
mayor en 20 que el cuadrado de un
número "n" y menor en S que el cuadrado del número siguiente a "n°.
¿Cuántos años tiene la tortuga?
RESOLUCiÓN:
Luego:
120+ -%--6n
10
26
6n+240-~
2
Edad de la torbJg'
n2
'----'"
20
RESOLUCiÓN:
B
@
~,
~~
uC
b
Se observa que el triángulo ABC es
semejante al triángulo MBN, entonces: --"- _ h-x
b - 2x
Desarrollando:
bh
x = 2h+b
@
7
@
9
8 6~7 8
8
5
Si una persona compra 40 naranjas
a 5/.2 cada una, vende 20 ganando
S/.1,S en cada una y las restantes
las vende al precio de costo. ¿Qué
tanto por ciento está ganando?
RESOLUCiÓN:
Costo total: 40(2) = 5/.80
l. Vende: 20 ganando en cada una:
1,S ~ Venta: 20(2+1 ,S)= 5/.70
11. Vende: 20(2) = 5/.40
Luego:
Venta total: 70+40 = 5/.11 O
~ Se gana: 110-80 = 5/.30
3
5
9
:+~8 ~~7 ~
5
2~=3
1~9
'0
191"
'3
10
@
7'
11
Del siguiente cuadrado cuyo lado es
"a" detenminar el área de la región
sombreada.
RESOLUCiÓN:
B
.------:::11 e
AIL..---":::::' O
En el Ll.ABC, "G" baricentro luego:
65 = .1.[a2]
4
Si el lado de un cuadrado aumenta
en un 30% ¿en qué porcentaje aumenta su área?
10
13
RESOLUCiÓN:
6
'----'"
5
• 30 x100%=37 S%
.. 80
'
Hallar el valor de x en:
6
5
:.4:3
(n+1)2
Donde: n2+2+S= (n+1)2~ n = 12
~ Edad de la tortuga = 122+20
=164
M--2x--+l
A l.
(n 2+20)
6
181
.
a2
.. 25=12
~ ¿Qué ángulos fonman las agujas de
un reloj cuando sea las S: 1O?
RESOLUCiÓN:
~
3
9+5+3=17
6
:. 1:0 x100% = 69%
1:;:'=8
:. x=8
4iiO'
Si: x = a+b
~
ab
; y = a-b
ab
x+y
Hallar: - x-y
RESOLUCiÓN:
a+b
a-b
2a
2
x+y=-----=-=ab
ab
abb
@Si:XY=6
yz=8
xz=3
Entonceselvalorde
a
xyz=12~ ~
2
a
es:
RESOLUCiÓN:
Multiplicando miembro a miembro:
(xy)(yz)(xz) = 6(8)(3)
(xyz)= 144
a+b
a-b
2a
2
x-y = ail- ail = ab =
x+y
b
a
Luego: x-y = 2 = b
~
@
«a = 3(30)+S = 9So
Otrafonma:
Como el horario adelanta al minutero,
aplicaremos la siguiente relación:
• H =S
•• m = 10
=6
A qué hora entre las 4 y las S el ángulo intemo y el ángulo extemo for-
a = 30(S}-
~
(10) = 9So
@HallareISigUientetérminoen:
AZ., CX, EV, GT, .......... .
RESOLUCiÓN:
Observando las primeras letras de
cada término, tenemos:
y
W
U
S
H
Final
AZ~~~~
~~-....J~
B
D
F
IfEd _25 x 40_...!Q.._ •
n.
uc·- 100 100 - 100 -10%.
Un peatón recorre 23km en 7 horas,
los 8 primeros km con una rapidez
superior en 1kmlh a la rapidez del
resto del recorrido. Calcular la rapidez con que recorrió el primer tramo.
RESOLUCiÓN:
I
7 horas - - - - - i
¡-----
@
~
1-- a km---l
1 - - - 15 km---l
t,
'""r
8
b
'""r
15
-Y+v_1=7
Un esquilador calculó que si hacia
10 km por hora, llegarla al sitio designado una hora después del mediodía, si la rapidez era de 15 km
por hora, llegaría una hora antes del
mediodía.
¿Aqué rapidez debe correr para llegar al sitio exactamente al mediodla?
RESOLUCiÓN:
0
Resolviendo: v = 4 kmlh
®
~x-2=
O15,,_ _--=t--:'1_ _ _ 11 am
L:::. t = 5 .::J
h
@
t:~: +~t:~: -1J =t;-~X;-~J
4ab
{a-b)2
Se desea empapelar las paredes
de una sala rectangular de 15m de
largo, 6m de ancho y 5m de altura.
La sala tiene 4 ventanas de 1,5m
por 2m. ¿Cuántas piezas de papel
colomural de 10m por 60cm cada
una deberán comprarse?
:. T = (X-2){y2-1) = {a-b)2 x_4_ab = 4
(a-b)2
5m
Un alumno desea calcular la distancia entre su casa y el colegio y observa que si camina a razón de 6 mis
tarda 4s más que caminando a 8 mis
¿Cuál es la distancia?
RESOLUCiÓN:
15m
A""", = 2(5){6)+2{15){5) = 210 m2
AIDIa'=4{1,5){2)= 12 m 2(No ...mpaPOI.)
Luego: Área a empapelar = 210-12
=198m2
.,l,
..&..
.m~~
1
t
Área de 1 pieza _
_
2
de colomural - 1O{O,6) - 6 m
Casa ~colegio
Número de piezas de colomural
que deberán comprarse:
198
6m 2 = 33 piezas
V 2 : amls
d
6-8=4~d = 96m
@
El gráfico muestra la distribución de
los gastos de un país. Si del sector
de educación, el 25% corresponde a
infraestructura educativa, ¿cuántos
grados corresponde al sector "infraestructura educativa"?
@
.I.!l..IUll>l
2ll..IIJloI
:llI..alIl!l
2x+10
2x+20
2x+30
1er. Hijo: x-S "--"'x+5
2do. Hijo: x-10 ...-----... x+10
--x+15
3er. Hijo: x-1S--
Por dato:
2x-{x-5+x-1 0+x-15) = 5
x=25
." _ Edad del padre: 50 años
Un campeonato toca tantas campanadas como horas indica. ¿Cuántas
campanadas tocará durante todo el
1ero medio dla de hoy?
RESOLUCiÓN:
HORA ....
Luego: 10{5+1) = 5V ~ V = 12 km
y2_1 = (y+1){y-1)
d
(n~evo ~~I)
= 60% => x=12
40%
t
d = 10{t+1) = vi = 15{t-1)
--2
ab
a2+b2-2ab _ {a-b)2
ab
- ab
.lli,.V1 :6m1S
.hora:
La edad de un padre sobrepasa en 5
años a la suma de las edades de sus
tres hijos. Dentro de 10 años, él tendrá el doble de la edad del hijo mayor,
dentro de 20 años, tendrá el doble de
la edad del segundo, y dentro de 30
años, tendrá el doble de la edad del
tercero. Halle la edad del padre.
RESOLUCiÓN:
Padre: 2x
@
-d-
ab
40%
I
Dentro de Dentro de Dentro de
10 '::'_ _.....:.t+:,.1:....-__ 1 pm
km
a2 +b2
=
60%
AoIWII
-dEncontrar el valor numérico de T, si:
a
b
a+b
x = - + - y=-b
a
a-b
T = (X-2){y2 -1 )
RESOLUCiÓN:
a
b a2+b 2
x=-+-=-b
a
ab
@
@
luego:
100% - - - - 360%
10%
36%
Le corresponderán 36"
IV
;
M
X
••• Deberán retirarse 42-12 = 30 mujeres
H
:. Respuesta: IR
@
I
118.
En un salón de 60 alumnos, el 30%
son hombres. ¿Cuántas mujeres
deberán retirarse para que los hombres representen el 60% del nuevo
total?
RESOLUCiÓN:
~h~h ..... ~2h
Campanadas .... 1c 2c 3c ...... 12c
N" total de campanadas:
1+2+3+ ...... +12= 12(13) =78
2
@A1 cajero de una compañía le falta 1/9
del dinero que se le confió. ¿Qué parte de lo que le queda restituirá lo perdido?
RESOLUCiÓN:
Dinero que se le confió: 9K
Se le perdió: K
Lequedó:8K
Hay que restituir SI. K Y esto es 1/8
del dinero que le quedaba.
@Adunito compré objetos al precio de
S/.48 y S/.42 cada uno, pero no recuerda cuántos compré de cada precio, sólo recuerda que gastó S/.1542
y que el número de objetos de S/.48
era impar y no llegaba a 10.
Hallar la semidiferencia del número
de objetos de cada especie.
RESOLUCiÓN:
De S/.48 x objetos; "x" impar menor
que10.
De S/.42 y objetos
48x+42y = 1542 (gasto)
8x+7y = 257
x+7x+7y = 257 ~ x+7{x+y) = 257
I
(div) I
x
5
T+{X?)=-ªl!+T
.".x=5
y= 31
+ 0 + 0 + 0 + 0 ......
L---..J
•
••
@
31-5 _ 13
2
5m
Jaime dice: "Hoy podré vender más
naranjas pues rebajé en 1 sol el precio por docena, lo que significa que
el cliente recibirá una naranja más
porcada sol". El nuevo precio de cada naranja será de:
RESOLUCiÓN:
Disminuye SI. 1
~
Precio SI. X
Precio SI. x-1
[12 Nar. [
[12 Nar. [
Naranjas que
vende por
SI. 1
Naranjas que recibe
el cliente por
SI.
12
X
x-1
~~-
A
2
Hallar el área de la región sombreada, si en la figura se muestra un
cuadrado. Además M y N son puntosmedios.
~ En un examen Carlos obtuvo 5 puntos menos que Esteban, quien tuvo 2
puntos menos que Juan, cuyo puntaje es igual a la semisuma de lo obtenido por Esteban y Alberto. Si este último obtuvo 12 puntos, ¿cuántos puntos obtuvo Carlos?
RESOLUCiÓN:
Juan:x+7
Esteban: x+5
Carlos: x
Alberto: 12
x+5+12
Por condición: x+7 =
2
~~1
2~ TOTAL
~M
15L
A
~ Un lapicero de tinta seca cuesta S/.8
y un lápiz S/.5. Se quiere gastar
exactamente S/.96 de manera de
poder adquirir la mayor cantidad posible de artículos. ¿Cuál es el número de lápices comprados?
RESOLUCiÓN:
Número de lapiceros: m
Número de lápices: n
Luego: 8m+5n = 96 (ecuaciOndioféntica)
desarrollando:
5n
m = 12-""8; n: 8, 16, ......
Notamos que "n" no puede tomar el
valor de 24 porque tendríamos una
cantidad negativa. Entonces:
n=16ym=2
:. Son 16 lápices.
En la figura, hallar el área de la región sombreada, si r = 5 m.
N
D
Soomb..... = S(APN)-S(AQN)
60L
Soomb"""'. =
1~ (30'}- 2~ (30')
• •• Ssombreada
®
= 20 u2
Hallar la diferencia entre el último
término negativo y el quinto término
positivo en:
-641, -628, -615, -602, .......
RESOLUCiÓN:
Hallando el término enésimo:
-648281802 ; ......
+13
+13
+13
~
t,=13n-654
Del término enésimo deducimos:
n =49, 50,51,52,53,54,55, ....
t,=-17.HJ, 9, 22, 35, 48,@J
:. t .. -t55= (-4)(61) =-65
@
Hallar el valor de "S", sabiendo que
es máximo:
S =,?+402+4+396+6+390+.... "
v
@
Hallar el área del cuadrado ABCD,
sabiendo que el área de la región
sombreada es 50 m 2
'~:
A
N
D
RESOLUCiÓN:
Suponiendo que el lado del cuadrado
es 4m. Obtenemos:
J~t
1
2.r
6m2
3m
1m
Reción Sombreada
Cuadrado
16m2
Supuesto: 5m2 ) x10
Real: 50m 2
160m2
:. Área del cuadrado = 160m2
@AI unir los centros de las caras de un
cubo cuya arista mide 6m se forma un
sólido, entonces el volumen de este
último será:
"2n- sumandos
RESOLUCiÓN:
Observamos que la cantidad de sumandos en 'S' es para '2n' sumandos. Entonces, sumamos en parejas, y se obtiene:
S = 4+402+4+396+6+390+ ..... +
"-------' "-------' "-------'
RESOLUCiÓN:
Resolviendo: x = 3
Luego:J:10 C:3
E:8 A:12
:" Carlos obtuvo 3 puntos
12 Total
BQC
~ x' =--ª-x100'
= 20'
15
@
= (404+4)101 = 20604
N
30L
-4 ......
v
RESOLUCiÓN:
Recordando:
OHI :~ I;HI ;," !;HI ~ !;:r~II
-4
101 sumandos
~'f
Para obtener 60 litros de alcohol de
60', se ha mezclado 15 litros de alcohol de 80', 30 litros de alcohol de
70' y una tercera mezcla de alcohol
con agua. Determinar el grado alcohólico de la tercera mezcla.
RESOLUCiÓN:
15L
D
• A- 5x4 -10 2
.. - 2 m
12=1 Resolvemos:x=4
L---..J
Como nos piden que 'S' sea máximo,
entonces tomando solo los valores
positivos:
S = ~04+400+396+ .... +8+4"
Enel~ABC:
@
L---..J
---.J'-----.;0-4,--"
m qC=53'/2
x-1
X
El nuevo precio de cada naranja será:
3
:. 12 = S/.O,25
@
5m
5m
1
•
12
'---r---'
L---..J
,--,,8-----.;04
-4
-4
-4
-
404
400
396
-----.;o -----.;o
-4
-4
RESOLUCiÓN:
Al hacer lo indicado se forman 2 piramides de base cuadrada (el área de
la base es igual a la mitad del área de
una cara del cubo)
Además la altura de la pirámide es
igual a la mitad de la longitud de una
arista del cubo. Luego:
[
a*b =
®
:::::>
a*b = ~
RESOLUCiÓN:
024820ísBl
~ '--"''--'" '--'" ~
+2 +2 +4 +12 +48
Luego:
24.3 = ~ 24.32= 6
]=36m 2
@
Calcular "a"
80'
Hallar el valor de x en la sucesión
mostrada:
O,2,4,B,20,x
a.b=~ab2
bas~
=2[[~lX3
a
(a.b)4
Operando:
Area XhJ
:. Volumen = 2 [
@
(a.b)2J2
b
'--'" '--'" '--'" '--""
xl
x2
x3
x4
Si en el departamento tenemos 30
@sabiendOqUep;=15120YC;=126,
puntos en donde a lo más hay 2
calcular"k"
puntos colineales, ¿cuántos triánRESOLUCiÓN:
ni
gulos se pOdrán formar en total con
estos puntos?
n!
~
_ (n-k)! _ P;
"
C. (n-k)!xk!
126 k! - k!
RESOLUCiÓN:
• C'O 30x29x28 = 4060
luego:
1x2x3
p"
C" =---" ~ 126 = 15120
Un lote de licuadoras se vende así:
• k!
k!
el 20% ganando el 20% de su prek!
=
120
=
5!
cio de costo, la mitad del resto ga:. k=5
nando el 40% de su precio de costo,
finalmente se vende el resto con
En la figura mostrada ABCD es un
una pérdida del 25%. Si en la venta
cuadrado y ARO es un triángulo equitotal se ganó 125 soles, ¿cuánto
látero. Entonces "x" mide:
costó todo el lole de licuadoras?
B
e
RESOLUCiÓN:
.. ,
RESOLUCiÓN:
@
@
::::::>
@
0.+50° = 80°
.-.0.=30°
f---:¡¡¡¡
Una obra se pensaba hacer en 40
días con 60 operarios que laboren
6h/d. Sin embargo la obra aumenta
1/5 en magnitud y tiene que entregarse 8 dlas antes de lo previsto.
¿Cuántos obreros tendrán que duplicarsu rendimiento?
RESOLUCiÓN:
Del problema:
~
(40)(60)(6) = 32(60+x)(6)
G: 4K
@
. .
RESOLUCiÓN:
3D'
Se observa:
a=9+30'
a=9+x
:. x=30'
2
..
i
1
)19%.1 Aumenta
1
4
@
en 40%
3-x =~"x=2
1
4
2
:. Retiran x100% = 5/2 x100% =
Hombres
2
=83,3%
Dcto.
a
.
3-x
40% _\
.J!4%
~
(a.b)2
Ahora: b.a = - b - reemplazando
en (a)
2
60%
I P.C. 100 125 I
@Si(b.a)=a(a.b);a.b>O
Hallar: E = 24.3
RESOLUCiÓN:
(b.a)2
Del dato: a.b= - - ......... (a)
ALL...---J..JI
En una reunión el número de hombres y mujeres están en la relación
de 3 a 2 ¿Qué porcentaje de hombres deberán retirarse para que el
porcentaje de mujeres aumente en
un40%?
RESOLUCiÓN:
3
1--- P,: 125---1
•'. Porcentaje máximo de descuento=20%
P: 10K
,Hombres, ~. ,Hombres, ~
Un vendedor recarga el precio de
sus artlculos en un 25% de su valor.
¿Cuál es el porcentaje de descuento
que se puede hacer sin ganar ni perder?
RESOLUCiÓN:
Descuento máximo: 25
Porcentaje máximo de descuento:
25
125 X100%
G: 116K
Balance final: 4k+16k-10k = 10k =
125 se ganó
:. P.C. Lote: 100k= 10(10k)=
= 10(25)= 1250
Resolviendo:
x = 30; es como si hubiéramos aumentado en 30 obreros.
:. 30 obreros tendrán que duplicar
en rendimiento.
@
100K - - - - 1
@
Un trabajador salió de vacaciones y
observó que llovió 11 veces en la
mañana o en la tarde y que cuando
llovía en la tarde la mañana estaba
clara, además hubo seis tardes ciaras y 9 mañanas claras, ¿cuánto
tiempo estuvo de vacaciones?
RESOLUCiÓN:
Llovió
No llovió
1
M
T
x
ll-x
9
1}11
6.
'----r-' '----r-'
9+x =
17-x~x=4
:. x+9 = 13 dlas de vacaciones
La suma de los valores reales de ·x"
que satisfacen la igualdad:
Ix+21 =2Ix-21,es:
RESOLUCiÓN:
Recordando: I a I = k I b I
a=kb ó a=-kb
(x+2) = 2(x-2) ó x+2 = -2(x-2)
x+2 = 2x-4 Ó x+2 = -2x+4
x=6
ó
x=~
3
•
2 20
•• Sumadevaloresdex:6+
=""3
3
@
Una cuadrilla de 35 obreros pueden
terminar una obra en 27 días. Al cabo
de 6 días de trabajo se les junta cierto
número de obreros de otro grupo
cuyo rendimiento es el doble de los
anteriores de modo que en 15 días
terminan lo que falta de la obra.
¿Cuántos obreros eran del segundo
grupo?
RESOLUCiÓN:
Aplicando cantidad de obra:
27 dlas
Sea N el número, por condición:
~
35
obreros
35 ......... 21 días
35+x(2}... 15 dlas
N
I
I @
35.21 "!'(35+2x}15
7=x
@EneISigUientearreglo:
f,
1
f2
8 27
fa
64 125 216
f4 343 512 729 1000
/
i
r
1-= (1x2}12
f(2) .............. ~=(2x3}12
f(3) ................. ~=(3x4}12
f(4) ................... 1Q = (4x5}12
@
usan lent..:
33
44
57
No
no usan lentes: 50
46
35
No
Si
1~ (55) = 5
Si: [x]: máximo entero de Y, hallar
P(4) en:
-[2,5]+[-2,5]-[-O,1]+a2
Pea) =
a+[-1,08]
b
(n-x}b
¿Cuántos semicírculos hay?
~
~
23
6
5
4
N" de semicírculos: 123; 234; 345;
456; 561; 612 son 6 semicírculos;
luego:
N" total: 6(3)= 18
¿Cuáles el número que es igual a 38
veces a la décima parte de 3/4?
RESOLUCiÓN:
@
@
(III)
¿Qué porcentaje del tres por siete del
cinco por veinte del inverso de 7/2, es
el dos por 49 del cuatro por cinco del
triple de la mitad de 1/4?
RESOLUCiÓN:
--"-- x x...§... x 1.. = .1... x ~ x3x..!. x..!.
100 7 20 7 49 5
2 4
x=40
Luego:
:. Elporcentajees40%
a -4 -"-(a_+-;-2)~I{a-2}~
P(a)=--=
a-2
Ja-2J
@
(U)
-ª-
En una feria una persona juega al "ti:. P(a)=a+2
ro al blanco" con la condición de que
Si:a=4~P(4)=6
por cada tiro que acierte recibirá "a"
soles y pagará "b" soles por cada
uno de los que falle. Después de "n" @caICular"n"en: (n-5)!x(n-2)(n-4)(n3)= 120
tíros ha recibido "e" soles. ¿Cuántos
RESOLUCiÓN:
tírosdioen el blanco? (a > b)
(n-5)!x(n-4)(n-3)(n-2) = 120
RESOLUCiÓN:
,
, '-y--'
N" tiros Valor c/u
Total
(n::-2)!
= 5!
n-2=5
N° de
x
a
xa
aciertos
:. n=7
RESOLUCiÓN:
@
No
No
2
~ xa-(n-x) = e
xa-bn+bx=c
x(a+b) = bn+c
bn+c
x=-a+b
_ Número de tiro que _ bn+c
• - dio en el blanco - a+c
@
Luego:
79
68
RESOLUCiÓN:
-2+(-3)-(-1 )+a2
Pea)
a+(-2)
~=(20X21}/2
n-x
(I)
RESOLUCiÓN:
Aplicando los postulados de Euler
estudiados en introducción a la topología:
La fig. I tiene 2 puntos impares y los
demás son puntos pares; por lo tanto
se puede realizar de un solo trazo.
La fig. 11 tiene todos sus puntos pares
y también es realizable de un solo
trazo.
La fig. 111 tiene varios puntos impares
y no se puede hacer de un solo trazo.
= 90
11
22
55
@
::~'¡'"i"
20
tiene onceava (es mÍlltiplode 11)
l ' tiene séptima (es múltiplo da 7)
H +(M
\
fl) .......................
.-_ 210
4
(
Hallar la raíz cúbica del último término de f20
RESOLUCiÓN:
Sacando {¡ a los últimos términos
de cada fila del arreglo.
f(I) ...........
10
@¿CUál O cuáles de las siguientes figuras se puede realizar de un solo trazo
En un salón de clases hay 90 alumnos y se observa que la séptima
parte de las mujeres son rubias y la
onceava parte de los hombres usan
lentes. ¿Cuántos hombres no usan
lentes?
RESOLUCiÓN:
2~
# obreros del
grupo: x
(rendimiento: 2)
= 38x-1-x -ª-~ N = 57
@
¿Cuántos cuadrados hay?
E
RESOLUCiÓN:
:234~~.~
m
Marcar verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
4
,
____ 1
l. El lanzar un dado normal es un
experimento determinístico.
Número de cuadrados = 12 +2 2 +32
11. Un evento es un sub-conjunto
+4 2=30
cualquiera del espacio muestral.
2 cuadrados pequeños = 2
111. Un experimento aleatorio es un
Total
de cuadrados = 32
experimento no determinrstico.
RESOLUCiÓN:
@Selanza dos dados insesgados (norl. Falso. Es un experimento aleamales o legales) ¿Cuál es la probabitorio, sale cualquiera de los 6
lidad de obtenerla suma 10?
puntos, pero no se sabe cual.
RESOLUCiÓN:
11. Verdadero
Dado 2
111. Verdadero
6 h--.--rtii'<r-...,
5~++-1~-.I
Si "a+b" representa la diagonal de
un cuadrado 1, entonces el perímetro de otro cuadrado 11, cuya área
dobla la de 1, es:
RES~N:
o(U}
4H-++-H~
3 H-+-+-+-I---l
2 ~++-lf-+--l
a+b
123456
~
. (a+b)' Ares. _ (a+b)'
Ares .
2
.... x ..2"'" = (a+b)'
:. Perímetro: 4(a+b)
=> lado: a+b
peA)
Dado 1
Casos favorables a A
Casos totales en n
3
1
P(suma 10) = 36=12
@
34 Soles
Hallar la razón dela siguiente P.A. de
171érminos:
RESOLUCION:
~~
1, .................. 1,7
x+2
x
monedas
monedas
1
3
2········· .... ·'-8
1
-3
Sabemos que en una progresión
arilmética:
t17 = t, +16r
'-y-' '-y-' '-y-'
1
x=3
:. Total de monedas:
2x+2 = 2(3)+2 = 8
@
a=2+ 16r
7
r = - 128
~ ¿Cuánlos triángulos hay?
A
2
¡
+2-20
x2-20
x2-20
¿De cuántas maneras 4 parejas de
esposos se pueden ubicar en una
x2-20 x2-20
Hallar el menor valor entero de y
28+y
tal que la fracción -37 sea menor
+y
1
que la unidad en menos de 100
@
Número deformas: 3!x(2!)4= 96
¿Qué cantidad de aceite de 6 soles
el litro debo mezclar con aceite de 2
soles el litro para oblener 70 lilros de
aceile de 3 soles ellilro?
RESOLUCION:
Se mezcla "x" lilros de 6 soles el litro,
enlonces de 2 soles será (70-x) litros
5a'§'~
lL:S/'3
Costo: 6x+2(70-x) = 70(3)
x= 17,5
:. Debo mezclar 17.5 litros de 6 soles
®
Tenemos entre monedas de S/.2.00
y S/.8.00, S/.34.00 y hay 2 monedas
más de S/.2.00 que de S/.8.00.
¿cuántas monedas en total tenemos?
RESOLUCION:
Diga Ud. ¿qué hora es?, Rápidamente, si faltan 3 horas para que sean las
11 horas con 60 minutos y 60 segundos?
RESOLUCION:
Veamos el siguiente gráfico:
[S
v
@
39=3x~x=13
@
En la figura mostrada, el área del
rectángulo ABCD es 12m2. Entonces la diferencia entre las áreas de
las regiones sombreadas es:
:~
RESOLUCION:
Recordando:
Entod,o
~ . . [x=y)
trapeclo~
[H2 M2) ~_~_~~~J
rH~M~]
Como son 4 grupos, se ubican de:
4! maneras además en cada grupo
hay 2 personas los cuales se ubican
de 2! Maneras.
Enlonces en total tienen: 4!x2!x2!x
2!x2! = 364 maneras de ubicarse.
B
,'. (x+3) = 16 soles
Cuatro parejas de enamorados van al
cine y encuenlran una fila de 8
asientos juntos. ¿De cuántas maneras diferentes se podrán ubicar en dicha fila, si cada pareja desea estar
siempre junta?
RESOLUCION:
C8~;~~_~~1
,-----Jo----., ,--L-,
26(x+3) =j1(x)
39+13x= 16x
¡,
Faltan3h
:. Lahoraquees:
12h 01' -3h = 9:01
Un obrero gana S/.3 más que otro
diariamente. Al cabo de 26 dlas se
retira el primero y seis d las después
el segundo. Si los dos han cobrado
la misma cantidad. ¿Cuál es el jornal diario del primero?
RESOLUCION:
EllO (A): SI. (x+3) cada día
E12° (B): SI. xcadadía
Luego:
A
,llh60'60-<> 12hOl:
L
1- 28+y <_1_
37+y 100
Resolviendo: y > 863
:. El menor valor. 864
lL:S/·2
®
RESOLUCION:
esas parejas juegan siempre juntas?
RESOLUCION:
lL:S/'6
Entonces el reloj tiene un atraso de
40 min si ahora el reloj marca las 4:00
p.m. quiere decir que la hora correcta
es: 4:40 p.m.
,'. Gastó: S/.480
::~t!~"-"\--'--.. ®
8(45min
6hr<>360min
~x=40
S/.120
mesa circular para jugar casino, si
8
x
+2-20 +2-20
Al inicio tenia: S/.600
Al cabo del segundo le quedó:
Un reloj se alrasa cinco minulos cada
45'. Si ahora marca las cuatro de la
tarde, y hace 6 horas que lleva relirándose. ¿Qué hora es realmente?
RESOLUCION:
Tiempo
queDasa
~~~~
Total de triángulos = 6+10+15 = 31
@
Lili, cada día gasta la mitad de lo
que tiene más S/.20. Si gastó lodo
en 4 días, ¿cuánto gastó el segundo día?
RESOLUCION:
Haciendo uso del método del cangrejo:
+2-20
4X5=10{3~=6
2
....................-....-....
@
Inicio ~~~Quedó
RESOLUCION:
5x6 = 15
Se observa que S 1 = S2
:. Su diferencia es cero.
~ 2(x+2)+8x = 34
2··············, 8
-3
Luego:"""_ _"",,,_ _-:::;I'I'
.---c=-~A,-_-=_
®
En una caja hay 10 bolas numeradas
del 1 al 10. Se exlrae al azar una bola.
¿Cuál es la probabilidad que el número de la bola extraída no exceda
del0?
RESOLUCION:
P(A)
=Casos favorables al evento
Casos totales en n
10
10
=1
OBSERVACION:
El evento: "Sacar una bola con un
número que no exceda de 10" es
un evento seguro pues de todas
las bolas que hay ninguna excede
al número 10; (la numeración va
de 1 hasta el 10 inclusive)
~ En la figura ¿qué porcentaje del área
panes. La oración: •.... panes no come" nos senala que come solo 1 pan.
Entonces " .... panes no quedan" lo interpretarramos como: "queda sólo 1
pan". La idea del asunto está en la
palabra ·panes" que es plural.
("panes no come" significarra que come1 pan o ninguno pero n02 o más).
del círculo representa el área de la
región sombreada?
~
V
82
• .
•• Araa región sombreada = 2 = 32 u2
RESOLUCiÓN:
@
,r¡j\
e
(5;7)
::::::> a+e = 72°
(-3;4)
Entonces "juntando" las regiones
sombreadas como se muestra a
continuación tendremos:
Aplicando determinantes:
.(~~¡~lt~).
2
•
(a+9)"
72·
Area = 360. X1tR2 = 360. X1tR2 =
:. Porcentaje =
t
=~"R2
@
5
total <> 20%
m;5 ; si "m" es impar
@=
{ m+4 . si "m" es par
@
E=@-@J
RESOLUCiÓN:
(j)= 7+5=6
2
Un artillero dispara a un blanco. Si
la probabilidad de acertar un disparo es 0,01, ¿qué probabilidad tiene
de no acertar?
RESOLUCiÓN:
Los eventos considerados son
complementarios:
,p(ac:erto),+ P(no acierto) = 1
d=~
6;4 =5
5
@=5-+ @J=5= 5;5 =5
:. E=5-5=0
Hallar el área de la región sombreada si los puntos "E" y "F" son parte de
la diagonal.
e
s
1
A ~I""--"'S----'''!I D
RESOLUCiÓN:
Por traslación de figuras:
. .8"",
-t
:. d = 1u
En una mesa panes habían, un nino
panes no come, en la mesa panes
no quedan. ¿Cuántos panes habran en la mesa?
RESOLUCiÓN:
Habran 2 panes.
El texto dice: •... panes habían" (esta en plural) esta expresión nos indica que sobre la mesa hay 2 o más
X
-42
Luego: S =
@
1887
@
i
5XO
2X'4
+ ( -12
3
6
-30-5
O
O
V25
Hallar:
E = abc+bca+cab
RESOLUCiÓN:
Del dato, sacando raíz cuadrada se
obtiene:
}
abc+
Sumamos
a+b+c = 17 ~ ~~
verticalmente
E=@-@J
I
Adunito posee un terreno de fonma
triangulardetenminado por los puntos
(-5;0), (2;4) Y (3;6); en la cual deberá
sembrar pasto para alimentar a su
ganado. Hallar el área total del terreno que deberá trabajar.
RESOLUCiÓN:
(-5;0)
~ Si: (a+b+c)2= 289
Entonces:
B
@
Calcular la distancia desde el punto
A(-2;3) a la recta: 4x-3y+4 = O
RESOLUCiÓN:
d = 14(-2)-3(-3)+4 1 1-8+9+41
y(4)2+(_3)2
También:
@
25
Se tiene 3 números enteros consecutivos, el duplo del menor más el triple
del mediano, más el cuádruple del
mayor, equivale a 74. Hallar el número menor.
RESOLUCiÓN:
Sean: n; n+1 y n+2los números consecutivos del problema. Del enunciado planteamos:
2n+3(n+1 )+4(n+2) = 74
Resolviendo: n = 7
0,01 + P(no acierto) = 1
:. P(no acierto) = 1-0,01 =0,99
'
Calcular:
@
•
12-251123123
•• 5=-2-=-2-=2=11,5
@Sedefine:
~@=@=
números más 60
unidades es igual al cuádruple del
menor menos 50 unidades. Hallar los
números si la suma de ambos es 70.
RESOLUCiÓN:
Sean:
a: Número mayor
b: Número menor
Por condición del problema:
a-b+60=4b-50 ...... a=51>-110
a+b=70
..,.. a+b=70
Resolviendo:a=40 b=30
Hallar el área de un triángulo cuyos
vértices son los puntos de coordenadasA(2;3), B(5;7)yC(-3;4)
RESOLUCiÓN:
Del gráfico:
a+9 An
36 = 2
( gulo .Interno)
2
~ La diferencia de 2
1-42-321
2
O
32
37 u 2
Un taxista compra 6 galones diarios
de gasolina al precio de SI. 15 el
galón.
¿Cuántos galones podrá comprar
con la misma cantidad de dinero, si la
gasolina sube a 5/.18 el galón?
RESOLUCiÓN:
Gasto en 1 día: 15(6) = 90
Si el galón sube a 5/.18 entonces
N· galones =
@
20)
12 +
JIº- = 5
18
Hallar dos números consecutivos cuya suma es igual a la cuarta parte del
primero, más los cinco tercios del segundo. Dar como respuesta el consecutivo del mayor de dichos números.
RESOLUCiÓN:
Sean n y (n+l) los números luego:
1
n+n+l = 4n+3(n+l)
Resolviendo: n = 8
=:> n+l = 9
:. n+2=10
@
@
Calcular: n
4;0;0;5;16;n
RESOLUCION:
4 . O . O . 5 . 16 . n
5
6
7
:. n=16+18=34
x12
a
1
5
x12
mo horas marca. además da una @Si:
campanada porcada cuarto de hora.
¿Cuántas campanadas dará en una
semana?
RESOLUCION:
Analizando para un medio dia:
1
X2
y2
En lar¡ hQ[8s En las 1/4 horas
=
12x13
#Campanadas=-2- + 12(3) =114
un partido de fútbol es una cantidad
directamente proporcional al número de goles que marcó en el partido
anterior más uno. Si en el primer partido marcó 1 gol y en el segundo 2
goles. Determinar cuántos marcó
hasta el quinto partido (inclusive).
RESOLUCION:
# Goles Parto
constante
# Goles Parto anl. +1
2
2
x
x,
y
=
*
=:>
~=~
@
@Si:a*b=b2+3a+2b
a6b = a 2-ab+b2
Hallar: 'x" en: 26x = 4*x
Si la figura es un cuadrado, hallar el
área de la región sombreada.
4x
~
6x
Cuando Raúl nació, Lucia tenia la
tercera parte de lo que Raúl tiene. Si
Paola tiene 10/9 de la edad de Raúl.
¿Cuál de los tres es más joven y que
edad tiene; si la suma de las edades
actuales de Raúl y Paola es 38 años?
RESOLUCION:
Pasado Presente
Raúl
O
9n
Lucía
3n
12n
10n
El precio de costo de un articulo se incrementa en un 40%. Si se quiere ganar el 5%, ¿qué porcentaje del precio
de lista se debe descontar?
RESOLUCION:
P.F. 140
P.C
I
1--10 -----l
2
.'
D
10
Area=-=-=25
4
Yo tengo el triple de la edad que tenfas cuando yo tenfa el cuádruple
de la edad que tuviste cuando mi
edad era el triple de tu edad de ese
entonces.
1 35
I
Dscto.
@
Un albañil pensó hacer un muro en 12
dfas, pero tardó 3 dfas más por trabajar dos horas menos cada dfa.
¿Cuántas horas trabajó diariamente?
RESOLUCION:
N- dlas hidra}
Pensóhacel1aen: 12
n
12n: 15(n-2)
Perobhizoen:
15
n
n-lO
Lo que realmente trabajó cada día es:
(n-2) horas es decir 10-2 = 8h
Por traslación
~:~1
G:5
35
Luego: descuento: 140 xl00% = 25%
l~
4
2x
I ioo I
b2
RESOLUCION:
®
x
incremento: 40
1
z
Tú
I
(xy)2
10
=:> y = 4
De igual manera: z = 5
:. Total de goles hasta el5to.
1+2+3+4+5 = 15
(X+y)2_2xy
:. (X+y)2 = ab2+2b = b(ab+2)
1+1 = 2+1 =:> x = 3
2~1
(xy)2
a=
l' parto 2' parto 3' parto 4' parto 5' parto
,1
y2 +2xy+x2 -2xy
(x+y)2-2b
La semana tiene 14 medios días, entonces:
:. N" campanadas = 14(114)= 1596
~ Los goles que marca un equipo en
@
x2y2
=
9 10 11 12
6x
Por condición:
9n+l0n=38
n=2
Luego: Raúl es más joven y tiene 18
años.
1
yo = a, entonces (X+y)2
RESOLUCION:
Del dato:
1
1
y2+X2
-+-=--
Minuto 15
Minuto 30
Minuto 45
4x
Paola
es igual a:
I I I I I I I I I I I I I
7 8
:.4=576
x12
xy = b, )(2+
r {
3 Campanadas
5 6
b=O
~;~J@61
Un reloj da tantas campanadas co-
O 1 2 3 4
®
Luego:
b+ 1 =4+ 1 =4
®
y
3x
Suma 28
4
a=1
12a=3b=:>b=4
Yo
Resolviendo: x = 2
Yo tengo 6(2) = 12
12.-4- =~=:>a+b= 1
a 2_b 2
a+b
---
RESOLUCION:
De la ecuación tendremos:
Presente FubJro
------- ------- ------- -------
=:> 12. 3(a-b) = a 2 _b 2 =:> a+b = 1
Calcular: b + 1
1
/'....
x12
1
a
Pasado
Si los tres primeros términos de una
progresión geométrica de razón
igual a 12 son:
48
1
4
3(a-b)' a 2 _b 2 ' a+b
@Si:9a+8b=llb-3a
a
tras edades sumarán 28 años ¿Qué
edad tengo?
RESOLUCION:
el cuarto ténmino será:
RESOLUCION:
1
.
4
. 48
3(a-b)' a 2 _b 2 ' a+b
'-----/~
vv00~
-4 o 5
11 (jjil
'--"'---"~
4
y cuando tu tengas mi edad, nues-
RESOLUCION:
26x = 4.x
2 2_2x+x2= x 2+3(4)+2x
Resolviendo: x =-2
5
@
En una fiesta, la relación de mujeres a
hombres es de 3 a 4. En un momento
dado se retiran 3 damas y llegan 3
hombres, con lo que la relación es
ahora 3 a 5. Indicar cuántas mujeres
deben llegar a continuación para que
la relación sea de 1 a 1.
RESOLUCION:
Inicio
Quedan
-3
-ª-
M: 3k -""'--- 3k-3 =
=:> k = 8
H:4k --,+:!?3_ 4k+ 3
5
Ahora encontramos el número de
personas que quedan:
@
M = 3(8)-3 = 21 } para que la relación
H=4(8)+3=35
seade1a1
es decir cantidades iguales; deben
llegar 14 mujeres.
RESOLUCiÓN:
Sea "n" el número de artículos:
Vende: 70
n
Queda:n-70> 2 ~n>140
Dos ruedas de Radio R y r(R > r) recorren el mismo espacio ·S·. Si la diferencia del número de vueltas de la
menor y la mayor es S/8r, hallar la
relación r/R.
RESOLUCiÓN:
Le devuelven 6 yvende 36
Queda: n-100 <42 n < 142
:. n=141
@
(1l) Le = 2.R
1-
o
Lc=21tr
N" vueltas
S
11
Por condición:
-S- - -S- =S21tr 21tR 8r
Simplificando queda:
r
4....
-=-R
4
@
A: en 1 min llena:
1~
@
~+~J
2(2+1)
2~
@
12
x
8
12
Un comerciante adquirió cierto número de artlculos de los que vendió
70 y le quedaron más de la mitad; al
dia siguiente le devolvieron 6; pero
logré vender 36 después de lo cual le
quedaron menos de 42. ¿Cuántos
artículos formaban el lote?
luego: 1 L cuesta =
r----l
6K
~V=90L
50
200
@calcular t,o en c/u de las siguientes
sucesiones aritméticas:
1. 3
r---l
2K
11.
1
;7... ........
511
-6;-3;6; .......... .
1. 3
1
;5
2
1
4
;7... ........
~~
+1% +1~
·
•• t,= 1
3
7
7
n+
=4(n+1)
4
4
•
7
77
•• t,o=4(11)=4
r---l
8K
11.
511
-6;-3;6; .......... .
'-./'-.J'
+3
6
En un juego perdl los 3/5 de lo que
no perdl, ¿qué parte de lo que perdl
tenia al inicio?
RESOLUCiÓN:
+3
6
· t = 3- n -8- = 1 n -4..
,
•
•• t,o=
1---TotaI8 - - - - - 1
Perdl: 3
1
4
RESOLUCiÓN:
Luego, al inicio tuvo:
9(12)= 108 soles
No perdl: 5
;5
2
Perdida total K = 12 .... Por dato
®
720
80 = 9 soles
Entonces B = 10(9) = 90 soles (Costo
del barril vacío)
ahora el costo total era:
(Costo del barril) + (Costo del vino)
Costo total = 90+9V = 900
------
RESOLUCiÓN:
1
2l.:g = 2·2x_(_2)+2J =4
x(4) =-1
E=O
Barril vacio
2!lO
3K
Un barril lleno de vino cuesta S/.900.
Si se sacan 80 litros cuesta solamente S/.180. ¿Cuál es la capacidad del
barril? Se sabe que el barril vaclo
cuesta como 1OL de vino?
RESOLUCiÓN:
Costo
SI. B ~Consideremos
capacidad del barril: V
L; además podemos
deducir que los 80 tde
___
vinocuestanS/.720.
O
Una persona gasta 1/3 del dinero
que tiene y gana 1/3 de lo que queda. Si ha perdido en total 12 soles.
¿Cuántos tuvo al inicio?
RESOLUCiÓN:
Supongamos que tiene 9k soles,
entonces:
Ahora
liene Gasta Queda Gana
tiene
9K
Luego: E = (-1}-(-1)
~~+~=1
2(x)(12)
1 1 r---l
=211)
1
@
x = 16
@sedefine:
= {(a.b)X(b.a); si: a < b
~ (a")x(b·b); si: a ~ b
~ = (_2)·2 x(_(_2)+2J) = 4x(4) =-1
Sabiendo que en un P.G: t, = t,.q""
Luego:
t,= ('1'2)('1'2)'" ~
tB= ('1'2)('1'2)' =-{2B = 16
Con 12 obreros pueden hacerse 50
m de una zanja de 8 días. ¿Con
cuántos obreros doblemente eficientes pueden hacerse 200 m dela
mismazanjaen 12dias?
RESOLUCiÓN:
1P
M
Ay B en 1 min llenan:
';;¡;'-;;¡¡';;¡;
n2 +n-2
n(n+1)
~~
#ob
#días
Obra
:. A Y B llenan todo en 24 mino
®
22+2-2
Ef.
1
2
·
. 1
B: en 1 mln
vacla: 40
Hallar: E = (~)-(
~- ~J
1(12)(8)
1~ - 4~
'1'2;2;2'1'2;4
RESOLUCiÓN:
'1'2 ; 2; 2'1'2; 4; .... Es una sucesión
geométrica (P.G.)
OBSERVACiÓN:
Si evaluamos para n = 3, 4, 5, ......
también se obtiene resultado 1.
B: Vacía todo
en 4 minutos
Ay B en 1 min llenan:
Nos piden la relación parte todo:
8
tenia al inicio
lo que perdí
3
Siendo "n° un entero positivo, calcular el valor de:
--+
Un tanque de agua puede ser lIenadoen 15 minutos y vaciado en 40 minutos. ¿En cuánto tiempo se llenará
el tanque si se abre la llave y el desagüe simultáneamente?
RESOLUCiÓN:
A: Llena todo
en 15 minutos
Pues: Perdl = 5~ perdl)
RESOLUCiÓN:
Como n es un número entero positivo cualquiera podemos asumir n =
2,luego:
2.R
S
5
,..-Á----,
~ ¿Qué termino ocupa el octavo lugar?
~-~l~J~-¡l~J
~+~J~+~J~+¡J~+~J
s
~3
@
6
6
2
3
311
Luchito persigue a Rita que le lleva
150 m de ventaja en el instante que
inicia la persecución. Luchito da 40
pasos de 60 cm en 15 seg, mientras
que ella da 34 pasos de 50 cm c/u en
el mismo tiempo. ¿Oespués de
cuánto tiempo la ventaja se reducirá
al0m?
RESOLUCiÓN:
49n= .... 2
n= .... 8
Ahora: n-24 = ... 8-24 = ... 8-.. .4 = ... 4
••• El menor de los números termina en cifra 4.
@
341(~0)
= 340cm/s
340
Planteamos 10+160t = 150+--t
3
:. t = 3
(@)Si:
F,=lxl-2
F2=2x4-6
F3=3x9-12
F.=4xl6-20
~_A_------:"
,GcGc>.Gc
2 conejos det~ de un conejo
~
~ Si: X2
Calcular: F 'o
RESOLUCiÓN:
F,=lxI 2-1x2
F2=2x2 2-2x3
F3=3x32-3x4
F.=4x42-4x5
3
un conejO
en medio
x+y
O vy = -2-; x > O
Calcular: 2502
A)10
8)12
C) 11/2
O) 13/2
E)8
RESOLUCiÓN:
3
x+y
X2 OYY=-2-; x>O
Un móvil A sale de cierto punto P a
las ocho de la mañana en linea recta
con una rapidez de 20 km/h. Otro
móvil sale del mismo punto 3/4 de
hora después, también en linea recta, por otro camino que forma con el
anterior un ángulo de 60· y a una rapidez de 5 km por hora más que el
móvil A. ¿A qué hora estarán los 2
móviles a igual distancia del punto P
y qué distancia será esta?
RESOLUCiÓN:
=~
2
2
I Rpta. DI
250f=520.fa-= 5+8
1
T
®
!j
= 201
Resolviendo: t = 3h 45'
La hora pedida es:
:. 8:00+3h 45' = 11.45'
~ La suma de 49 números consecutivos termina en 2. ¿En qué cifra termina el menor de los 49 números?
RESOLUCiÓN:
Escribiremos la suma de los 49 números consecutivos como sigue:
,n-24+n-23+ ....... + n-l +,
v
24 sumandos
4
6
8
2
6
8
024
Calculara
0)4
4
6
8
O
O
2
2
4
4
6
6
8
824
6
8
O
Si: [(x-' 02-')0(608)-']-' = 2
Hallarelvalordex
Observación: x·1 elemento inverso de
x respecto de (o)
~2
NO
q4
~6
~8
RESOLUCiÓN:
002468
O 46 8!Oi2
2 6801214
4 JLº-~j~j.§,
6'024618
8
'246~JOJ
Oe la tabla, el neutro es e = 6, hallamos los inversos:
1aoa-'-e 1
80~=6=>8-'=4
E)5
yasr:4-' = 8; 0-' =2; -, =6
Luego:
[(X-'o(B~O(@')]: 2
=> (x-' 00)0(8)-' = O
'""T"
(x-' 00)04 = O
1
1
1
observamos que hay cuatro números consecutivos (para x entero).
Los dos menores se multiplican
dentro del operador c:::::J y los dos
mayores se multiplican en el segundo miembro de la igualdad.
Calculo de "a":
~
(x-'oO)= 2
i:(
=>x-'=8
:. x=4
[ Rpta. C 1
~ Calcular 120 de la sucesión:
3
8
15 24
2'9'19'32 , ...... .
A)315/406 8)440/648 C)300/365
0)329/512
E) 432/512
RESOLUCiÓN:
1114a-211] = 72 = 8x9
"===~
1
1°
=>114a-2 1!311 1
2"
3"
4-
20"
~':' ~~ ,~~ ,·····-{E
=>14a-~~
1
2
11
114a-211 =72
A) 1 8)2
C)3
RESOLUCiÓN:
Tenemos:
Ix2 +x I = x2 +5x+6
factorizamos:
O
20~=6=>2-'=0
Se define: 1x 2+x 1= x2+5x+6
I~)
Por el dato: 25 [t-
O
Para calcular 25 O 2, damos forma
a los operadores.
F,o= 10xl02-10xll = 1000-110
F,o=890
@
Hallarla suma de los valores de (1 01)
A) 1
8)2
C)3
0)-2
E)O
RESOLUCiÓN:
aob = (boa)2- 2(b oa)+a+b
=> 101 = (101 )2-2(101 )+1 +1
0= (101 )2-3(1 01)+2
(1 01):>1<:-1(1 01)=1
(101)
-2(1 01)=2
:. Sumadevalores(l ol)=1+2=3
Habran 2 conejos delante de un conejo, 2 conejos detrás de un conejo,
y uno en el medio. ¿Cuál es el menor número de conejos que exis@Sea(0)laOperaciónenA={0,2,4,6,
ten?
8) definida porla tabla siguiente:
RESOLUCiÓN:
o
O 2 4 6 8
Veamos:
2 conejos delante de un conejo
.
40(60)
Rapidez de Lucho: ~ = 160cm/s
Rapidez de Rita:
~ Si: aob = (boa)2- 2(boa)+a+b
,n+n+l+ ..... +n+23+n+24, = .... 2
Para el numerador:
15 , 24 ,....... .
O,
1
=> 4a-2=2x3
:. a=2
I Rpta. B 1
t o = n2+2n -+ 120 = 440
Para el denominador:
-2 2, 9 , 19 , 32 ,....... .
10
3
A) 75'
B)45'
C)50'
D)90'
E)O'
RESOLUCiÓN:
Del enunciado obtenemos:
13
3
3n 2 5n
t'=2+""2 -2~ho= 648
:. Nos piden: t20 =
@
C)(4,1) E AxB
D) (6,-2) E BxA
E)(0,2) E AxB
RESOLUCiÓN:
Graficando los conjuntos:
C[S(a)-C(a)] = : [S(a)-S(S(a))]
B = (XIX
4
::~ [r.Rp::-:ta-.-=s"l
C[(180-a)-(90-a)] = 9 [(180-a)-a]
• (-5:2)
4
Se tiene la siguiente progresión aritmética:
~:=-;..-::-.-;
a, ... ,(2a+2)(2a-1 ), ... ,(a-2)(a+2)(a-2)
Si la cantidad de términos que hay
entre (2a+2)(2a+1) y (a-2)(a+2)(a-2)
es 3/4 de la cantidad de términos
que hay entre a y (2a+2)(2a+1). Hallar la razón de la progresión.
B)2
C)3
D)5
E)4
A) 1
RESOLUCiÓN:
a, ... ,(2a+2)(2a-1), ... ,(a-2)(a+2)(a-2)
analizando las cifras de los términos
vemos que a > 2 Y a < 4, por lo tanto
a=3,luego:
'---<----'
O
180-2a [RPta. D
:. a = 90'
@
@
Por condición:
l
J
<-00;0»
• (10;-3)
A = (XIX
E
<-00;0»
• (6;-2)
Observando las 5 alternativas concluimos que la única correcta es la
"D", puesto que (6;-2) E BxA",.::----::,-,
[Rpta. D
#ténn =(151·r)-87
r
151-r-87 =-ª-r87-r-31
r
4
r
resolviendo r = 4
[ Rpta. E
E
BxA
3,O, ... ,[87-rJ, 87,0' ... [151-r], 151
'----y---'
'------y----'
#ténn = (87·r)
r
A = (XIX
I
En la figura, hallar7a:
A) 360'
-1S~
B)540'
C)720'
D)450'
E) 630'
RESOLUCiÓN:
Prolongando algunos lados para
formar triángulos isósceles, obtendremos:
B
<0:00»
(0:2)(4:1)
B = (XIX E <0;00»
AxB
0=9 [(180-2a)]
E
I
En la figura mostrada, hallar el perímetro de la región sombreada.
A) 21t+41-1
B)1t+81-1
C)31t+41-1
D)21t+81-1
E) 31t+81-1
RESOLUCiÓN:
De la gráfica observamos que:
I
@!!) Calcular el ángulo xsi: a+~+y = 400'
A) 20'
B) 15'
C) 10'
D)25'
E) 12,5'
RESOLUCiÓN:
Sabemos que:
Por propiedad en el cuadrante concavoABCD:
(180-2a)+(180-2a)+ (180-2a) = a
:. 7a=540
[RPta. S
Perrmetro:
= OA+OB+AB+DC+MN+PQ+DM+
CP+NQ
I
@
Aplicando esta propiedad al problema obtendremos:
Hallar la diferencia entre el mayor y
el menor de los términos de tres cifras dela siguiente sucesión:
7,19,37,61, ......... .
A) 805
C)828
B)811
E)792
D)803
RESOLUCiÓN:
1
21t(2) 21t(2) 21t(3) 21t(4)
=2+2+--+--+--+--+
4
12
6
12
+1+2+1
:. Perimetro = 8+31t
@
Hallar el área sombreada si ABC es
un triángulo equilátero de altura 36m
A) 1601tm2
B
2
B)1921tm
C) 1441tm2
D)481tm 2
E) 361tm 2
e
RESOLUCiÓN: A
Del gráfico:
~
6
2x+(180-a)+(180-y) = ~
2x = (a+p+y)-360
Por dato: a+p+y=400
2x = 40-360
2x=40
:. x=20'
@
6
t,= 3n 2+3n+1 = 3n(n+1 )+1
Para los términos de 3 cifras
100,;3n(n+1)+1 < 1000
99';3n(n+1)';999
33,; n(n+1)'; 333
:~
,¡.
n=6.7 ......... 17
~ tme,.,=t.= 127
tmayo,=t17=919
:. tmayo,-t me,.,=792
I Rpta.A I
El complemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento
de un ángulo es igual a 4/9 de la diferencia entre el suplemento del ángulo y el suplemento del suplemento
del mismo ángulo. Calcular su medida.
@
36
I Rpta. El
Si: A= {xix E < -oo,O>}
B = {xix E <O,oo>}
Senale la afirmación correcta:
A) (-5,2) "AxB
B)(1 0,-3) " BxA
o~
1<,v,;60 ;]
30
6>13
30
0
e
Observamos que:
OC=OA=12v3
3R+6V3=12V3
~R=2V3
@
Entonces:
Área=3@+(~
= 3[,,(2v'3)2]+,,(6v'3)2
:.Área=144m2
§
(~)=CI)
[Rpta.cl
La suma de los 4 primeros términos
de lugar impar de una P.G es a la
suma de los restantes como 1 es a 2.
