Unidad 1 Números naturales. Divisibilidad ¿Hay que calcular el m.c.m. o el m.c.d.? Observa este ejemplo: Cuatro amigos quieren comprar un regalo a su profe. El primero pone 14 €, el segundo pone el doble que el primero, el tercero pone 3 € menos que el segundo. Si el regalo vale 85 €, ¿cuánto tiene que poner el cuarto? Vamos a resolver este problema, indicando las operaciones, pero sin realizarlas hasta el final: • • • • • El primero pone: 14 El segundo pone: 2 · 14 El tercero pone: 2 · 14 − 3 Entre los tres: 14 + 2 · 14 + (2 · 14 − 3) El cuarto tiene que poner: 85 − 14 + 2 ⋅ 14 + ( 2 ⋅ 14 − 3 ) Resolvemos esta última operación poniendo en práctica la jerarquía de operaciones que ya conoces: 85 − 14 + 2 ⋅ 14 + ( 2 ⋅ 14 − 3 ) = 85 − (14 + 28 + 25 ) = 85 − 67 = 18 El cuarto amigo tiene que poner 18 €. Ahora haz tu lo mismo en los siguientes problemas: 1. Carlos ha ido a comprar algunas cosillas que necesita para empezar el curso. Ha comprado: • Tres bolígrafos, a 1 € cada uno • Un pegamento de 2 € • Un paquete de rotuladores de 5 € • Cuatro rollos para forrar los libros, a 2 € la unidad Ha pagado con un billete de 20 €. ¿Cuánto le han devuelto? 2. Los últimos movimientos de mi hucha han sido: • metí 53 € que me dieron por mi cumpleaños • saqué 18 € para pagarme una excursión • saqué dos veces 10 € para irme al cine Hoy he abierto la hucha y tengo 36 €. ¿Cuánto tenía inicialmente? 3. Kepler nació 7 años más tarde que Galileo y murió 12 años antes. Si Kepler murió con 59 años en 1630. ¿Cuántos años vivió Galileo? 4. En una granja hay 630 animales entre gallinas, pavos y ovejas. El número de gallinas es de 250, y el de pavos 75 unidades menos que el de gallinas. ¿Cuántas patas hay entre todos los animales? 5. Una fábrica de rosquillas las envasa en bolsas de 15 unidades. Luego las empaquetan en cajas que contienen 30 bolsas en cada caja. El precio de una caja es de 45 €. Una cafetería ha hecho un pedido de 20 cajas. La ración de rosquillas que sirven a sus clientes contiene 6 rosquillas y cuesta 3 €. a) ¿Cuántas raciones pueden servir? b) ¿Cuánto dinero gana la cafetería con las rosquillas? Unidad 1 │ Números naturales. Divisibilidad Matemáticas 1.º ESO Unidad 1 Números naturales. Divisibilidad Calcula múltiplos, divisores, m.c.m y m.c.d 1. Completa el crucigrama: HORIZONTALES 1. Tercer múltiplo de 12 ● m.c.m.(60, 90) 2. Primer número primo de dos cifras ● La unidad 3. Cuarto múltiplo de 3 dividido por 6 ● Ocho por ocho ● El primer número primo 4. Primer número de tres cifras divisible por 3, 5 y 7 ● Número más pequeño que es divisible entre 8 5. Cuadrado perfecto siguiente a 100 ● Resultado de dividir un número entre sí mismo 6. Nada ● m.c.m.(36, 120) VERTICALES A. m.c.d.(3, 6) ● El II romano● Una decena. B. Primer número comprendido entre 60 y 70 que al dividirlo por 2 da de resto 1● m.c.d.(24, 60) C. Segundo año del siglo XVII. D. El anterior al dos● m.c.m.(9, 15) ● El anterior al número romano IV E. Primer múltiplo de 9 mayor que 75 ● Menor divisor de 80 de dos cifras F. Nada ● m.c.m.(77, 44) dividido entre 11 ● Nada. 2. Completa los números que faltan sabiendo que el número que aparece en cada ladrillo es el m.c.m. de los números que aparecen en los ladrillos sobre los que se apoya. 3. Completa los números que faltan sabiendo que el número que aparece en cada ladrillo es el m.c.d. de los números que aparecen en los ladrillos que se apoyan en él. Unidad 1 │ Números naturales. Divisibilidad Matemáticas 1.º ESO Unidad 1 Números naturales. Divisibilidad Plantea el problema y no operes hasta el final Observa este ejemplo: Cuatro amigos quieren comprar un regalo a su profe. El primero pone 14 €, el segundo pone el doble que el primero, el tercero pone 3 € menos que el segundo. Si el regalo vale 85 €, ¿cuánto tiene que poner el cuarto? Vamos a resolver este problema, indicando las operaciones, pero sin realizarlas hasta el final: • • • • • El primero pone: 14 El segundo pone: 2 · 14 El tercero pone: 2 · 14 − 3 Entre los tres: 14 + 2 · 14 + (2 · 14 − 3) El cuarto tiene que poner: 85 − 14 + 2 ⋅ 14 + ( 2 ⋅ 14 − 3 ) Resolvemos esta última operación poniendo en práctica la jerarquía de operaciones que ya conoces: 85 − 14 + 2 ⋅ 14 + ( 2 ⋅ 14 − 3 ) = 85 − (14 + 28 + 25 ) = 85 − 67 = 18 El cuarto amigo tiene que poner 18 €. Ahora haz tu lo mismo en los siguientes problemas: 1. Carlos ha ido a comprar algunas cosillas que necesita para empezar el curso. Ha comprado: • Tres bolígrafos, a 1 € cada uno • Un pegamento de 2 € • Un paquete de rotuladores de 5 € • Cuatro rollos para forrar los libros, a 2 € la unidad Ha pagado con un billete de 20 €. ¿Cuánto le han devuelto? 2. Los últimos movimientos de mi hucha han sido: • metí 53 € que me dieron por mi cumpleaños • saqué 18 € para pagarme una excursión • saqué dos veces 10 € para irme al cine Hoy he abierto la hucha y tengo 36 €. ¿Cuánto tenía inicialmente? 3. Kepler nació 7 años más tarde que Galileo y murió 12 años antes. Si Kepler murió con 59 años en 1630. ¿Cuántos años vivió Galileo? 4. En una granja hay 630 animales entre gallinas, pavos y ovejas. El número de gallinas es de 250, y el de pavos 75 unidades menos que el de gallinas. ¿Cuántas patas hay entre todos los animales? 5. Una fábrica de rosquillas las envasa en bolsas de 15 unidades. Luego las empaquetan en cajas que contienen 30 bolsas en cada caja. El precio de una caja es de 45 €. Una cafetería ha hecho un pedido de 20 cajas. La ración de rosquillas que sirven a sus clientes contiene 6 rosquillas y cuesta 3 €. • a) ¿Cuántas raciones pueden servir? ¿Cuánto dinero gana la cafetería con las rosquillas? Unidad 1 │ Números naturales. Divisibilidad Matemáticas 1.º ESO Unidad 1 Números naturales. Divisibilidad Otros sistemas de numeración En esta ficha te proponemos echar un breve vistazo al sistema de numeración egipcio y al sistema de numeración maya. SISTEMA DE NUMERACIÓN EGIPCIO: • Es un sistema no posicional: el valor de los símbolos no depende de la posición que ocupan. • Numeración en base 10: cada 10 símbolos de un orden se sustituyen por uno del orden siguiente. SISTEMA DE NUMERACIÓN MAYA: • Hasta el número 19 parece un sistema aditivo que emplea dos símbolos: Un punto para indicar 1 unidad. Una barra para indicar 5 unidades. • Pero a partir del número 20 los símbolos tienen un valor distinto en función de la posición que ocupen: Los símbolos del nivel inferior representan unidades. El valor de los símbolos del segundo nivel se calcula multiplicando por 20. El valor de los símbolos del tercer nivel se calcula multiplicado por 400 (400 = 20 · 20). • Por eso se dice que es un sistema posicional de base 20 y base auxiliar 5. • Al tener cada cifra un valor relativo según el lugar que ocupa, la presencia de un signo para el cero se hace imprescindible, para indicar la ausencia de unidades de algún orden. Unidad 1 │ Números naturales. Divisibilidad Matemáticas 1.º ESO Unidad 1 Números naturales. Divisibilidad Otros sistemas de numeración 1. Completa la siguiente tabla: Decimal 9 Romano IX 68 224 425 6000 Egipcio Maya (*) (*) Para usar la numeración maya debes descomponer el número en potencias de 20, por ejemplo: 68 = 3 · 20 + 8 2. Trata de sumar los números de las columnas anteriores de dos en dos usando los distintos sistemas de numeración propuestos, sin utilizar en ningún momento nuestro sistema de numeración. Ten en cuenta que: • En los sistemas aditivos sumaremos todos los signos y reescribiremos el número sustituyendo unos símbolos por otros si es necesario. Por ejemplo, para sumar 9 + 68 en números romanos: • En los sistemas posicionales sumaremos entre sí los símbolos que ocupan la misma posición, y luego reescribiremos el número sustituyendo unos símbolos por otros si es necesario. Por ejemplo, para sumar 9 + 68 en numeración maya: a) 9 + 68 c) 224 + 425 b) 68 + 224 d) 425 + 6000 Unidad 1 │ Números naturales. Divisibilidad Matemáticas 1.º ESO Unidad 1 Números naturales. Divisibilidad Problemas de optimización Supón que eres un diseñador de envases y una fábrica te pide que diseñes un envase de zumo que cumpla las siguientes condiciones: • Que tenga un volumen de 500 cm3, para que quepan 0,5 litros de zumo. • Que tenga forma de prisma de base cuadrada, como en el dibujo. • Que las dimensiones de los lados del envase en centímetros sean números naturales. • Que el material con el que se fabrica sea el mínimo posible. Con todas estas condiciones… ¿qué harías? Una forma de abordar este problema es plantear todas las posibles soluciones y después elegir la mejor de todas. Fíjate en el siguiente procedimiento: 1. Construimos una tabla con todos los posibles valores de la base y la altura, que tienen que ser divisores naturales de 500, ya que V= base ⋅ altura prisma 2. También incluiremos el lado de la base, sabiendo que base = l 2 ⇒ l = Volumen (cm3) 500 base Altura (cm) Base (cm2) Lado de la base (cm) 1 500 no es un número natural 2 250 no es un número natural 4 125 no es un número natural 5 100 10 10 50 no es un número natural 20 25 5 25 20 no es un número natural 50 10 no es un número natural 100 5 no es un número natural 125 4 2 250 2 no es un número natural 500 1 1 3. Como vemos en la tabla solo hay cuatro soluciones posibles, que están indicadas en naranja. 4. El material para fabricar el envase viene dado por el área del prisma. Calculamos el área del envase correspondiente a cada una de las soluciones anteriores, siguiendo la fórmula del área de un prisma de base cuadrada: Aprisma = Abases + Alateral = 2 ⋅ lado 2 + 4 ⋅ lado ⋅ altura Altura (cm) Lado de la base (cm) Área bases (cm2) Área lateral (cm2) Área del prisma (cm2) 5 10 200 200 400 20 5 50 400 450 125 2 8 1000 1008 500 1 2 2000 2002 5. Las dimensiones que hacen que el envase tenga un volumen de 500 cm3 y que se use la menor cantidad de material son altura = 5 cm y lado de la base = 10 cm. Unidad 1 │ Números naturales. Divisibilidad Matemáticas 1.º ESO Unidad 1 Números naturales. Divisibilidad Problemas de optimización Intenta ahora tu resolver este problema siguiendo el mismo procedimiento: Queremos hacer parcelas rectangulares de 75 m2 para plantar olivos, cuyas dimensiones en metros sean números naturales. Para crecer bien, cada olivo necesita estar plantado en el centro de un cuadrado de 3 m de lado. ¿Cuáles tienen que ser las dimensiones de la parcela para que quepan en ella el mayor número de olivos? Para resolver el problema sigue los siguientes pasos: 1. Construye una tabla con todas las posibles dimensiones de la parcela, que tienen que ser los divisores naturales de 75, ya que Arectángulo= b ⋅ h Área (m2) b (m) h (m) 1 75 3 75 2. Piensa cuántos olivos puedes plantar en cada una de las opciones de la tabla anterior: Por ejemplo: Si la parcela mide 1 m por 75 m no puedo plantar ningún olivo porque no es posible hacer cuadrados de 3 m de lado con esas dimensiones. Añade una columna a la tabla anterior en la que indiques cuántos olivos se pueden plantar en cada una de las soluciones: Área (m2) b (m) h (m) Nº olivos 1 75 0 3 75 3. ¿Cuál es la mejor opción que has encontrado? Unidad 1 │ Números naturales. Divisibilidad Matemáticas 1.º ESO Unidad 2 Números enteros Suma de números enteros Observa estos cuatro ejemplos: • ( +8 ) + ( +2 ) : 1. Avanzamos 8 unidades hacia la derecha desde el cero. 2. Desde ahí, avanzamos otras 2 unidades hacia la derecha. 3. El resultado es ( +8 ) + ( +2 ) =+10 • ( −8 ) + ( −2 ) : 1. Avanzamos 8 unidades hacia la izquierda desde el cero. 2. Desde ahí, avanzamos otras 2 unidades hacia la izquierda. 3. El resultado es ( −8 ) + ( −2 ) =−10 • ( +8 ) + ( −2 ) : 1. Avanzamos 8 unidades hacia la derecha desde el cero. 2. Desde ahí, avanzamos otras 2 unidades hacia la izquierda. 3. El resultado es ( +8 ) + ( −2 ) =+6 • ( −8 ) + ( +2 ) : 1. Avanzamos 8 unidades hacia la izquierda desde el cero. 2. Desde ahí, avanzamos otras 2 unidades hacia la derecha. 3. El resultado es ( −8 ) + ( +2 ) =−6 1. Ahora completa esta tabla: Suma Primer sumando Segundo sumando Resultado ( +8 ) + ( +2 ) +8 +2 +10 ( −8 ) + ( −2 ) −8 −2 ( +8 ) + ( −2 ) +8 −2 ( −8 ) + ( +2 ) 2. Realiza estas sumas de números enteros representando el proceso sobre la recta real: a) ( +5 ) + ( +6 ) e) ( +1) + ( +2 ) + ( +3 ) i) ( +10 ) + ( −7 ) + ( +4 ) b) c) d) ( −5 ) + ( −6 ) ( +5 ) + ( −6 ) ( −5 ) + ( +6 ) f) g) h) ( +1) + ( +2 ) + ( −3 ) ( +1) + ( −2 ) + ( −3 ) ( −1) + ( −2 ) + ( −3 ) j) k) l) ( +4 ) + ( +10 ) + ( −7 ) ( −4 ) + ( +10 ) + ( −7 ) ( −4 ) + ( −7 ) + ( +10 ) 3. ¿Qué observas al resolver los apartados i) y j) del ejercicio anterior? ¿Y k) y l)? 4. En el último mes Carlos ha realizado estas operaciones en su cuenta corriente: • El día 1 ingresó 326 € • El día 4 llegó la factura de su móvil por 64 € • El día 15 compró un regalo de 38 € y lo pagó con la tarjeta • El día 20 ingresó 52 € • El día 24 llegó el pago mensual de su club de tenis por 24 € • El día 30 llegó la cuota de una ONG con la que colabora, a la que dona todos los meses 18 € a) Haz una lista de todos los movimientos de la cuenta de Carlos, expresando como números enteros positivos los movimientos a favor de su cuenta (los que hacen que en la cuenta haya más dinero) y como números enteros negativos los movimientos en contra de su cuenta (los que hacen que en la cuenta haya menos dinero) b) Si en la cuenta de Carlos había inicialmente 8 €, ¿cuánto dinero queda al final de mes? Averígualo sumando a la cantidad inicial la lista de números que has confeccionado en el apartado anterior. Unidad 2 │ Números enteros Matemáticas 1.º ESO Unidad 2 Números enteros Resta de números enteros Observa cómo se transforma la resta de números enteros en una suma: ( +8 ) − ( +2 ) =( +8 ) + op(+2) =( +8 ) + (−2) =+6 ( −8 ) − ( −2 ) =( −8 ) + op(−2) =( −8 ) + (+2) =−6 ( +8 ) − ( −2 ) =( +8 ) + op(−2) =( +8 ) + (+2) =+10 ( −8 ) − ( +2 ) =( −8 ) + op(+2) =( −8 ) + (−2) =−10 • • • • 1. Ahora completa esta tabla: Resta Minuendo Sustraendo Opuesto del sustraendo Paso a suma Resultado ( +8 ) − ( +2 ) +8 +2 −2 ( +8 ) + ( −2 ) +6 ( −8 ) − ( −2 ) −8 −2 −6 ( +8 ) − ( −2 ) ( −8 ) − ( +2 ) 2. Realiza estas restas de números enteros transformándolas primero en sumas: a) ( +5 ) − ( +6 ) b) ( −5 ) − ( −6 ) c) ( +5 ) − ( −6 ) d) ( −5 ) − ( +6 ) Podemos llegar al mismo resultado si aplicamos la siguiente regla para quitar paréntesis: • • Un signo – delante de un paréntesis cambia de signo todos los sumandos del paréntesis Un signo + delante de un paréntesis deja con el mismo signo todos los sumandos del paréntesis Observa dos formas distintas de resolver esta operación: ( +5 − 3 − 1) − ( +3 − 8 ) 1. Se realizan las operaciones dentro de los paréntesis: 1. Se eliminan los paréntesis: ( +1) − ( −5 ) 2. Se eliminan los paréntesis: +5 − 3 − 1 − 3 + 8 2. Se suman los números positivos entre sí y los negativos entre sí: +13 − 7 3. Resultado: +1 + 5 3. Resultado: +6 +6 3. Realiza estas operaciones de dos maneras diferentes: a) − ( −3 + 15 ) + ( −6 + 2 ) d) − ( −4 − 7 ) − ( −3 + 2 ) b) − ( −3 + 15 ) − ( −6 + 2 ) e) +8 − ( −5 + 4 ) − ( −6 − 11) + ( 3 − 15 + 7 ) c) − ( −4 ) + ( −7 ) − ( −3 + 2 ) f) +8 − ( −5 + 4 ) − ( −6 − 11 + 3 − 15 + 7 ) Unidad 2 │ Números enteros Matemáticas 1.