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APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES - CON INDICE

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE LOS
ANDES
FILIAL ANDAHUAYLAS
FACULTAD DE INGENIERIA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL
“APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES
EN INGENIERÍA CIVIL”
Docente: Alejandro Rumaja Alvitez.
Curso: Ecuaciones Diferenciales.
Integrantes del grupo:
- Alarcón Poluco Cristian André.
- Huaraca Torres Jenifer
- Flores Pumapillo Nataly
- Anaya Porras Diego Orlando
Ciclo: IV
ANDAHUAYLAS – PERÚ– 2021
DEDICATORIA
Dedicamos este trabajo monográfico a Dios y a nuestros padres. A Dios
porque ha estado con nosotros en cada paso que damos, cuidándonos y
dándonos fortaleza para continuar y a nuestros padres quienes a lo largo
de nuestras vidas han velado por nuestro bienestar y educación siendo
nuestro apoyo en todo momento. Depositando su entera confianza en
cada reto que se nos presentan sin dudar ni un solo momento en nuestra
inteligencia y capacidad. Los amamos. Es por ello que seguiremos
luchando hasta lograr nuestras metas y objetivos.
AGRADECIMIENTOS
Agradecemos al señor Pepito Alarcón y su familia por recibirnos en su
humilde hogar y permitirnos realizar nuestros trabajos con comodidad y
estadía. Y brindarnos los materiales necesarios para culminar con éxito
y satisfacción la presente labor monográfica.
ÍNDICE
CONTENIDO
INTRODUCCIÓN. ............................................................................................................1
CAPÍTULO I
1.
APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES EN LA INGENIERÍA
CIVIL .
.....................................................................................................................2
1.1.
FLEXIÓN DE UNA VIGA EN VOLADIZO PARA PEQUEÑAS
FLEXIONES. ....................................................................................................................2
1.2.
ESTUDIO DE LA FLEXIÓN DE UNA VIGA EN VOLADIZO. .....5
1.3.
CÁLCULO NÚMERICO. ..................................................................8
1.4.
CÁLCULO DE Φ0. .............................................................................8
1.5. CÁLCULO DE LAS COORDENADAS (X/L, Y/L) DE CADA PUNTO
DE LA BARRA DEFORMADA. .............................................................................9
1.6.
APROXIMACIÓN DE PEQUEÑAS FLEXIONES. .......................11
1.7.
LÍMITE DE LA APROXIMACIÓN DE PEQUEÑAS
FLEXIONES ...........................................................................................................12
2.
BIBLIOGRAFÍA .....................................................................................................15
3.
ANEXO ...................................................................................................................16
INTRODUCCIÓN
El descubrimiento de Newton y Leibniz en el siglo XVII sobre las ideas básicas del
cálculo integral fue crucial para el avance que sufrieron las matemáticas. Y más
importante fue, si cabe la relación que encontraron entre el cálculo integral y el diferencial
ya que consiguieron fundirlos en uno solo. Una de las aplicaciones de este descubrimiento
fue la física aplicada a la ingeniería.
En el presente trabajo se pretende dar a conocer las diversas aplicaciones de las
ecuaciones diferenciales en la ingeniería civil es por ello que es utilizado en muchos
casos, para describir y explicar las leyes del universo; los modelos matemáticos
empleados permiten comprender los cambios que implican innumerables fenómenos
físicos, y dichos cambios solo pueden explicarse por medio de ecuaciones que relacionan
cantidades que cambian estas se denominan ecuaciones diferenciales: es una ecuación
que relaciona una función desconocida y una o más de sus derivadas, con esto decimos
que una ecuación diferencial ordinaria es una ecuación en la cual aparecen derivadas o
diferenciales de una variable, que denominamos dependiente, la cual es función de otra
única variable, llamada independiente con lo cual, encontrar la solución de una ecuación
diferencial implica encontrar una función que reemplazada en la ecuación original junto
con sus derivadas perita llegar a una identidad.
1
CAPITULO I
1. APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES EN INGENIERÍA
CIVIL
Las ecuaciones diferenciales son muy interesantes en cuanto a la posibilidad que
presentan para indagar sobre variedad de problemas de las ciencias físicas, biológicas y
sociales. A partir de la formulación matemática de distintas situaciones se describen
procesos reales aproximados.
Dentro de los diversos campos de acción de la ingeniería civil, una de las múltiples
aplicaciones de ecuaciones diferenciales está relacionada con el estudio de las flexiones.
1.1. FLEXION DE UNA VIGA EN VOLADIZO PARA PEQUEÑAS FLEXIONES:
Una viga o una barra delgada son
sólidos homogéneos e isótropos cuya
longitud es grande comparada con las
dimensiones de su sección trasversal.
Cuando una viga flexiona debido a las fuerzas exteriores que se aplican, existen algunas
partes de la viga que se acortan y hay otras zonas que se alargan. Pero hay una línea,
denominada eje neutro, que no se acorta ni se alarga. Este eje se encuentra en el centro
de gravedad de la sección trasversal.
Se usará una barra empotrada de un determinado material, de longitud L, de anchura a y
de espesor b. Se fijará uno de sus extremos y se aplicará una fuerza en su extremo libre.
Mediremos el desplazamiento del extremo libre y(L) o flecha en función de la fuerza
aplicada F, comprobando su relación de proporcionalidad, mientras que la flexión de la
barra sea pequeña.
A continuación, examinaremos la teoría de la flexión de una viga en voladizo en detalle,
calculando el desplazamiento de su extremo libre cuando se aplica una fuerza en dicho
extremo que produce una flexión considerable.
Este ejemplo, nos permite practicar con procedimientos numéricos aplicados al