Además, la suma de todos los 8 términos es 510. Señale uno de los tér-
A)121
B)160
D)143
RESOLUCiÓN:
1 2 3 4
D)30
E)16
P.G.: a,aq,@3l,aq3,@3J,aq5, ~ ,aq'
~
n-l
2
a+aq 2I sq1+aq6
1
2
~@~-~
®
9 10
CftI)---"'([)
14p 1-4p 14p
14p
~q=2
~ a(2 -1)
8
510
2-1
255a = 510 ~ a = 2
los términos centrales son: 16 y 32
[Rpta.
2
C)
45"
MN = AC = 1fJV2 =5-v2
2
Por propiedad de rectas paralelas, la
pendiente de la recta ~ es:
1
m,ij¡
1~
1
1
2
~
Ir~-:-m-=-_-~-:~-:""I
.
••
y-9
: -2 = ---x..7
-
=20(-v2+1)
@
~
~:2x+y=23
14-2x = y-9
5V2
1
~ d = 5(2+-v2)
:. Perlmetro = 2[5-v2+5(2+-v2)] =
se:
~
~_d_= V2+1
\12+1
Aplicando la ecuación punto pendiente para hallar la ecuación de la
recta
-
2
Recordando:
m1¡jt=--=--=-2
5"
99
100
12345
99100
OyS")
I
E
Si unimos los puntos ACEG formaremos un cuadrado cuyo lado, por
teorra, es igual a RV'2 = 1fJV2. Además, por base media,
_
12-7
5
1
mAB= 13-3 =10=2
4
RESOLUCiÓN:
Las figuras Ay Ctienen sólo 2 puntos
impares cada una, por lo tanto sí se
pueden dibujar de un sólo trazo.
Las figuras B y D tienen todos sus
puntos pares, por lo tanto, si se pueden dibujar de un sólo trazo.
La figura E tiene 4 puntos impares,
por lo tanto no se puede dibujar de un
solo trazo.
[ Rpta. E
45"
F
3
f7'?Y??5)
H
Por proporciones obtenemos que el
punto M = (7;9).
Calculando la pendiente deAB:
3 -99100
B) 1
y
45"
888-88
2
H, cuyo circunradio es 10cm, calcular el perímetro del cuadrilátero que
se forma al-""ir los puntos medios
deAB, BC, EFyFG
A) 20(\/3+1) cm
B) 15(V2+1)cm
C)20(V2+1)cm
D) 10(V2+1) cm
E) 25(V2-1) cm
RESOLUCiÓN:
Calculando el enunciado:
45'
la ecuación de la recta perpendicular aAB, en un punto que divide a dicho segmento en la razón de
2 a3.A= (3,7)yB = (13,12)
A)3x+2y=8
B)3x=y
C)2x+y=23
D) 3x-2y = -8
E) 3x+2y =-8
RESOLUCiÓN:
Graficando obtendremos:
I
¿Cuál de las siguientes figuras no se
puede dibujar de un solo trazo, sin levantar el lápiz del papel y sin repetir
A)
el
~ En el octógono regular ABBCDEFG
[Rpta. El
[Rpta. A
4 colores
una misma línea?
Número de puntos = 14x9 = 126
de circunferencias
la suma de los 8 términos es 510
~ Hallar
n
3 colores
3n = 30 ..... n = 10
1 2 3
1
aq+aq'+aq4+aq'
,!¡(a+aq2 +aq4 I aq")
C)126
E) 130
. Número do: = n+2(n-1) = 28
circunferencias
centrales
~
según el enunciado:
a+aq2+aq4+aq6
A
B
A)3y4
B)3y5
C)4y6
D)4y5
E)5y7
RESOLUCiÓN:
SeanA, B, C y D colores diferentes
C]]])···-{])
minos centrales.
A)64 B)24 C)8
RESOLUCiÓN:
¿Cuántos puntos de intersección
se cuentan en la figura, si existen 28
circunferencias?
[Rpta. C I
¿Cuántos colores diferentes, como
mrnimo son necesarios para los
siguientes mapas de modo que dos
regiones vecinas no tengan el mismocolor?
®
En una escuelita, si los niños se sientan, de "a" en "a", quedan (a-1) niños
de pie; pero si se sientan de a+1 en
a+1, queda una carpeta vacía.
¿Cuántos niños son si a = 10?
A) 200
B)210
C)211
D)208
E) 209
RESOLUCiÓN:
Sea C el número de carpetas luego,
distribuyendo de acuerdo a las condi-
ciones:
m§§
qg
o
e
carpetas
10
10
1
11
11
,
,
otJ
DLJ
® -+sobran
U
U
#dealumnos
#dealumnos
,--------A-----
11Íc=1)'
®
=
10C+9
De donde: C=20
:. #dealumnos: 10(20)+9=209
~
I Rpta. El
@
Un reloj ubicado en una iglesia tiene
la caraclerlstica de dar una campanada en cada hora, 2 campanadas
en las medias horas. ¿Cuántas campanadas habrá tocado en 1 dla?
A)79 B)88 C)80 D)78 E)72
RESOLUCION:
Distribuyendo el número de campanadas en 1 día:
,wcrwcrwcr
Oh
1h
2h
[ Rpta. E [
.
.
# total de campanadas:
1(24)+2(24)=72
@
•
n(A)
280
•• P(A) = n(n) = 1287 [Rpta. S 1
crwcr
3h .............. 23h 24h
@
Con 50 monedas de 5/.5 y 5/.1 Ocolocadas en contacto, una a continuación de otra y en línea recta, se ha
formado una longitud total de 1 m.
Los radios de las monedas son 7,5
mm y 20 mm, respectivamente.
¿Cuántas monedas de 5/.10 hay en
el grupo?
A)40 B)10 C)30 D)20 E)35
RESOLUCION:
Según dato, tenemos:
8
O
{~
mO:das
Luego:
15 15
,/<----;f----,/ ....... ~
R= 7,5 mm
D = 15 mm
R=20 mm
O =40 mm
>1
~
>1
40
,r ...... ./'-----:.t
OO ....... ~ ....... S
'------y-------'
(50-x) monedas
~
En un libro que tiene entre 1000 Y
2000 páginas se han utilizado 85 tipos para enumerar las 25 últimas
impares, cuya cifra tenminal es 3 ó
5. Si la suma de cifras de la última
página es 13, indicar el número de
páginas que tiene el libro.
A) 1129
B)1228
C)1732
D)1066
E) 1048
RESOLUCION:
Asumiendo que las 25 últimas páginas sean de 4 cifras, tendríamos:
..... 25(4)= 100 cifras
No se cumple, pues la cantidad de
cifras = 85
Se deduce que algunas son de 3 cifras.
# páginas de 3 cifras = a
{ # páginas de4 cifras = b
.....
15 40 40 40
Longitud total:
1-
@
.-r:.:.
N'''''..J cifras
sumad.J
=13
I Rpta. E 1
En la venta de un objeto se ganó el
50% del precio de costo. ¿Qué tanto
por ciento, respecto del precio de
venta, se ganó?
A) 33%
B)30%
C)33,3%
E) 36,6%
D)30,3%
RESOLUCION:
Suprimiendo: r - - - - - ,
p"""" =5/.100
I
entonces: Ganancia = 50%(1 00)=50
Luego: PVllnta= PC05to+Gganancia
..... p",,"," = 100+50 = 150
Nos piden:
:.
155~ xl00% = 33,3%
I Rpta. C 1
@
En un concurso participan 7 alumnos y 8 alumnas, si deben haber 2
ganadores. ¿cuál es la probabilidad
de que los ganadores sean una pareja mixta?
A) 8/17
B)5/11
C)7/13
1')8/15
E) 4/9
RESOLUCION:
Del enunciado: e
(7H Y 8M
~2 persona!)
Hallar: a+b+c _
Si:a!-b!+c! =abc
A)6
B)7
C)8
D)9
E) 10
RESOLUCION:
Tenemos:
a! +b! +c! =abc
y sabemos:
1! = 1
5!= 120
21=2
61=720
3!=6
7! = 5040
4!=24
Necesariamente; a, b y c deben ser
menores que 6. Uno de los factoriales es 5! = 120 Y los otros factoriales
son menores, con lo cual deducimos
queen abc, "a"debeserigual a 1.
Es decir, el otro factorial es 1! = 1. Sólo nos falta un factorial, veamos:
a! +b! +c! =abc
11 51 +41 145
dicho factorial es 4! = 24, con lo cual
se satisface la igualdad.
~ a=1,b=4yc=5
:. a+b+c= 10
[Rpta. E 1
9" 10"
última pagina
C1.QQ.9)
I
2-
[Rpta.A 1
'-r' ---.,....... .....,....,
. ·Ex8x3 . . ···ee. . . . e
,
s-'I
®
Haciendo la distribución correspondiente:
x mo-;;edas
Resolviendo: x = 10
:. # monedas de 5/.10 = 10
[r-Rp-ta-.
Un tren de "x" metros de longitud se
demora, en pasar frante a un observardor, 8s y se demora 24s, en cruzar un puente de 800 m de largo. HalIar"x".
A) 200
B)320
C)400
D)360
E)420
RESOLUCION:
Analizamos las condiciones en 2 gráficos relacionados.
En 16seg ..... 800m
En8seg ..... x=400m
;:~b2;5 ~ :~~~~i~~dl~
m <> 1000 mm
15(50-x)+40(x) =
@
A: que sean 6 hombres y 2 mujeres
HyM
8x7 5x4
~n(A)=C 8 xC 5 =--x--=280
5
2
2xl
2xl
campanadas
(
De 8 hombres y 5 mujeres se quiere
seleccionar a 8 personas para realizar un comercial. ¿Cuál es la probabilidad de que el grupo esté formado por 6 hombres y 2 mujeres?
A) 11/17 B)280/1287 C) 120/2129
D) 23/71
E) 121/4443
RESOLUCION:
e : Elegir 8 personas de un total de
13.
~ n(n) = C '3 = C'3 13x12xllxl0x9
8
5
5x4x3x2xl
= 13xllx9 = 1287
@
Existen 6 números, de 2 cifras cada
uno, fonmados por los diferentes ordenamientos de únicamente 3 cifras
diferentes entre sI. Además, la suma
de las mencionadas 3 cifras, hallar la
suma de cifras de la edad de Yolanda
si tiene "'n" años.
A)2
B) 12 C)22
D)4
E)8
RESOLUCION:
Sean a, by c las tres cifras, entonces:
--ab+ac+ba+bc+ca+cb = n(a+b+c)
(1 Oa+b)+( 1Oa+c)+(l Ob+a)+(l Ob+c)+
(1 Oc+a)+(l Oc+b) = 22(a+b+c)
Luego: 22(a+b+c) = n(a+b+c)
T
T
~ Edad de Yolandad = 22 años
:. Suma de cifras = 2+2 = 4 [rRp=--ta-.-=D"1
e : Elegir dos personas
15x14
~n(n) = C 15 = - - = 15x7
5
2xl
A: sea un hombre y una mujer
@¿CUál es el día que está ubicado anHyM
tes del sábado en la misma medida
~n(A)=7 x8
que está después del Martes?
•
7x8
8
Aliueves B) miércoles C)viemes
.. P(A) = 15x7 ="5 I Rpta. D 1
D) martes
E) domingo
RESOLUCiÓN:
I
I
I
I
B)"R2
C)v'3R2
R
D) R2(V3-1t)
E) R2(2 v'3-1t)
RESOLUCiÓN:
Del enunciado:
I
Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado
El dla que está antes del sábado en
la misma medida que está, después
del martes es el Jueves. I Rpta. A 1
@
R
Calcular: CE2 + EC
Si:CUATRO +
CUATRO
CUATRO
CUATRO
CUATRO
60 60
R
R
1+---8n
Si observamos la multiplicación;
CUATRO tiene 6 cifras y el resultado
VEINTE también tiene 6 cifras, con
lo cual deducimos que C = 1. Además. al multiplicar 5 por la letra ·0"
(que es una cifra), el resultado tenmina en cero ó en 5. Entonces E = 5.
puesto que E es diferente de cero, ya
que es primera cifra de número EC.
Luego: CE2+EC= 152+51 =276
A
= 2 [R2v'3- ,,:2J
§
M
I Rpta. E 1
En la figura, calcular el área de la región sombreada, si ABCD es cuadrado de lado 8m.
2
B) 18m2
A)36m
C)12m 2
D)24m 2
E)48m 2
ABrnCD
RESOLUCiÓN:
6
Del gráfico:
I Rpta. D 1
N
A) (24+13,,) m
~ "J m
D) [25+ ~3 "J m
C) [25+
RESOLUCiÓN:
Haciendo rodar el disco, analizaremos la longitud que recorre su centro,
2"(1),,
y asr obtendremos~
4
-4- = 2
t1
En la figura mostrada. hallarx.
SiAE=EC;EB=CD
B
4
~
E 100'
D)35·
A
E) 30·
RESOLUCiÓN:
De la gráfica:
En la figuraAM = MN = NB = 4m. Si el
disco de radio 1m, gira tangencialmente por la superficie, desde A hasta B, ¿cuál es la longitud recorrida por
el centro del disco?
ir
=2[(2R~v'3 -3t,,:2j]
:. Área = R2(2V3-,,)
Ynos piden CE2 + EC
@
Área=21~-3~l
L 2R R J
VEINTE
C)40·
A
R
Gráficamente observamos que el
área sombreada se puede calcular
de la siguiente manera:
5
A)
25·
B)45.
RESOLUCiÓN:
Trazando la mediana AM relativa a la
hipotenusa obtendremos:
Como se Ionma el triángulo isósceles
MAB, deducimos que:
I Rpta.A 1
:. AB=8n
VEINTE
Además, letras diferentes representan cifras difarentes:
A)216
B)81
C)225
D)276
E) 200
RESOLUCiÓN:
Tenemos:
CUATRO x
@
<$>
A) (V3+,,)R2
2 dla.
~
2 dla.
8
x
37 ~
53/2
C
D
I Rpta. D 1
T@
2a
1
C)"a"
D)2/3"a"
E)2"a"
1--2a-----i
RESOLUCiÓN:
Gráficamente observamos que si
unimos adecuadamente las curvas,
ellas Ionmarán una circunferencia
de radio "a". Por lo tanto: r=--:--=-o
:. Perímetro = (3l = 2"a I Rpta. E 1
El triángulo EBD resulta ser isósceles luego que al trazarse BD el triángulo BDC resultó ser equilátero.
Entonces:
m <l: BDE = m <l: BED (porseris6sceles)
x+40=70
:_x=30·
@
"
"
Ir::Rp-=-::ta-'8=->1
.
E) 9 n
~
C
13n
nté~inos
es:
A) 15 B) 17 C) 19 D)20 E)21
RESOLUCiÓN:
Para calcular el número de ténminos,
primero hallamos el t n Y luego lo igualamos al último ténmino.
111,121,136,156,181,211, ... ,961
~
10
15 20
5
~
B)5n
C)6n
E)10n
El número de términos de la siguiente
sucesión:
~21, 136, 156, 181,211, ...... ,961.-
25
30
~
Calcular la longitud deAB:
A)8n
A
5
5
5
5
15
t n = 2n+""2n+lll = 961
5n(n+3) = 850
B 3n D
B
Long = 4+"2+3+3 = 10+"2
Calcular el perrmetro de la región
sombreada.
A)5"a2 1l
B)3"a2 1l
es congruente a una de sus diagonales, son los centros de cuatro circunfarencias congruentes y tangentes
(ver figura). Calcular el área de la región sombreada en función de la longitud Rdel radio.
W
:. Área = 8;6 = 24
@
4
N
8
B
~ Los vértices de un rombo, cuyo lado
4
2
T
T
[Rpta. B
I
~¡:~~"
3
F
¡
¡
A
~
3
.
B
I.
5B~:
8
AxB
3' .....
!
.
;
!;
2
5
x
S=I-
@
[ Rpta. D
S20 = 127670
@
55
=56
[Rpta. C
I
La figura muestra un cuadrado ABCO
Hallar el área dela región sombreada
L:x·2y+l0=O
B
D1<------>1 e
RESOLUCION:
x-l!=O
Por geometria plana sabemos que el
área de la región sombreada, para el
caso dado, representa la doceava
parte del área del cuadrado; por lo
tanto, para hallar el área sombreada
bastará con hallar el área del cuadrado, para lo cual tendremos que hallar
primero el lado del cuadrado, yeso lo
lograremos calculano las coordenadas del punto "B", el cual es el resultado de interseclar las recias se 1 y se2
I
Hallar la ecuación de la mediatriz
del segmento cuyos extremos están dados por los puntos (4,5) y (-8,
-3).
A)x-2y=4
C)3x+2y+4=0
O) 3x+y+4 = O
RESOLUCION:
Graficando:
1
56
A) 2,5
B)3
C)2
0)1
E) 1,5
20
+5 t ;21}3(20)
B)3x+2y4=0
B E se,nse2~B=(a;b) E se,nse2
se, :a-2b+l0=0}a=6
se2:a-6=0
b=8
E) 3x-2y+4 = O
~B=(6;8)
V,~4;5)
..-------::III"B
(6;8)
A0~
5
A ""'---1""0,------' D
El perímetro de la región sombreada
es: 2p = 10+6+8+5+5VS ~_~
:. 2p = 29+5VS
[ Rpta. C
I
Si:A= {xix E [2,5]}y
B = {y/y E <3,8>}
Hallar: AxB en forma gráfica:
B):t::::R
X
S20 = 3{20;21r2t20X2:X41] +
5
R
5
Se tiene una sucesión cuyo término
enésimo está dado por t o = 3n' 2n 2+5n+3. Calcular la suma de sus
20 primeros términos.
A) 75880 B) 138080 C) 128890
0)127670
E) 125450
RESOLUCION:
t o = 3n'-2n2+5n+3
la suma de los 20 primeros términos
EI-~~--7IF
A):t
2
C)55/56
E)31/60
ye<3;8> 8 .....
~
@
En la figura mostrada, hallar el perímetro de la región sombreada. Si
ABCO es un cuadrado de lado 10m
yRC=8".
A) 19+5VS"
B)9+5VS"
E
R
F
C)29+5VS"
5
5
O) 29+3VS "
A
D
E) 19+2VS"
RESOLUCION:
Oel gráfico:
B .---_---!;10~_....,., e
5
....... +10 términos
y
F
5
@calcular:
1
1
3
4
S= lx2 + 2x4 + 4x7+7xll + ...... .
A
":::::::7
[ Rpta. D
x
a~
":::::~~~~~~~~~~~~~~~~r
2Sp= 13x7
:. Sp=45,5"
I
I
RESOLUCION:
Graficando los conjuntos "A" Y "B"
obtenemos.
e
A
@
8
I
[ Rpta. C
····H
;
;
3
..:::::~~¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡V
/
X
••••,...,
Gráficamente observamos que la
suma de los segmentos paralelos al
ladoAF (Sp) para el triánguloABF se
repite dos veces dentro del paralelogramoABCF. Por lo tanto:
2Sp= 13(AF)
@
8
Y
0)45,5"
E)47"
A
B
RESOLUCION:
Primero, formemos el paralelogramo ABCF tomando como sus lados,
a los ladosAB y AF del triángulo,luego prolonguemos cada segmento
hasta que toque el lado opuesto de
AB y observaremos que cada segmento asl formado será igual a AF.
Es decir:
B
se : -3x-6 = 2y-2
3x+2y+4 = O
:. se:
E)m
":j=R ,
~ Hallar la suma de los segmentos paralelosaAF=7"
-
C):t F1 ,
simplificando n(n+3) = 340 = 17x20
*x *x
Calculando la pendiente deAB:
15-(-3)
8
2
mAij = 4-(-8) = 12 = "3
Calculando d:
d = d(O;B) = v'' '(6'"'_3'' )2CC+'' (8"""''_5"'')2 = 3V2
Sabemos que el área del cuadrado es:
Por lo expuesto en un problema anterior:
1
1
Área = (diagonal)2
3
m1;t=- mAS =-"2="2
3
I
~
X-X1
2
= 2(3V2)2 = 36
Aplicando la ecuación punto-pendiente:
se'm = y-y
(2d)2 = 2d 2 =
2
I~~ ---ª- = y-(I)
2
x-(-2)
.
•• A.omb...d. =
@Hallar:
D
36
12 = """"-i2 = 3 [ Rpta. B I
20
~(2n'-I)
n"'11
A) 79795
B)81000
D)82900
RESOLUCiÓN:
C
C)82140
E) 83493
RESOLUCiÓN:
Desdoblando (x+ 1)! obtendremos:
(x+l)x(x-l)(".2)! _ _ h ,
216-x
- (-"",).
~100=P
Despejando C: C = lOOP
20
20
20
n"'11
n"'1
n"'1
Luego: 100P=20P+2160
80P=2160
P=27
Dinerototal:
:. C = 100(27) = S/.2700 I Rpta. A 1
~ (2n 3-1) = ~ (2n3-1)-~ (2n 3-1)
= [2xt20;21J1X20]-[2xt10;11J1X10]
I RpÚJ. C 1
=82140
~ DelgráficoS=9m 2yS=4m 2
CalcularS2:
A) 2 v'1Om2
B)20m 2
C)v'1Om2
D) 10m2
E)15m 2
RESOLUCiÓN:
Del gráfico:
®
(x+l).x.(x-1) =216-x
~y
7x6 x5 =216-6=210 [
[
:. x=6
. Rpta.A.
En el club de Canmen hay 8 varones @¿Cuántas ordenaciones distintas se
pueden realizar con todas las letras
ticipar en las elecciones desean forde la palabra "pipido"?
mar un comité de 6 personas (mitad
B)720
C)630
A) 120
varones y mitad mujeres) encabeD)240
E) 200
zados por Carmen. ¿De cuántas
RESOLUCiÓN:
maneras diferentes se puede forDel enunciado, nos damos cuenta
mar esta lista?
que estamos frente a una penmutaA) 420
B)260
C)56
ción con repetición:
D)120
E) 560
7 letras
RESOLUCiÓN:
y 6 mujeres, incluida ella. Para par-
~
""L--=r ""LT LJ -
Del enunciado:
Agrupar
222
7'
# maneras = p 7 =
.
2.2.2 2!x2!x2!
p7
# Maneras = C:xC~x1
Observación:
Radio D.P. VArea
Aplicando el Teorema de Pitágoras:
[3k]2+(2R)2 = (7k)2
9k2+4R2= 49k
4R2= 40k2
•
8x7x6 5x4
•• # maneras = 3x2x 1 x 2x 1 = 560
@
~R2=10k2
Por la observación anterior.
(Radio)2
Area:
(3k)2 ->
9m 2
(2k)2 ->
4m 2
@
I(ffií I(ffií I@I@I ~ 4
[Rpta.DI
:. R=10k2->10m2
Dos parejas de novios van al cine
con las madres de las novias. ¿De
cuántas maneras diferentes se
pueden sentar en 6 asientos sin que
se separen las parejas?
A)24 B)64 C)96 D) 120 E)720
RESOLUCiÓN:
Del enunciado:
Madres
Hallar el número total de cuadriláte-
1° par
=~
lugares
2° par
Si las parejas están juntas, es como
si fuese un sólo elemento, entonces
lugares 1- par
2- par
#maneras=4! x 2! x 2!=96
I Rpta. C 1
A) 35 B)48 C)44
RESOLUCiÓN:
D)31
E)45
e
[8 personas] [5 persona~ e
= 15+36-6 = 45
A)S/.2700 B)S/.2160
D) S/.2450
Oe
~~e
C)S/.2450
E) S/.2500
RESOLUCiÓN:
Sea C la cantidad de dinero en soles.
[Rpta. C 1
=630
@
2x2x2
Si a y b son números reales tales que:
-5'; a,; 7 Y2,; b,; 6,5; entonces:
r
a-2bJ varra entre qué valores,
E = C-3-
inclusive.
A)~;l
B)-5;2
C)-6;-1
D)-2; 1
E)6; 1
RESOLUCiÓN:
De los datos, busquemos lo pedido:
-5sas7 ........... (1)
[2,; b,; 6,5]x2
[4';2b'; 13]x(-1)
-13s-2bS4 ..... (2)
Sumando (1)y(2)
1
[-18 <
- a-2b <
- _3]x3
a-2b
~-6';-3-';1 ~-6';E';1
una reunión hay 8 personas,
¿de cuántas maneras diferentes se
:. E varia entre ~ y 1, inclusive.
pueden ordenar alrededor de la meI Rpta.A 1
sa 5 de las 8 personas?
B)40320
C)720
A) 1344
D)1433
E)2133 @Si a y p son raices de la ecuación:
RESOLUCiÓN:
a+b
1
1
--=--+ab
a+b-x
x
Del enunciado:
e
Número de =5x6
3x4- x
3x4
3x4
--+
--cuadriláleros
2
2
2
2
Oscar divide la cantidad de dinero
(en soles) que tiene en su bolsillo
entre 100, resultando un número
entero P. Si da P monedas de 20
soles a un mendigo, aún le quedan
S/.2160. ¿Cuánto tenia en el bolsillo?
7x6x5x4x3x2xl
@9> En
111*14151 + 00
tfttf 111*1
@
7!
2!x2!x2!
2.2.2
# maneras = C~ xPC(5)
Calcular el valor de x en:
Jl<:':1lI..
= (x-2)'.
216-x
B) 7
C) 5
B)a+b
C) a 2 +b2
E)2ab
RESOLUCiÓN:
= 8x7x6 x4x3x2xl
3x2x1
:. # maneras = 1344
I Rpta. A 1
A) 6
A)ab
D) a 2 _b 2
Agrupar y Ordenar
@
Calcular A = a 2+p2
D) 4
E) 3
a+b
1
1
--=--+ab
a+b-x
x
Operando e igualando a cero:
a+IL
~.a+fj;.X
ab
(a+b-x)(x)
-> ab = ax+bx-x2
x 2-(a+b)x+ab = O
~ a+p = a+b}
su,,:,a de
raleas
prod~cto ~ a.~ = ab
Nos piden:
A=a2+p2
:. A=a2+b2
Ixl
[Rpta. C [
~
ks
20
n(Pi) = n(n)-n(Pi) = 120-20 = 100
,
n(A)
100
5
•
•• P(Pi) = n(n) = 120 =6
[i-=Rp--"ta-.c"""l
@
E = -5 [X2+ : x-
E = -5 [[x+
E
n
25 ~
máximo val?!
de la expreslon
5
~
[ Rpta. E
3S
3
=
8S
8
2
[Rpta. B
Se quiere rebajar al 5% la concentración de 20 litros de solución salina que está al 7,5%, para lo cual se
le anade agua. ¿Cuánto de agua se
afiade?
A)5 B)10 C)15 D)20 E)25
RESOLUCiÓN:
Primero calculamos la cantidad de
sal:
7,5%(20)= l,5Lt
H,O
~~
18,5+x
Sal
W d e agua
1,5
En una venta se descontó el precio
de un allículo en 20% y aún se ganó
el 20%. Si, para fijar el precio de lista,
se incrementó su costo en S/.I 00,
¿cuántos soles se ganó?
A) S/.40
B) S/.60
C)S/.30
D)S/.25
E)S/.l0
RESOLUCiÓN:
Según los datos:
I
19
~
~1
5%
I Rpta.B I
@
I
Precio de lista
1,5
1
:. Se agregó 10 litros de agua
~ Para que el número n se pueda divi-
A) K>[~r B) KS[~r C) KS n
Distribuyendo adecuadamente las
posibilidades de los precios restantes
:. El allrculo de mayor precio es S/.7
@
~ 18,5+x=~~x=10
I
dir en dos palies tal que su producto
sea K, se debe tener:
SI. 7
I
20Lt
el máximo valor de
la expresión es
'---r--'
752:
[Rpta.B
25
~
I
SI. 5
En la figura AM = MD Y DN = NC.
@Si: P(x) es un polinomio de tercergra¿Qué parte del área del paralelodo cuyo ténmino independiente es 5 y
gramoABCD es el área de la región
además: P(x)-x2= P(x-l )+3x+2
sombreada?
B
Halle la suma de coeficientes de P(x)
A) 1/2
e
A)10 B)ll
C)5 D)13
E)7
B)3/8
RESOLUCiÓN:
C)3/4
N
Sabemos que:
D)2/3
A
D
P(O) = ténmino independiente
E) 1/4
M
P(l) = suma de coeficientes
RESOLUCiÓN:
Entonces, para x = 1 tenemos:
Asumiendo que el área total sea 8S
P(l )_(1)2 =P(l-l )+3(1 )+2
P(l)-1 =P(0)+5
S_,.-l =5+5
[Rpta. B
:. S"""",.=ll
Area región sombreada
Area paralelogramo ASCD
39
.'. Para x = -
[Rpta.B
Nos piden:
2
2
x+-=O::::::>x=-Eméx=
[~r
~---....,c
minimoO
5
'---r--' '---r--'
l,-----+~ SI-4
Luego:
~ x]'- ~;J
=-ªª--5rx+~12 ~
a{?:J{~}G=19
~~
@
2~ - 2~ - ~J
A~
f\2S1\2SI~
¿Paraquévalordexlaexpresión:
-4x+7-5x2
toma su valor? Hallar dicho valor
máximo.
A) 2/5; 39
B)2/5; 3915
C) -215; 39/7
D)-1;-7/3
E)-2I5; 3915
RESOLUCiÓN:
Deseamos que la expresión -4x+75X2 tome su máximo valor, entonces
dándoles forma de binomio al cuadrado.
E = -5x2-4x+ 7
2
E=-5[X + : x-
I
n~4k
@
120
n-x
Paraquex E]]!l., 6,,,0. Entonces:
6, = (-n)2-4(1 )(k);'O
A: Por lo menos uno esté en buen
estado.
Pi: Ninguno esté en buen estado < >
los 3 son defectuosos.
Pi) = C· = 6x5x4
~ n(
3
3x2xl
lículo de menor precio costó S/.3 yen
total se pagó S/.19, ¿cuánto costó el
allrculo de mayor precio?
A)S/.8
B)S/.7
C)S/.6
D)S/.5
E)S/.4
RESOLUCiÓN:
4 alllculos de
;Z +
r precios diferentes
_ _ _ _,
LXE]]!l.
Por dato:
x(n-x)= k~ nx-X> = k
X>-nx+k=O
En una caja hay 10 focos de los cuales 4 están en buen estado, una persona toma al azar 3 focos. Hallar la
probabilidad de que por lo menos
uno esté en buen estado.
A) 2/3
B)YC)5/6
D) 1/6
E) 1/5
RESOLUCiÓN:
.: Elegir 3 focos de un total de 10
10x9x8
(n)=c'O=
~ n..
3
3x2xl
2
K~ ~
E)
RESOLUCiÓN:
Del enunciado:
P= b
de ralees
@
_n __
D) K > n2
a. = a
Al comprar 4 allrculos se paga, por
cada uno, un número entero de soles diferentes en cada caso. Si el ar-
Sea el Pe = 100k, entonces:
5/.100
A
Precio de [Ganancia Descuenl0
30k
costo 100k [2Ok
80% Pe
20% Pe
~ 20k+30k = 100 ~ k = 2 ~_----,
:. Ganó: 20(2) = S/.40
[ Rpta. A
I
@se mezclan 80 t de alcohol de 80%
de pureza con "J(" tde alcohol de 80%
de pureza. Hallar Y, si la mezcla resultante es de 72% de pureza.
A)100t
B)90t
C)320t
D)150t
E) 200 t
RESOLUCiÓN:
~+~ ~
~~ ~
80t cM eH
al 80%
xt ct. OH
al 70%
(80+x) d.
OH al 72%
Para las cantidades de OH. planteamos 80%(80)+70%(x) = 72%(80+x).
Rpta_ J
Resolviendo: x = 320
I
E=
o-~
x"
".,~
x"....
donde x .. O; n E Fl-{l; 2}
A) 1 B)2 C)x D) l/x
RESOLUCION:
E = 0-1
".~ 0-1X~"
X"
-"-.
E)x'
.. E
E·1.E = x"
En= xn:::::> E = x
Nos piden:
1
f{j
:. P(B) =
~
E=
Este foco puede
ser cualquiera de
los 9 que quedan
de los cuales hay
4Dy5B
B1
~ E= "-~ ~
bros:
Una caja contiene 4 focos defectuosos y 6 buenos. se sacan dos a la
vez. se prueba uno de ellos y se encuentra que es bueno. ¿Cuál es la
probabilidad de que el otro también
sea bueno?
A) 5/9
B)1/3
C)2/5
D)3/7
E) 1/9
RESOLUCION:
Realizando lo enunciado:
(40.18]
elevamos a la "n-1" en ambos miem-
1
X.E·1= x.-=x.x =
~
[1]
IRpta.AJ
@
~
Sobre los lados de un cuadrado de
lado K. se construyen rectángulos
iguales; la altura que han de tener
estos rectángulos para que al unir
los vértices resulte un octógono regular.es ....
B)Kv'2
C)Kv'2!2
A)K12
D)K13
E)K14
RESOLUCION:
.
~ Cuatro personas no se conocen entre siy acuden al cine. En el cine aún
quedan 2 filas vacías. de 8 asientos
cada una. Si todas se ubican. cada
una en un asiento. ¿de cuántas maneras diferentes puede ocurrir que
se ubiquen en una misma fila?
A)2410
B)3460
C)2260
D)1460
E) 3360
RESOLUCION:
Interpretando el enunciado. deduci-
x:
+20%
Final
10~12
------
10~8
E=10.102.k=1000k
E=12.82.k=768k
y:
I Rpta.B J
@
x"
Inicio
(7)(36) = (x)(21)
x=12
:. Se deben contratar 12 obreros.
e
~ Aqué se aproxima X.E-1. si:
0-1
~
ª
-23k
:. "E" disminuye en 232K. es decir.
disminuye en:
232
1000k xl00% = 23,2%,..-_----,
RptIJ. D J
I
Un bote desarrolla una rapidez de 15
km/h en aguas tranquilas. En un rio.
cuyas aguas discurren a 5 km/h. dicho bote hizo un cierto recorrido y
vol-vió a su punto de partida. Hallar la
re-Iación entre la rapidez media en el
viaje de ida y vuelta, y la rapidez en
aguas tranquilas.
B)3/2
C)7/8
A) 5/4
D)8/19
E) 8/9
RESOLUCION:
v~~co~ra~e=
15-5= 10 km
.. comen""
h
a favor de
V"",,,,,,
.. = 15+5 = 20 hkm
a
a
K
a
a
V
Según dato: K = av'2
Kv'2
Despejando a ~ a = -2-;.------,
RptIJ. J
I
. _ d.,.. _ 201+201 = ~ km
tlDlal t+2t
3 h
media -
40
Vmedla
Va,uas
e
3
l8l
=15=lIj
[Rpta E[
tranquilas
.'
.
2
@Si:x +x< 1. ¿cuál de las siguientes
@se desea pagar una deuda con momosque:
11111111 f-+Filal
relaciones es imposible?
nedas de 5/.5 y 5/.2. catorce en total
A)x>-l
B)x> 1
C)x> 1/2
y en el momento de pagar se inter4 personas ó
D)x>O
E)x<O
cambian por equivocación el número
RESOLUCION:
de monedas con lo cual se pagó 5/.6
1 1 1 1 1 1 1 1 f-+ Fila 2
2
Six +x< 1
más ¿Cuántas monedas de 5/.2 se
:. #maneras=2P:=2[8x7x6x51=
Nos damos cuenta que x. a pesar
entregó?
que se le aumenta en x. es menor
A)4
B)6
C)8
D)7
E)9
=3360
[ Rpta. E J
que 1. Por lo tanto es imposible que:
RESOLUCION:
Un grupo de obreros debla construir
x>l
IRpta.BJ
un puente; pero. faltando 36 d las para terminarlo. 7 de los obreros se ac- 'Í363' En la siguiente expresión E = xy2VZ
w3
cidentaron y no pudieron ser reem- ~
plazados hasta después de 15 días.
Si y aumenta en 20% e y dismi¿Cuántos obreros se tuvieron que
nuye en 20%. ¿en qué tanto por
JJ
JJ
JJ
JJ
contratar. al cabo de ese tiempo. paciento varía la expresión "E"?
5(14-x)+2x
,5X+2!14-X)
ra que terminen la obra en el tiempo
~
A)Aumenta en 76.8%
3x+28
70-3x
fijado?
B) Disminuye en 76.8%
A)20 B)12 C)24 D)21 E)18
Por condición del problema. pagó por
C)Aumenta en 23.2%
error 5/.6 más; entonces:
D) Disminuye en 23.3%
RESOLUCION:
E) Novarra
(70-3x) = (3x+28)+6
Analizando sólo la parte de obra que
RESOLUCION:
correspondra a los 7 obreros que deResolviendo: x = 6
bla culminarlo en 36 dlas.
Es un problema de variación por.'. Entregó 6 monedas de 5"'/.=2'-_....
~
@
(I.P.)
/
7 obreros
x obreros
\
36 días
21 días
centuEa_~
xyZYzj,
-w!~1 E=xy2.K
cte = k
I
I RptIJ. B J
~ Al
multiplicar dos números, uno de
los cuales es mayor que el otro en 10
unidades, un alumno cometió un
RESOLUCION:
error, disminuyendo en 4 la cifra de
Túnel
las decenas del producto.AI dividir el
producto obtenido por el menor de
los factores, obtuvo 39 de cociente y
22 de residuo. Hallar el mayor de los
f - - 500m ---+- 200m -l
factores.
1 - - - - 700m - - - - - 1
A)21 B)31
C)41 D)33 E)46
Para que el tren pase el túnel debe
RESOLUCION:
recorrer 700 m, entonces:
Sean los números "x" Y"x+1 O"
Producto correcto = x.{x+1 O)
t = 700)TÍ = 14
50 )TÍ/s
Rpta. B
Producto que obtuvo = x.{x+1 0)-40
Luego:
@una bolsa contiene 12 esferitas
x{x+1 0)-40 ~
blancas y 12 esferitas negras.
22
39
¿Cuál será el mfnimo número de
esferitas que se deberá extraer
~ x{x+10)-40=39x+22
aleatoriamente, para obtener con
x 2-29x-62 = O
seguridad un par de esleritas blanX*-31~X=31
cas o un par de esferitas negras?
x
+2 ~x=-2
A) 1 B)2 C)3 D)4 E)5
El mayor de los factores es: ~
RESOLUCION:
Según
lo pedido, analicemos el ca[Rpta. C
so extremo sacando las medias que
son más, para este caso las blanEncontrar el valor de a en función de
cas:
x.
log{x2-a)
= log4+210g5
blancas negras
log{x-2)
I
'----y---'
'----Y---'
5 pares + 1 par = 6 pares
A)x+2
B)x-2
C)2x+1
D)4x-4
E)4x+4
,r:R=-p-ta-'.
RESOLUCION:
@sedefine:
Operando:
mon= fYrii; si O,;;n,;; 10
log(x2 -al
n2; otros casos
log{x-2) = log4+210g5 = log4+log25
Hallar: E = (2011 )05
A)2 B)5
C)6 D) 11
E)8
log{x2-a) = log100 = log10 2= 2
x-2
RESOLUCION:
Por definición:
Según se define:
x2-a = (X-2)2
2
2
mon ={Yrii; si O,; n'; 1O... caso I
x ·a = x -4x+4
[Rpta. D
a=4x-4
n2; otros casos ... caso II
Nos piden:
~ En la figura EB = 2DE, AD = 2DF Y
--+E={2.11)05
CF = 2EF. ¿Qué parte del área del
(2.11)=11 2=121 ........ {Casol)
triánguloABC, es el área del triánguLuego, reemplazando:
10DEF?
B
c-'I
I
b4 4
a=-·-~25a=4b4
25
Nos piden:
Nos piden:
Área t. DEF
Áreat.ABC
~ Un tren de 200 m de longitud viaja a
50 mis. ¿Cuánto demora en pasar
un túnel de 500 m?
A)35s
B) 14s
C)10s
D)16s
E) 12s
@
Ganancia
costo
2O%Pc
100k
20k
80%PL
Descuento
30k
20%PL
PL = 150k
,
,
.A
Precio de
Ganancia
costo
14%Pc
14k
100k
Descuento
11
~
debo rebajar 36k, es decir, que re36k
presenta el 150k 100%=24%deIPL
I Rpta. D I
@
El 60% del número de hombres es
igual al 40% de número de mujeres.
¿Qué tanto por ciento del total representa el número de mujeres?
A) 40%
B)60%
C)25%
D)20%
E) 75%
RESOLUCION:
60% (# hombres) = 40% (# mujeres)
N" hombres = 2
N" mujeres
3
-ª-5 x 100% = 60% del total I Rpta. B I
@calcular el mayor número comprendido entre 350 y 400 Y que al dividirlo
por: 3, 6,12y 18da siempre el mismo
resto.
A) 356
B)372
C)382
D)394
E) 398
RESOLUCION:
Sea N el número
I
@Si: {ra=20%xbV1O
Elevamos a la cuarta, en ambos
miembros y resulta:
a = _1_ xb'x100
54
Precio de
Total = 5
:, El número de mujeres representan el
I
E= 121.5 ........ {Caso 11)
E=-v'121
Rpta. D
E= 11
,
A..
Luego, se deduce que PL = 150k.
Ahora, para ganar el 14%del Poosk>.
=>
1
A) 1/8
B)3/4
C)1/19
A..""""":::....--~~
D) 1/10
E) 1/12
e
RESOLUCION:
Hacemos los trazos auxiliares BF y
DC y empezamos asumiendo el
área del t. EDF = S.
B
,
I
I
@
Sea el p"""" = 1OOK, entonces según
los datos:
PL= 11
N=3+r}
N=6+r
"
~N=36+r
N = 12+r
N=18+r
Observación: r<3
Pero por condición:
350<N<400
Entonces: N = 360+r ó N = 396+r
Como piden el mayor:
N = 396+2 = 398
4
--"'- x100% = b • x100% = 25% @se tienen 5 pares de medias blancas
y 4 pares de medias negras. ¿Cuán4b,
,
25a
. Rpta.B.
tos pares se debe sacar, como mínimo, aleatoriamente para obtener con
Si un articulo lo vendo, haciendo un
seguridad 1 par de medias blancas y
descuento del 20% del precio de
1 par de medias negras utilizables?
lista, gano entonces el 20% del preA)3 B)5
C)6
D)10
E)11
cio de costo. ¿Qué porcentaje debo
RESOLUCION:
rebajar al precio de lista para ganar
Si analizamos el caso extremo obtene114% del precio de costo?
dremos: 10 2° 3°
A) 28%
B)70%
C)21%
®O~3extracciones
D)24%
E) 76%
BóN
RESOLUCION:
®
[Rpta.cl
@
Hallar el valor de K sabiendo que
una raíz excede a la otra en 3 unidades.
x'+(2K+5)x+K= O
A)2
8)-2 C)l D)-l E) 1/2
RESOLUCiÓN:
Por dato:
x,-x2=3
v'i)2:4aC
a
a
X1.X2=-=
I
@
Reemplazando:
3
Y(2k+5)' -4(1 )(k)
1
9 = (2k+5)'-4k
9=4k'-16k+25
k'-4k+4=0
(k-2)'=0
k=2
[RPta.A
I
@
(j(j(j(j(j(j . . . . . . (j
.(j(j(j(j(j(j(j(j(j
...-----...
F(x-l) = (x+l )'_2
+2
Luego:
f(1)=(1+2)'-2=7
f(-l) = (-1 +2)'-2 =-1
f(-3) = (-3+2)'-2 =-1
Reemplazando en la expresión pedida:
7-(-1 )
--1- = -8 [Rpta. D
@
I
Si un automovilista marcha a 40
km/h, llega a su destino a las 22:00 y
si viaja a 60 km/h, llegarla a las 20:00
¿Qué velocidad, en km/h, debe emplearpara llegara las 21 :OO?
A)40km/h 8)44m/h C)48kmlh
D) 50 kmlh
E) 52 km/h
RESOLUCiÓN:
Se plantea lo siguiente:
Llegada a las:
40 km/h _....:t"'+2=---+. [22h]
60 km/h _ _t,--_. [20h]
Xkm/h _....:.1+:....:1_... [21h]
En los 3 casos la distancia es la misma.
~ d: 40(t+2) = 601 = x(t+l)
~
t = 4 '--y----'
~x=48
@!9l Hallar
~A
I
I
Calcular' f(l) - f(-l)
.
f(-3)
A)8 8)6
C)-5
D)-8 E)4
RESOLUCiÓN:
Interpretando convenientemente la
regla de operación:
:. 48km/h
~
~-....,
@Si:f(x-l)=(X+l)'-2
@
4K]
5K
0°
Sabemos que:
-.¡¡:;
<>[
@LUiS gasta 1/8 de su dinero en pasajes y cuatro veces aquella cantidad
en alimentos; si los 5/.90 que le restan los ahorra. ¿Cuánto tenia al prin00
cipio?
Luego 9K = # par de 3 cifras (mínimo)
240
8)360
C)120
A)
cumple cuando K = 12
D)150
E) 200
Luego, el numerador = 4(12) = 48
RESOLUCiÓN:
Suma de cifras = 4+8 =;.1;2,------.
Sea el dinero inicial = S/.8K
[Rpta. D
_ _ SI·8K
_ _ __
Se reparte una cantidad de carame/" Pasajes Alimentos Resto"'
los en progresión aritmética a un
grupo de niños de la siguiente ma. . 1 SlK 1 Sl4K 1 Sl90 1
nera: al último niño le tocó el cuá'-y---'
druplo de lo que le tocó al primero y
SI'3K
a éste, los 2/5 de lo que le tocó al
"\.J>K = 30
quinto niño. ¿Cuántos niños son?
:. Dinero inicial: 8(30) = 5/.240
A)4 8)5
C)6
D)9
E) 10
Rpta.A
RESOLUCiÓN:
Distribuyendo adecuadamente los
Formar la ecuación de segundo gracaramelos:
do cuyas ralces verifican las siguientes relaciones:
(x ,-2)(x,-2) = 1
2x
5x
8x
(2x, +1 )(2x,+l) =-2
e indique como respuesta el coeficiente del término lineal.
8x 11x 14x 17x 20x 23x 26x 29x 32x
A)5
8)-9
C)6
D)-8
EH
Hemos logrado que se forme una
RESOLUCiÓN:
P.A. (al cuadruplicar los datos iniPara formar la ecuación de 2do. graciales).
do necesitamos:
.'. Se observa que hay 9 niños
[r.R=P:...ta.--:D--,1
S.R=X,+X2 AP.R.=X,.X2
De los datos:
Un reloj da 6 campanadas en 5 se• (x,-2)(x,-2) = 1
~ x,.x,-2(x,.x~ =·3
gundos. ¿En cuántos segundos da•
(2x,.l
)(2x,+l)
=
-2
~4x,.x,+2(x,+ x~ =-3
rá 63 campanadas?
A)62 8)60 C)64 D)65 E)56
.
6
RESOLUCiÓN:
•• X 1 X2 =-S
Observación:
Reemplazando en lo anterior:
4x, x,+2(x, +x,) =-3
#intervalos=#Campanadas-l
a:.Q
15
[Rpta. C
I
una fracción equivalente a
12/15, tal que la suma de sus términos sea un número par de tras cifras,
el menor posible. Dar como respuesta la suma de cifras del numerador.
A)9 8)10 C)ll D)12 E)15
RESOLUCiÓN:
Sea la fracción equivalente
I
I
Luego, planteamos:
6 campo < > 5 intervalos 5 seg
63 campo < > 62 intervalos -@
62x5
-+x =-5-= 62 seg
@
[Rpta.A
• 4 [-
~ J+2(X'+X2) =-3
24
9
2(x, +x'¡ =""3 -3 ~ X, +x, =10
I
Reconstruyendo la ecuación cuadrática: x'-SRx+PR = O
Al resolver un problema que se deduce a una ecuación cuadrática, un
estudiante comete un error con el
término independiente de la ecua~ 10x2-9x-12 = O
ción y obtiene por ralces 8 y 2. Otro
Nos piden el coeficiente del término
estudiante comete un error con el
lineal.
coeficiente del término de primer
Rpta. -9
Rpta. B
grado y obtiene por ralees -9 y-l.
La ecuación correcta es:
@coneldineroqUetuve,compréun arA)x'+10x-9=0 8)x'-10x+9=0
tículo y observé que el dinero que no
C) x'-8x-9 = O
gasté es los 2/3 de lo que gasté.
D)x'-10x-4=0
E)x'+10x+9=0
¿Qué parte de lo que me queda debo
RESOLUCiÓN:
agregar para volver a tener lo que
tuve?
Para la primera parte:
bien
mal
A)2/3 8)4/5 C)5/4 D)7/3 E)3/2
RESOLUCiÓN:
x'-Ox+O=O
8+2
2
Gas1é
2
Gasté ="3 (no gasté) ~ No Gasté ="3
De la segunda parte:
I
mal
bien
Entonces:
x'-Ox+O=O
(-9)(·1)
x'-10x+9 = O
r-=--:--=->
I Rpta. B I
I
1G~sté No~ j
Tuve ';, 5
I
.'. Para volver a tener lo que tuve debo
agregar
~
A) 140
B)60
D)100
RESOLUCiÓN:
Ordenando:
1 1
de lo que me queda.
I Rpta.A 1
@
ª
Una jarra llena de vino pesa 8 kg Y
vacía, 1 kg. Si se vende el contenido
en vasos que, llenos pesan 270 g Y
vacíos 20 g. ¿cuántos vasos se pueden vender?
A)30 B)56 C)5 D)28 E)14
RESOLUCiÓN:
De los datos, obtenemos:
Peso del vino en lajarra =8kg -1 kg = 7 kg
Peso del vino en cJvaso =270 9 -209 =250 9
:. # de vasos de vino que 7000g
se pueden vender =
= 28
250Q
7
..--..,.
g=O, ....x
Analizamos:
• En las unidades: b+a= 10 ............ (1)
• En las decenas: 1+a+c = 10 ......... (2)
• Enlascenlenas: 1+3+b = 10 Q b= 6
Luego reemplazamos en (1): a = 4
Ahora reemplazamos en (2): c = 5
(¡!tima cifra
del peñodo
@
3m) 50% más
2m
.15
Junios: 5m -...,-::- Luis: 30m
x15
Luego juntos hacen 30 m en 6 días.
C) 112
E) 4444
[Rpta.A
1
@Hallar:
S = 3125+2500+2000+1600+ ....
B)15000
C)78125
A) 25255
D)8400
E) 15625
~ diferencia: 166661 [Rpta. D 1
RESOLUCiÓN:
= 3125+2500+2000+1600+ ....
S
@SedefineenA=(1,2,3,4)
~'---'"
• 1 2 3 4
x4- x4- x4555
1 4 1 2 3
En
una
serie
geométrica. decrecien2 1 2 3 4
3
4
4 1
1 2
te infinita cuya razón q = : ,enton-
ces la suma es:
a- 1: elemento inverso de -a"
Hallar: E = (2".3)".2
A)3
B)4
C) 1
D)2
RESOLUCiÓN:
•
1
2
3
S = 3125 = 3125 = 15625
@
4
1
41,23
2
3
L.!.....?.L}......~.j
2
3i 4
1
43.iJ12
De la tabla, el neutro es e = 2
Con la propiedad del elemento inverso y la tabla, hallamos inversos:
1a=a·1= el
•
l
l
l
3 .(IJ= 2 ~ 3. 1=1
• 3.(IJ=2~2·'=2
Finalmente:
E = (2·1.3)·1.2
E = (2.3)".2 = (3)".2 = 1.2 = 1
'--y--J
@
3
T
4
15
E)2"
t
I Rpta. el
Calcular: abc, sabiendo que:
3ab+bca = 1000
1
5
...x
7
Juan es 50% mas eficiente que Luis
Si Luis puede hacer un trabajo en
15 dlas; ¿en qué tiempo harán dicho trabajo los dos juntos?
A)6días
B)9días
C)8días
D) 5 días
E) 12 días
RESOLUCiÓN:
Rendimiento (1 díal
En 15 días
Juan:
Luis:
~
Por fracción generatriz, obtenemos:
r:=-=:---=->
[Rpta.EI
7
... x
u-=--u =-9 99 ... 9
11 ... 1
u (11 .... 17)7= ....xu ..... 7= .....x
Luegox=7
:. Nospiden:7+9=16
[Rpta.
:. axbxc=4x6x5= 11201 [ Rpta. E 1
I9 I8 I 6 I 3 I
2
3
riódico puro. Hallar la suma del denominador de la fracción con la última
cifra del periodo.
A)15 B)14 C)16 D)17 E)18
RESOLUCiÓN:
1 OO O
La figura muestra un ejemplo de un
código de identificación de 4 dlgitos
que utiliza un banco para seguridad.
Si los dlgitos aparecen en el código
en forma descendente y un dlgito no
puede aparecer más de una vez,
¿cuál es la diferencia entre el código
mayor posible y el código menor posible?
3
4
~ La fracción 7/9 origina un decimal pe-
3 a b+
+b c a
[Rpta. D 1
A) 2222
B)321
D)6666
RESOLUCiÓN:
Mayor código:
9876Menorcódigo:
3210
C)80
E) 120
@
e[
Dadas las sucesiones 1/2, 4/3, 9/4,
16/5.... Y 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, ...... , la diferencia de los términos n-asimos es:
A) n(n+1)
n-l
D)
B)
n
n+1
C) n(n-1)
2n+1
E) n(n-1)
n+1
n+1
n(n-l )
RESOLUCiÓN:
Dando forma:
12 22 32 42
n2
·2;3;4;5; ...... í n = n+1
1
2
3
4
n
·2;3;4;5; ...... í n = n+1
Luego, nos piden:
~,~ _ n(n'1)
n+l n+l - n+l
[ Rpta. E 1
~ En dos cajas rojas se colocan 3 cajas
blancas en cada una. Dentro de cada
caja blanca, 4 azules, dentro de cada
azul, 5 negras, y asl; sucesivamente
hasta completar cinco colores diferentes. ¿Cuántas cajas hay en total?
A) 870
B)640
C)720
D)872
E) 920
RESOLUCiÓN:
Color Q Rojo Blanco Azul Negro Verde
#cajasQ~
Determine la suma de los 20 primex3 x4 x5
x6
ros términos de la siguiente suce:. Total de cajas:= 2+6+24+120+720 =
sión: 10,26,56, 100, 158, ..... .
=872
[Rpta. D 1
B) 19200
C) 18400
A) 20000
E) 15000 @Si:[X]=n<o>n,;x<n+1;n e iF(
D)17600
[3,5]+[-7,8]
RESOLUCiÓN:
Halle:E=
[-11,1]
c=8, 10; 25; 56 ;100 ;158
A) 1 B)-1
C)2
D)O
E)-2
58
RESOLUCiÓN:
2a=
14 14
Según la definición:
t n =an 2 +bn+c
[x]=n<o>n,;x<n+l; n eZ: ;xeiF(
Luego t o = 7n 25n+8
donde [ ]: máximo entero
La suma de los 20 primeros térmiEl máximo entero de x es igual a n,
nos es:
donde
n es el mayor entero que a la
20
vazsaa menero igualax.
