Unidad 5
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Y º º Los polinomios de Legendre y las funciones de Bessel están dentro de un grupo
de funciones que satisfacen una propiedad que se llama ortogonalidad y que es
de una importancia fundamental en las matemáticas de ingeniería.
DEFINICION:
Ahora definiremos el concepto de ortogonalidad de funciones.
Sean
(x) y
(x) dos funciones reales que están definidas en un
intervalo
a x b, de tal manera que la integral de el producto
(x)
(x) existe
en el intervalo. Denotaremos esta integral por
(
,
). Entonces:
(1
)
Se dice que las funciones
y
son ortogonales en el intervalo
a
x
b
si
|
| | |
Existen muchos tipos de series de Fourier. Las mas sencillas son las Series de Fourier
Trigonométricas. Un ejemplo es la serie de Fourier del seno
Se vera que las series de Fourier tienen interpretaciones físicas importantes en las
aplicaciones. Sin embargo, las series de Fourier están basadas en un tipo distinto de
teoría a las familiares series de potencias.
De manera equivalente, una función diferenciable f(x) es una función tal que en cualquier
intervalo finito se puede dividir en un número de partes, cada una de las cuales es
continua y tiene derivada continua. Además, las únicas discontinuidades de F8x) y f¶(x)
son discontinuidades de salto.
|Funciones Ortogonales
Las dos funciones f(x) = x y g(x) = x2 son ortogonales en el intervalo [-1,1] puesto que
? | |
| ||
trabajamos con funciones:
(a veces:
o
)
podemos escribir una función
funciones
siendo
como combinación lineal de una colección de
tomado de un conjunto de índices finito o infinito
p.ej.: series de Fourier
Por qué?
d
a lo mejor se puede encontrar para un problema fácilmente soluciones para las
funciones
y con esas soluciones se puede derivar una solucion para
p.ej.: filtro lineales, si se sabe la respuesta del filtro para los
, se puede
derivar su compartamiento para
d
a lo mejor ciertas características de la función
coeficientes
se puede observar mejor entre los
(y aprovechar de ello)
p.ej.:
÷
Qué frecuencias están ``dentro'' de una señal acustica?
÷
Tiene una imagen cierta textura?
÷
Tiene
÷
... otras preguntas parecen interesante:
discontinuidades?
d
Cuáles de las posibles funciones
d
Son los coeficientes
únicos?
d
Cómo se calcula los
(dados los
se puede representar de tal forma?
y
)?
Y| º ?| ?
Producto interno Funciones ortogonales Conjunto ortogonal Nora Norma
cuadrada
Conjunto ortonormal Ortogonalidad con respecto a una función peso
Serie de Fourier generalizada
En matemáticas superiores se considera que una función es la generalización de
un vector. En esta sección veremos cómo los dos conceptos vectoriales de
producto interno (punto) y ortogonalidad se pueden ampliar para abarcar las
funciones.
Supongamos que y son vectores en el espacio tridimensional. El producto
interno | de los vectores, que también se escribe | ||, posee las propiedades
siguientes:
i) (, ) = (, )
ii) (k, ) = k(,|), donde k es un escalar
iii) (, )= 0, si = ,y (,)>0 si | |
iv) ( + ,
) = (,
) + (,
).
Esperamos que una generalización del concepto de producto interno debe tener
las mismas propiedades.
| Supongamos ahora que ƒ1 y ƒ2 son funciones definidas en un
intervalo [a, b].* Como una integral del producto ƒ1(x) ƒ2(x) definida en el intervalo
también posee las propiedades i) a iv), siempre y cuando existan las integrales,
podemos enunciar la siguiente definición:
º ºº |Y|
| El | |de dos funciones ƒ1 y ƒ2 en un intervalo [a, b] es el número
| |Dado que dos vectores y son ortogonales cuando su
producto interno es cero, definiremos las |
| en forma
semejante:
º ºº |Y||||
| Dos funciones ƒ1 y ƒ2 son en un intervalo [a, b] si
(1)
A diferencia del análisis vectorial, en donde la palabra ortogonal es sinónimo de
"perpendicular", en el presente contexto el término ortogonal y la condición (1) no
tienen significado geométrico.