º ESO Unidad 2 Números enteros Propiedad distributiva y factor común. Observa este esquema: 1. Observa y completa: a) b) Unidad 2 │ Números enteros Matemáticas 1.º ESO Unidad 2 Números enteros Propiedad distributiva y factor común. 2. Realiza estas operaciones de dos formas diferentes: a) 5 ⋅ ( −2 ) + 5 ( −4 ) c) b) ( −7 ) ⋅ 12 + ( −1) ⋅ ( −7 ) d) ( −1) ⋅ 5 − ( −1) ⋅ 3 − 7 ⋅ ( −1) 3 ⋅ 2 − 3 ⋅ ( −1) + 5 ⋅ ( −3 ) 3. A veces el factor común no está indicado y hay que buscarlo entre todos los divisores enteros de los sumandos. Fíjate en el ejemplo y extrae factor común de las siguientes expresiones. Intenta extraer el mayor factor común posible y opera hasta llegar al resultado final. a) −20 + 100 − ( −150 ) c) 40 − ( −30 ) + 15 + ( −60 ) b) 75 + 150 + ( −300 ) d) −32 − 72 − ( −48 ) 4. Completa estas expresiones: a) ( −2 ) ⋅ 3 + 5 + b) 18 − c) −6 + 3 + ( −1) ⋅ d) ⋅3 − = − 10 + 2= + 2 =( −2 ) ⋅ + 4 + ( −1) =( −2 ) ⋅ =+30 − 15 + ( )= = ⋅ ( −2 ) + 5 ⋅ ( −1) = 5 ⋅ 8 ⋅ 3 − 3 ⋅ ( −2 ) + Unidad 2 │ Números enteros = 5⋅ = Matemáticas 1.º ESO Unidad 2 Números enteros Operaciones combinadas con números enteros Para operar con números enteros es preciso usar el orden adecuado. Este orden se conoce como jerarquía de operaciones 1. Realiza las siguientes operaciones. Trabaja en vertical y señala en cada paso la parte que operas. a) −2 ⋅ ( −3 ) + ( −1) ⋅ ( 5 + 6 ) − 14 : ( −7 ) b) c) d) ( −2 + 6 ) ⋅ ( 8 − 9 ) + ( 6 − 3 ) ⋅ ( 3 − 5 ) : ( −6 ) − 9 ⋅ 11 ( −2 + 1) : ( 8 − 3 + 2 ) + ( −9 ) : 3 ⋅ ( 3 − 5 ) − 9 ⋅ 15 : ( −2 − 1) −2 ⋅ ( 2 − 7 ) + ( −4 ) − 3 + ( 3 − 12 ) − 9 : ( −2 ) ⋅ ( −3 ) − ( −6 ) 2. Completa estas operaciones con el número que falta. a) b) 13 + 1 − ( 2 + • ) ⋅ ( −2 ) = −18 ( • : 9 − 6 : 3 ) ⋅ 5 + ( −4 ) =3 c) 6 ⋅ ( 4 − • ) + 6 ⋅ ( −1) + ( −8 ) = −12 d) • ⋅ 6 − 4 + ( −3 ) − ( 4 + 6 ) : ( −2 ) = 10 3. Coloca los paréntesis necesarios para que el resultado de la operación sea correcto. a) b) 6 + 2⋅4 − 5 +1= 10 6 + 2⋅4 − 5 +1= 28 c) 6 + 2 ⋅ 4 − 5 + 1 = 8 d) 6 + 2 ⋅ 4 − 5 + 1 = 26 4. Las operaciones que se muestran a continuación están mal hechas. Descubre qué error se ha cometido en cada una y calcula el resultado correcto. a) b) ( 6 ⋅ 3 − 1) ⋅ ( −2 ) + 8 =−16 ( −3 ) ⋅ ( −5 ) + 1 − 5 ⋅ 7 + 4 ⋅ ( −3 ) =35 Unidad 2 │ Números enteros c) d) ( 7 ⋅ 4 + 2 ) : 5 − ( −1) ⋅ ( −3 ) =−15 ( −1) ⋅ 5 + 3 ⋅ ( −2 ) − ( −1) ⋅ 5 ⋅ 2 − ( −1) =4 Matemáticas 1.º ESO Unidad 2 Números enteros Representación de números enteros. En muchas ocasiones, para situar objetos o elementos en un plano se suele utiliza un código de 2 dígitos o letras, donde la primera posición identifica la fila donde está situado el objeto y la segunda posición a la columna. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G También podemos representar elementos en el plano utilizando un sistema de coordenadas con números enteros. Vamos a considerar el mapa de España con las capitales de provincia indicadas 1. Situamos los ejes cartesianos encima del mapa con el punto origen (0,0) en el centro de Madrid como indica la figura. 2. Divide los ejes cartesianos en segmentos de medio centímetro cada uno y numéralo teniendo en cuenta la parte positiva y negativa de los mismos. a) ¿Qué coordenadas tiene Madrid en el mapa? b) Indica las coordenadas de: • Huesca • Castellón • Huelva c) Si movemos los ejes y situamos el origen de coordenadas en la ciudad de Córdoba. ¿Qué coordenadas tendrán las ciudades anteriores? Unidad 2 │ Números enteros Matemáticas 1.º ESO Unidad 2 Números enteros Representación de números enteros. Unidad 2 │ Números enteros Matemáticas 1.º ESO Unidad 2 Números enteros Cimas y simas Lee la siguiente información: En el corazón de los Picos de Europa se encuentra el teleférico de Fuente Dé, que salva un desnivel de 753 metros, situando al viajero en los 1.823 metros de altitud sobre el nivel del mar. Desde allí se puede observar Peña Vieja y Peña Olvidada con 2617 m de altitud sobre el nivel del mar. La Cueva el Soplao se encuentra enclavada dentro de la Sierra el Escudo .La cavidad tiene una longitud total de casi 17 km, y está situada a 540 m de altitud sobre el nivel del mar. En la visita a la cueva se profundiza 40 metros pero la cueva conecta con la mina de La Florida donde los mineros trabajaban a 400 metros de profundidad. 1. Completa el siguiente esquema anotando las distancias que indica cada flecha verde. Peña Vieja 2617 m Teleférico (Estación superior “El Cable”) Teleférico (Estación inferior “Fuente Dé”) Entrada cueva y mina Visita cueva Mina Nivel del mar 2. Si nos situamos en la puerta de la cueva, señalada con la línea negra, utiliza números enteros para expresar: • La profundidad a la que se realiza la visita a la cueva • La altura de la estación “El Cable” • La longitud que separa la zona de visita de la cueva y Fuente Dé. • La longitud desde Peña Vieja hasta la zona de trabajo de los mineros. Unidad 2 │ Números enteros Matemáticas 1.º ESO Unidad 3 Potencias y raíz cuadrada Operaciones con potencias 1. Escribe las siguientes potencias como producto o cociente de potencias. a) (3 ⋅ 6) b) 4 ⋅ ( −2 ) c) (7 ⋅ 2 ⋅ 5) 5 3 2 d) ( −2 ) ⋅ 5 ⋅ ( −8 ) e) (15 : 3 ) f) ( −36 ) : 9 2 4 3 2. Expresa estas operaciones como una única potencia. a) 25 ⋅ 2 b) ( −5 ) ⋅ ( −5 ) ⋅ ( −5 ) c) 35 : 3 2 d) ( −4 ) : ( −4 ) 2 7 e) ( −3 )2 f) ( 5 2 )3 4 4 ( 23 ⋅ 22 ) : 24 (3 ) : 3 g) 5 4 2 3 h) 5 3. Completa los huecos que faltan con el número que corresponde en cada caso. 4. a) ( 2 ⋅ • )= b) : 4) ( 8= c) ( −3 ) ⋅ ( −3 ) d) 22 ⋅ 2 ⋅ 2= 2 = 32 2 • • • 2 ⋅ • = 36 • • 8= :4 16 2 • =81 • • • e) 2 3 :3 = 3= 27 f) 4 6 : 43 = 4 = g) (2 = ) h) ( −3 )2 = 9 ( −3 ) = • • 3 • 2= 64 • • • • Une mediante flechas cada operación con su correspondiente expresión como una única potencia y con su valor. ( −3 ) ⋅ ( −3 ) ( −3 ) 2 −27 6 : ( −2 ) ( −3 ) 4 81 ( −3 ) 5 9 ( −3 ) 3 −243 2 ( −3 )4 2 1 ( −3 ) ⋅ ( −3 ) ⋅ ( −3 ) 2 2 5. Indica si es verdadera o falsa cada una de las siguientes igualdades. a) ( −3 ) b) 50 = 0 f) −32 = 9 c) ( −2 ) = 1 g) ( −5 ) d) ( −2 ) = −8 h) ( −4 ) 2 1 3 = 9 Unidad 3 │ Potencias y raíz cuadrada e) 70 = 1 1 2 = −5 = −16 1.º ESO Unidad 3 Potencias y raíz cuadrada Raíces cuadradas exactas y enteras 1. Cuando un número es un cuadrado perfecto se puede representar en forma de cuadrado. Fíjate cómo se van construyendo, completando cuadrados cada vez más grandes. Haz tu lo mismo con los siguientes números. a) 25 c) 40 b) 38 d) 47 e) 50 f) 59 g) 64 h) 80 2. El lado de los cuadrados anteriores es el valor de la raíz cuadrada de los números que has representado. Si sobran unidades, la raíz es entera y esas unidades son el resto de la raíz. Aprovechando los dibujos del ejercicio anterior, calcula a) 25 c) 40 e) 50 g) 64 b) 38 d) 47 f) 59 h) 80 3. Cuando el número es muy alto, para saber si es un cuadrado perfecto podemos descomponer el radicando en factores primos, como en este ejemplo: • ¿Es exacta Como 435600 = 24 ⋅ 32 ⋅ 52 ⋅ 112 435600 = • 435600 ? es un cuadrado perfecto, su raíz es exacta 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 11 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 11 = 660 4 2 2 2 2 ¿Es exacta 145200 ? Como 145200 = 24 ⋅ 3 ⋅ 52 ⋅ 112 NO es un cuadrado perfecto, su raíz es entera. Haz lo mismo con las siguientes raíces. En caso de que sean exactas calcula su valor. a) 145 c) 450 e) 4356 g) 14400 b) 196 d) 980 f) 4050 h) 176400 Unidad 3 │ Potencias y raíz cuadrada 1.º ESO y Unidad 3 Potencias y raíz cuadrada Jerarquía de las operaciones 1. Realiza las siguientes operaciones. Cuando te encuentres paréntesis y corchetes anidados, calcula desde dentro hacia fuera, como en el ejemplo. 2 − ( 32 + 1) = [ 2 − ( 9 + 1)] = ( 2 − 10 ) = ( −8 ) = 64 2 2 2 2 a) 23 − 64 ⋅ ( 33 − 32 ) e) ( −2 + 5 ) ⋅ ( −1) + b) ( f) 53 − 100 − 62 + ( −5 ) ⋅ g) h) 3 ⋅ − 36 + ( −1) ⋅ ( 2 − 3 ) − 52 ⋅ 22 − 3 ) 2 + 5 − 2 − 1 36 : 32 + 3 c) d) 3⋅2 ( −1) ⋅ ( −3 ) ⋅ ( −7 ) ⋅ ( −1) 4 2 0 1 2 ( ) (13 − 5 ) : 2 ⋅ ( 5 − 6 ) ( 5) 2 3 2 16 − 25 − 1 ( ) 3 2. Coloca los paréntesis necesarios para que los resultados sean correctos. a) −32 + 5 − 22 = 10 f) −16 ⋅ 3 + 2 ⋅ 5 + 42 = 23 b) −32 + 5 − 22 =−8 g) −16 ⋅ 3 + 2 ⋅ 5 + 42 = 29 c) −32 + 5 − 22 = 0 h) −16 ⋅ 3 + 2 ⋅ 5 + 42 = 159 d) −32 + 5 − 22 = 36 i) −16 ⋅ 3 + 2 ⋅ 5 + 42 = 193 e) −32 + 5 − 22 = 144 j) −16 ⋅ 3 + 2 ⋅ 5 + 42 = 321 3. Completa los huecos que faltan con los números que correspondan en cada caso. a) ( −10 ) b) ( −1) ⋅ ( 2 − • ) + •5 = c) − ( −10 ) =−1100 • 1− 1= 0 2 3 5 ⋅ • ) = 1000 000 ( • ⋅ 30 + • = d) e) • ( −3 ) • − 3 ⋅ ( 2 + •) = • − 9 = 0 (8 − •) f) ( • ⋅ 36 = 6 2 g) h) ( 6 − 3• ) ⋅ + 6 ⋅ • = • − 12 = −7 ) • 4 20 • − 9 = ( −1) = • • ⋅ ( −20 − • ) = −3 ⋅ • ⋅ ( −25 ) = −3 ⋅ • = −15 Unidad 3 │ Potencias y raíz cuadrada 1.º ESO Unidad 3 Potencias y raíz cuadrada Crecimiento exponencial Un productor de naranjas le pide cuatro patatas a su vecino, y acuerda pagarle con dos naranjas al día siguiente. Además, según el trato al que llegan, si se retrasa un día, tendrá que entregarle cuatro naranjas. Si tampoco cumple el segundo día, le deberá ocho naranjas, y así sucesivamente. Cada día que pase sin hacer la entrega, se doblará la cantidad que le debe a su vecino. Como el productor de naranjas recoge muchísima fruta, se queda bastante tranquilo con el trato, y no se preocupa por retrasarse un poco. Y así pasan 35 días hasta que decide liquidar la cuenta con su vecino. Así que, muy previsor, coge un par de bolsas bien grandes para llevarle las naranjas al vecino. Cuando se pone a calcular se lleva tal susto que las bolsas se le caen de las manos. a) ¿Cuántas naranjas le debe a su vecino? Para que te sea fácil calcularlo completa esta tabla: Día Expresión con potencias Número de naranjas 1 21 2 2 2 ⋅ 21 = 22 2⋅2 = 4 3 2 ⋅ 22 = 23 2⋅4 = 8 4 • 2 ⋅ 2• = 2 ⋅ 8 =• … … 5 6 7 … 35 b) Si en una banasta caben 32 naranjas y en un camión entran 1024 banastas, ¿cuántos camiones tendrá que llenar? c) ¿Qué te parece este número? Las potencias crecen desmesuradamente. Para referirse a este fenómeno, se habla de crecimiento exponencial. Los resultados sorprendentes que produce han servido de base para algunas narraciones muy conocidas, como un relato sobre la invención del ajedrez o una leyenda medieval sobre la independencia de Castilla. Busca estas u otras leyendas sobre el crecimiento exponencial y cuéntaselas a tus compañeros. Unidad 3 │ Potencias y raíz cuadrada 1.º ESO Unidad 3 Potencias y raíz cuadrada Notación científica Para expresar números muy grandes o muy pequeños utilizamos las potencias de 10. Por ejemplo, una molécula gramo de cualquier sustancia contiene el mismo número de átomos o moléculas. Este número es conocido como número de Avogrado y fue determinado experimentalmente. Su valor es aproximadamente 602 300 000 000 000 000 000, es decir, 6,023 · 1023. Esta forma de escribir números muy grandes se denomina notación científica. La notación científica de un número es el resultado del producto de dos números: • El coeficiente es un número menor que diez y mayor o igual que 1. • La potencia de 10 es el número de veces que el coeficiente es multiplicado por 10. Vamos a expresar el número 54 000 en notación científica. • El coeficiente es 5,4. • La potencia de 10 es 104 ya que 5,4 · 10 · 10 · 10 · 10 = 54 000 Por tanto, 54 000 en notación científica es 5,4 · 104. 1. Expresa los siguientes números en notación científica. a) 100 000 000 000 b) 20 000 000 000 c) 16 000 d) 28 000 000 e) 123 000 f) 604 580 000 000 Unidad 3 │ Potencias y raíz cuadrada 1.º ESO Unidad 4 Fracciones Concepto de fracción 1. Colorea en cada figura la fracción que se indica. Hazlo en dos pasos: • Divide la figura en tantas partes iguales como indica el denominador. • Colorea tantas partes como indica el numerador. a) 2 3 b) 5 8 c) 2. ¿Cuál de los siguientes dibujos no representa la fracción 3 4 3 5 ? Justifica tu respuesta. 3. De la caja que se muestra en el dibujo, escribe la fracción que sobra cuando nos bebemos: a) b) c) d) 1 botella 3 botellas 5 botellas 10 botellas 4. Expresa las siguientes cantidades como una fracción del total que se indica: a) b) c) d) 1 CENT en un total de 1€ 39 minutos en un total de 1h 40 cm en un total de un 1m 240 g en un total de 1kg 5. La manecilla de los minutos de un reloj gira desde las 7:45 a.m. hasta las 8:25 a.m. ¿Qué fracción de vuelta ha girado? Explica tu razonamiento. 6. Calcula mentalmente las siguientes cantidades: a) 1 3 de 15 € c) 4 5 de 25 chicles e) 1 10 b) 1 6 de 30 alumnos d) 1 8 de 32 DVDs f) 2 3 Unidad 4 │ Fracciones de 50 Gb de 120 g Matemáticas 1.º ESO Unidad 4 Fracciones Fracciones equivalentes y comparación 1. La figura que ves a continuación se llama diagrama de Freudenthal. Vamos a utilizarlo para comparar fracciones. 2 4 y son equivalentes. Fíjate en el proceso: 3 6 Usando este diagrama vamos a ver si 1.º Coloreamos 2 4 y en el diagrama. 3 6 2.º Trazamos una línea horizontal por 3.º Si la línea coincide con el final de 2 3. 4 es que las fracciones son equivalentes, como pasa en este caso. 6 Repitiendo el proceso anterior, decide si 1 5 4 5 y son equivalentes. Haz lo mismo para y . 2 7 10 5 2. Comprueba con los ejemplos del ejercicio anterior que las fracciones que son equivalentes tienen la misma fracción irreducible, y que esto no es cierto para las fracciones que no son equivalentes. 3. Utilizando diagramas de Freudenthal, deduce en cada apartado cuál de las fracciones es mayor: a) 2 3 o 3 5 b) 3 5 o 4 6 c) 3 5 o 4 7 4. En cada uno de los apartados anteriores, busca dos fracciones equivalentes a las dadas con el mismo denominador, y comprueba si es correcto el resultado que has obtenido. 5. Completa las siguientes igualdades: a) 4 = 12 3 Unidad 4 │ Fracciones b) 15 10 = 48 c) 5 30 = 7 d) 2 = 3 150 Matemáticas 1.º ESO Unidad 4 Fracciones Operaciones con fracciones 1. Las siguientes fichas de dominó representan sumas y restas de fracciones. Añade a las fichas que están en blanco los puntos necesarios para que se cumplan las igualdades. a) 2. b) Realiza las siguientes operaciones y simplifica el resultado: a) 2 + 1 − 5 3 3. c) 4 b) 3 − 2 + 1 5 2 3 2 5 1 − + 3 6 2 c) 2 Fíjate en estas dos formas de multiplicar 8 3 ⋅ 3 4 d) 2 5 1 + − 3 6 2 : 1.