Cálculo de la raíz de una ecuación.
2

Integral definida.
Supongamos que

La barra tiene una longitud L mucho mayor que las dimensiones de su sección
trasversal, y que la deformación debida a su propio peso es despreciable.

Que la sección de la barra no cambia cuando se dobla. Cuando el espesor de la
barra es pequeño comparado con el radio de curvatura, la sección trasversal
cambia muy poco.
En estas condiciones es aplicable la ecuación de Euler-Bernoulli que relaciona el
momento flector M de la fuerza aplicada y el radio de curvatura ρ de la barra deformada
El radio de curvatura de una función y(x) es
Para pequeñas pendientes (dy/dx)2≈0
Si despreciamos el peso de la propia barra, el momento de la fuerza F aplicada en el
extremo libre, respecto del punto P (x, y) es M=F(xf-x)≈F(L-x)
3
Que integramos dos veces con las siguientes condiciones iníciales x=0, y=0, dy/dx=0.
El desplazamiento yf del extremo libre x=L es proporcional a la fuerza F aplicada

Y es el módulo de Young del material

I se denomina momento de inercia de la sección trasversal respecto de la fibra
neutra
Se considera que la aproximación de pequeñas flexiones: el desplazamiento y del extremo
libre de la barra, es proporcional a la fuerza F aplicada, produce resultados aceptables
hasta un cierto valor del parámetro a dimensional α<0.375, (véase al final del siguiente
apartado) o bien, hasta un valor máximo de la fuerza aplicada Fm=2Y·I·α/L2
Ejemplo:

Sea L=30 cm=0.3 m, la longitud de la barra.

Sea b=0.78 mm=0.00078 m, el espesor de la barra.

La anchura a=0.03 m está fijada por el programa interactivo y no se puede
cambiar.

Elegimos como material, el Acero.
Después de realizar la experiencia. La pendiente de la recta que relaciona la desviación
del extremo libre y(L) con la fuerza aplicada F en dicho extremo es
m=3.683 cm/N=0.03683 m/N
4

El momento de inercia I vale

Dada la pendiente (coeficiente de proporcionalidad de F) calculamos el módulo
de Young Y
1.2. ESTUDIO DE LA FLEXION DE UNA VIGA EN VOLADIZO:
Consideremos una barra delgada de longitud
L en posición horizontal, empotrada por un
extremo y sometida a una fuera vertical F en
el extremo libre. Determinaremos la forma de
la barra y las coordenadas (xf, yf) del extremo
libre para grandes flexiones de la barra.
Supongamos que:

La barra tiene una longitud L mucho mayor que las dimensiones de su sección trasversal,
y que la deformación debida a su propio peso es despreciable.

Que la sección de la barra no cambia cuando se dobla. Cuando el espesor de la barra es
pequeño comparado con el radio de curvatura, la sección trasversal cambia muy poco.
En estas condiciones es aplicable la ecuación de Euler-Bernoulli que relaciona el
momento flector M de la fuerza aplicada y el radio de curvatura ρ de la barra deformada
5
Donde Y es el módulo de Young del material e I es el momento de inercia de la sección trasversal
respecto del eje neutro. El radio de curvatura:
ρ=ds/dφ
El momento flector M de la fuerza F aplicada en el extremo libre de la barra respecto del punto
P (x, y) es M=F(xf-x)
Derivando con respecto a s, y teniendo en cuanta que cosφ=dx/ds
Para determinar φ(s) se resuelve la ecuación diferencial con las siguientes condiciones iníciales:
Para obtener una solución de la ecuación diferencial, multiplicamos por dφ/ds la ecuación
diferencial
6
La constante de integración la determinamos a partir de las condiciones iníciales especificadas
anteriormente:
La Longitud L de la barra y las coordenadas x e y de cada uno de los puntos de la misma se
obtienen:
Dada la fuerza F aplicada en el extremo libre de la barra y conocida la longitud L de la barra, se
resuelve la primera ecuación para calcular el ángulo φ0, que forma la recta tangente a la barra en
su extremo libre con la parte negativa del eje horizontal X
Una vez que se conoce este ángulo φ0, se calcula la abscisa x dando valores al ángulo φ en el
intervalo (0, φ0)
El cálculo de la ordenada y es más complicado, ya que para cada valor del ángulo φ hay que hallar
una integral definida en el intervalo (0, φ) empleando procedimientos numéricos.
7
1.3. Cálculo numérico
Las ecuaciones anteriores las podemos expresar
Donde α es un parámetro a dimensional que engloba las características geométricas de la barra,
del material del que está hecha, y de la fuerza aplicada en su extremo libre
1.4. Cálculo de φ0.
Empezamos con la primera ecuación que nos determina el ángulo φ0 que forma la recta tangente
a la barra en su extremo libre con la parte negativa del eje horizontal X, tal como se ve en la
figura:
Requiere dos pasos:
1.
Hallar la integral
8
2.
Calcular la raíz de la ecuación
f(φ0)=0
La integral se puede expresar en términos de la suma de dos integrales elípticas de primera
especie, haciendo cambios de variable. El primer cambio es θ=φ+π/2
El segundo cambio de variable es
Finalmente, calculamos la raíz de la ecuación
1.5. Cálculo de las coordenadas (x/L, y/L) de cada punto de la barra deformada
El cálculo de x/L no reviste dificultad alguna. Conocido φ0, se calcula x/L para cada ángulo φ en
el intervalo (0, φ0). La posición xf del extremo libre es
9
El cálculo de y/L es más problemático. Conocido φ0, se determina la ordenada y/L para cada
ángulo φ en el intervalo (0, φ0) calculando la integral definida,
por el procedimiento numérico de Simpson
Cuando φ→φ0 el denominador de la integral tiende a cero. El ordenador no calcula correctamente
la ordenada yf/L del extremo libre de la barra cuando φ=φ0. Para solucionar este inconveniente,
empleamos el procedimiento de interpolación que se muestra en la figura.

