Estudio de mejora del mantenimiento mediante la aplicación de la distribución de Weibull a un histórico de fallos.

UNED
PROYECTO FIN DE POSTGRADO
Estudio de mejora del
mantenimiento mediante la
aplicación de la distribución de
Weibull a un histórico de fallos.
Eduardo Romero López
Ingeniero Técnico Industrial (Mecánica)
4 de septiembre de 2012
Índice general
1 Introducción y objetivo de este estudio.
1.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Fundamentos Teóricos.
2.1 Evolución histórica sobre el desarrollo de fallos . . . . .
2.1.1 Curva de Bañera o de Davies . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Curvas de Fallos actuales . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Fiabilidad, Mantenibilidad y Disponibilidad . . . . . . .
2.2.1 Fiabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Mantenibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Disponibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Distribuciones estadísticas aplicadas al mantenimiento
2.3.1 Distribución Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Distribución Lognormal . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Distribución Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Distribución Exponencial . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.5 Distribución de Gamma . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.6 Distribución de Weibull . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.6.1 Característica de vida, η . . . . . . . . . . . . .
2.3.6.2 Características de la distribución Weibull . . .
2.4 Cálculo de los parámetros Weibull . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Rango de la mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Cálculo de los parámetros β y η . . . . . . . . . . .
2.4.3 Cálculo del parámetro γ . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.4 Consideraciones sobre el parámetro γ . . . . . . . .
2.5 Verificación del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Test χ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Test de Kolmogorov-Smirnov (KS) . . . . . . . . . .
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3 Aplicación del método de Weibull.
3.1 Ejemplo biparamétrico . . . . . .
3.2 Ejemplo biparamétrico . . . . . .
3.3 Ejemplo triparamétrico . . . . .
3.4 Ejemplo triparamétrico . . . . .
3.5 Ejemplo biparamétrico . . . . . .
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4 Conclusiones
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Apéndices
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A Diagrama del proceso de trabajo
38
B Software de estadística aplicada, R
B.1 Solución distribución biparamétrica .
B.2 Cálculo del parámetro γ . . . . . . . .
B.3 Solución distribución triparamétrica .
B.4 Paquete Weibull toolkit . . . . . . . . .
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ÍNDICE GENERAL
Bibliografía
Fundación UNED
ÍNDICE GENERAL
49
II
Índice de figuras
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
Curva de Bañera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diferentes curvas de Fallos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Curva que componen la Curva de Bañera. . . . . . . . . . . . .
Soluciones posibles según tipo de Fallos. . . . . . . . . . . . . .
Representación de los estados TBF y TTR. . . . . . . . . . . . .
Distribución Normal con µ = 0 y σ = 1. . . . . . . . . . . . . . .
Distribución Lognormal con distintos parámetros σ. . . . . . .
Distribución de Rayleigh para distintos valores de σ. . . . . . .
Distribución Exponencial para distintos valores de θ. . . . . . .
Función de densidad y distribución para distintos valores de θ.
Distribución de Weibull para distintos valores de β. . . . . . . .
Representación de la tasa de fallo para distintos valores de β. .
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3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
Gráfico Weibull, ejercicio 1. . . . . . . . . . . . . .
Función de Distribución y Fiabilidad, ejercicio 1.
Gráfico de Weibull ejercicio 2. . . . . . . . . . . . .
Gráfico de Weibull ejercicio 3. . . . . . . . . . . . .
Gráfico de Weibull ejercicio 4. . . . . . . . . . . . .
Gráfico de fiabilidad y tasa de fallo, ejercicio 4. .
Gráfico del ejercicio 5. . . . . . . . . . . . . . . . .
Fiabilidad y tasa de fallo del ejercicio 5. . . . . . .
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B.1
B.2
B.3
B.4
B.5
Captura de pantalla del código R, corriendo sobre la plataforma RStudio.
Gráfico de Weibull obtenido a través de la compilación del programa. . .
Gráfico del Ecm frente a γ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gráfico del parámetro γ y su gráfico de Weibull asociado. . . . . . . . . .
Gráfico de Weibull obtenido del paquete Weibulltoolkit. . . . . . . . . . . .
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Índice de tablas
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
Datos ejercicio 1. . . . . . .
Resultados ejercicio 1, TBF.
Resultados ejercicio 1, TTR.
Resultados ejercicio 2. . . .
Datos ejercicio 3. . . . . . .
Resultados del ejercicio 3. .
Datos ejercicio 4. . . . . . .
Resultados ejercicio 4. . . .
Datos ejercicio 5. . . . . . .
Resultados ejercicio 5. . . .
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33
1
Introducción y objetivo de este
estudio.
1.1.
Introducción
La realización de un estudio de mejora de los mantenimientos preventivos, basándonos para
ello en técnicas estadísticas en concreto la distribución de Weibull.
Para la realización del mismo utilizaremos el software libre R. Siendo éste un lenguaje y
entorno de programación orientado a objetos para análisis estadístico y gráfico.
1.2.
Objetivo
El objetivo es hallar mediante la aplicación estadística en que etapa de la vida se encuentra
el equipo o conjunto de equipos.
Nos interesa conocer los que se encuentran en etapa de mortalidad infantil, para no aplicarles mantenimiento preventivo con el consiguiente ahorro que producirá y los que se encuentren
en la etapa de vida útil para optimizar los periodos de mantenimiento preventivo y así obtener un
ahorro en cuanto a frecuencia de preventivo como en mejora de la disponibilidad.
1
2
Fundamentos Teóricos.
2.1.
Evolución histórica sobre el desarrollo de fallos
En este apartado veremos como ha ido evolucionando el desarrollo de fallos a lo largo de
la historia del mantenimiento. Partiendo de la conocida “Curva de la Bañera” válida para equipos
relativamente simples en los que la aparición de fallos se debía principalmente a desgastes.
Con el avance de la tecnología cada vez los equipos son más complejos y poseen más componentes eléctricos - electrónicos. Dichos equipos no se ajusten a la teoría de la curva de la bañera.
Muchos estudios, sobre todo del sector de la aviación han demostrado que existen al menos
seis curvas con diferente modo de aparición de los fallos y sólo un porcentaje muy pequeños de
ellos se ajustan fielmente a la curva de la bañera.
2.1.1.
Curva de Bañera o de Davies
La curva de la bañera es un gráfica que representa los fallos durante el período de vida útil
de un sistema o máquina. Se llama así porque tiene la forma una bañera cortada a lo largo.
Figura 2.1: Curva de Bañera.
En ella se pueden apreciar tres etapas:
2
2. Fundamentos Teóricos.
2.1. Evolución histórica sobre el desarrollo de fallos
Mortalidad Infantil o Fallos infantiles: esta etapa se caracteriza por tener una elevada tasa
de fallos que desciende rápidamente con el tiempo. Estos fallos pueden deberse a diferentes
razones como equipos defectuosos, instalaciones incorrectas, errores de diseño del equipo,
desconocimiento del equipo por parte de los operarios o desconocimiento del procedimiento
adecuado.
Fallos normales: etapa con una tasa de errores menor y constante. Los fallos no se producen debido a causas inherentes al equipo, sino por causas aleatorias externas. Estas causas
pueden ser accidentes fortuitos, mala operación, condiciones inadecuadas u otros.
Fallos por desgastes: etapa caracterizada por una tasa de errores rápidamente creciente. Los
fallos se producen por desgaste natural del equipo debido al transcurso del tiempo.
2.1.2.
Curvas de Fallos actuales
Muchos de los planes de mantenimiento se han basado en la curva de la bañera clásica
para definir los mismo pero estudios más actuales procedente del sector de la aviación y militar
han demostrado que los mecanismos de formación de fallos no tienen porque seguir las pautas de
la curva de bañera.
A continuación se muestran en la Figura 2.2 las distintas curvas fallos a lo largo del tiempo
y el porcentaje de cada uno ellos según un estudio de la aviación:
Figura 2.2: Diferentes curvas de Fallos
Curva A La curva de bañera: Alta mortalidad infantil, seguida de un bajo nivel de fallos aleatorios,
terminado en una zona de desgaste. Sólo un 4 % de los fallos siguen esta curva. Coincide con
equipos mecánicos históricos.
Curva B El tradicional punto de vista: Pocos fallos aleatorios, terminando en una zona de desgaste.
Sólo un 2 % de los fallos siguen esta curva. Coincide con Equipos o Sistemas sometidos a
fatiga y no diseñados para “vida infinita” como por ejemplo sistemas electrónicos discretos.
Fundación UNED
3
2. Fundamentos Teóricos.
2.1. Evolución histórica sobre el desarrollo de fallos
Curva C Un constante incremento en la probabilidad de fallo. Sólo un 5 % de los fallos siguen esta
curva. Coincide con equipos o sistemas sometidos a corrosión.
Curva D Un rápido incremento en la probabilidad de fallo, seguido de un comportamiento aleatorio.
Sólo un 7 % de los fallos siguen esta curva. Coincide con equipos electrónicos digitales.
Curva E Fallos aleatorios: No hay relación entre la edad funcional de los equipos y la probabilidad
de que fallen. Sólo un 14 % de los fallos siguen esta curva. Coincide con fallos en rodamientos
bien diseñados.
Curva F Alta mortalidad infantil, seguida de un comportamiento aleatorio de la probabilidad de
fallos. El 68 % de los fallos siguen esta curva. Coincide con fallos en equipos o sistemas hidráulicos y neumáticos de diseño actual.
La conclusión obtenida del estudio de la aviación fue que sólo un 6 % siguen el desarrollo
de fallos según las curvas A+B, y sólo en éstas, será efectivo la aplicación de los mantenimientos
preventivos.
Por lo tanto, existe otro 94 % de fallos que debido a su alta componente aleatoria de aparición
de los fallos no merece la pena hacerle mantenimiento preventivo. Éste sólo inducirá en la aparición
de nuevos fallos por la manipulación innecesaria de los equipos y producirá un aumento en los
costes por mantenimiento preventivo.
Por último se muestra en la Figura 2.31 la curva de la bañera formada por las tres curvas
que la componen y a continuación de ésta en la Figura 2.42 aparece en una matriz las posibles
soluciones en función del tipo de fallo producido.
Figura 2.3: Curva que componen la Curva de Bañera.
1 La
2 La
imagen de las composición de la curva de la bañera ha sido obtenida de la bibliografía número [2].
imagen de la matriz de tipo de fallo - solución ha sido obtenida de la bibliografía número [2].
Fundación UNED
4
2. Fundamentos Teóricos.
2.2. Fiabilidad, Mantenibilidad y Disponibilidad
Figura 2.4: Soluciones posibles según tipo de Fallos.
2.2.
2.2.1.
Fiabilidad, Mantenibilidad y Disponibilidad
Fiabilidad
La fiabilidad R(t) se define como la probabilidad de que un bien funcione adecuadamente
durante un período determinado bajo condiciones operativas específicas (por ejemplo, condiciones
de presión, temperatura, velocidad, tensión o forma de una onda eléctrica, nivel de vibraciones,...
etc).