ª Se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí: 4 ⋅ 3= 4 ⋅ 3= 12 3 ⋅ 8 24 12 1 = 24 2 3 8 Se simplifica el resultado hasta expresarlo en forma de fracción irreducible: 2.ª Antes de multiplicar los numeradores y los denominadores entre sí, se observa si hay algún factor que se pueda simplificar en el numerador y el denominador. Si es necesario, se 3 4⋅3 factorizan los números más grandes: 4= ⋅ = 3 8 3⋅8 4⋅3 4/ ⋅ 3/ 1 = = 3 ⋅ 2 ⋅ 4 3/ ⋅ 2 ⋅ 4/ 2 . Esta forma tiene la ventaja de que se manejan números más pequeños, con los que es más fácil operar, y se obtiene directamente el resultado simplificado. Realiza las siguientes operaciones de las dos formas anteriores y decide cómo es más fácil operar: a) 4. 2 5 6 ⋅ ⋅ 3 4 7 3 2 3 6. d) 1 : 3 9 3 15 8 4 4 ¿Qué operación se esconde debajo de cada punto? 4 a) 1 • 8 = 5. c) 4 : 2 b) 5 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 6 b) 3 1 8 13 • = − 2 3 6 c) 1 8 19 • = 2 3 6 d) 1 8 3 • = 2 3 16 Calcula y simplifica los resultados de las siguientes operaciones combinadas: a) 1 3 9 · − 1 + 5 8 20 c) 2 5 1 ⋅ 3⋅ : 3 4 3 b) 3 1 5 4 + : − 4 4 8 5 d) 1 3 3 1 2 : − ⋅ + 4 4 13 5 3 Calcula y simplifica el resultado de las siguientes operaciones: 3 a) 2 1 5 3 + ⋅ ⋅4 2 12 2 Unidad 4 │ Fracciones b) 5 5 1 ⋅ 3: − 18 4 2 3 Matemáticas 1.º ESO Unidad 4 Fracciones Problemas con fracciones 1. Juan es profesor de matemáticas. Trabaja 5 horas en el colegio y 2 en su casa. a) b) c) d) ¿Qué fracción del día pasa trabajando en el colegio? ¿Qué fracción del día pasa trabajando en su casa? ¿Qué fracción del día pasa trabajando? ¿Qué fracción del día le queda libre? Para resolver problemas de fracciones es muy útil usar diagramas en los que puedes ir indicando la fracción que corresponde a cada parte. Fíjate en este: 2. 1 2 del paquete para hacer un flan. Sergio usa de lo 4 3 que queda en el paquete para hacer un bizcocho. Un paquete de azúcar pesa 1 kg. Enrique usa a) b) ¿Cuántos gramos de azúcar sobran? ¿Qué fracción del paquete han gastado? ¿Qué fracción del paquete queda? 4 7 del peso de Blanca, y Blanca, del de Carmen. ¿Cuál de las tres pesa más? 3 9 3. Ana pesa 4. María gasta 5. Tenemos tres pizzas redondas iguales. De la primera queda un quinto, y se corta en 3 porciones iguales. De la segunda queda un sexto, y se corta en 2 porciones iguales. De la tercera queda un quinto, que se corta en 5 partes iguales. ¿De qué pizza deberemos tomar un trozo si queremos coger la porción más grande? ¿Y la más pequeña? 2 1 de su dinero en comprar un pantalón y de lo que le queda en un libro. Al final le 3 5 quedan 52 €. ¿Qué dinero tenía inicialmente? Unidad 4 │ Fracciones Matemáticas 1.º ESO Unidad 4 Fracciones Construye tu tangram de fracciones 1. El Tangram es probablemente el rompecabezas más antiguo que se conoce. Es de origen chino y se sabe que se utilizaba hace más de dos mil años. A pesar de su antigüedad sigue siendo un juego muy atractivo. Vamos a intentar construir el Tangram según las siguientes indicaciones: • Consta de siete piezas simples: un cuadrado, cinco triángulos rectángulos (dos grandes, dos pequeños y uno mediano) y un romboide. • Construye un cuadrado de lado 16 cm y divídelo en 16 partes iguales, haciendo 4 divisiones horizontales y 4 divisiones verticales. Esta cuadrícula servirá de referencia para el tamaño de las piezas. • La fracción que ocupan las diferentes piezas del Tangram es: Triágulo A = Triángulo B: Triángulo C: 1 4 1 8 Triángulo D = Triángulo E: Cuadrado F: 1 8 Romboide G: 1 8 1 16 • Juntando sin superponer los dos triángulos pequeños podemos construir el cuadrado, el romboide y el triángulo mediano. ¿Serías capaz de dividir el cuadrado de partida en estas 7 piezas para construir tu tangram? 2. Con estas siete piezas se pueden construir numerosas figuras reconocibles que representan animales, objetos, personas, signos... La forma más habitual de jugar consiste en reconstruir una figura dada usando las siete piezas del Tangram, sin que se superpongan unas sobre otras. a) Construye en cartón o cartulina las 7 piezas del Tangram (se recomienda utilizar un material con algo de grosor para que las piezas no se monten una sobre otra al juntarlas). b) Usando las 7 piezas y sin superponer unas sobre otras, juega a construir figuras. ¿Cuántas distintas puedes conseguir? Unidad 4 │ Fracciones Matemáticas 1.º ESO Unidad 4 Fracciones ¿Cuánto crece un árbol? 1. Un olmo mide 60 m de altura. Cada año aumenta su altura en 1 . 10 a) Completa la siguiente tabla: Mide Crece 1 1 de 60 = ⋅ 60 10 10 60 m Año 0 60 + Año 1 1 1 1 1 de 60 + ⋅ 60 = ⋅ 60 + ⋅ 60 = 10 10 10 10 2 1 1 = ⋅ 60 + ⋅ 60 10 10 1 ⋅ 60 = 66 m 10 2 60 + Año 2 1 1 1 ⋅ 60 + ⋅ 60 + ⋅ 60 = 10 10 10 2 = 60 + 2 1 ⋅ 60 + ⋅ 60 10 10 Año 3 Año 4 b) ¿Cuántos años tardará el olmo en superar los 100 m de altura? c) ¿Serías capaz de idear una expresión que exprese lo que mide el olmo en n años? Unidad 4 │ Fracciones Matemáticas 1.º ESO Unidad 5 Números decimales Ordenación y aproximación de decimales 1. Descompón los siguientes números decimales en sus órdenes de unidades. a) 12,564 c) 172,001 e) 198,98 b) 1003,456 d) 0,004 f) 295,5 2. Obtén la clasificación final del Campeonato del Mundo de salto de longitud si los ocho finalistas han realizado las marcas que aparecen a continuación. Finalista A B C D E F G H Marca 8,230 8,127 7,906 8,796 8,820 8,791 7,958 8,123 3. Encuentra 3 números decimales comprendidos entre las siguientes parejas de números. a) 0,07 y 0,08 b) 7,599 y 7,6 4. Calcula los números que son una décima y dos centésimas más pequeños que los siguientes. a) 8,21 c) 13,11 b) 0,723 d) 5,047 5. Aproxima los siguientes números a las décimas por truncamiento y por redondeo. a) 0,167 c) 2D + 3U + 7d + 2c b) 7U + 9d + 4c d) 27,98 6. Aproxima por truncamiento y redondeo el número 0,9946 a las unidades, a las décimas, a las centésimas y a las milésimas. 7. Seis alumnos de 1.º ESO han obtenido las siguientes calificaciones en un examen de Matemáticas: 4,5 4,95 4,75 4,6 4,97 4,85 Su profesor les propone cuatro maneras diferentes de poner las notas de este examen: a) Truncar a las décimas. b) Redondear a las décimas. c) Truncar a las unidades. d) Redondear a las unidades. ¿Cuántos alumnos aprueban el examen en cada caso? ¿Cuál consideras que es la manera de poner las notas que más interesa a los alumnos? Unidad 5 │ Números decimales 1.º ESO Unidad 5 Números decimales Fracciones y decimales 1. Rellena las siguientes casillas teniendo en cuenta que aparecen números decimales exactos y sus correspondientes fracciones decimales. a) 5,45 = b) • = • • e) • = • f) 7U + 8 d + 4c + 2m = • 1307 100 c) • C + • D + • U + • d = d) 0,256 = 739 10 2568 10 g) • = • • 82 1000 h) • D + • U + • c = 1705 100 2. Calcula los números decimales correspondientes a las siguientes fracciones. Indica si se trata de un número decimal exacto o periódico y, en este caso, su período y su anteperíodo si procede. a) 5 4 c) 161 30 b) 22 9 d) 41 3 3. Une mediante flechas cada número decimal con su correspondiente período y con el tipo de número decimal del que se trata. Número decimal Período 2,77777… 1024,568 0,736666… 7,5 12,4656565… 356,373737… No tiene 37 7 65 No tiene 6 Tipo de decimal Periódico mixto Exacto Periódico puro Exacto Periódico puro Periódico mixto 4. Completa cada una de las frases con palabras que deberás buscar en la siguiente sopa de letras. D R P R D A R M P E J E X A C T O S C F R A C C I O U E M I X T O S G M N O O I C R E T A A E D E C I M A L F P O D P U R O S M I L E S I M A R • Aquellos números decimales que tienen una parte decimal que no se repite y otra que se repite indefinidamente reciben el nombre de números decimales periódicos ………… • Llamaremos ………… a la parte decimal que se repite indefinidamente. • Los números decimales …………… tienen un número limitado de cifras decimales. • En los números periódicos …………. la parte decimal consiste en un número que se repite indefinidamente. Unidad 5 │ Números decimales 1.º ESO Unidad 5 Números decimales Multiplicación y división de números decimales 1. Completa el siguiente crucigrama con los resultados de las operaciones con números decimales que aparecen debajo (la coma de cada número, tanto horizontal como vertical, ocupa una casilla dentro del crucigrama). B 1 2 , C A 4 E , 5 6 D 3 F G 7 H 8 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Horizontales 1,23 + 4,253 + 12,37 14,27 · 3,2 5443,54 : 2,35 12,37 · (4,25 + 12,32) 1,237 : 0,1 3958 : 100 3,25 · 1,81 17,12 · 4,01 – 2,9302 : 0,7 A. B. C. D. E. F. G. H. Verticales (12,32 + 43,57 – 2,54) · 11,64 1234,2562 + 3,231 – 42,75 + 623,629 (2137,32 + 42,15) – (53,23 – 4,87) 3,7845 · 1000 59 836,1 · 0,01 43,2 + 12,59 – 10,05 0,3 · (7,8 – 4,3) (7,2 + 4,8) · 1,2 2. Daniela ha comprado 2,5 kg de naranjas a un precio de 1,75 € el kg, 1,5 kg de manzanas a 1,6 € el kg y 1,5 kg de plátanos a 1,25 € el kg. Si juntamos toda la fruta en la misma bolsa, ¿cuál es su peso? ¿Cuánto ha pagado Daniela por toda la fruta? 3. Un pintor tiene que pintar una pared de 50 metros de largo y sabemos que cada hora pinta 2,5 metros. Además, su jornada laboral es de 8 horas diarias. a) ¿Cuántas horas tardará en pintar la pared? b) ¿Cuántos días de trabajo invertirá? Unidad 5 │ Números decimales 1.º ESO Unidad 5 Números decimales De decimal periódico a fracción Tanto los números decimales exactos como los periódicos se pueden representar mediante fracciones irreducibles que reciben el nombre de fracciones generatrices. En esta ficha, vamos a aprender a construir la fracción generatriz asociada a cualquier número decimal periódico puro o periódico mixto. Para ello, vamos a describir las cifras que debemos poner tanto en el numerador como en el denominador en cada caso. Después debemos simplificarla hasta obtener la correspondiente fracción irreducible. FRACCIÓN ASOCIADA A UN NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO PURO • Numerador: el número hasta el final del período sin comas menos la parte entera del número. • Denominador: tantos nueves como cifras tiene el período. Ejemplos: 46 − 4 42 14 4,6666... = 4,6 = = = 9 9 3 15211 − 15 15196 15,211211211... = 15,211 = = 999 999 75 − 0 75 25 = 0,75 = = = 0,757575... 99 99 33 FRACCIÓN ASOCIADA A UN NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO MIXTO • Numerador: el número hasta el final del período menos la parte no periódica, ambos números sin comas. • Denominador: tantos nueves como cifras tiene el período seguido de tantos ceros como cifras tiene el anteperíodo. Ejemplos: 324 − 32 292 146 3,2444... = 3,24 = = = 90 90 45 25123 − 2512 22 611 7537 25,123333... = 25,123 = = = 900 900 300 243 − 2 241 0,2434343... = 0,243 = = 990 990 OBSERVACIÓN: veamos lo que ocurrecuando tenemos un número decimal periódico puro cuya única cifra periódica es el 9. 49 − 4 45 149 − 14 135 Por ejemplo: 4,9 = = = 5 = = = 15 14,9 9 9 9 9 Por tanto, podemos concluir que: Cuando un número decimal periódico puro tiene como única cifra periódica el 9, dicho número coincide con el número que se obtiene al sumar 1 a su parte entera. Unidad 5│Números decimales 1.º ESO Unidad 5 Números decimales De decimal periódico a fracción 1. Calcula, observando los ejemplos anteriores, la fracción generatriz asociada a los siguientes números decimales periódicos: a) 6,5 b) 5,434343… c) 0,125 d) 12,767676… e) 4,1222… f) 25,078 g) 12,6545454… h) 0,716 2. Deduce, sin necesidad de calcular la fracción generatriz, con qué número natural coincide cada uno de los siguientes números decimales periódicos puros. a) 5,9 b) 17,9 c) 0,9 d) 106,9 Unidad 5│Números decimales 1.º ESO Unidad 5 Números decimales El ábaco ¿CONOCES EL ÁBACO Y SUS UTILIDADES? Un ábaco está formado por un soporte de madera y una serie de varillas paralelas colocadas vertical u horizontalmente, dependiendo del tipo de ábaco que tengamos. En estas varillas se van introduciendo 10 bolas, generalmente denominadas cuentas que suelen ser de distintos colores. Cada varilla representa un orden (decenas, unidades, décimas, centésimas,...) El ábaco tiene muchas utilidades, entre ellas cabe destacar la representación de números naturales y decimales, así como la resolución de operaciones elementales con este tipo de números. • Representación de números naturales En nuestro caso, vamos a trabajar con el ábaco vertical. Dicho ábaco consta de varillas verticales en las que se van introduciendo las cuentas. Así pues, un número natural se representa insertando tantas cuentas como indica el número que hay en cada orden en la varilla correspondiente. Cada cuenta tiene un valor diferente en función de la varilla en que se encuentre. En el ábaco de la figura, el color amarillo representa las unidades, las bolas verdes son las decenas y la rojas las unidades de millar. Por tanto, el número representado es: 5306 = 5 · 1000 + 3 · 10 + 6 · 1. • Representación de números decimales Lo primero que debemos hacer es fijar la varilla correspondiente a las unidades, es decir, el lugar en el que situaremos la coma. Dicha varilla y las de su izquierda servirán para representar la parte entera, mientras que las situadas a su derecha serán para la parte decimal. El número representado en este ábaco es: 3256,34 = 3 · 1000 + 2 · 100 + 5 · 10 + 6 · 1 + 3 · 0,1 + 4 · 0,01. Para pasar de una unidad a otra (de una varilla a otra), únicamente debemos aplicar las siguientes reglas: Estamos trabajando en un sistema de numeración posicional. Cada 10 unidades de un orden cualquiera, forman una unidad del orden inmediatamente superior, o bien, cada unidad de un orden cualquiera forma diez unidades del orden inmediatamente inferior. Multiplicación y división por la unidad seguida de ceros 1. Para multiplicar un número representado en el ábaco por la unidad seguida de ceros, debemos trasladar las cuentas de cada varilla a otra situada a la izquierda tantos lugares como ceros acompañan a la unidad. 2. Para dividir por la unidad seguida de ceros, el proceso es análogo salvo que los desplazamientos son hacia la derecha. 725 : 1000 = 0,725 → . Unidad 5 │ Números decimales 1.º ESO Unidad 5 Números decimales El ábaco 1. Completa la siguiente tabla y representa estos números decimales ábacos de cinco varillas. Número Decenas Unidades décimas centésimas milésimas 7 2 0 4 3 4 5 1 7 8 0 0 1 2 3 12,358 8 U + 35 m 42847 1000 13,005 586 25 2. Realiza las siguientes operaciones utilizando el ábaco. a) 12,5 : 100 b) 2,48 · 10 c) 154,7 :10 d) 0,478 · 100 Unidad 5 │ Números decimales 1.