Definición y ejemplos Clasificación Objetivos Métodos clásicos de análisis Tema 1: Introducción a las series temporales Miguel González, Inés Ma del Puerto Miguel González, Inés Ma del Puerto Introducción a las series temporales Definición y ejemplos Clasificación Objetivos Métodos clásicos de análisis Tema 1: Introducción a las series temporales 1 Definición y ejemplos 2 Clasificación 3 Objetivos 4 Métodos clásicos de análisis Miguel González, Inés Ma del Puerto Introducción a las series temporales Definición y ejemplos Clasificación Objetivos Métodos clásicos de análisis Definición y ejemplos Serie Temporal Colección de observaciones que se toman secuencialmente a lo largo del tiempo Ejemplos ∗ Economía: Precios de venta en días sucesivos, Exportaciones totales en sucesivos años. ∗ Física (Meteorología, Geofísica,etc... ): Lluvias en sucesivos días, Temperatura en sucesivos horas, Presión atmosférica en diversos días. ∗ Demografía: Población de España medida anualmente. ∗ Procesos de control ∗ Procesos binarios Miguel González, Inés Ma del Puerto Introducción a las series temporales Definición y ejemplos Clasificación Objetivos Métodos clásicos de análisis Definición y ejemplos Representación gráfica: Componentes de variación Componente estacional Componente cíclica Componente tendencia Componente irregular Miguel González, Inés Ma del Puerto Introducción a las series temporales Definición y ejemplos Clasificación Objetivos Métodos clásicos de análisis −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 Definición y ejemplos 1995 1996 1997 1998 1999 2000 Variación mensual del IPC nacional relativo a alimentos y bebidas no alcohólicas. Fuente: INE Miguel González, Inés Ma del Puerto Introducción a las series temporales Definición y ejemplos Clasificación Objetivos Métodos clásicos de análisis 32000 30000 28000 26000 miles 34000 36000 Definición y ejemplos 1980 1985 1990 1995 2000 2005 Población mayores de 16 años. Fuente: INE. Miguel González, Inés Ma del Puerto Introducción a las series temporales Definición y ejemplos Clasificación Objetivos Métodos clásicos de análisis euros 500 1000 1500 Definición y ejemplos 1990 1995 2000 2005 Precio medio del metro cuadrado de vivienda libre. Fuente: INE Miguel González, Inés Ma del Puerto Introducción a las series temporales Definición y ejemplos Clasificación Objetivos Métodos clásicos de análisis 15 20 ºC 25 30 35 Definición y ejemplos 1990 1992 1994 1996 1998 2000 Temperatura máxima. Fuente INM Miguel González, Inés Ma del Puerto Introducción a las series temporales 2002 Definición y ejemplos Clasificación Objetivos Métodos clásicos de análisis Definición y ejemplos 10x107 9x107 miles de euros 8x107 7x107 6x107 5x107 4x107 3x107 2x107 1x107 1991 1994 1997 2000 2003 2006 Total de acciones contratadas en el mercado bursátil español. Fuente: INE. Miguel González, Inés Ma del Puerto Introducción a las series temporales Definición y ejemplos Clasificación Objetivos Métodos clásicos de análisis 3 e+06 2 e+06 1 e+06 miles de euros 4 e+06 5 e+06 Definición y ejemplos 1990 1995 2000 2005 Ingreso y pagos por turismo. Fuente: INE. Miguel González, Inés Ma del Puerto Introducción a las series temporales Definición y ejemplos Clasificación Objetivos Métodos clásicos de análisis Clasificación Recogida de los datos tenemos: Continua Discreta Muestral Agregada o acumulada Inherentes o discretas Número de variables que observamos en cada tiempo: univariantes multivariantes Miguel González, Inés Ma del Puerto Introducción a las series temporales Definición y ejemplos Clasificación Objetivos Métodos clásicos de análisis Objetivos Descripción Explicación Predicción Control Miguel González, Inés Ma del Puerto Introducción a las series temporales Definición y ejemplos Clasificación Objetivos Métodos clásicos de análisis Métodos de clásicos de análisis Métodos de descomposición Métodos de suavizado exponencial Miguel González, Inés Ma del Puerto Introducción a las