2
S20 = , (7n '5n+8)
n"11
Así tenemos:
820 = 7 t 20X2~X41J5t 20;21}8(20)
:. S2O= 19200
I Rpta.B 1
[-3,5] = -4 }(-4)+(-8)
[-7,8] = -8
-12
[-11,1]=-12
E=1
~-:--::;
I Rpta.A 1
~ Se define a.b = Ya(b.a).a'b > O
Calcular: 16'2
A)2
B)5
C)8
RESOLUCiÓN:
D)3
~=5
110.L801 = ± 2Y9-1
E)4
a'b=?
a.b = Ya(b.a) ...... (1)
b.a =Yb(a.b) ...... (2)
Reemplazamos (2) en (1)
a.b =Ya(Y b(b'a»
Elevamos a la cuarta:
(a+b)4= a2.b(a.b)
(a+b)3=a2.b
~ I a+b = V'a2ti I
Nos piden:
(16.2) = m..2 = {¡ (2 4)2.2'
= ~ = 2 3= 8
[r:Rp::--ta.-c'"'l
I
I
4
[Rpta.A
E
I
G
Hijos
r-------~"------~,
2
JL-.:.il.\s=:f---=-I-
1~2
E)10
c/u slx s/x
2
Nos piden: Área región sombreada
Área cuadrado ASCD
1+1
1
~ 4x4 ='8
[Rpta.AI
Entonces:
@
Dos ciclistas A y B distan entre si,
330 m; el primero parte deAhacia B
y el segundo en sentido contrario,
ambos con rapidez unifonne, tardan en cruzarse 15 segundos. Detenninar la rapidez del primer ciclista, si el segundo tiene un quinto de
rapidez más que el primero.
slx slx slx slx SIx 5/2
Sobrarían = 126
Área (S) = 2x1 = 1
+1,( )2,+4
Nos piden:
A~B
I
~2+4
la.Lbl = ± 2v'8-1-1
Un reloj se adelanta 2 min, en 3h. ¿A
qué hora empezó a adelantarse si a
las 10 h 20 min de la noche señala las
10h32min?
A)4:20a.m. 8)5:10a.m. C)4:30a.m.
D) 3:20 a.m.
E) 8:20 p.m.
RESOLUCiÓN:
Si a las 10h 20' (hora real), el reloj
marca las 10h 32', es porque hay un
adelanto de 12'.
Luego:
TIempo
Transcurrido
adelanto de 2'
.....
en 3 h
adelanto de 12' .....
enx= 18 h
Se deduce que hace 18 h el reloj empezó a adelantarse.
:.10h20'pm-18h=4h20'a.m.
@Si reparto mis S/.250 entre mis hijos,
s610 me queda S/.2; pero si accidenD)1/19
"talmente 4 de ellos desapareciesen,
me sobraria S/.126 ¿cuántos hijos
E) 1/12
D
E
tengo?
RESOLUCiÓN:
H
A)10
B)1
C)6
D)4
E)8
Sea el lado del cuadrado igual a 41'
RESOLUCiÓN:
2
2
Calcular: 110 .L 80 1
(la.Lbl +1)2= 4(a-1)
I
En la figura E, F, G Y H son puntos
medios. ¿Qué parte del área del
cuadrado ABCD es el área de la región sombreada?
F
A) 1/8
B) 1/6
C)1/5
M = a2+4
(la.Lb 1+1)2+4 = 4a
L,: y=3 ~
5
~=4a
~=4a
@
.{x=o
--+ y=slJnt8rsacclón
y=O --+ x=5 Jcon los ejes
• S
3x2,5
2
•• X=-2- = 3,75 u Rpta. B
(4R)(x) = (R)(180) ~ x =,-:40--5_ - ,
A)1 8)5
C)7
D)8
RESOLUCiÓN:
Según la definición de 11.:
Despejando V = 2
:. LarapidezdeA=5(2)= 10m/seg
3
Radio"'-------'" N' vueltas
R
180
4R
x
Como son I.P., entonces el producto
es constante.
[Rpta. E
330m
330m
t o",,"""" 15 s = (5V+6V)m/seg
3
I.P.
A
6Vm/s
1---
SI
3
@
@t
5Vm/s
[RPta.cl
: 6x+5y = 30
'--' 6
__~;:\8Dv
@g)Si:
I
y
y "4R", están conectados como
muestra la figura. Si la rueda menor
da 180 revoluciones, ¿cuántas revoluciones da la mayor?
A) 75
B)80
C)60
D)90
E)45
RESOLUCiÓN
((?J
~ 10.L801 = -7
Se desea construir una esfera de
2m de radio, empleando 20 obreros
en 14 horas. Si se decide aumentar
en 4 metros su diámetro. ¿Cuántas
horas adicionales se necesitarán si
se contratan 8 obreros más?
A)20h
8)30h
C)40h
D)50h
E)66h
RESOLUCiÓN:
Graficando las rectas, tenemos:
~L,
~ Dos ruedas, cuyos radios miden "R"
17 ~E>\~
6
[Rpta.B
®
A)28m/s
B)70m/s
C)10rn/s
D)30rn/s
E) 1000/11 mIs
RESOLUCiÓN:
Asumiendo que la rapidez de A es 5
Vrn/s entonces la rapidez del segundo será:
5V+V=6Vm/s
Luego:
~ 4x+12=126~x=31
250-2 = 8
••• #de h"IJOS= ~
®
I Rpta. E I
José se encuentra en el sexto piso de
un edificio, luego baja al tercer piso,
vuelve a subir al quinto piso y, finalmente, baja al segundo piso; si entre
piso y piso las escaleras tienen 12
peldaños, ¿cuántos peldaños ha utilizado José?
A)72 8)96 C)84 D)120 E)48
RESOLUCiÓN:
Del enunciado:
I
3 esc
\.
6" piso
5" piso
4" piso
3" piso
2" piso
1" piso
1
~se
®
3 ese
De la gráfica:
# escaleras = 3+2+3 = 8
:. # peldaños =8(12)= 96 Rpta. B
I
@
x
144
8
x
[Rpta.A
z
[RPta. C
I
I
@
[~~ X+1J%
9
C) [1 0 X+10J%
D)[~~X+10J%
~
~
E)(x+10)%
16x19 <330.6 ... < n'+3n < 3331<
< 57x60
1il1\(~~~-X)~
16x19 < n(n+3) < 57x60
56,
~ n =,17. 18.
Entonces. hay 40 términos de 4 cifras
:. #de cifras usadas en los términos
de4 cifras es 40(4) = 160 [Rpta. B
t
A) 13/276
B) 13/66
C)31/132
D)17/276
E) 37/132
RESOLUCION:
1
1
1
1
S = 4x9 + 9x14 + 14x19 + .......+ 64x69
........"
..........."
'-"
'-"
1-- 200m ----l
60S
--+
+5
~
Ir..·-....·..·'"
I--x
5
5xS
60s ~ x+200 = 600
:. x=5800m
Sabiendo que fez) = +
@
1
Hallar: ---C~-:c'-[!C-:f
JJ
B)_1
A)z'
C)z
D)Z3
E)_1
RESOLUCION:
Sabemos que:
f(,)=+~f[ ! } d r z
~f ~[ !JJ= f(z) = +
5
5
=[¡'~=~'J¡¡Hk feJf¡'[Sh~
Luego:
65
1 , 1
5S=4 69 u5S = 4x69
•
13
"S=276
1Rpta.A
~ 2s~200
z
5
z,
I
¿Cuál es el mayor número del cual. al
dividirlo entre 83. se obtiene como residuo un número que es el triple del
cociente obtenido? Dar como respuesta la suma de las cifras de dicho
número?
A)9
B)10
C)8
D)7
E)6
RESOLUCION:
Sea N el número entonces:
N~
3q q
~ N=83q+3qA3q<83
N=86q
Aq<27.6
El mayor número N se obtiene para
"q" = 27 ~ N = 86x27
N =2322
:. Suma de cifras = 2+3+2+2 = 9
+5
S = 4x9 + 9xt4 + 14xt9 + .......+ 64x69
I 200m-l
Luego. planteamos:
@
+5
Multiplicamos por 5:
/ '- . '..... --+ "-
F51
+5
I Rpta.A I
@
1
Ana gastó 2/5 de lo que no gastó y
luego perdió 1/3 de lo que no
perdió. Al final recupera 1/5 de lo
que le quedaba. por lo que ahora
tiene S/.180. ¿Cuánto gastó al ini-
La edad de Jorge es el cuádruple de
mi edad. pero hace 5 años era el
qulntuplo. ¿Cuántos años tendrá Jorge dentro de (5+n) años?
RESOLUCION:
5 anos
5+n
~/-">o
Pasado Presente
cio?
A)30 B)80 C)90 D)50 E) 120
RESOLUCION:
Gastó
No gastó
12:40 15:40
1
¡ Perdió No perdió
I
11:50 1
3:50
.
1
5:30
J
!1:50
, recu'pera le quedaba..
'/.180
t;......
valores
el @
Al pasar por un tIlnel:
30
~ 999 < 3n'+9n+7< 10000
(100-pí% =
Un tren eléctrico de 200 m de largo.
demora 2 segundos en pasar frente
1000-10P = 900-ax
a una persona y 1 minuto en pasar
por un túnel. Hallar la longitud del
ax+100
9
10
=P~P=wx+10
túnel.
A)5000m B)6000m C)5800m
9
D)3800m
E) 4500 m
:. [1 0 X+10J %
[RPta.
RESOLUCION:
Al pasar frente a una persona
@calcular:
1
1
1
1
S = 4x9 + 9x14 + 14x19 + .......+ 64x69
2.
jO°%tA
24
~
2a=
6
6
6
tn = an 2 +bn+c
Luego t.= 3n'+9n+ 7
Ahora los términos de 4 cifras serán
los que se encuentren entre 999 y
10000.
S/.20A ~ (100-x)%
S/.18A ~ (100-P)%
donde P% es el porcentaje de perdida en el segundo caso.
I
I
En la sucesión:
19; 37; 61; 91; ......
¿Cuántas cifras se emplearon en escribir todos los términos de cuatro dlgitos?
A) 120
B)160
C)220
D)240
E) 72
RESOLUCION:
c=7 19; 37 ; 61 ; 91 ;.....
a+b=12 18
RESOLUCION:
Según las condiciones. se plantea
P. Venta
Significado porcentual
~x'=8x2x144
x=48
:. El doble del número es: 2(48) = 96
Luego lo que gastó al inicio;.:fuc::.e:=-------.
2x40=80
Rpta. B
Se vende un objeto en 20A soles.
perdiendo el x% de su precio de
costo. Si se hubiera vendido en 18A
soles; ¿qué porcentaje se hubiera
perdido?
A)
Un número es tantas veces 8 como
el doble de las veces que 144 contiene a dicho número. Calcular el doble
del número.
A)96 B)48 C)24 D)12 E)192
RESOLUCION:
Sea yo el número. entonces:
-=2 -
@
I
f~[ !JJ
1
=-1-=z
Jorge
5x3(5)
4x4(5)
yo
lx3(5)
lx4(5)
[(85+n»
'------.../'
1(5)
Diferencia
de edades:
'---y-----'-----------
4x3 =
3x4
:. Dentro de "5+n" años. Jorge tendrá 85+n
Rpta. E
I
I
@
A un comerciante le dieron, para
vender, una cierta cantidad de pavitos de los cuales vendió 35 y le quedaron menos de la mitad; luego le
devuelven 3 y después vende 8 con
lo cual le quedan más de 28 pavitos.
¿Cuántos pavitos le dieron inicialmente?
A) 70 B)71 C)72 D)73 E)69
RESOLUCION:
Le dieron Y pavitos.
Primero: x-35 < ~ ~ x < 70 .... (1)
Distancia = 960km}T .. =960
Rapidez = 60km/h
.... 60
--¡¡¡¡-
Luego: T
@
Hoy tengo el triple de lo que tuve
ayer, y ayer tuve la quinta parte de lo
que tendré mañana. Si las tres cantidades fuesen todas 4 soles menos,
resultaría entonces que la cantidad
de hoy sería el cuádruple de la cantidad de ayer, ¿cuánto tengo hoy?
A)S/.12
B)5/.36
C)5/.60
D) 5/.48
D) 5/.54
RESOLUCION:
~ J::!mI: Mañana:
Cantidades:
x
3x
5x
Si todos fuesen
4 menos
x-4
.¡.
.¡.
3x-4
5x-4
Resultaria: 3x-4 = 4(x-4)
12=x
:. Hoytengo=3(12)=S/.36
Ir::Rp:-:-ta~.s=->I
A:
V3
B)(-I)'(n+l)'·2
1
E)(-I)'(n+l)"
T
I Rpta. C 1
¿Cuántas horas empleará un automóvil para recorrer 960 km, viajando
a una velocidad promedio de 60
km/h, si durante el recorrido realiza
2p paradas de 20 minutos cada una?
B) 48p+4
3
C) 48+p
6
E) 16+2p
@
T
t4=+25= (_1)4(4+1)4-2
t,=-216= (-1)'(5+1)&-2
t,=(-I)'(n+l)'·2
@
I Rpta.sl
:.2160h<>90dias
10=-4= _(4)'=(_1)3(3+1)3-2
.... 01
• 9b= .... 1~9(9)=81
L.9
• 8a+8= ..... 0
L.4ó9
Como a;<b, entonces:
a=4
:. a+b=4+9= 13
4
L.....J
I
Un reloj marca la hora exacta a las O
horas de un cierto dla. Si se sabe que
se adelanta 4 minutos cada 12 horas,
¿cuánto tiempo transcurrirá para que
nuevamente marque la hora exacta?
A)90horas B)90días C)90meses
D) 90 segundos
E) 90 años
RESOLUCION:
x= 720x12 =2160h
t2=+1 = (_1)2(2+1)2-2
9
sumandos
I Rpta. D 1
Luego:
Adelanto
4' en 12 h
~ Adelanto 1720'1 en [!]h
= _(2)-1 = (-1)' (1 +1 )'-2
2!
1 '
Para que el reloj que sufre adelantos o retrasos, marque la hora
exacta, es necesario que sufra un
atraso o adeelanto total de:
12<>720'
dando forma a cada término:
t, = - -
1
Observación:
~,+1,4,+25,216
!!! !
RESOLUCION:
D
1
-""2'
+1,-4, +25,-216, ..... .
9sumandos
3
@
Calcular el término enésimo en la
siguiente sucesión:
A)-2n(n+l)
C)(-1 )'(n+l )('+1)
D)(-I)'(n)'·2
RESOLUCION:
23
24
25
26,.
271'----"'
Luego,a=30yb=28
!
®
.¡.
5
¡r.3O::0'-----~28"'i
Luego: 15'+ a'+45 = 90'
a=30'
Rpta. D!
A)11 B)12 C)13 D)14 E)15
RESOLUCION:
Colocando los sumandos verticalmente:
D) 48+2p
2
.¡.
10
15
20
25
2
!SO..
;
a ~o
.__ _. i.__.__.__.__15'7"''--'"
.__._ .__.__.
:u.__.__30'
v
A) 16+40p
En la figura, hallar a: Si AB = BC =
CD, además BC o...CD
!Rpta.EI
La diferencia de 2 números, más 60
unidades, es igual al cuádruple del
menor menos 50 unidades. Hallar el
menorvalorde los números.
A)30y20
B)20y50
C) 10y40
D)30y40
E)10y30
RESOLUCION:
Sean "s" y "b" los números, donde
a>b ~ a-b+60 = 4b-50
~ a+ll0=5b
,
,b+ab+bab+abab+..... 'o ........ 01
@
@
rr-~V3~3~B~~__
2 __~C
@J) Si a ;<b, calcular "a+b" en:
ab
bab
abab
= 16+ 2p(20) = 48+2p
60
3
A) 15'
jB~.......--.C
B)20'
C)25'
D)30' A
E)35'
D
RESOLUCION:
Hacemos trazos auxiliares, hasta
formar un rectángulo.
I Rpta. E 1
.¡.
....
a+b-c
=-2-
I Rpta. D 1
x-35+3-8>28~x>68 ............... (2)
@
.
a+b+c
Entonces: # gatitos = - 2 - - c =
Número de
}
paradas 2p
T
_ 2p(20)
TIempo por
..... parada =20 min
Luego:
:. De(l)y(2):x=69
a+b+c
Resolviendo: T = - 2 -
=16 horas
I Rpta. S 1
Todas las mascotas que tiene Zelmi
son conejos menos "a"; todos son
leritos menos "b" y todos son gatitos menos c. ¿Cuántos gatitos tiene
Zelmi?
C) a+b+c
A)a+b+c
B)a+b+c
2
D)a+b+c
E) a+b-c
#
galones
2
3
RESOLUCION:
Sea # total de mascotas = T
Luego: # conejos = T-a
#Ioritos =T-b +
# gatitos = T-<:
1
T = 3T-(a+b+c)
Un taxista compra 6 galones diarios
de gasolina al precio de S/.15 por galón. ¿Cuántos galones podrá comprar con la misma cantidad de dinero,
si la gasolina sube a S/.18 porgalón?
A)2
B)3
C)4
D)5
E)6
RESOLUCION:
Ordenando las condiciones en cuadro tenemos:
costo por cantidad
gal6n de dinero
antes
6
15
90
después
x
18
90
LuegoxxI8=90~x=5
:. Podrá comprar 5 galoneF:s::-:----:::-"1
I Rpta. D 1
@
En la figura se muestra el reflejo de
un reloj visto en el espejo. Indicar la
:. El reloj señala 7h 50'+27'
= 8h 17' a.m.
,r""Rp-ta-.A......
hora que es. si el menor ángulo que
se forma es 80·
A) 10h20'
I
@
C)10h3 L11 •
D)llhI5'
D)llhl0'
RESOLUCiÓN:
A) 40000
B)44000
C)44945
D)36940
E) 54495
RESOLUCiÓN:
Asumiendo como r la razón, tenemos
n = 89 términos
r
A~
+r
+r
+r
bOa-(aOb-r)
#detérminos:
r
=89
bOa-aOb = 88r
Descomponiendo:
1OOb+a-( 1OOa+b) = 88 r
99(b-a) =
9(b-a)=8r" r=9
j2+i4+i8 +i16+ ....... +i 220
i+i2 +i3 +.... .i B9
20 números
M
'-1+1+1+1+ .........+1'
--1+( 1) I (-i)+í+ .... ..:!-i+( 1) I (-i)+ 1+1
I
~
®
x·
60·+6x· = -+80·
2
11
40
7
~ 2x= 20 --+x = " = 3 11
:. Hora exacta = 10h 3
@
{¡ Ir:Rp::--"Cta-.-=c"l
Los cuadrados de los tiempos de revolución de los planetas alrededor
del Sol son D.P. a los cubos de sus
distancias e inversamente proporcional a sus masas. Hallar el tiempo
de revolución del planeta "Alfa" si la
distancia de "Alfa" es 2 veces la de la
Tierra. ambos respecto al Sol; además la masa de la Tierra es a la de
"Alfa" como 3 es a 5.
A)46Y15 B) 146-v13 C) 146Y2
D)21Y146
E) 146,(:30
RESOLUCiÓN:
t
[re~~I::nr
\
(Distancia)' Masa
--+ (12) - - 23 13 "Tierra" --+ (365 2) 2
2
Luego: t x5 = 365 x3
2
5
3
también aOb ; aac --+ se deduce que a = 1
por lo tanto b = 9
'¡;;¡¡"
30
obreros
30 obreros
10 dlas
8 h/dlas T
40
días
8
hldía
(30+x) obreros
20 dlas
10 hldlas
96=6x~x=16
se contrata
X obreros más
:. Lacomidaseacaból6díasdespués de la pelea.
Rpta. A
I
I
Como la obra es la misma igualamos
30.40.8 = 10.8.30+(30+x)20.1 O
Resolviendo x = 6
•'. Se contrataron 6 obreros más
®Si[X]=n~n,;x<n+l;n E
Hallar:
I Rpta. C I
E = [-3,5]+[-7.8]
@
[-11.1]
Despejando "r
t = 146,(:30
A)1 B)2 C)-1
D)O E)10/11
RESOLUCiÓN:
Según la definición:
[x] = n--+ n ';x< n+l; n E::Z
[-3;5] =-4, pues-4';-3.5<-3
[-7;8] =-8, pues-8';-7.8<-7
[-11 ;1] =-12. pues-12';-II.1 <-11
Reemplazando en "E":
-4+(-8)
E=
=1
Rpta. A
@j) Hace ya 45 horas que un reloj se
En45h--+ adelantax=27min
I. Rpta. B I.
boa = 8
Cuatro grupos de hormigas. numéSuma de (bOa+aOb)89
ricamente iguales, consumen el
términos =
2
pan de una dispensa en 10 días. pero al transcurrir el cuarto día. 3 de
= (901+109)89 = 44945
los grupos pelean por lo que uno de
ellos queda exterminado y los otros
2
I Rpta. cl
dos se reducen a la cuarta parte.
¿Cuántos días después de la pelea @Treinta obreros se comprometieron a
sa acabó la comida?
realizar una obra en 40 días. trabaA)16 B)24 C)12 D)8 E)10
jando 8 horas al día; pero luego de
trabajar 10 días. se decidió terminar
RESOLUCiÓN:
la obra 10 d las antes por lo que se
Número de hormigas de cada grupo = 4n
contrataron más obreros y trabajaron
16n
10
todos, 2 horas más pordla. ¿Cuántos
hormigas
.. días
obreros más se contrataron?
A)2
B)4
C)6
D)8
E)10
16n honmigas
6n hormigas
4 dlas
X dlas
RESOLUCiÓN:
Análogo al problema anterior
mueren 10n
l'
adelanta 3 mino cada 5 horas. ¿Qué
hora sañala el reloj si en estos momentos son las 7h 50 mino de la mañana?
A)8:17a.m.
B)8:17p.m.
C)9:20a.m
D)8:20a.m.
E)10:17a.m.
RESOLUCiÓN:
Según condición del problema:
En 5 h --+ adelanta 3 min
= -18i
Como es la misma cantidad de pan
igualamos:
160n = 64n+6nx
160= 64+6x
\
Alfa" (t)2 - - 2 3 5
Tierra . . (365)2 - - l' - - 3
"Alfa"
~~
1.1
t 't::::..J t
hormigas
quedan 6n
I.P.
O.P.
8ár
~--:-:'~-.....,
M =J$l- =
_ _ _,
P.A.a~~~a
Desanrollando:
M=
la suma de todos los tér-
minOS.
@Hallarelvalorde:
j21 +i:z2 +i:z3 +ir + ....... +i220
M=
.1+1'2 +1'3 +..... 1'S9
A)-18
B)-18i
C) 18/i
E) 1/18i
D)18 2i
RESOLUCiÓN:
Sesabequei= -1
j4°+1 = i; j4°+2 = -1; j4°+3 = -1; j4 = 1
B)lh5~'
11
C~lcular
----=--i2
@
I
Hallarel promedio de los números:
60,60.60, ...60; 70,70.70, .. .70 ;20,20 •... 20
'-----y-------- '-----y-------- '---y----'
n veces
n veces
n veces
A) 15512
B)70/13
D) 1/6
RESOLUCiÓN:
C) 155/3
E) 213
,60,60.~0, ...60,;lO,70.~0, ...70,;~0,20; ... 20,
n veces
I
En la siguiente progresión aritmética que tiene 89 términos:
- aOb. aac ..... bOa
n veces
n veces
Suma total = 60n+ 70(3n)+20(2n)
=310h
Cantidad de números = 6n
310n
155
Luego. el promedio =
=""3
---¡¡¡;-
I Rpta. C I
La edad de Ana y Ricardo es 6 vecas
la suma de las edades de sus hijos;
hace 2 años, esta suma era 10 veces
la de sus hijos y, dentro de 3 años,
será 4 veces la edad de sus hijos.
¿Cuántos hijos tienen?
A)4 B)2
C)3
D)5
E)6
RESOLUCION:
Sea n la cantidad de hijos, entonces:
2af'ios
A)30seg
B)50seg C)30min
D)300seg
E)50min
RESOLUCION:
Graficando según los datos:
SOd
Safios
40: X :
~~
Pasado Presente
Ricardo
Ana
1° Hijo
: [ 105
""""'\.
2" Hijo
n° Hijo
¡
5
105+4
Futuro
8+5n
~ VvvvJ
VvvvJ
Luego:
En el futuro:
En el presente:
105+4= 6(S+2n) 105+10 =4(S+5n)
Operando:
Operando:
S=3n-l ..... (I)
35 = 10n-5 .... (11)
Reemplazamos (1) en (11)
~ 3(3n-l)= 10n-5
Operando n = 2~# hijos =2
:. 2hijos
Rpta. B
!
esté aliado
(de CecIlia...
y la derecha
l~"·-j""J
de Leticia
7(......
\6~~r)
'"
rL~~~ ......
... Marra no está al
-.t~~~\
lado de Leticia ...
.. Lelicia no está al
lacio de CecIlia ni
""- de Marra...
al bajar
(de 3 en 3) (de 2 en 2)
!11 = 2n
# pasos
@
3
~ "1936+4= edad murió
48 = edad murió
I
!11 = 3n
I
:. Edad en la cual murió: Rpta D
48 años
.' .
@
María tiene 2 sobrinas: Lucía e Irene;
si, actualmente, la edad de María es
2,5 veces la suma de las edades que
tienen Lucía e Irene; y, dentro de 5
años, la edad de María sera sólo 1 ,5
veces la suma de las edades que tendrán, en ese entonces, sus sobrinas,
¿cuál es la suma de las edades actuales de las !res?
A) 30 años B)35años C)25años
D)15años
E) 10 años
RESOLUCION:
Analizamos las condiciones en el
cuadro siguiente:
5 anos
~
3
!Rpta. C I
Presente
Futuro
5n
5n+5
2n
J [1.2n+l0
Marra
Lucra
Lidia y Paola parten de una ciudad y
se dirigen a otra, situada a 24 km de
Irene
la primera. Lidia camina con una ra-
Luego:
pidez de 2 kmIh menos que Paola,
5n+5 2n+l0
por lo cual llega a su destino con
-3-=-5una hora de retraso. ¿Qué tiempo
emplearia Lidia para recorrer 300
Operando: n = 5
km?
Suma edad actuales de las 3 persoA)40h
B)38h
C)52h
nas:7n=35
D)50h
E)60h
:. 35años
Rpta. B
RESOLUCION:
@Si con el dinero que tengo puedo
Según las condiciones, tenemos:
comprar "X' manzanas o y peras,
- (V-2) km/h
¿cuántas parejas de manzanas y peras puedo comprar con el mismo pre-
I
Un engranaje "A" de 30 dientes, engrana con otro, "B" de 40 dientes y
éste, a su vez, engrana con otro, "e"
de 50 dientes. Si empiezan a girar,
¿al cabo de cuánto tiempo los puntos de contacto iniciales coincidirán
por primera vez si se sabe que "A" da
40 vueltas por minuto?
t(Lidia)
A) x+y
D)'J.Y.'L
t(Paola)
xy
RESOLUCION:
Sea la cantidad de dinero = S/.n
V
Desarrollando, tenemos: V = 8
Entonces la rapidez de Lidia es 8-2
= 6 kmlh y para recorrer 300 km empleará:
6
C) x+y
E)2xy
x+y
~24_24=1
t= 300 =50hr
B) xy
x+y
2
'---y--' '---y--'
V-2
I
cio?
24 km
-Vkm/h
Luego, junto a la izquierda de Maria
está Irene.
:. La respuesta es Irene Rpta. A
I
al subir
eda.d
munó
Nota: 432 = 1849
44 2 = 1936
45 2 =2025
Luego: 19ab= 1936=44
Al
Tania vive en el último piso de un
edificio; cuando sube lo hace de 3
en 3 escalones y cuando baja lo hace de 2 en 2 escalones; si en subir y
bajar da un total de 90 pasos,
¿cuántos escalones tiene la escalera? (Dar como respuesta la suma
de las cifras del resultado)
A)7 B)8 C)9
D) 10 E) 11
RESOLUCION:
Sea # total de escalones = 6n
=0
=®
-:'Lucra no está al
lado de Juana...
...Lucra no está al
lacio de Juana...
@
~ 19ab+4 =
!
Lotlcla
'-'::_..
f(€~~~
!
I
En una mesa circular hay seis asientos, simétricamente colocados, ante
los cuales se sientan 6 amigas a estudiar. Si Lucra no está sentada aliado de Leticia ni de Juana, María no
está al lado de Cecilia ni de Juana,
Leticia no está al lado de Cecilia ni
de María, Irene está junto y a la derecha de Leticia, ¿quién está sentada junto y a la izquierda de María?
A) Irene
B)Leticia
C)Cecilia
D)Lucla
E)Juana
RESOLUCION:
Ubicando convenientemente a las
personas según los datos:
r. .Marl8"00
año
+ edad = edad
nacimiento actual murió
(30)(40) = (40)(x) = (50)(y)
x=30;y=24
Luego: en 1 min 1 vuelta
A:
40v --> 3/2s
B:
30v --> 2s
C:
24v --> 5/2s
:. El tiempo que debe transcurrir
para que las 3 coincidan en sus
puntos iniciales:
MCM (3/2, 2, 5/2) = 30r=--,----,,.-,
:. 30s
Rpta.
(YVVV""
8+2n
Y:I~:
~
105+10
(Y"~
@Jorge tiene 4 años. La raíz cuadrada
del año en que nació más su edad actual es igual a la edad cuando murió.
¿Aqué edad murió, si nació en el año
19ab?
A) 25 años B)39años C) 52 años
D) 48 años
E)40años
RESOLUCION:
Edad de Jorge = 4 años
!Rpta. DI
costo por manzana =-"-} costo po.r una
x
costo por pera =
n
y
=~+~= ny+nx
x
y
xy
pareja
(1 manzana y
1 pera)
~)Hi
+1! =~+2~n=12
""
n
r=-__-'
:. Compró 12 articulos [ Rpta. 1
Luego:
1 pareja cuesta: SI. ny+nx
xy
"a" parejas cuesta: S/.n
~a=_n_= ...."!'i...ny+nx
x+y
xy
:. Número de parejas:
e
@
9
~MZIñ?
Calcular S:
2
3
4
5
S= 3+9+27+81 + .....
...."!'i...-
Si al suplemento de un ángulo le dis·
minuimos 30' menos que el doble de
su complemento, resulta 3/11 del su·
plemento de dicho ángulo. Calcular
su medida.
A)30' B)20' C) 15' D)35' E)45'
RESOLUCION:
Planteando la ecuación según el
dato:
(180'-x)-[2(90' -x)-30'] =
1~
Resolviendo x = 15
:. Elángulomide15'
I Rpta. el
~
A) 1/5
B)2/5
C)3/4
D)4/3
E) 5/4
RESOLUCION:
Multiplicamos por "3" a ambos
miembros y:
x+y
I Rpta. B 1
@
Pedro sale a las 3 p.m. y su esposa lo
lleva a casa:
2
3
4
5
S=3+9+27+81+···)
3S=(2)':t~~+...
un día a las 2:37 p.m. y empieza a caminar
Ó [2:37pm]~fJJ
kll~M2JA?
~
"-····~eg6acasa
I
20' antes de
lo acostumbrado
,,;;:-,111
2S =~2";+3+9+27+ ...
los 20' de ahorro se debe a que el
auto dejó de recorrer "2d" entonces
se deduce que la distancia "d" lo recorrerla el auto en 1O'.
Luego, el auto lo encontró a Pedro a
las: 3:00 p.m -1 O' = 2:50 p.m.
:. El tiempo en que Pedro estuvo
caminando es: desde las 2:37
p.m. hasta las 2:50 p.m. ~-,---="'
:. 13 minutos
Rpta. E 1
~ ]~2S=2+...!.
(180'-x)
2S=2+[
1-"'!'
3
2
Treinta obreros pueden hacer una
Luego:2S=; ~S= ~
obra en 28 dias trabajando 12 h1d,
,r""Rp-ta-.
pero luego de 10 d ias, 6 obreros se
retiran por lo que aumentan 6 horas
más de trabajo por día. ¿Se entrega- @Si: ROMA+
YD+
rá con atraso o adelanto la obra y en
MILAN
DY
cuántos dias ésta se culminará?
TURIN
176
A) adelanto de 10 dlas
ITALlN
B) atraso de 9 dlas
Hallar
la otra cifra terminal del resulC) adelanto de 11 dias
tadode:
D) adelanto de 3 dias
(YOLANDA+EVELYN+1)RM99+ANDY+DD
E) atraso de 10 dias
A) 1 B)7
C)8
D)3
E)4
RESOLUCION:
30
28
12
RESOLUCION:
dlas----hldla
obreros
Analizando la operación realizada
en cada columna:
30 obreros
24 obreros
10 días
Xdlas
R O M iA}+ ~ A+N+N= ... N ----f="l
12 hldia
18 hldlas
MI LAiNi
A+N = ... 0 (ooro) YiDi+
TURliNi
DiYi
I
E-'I
se retiran 6 obreros
quedan 24 obreros
ITALILt.jJ
Como es la misma obra igualamos
30.28.12 = 10.12.30+24.x.18
Resolviendo: x = 15
Luego la obra la entregan en:
10 dlas+15 dlas = 25 dlas
Como normalmente lo hacen en 28
dias.
••• La obra se entregará con adelantode3dlas.
[Rpta. D 1
@
En una compra un cliente se equivoca al pagar y abona S/.24 más de lo
que debía costándole así cada artículo S/.2 más de lo normal. ¿Cuántos articulos compró?
A)10 B)8 C)12 D)16 E)20
Sea a. n : lo que debía pagar
# artículos
costo porcada articulo
TL
L
Luego axn+24lo que pagó
~ an+24 lo que le cosió cada artirulo
n
Entonces: an+24 = a+2
n
@
• 2a+3b = 10(2+3) --+ 2a+3b = 50
• 3a+2b = 8(3+2) --+ 3a+2b = 40
multiplicando por3 a la primera ecuación y por 2 a la segunda ecuación,
tenemos:
17L~J
Luego:
(YOLANDA+EVELYN+1)RM99 +ANDY+DD
'---v---' '---y----'
~+1) ...'+ .. .Y+ ... D
~~
6a+9b= 150) (_)
6a+4b=80
.. '+....... 6
5b=70--+1 b=141
( ... 1)···'+ ... 6
Reemplazando: 1a = 41
:. El menor precio S/.4
'--y-'
•••• 1+••••. 6= ..... 7
••• La cifra terminal es 7 [ Rpta. B 1
@
Pedro sale todos los dias de su trabajo a las 3:00 p.m. yen ese mismo
instante, su esposa lo recoge en el
carro de la familia para llevarlo a
casa; pero, un dla, Pedro salió a las
2:37 pm. y fue caminando al encuentro de su esposa quien, encontrándolo en el camino, dio vuelta
a casa llegando, por eso, 20 minutos antes que de costumbre .
¿Cuánto tiempo estuvo caminando
Pedro?
A)10min
B)6min
C)12min
D)3min
E)13min
RESOLUCION:
Un comerciante tiene café de dos ciases; cuando toma 2 kg de la primera
calidad y 3 kg de la segunda, resulta
la mezcla a 10 soles el kilogramos, y
cuando toma 3 kg de la primera y 2 kg
de la segunda, entonces resulta la
mezcla a 8 soles el kg. ¿Cuál es el
precio de cada calidad de café? Dar
como respuesta el menor precio.
A)S/.14
B)S/.12
C)S/.8
D) S/.4
E) S/.3
RESOLUCION:
Sea el precio de 1 kg (1' calidad)= S/.a
Sea el precio de 1 kg (2' calidad)= S/.b
@
I Rpta. D 1
El cuadrado de la hipotenusa de un
triángulo es igual a cuatro veces su
área, indicar uno de los ángulos de
dicho triángulo.
A) 37'
B)45'
C)30'
D) 37'
2
E) 53'
2
RESOLUCION:
Según las condiciones:
.~
Dato:
b
-:-_4(a
':"
l 2b]
A) 720 m
B)350m
C)200m
D)432m
E)530m
RESOLUCION:
El observador ve pasar al segundo
trenen4s.
V=72 km/h
p·tá
I goras: c 2 = a 2 +b2
a 2+b2=2ab
a 2-2ab+b2= O
(a-b)2=O--+a=b
Luego si a = b el triángulo es rectángulo isósceles, asi:
=~
a~
:. Un ángulo interiores 45'
b
[Rpta. D I
I
[r:Rp:-ta-.-D--.1
En el siguiente sistema de engranajes se tiene 19 engranajes; si el primero da 91 vueltas, ¿cuántas vueltas dará el último?
~
7d
A
BCD
9v
Xv
Yv
0.
............
7d
9d
~ ...... .
81v
xv
yv
ri
•
E)7
O'
@
1# vueltas x # dientes = constante
@
Un viajero, desde la ventanilla de un
tren que va a 72 km/h, ve pasar ante
él en 4 segundos a otro tren que va
por una vla paralela adyacente en
sentido contrario, a 108 km/h. Hallar
la longitud del tren más veloz.
@
3°
@
4°
Un avión aterriza, empleando los 3/4
de una pista de aterrizaje; al despegar emplea los 3/5 de la pista; si en
total, lo que deja de recorrer, tanto al
despegar como al aterrizar, es 390 m
¿cuál es la longitud de la pista?
A) 520 m
B)860m
C)600m
D)730 m
E)420 m
RESOLUCION:
Longitud de pista: x
Al aterrizar Al despegar
Deja de
x
+
~
=390
recorrer
4
5 x
13x
20 x=390=390~x=600
5°
.'. En l ' lugar llegó B y último lugar
lIegM.
[ Rpta. A
I
@
~J = (a+b>[ a::J
I
sonas "A", nB", ·e", "D", "E"; se sabe
2°
Si "a" y "b" son mayores que cero; entonces,la expresión (a+b)(a·'+b·') es:
A) mayor o igual que 4
B)mayorque4
C)iguala4
D)menorque4
E) mayor que 2
RESOLUCION:
Operando:
(a+b)2 a
b
=--=-+-+2
ab
b
a
como a y b son mayores que cero, se
deduce que esta expresión siempre
serámayorque2.
[Rpta. E
En una maratón compiten las per-
1°
al
[Rpta. B I
IBlclDIEIAI
['""'Rp::-:-ta-.-=E"I
20
.". De la gráfica, D está a 25 cm deA.
poco llega en último lugar. ¿Quién
llegó en el primer lugar y quién en el
último?
A)B-A
B)A-B
C)C-A
D)D-E
E)B-E
RESOLUCION:
Del enunciado deducimos:
comparando el l ' con el último
engranaje: 3x91 = 39xn
De donde n = 7
:. 7vueltas
20
,.11-----45
co antes que "DII', además "E" por
I
E
~
que "C" llegó detrás de "B" y un po-
nv
BCD
(a+b{! +
Luego 4 (1) = 28
Edad deAna = 21
:.21Mos
# dientes del último= 2(19)+1 = 39
Sabemos:
~
A
0, /24
4 / '30
Ana
--------~~~--------5d
~
I
I
I
eI
Maria tiene 24 afios. Su edad es el
séxtuplo de la edad que tenia Ana,
cuando Maria tenia la tercera parte
de la edad que tiene Ana. ¿Qué
edad tiene Ana?
A) 24 años B)18años C)15años
D) 27 afios
E) 21 afios
RESOLUCION:
Según los datos, tenemos en el
cuadro:
Maria
Zv··················?
A)3 B)12 C)6 D)9
RESOLUCION:
19 engranajes
r
@"B" es punto medio de AC y "D" es
punto medio de BE. Si AE mide 45 cm
y contiene 9 veces a BC, ¿a qué distancia de "A" está "D"?
A) 20 cm
B)25cm
C) 18cm
D) 24 cm
E) 30 cm
RESOLUCION:
Del enunciado:
Pasado Presente
9d .•..•..•..•..•..
6
8
[Rpta.
@
Vol = 6 3 = 216cm 3
# veces = 216 = 27
km
108- < > 30 mis
h
El observador (P) está viendo pasar al otro tren. Diremos que ya lo
vió pasar cuando el observador (P)
se alinee (se encuentre) con el puntoB.
L
~ te"",,,Iro = (P Y B) = 20+30 = 4
• I .. {# mujeres: 50
# hombres: 80
5d
L
h
•• nlClO:
3d
6
Longitud del tren más veloz es 200m
Luego: 5k-l0 =...!.
8k-50
3
--+ 15 k-30 = 32 k-200
170=17k
10 = k
Vol = 2 3 = 8cm 3
El número de veces que el grande
contiene al pequeño lo hallamos asi:
km
7 2 - < >20m/s
Inicio{# mujeres: 5k
# hombres: 8k
E)27
2
ObservacIón:
Sean las condiciones iniciales:
@
6
II
A~
L1:! ~
L1:! ~
2
i V=108 kmlh
En el aula el número de mujeres es
al número de hombres como 5 es a
8. Cuando se retiran 10 mujeres y 50
hombres, las cantidades respectivas
que quedan son como 4 es a 3.
¿Cuántas personas habian inicialmente?
A)91
B)104
C) 117
D)130
E)143
RESOLUCION:
:. 50+80 = 130
2
,
~
a
@
A)3
B)9 C)4
D) 16
RESOLUCION:
Analizandovolúmenes:
Se tienen 2 dados cúbicos, uno tiene una arista de 2 cm, el otro tiene 6
cm de arista, ¿cuántos de los cubos
pequeños caben en el grande?
La longitud de la pista es 600m
®
[Rpta.
Hallar"x" de: xx·2 = 3
A)1
B)3
D)4
el
C)3
E)5
RESOLUCiÓN:
Desdoblando la expresión dada
xx-2=3 1 =3l-2
o". xX-2= 33-2
Comparando, sa obtiene que: x = 3
[Rpta. C
@
I@
Cada uno de los móviles mostrados
se mueve con rapidez constante.
¿Después de cuánto tiempo, el móvil "1" dista de "B" lo mismo que el
móvil "2" de nA"?
v = 20ml.
v = 30m/.
-0
0A
1500m
A)30s
B)45s
C)60s
D)50s
E)48s
RESOLUCiÓN:
Después de "r segundos, equidistan
deAyB.
1
Bi~k9
De un grupo de niños y niñas se retiran 15 niñas y quedan asl dos niños por cada niña. Después se retiran 45 niños y quedan entonces cinco niñas por cada niño. El número
de niñas, al comienzo, era de:
A)45 B)43 C)40 D)39 E)50
RESOLUCiÓN:
Del enunciado:
~0\
~x=25
:. #niñasM=x+15=25+15=40
A
B
1-- d ---1-- 201 --+-d --t
1 - - - - - 301 - - - - - - 1
®
~ 301=201+2d~d=5t
PordatoAB=1500
201+5t = 1500
:. t=60s
[Rpta. C
I
Si a' - b' = m y a - b = n entonces,
¿cuál es el valorde "ab"?
m3 -n
m-n 2
A)an
m-n 3
C)an
B)-3-
m2 -n 3
E) m+n'
n
3n
RESOLUCiÓN:
Operando:
a-b = n ~ (a-b)2 = n2~a2-2ab2+b2=
n .......... (1)
a'-b' = n ~ (a-b)(a2+ab+b2)= m
D)--
en 40%
I
[Rpta.
[=::11111 1
~
~
1-- 400m ---1
100 km/h
=$ ,c
Dos agricultores A y B tienen respectivamente 4 y 3 áreas de terreno
en conjunto. Para concluir más rápido contratan un obrero C al que le
pagaron 70 soles. Se desea saber
qué porcentaje representa la diferencia de lo que aportaron A y B
respecto a lo que aportó B, se sabe,
además, que los 3 trabajaron igual?
A) 33,3%
B)66,6%
C) 120%
D)20%
E) 150%
RESOLUCiÓN:
Sean los terrenos de cada agricultor.
A
B
A
.i6sa---------------.,.....Ii
Andrés 194
Total ,c[i.~
11.
111.
=
@
5~;0
A-B
100 xl00%
xl00% = 150%[ Rpta. E
I
Un balde lleno con agua pesa 5 kg;
cuando se extrae la mitad del agua,
el peso inicial disminuye en 40%.
¿Cuáles la capacidad del balde?
A)10L
B)4L
C)8L
D)5L
E)7L
RESOLUCiÓN:
@) (@ @),
"V
10~~(S¡70)
Nos piden:
~
-- -- -- --
l.
5/.20.
j
~~[ill +
Carlos lliJ~1521~ll041
B
Como se puede deducir, de los
5/.70 que recibió C, el agricultor Ale
pagó 5/.50 y el agricultor B le pagó
('[ill';?¡ 32 @1641
BelindaI521~ll041
~~O~l@§
el
Un automóvil marcha a 100 kmlh por
una carretera paralela a la vía del
tren. ¿Cuánto tiempo empleará el
auto en pasar a un tren, de 400 m de
largo, que marcha a 60 kmlh en la
misma dirección y sentido?
A)24s
B)20s
C)36s
D)18s
E) lOs
RESOLUCiÓN:
Después de "1" horas lo pasa
Ih
~/h
...----....,.,
I
@Tres amigos, Andrés, Belinda y Carlos, están jugando a las cartas con la
condición de que el que pierda la partida doblará el dinero de los otros
dos; habiendo perdido cada uno de
ellos una partida en el orden de presentación, resulta que quedaron, al
final, con 64, 72 Y 36 soles, respectivamente. Entonces se afirma que:
l. Andrés empezó con 94 soles
11. Después de la primera partida se
quedaron con 16, 104 Y 52 soles,
respectivamente.
111. Después de la sagunda partida,
Belinda tenia 36 soles.
Indicar las afirmaciones verdaderas.
B)Sóloll
C)lIylll
A) Todas
D)lylll
E)lyll
RESOLUCiÓN:
Utilizamos el procedimiento regresivo
Inicio
Final
pierde pierde
pierde
Andrés Belinda Carlos
IIIII IIII
~a2+ab+b2=-"l ........ (2)
n
:.ab=an
[Rpta. C
2
=5
es decir 2kg
Se nota que el peso disminuye en 2
kg debido a que se sacó la mitad del
agua.
Luego toda el agua al inicio debe pesar4 kg.
:. Lacapacidadesde4L [Rpta. B
Luego, distribuyendo todo el
trabajo en partes iguales entre las 3
perse>-nas (incluyendo al ayudante
C)te-nemos:
'ti'
m-n 3
2
Inicio:
x=5(2x-45)
x= 10x-225
9x = 225
~~--I-~
@
I
B
I
I
@
Observación: 400m = 0,4 km
1001-601 = 0,4
401=0,4
t=O.OI hora
~ t=0.0Ix3600s
:. t=36s
[Rpta. C
:.
@
EIIoIaI siempre es el mismo ya que
al pagar solo intercambian el dinero
Andrés empezó con 5/.94
(verdadero)
Después .... con 16, 104 Y52
(verdadero)
Después .... 36 soles (verdadero)
Todas son verdaderas [RPta. A
I
Luego de gastar hoy las 2/13 de lo
que no he gastado, me robaron los
2/5 de lo que no me robaron; si la mitad de lo que me queda es igual a la
enésima parte de lo que ayer tuve,
¿qué fracción representa lo que aún
tengo, respecto de lo que he gastado
el dla de hoy?
A) 65/4
B)65/14
C)7/13
E) 13/14
D) 14/65
RESOLUCiÓN:
Analizando las condiciones en los
gráficos mediante valores asumidos
adecuadamente
I
I
7x2
7x3
Me roban (2) No me roban (5)
I 2x13 I
5x13
19914 = 9957 = abc7
2
Entonces a =9; b=9;c=5; d=2
:. ab+cd=99+52=3 [RPta. C
@
I
[ Rpta. B I
@
Si el radio de un cilindro recto se reduce en 50%, ¿en qué porcentaje,
se debe aumentar la altura del cilindro, para que su volumen permanezca invariable?
A) 100%
B) 150%
C)200%
0)300%
E)400%
RESOLUCiÓN:
I
Oebemos llenar el esquema siguiente con dlgitos para formar un
número de 5 cifras, de tal modo que
el dlgito que ocupa la primera casilla (marcada con un O) exprese el
número de "ceros" que tiene en total
el número buscado; el dígito de la
casilla 1 debe indicar cuántos
"unos' figuran en dicho número, y
así, sucesivamente, hasta la última
casilla que nos dirá el número de
"cuatros' que en él intervienen.
¿Cuánto suman las cifras que faltan
escribir del número?
O
2
3
41th
""
Luego, para que el volumen no varle
31th =",,~x=4h
Entonces la altura debe aumentaren
4h-h
- h - x100 %=300%
Rpta. D
I
~
I
121
la oficina es 12 m2• Si todas las habitaciones son cuadradas. ¿Cuál es el
área del salón de actos?
SALÓN
DE
ACTOS
o
3a
5a
5a
Á':;
Area
982 = 27
27
82= 3
@
~ke8
28
12
4S
I
Hallar el valor númerico de: a-b+c-d;
si: abc7xd = 19914; a, b, c, d son cifras significativas.
A)2
B)4
C)3
0)5
E)6
RESOLUCiÓN:
abc7x
Se observa que:
d
~2
u
2
3
4
I
Observación:
19
121
Id =21
E) 17%
Área total = 7S
Área sombreada = S
El porcentaje es:
7~ xl 00% = 14 f%
@Si:X+y+z=O
Hallar el valor de:
v2
X2
Z2
A=-+...L..-+yz
xz
xy
A) 1 B)2
C)3
0)4
E)5
RESOLUCiÓN:
Six+y+z=O
Por propiedad se cumple que:
X3+y3+Z3 = 3xyz
Luego:
A= x.x2 +~+ Z.Z2
x.yz
yxz
zxy
A= X3+y3+Z 3 = 3XYZ=3
xyz
A=3
@Si:r,+,=r,+
xyz ,..-_--,
Rpta.
I
cl
1~'
Hallar: r,o - r,
A) 0,000000003
C) 0,0000033
O) 0,00000033
RESOLUCiÓN:
B) 0,000000033
E) 0,000033
3
.
S 1: r n+1 = rn +1Qn
:. Nos piden: 2+1 +0+0 =r-.3::---c----::.....
Rpta.B
Si la relación de áreas es de 9 a 4
entonces la relación de lados es de 3
a2.
Luego el área del salón de actos es:
25a 2 =25(3)=75m 2
[Rpta. D
""CC::=-91=-'4-
4
12111210101
9S
28
3
Ahora sólo colocaríamos una cifra
uno en la casilla 1.
O 1 2 3 4
C)48m2
E)49m 2
38
25a2
2
=-1
58
Área
1
Pues si lo ponemos en el casillero 4
significarla que deberla haber 2 cifras 4 yeso no puede ser, de este
modo colocarlamos ahora 2 cifras
cero.
SALA
A)72m 2
B)36m 2
0)75m 2
RESOLUCiÓN:
@
O
El área de la sala es 27 m2, el área de
C) 12t%
B) 16t%
O) 15%
RESOLUCiÓN:
IRpta.A I
A)5
B)3
C)2
0)8
E)6
RESOLUCiÓN:
Oebemos colocar números pequenos pues si colocamos números
grandes la cantidad de dlgitos de
este número también será grande.
Observamos que debe haber otro
dígito 2 del siguiente modo.
Volumen
A) 14+%
4
121
Volumen
¿Qué porcentaje del área total es la
zona sombreada?
u
Nos piden: Queda (Final)
Gasto
5x13
65
7x2 = 14
@
19914 Luego: - d - = abc7
No gasto (13)
Gasto (2)
I
Entonces:
r,o= r.+
3
109
3
; r.= r,+109
Juan le pregunta a Jorgito ¿Cuán3
3
tos cuartos hay en cinco medios y
~r,o=r,+ 10'+ 10.
luego le preguntó por el número de
Luego:
cuartos que existen en cinco y medio?
r,o - r, - 108 + 10. - 10. ----::_--,
Oiga Ud. alumno, cuál es el número
r,o - r, = 0,000000033 [ Rpta. B
total de cuartos que respondió Jorgito.
@¿QUé hora marcará un reloj, dentro
A)10 B)22 C)14 0)32 E)44
de 12h si se adelanta 6 min cada 4
RESOLUCiÓN:
horas; se sabe además que la hora
Respondiendo a las 2 interrogantes
real, en dicho instante, será 9:377
A)9h55min.
B)9h48min.
5_1
11
5
C)9h57min.
a).1...
b)_2_=..1....
O) 10h 30 mino
E) 10h 15 mino
1
1
1
RESOLUCiÓN:
4
4
4
se adelanta
en
,¡.
,¡.
4h
10
22
6min) 3
.3 ( 12h
Rpta. D
18min x
:.10+22 = 32
- ---ª- --ª- - -ªª-
I
I
I
En 12h el adelanto total será de 18
mino La hora real en ese instante es
9:37'
Hora
Hora Adelanto
u marcada = real + total
@
~------------~
Hora = 9h37m+18 min = 9h 55 min
marcada
Rpta.A
I
@
I
.
I
0
3 caso
@
1.(4)
.4.(4)
...........
Un cuartel tiene 13500 hombres de
guarnición, aprovisionados para 8
meses; el comandante recibe orden
de despedir cierto número de hombres, de modo que los víveres puedan durar 4 meses más, dándoles la
misma ración. ¿Cuál es el número
de hombres que se retira del cuartel?
B)3000
A) 9000
C)8000
E) 6000
D)4500
RESOLUCION:
2fr)
Como el vagón
7n --+ Yacio pesa 4n
la cal debe
pesar 3n
2n
2100 = 5n+35%(3n)40%(2n)
Operando: n = 400
Luego lo que comercializó fue:
5n=2000
~[Rp---ta--.E--I
:.2000
.
®
Tengo cierta cantidad de chupetines. Si doy 12 chupetines a cada
uno de mis sobrinos me sobra 8, pero si les doy 16 a cada uno me faltan
20. ¿Cuál es la diferencia entre el
número de chupetines y sobrinos?
A)81 B)83 C)92 D)85 E)80
RESOLUCION:
Sea el # de sobrinos = N
# chupetines # chupetines
~~
A)MN
B)l
D)MN/2
RESOLUCION:
r1
I
1
1""
C)(MN)2
E)M+N
rM2-N2J.'
_ r<M+N)(M-N)I"'
N2xM2
J
~A-l:
~A
= (M+N)·'.(M-N)"".(NM)2'
Luego:
(MN)2'.(M+N)·'
E (M-N)'.(M+N).'.(M-N)"".(NM)2'
IRpta.sl
:. E=l
@
Hace 7 horas que un reloj se adelanta
2 mino cada 3/4 de hora. ¿Qué hora
señala el reloj si son exactamente las
11 h42min.40s?
A)12h
B)ll h55minl0s
C)12h51 min20s
D)ll h52min20s
D)12hOl min20s
RESOLUCION:
Según el problema han transcurrido
7 hora.
en
se adelanta
x8
-ª- h _ _
(4
+6( 6h
lh
2 minutoS)
x8
- - 1: minutos)
+6
_ _ "3 minutos
Luego en 7h se adelanta:
8.
.
16 mln+ "3mln
~
18 min 40 seg
u
hora _ hora + adelanto
marcada - real
total
m~~da = 11h '---y--'
42min 40s +18min 40s
'---y--'
= llh .......,.......
60min 80s
= 12h lmin 20s
12h lmin 205
@Si:
# Meses
&=(A+l)2;A>0
Hallar el valor de "x" en:
8 ) 4 mes..