º ESO Unidad 6 Magnitudes proporcionales. Porcentajes Magnitudes directamente proporcionales 1. Di cuáles de las siguientes parejas de magnitudes son directamente proporcionales. a) b) c) d) El peso de unos plátanos y su precio. Cantidad de personas que viajan en autobús y el dinero recaudado. El número de obreros y el tiempo que tardan en hacer una obra. El consumo de un coche y los kilómetros que recorre (teniendo en cuenta que siempre va a la misma velocidad). e) La altura de una persona y su edad. f) El lado de un triángulo equilátero y su perímetro. 2. Daniela va al mercado y encuentra tres puestos de fruta en los que aparecen los siguientes carteles: PUESTO 1 PUESTO 2 PUESTO 3 Kg de peras 1 2 3 Kg de peras 1 2 4 Kg de peras 1 3 6 Precio (€) 1,25 2,25 3 Precio (€) 0,75 1,5 3 Precio (€) 1,5 4,25 8 ¿Cuál de los puestos anteriores sigue una relación de proporcionalidad directa? ¿Por qué? 3. Indica si las magnitudes dadas en las siguientes tablas son directamente proporcionales. 1 2 3 4 N.º obreros 1 2 3 4 Área (cm ) 1 4 9 16 Tiempo (horas) 12 6 4 3 Patatas (kg) 2 4 6 10 Noches hotel 1 2 5 7 Precio (€) 2,5 5 7,5 12,5 Precio (€) 120 240 600 840 Lado cuadrado (cm) 2 4. Arantxa, Susana y Laura van al cine y pagan por sus entradas un total de 15,75 €. ¿Cuánto cuesta cada una de las entradas de cine? ¿Y cuánto pagarían si fueran 5 amigos más? 5. Luis y 15 amigos han ido a comer el menú del día a un restaurante y han pagado en total 144 €. Si otro día van 7 personas a comer el menú del día al mismo restaurante, ¿cuánto pagarán por su comida? 6. Completa las siguientes tablas para que sean magnitudes directamente proporcionales. 7. Magnitud A 2 4 6 10 20 Magnitud A • 6 15 30 • Magnitud B • 20 • • • Magnitud B 2 • 10 • 40 En el plano de mi ciudad, una calle que mide 400 metros de longitud está representada por una que mide 3,2 centímetros. ¿Cuánto medirá sobre ese mismo plano mi calle que es de 500 metros? Unidad 6 │ Magnitudes proporcionales. Porcentajes 1.º ESO Unidad 6 Magnitudes proporcionales. Porcentajes Porcentajes 1. Completa las siguientes equivalencias entre porcentajes, razones y números decimales. • = • 25 e) 82,5 •%= = • 100 • b) • % = =0,23 • f) • • % = =0,9 • 15 c) • % = = • 20 g) 3 • % == • 5 h) • • % = =0,156 • a) 8 % = d) 55 % = • = • • 2. Observa la siguiente figura y responde las cuestiones. a) ¿Qué porcentaje del total representan las casillas de colores? b) ¿Qué porcentaje del total representan las casillas de color verde? c) ¿Qué porcentaje de las casillas de colores son de color verde? d) ¿Qué porcentaje de las casillas de colores son de color amarillo? 3. Relaciona cada una de las siguientes operaciones con porcentajes, entre las que se incluyen cálculos de porcentajes y cálculos del total, con su correspondiente solución. Operación 10 % de 650 21 % de 1200 32,5 % de 10 000 4 % de 75 El 12 % de un número es 360 El 5 % de un número es 13 El 27,5 % de un número es 16,5 El 90 % de un número es 1,8 Solución 3000 2 260 60 65 3250 3 252 4. Arantxa se ha comprado un vestido de 90 € y le han hecho un descuento del 20 %. ¿Cuánto dinero se ha ahorrado? ¿Cuál ha sido el precio final del vestido? 5. Entre Alberto, Juan y Luis Carlos meten 3 de cada 4 goles de su equipo. Si la pasada temporada metieron 105 goles entre los tres futbolistas, ¿cuántos goles ha conseguido marcar su equipo en total la pasada temporada? 6. Unos senderistas han recorrido 15 km de una ruta de 60 km. ¿Qué porcentaje de la ruta han recorrido? ¿Qué porcentaje de la misma les queda por recorrer? Unidad 6 │ Magnitudes proporcionales. Porcentajes 1.º ESO Unidad 6 Magnitudes proporcionales. Porcentajes Problemas con porcentajes 1. Los datos de la factura mensual del teléfono móvil de Noemí son los siguientes: Cuota fija: 8 € Consumo: 0,15 €/min IVA: 21 % Si la duración total de las llamadas de Noemí este mes ha sido de 2 horas y la compañía de telefonía le aplica un descuento del 15 %, ¿cuánto tendrá que pagar este mes? 2. Un equipo de hockey hierba ha obtenido los siguientes resultados esta temporada: Partidos ganados: 24 % Partidos empatados: 30 % Partidos perdidos: 46% Si en total han jugado 50 partidos esta temporada, calcula cuántos han ganado, empatado y perdido. 3. Sabemos que en un curso de 1.º ESO de 50 alumnos el 40 % son chicas, de las cuales el 20 % son rubias, el 35 % son morenas y el resto de las chicas tienen el pelo de color castaño. a) ¿Qué porcentaje de chicos hay en dicho curso? b) ¿Cuántas alumnas hay? c) ¿Cuántas alumnas son rubias? d) ¿Cuántas son morenas? e) ¿Qué porcentaje de las chicas son castañas? 4. Un banco me ofrece los siguientes plazos fijos para depositar mi dinero: • PLAZO FIJO A: depósito del dinero durante los primeros 6 meses al 4 % y depósito del dinero más los intereses del período anterior durante otros 6 meses también al 4 %. • PLAZO FIJO B: depósito del dinero durante 12 meses al 8 %. Si pretendo depositar 6000 € durante un año, ¿cuál de los dos plazos fijos me resultará más rentable? 5. Un billete de avión a Menorca me cuesta 80 €. Por no facturar maleta, la empresa me realiza un 10 % de descuento. Sin embargo, necesito cambiar la maleta por otra más grande y finalmente tengo que facturarla, por lo que la empresa me hace un recargo del 10 % sobre el precio anteriormente rebajado. ¿Cuánto pagamos finalmente por el billete de avión? ¿Consideras que es rentable para la empresa esta práctica? Unidad 6 │ Magnitudes proporcionales. Porcentajes 1.º ESO Unidad 6Magnitudes proporcionales. Porcentajes El Teorema de Tales En el siglo VI a. C., el matemático griego Tales de Mileto estableció uno de los resultados más conocidos de la geometría clásica. En él se propone una manera de obtener segmentos de longitudes proporcionales. Teorema de Tales Si tres rectas paralelas a, b y c cortan a otras dos rectas r y r’, los segmentos que se determinan en dichas rectas son proporcionales. AB BC AC = = = k A ' B ' B 'C ' A 'C ' La constante k es la razón de proporcionalidad o semejanza. Aplicaciones del teorema de Tales • Calcula la longitud desconocida. En esta figura, tenemos tres rectas paralelas que cortan a otras dos rectas, por lo tanto, aplicando el Teorema de Tales, sabemos que los segmentos obtenidos son proporcionales. x 14 2 ⋅ 14 = ⇒ 10 ⋅ x = 2 ⋅ 14 ⇒ x = = 2,8 cm 2 10 10 • Triángulos en posición de Tales Dos triángulos están en posición de Tales si comparten un ángulo y los lados opuestos a dicho ángulo son paralelos.Si dos triángulos están en posición de Tales, sus lados son proporcionales. Los triángulos ABC y ADE están en posición de Tales puesto que comparten el ángulo  y los lados opuestos a dicho ángulo (BC y DE) son paralelos. Por tanto, se cumple que: AB AC BC = = AD AE DE Ejemplo Calcula la altura h del triángulo DABde la figura. Los triángulos DAB y DEC se encuentran en posición de Tales puesto que comparten el ángulo D̂ y los lados AB y EC son paralelos. Por tanto: DA DE = AB EC Como DA = DE + EA = 1,5 + 3 = 4,5 m , sustituyendo tenemos: 4,5 h 4,5 ⋅ 2 = ⇒ 1,5 ⋅ h = 4,5 ⋅ 2 ⇒ h = = 6m 1,5 2 1,5 Unidad 6│Magnitudes proporcionales. Porcentajes 1.º ESO Unidad 6Magnitudes proporcionales. Porcentajes El Teorema de Tales 1. Calcula las longitudes desconocidas x e y. 2. Halla el valor de x. 3. Si sabemos que un árbol de 4m de altura produce una sombra de 6m, ¿cuál es la altura de un edificio que produce una sombra de 18m? Unidad 6│Magnitudes proporcionales. Porcentajes 1.º ESO Unidad 7 Ecuaciones Letras y números 1. Obtener las expresiones algebraicas asociadas a cada uno de los siguientes enunciados. a) La edad, dentro de 4 años, de una persona que tiene x años. b) El cubo de un número menos la mitad del propio número. c) El producto de un número por el cuadrado de otro número. d) Un múltiplo de 5. e) Un número impar. f) Un número y su consecutivo. g) Dos números pares consecutivos. h) El 10 % de un número. 2. Expresa en lenguaje algebraico el producto de dos números consecutivos. Halla el valor numérico de dicha expresión algebraica si el número más pequeño vale 7. 3. Silvia necesita 2 kg de azúcar y 3 kg de harina para hacer un bizcocho. Además, sabemos que el precio de cada kilogramo de azúcar es de x € y que cada kilogramo de harina es 1 € más caro que el de azúcar. a) Halla la expresión algebraica del precio de los ingredientes del bizcocho. b) Calcula el precio de dichos ingredientes si cada kilogramo de azúcar cuesta 1,5 €. 4. Rellena la siguiente tabla calculando el valor numérico de cada expresión algebraica en los puntos dados. x –2 0 1 5 3x – 1 x +3 2 2x2 – x + 5 5. En un rectángulo de base b y altura h, las expresiones algebraicas de su perímetro y de su área son: P = 2b + 2h A=b·h a) Calcula el perímetro y el área de un rectángulo de base b = 5 cm y altura h = 3 cm. b) Calcula el perímetro y el área de un rectángulo de base b = 9,5 cm y altura h = 6,5 cm. Unidad 7 │ Ecuaciones 1.º ESO Unidad 7 Ecuaciones Ecuaciones de primer grado con una incógnita 1. Indica cuáles de las siguientes ecuaciones tienen como solución x = –1. a) 2 + 3x = –1 c) 4(x + 1) – 6 = 2(x + 3) b) x – 3 = 2(x –1) d) 2. Encuentra una ecuación equivalente para 2x + 6 7 − x = 4 8 cada una de a) 2x + 8 = 18 c) 6x – 2 = 30 – 4x b) 7x = 5 d) las siguientes ecuaciones. 5x −3 = 7 4 3. Relaciona cada enunciado con su correspondiente ecuación y con su solución. Enunciado Ecuación 2x + El triple de un número es 21. x 7 = 3 Solución x=9 Un número más su consecutivo suman 19. x – 5 = 15 x = 20 Un múltiplo de 5 más 4 suman 24. 5x + 4 = 24 x=4 5− Hace 5 años, Alberto tenía 15 años. x = 4 10 x=8 La cuarta parte de un número más 1 suma 3. x +1= 3 4 x=2 El doble de la suma de un número más 3 es 10. x + x + 1 = 19 x=3 Si a 5 le resto la décima parte de un número obtengo 4. 3x = 21 x = 10 El doble de un número más su tercera parte es 7. 2(x + 3) = 10 x=7 4. Sabiendo que x es la edad actual de Maite, escribe el enunciado de un problema que se corresponda con cada una de las siguientes ecuaciones. a) x + 8 = 35 c) 2(x – 1) = 36 b) 2x = 50 d) x +6 = 18 2 5. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado con una incógnita. a) x + 3(x – 8) = 3(x – 6) b) x – (2x + 5) = 3(x –1) c) –6x = 3(5x + 8) – 3 Unidad 7 │ Ecuaciones 2x + 7 =9 3 6−x 4−x x+6 e) − = 4 2 12 6( x − 2) f) 3( x + 1) − = 5 3 d) 1.º ESO Unidad 7 Ecuaciones Problemas con ecuaciones 1. Las edades de Eloy y su padre suman 75 años. Si sabemos que Eloy tiene la mitad de años que su padre, ¿cuál es la edad de ambos? 2. En un bolsillo tengo una cantidad de dinero, mientras que en el otro tengo el doble. Si en total tengo 9 €, ¿cuánto dinero hay en cada bolsillo? 3. Irene afirma que: “La mitad de mis años, más la tercera parte, más la cuarta parte, más la sexta parte, suman seis años más de los que tengo actualmente”. ¿Cuántos años tiene Irene? 4. El perímetro de un terreno rectangular es de 180 m. Sabiendo que el largo del terreno es el doble que el ancho, ¿cuáles son las dimensiones de dicho terreno? ¿Y cuál es su área? 5. Halla el valor de los ángulos de un triángulo sabiendo que el más grande mide 45° más que el más pequeño, y el mediano mide 30° más que el más pequeño. 6. Martina ha gastado la mitad de su dinero en una entrada de cine, la cuarta parte en palomitas y todavía la quedan 5 € en el bolsillo. a) ¿Cuánto dinero tenía? b) ¿Cuánto ha costado la entrada de cine? c) ¿Y las palomitas? 7. Nos hemos reunido los amigos de Bruno para comprarle el regalo de cumpleaños. En un principio, teníamos que poner 8 € cada uno. Sin embargo, como finalmente somos 2 personas más para poner dinero, nos sale el regalo a 7 € cada uno. a) ¿Cuántos amigos hemos puesto dinero para el regalo de Bruno? b) ¿Cuánto dinero nos ha costado el regalo? Unidad 7 │ Ecuaciones 1.º ESO Unidad 7 Ecuaciones Ecuación de segundo grado En esta ficha vamos a introducir las ecuaciones de segundo grado y trataremos de aprender a resolverlas. Por último, veremos una sencilla forma de determinar el número de soluciones que tiene una ecuación de segundo grado sin necesidad de resolverla. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Las ecuaciones de segundo grado son de la forma ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son números reales y el coeficiente a es distinto de cero (a ≠ 0). Es decir, llamaremos ecuaciones de segundo grado a aquellas en las que el grado de la incógnita es 2. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Resolver una ecuación de segundo grado equivale a encontrar sus soluciones. Estas ecuaciones pueden tener dos, una o ninguna solución. Para calcular las soluciones de una ecuación de segundo grado de la forma ax2 + bx + c = 0, lo que haremos es sustituir los coeficientes a, b y c en las siguientes fórmulas, obteniendo así las soluciones de dicha ecuación. Solución 1: x1 = −b + b 2 − 4ac 2a Solución 2: x2 = −b − b 2 − 4ac 2a (Observa que ambas fórmulas sólo se diferencian en el signo que precede a la raíz cuadrada). Ejemplo: Resuelve la ecuación de segundo grado x2 – 5x + 6 = 0. Los coeficientes son: a = 1, b = –5 y c = 6. Sustituyendo en las fórmulas obtenemos: x1 = −b + b 2 − 4ac −( −5) + ( −5)2 − 4 ⋅ 1⋅ 6 5 + 1 = = = 3 2a 2 ⋅1 2 x2 = −b − b 2 − 4ac −( −5) − ( −5)2 − 4 ⋅ 1⋅ 6 5 − 1 = = = 2 2a 2 ⋅1 2 Por tanto, las soluciones de la ecuación x2 – 5x + 6 = 0 son x = 3 y x = 2. NÚMERO DE SOLUCIONES DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO: A continuación vamos a ver un método para conocer cuál es el número de soluciones que tiene una ecuación de segundo grado sin necesidad de resolverla. Para ello, analizaremos el signo de b2 – 4ac. • Si b2 – 4ac > 0 ⇒ La ecuación tiene dos soluciones distintas. • Si b2 – 4ac = 0 ⇒ La ecuación tiene una única solución. • Si b2 – 4ac < 0 ⇒ La ecuación no tiene ninguna solución. Ejemplo: Determina el número de soluciones que tienen cada una de las siguientes ecuaciones sin necesidad de resolverlas. • 3x2 + 5x + 1 = 0 b2 – 4ac = 52 – 4 · 3 · 1 = 13 > 0 ⇒ La ecuación tiene 2 soluciones. • x2 – 4x + 4 = 0 b2 – 4ac = (–4)2 – 4 · 1 · 4 = 0 ⇒ La ecuación tiene 1 única solución. • 2x2 –7x + 8 = 0 b2 – 4ac = (–7)2 – 4 · 2 · 8 = –15 < 0 ⇒ La ecuación no tiene solución. Unidad 7 │ Ecuaciones 1.º ESO Unidad 7 Ecuaciones Ecuación de segundo grado 1. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado. a) x2 + 3x – 4 = 0 b) 2x2 – 7x + 3 = 0 c) –x2 + 10x – 9 = 0 d) 2x2 + 4x – 6 = 0 2. Indica el número de soluciones que tienen las siguientes ecuaciones sin resolverlas. a) 2x2 + x + 1 = 0 b) x2 + 2x + 1 = 0 c) x2 – 7x + 6 = 0 Unidad 7 │ Ecuaciones 1.