Documento de apoyo UNIDAD 1 MA3

MATEMÁTICA APLICADA 3
DOCUMENTO DE APOYO
UNIDAD 1
PRELIMINARES MATEMÁTICOS Y ANÁLISIS DE ERROR
1) REPASO DE CÁLCULO
a) Límites y Continuidad. Una función 𝑓 definida en un conjunto 𝑋 de números reales
tiene el límite 𝐿 en 𝑥0 , denotado por
lim 𝑓 (𝑥 ) = 𝐿
𝑥→𝑥0
si, dado cualquier número real 𝜀 > 0, existe un número real 𝛿 > 0, tal que
|𝑓 (𝑥 ) − 𝐿| < 𝜀 siempre que 𝑥 ∈ 𝑋 y |𝑥 − 𝑥0 | < 𝛿 .
Sea 𝑓 una función definida en un conjunto 𝑋 de números reales y 𝑥0 ∈ 𝑋. Entonces
𝑓 es contínua en 𝑥0 si
lim 𝑓(𝑥 ) = 𝑓(𝑥0)
𝑥→𝑥0
La función 𝑓 es contínua en el conjunto 𝑋 si es contínua en cada número en 𝑋 .
b) Derivada. Sea 𝑓 una función definida en un intervalo abierto que contiene a 𝑥0 . La
función 𝑓 es derivable en 𝑥0 si
𝑓 (𝑥 ) − 𝑓(𝑥0 )
𝑥→𝑥0
𝑥 − 𝑥0
𝑓´(𝑥0 ) = lim
c)
Teorema de Rolle. Suponga que 𝑓 es contínua en [𝑎, 𝑏] y que es derivable en
(𝑎, 𝑏). Si 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏), entonces existe un número 𝑐 en (𝑎, 𝑏) tal que 𝑓´(𝑐 ) = 0 .
d) Teorema del valor medio. Si 𝑓 es contínua en [𝑎, 𝑏] y derivable en (𝑎, 𝑏), existe un
número en 𝑐 en (𝑎, 𝑏) tal que
𝑓´(𝑐 ) =
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
𝑏−𝑎
2) NECESIDAD DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS. Los métodos numéricos son técnicas
mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que
puedan resolverse usando operaciones aritméticas.
El análisis numérico trata de diseñar métodos para aproximar de una manera eficiente
las soluciones de problemas expresados matemáticamente. Su principal objetivo es
encontrar soluciones aproximadas a problemas complejos utilizando sólo las
operaciones aritméticas más simples.
a) Métodos directos. Son los que dan una respuesta a partir de los datos de entrada.
b) Métodos recursivos. Son aquellos en los cuales los datos de entrada producen
como salida otros datos que pueden ser utilizados nuevamente como entradas.
3) ERRORES DE APROXIMACIÓN. Surgen al usar una calculadora o computadora para
cálculos con números reales, pues la aritmética de la máquina sólo utiliza números con
una cantidad finita de cifras, de modo que los cálculos se realizan únicamente con
representaciones aproximadas de los números verdaderos.
a) Errores de redondeo. Se originan al redondear un número a cierta cantidad de
dígitos.
b) Errores de corte. Surgen al truncar un número y dejar únicamente cierta cantidad
de dígitos.
Las formas más utilizadas para calcular el error asociado ya sea al redondeo o corte de
un número 𝑝 del cual se ofrece una aproximación 𝑝∗ son:
𝐸𝑅𝑅𝑂𝑅 𝐴𝐵𝑆𝑂𝐿𝑈𝑇𝑂 = |𝑝 − 𝑝∗ |
|𝑝 − 𝑝 ∗ |
𝐸𝑅𝑅𝑂𝑅 𝑅𝐸𝐿𝐴𝑇𝐼𝑉𝑂 =
|𝑝 |
4) ALGORITMOS Y CONVERGENCIA. Un algoritmo es un procedimiento que describe, sin
ambigüedades, una serie finita de pasos a realizar en un orden específico. Su objetivo
es poner en práctica un procedimiento para resolver un problema o aproximarse a una
solución del mismo.
El lenguaje utilizado para describir los algoritmos se denominan seudocódigo. Este
especifica la forma de entrada por proporcionar y la forma de la salida deseada.
No con todos los procedimientos numéricos se obtiene una salida satisfactoria; como
consecuencia en cada algoritmo se incorpora una técnica para detenerlo, para evitar
ciclos infinitos.
a) Simbolismos.
i) .
ii) ;
iii) SANGRIA
Fin de un paso
Separa tareas dentro de un mismo paso
Indica que los grupos de enunciados deben considerarse
como una sola entidad
b) Técnicas de formación de ciclos.
i) Contador
ii) Condición
Para i = 1, 2, 3, …, n
Mientras i < N,
o
Si __________ entonces
c) Tipos de algoritmos. En el análisis numérico nos interesa elegir métodos que
produzcan resultados precisos. Por la sensibilidad ante los cambios, los algoritmos
pueden clasificarse como:
i) Estables. Pequeños cambios en los datos iniciales producen cambios pequeños
en los datos finales.
ii) Inestables. Pequeños cambios en los datos iniciales producen cambios grandes
en los datos de salida.
d) Datos a utilizar en un algoritmo.
i)
ii)
iii)
iv)
v)
Extremos [𝑎, 𝑏]
Aproximación inicial 𝑃0
Número máximo de iteraciones 𝑁
Tolerancia 𝑇𝑂𝐿 (asociada al error permitido)
Solución aproximada 𝑃