| Funciones ortogonales
Las funciones ƒ1 (x) = x2 y ƒ2 (x) = x3 son ortogonales en el intervalo [-1, 1] porque
Y |
Sean
(x) y
intervalo
(x) dos funciones reales que están definidas en un
a x b, de tal manera que la integral de el producto
en el intervalo. Denotaremos esta integral por
(
,
(x)
(x) existe
). Entonces:
(1
)
Se dice que las funciones
y
son ortogonales en el intervalo
a x b si
(x),
(x),
(x), ... es llamado
Un conjunto de funciones reales
conjunto ortogonal de funciones en el intervalo a x b si todas están
definidas en el intervalo y si todas las integrales para todos los pares distintos de funciones.
existen y son cero
La raíz cuadrada de denotada por ||
es llamada norma de
y es generalmente
|| ; entonces
(2)
Es claro que, un conjunto ortogonal
(x),
(x),
(x), ... en el intervalo
a x b cuyas funciones tienen norma 1 satisfacen la condición
Dicho conjunto es llamado conjunto ortonormal de funciones en el intervalo a
xb.
Obviamente, de un conjunto ortogonal podemos obtener un conjunto
ortonormal dividiendo cada función entre su norma.
º ºº || ?| ?|| ?|
? |
|
|
Se dice que las funciones
y
son ortogonales en el intervalo
a
x
b
si
Un conjunto de funciones reales
(x),
(x),
(x), ... es llamado
conjunto ortogonal de funciones en el intervalo a x b si todas están
definidas en el intervalo y si todas las integrales para
todos
los
pares
distintos
La raíz cuadrada de denotada por ||
es llamada norma de
existen y son cero
de
funciones.
y es generalmente
|| ; entonces
(2
)
Es claro que, un conjunto ortogonal
(x),
(x),
(x), ... en el intervalo
a x b cuyas funciones tienen norma 1 satisfacen la condición
Dicho conjunto es llamado conjunto ortonormal de funciones en el intervalo a
x
b
.
Obviamente, de un conjunto ortogonal podemos obtener un conjunto
ortonormal dividiendo cada función entre su norma.
|
|
En un conjunto de vectores S de el espacio vectorial V es producto interno es
ortogonal si cada vector de y seria espacio ortonormal si cada vector S es unitario.
Es ortonormal si < vi, vj > = 0 i " j y || vj || = 1 donde i = 1, 2, 3, ..., n y es ortonormal
si < vi, vj > = 0 i " j donde vi, vj pertenecen al conjunto s = { v1, v2, ..., vn }
Un conjunto ortogonal es linealmente independiente si s es un conjunto de
vectores diferentes de cero y que pertenecen al espacio v con producto interno.
å Ver si la base tiene producto interno (como ya lo vimos).
Convertir la base a una base ortogonal.
Sea B = { v1, v2, ..., vn }
w1 = v1
w2 = v2 - proyw1 v2
wn = vn - proyw1 v3 - « - proyw(n-1) vn
B' = { w1, w2, ..., wn }
y para ortonormalizar ui = wi / ||wi|| donde I = 1, 2, ..., n.
Donde B'' = { u1, u2, ..., un } es un abase ortonormal
Y |
? | | | | Supongamos que {Øn(x)} es un conjunto infinito
ortogonal de funciones en un intervalo [a, b]. Nos preguntamos: si y = ƒ(x) es una
función definida en el intervalo [a, b], ¿será posible determinar un conjunto de
coeficiéntes cn, n = 0, 1, 2, . . .,para el cual
(6)ƒ(x)=c0Ø0(x) + c1 Ø1(x) + ... + cn Øn(x) + ...?
Como en la descripción anterior, cuando determinamos los componentes de un
vector, también podemos determinar los coeficientes cn mediante el producto
interno. Al multiplicar la ecuación (6) por Øm(x) e integrar en el intervalo [a, b] se
obtiene
Debido a la ortogonalidad, cada término del lado derecho de la última ecuación es
cero, excepto cuando m = n. En este caso tendremos
Entonces, los coeficientes que buscamos son
En otras palabras,
('7)
en la que
(8)
La ecuación (7), en notación de producto interno (o producto punto), es
(9)
Vemos así que esta ecuación es el análogo funcional del resultado vectorial
expresado en la ecuación (5).