La fiabilidad se suele representar con la letra R (de la palabra inglesa Reliability), una medida
de la fiabilidad es el MTBF (Mean Time Between Failures), ésta se relaciona con la duración media
entre fallos.
Z
M T BF =
∞
R(t)dt
(2.1)
0
En la práctica, la fiabilidad se mide como el tiempo medio entre ciclos de mantenimiento o el
tiempo medio entre dos fallos consecutivos MTBF. Se puede medir en general por horas, kilómetros,
horas de vuelo, piezas producidas,... etc.
En la Figura 2.53 se aprecia los distintos TBF que hacen referencia al tiempo de funcionamiento de un activo de mantenimiento y los TTR que se refieren a los tiempos de paradas por
reparación.
3 La
imagen que representa los estados TBF y TTR ha sido obtenida de la bibliografía número [1].
Fundación UNED
5
2. Fundamentos Teóricos.
2.2. Fiabilidad, Mantenibilidad y Disponibilidad
Figura 2.5: Representación de los estados TBF y TTR.
R(t) la Función de Fiabilidad, o dicho de otro modo, la probabilidad de que un componente
nuevo sobreviva más del tiempo t, donde T se define como la vida del bien o componente.
R(t) = P (T > t) = 1 − F (t)
(2.2)
F (t) es la Función de Distribución Acumulada siendo la probabilidad de que un componente nuevo no sobreviva más del tiempo t.
F (t) = P (T ≤ t)
(2.3)
Derivando esta última obtenemos la Función de Densidad f (t). Ésta nos da una idea de la
dispersión de la vida del componente.
f (t) =
d
F (t)
dt
(2.4)
Dividiendo la ecuación 2.4 entre la ecuación 2.2 obtenemos la Tasa de Fallos λ(t).
λ(t) =
f (t)
R(t)
(2.5)
λ(t) es una característica de fiabilidad del componente. No tiene interpretación física directa.
Es bastante común que el comportamiento de fallos de un componente sea descrito en términos de
su tasa de fallos.
2.2.2.
Mantenibilidad
Se define mantenibilidad M (t) como la propiedad de que el equipo, después de un fallo o
avería sea puesto en estado de funcionamiento en un tiempo dado. Una medida de la mantenibilidad
Fundación UNED
6
2. Fundamentos Teóricos.
2.3. Distribuciones estadísticas aplicadas al mantenimiento
es el MTTR (Mean Time To Repair) o como se conoce en castellano “Tiempo Medio de Reparación”.
En la Figura 2.5 aparece su ecuación y la representación de los distintos TTR que componen el
MTTR.
Es la propiedad de un sistema que representa la cantidad de esfuerzo requerida para conservar su funcionamiento normal o para restituirlo una vez se ha presentado un evento de fallo.
Se dirá que un sistema es “Altamente mantenible” cuando el esfuerzo asociado a la restitución sea
bajo. Sistemas poco mantenibles o de “Baja mantenibilidad” requieren de grandes esfuerzos para
sostenerse o restituirse.
Su Tasa de Reparación es µ(t):
µ(t) =
2.2.3.
1
MTTR
(2.6)
Disponibilidad
Se define la disponibilidad D(t) como la probabilidad en el tiempo de asegurar un servicio
requerido.
Otra definición común en mantenimiento para la disponibilidad es: el porcentaje de equipos
o sistemas útiles en un determinado momento, frente al parque total de equipos o sistemas.
La ecuación de la disponibilidad está en función de la fiabilidad y de la mantenibilidad,
siendo esta:
D(t) =
2.3.
M T BF
R(t)
=
R(t) + M (t)
M T BF + M T T R
(2.7)
Distribuciones estadísticas aplicadas al mantenimiento
Las distribuciones de probabilidad son funciones matemáticas teóricas que se utilizan para
realizar previsiones, que describen la forma en que se espera que varíen los resultados de un
experimento. Por lo tanto son útiles en mantenimiento, debido a que, ayudan a tomar decisiones en
condiciones de incertidumbre.
Las distribuciones que explicaremos para la aplicación de este proyecto son:
Distribución Normal o de Gauss
Distribución Lognormal
Distribución Rayleigh
Distribución Exponecial
Distribución Gamma
Distribución de Weibull
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7
2. Fundamentos Teóricos.
2.3. Distribuciones estadísticas aplicadas al mantenimiento
Existen otras pero en este estudio nos centraremos en la nombradas anteriormente, por ser
las que están relacionadas con la distribución de Weibull.
2.3.1.
Distribución Normal
Es una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia
aparece aproximada en fenómenos reales.
0.6
0.4
Distribución de probabilidad
0.2
0.0
0.0
0.2
0.1
Distribución de densidad
0.3
0.8
1.0
0.4
La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de un determinado parámetro estadístico. Esta curva se conoce como campana de Gauss. La
importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales,
sociales y psicológicos.
−4
−2
0
2
4
−4
x
−2
0
2
4
x
Figura 2.6: Distribución Normal con µ = 0 y σ = 1.
Se dice que una variable aleatoria continua X sigue una distribución normal de parámetros
µ y σ y se denota X∼N(µ,σ) si su función de densidad está dada por:
f (x) =
x∈
1 x−µ 2
1
√ e− 2 ( σ )
σ 2π
(2.8)
R
µ es la media
σ es la desviación estándar
Su función de distribución es:
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8
2. Fundamentos Teóricos.
2.3. Distribuciones estadísticas aplicadas al mantenimiento
Z
x
Φµ,σ2 (x) =
e−
(u−µ)2
2σ 2
du
(2.9)
−∞
Esta función se puede expresar en términos de la función especial llamada función de error
(erf ) de la siguiente forma:
1
x−µ
Φµ,σ2 (x) =
1 + erf ( √ )
2
σ 2
(2.10)
Algunas propiedades de la distribución normal son:
Es simétrica respecto de su media, µ
La moda y la mediana son ambas iguales a la media, µ
Los puntos de inflexión de la curva se dan para x = µ − σ y x = µ + σ
El intervalo [µ − σ, µ + σ] se encuentra comprendida, aproximadamente, el 68,26 % de la distribución
El intervalo [µ − 2σ, µ + 2σ] se encuentra comprendida, aproximadamente, el 95,44 % de la
distribución
El intervalo [µ − 3σ, µ + 3σ] se encuentra comprendida, aproximadamente, el 99,74 % de la
distribución
2.3.2.
Distribución Lognormal
Es la distribución de probabilidad de cualquier variable aleatoria con su logaritmo normalmente distribuido. Si x es una variable aleatoria con una distribución normal, entonces ex tiene
una distribución lognormal.
Una variable puede ser modelada como lognormal si puede ser considerada como un producto multiplicativo de muchos pequeños factores independientes. Un ejemplo típico es un retorno
a largo plazo de una inversión: puede considerarse como un producto de muchos retornos diarios.
La distribución lognormal tiende a la función densidad de probabilidad:
f (x; µ, σ) =
1
√
xσ 2π
2
e−(ln x−µ)
/2σ 2
(2.11)
Para x > 0 donde µ y σ son la media y la desviación estándar del logaritmo de variable. En
la Figura 2.7 se puede ver como varía la función para distintos parámetros de σ.
Su función de distribución también se puede poner en función de la función de error (erf ):
Φµ,σ2 (x) =
Fundación UNED
1
ln(x) − µ
√
1 + erf
2
σ 2
(2.12)
9
2.3. Distribuciones estadísticas aplicadas al mantenimiento
0.6
1.0
2. Fundamentos Teóricos.
0.3
0.4
σ=3
0.4
Distribución de probabilidad
σ=2
σ=0
σ = 0.5
0.2
0.2
Distribución de densidad
0.5
σ = 0.5
0.6
0.8
σ=0
0.1
σ=2
0.0
0.0
σ=3
0
1
2
3
4
5
6
7
0
1
2
x
3
4
5
6
x
Figura 2.7: Distribución Lognormal con distintos parámetros σ.
Representando la función de distribución y dándole distintos valores de σ, como se puede
ver en la Figura 2.7.
Algunas propiedades de la distribución lognormal son:
La media geométrica, y la desviación estándar geométrica están relacionadas. En este caso, la
media geométrica es igual a eµ y la desviación estándar geométrica es igual a eσ .
1
1
]
, µgeo ∗ σgeo
El intervalo [µ − σ, µ + σ] es equivalente a [µgeo /σgeo
2
2
]
, µgeo ∗ σgeo
El intervalo [µ − 2σ, µ + 2σ] es equivalente a [µgeo /σgeo
3
3
El intervalo [µ − 3σ, µ + 3σ] es equivalente a [µgeo /σgeo
, µgeo ∗ σgeo
]
La distribución Lognormal tiene su tasa de fallo creciente y suele utilizarse para modelar la
fiabilidad de componentes estructurales y electrónicos.
Su desventaja es que es bastante difícil tratarla de forma algebraica, pero su ventaja es
que surge naturalmente como la convolución de distribuciones exponenciales. Por tanto, tiene un
interés práctico considerable con relación a los procesos de fallos físicos.
2.3.3.
Distribución Rayleigh
Es una función de distribución continua. Se suele presentar cuando un vector bidimensional tiene sus dos componentes, ortogonales, independientes y siguen una distribución normal. Su
Fundación UNED
10
2. Fundamentos Teóricos.
2.3. Distribuciones estadísticas aplicadas al mantenimiento
1.2
1.0
valor absoluto seguirá entonces una distribución de Rayleigh.
0.8
1.0
σ = 0.5
Distribución
σ = 0.5
0.4
σ=2
0.6
0.6
σ = 1.5
σ=1
0.4
Densidad
0.8
σ=1
0.2
0.2
σ = 1.5
0.0
0.0
σ=2
0
1
2
3
4
5
0
1
x
2
3
4
5
x
Figura 2.8: Distribución de Rayleigh para distintos valores de σ.
Su función de densidad de probabilidad es:
f (x; σ) =
xe
−x2
2σ 2
(2.13)
σ2
Donde σ es un factor de escala.
Su función de distribución de probabilidad es:
F (x; σ) = 1 − e
−x2
2σ 2
(2.14)
Su esperanza matemática es:
r
E(x) = σ
Fundación UNED
π
2
(2.15)
11
2. Fundamentos Teóricos.
2.3.4.
