Definición y ejemplos Clasificación Objetivos Métodos clásicos de análisis
Tema 1: Introducción a las series temporales
Miguel González, Inés Ma del Puerto
Miguel González, Inés Ma del Puerto
Introducción a las series temporales
Definición y ejemplos Clasificación Objetivos Métodos clásicos de análisis
Tema 1: Introducción a las series temporales
1
Definición y ejemplos
2
Clasificación
3
Objetivos
4
Métodos clásicos de análisis
Miguel González, Inés Ma del Puerto
Introducción a las series temporales
Definición y ejemplos Clasificación Objetivos Métodos clásicos de análisis
Definición y ejemplos
Serie Temporal
Colección de observaciones que se toman secuencialmente a
lo largo del tiempo
Ejemplos
∗ Economía: Precios de venta en días sucesivos, Exportaciones
totales en sucesivos años.
∗ Física (Meteorología, Geofísica,etc... ): Lluvias en sucesivos
días, Temperatura en sucesivos horas, Presión atmosférica en
diversos días.
∗ Demografía: Población de España medida anualmente.
∗ Procesos de control
∗ Procesos binarios
Miguel González, Inés Ma del Puerto
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Definición y ejemplos
Representación gráfica: Componentes de variación
Componente estacional
Componente cíclica
Componente tendencia
Componente irregular
Miguel González, Inés Ma del Puerto
Introducción a las series temporales
Definición y ejemplos Clasificación Objetivos Métodos clásicos de análisis
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
Definición y ejemplos
1995
1996
1997
1998
1999
2000
Variación mensual del IPC nacional relativo a alimentos y bebidas no
alcohólicas. Fuente: INE
Miguel González, Inés Ma del Puerto
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Definición y ejemplos Clasificación Objetivos Métodos clásicos de análisis
32000
30000
28000
26000
miles
34000
36000
Definición y ejemplos
1980
1985
1990
1995
2000
2005
Población mayores de 16 años. Fuente: INE.
Miguel González, Inés Ma del Puerto
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Definición y ejemplos Clasificación Objetivos Métodos clásicos de análisis
euros
500
1000
1500
Definición y ejemplos
1990
1995
2000
2005
Precio medio del metro cuadrado de vivienda libre. Fuente: INE
Miguel González, Inés Ma del Puerto
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Definición y ejemplos Clasificación Objetivos Métodos clásicos de análisis
15
20
ºC
25
30
35
Definición y ejemplos
1990
1992
1994
1996
1998
2000
Temperatura máxima. Fuente INM
Miguel González, Inés Ma del Puerto
Introducción a las series temporales
2002
Definición y ejemplos Clasificación Objetivos Métodos clásicos de análisis
Definición y ejemplos
10x107
9x107
miles de euros
8x107
7x107
6x107
5x107
4x107
3x107
2x107
1x107
1991
1994
1997
2000
2003
2006
Total de acciones contratadas en el mercado bursátil español. Fuente: INE.
Miguel González, Inés Ma del Puerto
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3 e+06
2 e+06
1 e+06
miles de euros
4 e+06
5 e+06
Definición y ejemplos
1990
1995
2000
2005
Ingreso y pagos por turismo. Fuente: INE.
Miguel González, Inés Ma del Puerto
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Definición y ejemplos Clasificación Objetivos Métodos clásicos de análisis
Clasificación
Recogida de los datos tenemos:
Continua
Discreta
Muestral
Agregada o acumulada
Inherentes o discretas
Número de variables que observamos en cada tiempo:
univariantes
multivariantes
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Definición y ejemplos Clasificación Objetivos Métodos clásicos de análisis
Objetivos
Descripción
Explicación
Predicción
Control
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Métodos de clásicos de análisis
Métodos de descomposición
Métodos de suavizado exponencial
Miguel González, Inés Ma del Puerto
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Métodos de descomposición
Xt = f (Tt , St , It ),
Xt el valor de la serie en el tiempo t
Tt , St e It son la componente de tendencia-ciclo, estacional e
irregular en el tiempo t, respectivamente.
f una función arbitraria.