Serie de Fourier
El análisis de Fourier es una herramienta matemática utilizada para analizar
funciones periódicas a traves de descomponer dicha función en la suma
infinitesimal de funciones senoidales mucho mas simples.
Areas de aplicación incluyen la ingeniería, análisis vibratorio , acustica, óptica,
procesamiento de imágenes y señales,y compresión de datos. En ingeniería, para
el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a traves del uso de los
componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el
diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refierase al uso de un
analizador de espectros.
En matemáticas, se llama | | , a aquellas series que tienen la forma:
donde y se denominan
| | de la serie de Fourier de la
función d .
Jean-Baptiste Joseph Fourier fue el primero que estudió tales series
sistemáticamente, aplicándolas a la solución de la ecuación del calor y publicando
sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama
algunas veces Análisis armónico.
| |
En matemática, se dice que dos funciones ~ y
interno
son si su producto
es nulo. Que dos funciones particulares sean ortogonales depende
de cómo se haya definido su producto interno. Una definición muy común de
producto interno entre funciones es:
con límites de integración apropiados y donde Õ denota complejo conjugado.
Véase también espacio de Hilbert para más detalles.
Las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones de borde
pueden escribirse como una suma pesada de funciones solución ortogonales
(conocidas también como funciones propias).
Ejemplos de conjuntos de funciones ortogonales:
º
d
Polinomios de Hermite
d
Polinomios de Legendre
d
Armónicos esféricos
d
Funciones de Walsh
|
Si no tienes unas nociones previas, puede ser complicado comprender el concepto de
"representación en frecuencia de una señal". Básicamente la Transformada de Fourier se
encarga de transformar una señal del dominio del tiempo, al dominio de la frecuencia, de
donde se puede realizar su antitransformada y volver al dominio temporal. Estudiaremos a
lo largo de este trabajo la Serie de Fourier, Ejercicios referentes al seno y coseno , las
Transformadas de Fourier, propiedades e interpretación.
?º||º|
Sea una función f(t) una función periódica de periodo T, la cual se puede representar por
la serie trigonometrica
donde
0
/T. =2
Una serie como la representada se llama serie trigonometrica de Fourier. Esta serie
también se puede representar así:
| |Deducir la forma
de
y expresar Cn
Se puede expresar así
se utiliza la entidad trigonométrica
donde
por consiguiente,
ó
También si se hace
Se Obtiene
y
n
en términos de an t bn.
Es obvio que la representación de Fourier de una función periódica, representa la función
como la suma de componentes sinusoides que tienen diferentes frecuencias. La
componente senosiudad de frecuencia
se denomina la enésima armónica de la
función periódica. La primera armónica comúnmente se conoce como la componente
fundamental porque tiene el mismo período de la función y
como la frecuencia angular fundamental. Los coeficientes Cn
se conoce
y los ángulos
n
se conocen
como amplitudes armónicas y ángulos de fase, respectivamente.
º El integral de convolucion es una expresión fundamental que relación la entrada y la
salida de un sistema LTI. Sin embargo, tiene tres problemas:
1. Puede ser tediosa para calcular.
2. Ofrece una interpretación física limitada de lo que el sistema esta realmente
hacienda.
3. Da muy poca información de como diseñar sistemas para lograr ciertas funciones.
Las series de Fourier, junto la transformada de Fourier y la transformada de La Place,
provee una manera de resolver estos tres puntos. El concepto de eigenfuncion (o
eigenvector) es esencial para todos estos métodos. Ahora veremos como podemos reescribir cualquier señal ~() , en términos de exponenciales complejos.
De hecho, al hacer nuestras anotaciones de señales y sistemas lineares menos
matemáticas, podemos extraer paralelos entre señales y sistemas con y algebra linear.
| | | | | | | ||
Universidad de Granada
Departamento de Análisis Matemático
Fco. Javier Pérez González [email protected]
Un|
| |
| | de orden
forma
||
es una función de la
donde
son números
reales llamados coeficientes del polinomio. Aquí tienes algunos ejemplos de
polinomios trigonométricos y sus gráficas.