2.3. Distribuciones estadísticas aplicadas al mantenimiento
Distribución Exponencial
0.5
1.0
En estadística la distribución exponencial es una distribución de probabilidad continua con
un parámetro θ > 0 cuya función de densidad es:
0.8
0.6
θ = 0.5
θ=1
0.2
0.2
0.3
θ = 1.5
0.4
Distribución de probabilidad
θ=1
0.1
Densidad de probabilidad
0.4
θ = 0.5
0.0
0.0
θ = 1.5
0
2
4
6
8
10
0
2
4
x
6
8
10
x
Figura 2.9: Distribución Exponencial para distintos valores de θ.
f (x) =
θe−θx
0
x≥0
de otro modo
(2.16)
Su función de distribución es:
F (x) = P (X ≤ x) =
0
1 − e−θx
para x < 0
para x ≥ 0
(2.17)
Su tasa de fallo:
λ(x) =
1
θ
(2.18)
Su función de Fiabilidad R(t):
R(x) = e−θx
Fundación UNED
(2.19)
12
2. Fundamentos Teóricos.
2.3. Distribuciones estadísticas aplicadas al mantenimiento
Su Esperanza matemática o media:
E(x) = M edia = θ
(2.20)
La función de distribución que se utiliza más a menudo para modelar la fiabilidad es la
exponencial. El motivo es que:
Es sencilla de tratar algebraicamente
Se considera adecuada para modelar el intervalo de vida funcional del ciclo de vida del dispositivo
la distribución exponencial aparece cuando la tasa de fallos es constante, λ(t) = λ
La tasa de fallos se considera constante, entonces la función de distribución de los fallos es
exponencial. De las propiedades de ésta se deduce que la probabilidad de que una unidad que está
trabajando falle en el próximo instante es independiente de cuánto tiempo ha estado trabajando.
Esto implica que la unidad no presenta síntomas de envejecimiento: es igualmente probable que
falle en el instante siguiente cuando está nueva o cuando no lo está.
2.3.5.
Distribución de Gamma
Es una distribución adecuada para modelizar el comportamiento de variables aleatorias
continuas con asimetría positiva. Es decir, variables que presentan una mayor densidad de sucesos
a la izquierda de la media que a la derecha. En su expresión se encuentran dos parámetros, siempre
positivos, α y β de los que depende su forma y alcance por la derecha, y también la función Gamma
Γ(α), responsable de la convergencia de la distribución.
El primer parámetro α sitúa la máxima intensidad de probabilidad y por este motivo en
algunas fuentes se denomina “la forma” de la distribución: cuando se toman valores próximos a cero
aparece entonces un dibujo muy similar al de la distribución exponencial. Cuando se toman valores
más grandes de α el centro de la distribución se desplaza a la derecha y va apareciendo la forma
de una campana de Gauss con asimetría positiva. Es el segundo parámetro β el que determina
la forma o alcance de esta asimetría positiva desplazando la densidad de probabilidad en la cola
de la derecha. Para valores elevados de β la distribución acumula más densidad de probabilidad
en el extremo derecho de la cola, alargando mucho su dibujo y dispersando la probabilidad a lo
largo del plano. Al dispersar la probabilidad la altura máxima de densidad de probabilidad se va
reduciendo; de aquí que se le denomine “escala”. Valores más pequeños de β conducen a una figura
más simétrica y concentrada, con un pico de densidad de probabilidad más elevado.
La función de densidad de la distribución Gamma es:
f (x) =
1
β α Γ(α)
xα−1 e−x/β
(2.21)
donde x > 0 y β, α son parámetros positivos. En la Figura 2.10 se muestra la función de
densidad.
La función de distribución es,
Fundación UNED
13
1.0
2.3. Distribuciones estadísticas aplicadas al mantenimiento
2.0
2. Fundamentos Teóricos.
1.0
β=5
0.6
β=3
β=1
0.4
Distribución de probabilidad
1.5
β=2
β=2
β=3
0.2
0.5
Distribución de densidad
0.8
β=1
0.0
0.0
β=5
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
x
3
4
5
6
x
Figura 2.10: Función de densidad y distribución para distintos valores de θ.
F (x) = P [X ≤ x] =
1
α
β Γ(α)
Z
x
uα−1 eu/β du
(2.22)
0
como se puede ver en la Figura 2.10.
La esperanza matemática es,
E(x) = αβ
2.3.6.
(2.23)
Distribución de Weibull
La distribución de Weibull es una distribución continua y triparamétrica, es decir, está
completamente definida por tres parámetros y es la más empleada en el campo de la Fiabilidad.
En la literatura técnica está muy extendida utilización de la distribución de Weibull biparamétrica (β, η), debido a que, el tercer parámetro es el parámetro de localización, es decir, el
parámetro que localiza la abscisa a partir del cual se inicia la distribución. Trabajando de forma
biparamétrica se asume un error, por eso en este estudio se explicará el cálculo de la distribución
triparamétrica (β, η, γ), debido a que ésta es más exacta.
La distribución de Weibull es una distribución de probabilidad continua. La función de
densidad de una variable aleatoria:
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14
2. Fundamentos Teóricos.
2.3. Distribuciones estadísticas aplicadas al mantenimiento

β−1
x−γ β
x−γ
 β
·
· e−( η )
f (x; η, β, γ) =
η
 η
0
x≥0
(2.24)
para x < 0
0.8
2.5
Donde β > 0 es el parámetro de forma y η > 0 es el parámetro de escala o característica de
vida y el γ > 0 parámetro de localización de la distribución.
1.5
β = 1.5
β = 2.5
β=5
0.6
β = 0.5
β=1
0.4
Distribución de probabilidad
β=1
β = 1.5
β = 2.5
0.5
0.2
1.0
Densidad de probabilidad
2.0
β = 0.5
0.0
0.0
β=5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
0
1
2
x
3
4
5
x
Figura 2.11: Distribución de Weibull para distintos valores de β.
La distribución modela la distribución de fallos (en sistemas) cuando la tasa de fallos es
proporcional a una potencia del tiempo:
Un valor β < 1 indica que la tasa de fallos decrece con el tiempo.
Cuando β = 1, la tasa de fallos es constante en el tiempo.
Un valor β > 1 indica que la tasa de fallos crece con el tiempo.
Su función de distribución de probabilidad es:
F (x; η, β, γ) = 1 − e−(
x−γ
η
β
)
(2.25)
Para valores de x ≥ 0, siendo nula en x < 0.
En la Figura 2.11 se ve como varía la función de distribución para distintos valores de β.
Fundación UNED
15
2. Fundamentos Teóricos.
2.3. Distribuciones estadísticas aplicadas al mantenimiento
Siendo su tasa de fallo:
λ(x; η, β, γ) =
β
η
x−γ
η
β−1
(2.26)
En la Figura 2.12 se puede como varía la tasa de fallo λ para distintos valores de η y β.
0.014
0.016
TASA DE FALLO
β<1
0.012
β=1
β>1
0.008
α = 170
α = 90
0.002
0.004
0.006
λ
0.010
α = 1000
0
20
40
60
80
100
x
Figura 2.12: Representación de la tasa de fallo para distintos valores de β.
El parámetro de forma β nos indica el tipo de fallo que es, así como el tipo de distribución
probabilística que podemos seguir.
Su función de Fiabilidad R(t):
R(x) = e−(
x−γ
η
β
)
(2.27)
Su Esperanza matemática o media:
1
E(x) = M edia = γ + η · Γ 1 +
β
(2.28)
Donde Γ(· · · ) es la función Gamma 4 .
2.3.6.1.
Característica de vida, η
La Vida Característica η es el valor del dato que corresponde al 63,2 % del valor del Rango
Medio de la línea recta o dicho de otro modo, la edad a la cual el 63,2 % de las unidades podrían
fallar. Este 63,2 % es,
4 La explicación en detalle de esta función queda fuera del objetivo de este proyecto para más información puede consultar
el siguiente enlace: Función Gamma.
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16
2. Fundamentos Teóricos.
2.3. Distribuciones estadísticas aplicadas al mantenimiento
β
β
F (x = η, β) = 1 − e−(x/η) = 1 − e−(1) = 1 −
1
= 0,632 = 63,2 %
e1
En el Gráfico de Weibull, puede hacer estimaciones de probabilidades utilizando la línea
recta, o simplemente leyendo la probabilidad en el eje de ordenadas, para un dato. En este estudio
leeremos los siguientes puntos en el eje de ordenada:
beta1: El 1 % de la muestra fallará antes del tiempo marcado en el eje de abscisas o el 99 %
de la muestra fallará después de dicho tiempo. Para hallarlo trazamos una paralela al eje de
abscisas hasta que corte la recta de regresión y donde corte trazamos una paralela al eje de
ordenadas que marcará el tiempo de fallo. Estas líneas en los gráficos se trazarán en trazos
discontinuos y de color negro.
beta5: El 5 % de la muestra fallará antes del tiempo marcado en el eje de abscisas o el 95 % de
la muestra fallará después de dicho tiempo. Estas líneas en los gráficos se trazarán en trazos
discontinuos y de color negro.
beta10: El 10 % de la muestra fallará antes del tiempo marcado en el eje de abscisas o el 90 % de
la muestra fallará después de dicho tiempo. Estas líneas en los gráficos se trazarán en trazos
discontinuos y de color negro.
2.3.6.2.
Características de la distribución Weibull
La distribución de Weibull nos ayuda a conocer:
El tipo de mecanismos de fallo que ha sido el causante del mismo.
Cantidad de fallos que se pueden esperar en un futuro.
Fiabilidad de un equipo existente.
Tipo de fallos que se pueden dar:
0 < β < 1 Mortalidad infantil.
β = 1 Tasa de fallo constante.
• Fallos aleatorio independiente del tiempo.
• Errores humanos.
• Errores de Mantenimiento.
• Sistemas de varios componentes.
• Combinación de dos o tres modos de fallos diferentes.
1 < β < 4 Tasa de creciente.
• Implica desgastes tempranos.
• Fatiga de baja frecuencia, con β = 2,5 hasta β = 4.
• Fallos en rodamientos de bolas β = 2.
• Fallos en rodamientos de rodillos β = 1,5.
• Corrosión o erosión con β = 3 hasta β = 4.
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17
2. Fundamentos Teóricos.
2.4. Cálculo de los parámetros Weibull
• Corrosión o esfuerzos con β = 5 o mayor.
• Fallos en correas β = 2,5.
4 < β Tasa de creciente.
• Envejecimiento operacional.
• Corrosión por esfuerzos.
• Pérdida de propiedades de los materiales.
• Materiales frágiles como la cerámica.
• Algunos tipos de erosión.
Distribución que pueden ser aproximadas a través de la distribución de Weibull:
β = 1 Distribución Exponencial.
β = 2 Distribución de Rayleigh.
3 6 β 6 4 Distribución Normal.
2.4.
2.4.1.
Cálculo de los parámetros de Weibull por el método de los
mínimos cuadrados
Rango de la mediana
Para poder trazar la recta de regresión, se debe calcular un estimador para la función de
distribución acumulativa F (x). Este estimador, llamado Rango de la mediana, es un estimador no
paramétrico basado en el orden de las fallos. Este aspecto implica que la muestra de datos se debe
organizar de menor a mayor (en forma ascendente).