12
mes
'\...# Hombres que se retiran
@Hallar:
1
I
A)v'2+1
D)Y2-1
B)v'2+v'3
2
3
4
M=-+-+-+-·····
2 2 2 23 2'
A=100
Luego: 13500x8 = (13500-x)12
Resolviendo x = 4500
,..-__~
••• Se retira 4500 hombres [ Rpta. D
C)v'3-1
E)v'2
I
seaA=lN2-M~ =lN2M2
u
~
12N+8 =
16N-20
Resolviendo N = 7
# de chupetines = 12(7)+8 = 92
:.92-7=85
[Rpta. D
[Rpta. D
(M+N)'{~2 - ~~
5
Doris realiza una venta, ganando el
35% en los 3/5 de la compra y perdiendo el 40% en el resto de ellas.
Si su recaudación total fue de
S/.2100. ¿Cuál era el precio de cesto de lo que se comercializó?
A) 1000
B)1110
C)1200
E) 2000
D)1060
RESOLUCION:
Sea "5n" soles, el P ""ID de lo que
comercializo
5n
3n
= (2 +1)2
@Reducir:
(MN)2' (M+N)""
E = ---,"~---,"':"":":'--c-
Luego:
recaudación
total = Pcosto+ganancia perdida
I
13500
13500- (i)
Luego: x = v'2-1
Ganó: 35% (3n) Pierde: 40% (2n)
20L
# Hombres
...3R-.
4:J
~ ~:i»+1)2,.---___....,
I
el
Como en el primer recipiente la proporción de agua y alcohol debe ser
de 12 al, entonces debe haber 48
litros de agua y como sólo habia 16
litros de agua, se debe agregar 32
litros.
[ Rpta. E
@
ES
~1) ~
En el segundo caso
la cal vagón
5n + 4n =27~n=3
Luego la cal pesa 5n = 15r-_--.
:.15
Rpta.DI
Se desea preparar una mezcla de
agua y alcohol en proporción de 12
al, respectivamente, por error se
mezcla agua y alcohol en la proporción de 4 al, hasta completar 20 litros de mezcla. ¿Cuánta agua habrá
que agregar a la mezcla para obtener la proporción deseada?
A)28 B)24 C)26 D)36 E)32
RESOLUCION:
Se desea
Err2r
1(4)A1cohOI; _ _ A1oohol
Novarra
12(2)Agua Cl
Agua
..-_......
[~~:~~J 4n
2" caso t...:~...J 2; toneladas (lleno)
funcionamiento
Ell ero caño llena 3Umin ..... x min
El2do.caño lIena5Umin.....(17-x)min
Luego, se plantea 3x+5(17-x) = 55
Despejando x = 15
Eller.cañodurante15' Rpta.
@
1" caso
Se ha llenado con agua, en 17 minutos una vasija de 55 litros de capacidad, habiéndose primero expuesto a
un caño que arrojaba 3Umin y después a otro que arrojaba 5mmin.
¿Cuánto tiempo estuvo expuesto en
el primer caño?
A)5min
B)10min
C)15min
D)20min
E)25min
RESOLUCION:
Según los datos·
Tiempo de
~\¡.1)2
Un vagón lleno de cal, pesa 27 toneladas, lleno, hasta los 3/5, pesa
7/4 del vagón vaclo. Hallar el peso
de la cal.
A) 12tn
B) 13tn
C)14tn
D) 15tn
E) 16tn
RESOLUCION:
A) 1
B)2
D)4
RESOLUCION:
C)3
E)5
,
z
s
"2':-.':: 2'':: Z' ···')1
~
2M.'.-}+-t+-t+. .
"·'+2, , ,
'"-_o
_:NI ............
_",:I><3,.,
. .dO ..._
T_ _ _ Z4pop1OOdo
__., '._ot
2.... <1on.. _ _
+",+:zo +•••
D).
El"
(""'.1
3
~_"_"'Io","'I.iii
.... 1010............ _ :
•
-" 17\
.. ~(2)'-m-,.
,. .
-.-
~ _~(4)'-a-~
-
t
t
:.-
"
,
~II)."
Obj8livo: AulDavalUICiOn Anal
Nivel Acad~rrw::o: Repaso Total
Prut*oIIolS propulSSlos con elm, di! Raspuasla
• Temas va~ados
Prol*lllolS mldos de los atllmos exfmenes de
admlsl6n ala unlVlnldades.
Tablero de ellYl!ls de RflspuesllS
t
t
t
t
EjerciciDs del N' 1492 1I N° 2536
1045 Ejercicios planteados y CIIl Solucionarlo
.....
I JIl*.A I
~ Efectuar y
dar como respuesta la
suma de cifras del resultado de:
E=999952.742(1 001 00I)+(123454321),n
A)50
B)52 C)54
0)56
E)58
~ Se dispone de un donativo para
repartilo entre varias personas. Se
acordó dar S/.5 a cada persona. pero
se observó que muchas de ellas quedarían sin donación. por tanto se repartió S/.3 a cada uno. resultando beneficiados de esta manera 80 personas más que en la repartición anterior
¿Cuántas personas recibieron donación?
A) 120
B)150
C)180
0)16
E) 200
9sum;ndos
Reconstruir y dar como respuesta la
suma de cifras del dividendo (cada.
representa un d igito)
••6 •• ~
A)12
2*.
.*2
B)18
~
C)14
lS0)20
..o
E)21
---
@
Calcular:
M = (axbxc)2
y dar como respuesta la suma de
cifras del resultado.
A)9 B)16 C)7 0)10 E)15
~ ¿Cuántos F y cuantas V tiene el resultado de la tabla de verdad de:
-[(p /\ q) /\ -r](s v -s). después de
simplificar?
A)I;7
B)2;6
C)3;5
0)4;4
E)8;0
¿Cual de las alternativas completa la
analogía de figuras?
@
O)
En la figura reemplazar las letras
por digitos del 1 a18. de tal manera
que en ningún caso un dlgito cualquiera sea "vecino" de su consecutivo. ¿ Cuál es la suma de "B+C"?
lA
E)
~ SiAOUNI (99999999)= .....23518
HallarAO+UNI
A) 472
B)466
0)558
A)3
C) 488
E) 604
@calcularelvaIOrde"E":
E =" 11111 0888889 Ydar como respuesta la suma de cifras del resultado.
A) 12 B) 18 C)24 0)20 E) 16
~Efectuar:
@
Efectuar y dar como respuesta la
suma de cifras del resultado.
,66.. ;.. 662,
n cifras
A)7n
0)4n+6
B)9n
C) 10n-l
E)9(n-l)
~ Si se cumple que:
0+~=~
A que figura será igual:
[A-A}A
áAA
A
A ®
A)
O)
B)
C)
E)
F
B
C
G
H
C)7
@
Con 12 obreros se puede realizar 50
m de una zanja en 8 dlas. ¿Con
cuántos obreros doblemente eficientes que los anteriores se puede realizar200 mdelazanja en 12dlas?
A)21 B) 16
C) 15 0)6
E)7
~ ¿Cuántos giros a la derecha deberá
realizarYupanqui para llegar al punto
nA"?
l
yupanqui
01
0)9
rA
E)11
Hallar un número de 4 cifras significativas diferentes de la forma modu
sabiendo que: mc+cd+du = 134
m+c+d+u = 19; mc-du = 6
A) 4357
B)3457
C)4573
0)5347
E) 6456
~ Cinco amigas buscarán trabajo. pe-
(425x375xI60625+625x625)'/8
A) 12 B) 16 C) 18 0)20 E)22
@
B)5
E
C)6/5
E)7/3
O) 1115
@Si:
__
,1 +12+123+1234+ .......,= .... abc-90
@
B)5/7
A) 8/3
ro deciden hacerlo en cinco distritos
diferentes. Si se sabe que:
- Eisa ira a la Molina. pero Mónica
lo hará en su propio distrito.
- Las suegras de Carmen y Mirían
viven en San Isidro, por lo cual
deciden no ir a eses distrito.
- Mirlan vive en Pueblo Libre
- Mónica vive en Lince y es la única que ha decidido buscar trabajo en su mismo distrito.
- A Nancy le es indiferente el distrito donde trabajará.
Podemos afirmar que:
A) Mirlan buscará trabajo en Pueblo Libre.
B) No es cierto que Carmen buscará trabajo en Pueblo Libre.
C) Nancy buscará trabajo en Pueblo Libre.
O) Nancy no buscará trabajo en
Lince.
E) No es cierto que Nancy buscará
trabajo en Miraflores.
En un juego perdl los 3/5 de lo que
no perdí. ¿Qué parte de lo que
perdí. tenia al inicio?
@
A)
B)
C)
@
$.
O)
E)
~ Halleelvalordexen:
-4,O,O,D,6,26,x
A)45
®
@
B)60
C)70
0)52
E)36
Compré el cuádruple del número de
vacas en caballos. Si hubiera comprado 5 caballos más y 5 vacas más.
tendría ellriple del número de caballos que de vacas. ¿Cuántos animales compré?
A)60 B)75 C)50 0)45 E)80
Hallarel valor de la siguiente suma
S = 13 +3 3 +53 + ......... +19 3
A) 154000
B)39800
C) 19900
0)42900
E) 24500
l\t;;
@"',
......
de la región
sombreada.
SiBM=4m
e
ISO"
75°
A
M
A
A)4V3m 2 B)I6V3m 2 C)I2V3m2
D)V3m 2
E)2V3m 2
@
®
¿Cuántos términos terminan en la
cifra 5 en la siguiente sucesión?
4,15,26,37, ............ ,433
A)1
B)2
C)3
D)4
E)5
Un litro de mezcla formada por 75%
de OH y 25% de H2 O pesan 960 gr.
Sabiendo que el litro de agua pesa 1
kg, se pide calcular el peso de 1 litro
de mezcla que contiene 48% de OH
y52%deH20.
A)974,8gr B)975,2gr C)974,4gr
D) 975,7 gr
E) 947,4 gr
@!§l Calcular la cifra de las decenas de la
@
@
@
@
B)785
Calcular la distancia desde el punto
A(-2; -3)ala recta:4x-3y+4 = O
A)2u B)lu C)5u D)6u E)7u
@
x = x(x+l)
2
9=21
B)2
C)3
D)4
E)5
En una aleación, el 35% es plata pura. ¿Cuántas onzas de plata pura se
debe agregar a 56 onzas de esta
aleación para que resulte una aleación de 60% de plata?
A) 35 onzas
B)300nzas
C) 44 onzas
E) 65 onzas
D) 60 onzas
@Si:
12x41 = 5x+2
A)14
C)17
D)16
E)15
D)5
E)7
@Si:
a·b=3 a +b-8
Calcular: E = 2.6
A)3
B)2
C)4
@Si:
/':,
1
5
9 13
2
3
5
9 21 33 45
15 27 39
8 15 27 39 51
11 21 33 45 57
Calcular: E=98a201
C)2Y7cm
E)3Y7cm
Hallar el área de.la región sombreada
el radiO dela circunferencia es 2cm
Además:AB = BC; EM = MF
SI
A
e
D)-1
A) 72cm2
E)8
La sección máxima de una esfera
tiene un área igual a "S". ¿Cuál es el
área total resultante al partir la esfera en dos partes iguales?
A)2S B)4S C)6S D)8S E)9S
D)
~~
cm
B)75cm 2
2
C)15cm 2
E)
~~
cm
2
<!§> Si: "s" es verdadera y la proposición:
[(s --+ p) --+ (p .... q)] V (pA r)
es falsa, hallar los valores de verdad
de "p", "q"y"r"'.
A)FFF
B)VFF
C)VW
D)FFV
E)VFV
@
Si la proposición:
[-(p --+q)A -(r--+s)]--+ s
es falsa, entonces hallar los valores
@Tres luchadores practican artes marde verdad de "P". "q- y "r".
ciales en gimnasios diferentes; uno
A)VFF
B)VW
C)FFF
practica Judo, otro Karate y el otro
D)FVF
E)VFV
Kung Fu. Además uno ellos es cinturón negro, otro es marrón y el otro naEn un programa de televisión de 60
ranja. Sus nombres son Wen Li; Chi
minutos se presentaron un trro, un
Lau y Shiro. Se sabbe que Wen Li y
cantante, un comediante y un bailaChi Lau practicaban antes Karate,
rin. El cantante se presento antes
pero ahora ya no. El judoka es cintuque el comediante e inmediatamenrón naranja, Shiro y el de cinturón
te después que el bailarin. El trío iba
marrón no se conocen. Wen Li es
a cerrar con "broche de oro" el proamigo de los otros dos. Entonces es
grama pero fue cambiado en último
cierto que:
momento. A mitad de programa huA) Wen Li es judoka cinturón negro
bo "comerciales" e inmediatamente
B) El que practica Kung Fu es cintudespués se presentó el bailarin. La
rón negro.
actuación del trío duró 30 minutos.
C) Shiro es cinturón negro
¿En qué orden se presentaron el
D) El karateca es Wen Li
cantante, el trío, el comediante y el
E) El judoka es cinturón marrón
bailarín?
A) Cantante -Iría - bailarín -comediante
En una reunión del directorio de una
B) Trío - bailarín -cantante - comediante
empresa se encuentran: el presidenC) Trio - cantante - bailarin-comediante
te, el vicepresidente, el secretario y
D) Comediante - bailarln - cantante -Iría
un trabajador de la empresa, cuyos
nombres (no necesariamente en ese
En un rectángulo ABCD, los segorden) son: Emilio, Ricardo, Samuel
mentos~Q y AC se cortan en "P"
e Inocencio.
("Q"enAD).
Sesabe:
37·
Detalmodoque m«ACB=T y
- Samuel y el trabajador son muy
amigos.
53·
m « PBC = T' Hallar el área dela
- Ricardo es primo del secretario.
- Emilio y el vicepresidente no se
región triángular APQ. Si AB = 4m.
llevan bien.
B)32m2
C)36m2
A) 3; m2
- El presidente y el trabajador son
amigos delnocencio.
D)18m 2
E)28m 2
- El secretario se llama Emilio
¿Quién es el presidente y quién es el
@Si: MDIIAC;AB=4cm
trabajador?
"M" es punto medio de BN.
A) Samuel, Ricardo
TriánguloABC. Equilátero.
B) Samuel, Inocencio
CalcularAD.
C) Inocencio, Samuel
@
&
B)18
@
@
1~1=10Z-3
Calcular:
H
A)2V3cm B)2V2cm
D)2V14cm
@
Calcular "n" si:
A)1
ALlst
Al unir los centros de las caras de
un cubo cuya arista mide 6m se forma un sólido, entonces el volumen
de este último será:
A)36m 3
B)72u 2
C)108u 2
D) 18 u2
E)90u 2
@Si:
a.b = 3(b.a)+b-a
Calcule: 13.5
A)2 B)-2 C) 1
Se inscribe un círculo en un triángulo
equilátero y se inscribe un cuadrado
en el círculo. La razón del área del
triángulo al área del cuadrado es:
B)(3)"2/4
C) 3/2
A) 3(3)"2/2
D) 1/2
E) 3/5
B
C)814
E)812
Un triángulo equilátero y un hexágono regular tienen perimetros
iguales. Si el triángulo tiene una superficie de12 u2, ¿qué área tiene el
hexágono?
A)16u 2
B)17u 2
C)12u 2
D)18u 2
E)19u 2
suma.
S= 1! +2! +3!+4!+ ........ +30!
A)O
B) 1 C)2
D)3
E)4
@Sedefine:
@
A) 683
D)795
¿Cuánto ahorra su ayudante mensualmente?
O
S+O
O
A) S+ 12
B)S-12
C)12
O) Inocencio. Ricardo
E) Ricardo. Emilio
@
@
@
@
@
Si a un número de dos cifras se le coloca un 2 a su derecha. el número resultante excede en 225 al original.
Hallar la suma de las cifras del número original.
A)5
B) 10
C)7 0)6
E)4
Si a un número de dos cifras se le coloca la cifra "2" a su izquierda. el resultado es 5 veces el número original
Hallar la suma de cifras del número
original.
A)5
B) 10
C)7 0)6
E)4
Marcos compra limones; por la compra de 10 limones le regalan 2; por
10 limones paga SI. 1; si le dan 1776
limones. ¿Cuánto ganará. si vende
14 limones porS/.2?
A)S/.168
B)S/.70
C)S/.60
0)S/.50
E)S/.75
O) S-Q
12
@
@
@
Se define la proposición:
p#q . -pvq
Hallar cuantas V y F tiene la matriz
principal de: (p#q)~(-p#q)
A)3Vy1 F B)2Vy2F C)4V
0)4F
E) 1Vy3F
El área de la región sombreada es
igual a 48u'. Hallar la ecuación de la
recta L, sr: a E]P¡
Y
(.+2) t--
A)x+y-3=0
C)3x+y=0
0)x+2y-50 = O
®
@
-7(
L,
X
B) 2x+3y+l O= O
E) 3x+4y-50 = O
¿Cada qué tiempo las agujas del reloj forman un ángulo recto?
A) 35min
B) 32
1~
E)32
1~
min
@
0)32min
E)32
@
@
@
1~ min
Oué número continúa en:
7.15.29.59.113 .....
A) 235
B)334
0)248
Oué número continúa en:
4, -2, 3, O. 2, 3, 8,·1, 10, ......
A) 1 B)2 C)-4 O) 10
Un boxeador es capaz de dar 8 golpes por segundo. Considerando que
el tiempo entre golpe y golpe es
constante. ¿Cuántos golpes puede
daren un minuto?
A)420
B)480
C)481
0)421
E)479
Un gerente ahorra "S" soles por año.
que equivale a "O" soles por año
más de lo que ahorra su ayudante.
@
C)234
E) 259
E)13
Calcular la suma de cifras del resultado de la siguiente operación:
;444.~444 .-,888.~.888,
100 cifras
A) 150
0)600
@
@calcularel número total de exágonos
que se pueden contar. considerando
el tamaño que se indica en la figura.
Si: p,l. q significa "ni p y ni q". ¿cuán- @¿Cuántos triángulos se pueden contas de las siguientes proposiciones
taren la siguientefigura?
son tautologlas. es decir. siempre
verdaderas?
- [(p,l.q),I.(q.j.p)] .... (pvq)
- -(pl\q) .... [p,l.q]
- (p,l.q) .... [pvq]
- -(p,l.q) .... (pAq)
A)1 B)2 C)3 0)4 E)ninguna
I
En una tienda se venden juguetes
cuyos precios unitarios son S/.8.00 y
S/.5.00 ¿Cuál es la menor y la mayor
cantidad de juguetes que se pueden
comprar por S/.180.00. si se compra
al menos uno de cada precio?
A)33y24
B)33y20 C)36y20
0)23y34
E) 18y36
C)FVF
E)WF
Tres parejas de esposos asislen al
matrimonio de un amigo. Ellos son
51 52 53
1 2
Jorge; Alberto y Oswaldo y ellas
C)1500
B)1225
A) 1250
son: Rosa. Maribel y Lourdes. Una
0)1600
E) 1275
de ellas fue con un vestido negro.
otra de azul y la otra de rojo. La es- @¿CUál es el número de bolitas somposa de Jorge fue de negro; Oswalbreadas que hay en la siguiente figudo no bailó con Maribel en ningún
ra?
momento. Rosa y la del vestido azul
fueron al matrimonio de Lourdes.
Alberto es primo de Lourdes. Jorge
y el esposo de Lourdes siempre se
reúnen con el henmano de Alberto.
Entonces es cierto que:
A) Rosa fue con Jorge y estuvo
vestida de negro.
B) La esposa de Oswaldo fue de
rojo.
C) Maribel y Alberto son esposos.
1 2 3 ._.._.._.._.._.._.._... 48 49 50
O) Lourdes fue de negro.
A) 2500
B)1250
C)625
E) Mas de una es cierta.
0)1500
E) 1200
~
min
E) 12(S+0)
- [t-+(wv-p)]v-(p-+r)
A)VVV
B)FFF
O)VFV
50 ctfras
B)300
123
C)250
E) 225
A) 400
0)650
48 49 50
B)300
C)600
E) 225
Expresar la proposición (p 1\ q) V
@Armando. Benito. Ca~os y Oaniel
(rvs) de otra manera. en laque únipractican los siguientes deportes: nacamente intervengan los conectitación. atletismo. fútbol y tenis. y vivos(-)y(~)
ven en los distritos de Los Olivos.
A)(p~q)~-(r-+s)
Breña. San Bo~a y Miraflores. Se
B)(-p ~-q) -+ (-s -+-r)
sabe:
C)(p~-q)~(-r~s)
- Ca~os no vive en los Olivos ni en
O) -(p -+ q) ~ (s -+ r)
Breña.
E)-(p~-q)-+(r~s)
- El atleta vive en los Olivos
- Anmandovive en Miraflores
Si: P. q. r. s. t. y w; son proposicio- Oaniel es futbolista
nes tales que: (p v -r) .... (s -+ w) es
- El nadador nunca ha emigrado de
verdadera y (-w) ~ (-s) es falsa.
SanBo~a.
hallar el valor de verdad de las proposiciones:
¿Oué deporte practica Armando?
- (pl\q)v(rvs)
B)Atletismo
A) Natación
- (s .... -w)~(rv-p)
C) Fútbol O) Tenis E) Basketball
¿En qué cifra termina el resultado de
la siguiente operación?
(9999)4444x(4444 )9999
A)4
B)6
C) 1
D)9
E)8
A)3S2
D)3S8
@
Hallar el número total de triángulos
hasta la fila 20.
/
B)354
C)3S6
E) 348
Hallar el área de la región sombreada, si el radio de la circunferencia es
101', el segmento BF mide 18" y
ABCD es un rectángulo.
e
D
/
A)4cm 2
D)Scm 2
F3~~
F
@
,F2~
....
A) 1330
D)1980
B)630
C)1960
E)2910
En cierto campeonato de fútbol (a
una sola rueda) la siguiente tabla
muestra las respectivas posiciones
de cada equipo.
Equipos PJ PG PE PP
AA
6
6
O
O
A) 42,1 1'2
D) 16,4,,2
®
C)42,6f12
E)42,3f12
B)44,3,,2
Hallar el área de la región sombreada.
5m
3m
1m
3m
2m
Puntos
18
BB
6
5
O
1
15
ce
6
2
1
3
7
DD
6
2
O
4
6
EE
5
1
2
2
5
FF
5
1
1
3
4
GG
6
O
2
4
2
Al único que derrotó "EE" fue:
A)FF B)CC C)BB D)GG E)DD
3m
Un libro tiene 900 páginas, cuya numeración se realizo en base 7 empezando con 24" 2S" 26" .......
¿Cuántas cifras más se han escrito
en las 333 últimas páginas que en
las 333 primeras?
@
A) 24m 2
D)21m2
@
B)23m 2
e
D
A) 40 lt
D)Slt
@
@
x+y
A) 10·
D)60·
.
/'
B)30·
C)SO·
E) SS·
En el diagrama mostrado, el peri- @SiSeSabeqUe:
metro del cuadrado excede en 96- (x-4); x; (x+2); ...... .
3M al perímetro del triánguloANB
- (y+ 1); 3y; (9y-6); ...... .
Además "O" es centro y "N" es punSon progresiones geométricas, adeto de tangencia. Calcular la longitud
más: x; y; z; .......... es una progresión
dela circunferencia.
aritmética; entonces z es igual a:
A)8
B)6
C)4
D)2
E)l
A~
@
~
C)22m 2
E) 20m 2
E)-1S
~
--------------"
3m
D) 13
Del gráfico, hallar el valor de "x" si:
Sx-3y= 10
1m
5m
Manuel es 4 años menor que Alberto
Raúl es un año mayor que Pedro,
Raúl es 2 años menor que Juan y Alberto es 7 años mayor que Juan. Al
restar la edad de Alberto y la edad de
Pedro, obtenemos:
A) 11 años B) 10años C) 12años
D)9años
E) 8 años
A una fiesta fueron invitadas tres parejas de esposos y de ellos se tiene
la siguiente información:
- Hay dos colombianos, dos bolivianos y dos panameños. (varon
o mujer)
- Alberto es colombiano y la esposa de Miguel es panameña.
- No hay dos hombres de la misma
nacionalidad.
- No hay una pareja de esposos de
la misma nación.
¿Qué nacionalidad tiene Miguel y
que nacionalidad tiene la esposa de
Roberlo?
A) Panameño, Colombiana
B) Panameño, Boliviana
C) Colombiano, Boliviana
D) Boliviano, Colombiana
E) Boliviano, Panameña
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-2; 3) y es perpendicular a la recta: 2x-3y+6 = O.
A) 3x-2y-S = O
B) 3x+4y-S = O
C) 3x+2y+S = O
D)Sx+2y-S=0
E) 3x+2y-S = O
@Quénumerofaltaen:
14 (-13) 21
28 (-13) 4S
22 (12) 12
36(?)4
A)-12 B)-18 C)24
2m
C)6cm2
E)2,Scm 2
B)2,Ocm 2
B)80lt
C) 10lt
E)30lt
Si a un ángulo llano le trazamos su
bisectriz, y a los dos nuevos ángulos les trazamos sus respectivas bisectrices y si a los dos nuevos ángulos centrales que se forman les
trazamos sus bisectrices y si nuevamente a los dos nuevos ángulos
centrales les trazamos sus bisectrices. ¿Qué ángulo forman estas
dos últimas bisectrices?
A)W1S'
B)22·30' C)4S·
D)S· 37' 30"
E)21·30'
Un rayo que va dirigido por la recta:
x-2y+S = O, al llegar a la recta: 3x2y+7 = Ose ha reflejado en ella. Hallar la ecuación de la recta en la que
el rayo está reflejado.
A) 29x-2y+33 = O B)x+y=33
C)3x+y=S
D)29x+2y+2S=0 E)29x-y+33=0
@carlos hace un recorrido de la siguiente manera: 4m al NE, 8m al SE y
10 mal SO. ¿Aqué distancia del punto de partida se encuentra?
A)10m
B)9m
C)12m
D)20m
E)6m
§
Hallar el área dela región sombreada
Si: AB= 10Y2cm; "O" es centro.
A f-t-'-+~y B
A) 2S(lt-2)cm 2
C) 22(lt+4)cm 2
D) 2S(lt+2)cm 2
@
B) 20(lt+2)cm 2
E) 2(25lt-36)cm 2
Hallar la relación de las áreas entre
un triángulo equilátero y un cuadrado
inscritos en una misma circunferen-
cia.
A) s-../3
7
B) 4-../3
9
D) 2-../3
ABCD es un cuadrado de lado 10
7
cm, M y N son puntos medios. Determinar el área de la región som- @En la figura
breada.
C) 3-../3
8
E) -../3
S
se conoce:
EC =L
AE
S
B
A
~
F
E
¿Cuál sera la relación de leche contenidos en el quinto y décimo recipiente al final?
A) 192:1
B) 190:1
C)187:3
0)180:1
E)768:1
A
@
~~
Hallar:
A)2
Y15
0)6
Y15
5
11
B) 2
Y15
7
C)Y15
9
E) 2'-13
5
~ Hallar el valor de "n" para que la recta: 3nx+5y+n = 2 pase por el punto
(-1;4).
A)6
B)7
C)8
0)9
E)10
®
Halle eltérmino que continúa:
2; 3;4; 15; 56; ........... .
A) 275
B)285
C)295
0)280
E) 300
Un tanque de 20 m de altura está
llena de agua hasta la mitad. Si en
éste momento se abre la llave "A"
lIenaria lo que resta en 8 horas y si
se abre solamente la llave "B". que
está a una altura de 5 metros. vaciaria el agua sobre él en 5 horas. Si se
abre simultáneamente las dos llaves. ¿en cuántas horas se llenará
todo el tanque. si apenas se llena se
cierra llave "B"?
A)20h
B)21h
C)40h
0)45h
E)35h
@
@
@
@
Cuando el largo del rectángulo aumenta en 10% Y el ancho disminuye
en un 10%. el área del rectángulo
disminuye en 80 m2 .¿Cuál era el
área del rectángulo inicial?
A)800m 2 B)8000m 2 C)400m2
O) El área no varia
E)4000 m2
Oos recipientes contienen alcohol al
40% y 60% respectivamente. cuyos
volúmenes están en la relación de
8 a 5. Se agrega a cada recipiente
igual número de litros de agua y resulta que ahora tienen la misma concentración de alcohol. ¿Cuál es ésta
concentración?
B)20%
A) 33.3%
C)5.8%
0)(20/3)%
E) 8.5%
Una libreria tiene para la venta un
cierto número de libros. Vende primero las 3/5 partes y después le hacen un pedido de los 7/8 de lo que
queda. pero antes de servir este pedido se le inutilizan 240 libros y parlo
tanto. enviando todos los libros útiles
que le quedan. sólo cubre los 4/5 de
la cantidad pedida. ¿Qué cantidad
de libros se vendieron?
A) 2240
B) 1760
C)3000
0)3520
E) 2000
15
30
90
20
80
400
25
150
x
A) 250
0)1050
la mezcla y enseguida se saca 1/4
del segundo recipiente y se echa en
el tercero yasi sucesivamente.
§i.~.~.~.~.
,
. . , ....
A)~
@
@
@
Halle el número que falta:
@
[E]@]lli]
§@]@]
0®0
A) 10
B)2
C)6
0)8
E)5
~ Halle el valor de "x" en la siguiente
distribución
23 4 81
14 7 48
12 x 94
A)8
B)9 C)10 0)11
@
E)~
Hallar la razón de la siguiente PA de
17términos:
1/2........................... -3/8
A)-8/75
B)-7/128
C)-6/85
0)-45/78
E)-1/31
En la siguiente analogia. halle Y:
321 (216) 21
211 (32) 23
221(64)12
312 ( x ) 20
A) 125
B)36
C)169
0)49
E)31
En la siguiente analogia. halle x:
3 (8) 2
7 (19) 5
5 (16) 12
9 (x) 9
@¿CUál es el noveno término de la sucesión?
11511911
A).11
40
B)~
42
E)12
B)
@j
O)
C).11
42
E)~
O) 1
Indique la figura que continúa en:
A)
C)~
2'3'6'4·5'20'6'7' .. ···
~.~.~.~....
~~~
142
42
@señale la figura que sigue en la sucesión mostrada.
C)
~
E)
~ Hallarel valorde Y
~M.~.Mm . . @
@
B)~
O)~
C)800
E) 450
B)600
A)4 B)3 C)2
0)5
Se tienen 10 depósitos conteniendo
el primero leche y cada uno de los
demás café. todos ellos en igual can- @Si: ab#bB=(a+b)(b-al
Calcule: E=8#9
tidad. Se saca del primero 1/4 de su
contenido y se echa en el segundo.
A) 1 B)2 C)3
0)5
se revuelve para tener homogénea
@QuéfigUraSigUeen:
@Hallexen:
~ Si de una lata de aceite saco el 40%
de lo que no saco y de lo que saco
devuelvo el 40% de lo que no devuelvo. resulta que ahora hay 780
litros en la lata. ¿cuántos litros no
devolvf?
A)100
B)10
C)20
0)200
E)28
que el lado del cuadrado. Entonces la
razón (R1S) de las áreas es:
A) 99/1 00 B)101/100 C)1/12
O) 199/200
E)201/200
•.•. e.·······
e
A)
$ $
B)
•
C)
$
E)
O)
¿Qué figura continúa?
E) 10
E)7
El largo de un rectángulo Res 10%
mayor que el lado del cuadrado. El
ancho del rectángulo es 10% menor
A) r;:::¡:JJ
~
O)~
B)~
C)~
E)~
~ Juan gastó los 3/5 delo que no gastó
@
Se sabe que seis términos conseC) 22 cm
B)21 cm
A) 20 cm
comprando cierta cantidad de artícucutivosdela sucesión: 8; 11; 14; 17;
D) 23 cm
E)24cm
los que cuestan S/.20 cada uno. Si
....... suman 147. Calcular el quinto
En un rombo cuya área es de 1176
hubiera gastado los 5/3 de lo que no
término de los seis mencionados.
cm', la diferencia de las diagonales
hubiera gastado, tendrla S/.40 meA)32 B)33 C)43 D)29 E)31
es 14 cm. ¿Qué longitud tiene la dianos de lo que tiene.
gonal menor?
¿Qué fracción representa el número @¿QuéfigUracontinúa?
de articulos que podría comprar gasA) 40 cm
B)41 cm
C) 42 cm
tando todo su dinero con respecto al
~
~
D) 22 cm
E) 28 cm
número de soles que le queda?
'
, ~'
, ~,... @SetieneunasucesiÓnaritméticade
232
A)
B)
C)
términos positivos, se toman 3 térmiA) 15
B)Ts
C)Ts
nos en forma ascendente (no conse7
23
cutivos). Si dichos términos forman
D)30
E)Ts
D)
E)
una sucesión geométrica. y además
~
~
el segundo es los 5/2 del primero. yel
En la siguiente sucesión:
tercero es el doble del segundo. au7; 19; 37; 61; 91; .......... .
mentado en 5. ¿cuál es la razón de
Carla observó que cada día que pala sucesión aritmética si es mayor
Hallar la diferencia entre el penúltisaba incrementaba el número de
que1?
mo término de 3 cifras y el cuarto térartlculos que vendla. El primer dla
mino de 3 cifras.
A)
1
B)2
C)3
D)4
E)5
vendió 6, el segundo 24. el tercer
A)789
B)546
C)471
dla 60, el cuarto 120. y asl sucesiEn la sucesión
D)598
E)510
vamente. ¿Cuántos artlculos ven86.129.172,215 •............
dió el vigésimo?
Una persona comunica un secreto a
¿Cuál es el menor múltiplo de 22. de
9240
B) 8720
C)6980
A)
otra, que poco prudente lo comunica
4 cifras? Dar como respuesta la suE) 10020
D)8680
a otras 5 en 3 minutos; estas 5, lo coma de cifras.
munican cada una a otras 5 en los
A)18 B)19 C)20 D)21 E)22
Dada la sucesión:
tres minutos siguientes: Si se conti7.15.23.31.39 •............
nuase al mismo ritmo, ¿cuántas perSe tiene 385 esferas idénticas y se
¿Cuántos de sus términos tendrán
desea formar con ellas una pirámide
sonas sabrían el secreto al cabo de 1
3
cifras?
hora? (Cada persona quebranta el
de base cuadrada. ¿Cuántas esferas
B)100
C) 114
A) 900
secreto únicamente con 5 personas,
formarán un lado de la base?
D)112
E)113
en los tres minutos siguientes a su
A)6
B)7
C)8
D)9
E)10
información).
En
un
almacén
cierto
día
hay
4
artíUna pelota de goma cae desde lo alto
5 20 +1
5 2°_1
521 +1
culos "x" y llegan a comprarlo 49
A)-B)-C)-de un edificio. Al rebotar sobre el piso
5
4
4
clientes. al dia siguiente hay 8 artíalcanza una altura igual a 1/2 de la
culos "x" y llegan a comprarlo 40
5 20 -5-1
521 +1
altura anterior. Calcular el recorrido
E)-D) 4
en
el
siguiente
día
hay
12
y
clientes.
5
total de la pelota hasta que teórica33 respectivamente. Después al
mente quede en reposo. Consideran¿Qué figura continúa?
otro dia 16 y 28 respectivamente.
do que se dejó caer de una altura de
Suponiendo que cada día vienen
128m.
clientes distintos y cada uno sólo
A)
384 m
B)312m
C)370m
puede comprar un articulo. Hallar
D)450m
E)412m
cuántos clientes en total se queda-
@
Ji A\ A\ J.. A\
&
.a a
~Ji
@
J..
@
@
@
@
®
@
@
1,1,1,1,1,. . .
A)I B)1 C)I
D)1
E)I
@
@
La suma de dos números es 10 y la
diferencia que existe entre el cuadrado de su media aritmética y el
cuadrado de su media geométrica
es 9. ¿Cuáles el cociente de los números?
B)3,72
A)4
C)2,78
D)4,93
E)5,16
Una persona nació el3 abril de 1903;
otra nació el 7 de Mayor de 1911.
¿En qué fecha la edad del primero
fue el triple de la edad del segundo?
A)20deMarzode1915
B) 24 de Mayo de 1915
C) 24 de Marzo de 1915
D)20deMayode 1915
E)22 de Mayo de 1915
@
ron sin comprar nada hasta el dla
en el cual todos (que compraron en
ese dla) quedaron satisfechos.
B)140
C)320
A) 120
D)220
E) 168
@
@HallarelnúmeroqUefaltaen:
8
26
12
20
28
4
12
20
40
5
60
12
8
A)42 B)60 C)24
®
®
30
@
7
D)54
E)36
Al mirar un reloj se observa que los
2/3 de lo que faltaba para terminar
el dla era igual al tiempo transcurrido. ¿Qué hora es?
A)9h34 min
B)9h35min
C)9h36min
D)10h21 min
E)10h23min
En un triángulo isósceles. tanto la
base como los lados iguales miden
19 y 8 cm. mas que la altura relativa
a la base. respectivamente hallar
dicha altura.
@
@
Hallarel valorde ·S· en:
S = 1x1 00+2x99+3x98 ......... +50x51
A) 95950
B)128755
C)49925
E) 95850
D) 85850
Un padre va con sus hijos al teatro y
al sacar entradas de 3 soles observa
que le falta dinero para tres de ellos y
tiene que sacar las de S/.1.5 de esta
manera entran todos y le sobra 3 soles. ¿Cuántos son los hijos?
C) 7 hijos
A) 5 hijos
B) 6 hijos
D) 8 hijos
E) 9 hijos
¿Qué letra continúa?
A,A.B,F.......... .
A)H
B)I
C)J
D)K
E)W
La suma de las edades de un padre,
de su hijo y de su hija es 65 años. Si
10 años más tarde el padre tendrá el
doble de la edad del hijo y hace 5
años la edad de éste era el doble de
la edad de su hermana. hallar la edad
del hijo.
A) 15años
B) 18años
C)21 años
D) 23 años
E) 25 años
@
A)~
C)~
B)-ª6
9
3
D)~
E)~
9
@
@
@
Halle el número que continúa en:
2 5 10 10
0,1,2, 3' 3' 3' 9 ....... .
9
Un obrero siempre ahorra el 80% de
su sueldo mensual. Si recibe un aumento igual a 3/8 de su sueldo, ¿qué
porcentaje del sueldo original ahorrará ahora?
A) 100%
B) 110%
C)137%
D)95%
E) 120%
Sara le dice a Manuel: "Entre tu dinero y el mio hacemos 1125 soles, pero
si tu hubieras recibido 30% menos,
tendrías lo que yo tendría si yo recibiera 20% menos", ¿cuánto tiene
Manuel?
A) S/.650
B) S/.525
C)S/.600
D)S/.500
E)S/.580
@
A)L
@
@
@
B)R
C)I
D)J
Halle el número que falta en:
244 (41) 106
135 (51) 218
301 ( ?) 409
A)54 B)61 C)31 D)43
E)O
B)~
A)--ª11
9
C) ~
11
@
@
@
Qué número falta en:
4 (400) 5
7 (49) 1
2 (?) 3
A)72 B)36 C)49 D)51 E) 15
@
¿En qué porcentaje disminuye K',
cuando K2 disminuye en un 20%?
A) 136%
B)36%
C)40%
D)24%
E)64%
@
Halle la suma de cifras del décimo
primer término
1,22,333,4444, .......... .
A)22 B)11 C)121 D)100 E)12
®
®
n
@
B)7/15
C)7/13
E)7/11
Indiqu~ la letra que continua en la
suceslon:
A, a. P, B, S, R, e, u............ ..
A)O B)P C)T D)R
E)S
~ln
@
@
~1~
¿Qué término completa la secuencia: 6,15,9,10,27, 17,8, ...... ,20?
A)28 B)21 C)15 D)40 E)38
C)48;43
E)II; 16
Halle el número que continua
0,2,6, 12, 20, .......... .
A) 36 B)30 C) 10 D)49
E)25
¿Qué figura continua?
CE]
[1J
A)
B)
QJ
C)
~
CE]
Hallar~.
A)7/10
D)8/11
B)8;3
1.11,;",11.1..=..1
Dadas tres fracciones equivalentes
En una fiesta de jóvenes el 80% de
los asistentes son hombres y el resto
mujeres. Luego llegan 40 muchaHalle el término que continua, en:
chos cada uno con dos chicas y de
-1;0; 1;4; 17; ............. .
esta manera todos están en pareja.
A)80 B)70 C)75 D)86 E)85
¿Cuántas mujeres habían inicialmente?
@¿QuénúmerosigUe?
A)20 B)40 C)80 D)120 E)60
11,18,33,57,92,141,208,298, ....
A) 307
B)467
C)327
Si a un número de tres cifras que
D)609
E) 417
empieza en 9, se le suprime ésta cifra, queda 1/21 del número. ¿Cuál
¿Qué número continúa en:
es la suma de las cifras del número?
345,102,183,156, ..... ?
A)15 B)16 C)17 D)18 E)19
A) 147
B)157
C)155
~alle el siguiente término en la sucesión: 3, 4, 7, 13,24,42, ......
A) 50 B)37 C)71 D)49 E)19
¿Cuáles son los números que deben
colocarse en los espacios en blanco?
A)9;4
D) 10;5
a ~ ; se observa que la suma de
n
sus numeradores y denominadores
son 77 y 165 respectivamente.
E)47
Si los lados de un hexágono regular
aumentan en un 60%, ¿en qué tanto
por ciento aumentará su área?
A) 56%
B) 156%
C)40%
D)24%
E) 64%
E)Q
Halle el término que continua, en:
3,6,18,90,630, .....
B)6935
C)6330
A) 6930
E) 5930
D)6390
®
@
®
¿Qué letra sigue?
A;A; B; C; E; H; .......... .
A)M B)P
C)O
D)Ñ
9
@
@
®
D)~
@
Si se sabe que: (p A q) Y (q --> t) son
falsas, ¿cuáles de las siguientes
proposiciones son verdaderas?
1. (-pvt)vs
11. -[pA(-qV-p)]
111. [-pv (q A -t)]<->{(p --> q) A-(q A t))
A)I
B)II
C)todas
D)lyll
E)lIylll
Halle el término que continua, en:
. 3 . 6 . 7 .
1. 4 '5'8 .......... .
@¿Quéletracontinúa?
W,U,R,~,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
En la tarde de un determinado día, @Si al afio que cumplí los 15 afios le
un nifio de 1m de estatura proyecta
suman el afio en que cumplí los 20 y
si a éste resultado le restan la suma
una sombra de 3 m. En este instante, ¿cuál es el ángulo que fordel año en que nacl con el año actual,
man las agujas del reloj?
se obtendrá 7, ¿qué edad tengo?
C)140"
A) 35 años B)28años C)32años
A) 100"
B)60"
D) 120"
E)80"
D) 25 afios
E) 30 afios
D)
@
E)
La suma del noveno y décimo séptimo término de una progresión
aritmé-tica es 82 y la relación del
noveno y el vigésimo primer término
es como 7 es a 27. Hallar el séptimo
término.
B)31 C)43 D) 11 E)17
1
3
2
10
5
x
1
1
6
3
15
Y
A)10
B)13
C)14
D)15
E)11
@Hallar:
E=II+101+1001+10001+ ... +~
100 cifras
99
A) 10 -1 +90
9
C) 10
1ClO
10
B) 10 °-10 +99
10
-l0 +99
9
1099 _10 2
E) 10 '00 -10 +10
Se tiene 2 relojes circulares tangenD)
10
+90
9
tes entre sí con sus horarios apuntando hacia el punto de tangencia. @Analice con cuidado y escoja de las
Si uno de ellos se adelanta 2 minualtemativas la que mejor complete la
tos y el otro 3 minutos cada hora,
secuencia propuesta:
hallar el tiempo mlnimo para que los
2ab2, 3cd3, 4ef4, ..........
horarios retomen la posición inicial.
A)5gi5
B)5fe5
C)5gh5
A)690hrs B)720hrs C)920hrs
D)5hg5
E)5hi5
D) 680 hrs
E) 780 hrs
@
¿Qué figura continúa?
·~;@;cf>8~~·;EP; . . @
A)cb
8)ffi..
C).~
E)(j).
~ Una
¿Cuáles son ciertas?
A)I 8)11 C)III D)IV
Se mezclan dos clases de café en
proporción de 1 a 2 y la mezcla se
vende con un 5% de beneficio. Después se mezclan en la proporción
de 2 a 1 y se vende la mezcla con
10% de beneficio. El precio de venIa es igual en ambos casos. Hallar
la relación de los precios de las clases de café.
A)23a28 8)20a23 C)1 al
D)30a37
E)25a29
señora compra 2750 huevos
por 5/.1 000 soles, pero se le rompen
350 y vende los restantes a 7 soles la
docena. ¿Cuál es el porcentaje de @¿QuéfiguraCOntinúa?
ganancia?
A) 30%
8)40%
C)120%
D) 140%
E) 24%
~;~;~;~;~; ...
@
@
@
8~
Dada una operación de multiplicación, si el multiplicando aumenta en
un a%, el producto disminuye en un
4%. Hallar"a".
A)10 8)20 C)30 D)40 E)50
¿Cuántos términos de la siguiente
sucesión tienen 3 cifras?
3,10,17,24,31, .......... .
C)131
A)129
8)130
D)128
E)127
Halle el término que continúa, en:
2,2,2,6,96, .........
A) 10220
8) 13020
C)20300
E) 12000
D)21000
~ Halle el término que continúa, en:
0,7,26,63,124, ..........
A)210
8)195
D)235
@
C)215
E)199
@¿QuénúmerosigUe?
2
@
@
8) 18Y4
@¿Qué figura no guarda relación con
las demás?
De un recipiente que esta lleno con
una mezcla de agua yvino al 33,3%
devino; se extrae 1/3desu contenido y se reemplaza con agua, luego
se extrae 1/4 de la nueva mezcla y
se sustituye con vino; finalmente se
extrae 2/5 del contenido y se reemplaza con agua. ¿Qué fracción del
volumnetolal quedó con vino?
A) 1/3 8) 1/5 C)2/7 D)3/4 E)I/4
~
8)
f?
C)
c!J
D)
E)
@
Se mezclan 60 litros de alcohol de
¿Qué hora será entre las 6 y las 7
72" con 40 litros de 56". Se extrae
cuando las agujas formen un ángulo
25 litros y se reemplaza por alcohol
del5" por vez primera?
de grado desconocido, resultando
A) 6:30
8)6:15
C)6:20
una mezcla que contiene 40,8 litros
D)6:10
E)6:18
de agua. ¿Cuál es la cantidad de alcohol puro que se debe agregar a <@>Si:
esta última mezcla para que su grab F(x) = F(a+b)-F(a-b)
do alcohólico sea 60"?
Además:
A)I,5t
8)2t
C) 10t
F(x)= 4x+3
D)0,75t
E)4t
Calcule:
E= J,3 F(X)
Señale la figura que falta:
C)6Y2
E) 64
Halle el término que continúa en:
1,1,2,7, .....
A)35 8)36 C)42 D)44 E)34
@
~~~~
Una obra puede ser hecha por "A" y
"8" en 6 dras, por "8 y C" en 8 dras, y
?
por "A y C" en 12 días. La obra es
empezada por los 3 juntos y cuando
realizaron los 3/4 de la obra, "A" se
retira; "8 y C" continúan hasta hacer
8)
C)
la mitad de lo que quedaba, entonces se retira "8"; terminando "C" lo
que falla de la obra. ¿En cuántos
dias se hizo la obra?
D)
E)
A) 11 dras
8) 12dras C) 10dras
8
3
3
D) 13días
E) 14días @Si: 5 #b =a -2b
Calcule: E = 125#27
La proposición: (p A q) ... (r A s) es
A)
13 8)23 C)24 D)21 E)27
verdadera, teniendo "r" y "s" valores
~~
~~~~~~
~~
@
@De la falsedad de: (p~-q)v(-r~s),
deducir el valor de verdad de:
l. (-pA-q)V-q
11. [(-rvq)vq] ... [(-qvr)As]
111. (p~r)~[(pvq)A-q]
C)FVF
A)VVV
8)FFF
D)FFV
E)WF
f.8
-./2 ,Y4, 4Y2, 16, ........
A)30-./2
D)32Y2
C~
E~
@
menor en su cumpleaños. Elisa siempre recibe 2 regalos por su cumpleaños y por Navidad. La mayor de todas gusta de cortar el cabello a sus
otras hermanas. El cumpleaños de la
repostera es en febrero. Silvia trabaja
con cierto tipo de "polvos". Erika es la
peluquera de la familia. Entonces, es
cierto que:
A) La costurera tiene 18 años
8)La mayor de todas nació en febrero
C) Silvia tiene 18 años
D) Erika es costurera
E) Mas de una es verdadera
E)lIylll
verilativos opuestos, se afirma que:
1. [(-p A -q)v(r A S)]Ap es verdadera
11. [(-pvq)A(rvs)]v(-pAq)esfalsa
111. [(-r A-s)~(pvr)]v-(r AS) es verdadera.
IV. [(-r A -s)~(s v p)]~-(r A p) es
verdadera.
@
Tres hermanas tienen ocupaciones
diferentes: una es reportera; otra es
costurera y la otra es cosmetóloga;
sus edades son 18; 20 Y 24 años.
Los meses en que celebran sus
cumpleaños son: febrero, abril y diciembre. Se sabe que Silvia no es la
A)7
8)8
C)9
D)10
E)11
@se deja derretir 3 pedazos de hielo,
lales que el volumen del segundo es
los 3/7 del volumen del primero y los
6/13 del volumen del tercero. Sabiendo que la diferencia entre el primer y
tercer pedazo es de 50 decímetros
cúbicos, y que el agua se dilala en 1/9
de su volumen al congelarse, ¿cuántos litros de H20 se obtendrán de esta operación?
A) 1528
8)1485
C) 1653
D)1458
E) 1576
@Si una persona parte de "A" y se desplaza en el circuito t----'''
mostrado en la di- 6--.,
rección indicada. f---'
¿Cuánlas veces girará hacia la dere- 6 - - -.....
cha hasla llegar al punto de partida?
A)3 8)5
C)7
D)9
E)11
@
@
@
Cuando son las 12:00 de cierto dia.
¿Cuál es el menor número por el
Un comerciante compró un objeto y
que se debe multiplicar a lO! para
lo vendió ganando el 30%. Con la gaun reloj empieza a adelantarse a razón de 1.5 minutos cada 1/2 hora.
que el resultado final sea un cubo
nancia de la venta. más 5/.500. pagó
su deuda y con el resto del importe de
¿Cuánto tiempo tendrá que transcuperfecto?
rrir para que el reloj vuelva a marcar
la venta compró otro objeto. que lo
B)5342
C)6372
A) 4560
la hora exacta?
vende con una utilidad del 80%. ga0)4410
E)4610
nando en esta venta una cantidad
A) 24 días
B) 10días C)6días
igual que su deuda. ¿Cuánto le costó
O) 12días
E) 18días @sedefine:
el primer objeto?
= (x+l)
A un profesor le preguntan su edad y
Hallar"n"en:
A) 5/.600
B)S/.700
C)S/.750
este responde: "Mi edad es el exce0)5/.800
E) 5/.1800
~=100
so del quíntuplo de la edad que tendré dentro de 7 años. sobre el quínA)3
B)2
C)v'3-1 @sedefine:
tuplo de la edad que tuve hace 2
[!j] = 1+2+3+ .... +n;Vn e N
0)V2
E)V2-1
años" ¿Cuáles la edad del profesor?
Halle n x" en:
A) 30 años B) 31 años C) 37 años
Oos ciclistas parten simultánea=231
O) 42 años
E)45 años
mente al encuentro el uno del otro.
con rapidez que están en la relación
A)2
B)3
0)7
E)9
C)5
Qué letra continúa en:
de 4 a 3 y se encuentran cuando el
A,A,A, e, E,I, ........ .
de mayor rapidez ha recorrido 60 @Tres personas almuerzan juntos en
A)O
B)P
C)A
O)R
E)S
km más que el otro. Calcular lo reun restaurante. Se sabe que lo que
corrido por el de menor rapidez hascomió la primera es 1/5 del total y lo
@¿cuálessonTautologíaS?
ta el momento del encuentro?
que comió la tercera es el 70% de lo
1. -[(pv-q)Aql~p
que comió la segunda. Si la tercera
A)160km B)150km C)210km
11. [(pAq)Vq] .... q
pagó 84 soles por lo que comió.
0)120km
E)180km
111. [pA(qv-r)] .... [(-pAq)v-(pvr)]
¿cuánto tuvo que pagar la primera
Un campanario toca tantas campaA) I
B) 11
C) todas
persona?
nadas como horas indica ¿Cuántas
O)lyll
E)lIylll
A) 58 soles B)81 soles C)51 soles
campanadas tocará durante el priO) 62 soles
E) 39 soles
@¿QuéfiguraSigue?
mer medio día de hoy?
A)68 B)78 C)66 0)56 E)38 @Quénúmerocontinúaen:
1.4.10.20.35•............
Se construye un reloj que tiene el
A)25 B)56 C)35 0)45 E)46
horario más grande que el minutero. cuando una persona ve la hora @Si:
B)~ C)~
anuncia: "Son las 9 y 29" ¿Qué hora
3x*2y= -VX-Yy
es en realidad?
Halle:P=48*18
A) 5:45'
B) 6:50'
C)4:48'
A)O
B) 1
C)2
0)3
E)4
0)5:48'
E) 6:52'
Completar la sucesión gráfica:
La edad de un padre sobrepasa en
Se define: M(x') = (x8 -1 )/(x'+1)
5 años a la suma de las edades de
Según esto. ¿cuál de las siguientes
sus tres hijos. Oentro de 10 años. él
altemativas equivale al producto de
tendrá
el doble de la edad del hijo
M(3) porM(4)?
mayor. dentro de 20 años. tendrá el
A)M(12)
B)M(ll)
C)M(10)
doble de la edad del segundo. y
0)M(9)
E) M(8)
dentro de 30 años. tendrá el doble
de la edad del tercero. Hallar la
Oada la función definida por:
I 1XIfIXI·1XI1 lXffi •D<I 11 IX! fE • IX!
edad del padre.
3X-l;SiX>3
A)
B)
C)
A)
50
años
B)48años
C)25años
F(x) = x'-2;si-2';x';3
{
0)43
años
E)
35
años
ffIXI
IXI·IXI
IXI
ffl
[• [ [
2x+3; six<-2
O)
E)
Calcule:
Oos móviles van en el mismo sentiJ = F(2)+F(-1)+F(-3)+F(4)
do. La rapidez de uno es 3 veces la
Oos nadadores parten al mismo tiemrapidez del otro. Si en un determiA)9 B)13
C)7
0)11
E)8
po de extremos opuestos de una pisnado momento la ventaja es 60 km
cina de 90 m. de longitud con rapidez
@Si:p(2n-l)=1-n+n'-n 3 +.......... oo
Y después de 2 horas se ha triplicade 2 y 3 mis respectivamente.
do la ventaja ¿Cuál es la menor raVn e <O; 1>
Cruzan la piscina varias veces
pidez?
durante 12 mino Suponiendo que no
Calcular: P [
pierden tiempo al voltear. el número
A)10km/h B)20km/h C)30kmlh
de
veces que se han encontrado es:
0)90km/h
E)80kmlh
A) 4/3
B)3/4
C)3/2
A)19 B)20 C)16 0)17 E)18
0)5/4
E) 7/5
Un campanario toca 3 campanadas
en
2s. ¿Cuánto tiempo demora en ~ ¿Qué figura continúa?