Como acabas de ver, los polinomios trigonométricos pueden tener gráficas con
muy distintos aspectos. Parece razonable conjeturar que, eligiendo los
coeficientes de forma adecuada, podremos conseguir una buena aproximación de
una función dada por medio de polinomios trigonométricos.
Recuerda que ya sabes cómo aproximar localmente funciones derivables por sus
polinomios de Taylor. El problema que nos planteamos ahora es parecido: se trata
de calcular el polinomio trigonométrico de orden
que a una
función dada ~{
Se impone precisar el tipo de aproximación que vamos a considerar. Teniendo en
cuenta que los polinomios trigonométricos tienen período , trataremos de
aproximar la función ~en el intervalo|||. Supondremos solamente que ~es
continua en dicho intervalo. Como puedes apreciar, a diferencia de los polinomio
de Taylor que permiten una aproximación local para una función que tenga
derivadas, ahora queremos una aproximación global, válida en todo un intervalo,
para funciones continuas.
Todavía queda por aclarar lo más importante: ¿de qué manera vamos a medir la
aproximación entre la función ~y un polinomio trigonométrico è ? Pues bien,
. Esto quiere decir
que entre todos los polinomios trigonométricos, è de orden
aquél que haga mínima la cantidad
vamos a calcular
. Dicho polinomio se llama
| | |de orden| |de la función ~{
Pongamos
calculemos los coeficientes de è|forma que
Desarrollando el cuadrado, tenemos que:
y
sea mínima.
Teniendo en cuenta, como fácilmente puedes comprobar con , que
,
y, para|
,
. Y poniendo
, resulta
Expresión que, evidentemente, es mínima cuando
,y
. Por tanto el polinomio de Fourier de orden| de ~ es el polinomio
trigonométrico
llamados
Los
se llaman
cuyos coeficientes,
| | |de|~½vienen dados por:
|
|y los
se llaman
| . Es
importante que te des cuenta de que en ningún momento hemos usado la
supuesta continuidad de ~ y que lo único necesario para poder hacer los cálculos
anteriores es que las integrales que en ellos aparecen estén definidas, para lo cual
|
|| | |~| | En particular, tiene perfecto
sentido hablar de los coeficientes de Fourier de una función monótona o de una
función acotada con un número finito de discontinuidades.
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Å Å Propiedades de las Å Series de de cosenos y de. senos Å Sucesión de sumas parciales
Å Fenómeno de Gibbs Å Desarrollos en mitad de intervalo
| || El lector recordará que se dice que una función ¦ es
|| | || Como se ilustra en las figuras 10.3 y 10.4, la gráfica de una función par es simétrica con respecto
al eje y y la de una función impar lo es con respecto al origen.
|| | || Como cosí (-x) = cos x y sen(-x) = -sen x, el coseno y el seno son función par impar,
respectivamente.
| | | | | | | El teorema que sigue menciona algunas
propiedades de las .
| | | | | | a)El producto dé dos es par.
b)El producto de dos es|par. c)El producto de una función impar y una función par es impar. d)La suma o diferencia de dos |es par. )La suma o diferencia de dos es impar:
?º ||
que,
entonces
Supongamos que ¦ y g son . En ese caso tendremos
|| Si definimos el producto de
Esto demuestra que el producto F de dos es una función par. Las demostraciones de las demás propiedades se dejan como ejercicios. (Problemas 45 a 49 de los ejercicios
10.3.)
? | | || | |Si ¦ es una función paren (-p, p), entonces, en vista de las
propiedades anteriores, los coeficientes de (9), (10) y (11) de la definición mencionada en la
sección 10.2 se transforman en
En forma parecida, cuando ¦ es impar en el intervalo (-p, p),
Resumiremos los resultados en la definición siguiente.
DEFINICIÓN 10.6 Series de de cosenos y de senos
|i) La de de una, función par en el intervalo (-p, p) es la | |
en que
(1) (2) (3)
ii) La serie de de una función impar en el intervalo (-p, p) es la | | en donde
(4) (5)|
||||||||| || | | | Desarrolle ¦ (x) = x, -2 < x < 2 en forma de una de .
