198 Bioestadı́stica: Métodos y Aplicaciones el sondeo. 8.3.3. Intervalo para la diferencia de dos proporciones Vamos a considerar que tenemos dos poblaciones de modo que en cada una de ellas estudiamos una v.a. dicotómica (Bernoulli) de parámetros respectivos p1 y p2 . De cada población vamos a extraer muestras de tamaño n1 y n2 ~ 1 ≡ X11 , X12 , . . . , X1n X 1 ~ 2 ≡ X21 , X22 , . . . , X2n X 2 Entonces X1 = X2 = n1 X i=1 n2 X X1i ;B (n1 , p1 ) X2i ;B (n2 , p2 ) i=1 Si las muestras son suficientemente grandes ocurre que una aproximación para un intervalo de confianza al nivel 1 − α para la diferencia de proporciones de dos poblaciones es: s p1 − p2 ∈ (pˆ1 − pˆ2 ) ± z1−α/2 · pˆ1 qˆ1 pˆ2 qˆ2 + n1 n2 Ejemplo Se cree que la osteoporosis está relacionada con el sexo. Para ello se elige una muestra de 100 hombres de más de 50 años y una muestra de 200 mujeres en las mismas condiciones. Se obtiene que 10 hombres y 40 mujeres con algún grado de osteoporosis. ¿Qué podemos concluir con una confianza del 95 %? Solución: 8.3. INTERVALOS DE CONFIANZA PARA VARIABLES DICOTÓMICAS 199 Llamamos p1 a la incidencia de la osteoporosis en las mujeress de más de 50 años y p2 a la de los hombres. Calculemos un intervalo de confianza para la diferencia (p1 − p2 ). Si 0 no forma parte de dicho intervalo con una confianza del 95 % podemos decir que p1 es diferente a p2 (con tal grado de confianza, por supuesto). La estimación puntual insesgada que podemos hacer de ambos parámetros a partir de los datos muestrales son: pˆ1 = 40/200 = 0, 2 pˆ2 = 10/100 = 0, 1 r (p1 − p2 ) = (0, 2 − 0, 1) ± 0, 2 × 0, 8 0, 1 × 0, 9 + = 0, 08 200 100 Es decir, enemos una confianza del 95 % en la afirmación de que la diferencia entre la incidencia de osteoporosis en mujeres y hombres está entre 0,02 (2 %) y 0,18 (18 %). Obsérvese que como 0 % no es un valor de dicho intervalo puede concluirse con una confianza del 95 % que hay diferente incidencia de osteoporosis en hombres que en mujeres para las personas de más de 50 años. Esta conclusión es algo más pobre de lo que hemos obtenido con el intervalo de confianza, pero visto de esta manera, este ejemplo puede considerarse como una introducción a los contrastes de hipótesis.