Calculamos las coordenadas (x/L, y/L) para el ángulo φ=φ0-Δφ, siendo Δφ un ángulo
pequeño.

Calculamos la abscisa xf/L para el ángulo φ0.
La ordenada yf/L se obtiene resolviendo el triángulo rectángulo de la figura
10
1.6. Aproximación de pequeñas flexiones
Para pequeñas flexiones cuando el ángulo φ0 es pequeño. Sustituimos senφ≈φ y escribimos la
ecuación que calcula φ0.
El resultado es φ0=α
Las coordenadas (x, y) de cada punto de la barra se aproximan a
Para el extremos libre de la barra, cuando φ= φ0=α, xf=L, lo que implica que en la aproximación
de pequeñas flexiones, no hay desplazamiento horizontal del extremo libre de la barra.
La ordenada y la podemos aproximar
Integrando por partes y después de hacer algunas simplificaciones obtenemos la siguiente
expresión
Las coordenadas x e y, las hemos expresado en función del parámetro φ, eliminando el parámetro
obtenemos la función y=f(x) que describe la flexión de la barra cuando se aplica una fuerza F en
su extremo libre.
11
Para el extremos libre de la barra, cuando φ= φ0=α, x=L,
1.7. Límite de la aproximación de pequeñas flexiones
En la figura, se muestra la desviación y/L del extremo libre de la barra en función del parámetro
a dimensional α.

En color rojo, los resultados del cálculo, empleando procedimientos numéricos, descrito
en el apartado anterior

En color negro, la recta y/L=2α/3, aproximación de pequeñas flexiones
Podemos considerar, que la aproximación lineal produce resultados aceptables hasta un cierto
valor límite del parámetro αm o bien, hasta un cierto valor máximo de la fuerza aplicada Fm en el
extremos libre de la barra
12
Ejemplo:
Sea una regla de acero de longitud L=30 cm, sección rectangular a=3.04 cm, y b=0.078 cm. El
módulo de Young es Y=2.06·1011 N/m2
El momento de inercia I vale
Cuando aplicamos en el extremo libre de la barra una fuerza tal que α=0.25, es decir
Aplicando la aproximación de pequeñas flexiones
En la aproximación de pequeñas flexiones xf≈L, no hay desviación apreciable en sentido
horizontal y la desviación en sentido vertical yf es proporcional a la fuerza F aplicada en el
extremo libre.
Cuando aplicamos en el extremo libre de la barra una fuerza tal que α=1.25, es decir
Aplicando la aproximación de pequeñas flexiones
13
En la aproximación de pequeñas flexiones deja de ser válida ya que hay una desviación apreciable
en sentido horizontal y la desviación en sentido vertical yf ya no es proporcional al a la fuerza F
aplicada en el extremo libre.
14
2. BIBLIOGRAFIA:
-
Feynman, Leighton, Sands. The Feynman Lectures on Physics V-II. Edt. Fondo Educativo
Interamericano, págs. 38.15-17.
-
Beléndez T., Neipp C., Beléndez A., Flexión de una barra delgada empotrada en un
extremo: Aproximación para pequeñas pendientes. Revista Brasileira de Ensino de Física.
24 (4) Dezembro 2002, págs, 399- 407.
-
Beléndez T., Neipp C., Beléndez A., Large and small defections of a cantilever beam.
Eur. J. Phys. 23 (2002) pp. 371-379
15
3. ANEXO
16
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