?º Desarrollaremos f como una de senos porque al ver la figura 10.5 advertiremos
que la función es impar en el intervalo (-2, 2).
Hacemos que 2p = 4, o p = 2, y podemos escribir la ecuación (5) como sigue:
Integramos por partes para obtener
Por consiguiente,
|
|
|
Y ? | | ||
| !"|| |? | | #|
En matemáticas, una serie de Fourier, que es llamada así en honor de Joseph Fourier
(1768-1830), es una representación de una función periódica como una suma de
funciones periódicas de la forma
que son armónicos de ei x; Fourier fue el primero que estudió tales series
sistemáticamente, aplicándolas a la solución de la ecuación del calor y publicando sus
resultados iniciales en 1807 y 1811. Este área de investigación se llama algunas veces
Análisis armónico. Muchas tipos de otras transformadas relacionadas con la de Fourier
han sido definidas desde entonces.
| | | | | |
Supongamos que
es un conjunto infinito ortogonal de funciones en un intervalo
[a,b]. Nos preguntamos: si y=~(x) es una función definida en el intervalo [a,b], ¿será
posible determinar un conjunto de coeficientes
0, 1, 2,..., para el cual
Como en la descripción anterior, cuando determinamos los componentes de un vector,
también podemos determinar los coeficientes
multiplicar la ecuación anterior por
mediante el producto interno. Al
e integrar en el intervalo [a,b] se obtiene:
Debido a la ortogonalidad, cada término del lado derecho de la última ecuación es cero,
excepto cuando m=n. En este caso tendremos
Entonces los coeficientes que buscamos son
En otras palabras,
(1)
En la que
(2)
La ecuación 2, en notación de producto interno ( o producto punto ), es
(3)
|
| |
(1)
es ortogonal en el intervalo [-p,p], supongamos que ~ es una función definida en el
intervalo [-p,p] que se puede desarrollar en la serie trigonométrica
(2)
Entonces, los coeficientes
pueden determinar tal como describimos
para la serie de Fourier generalizada en la sección anterior.
Al integrar ambos lados de la ecuación (2), desde ±p hasta p, se obtiene
(3)
Como cada función
,
n>1, es ortogonal a 1 en el intervalo, el
lado derecho de (3) se reduce a un solo término y, en consecuencia,
Al despejar
se obtiene
(4)
Ahora multipliquemos la ecuación (2) por
e integremos:
(5)
por la ortogonalidad tenemos que
y
Entonces la ecuación 5 se reduce a
Y así
(6)
Por último si multiplicamos a (2) por
, integramos y aplicamos los resultados
llegamos a
(7)
La serie de Fourier de una función definida en el intervalo (-p,p) es
(8)
(9)
(10)
(11)
? | | | |
|| | |
Si ~ es una función par en (-p,p), entonces en vista de las propiedades anteriores, los
coeficientes de (9),(10) y (11) se transforman en
.
En forma parecida, cuando ~ es impar en el intervalo (-p,p),
, n=0,1,2,...,
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a. La serie de Fourier de una función par en el intervalo (-p,p) es la serie de cosenos
en que
b) La serie de Fourier de una función impar en el intervalo (-p,p) es la serie de senos
en donde
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Y |
| | | | | ~ {
Sea
con período
sea
. Definimos la serie de Fourier compleja de
como sigue:
donde:
También se tiene el criterio de convergencia correspondiente.
~ {
El ~ de una función periodica es una gráfica de los puntos
para
«
Ejemplo 1.
Calcular la serie de Fourier compleja de la siguiente función, y tambien dibujar
el espectro de frecuencias.
6
-8
0
8
.
Tenemos que
para
|||||||||||||||||
y
. De aquí que:
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||
|||||||||||||||||||
|
||
|||||||||||||||||||||
|
||
|||||||||||||||||||||
|
||
|||||||||||||||||||||
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||
||
| |
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| || | ||5 | |||~ |||
|
||
| | | ||
|
0| | || ~ | || | | | | | | ||
|||
|=|
=|
J | || ||| ||
|||
|
|
$ | | |
|
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