La expresión matemática para este estimador es:
Wα (xi ) =
i
n−i+1
F1−α,2(n−i+1),2i +
i
n−i+1
(2.29)
Donde:
Wα (xi ) Rango de mediana para un nivel de confianza (1−α), donde α es el nivel de significancia
y toma el valor de 0,5 para este estimador.
i Orden del fallo
n Número total de la muestra
F1−α,2(n−i+1),2i Valor crítico de la distribución F de Snedecor 5 , evaluada en el nivel de significancia α y con grados de libertad v1 = 2(n − i + 1) y v2 = 2i.
5 La explicación en detalle de esta función queda fuera del objetivo de este proyecto para más información puede consultar
el siguiente enlace: Distribución F de Snedecor.
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18
2. Fundamentos Teóricos.
2.4. Cálculo de los parámetros Weibull
Dada la complicación de la ecuación 2.29 en la literatura técnica está muy extendido utilizar
para aproximar el rango de la mediana la siguiente expresión:
RM (xi ) =
i − 0,3
n + 0,4
(2.30)
Aunque la ecuación 2.30 es menos exacta que la ecuación 2.29. En este estudio se utilizará
la ecuación 2.29.
2.4.2.
Cálculo de los parámetros β y η
El método de los mínimos cuadrados permite calcular los parámetros de forma y escala,
mediante la transformación doble logarítmica de la función de distribución acumulativa.
Partimos de la función de distribución de Weibull y operando con ella llegamos:
F (x)
β
e−(x/η)
1
e(x/η)β
1
1 − F (x)
1
ln
1 − F (x)
1
ln
1 − F (x)
1
ln ln
1 − F (x)
1
ln ln
1 − F (x)
1
ln ln
1 − F (x)
1
ln ln
1 − F (x)
=
1 − e−(x/η)
=
1 − F (x)
=
1 − F (x)
β
β
= e(x/η)
=
β
ln e(x/η)
=
(x/η)β
=
ln(x/η)β
= β ln(x/η)
= β(ln(x) − ln(η))
= β ln(x) − β ln(η)
La expresión anterior representa una ecuación lineal de la forma:
y = ax + b
La cual es una recta de regresión con los siguientes parámetros:
y = ln ln
Fundación UNED
1
1 − F (x)
; a = β ; x = ln(x) ; b = −β ln(η)
(2.31)
19
2. Fundamentos Teóricos.
2.4. Cálculo de los parámetros Weibull
De la expresión anterior se concluye que el parámetro de forma, β, es la pendiente de la
recta de regresión. F (x) toma los valores del Rango de Mediana (ecuación 2.29).
También se observa que el parámetro de escala η, está en función del intercepto b de la recta
de regresión y del parámetro de forma β, por lo tanto:
b = −β ln(η)
b
−
= ln(η)
β
e(−b/β)
=
eln(η)
Quedando η como:
η = e−b/β
2.4.3.
(2.32)
Cálculo del parámetro γ
El parámetro γ indica en el tiempo, el momento a partir del cual se genera la distribución.
Este parámetro se halla por métodos de estimación. El proceso que se ha seguido es el siguiente:
1. Se va dando valores a γ y para cada uno de ellos se repetirá el proceso. Donde x es el vector
de los datos de la muestra, que para nuestro caso por ejemplo serán T BF y T T R.
x0i = xi − γi
2. Se calcula los valores del eje de abscisas y ordenadas como:
Abscisas: ln(x0i )
Ordenadas: ln(ln( 1−F1 (x) )) donde F (x) son los valores del Rango de Mediana.
n
o
Conjunto de puntos: Conjunto = ln(x0i ); ln(ln( 1−F1 (x) ))
3. Cálculo de la línea de regresión del conjunto de puntos anteriores mediante mínimos cuadrados.
4. Cálculo del error o residuo para cada punto del conjunto anterior.
ei = yi − yDe
la linea regresion
5. Cálculo del Error Cuadrático Medio para cada valor de γ.
rP
e2i
Ecm =
n
6. Se representa gráficamente el Ecm frente al valor de γ con el que ha sido calculado.
7. La solución será el valor de γ que hace mínimo el Error Cuadrático Medio.
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20
2. Fundamentos Teóricos.
2.5. Verificación del modelo
En este estudio se ha calculado mediante el código de R que puedes encontrar en el apéndice B.2, en el que vienen todas las operaciones detalladas.
Una vez obtenido el valor de γ habría que reajustar los parámetros de β y η de la sección 2.4.2, teniendo en cuenta ahora que en la ecuación 2.31 el valor introducido no será x sino el
x0 definitivo, una vez calculado el γmin .
2.4.4.
Consideraciones sobre el parámetro γ
Si al graficar los puntos de la muestra partiendo de una distribución de Weibull biparamétrica
(γ = 0), aparece una cola de puntos hacia arriba o hacia abajo, separándose de la recta de
regresión entonces es un indicativo de que el parámetro de localización debe ser calculado.
Una cola hacia abajo es indicativo de que un parámetro de localización positivo está presente.
Una cola hacia arriba es indicativo de que un parámetro de localización negativo está presente.
Un parámetro de localización negativo se presenta cuando hay unidades con fallas en servicio,
o unidades en servicio con defectos que causarán fallos. Ejemplos:
• Defectos originados durante el ensamble.
• Defectos originados durante el transporte.
• Defectos originados durante la instalación o montaje.
• Defectos originados durante el almacenamiento.
Valores grandes del parámetro de forma (β > 10) son otro indicativo de que el parámetro de
localización debe ser calculado.
2.5.
Verificación del modelo
Para verificar la ley que describe la fiabilidad de los equipos, tomamos un conjunto de
observaciones y proponemos una hipótesis de que ellas siguen una determinada distribución de
probabilidad (Normal, Exponencial, Weibull,...). Luego obtenemos los parámetros asociados a tal
distribución de probabilidad.
La calidad del proceso anterior debe ser verificada. Para ello primero aceptamos que al
imponer una distribución dada se incurre en algún error, pero queremos de que el riesgo de que
ello ocurra sea lo menor posible. Para contrastar los modelos elegidos utilizaremos:
El Test
χ2 , cuando el tamaño de la muestra n sea n > 50.
El Test de Kolmogorov-Smirnov (KS), cuando el tamaño de la muestra n sea n ≤ 50.
Los dos contrastes de hipótesis pueden aplicarse a cualquier tipo de variables aunque están
especialmente indicados para variables de tipo discreto o cualitativo en el caso del primero de ellos
(test de χ2 bondad de ajuste) y para variables de tipo continuo en el segundo (test de KolmogorovSmirnov).
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21
2. Fundamentos Teóricos.
2.5.1.
2.5. Verificación del modelo
Test χ2
supongamos que tenemos una muestra de tamaño N de una variable aleatoria discreta o
cualitativa, X, ajustada a un modelo dado por una distribución.
Consideremos una partición del conjunto de valores que puede tomar la variable: S1 , ..., Sn .
En principio, esta partición podrían ser simplemente todos y cada uno de los valores que toma la
variable X, pero, como veremos, es posible que tengamos que agrupar algunos de ellos.
Seguidamente, consideremos la probabilidad, según la distribución dada por el ajuste que
queremos evaluar, de cada una de estas partes.
pi = P [X ∈ Si /H0 ] > 0
(2.33)
De igual forma, calculemos Oi , el número de observaciones de la muestra que caen en cada
conjunto Si .
La idea del test es comparar el número de observaciones Oi que caen realmente en cada
conjunto Si con el número esperado de observaciones que deberían caer en Si si el ajuste es el dado
por nuestro modelo, que sería N × pi . Para ello, una medida que compara estas dos cantidades:
D=
r
X
(Oi − N ∗ pi )2
N ∗ pi
i=1
(2.34)
Si, para una muestra dada, esta variable aleatoria toma un valor d muy alto, indica que
los valores observados no cuadran con el ajuste que hemos propuesto (con lo cuál se rechazaría
la hipótesis nula en favor de la alternativa); si, por el contrario, toma un valor d bajo, indica que
nuestro ajuste corresponde bien con los datos de la muestra, por lo que es aceptable la hipótesis
nula.
El problema final es decidir cuándo el valor de la variable aleatoria D y d, es lo suficientemente alto como para que nos resulte inaceptable el ajuste. Para decidirlo hay que tener en cuenta
que cuando N es razonablemente alto y la hipótesis H0 es cierta, la distribución de probabilidad de
D es χ2 con r − k − 1 grados de libertad, es decir,
N >>
D/H0 −→ χ2r−k−1
(2.35)
donde k es el número de parámetros que han sido estimados en el ajuste y su valor es según
la distribución tomada:
k = 1 para la distribución Exponencial
k = 2 para la distribución Normal
k = 3 para la distribución de Weibull
Teniendo en cuenta este resultado, se calcula bajo esta distribución la probabilidad de que
se de un valor todavía más alto que d (el p-valor, por tanto).
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22
2. Fundamentos Teóricos.
2.5. Verificación del modelo
p = P [D > d/H0 ]
(2.36)
Si esta probabilidad es inferior al 5 %, se rechaza la hipótesis nula en favor de la alternativa
con un 95 % de confianza. Dicho de otra forma, se acepta la hipótesis nula sólo si el valor de D entra
dentro del 95 % de resultados más favorables a ella.
Resumen esquemático del proceso:
1. Se enuncia el test definiendo H0 y H1 .
2. Si en la muestra se dan los valores x1 , ..., xm , se calculan las frecuencias esperadas según el
ajuste propuesto de cada valor xi , N × P [X = xi ], i = 1, ..., m. Si alguna de estas frecuencias es
inferior a 5, se agrupa con alguna de la más cercana hasta que sumen una frecuencia mayor
o igual a 5. Se construye así la partición del conjunto de valores posibles para X, S1 , ...Sr ,
cuyas frecuencias esperadas son todas mayores o iguales a 5. En realidad, esto es sólo una
recomendación que puede relajarse: si alguna frecuencia esperada es sólo ligeramente inferior
a 5, no es especialmente grave.
3. Se calculan las frecuencias observadas de cada Si , y lo notamos como Oi .
4. Se calcula el estadístico del test d.
5. Se calcula el p-valor asociado al valor del estadístico.
6. Se toma la decisión (para un nivel de confianza del 95 %):
Si p < 0,05, se rechaza la hipótesis nula en favor de la alternativa, con un 95 % de confianza.
Si p ≥ 0,05, se concluye que no hay evidencias en contra de alarmar que los datos se
ajustan a la distribución dada.
2.5.2.
Test de Kolmogorov-Smirnov (KS)
En este caso el test es aplicable sobre todo a variables de tipo continuo. Se basa en la
comparación de la función de distribución teórica propuesta por el modelo cuyo ajuste estamos
evaluando con la función de distribución empírica de los datos.
Concretamente, si tenemos X1 , ..., XN una muestra de una variable aleatoria X, si notamos
por F (x) a la función de distribución del modelo propuesto y por SN (x) a la función de distribución
empírica asociada a la muestra, el estadístico que se utiliza para este contraste viene dado por:
DN = Sup|F (x) − SN (x)|
(2.37)
x
A la hora de calcular este máximo debemos tener en cuenta que la variable x es de tipo
continuo.