series temporales Definición y ejemplos Clasificación Objetivos Métodos clásicos de análisis Métodos de descomposición Xt = f (Tt , St , It ), Xt el valor de la serie en el tiempo t Tt , St e It son la componente de tendencia-ciclo, estacional e irregular en el tiempo t, respectivamente. f una función arbitraria. Miguel González, Inés Ma del Puerto Introducción a las series temporales Definición y ejemplos Clasificación Objetivos Métodos clásicos de análisis Métodos de descomposición Modelo aditivo : Xt = Tt + St + It Modelo multiplicativo: Xt = Tt · St · It Modelo mixto: Xt = Tt · St + It (algunos autores consideran que el modelo multiplicativo es el que nosotros hemos considerado como mixto). Paso clave: suavizado de los datos Se entiende por suavizar los datos realizar una transformación de los mismos de manera que la serie resultante (nos referiremos a ella como serie suavizada) presente menos fluctuaciones que la original. Miguel González, Inés Ma del Puerto Introducción a las series temporales Definición y ejemplos Clasificación Objetivos Métodos clásicos de análisis Métodos de descomposición Media móvil: Transformación lineal de un conjunto de datos {xt }nt=1 , en {yt }nt=1 , donde yt = s X ar xt+r , t = q + 1, . . . , n − s, r=−q siendo s, q números enteros no negativos con q+s≤n+1 y {ar }sr=−q constantes reales tales que +s X ar = 1 r=−q P (En general, si +s r=−q ar no es uno a esta transformación se le llama filtro lineal) Miguel González, Inés Ma del Puerto Introducción a las series temporales Definición y ejemplos Clasificación Objetivos Métodos clásicos de análisis Métodos de descomposición k MA: (k impar) yt = m 1 X xt+j , m = (k − 1)/2 k j=−m 2 × k MA: yt = (k par) 0,5 1 0,5 x + (x + . . . + xt + . . . + xt+k/2−1 ) + x k t−k/2 k t−k/2+1 k t+k/2 Miguel González, Inés Ma del Puerto Introducción a las series temporales Definición y ejemplos Clasificación Objetivos Métodos clásicos de análisis Métodos de descomposición clásicos 1) Se estima la componente de tendencia por medio de una 2 × s MA, i.e. Tt = 1 1 1 Xt−s/2 + (Xt−s/2+1 + . . . + Xt + . . . + Xt+s/2−1 ) + Xt+s/2 . 2s s 2s 2) Se calcula la serie sin tendencia, denotada Xt0 , en la forma Xt0 = Xt − Tt = St + It . 3) Se calculan los s-índices estacionales. Para este fin se crean ssubseries a partir de Xt0 , cada una correspondiente a periodos distintos en cada uno de los ciclos estacionales. Cada uno de los índices estacionales se obtiene restando a la media de los valores de cada respectiva subserie la media total de los datos Xt0 . De este modo, por construcción, los índices estacionales suman cero. 4) Finalmente la componente irregular se calcula restando a los datos originales la componente de tendencia estimada en el paso 1 y la componente estacional estimada en el paso 3. Miguel González, Inés Ma del Puerto Introducción a las series temporales Definición y ejemplos Clasificación Objetivos Métodos clásicos de análisis Métodos de descomposición: STL Suavizado por regresión local. Dada una serie {xt }nt=1 , veamos cómo construir la serie suavizada, que denotaremos {yt }nt=1 . 1) Consideramos 2m datos alrededor de xt , xt−m , . . . , xt−1 , xt , xt+1 , . . . , xt+m , siendo m un número entero no negativo, m ≤ parámetro de suavizado. n 2 − 1, que llamaremos 2) A los 2m + 1 pares de datos (r, xr ), r = t − m, . . . , t − 1, t, t + 1, . . . , t + m, ajustamos una recta de regresión mediante el método de mínimos cuadrados ponderados con pesos {aj }m j=−m , i.e., buscamos los Pm valores de a, b que minimicen j=−m aj (xt+j − (a + b(t + j)))2 . 3) El valor de dicha recta de regresión el el punto t será yt , el valor de la serie suavizada correspondiente a xt . Miguel González, Inés Ma del Puerto Introducción a las series temporales Definición y ejemplos Clasificación Objetivos Métodos clásicos de análisis Métodos de descomposición: STL (k) (k) St y Tt , t = 1, . . . , n estimaciones de las componentes estacional y tendencia k-ésima iteración. 