º ESO Unidad 7 Ecuaciones Ecusudoku En esta ficha te proponemos resolver un sudoku de una manera distinta y aplicando lo aprendido sobre la resolución de ecuaciones de primer grado. ¿QUÉ ES UN SUDOKU? • Es un juego matemático que se publicó por primera vez a finales de 1970 y que se popularizó en primer lugar en Asia, dándose a conocer internacionalmente en 2005 cuando varios periódicos empezaron a publicarlo como parte de sus pasatiempos. • El objetivo del sudoku es rellenar una cuadrícula de 9 × 9 celdas (81 celdas) dividida en subcuadrículas de 3 × 3 (también llamadas "cajas" o "regiones") con las cifras del 1 al 9 teniendo como referencia algunos números ya dispuestos en algunas de las celdas. • Lo importante es que en cada fila, cada columna y cada caja deben aparecer todos los números del 1 al 9. 9 5 4 2 1 2 6 3 9 8 2 7 4 3 5 7 2 6 3 4 1 7 9 6 ¿QUÉ ES UN ECUSUDOKU? Vamos a llamar ecusudoku a un sudoku en el que cada una de las celdas que debemos rellenar se corresponde con la solución de una ecuación de primer grado. 1. Completa el siguiente ecusudoku donde tendrás que cambiar cada letra por el resultado de las ecuaciones de primer grado correspondientes. 5 3 H E 7 F I B A 6 D A 1 9 5 C H F B 9 8 C H A G 6 D 8 G I D 6 B H A 3 4 A E 8 G 3 D I 1 7 B C I 2 H F G 6 I 6 B G C D 2 8 H A F D 4 1 9 E C 5 C H G A 8 E B 7 9 A → 3 – 4x = 2x – 9 F → 3(x – 7) = 5(x –1) – 4x B → 2(3x + 1) – 2x + 7 = x + 12 G → 3(2 – x) + 4 = 5 – (3x – 10) – x C → 12 – (–2x + 5) = 4x + 1 H→ D→ x + 3 2x − 4 + = x 2 5 I→ 12 x 3x + 2= + 12 3 2 x − 5 x − 5 x −1 − = 4 36 9 E → 5(2x – 7) – (x – 2) = 3 + 3x Observa que sabrás si has resuelto de manera correcta las ecuaciones si el ecusudoku queda bien rellenado, es decir, en cada fila, columna o caja aparecen todos los números del 1 al 9. Unidad 7 │ Ecuaciones 1.º ESO Unidad 8Tablas y gráficas Coordenadas 1. Representa en el plano cartesiano los siguientes puntos e indica el cuadrante en el que se encuentran. A(2,3) C(–2, –4) E(4, 1) B(–5,1) D(3, –5) F(–4, –3) G(5, –2) H(–3, 4) a) ¿Qué característica común tienen los puntos del 1.er y 2.º cuadrante? b) ¿Y los puntos del 3.er y 4.º cuadrante? 2. Halla las coordenadas de los vértices del siguiente cuadrado, así como los puntos de corte de dicha figura con los ejes de coordenadas. a) ¿Qué propiedad caracteriza a los puntos que se encuentran sobre el eje de abscisas? b) ¿Y a los que están sobre el eje de ordenadas? 3. Representa en unos ejes de coordenadas los siguientes puntos eligiendo correctamente la graduación de los mismos. A(0,5; 1,5) B(–1,5; 1) C(0,75; –0,5) D(1,25; 0,5) E(–0,5; –0,75) 4. Indica y representa en el plano cartesiano puntos que cumplan las siguientes propiedades: a) Dos puntos del 4.º cuadrante. b) Dos puntos con la misma abscisa y ordenada. c) Dos puntos que pertenezcan al eje Y con la ordenada negativa. d) Dos puntos simétricos respecto del eje de ordenadas. e) Tres puntos del 1.er cuadrante que determinen un triángulo rectángulo. f) Cuatro puntos del 3.er cuadrante que determinen un cuadrado. g) Cuatro puntos que determinen un rectángulo que corte el eje de ordenadas. Unidad 8│Tablas y gráficas 1.º ESO Unidad 8 Tablas y gráficas Representación de funciones 1. Indica si son funciones o no las siguientes relaciones entre magnitudes: a) La longitud del lado de un pentágono y su perímetro. b) El número de pintores y el tiempo que tardan en pintar un edificio. c) La edad de una persona y la de sus hijos. d) La distancia que recorre un coche y el tiempo que tarda. 2. Dada la función y= –x+3, completa la siguiente tabla y representa la función. x –2 –1 0 1 2 y 3. Comprueba si el punto (–2,3) pertenece a la gráfica de alguna de las siguientes funciones: a) y=2x+1 b) y=x+5 c) y=3 d) y=x2 4. Tenemos un trozo de hielo a 20 grados bajo cero (–20ºC) y lo calentamos siguiendo estas pautas: • Durante 15 minutos la temperatura sube de manera uniforme hasta 0ºC. • Después, comienza a derretirse durante 20 minutos sin cambiar de temperatura. • Una vez que el hielo se ha transformado en agua a 0ºC, se calienta uniformementedurante 10 minutos hasta que alcanza una temperatura de 15ºC. a) Dibuja la gráfica que se corresponde con el proceso descrito. b) Averigua a qué temperatura estará el agua después de 20, 30 y 45 minutos. 5. El kilogramo de manzanas se vende a 2,25 €. a) ¿Qué magnitudes intervienen en el enunciado anterior? b) Escribe la expresión algebraica de la función que relaciona el coste con los kilogramos de manzanas. c) ¿Cuál es la variable independiente? ¿Y la dependiente? d) Realiza una tabla de valores y representa gráficamente los pares de valores. ¿Tiene sentido que unamos los puntos de la gráfica? Unidad 8│Tablas y gráficas 1.º ESO Unidad 8 Tablas y gráficas Funciones de proporcionalidad directa 1. Indica la pendiente de las siguientes funciones de proporcionalidad directa y represéntalas en un mismo eje de coordenadas. a) y = 2x b) y = 1 x 3 c) y = 7x d) y = –3x 2. Rellena las siguientes tablas sabiendo que corresponden a funciones de proporcionalidad directa. Halla la razón de proporcionalidad de cada una de ellas. a) –2 x –1 0 1 2 b) –2 y x 10 20 30 40 50 c) –6 y 0 x 1 2 3 4 1 y 3. Escribe la expresión algebraica de las funciones que se corresponden con los siguientes enunciados. a) Una función de proporcionalidad directa cuya pendiente es m = − 1 . 2 b) Función de proporcionalidad directa que pasa por el punto (2, 4). c) Función que a cada número le asigna su opuesto. ¿Es de proporcionalidad directa? d) Una función que a cada número le divide entre 5. ¿Es de proporcionalidad directa? 4. Construye una tabla que relacione la medida del lado de un heptágono con su perímetro. ¿Se trata de una función de proporcionalidad directa? Halla la fórmula de la función y dibuja su gráfica. 5. 6. Un coche circula a una velocidad constante de 80 km/h. a) Construye una tabla de valores que relacione el tiempo con la distancia recorrida. b) ¿Se trata de una función de proporcionalidad directa? Halla la fórmula de la función. c) Realiza su representación gráfica. d) ¿Cuántos kilómetros ha recorrido el coche al cabo de 2,5 horas? e) ¿Cuánto tiempo ha tardado en recorrer 120 km? Indica si son de proporcionalidad directa las siguientes funciones dadas mediante tablas. Determina la fórmula de cada función. a) x –1 0 1 2 y 3 2 1 0 Unidad 8 │ Tablas y gráficas b) x –1 y − 1 3 0 1 2 0 1 3 2 3 c) x –1 0 1 2 y 1 0 1 4 1.º ESO Unidad 8 Tablas y gráficas Aprendiendo a interpretar una función En esta ficha vamos a estudiar algunas de las características más importantes de las funciones. Introduciremos conceptos como dominio, continuidad, crecimiento y decrecimiento y máximo y mínimo. DOMINIO: El dominio de una función es el conjunto de valores de la variable independiente (x) para los que existe su correspondiente valor de la variable dependiente (y). Ejemplo: Determina el dominio de las siguientes funciones. El dominio de esta función son todos los puntos comprendidos entre x = –3 y x = 4. El dominio son todos los puntos comprendidos entre x = 0 y x = 4. CONTINUIDAD: Una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo, es decir, si no presenta saltos ni interrupciones. Ejemplo: ¿Son continuas las siguientes funciones? Es continua. Unidad 8 │ Tablas y gráficas No es continua puesto que tiene saltos y no se puede dibujar de un solo trazo. 1.º ESO Unidad 8 Tablas y gráficas Aprendiendo a interpretar una función CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO. MÁXIMOS Y MÍNIMOS: • Diremos que una función es creciente entre dos puntos x = a y x = b si al crecer la variable independiente (x), la variable dependiente (y) también crece. • Diremos que una función es decreciente entre dos puntos x = a y x = b si al crecer la variable independiente (x), la variable dependiente (y) decrece. • Un función tiene un máximo en un punto x = a si su ordenada es mayor que la del resto de puntos del dominio. • Un función tiene un mínimo en un punto x = a si su ordenada es menor que la del resto de puntos del dominio. Ejemplo: Estudia el crecimiento y los máximos y mínimos de las siguientes funciones. • La función es creciente entre los puntos x = –3 y x = –1, así como entre x = 3 y x = 4. • Es decreciente entre x = –1 y x = 3. • La función tiene un máximo en x = –1. • Y tiene un mínimo en x = 3. • La función es creciente entre x = 1 y x = 4, mientras que es decreciente entre x = 0 y x = 1. • Tiene un máximo en x = 4 y un mínimo en x = 1. 1. Estudia el dominio, la continuidad, el crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos de las siguientes funciones. a) b) 2. Representa una función cuyo dominio vaya desde x = –2 hasta x = 5, que sea continua y que tenga un máximo en x = 1 y mínimos en x = –1 y x = 4. Después, estudia su crecimiento y decrecimiento. Unidad 8 │ Tablas y gráficas 1.º ESO Unidad 8 Tablas y gráficas Estudio de las funciones lineales En esta unidad hemos iniciado el estudio de las funciones. Hemos visto funciones dadas mediante tablas, gráficas y fórmulas, hemos aprendido a representarlas gráficamente y, finalmente, hemos estudiado las funciones de proporcionalidad directa. Pues bien, en esta ficha vamos a estudiar otro tipo de funciones que se denominan funciones lineales. FUNCIÓN LINEAL: Llamaremos función lineal a aquellas que sea de la forma y = mx + n, donde m y n son dos números. • El número m es la pendiente. • El número n es la ordenada en el origen. Propiedades: 1. Cortan al eje de ordenadas o eje Y en el punto (0, n). 2. Su representación gráfica es una recta. Cuanto mayor sea el valor de m, mayor será la inclinación de la recta. 3. Si m > 0, entonces la función es creciente. 4. Si m < 0, entonces la función es decreciente. Ejemplos: 1. Determina la pendiente, la ordenada en el origen y el punto de corte con el eje Y de las siguientes funciones lineales. b) y = –2x – 7 Pendiente: m = –2 Ordenada en el origen: n = –7 Punto de corte con el eje Y: (0, –7) a) y = x + 2 Pendiente: m = 1 Ordenada en el origen: n = 2 Punto de corte con el eje Y: (0, 2) 2. Representa gráficamente estas funciones afines. a) y = 2x + 1 x –2 –1 0 1 2 y –3 –1 1 3 5 Pendiente: m = 2 Ordenada en el origen: n = 1 b) y = –x + 3 x –2 –1 0 1 2 y 5 4 3 2 1 Pendiente: m = –1 Ordenada en el origen: n = 3 Unidad 8 │ Tablas y gráficas 1.º ESO Unidad 8 Tablas y gráficas Estudio de las funciones lineales 1. Representa gráficamente las siguientes funciones lineales determinando previamente su pendiente, su ordenada en el origen y el punto de corte con el eje Y. a) y = 3x – 2 b) y = –2x + 3 c) = y 1 3 x− 2 2 2. Representa la función lineal y = 2x + n para n = –1, n = 0, n = 1 y n = 2 en los mismos ejes de coordenadas. ¿Cómo son las rectas que has obtenido? Unidad 8 │ Tablas y gráficas 1.º ESO Unidad 9Estadística y probabilidad Gráficos estadísticos 1. Las temperaturas mínimas (en ºC) registradas en Santander durante el pasado mes de abril fueron: 11, 10, 12, 11, 12, 9, 8, 10, 7, 7, 9, 10, 11, 12, 11 7, 11, 12, 9, 11, 9, 12, 10, 11, 10, 10,9,11, 12, 11 a) b) c) d) Efectúa el recuento y construye la tabla de frecuencias correspondiente. ¿Cuál ha sido la temperatura más alta? ¿Y la más baja? ¿Qué temperatura se ha repetido más veces? Dibuja el diagrama de barras. 2. El siguiente diagrama de barras muestra las notas de los alumnos de una clase de 1.º ESO en la asignatura de matemáticas. a) b) c) d) Construye la tabla de frecuencias que se corresponde con dicho diagrama de barras. ¿Cuántos alumnos hay en esta clase? ¿Cuántos alumnos han suspendido la asignatura? ¿Y cuántos han aprobado? Dibuja el correspondiente diagrama de sectores. 3. En este diagrama de sectores se representa el número de alumnos que asisten a cada uno de los idiomas que se imparten en un centro de estudios de idiomas. a) ¿Cuál es el número total de alumnos del centro? b) Calcula el ángulo que abarca cada uno de los sectores circulares. c) Construye la correspondiente tabla de frecuencias y dibuja el diagrama de barras. Unidad 9│Estadística y probabilidad 1.º ESO Unidad 9 Estadística y probabilidad Parámetros estadísticos 1. Las temperaturas mínimas (en ºC) registradas en Santander durante el pasado mes de abril fueron: 11, 10, 12, 11, 12, 9, 8, 10, 7, 7, 9, 10, 11, 12, 11 7, 11, 12, 9, 11, 9, 12, 10, 11,9, 10, 9, 11, 12, 11 a) Calcula la media de las temperaturas mínimas. b) Calcula la moda. c) ¿Cuál es el rango? (Observa que puedes utilizar la tabla de frecuencias elaborada en la ficha de consolidación 1). 2. El siguiente diagrama de barras representa la capacidad anotadora de Los Angeles Lakers en los 6 primeros partidos de la NBA. a) b) c) ¿Cuál es su media anotadora en estos 6 primeros partidos? Calcula la moda. Calcula el rango. 3. Maite ha obtenido las siguientes calificaciones en los últimos cinco exámenes de matemáticas: 8 9 8,25 8,75 8 a) Calcula la nota media de Maite en estos exámenes. b) Calcula la moda. c) ¿Qué nota debe sacar Maite en el siguiente examen para que la nota media de los seis exámenes sea un 8,5? 4. Para calificar una asignatura de 1.º ESO se tienen en cuenta tres aspectos: la nota de los exámenes de cada evaluación, el trabajo realizado y el comportamiento en el aula. Así, en la siguiente tabla se recogen las calificaciones que ha obtenido Bruno este curso en cada uno de estos aspectos: Exámenes Trabajo Comportamiento Nota final 1.ª evaluación 7,5 8 7 2.ª evaluación 7 9 8 3.ª evaluación 8 9 8 a) Rellena la tabla anterior sabiendo que la nota final de cada evaluación se obtiene como la media ponderada en la que los exámenes cuentan un 60 %, el trabajo, un 20 %, y el comportamiento, otro 20 %. b) Calcula la nota global de Bruno como la media aritmética de las notas finales de cada evaluación. Unidad 9 │ Estadística y probabilidad 1.º ESO Unidad 9 Estadística y probabilidad Sucesos y probabilidad 1. Completa cada una de las frases con palabras que deberás buscar en la siguiente sopa de letras. E L E M E N T A L E J E X A C T O S I M P O S I B L E E M I X T O S G G N O O I C R E T U A E D E C I M A R F P O S U C E S O C O M P U E S T O a) Cualquier parte de un espacio muestral es un ………. b) Un suceso que se cumple siempre es un suceso ……… c) Un suceso ………. es aquel que no se puede descomponer en sucesos más sencillos. d) Un suceso que no se cumple nunca es un suceso ………. e) Un suceso .......... se puede expresar como unión de sucesos elementales. 2. Se gira una ruleta numerada del 1 al 10. Calcula la probabilidad de cada uno de los siguientes sucesos. a) b) c) d) e) f) Obtener un 6. Sacar un número impar. Sacar un número menor que 4. Sacar 3 o 5. Sacar un número primo. Sacar un número mayor que 10. 