@Si:
~~l1IIili
tocar 9 campanadas?
~#QW'=QW'
A) 7 seg
B)8seg
C)6seg
Entonces: ~ ~ _ ?
0)5seg
E) 9 seg
®
®
@
1m]
@
@
[&1 ~~L LfL E~L. @
E)rn
@
@
@
@
®
@
-~ J
@
~#~- .
A)~ B)~ C)~
O)~
E)~
@
~I tiene la edad que ella tenia.
cuan-do él tenia la tercera parte de
la edad que ella tiene. Si ella tiene
18 años mas de lo que él tiene.
¿cuán-tos años tiene ella?
A) 18 B)47 C)54 0)51 E)38
I~I~I~I~I
A)~ B)~ C)~
O)~
E)~
®
¿Cuáles son equivalencias lógicas?
1. -(q-+-p) .... (qvp)
11. {(-pl\-q)v-q} .... -[(pvq)l\q]
111. -(p-+q) .... [(pvq)l\-q]
A)I B)III C)II D)lIylll E)lyll
~ En una fiesta, la relación de mujeres
@sedefine:
x· = x'-(n+2}x+6n+1
Calcular"n" si:
(n-2)· = 7
A)2 B) 1 C)O
D)-1
@
a hombres es de 3 a 4. En un momento dado se retiran tres damas y
llegan tres hombres, con lo que la
relación es ahora de 3 a 5. Indicar
cuántas mujeres deben llegar para
que la relación sea de 1 a 1.
A)18 B)17 C)16 D)15 E)14
~ Si al doble de mi edad se le quitan 13
®
años, se obtendria lo que me faltan
para tener 50 años. ¿Cuánto me falta para cumplir el cuádruple de lo
que tenia hace 4 años?
A) 18años B)45años C)32años
D) 35 años
E)47 años
Tenemos entre monedas de 2 y 5 soles un total de S/.39. Además hay 2
monedas más de 2 que de 5 soles
¿Cuántas monedas en total tenemos?
A)10 B)7 C)6
D)8
E)12
@
EB
&..
@
@
Los tres hijos de Pipo tienen (2x+9),
(x+1) y (x+2) años respectivamente
¿Cuántos años tendrán que transcurrir para que la suma de las edades de los últimos sea igual a la del
primero?
A)5años B)8años C) 6 años
D) 9 años
E) 10 años
prar con la misma cantidad de dinero
si la gasolina sube de precio a S/.18
el galón?
A)4
B)9
C)5
D)7
E)6
®
~ ¿.cuáles de las siguientes proposiciones
l. -[p 1\ (-q) 1\ (-r)]
11. (p,,-q)vr
111. (rvq)"-(-r,,q)
son equivalentes a: (p -+ q)-+r?
A)lylll B)lIylll C)I D)II E) 111
pleta la analogla gráfica:
1 esa 2 como 3 esa 4
®
A)
~~~ B)~
D)~
F(m)=xm+ym
Además: F(,)= 2y F(,)=3
Halle: F(3)
eesa_como~esa:
A)~
~
E)
~
B)0
C)Q)
D)~
®
C) ~
El cuadrado de la suma de dos números consecutivos es 81. Hallar la diferencia entre el triple del mayor y el doble del menor.
A)8
B)7
C)6
D)5
E)3
@Si:
Indique que cubo pertenece al armado del dibujo en el plano.
1~IOol*I~1
~ Si:
E)~
La diferencia de dos números mas 60
unidades es igual al cuádruple del
menor menos 50 unidades. Hallar los
números si la suma de ambos es 70.
A)40y30
B)25y45
C)20y50
D)10y60
E)55y15
~Si:
IX+51=3X+5
Calcular: [[] + [g]
A)43 B)24 C)34 D)51
E)27
C)-ª- @Si: p ,!. q se ~efine p~r.(:-p) 1\ (-q¡, @un ciclista debla recorrer 60 km en 3
5
entonces que proposlclon es equlhoras. Luego de llegar a la mitad del
valente a: -(p .... q)
D)18
E)29
camino, observó que su rapidez fue 2
l. [(-p)'!'q]v[q'!' p]
km/h, menos de la que debió llevar. Si
La figura (1) rota 90· en sentido hora11. [(-p)'!'q]v[(-q)'!'p]
llegó a la hora fijada ¿Qué rapidez en
rio y se traslada sobre la figura (11).
111. [(-p),!.(-q)] v [p,!. q]
km/h, empleo durante el tiempo que
Entonces la figura resultante es:
A)III B)II C)I D)lIylll E)lylll
le quedaba?
A)22,5 B)24 C)20 C)20,5 E)21
(I)@ (II)@
Si se cumple: m & n = (m+n)m,"
Además: 7&2=81
@Si:
2&1=3
~=x+1
A)@
B)@
C)@
2&3= 125
Calcule: Á
/::..
Calcular: E =20'0.7
.L..1b..+~
D)@
E)@
A) 1 B)2
C)3
D)5
E)7
A)8 B)36 C)34 D)51 E)27
A)-ª-
2
@
~ ~
D)tE
~ Indique cuál de las altemativas com-
e:_::+:?
A)+ B)+ C).
D)+ E).
= ?
Hallar:
En un momento determinado un reloj, que se adelanta Y minutos en
A)~ B)~ C)~
un dia, tiene 2 minutos de atraso. Si
el reloj tuviera 5 minutos de atraso y
se adelantara 1/2 minuto más de lo
D)~
E)~
que se adelanta en un dla, este reloj darla la hora exacta un dla antes.
Hallex.
@¿QUé figura se opone al "." (asterisA)1
B)0,5
C)0,25
D)1,5
E) 1,25
co)?
Se propone a una persona que multiplique la fecha del dla de su nacimiento por 12 y el número del mes
A)
B)
C)
por31. Si la suma de estos productos es 170, determinar la fecha de
E) la sexta figura
nacimiento de esta persona.
A) 6 de enero
B) 9 de febrero
Un taxista compra 6 galones diarios
C)4 de abril
de gasolina al precio de S/.15 el gaD)5demayo
E)7demarzo
lón. ¿Cuántos galones podrá com-
'ti'
~ Un
comerciante compré café por
1600 soles Yté por 1800 soles, obteniendo 40 kg más de café que de té.
¿Cuánto pagó por el kg de café, si un
kg de té costo 50 soles más que un
kgdecafé?
A)21 soles B)22soles C)23soles
D) 24 soles
E)25 soles
E)-2
EB·EB=EB
~. Em
B)-ªº-
7
@
A
@
Hallar el área de la región sombreada, las cuatro circunferencias son de
radioR.
@
¿Qué figura falta en el esquema?
lZE:l
@
~ ~
En el cuadrado ABCO, el área de la
región triangular OBP es 20 cm 2. HalIarel área del cuadradoAFOG.
E9®®
A ¡----iGr--------c,¡B
M&?
B) ~
A) R2(2 v'3-7t)u 2
B) R2(v'3-7t)U 2
C) R2(3v'3-21t)u 2
O) R2(2v'3-21t)u 2 E) R2(1t-2v'3)u 2
~ Halle la figura que sigue:
9
11
O)~
@
®
13
B~----'C E
E)@
En la figura A, B Y C son puntos de
tangencia. HalleAC.
A
B)
B
2R~
r
R+r
R~ r+R
R
F
B)_1
3
C)_1
4
5
E)~
O)~
E)Y100-v'3
5
@
D
3
Calcular el áre~e--'" región sombreada. Si AB, BC, CO, OA son diámetros:
B
...------:l.rL,:x-2x+10 = o
A
L,: x-6 = o
S3=4m 2
A)3u 2
0)3,5u 2
®
B) 13m2
C)34cm 2
E)40cm 2
M
A)_1
B)Y144-3V2
La figura muestra el cuadrado
ABCO. Hallar el área de la región
sombreada.
r
R+r
Calcule 52
®
R
od
B) 2r ~
B)30cm 2
~
E) 2~ r
R+r
~ Oel grafico: 5, = 9m2;
A)20m 2
0)6,5m 2
A
A)Y121-12v'3
C)Y 233-24V3
300-48V3
@
O)
A) 28 cm 2
O) 24 cm 2
e
SiABCO es un cuadrado de lado 10 @Si ABCO es un trapecio y BM 11 CO,
cm y OEF es un triángulo equilátero
además M y N son puntos medios.
de área 4V3 cm2, calcular la distanCalcule·§
cia del centro del circulo al vértice
·5,
superior del triángulo equilátero.
B
e
Además el área del circulo es 41t
cm 2
A
A) 2R
D "'---4------"
p
E)~
®~~~
A)~ B)@ C)e
7
C)~
C)36m2
E)10m 2
B)4u 2
C)2u 2
E) 3V2u 2
Hallarel área de la región somb~­
da. Si (AC)(CO) = 4v'3 cm 2y mAPB
= 140·. ·C" es punto de tangencia.
e
©7
En el gráfico el lado mayor del rectángulo es igual a 4 veces el radio.
Calcular el área de la región sombreada si una de las tangentes del
vértice M mide 2+2V2 cm.
D
D
A) (1tR2_2)u 2
C) R2(1t-2)u 2
O) R2(1t-4)U 2
®
@
B)2cm 2
C)3cm 2
E) 5 cm 2
Hallar el área de la región sombreada. SiAO = 5"1{2; EF = FG; M Y N son
puntos medios.
E-a
~~
B)
~~
C)
O)~ 1t+2
M
®
~~
E)~ 2M
31t
Hallar el área de las regiones sombreadas, si el lado del cuadrado
ABCO mide 8m. Oar como respuesta
52-5,.
tr-r-rBrr-:;M'----rJI
M
E) 2R2 (1t-2)u 2
Si el área lateral de un cilindro circunscrito a una esfera es M, hallar el
radio de la esfera.
A)
p
A)1 cm 2
0)4cm 2
B)R2(1t-1)u 2
B~, e
a
8,
A)(141t+4)cm 2
B)(52-41t) cm 2
C)(36-61t) cm2
0)(241t-3) cm2
E)(32-41t) cm 2
A
F
G
I
A) 225u 2
O) 112,5u2
A)18m 2
0)3m2
N
b
B)125u 2
C) 120u2
E) 220u 2
@
D
B) 12m2
C)6m 2
E)21 cm 2
En la figura se muestra un rectángulo
ABCO. Si la diferencia entre su semi-
AAA
A
A
perímetro y la suma de los radios de
los círculos es 12 m. Hallar el área
del rectángulo.
A)
e
B
B)
C)
O)
@
AL.J>........<--...J.J D
A) 144m2
0)36m 2
@HallarM:
M=
B)78m 2
20 ["
C)64m2
E)72m 2
~m ~]
ª
C)3040
E) 3780
I{-:G
••
2°,3°,2 3,52, ......
@
B)72 C)11 2
0)1"
E)10'
¿Qué figura falta en el esquema?
~ ~ ~
~+?
A)~ B)~
O)~
@
@
@
®
@
O)
E)
@
En una granja el 20% del número de
gallinas es igual al 30% del número
de pavos. Si se retiran 150 gallinas,
el número de pavos será el 60% del
total. Hallarel número de pavos.
B)75
C)180
A) 40
0)125
E) 80
Un comerciante vendió un artículo
ganando el 20% del precio de costo y
con dicha ganancia compró otro artículo que lo vendió ganando el 25%
del precio de venta. ¿En qué relación
se encuentran los precios de venta
de los 2 artlculos?
A)9/2 B)4/5 C)7/3 0)6/5 E)9/5
Hallar el área de la región sombreada
si AB es el lado de un octógono regular inscrito en una circunferencia de
radio 6 cm y BC es tangente a la circunferencia.
e
Halle la figura que continúa:
E)4$> ~.~.~.~.
,
Al
Un camión normal, emplea además
de sus llantas normales, sus ocho
llantas de repuesto para recorrer
2800 km. ¿Cuál es el recorrido promedio de cada llanta?
A)1300km B)1200km C)1400km
0)900 km
E)800km
®
Un examen de ingreso de 140 preguntas dura 3 horas. Si un postulante dedica 60 min para leer y responder40 preguntas yde cada 10 acierta 5, ¿cuántos no acertó o dejó de
responder?
A)80 B)70 C)60 0)20 E)30
,
Bl
®@
el
~
C)(18-91t) cm
®@
2
O)(18+91t)cm
2
E>[16-e;Jcm
2
E~ ~IJI:'~":líl
..m~;
W;
D~
Un comerciante compra carteras al
precio de 75 soles cada una yademás le regalan cuatro por cada 19
que compra, recibiendo en total 391
carteras. ¿Cuál fue la inversión del
comerciante?
B)S/.22225
A)S/.24225
C)S/.26275
0)S/.24275
E)S/.28255
B)~
;
A)
C)~
¿Qué figura no guarda relación con
las demás?
A)~ B)~
C)CEJ
rY1
o
B)
...
rY1
+14(
+lJI
=
O) lY1
+ll.l
o
E)~
@
2
1""
I
~
A>[18- 9; J cm
@
(a-3)'=2a-1
(a+5)* = 7-2a
Calcule: A= [(-5)']*-[(-4)']"
A)36 B)12 C)-28 O) 15 E)-10
A,A,A,?
~
@®
Hallar dos números consecutivos
cuya suma sea igual a la cuarta parte
del primero, más los 5/3 del segundo
Oar como respuesta el consecutivo
del mayor de dichos números.
A)8
B)7
C)6
0)5
E)10
¿Qué figura sigue?
®
E)~
C)$
@sabiendOqUe:
ª
O)~
C)
B)
@Quétérminocontinúaen:
A) 90
181@1(91~1
E)F
¿Qué dado no guarda relación con
los demás?
A)
la figura que continúa la
sucesión
A)~ B)~ C)~
Qué letra continúa en:
U, T, e, s, N, ........ .
A)O B)T C)N
O)R
¿ ¿ ¿(2)
B)3960
~ Encuentre
E)
n=1 m=1 k=1
A) 3020
0)3080
E)@
0)0[)
®
Una persona tiene tres radios de diferentes calidades, vende el primero
y el segundo cada uno en S/.2970,
ganando en uno de ellos el 10% y
perdiendo en el otro el1 0% de su valor. Si el tercer radio le costó S/.1200,
¿qué tanto por ciento de ganancia
debe tener al venderlo para no ganar
ni perder en la venta total?
A) 6%
B)99%
C)5%
0)4,5%
E)10%
En un examen de admisión en el que
se requiere aprobar los 4 exámenes
programados, sólo e112% de los pos-
tulantes podría ser admitido. Si sólo
se exigiera aprobar 3 de los exámenes. el número de postulantes a admitir aumentarla a 2/3 del número
anterior haciendo una cantidad de
800. ¿Cuántos son los postulantes?
A) 5000
B)3500
C)4000
0)4800
E) 3200
®
~ ¿Qué figura sigue?
S2.+t.aJ.tE ®
[MJ I[l] I [ffi]
O)N
A)
B)
C)
E)~
@!§l¿QuéfigUraSigUe?
CSl ~n~ Lía
l.Jl
o
o
o ;
A) ~o
~
;
B)
~
O)~o
o ;
o
@
l..L..E:l
@
@
@
Si a y b son números naturales tales
que:
a
b
~
-+-=1036
11
5
•
Hallar el valor de: 8a+2b
A) 30 B)37 C)60 0)31
E)42
@
~ Si la siguiente proposición es falsa
{(p -+ q) -+ [pv (q M)]) -+ [q" (p v r)1
Indicar los valores p y r. si se sabe
queqes F.
A)W
B)VF
C)FF
O)FV
E)WoFF
®
~ ¿Qué figura sigue?
m.m.m.m.m.
. . .
A)m B)mI
,
@
®
~
E) ~o
U
®
;...
C)
que quedaba. ¿Qué fracción del nuemedio. 1/3 de las entradas se quevo resto se debe volver a beber. para
dan sin vender. pero afirma que todas las entradas se venderlan si se
que sobren los 3/8 del vaso?
rebajase en un 30% el precio de la
A)2/5 B)3/5 C)4/9 0)519 E)517
entrada. Suponiendo correctas las
hipótesis del presidente del club.
¿Cuál es el valor de n después que
¿qué sucederla?
éste ha sido disminuido en 16 2/3?
A) La recaudación seria la misma
A)(1/6)n
B)(1/3)n
C)(5/6)n
0)34
E)25
B) La recaudación aumentaria
C) La recaudación disminuiria
@son más de las 2:00 pm y falta para
O) Faltan más datos
las3:00pm. ¿Qué hora es. si el minuE) No tiene sentido el problema
tero adelanta a la marca de las 6. tanUn comerciante adquirió cierto núto como el doble de lo que el horario
adelanta a la marca de las 2?
mero de artículos de los que vendió
70yle quedaron más de la mitad. Al
A)2h36min.
B)2h38min.
dla siguiente le devolvieron 6; pero
C)2h40min.
logró vender 36. después de lo cual
0)2h45min.
E)2h35min.
le quedaron menos de 42. ¿CuánLuis y su esposa tuvieron 4 hijas. catos artlculos adquirió inicialmente?
da una de las cuales se casó y tuvo a
A) 140
B)141
C)142
su vez 4 niños cada una. Nadie, en
0)143
E) 144
las 3 generaciones. falleció. ¿CuánUn insecto recorre en un tiempo"r
tos miembros tiene la familia?
un cuarto de circunferencia de radio
A)22 B)23 C)24 0)25 E)26
"R". Oeterminarsu rapidez media.
A los tres primeros términos de una
A) R/t
B) Rt/2
C) R/2t
P.A. de razón 2 se le aumentan 1. 3 Y
0)xR/2t
E)R,r-2ft
9 respectivamente formando los resultados obtenidos una P.G Hallar el
Calcular el primer término negativo
término que ocupa el lugar 20 en la
en:ll0.l06.102.98 •.....
P.A.
A)-l
B)-2 C)-4 0)-6 E)-5
A)37 B)38 C)39 0)40 E)41
¿A qué hora. después de las 3. el
minutero adelanta al horario. tanto
En los lPl se define la operación ....
como el horario adelanto a la marca
por: a. b = 2a+2b+2ab
de las 12?
¿Cuántas de las siguientes expresioA)l h20min
B)2h30min
nes son falsas?
C)3h36min
l. .." es conmutativa
0)5h30min
E)4h36min
11. -." es asociativa
111. Cero es el elemento neutro para la
Cuando yo tenga el triple de la edad
operación.
que tenía cuando tú tenía la quinta
A)l
B)2 C)3 O)Ninguna E)4
parte de la edad que tendrás cuando yo tenga lo que ya te dije; entonces nuestras edades sumaran 44 @A una fracción propia de términos
consecutivos le sumamos 2
años. ¿Qué edad tengo. si nuestras
unidades
al numerador y al
edades actuales. al sumarse. redenominador. res-pectivamente.
sulta un cubo perfecto aumentado
Esta nueva fracción excede en 1/2 la
en 1?
fracción original; ha-llar la fracción
A) 18 B)20 C)22 O) 16 E) 15
original.
@
Si el anteayer del mañana de pasa- @A)-1 ~/4 C)7/8 0)3/4 E)1/3
do mañana es viernes. ¿qué día fue
Si a+ c=7yademás:a-c=7
el aer del ayer del anteayer?
Calcular: a2 _ c 2
A) domingo B) lunes C) martes
A) 155
B) 175
C)225
O) Miércoles
E)jueves
~ 0)2
3J
E)190
Indicareltérminoquecontinúaen:
~
.><....:':..Si: g
3 = x-5. Hallar: g(l 0)11(1)
2.3.5.11.35.155 •.........
A) 200
B)255
C)875
B)4
C)8
0)9 E)12
0)649
E) 525 @A)-l
f3
I
@sedefine:
x-ll =2x-3
Además:¡---¡"""'_=ll
•...
1..
+11 .... 1=4095
O)m
@!9> El presidente de un club de basket- @
ball observa que por partido. en pro-
·I[ill3]
-n" operadores
Hallar "n° y dar como respuesta la
suma de sus cifras
A)2
B)3
C)4
0)5
E) 1
Oe un vaso lleno de vino se bebe
1/6 del contenido y luego 1/4 de lo
Oesde cierto lugar de un río. un bote
parte al río arriba. durante 2 horas
alejándose 40 km. al cabo del cual se
malogra el motor del bote; si el defecto se repara en 1/2 hora y el bote retorna. rlo abajo. pasando por la posición inicial y alejándose de éste 85
km. empleando 3 horas en dicho viaje; halle la rapidez de la corriente del
rlo.
A)8km1h B)10kmlh C)12km1h
@
Un reloj tardó 42 segundos en tocar
"n" campanadas; si entre campanada y campanada tardó tantos segundos como campanadas ha tocado,
¿cuánto tardará en tocar 1O campanadas?
A)56s
B)63s
C)72s
0)70s
E)68s
B)29Y31'
C) 27+7Y31'
0)27Y31'
E) 24 Y3-311'
@
~ Hallar el término que continua en la
siguiente sucesión:
P,S,T,C.a ............ .
A)R B)S C)T
O)U
®
@
@
B)525
C)429
E) 893
Yo tengo tantos hermanos como
hermanas, pero mi hermana tiene la
mitad de hermanas que de hermanos. ¿Cuántos somos nosotros comomínimo?
A)8
B)5
C)7
0)9
E)10
Llevo 5 trozos de cadena, de 3 eslabones cada uno, a un herrero para
que éste hiciera de ellos una cadena
continua; si el herrero cobra S/.5 por
cada eslabón que tenía que cortar y
luego soldar, ¿cuál es el menor costo para formar la cadena?
A)S/.5
B)S/.l0
C)S/.15
0)S/.20
E)S/.25
las siguientes operaciones:
x
Y
m+n
m.n=-- y xElly=-+2
y
x
Calcular el valor de:
5
«2.2).2).2 ...... 2t+(IE1l2)EIl
J...
2
v
-n" operadores
B) 4
A)15
0)150
@
C)18
0)10
E)72
~ Si: (a+b+c)2= 169
Calcular:
M = abc+bca+cab
A)169
B)1352
0)1213
@
@Resolver:
x-3b -2 = x-b + 3-5b
4
3
12
A)26 B)-12 C)-27 0)-30 E)24
~ ~n N definimos las siguientes operaciones:
a·b=a 2-b
a*b=b2-3a
aLl.b=2a+3b
Si:x·x=6
y*y=4
Hallar: xLl.y
A)18 B)20 C)14
C) 1443
E) 1295
O) 11
E) 15
B) 120
C)100
E) 180
Se sabe que: -5'; m'; 7 Y2,; n'; 6,5;
siendo m y n números reales. Entonces, ¿entre qué valores varía E?
@
@
E= m-;n
A) -6<E<1
0)-6';E';1
@
,111 ... ~ ... 112,
B)81
C)9
E»21;22>
®
~4+
9cifras
B)7
B)<13;15>
La proporción en la que César
0)7 E)15
acierta sus disparos en un blanco
de 600, 400, 300, 100 Y 50 puntos @Si:x-y=3;ademásXY=-2
es como 1, 2, 3, 6 Y 5 respectivaCalcular: x' +y4
mente, fallando 3 por cada 15 disA)17
B)35 C)72 E)42 E)46
paros acertados. Si anotó 94500
puntos, ¿cuántos disparos realizó?
Un comerciante vende sus artículos
A) 624
B)510
C)612
de la siguiente manera: 1/3 del total
0)642
E) 680
que tenia más 4, a S/.50 cada uno;
luego vende los 3/5 de los que que@En la figura los radios son: rA = 10
dan a S/.40 cada uno y, finalmente,
cm, r.=2cm, re= 12cmyrD=8cm.
vende la mitad de los que quedaban,
Si A da 40 RPM; ¿cuántas vueltas
más 4 a S/.30 cada uno, con lo que se
da O en 30 segundos?
le acaban los articulos. Hallar la
suma de cifiras de la cantidad de articulos.
A
•
A)6
B)7
C)8
0)9
E)10
~ Calcular la suma de cifras del resulA)64
1
®
C) 2"+1
~8
tadode:
E
¿En qué cifra termina "R"?
R= (199647 +1)(196933 -1)
A)5
B)3
C)7
0)6
E)8
A)5
~ Oefinimos
A) 2" +2
60"
3
a
A)611
0)400
O
& = x +1, A = y(y2-3y+3)
CalcularelvalordeS= @-@)
E)O
.
5 m
'---"
~
T
7V3
B
A) <1 0/3; 12>
C)<16;18>
0)<19;20>
@EnRsedefinen:
En la sucesión cuadrática mostrada,
determinar el término que ocupa el
lugar20.
a· b· c . d . 41
~,---,,'
A
c
B) 4<E<2
C) -5,;E<1
E)-6';E,;2
Se multiplica un número entero por
648, obteniéndose un número de 5
cifras que comienza en 356. Hallar
su 2 últimas cifras y dar como respuesta su suma.
A) 16 B)4 C)8 0)20 E) 12
Una rueda de 3 dientes está en contacto con otra de 9 dientes. ¿Cuántas
vueltas dará, en 3 minutos la pequeña si la mayor da 8 vueltas?
A)32 B)20 C)18 0)26 E)24
La edad actual de Maria es el doble
de la edad actual de Oiana. Hace 7
años la suma de sus edades era igual
al promedio de las edades actuales,
disminuido en 1/2. Hallar la edad de
la mayor.
A) 18años B) 6 años C) 16años
O) 20 años
E) 15 años
~ En
un examen un alumno gana 2
puntos por respuesta correcta, pero
pierde 1 punto porcada equivocación
Si después de haber contestado 50
preguntas obtuvo 64 puntos, ¿cuántas respondió correctamente?
A)12 B)39 C)38 0)40 E)16
@con 6 hombres o 15 mujeres se
puede construir una obra en 36 dias
¿Cuántas mujeres habrá que contratar para trabajar con 4 hombres y
@Trescientos profesores deben cobrar
terminardichaobraen 18días?
S/.20700, pero algunos de ellos se
A)17 B)18 C)19 0)20 E)21
mueren y el resto tiene que cobrar
S/.207 cada uno. ¿Cuántos se muHallar la suma de las cifiras de:
rieron?
a+b+c.
A)200 B)100 C)150 0)250 E)180
@
~~~
En un trapecio ABCO, se conocen
las longitudes de las bases: BC = 15
Y AO = 27; si T es punto de AO, tal
que al unirlo con "C", resultan dos reA)6 B)8 C)10 0)9 E)12
giones equivalentes. HallarTA.
@Si:-3<a<-2
A)6
B)7 C)8
0)5
E)9
-8<b<-5
~ En la figura BC = 6, ¿cuál es el perí2<c<3
metro del trapecio ABO E?
Hallar el intervalo de."
. ab
c "
A) 23Y31'
~~'<§'
@calcular: E = 4y-3x
Si: 12x-8y=68
15x-12y=63
A) 1 B) 11 C)-11
@
0)4
E)5
Resolver: 24m+35n = 3650
m+n=120
y dar como respuesta n-m
A)10 B)20 C)40 0)50
E)60
@Si:a.b=2a-b
mM=2n-m
Hallar el valor de p en:
(2.p)LI.(2.3)=4
A)3
B)7
C)8
D)5
@
@
@
@
@
@
@
@
@
E)9
Hace 10 años de edad de Milagros y
la edad de Silvia estaban en la relación de 1 a 3: pero, dentro de 5 años,
sus edades serán como 3 a 4. ¿Cuál
es la edad de Milagros?
A)10 B)11 C)12 D)13 E)14
Jorge nació 6 años antes de Juan.
En 1970, la suma de sus edades era
la cuarta parte de la suma de sus
edades, en 1985. ¿En qué año la
suma será el doble de la conrespondiente a 1985?
B)1998
C)2005
A) 2000
D)1999
E) 2001
Un auto demora en total 5h 42' en
viajar de Lima a Huancayo a una rapidez de 80 km/h. Si cada 10 km en
la carretera que une ambas ciudades se desea colocar un banderín.
¿Cuántos banderines se requieren
si debemos colocar 2 banderines al
inicio y uno al final, si se demora un
minuto en colocar un banderln?
A)40 B)41 C)42 D)43 E)44
En el gráfico que se muestra, cuando la rueda "A" gire 20 vueltas,
¿cuantas vueltas dará la rueda "F"?
A)12
36d
,,,~=
B)15
C)18
D)20
E)25
¿Qué hora indican las agujas del
reloj?
A) 1 h 50
:~ mino
B) 1 h 53
:~ mino
C) 1 h 51
:~ mino
D) 1 h 52
:~ mino
E) 1 h 54
:~ mino
ne un equilibrio emocional de 0,2 y @Si:&=3X+2
2,8 de habilidad manual mecánica,
logra en sus exámenes un prome~=6x+11
dio de 16. ¿Qué promedio obtendrá
Calcular:
otro estudiante de talento 7, que dedica 4 horas de estudio diario, de
A) 35 B)37 C)39 D)42 E)48
equilibrio emocional 0,18 y de habilidad manual mecánica 3,2?
@Si 3 gatos cazan 3 ratones en 3 minutos, ¿en cuánto tiempo uno de esos
A) 16,8
B) 14
C) 14,4
gatos cazará un ratón?
D)15
E) 15,6
A)6min.
B)9min.
C)3min.
El cuadrado de la edad de Juan,
D) 1 mino
E) El gato no come ratón
menos 3, es mayor que 97; en cambio, el doble de su edad, más 3, da @Tito nació 10 años después que Pepe
un número menor que 30. ¿Cuánsi dentro de 4 años sus edades sutos años tiene Juan?
marán 48 años, ¿qué edad tiene actualmente Pepe?
A)9 B)10 C)11 D)12 E)13
A) 15años B) 18años C)25años
Veinticuatro carpinteros pensaban
D)16años
E)30años
hacer 100 carpetas en '" dlas, pero
a los 9 dlas 10 de ellos se resfrlan @DOS grifos "A" Y "B" pueden llenar un
por lo que bajaron su rendimiento
estanque en 6 horas. El grifo "A" funen un 30%, terminando las carpetas
cionando solo, puede llenarlo en 15
con 3 días de retraso. Hallar el núhoras. Estando vacío el estanque, se
mero de días en que pensaron terabre el grifo "B". ¿En cuántas horas lo
minar.
llenará?
A)23 B)35 C)37 D)30 E)28
A) 5 horas B) 10 horas C) 15 horas
D)17horas
E)20horas
Se tiene una semicircunferencia y
un triángulo equilátero, ubicados @Si:aESb=a bma
debajo de un mismo nivel, además
aESb= boa
PQ = 2+2-y'3. Calcular el perlmetro
12
@
@
@
2
de la región sombreada.
(~'j& :Ll
O
A)8
D)4v'3
@
@
R
B)4+-y'3
S
Hallar:5ES3
A) 1 B) 125
Un viaje demora 6 horas 40 minutos.
Una persona que emprendió su viaje
exactamente a las 5:36 a.m. se detuvo 20 minutos en el camino para desayunar, ¿a qué hora llegará a su
destino?
A)12:16p.m.
B)11.36a.m.
C) 12: 36 p.m.
D)12:46p.m.
E)12:26p.m.
@
Si de un recipiente lleno de vino se
extrae el 60% de su capacidad, luego se devuelve el 75% de lo que no
sacó, ¿qué tanto por ciento de lo que
se extrajo se devolvió?
A) 20%
B)30%
C)40%
D)50%
E) 60%
@
Un estudiante de talento 4, que dedica 8 horas de estudio al día, que tie-
D)5
E)8
@sea:
L,
X+2 Y;X,y<5
x.y= { -"- ·x y>5
C)4+2v'3
E)2+v'3
Y
"
Hallar: (18.6). (2 .1)
A)12 B)14 C)9 D)16
Los 23 de 6/5 de 3/4 del doble de x
es igual a los 2/5 de X2. Hallarx.
A)3
B)5
C)7 D)8
E)10
E)11
@calcularlasumadeCifraSdel resultado de la siguiente serie:
M = 99+100+121+ .... +693
Una empresa constructora da un
trabajo, por partes iguales, a 2 gruA)16 B)17 C)18 D)19 E)20
pos de 20 hombres cada uno. Al caCalcular la suma de los términos en
bo de 40 horas, el contratista obserla fila 30.
va que el primer equipo ha terminaA) 12500
Fila 1
1
do su laboren tanto que el segundo
sólo ha avanzado los 3/4 de lo suyo.
B)13000
Fila 2
24
Fila 3
369
Para que el trabajo quede termiC)13950
Fila' 4 8 12 16
nado en las próximas 10 horas,
D)11500
i / i
\
¿cuántos obreros del primer equipo
E) 10950
'
,
deben pasar a ayudar a los del segundo?
Si un lado del un triángulo tiene 12 cm
A)2
B)3
C)4
D)5
E)6
de largo y el ángulo opuesto mide 30·
entonces
el diámetro del círculo cirDel dinero que tengo gasto la mitad
cunscrito mide:
de lo que no gasto y luego pierdo el
A) 36 B)24 C)30 D)28 E)20
doble de lo que no pierdo; si sumará lo que gasto y pierdo, obtendrla
Se tienen 6 vasos numerados como
S/.1400. ¿Cuánto más perdí en rese muestra en la figura. Indicar el únilación a lo que gasté?
co vaso que se debe mover para que
B) S/.400
C)S/.300
A) S/.200
estos queden alternados: vaso lIenoD)S/.150
E)S/.600
vasovaclo.
A)4
Definimos:
x y
B)5
x0y= - + _·V x;<cero
y
x"
C)1
Hallar: (102)0 ~
D)2
[j] ~ @] @] @J ~
E)
3
!::::::======::::::!
A)2,9 B)1,5 C)3 D)3,5 E)2
®
3
C)25
®
®
@¿Quénúmerocontinúa?
1;2;7;37;262; ..... .
A) 1666
B)2886
0)1600
A)4(7t-2)
B)7t-2
C)2642
E) 2363
@Calcular:l+3+5+7+ .... +X2
2
X +1J2 B[X-1J2
A
)C[X2-1
) - -J2
[ )22
2
@
@
E)x2
0)(x2+1)2
@
C)47t+2
0)47t-4
E)4(7t+2)
Un profesor observa que haciendo
formar a sus alumnos de modo que
en cada fila haya 4 alumnos, le resulta 132 filas más que si en cada una
entrasen 6. ¿Cuántos alumnos tiene
el colegio?
A) 1340
B)1584
C) 1640
0)1320
E) 1650
Si cada letra representa un dlgito en
la división:
@
®
pp
r
p
@Si:
® =2x+5,
a
E)43
E)49
@
=x+4,
Hallar el valor de: I ~ +®I
A)4
@
B)5
C)7
0)8
marTM su valor máximo.
A)3a
B)a-v2
a
2a
C)2aYa
O)a
M
E)aY3
E)6
Calcular el valorlfmitede:
2
3
4
2
E=W+ 102+ 102+ 102+
2- ....... .
-3
+4
-+
lO' lO. 107
A) 24/111
B)22/111
C)26/111
O) 25/111
E) 21/221
®
~ Si EC mide igual que el radio r, calcular:x.
A) 20°
B)28°
C)W
O) 18°
E) 13°
@
@
@
T
a
@
¡~
pq
Hallar: 2p+3q+5r
A)38 B)30 C)47
A~
M
A) 17°
B) 18°
C)20 0
O) 15°
E) 23°
Si: a c y además: a.c.8c = cee. CalD
C
cularla suma de cifras de: (a+c)·"
A)10 B)1000 C)1024 0)1 E)2 @Si en 1980, 23 de febrero fue día sábado, ¿qué día de la semana fue 23
de febrero en 19977
Formar la ecuación de segundo
grado cuyas ralces sean la suma y
C)sábado
A)jueves
B) viernes
el producto de las rafces de la ecuaO) domingo
E)lunes
ción: 2x2-3x+5 = O
@Si:
_
A)4x 2-16x+15=0
796x999 = ..... abcd
B)4x2-16x-15=0 C)x2+x-l/4=0
O) 2x2-x+l = O
E) 4x2+x+l = O
Hallar: a+c-b-d
A)3 B)2
C)-3
0)4
E)-5
Calcular el perímetro de la región
sombreada.
¿Qué parentesco tiene la hija de su
hermana, con el hermano del hijo de
su hermana mayor?
A) primos
B) hermanos
C) tia-sobrina
O) tia-sobrino
E) hija-padre
1+---12
A) 24
B)47t
C)30
@Si:abc-lxy=cba
0)87t+12
E)30+41t
Además: a+c = 12
Calcular: 2a+3c
Oeterminar la distancia entre los
A)
18 B) 16 C)23 0)32 E)29
centros de las circunferencias, al to-
f~3~
pqq~
r
:~¡
@ABCO es cuadrado, T punto medio
deAO. Hallarla medida del ángulo a
B
@
E
En la figura se muestra un cuadrado.
Entonces, la relación de los perimetros de los rectángulos inscritos Ay B
será:
A) 1: 1
B)I:2
C)2: 1
0)3:2
E)2:3
Un cuadrado y un rectángulo tienen
el mismo perimetro. ¿Cuál de ellos
tiene mayor área?
B) El cuadrado
A) El rectángulo
C) Tienen la misma área
O)Absurdo
E) No se puede precisar
Calcular el área de la región sombreada:
@
®
Hallar PT, T es punto d-,,-tan~ncia,
BC=4cm; CP=9cm;AO=OC
A) 11
B)12
C)13
0)6
E)5
Si el área del triángulo equilátero
ABC es 4V3 cm 2, determine el área
del cuadrado PQRC.
2
A)(8+4Ya)cm
P
2
B)8cm
A
C)4V'3cm 2
0)(8+sv'3) cm2
E)(12+8V'3)cm 2 Q
B R
KJC
@
@
@
Hallarel valorde S:
S = 12+32+52+72+..... +392
A) 10600
B) 10550
C) 10500
0)10660
E) 10060
Si r y s son las rafces de la ecuación
X2 - px+q = O. Entonces (r2+s2) es:
A)pq
B)p-q
C)p-2q
O)p+q
E)2p-q
Una liebre que es perseguida por un
galgo le lleva 60 saltos de ventaja a
éste. El galgo da 5 saltos mientras
que la liebre da 6; 7 saltos del galgo
equivale a 9 saltos de la liebre ¿cuántos saltos más dará la liebre antes de
ser alcanzada por el galgo?
A) 700
B)640
C)750
0)840
E) 600
Hallar el término que falta para que
los siguientes números formen una
sucesión:
1
1
-4'-a'·······S·
1
A) 16
Oetermine el mayor valor de B, tal
B+ll
que al reemplazar en: """B-1' el resultado sea un número entero.
A) 18 B)30 C)22 O) 13 E)21
@
@Juan compra los 2/3 de una pieza de
tela menos 15m. Pedro compra la
cuarta parte de la misma pieza más 4
m. Si resulta que Pedro compré 21 m
de tela menos que Juan. ¿Cuál es la
longitud de la pieza?
A)90m
B)92m
C)94m
0)96m
E)98m
B)-ª-
8
0)0
1
3
4 ' 8
C) --ª8
E)-ª8
@calcular:J(30)
J(I)= lx2+1
J(2)=4-5x3
J(3)=9xl0+6
J(4)= 16-17+10
A) 465
B)564
0)325
@
C)464
E)612
Calcular el número total de palitos
en:
@
11
@
11'-11
11'-11'-11
11'-11'-11'-11
"- "1
A) 450
0)420
@
@
@
'-11'-11
2
19
B)720
Oe las siguientes afirmaciones:
A) 1
B)3
C)4
0)2
E)5
- Ana es más veloz que Pedro
Los dos tercios de un número equiva- OelianoesmásvelozqueAna
a la mitad de su consecutivo más
len
- Es falso que Ana sea más veloz
dos; ¿cuál es el menor?
queArsenio.
A)10 B)12 C)15 0)18 E)9
Podemos concluir como verdadero:
l. OeliaesmásvelozqueArsenio
@Si:4x+3 =2 3x+1
11. Pedro es más veloz que Oelia
111. Arsenio es más veloz que Pedro
B) Sólo 11
C)Sólolll
A) Sólo I
Hallar:x+y
O)lylll
E)lIylll
A)4
B)7
C)5
0)8
E)6
@Si:X+...!.=3
@Si la mamá de Carlos es la hermana
x
1
Calcular:x- . .
gemela de mi hermano gemelo ¿Qué
x
es, respecto a mí, el abuelo del melliA)5Y3
B)3Y3
C)-3V2
zo de Carlos?
0)2V5
E)-3V5
A) mi papá B) mi hijo C) mi hermano
O) mi cunado
E) mi primo
Un vagón lleno de cal pesa 27 tone-
20
C)625
E)610
Un corredor da una vuelta completa
a una pista circular en 40 segundos,
otro corredor recorre la pista, en sentido contrario, y se cruza con el anteriorcada 15 segundos, ¿cuántos segundos emplea el segundo corredor
en dar una vuelta a la pista?
A)30s
B)32s
C)36s
0)24s
E)27s
En la siguiente sucesión:
381,374,367,360, ..... .
A)-9 B)-ll C)-13 0)-15 E)-17
Tú tienes el triple de la mitad de lo
que yo tengo, más 10 soles, pero si
yo tuviera el doble de lo que tengo,
tendría 5 soles más de lo que tienes.
¿Cuánto tenemos entre los dos?
C)S/.75
A)S/.85
B)S/.65
O) S/.60
E) S/.50
[2~~=9Y4
@
@
ladas. Lleno sólo hasta 3/5, pesa
los 7/4 del vagón vaclo. Hallar el
peso de la cal y el peso del vagón
vaclo.
A)7y20
B)14y13
C)10y17
0)18y9
E)15y12
Si recorri 3/7 de un camino, ¿qué
fracción de lo que recorri es el exceso de lo que no recorri sobre lo que
recorrí?
A) 1/2 B) 1/3 C) 1/4 O) 1/5 E) 1/6
@
En una reunión hay 3 hermanos, 3
padres, 3 hijos, 3 tíos, 3 sobrinos y 3
primos. ¿Cuál es el número mínimo
de personas reunidas?
A)15 B)10 C)12 0)6
E)14
@¿QUé parentesco me une a Pedro, si
mi papá es cuñado de su papá?
A) es mi sobrino
B)soysutío
C) somos hermanos
O) somos primos
E) no somos parientes
@
Calcular el perimetro de la región @Si la razón de la suma, con la diferensombreada, si r=Y2
cia de 2 números enteros positivos,
es 5/3. ¿Cuál es el número mayor si
Calcular 9.
A)Y2[4(V3+1
)+31tlll~
B
su producto es 64?
B)
(3+21t}V21l
A) la'
A)8
B) 16 C)32 0)8
E)64
C)[31t+4(1+Y311l
r
r
r
B)30'
0)(2+31t}V21l
r
C)45'
~ Si ")(" pertenece al conjunto de los núE) [21t+(4Y3+211l
0)37'
meros reales, calcular el menor valor
que puede asumir en la siguiente
AL_o--Ml-.....~C @Resolver:
E) 53'
ecuación:
El perlmetro del cuadrado es 24 cm.
{2X-5Y= 15
2 ('x4-3x 3 _1 = 20
Hallar el perimetro de la región som3x+2y = 13
x
A){5, 2)
B){3, -1)
C){-l,2}
breada, si las curvas son cuadrantes
A) 9/2 B)8 C)-4
0)4 E)-8
E){5,3}
A) 6(1t+2) cm
0){5,-1}
Se tiene 10 aros de 2N metros de lonB) 67t cm
Resolver el sistema e indicar el vagitud, ¿cuántos cortes, como máximo
C)(51t+24)cm
lorde"x": 1
1
1
deberá hacerse a todos los aros para
obtener pedazos de
metros de
-x-+-z-=-40)(31t+12)cm
longitud?
E)(1t+2) cm
A
D
1
1
1
-+-=A)9/2 B)40 C)45 0)50 E)55
X
Y
2
En un determinado mes existen 5
Un señor quiso dar limosna a un gru1
1
1
viernes, 5 sábados y 5 domingos,
-+-=po de ancianos, si les daba 5 soles a
Y z 6
¿cuántos días trae dicho mes?
cada uno, le faltarla 30 soles, si les
A)28 B)30 C)31 0)29 E)28ó29
A) 15/7
B)24/7
C)7/9
daba 3 soles a cada uno, le sobrarla
E) 15/9
O) 19/9
70 soles, ¿con cuánto de dinero con@Efectuar:
taba esa persona?
(O,532-O,06xO,53+0,0009)2
Se tiene una varilla de fierro de n
A) S/.200
B) S/.220
C)S/.250
longitud.
¿Cuántos
centímetros
de
A) 0,0025
B)O,125
C)O,625
0)S/.280
E) S/.31 O
cortes deberíamos hacer para obO) 0,25
E) 0,0625
tener pedazos de m centímetros
@A un albañil le preguntaron cuántos
En la figura mostrada, hallar la m ~
cada uno?
m-n
hombres tenía su cuadrilla y él resA) (n-m)n
B) J1...
C) pondió: "Los hombres no son mum
n
OAC.SiAO= ~C ;BE=EO
chos, tres cuartos de los que somos,
D) n-m
E) n+m
A) 37'
más tres de los hombres, es toda mi
m
m
gente". ¿Cuántos hombres tiene el
B)45'
~
. a!(x-a)! _
albanil.
C)60'
Oado. c.I(b-)I
c. - b l. ,a, b, " O
A)10 B)20 C)15 0)24 E)16
0)30'
Evaluar: x + 1>. +.c:. , sabiendo que
E) 53'
Si ")(" es rojo, "y" será verde; si "y" no
b
x a
M
es verde, "z" será azul, pero "7" nunca
se verifica para un sólo valor de x.
@
@
B
[]C
H
@
@
@
@
@
@
e
-ª'- .
@
será azul, mientras "x" sea rojo. Por
lo tanto:
A) si "z" es azul, y será verde
B) si"~ no es rojo, no es necesario
que"z" sea azul.
C) si y no es verde, "~ no puede
ser rojo.
O) si "x" no es rojo, "y" será verde
E) si y es verde, "x" será rojo
@
A)5
@
~ ¿Qué parentesco tiene Juan con la
hija de la esposa del único vástago
desumadre?
C)esposa
A) lía
B) sobrina
O) hija
E) cunada
~ Se tiene 8 vasos diferentes, 5 de los
cuales deben ser llenados con vino y
los 3 restantes con chicha ¿Oe cuántas maneras diferentes se puede
realizar el llenado?
A)8 B)28 C)38 0)15 E)56
Si el anteayer del mafiana del pasado mafiana de mafiana es viemes,
¿qué dla fue ayer?
A) lunes B) martes C) miércoles
O)jueves
E) viernes
®
~ Hay dos vasos,
Supóngase que tenemos un cubo
de un metro de arista, seccionado
en cubitos de un milimetro de arista.
Calcule qué longitud se obtendría sí
colocásemos todos los cubitos en
linea recta.
B) 103 m
C) 10'cm
A) 103 km
0)10"km
E) 10"cm
uno con leche y el
otro con agua. Ambos poseen la
misma cantidad. Cogemos una cucharadita con leche del primer vaso,
la echamos en el segundo y agita- @sedefineenffi:
mos. Entonces cogemos, del segunx={ x; s.i x;, O
do vaso, una cucharadita de mezcla
-X;SIX<O
y la ponemos en el primero. ¿Habrá
Hallar: abc ; siendo: c < O< a < b
más agua en la leche que leche en el
A)abc
B)1
C)2abc
agua, o más leche en el agua que
O)-abc
E)-ab
agua en la leche?
A) más leche en el agua
@sedefineenffi:
B) más agua en la leche
a·b=2ab+5
C)iguales
Uno de los enunciados siguientes
O) no hay leche
E) no hay agua
es verdadero:
A)2.0=1.1
Si se sabe que: m < -1 Yn > O, entonB)2.1 .. 1.2
ces la expresión: (m.n+n.m')5es:
C)(1.2).0 = (0 02)01
A) positiva
B) negativa C) cero
O)Si: (2*x)*-1 =-2gentoncesx.1 =
0)32
E) 16
11.
@oadalaexpresión:
E)Si: (x.1)02 = 10 entonces x = O
A=2x2 -8x+13;XE ffi
Hallar el mlnimovalordeAytambién ~ Supongamos que los términos de
lugar 27, 28 Y 29 de la sucesión de
el valor respectivo de "x".
®
®
@
@
@
@
En una división inexacta el cociente
residuo, 25. Si la suma de
los 4 términos es 756, el dividendo
es:
B)525
C)625
A) 408
0)438
E) 675
es 6 y el
¿Cuántos puntos de intersección,
como máximo, pueden darse entre 6
circunferencias?
A)20
B)25
C)30
0)32
E)40
Tres hermanos, Raúl, Lalo y Alfredo,
ejercen diferentes profesiones: uno
es contador, el otro, médico y el otro,
profesor; cada uno de ellos tiene un
hijo que no desea seguir la carrera
de su padre sino la carrera de uno de
sus lIos, además no quieren ser colegas. Sabiendo que el profesor es
Raúl y que el hijo de Lalo quiere ser
médico, ¿quién espera tener un hijo
profesor?
A)Alfredo
B) Lalo
C)Raúl
O) faltan datos
E)ninguno
C)9
0)12
E)11
Un reloj se encuentra atrasado 1 h 40
min, si empieza a adelantarse a razón de 3 min por hora, ¿después de
cuánto tiempo este reloj marcará la
hora correcta?
A) 33 días, 8 horas
B) 37 días, 1 hora
C) 10días, 2 horas
O) 20 días, 4 horas
E) 32 días, 7 horas
En 1988, Roberto se dio cuenta que
las horas transcurridas del año excedían en 500 horas a las horas que faltaban transcurrir. Indicar la fecha y la
hora en que Roberto hizo dicha observación.
A) 11 junio, 10 am B) 10 junio, 9 am
C) 12julio,10am
0)11agosto,10am E)11julio,10am
Cuando me preguntaron por la hora
yo respondl: " Los 3/5 de lo que falta
para terminar el dla es igual al tiempo
ya transcurrido". ¿A qué hora me refiero?
A)8:30am B)8:15am C)8:45am
0)9:00am
E)10:00am
¿A qué hora, los 2/3 de lo que queda
del día es igual al tiempo transcurrido?
A)7,5h
B)9h
C)9,6h
0)6,7h
E)7,6h
¿Qué hora es, si quedan tres veces
las dos terceras partes de lo transcurrido de un dla?
A)6:00am B)7:00am C)8:00am
0)9:00am
E)10:00am
Fibonacci sean "a", "b" Y "e· respec-
A)A ml,=5; parax=4
B)A ml,=3; parax=2
C)Aml,=5; parax=O
0)Aml,=5; parax=2
E)Aml'= 13; parax=O
®
@
B)7
@
tivamente. Oetermine "b" en térmi- @son más de las 2:00 pm y falta para
las 5:00 pm. ¿Qué hora es, si el tiemnos de "au y "e".
po transcurrido, desde las 2:00 pm
A) "V'axc+1
B)"V'axc-1 C)a+c
hasta hace 10 minutos, es 1/6 del
O)a-c
E)"V'axc
tiempo que faltará transcurrir, dentro
de 30 minutos hasta las 5:00 pm?
Una persona nació en el año 19aa;
3:30 pm B) 2:20 pm C) 2:30 pm
A)
yen el año 19bb cumplió (4a+5b)
O)
4:20 pm
E) 2:00 pm
años. Si la edad de Yael es igual al
producto de las cifras terminales de
los 2 años mencionados, ¿cuántos
afios tendría Yael dentro de a+b
afios?
A)10 B)12 C)17 0)18 E)20
@
®
@
Un obrero trabaja 30 días, al principio
se le paga S/.9 diarios y después
S/.12 diarios; al cabo de cuántos días
de iniciado el trabajo se le aumentó el
jornal, si por los 30 días se le pagó
S/.345.
B)8días
C)9días
A) 5 días
O) 10días
E)12días
En una caja hay cierta cantidad de
sapitos, que no llegan a 40 ni bajan
de 30; si cada uno de ellos mira a 36
sapitos, ¿cuántos sapitos hay en la
caja?
A)31 B)35 C)32 0)37 E)38
~ Se tiene un número impar, al cual se
Un estudiante tiene tiempo para jugar ruleta cinco veces a lo sumo. El
estudiante empieza con un sol;
apuesta siempre un sol y si gana
recoge su apuesta y recibe un sol;
además dejará de jugar si antes de
la quinta vez pierde todo su dinero o
si gana tres soles. ¿Oe cuántas maneras diferentes se puede realizar
dicho juego?
@
le suma los dos números pares que le
siguen y el par de números impares
que le preceden, obteniendo 223.
Hallar el menor de los números y dar
como respuesta el producto de sus
cifras.
A)4
B)6 C) 12 O) 15
E)9
Un hombre, nacido en la primera mitad del siglo XIX, tenía "~ años en el
año "x"'. ¿En qué año nació? Oar como respuesta la suma de cifras.
A)15 B)20 C)13 0)17 E)16
~ La suma de las edades de Ana, Betty y Karla es 37 anos; al acercarse
Ka~a, Ana le dice: "Cuando tú naciste yo tenia 5 años, pero cuando Betty
tenia un año, tú tenias 5 años". Calcular la suma de edades de Ana y
Ka~a dentro de 6 años.
A)20 B)38 C)41 D)35 E)29
@
~I tiene la edad que ella tenia cuando él tenía la tercera parte de la edad
que ella tiene; si ella tiene cinco años
más de los que él tiene, ¿cuál es la
edad de ella?
A)9 B)12 C)16 D)10 E)15
~ Yo tengo el triple de la edad que tú
@
@
recciones opuestas, siendo la rapidez de uno de ellos 4 mis. ¿Cuál es
la rapidez del otro si se emplean 12
segundos en separarse 40 metros
por segunda vez?
A)5m1s
B)16m1s
C) 14m/s
D)22 mis
E)13m/s
tenias cuando yo tenia el triple de la
edad que tuviste cuando tuve yo la
novena parte de la edad que tengo
ahora. Si nuestras edades suman 72
años, ¿cuántos años tengo?
A)36 B)27 C)25 D)32 E)29
@
@
Un padre comenta: "Mi hija es ahora
dos veces menor que yo; pero, hace
5 anos, era tres veces menor';
¿cuántos anos tiene mi hija?
A) 15años B)20años C)25años
D)12años
E)18años
Veinte obreros hacen una obra en 15
dlas. ¿Cuántos obreros se necesitarlan para hacer una obra, que es el
doble de la anterior y tiene una dificultad 2 veces más que la primera, si
se cuenta con 25 días y los obreros
van a ser el cuádruple de eficientes
que los primeros?
A) 12 B) 15 C) 18 D)21 E)24
@
@
@
B)-l
C)l
®
2
6
A) 127/72
D) 129/64
@
E)-2
B)2
C)3
D)4
E)5
Cinco personas rinden un examen:
- B tiene un punto más que C
- E tiene dos puntos menos que C
- C tiene un punto más que D
- B tiene dos puntos menos queA
- C tiene el minimo aprobatorio
¿Quienes aprobaron?