1) Se calcula la serie sin tendencia restando a los datos originales la tendencia estimada en la k-ésima iteración. 2)Tenemos n = rs datos, denotemos por (1) (s) {Xj }rj=1 , . . . , {Xj }rj=1 a las s–subseries. Estas subseries se suavizan de forma separada por el método de suavizado de Loess, obteniendo las series suavizadas denotadas (1) (s) {Yj }rj=1 , . . . , {Yj }rj=1 . Hay que seleccionar el parámetro de suavizado ms , el mismo para las s-subseries. Una estimación inicial para la componente estacional es (k+1) Ct (i) = Yj , para t = i + s(j − 1). Miguel González, Inés Ma del Puerto Introducción a las series temporales Definición y ejemplos Clasificación Objetivos Métodos clásicos de análisis Métodos de descomposición: STL 3) Se realiza una 3 × s × s MA seguida de un suavizado de Loess de (k+1) parámetro ml a la serie Ct . Denotamos esta serie suavizada por (k+1) Lt . 4) La estimación de la componente estacional en la iteración k + 1, es (k+1) (k+1) (k+1) St = Ct − Lt . 5) A los datos originales se le resta la componente estacional adaptada en el paso 4. 6) La serie obtenida en el paso 5 tras un suavizado de Loess con (k+1) parámetro mt es Tt . Miguel González, Inés Ma del Puerto Introducción a las series temporales Definición y ejemplos Clasificación Objetivos Métodos clásicos de análisis 1800 1600 Electricidad Electricidad 3MA 2x12MA 1400 1400 1600 1800 Ejemplo: Métodos de descomposición 1200 Loess 1000 1000 1200 Spencer 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 Series suavizadas de los datos de consumo total de electricidad. Miguel González, Inés Ma del Puerto Introducción a las series temporales Definición y ejemplos Clasificación Objetivos Métodos clásicos de análisis 1.04 1800 Ejemplo: Métodos de descomposición Electricidad 1.02 1600 Tendencia: M. clásico C. irregular: M. clásico 0.94 1000 0.96 1200 0.98 1.00 1400 Tendencia: M. STL 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 Componentes de tendencia estimadas Miguel González, Inés Ma del Puerto C. irregular: M. STL 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 Componentes irregulares Introducción a las series temporales Definición y ejemplos Clasificación Objetivos Métodos clásicos de análisis Ejemplo: Métodos de descomposición Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre Descomposición Clásica 1.097 0.992 1.025 0.944 0.968 0.985 1.041 0.953 0.968 0.978 1 1.048 Descomposición STL 1.1 1 1.026 0.944 0.965 0.982 1.042 0.954 0.97 0.979 1.001 1.049 Cuadro: Índices estacionales. Miguel González, Inés Ma del Puerto Introducción a las series temporales Definición y ejemplos Clasificación Objetivos Métodos clásicos de análisis Métodos de suavizado exponencial Método de suavizado exponencial simple Método de suavizado exponencial de Holt Método de suavizado exponencial del Holt-Winter Miguel González, Inés Ma del Puerto Introducción a las series temporales Definición y ejemplos Clasificación Objetivos Métodos clásicos de análisis Métodos de suavizado exponencial 1 No efecto estacional 2 Estacionalidad Aditiva 3 Estacionalidad multiplicativa A No efecto tendencia B Tendencia aditiva C Tendencia multiplicativa Conductas de datos según la clasificación de Pegel. Miguel González, Inés Ma del Puerto Introducción a las series temporales Definición y ejemplos Clasificación Objetivos Métodos clásicos de análisis Métodos de suavizado exponencial Sea {xt }nt=1 una serie temporal. Método de suavizado exponencial simple Método iterativo que proporciona una serie suavizada, {x̂t }nt=1 , del siguiente modo: x̂t+1 = αxt + (1 − α)x̂t , donde α ∈ [0, 1] parámetro de suavizado. Entendiendo (esto será así para todos los métodos de suavizado exponencial) el valor x̂t+1 como la predicción dada por el método para el dato xt+1 con la información disponible hasta el tiempo t, x̂t+1 = αxt + α(1 − α)xt−1 + . . . + α(1 − α)t−1 x1 + (1 − α)t x̂1 . Miguel González, Inés Ma del Puerto Introducción a las series temporales