La hipótesis nula a contrastar es:
H0 : los datos de la muestra se ajustan a la distribución dada por F (x).
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23
2. Fundamentos Teóricos.
2.5. Verificación del modelo
frente a la hipótesis alternativa:
H1 : los datos de la muestra no se ajustan a la distribución dada por F (x).
Se rechazará la hipótesis nula en favor de la alternativa cuando el p-valor asociado al valor
que tome DN sea inferior a 0,05.
Resumen esquemático del proceso:
1. Ordenamos los valores de la muestra de menor a mayor: x(1) , ..., x(N ) .
2. Construimos la función de distribución empírica, que en cada valor de la muestra viene dado
i
por SN (x(i) ) = .
N
3. El valor del estadístico se calcula como:
dN = máx {máx{|F (x(i) ) − S(N(i) )|, |F (x(i) ) − S(N(i−1) )|}}
1≤i≤N
(2.38)
4. Se rechazará la hipótesis nula en favor de la alternativa si p = P [DN > dN ] < 0,05, con un
(1 − p) ∗ 100 % de confianza.
En el Apéndice A se puede ver un diagrama de flujo completo, de la forma de trabajar con
la distribución de Weibull aplicada al mantenimiento.
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24
3
Aplicación del método de Weibull.
3.1.
Ejemplo biparamétrico
El comportamiento de una máquina en el tiempo se muestra en la siguiente Tabla 3.1 donde
aparecen los distintos TBF y TTR. Se desea conocer cuál fue la disponibilidad de la máquina.
i
1
2
3
4
5
6
TBF(Horas)
110
330
120
220
225
218
TTR(Horas)
2
26
34
3
9
Tabla 3.1: Datos ejercicio 1.
Partiendo de los datos de TBF compilamos el programa en R para hallar los parámetros de
Weibull así como su gráfico (Figura 3.1), los resultados son los siguientes:
n
6
beta
2,382
alpha
234,435
R2
0,888
r
0,942
p.valor
0,81957
beta1
33,987
beta5
67,373
beta10
91,144
Tabla 3.2: Resultados ejercicio 1, TBF.
Se puede ver que el coeficiente de determinación R2 y el coeficiente de correlación r no están
en el rango que aconseja el método A por poca diferencia pero como el p − valor > 0,05 aceptamos
con un nivel de confianza del 95 % que la muestra de datos proviene de una distribución de Weibull
y damos por bueno los parámetros obtenidos.
Y para los TTR:
n
5
beta
0,795
alpha
15,976
R2
0,929
r
0,964
p.valor
0,991232
beta1
0,049
beta5
0,381
beta10
0,942
Tabla 3.3: Resultados ejercicio 1, TTR.
Ahora calculamos el MTBF :
1
M T BF = η ∗ Γ 1 +
β
25
(3.1)
90
3.1. Ejemplo biparamétrico
90
3. Aplicación del método de Weibull.
●
75
75
●
●
40 55
●
3
2
1
1
2
3
5
●
●
25
Infiabilidad (%)
7 10 15
●
●
7 10 15
40 55
25
●
5
Infiabilidad (%)
●
●
50
100
150
200
300
0.01
0.05
TBF
0.50
5.00
50.00
TTR
Figura 3.1: Gráfico Weibull, ejercicio 1.
Obteniéndose un M T BF = 207,794 Horas.
Ahora calculamos el MTTR:
1
MTTR = η ∗ Γ 1 +
β
(3.2)
Obteniéndose un M T T R = 18,182 Horas.
Con los datos anteriores podemos calcular la disponibilidad de la máquina como:
D(t) =
M T BF
= 0,919 ' 92 %
M T BF + M T T R
2,382
Representando la función de distribución F (x; 234,345; 2,382) = 1 − e−(x/234,345)
y la función
2,382
de fiabilidad R(x; 234,345; 2,382) = e−(x/234,345)
como se muestra en la Figura 3.2 podemos calcular
la probabilidad de que la máquina dure más de T horas sin fallos.
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26
3. Aplicación del método de Weibull.
3.2. Ejemplo biparamétrico
R(t) = P [T > t] = 1 − PF uncion
de Distribucion (T )
Por ejemplo:
R(445,105) = P [T > 445,105] = 1 % Probabilidad de que la máquina dure más del 445,105 Horas
es del 1 %.
R(371,591) = P [T > 371,591] = 5 % Probabilidad de que la máquina dure más del 371,591 Horas
es del 5 %.
R(332,725) = P [T > 332,725] = 10 % Probabilidad de que la máquina dure más del 332,725 Horas
es del 10 %.
1.0
R(200) = P [T > 200] = 49,58 % Probabilidad de que la máquina dure más del 200 Horas es del
49,58 %.
0.8
Distribución
0.0
0.2
0.4
0.6
Fiabilidad
0
100
200
300
400
500
Tiempo
Figura 3.2: Función de Distribución y Fiabilidad, ejercicio 1.
3.2.
Ejemplo biparamétrico
Un grupo de rodamientos han durado: 801, 312, 402, 205, 671, 1150, 940, 495, 570. Se desea conocer la fiabilidad a las 600 Horas y el M T BF .
Cargamos los datos en el programa R y obtenemos los siguientes resultados:
n
9
beta
2,014
alpha
705,276
R2
0,998
r
0,999
p.value
0,999999
beta1
71,844
beta5
161,389
beta10
230,725
Tabla 3.4: Resultados ejercicio 2.
Aceptamos los datos de la muestra que sigue una distribución de Weibull con un nivel de
confianza del 95 %.
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27
3. Aplicación del método de Weibull.
3.3. Ejemplo triparamétrico
Gráfico de Weibull
90
●
40 55
●
●
●
25
●
7 10 15
●
●
1
2
3
5
Infiabilidad (%)
75
●
●
50
100
200
500
1000
2000
TBF
Figura 3.3: Gráfico de Weibull ejercicio 2.
2,014
R(600) = P [T > 600] = 1 − e−( 705,276 )
600
= 0,5143 = 51,43 %
1
= 624,9588 Horas
M T BF = η ∗ Γ 1 +
β
3.3.
Ejemplo triparamétrico
En la Tabla 3.5, se muestran los tiempos de operación libre de fallos de una máquina. Se
desea conocer:
a) Los parámetros de Weibull.
Aplicamos a los datos el código de programación de la sección B.3 y obtenemos los resultados en
la siguiente Tabla 3.6, así como el gráfico 3.4.
b) M T BF .
1
M T BF = γ + η ∗ Γ 1 +
β
= 7594,479 Horas
c) La fiabilidad cuando t = M T BF .
R(7594,479) = e−(
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7594,479−1462
6776,46
1,471
)
= 0,264158 ' 26,42 %
28
3. Aplicación del método de Weibull.
3.4. Ejemplo triparamétrico
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Tiempo (Horas)
2175
2800
3300
3800
4250
4650
5250
5840
6300
6700
7150
7800
8500
9200
10500
11000
12600
1400
15800
Tabla 3.5: Datos ejercicio 3.
n
19
beta
1,471
eta
6776,46
gamma.min
1462
R2
0,999
r
0,999
p.value
0,446702
beta1
297,075
beta5
899,683
beta10
1467,607
Tabla 3.6: Resultados del ejercicio 3.
d) Establecer los plazos de mantenimiento preventivo para garantizar una fiabilidad del 95 %.
t−1462
1,471
R(t) = e−( 6776,46 )
= 0,95 = 95 %
En el gráfico 3.4 se puede ver con línea negra discontinua la beta5 y la beta10 que coincide con el
valor del gráfico cuando se tiene en cuenta γ,
t − γ = η · (− ln(0,95))1/β = 899,683 Horas
despejando t de la ecuación obtenemos,
t = η · (− ln(0,95))1/β + γ = 2361,683 Horas
por lo que establecemos el intervalo de mantenimiento preventivo cada 2361 Horas, para asegurarnos con una probabilidad 95 % de que la máquina trabaje sin fallos.
3.4.
Ejemplo triparamétrico
Los tiempos de fallos de una máquina empaquetadora son los que aparecen en la siguiente
tabla 3.7:
Aplicamos a los datos el código de programación de la sección B.3 y obtenemos los resultados en la Tabla 3.8, así como el gráfico 3.5.
Observando la Tabla 3.8 se puede ver como el P − valor < 0,05 por lo tanto rechazamos la
hipótesis de que este registro de datos provenga de una distribución de Weibull con parámetros
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29
3. Aplicación del método de Weibull.
3.4. Ejemplo triparamétrico
Gráfico de Weibull
95
●
0.6
85
●
●
●
70
●
●
55
●
40
●
●
●
30
Infiabilidad (%)
0.4
●
●
●
●
15 20
0.5
γ(min) = 1462
●
●
9
0.3
Error Cuadrático Medio
●
4 5
0.2
7
●
●
3
●
0
500
1000
1500
1000
2000
Gamma
3500 6000
11000
TBF
Figura 3.4: Gráfico de Weibull ejercicio 3.
Gráfico de Weibull
1.7
95
●
85
●
●
70
1.6
●
●
55
●
●
40
●
●
30
●
●
●
15 20
Infiabilidad (%)
●
1.4
1.5
γ(min) = 207
1.3
Error Cuadrático Medio
●
●
1.1
●
0
50
100
Gamma
150
200
4 5
7
1.2
9
●
●
50
100
200
400
TBF
Figura 3.5: Gráfico de Weibull ejercicio 4.
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30
3. Aplicación del método de Weibull.
3.4. Ejemplo triparamétrico
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Tiempo (Horas)
225
255
259
317
320
323
326
327
330
332
457
485
501
594
599
625
640
Tabla 3.7: Datos ejercicio 4.
n
17
beta
1,282
eta
226,331
gamma.min
207
R2
0,942
r
0,971
p.value
4,78E-07
beta1
6,257
beta5
22,313
beta10
39,12
Tabla 3.8: Resultados ejercicio 4.
(β = 1,282, η = 226,331, γ = 207). En este caso habría que comprobar si dichos datos siguen otra
distribución, pero para nuestro ejemplo los tomaremos como válidos. Suponemos que si siguen una
distribución de Weibull con los parámetros antes nombrados.
El valor de β > 1 indica que el equipo se encuentra en una etapa de madurez o vejez, con
una tasa de fallo creciente.
Calculamos el M T BF ,
1
M T BF = γ + η ∗ Γ 1 +
β
= 416,6357 Horas
La curva de fiabilidad con los parámetros obtenidos es,
t−207
1,282
R(t) = e−( 226,331 )
Así como la curva de la tasa de fallo es,
λ(t) =
1, 282
226, 331
t − 207
226, 331
1,282−1
como se puede ver en gráfico 3.6 los gráficos de ambas curvas.