B)ADC
C)BAC
A)ADB
E)DAE
D)CED
C) 129/72
E) 127/56
~=8x-21
®
Se define: [K] = ax+b
Además:
®
,--ª--! ...... , es
12 20
B) 129/56
Calcular: A = ( [gJ+ @]+ [J)2
A) 16 B)36 C)81 D) 121 E)225
@
@
i
¿En qué porcentaje, respecto del
E) 20
D).!!I.
precio fijado, se debe aumentar el
20
21
costo de un articulo para fijar su precio de tal manera que, aún haciendo @Hallarx,siaesaf3comolesa4.
un descuento del 35% del precio fijaA) 230'
130'
do, se gane e130% del costo?
B) 215'
_--"'-~--,i'-+
A) 70%
B)50%
C)130%
C)210'
D)65%
E) 30%
D) 190'
E) 220'
Se define: [K] = ax+b
Además:
®
Se define: 1x+ll = x 2 -x
Hallar el valor de "n" en: 3n-211 = 342
El oclavotérmino de la sucesión:
_1_ ,~,1I
@
D)2
Una persona en auto viaja de A a B
con una velocidad de 40 km/h; y para regresar lo hace a 60 km/h. Si en
ida y vuelta ha empleado 15 horas,
hallarladislanciadeAa B.
A)240km B)400km C)420km
D)360km
E) 540 km
A)l
@Si: [X] =n<o>n,;x<n+l;nez,xeR
[-2,6]+[3,4]+[12,5]
Hallar: E = [-1,7]+[3,2]+[5,1]
A)O
Se define la operación matemática
ble. Dar como respuesta dicha suma
máxima.
representada por ~ de la siguiente
manera:
A) 26
a~b = y"(a--c_b")'(acc+b")('acc+b')+""("'-b)
B)25
Siendo: a> O, b>O
C)24
Afirmamos:
D)23
l. La operación ~ no posee eleE)22
mento neutro.
@Si escribimos desde la unidad, la su11. Va>O,a ~a=a
cesión de los números naturales,
111. 3 ~(-3)=0
¿cuántos términos habrá que escribir
A) Todas
B)Sólol C)Sólolyll
como mlnimo para contabilizar un toC)Sóloll
E) Sólo 111
tal de 333 cifras 7?
A)1175
B)1176
C) 1174
Dos autos, separados por 200 meD)1167
E)1177
tros, parten simultáneamente en di-
[El] = 4x+9
Calcular: A= (rn+ [Q]+ []+ [gJ)
A) 256
B)196
C)225
D)l44
E)169
@
Maria es mayor que Sara, Ana es
menor que Sara pero mayor que
Nataly, y Nataly es menor que Vanesa. ¿Cuál de las 5 es menor?
C)Ana
A) Maria
B) Sara
D) Nataly
E) Vanessa
En los círculos de este triángulo coloque las nueve cifras significativas
en forma tal que la suma de cada lado del triángulo sea la máxima posi-
@
®
Luis y Ca~os tienen diferentes ocupaciones y viven en distritos diferentes. Se sabe que el vendedor visita a
su amigo en Lince; Ca~os viven en
Brena; uno de ellos es doctor; luego,
es cierto que:
A) el doclorvive en Breña
B) Ca~os no es vendedor
C) el que vive en Lince es vendedor
D) Luis es doctor
E) Ca~os vive en Lima
Están en una sala de sesiones un ingeniero, un contador, un abogado y
un médico. Los nombres pero no en
el mismo orden, son: Pedro, Diego,
Juan y Luis. Se sabe que:
- Pedro y el contador no se llevan
muy bien.
- Juan se lleva muy bien con el médico.
- Diego es pariente del abogado y
éste es amigo de Luis.
- El ingeniero es muy amigo de Luis
y del médico.
¿Quién es el contador?
A) Pedro
B) Diego
C)Juan
D) Luis
E) Falta información
Manuel es mayor que Pedro y Ca~os
es menor que Óscar, pero éste y Manuel tienen la misma edad; además,
Carlos es menor que Pedro.
Respecto a lo anterior, de las siguientes afirmaciones, son correctas:
l. ManuelesmenorqueCa~os
11. Manuel es mayor que Carlos
111. Pedro es menor que Óscar
IV. Pedro es mayor que Óscar
A)I,IV B)III C)II D)IV E)lIylll
Karln es hija de Paola y Paola es hija
de Andrés, el cual es el esposo de
Carmln. Entonces podemos decir
que Karin es ..... de Carmín.
A) sobrina
B) hija
C)nieta
D)hermana
E) prima
La senorita Maria, al mirar el retrato
de un hombre, le dijo a su padre, que
es hijo único: "La madre de ese hombre era la suegra de mi madre".
¿Qué parentesco hay entre la señorita Maria y el hombre del cuadro?
C) prima
A) hija
B) esposa
D) novia
E) hermana
@
@
Si f(x+l) = f(x)+3x-2 y feO) = 1, hallar:
f(3).
A)-l
8)-2 C)4
D)-4
E)-l
3
4
E)5"x
padre tiene 44 años de edad y
tiene 3 hijos: uno de 16 años, otro
de 14 años y el tercero de 12 años.
¿Hace cuántos años, la edad del
padre fue el doble de la suma de las
edades de sus hijos?
8) Hace 6 años
A) Hace 1Oaños
D) Hace 12 años
E) Hace 8 años
E) Hace 5 años
I
@
Sabemos que el volumen de un cilindro:
-~
V=,.r2 h
@
Si el radio aumenta en un 10% Y la
altura disminuye el 10%, ¿en qué
tanto por ciento el volumen aumenta
o disminuye?
A)Aumenta 10%
8) Disminuye 8,9%
C)Aumenta 10%
D) Disminuye 8%
E)Aumenta 8,9%
@
@
El menor de tres números consecutivos es igual a 4/5 del mayor. ¿Qué
tanto por ciento menos es el número
intermedio respecto del mayor?
8) 10/9% menos
A) 90% menos
C) 9/1 0% menos
D)10%menos
E) 20% menos
El numerador de una fracción es excedidoo en 12 unidades por el denominador. Si el primero aumentase en
8, la fracción seria 1/5. Hallar la fracción original.
A)-7/5 8)-5/7 C)7/5 D)517 E)8/5
@
@
@
@
")('.
número de dlas ..... ración (provisiones, etc.)
calor...... alegria
lado del cuadrado ....... superficie
curvatura ..... radio
A) DDDD
8) rrr
C)lxDI
D)xxxD
E) Ixxl
@
@
25% del costo. ¿Qué porcentaje de
precio de costo se hubiera ganado si
el precio de venta hubiese sido un
20% más?
A) 50%
8)50,3%
C)53%
D)66%
E) 52%
@
Dos caños pueden llenar un depósito
en 27 horas, después de estar abiertos durante 12 horas se cierra uno y
el otro llena lo que falta en 20 horas.
¿En cuánto tiempo llenará todo el depósito el de menos caudal?
A) 3 -} dlas 8) 2 ~ dlas C) 3 dlas
Se vende el 33,3% de una cesta de
E)5dias
D)4 ~ dias
huevos. Si se quiebran 3 y quedan
todavla 5/8 de la cesta, ¿cuántos
@se tiene dos recipientes A y 8. Amhuevos habla en la cesta?
bos están llenos y en total contienen
A)48 8)72 C)96 D)45 E)24
110 t. Si deAseextrae el 50% yde 8
se extrae el 33;3%, resulta que en A
Para fijar el precio de venta de un
quedan 20 t más que en 8. Hallar la
articulo se aumentó su costo en
capacidad de Ay 8.
30%. Al venderse se hizo un descuento del 10% del precio fijado.
A)70y40
8)60y50
C)80y30
¿Qué tanto por ciento del costo se
D)100yl0
E)90y20
ganó?
Se tiene 3 tipos de alcohol de 30', 40'
A) 12%
8)15%
C)17%
Y 60'. Se utilizaron del primero, del
D)20%
E)25%
segundo y del tercero, alcoholes que
están en la relación de 2, 3 Y 4 resJuanito rebaja en 20% el precio de
pectivamente, obteniéndose 42 litros
un articulo. ¿Qué tanto por ciento
de alcohol puro. Calcular cuántos lidel nuevo precio debe aumentar
tros de alcohol de 40' se utilizó.
para volver al precio inicial?
A)10L
8)12L
C)15L
A) 10%
8)20%
C)25%
D)16L
E)30L
D)15%
E)30%
Un articulo se vende en S/.270, ga- @Si: IX+ll =x2-x;x>0
nando el 35% del costo. ¿Acómo se
Calcular "a" en: 112a~11 =20
debió vender el mismo articulo para
A)2
8)3
C)5
D)8
E)13
ganar el 20% de su nuevo pre-cio
de venta?
@Si de una mezcla alcohólica se lograA) 200
8)135
C)280
ra sacar los 3/4 del H2 O Y la tercera
E) 250
D)500
parte del alcohol, el porcentaje de pureza de la mezcla sobrante seria 80%
El área de una superficie esférica
¿Cuál es el porcentaje de pureza de
disminuye en 36%. ¿En qué porla mezcla inicial?
centaje varia el volumen?
A) 40%
8)60%
C)75%
A)Aumenta 50%
D)50%
E) 72%
8) Disminuye 48%
C)Aumenta48,8%
@Si:a ob=a+b-9
D) Disminuye 48,8%
y además "a-1" es el elemento inverso
E) Disminuye 49,8%
de "a". Calcular: E = 8-1 03-1
A)4 8)16 C)10 D)12 E)15
Si por 400 soles me dieran 25%
más de las naranjas que ahora me
dan, entonces al comprar 20 naranjas ahorraria el 20% de lo que deberia pagar. ¿Qué porcentaje del precio inicial es el nuevo precio?
8)80%
C)70%
A) 90%
D)75%
E)95%
Tres números son entre si como 3, 5
Y 8. Si la suma del 20% del menor y
25% del mayor es 52, hallar el 30%
del término intermedio.
A)20 8)35 C)25 D)30 E)40
~ En un cierto planeta, un dla completo dura 30 horas y sus relojes tienen
15 divisiones y no 12 como en la Tierra. Es de noche en aquel planeta y
un habitante observa que su reloj
marca las 10 horas. ¿Qué hora es en
la Tierra en esos instantes?
En la academia ADUNI, se sabe
que el 40% del número de hombres
es igual al 50% del número de mujeres. ¿Qué tanto por ciento del total son mujeres?
8)50%
A) 45%
C)33,3%
E)44,4%
D)40%
@!j) En la venta de un articulo se ganó el
@
~ Si
Ud. encuentra que la pareja de
magnitudes son directamente proporcionales, marque con una "D"; si
son inversamente proporcionales.
con una "1"; en otros casos, marque
ciento es dicha ganancia, respecto
del costo original?
A) 15%
8) 18%
C)12%
D)8%
E) 20%
C)6horas
E) 8 horas
~ Un
Un articulo costó ")(' soles y se desea vender ganando 1/4 del costo.
¿Qué precio debe fijarse para tal fin,
sabiendo que se hará un descuento
de 1/4 del precio fijado?
542
A)3 x
8)3 x
C)3 x
D)5"x
@
A)2horas 8)4horas
D) 1Ohoras
@
Se hace un aumento del 80% sobre
el precio de costo de un articulo. Si
luego de hacer dos descuentos
sucesivos del 20% y 25% hay una
cierta ganancia, ¿qué tanto por
@
@
Si a los términos de 3/7 le aumentamos 2 números que suman 500, resulta una fracción equivalente a la
original. ¿Cuáles son los números?
A) 100y40 8) 150 Y350 C)200y300
D)130y370
E) 250y250
El perimetro del cuadrado es 24 cm.
Hallarel área de la
~
región sombreada.
A)2,. 8)3,.
C)4,. D)5,. E)6,.
'Í9?' Si: a.b.c =
\!!!.JI
@
(bAc)Va
(cVb)Aa
Además:
aAb=b'-a
aVb=2ab-a
Hallar el valor de:
E = [2.(-2).(3)]
A)-3
B)-2 C)3
@
@
D)-1
E)-2
El área de un triángulo es S si se prolonga los lados en un mismo sentido
y una longitud igual a la del lado prolongado. Hallar el área del triángulo
que se fonma al unir los extremos de
dichas prolongaciones.
A)3S
B)4S
C)5S
D)6S
E)7S
Se muestra una mesa de billar. desde el punto R se lanza una bola que
toca sucesivamente en M. A. F Y finalmente toca con otra bola en O.
Entonces OM mide:
O~M T
A)4U3
B)U3
C)U4
@
@
AL
D)2U3
y
R
~ 2L----I
E)5U4
1®
<í!!9l ¿Cuánto debe valer x. para que el
área del triángulo ABE
del trapecio BCDE?
A) 1/3
A x B
B)5/2
q2
D)1
E) 8/3
@
@
2
LJ
E
4
e
2
@
o
En un salón de clases los 7/12 de los
alumnos son hombres. Si la diferencia entre hombres y mujeres es "P".
hallar cuántos alumnos hay en el
salón.
P = 0.3+(1.3+1.4+1.5+ ..... +1,7+1.8)
A)20 B)40 C)60 E)80 E) 100
@
Hallar el ángulo que forman las agujas del reloj a las 9 h 20 min 20 s.
A) 159·
B) 158..!!".
6
D) 158·.1.".
6
@
se la mitad
C) 159 ..!!".
6
E) 160..!!".
6
@
¿Qué ángulo fonman las agujas de
un reloj a las 2 h (n) min .• si el minutero ya pasó al horario?
A>[ 110;11n J
@
1O~-9nJ
E>[120;11nJ
Doce obreros pueden hacer una
obra en 29 días. después de 8 días
de trabajo se retiran 5 obreros. ¿Con
cuántos dias de retraso se entragarálaobra?
A)11 B)14 C)16 D)13 E)15
Si a una fracción propia la convertimos en fracción impropia y sumamos estas fracciones. resultarla el
producto de estas dos fracciones
más el resultado de la suma del numerador al cubo y el denominador
al cubo de esta fracción. Hallar el
producto de la suma de los términos
de la fracción y el producto de éstos
mismos.
A) 1/7 B) 1/2 C) 1/3 D) 1/4 E) 1/5
Hallar "b". en:
3"'=95-'
A)6
B)4
C)-2
@
@
A)3
@
@
@
@
D)8
E)7
Un automóvil. para recorrer un espacIo de 120 km. emplea un galón
menos al utilizar gasolina de 95 octanos y no la de 84 octanos. ¿Cuántos galones de 84 octanos usaría
para el recorrido. si se sabe que la
de 95 octanos rinde 10 km más por
galón. que la de 84?
A)3
B)4 C)4.5 D)5
E)6
®
B)4
C)-3
D)2
E)2
Hallar la altura de un pozo de agua si
cada día baja su nivel a 3m por debajo de su mitad. sabiendo que estaba
lIenoyen4diasquedóvacio.
A) 203 m
B)106m
C)90m
D)180m
E)60m
En un corral. la relación entre el número de pollos y el número de gallinas es como 3 es a 5. Si se mueren
1/3 del número de aves. del cual 2/3
son pollos y el resto gallinas. ¿cuál
sería la nueva relación entre los números de pollos y gallinas?
A) 19/29
B)29/19
C)13/21
D)3/13
E) 17/12
Indicar el exponente de n" • en la siguiente expresión: E = n"
A)1
B)O
C)n'
D)2
E)n'
Un campanario indica la hora que es
con igual número de campanadas; si
para indicar que son las 6 horas demora tantos segundos como horas
está señalando. ¿cuántos segundos
empleará. en total. para indicarlas 12
primeras horas de un día?
A) 79.2 s
B)96.3s
C)78.2s
D)36.8s
E)84.3s
Cuando son las 9:37 amo un reloj empieza a adelantarse a razón de 6 min
cada 4 horas. ¿Qué hora marcará
dentro de 12 horas?
A)10:12pm B)9:48pm C)9:54pm
D) 9:55 pm
E) 10:01 pm
Hallar la cantidad que se debe disminuir a los ténminos de una fracción a/b para obtener su cuadrado.
A)2a(a+b) B)ab/(a+b) C)2ab(a-b)
D)(a+b)/(a-b)
E)a/(a-b)
~ Un reloj se atrasa 3 minutos cada ho-
De un recipiente lleno de vino se extrae los 2/3 de su contenido y se
reemplaza con agua: de la nueva
mezcla se extrae 1/4 y se reemplaza con agua; por último. de la nueva
mezcla se extrae los 3/7 y se vuelve
a reemplazar con agua. Si al final
quedó 11 litros de vino. ¿cuál es la
capacidad del recipiente?
A)87 B)77 q67 D)90 E)97
®
En la figura dividida. en partes iguales. ¿qué tanto por ciento menos es
el área de la región no sombreada
respecto de la región sombreada?
A)
10%
B)20%
C)13;3%
D)28.5%
E) 33.3%
B>[ 11n;110J
c>[11n;120J
D>[
Imaginemos un recipiente que contiene leche pura. café y H, O en la
relación de 3. 4 Y 5 respectivamente. Se extrae de la mezcla 2/5. 1/3.
5/7 Y 5/12 de lo que iba quedando.
resultando el volumen final de leche
pura igual a 2 litros. Hallar el volumen inicial de café puro.
A)20t
B)24t
C)36t
D)40t
E)44t
Calcular m-n sabiendo que:
J11x13x15x17x ..... )~= ....... mn
¿Qué hora marca el reloj de la figura.
si eo -ao = 3,75°?
A)4:37.5min.
B)4:39min.
C)4:37min.
D)4:36min.
E)4:38min.
i
i
e;
9
8
3
in
5
7·
~ Un reloj que tiene 30 hora~ gira una
sola vez al día. en torno a su eje.
¿Qué ángulo formarán las
manecillas de dicho reloj cuando en
un reloj nor-mal sean las 12 del día?
A) 180·
B)135·
C)45·
D)270·
E) 300·
~
Si la razón de la suma con la diferencia de 2 números enteros positivos es 5/3. ¿cuál es el número mayor si su producto es 84?
A)4 B)32 C)8 D) 16 E)64
70fa~
ra. Si a las 8:00 am marcó la hora correcta por última vez. ¿qué hora marcará cuando sean las 8:00 am del dia
siguiente?
A) 6:40 pm B) 6:56 pm C) 6:02 pm
D)6:00pm
E)6:48pm
8
¿Qué hora indican las agujas del reloj?
A) 1 h 42 mino
11 12 1
B) 1 h[42
I~J mino
~ J mino
D)1 h[441~J mino
C) 1 h[44
E) 1 h[43
~J mino
3
6
8
8
8
8
8
¿Aqué hora una persona de 2m proyecta una sombra de 2m en una mañana soleada?
A)9:00am B) 10:00am C) 11:00am
O) 10:30am
E) 10:11 am
Un reloj se adelanta 2 minutos en 3
horas. ¿A qué hora empezó a adelantarse, si a las 10 horas 20 minutos
de la noche marca 10 horas 32 minutos?
A)4:20pm B)4:20am C)6:20pm
O) 6:20 am
E)5:30pm
Un reloj, que señala la hora correcta
el domingo al medio día, se adelanta
3 minutos en 1 hora, ¿qué hora será
el martes cuando el reloj señale las 9
y 45 minutos de la noche?
A)7:00pm B)8:00pm C)8:30pm
0)7:30pm
E)7:45pm
¿Aqué hora, entre la una y las dos, el
minutero adelanta a la marca de los
dos tantos grados como minutos
está marcando?
A) 1 h 10 mino
B) 1 h 12 mino
C)1 h15min.
0)1h30min.
E)2h12min.
Según el gráfico, ¿qué hora es?
A) 6:36
12
1
9
8
1
A) 120'
O) 240'
8
®
8
1~
B)90'
E)9h 37min. 20s
8
8
min?
C)160'
E) 180'
Si un reloj marca después de sincronizar, luego de 41 horas de trabajo,
las 9:27 pm siendo la hora real las
11 :30 pm. ¿Qué hora marcará un reloj que se comienza a adelantar 2
minutos cada hora justo en el momento en que el primer reloj marcaba las 2:48 pm?
A)11 h44min.
B)11 h40min.
C) 11 h 30 mino
0)11 h29min.
E)11 h41 mino
El hijo varón de una familia comenta:
"Tengo una vez más el número de
hermanos que de hermanas". Su
hermana contesta: "El número de
mis hermanos es dos veces más que
el de mis hermanas". El total de hijos
dela familia es:
A)10 B)11 C)13 0)16 E)12
Un reloj se atrasa 2 mínutos cada 45
minutos. Si a las 7:45 pm marcó la
4
7
6
2
5
¿Qué ángulo forman las agujas del
reloj a las 7:08 y 5:35, respectivamente?
A) 166' y40,5'
B) 160' y42,5'
C) 166'y42,5'
O) 154'y42,5'
E) 145'y38'
¿Qué ángulo menor forman las
agujas del reloj, cuando el tiempo
transcunrido es igual a la mitad de lo
que falta para terminar el día?
B)60'
C)100'
A) 90'
0)130'
E) 120'
Una persona, al ver la hora, confundió las manecillas y vio las 4 h 47
mino ¿Qué hora era realmente?
A)9h24min.
B)9h25min.
C)9h23min.
0)9h21 mino
E)9h20min.
@
@
¿Cuántos triángulos se cuentan,
como máximo, en la siguiente figura?
A) 64
B)40
C)60
0)80
E)75
8
@
B~C
A
D
Hallar el área de la región sombreada
siendo ABC triángulo equilátero de
lado 4m, M y N son puntos medios de
los ladosAB y BC, respectivamente.
A)4V3-"
B)8-"
C) 16V3-3"
0)V3-7t
~::~~:~:~:30S 9
8~. . . . . . 43@
Hallar el ángulo que forman las agujas del reloj a las 9:20 amo
A) 160'
B)158'
C)158'20'
0)160'10'
E)158'10'
un reloj a las 12h 32
@
5
i
B) 9h 36m in. 30s 10
@
¿Qué ángulo forman las agujas de
3
~ ¿Qué hora marca el reloj? 12
A)9h37min.
~11
1
2
8
........... ...........
C)12h351Tmln.
¡
0)12h38min.
8
2u¡
10.
7
E)12h351Tmln.
6
0)6:363"
8
. 9
En la figura mostrada ABCO es un
cuadrado de lado L. Hallar el área de
la región sombreada.
A)L2/3
B) L2/2
C)L2/4
0)L2/5
E)2L2/3
1
3
E) 6:38
@
¿Qué hora es, según la siguiente
gráfica?
12
A)12h36min.@11'al
1 . 10
~
2
B)12h36"2 m1n.
,
8
1
B)6:363"
C)6: 37 ""i1
hora correcta por última vez, ¿qué
hora marcará cuando sean las 8:30
am del dla siguiente?
A)7:56am B)8:10am C)8:14am
0)7:45am
E)8:15am
§
E)4V3- 2"
3
Una fábrica despide a sus trabajadores cada semana y a razón constante
Sabiendo que la cuarta semana fueron despedidos 45 obreros y la novena semana 70 obreros; ¿cuántos fueron, en total, los obreros que quedaron sin trabajo, si la última semana se
despidió a 100 obreros?
A) 950
B) 1150
C) 1125
0)875
E) 975
Oos clases de vino están mezclados
en 3 recipientes. En el primero, en la
razón de 1: 1, en el segundo, en la razón de 1:2 y en el tercero, en la razón
de 1:3. Si se saca el mismo volumen
de todos los recipientes para formar
una mezcla donde haya 39 litros de la
primera calidad; ¿cuántos litros de la
segunda calidad se han extraído del
segundo recipiente?
A)18 B)27 C)24 0)69 E)12
Rosa compra 7 camisas por S/.180 y
vende 6 por S/.200; si las 96 camisas
que le quedan representan su ganancia. ¿Cuántas camisas compr6?
A) 420
B)350
C)480
0)460
E) 560
En una granja, por cada gallina hay 3
pavos y por cada pavo hay cuatro patos. Si en total se han contado 160
patas. ¿Cuántos pavos hay?
A)20 B)12 C)15 0)18 E)24
Calcular el número de cuadriláteros
en:
@con los alumnos de un aula se formó
A) 886
un cuadrado compacto y sobraron 9
B)888
alumnos; para que se forme un cuaC)900
drado compacto sin que sobre nin0)625
gún alumno tendrían que haber 18
E) 552
alumnos más. ¿Cuántos alumnos como mlnimo hayen el aula?
En la figura mostrada M y N son
A)16
B)18 C)19 0)17 E)20
puntos medios además AF = FE =
EC. Entonces hallar el área de la re@CUandOaYOlandase le pregunta por
gión sombreada, si el área del triánla edad de su perrita Pelusita ella res2
guloABC es 90 cm
B
ponde: "Hace 20 meses tenía las 2/3
A)10m 2
partes de los meses que tendrá denB) 15m2
tro de 10 meses". ¿Hace cuántos meC)20m 2
ses Pelusita tenía la mitad de los meses que tendrá dentro de 20 meses?
0)25m 2
A) 20 B)25 C)30 0)35 E)40
E)29m 2 A
e
@
8
corre 1600 km, utilizando, además,
sus 6 llantas de repuesto. ¿Cuál
es el recorrido promedio de cada
llanta?
A) 1000km B) 1100km C) 1200km
E) 1500km
D)1400km
La edad de "X' es 4/3 de la edad que
tenía y, cuando·X' tenía la mitad de
la edad que tiene y ahora; si la suma de sus edades actuales es 52
años, hallar la edad de "y•.
A)24 B)26 C)28 D)30 E)18
@
De un depósito lleno de agua se extrae 1/6 de lo que no se extrae. ¿Qué
fracción del resto se debe volver a
sacar para que quede sólo los 3/5 de
su capacidad inicial?
1
3
A)a
B)lO
C)~
5
Un reloj marca la hora que es con @Hallarxen:
igual número de campanadas; si paD)~
log(x+1)5x+log5+logx = log50x
E)
7
7
ra indicar que son las 6:00 am emA) 1/25
B) 1/5
C) 1/2
pleó 6 segundos, ¿cuánto demorará
D»)4
E) 1/6
De un recipiente que está lleno, saco
en indicar las 1Oam?
1/4 de lo que no saco. Luego se exA)11s
B)10s
C) 10,8s @Si:Logv. 16=4
trae 2/3 de lo que no se extrae. Si toD) 10,4s
E)9,6s
davra quedan 24 litros, hallar la capaEvaluar: log x2x
cidad del recipiente.
A) 3/4
B)4/3
C)1/2
Si Yael tuviese 27 años menos, el
E) N.A.
A)25L
B)30L
C)60L
D)1/4
tiempo que hubiese permanecido
D)50L
E)40L
durmiendo serra la quinta parte del
Señale el máximo n que cumple:
tiempo que hubiese permanecido
Una tela al lavarse se encoge en 1/4
122
n
5039
despierto, si es que tuviese 27 años
de
su largo y los 2/5 de su anchura.
21-31+31+·····+
(n+1)!';
5040
más, Si, en el transcurso de su vida,
¿Qué fracción del área inicial de la
duerme un promedio de 8 horas diaA) 1 B)O
C)6 D)5
E)-5
tela, es la nueva área?
rias; determine la edad que tuvo
A) 3/1 O
B) 1/2
C)8/27
Yael, hace 25 años.
Halle el máximo Kde modo que:
D)4/5
E) 9/20
A)30 B)32 C)35 D)38 E)25
.c2::ca,--2_+3=o(~b=2+~c2,--,-) > K
~ De un recipiente lleno de vino, exav3bc
Manuel tiene 40 años; su edad es el
traemos 1/3 de lo que no extraemos.
doble de la edad que tenía Juan,
A) 1 B)2
C)4
D)-5 E)+
Luego, de lo que queda, sacamos 2/5
cuando Manuel tenía la tercera perte
de lo que no sacamos. Si al final quede la edad que tiene Juan. ¿Qué
Una persona ha ahorrado este mes
da 45 I de vino en el recipiente, ¿qué
edad tenra Juan cuando Manuel
S/.178 y tiene con éstos S/.141 O en
cantidad de vino se ha extraído en
nació?
la caja de ahorros, habiendo econototal?
mizado cada mes S/.12 más que el
A)5
B)4
C)6
D)12
E)8
A)39L
B)26L
C)18L
anterior. ¿Cuánto ahorró el primer
D)20L
E) 15L
Al fundir el oro se pierde 20% de su
mes?
peso. Si un orfebre vende oro fundiB)S/.13
C)S/.8
A)S/.12
@Si el 3 por 5 del7 por 4 de un número
do a 46 dólares el gramo, ganando
E)S/.15
D)S/.10
es 42, halle el 5 por 8 de dicho núel 15% sobre el precio de costo. ¿A
mero.
qué precio ha comprado el oro sin
Resolver:
A)1
B)4
C)5
D)25
E)18
fundir?
log(x+1 )+log(2x-1) = logx
B) 36 dólares
A) 32 dólares
B)V2
C)Y3
A)-./2J4
~sabemOSqUe:
C) 40 dólares
n veces
D)-./2J2
E)
3V2
D) 42 dólares
E)45 dólares
--ª-
®
@
@
@!l>
@
@
8
@
8
@
@
8
@
8
En una canasta hay entre 50 y 60
huevos. Si los cuento, tomándolos
de 3 en 3, me sobran 2; pero si los
cuento, tomándolos de 5 en 5, me
sobran 4. ¿Cuántos huevos hay en
la canasta?
A)56 B)59 C)57 D)55 E)82
¿Para qué valores enteros de a, menores que 3, la inecuación cuadrática en x siempre se verifica?
x 2 -2x+a>0
A)1y2
B)-1
C)O,1,2
D)2
E) No existe
El campanario de una iglesia demora 10 segundos en tocar 5 campanadas. ¿Cuántas campanadas tocará
en "20 X' segundos?
A)8x
B)8x-1
C) 7x-1
D)8x+1
E)10x+1
Un reloj demora (m+1) segundos
en tocar m 2 campanadas. ¿Cuántas
campanadas tocará en 1 segundo?
A)m
B)m2 -1
C)m
D) m2 +1
E) m-1
Un trailer, que normalmente utiliza
sus 18 llantas para movilizarse, re-
8
~
El área de la región sombreada,
¿qué parte representa respecto del
área de la región no sombreada?
(ABCD es un cuadrado).
A) 8/9
B)2/5
C)3/5
D)7/8
E) 3/8
@
8
8
'~.
e
D
¿Qué fracción representa los 3/5 de
15/7 respecto de los 8/3 de 9/16?
C)8/5
A) 6/7
B)7/6
D)5/8
E) 9/20
Si la fracción 999/777 aumenta en
15/37 de su valor y conserva el mismo denominador, entonces ¿cuál
es el nuevo numerador? (Darcomo
respuesta la suma de cifras).
A)15 B)9 C)10 D)12 E)8
9+8+7+6+6+6+ ......... = 186
S=1+3+5+7+9 ............+n
A) 196
B)169
D)144
®
C)200
E)441
Un recipiente está lleno de vino, primero se extrae 1/e del contenido y se
reemplaza con agua. Luego se extrae 1/3 de la mezcla y se reemplaza
con vino. Después se extrae 1/4 de
la nueva mezcla y se reemplaza con
agua. Al final, ¿qué fracción del recipiente quedó con vino?
A)1/3 B)1/5 C)1/4 D)1/2 E)2/3
~caICUlars:
1
1
1
1
S = 10x7 + 14x9 + 18x11 + 22x13 +...
'--'--------'-"V"
,..1
100 sumandos
A) 3/65
3
D)62"
B) 2/41
C) 1/62
1
E)101
De un recipiente que contiene agua
sólo hasta 2/3 de su capacidad, se @calCUlarel resultado de:
extrae 16 litros y ahora queda 2/9
S = 5+6+7+9+9+12+11+15+ ..... .
de su capacidad. Hallar la capaci'""
v
100 sumandos
dad del recipiente.
A) 6425
B)6675
C)6825
A)20L
B)28L
C)36L
D)6375
E) 6925
D)48L
E)32L
8
8
8
Se suelta una pelota desde cierta altura y en cada rebote pierde 1/4 de la
altura desde la cual cae. si el espacio
recorrido en total por la pelota hasta
detenerse es 70m. hallar desde que
altura se dejó caer la pelota.
A)14m
B)15m
C)10m
0)12m
E)7m
@
Calcular el número de cuadrados en:
mm
rá en cruzar una estación de 160 metros de longitud?
A) 12s
B)20s
C)15s
0)18s
E)22s
Hallar: E = [(d.a· ' )-'.b-' ]·'
Nota: n; elemento inverso de n
A)a
B)b
C)c
O)d
E)1
8
Yamilet puede tejer una chompa en
6 h Y 30 minutos. Si empezó a las
10:37 am y a las 11 :55 de la manana fue reemplazada por Jazmrn.
¿qué parte le faltaba aún hacer a
Yamilet al momento de retirarse?
A) 1/5 B)4/9 C)4/5 0)213 E) 1/7
@
Calcular S (dar como respuesta la suma de cifras)
10 cifras
,----A----..
S = 3+33+333+ ......... +33 ..... 33
A)25 B)30 C)35 0)32 E)28
@Unapelotacaedeunaalturade 18 m
y en cada rebote alcanza una altura
igual a la tercera parte de la altura anterior. Calcular la distancia total recorrida por la pelota hasta que. teóricaA)28 B)46 C)56 0)60 E)64
mente. quede en reposo.
CalcularS:
B)28m
C)32m
A) 24 m
~ ¿Quién es. respecto a mr. el primo
S = 42(1 )+41 (2)+40(3)+39(4)+ ..... .
0)36m
E)42m
del hijo de la única hermana de mi
.... + 2(41 )+1 (42)
Luego de resolver:
madre?
B) 13244
C) 12852
A) 19800
+51 +31 =2x+5
1IIIx-21+41
A)
yo
mismo
B)milío
O) 11520
E) 14240
C) mi sobrino
Indicar el mínimo valor entero que veO) mi primo
E) mi hermana
¿Cuántos pentágonos. como máxirifica la igualdad dada.
mo. hayen la siguiente figura?
A)4
B)5
C)-2
0)-3
E)3
2
Se define en ffi : a.b = a-ab+b
A)9
Hallar: 6.5
En la demostración:
B)10
A)4
B)3
C)2
O) 1 E)O
1. x=y
C) 11
2. x 2=xy
0)7
Se define: a.b = 2(b.a)+a-b
3. x2_y2 = xy_y2
E)8
4. (x+y)(x-y) = y(x-y)
r15 0 12j-3
Calcular:A= l - 3 - j
5. x+y=y
¿Cuántos triángulos hay en la si6. 2y=y
guientefigura?
A) 1 B)8 C)27 0)64 E)-1
7. 2=1
A) 50
La conclusión es absurda. ¿En qué
B)74
Alberto compra un libro. al revisarlo
paso se ha cometido el error?
C)82
se da cuenta que en las últimas 23
A)5
B)3
C)2
0)6
E)7
0)68
páginas se emplearon la misma
E)70
cantidad de tipos de imprenta (drgi2 2
tos) que se empleó en las primeras @Si:aYbEffi/a +b =1
En una caja hay 5 pares de medias
Hallar el mínimo valor de k que verifi48 páginas. ¿Cuántas páginas tieazules y 8 pares de medias negras.
ca:la+bl';;k
neellibro?
¿Cuántas medias como mrnimo se
A)2 B)V3 C) 1 0)Y2 E)3
A) 948
B)999
C)1002
deberán extraer para que entre las
0)1010
E)1017
medidas extrardas se encuentren:
Oaniel tiene en un cajón 7 cassettes
iguales de Mozart. 4 iguales de Beea. Un par de medias del mismo color ~ O~ la fig~ra mostrada. Calcularx. si
!hoven.8 iguales de Bach y 5 iguales
b. Un par de medias utilizable
CBA-BCA=20·;AB=AO.
de Wagner. Saca uno por uno y al
A)I;3
B)I;1
C)3;3
A)3r
A
azar.
¿Cuántos tendrá que sacar co0)11;17
E)9;15
mo mlnimo para obtener. a lo seguro.
B)20'
C)10'
2 cassettes de Mozart y 2 cassettes
Un comerciante compra el dra de
0)30'
hoy 21 caja de tomates y ordena que
de Bach?
E)45'
e
B
D
cada dla que transcurra se compre
A) 18 B) 19 C)20 0)21 E)22
una caja más que el dla anterior.
¿Qué
número
sigue
en
la
siguiente
¿Cuántas cajas compró en total. si
@Siendo N = 220 x3 3O• ¿cuántas cifras
sucesión?
el penúltimo día. se compraron 39
enteras tiene N?
1;2;3;4;29; ....... .
cajas?
(log2 = 0.3010; log3= 0,4771)
A) 58
B)30
C)126
B)500
A) 620
C)600
A) 20 B) 19 C)21 0)25 E)50
0)136
E) 146
0)624
E)610
En la figura mostrada ABCO es un
Sea la progresión aritmética creEl número abcd es un cuadrado percuadrado de área 16 m. Calcular el
ciente: _
_
_
fecto. además cd y ab; en ese orden
perímetro de la región sombreada.
,1ba,1ab, ......... , ab1"
son números consecutivos crecien(P:
punto de tangencia).
v
tes. Calculara+b+c+d.
18términos
A)15 B)17 C)21 0)19 E)18
Calcular la suma de sus 10 prime¿Cuántos términos que terminan
en 5. se pueden contar con la siguiente sucesión?
5.12.19.26 •.......• 348
A)5 B)7 C)11
0)9 E)15
@
@
\JYV
@
@
@
8
@
8
@
8
~
@
8
8
8
@
ros términos.
A) 6235
B)2185
0)2504
Se define en A = {a. b. c. d) la siguiente operación:
• b dca
a
b
b
c
d
d
c
a
dca
c d b
a b c
b a d
@
C)3543
E) 3564
Un tren tardó 6 segundos en pasar
por un semáforo y 24 segundos en
atravesar un túnel de 240 metros de
longitud; ¿cuántos segundos tarda-
I5I
A
D
A) ,,(v'5+1 )+4(4-v'5)
B) 3,,+4
C) 5,,4
0)16
E) 4,,+ v'5+ 1
@HallarelvalordeA:
A)4
n términos
r
A~_ _ _~"
1x3+3x3 2+5x3 3 +7x3 4+....
+n
A(n-l).3"+1+3
A)n
D)n-l
8
@
B)2n
C)n+l
E)3n"
En una urna se tienen (2n+3) bolas
azules; (4+n) bolas rojas; (2+5n) bolas amarillas y (7n+l) bolas verdes.
¿Cuántas bolas como minimo se deben extraer al azar para tener la certeza de obtener n bolas del mismo
color en 2 de los colores? (n ;, 2)
A)10n
B)6n+2
C)14n
D) 10n-l
E) lln+l
@Si se lanzan 3 monedas y 2 dados, al
observar los resultados obtenidos;
~ En la figura: A, B Y C son puntos de
¿cuál es la probabilidad de que apatangencia. HallarAC.
rezcan 3 caras y dos números impares?
A)~ r
A
B
C) 1/4
A) 1/32
B) 1/8
E) 1/36
D)2/31
~
E)
8
@
B)xe [-v'i4;-Y14j
D)¡P¡ E)xe<6;8>
Un rebaño come una cantidad de
pasto en 30 dlas. Se agrega 4 animales y comen la misma cantidad de
pasto en 20 dias. ¿En qué tiempo,
sumándose 2 animales a la cantidad
inicial, comen la misma cantidad de
pasto?
A)18 B)20 C)22 D)24 E)25
En la demostración:
1. x.O=x.O+O
2. x.O=x.O+[x+(-x)]
3. x.O = [x.O+x]+(-x)
4. x.O = [x.O+x.l]+(-x)
5. x.O=x[O+I]+(-x)
6. x.O=x.l+-x
7. x.O=O
Deliberadamente se omitió un paso
que corresponde a la propiedad:
A) Distributiva
B) Del inverso aditivo
C) Del neutro aditivo
D) Del neutro multiplicativo
E) Del inverso multiplicativo
Calcular el perimetro de la región
sombreada:
AP=PB y r=2Y3cm
71t~ cm
B) 6Y3+Y31t cm
D) 5Y3+1t cm
@
r
R
@
r
tienen que hacer un
trabajo en n días. Luego de 4 días
de iniciada la obra, 2 obreros se retiran, originando un atraso de 3 dlas
Hallarn.
A)20 B)35 C)15 D)19 E)16
@
v'2x+4 _v'x+3 2: O
@
@
C) 31t cm
E) 6Y3+1t cm
Si la razón de la suma con la diferencia de 2 números enteros pOSitivos
es 5/3, ¿cuál es el número mayor si
su producto es 64?
Dada la siguiente tabla:
o
a b c d e
e
a
b
c
d
a
b
c
d
e
b
c
d
e
a
c
d
e
a
b
d
e
a
b
c
Calcular"x"en:
(aob)o(cod) = xo(doe)
A)a
B)b
C)C
D)d
®
@
@
Tres caballos A, B Y C intervienen
en una carrera. A tiene doble probabilidad de ganar que B y B doble
probabilidad de ganar que C. ¿Cuál
es la probabilidad de que gane C?
B)2/7
C)4/7
A) 1/7
D)3/7
E) 6/7
a
b
c
d
e
@
E)e
La suma de un número más los 3/4
del mismo es igual a 21 unidades,
más la mitad de aquella suma.
¿Cuál es la tercera parte de dicho
número?
A)6 B)24 C)8 D) 12 E) 16
@
Hallar la suma de términos en la fila
20.
F,
F2
1
1 5
F3
F.
1 5 9
1 5 9 13
@
, , ,
! ! !
A)710
D)810
®
B)690
C)780
E)610
El precio de un articulo se rebaja en
1/e de 1/5 de su valor. ¿En qué fracción hay que aumentar este nuevo
precio para volverlo a su valor original?
A) 10/9
B)I/9
C) l/lO
D)2/25
E)2/11
2
3
4
1
3
1
2
4
4
2
1
3
4
1
4
3
2
a- 1 : elemento inverso de a
Indicar las afirmaciones verdaderas:
l. La tabla es conmutativa
11. El elemento neutro es 4
111. 2-1 =4
IV. (203)o(xol) =3entoncesx=4
A) Sólo I
B) Sólo 11
C) Sólo IV
D)lIylll
E)lylV
Luego de resolver:
Indicar el menor valor entero que
verifica.
C)-1
D)4
E)8
A) 1 B)O
Dada la siguiente tabla:
o
1 2 3
1
2
3
4
R+r
~ Diez obreros
~""'::...J...--4-----'B
A) 6Y3-6+
E)64
Yx+3 -v'X+1
Luego de resolver:
v'14-x2>x-15
C)xe<4;+<Xl>
8
2R~
K=1
A)~
D) 16
B)v'::~ ~c
Indicar el menor valor que lo verifica:
A)O
B)-2
C)-1
D)4
E)6
8
C)8
C) R-r
D) R+r
Luego de resolver:
41'1-+"C~"'·-x-K->-_x4-_x-2-_-1
B)32
@
El sistema Random de un equipo de
sonido consiste en que la máquina
selecciona aleatoriamente un disco
compacto (C.D.) cualquiera y de éste
reproduce, al azar, uno de sus temas.
El equipo contiene 4 C.D. de Chopin
con 5 temas diferentes cada uno; 10
C.D. de Mozart con 9 temas distintos
cada uno; 7 C.D. de Tchaikovsky con
4 temas distintos cada uno. ¿Cuántos temas tendrá que reproducir, como mlnimo, para tener la seguridad
de que entre ellos se haya escuchado 3 temas de cada compositor?
B)10
C)12
A)118
D)119
E)121
Dentro de n años mi edad será la nesima parte de la edad que tendré
dentro de 13 n años. ¿Cuántos años
tendré dentro de 2n años si en este
año ya celebré mi cumpleaños?
Observación: considere n = 4
A)24 B)30 C)26 D)28 E)20
El perímetro de un trapecio es 24 u, si
los lados no paralelos miden 4u y 6u y
las bases están en relación de 1 a 3,
la recta paralela a las bases que divide al trapecio en dos trapecios de
igual perímetro dividirá a los lados no
paralelos en segmentos proporcionalesa:
A) 1/3
B)3/5
C) 17/3
D)4/3
E) 17/4
Se tiene en una urna 8 bolas rojas y 4
bolas blancas, se saca una bola y se
reemplaza por dos bolas del mismo
color, luego se saca otra bola. Hallar
la probabilidad de que en la primera y
en la segunda extracción las bolas
sean del mismo color.
A) 2/39
B)4/39
C)5/39
E) 16/39
D)22/39
Dany recibe de propina: el primer día
de junio, una cierta cantidad y cada
día se le va duplicando la suma que
recibe diariamente hasta que, en to-
tal. acumuló 3069 soles. ¿En qué fecha recibió la última propina?
A) 10junio B) 11 junio C) 12junio
D)13junio
E)15junio
8
@
La probabilidad de que Magaly compre una blusa es 0,3 y de que compre una falda es 0,5. Hallar la probabilidad de que compre sólo una de
dichas prendas, si la probabilidad de
que no compre ninguna es 0,5.
A) 0,1
B) 0,2
C) 0,3
D)O,4
E)O,5
A)
t
5 X
: + 2;Jcm
24
C/
+ 74XJ cm
45
l)
597<
D)-cm
7
S
381t
E) - + 24J
- cm
A
@
C)
@
®
@
Y3
t
2
D)
B) ;
-ª-2 tV2
E) 23 tY3
vt
B) 3(1 0+Y3) m
@
A)~
B)(6Y3+7x) cm
E) (6Y3+51t) cm
En la figura AB y AD son diámetros, @Si: 2'=8'" y 9"=3'"
AB = 6 cm y AD = 8 cm. Calcular el
Entonces el valor de (a+b) es:
perímetro de la región sombreada.
A)24 B)6 C)27 D)30 E)21
:~:
@Si:
A
rlx~ + ~3 - -"-3 x] (x+3+a)
= --'---------+ --ª-J + -ª'[ -1+ ~
9
3x
9
C)
5
D)~
@
-ª-5
E)~
3
7
El hijo del hijo de la hermana de mi
padrees mi .........
A) sobrino
B) primo
C) tio
D)hermano
E)hermanastro
@carmen compro 30 televisores a SI.
1050 cada uno. Víctima de un hurto
tuvo que vender cada televisor que le
quedó con un aumento de tantas veces S/.42 como televisores le
robaron con lo cual ya no tuvo
ganancia ni perdida. ¿Cuántos
televisores se lIe-varon los amigos de
lo ajeno?
@A)7
B)8
C)9
D)6
E)5
Jazmín invita a sus amigas al cine. Si
entran todas a mezanine le van a faltar x soles, pues cada entrada vale y
soles; pero si entran a platea le van a
sobrar m soles, pues cada entrada
vale n soles. ¿A cuántas amigas invitó Jazmin?
m-y+x
m+x-y+n
8
A)(5Y3+ 7x) cm
C)(4Y3+51t) cm
D) (5Y3+61t) cm
E)y=x2 +3x+2
B)~
3
B)(1+Y3)l'
Al revisar un libro se observó que
habían arrancado cierto número de
hojas, motivo por el cual faltaban
las páginas 122, 123, 124, 125,
177,178,179,222,224,226,227,
228,229. ¿Cuántas hojas se arranearon?
A)9 B)10 C)11 D)12 E)8
B)Y=X3 -3x2
2{3-2 [x- X;1 J-x}= x+1
o
E) ('13+21t)l'
Dieciocho obreros de un mismo rendimiento se comprometen hacer una @Si:X+y+z=O
obra en 24 dras, pero cuando han
Calcular: (X+y)3 +(X+Z)3 +(Y+Z)3
hecho la 3ra. parte de la obra, 12 de
xyz
ellos abandonan. ¿Que rendimiento,
con respecto a los primeros, deben
A) 1 B)-1
C)2
D)3 E)-3
tener los 10 nuevos obreros que se
contratarán para terminar la obra en ~ Calcular: E = 2x-y x, y E F!
Si:2X +2.3""=56
el plazo establecido?
3.2x +3x+y+1 = 87
y> x
A) 50% más
B)20% más
A)-1
B)1
C)O
D)2
E)3
C)120%más
D)80%más
E)40%más
En la siguiente sucesión:
Si la medida de los radios de las cir5,3,5,19,97, .......... ..
cunferencias de la figura son 9 cm y
Hallar el término que continúa y dar
3 cm, determinar el perrmetro de la
como respuesta la cifra de las deregión sombreada.
cenas.
A)1
B)7
C)3
D)4
E)8
La expresión que indica la relación
existente entre x e y, según los valores de la tabla adjunta, es:
@Resolver:
Si en la semicircunferencia de centro =; tt = 30· YAB = 1u. El perimetro
de la región sombreada es:
A)(1 +Y3+x) l'
C)(1+x) l'
D) ('I3+x) l'
C)81
E)a+81
Dada la expresión:
P(x) = X2 +xy+zx+yz
Calcular E =Y"'PC--(y'O::).P~(~z)~.P"'(O~)
A)2yz
B)y+z
C)xy
D)2yz(x+z)
E)2yz(y+z)
A)y=2x-4
C)y=x2-4x
D)y=x2-3x+2
E) 12Y3 m
A~'
¿Cuál es la probabilidad de que, al
lanzar 3 veces una moneda, se obtenga como minimo dos caras?
A) 1/3
B) 1/2
C) 1/4
D)7/8
E) 118
8
@
5
D
A)6(5+Y3) m
C)6(5+2Y3)m
D)30m
~
9
lasJ
=t).
A) ; tV2+
@
t
B)80
D)82
5
El lado del cuadrado ABCD mide 6
m y el triángulo AED es equilátero.
Determinar el perímetro de la región sombreada. (Considerar x = 3)
Hallar el perímetro del cuadrilátero
ABCD de la figura, (un cuadrado
dividido en 16 partes iguales de lado
D
A) 1
B) 53x cm
A) m+x-y
x+n-x
~
@
B)
n
C)
~
y
y-n
m+y-x-n
~n
En la figura:ABCD es un cuadrado de
400 m 2 de área; hallar el perlmetro
del cuadradomenors ~ e
A) 40 m
B)64m
C)48m
D) 76,32 m
A
D
@E)56m
IFl
Se define, en : f(x 3 +x) = 4
Calcular: E = 2f(x2)+f(30)
A)x+5
B)12
C) x+1
E)2x'+30
@D)8
v
Se define:
tos, mientras que Enmanuel con los
2/5 de su eficiencia hace la misma
obra en "n° horas. Si yo soy dos veces y media menos rápido que Enmanuel, hallar "n".
B)43
C)37/15
A) 13/12
D)21
E) 35175
Resolver: [ x;1 ] = 7-x, y calcular:
[:;]
A) 1
@
@
@
B)O
C)2
D)-3
E)4
La municipalidad ha ordenado que
los taxis sean amarillos y que las
placas tengan 6 caracteres (3 letras
seguidas de 3 números). ¿Cuántas
placas diferentes se podrán formar
con esta condición? (Considerar 26
letras del alfabeto).
A) 2600 B)26 3 xl02 C)263 xl0 3
E)26 2xl03
D)260
B)35
@Si:xy=n y
C)28
@
D)25
E)21
B)mn 2+-v'4 3 n2
E)n(mn+2)
S
@Si:a,be;Z+
Además: va+Yb = 3
E = (a+b_2Y8b)(2Va+3v"6)1'"
A)O
D)1998
@
:2 + ;2 =m
Hallar: (X+y)2
A)mn+n
C)m(n 2+n)
D)mn+2n 2
@
En un edificio de quince pisos,
¿cuántas veces más alejado del
primer piso se encuentra una persona que vive en el sexto piso respectto a otra persona que habita en
el tercero?
A)l,5 B)2,5 C)3 D)3,5 E)2
Compré, en un ambulante, 12 m 60
cm de una cierta tela, a razón de
$ 65 el metro. Cuando corté la pieza
para confeccionar vestidos, me di
cuenta que el metro empleado por
el ambulante fue defectuoso y sólo
medía 96 cm; ¿cuánto perdí en dichacompra?
B)$30
C)$31
A) $ 32,76
D)$31,50
E)$32
Completar la siguiente operación y
dar como respuesta la suma de ci- @Si:2'=4 b
fras del cociente.
Hallar la suma de los valores naturales de a y b, menores que 10, que
********1**·
cumplan la igualdad expresada.
****
***7.
A)3
B)30
C)másde30
••••
D)9
E)18
A)33
8
8
Calcular cuántos gramos tiene un
diamante que vale 392000 soles, si
uno de 4 kilates cuesta 128000 soles
yel precio es proporcional al cuadrado de su peso. (Considere 1 kilate
igual a 0,2 g)
A)l,2g
B)2,5g
C)1,4g
D)3,5g
E)2g
•••
•••
•••
""""""""
••••
8
@
B) 1
A) 25/216
D) 1/6
8
@
@
@
Se tiene una división entera donde
el dividendo es aaa, el divisor es
(a+l)(a-l), el cociente es 9 y el residuo, a4. Hallar el residuo.
A)3
B)5
C)6
D)7
E)4
B)25/72
C) 1/36
E) 1/216
En la proforma de un pedido, la cuenta asciende a S/.5000 y un comerciante puede escoger entre 3 descuentos sucesivos de 5%, 8% Y 10%
o tres descuentos sucesivos de 10%,
10% Y 40%. ¿Cuánto ahorrará si escoge la mejor opción?
A) 1575
B)1557
C)3575
D)1755
E) 2430
En una reunión, los 2/3 del total son
solteros, mientras que los 3/5 de los
hombres son casados. ¿Cuál es el
número total de asistentes, si las mujeres solteras exceden a las casadas
en 30, siendo estas últimas una cantidad mínima?
A)60 B)63 C)67 D)65 E)69
Las monedas de 1, 2 Y5 centavos pesan 8,20 y 30 gramos. Si tenemos
198 centavos repartidos entre 54 monedas que pesan 1328 gramos.
¿Cuántas monedas hay de cada tipo
si por cada moneda de 2 centavos
hay 2 de 5 centavos?
A)12,32,8
B)6,16,32
C)14,20,30
D)6,18,30
E)8,14,32
En el I!.. ABC mostrado, calcular la
medidadeAM .
A)3
B
B)7
C)4
D)10
E) 12v'2
En m segundos un reloj toca n campanadas. ¿Cuántas campanadas @se tiene una solución que contiene
120 litros, esta solución está comtocará en 1 s?
puesta por agua y alcohol, al 20% de
A) n2
B) n+2
C) n-l
agua. ¿Qué cantidad de alcohol dem+l
m
berá agregarse para que el agua reD) n+l
E) n+m-l
presente sólo e15% de la solución?
m
m
A)120L
B)180
C)240L
¿Cuál es la suma de todos los núD)360L
E)300L
meros pares menores que 100, pero no múltiplos de 5?
y (X;;) =216
A) 1125
B)2000
C)1315
Entonces:
D)2215
E) 1725
{t6x es igual a:
A)-?'36 B)6 C)-6 D)2/6 E)36
En la vrspera de una batalla, los
efectivos de dos ejércitos eran, enDos grifosAy B, pueden llenar un estre sr, como 5 es a 6; el primero pertanque en 6 horas. El grifo A funciodió 14000 hombres y el segundo,
nando solo puede llenarlo en 15 ho6000; la relación es entonces de 2 a
ras. Estando vaclo el estanque, se
3; ¿de cuántos hombres estaba forabre el grifo B, ¿en cuántas horas lo
mado el ejército menos numeroso?
llenará?