3. En un cumpleaños hay 12 niñas y 14 niños. Han comido tarta casera 8 niñas y 7 niños, y el resto han comido helado. Si elegimos una persona al azar, calcula la probabilidad de estos sucesos. a) Que sea niño. c) Que no coma tarta casera. b) Que haya comido tarta casera. d) Que sea niña y haya comido helado. 4. En una urna hay 6 bolas rojas, 5 bolas azules y 4 bolas verdes. Si se extrae una bola al azar, calcula la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Que sea azul. b) Que sea roja. c) Que sea verde. d) Que no sea azul. e) Que sea azul o verde. f) Que sea de color negro. g) Que sea de cualquier color. Unidad 9 │ Estadística y probabilidad 1.º ESO Unidad 9 Estadística y probabilidad ¿Media o moda? Ejemplos ilustrativos A lo largo de esta unidad hemos conocido algunos parámetros estadísticos, como son la media y la moda. En particular, estos parámetros forman parte de lasmedidas de centralización, que se utilizan para indicar los valores más representativos de un conjunto de datos. Sin embargo, hay ocasiones en las que la media y la moda no resultan muy representativas del conjunto de datos al que se refieren. Por ello, como veréis en cursos sucesivos, es necesario introducir otro tipo de parámetros estadísticos, llamados medidas de dispersión, que indican lo lejos que se encuentran los datos del centro del conjunto de datos. A continuación, vamos a ver algunos ejemplos en los que la media y la moda tienen distintos comportamientos en función del conjunto de datos al que se refieren. Ejemplo 1 En la tabla tenemos las alturas, en metros, de los jugadores de dos equipos de baloncesto. Equipo 1 Equipo 2 Jugador 1 1,90 2,05 Jugador 2 1,90 1,90 Jugador 3 1,90 1,75 Jugador 4 1,90 1,95 Jugador 5 1,90 1,85 Calculamos la media y la moda de ambos equipos y analizamos la representatividad de estos parámetros en cada uno de los equipos: 5 ⋅ 1,90 = 1,90 m. 5 2,05 + 1,90 + 1,75 + 1,95 + 1,85 La altura media de los jugadores del Equipo 2 es = 1,90 m. 5 Ambos equipos tienen la misma altura media. Sin embargo, en el Equipo 1 la media de las alturas resulta muy representativa del equipo puesto que todos los jugadores tienen la misma altura que la media, pero en el Equipo 2 la altura media no representa a casi ningún jugador de dicho equipo. La altura media de los jugadores del Equipo 1 es La moda del Equipo 1 es 1,90 m, mientras que en el Equipo 2 no hay moda. De nuevo, la moda en el primer equipo resulta muy representativa de la estatura de los jugadores, mientras que en el segundo equipo ni siquiera existe moda puesto que no se repite ninguna de las alturas. Ejemplo 2 En la siguiente tabla vienen reflejados el número de empleados de una empresa junto con su sueldo mensual. Directivos Trabajadores Número de empleados 10 100 Sueldo mensual (€) 10 000 1000 Vamos a calcular la media y la moda de los salarios de los empleados de esta empresa y a analizar lo representativos que resultan ambos parámetros: 10 ⋅ 10 000 + 100 ⋅ 1000 = 1818,2 € 10 + 100 La media de los salarios de esta empresa es muy poco representativa de los sueldos reales de los empleados. Por un lado, ningún empleado de la empresa cobra el salario medio, y, por otro lado, no resulta ser un valor central de los datos, puesto que hay tan solo 10 empleados que cobran una cantidad muy superior, mientras que hay 100 trabajadores que cobran menos. Si calculamos ahora la moda, tenemos que son 1000€. En esta ocasión, la moda resulta mucho más representativa que la media puesto que la mayor parte de los empleados de esta empresa tienen un sueldo que coincide con la moda, y sólo 10 empleados tienen un sueldo superior. El sueldo medio de los trabajadores de esta empresa es CONCLUSIONES • La media depende de los valores extremos del conjunto de datos. • No se puede decidir a priori si la media o la moda es más representativa. • Existen casos en los que no se puede calcular la moda. Unidad 9│Estadística y probabilidad 1.º ESO Unidad 9 Estadística y probabilidad ¿Media o moda? Ejemplos ilustrativos 1. En la siguiente tabla se recogen las notas de Juan y Matías en seis exámenes de matemáticas: Juan Matías 6,5 2 5 8 8 5 8,5 9 5 5 9 1 a) Calcula la media y la moda de las notas de Juan y Matías. b) Si el profesor está dudando entre la media y la moda de las notas a la hora de calificar la asignatura, ¿cuál de los dos parámetros estadísticos le conviene a cada uno de ellos? c) Analiza la representatividad de la media y la moda en cada caso. 2. En la 1.ª División del fútbol español hay grandes desequilibrios salariales. Por un lado, se encuentran los 40 jugadores del Real Madrid y del F. C. Barcelona, que cobran cada uno 10 000 000 € al año, mientras que los otros 400 jugadores de primera cobran 100 000€ al año. a) Realiza una tabla en la que se recojan estos datos. b) Calcula la media y la moda del salario anual de los futbolistas de primera. ¿Cuál de estos parámetros estadísticos te parece más representativo? Unidad 9│Estadística y probabilidad 1.º ESO Unidad 9 Estadística y probabilidad Vamos a las carreras En esta ficha vamos a simular una carrera de sacos dejando que sea el azar el que decida los movimientos de cada uno de los sacos. Para ello utilizaremos un dado un poco fuera de lo normal ayudándonos de la calculadora. Empezaremos el juego con 6 participantes, que avanzarán casilla a casilla cuando en el dado salga el número de su saco. El juego podría hacerse con un dado tradicional, pero nosotros vamos a usar la tecla RAN de la calculadora. Pulsando esta tecla, en la pantalla aparece un número aleatorio entre 0 y 0,9999. Como en este caso queremos obtener un número al azar del 1 al 6, multiplicaremos el número aleatorio por 7 y nos quedaremos con la parte entera del resultado. El saco que lleve ese número avanzará una casilla. Ejemplo Pulsando la tecla RAN, en la pantalla aparece 0,192. Multiplicamos por 7 y obtenemos 1,344. Nos quedamos con la parte entera del número, es decir 1. Por tanto el saco 1 avanza una casilla. Saco 1 Saco 2 Saco 3 Saco 4 Saco 5 Saco 6 M E T A 1. Repite el proceso del ejemplo hasta llegar a la meta y comprueba que la carrera está muy igualada hasta el final. La razón de este comportamiento es que si la carrera solo depende del azar, los 6 sacos tienen la misma probabilidad de llegar a la meta cuando hacemos un número elevado de lanzamientos. 2. Plantea una nueva carrera cambiando el número de jugadores. ¿Por qué número habría que multiplicar el número aleatorio de la calculadora en este caso? Unidad 9 │ Estadística y probabilidad 1.º ESO Unidad 10 Medida de magnitudes Sistema métrico decimal 1. Completa las siguientes igualdades. a) 0,25 hm = 25 • • • = • • • cm = 25 000 • • • b) • • • km = 0,034 • • • = • • • dm = 34 cm c) • • • q = 4,5 kg = • • • dam = 4500 • • • = • • • cg d) 1,05 • • • = • • • hg = 1050 g = • • • dg e) 10,25 hL = • • • L = 10 250 • • • = • • • cL f) • • • kL = 0,014 • • • = • • • cL = 140 mL 2. Expresa las siguientes medidas en las unidades indicadas en cada caso. a) 5dam 12m 23dm 35cm en m b) 0,5km 17hm 8,75m 250mm en cm c) 0,32t 1,5q 17kg en kg d) 1,25mag 27dag 84dg 125mg en g e) 43hL 13daL 15dL en L f) 2,7kL 87daL 25L 500cL en hL 3. Efectúa las siguientes operaciones y expresa el resultado en las unidades que se indica. a) 3hm 2m 5cm + 67m 3dm 4cm en m b) (5,146m) ∙ 7 en cm c) 12kg 18dg – 48dag 15cg en g d) (2kg 45hg 200g) ∙ 5 en kg e) 12hL 5daL + 35daL 15L en dL f) (4,75kL 2,5daL) : 5 en L 4. Una carretera de 65hm 20dam 500m de largo está iluminada a ambos lados de la calzada por farolas que están situadas cada 100m. ¿Cuántas farolas hay a lo largo de dicha carretera? 5. Un camión transporta 8,5t de mercancías y realiza una parada en la que descarga 1q 20kg. a) ¿Cuántos kg de mercancía quedan en el camión? b) Si en la siguiente parada descarga 1750kg y posteriormente carga mercancía con un peso de 28 mag, ¿qué carga,en hg, tiene ahora el camión? 6. Calcula el número de vasos de vino de 20cL que se pueden llenar de una barrica de vino cuya capacidad es de 10hL 25daL 17L. Unidad 10│Medida de magnitudes 1.º ESO Unidad 10 Medida de magnitudes Unidades de superficie: el metro cuadrado 1. Rellena las siguientes casillas. a) 18 dam2 = m ••• 2 e) 0,0085 • • • = 8500 mm2 b) 0,54= m2 5400 • • • f) • • • dm2 = 25 cm2 c) 4,67 dam2 = • • • dm2 g) 6 ha = • • • dam2 d) • • • hm2 = 18000 m2 h) 2 km2 = • • • a 2. Escribe en forma compleja las siguientes medidas dadas en forma incompleja. a) 4321,5 m2 b) 34587,52 dam2 c) 1234,56 dm2 d) 7536,95 a 3. Expresa siguientes medidas de superficie en las unidades indicadas. a) 2 km2 17 hm2 2,75 dam2 en m2 b) 45,37 dam2 23,4 m2 945 cm2 en dm2 c) 1,23 km2 69,45 dam2 en hm2 d) 2,5 ha 32 a en m2 4. Hemos dividido una finca en 4 parcelas cuyas superficies son las siguientes: Parcela A: 18 hm2 Parcela B: 0,6 km2 a) b) c) d) e) f) g) Parcela C: 350 dam2 Parcela D: 94500 m2 ¿Cuántas hectáreas mide cada parcela? ¿Cuál es la superficie total, en dam2, de la finca? ¿Cuántos m2 mide la parcela mayor? ¿Cuántas áreas mide la parcela más pequeña? ¿Cuál es la diferencia, en hm2, entre la parcela más grande y la más pequeña? La parcela A se vende a 20 €/m2. ¿Cuál es su precio de venta? Si tenemos una oferta de 525 000 € por la parcela C, ¿cuántos euros nos pagan por cada metro cuadrado de parcela? 5. Tenemos una cocina rectangular de 8 m de largo y 5 m de ancho. Si pretendemos embaldosar dicha cocina utilizando baldosas cuadradas de 20 cm de lado cada una, ¿cuántas baldosas necesitamos? Unidad 10 │ Medida de magnitudes 1.º ESO Unidad 10 Medida de magnitudes Unidades de volumen: el metro cúbico 1. Relaciona mediante flechas cada medida de volumen con su correspondiente medida de capacidad. capacidad volumen 3 1000 mL 1m 3 0,001 L 100 dm 0,1 kL 10 dm3 3 10 mL 1 dm 1000 L 100 cm3 0,01 kL 10 cm3 3 0,1L 1 cm 2. Expresa en metros cúbicos las siguientes medidas. a) 0,6 hm3 b) 4,7 dam3 c) 0,00048km3 d) 87 dm3 e) f) g) h) 19 500 mm3 780 cm3 125 L 85 000 mL 3. Escribe las siguientes medidas de volumen o capacidad en las unidades indicadas en cada caso. a) 4,25 dm3 en cL b) 12 567 kL en dm3 c) 15hL 48daL 5L en dm3 d) 8hm312dam37m3 en hL 4. Realiza las siguientes operaciones con medidas de volumen expresando el resultado en metros cúbicos. a) 3dam3 5m3 + 4hm31,2dam3 b) 35,75dam3 – 18dam3 7m3 c) (7m3550dm3) ∙ 4 d) (45dam3 25m3) : 5 5. El volumen de una piscina es de 1 900 000 L. Si sabemos que se ha llenado 4 de la misma, ¿cuántos 5 metros cúbicos de agua hay en la piscina? 6. En una gasolinera disponen de un depósito de gasolina cuyo volumen es2dam3 5m3 750dm3. Si cada coche que viene a repostar echa 50 L, ¿cuántos coches pueden repostar con la gasolina de este depósito? Unidad 10│Medida de magnitudes 1.º ESO Unidad 10 Medida de magnitudes Crucigrama de magnitudes En esta unidad hemos conocido las unidades con las que se miden diferentes magnitudes y hemos aprendido a operar con ellas. En esta ficha de profundización vamos a poner a prueba todo lo que hemos aprendido para completar un crucigrama. Para ello, debemos realizar las operaciones con distintas unidades que se encuentran en la parte inferior y colocar cada resultado en su casilla correspondiente, bien sea horizontal o vertical. Observa que la coma de los números decimales ocupa su propia casilla y que además viene incluída en el propio crucigrama. 1E 2 6 3 C G , 4 D 5 A , , H 7 8 , F , B , Horizontales Verticales A. 4km 3hm 7dam 2m 5dm en m 2 2 2 1. 1,7m 65dm en cm B. 6dam 12m 35cm + 4m 9dm 10mm en dm 2. 2ha 35a 70ca en m2 C. (2km 35hm 50m) ∙ 2 en dam 3. 15hm2 2dam2 55m2 – 4ha 7a 15ca en dm2 D. 4kg 12hg 25g en dg 4. 12dam3 5m3 25dm3 en m3 E. 2t 5q + 25mag 12kg en kg 5. 5kL 7hL 4daL en dm3 F. (6kg 8hg 5g) : 5 en g 6. 48m3 75dm3 – 4kL 12daL 15L en L G. 37L 4dL 25mL en cL 7. 737 CENTen € H. 4hL 8daL 7L – 2hL 16daLen L 8. 2560 CENT en € Unidad 10│Medida de magnitudes 1.º ESO Unidad 10 Medida de magnitudes Aprendiendo a medir el tiempo A lo largo de esta unidad hemos aprendido a manejar las unidades con las que medimos diversas magnitudes, como pueden ser la longitud, la masa, la capacidad, la superficie, el volumen, etc. Para todas ellas, hemos utilizado unidades del sistema métrico decimal, es decir, aquel en el que las unidades se relacionan entre sí mediante potencias de 10. En esta ficha, vamos a aprender a manejar las unidades con las que medimos el tiempo. En esta ocasión, vamos a pasar de utilizar un sistema decimal a utilizar un sistema sexagesimal, puesto que las unidades que utilizaremos se relacionan entre sí de 60 en 60. UNIDADES DE MEDIDA DE TIEMPO MENORES QUE EL DÍA Vamos a centrarnos en unidades con las que medimos pequeños períodos de tiempo: • • • El segundo, que representaremos mediante s. El minuto,que representaremos mediante min. La hora,que representaremos mediante h. A continuación, mostramos la relación que hay entre las tres unidades mencionadas y las operaciones que debemos hacer para pasar de unas a otras. 1 min = 60 s 1 h = 60 min ⋅ 60 ⋅ 60 hora → minuto → segundo : 60 : 60 hora ← minuto ← segundo Ejemplo 1 Expresa las siguientes medidas de tiempo en segundos. a) 220 min 220 ∙ 60 = 13 200 s b) 3 h 3 ∙ 60 · 60 = 10 800 s c) 5h 43min 50s 5 ∙ 60 · 60 + 43 ∙ 60 + 50 = 20 630 s Ejemplo 2 Expresa las siguientes medidas de tiempo en horas. a) 1260 min 1260 : 60 = 21 h b) 21 600 s 21 600 : 60 = 360 min; 360 : 60 =6 h UNIDADES DE TIEMPO MAYORES QUE EL DÍA Cuando queremos medir períodos de tiempo más grandes, las unidades que hemos utilizado hasta el momento no son suficientes. Por eso se introducen otras unidades de tiempo como el día o el año, y sus correspondientes múltiplos. 1 día = 24 h 1 año = 365 días 1 lustro = 5 años 1 década = 10 años 1 siglo = 100 años 1 milenio = 1000 años Unidad 10│Medida de magnitudes 1.º ESO Unidad 10 Medida de magnitudes Aprendiendo a medir el tiempo 1. Expresa las siguientes medidas de tiempo en segundos. a) 2h 50min 30s b) 5h 20 min 15s c) 3,5h 45min 2. Calcula el número de horas a las que equivalen las siguientes medidas de tiempo. a) 480 min b) 72 000 s c) 2días 14h 3. Alfonso ha trabajado por la mañana 3h y cuarto, mientras que por la tarde ha trabajado 2h y media. ¿Cuántos minutos ha trabajadomás por la mañana que por la tarde? 4. La edad del padre de Irene es 45 años, mientras que la de su madre es 40 años. Escribe sus edades en lustros y en décadas. 5. Indica la unidad de tiempo que utilizarías para expresar cada una de las siguientes medidas. a) Tiempo que tarda un atleta en correr 100 m. b) Duración de un viaje en avión entre Europa y América. c) Edad de los alumnos de 1º ESO. d) Duración de un partido de baloncesto. e) Tiempo transcurrido desde la Prehistoria. f) Duración de un crucero por el Mediterráneo. Unidad 10│Medida de magnitudes 1.