Sustituyendo el valor M T BF en las ecuaciones anteriores obtenemos el valor de fiabilidad y
su tasa de fallo para el mismo, siendo estos:
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3.4. Ejemplo triparamétrico
0.004
0.003
Tasa de fallo
0.002
0.6
0.000
0.2
0.001
0.4
R(t)
0.8
0.005
0.006
1.0
3. Aplicación del método de Weibull.
200
300
400
500
600
200
300
Tiempo
400
500
600
Tiempo
Figura 3.6: Gráfico de fiabilidad y tasa de fallo, ejercicio 4.
R(416,6357) = e−(
λ(416,6357) =
416,6357−207
226,331
1, 282
226, 331
)
1,282
= 0,4039619 = 40,40 %
416,6357 − 207
226, 331
1,282−1
= 0,00554
por último estableceremos los plazos de mantenimiento preventivo para garantizar una fiabilidad del 95 %.
t−207
1,282
R(t) = e−( 226,331 )
= 0,95 = 95 %
En el gráfico 3.5 se puede ver con línea negra discontinua la beta5 y la beta10 que coincide
con el valor del gráfico cuando se tiene en cuenta γ,
t − γ = η · (− ln(0,95))1/β = 22,31265 Horas
despejando t de la ecuación obtenemos,
t = η · (− ln(0,95))1/β + γ = 229,3126 Horas
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32
3. Aplicación del método de Weibull.
3.5. Ejemplo biparamétrico
por lo que establecemos el intervalo de mantenimiento preventivo cada 229,3126 Horas, para
asegurarnos con una probabilidad 95 % de que la máquina trabaje sin fallos.
3.5.
Ejemplo biparamétrico
En la tabla 3.9 se puede ver los tiempos entre fallos de 10 trenes en kilómetros. Se desea
conocer las características de fiabilidad de dicho parque de trenes.
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
km/fallo
15570
17323
17034
16809
16246
17741
15990
21001
22587
36090
33877
39644
44003
44799
52300
54980
58921
57443
59657
64016
64812
72313
74993
78934
77456
84005
97565
101334
116432
187543
133676
160450
223940
Tabla 3.9: Datos ejercicio 5.
Aplicamos a los datos el código de programación de la sección B.1 y obtenemos los resultados en la Tabla 3.10, así como el gráfico 3.7.
n
33
beta
1,47
eta
72882,12
R2
0,9
r
0,949
p.value
0,787486
beta1
3188,307
beta5
9662,983
beta10
15767,98
Tabla 3.10: Resultados ejercicio 5.
Como se puede ver en los resultados arrojados por el programa se observa que los datos
del ajustes (r, R2 ) no son muy buenos pero el p − valor > 0,05 nos confirma que procede de una
Fundación UNED
33
3. Aplicación del método de Weibull.
3.5. Ejemplo biparamétrico
distribución de Weibull con parámetros (β = 1, 47, η = 72882, 12) al 95 % de confianza. Aunque hasta
ahora todo parece normal, hay que observar el gráfico 3.7 en el que se ha marcado las coordenadas
con puntos y líneas para remarcar como a la izquierda del mismo existe una cola de datos hacia
abajo lo que es indicativo de que existe el parámetro de localización γ y para que los cálculos
estuvieran ajustados habría que calcular este ejercicio de forma triparamétrica. Obviaremos esa
consideración anterior y seguiremos trabajando con este ejercicio como si fuese biparamétrico.
Gráfico de Weibull
●
●
90
●
●
●
●
40 55
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
25
●
●
●
●
7 10 15
●
●
●
●
5
Infiabilidad (%)
75
●
●
●
●
●
1
2
3
●
14000
18000 23000
30000
39000
50000
70000
90000
120000
160000
220000
TBF
Figura 3.7: Gráfico del ejercicio 5.
Ahora vamos a calcular el M T BF ,
1
M T BF = η ∗ Γ 1 +
= 65961,85 Km/f allo
β
la fiabilidad asociada al M T BF ,
65961,85
1,47
R(65961,85) = e−( 72882,12 )
= 0,4216457 = 42,16 %
Siendo su tasa de fallo,
λ(65961,85) =
Fundación UNED
β
η
65961,85
η
β−1
= 1,924563e − 05
34
3. Aplicación del método de Weibull.
3.5. Ejemplo biparamétrico
0.0
2.5e−05
2.0e−05
1.0e−05
0.2
1.5e−05
0.4
R(t)
Tasa de fallo
0.6
0.8
3.0e−05
3.5e−05
En la imagen 3.8 podemos ver tanto el gráfico de fiabilidad como la tasa de fallos, en ambos
viene marcado el valor obtenido para t = M T BF .
50000
150000
Tiempo
50000
150000
Tiempo
Figura 3.8: Fiabilidad y tasa de fallo del ejercicio 5.
Fundación UNED
35
4
Conclusiones
Como se ha demostrado el cálculo de la distribuciones estadísticas especialmente la de
Weibull aplicado a la fiabilidad y al mantenimiento son muy útiles y nos sirven para:
Nos ayuda a definir políticas de mantenimiento para el futuro.
Nos ayuda a definir programas de mantenimiento preventivo más eficientes mejorando las
periodicidades establecidas por los fabricantes.
Nos permite estimar el tiempo medio en el que se producirá el siguiente fallo.
Para un periodo de tiempo dado nos dice la fiabilidad de nuestro equipo o conjunto de equipos.
Nos permite conocer la disponibilidad en función del M T BF y M T T R calculados.
Conociendo el parámetro β sabemos en que zona de la vida del equipo o del conjunto de
equipos se encuentra, podemos tomar como referencia:
• β < 0,99 mortalidad infantil, entorno al 20 o al 25 %.
• 0,99 ≤ β ≤ 1,3 etapa normal, entorno al 50 o al 55 %.
• β > 1,3 etapa de desgaste, entorno al 10 o al 15 %.
Optimizar el uso de los recursos físicos y del equipo humano.
Optimización de los costes del departamento mantenimiento. Este es el punto más importante
pero en este estudio no se ha desarrollado ningún ejemplo porque no se ha explicado la teoría de costes de mantenimiento. Aplicando weibull junto con la teoría de costes nos permite
conocer:
• calcular los intervalos óptimos de mantenimiento preventivo asociado al mínimo coste
económico.
• Calcular el intervalo óptimo de sustitución económica de equipos.
36
Apéndices
37
A
Diagrama del proceso de trabajo de la
distribución de Weibull aplicada al
mantenimiento
38
A. Diagrama del proceso de trabajo
Fundación UNED
39
B
Software de estadística aplicada, R
R1 es un lenguaje y entorno de programación para análisis estadístico y gráfico. Se trata de
un proyecto de software libre, resultado de la implementación GNU del premiado lenguaje S. R y
S-Plus -versión comercial de S- son, probablemente, los dos lenguajes más utilizados en investigación por la comunidad estadística, siendo además muy populares en el campo de la investigación
biomédica, la bioinformática y las matemáticas financieras. A esto contribuye la posibilidad de cargar diferentes bibliotecas o paquetes con finalidades específicas de cálculo o gráfico. R se distribuye
bajo la licencia GNU GPL.
Figura B.1: Captura de pantalla del código R, corriendo sobre la plataforma RStudio.
LA figura B.1 es una captura de pantalla de la plataforma de trabajo de RStudio2 .
1 Para
2 Para
los interesados en este software pueden descargarlo del siguiente enlace: www.r-project.org
los interesados en esta plataforma pueden descargarla en el siguiente enlace: www.rstudio.org
40
B. Software de estadística aplicada, R
B.1.
B.1. Solución distribución biparamétrica
Cálculo de los parámetros y gráfico solución para una distribución de Weibull biparamétrica
A continuación mostraremos el código de programación utilizado para calcular los parámetros de Weibull, su comprobación mediante ajuste por mínimos cuadrados, la obtención del
coeficiente de determinación R2 y el coeficiente de correlación r, y por último se realizaremos un
test de la bondad del ajuste, que dependerá del tamaño de la muestra. Si la muestra n es n > 50
realizaremos el test de χ2 y si la muestra es 50 ≥ n realizaremos el test de Kolmogorov-Smirnov.
#################################################
########### CÁLCULO WEIBULL BIPARAMÉTRICA . ######
#################################################
# 1− Introduce l o s datos de l a muestra .
datos <− c(801,312,402,205,671,1150,940,495,570)
# 2− Ordena de menor a mayor l o s datos .
datosOrdenados <− sort ( datos )
# 3− c a l c u l a e l número de datos .
n <− length ( datos )
# 4− Calcula e l RANGO DE MEDIANA.
i <− 1:n
a <− i / ( n−i +1)
Fs <− qf ( 0 . 5 , 2 ∗ ( n−i +1) ,2∗ i ) # D i s t r i b u c i ó n F de Snedecor .
RM <− a/ ( Fs+a ) # Rango de Mediana .
# 5− Valores de ( x , y ) para e l g r á f i c o . " y " es una función .
Y <− function ( d ) {
y <− log ( log (1/(1−d ) ) ) ; y
}
X <− log ( datosOrdenados )
# 6− Crea tabla de datos .
Tabla <− data . frame ( i , datosOrdenados ,RM, X, Y (RM) )
# 7− Calcula l i n e a de regresión y todos l o s parámetros .
e <− lm ( Y (RM) ~ X)
beta <− round ( coef ( e ) [ 2 ] , 3 )
i n t e r c e p to <− round ( coef ( e ) [ 1 ] , 3 )
eta <− round(1/exp ( i n t e r c e p t o /beta ) , 3 )
R2 <− round (summary( e ) $r . squared , 3 )
r <− round ( cor ( X, Y (RM) ) , 3 )
beta1 <− round ( exp ( ( Y(1/100)−i n t e r c e p t o ) /beta ) , 3 )
beta5 <− round ( exp ( ( Y(5/100)−i n t e r c e p t o ) /beta ) , 3 )
beta10 <− round ( exp ( ( Y(10/100)−i n t e r c e p t o ) /beta ) , 3 )
# 7− Dibuja e l g r á f i c o . Una vez i n t r o d u c i d o nuevos datos hay que modificar las
#### coordenadas de x , a traves de la orden xlim ( ) dentro de l o s parámetros de p l o t .
plot ( x=datosOrdenados , y=Y (RM) , log= " x " , axes=F , lwd=2 , cex =1 , type= " p " , cex . lab =1.1 ,
main= " Gráfico de Weibull " ,
xlim=c(50 ,2000) ,
ylim=Y ( c ( 0 . 0 1 , 0 . 9 9 ) ) ,
xlab= "TBF" ,
ylab= " I n f i a b i l i d a d ( %) " , col= " red " , pch=20)
curve ( add=TRUE, lwd=2 , beta∗log ( x )−beta∗log ( eta ) , col= " red " )
ygrid <− c ( 1 : 1 0 , seq (10 ,100 ,5) )
axis ( 2 ,Y ( ygrid/100) , ygrid , lwd=2)
xgrid <− c ( seq(100 ,500 ,100) , seq(500 ,1500 ,500) ) # Una vez modificado l o s datos hay que ajustar