A) 50000
B)60000
C)4500
A)5h B)6h C)7h D)9h E)10h
D) 3500
E) 30000
ªSi:(X+Y)~=2
C)350
E)-l
Si:ab= 1 hallarelvalornuméricode:
2
2
E = a~ b +1 +b~ a +1
2
2
a +1
b +1
a y b son positivos
A)l
B)-2
C)1/2
D)2
@
@
E)O
En una urna se tiene sólo 8 bolitas
rojas y 12 bolitas blancas. Si las bolitas blancas aumentan en 25% y las
bolitas rojas disminuyen en 25%,
¿en qué tánto por ciento varra el número total de bolitas?
A) aumentó en 5%
C)novaría
B) disminuyó en 5%
D) aumenta en 10%
E) disminuyó en 10%
Con la tercera parte de mi eficiencia
hago una obra en 9 horas y 6 minu-
8
@
Si debo pagar 2050 nuevos soles, @AlvenderunacasaganandOeI30%
del precio de costo, se gana S/.6000
con 28 billetes de 50 y 100 nuevos
más que si venden ganando el 20%
soles, ¿cuántos billetes de 50 nuedel precio de venta. ¿A cómo debe
vos soles debo emplear?
venderse dicha casa para ganar el
A)15
B)18
C)20
30% del precio de costo más el 20%
D)21
E)10
del precio de venta?
B) 195000
A) 195500
Se lanzan 3 dados. Hallar la probaC)180000
bilidad de obtener exactamente un
D) 234000
E) 183200
seis.
8
Rocio compró cierto número de cuA) 441 00
B)37900
C)62500
yes y la mitad de dicho número en
D)41100
E) 3790
parejas de loros. Pagó los cuyes a
S/.200 cada uno y S/.100 por cada @sabiendOqUea>b>OYC"'O,indicar cuál de las siguientes expresioloro. Para su venta al público recarnes no es siempre verdadera:
gó el precio de compra en 10%.
Cuando le quedaban sólo 7 animalia
b
A) ac2 > be'
B)
tos por vender, se percató que habia
2
2
recibido por los ya vendidos exactaC) a +c >1
mente lo mismo que habia pagado
b2 +C2
a
b
por todos ellos inicialmente. Su gaD) c(b-a)+1 <1
E)b+,,>2
@
C2">C2"
@
nancia estaría, entonces, en la venta
de los 7 animalitos restantes, ¿cuál
será dicha ganancia?
A) 1200
B)1500
C) 1420
D)1520
E) 1320
@
8
@
"Una ciudad Aa la cual el tiempo dobla en edad. Mil millones de años
que tenra la ciudad dos quintos,
exactamente, de los que el tiempo
tendrá cuando hayan transcurrido
mil millones de años más". ¿Sabria
usted decirme cual es la edad actual
de la ciudad A?
A) 7 mil millones de años
B) 14 mil millones de años
C)21 millones de años
D) 7 millones de años
E) 14 millones de años
números.
A)81 B)64 C)121 D)256 E)100
El mn% del nm% del 64% de 62500
es 4032. Calcular: m-n, considere
m>n.
A)5
B)4
C)3
D)2
Se tiene dos recipientes con mezclas de alcohol yagua. En el primero
haya litros de alcohol y b litros de
agua. En el segundo hay b litros de
alcohol ya litros de agua. Si se intercambian b litros del primero y a litros del segundo, simultáneamente,
¿cuántos litros de alcohol hay ahora
en el primerrecipiente?
A) a
B) a.b
a+b
Una temera pesa 171 kg, más los 2/3
de los 5/7 de
1~
de su peso ¿Cuán-
to pesa la cabeza de la ternera si es
los
2~
En el siguiente triángulo, el ángulo
a es obtuso. ¿Será posible des-
@
de su peso total?
A)213 B)210 C)55 D)88 E)44
@calcular:
S= 1x1 +2x4+3x9+4x16+ ... +20x400
En la figura mostrada el sentido del
engranaje N° 15 es horario ¿Cuántos
de los otros engranajes se mueven
en sentido contrario al antepenúltimo
engranaje?
n+b
m-n
Una compañia de cadetes formada
~ Cuanto tú naciste yo tenra la tercera
en cuadrado de 20 m de lado trota
parte de la edad que tengo ahora.
en Irnea recta a velocidad constante
¿Cuál será tu edad cuando yo tenga
(ver figura). Pluto, la mascota de la
el doble de la edad que tienes, si en
compañia, corre a partir del punto M
ese entonces nuestras edades sucon velocidad constante alrededor
marán 56 años?
del cuadrado, manteniéndose tan
A)
12 B) 15 C)20 D)22 E)24
próximo a los cadetes como le es
posible (suponga que corre el peri@carmen, cada vez que entra a una
metro del cuadrado mientras éste
tienda, gasta 1/4 de lo que no gasta.
está en movimiento). Cuando el peCierto d ra Carmen entró en 3 tiendas
rro llega al punto M, la formación ha
en forma consecutiva. Si al salir de la
avanzado 20 m. ¿Qué distancia ha
tercera tienda aún le quedaba S/.64,
recorrido el perro?
¿cuánto dinero tenra al principio?
A) S/.1 00
B)S/.125
C)S/.140
D)S/.150
E)S/.200
C) b
E) a 2 +b
a+b
D) a(a-b)
a+b
@
E) 1
®
componerlo en triángulos acutángulos más pequeños? La respuesta
es afirmativa y la cantidad mlnima
en que puede dividirse bajo la condición dada es 7. Pero, ¿podrá descomponerse el triángulo obtusángulo en triángulos acutángulos
A)48 B)49 C)50 D)51 E)52
isósceles?
@con el dinero que poseo puedo com¿Cuántas de las figuras pedidas se
prar m periódicos y n revistas o comformarán, como minimo, en el inteprar a periódicos y b revistas; ¿cuánrior del triángulo dado?
tos periódicos puedo comprar como
A)7
máximo si no adquiero ninguna revisB)8
ta? Observación: (b < n < m < a)
C)9
A) an-bm
B) an-bm
C) an+bm
D)10
n-b
E) no es posible descomponerlo baD) an+bm
E) a+b
jo la condición pedida.
La diferencia entre los cuadrados de
es 448. Calcular el cuadrado de la
suma de todas las cifras de ambos
@
x2+ax+b~O
S
Un número es al cuadrado de su con-
secutivo inmediato como 1 es a 4; entonces, el número dado será al cuadrado del doble de dicho número
como ..... .
A) 1/4
B) 1/9
C) 1/25
D) 1/36
E) 1/16
Si la inecuación cuadrática en x:
tiene como conjunto solución:
x E [2; 3], indicar el valorde a+b
A)-13 B)15 C)-1 D)1 E)-11
De 76 alumnos; 46 no estudian Lenguaje, 44 no estudian Historia y 28
no estudian ni Lenguaje ni Historia.
Entonces, ¿cuántos alumnos estudian Lenguaje e Historia?
A)18 B)16 C)14 D)20 E)12
dos números impares consecutivos
8
@
Dos personas A y B pueden hacer
una obra en 20 d ias; después de 14
drasAse retira y B termina lo que falta en 9 dras. Si en lugar de A se hubiera retirado B, ¿en qué tiempo A
termina lo que falta?
A) 10dias B) 12dias C) 14dias
D) 18dias
E)20dias
(Observación: La única raiz positiva
de la ecuación x'-4x'-2x 2 +4x+5 = O
esx=4,18)
A)41 ,80
B)63,16
C)83,60
D)104,96
E) 120,60
@DanielhizounaObraajOrnalyreCibiÓ
S/.144. Después hizo otra obra en 10
dias menos que la anterior cobrando
el mismo jornal y recibiendo por su la-
bor tantas veces un número de soles
como dias de trabajo por dicha obra.
Calcular el jomal de Daniel y el número total de d ias que ha trabajado.
A)S/.18y26dras
B)S/.8y8dras
C) S/.8 y 18 dras
E) S/.8 y 26 dias
D) S/.4 y 18 dias
~ Una bola de billar pesa 400 g y otra
bola hecha del mismo material pesa 381,25 g más. ¿Qué porcentaje
menos es el área de la bola de billar
respecto de la otra bola?
A) 36%
B)51%
C)64%
D)43,75%
E)70%
S
El área del cuadrado (11) es el cuádruplo del área del cuadrado (1).
¿Qué firacción de la región sombreada en (1) representa lo sombreado en
(II)?
A) 1/2
B)2/5
C) 1/3
D)217
E) 315
@
@
(11)
EE~
Calcularxen:
(2x-1)! = 1!x2!x3!x10
A)1
B)2
C)3
D)4
8
@
@
@
A) 2'-1
B)2""'_1
C)2'+1_1
Un barril lleno devino cuesta 5/.900
D) 2'+1_2
E) 2'+1 +2
Si se sacan 80 tde vino costaría solamente 5/.180. Hallar la capacidad
del barril si se sabe que el barril @HallaraYbsi: : - ~ =0,589285714
cuesta tanto como 10 tde vino.
tal que ~ y ~ sean fracciones proA)100L
B)92L
C)72L
pias.
8
7
D)82L
E)90L
A)9y2
B)5y2
C)7y2
@SedefineenA={1,2,3,4}
D)8y5
E)5y7
Hallar el perlmetro de la región som-
:~i:~~m ~112m
C)361tcm
D) 121tcm
E) 181tcm
@
E)5
@
u
12 m
11
Una obra se inició el21 de setiembre
y debió concluirse el 12 de octubre,
trabajando inclusive domingos y feriados, a un ritmo de 8 horas diarias;
pero 10 días después de iniciados
los trabajos, 12 obreros se accidentan, y los 16 obreros que quedan duplican su rendimiento, disminuyendo
en cambio, en 2 horas diarias de trabajo del día. ¿En qué fecha se terminó el trabajo?
B) 10 de octubre
A) 12 de octubre
C) 15 de octubre
D)20deoctubre
E) 14deoctubre
Un grupo de obreros hizo, en 20 dlas
la mitad de una obra; pero se quiere
entregar la obra en 5 días antes de lo
convenido, para tal efecto se contrató 12 obreros más. Entonces,¿cuántos obreros iniciaron la obra?
A)13
B)38
C)36
D)25
E)49
Un corredor avanza tantos metros
por cada octavo de minuto como minutos demora en avanzar 2048 m.
¿Cuánto demorará en recorrer, a la
misma rapidez, una pista de 640 m?
A) 10 minutos
B) 5 minutos
C)3minutos
D) 8 minutos
E) 7 minutos
Dieciocho personas tienen que pagar por partes iguales un consumo
de 5/.1620; pero como algunos no
pueden hacerlo, cada uno de los restantes tiene que poner 5/.72 más para cancelar la deuda. ¿Cuántas personas no pagaron?
A)5
B)7 C)8
D)10 E)12
Se emplearon "m" obreros para ejecutar una obra, Y. al cabo de "a" dras,
hicieron "1In" de aquella. ¿Cuántos
obreros se tuvo que aumentar para
terminar la obra en "b" días más?
m
A) -(an-a-b)
b
n
B) -(an-a-b)
a
C) -"- (am-a-b)
a
D) -"- (an-a-b)
b
E) -"'(an-a-b)
a
•
1
1
2
2
3
4
1
3
4
2
3
4
2
1
3
4
4
1
1
2
3
4
2
3
Calcular: (3-1.2).(2-1.4)
A)1
B)2
C)3
D)4
@
E)O
Se .~efine, en z;, , la siguiente operaClan:
2
4
3
1
5 8 11 14
2
7 10 13 16
3
9 12 15 18
4 11 14 17 20
Calcular:A= (5.1 ).3
A)26 B) 19 C)45 D)35 E)36
@se vende un artIculo ganando el 8%
del precio de costo. Si se hubiera
vendido ganando el 8% de precio de
venta, se hubiera ganado 8 soles
más. ¿Cuál es el costo del artIculo?
A)1125
B)1225
C)1150
D) 1200
E) 1250
~ Un
ganadero vende 60 cabezas de
reses entre vacas y terneros, recibiendo por dicha venta 5/.2160; pero
como necesitaba 5/.2500 debe efectuar una venta suplementaria a los
mismos precios. Calculando que si
vende 8 vacas le sobrarla 5/.20 y si
vende 20 temeros le faltarla 5/.40,
¿cuántos temeros vendió en la primera oportunidad?
A) 18 B)23 C)27 D)33 E)42
•
@
@
@
@
@
Una rueda "A" de 80 dientes engrana con otra rueda "B" de 50 dientes;
fija al eje de "B" hay otra rueda "C"
de 15 dientes que engrana con una
rueda "D" de 40 dientes. Si "A" da
120 vueltas por minuto, ¿cuántas
vueltas dará la rueda "D"?
A)70 B)72 C)60 D)90 E)96
@
En una pista circular, dos corredores
salen del mismo punto en
direcciones opuestas.
encontrándose en la mitad del
recorrido al cabo de 90 segundos. En
este preciso instante, B se detiene
durante un minuto y A continúa corriendo. Al reiniciar B su marcha vuel¿Qué hora es, si dentro de 5 horas
ve a encontrarse con A por segunda
faltará, para las 11 am,los 2/3 de lo
vez, en un tiempo!. Hallar!.
que faltará para las 10 am, pero
A)30s
B)50s
C)60s
dentro de 2 horas?
E)20s
@D)90S
A) 6:00 am B) 1:00 am C) 2:00 am
D)3:00am
E)4:00am
AmigoAlfiredo:
Tengo 3 hijas: Patty, Milagros y
Veinte obreros se comprometieron
Sonia.
a realizar una obra en 30 días; lue- La suma de sus edades dan el núgo de haber hecho los 215 del trabamero dela casa de enfirente.
jo se retiran 5 obreros. ¿Con cuán- El producto de dichas edades es
tos días de retraso se terminó y en36.
tregó la obra?
¿Podría Ud. hallar la edad de cada
A)4dlas
B)5dlas
C)6dlas
una de ellas? -Claro! .... Respondió
D) 18 días
E) 24 días
Alfredo. Luego de un instante recalTres lanchas A, By C se cruzan en
có:-Mefalta un dato--.
un determinado punto de un rlo. La
Ah! lo olvidaba, dijo inmediatamente
lancha B pasa, rlo abajo, y C, rlo
el otro, ..... La mayor toca piano.
arriba, alejándose de A, que prosi¿Cuáles son las edades de las hijas?
gue rlo abajo con el motor apagado.
A)2-2-9
B)3-3-4
C)1-4-9
Las lanchas B y C se alejan de A la
@D)2-3-6
E)6-6-1
misma distancia d y luego retoman
hacia A. Si las lanchas B y C son
Al observar mi reloj veo que el minuidénticas, ¿cuál de ellas demora
tero esta antes que el horario formanmás en retornar haciaA?
do x", luego de 20 minutos observo
nuevamente mi reloj y veo que el miA)A
B)B
C)C
nutero está delante del horario forD)iguales E) no se puede determinar
mando 4x". Hallarx.
Calcular la suma de las cifras del reSA)20 B)55 C)25 D)22 E)24
sultado de sumar todos los números
1
Un campeonato tarda n s en tocar n
1 1
campanadas. ¿Cuánto tardará para
1 2 1
1 3 3 1
tocar(n+1) ca"1P~"\las?
1 4 6 4 1
5 '0 '0 5 \
1
1 n ----------------------n 1
i
A)(n+1)s
B)ln+1Js
C)1~2 J
ln-1
@
8
Se tienen tres cajas cerradas. Una
de ellas lleva una etiqueta que indica
BLANCO; otra, NEGRO y la tercera,
BLANCO y NEGRO. Y, en efecto, la
primera contiene dos pelotas blancas, la segunda dos negras y la última una blanca y otra negra, respectivamente. Se cambian de sitio a las
etiquetas, en consecuencia ninguna
etiqueta seria verdadera. ¿Cuántas
pelotas se debe sacar, como minimo, para saber el contenido de cada
caja?
A)1
B)2
C)3
D)4
E)5
ª
ª
A)
[15~-n r
C)
~50+ ~r
D)13
E)16
B) (150+n)"
La familia Pérez y la familia Cubas
se encuentran en una fiesta y hay un
intercambio de abrazos y besos, los
de la familia Pérez saludan a cada
uno de la familia Cubas. Al saludarse
2 varones se dan un abrazo, mientras que al saludarse 2 mujeres o un
hombre y una mujer se dan un beso.
Al final se han producido 49 abrazos
y 94 besos. ¿Cuántas mujeres hay
en total en las 2 familias?
A)9 B)8 C)12 D)11 E)10
Hallar la suma de los términos de la
fila 20, en la siguiente distribución
numérica.
F,_ 1
F2 --+ 2 3
F3 -+ 4 5 6
F.... 7 8 9 10
A) 8020
D)4010
ª
E{15~+nr
D{300;llnJ
\ \
B)8040
C)4020
E) 4000
~ Restar: ~ de ~
. de ~ restar ~
4
3'
2
5
Sumar las diferencias y agregarle el
@
®
ª
resultado de sumar a ~ los ~ de la
3
5
mitad de 3,3.
30
Indicar como respuesta los 103 del
resultado.
A)I/5 B)2/5 C)3/5 D)45 E)I/2
8
¿Cuántos triángulos se cuentan en
total en la siguiente figura?
~~~~
B)22
D)26
E)23
~mentefigUra?
,
Roberto tiene 10 bolsillos y 44 monedas de plata, quiere poner las
monedas en los bolsillos repartiéndolas de tal modo que cada bolsillo
contenga un número diferente de
monedas. ¿Cuántos bolsillos, como máximo, quedan vacíos?
A)2
B)5
C)3
D)4
E)6
~ ¿Cuál
¿Qué ángulo forman las manecillas
deun reloj a las 17:n'? (n<15)
/ /
~
@
~=2x2_3
Calcular: [ID + D]J
A)10 B)14 C)12
<C><D>
__
A) 20%
D)16,3%
¿Cuántos cuadriláteros hay en la
8
C)51
D)52
E)55
A
Se definen:
L1'iili. = 8x+5
ª
ª
es el número comprendido
entre 200 y 300 tal que leido al revés es el doble del número que continúa después del original? Dar como respuesta la suma de cifras.
A)13 B)10 C)16 D)20 E)14
C) 16,6%
E) 13,3%
Indicar la verdad (V) o falsedad (F) de
cada enunciado:
A. dado{s; =
:E a~ V i
k='
E
N} La serie
{S;} recibe el nombre de serie asociada {a;}
B. La serie
\In e z::,+
ª
ª
ª
i: x" es divergente Vx y
n=O
C.l+9+25+49+ .... +225=680
A)VW
B)WF
C)FFV
D)VFV
E)FVF
Los 2/9 de un terreno le pertenecen a
Juan y los 3.5 del resto a Pedro. Si los
14 m2 que quedan le pertenecen a
Jóse, ¿qué área tenía al principio repartido?
A)45m 2
B)90m 2
C)135m2
D)80m2
E)105m2
Si escribimos los números naturales,
Wendy nació el dia 9 de un cierto
desde 1 hasta 3580, ¿cuántas cifras
mes; el9 de mayo de 1998, ella res2 se contarían?
tó a sus meses vividos los años que
A) 2390
B)2106
C)1890
tiene, obteniendo como resultado
D)2208
E)2118
201. Si este año el cumpleaños de
Wendy fue un día Lunes y Antonio
El lunes 12 de octubre de 1998 Sannació un día 9 del mes siguiente al
dra
cumplirá 18 años, ¿qué dia names en que nació ella, pero 9 años
ció?
antes, ¿en qué día nació Antonio y
C)
A) viernes
B) sábado
en que día nació Wendy? (año acdomingo
tual: 1998)
~ D) lunes
E) martes
A) sábado -lunes
~
B) martes - sábado
¿En qué tanto por ciento es M+N maC) miércoles - sábado
D) lunes - domingo
B) ~-200Ml %
A) ~ -2N ] %
E) martes - domingo
LM+NJ
LM-N
Una persona nació en el siglo pasado, en un año que es un cuadrado
perfecto, y murió en el presente siglo, en un año también cuadrado
perfecto. ¿Cuántos años hubiera
tenido la persona si hubiese vivido
hasta el siguiente año cuadrado
perfecto y cuántos años tuvo la persona al morir?
A)176y87 B)176y86 C)I77y87
D)176y88
E)177y88
C) [1 OO~-N)J %
ª
D/200NJ%
M-N
L
E)
~M-NJ%
LM+N
Hace 10 años, mi edad era la cuarta
parte de la edad que tendré dentro de
35 años. Puede Ud. calcular, ¿qué
edad tengo?
A) 20 años B) 25 años C) 30 años
D) 32 años
E)24 años
Si el ayer del anteayer de mañana @En 12 días, 8 obreros han hecho las
es martes, ¿qué dia será el mañana
2/3 partes de una obra. Si se retiran
del pasado mañana de mañana?
6 obreros, ¿cuántos días demorarán
A) lunes B) martes C) miércoles
los obreros restantes para terminar la
D)jueves
E) viernes
obra?
B)48 dias C) 12dias
A)
36 dias
Tenemos las cifras 1,2,3,4,5,6,7,
D) 24 días
E)15días
8 Y9. ¿Cuántos números de 5 cifras
diferentes podríamos tener si las 2
@sedefineen¡¡¡,laOperación-:
primeras cifras de éstos números
a-b = a+b-5. Resolver: x"-2" = O
pueden ser solo ocupados por las 4
donde:
a": elemento inverso de a
primeras cifras enunciadas, las que
A)22 B)13 C)18 D)14 E)10
a su vez no pueden ocupar los lugares restantes?
Determine el perímetro de la siguienB)120
C)60
A) 360
te región sombreada (R =4 cm)
E) 720
D)240
A) 367tcm
@
@
B)18%
Se vende un artículo ganando el
20% del precio de costo. ¿Qué tanto por ciento respecto del precio de
venta se ganó?
B)427tcm
C)487tcm
D)547tcm
E)407tcm
ª
@
@
@
Entre dos amigas tienen S/.650. La
primera gasta S/.75 y entonces la
segunda tiene S/.85 más que la
primera. ¿Cuánto le quedó a la primera?
B)S/.405
C)S/.170
A)S/.245
0)S/.330
E)S/.420
necta por un segmento rectilíneo.
¿cuál es el máximo número de regiones en que quedará dividido el
circulo?
A)57 B)31 C)64 0)81 E)128
@
El peso de un ladrillo es 20 g, ¿cuánto pesará otro ladrillo del mismo material pero con sus dimensiones aumentadas en 50%?
A) 72,5 g
B) 62,5 g
C)89,5g
0)58,7g
E)67,5g
Un recipiente lleno de vino cuesta SI.
700, si se sacan 80 litros, vale solamente S/.140. ¿Cuál es la capacidad
del recipiente?
A)140t
B)108t
C) 180t
O) 100 t
E) 200 t
Oos móviles corren en una pista circular de 90 m de circunferencia y en
el mismo sentido. El primero, que tiene 18 m de adelanto, corre con una
rapidez de 2,9 mis y el otro, a 2,54
mis. Calcular la suma de las longitudes recorridas, desde este instante
hasta su encuentro.
A)1188m
B)1088m
C)988m
0)2088 m
E) 908 m
Entonces:
A)A=B
0)A=3B
@
Se define el operador integral de la
expresión algebraica (ax"), del modo siguiente:
xn+1
!(aX")dx=a. n+1 ,dondeayn E
m
si: G{x) =![J,¡J dx+ ![;'}x;
ª
ª
Hallar. G(1)
A)O
B)-1
@
C)2
0)3
E)1
En el diagrama, hallarx
A)47
18
24
30
19
11
3
37
x
65
B)50
C)51
0)52
@
E)49
La edad de un padre es ab años y la
de sus hijos a años y b años. Si hace 2 años la edad del padre era seis
veces la suma de las edades de sus
hijos, ¿dentro de cuántos años el
padre cumplirá 50 años?
A)14 B)25 C)23 0)24 E)30
8
ª
¿Cuántos triángulos hay en la si-
~¡~rfigura?
~
~
Hallarel valorde la siguiente serie:
S = 1+1+1+2+4+8+3+9+27+......
~
'V
60 sumandos
Las ciudades Ay B están unidas por @calcular:
A)47180
B)44100
C)45215
6 caminos diferentes; By C, por 10
0)28720
E) 24750
1L
_-ª1+243_
S -129+
caminos diferentes y las ciudades C
4
16
64 .....
Yamilet tuvo, en 1998, tantos años
y O, por 8 caminos diferentes. ¿Oe
A) 48
B )48/7
C)24
como el producto de las dos últimas
cuántas maneras diferentes una
0)36/7
E) 27/4
cifras del año de su nacimiento. Indipersona puede viajar de A a O, pacar la suma de las cifras del número
sando por B y C?
Si se sabe que la edad actual de Yoque expresa el año en que celebró
A) 360
B)240
C)480
landa es a{2a+7) y la de Milagros,
sus 15años.
E)120
0)840
12 años; además cuando Milagros
A)30
B)28 C)26 0)24 E)22
nació, Yolanda tenia x años. OeterSe hizo un contrato para que una
minar la última cifra del periodo de
¿Cuántos litros de vino hay que agreobra sea terminada en 30 dlas, emcada fracción y luego sumar estas
gar a un barril donde hay 5 litros de vipleando 15 obreros y trabajando 10
cifras.
no porcada 4 litros de agua, para que
horas diarias. Oespués de 8 días de
1
1
1
1
resulte una mezcla de180 litros dontrabajo se acordó que la obra quedax+10 ' x+20' x+30 ,......
de por cada 9 litros de mezcla haya 7
se terminada 12 días antes del plazo
~----~v
./
litros de vino?
estipulado y asi se hizo. ¿Cuántos
axténninos
obreros más debieron emplearse,
A)45 B)40 C)50 0)90 E)80
A)119 B)27 C)39 0)72 E)105
teniendo en cuenta que se aumentó
En una fiesta de disfraces se observó
el trabajo diario en 1 hora?
que el 60% de los hombres no usaHace exactamente 100 años, un
A)18 B)12 C)25 0)30 E)15
profesor preguntaba: "Indicar en
ban pantalón y e140% de las mujeres
qué
día y a qué hora del mes de
no usaban falda. En total eran 600
Una persona compró 5 artlculos a
abril de 1896 se verificó que la frac-personas y, además, quienes usacosto de (100-x) soles cada uno.
ción transcurrida del mes fue igual a
ban pantalón. ¿Qué tanto por ciento
¿Cuánto recibe de vuelto si paga
la fracción transcurrida del año".
más son las mujeres que usan falda
con (200-x) monedas de S/.5 cada
respecto de las que no la usan?
Ahora, en 1998, Oaniel ha pregununa?
tado lo mismo a sus alumnos, pero
A) 25% más
B)40%más
C)50-x
A) 100+x
B) 500+2x
con respecto al año 1996 y en una
C)10%más
0)500-2x
E) 500
fecha exactamente posterior en 2
0)30% más
E) 50% más
años, 7 días y 9 h a la fecha pedida
Juan le dice a Armando: 'Si me das
Indicar el máximo número de cuadrien el problema dado arriba. ¿Qué
una manzana, tendré el doble de las
láteros que hay en:
tuyas'. Armando le responde 'Si me
fecha y hora es?
das una de las tuyas, los dos tendreA) 22
A) 15deabril10h B) 15de abril15h
mos la misma cantidad". ¿Cuántas
C)16deabril5h 0)16deabril12h
B)25
manzanas tiene Armando?
E) 17 deabril10h
C)27
A)6
B)5
C)7
0)8
E)10
0)29
B= _1'-c@Si:A=
11
E)31
2
Tenemos un circulo y en su circun1--1--ferencia señalamos, arbitrariamen1
1__
2
@calcular: a+b
1-te, 6 puntos; cada par de éstos se co2
Si:
3
@
x'
ª
Rocio tiene "n" años de edad y Antonio n2 años. Oentro de 10 años, la
edad de Antonio será igual al doble
de la edad que tenga Rocío, disminuida en 7 años. ¿Qué edad tiene
Antonio?
~
@
ª
El costo unitario de un libro es inversamente proporcional al número de
ejemplares editado. Si un primer tiraje se vende a S/.33000, ganando el
10%; ¿cuál será el costo de dos libros
de un segundo tiraje de 1500 ejemplares?
A)S/.40
B)S/.60
C)S/.50
0)S/.30
E)S/.10
0)98
E)99
8
@
B)A < B
C)A'; B
E)3A=7B
ª
@
@
n términos
__
~A~_~
'111+113+115+ .... +b' = 11
, 1+3+5+ ...... +a ,
n té~inos
A) 152
D)251
8
8
B)125
C)215
E)183
Se quiere dividir una madera en 2
partes, de modo que ambas partes
tengan igual peso; pero, al momento
de partir, se observa que una parte
pesa 18 gr. más que la otra; para
igualar le quitan 9 gr. a la parte más
pesada y aún pesa el doble que la
otra parte. ¿Cuánto pesaba la madera antes de la división?
A)32gr
B)30gr
C)28gr
D)42gr
E)36gr
Mañuco ahorra anualmente "p. soles y Alberto, "q" soles. Si actualmente Mañuco tiene "q" soles y Alberto, "p. soles (q > p). ¿Dentro de
cuántos años Alberto tendrá el doble
de lo que tendrá Mañuco?
A) q+p
q-p
B) 2q-p
q-2p
C) p+q
C) 3pq
q-p
E) pq
~ Hallar el
número total de triángulos
en la siguiente figura.
Sugerencia:Aplicarinducción.
ª
ª
A)46
B)58
C)64
D)85
E)72
Se adquiere un número par de naranjas; si se vende la cuarta parte
quedan menos de 118 por vender, y
si se vendiera la sexta parte, quedarfan más de 129 por vender; ¿cuántas naranjas se compraron?
A)153
B)154
C)156
D)158
E)159
¿Cuántas estacas se necesitan para
cercar un terreno de forma cuadrada
cuya área es igual a 25600 m, si las
estacas se colocan cada 4 metros?
A)180
B)170
C)150
D)200
E)160
~ Se reparten 3000 soles entre cuatro
ª
hermanos, de modo que el primero
recibe 400 soles más que el segundo, y éste los 3/5 de lo que recibe el
tercero, quien recibió 600 soles menos que el último. ¿Cuánto recibió el
segundo?
C)S/.375
A)S/.225
B)S/.275
D)S/.325
E)S/.495
Hallar el área máxima de un rectángulo cuyo perlmetro es 20 m.
A)16m 2
B)36m 2
C)50m2
D)100m 2
E)25m 2
ª
Un empresario razonaba así: "Si le ª S i hubiera dado S/.7 a cada uno de
pago S/.15 a cada uno de mis emlos niños que están en mi casa, me
pleados, me faltarfa S/.400; pero si
habrfan quedado S/.24. Por otra
les pago S/.8, me sobrarla S/.160".
parte, me faltarfan S/.32 para poder
¿Cuántos empleados hay en la emdistribuir S/.9 a cada uno de ellos.
presa?
¿Cuántos niños hay y cuánto dinero
tengo?
A)80 B)72 C)85 D)75 E)60
A)28yS/.220
B)22yS/.420
Una chancha pesa 90 kg más 1/10
C) 17yS/.318
del peso de su cria, y la cría pesa 90
D)24yS/.380
E)25yS/.190
kg más 1/10 del peso de su madre.
~ Un comerciante tiene vino de S/.5 el
¿Cuánto pesan las dos juntas?
litro, vierte agua en dicho licor hasta
A)195kg
B)210kg
C)205kg
obtener 75 litros de mezcla que valen
D)200kg
E)180kg
S/.337,5, ¿qué cantidad de agua tiene la mezcla?
Sobre un estante se pueden colocar 15 libros de ciencias y 3 libros
A)61 B)81 C)9,51 D)7,51 E)91
de letras, o 9 libros de letras y 5 libros de ciencias. ¿Cuántos libros ~ Enmanuel dio a Stephany tantos cénde ciencias únicamente entran en el
timos como soles llevaba en su bolsiestante?
llo y se quedó con S/.396. ¿Cuántos
soles tenfa en el bolsillo antes de dar
A)5 B)30 C)8 D) 12 E) 14
su dinero?
Si tuviese 2 veces más de lo que me
A)S/.480
B) S/.31 O
C)S/.360
queda, tendría una vez más del diD)S/.460
E)S/.400
nero que perdí. ¿Cuánto tenia, sabiendo que perdi S/.27?
Las primeras 9 avecillas cuestan 3
soles cada una y las siguientes cuesA) S/.20
B) S/.30
C)S/.40
tan 5 soles cada una. La fórmula para
D)S/.45
E)S/.60
saber cuánto cuesta x avecillas es:
(x>9)
Si te doy 1 melón me das cuatro naranjas; si me das dos naranjas más,
A)9x+5x
B) 27+5(x-9)
sólo recibirás 3 sandlas. ¿Cuántos
C) 40+5(x+9) D)27x-3 E)27x-3x
melones debo darte si me das 24
sandfas?
Mi edad pasada, mi edad actual y mi
edad futura están en la proporción de
A)5 B)7 C)10 D)12 E)14
1, 2 Y 3; mientras que, para ti, en los
~ El promedio de 8 números es 8, el
tiempos mencionados esa proporpromedio de otros 6 números es 8,
ción es de 4, 6 Y 8. Si tu edad actual
el promedio de estos 14 números
no llega a 100 años, ¿cuántos años
es "J<". Hallar"x".
tengo yo?
A) 10 B)20 C)30 D)40 E)50
A)16 B)10 C)8 D)16 E)22
ª
ª
ª
ª
@
8
@
@
Juan tiene 8 panes y Pedro, 4; y
deben compartirlo equitativamente
con dos amigos. Éstos, para recompensarlos, entregaron 180 soles a
Juan y Pedro. ¿Cuántos soles le tocará a Juan?
A)S/.90
B)S/.100
C)S/.120
D)S/.140
E)S/.150
En una fiesta, donde habian más
hombres que mujeres, se observó
que la primera de ellas bailó con 1
hombre; la segunda bailó con 4; la
tercera, con 9; la cuarta, con 16; y
asi sucesivamente hasta que la última dama bailó con todos los hombres. Si el total de personas es 90,
¿cuántos eran los hombres?
A)80 B)72 C)65 D)64 E)81
~ Una obra la pueden hacer 28 obreros
en cierto tiempo, ¿cuántos obreros
se necesitarán aumentar para hacer
1/4 de la obra en un tiempo igual a los
2/7 del anterior, trabajando la mitad
de horas diarias?
A) 18 B)21 C)22 D)24 E)23
@
inicio?
A)18
@
~ Un vendedor tiene 60 caramelos de
fresa, los cuales vende a 2 por 10
soles, y 60 de limón, los cuales vende a 3 por 10 soles; un día los mezcla y decide venderlos a 5 por 20 soles. ¿Cuánto gana o pierde, el vendedor?
B) pierde S/.30
A) gana S/.20
C) pierde S/.20
D) no gana ni pierde
E) no gana S/.30
En una reunión habian 20 mujeres
más que hombres, y cuando llegaron
12 parejas a la reunión, el número de
hombres resultó los 3/8 de los reunidos. ¿Cuántos hombres habían al
@
B)9
C)28
D)13
E)16
Hallar 2 números cuya suma sea 20 y
cuyo producto sea igual a 24 veces
su diferencia.
A)6y14
B)8y12
C) 18y7
D) 16y4
E)10y10
Un grupo de 30 obreros se comprometen a terminar un trabajo en 12
días. Si al cabo de 9 días sólo han
avanzado los 3/5 del trabajo, ¿con
cuántos obreros tendrán que reforzarse para culminar la obra en el plazofijado?
A) 20
B)27
C)30
D)36
E)45
@
ª
@
8
@
8
@
8
@
@
Belly gasta cada dia la mitad de lo
que tiene, más 2 soles. Si luego de
cuatro dlas se quedó sin dinero,
¿cuánto tenra al inicio?
A)S/.80
B)S/.70
C)S/.60
0)S/.50
E)S/.40
A un joven se le preguntó por el número de camisas blancas, celestes y
amarillas que tenia, a lo cual contestó: "Todas mis camisas son blancas,
menos 2; todas son celestes, menos
2; y todas son amarillas, menos 2".
¿Cuántas camisas tiene el joven?
A)2
B)3
C)6
0)5
E)4
como soles pagó por cada uno; si
Antonia gasto S/.600 menos que
Karla y compraron 30 artlculos en
total, ¿cuántogasló Karia?
A)S/.700
B)S/.500
C)S/.250
O) S/.625
E) S/.600
@
@
El producto de dos números es
11067; si se suma 15 unidades al
multiplicador, el producto resulta
12852. Hallar el multiplicador y dar
como respuesta su suma de cifras.
A)14 B)12 C)15 E)10 E)13
Oos personas tienen S/.360 entre
los dos; si el primero diera S/.80 al
segundo, éste tendria el quintuple
de lo que le quedaria al primero.
¿Cuánto tenia el segundo?
A)S/.180
B)S/.190
C)S/.210
O) S/.200
E) S/.220
Un grupo de obreros se comprometen a realizar una obra; pero, faltando 30 dlas para terminar, 6 de ellos
se retiran. Oespués de 10 dlas, recién se contratan cierto número de
obreros para terminar en el plazo
fijado. ¿Cuántos obreros se contrataron?
A)6
B)7
C)8
0)9
E)10
Un número excede al cuadrado más
próximo en 29 unidades y es excedido, por el siguiente cuadrado, en 18
unidades. Hallar la suma de cifras
del número.
A)15 B)16 C)17 0)18 E)20
Yo tengo el triple de la mitad de lo
que tú tienes, más 10 soles; si tú tuvieras el doble de lo que tienes, tendrias 5 soles más de lo que tengo.
¿Cuánto me quedaria si comprara
un articulo que cuesta la cuarta parte
de lo que no gastaria?
A) S/.55
B) S/.44
C)S/.30
0)S/.15
E)S/.11
Se tiene un alambre de 30 metros de
longitud, se hacen en él tantos
cortes como longitud (en metros) tiene cada corte. ¿Cuánto mide cada
corte?
A)15m B)5m C)6m 0)7m E)4m
Si al comprar 4 duraznos pagó S/.7;
¿cuántos duraznos debo comprar
para obtener una ganancia de S/.30,
si los voy a vender a 3 duraznos por
S/.6?
A)60 B)100 C)120 0)125 E)90
Antonia y Karla fueron de compras
y cada una compró tantos articulos
Juan parte del km ab y llega al km
ba en 1/2 hora. A partir de allí llega
al km aOb en 30 minutos. Indicar la
rapidez con la cual viajaba Juan.
A)90km/h B)80km/h C)70km/h
0)50km/h
E)40km/h
Una obra va a ser realizada por 20
obreros en 25 dias, cuando ya se ha
avanzado la quinta parte de la obra,
llegan 5 obreros a ayudar a los demás, con lo cual se terminó la obra.
¿Con cuántos dras de anticipación
se culminó la obra?
B)2dias
C)3dias
A) 1 dia
0)4dias
E)5dias
@
ª
~ Una
persona va al supermercado
con cierta cantidad de dinero. En su
primera compra gasta 3/4 de su dinero, másS/.20; luego gasta 1/5del
resto, menos SI. 1O; finalmente gasta 1/2 de lo que le queda, más S/.5.
Si sólo se quedó con S/.15, ¿cuánto
gastó en el supermercado?
A) S/.230
B) S/.215
C) S/.245
0)S/.200
E)S/.185
@
El cubo de un número con su triple y
el triple de su cuadrado suman 511.
Hallarel número aumentado en 2.
A)7 B)8 C)9
O) 10
E) 11
~ La suma de dos números es 0,7 y la
suma de sus cuadrados es 0,25.
Calcular el producto de dichos números.
A)1.2
B)1
C)0,12
O) 0,6
E) 0,49
~ Hallar dos
números tal que sumados den 16 y cuya inversa de su di-
ferencia sea
®
18 19 20
la suma de los términos de
las 12 primeras filas del triángulo de
Pascal.
A)511
B)1023
C)2047
0)8191
E) 4095
@
Sabiendo que todos los románticos
son soñadores es cierto que:
A) Todos los soñadores son románticos.
B) SiAes romántico, es soñador.
C) SiAes romántico, no es soñador
O) SiAno es soñador, es romántico
E) SiAes soñador, es romántico.
~ Si: @]={n 2 =n;0,;n<2
'eJI
2n+1;2,;n<5
además: -3,;; 2n-5 < -2
Calcular: 12n-11- 12n 1
A)n 2 -2n+1
0)4n
B)-1-4n
C)1+4n
E)-4n
~ Para llenar un recipiente esférico, un
caño emplea 8 minutos. Si el área del
recipiente esférico se cuadruplicara,
¿qué tiempo emplearia, ahora, el caño para llenarlo?
A)16min.
B)24min.
C)32min.
0)64min.
E)48min.
Calcular la inversa
Se desea repartir S/.41 con monedas de S/.2 y S/.5; ¿de cuántas maneras se puede efectuar el reparto?
B)2
C)3
0)4
E)5
A)1
1 2 3 4 5
~ Hallar
de la suma de cifras de ambos números.
@
número total de cuadriláte-
rosen:
A) 323
B)341
C)350
0)343
E) 342
!.
A).1.. B).1.. C).1.. 0).1.. E)_1
9
3
7
8
12
Un automóvil debe irdeAa B con una
rapidez de 64 km/h; se observa que
durante 3 horas va con esta rapidez,
pero un accidente le obliga a detenerse 54 minutos y, enseguida, emprende otro camino que aumenta el trayecto en 51 km; por otra parte su
rapidez, después del accidente, ha
aumentado en 6 km/h y, finalmente,
el retraso sufrido es de 1,5 horas. HalIarladislanciaAB.
A) 476
B)288
C)480
0)980
E) 240
~ Hallar el
~ En
un corral, entre pavos, patos y
cuyes se contaron 58 cabezas y
148 patas. ¿Cuántos cuyes hay?
A) 18 B)20 C) 15 O) 16 E) 14
Hallar las 2 últimas cifras de la siguiente suma:
S = 11+21+31+41+ ...... +201
A) 11 B) 18 C)23 0)43 E) 13
@
Ever realiza la mitad de una obra en
26 dias, en ese mismo tiempo, Carlos
realiza los 4/5 de la misma obra. Si
los dos trabajan juntos ¿en qué tiempo harran los 3/5 de la obra?
B) 12dias C) 15dias
A) 10dias
O) 16dias
E)18dias
Entre Lima y Cuzco hay 5 líneas de
transporte aéreo y entre Cuzco y @Si la suma de dos números es igual a
Buenos Aires hay 8 lineas de transla raiz cúbica del cuadrado de 27, yel
porte aéreo. ¿Oe cuántas maneras
producto de dichos números es la teruna persona podrá hacer un viaje
cera parte de la suma de dichos núde ida y vuelta a Buenos Aires si en
meros; hallar la suma de los cuadraambos casos pasa por Cuzco?
dos de dichos números.
A)800 B)1600 C)13 0)600 E)40
A)15 B)28 C)85 0)75 E)81
ª
8
Oos personas "A" y "B" pueden hacer una obra en 12 días; "B" y "COI, en
15dlas; "A" y "C", en 20 dlas. Empiezan la obra los tres juntos, luego de 2
dlas se retira "C"; 6 dlas más tarde
se retira "B" y "A" solo termina lo que
falta. ¿En qué tiempo se hizo toda la
obra?
C) 15días
A)9días
B) 13días
O) 17 días
E) 18días
Una obra puede ser hecha por "A" en
8 días; por"B", en 6 días y por·C", en
9 días, inician juntos el trabajo y, luego de un día, se retiran "B" y "e", trabajando "A" sólo un día más y luego,
en el tercer día, regresa "C", terminando los dos juntos la obra. ¿En
cuántos días se realizó toda la obra?
A)2
B)3
C)4
0)5
E)6
~ Un terreno
tiene forma rectangular.
Si tuviera 5 metros más largo y 5 metros más de ancho, su área se duplicarla. Si tuviera 2 metros menos de
largo y 2 metros menos de ancho, el
área disminuirla en 44 m2. Hallar el
área del tenreno.
C)150m2
A) 140 m 2 B) 145 m2
2
O) 160m
E) 180m2
~ Un grupo de 15 obreros se compro-
8
8
8
8
metió a realizar una obra en 15 días.
Al cabo de 6 días sólo han hecho los
3/7 de la obra y luego de 6 días más
han hecho 1/2 del resto. ¿Cuántos
obreros más deberán ser contratados para terminar la obra en el tiempo fijado?
A)10 B)12 C)14 0)15 E)18
A)3días
0)4 días
Para pintar una pared cuadrada, cobro S/.12. Si el lado de la pared cuadrada fuese 2 veces más grande que
la anterior, ¿cuánto deberla cobrar?
A)S/.12
B)S/.24
C)S/.36
O)S/.72
E)S/.108
Oos obreros se disponen a realizar
una obra en 3 dlas, trabajan juntos 1
dlas y, al retirarse uno de ellos, el
otro termina la obra en 6 días. Indicar
el tiempo que emplearía el obrero
que se retiró para hacer él solo una
obra igual.
C)6días
E)5días
pero para valores de A, no menores
que 18, dichas magnitudes resultan
serl.P. Si cuandoA=6, B = 10; calcularelvalorde B, cuandoA= 90.
A) 16 B) 10 C)8
0)6
E)9
~ Catorce hombres tienen alimentos
para "n" días. Si un quinto de los
hombres se retiran; entonces, ¿para cuántos días más durarán los
víveres?
A) 1,25 n días
B) 2 n días
C)5ndías
0)4 n días
E) 0,25 n días
@
~ Alberto
y Beta disputan una canrera
de 800 m. Si Alberto da una ventaja
de 200 m a Beta, llegan entonces al
mismo tiempo a la meta; en cambio si
le da 80 m de ventaja le gana por 20
segundos. ¿Cuál es la rapidez de
Alberto?
A)2m/s
B)4m1s
C)6m1s
0)8 mis
E)10m/s
Un grupo de excursionistas tiene
provisiones para 90 días, si se desea que duren 20 días más. ¿En
cuánto debe disminuirse la ración
diaria?
@Cuántoscuadradosentotal hay en:
A) 3/11
B)2/11
C)2/9
A)n(n+1)
0)4/7
E) 3/5
B) 16n-2
3
A Y B son dos magnitudes inversaC)8n-2
mente proporcionales. Si A dismiO) n+1
n-l
nuye en 3/5 de su valor; entonces,
E)8n-9
n
¿cómo varIa B en su valor?
A) aumenta en 3/5
Calcular el número de triángulos que
B)disminuye 1/e
por lo menos contengan un asterisco.
C) aumenta en 3/2
0)disminuye5/3
A)7
E) aumenta en 5/2
~2
®
-.:::-~
8
ª
@
"A" Y "B" pueden hacer, juntos, una
obra en 20 dlas; "A" lo harla sólo en
30 dlas. Si "A" sólo realiza parte de
la obra durante 10 dlas y luego se
retira, comenzando "B" a trabajar,
¿cuántos dlas tardará "B" en acabar
la obra?
A)10 B)20 C)40 0)35 E)30
Un cañón realiza 35 disparos por hora y otro, 24 disparos en el mismo
tiempo. Si el primero ha estado disparando durante 3 horas, y al cabo
de ese tiempo comienza a disparar
el segundo y en total se realizan 518
disparos; ¿cuántos disparos hizo, en
total, el primer cañón?
B)340
C)360
A) 450
0)700
E) 350
B)4,5días
ª
8
@
Oos cantidades son inversamente
proporcionales a una tercera. ¿Cómo son, entre sí, estas cantidades?
A) iguales
B) recIprocas
C) inversamente proporcionales
O) directamente proporcionales
E) no se puede afirmar relación alguna.
g¡~
&...
E)10
@
En la ecuación:
(a-b)2x2+2(a2-b2)x+m = O; a .. b
Hallar m para que una de sus raíces
sea igual a cero.
A) 1
B)2
C)3
0)-1
E)O
José compra cierto número de @serecibeeISigUientemensaje:
manzanas, a 3 por S/.1 O, y al ven"FOWJFO QSPWTJPOFr
der, a 5 por S/.13, ha perdido S/.440
que traducido resulta ser:
Pide un préstamo de dinero y com"ENVIEN PROVISIONES"
pra un número igual de manzanas,
si usamos el mismo sistema, cómo se
al mismo precio que compró inicialescribirla la palabra "AUXILIO"
mente. ¿A cómo deberá venderlas,
si quiere recuperar lo que ha perdiA) BUXKLlO
B) BVYMLNQ
do, pagar su deuda y, además gaC)BZ7JMJP
narS/.360?
O) BVYJMJP
E) BVYMJJP
A)3porS/.11
B)5porS/.14
Un campesino da alimento a su rebaC)3porS/.14
ño de tal forma que la cantidad de
O) 5 por S/.8
E) 1 porS/.8
pasto dado un día es igual a 1/2 del
día anterior esto; debido a la escasez
Un padre al morir deja señalado en
del alimento. Si el séptimo día dio soel testamento que al hijo mayor se
lamente 2 kilos, ¿cuántos kilos de alile dé S/.1000, más 1110 del resto; al
segundo, S/.2000, más 1/10 del
mento dio durante los 7 dlas?
nuevo resto, y asl sucesivamente
~IV
~1~
C)1~
hasta el último. Al hacer el reparto
0)254
E) 64
se nota que todos han recibido lo
@Tres brigadas de obreros pueden hamismo. Hallar el número de hijos.
cer una zanja de la siguiente manera:
A)10 B)6 C)7 0)11 E)9
la primera, en 9 dlas; la segunda, en
Se desea saber el mayor número
10 dlas y la tercera, en 12. Si se empleó, a la vez, 1/4 de la primera bride postulantes que hay en el aula;
si al doble del número de éstos se le
gada, 1/3 de la segunda y 3/5 de la
disminuye en 7, el resultado es matercera, ¿en qué tiempo se hizo la
yor que 29; y si al triple se le dismizanja?
nuye en 5, el resultado es menor
A) 7,8 dlas
B)9dlas C) 10dlas
que el doble del número, aumentaO) 12dlas
E)8,5dlas
doen 16.
Una persona decide repartir SI.
A)18 B)19 C)20 0)21 E)22
43400 entre sus cuatro hijos. Se sabe
que la parte del segundo es a la del
Para valores de A no mayores que
primero, como 5 es a 3; la perte del
18, las magnitudesAy B son O.P.;
@
ª
segundo es a la del tercero, como 7
es a 3; y la parte del tercero es a la
del cuarto, como 2 es a 5. Hallar la
mayor de las partes.
B)14000
C) 18000
A) 6000
0)8400
E) 15000
@
§±§ ª
¿Cuántos segmentos se cuentan
como máximo en?
A) 60
B)80
C)70
0)90
E)100
@
@
¿Cuántos trapecios hay en la si-
A) 104
guientefigura?
B)124
C)72
I~~i~~~
Se define en Z:; una operación representada por., mediante la tabla:
2
3
•
O 1
o
O -1
1
3
2
2
6
5
3
9
8
Calcular: 27.62
A)21 B)18 C)19
@
@
-2
1
4
7
el número de planos
que se pueden formar con 8 puntos,
si se tiene que no hay más que 3
puntos que sean coplanares.
A)336 B)24 C)56 0)48 E)28
una se coloca 3 cajas blancas. Oentro de cada caja blanca se colocan 4
azules y dentro de cada caja azul 5
cajas verdes y aSi, sucesivamente,
hasta completas 8 colores diferentes. ¿Cuántas cajas verdes se colocaron?
3
6
E)25
Las ralces de una ecuación de segundo grado son -4 y 2/5, hallar la
ecuación.
A)x'+2x+1 =0
B)x'+18x+1 =0
C)5x'+18x+8=0
O) 5x'+18x-8 = O E)5x'-18x-8=0
Un auto después de 2 horas de marcha se detiene 15 minutos y vuelve a
ponerse en movimiento con una rapidez igual a 3/4 de la anterior, llegando a su destino con un atraso de
33 minutos, si la detención hubiera
tenido lugar 7 km más adelante de
donde lo hizo, el atraso hubiera sido
de 31 minutos. ¿Qué distancia recorrió?
A)200km B)201 km C)194km
0)250 km
E) 203 km
~ Si tenemos que: 2a =4 b
@
@
ª
ª
Hallar la suma de los valores natura-
@
¿Qué porcentaje del área total representa la parte sombreada?
@
@
A)30
~
0)35%
%
B)25%
C)32~
E)34%
%
8
B)21/20
C)21/22
E) 22/21
¿Cuántas veces 9, como mlnimo,
será mayor que 45?
A)7 B)8 C)9 O) 10 E)6
Se le preguntó la hora a M y responde: "quedan del día, tantas horas
como la suma de cifras del número
de horas que ha transcurrido".¿ Qué
hora es?
A)9:00a.m.
B)11:00p.m.
C)9:00p.m.
O) 10:00 a.m.
E) 5:00 p.m.
Calcular BM; si MF es mediatriz, AC
=12yBC=10 B
A) 2,8
B)2,6
C)5,3
0)6,4
E)5,1
AL-----lF:l--:::...c
Con 19680 un comerciante compró
televisores y radios. Cada TV le
costó $555 y cada radio, $345.
¿Cuántos televisores compró como
máximo?
A) 28 B)49 C) 12 0)5 E)31
Un reloj que indica las horas con
igual número de campanadas, tarda 6 segundos en dar las 5 pm.
¿Qué tiempo habrá transcurrido,
desde la hora en que tardan 10,5
segundos para indica~a, hasta la
Un reloj se atrasa 200 segundos por
hora, mientras que otro se atrasa 50
segundos por hora. Ambos, además,
indican el dia y fueron colocados a la
hora exacta un Miércoles a las 12:00
amo ¿Qué dla y qué hora indicará el
reloj menos atrasado cuando al otro
le lleve una ventaja de 5 horas?
A) lunes 10:40 amo
B) lunes 10:20 amo
C) viemes 6 amo
O)viemes 11:10am.
E) domingo 6 amo
Calcular:A+M+O+Rsi:
ROMAx
L
AMOR
Observación: todos los dígitos son
distintos entre si y ninguno de ellos
es cero.
A)16
@
Hallarel valorde S
2 5
7
9
11
41
S ="3- 6+12- 20 + 30 -... + 420
A) 20/21
0)20/23
les de "a" y "b", menores que 10, que
cumplan la igualdad anterior.
A)3
B)30
C) más de 30
0)9
E)18
@
~ Se tienen 2 cajas negras y en cada
-3
O
0)34
hora en que empleó 16,5 segundos
para indicar?
A)6h
B)7h
C)5h
0)51/2 h
E)4h
Por los lados de un ángulo recto se
mueven 2 cuerpos en dirección a su
vértice. Inicialmente están a 60 m y
80 m del vértice, respectivamente.
Pasados 3 segundos la distancia
entre ellos es 70 m y 2 s después es
50 m. Hallar la menor rapidez.