Miguel González, Inés Ma del Puerto
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Métodos de descomposición
Modelo aditivo : Xt = Tt + St + It
Modelo multiplicativo: Xt = Tt · St · It
Modelo mixto: Xt = Tt · St + It
(algunos autores consideran que el modelo multiplicativo es el
que nosotros hemos considerado como mixto).
Paso clave: suavizado de los datos
Se entiende por suavizar los datos realizar una transformación
de los mismos de manera que la serie resultante (nos
referiremos a ella como serie suavizada) presente menos
fluctuaciones que la original.
Miguel González, Inés Ma del Puerto
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Métodos de descomposición
Media móvil: Transformación lineal de un conjunto de datos
{xt }nt=1 , en {yt }nt=1 , donde
yt =
s
X
ar xt+r , t = q + 1, . . . , n − s,
r=−q
siendo s, q números enteros no negativos con
q+s≤n+1
y
{ar }sr=−q
constantes reales tales que
+s
X
ar = 1
r=−q
P
(En general, si +s
r=−q ar no es uno a esta transformación se le
llama filtro lineal)
Miguel González, Inés Ma del Puerto
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Métodos de descomposición
k MA:
(k impar)
yt =
m
1 X
xt+j , m = (k − 1)/2
k
j=−m
2 × k MA:
yt =
(k par)
0,5
1
0,5
x
+ (x
+ . . . + xt + . . . + xt+k/2−1 ) +
x
k t−k/2 k t−k/2+1
k t+k/2
Miguel González, Inés Ma del Puerto
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Definición y ejemplos Clasificación Objetivos Métodos clásicos de análisis
Métodos de descomposición clásicos
1) Se estima la componente de tendencia por medio de una
2 × s MA, i.e.
Tt =
1
1
1
Xt−s/2 + (Xt−s/2+1 + . . . + Xt + . . . + Xt+s/2−1 ) + Xt+s/2 .
2s
s
2s
2) Se calcula la serie sin tendencia, denotada Xt0 , en la forma
Xt0 = Xt − Tt = St + It .
3) Se calculan los s-índices estacionales. Para este fin se crean ssubseries a partir de Xt0 , cada una correspondiente a periodos
distintos en cada uno de los ciclos estacionales. Cada uno de los
índices estacionales se obtiene restando a la media de los valores de
cada respectiva subserie la media total de los datos Xt0 . De este
modo, por construcción, los índices estacionales suman cero.
4) Finalmente la componente irregular se calcula restando a los
datos originales la componente de tendencia estimada en el paso 1 y
la componente estacional estimada en el paso 3.
Miguel González, Inés Ma del Puerto
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Definición y ejemplos Clasificación Objetivos Métodos clásicos de análisis
Métodos de descomposición: STL
Suavizado por regresión local. Dada una serie {xt }nt=1 , veamos
cómo construir la serie suavizada, que denotaremos {yt }nt=1 .
1) Consideramos 2m datos alrededor de xt ,
xt−m , . . . , xt−1 , xt , xt+1 , . . . , xt+m ,
siendo m un número entero no negativo, m ≤
parámetro de suavizado.
n
2
− 1, que llamaremos
2) A los 2m + 1 pares de datos
(r, xr ), r = t − m, . . . , t − 1, t, t + 1, . . . , t + m,
ajustamos una recta de regresión mediante el método de mínimos
cuadrados ponderados con pesos {aj }m
j=−m , i.e., buscamos los
Pm
valores de a, b que minimicen j=−m aj (xt+j − (a + b(t + j)))2 .
3) El valor de dicha recta de regresión el el punto t será yt , el valor de
la serie suavizada correspondiente a xt .
Miguel González, Inés Ma del Puerto
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Métodos de descomposición: STL
(k)
(k)
St y Tt , t = 1, . . . , n estimaciones de las componentes estacional y
tendencia k-ésima iteración.
1) Se calcula la serie sin tendencia restando a los datos originales la
tendencia estimada en la k-ésima iteración.
2)Tenemos n = rs datos, denotemos por
(1)
(s)
{Xj }rj=1 , . . . , {Xj }rj=1
a las s–subseries. Estas subseries se suavizan de forma separada
por el método de suavizado de Loess, obteniendo las series
suavizadas denotadas
(1)
(s)
{Yj }rj=1 , . . . , {Yj }rj=1 .