###### las l í n e a s de d i v i s i ó n v e r t i c a l del g r á f i c o .
axis ( 1 , lwd=2)
abline ( v=xgrid , h=Y ( ygrid/100) , col= " grey " )
abline ( l t y =2 ,h=Y(1−exp( −1) ) , col= " blue " , lwd=2)
abline ( l t y =2 , h=Y ( 0 . 1 ) , col= " black " , lwd=2)
Fundación UNED
41
B. Software de estadística aplicada, R
abline ( l t y =2 ,
abline ( l t y =2 ,
abline ( l t y =2 ,
abline ( l t y =2 ,
abline ( l t y =2 ,
abline ( l t y =2 ,
B.2. Cálculo del parámetro γ
h=Y( 0 . 0 5 ) , col= " black " , lwd=2)
h=Y( 0 . 0 1 ) , col= " black " , lwd=2)
v=exp ( ( Y(1/100)−i n t e r c e p t o ) /beta ) , col= " black " , lwd=2)
v=exp ( ( Y(5/100)−i n t e r c e p t o ) /beta ) , col= " black " , lwd=2)
v=exp ( ( Y(10/100)−i n t e r c e p t o ) /beta ) , col= " black " , lwd=2)
v=exp ( ( Y(63.2/100)−i n t e r c e p t o ) /beta ) , col= " blue " , lwd=2)
# 8− Realiza t e s t de bondad de ajuste .
i f ( n<=50) {
# 8.1− Kolmogorov−Smirnov .
ks <− ks . t e s t ( datos , " pweibull " , beta , eta )
pvalorks <− ks [ 2 ]
i f ( pvalorks > 0.05) {
resultados <− data . frame ( n , beta , eta , R2, r , pvalorks , beta1 , beta5 , beta10 , row .names= " Resultados " )
print ( resultados )
print ( " Se ACEPTA l a HIPOTESIS NULA p−v a l o r > 0.05. Los datos SI siguen una d i s t r i b u c i ó n de
Weibull con parámetros eta y beta . " )
} else {
resultados <− data . frame ( n , beta , eta , R2, r , pvalorks , beta1 , beta5 , beta10 , row .names= " Resultados " )
print ( resultados )
print ( " Se RECHAZA l a HIPOTESIS NULA p−v a l o r < 0.05. Los datos NO siguen una d i s t r i b u c i ó n de
Weibull con parámetros eta y beta . " )
}
} else {
# 8.2− Realiza t e s t de bondad de ajuste de Chi−cuadrado .
chi <− chisq . t e s t ( datos )
pvalorchi <− chi [ 3 ]
i f ( pvalorchi > 0.05) {
resultados <− data . frame ( n , beta , eta , R2, r , pvalorchi , beta1 , beta5 , beta10 , row .names= " Resultados " )
print ( resultados )
print ( " Se ACEPTA l a HIPOTESIS NULA p−v a l o r > 0.05. Los datos SI siguen una d i s t r i b u c i ó n de
Weibull con parámetros eta y beta . " )
} else {
resultados <− data . frame ( n , beta , eta , R2, r , pvalorchi , beta1 , beta5 , beta10 , row .names= " Resultados " )
print ( resultados )
print ( " Se RECHAZA l a HIPOTESIS NULA p−v a l o r < 0.05. Los datos NO siguen una d i s t r i b u c i ó n de
Weibull con parámetros eta y beta . " )
}
}
El código anterior cuando es compilado, muestra por pantalla los siguientes resultados y
genera el siguiente gráfico: Figura B.2
n beta
eta
R2
r
p . value beta1
beta5 beta10
Resultados 9 2.014 705.276 0.998 0.999 0.9999995 71.844 161.389 230.725
[ 1 ] " Se ACEPTA l a HIPOTESIS NULA p−v a l o r > 0.05. Los datos SI siguen una d i s t r i b u c i ó n de Weibull con
parámetros eta y beta . "
B.2.
Cálculo del parámetro γ
Código de programación que nos permite obtener el parámetro γ así como su gráfica (Figura B.3), en la que podemos ver como varía el Ecm .
################################################
####### CÁLCULO DEL PARÁMETROS GAMMA. ###########
#################################################
# 1− Introduce l o s datos de l a muestra .
datos <− c(2175,2800,3300,3800,4250,4650,5250,5840,6300,6700,7150,
7800,8500,9200,10500,11000,12600,14000,15800)
# 2− Ordena de menor a mayor l o s datos .
datosOrdenados <− sort ( datos )
# 3− c a l c u l a e l número de datos .
n <− length ( datos )
Fundación UNED
42
B. Software de estadística aplicada, R
B.2. Cálculo del parámetro γ
Gráfico de Weibull
90
●
40 55
●
●
●
25
●
7 10 15
●
●
1
2
3
5
Infiabilidad (%)
75
●
●
50
100
200
500
1000
2000
TBF
Figura B.2: Gráfico de Weibull obtenido a través de la compilación del programa.
# 4− Calcula e l RANGO DE MEDIANA.
i <− 1:n
a <− i / ( n−i +1)
Fs <− qf ( 0 . 5 , 2 ∗ ( n−i +1) ,2∗ i ) # D i s t r i b u c i ó n F de Snedecor .
RM <− a/ ( Fs+a ) # Rango de Mediana .
# 5− Valores de ( x , y ) para e l g r á f i c o . " y " es una función .
Y <− function ( d ) {
y <− log ( log (1/(1−d ) ) ) ; y
}
# 6− Cálculo del v e c t o r Error Cuadrático Medio .
gamma <−0
ecm<−0
max <− 2000
for ( i in 1:max) { # El í n d i c e " i " es gamma y es e l v a l o r que va estimando .
resta<− datosOrdenados−i
X <− log ( resta )
regr <− lm ( Y (RM) ~X)
ecm [ i ] <− sqrt (sum( regr$residuals ^2)/length ( residuals ) ) # Error Cuadrático Medio .
gamma[ i ] <− i # Gamma.
}
# 7− Busca e l mínimo v a l o r del Error cuadrático Medio y e l v a l o r de Gamma
#
solución , siendo este e l que l o hace mínimo .
i<−1
while ( ecm [ i +1]<ecm [ i ] ) {
i<− i +1
gamma.min <− i
}
# 8− Dibuja e l g r á f i c o y e l punto s o l u c i ó n .
Fundación UNED
43
B. Software de estadística aplicada, R
B.3. Solución distribución triparamétrica
0.6
0.4
0.5
γ(min) = 1462
0.2
0.3
Error Cuadrático Medio
0.7
0.8
plot (gamma, ecm, type= " l " , col= " black " , lwd=2 , xlab= "Gamma" ,
ylab= " Error Cuadrático Medio " , cex . lab =1.2)
points (gamma.min , min( ecm ) , pch=20, col= " blue " )
text (1500 , 0.5 , as . expression ( substitute (gamma(min) ==c , l i s t ( c= i ) ) ) , pos=2 ,
col= " blue " )
●
0
500
1000
1500
2000
Gamma
Figura B.3: Gráfico del Ecm frente a γ.
B.3.
Cálculo de los parámetros y gráfico solución para una distribución de Weibull triparamétrica
A continuación se muestra el código utilizado así como los resultado obtenidos y su gráfico
(Figura B.4) para una distribución de Weibul triparamétrica.
################################################
########### CÁLCULO WEIBULL TRIPARAMÉTRICA . ######
#################################################
# 1− Introduce l o s datos de l a muestra .
datos <− c(2175,2800,3300,3800,4250,4650,5250,5840,6300,6700,7150,
7800,8500,9200,10500,11000,12600,14000,15800)
# 2− Ordena de menor a mayor l o s datos .
datosOrdenados <− sort ( datos )
# 3− c a l c u l a e l número de datos .
n <− length ( datos )
# 4− Calcula e l RANGO DE MEDIANA.
i i <− 1:n
a <− i i / ( n−i i +1)
Fs <− qf ( 0 . 5 , 2 ∗ ( n−i i +1) ,2∗ i i ) # D i s t r i b u c i ó n F de Snedecor .
RM <− a/ ( Fs+a ) # Rango de Mediana .
# 5− Valores de ( x , y ) para e l g r á f i c o . " x " e " y " son funciones .
Fundación UNED
44
B. Software de estadística aplicada, R
B.3. Solución distribución triparamétrica
Y <− function ( d ) {
y <− log ( log (1/(1−d ) ) ) ; y
}
X <− function ( g ) {
y <− log ( g ) ; y
}
# 2 − Calcula e l e r r o r cuadratico medio .
gamma <−0
ecm<−0
max <− max( datos ) /10
for ( i in 1:max) {
resta<− datosOrdenados−i
Xgamma <− log ( resta )
regr <− lm ( Y (RM) ~Xgamma)
ecm [ i ] <− sqrt (sum( regr$residuals ^2)/length ( residuals ) )