C)8m1s
A)4m1s
B) 6 mis
0)2,5 mis
E)4,5 mis
~ Oeterminar
0)132
E)108
@
Oe un grupo de 15 personas, 5 son
muchachos, 6 son muchachas y 4
son adultos. ¿Oe cuántas maneras
se pueden agrupar, si en el comité
debe hacer por lo menos 2 adultos,
2 muchachas y 1 muchacho?
B)1750
C)1900
A) 2000
0)1800
E)1810
B)15
C)12
0)13
E)18
Un señor entró a un juego de ruleta,
las n primeras jugadas las perdió todas, habiendo perdido asi 2/5 de lo
que aún no apostaba. En la jugada
n+1 apostó lo que le quedaba y duplicó esta cantidad. ¿Qué fracción de lo
que tenia inicialmente ganó?
A)3/7 B)5/7 C)217 O) 1/7 E)5/9
@se toman las estaturas de los alumnos asistentes a la clase y se suman
todas ellas. Oespués se suma lo que
le falta a la estatura de cada alumno
para llegar a 2 metros y, aparte, se
suma los excesos de las estaturas de
aquellos alumnos que sobrepasan
los 2 metros; finalmente se suma el
primer resultado con el segundo y a lo
que se obtiene se le resta el tercer
resultado que habramos hallado. Hecho todo este cálculo obtuvimos 120,
¿cuántos alumnos eran en la clase?
A)74 B)68 C)40 0)60 E)50
~ Oentro de 12 años la suma de nuestras edades será 54 años; sin embargo, hace x años la diferencia de nuestras edades era de 4 años. Hace
cuantos años mi edad fue el quintuplo de la tuya?
A)5
B)7
C)9
0)10
E)12
@
Oe acuerdo a la ecuación general de
los gases, "el volumen varía de manera directa con la temperatura, pero
inversamente con la presión". ¿Qué
volumen presenta un gas, en este
instante, si al aumentar su valor en 4
litros, la presión y la temperatura variarán en 2/5 y 2/10 de sus valores,
respectivamente?
A)4L B)4,5L C)6L 0)6,5L E)9L
~ En
una pista circular de 420 m de
longitud, dos corredores parten de un
mismo punto en el mismo sentido y,
al cabo de 30 minutos, uno de estos
saca 2 vueltas de ventaja al otro. Pero si parten en sentidos contrarios,
se encuentran por segunda vez al
cabo de 6 minutos. Calcular la rapidez del más veloz.
A)56kmlh B)32kmlh C)38kmlh
O) 62 kmlh
E) 84 kmlh
@
8
son Pedro y Walter) en una mesa
circular. ¿Qué probabilidad hay que
Pedro y Walter no se ubiquen juntos?
A)2I5 B)1/6 C)1/5 0)213 E)1I2
~;,_x_+_4_
x2-4
@Si:X>OAY>OAX+Y= 1, hallar el
mayor valor m tal que:
á
En la figura, MBC es equilátero, res
igual a 1m. Hallar la medida del lado
del triángulo.
B
e
f(a)
0)0
E)8
B)-3
C)O
0)-4
E) 1
~ En el triánguloABC, AO = OC; AO =
BC. Hallar la medida del ángulo a
A) 30'
B
E)2
B~C
M
D
Un padre dejó una herencia a sus
hijos; al primero le dejó la mitad del
total, al segundo la séptima parte del
resto y al tercero la mitad del nuevo
resto. Si sobra S/.600 para pagar al
abogado, ¿cuánto recibió el primero?
ª
ª
B)40'
C)50'
0)60'
E)70'
~
D
En una urna se tienen 4 bolas blancas y 6 rojas. Se extraen al azar, una
por una, sin reposición. ¿Cuál es
la probabilidad de que la bola sea
blanca?
A)2I5 B)4/5 C)3/5 0)4/9 E)6/9
Enmanuel observa que los ascensores que van de subida le alcanzan
cada 60 s, en cambio, se cruza con
los ascensores de bajada cada 15 s.
¿Cada cuánto tiempo salen los ascensores de los terminales (primer y
último piso) si Enmanuel y los ascensores tienen velocidad constante?
A)30s
B)36s
C)21 s
0)24s
E)25s
Para que el número n se pueda partir
en dos partes tales que su producto
sea K se debe tener.
A) K<
O) K
~
e
La probabilidad de aprobar Matemática 1, es 0,6 y la probabilidad de aprobar Flsica I es 0,8. ¿Cuál es la probabilidad de aprobar sólo uno de dichos
cursos?
A)O,12
B)0,48
C)O,32
0)0,44
E)O,14
@AI subir por la escalera de un edificio,
8]]HQ]1l-1lM:]l+Il!j]] +a2 -1 @
a+ lLIDl
A)-2
la figura se tiene un cuadrado
ABCO. Si M es punto medio. ¿Qué
parte del total representa el área de
la región sombreada?
A
C)-l
En una caja hay 10 bolas de billar, de
las cuales 4 son amarillas. Se toman
3 bolas al azar, hallar la probabilidad
de que, por lo menos una, sea de coloramarillo.
B) 10/21
A) 16/21
C) 1/6
0)213
E) 5/6
~ Indicar el número que continúa en:
entero mayor o igual que el número
real x. Calcular el valor aproximado
de F(-2) si:
~ En
ª
ª
La diferencia de las medidas de dos
ángulos A y B es 36'. La suma del
complemento de A con el suplemento de 2A es igual a 1,5 veces el complemento de B. Calcular la medida
del ánguloA.
A)90' B)54' C)74' 0)66' E)84'
2,4,12,60,420, ...... .
Oar como respuesta la suma de sus
cifras.
A)19 B)14 C)13 0)11 E)12
Hallar el mlnimo K de modo que el
sistema:
X2+y2+2<4x
y>K
tenga conjunto solución vaclo.
A) 3 B) 4 C)-.(2 O) --.(2 E) O
••
Si: a.b = 2a+2b+ab
Hallarxen:
E = [x.(2.3)]+[3.(-1)] =-3
A) 1 B)-2
C)-3
0)-1
A) 2/3
B) 1/3
C)3/4
0)5/6
E) 417
@
@ 0 ' donde n es el mínimo número
•
A
B) 1
A)9
@
C)v'3.."
O) 144 v'3-24lt
E) 144(2lt-3v'3)
@
x+2
ª
Q
Según la siguiente figura. Hallar el
área de la región sombreada, si R =
12 cm. (Si todos los arcos de circun-
A)
B) 3Y3
5Y3 l'
l'
C)8Y31'
0)sY31'
E)4Y31'
x-2
Indicar un intervalo solución.
A) <O; +00>
B) <2; 4]
C) $
O) ll!1
E) <-2; 4]
~~~!~iguales®).
8
ª
@> Se ubican 5 personas (dos de ellas
En el año i98t:i, Rocío tenia (a+2b) @OetermineelmaYOrvalOrdea
X2 +y2
años, en 19(2c)(2d) tenía (2c+2d)
Si: ...¡xy > ayxy; (x;y) e ll!1+
años; ¿Cuántos años tenía en
19(b-c)(a+d) si a, b, e, d son cifras
A)3 B)Y8 C)Y2 0)2 E)Y3
significativas diferentes entre sí y a
es la menor posible, además d es el ~
4x-l
~En ¿z: resolver: 2< x+2 <3
menor número par posible?
A)27 B)57 C)37 0)47 E)67
Oar como respuesta el mayor valor
dex.
La figura muestra dos rectángulos
A) 1 B)6
C)4
0)2
E)8
de área S. Si P y Q son puntos medios, el área de la región sombreada ~ Al resolver:
es:
A)4S/3
B)5S/3
C)3S/4
0)7S/8
E)S/2
@
A)S/.1200 B)S/.1300 C)S/.1400
0)S/.1500
E) S/. 1600
A
Oel gráfico; calcular: a+b+c+d+e
A) 360'
B)270'
C)450'
0)540'
E) 180'
La diferencia de las medidas de dos
ángulos A y B es 36'. La suma del
complemento de A con el suplementode 2Aes igual a 1,5 veces el
[~r
B>[
~r K
>[~r
C) K>n
E) K"
2
[~r
@considerandOqUea > b > O. Hallar el
número que es tantas veces más que
b2
- - , como tantas veces menos que
a+b
a2
a+b
A)a+b
O)ab
B)~
a+b
C) a+b
ab
E) a-b
@¿Cuántos objetos diferentes tiene
que haber para que el número de
combinaciones que se pueda formar
tomándolos de 3 en 3, sea el doble
del número de objetos?
A)6
B)5
C)4
D)3
E)2
@calcular:
5=9+11+15+21+ ..... +9909
Indicar la suma de cifras del resultado.
A)8 B)7 C)16 D)10 E)12
@
8
@
ª
@
Desde el vértice C de un cuadrado
ABCD, se traza la tangente CP hacia la semicircunferencia de diámetro AB. Hallar la medida del menor
ángulo formado por CP y BD.
A) 98· B) 70· C) 82· D) 60· E) 37·
Un auto pasa por-'" kilómetro ab y
llega al kilómetro ba en media hora
para luego llegar al kilómetro aOb, en
otra media hora. Hallar la rapidez del
auto.
A)50km/h B)70km/h C)80km/h
D) 90 km/h
E) 100 km/h
Hace exactamente 5 anos, doce
amigos sumaron todos su años de
nacimiento y al resultado le añadieron la suma de todas sus edades,
obteniendo finalmente 23908. Ahora
que estamos en 1998, ¿cuántos aún
no cumplen años?
A)6
B)5
C)4
D)7
E)8
Se tienen 14 fichas rectangulares de
5/3 cm de ancho y 11/6 cm de largo.
Calcular el menor número de fichas
(con las mismas dimensiones que
las anteriores) que hacen falta para
poder formar un cuadrado.
A)110 B)I04 C)96 D)86 E)74
B) m+n
a+b
C)
D) a-b
@
ª
@
Si: m*n =
En una reunión se observa que el
40% del número de hombres es
igual al 60% del número de mujeres
¿Qué tanto por ciento más es el número de hombres respecto del número de mujeres?
B)30%
C)40%
A) 20%
D)50%
E)25%
Se introducen M monedas en forma
casual en N cajas. Determinar el
número de casos de que en la primera caja se introduzcan K, monedas; en la segunda, K2 monedas y
asl sucesivamente; en la N-ésima
caja KN monedas, tal que:
K,+K2+ ... +KN=M
B)~
~~~~ J+y'ii; n" m
Calcular el valor de: 1
64*2(2 10 *1936)
@
M
N
@
@
La distancia por carretera entre dos
ciudades es un número entero de
kilómetros comprendidos entre 180
y 218. Un ómnibus la recorre en 3
horas y 20 minutos empleando una
rapidez expresada en kilómetros
enteros por hora y otro ómnibus la
recorre en 4 horas con una rapidez
también expresada en kilómetros
enteros por hora. Hallar la suma de
las respectivas rapideces.
B) 130 km/h
A) 120 km/h
C) 111 km/h
D)135km/h
E) 110km/h
Calcular: E=fli+ffiA)9
8
@
B)4
C) 10
las horas transcurridas y las que
faltan transcurrir son (a-2) y (a+2),
respectivamente. ¿Qué hora será
a+2
dentro de - - horas?
a-5
C)1 pm
A)10am
B)12m
D) 11 pm
E)8pm
~ Si la suma de los n primeros múltiplos
de3y7,a la vez es iguala 17220; hallarla suma de las cifras de (n+l)2
A)12 B)10 C)14 D)16 E)18
~ Con
2300 tipos de imprenta, ¿cuál
seria la última cifira escrita, si enumeramos un libro en forma decreciente
a partir de 1977?
N5
~4
C)3
~2
~1
@
En una tienda en la cual se vende sólo bicicletas y triciclos, contamos 700
timones y 174 llantas; además, del
total de bicicletas, la tercera parte son
de bicicletas, la tercera parte son de
carrera.
¿Cuántas bicicletas que no son de
carrera hay en dicha tienda?
A)75 B)60 C)48 D)24 E)12
~ "El dia 220 del año 2024,
el hombre
pisará Marte". Un adivino advierte
que ello ocurrirá exactamente 30 días
después; ¿en qué dia, según él,
ocurrirá el suceso?
A) 7 agosto
B) 8 septiembre
C) 6 septiembre
D) 7 septiembre
E) 8 agosto
m
D) 1
La edad de Rocio sobrepasa en 5
años a la suma de las edades de sus
tres hermanitos menores. Dentro de
10 años, ella tendrá el doble de la
edad del mayor, dentro de 20 años
tendrá el doble de la edad del segundo y dentro de 30 años tendrá el doble de la edad del tercero. Hallar la
edad que tenia Rocro hace 5 años.
A)50 B)40 C)45 D)60 E)80
~ Si
!
Lance usted una moneda corriente
tres veces. ¿Cuántas posibilidades
obtendrá de que en el segundo lanzamiento salga cara?
A)8 B)6
C)4
D)2
E) 16
C) 5/.300
E) 5/.500
durante 3 días; hasta que solamente
han quedado 10 galones de H20. Si
cada dia se extraia las 2/3 partes más
3 galones, ¿cuál es el volumen total,
en galones, desalojado hasta el
momento?
A) 387
B)257
C)487
D)277
E) 377
C)MN
E)
B) 5/.200
~ Un estanque se ha estado vaciando
¡=1
2
C)2/3
E) 1,50
A) 5/.1 00
D) 5/.400
IIKi!
~ Si: mm+n=n3 ; nn+m=m 3
Calcular: m+n
A) 3/4
B)3/2
D)4/3
Si una hormiga recorre todas las
aristas de un cubo de 3 minutos, como minimo; ¿en cuántos segundos
recorre una sola arista?
A)12 B)15 C)16 D)18 E)21
1"'1
E)II:%
8
E)4
@Si:&=4X+12yA=6X+6
Si la base de un rectángulo aumenta
en 10% Y el área no varía es porque
la altura disminuye en ...... .
A) 90%
B)81%
C)I/II%
~
D)1
D) N!
B)xe[2;7] C)xe[3;8]
E)x e [2;8]
D)9 ,', %
C)14
IIKi
ab
Resolver: ...¡_x2+9x-8 > x-12
B)10
A) M!
E) a-b
m-n
m+n
A)xe[I;8]
D)x e [4;8]
@
@
Si vendo cada pera a m soles podré
comprar una radio y me sobrarlan
S/.a. Pero si vendo cada una a n soles (m>n) compraria el radio y me
sobrarian b soles. ¿Cuántas peras
tengo para vender?
A) mn
ab
8
A)8
E)-3
Se tiene 3 ruedas dentadas conectadas entre si: A con 20 dientes, B
con 13 dientes y con 15 dientes. Si
B gira con una rapidez de 60 RPM,
¿cuántas veces, durante 1/2 hora,
sus puntos de contacto iniciales se
tocan simultáneamente?
A) 15 B)25 C)30 D)31 E)40
Cuando se mezclan dos clases de
vino en la relación de 4 a 5, el litro
vale 5/.6. Cuando se mezclan en la
relación de 3 a 2, el litro vale 5/.6.
¿Cuál es el precio del hectolitro de
cada clase? Dar como respuesta el
menor precio.
@
®
En un aula de 60 alumnos los 3/1 Odel
total son hombres. ¿Cuántas mujeres deberán retirarse para que los
hombres sean ahora los 3/5 del nueva total?
A)60 B)18 C)12 D)42 E)30
Se sabe que: 3x+y = -y-z
Calcular: x+z
z-y
A)2
B)2/3
D) 1/3
C)3
E) 1/5
8
El alcohol es 3/5 de una mezcla y se
desea que sea la mitad de toda la
mezcla. ¿Qué fracción del total inicial de mezcla deberá agregarse de
H,O para que ocurra asl?
A) 1/10
8)213
C)3/5
0)4/5
E) 3/8
A)2 '5 _1
8)2 '9 _1
C)2 20 +1
0)240 +1
8
8
8
En la enumeración de las páginas de
un libro se ha utilizado 4629 tipos de
imprenta en total. ¿Cuántas hojas
tiene el libro?
A) 1434
8)1856
C)275
0)717
E) 659
Las dos últimas cifras de la suma de
53 números enteros consecutivos es
58; entonces la última cilra del cuarto número entero consecutivo es ...
A)1
8)3
C)5
0)7
E)8
~
80
~ Calcular:A=4+ ~ (2K+1)
A) 54
8
8
8
8)6161
8
8
CalcularM+N+P+Qsi:
M =2'+4'+6'+...... +22'
N=1+3+5+ ...... +59
P= 1'+3'+5'+...... +21'
Q = 2+4+6+ ...... +60
A) 5385
8)5625
0)5670
8
8
8
®
C)12
0)14
se cuentan en total, en el siguiente
gráfico?
A) 190
@
Para cercar un terreno de Ionma
rectangular se han usado 16(n' -1)
estacas de 2m de altura. Si las estacas se colocan cada n-1 metros,
calcular el perlmetro del terreno en
metros.
A)4(n-1)'(n+1) 8) 16(n-1)
C) 16(n-1 )'(n+1)
O) 16(n+1)3
E) 16(n+1)'(n-1)
En la figura, ¿cuántos sectores circulares hay?
A) 20
8)44
C)48
0)50
®
8
C)5400
E) 5695
E)16
Alas 9:34 amo se roció un enjambre
de moscas con insecticida. Por cada
minuto que pasa mueren 4/5 de las
moscas que hubiera en ese momento. Si a las 9:40 amo quedaba una sola mosca. ¿Cuántas habian inicialmente?
A) 3625
8)125
C)625
0)78125
E) 15625
Calcular la suma de todos los elementos del siguiente triángulo de
Pascal, hasta la fila 20.
E) 2Y3 m
En la figura se muestra un cuadrado
cuyo lado mide 8 cm. Calcular el perímetro de la región sombreada.
8
@
En la figura que mostramos, ¿cuántos triángulos hay en total?
A) 80
8)60
C)70
0)72
E)67
Calcular el número total de triángulos
A)3n+1
8)3n-2
C)3n-1
0)n'+2n
E)3n
8
En la siguiente figura el máximo número de sectores circulares es:
4J'2
A)
120
8)140
\
I \\
C)60
~100
E) 54
760
x 37 39 49+ 25' -24'
1481Y95
x x
38x40
8)10
C) (Y3+1) m
Los equiposAy 8 juegan un tomeo
A)(4,.+V6-v'2)cm
8) 4,. cm
de baloncesto en donde el primer
C)4(47t13+V6)cm
O) 8,. cm
equipo que gane dos juegos seguiE)(167t13+V6)cm
dos, o un total de cuatro juegos,
gana el tomeo. Hallar el número de
a;sia>o
maneras como puede desarrollarse @sedefine:lal=
O;s~a=O
{ -a;sla<O
el torneo.
A)14 8)17 C)18 0)13 E)15
Resolver: I x-21 = 3x
A)-1/2 8)0 C) 1 O) 1/2 E)3/2
¿Cuántos puntos de intersección
E)150
Calcular:
A)8
m
•
m~~CDJi)"'@
0)188
1 2 3 4 ...... 19 20
C)2558
E)6165
Rosa gana en 3 juegos consecutivos
1/3 de lo que tiene antes de cadajuego y en el4to. pierde los 2/3 de lo que
tenia antes del tercer juego, resultando con S/.512. ¿Con cuánto empezó ajugar?
8)502
C)428
A) 432
0)792
E) 234
V;
O) 3Y3 m
\ @
/
8) 2
8)56
C)46
0)26
E)36
K=20
A) 6750
0)6043
A) Y3 m
¿Cuántos exágonos hay en la siguientefigura?
inverso de 7/2 es los 2/49 de los 4/5
del triple de la mitad de 1/4?
A) 15
8)3/5
C) 1/6
0)215
E) 4/5
igual a 38 veces la décima parte de
3/4.
8)47/20
C)3/4
A) 57/20
0)4/5
E)56
1
1 1
12 1
13 2 3 1
E) 2'0_1
@3) ¿Qué parte de los 3f7 de los 5/20 del
@J) Hallar los 5/19 del número que es
1,
1,
t,
f.
'~
E)90
¿Cuántos triángulos tienen a la vez
un asterisco y dos corazones solamente?
A)13
8)12
C)11
0)10
E)15
Calcular el máximo número de triángulos de la figura:
A) 63
1
8)72
C)66
0)89
E)90
En un triángulo rectángulo OA8
1
8
8
1
21
2
3
4
En un terreno de Ionma rectangular, el
ancho es la tercera parte del largo.
¿En qué relación están el perímetro y
el lado mayor?
A)8/3 8)513 C)2I3 O) 1/3 E)3/8
Calcular la longitud de la circunferencia. Si O,yO,son centros.
~
01
A)8,.
@
8)2,.
C)6,.
02
0)10,.
E)4,.
El precio de un artículo se rebaja en
10%; para volverlo al precio original,
el nuevo precio se debe aumentaren:
(rectoenA),OA=1m,A8= 208.
A)11i%
Calcular el perímetro del triángulo
OA8.
0)10-'-%
3
8)11%
C)12i%
E)9-'-%
11
®
@§> Se define:
IX-31 = ~-1
Además: ~ =7
Calcular: ~
A)10
D)6
@
@
B)7/2
¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguientefigura?
A)17
B)20
C)23
D)21
E)15
El número de triángulos rectángulos
en la figura es:
@
@
D) 12112
E) 2112
@
@
~
A)12
B)22
C)32
D)36
E)70
®
C) 10/3
E) 17/3
¿Cuántos triángulos se cuentan en
total?
A) 60
B)48
C)49
D)40
E)63
Hallar la ecuación de la recta L de
pendiente -3/4 que forma con los
ejes coordenados un triángulo de
área igual a 24 m2.
A)x+4y=24
B)3x+4y=24
C) 3x+4y =-24
D)x-y=8
E)3x-y=24
Hallar el área de la región limitada
por la linea que une los puntos
A(1 ;3), B(2;5), C(4;3), D(6;2), E(4;-2)
yF(2;-3)
@
@
8
@calcular:
E=
A)13
@
8
8
@
A L.-~R".'--.::::::iI.C
Magaly tiene 7 años menos que Virginia y los 3/4 partes de la edad de
Virginia equivalen a la edad de Magaly. ¿Dentro de cuántos años la
relación de edades será de 4 a 5?
A)7 B)6 C)5
D)3
E)2
Un cilindro de radio 2Nit m, lleno de
agua es vaciado en 4 horas mediante una tuberla que arroja 1 L
por segundo; ¿qué altura tiene el
cilindro?
A) 3m
B)3,6m
C)4,2m
D)7,2m
E)4,8m
Dos lados de un triángulo están
contenidas en las rectas:
L,: 3x-2y-5 = O
L2: 2x+3y+7 = O
Si uno de sus vértices esA= (-2;1),
hallar el área del rectángulo.
C) 5112
A) 6112
B) 3,5112
~9~
A) 20 112
D) 11112
13!+14!+15!
13!x15
B)14 C)15 D)16
Hallar el área de la región sombreada, P = (4;6), O = (6;8) Y R = (5M;4).
G: baricentro
B
A)311 2
B)6112
C)9112
~8~
28 cifras
8
8
B)28
C)56
E)29
Si el área del triángulo sombreado es
de 12 u2, además L, es ortogonal a
L.. encontrar la ecuación de L,.
Y
A) 5x+y = 5
B)3x+2y= 18
L2
C)3x-2y= 18
D) 4x-y = 9
X
E) 2x-y = 18
Luego de resolver:
1-.y;¡:¡;¡2 <
x3
[Ya J
Tendremos:
A)
~
C)x e
B) x e
(O, ~)
D)x e ill
®
2
x
{~ ; a{O}
E)x e <6; 8>
Resolver: 12x+91 = x-1
B)x=-1vx=-3
C)x=-3vx=0
D)x=-1
E)x=O
A)xe~
Determinar el área de la figura formada por la intersección (2 a 2) de
las siguientes rectas:
~
x(5-x)
L,: 2x-3y+7= O
~ Resolver: --x+9';0
L2: 4x-7y+19 = O
A)x e [-9; 5]
B)x e <-9; 5]
L3: x-2y+5 = O
C)
x
e
<-9;
O>
u
[5;
+<Xl>
A) 1112
B)3112
C) 1,5112
D)x<-9; O] u [5; +<Xl>
E)x e <-9; 9]
E) 0,5 112
D)2112
@
Hallar el valor de R"" si:
R,=2x2+1
R2=4-6x4
R3=6+12-9
R.=8x20+16
R. = 10-30x25
@
A)O
D)180
B)60
C)120
E) 140
@
Resolver: x24x-21 ;, O
A)x e <-<Xl; -3]
B)x e <-<Xl; 7]
C) X e <-<Xl; -3] u [5;+<Xl>
D) X e <-<Xl; -3] U [7; +<Xl>
E) X e <-<Xl; 4>
Hallarel mayor número real m tal que
m';x24x+31
A) 24 B)25 C)27 D)29 E)31
Hallarel menor número real M tal que
¿De cuántas maneras diferentes se
6+6x-x2';M
puede viajar de A hacia B sin retro- 8calcularelvalordeF2oen:
A)6 B)15 C)16 D)12 E)18
ceder?
A
F,=1-10+1
F2=3x204
A)28
@Si la probabilidad de q~ un niño gaF3=6-t30+9
ne una rifa es igual a 0,3. ¿Cuál es la
B)33
F.= 10+40-16
probabilidad de que no gane la rifa?
C)30
F,= 15-50+25
A)1/3 B)1/2 C)1/5 D)1/4 E)2/3
D)32
E)35
@sedefineenill:ao b=a+b-15
B
F20
B)105
A)210
C)20
Calcular: [(2-'03)(704-')]-'
H:,II:,r el área del triángulo cuyos
D)70
E)10
Observación: a- 1: elemento inverso
vertlces son: (3;7), (-2;1), (5;-3)
dea.
A)31
B)15,5
C)17
Calcular la suma de cifras del resulA)-11
B) 10 C) 11 D)21 E)-21
D)62
E) 13
tadode:
A= [(333 ...3355)2-{333 ...3333)2]2 x 2-4
¿De cuántas maneras se pueden
Los puntos medios de los lados de
, '00 dfraS' , '00 Cirros '
colocar 7 niños en una fila, de
un triángulo POR son A(8;9), B(9;2),
manera que 3 niños en particular
C(7; 1). Hallar las coordenadas del
A) 301
B)256
C)441
queden juntos?
baricentro del triángulo POR.
D)601
E) 701
~
8
@
Hallar la cantidad de ceros que tiene
el desarrollo de:
E = (123000 ...... 0)2
'-----v------'
A) 25
D)50
d.o= ¿ ?
E)17
¿En qué cifra termina "N"?
N = (625)12'+(343)27_(328)'29
A)4
B)5
C) 1
D)O
E)3
@
A)120
D)720
8
8
8
@
B)5040
C)900
E) 840
De la ciudad A hasta la ciudad B se
conocen 7 caminos yde B a C, 5; determinar el número de caminos diferentes que conducen desde A hasta
C, pasando por B.
A)12 B)35 C)18 D)20 E)30
En una tienda hay 7 camisas y 5 pantalones que me gustan. Si decido
comprar 3 camisas y 2 pantalones,
¿de cuántas maneras diferentes
puedo escoger las prendas que me
gustan?
B)35
A) 350
C)75
D)45
E)450
¿Cuántos números de 3 cifras utilizan al menos una cifra par o cero en
su escritura?
A) 850
B)750
C)800
D)625
E) 775
En el sistema de base 7, ¿cuántos
numerales de 4 cifras todas diferen-
tes, pueden escribirse sin que ningún numeral sea par?
A) 200
B)350
D)300
@
@
@
8
al azar, ¿cuál es la probabilidad de
que esta ficha tenga un número
múltiplo de 4 ó 5?
A) 9/20
B)2/5
C) 1/5
E) 1/8
D)3/10
8
@
@
En una urna se tiene 7 bolas azules y
5 bolas blancas, todas del mismo tamaño. Si extraemos 3 bolas, una por
una sin reposición, ¿cuál es la probabilidad de que la primera sea azul,
la segunda blanca y la tercera azul?
A) 7/24
B) 12/77
C) 7/44
D)5/12
E) 3/32
¿Cuántas formas diferentes de extraer 5 cartas de una baraja de 12
existen?
A)792 B)72 C)2 D)23 E)20
@
@
@
8
@
8
C)2300
E) 2955
Cinco amigas desean tomarse una
foto y se acomodan en linea recta. Si
entre ellas hay 2 hermanas, ¿cuál es
la probabilidad de que éstas queden
juntas?
A) 1/5 B)I/3 C)I/10 D)I/6 E)2/5
¿Cuál es la probabilidad de que al
lanzar dos dados se obtenga dos números cuya suma sea 5?
A) 1/9 B)2I9 C)I/12 D)I/6 E)I/5
En una caja hay 20 fichas numeradas dell a120. Si se extrae una ficha
E) V3-1 m
2
@
Una moneda se lanza 4 veces. Calcular la probabilidad de que haya
salidos dos caras y dos sellos.
A) 3/16
B)3/8
C)2/5
Calcular la razón entre el área de la
región sombreada y la no sombreada. AB: diámetro de la semicircunferencia.
A) 9/4 "
B)3"'4
C)4"'9
D)3/4
~ln6
E) 3,,+9
B
7
Una pareja de enamorados y 4 amigos se ubican en una fila de 6 asien@sedefineenIF!.:
tos. ¿Cuáles la probabilidad de que
a.b=ab
la pareja esté en el centro? (Si la paE = [(3·'.2·').(1·'.5·')]·'.
reja están juntos)
A) 1/60
B) 1/20
C) 1/15
Donde: a·' elemento inverso de a.
D) 1/24
E) 1/36
A) 64
B)120
C)136
D)150
E) 240
Si lanzamos sobre un piso liso 6
monedas. ¿Cuál es la probabilidad @calcular el área de la región somde obtener 2 caras y 4 sellos?
breada, si ABCD es un cuadrado de
A)15/64
B)15/32
C)I/3
lad08cm.
B
e
D) 89/64
E) 8/25
A)(5Y3+2)cm
B)(16-V3)cm
Determinar la ecuación de la recta
C)(5Y3-2)
cm
de pendiente positiva que pasa por
el punto (0;1) y forma un ángulo de
D)(16Y3-1)cm
45· con la recta L: 3x+2y-l =0.
E)(8Y3-5) cm
A
D
A)5x-y+l =0
B)x-5y+l =0
Hallar la pendiente de la recta que
C)5x-y-l =0
pasa por el punto medio del segmenD)5x+y+l =0
E)x-5y-l =0
to que une los puntos M(-3;2)y N(7;6)
Determinar la ecuación de la recta
yel punto P(x;y) tal que AP/PB = 1/2,
que pasa por el punto R = (8; .e) y
siendoA(0;-2) y B(5;0).
forma un triángulo isósceles con las
A) 215
B)I/16
C)16
rectas L,: y= 3yL,: 3x+y-12 = O. De
D)-1/6
E)-5/2
tal manera que el lado desigual del
triángulo esté contenido sobre L,.
Hallar la ecuación de una recta L que
pasa por el punto Q = (4; -3) Y es paA) 3x-y-30 = O
B) 3x+y-30 = 30
ralela a un segmento L, cuya ecuaC)3x+y-30=0
ción es y = 3x+5.
D) 3x-2y+l = O
E) 3y-x-30 = O
A)3y=x+15
B)y=3x-15
Determinar n de modo que la recta:
C)y=3x+15
12 nx-9y+129 = O
D)y=x+15
E)3y=x-15
intersecta al segmento de extremos
Un alumno para prepararse tiene que
A(2;3)yB(11 ;6)en la razón 2/7.
escoger entre 4 academias y cada
A) x-y = 15
B)3x+y= 15
una de éstas tiene turnos de mañana,
C)x-3y=30
tarde y noche. ¿De cuántas maneras
D)x+3y=30
E) 3x-y = 30
podrá matricularse?
A)10 B)11 C)12 D)13 E)14
Para qué valor de K, son los términos consecutivos de una sucesión
¿De cuántas maneras distintas se
geométrica,los números:
pueden colocar alineadas 8 mone...... ; (3K+l); (K-3); (2K+9); ...... .
das de las cuales 5 son de 20 céntiA)1
B)3
C)7
D)-7
E)5
mosy3de 10céntimos?
Hace dos anos, Pepe pesaba 1 kg.
A) 40
B)60
C)56
menos, si entonces el cociente enD)72
E)81
~
®
@
@
mo máximo al unirios?
B)45
@SiABCDes un cuadrado de lado 2 m.
Calcular el área de la región sombreada.
A)2m
B)12m
C)Y3/2m
D)Y3-1 m
rn.'
L4J
En cada lado de un pentágono regular se consideran 5 puntos sin tomar
en cuenta los vértices. ¿Cuántos triángulos que tienen como sus vértices dichos puntos se obtendrán, coA) 895
D)2400
De una caja que contiene 3 bolas
negras, 4 blancas y 2 amarillas, se
extrae al azar una de ellas, hallar la
probabilidad de que la bola extralda
no sea negra.
A)2I3 B)4/9 C) 1/3 D)2I9 E)5/9
~lm
C)600
E)150
Determinar cuántas cifras impares
se han escrito en todos los números
pares de 2 cifras.
A)20 B)30 C)15 D)45 E)25
Se tienen ta~etas numeradas del
10 al 99. Si se extrae una tarjeta al
azar. ¿Cuál es la probabilidad de
que su número sea un múltiplo de
4ó5?
A)4/5 B) 1/5 C)3/5 D)3/10 E)2I5
tre su peso y su edad era 5/3 y ahora
el cociente está entre 1 y 6/5; ¿qué
edad tiene Pepe?
A) 1
B)2
C)3
D)4
E)5
@
@
@
@
8
@
8
8
8
La recta L,: 3Kx+5y+K O2 es paralelaa la recta 5x+3y= 7.
Hallar el valor de K.
Hallar la ecuación de la recta que pasa por (2,5) y es perpendicular a L,.
A)k=25/9
B)k=5/3
3x-5y-19=0
lx+5y+19=0
C)k=25/9
3x-5y+19=0
O) k= 8/25
E)k=5/9
3x+5y-19=0
3x-5y+19=0
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto Q = (2;-1) Y es perpendicular a la recta L: 7x-9y+8 = O
A) 9x+7y = 11
B)x-y= 11
C)7x-7y= 11
0)x-9y=4
E) 7x+9y = 11
El punto P está en el segmento de
recta entre los puntos P, (1 ;7) Y P2
(6;2) Y está 3 veces más lejos de P,
que de p .. Hallar las coordenadas
de dicho punto.
A)(I;4)
B)(6;2)
C)(5;3)
0)(5;7)
E)(7;3)
nera que las consonantes ocupen
sus mismos lugares iniciales?
A)3
8
@
8
B)4
C)5
0)6
E)7
Oe un grupo de 8 hombres y 7 mujeres. ¿Cuántos grupos mixtos de
7 personas se pueden formar, sabiendo que en cada grupo hay 4
varones?
A) 2350
B)3450
C)2450
0)3630
E)15
ª
Hallar las fracciones con numeradores primos que estén comprendidos
entre 11/13 y 517, sabiendo que sus
denominadores son 91. Indicar el número de fracciones.
A)4
B) 1 C)5
0)2
E)3
~ ABC es un triángulo equilátero de la-
Oos rectas paralelas L, y L2 pasan
por A = (0;3) Y B(3;0) respectivamente y determinan áreas iguales
con los ejes coordenados. Hallar la
ecuación de la recta L2.
A)y=x-3
B)y=x+3
C)y=x-4
0)y=x+4
E)y=x+l
Se tiene dos rectas perpendiculares L, y L.. donde L, pasa por los
puntos (0;3) y (6;6). Hallar la ecuación de L2, sabiendo que pasa por el
punto (5;0).
A)2x-y=-10
B)x-y= 10
C)2x-y= 10
0)2x+y=-10
E) 2x+y = 10
Calcular la raíz cúbica del último términodeF20
A)50 B)55 C)30 0)27 E)64
do 16Y3. O es centro de la circunferencia. Calcular el área de la región
B
sombreada.
~~;;1l
~
C) 120Y3-2lt
0)Y3-21t
E) 24(5Y3-21t)
'0
e
A
~ Hallar el área de la figura sombreada,
siAB=PC=8cm,m <tA=m <t 0=
90·; m <t ABP = 20·; m <t PCO = 50·.
A)
2
56 cm
B)48cm 2
C) 16cm2
O) 32 cm 2
E)64cm2
BEa
e
Una recta L, pasa por los puntos
20·
50·
(3;2) y (-4;-6) Yotra recta L2pasa por @Si:ABceSunrectángUIO
el punto (-7;1) y el punto A cuya orCalcular: S" si S,+S2= 10cm2
A
p
D
denada es -6. Hallar la abscisa del
~5=2
B
e
punto A, sabiendo que L2 es perpen@Hallar:
B)8=2
diculara L,.
1
2
3
4
C)20cm 2
A)2 B)3
C)-1
0)-2
E) 1
S =""6+15"+ 40+ 96+······
0)4cm 2
@J)
,
E) 10cm2
A
D
La pendiente de una recta que pasa
40 sumandos
por el punto A(3;2) es igual a 3/4. SiA)206/415
B)100/357
C)205/411
Calcular el área de la región somtuardos puntos PyQsobre esta recO) 603/21 O
E) 504/605
si
ABCO
es
un
rectángulo.
breada,
ta que disten 5 unidades de A. Oar
B
e
~
X3 +y2
como respuesta uno de ellos.
~Sedefine:x2.ya=-2A)(6;-2)
B)(6;6)
C)(-1 ;-1)
Calcular: 4.512
E)(0;-2)
0)(9;14)
s
s
A)18 B)24 C)30 0)36 E)42
Oe un grupo de 15 personas, 5 son
Calcular el número de palitos en la
muchachos, 6 son muchachas y 4
A_S
11.
S_D
siguiente torre:
son adultos. Se desea formar un
/1'
comité de 6 personas. ¿Oe cuántas
A)4lt+Y3 B)6Y3
C)6(Y3-lt)
/1'/1'
maneras se pueden agrupar, si en el
O)lt-Y3
E)6(3Y3-lt)
/IVIVI'
comité debe haber por lo menos 2
adultos, 2 muchachas y 1 mucha/IVIVIVI'
Si: la1.-º- = a/2+3b
cho?
= 3a+3b/2
B)1800
C)600
A) 1600
/IVIVI'-/IVI'
~=5a-3b
0)150
E) 900
3 4·····19 20 21
1
2
Hallar:
A)
400
B)441
C)575
En un grupo de jóvenes hay 8 varo0)630
E) 245
Si
se
cumple
que:
=
9;
rxlYI=
21
nes y 6 mujeres. Si se desea elegir
~s
@
"-
v:..---=-=----/
@
@
i
1
@
8
8
Se tiene los siguientes libros: uno de
Física, uno de Geometria, uno de
Aritmética, uno de Quimica y uno de
Álgebra. ¿Oe cuántos modos puede
disponerse en un estante si el de Álgebra siempre está al medio?
A)100
B)120
C)24
0)12
E) 720
Se tiene la palabra AOUNI. ¿Cuántos ordenamientos podrán formarse
con todas las letras a la vez de ma-
A)20
@
ª
/
ía1.!1J
"lL
un grupo de 5, donde haya 3 mujeres, ¿de cuántas maneras se podrá
obtener el grupo?
A) 200
B)280
C)480
0)760
E) 560
@
i
1
B)21
rxlY.
C)24
0)23 E) 18
A80 Lde una mezcla alcohólica con
3/5 de alcohol se le añaden 40 L de
H20. ¿Cuántos litros de OH puro se
deberán agregar a esta mezcla
para obtener la concentración inicialdeOH?
A)20L
B)40L
C)50L
0)60L
E)70L
~ En el siguiente arreglo:
F,
F2
Fa
F.
1
8
27
64 125 216
343 512 729 1000
i/
\
"
@¿Cuáleslamínimacantidaddeesferitas que se debe mover en la figura
para que esté en sentido contrario?
A)1
O
B)2
00
gl~
000
0000
E)5
®
Oe la siguiente figura calcular: AA 80mb b
A) 11/2
oosom
B)13/5
a
a
a
C)I2/5
0).11
a
a
MJ;i¿]
3
13
E)1T
a
a
a
@
Calcular el área de la región som-
!~:da:
~L
B)12
C)15
A) 10a.m.
C) 10:40 a.m.
D)11 a.m.
@
6
D)18
E)27
@
@
Juan cercó su jardln y la cerca fonmó
un cuadrado en el que hablan 10
postes, en cada lado. ¿Cuántos postes utilizó como mlnimo?
A)40
B)39
C) 38
D)36
E) 44
@JaZmine nació el 16 de enero de
1971 y Yamilet el4 de julio de 1972:
¿en que fecha la edad de Jazmine
fue el triple de la edad de Yamilet?
A) 19 marzo de 1973
B)20marzodel973
C)21 marzo de 1974
D)20marzodel974
E) 27 marzo de 1973
8
¿Qué parentesco tiene conmigo el
padre del 110 del hijo del henmano de
mi padre?
A) primo
B) hijo
C)padre
D)henmano
E) abuelo
@Hallar:E=V4.Y4.Y4 ..... a
Si: m.n = (2n)2-3m
A) 1
B)2
C)-1
D)-2
E)4
8
Un caballo, atado con una soga de 3
metros de longitud, demora 3 dias
en comer el pasto que está a su alcance. Si la soga tuviera 2 veces
más de la longitud anterior, ¿en
cuántos dias comeria todo el pasto a
su alcance?
A)13
B)36
C)25
D)27
E)49
@
Una mecanógrafa escribe 60 palabras por minuto, empieza su trabajo
a las 9 a.m., 30 minutos después
empieza otra mecanógrafa que escribe 80 palabras por minuto. ¿Aqué
hora habrán escrito el mismo número de palabras?
'--~v
1998 paréntesis
A) 1
6.4
9 •• 50
A)16
@
B)18
C)17 D)15
E)13
Sabiendo que: x+y =Y5; xy = 2
@
Hallar: -"- + 'L
y
x
A)-ª-
2
ª
B)Y5
2
D)~
1
C)-5
E)~
2
3
J
B)O
C)80
E)100
D)79
@
... 4 ... x
2 ••
1 .........
......... 4
En una pista circular de 1800 metros,
dos móviles se cruzan cada 45 segundos, si van en sentidos opuestos;
y cuando van en el mismo sentido
están juntos cada 3 minutos.
Calcular la mayor rapidez.
A)20m/s
B)36m/s
C)25m/s
D) 15m/s
E)30m/s
Hace 15 años, la edad de Ana y la
edad de Betty estaban en la relación
de 3 a 7; pero, dentro de 10 años, sus
edades serán como 4 a 6. ¿Qué edad
cumpliráAna dentro de 10 años?
A) 30 anos B)40anos C)45anos
D) 25 anos
E)35 anos
@
He gastado los 5/8 de mi dinero. Si en
¿Cuántos palitos se han utilizado
lugar de gastar los 5/8 hubiera gastapara la construcción del siguiente
do los 2/5 de mi dinero, lendrla ahora
castillo?
/\
72 soles más de lo que tengo; ¿cuánA) 3675
/\/\
tonogasté?
/\/\/\
B)3900
A) S/.1 00
B)S/.110
C)S/.120
/\/\/\/\
C)2975
D)S/.125
E)S/.130
:
D)3225
/\/\/\.... /\/\/\
@Si:W .W=(a+l)(b-2)
E) 4205
1 2 3
484950
Hallar: 8.9
@calcularelvalordes:
A)17
B)38
C)93
1
1
1
1
D)125
E)175
S=-+-+-+-+
3 32 33 3'
A) 0,25
B) 0,50
C)O,75
Según la ley de Boyle, la presión es
D)1
E)2
inversamente proporcional al volumen que contiene detenminada can@Si:UU+NN+jj=UNI
tidad de gas. ¿A qué presión está
Hallar la suma de las cifras del resometido un gas, si al aumentar esta
sultado de (U+N+I)2
presión en 2 atm, el volumen varia en
2/5 de su valor?
A)9
B)8
C)7
D)6
E)5
A)latm
B)3atm
C) 3,5 atm
D)2,5atm
E)4atm
Un ni no ha caminado durante 14
hora; si hubiera caminado una hora @Altabularlaexpresión:
menos con una rapidez mayor en 5
y= ax2 +bx+c;
km/h, habria recorrido 5 kilometros
se obtuvo:
menos. ¿Cuálessu rapidez?
//
\\
ª
@
I : I : I ~ I;
A)60km/h B)65km/h C)70kmlh
D)80km/h
E)50km/h
@
~ Hace 6 años, las edades de Antonio
y Dina estaban en la relación de 1 a
4; pero, dentro de 8 años, sus edades serán como 5 a 6. ¿Cuál será la
edad de Antonio dentro de 10 años?
A)10
B)12
C)17
D)20
E)21
E)II:20a.m.
Completar la siguiente multiplicación y dar como respuesta la suma
de cifras del producto.
6
Yo tengo el triple de la edad que tú
tenias cuando yo tenia el cuádruplo
de la edad que tuviste cuando mi
edad era el triple de la que tú tenias,
en ese entonces; pero cuando tú
tengas mi edad, entonces nuestras
edades sumarán 28 anos. ¿Qué
edad tengo?
A)8
B)10
C)16
D)12
E) 14
@Si:a#b=3a2+4
Hallar: (5#(6#(7#(8#.... )))
B) 10:30a.m.
Hallarel perimetro del Ll.ABC, si DC
=3ryr=2cm.
A) 14cm
B
Luego, si x = -2 entonces "y" es igual
a:
B)24cm
A)-8
D)11
C)12cm
D)18cm AL---"_OO---~
E) 36 cm
o
@
Un trailer que nonmalmente utiliza
18 llantas para movilizarse recorre
esta vez 1600 km utilizando, además, sus 6 llantas de repuesto. Hallar el recorrido promedio de cada
llanta. Dar como respuesta la suma
de cifras del resultado.
A)7
B)9
C)6
D)3
E) 1
I
@
B)6
C)-5
E)-12
Determine el perlmetro de la siguiente región sombreada.
1
R=79
A)I640"
D) 800 "
B) 900 "
C) 820 "
E)1000"
7A. . . ."O D. " • •PU• •7AS
1492 - B
1493 - D
1494 - D
1495 - B
1496 - D
1497 - B
1498 - e
1499 - e
1500 -A
1501 -A
1502 - D
1503 - D
1504 - E
1505 -A
1506 - E
1507 - B
1508 -A
1509 - D
1510 - e
1511 - e
1512 - e
1513 - E
1514 - D
1515 - e
1516 - B
1517 - B
1518 -A
1519 - e
1520 -A
1521 -A
1522 - E
1523 - D
1524 - D
1525 -A
1526 -A
1527 - e
1528 - e
1529 - B
1530 -A
1531 - e
1532 - D
1533 - B
1534 - e
1535 -A
1536 - e
1537 -A
1538 - B
1539 -A
1540 - E
1541 - B
1542 -A
1543-D
1544-D
1545 -A
1546 -A
1547 - E
1548 -A
1549 - B
1550 - e
1551 - E
1552 - E
1553 - B
1554 - D
1555 - D
1556 -A
1557 - e
1558 - B
1559 - B
1560 - D
1561 - e
1562 - e
1563 -A
1564 -A
1565 - B
1566 - D
1567 - E
1568 - E
1569 - E
1570 - e
1571 -A
1572 -A
1573 - E
1574 - e
1575 -A
1576 - D
1577 - B
1578 - D
1579 - B
1580 - D
1581 - B
1582 - E
1583 - e
1584 - D
1585 - e
1586 - e
1587 - e
1588 - B
1589 - D
1590 -A
1591 - E
1592 - B
1593 - B
1594 -A
1595 - e
1596 - E
1597 - D
1598 - e
1599 - B
1600 - E
1601 - D
1602 -A
1603 - B
1604 - D
1605 - e
1606 - E
1607 -A
1608 - E
1609 - B
1610 - B
1611 - B
1612 - E
1613 - e
1614 - e
1615 - E
1616 -A
1624 - D
1625 - E
1626 - e
1627 - e
1628 - D
1629 - B
1630 - e
1631 -A
1632 - D
1633 - e
1634 -A
1635 - B
1636 - B
1637 - B
1638 - e
1639 - D
1640 - B
1641 - E
1642 - E
1643 - B
1644 - B
1645 -A
1646 -A
1647 - B
1648 - e
1649 - D
1650 - B
1651 - e
1652 - e
1653 -A
1654 - B
1655 - B
1656 -A
1668 - D
1669 -A
1670 - D
1671 - D
1672 -A
1673 - B
1674 - B
1675 - D
1676 - B
1677 - E
1678 - B
1679 - e
1680 - D
1681 - B
1682 -A
1683 - e
1684 - e
1685 - D
1686 - E
1687 - E
1688 - B
1689 - D
1690 -A
1691 - e
1692 - B
1693 - e
1694 - E
1695 - B
1696 - e
1697 - B
1698 - B
1699 -A
1617 - D
1618 - e
1619 - E
1620 -A
1657 - E
1658 - e
1659 - D
1660 - E
1661 -A
1662 - e
1663 - B
1664 -A
1700 - B
1701 - D
1702 - D
1703 - E
1704 - E
1705 - E
1706 - D
1707 - E
1708 -A
1621 - E
1622 - B
1623 - e
1665 - E
1666 - B
1667 - e
1709 - e
1710 - D
1711 - E
1712 - B
1713 - e
1714 - D
1715 - D
1716 - B
1717 - E
1718 - D
1719 - B
1720 - e
1721 - B
1722 - E
1723 -A
1724 -A
1725 -A
1726 - B
1727 -A
1728 -A
1729 - B
1730 - E
1731 - E
1732 -A
1733 - D
1734 -A
1735 - e
1736 - D
1737 - E
1738 - e
1739 - e
1740 - B
1741 - B
1742 - E
1743 - D
1744 - E
1745 - e
1746 - B
1747 - E
1748 -A
1749 - e
1750 -A
1751 -A
1752 - D
1753 - e
1754 - B
1755 -A
1756 -A
1757 - B
1758 -A
1759 -A
1760 -A
1761 - D
1762 - e
1763 - e
1764 - B
1765 - E
1766 - B
1767 - e
1768 - e
1769 - e
1770 - B
1771 - B
1772 - E
1773 - B
1774 - e
1775 - D
1776 -A
1777 - e
1778 - B
1779 -A
1780 - e
1781 -A
1782 - E
1783 - E
1784 - B
1785 - D
1786 - B
1787 - D
1788 - B
1789 - B
1790 - B
1791 -A
1792 - e
1793 - e
1794 - B
1795 - B
1796 - e
1797 -A
1798 - e
1799 - D
1800 - B
1801 - e
1802 - D
1803 - D
1804 - B
1805 - D
1806 -A
1807 -A
1808 - e
1809 -A
1810 -A
1811 - D
1812 - E
1813 -A
1814 - e
1815 -A
1816 - E
1817 - B
1818 - D
1819 - D
1820 - e
1821 - e
1822 - B
1823 -A
1824 - e
1825 - D
1826 - e
1827 - e
1828 - D
1829 - e
1830 -A
1831 - D
1832 -A
1833 - E
1834 - B
1835 - e
1836 - e
1837 - B
1838 - D
1839 - E
1840 - e
1841 - e
1842 - B
1843 - D
7A. . . ."O D. " • •PU• •7AS
1844 - E
1888 - D
1932 -A
1976 - D
2020 - E
2064 - E
2108 - D
2152 - D
1845 - D
1889 - B
1933 - B
1977 -A
2021 - B
2065 - D
2109 -A
2153 - B
1846 - B
1890 - C
1934 - C
1978 - E
2022 - E
2066 - C
2110 - B
2154 - E
1847 - C
1891 - E
1935 -A
1979 -A
2023 - E
2067 - C
2111 - B
2155 - B
1848 - E
1892 -A
1936 - C
1980 - E
2024 -C
2068 -A
2112 - E
2156 - E
1849 - C
1893 - D
1937 - B
1981 - C
2025 -A
2069 -A
2113 - C
2157 -A
1850 - B
1894 - D
1938 - D
1982 - D
2026 - C
2070 - D
2114 -A
2158 - C
1851 -A
1895 - B
1939 - B
1983 - C
2027 - B
2071 - E
2115 -A
2159 - B
1852 - B
1896 - B
1940 - C
1984 - E
2028 - C
2072 - E
2116 - E
2160 - D
1853 -A
1897 - D
1941 - E
1985 - D
2029 - C
2073 - B
2117 - C
2161 -A
1854 - D
1898 - B
1942 - E
1986 - C
2030 -C
2074 - C
2118 - E
2162 - E
1855 -A
1899 - C
1943 - D
1987 -A
2031 - D
2075 - D
2119 - B
2163 - C
1856 - E
1900 - C
1944 - D
1988 - B
2032 -A
2076 - B
2120 - C
2164 - D
1857 - E
1901 - E
1945 -A
1989 - B
2033 -A
2077 - D
2121 - D
2165 - D
1858 - C
1902 - C
1946 - D
1990 - B
2034 - B
2078 - D
2122 - E
2166 - B
1859 -A
1903 - B
1947 - D
1991 - D
2035 - D
2079 - B
2123 - D
2167 - C
1860 - D
1904 - D
1948 - E
1992 - D
2036 - D
2080 -A
2124 - C
2168 -A
1861 - C
1905 - C
1949 - C
1993 - C
2037 -C
2081 - D
2125 -A
2169 - D
1862 - C
1906 - C
1950 -A
1994 - C
2038 -C
2082 - B
2126 - E
2170 -A
1863 - D
1907 -A
1951 - C
1995 - D
2039 - D
2083 - C
2127 - C
2171 - C
1864 - D
1908 - B
1952 -A
1996 - C
2040 - B
2084 -A
2128 - C
2172 -A
1865 -A
1909 - D
1953 - E
1997 -A
2041 - C
2085 -A
2129 - B
2173 - E
1866 -A
1910 -A
1954 - D
1998 - D
2042 -C
2086 - D
2130 - C
2174 - B
1867 - E
1911 - D
1955 -A
1999 - E
2043 - D
2087 - C
2131 - C
2175 - E
1868 - D
1912 - D
1956 - C
2000 -A
2044 - D
2088 - B
2132 - D
2176 -A
1869 - D
1913 - B
1957 - D
2001 -A
2045 -C
2089 - D
2133 -A
2177 - C
1870 - D
1914 - C
1958 - E
2002 - E
2046 -A
2090 - D
2134 - E
2178 - E
1871 - C
1915 - D
1959 - D
2003 -A
2047 - B
2091 -A
2135 - B
2179 - E
1872 - E
1916 - E
1960 - E
2004 - B
2048 -C
2092 - D
2136 - D
2180 - C
1873 - D
1917 -A
1961 - B
2005 -A
2049 - B
2093 - E
2137 - B
2181 - B
1874 - B
1918 - C
1962 - C
2006 - B
2050 - D
2094 - E
2138 -A
2182 - C
1875 -A
1919 - D
1963 - D
2007 -A
2051 - E
2095 - B
2139 -A
2183 -A
1876 - D
1920 - C
1964 - E
2008 -A
2052 -A
2096 -A
2140 -A
2184 - E
1877 -A
1921 - C
1965 - D
2009 - E
2053 - D
2097 - D
2141 - B
2185 -A
1878 - C
1922 - C
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2010 -A
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