º ESO Unidad 11 Elementos geométricos Puntos, rectas y segmentos 1. Observa los puntos de la imagen. Dibuja la recta que pasa por ellos y el segmento que limitan. Dibuja un punto C que esté en la recta pero no en el segmento, otro punto D que esté en la recta y también en el segmento y un tercer punto E que no esté ni en la recta ni en el segmento. ¿Puedes situar algún punto que esté incluido en el segmento pero no en la recta? 2. Construye, con escuadra y cartabón, la recta perpendicular a r que pasa por P. 3. A partir de los puntos del dibujo, consideramos dos rectas. Por una parte, la que pasa por los puntos A y B; por otra, la que pasa por C y por D. ¿Tienen algún punto en común estas dos rectas? ¿En cuántas zonas dividen al plano? Unidad 11│Elementos geométricos 1.º ESO Unidad 11 Elementos geométricos Ángulos y sus bisectrices 1. Dibuja un ángulo llano y traza su bisectriz con regla y compás. ¿Cómo son los ángulos que has obtenido? 2. Dibuja un ángulo tal que su bisectriz lo divida en dos ángulos obtusos. ¿Puedes encontrar un ángulo tal que su bisectriz lo divida en dos ángulos cóncavos? 3. Un ángulo mide el doble que su complementario. ¿Cuánto mide entonces? Haz un dibujo que ilustre esta situación. 4. En la figura, las rectas r y s son paralelas. Observa los ángulos que aparecen. a) Mide, con un transportador, los ángulos  , B̂ y Ĉ . ¿Cuánto vale su suma? b) ¿Qué relación guardan los ángulos B̂ y F̂ ? c) ¿Qué puedes decir de Ĉ y Ê ? d) ¿Puedes obtener directamente del dibujo la suma de los ángulos D̂ , Ê y F̂ ? En el dibujo hay dos ángulos que son adyacentes con  , márcalos. ¿Qué relación existe entre esos dos ángulos? Unidad 11 │ Elementos geométricos 1.º ESO Unidad 11 Elementos geométricos Cálculos en el sistema sexagesimal 1. Efectúa las siguientes operaciones. 59’ 11° + – 55’’ 5’’ 27° 12’ 40’’ 3° 0’ 9’’ 43’ 55’’ 17’ 0’’ 27° 12’ 40’’ 20° 13’ 30’’ 75° + – + 36° 32’ 52’’ 53° 37’ 18’’ 27° 12’ 40’’ 56’ 42’’ – 2. Completa. 3° 4' 5''= ..... ' 5''= ........ '' 1° 0' 1''= ..... ' 1''= ........ '' 2016'' = ..... ° ..... ' ..... '' 2016' = ..... ° ..... ' ..... '' 1000000'' = ..... ° ..... ' ..... '' 7260'' = ..... ° ..... ' ..... '' 3. Cierto ángulo mide 10° 1′ 50″. Calcula la medida del ángulo triple y la del ángulo mitad. Expresa estos resultados en forma compleja e incompleja. 3 ⋅ (10° 1' 50'') = ..... ° ..... ' ..... '' = ........ '' 1 ⋅ (10° 1' 50'') = ..... ° ..... ' ..... '' = ........ '' 2 ¿Cuánto vale el cociente de estos dos ángulos? ¿Es necesario efectuar la división de sus medidas (escritas en forma incompleja) para llegar al resultado? 4. Calcula el ángulo complementario y el suplementario de uno que mide 73° 56′ 8″. 5. Ordena de menor a mayor los seis ángulos descritos a continuación.  : un ángulo recto Ĉ : la mitad de un ángulo de 100° Ê : el suplementario de D̂ B̂ : un ángulo llano D̂ : el complementario de Ĉ F̂ : el doble de D̂ Unidad 11 │ Elementos geométricos 1.º ESO Unidad 11 Elementos geométricos Ganando ángulo 1. Durante un partido de fútbol, un delantero se encuentra en el punto D. La portería viene representada por el segmento AB. Como encuentra esa posición incómoda para chutar, se mueve al punto E para disparar a puerta. Un espectador aficionado comenta que el delantero ha «ganado ángulo». Comprueba la veracidad de esa afirmación con un transportador de ángulos. ARCO CAPAZ El conjunto de puntos desde los que «se ve» un segmento con un ángulo de igual medida se llama arco capaz. En el dibujo, los puntos D y E forman parte del arco capaz del segmento AB con ángulo 30°. Unidad 11│Elementos geométricos 1.º ESO Unidad 11 Elementos geométricos Ganando ángulo En esta ficha vamos a desarrollar un procedimiento para construir un arco capaz para un ángulo Ĉ dado. 1.º Coloca un ángulo de medida Ĉ apoyado en el segmento, como ˆ 30° ). en el dibujo (en el que C= Llamemos r a la semirrecta que aparece. 2.º Construye una recta perpendicular a r por el punto A. Llamémosla s. El ángulo que forma con r es de 90° y el que forma con AB es de 90° − Cˆ . 3.º Construye la mediatriz de AB. El punto de corte con s es el centro del arco capaz. 2. Comprueba con un transportador que el ángulo con el que «se ve» el segmento desde cualquier punto del arco es de 30°. Hemos llamado «ángulos inscritos» a estos ángulos. ¿Cuánto debe medir el ángulo central correspondiente? Compruébalo. En la siguiente figura, aparece una circunferencia cuyo diámetro es el segmento AB. Esta circunferencia también es un arco capaz. 3. Escoge un punto C en la circunferencia y mide con un transportador el ángulo inscrito con vértice en C desde el que se ve el segmento AB. Haz lo mismo con otro punto D de la circunferencia. ¿Cuánto debe medir el ángulo central correspondiente? 4. ¿Puedes seguir los tres pasos que hemos explicado para construir el arco capaz de 90°? 5. Repite el procedimiento una tercera vez, esta vez con un ángulo de 120°. Unidad 11│Elementos geométricos 1.º ESO Unidad 11Elementos geométricos Circunferencia que pasa por tres puntos Vamos a desarrollar un método para construir la circunferencia que pasa por tres puntos dados, utilizando únicamente regla y compás. Necesitamos determinar dónde está el centro de la circunferencia, para poder dibujarla con el compás. De ese centro (llamémoslo O), sabemos que está a la misma distancia de A, de B y de C, entonces: • • Como el punto O está a la misma distancia de A y de B, debe estar en la mediatriz del segmento AB. Como el punto O está a la misma distancia de B que de C, también está en la mediatriz del segmento BC. Por tanto, el centro O de la circunferencia es el punto de intersección de las dos mediatrices. 1. Dibuja tres puntos que no estén alineados y dibuja la circunferencia que pase por ellos siguiendo los pasos anteriores. 2. En nuestra construcción, no hemos tenido en cuenta el segmento AC y su mediatriz. ¿Qué ocurre si la utilizamos también? Si las otras se cortan en el punto O, ¿es posible que la mediatriz de AC no pase por O? 3. Intenta emplear el proceso que hemos descrito cuando los tres puntos de partida están alineados. ¿Hay alguna circunferencia que pase por esos tres puntos? Unidad 11│Elementos geométricos 1.º ESO Unidad 11 Elementos geométricos ¡No te fíes de las apariencias! En el perímetro de un campo circular se van colocando varios postes. Unimos cada par de postes con una cuerda tensa. De este modo, el campo queda dividido en regiones. ¿En cuántas? Como puedes observar en la imagen, si colocamos dos postes el campo queda dividido en dos regiones, pero si colocamos 4, la respuesta es 8 regiones. 1. Utilizando los dibujos, obtén la solución del problema cuando hay 3 postes y cuando hay 5. Conviene que utilices una regla. Recuerda que lo que se pide es: 1.º Trazar todos los segmentos que definen los puntos marcados en la circunferencia. 2.º Contar la cantidad de zonas en que queda dividido el interior de la circunferencia. 2. Observa los números que aparecen en la columna de la derecha. ¿Puedes intuir la regla general que sigue esta sucesión? Unidad 11 │ Elementos geométricos 1.º ESO Unidad 11 Elementos geométricos ¡No te fíes de las apariencias! 1. Si has encontrado la regla que sigue la sucesión, compruébala en el caso de que haya 6 puntos en la circunferencia, utilizando los dos dibujos siguientes. Aunque en los primeros ejemplos (2, 3, 4 y 5 postes) pareciera que la solución seguía una fórmula muy sencilla, el problema es complejo. Ten en cuenta que aunque una fórmula se cumpla en unos cuantos casos no tiene por qué ser válida en general. Unidad 11 │ Elementos geométricos 1.º ESO Unidad 12 Figuras geométricas Clasificación de triángulos y cuadriláteros 1. Hemos dividido el rectángulo del dibujo en seis polígonos, a los que les hemos asignado las letras a, b, c, d, e y f. a) b) c) d) e) ¿Cuáles de ellos son triángulos? ¿Y cuáles son cuadriláteros? ¿Hay alguno que no sea triángulo ni cuadrilátero? ¿Hay algún triángulo rectángulo? ¿Y algún triángulo obtusángulo? Localiza todos los trapecios que haya entre estos seis polígonos y di de qué tipo de trapecio se trata en cada caso. ¿Hay algún cuadrado? ¿Y algún romboide? 2. Intenta dibujar un trapecio rectángulo que también sea isósceles. ¿Qué ocurre? ¿Qué polígono obtienes? 3. Hemos aprendido a clasificar triángulos atendiendo a dos criterios distintos: sus ángulos y sus lados. Fíjate en el ejemplo e intenta dibujar un triángulo que corresponda en cada casilla. ¿Hay alguna que no sea posible rellenar? equilátero isósceles escaleno acutángulo rectángulo obtusángulo 4. La figura de la derecha, ¿es un cuadrado o un rombo? ¿Y la de la izquierda? Unidad 12│Figuras geométricas 1.º ESO Unidad 12 Figuras geométricas Criterios de igualdad de triángulos 1. Observa los dos triángulos del dibujo. Mide, por una parte, los lados a y a′; por otra, los lados b y b′. Por último, mide los ángulos  y Aˆ ' con el transportador. ¿Son iguales los triángulos? ¿Entra esto en contradicción con el segundo criterio de igualdad de triángulos? 2. Dibuja, con regla y compás, un triángulo ABC en el que el lado a mide 4 cm, el lado b, 10 cm, y el ángulo  , 15°. 3. Si tenemos dos triángulos y llamamos  , B̂ y Ĉ a los ángulos de uno y D̂ , Ê y F̂ a los del otro, y además sabemos que  = D̂ y que B̂ = Ê , ¿los otros dos ángulos pueden tener distinta medida o tienen que ser iguales? 4. Ana tiene una escuadra: tiene la forma de un triángulo, con un ángulo de 90° y dos de 45°. Pablo también tiene una. Lógicamente, los ángulos de su escuadra miden lo mismo que los de la de Ana. Entonces, ¿tienen que ser estas dos escuadras triángulos iguales? 5. Si tenemos dos triángulos y llamamos a, b y c a los lados de uno y d, e y f a los del otro, y además sabemos que a = d y que b = e, ¿los otros dos lados pueden tener distinta medida o tienen que ser iguales? 6. María cultiva un pequeño huerto con forma triangular. Los lados de su perímetro miden 5 m, 12 m y 13 m. Su vecina Amalia tiene otro huerto, también triangular. Además, sus lados miden exactamente lo mismo. ¿Puedes asegurar que ambas parcelas tienen la misma área? Unidad 12│Figuras geométricas 1.º ESO Unidad 12 Figuras geométricas Elementos notables del triángulo 1. En este triángulo hemos dibujado una recta notable. a) ¿Es una mediatriz? ¿Por qué? b) ¿Es una mediana? ¿Por qué? c) ¿Qué tipo de recta notable es? 2. La recta del dibujo es una medianadel triángulo. ¿Significa esto que no es una mediatriz? Dibuja la bisectriz y la altura relativas al vértice superior. 3. Este triángulo es equilátero y el punto que aparece es uno de sus puntos notables. ¿De cuál de los cuatro se trata? 4. En el triángulo ABC hemos marcado el punto D, que es el punto medio del lado a. También aparece una recta notable y, en ella, los cuatro puntos notables del triángulo.Identifica cuál es cada uno. Pista: No es necesario que dibujes todas las rectas notables. Basta con trazar tres de ellas. Ayúdate con escuadra y cartabón. 5. Determina, en el dibujo, los cuatro puntos siguientes: a) b) c) d) El baricentro del triángulo ACD El circuncentro del triángulo CDF El ortocentro del triángulo BDE El incentro del triángulo EFG Traza el cuadrilátero que tiene como vértices a esos cuatro puntos. ¿De qué cuadrilátero se trata? Unidad 12│Figuras geométricas 1.º ESO Unidad 12 Figuras geométricas Seis construcciones y una trampa En esta ficha vamos a dibujar polígonos regulares. En estos polígonos, todos los vértices están a la misma distancia del centro. Por lo tanto, todos los vértices están en una misma circunferencia. Decimos que el polígono está inscrito en la circunferencia. Para calcular la medida del ángulo central en un polígono regular basta con dividir el ángulo completo (360°) entre el número de ángulos centrales (que es el mismo que la cantidad de lados del polígono y que el número de vértices). Así, por ejemplo, el ángulo central de un octógono regular mide 360° = 45° . 8 De este modopodemos dibujar cualquier polígono regular con la ayuda de un transportador: 1.º Trazamos una circunferencia y uno de sus radios. 2.º Llevamos sobre este radio la medida del ángulo central para trazar otro radio, que cortará a la circunferencia en un vértice del polígono. 3.º Repetimos el proceso hasta tener todos los vértices. 1. Construye de esta manera un octógono regular, como el dela figura. Este procedimiento no es muy preciso, ya que no siempre tomamos las medidas de los ángulos exactos con el transportador. En esta ficha vamos a hacer construcciones que necesitan solamenteuna regla y un compás. El objetivo es dibujar un polígono regular inscrito en una circunferencia dada. • Hexágono El hexágono regular cumple una propiedad muy curiosa: la distancia de los vértices al centro (el radio) es la misma que la distancia entre dos vértices consecutivos (el lado). Así pues, podemos empezar desde cualquier punto de la circunferencia y llevar con el compás la medida del radio cinco veces para obtener los cinco vértices restantes. • Triángulo Para dibujar un triángulo regular (es decir, equilátero) inscrito en una circunferencia, es suficiente tomar como vértices tres puntos alternados entre los seis que hemos determinado en el caso anterior. 2. En el dibujo del triángulo inscrito, traza el triángulo que determinan los vértices que han quedado sueltos. ¿Sabes cómo se llama la figura que resulta (los dos triángulos juntos)? Unidad 12│Figuras geométricas 1.º ESO Unidad 12 Figuras geométricas Seis construcciones y una trampa • Cuadrado Trazamos una circunferencia y uno cualquiera de sus diámetros. Tenemos así dos vértices del cuadrado. 3. ¿Puedes localizar los dos restantes usando únicamente regla y compás? • Octógono Partiendo de la construcción del cuadrado y trazando las bisectrices de los cuatro ángulos centrales obtenemos los otros cuatro vértices. • Pentágono Como en los casos anteriores, una vez que consigamos la medida del lado, podremos dibujar el polígono llevándola repetidamente con el compás sobre la circunferencia. En el caso del pentágono, es más complicado saber cuánto mide el lado. ¡Pero es posible averiguarlo sin más instrumentos que regla y compás! 1.º Trazamos dos diámetros perpendiculares en la circunferencia. Podemos hacer esto empezando con uno cualquiera y levantando su mediatriz. Llamamos A y B a dos de los extremos de estos diámetros. 2.º Buscamos el punto medio de uno de los radios. Lo llamamos C. 3.º Trazamos un arco de circunferencia con centro en C que pase por B. 4.