gamma[ i ] <− i
}
# 9 − Busca e l v a l o r de gamma que hace mínimo e l e r r o r cuadrático medio .
j<−1
while ( ecm [ j +1]<ecm [ j ] ) {
j<− j +1
gamma.min <− j
}
datosCorregidos <− datosOrdenados − gamma.min
# 6− Crea tabla de datos .
Tabla <− data . frame ( i , datosOrdenados , datosCorregidos , RM,X( datosCorregidos ) ,Y (RM) )
# 7− Calcula l i n e a de regresión y todos l o s parámetros .
e <− lm ( Y (RM) ~ X( datosCorregidos ) )
beta <− round ( coef ( e ) [ 2 ] , 3 )
i n t e r c e p to <− round ( coef ( e ) [ 1 ] , 3 )
eta <− round(1/exp ( i n t e r c e p t o /beta ) , 3 )
R2 <− round (summary( e ) $r . squared , 3 )
r <− round ( cor (X( datosCorregidos ) ,Y (RM) ) , 3 )
beta1 <− round ( exp ( ( Y(1/100)−i n t e r c e p t o ) /beta ) , 3 )
beta5 <− round ( exp ( ( Y(5/100)−i n t e r c e p t o ) /beta ) , 3 )
beta10 <− round ( exp ( ( Y(10/100)−i n t e r c e p t o ) /beta ) , 3 )
beta63 .2 <− round ( exp ( ( Y(63.2/100)−i n t e r c e p t o ) /beta ) , 3 )
par ( mfrow=c ( 1 , 2 ) )
plot (gamma, ecm, type= " l " , col= " black " , lwd=2 , xlab= "Gamma" ,
ylab= " Error Cuadrático Medio " , cex . lab =1.2)
points (gamma.min , min( ecm ) , pch=20, col= " blue " )
text (max, 0.5 , as . expression ( substitute (gamma(min) ==c , l i s t ( c= j ) ) ) ,
pos=2 , col= " blue " )
# 7− Dibuja e l g r á f i c o . Una vez i n t r o d u c i d o nuevos datos hay que modificar las
#### coordenadas de x , a traves de la orden xlim ( ) dentro de l o s parámetros de p l o t .
plot ( x=X( datosCorregidos ) , y=Y (RM) ,
#l o g =" x " ,
axes=F , lwd=2 , cex =1 , type= " p " , cex . lab =1.1 ,
main= " Gráfico de Weibull " ,
#xlim=c (500 ,20000) ,
#ylim=Y ( c ( 0 . 0 1 , 0 . 9 9 ) ) ,
xlab= "TBF" ,
ylab= " I n f i a b i l i d a d ( %) " , col= " red " , pch=20)
abline ( e , col= " red " , lwd=2)
ygrid <− c ( 1 : 1 0 , seq (10 ,100 ,5) )
axis ( 2 ,Y ( ygrid/100) , ygrid , lwd=2)
xgrid <− c ( seq(500 ,5000 ,500) , seq(5000,20000,1000) ) # Una vez modificado l o s datos hay que ajustar
###### las l í n e a s de d i v i s i ó n v e r t i c a l del g r á f i c o .
axis ( 1 , X( xgrid ) , xgrid , lwd=2)
abline ( v=X( xgrid ) , h=Y ( ygrid/100) , col= " grey " )
Fundación UNED
45
B. Software de estadística aplicada, R
B.4. Paquete Weibull toolkit
abline ( l t y =2 ,h=Y(1−exp( −1) ) , col= " blue " , lwd=2)
abline ( l t y =2 , h=Y ( 0 . 1 ) , col= " black " , lwd=2)
abline ( l t y =2 , h=Y( 0 . 0 5 ) , col= " black " , lwd=2)
abline ( l t y =2 , h=Y( 0 . 0 1 ) , col= " black " , lwd=2)
abline ( l t y =2 , v=X( beta1 ) , col= " black " , lwd=2)
abline ( l t y =2 , v=X( beta5 ) , col= " black " , lwd=2)
abline ( l t y =2 , v=X( beta10 ) , col= " black " , lwd=2)
abline ( l t y =2 , v=X( beta63 . 2 ) , col= " blue " , lwd=2)
# 8− Realiza t e s t de bondad de ajuste .
i f ( n<=50) {
# 8.1− Kolmogorov−Smirnov .
ks <− ks . t e s t ( datos , " pweibull " , beta , eta )
pvalorks <− ks [ 2 ]
i f ( pvalorks > 0.05) {
resultados <− data . frame ( n , beta , eta ,gamma.min, R2, r , pvalorks , beta1 ,
beta5 , beta10 , row .names= " Resultados " )
print ( resultados )
print ( " Se ACEPTA l a HIPOTESIS NULA p−v a l o r > 0.05. Los datos SI siguen una d i s t r i b u c i ó n de
Weibull con parámetros eta , beta y gamma. min . " )
} else {
resultados <− data . frame ( n , beta , eta ,gamma.min, R2, r , pvalorks , beta1 , beta5 , beta10 , row .names= "
Resultados " )
print ( resultados )
print ( " Se RECHAZA l a HIPOTESIS NULA p−v a l o r < 0.05. Los datos NO siguen una d i s t r i b u c i ó n de
Weibull con parámetros eta , beta y gamma. min . " )
}
} else {
# 8.2− Realiza t e s t de bondad de ajuste de Chi−cuadrado .
chi <− chisq . t e s t ( datos )
pvalorchi <− chi [ 3 ]
i f ( pvalorchi > 0.05) {
resultados <− data . frame ( n , beta , eta ,gamma.min, R2, r , pvalorchi , beta1 , beta5 , beta10 , row .names= "
Resultados " )
print ( resultados )
print ( " Se ACEPTA l a HIPOTESIS NULA p−v a l o r > 0.05. Los datos SI siguen una d i s t r i b u c i ó n de
Weibull con parámetros eta , beta y gamma. min . " )
} else {
resultados <− data . frame ( n , beta , eta ,gamma.min, R2, r , pvalorchi , beta1 , beta5 , beta10 , row .names= "
Resultados " )
print ( resultados )
print ( " Se RECHAZA l a HIPOTESIS NULA p−v a l o r < 0.05. Los datos NO siguen una d i s t r i b u c i ó n de
Weibull con parámetros eta , beta y gamma. min . " )
}
}
n beta
eta gamma.min
R2
r
p . value
beta1
beta5
Resultados 19 1.471 6776.46
1462 0.999 0.999 0.4467021 297.075 899.683
beta10
Resultados 1467.607
[ 1 ] " Se ACEPTA l a HIPOTESIS NULA p−v a l o r > 0.05. Los datos SI siguen una d i s t r i b u c i ó n de Weibull con
parámetros eta , beta y gamma. min . "
B.4.
Paquete Weibull toolkit
R es un software muy flexible y con una gran repertorios de paquetes, continuamente actualizado por sus creadores, que pueden ser utilizado. Existe un paquete llamado weibulltoolkit
que calcula los parámetros de Weibull y realiza su gráfica. Este paquete puede ser descargado del
siguiente enlace: The FATIMAT project.
Una vez obtenido e instalado el paquete, sólo hay que ejecutar el siguiente código:
########################################################
######## WEIBULL TOOLKIT ##############################
#######################################################
Fundación UNED
46
B. Software de estadística aplicada, R
B.4. Paquete Weibull toolkit
Gráfico de Weibull
0.6
90
●
●
●
75
●
●
●
40 55
●
●
●
●
●
●
25
●
●
●
7 10 15
0.4
Infiabilidad (%)
0.5
γ(min) = 1462
●
●
5
0.3
Error Cuadrático Medio
●
●
0
500
1000
1
0.2
2
3
●
1500
500
Gamma
1000
2000
5000 10000
TBF
Figura B.4: Gráfico del parámetro γ y su gráfico de Weibull asociado.
# 1− Carga e l paquete .
library ( " w e i b u l l t o o l k i t " )
# 2− Introduce l o s datos .
data <− c(400,140,300,220,440,530,620,710,850,1200,1000)
n <− length ( data )
e <− rep ( 1 ,n )
d <− Surv ( time=data , event=e )
# 3− Dibuja e l g r á f i c o y c a l c u l a sus parámetros .
plot .wb( d ,R=1000, legend . p o s i t i o n = " bottomright " , legend . text . s i z e =0.5 , legend . t i t l e = " Parameters " ,
s i g n i f =4 , i s . plot . legend=T , pch=1 , col= " blue " , lwd=2 , lwd . points=2 , col . grid= " grey " , i s . plot . bbb=
FALSE,
i s . plot . cb=TRUE)
Obteniéndose el gráfico B.5 de mayor calidad.
Aunque este paquete calcula los parámetros por métodos más robustos y fiables, he decidido
utilizar el programa desarrollado por mi porque incluye en el código los test de bondad del ajuste
y el cálculo de la distribución triparamétrica de Weibull. También porque este paquete utiliza el
método MLE (Maximin Likelihood Estimation) para realizar la recta de regresión y Monte Carlo
Pivotal Confidence Bounds para realizar el intervalo de confianza. Ambas técnicas no han sido
explicadas en este proyecto y quedan fuera del objetivo del mismo.
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98
90
50
20
10
5
2
1
10
10
50
50
100
100
●
●
●
●
Figura B.5: Gráfico de Weibull obtenido del paquete Weibulltoolkit.
48
●
1000
●
●
●
1000
Time To Failure
500
●
●
●
500
Weibull Plot
5000
●
5000
B1 = 6.246 | 45.76 | 140.8
B5 = 32.69 | 118.2 | 251.9
B10 = 63.48 | 179.6 | 332.3
Conf. level = 90 [%]
R = 1000
r^2 | CCC^2 = 0.9982 | NA
n (fail | cens.) = 11 (11 | 0)
eta (scale) = 665.5
beta (shape,slope) = 1.718
curve (MRR, X on Y)
50000
(Time To Failure ; Unreliability [%])
Parameters
50000
98
90
50
20
10
5
2
Fundación UNED
1
B. Software de estadística aplicada, R
B.4. Paquete Weibull toolkit
Unreliability [%]
Bibliografía
[1] González Fernández, F. J.: Teoría y Práctica del Mantenimiento Industrial Avanzado, 4a
edición, FUNDACIÓN CONFEMETAL.
[2] González Fernández, F. J.: REDUCCIÓN de COSTES y MEJORA de RESULTADOS en MANTENIMIENTO, FUNDACIÓN CONFEMETAL 2010.
[3] Dr. Ing. Rodrigo Pascual J.: Manual del Ingeniero de Mantenimiento. Gestión Moderna del
Mantenimiento, U. de Chile, Santiago, Versión 2.0, julio 2002.
[4] Mora Gutiérrez L.A.: Mantenimiento Estratégico para empresas de servicios o industriales,
Edición Noviembre 2005.
[5] Arques Patón J.L.: Ingeniería y Gestión del Mantenimiento en el Sector Ferroviario, Ediciones Díaz de Santo 2009.
[6] David J Smith: Reliability, Maintainability - and Risk, Fifth Edition.
[7] Documento electrónico wikipedia: Fiabilidad de Sistemas.
[8] Documento electrónico wikipedia: Distribución Normal.
[9] Documento electrónico wikipedia: Distribución Lognormal.
[10] Documento electrónico wikipedia: Distribución Rayleigh.
[11] Documento electrónico wikipedia: Distribución Exponencial.
[12] Documento electrónico wikipedia: Distribución de Weibulll.
[13] Documento electrónico de www.confiabilidad.net: Cálculo de los Parámetros de la Distribución de Weibull.
[14] Documento electrónico de www.industrialtijuana.com: La distribución de Weibull.
[15] Dr. Ing. Rodrigo Pascual J.: The Weibull Distribution A Handbook, Horst Rinne, JustusLiebig-University, Giessen, Germany, 2009.
[16] Documento electrónico wikipedia: Mantenibilidad.
[17] Documento electrónico Universidad de Jaen: Apuntes de estadísticas para ingenieros.
[18] Documento electrónico Universidad de Santiago de Compostela: Prácticas de Estadística en
R.
[19] Documento electrónico: Distribución Gamma.
[20] Documento electrónico de www.mantenimientoplanificado.com: FUNDAMENTOS DEL ANÁLISIS DE WEIBULL.
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BIBLIOGRAFÍA
BIBLIOGRAFÍA
[21] Documento electrónico de www.rcmingenieria.com: CONFIABILIDAD Y ANÁLISIS ESTADÍSTICO PARA LA PREDICCIÓN DE FALLAS, SEGURIDAD, SUPERVIVENCIA, RIESGO, COSTO
Y GARANTÍAS DE LOS EQUIPOS.
[22] Documento electrónico blog: Optimización del Mantenimiento PIMM/PIT de U.N.E.R.M.B.
Fundación UNED
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