Hay que seleccionar el parámetro de suavizado ms , el mismo para las
s-subseries. Una estimación inicial para la componente estacional es
(k+1)
Ct
(i)
= Yj , para t = i + s(j − 1).
Miguel González, Inés Ma del Puerto
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Definición y ejemplos Clasificación Objetivos Métodos clásicos de análisis
Métodos de descomposición: STL
3) Se realiza una 3 × s × s MA seguida de un suavizado de Loess de
(k+1)
parámetro ml a la serie Ct
. Denotamos esta serie suavizada por
(k+1)
Lt
.
4) La estimación de la componente estacional en la iteración k + 1, es
(k+1)
(k+1)
(k+1)
St
= Ct
− Lt
.
5) A los datos originales se le resta la componente estacional
adaptada en el paso 4.
6) La serie obtenida en el paso 5 tras un suavizado de Loess con
(k+1)
parámetro mt es Tt
.
Miguel González, Inés Ma del Puerto
Introducción a las series temporales
Definición y ejemplos Clasificación Objetivos Métodos clásicos de análisis
1800
1600
Electricidad
Electricidad
3MA
2x12MA
1400
1400
1600
1800
Ejemplo: Métodos de descomposición
1200
Loess
1000
1000
1200
Spencer
1992
1994
1996
1998
2000
2002
2004
1992
1994
1996
1998
2000
2002
2004
Series suavizadas de los datos de consumo total de electricidad.
Miguel González, Inés Ma del Puerto
Introducción a las series temporales
Definición y ejemplos Clasificación Objetivos Métodos clásicos de análisis
1.04
1800
Ejemplo: Métodos de descomposición
Electricidad
1.02
1600
Tendencia: M. clásico
C. irregular: M. clásico
0.94
1000
0.96
1200
0.98
1.00
1400
Tendencia: M. STL
1992
1994
1996
1998
2000
2002
2004
Componentes de tendencia
estimadas
Miguel González, Inés Ma del Puerto
C. irregular: M. STL
1992
1994
1996
1998
2000
2002
2004
Componentes irregulares
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Ejemplo: Métodos de descomposición
Enero
Febrero
Marzo
Abril
Mayo
Junio
Julio
Agosto
Septiembre
Octubre
Noviembre
Diciembre
Descomposición Clásica
1.097
0.992
1.025
0.944
0.968
0.985
1.041
0.953
0.968
0.978
1
1.048
Descomposición STL
1.1
1
1.026
0.944
0.965
0.982
1.042
0.954
0.97
0.979
1.001
1.049
Cuadro: Índices estacionales.
Miguel González, Inés Ma del Puerto
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Definición y ejemplos Clasificación Objetivos Métodos clásicos de análisis
Métodos de suavizado exponencial
Método de suavizado exponencial simple
Método de suavizado exponencial de Holt
Método de suavizado exponencial del Holt-Winter
Miguel González, Inés Ma del Puerto
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Definición y ejemplos Clasificación Objetivos Métodos clásicos de análisis
Métodos de suavizado exponencial
1
No efecto estacional
2
Estacionalidad Aditiva
3
Estacionalidad multiplicativa
A
No efecto
tendencia
B
Tendencia
aditiva
C
Tendencia
multiplicativa
Conductas de datos según la clasificación de Pegel.
Miguel González, Inés Ma del Puerto
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Definición y ejemplos Clasificación Objetivos Métodos clásicos de análisis
Métodos de suavizado exponencial
Sea {xt }nt=1 una serie temporal.
Método de suavizado exponencial simple
Método iterativo que proporciona una serie suavizada, {x̂t }nt=1 ,
del siguiente modo:
x̂t+1 = αxt + (1 − α)x̂t ,
donde α ∈ [0, 1] parámetro de suavizado.
Entendiendo (esto será así para todos los métodos de
suavizado exponencial) el valor x̂t+1 como la predicción dada
por el método para el dato xt+1 con la información disponible
hasta el tiempo t,
x̂t+1 = αxt + α(1 − α)xt−1 + . . . + α(1 − α)t−1 x1 + (1 − α)t x̂1 .
Miguel González, Inés Ma del Puerto
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