º Llamamos D al punto de corte con el otro diámetro. Ya tenemos la longitud del lado del pentágono regular. Con el compás llevamos la medida del lado, que es lo que mide el segmento BD hasta marcar los cinco vértices del pentágono. Unidad 12│Figuras geométricas 1.º ESO Unidad 12 Figuras geométricas Seis construcciones y una trampa • Decágono 4. Partiendo del pentágono regular que acabamos de trazar, ¿cómo dibujarías un polígono regular de diez lados? Hasta ahora hemos visto seis construcciones. Ahora viene la trampa. • Heptágono Aprovechamos la mediatriz de OA que hemos levantado en la construcción del pentágono. El segmento comprendido entre C y la circunferencia «es» el lado del heptágono regular. Comprueba este procedimiento en tu cuaderno y mide con una regla graduada los lados del heptágono que resulta. Esta construcción no es exacta, pero la aproximación es muy buena. La medida que hemos tomado es 0,86602 veces el radio, cuando en realidad debería ser 0,86776 veces. En realidad, ¡es imposible dibujar un heptágono regular con compás y regla sin graduar! Unidad 12│Figuras geométricas 1.º ESO Unidad 12 Figuras geométricas Construyendo un cartabón Vamos a dibujar una plantilla para construir un cartabón. 1.º Dibuja un triángulo equilátero.Para ello, traza uno de sus lados de la medida que quieras. ¿Sabrías localizar el vértice que falta para completar el triángulo utilizando únicamente regla y compás? Pista: Ten en cuenta que, como el triángulo es equilátero, ese vértice que buscamos está a la misma distancia de cada uno de los otros dos que estos entre sí. 2.º Dibuja una de las rectas notables del triángulo y divide el triángulo en dos recortando por dicha recta. Con esto tenemos ya la silueta del cartabón. ¿Qué tipo de polígono es? Mide sus ángulos con un transportador. ¿Podías haber averiguado esos números sin recurrir al instrumento de medida, utilizando un razonamiento? 3.º Para completar el dibujo necesitamos otro triángulo más pequeño. Repetimos el proceso partiendo de un lado más pequeño que antes. 4.º Ahora hay que colocar el triángulo pequeño dentro del grande de forma que quede centrado, es decir, la distancia entre los tres lados del triángulo de dentro y los del triángulo de fuera debería ser la misma.¿Cómo podemos conseguirlo? Antes hemos hablado de centrar el triángulo. Pero, ¡los triángulos tienen cuatro centros distintos! Podríamos elegir uno de ellos y hacer que coincida en el triángulo grande y en el pequeño: • Descartamos enseguida las opciones del ortocentro y el circuncentro. El motivo es que en los triángulos rectángulos, como es el caso del cartabón, estos puntos notables están en el borde del triángulo. • De las dos opciones que nos quedan, incentro y baricentro, haz ambas construcciones y comprueba con cuál de las dos opciones queda mejor. ¿Sabrías explicar por qué? Por último, puedes construir una escuadra: un triángulo rectángulo e isósceles. En los juegos de escuadra y cartabón, el cateto mayor de este es tan largo como la hipotenusa de aquella. Unidad 12│Figuras geométricas 1.º ESO Unidad 13 Longitudes y áreas Teorema de Pitágoras 1. En estos triángulos rectángulos se desconoce la longitud de uno de los lados. Calcúlala. 2. El cateto mayor un un triángulo rectángulo mide 24 dm, y su hipotenusa, 20 dm. Calcula la longitud de su cateto menor. 3. Los triángulos de este ejercicio son rectángulos e isósceles. Calcula la longitud de sus lados. 4. Imagina que conocemos los tres lados de un triángulo. Sabemos cómo averiguar si es o no rectángulo: • Calculamos el cuadrado del lado mayor. • Calculamos la suma de los cuadrados de los otros dos lados. • El triángulo será rectángulo según esos dos números sean o no iguales. Nos gustaría completar esta estrategia para, comparando esos dos números, averiguar si el triángulo es rectángulo, acutángulo u obtusángulo. ¿Sabrías diseñar un método para llevar a cabo esta tarea? Unidad 13│Longitudes y áreas 1.º ESO Unidad 13 Longitudes y áreas Perímetro y área de figuras simples 1. Calcula el perímetro de las siguientes figuras. a) b) c) 2. Calcula el área de las siguientes figuras. a) b) c) d) Un cuadrado de 8 metros de lado. Un rectángulo de 12 centímetros de base y 5 centímetros de altura. Un triángulo de 18 centímetros de base y 10 cm de altura. Un círculo de 6 centímetros de radio. 3. Rellena la siguiente tabla, en la que aparecen las dimensiones de distintos triángulos. Base 16 cm 18 cm Altura 12 cm 15 cm Área 22 cm 8m 6m 55 cm2 21 m2 8 m2 4. ¿Un rompecabezas? Un terreno con forma de cuadrado tiene un metro de lado. Teresa y Manuel están de acuerdo en que su área es de un metro cuadrado. Sin embargo, tienen opiniones distintas sobre qué significa una extensión de dos metros cuadrados. Según Teresa, como un cuadrado de un metro de lado mide un metro cuadrado, un cuadrado de dos metros de lado medirá dos metros cuadrados. Manuel cree que el cuadrado que propone Teresa tiene una superficie de cuatro metros cuadrados y que un terreno de dos metros cuadrados tiene el doble de extensión que uno de un metro cuadrado. ¿Qué piensas tú? Unidad 13│Longitudes y áreas 1.º ESO Unidad 13 Longitudes y áreas Extensión del teorema de Pitágoras Al aplicar el teorema de Pitágoras para calcular una longitud, utilizamos una raíz cuadrada. Esto suele producir un resultado con muchas (infinitas) cifras decimales que hay que aproximar tomando solo unas pocas. En algunas ocasiones, sin embargo, la raíz es exacta (un número natural). Cuando los tres lados de un triángulo rectángulo son números naturales, decimos que forman una terna pitagórica. Observa la figura en la que aparecen tres triángulos rectángulos. Los tres forman ternas pitagóricas. Cada triángulo se apoya sobre uno de los lados del triángulo anterior. 1. En el triángulo amarillo el teorema de Pitágoras es 32 + 42 = 52. Escribe el teorema para las medidas de los otros dos triángulos. Reproduce el dibujo en un folio con las medidas reales y dibuja como sería el siguiente triángulo. ¿Eres capaz de calcular sus medidas? Unidad 13│Longitudes y áreas 1.º ESO Unidad 13 Longitudes y áreas Perímetro y área de figuras compuestas 1. Calcula el perímetro y el área de las figuras siguientes. a) 2. b) c) Supongamos que el lado de cada cuadradito mide 1 cm. Calcula el perímetro y el área de las tres regiones coloreadas. a) b) c) 3. Estas figuras están compuestas de triángulos equiláteros iguales. Calcula su área. 4. En este ejercicio aparecen también varios triángulos equiláteros. Calcula el área y el perímetro de las dos regiones coloreadas. Unidad 13│Longitudes y áreas 1.º ESO Unidad 13 Longitudes y áreas Falacias clásicas En el libro «Mathematics, Magic, and Mystery», Martin Gardner reúne una gran cantidad de rompecabezas y trucos sorprendentes basados en las matemáticas. En esta ficha vamos a detenernos en uno de ellos que va a ayudarnos a explorar el concepto de longitud. En este dibujo aparece un rectángulo dentro del cual hay diez barras. 1. Haz una copia del dibujo y corta el rectángulo por la mitad a lo largo de unadiagonal, para obtener dos triángulos. Después, desliza eltriángulo superior hasta la posición que se aparece más abajo: resulta una nueva figura. Por supuesto, las barras siguenahí, ¡pero no todas! En vez de diez, hay solo nueve. ¿Te parece extraño o puedes encontrar una explicación queaclare lo que ocurre? Unidad 13│Longitudes y áreas 1.º ESO Unidad 13 Longitudes y áreas Teorema de Pick Supongamos que, en esta cuadrícula, cada cuadradito tiene 1 cm² de superficie. 1. Calcula el área de la figura coloreada mediante composición o descomposición de la figura en otras más sencillas de área conocida. Vamos a estudiar un método alternativo, llamado teorema de Pick, para calcular (más fácilmente) el área de polígonos que, como el del ejemplo, tengan todos sus vértices apoyados en una cuadrícula. Este sistema se basa en contar puntos de la cuadrícula, es decir, los puntos donde se cortan las líneas horizontales con las verticales. Por un lado, nos interesan los puntos que están en el interior del polígono, sin tener en cuenta el borde. En el dibujo puedes ver que hemos encontrado 8 puntos en el interior de la figura del ejemplo y los hemos marcado con cruces. Por otro lado, seguimos el perímetro de la figura y contamos cuántos vértices de la cuadrícula encontramos. En el ejemplo, son 12. Presta atención a las líneas diagonales y asegúrate de comprender bien el mecanismo que seguimos. Pues bien, si llamamos D al número de puntos del interior y B al número de puntos del borde, para calcular el área de la figura basta con aplicar la fórmula siguiente: Área = D + B −1 2 12 2 − 1 = 13 cm . 2 2. ¿Coincide este resultado con el que ya habías obtenido? ¿Cuál de los dos sistemas prefieres? En nuestro ejemplo, resulta Área = 8 + 3. Calcula el área de estas figuras con las fórmulas que conoces para cada polígono y, por otro lado, con el teorema de Pick. ¿Coinciden los resultados? Unidad 13│Longitudes y áreas 1.º ESO Unidad 14 Cuerpos geométricos. Volúmenes Poliedros, prismas y pirámides 1. Contesta a las siguientes preguntas: a) ¿Es cierto que solo existen cinco poliedros? b) ¿Todos los prismas son poliedros? c) ¿Todas las pirámides son poliedros? d) ¿Hay algún sólido platónico que sea también un prisma? e) ¿Hay algún sólido platónico que sea también una pirámide? f) ¿Todas las pirámides son prismas? Por último, dibuja un poliedro que no sea ni un sólido platónico, ni un prisma, ni una pirámide. 2. ¿Qué condiciones debe cumplir un prisma triangular para ser regular? 3. ¿Cuántas aristas tiene un octaedro? ¿Y un icosaedro? 4. Indica cuáles de estos dibujos se corresponden con el desarrollo de un sólido platónico. Unidad 14│Cuerpos geométricos. Volúmenes 1.º ESO Unidad 14 Cuerpos geométricos. Volúmenes Volumen de poliedros 1. El metro cúbico es una unidad de volumen muy común. a) b) c) 2. ¿Cuántos litros de agua caben en un cubo cuyas aristas miden un metro? ¿Cabrías tú (no tiene por qué ser de pie)? Un litro de agua pesa un kilogramo. ¿Cuántas toneladas pesa un metro cúbico de agua? Contamos con un cubo de dos metros de lado y varios cubos, más pequeños, de un metro de lado cada uno. ¿Cuántos cubos pequeños caben en el grande? ¿Cuál es el volumen del grande? 3. Calcula el volumen de los siguientes cuerpos geométricos, cuyas medidas están en cm. a) b) c) d) 4. Un carpintero se dispone a unir dos piezas cúbicas 4,5 cm de lado. En vez de encolar las caras que van a hacer contacto, decide hacer una junta con forma de “cola de milano”, como se muestra en el dibujo. Después del trabajo, ambas partes encajan a la perfección. Calcula el volumen de la pieza final. Unidad 14│Cuerpos geométricos. Volúmenes 1.º ESO Unidad 14 Cuerpos geométricos. Volúmenes Volumen de cuerpos redondos 1. Ayer por la tarde preparamos 3 L de zumo de naranja y lo servimos en una jarra cilíndrica de 15 cm de diámetro. Como hacía bastante calor, añadimos 20 cubitos de hielo de 1,5 × 1,5 × 3 cm cada uno. a) ¿Qué volumen ocupa el zumo de naranja? b) ¿Qué volumen ocupan todos los cubitos de hielo? c) ¿Hasta qué altura llenamos la jarra si juntamos el zumo y los cubitos de hielo? 2. La copa del dibujo, que tiene forma cónica, está llena a rebosar. Contiene 87,8 mL de líquido y una aceituna. ¿Cuál es el volumen de la aceituna? 3. En la serrería La Redonda han sacado una viga con forma de prisma recto de un tronco de pino con forma de cilindro recto de 40 cm de diámetro. La sección de la viga es un cuadrado de lado 28,28 cm. Ese cuadrado ha sido el mayor que ha podido obtenerse a partir del tronco. El volumen de la madera que sobra después de sacar la viga es de 365,31 dm3 ¿Cuál es la longitud del tronco (que es la misma que la de la viga)? Unidad 14│Cuerpos geométricos. Volúmenes 1.º ESO Unidad 14 Cuerpos geométricos. Volúmenes Teorema de Euler sobre poliedros En la siguiente tabla aparecen varios poliedros y a su derecha el número de vértices (V), de aristas (A) y de caras (C) de cada uno de ellos. En la última columna se calcula el resultado de la operación V – A + C. Observa el ejemplo del tetraedro de la primera fila: Tiene 4 vértices, 6 aristas y 4 caras. Por tanto V – A + C = 2 1. Anota los datos que faltan en el resto de las filas ycalcula el resultado de la operación. 2. Observa los resultados de la ¿Coinciden en todos los casos? última columna. El hecho de que el resultado de V – A + Csiempre es 2 se conoce como teorema de Euler sobre poliedros. Unidad 14│Cuerpos geométricos. Volúmenes 1.º ESO Unidad 14 Cuerpos geométricos. Volúmenes Construcción de pirámides El objetivo de esta ficha no es emular a los antiguos egipcios: nos contentaremos con recortar y pegar desarrollos de pirámides para sacar algunas conclusiones. Las pirámides regulares, es decir, las que tienen como base un polígono regular con centro en la vertical de la cúspide, son los ejemplos más abundantes de pirámides. Observa que, en estos casos, las caras laterales son triángulos isósceles. Decimos que una pirámide es recta cuando la cúspide está en la vertical del centro de gravedad de la base o, lo que es lo mismo, cuando el centro de gravedad de la base coincide con el pie de la altura. Veamos algunos ejemplos: 1. Este desarrollo se compone de cuatro triángulos. Mide sus lados. ¿Hay alguno que sea isósceles? ¿Alguno rectángulo? Haz una copia del desarrollo y construye la pirámide. ¿Es recta? Una peculiaridad de la pirámide que resulta es que una cara lateral (la azul) es perpendicular a la base (la cara amarilla). Aprovechando este hecho, si tienes otra pirámide igual (haz otra copia o coopera con un compañero), puedes juntarlas por las caras azules o por las amarillas y obtener otro cuerpo geométrico. 2. Clasifica las dos nuevas pirámides que resultan: ¿Cómo son sus bases? ¿Son regulares? ¿Son rectas? Unidad 14 │ Cuerpos geométricos. Volúmenes 1.º ESO Unidad 14 Cuerpos geométricos. Volúmenes Construcción de pirámides En el siguiente desarrollo todos los triángulos son isósceles: compruébalo. 3. Construid cuatro copias de esta pirámide. Asegúrate de que la cara verde de esta pirámide y la anterior son iguales. ¿Puedes formar una pirámide regular octogonal con esas cuatro copias y las dos copias de la pirámide de la página anterior? 4. Debajo te proponemos un último ejemplo, independiente de los anteriores. ¿Qué tipo de polígono es la base en esta ocasión? Mide los lados de las caras laterales y clasifícalos. La pirámide que resulta es recta. Unidad 14 │ Cuerpos geométricos. Volúmenes 1.º ESO Unidad 14 Cuerpos geométricos. Volúmenes Construcción de pirámides Unidad 14 │ Cuerpos geométricos. Volúmenes 1.º ESO
