Predimensionamiento altura (h) Viga Simplemente Un extremo Dos extremos apoyada continuo continuos L/16 L/18.5 L/21 Tabla 2.9.5-a (Espesores mínimos en vigas) CHOC 2.21.3.1.4 base (b) a. No menor a 25cm. b. No mayor a el ancho del elemento soportante (columnas). En la práctica no encontramos estos ejemplos: Fig. 11.8 Nilson “Coeficientes para el cálculo de momentos del ACI” Voladizo L/8 Cálculo del peralte efectivo (d) Recubrimiento en vigas = 4cm mínimo Anillos #3 como mínimo hasta #11 Ejemplos d = h – recubrimiento – Øanillo – Ø#8/2 d = 40 – 4 – 0.95 – 2.54/2 = 33.78 cm y1 = 4 + 0.95 + 2.54/2 = 6.22 cm y2 = 4 + 0.95 + 2.54 + 1.91/2 = 8.45 cm As(Z) = (3#8) y1 + (2#6) y2 As #6 = 2.84 cm2 (2)#6 = (2)2.84 = 5.68 cm2 As #8 = 5.10 cm2 (3)#8 = (3)5.10 = 15.30 cm2 As total = 20.98 cm2 20.98 cm2(Z) = (15.30)(6.22) + (5.68)(8.45) Z = 6.82 cm d = 50 – 6.82 = 43.18 cm Revisión de Vigas Las dimensiones, propiedades y refuerzo de la viga ya están dadas y se verifica si resisten las cargas. Ejemplo de revisión de viga: Wd= 4500lb/ft (sin peso propio) Wl= 3000 lb/ft Fc’ = 3000 psi fy = 40,000 psi Revisar si resisten las cargas por flexión. Revisar si la cuantía de acero es la adecuada. Revisar si la separación entre varilla longitudinales es adecuada. 1. ØMn ≥ Mu Wu = 1.4Wd + 1.7Wl Mu=Mmax = 𝑊L2 8 ØMn = ØAsfy (d-a/2) Peso propio = 150 lb/ft3*12.5/12*20/12 = 260.42lb/ft Wu = 1.4(4500+260.42)+1.7(3000)=11,764.59 lb/ft Mu = 11,764.59x15x15/8=330,879.03 lb-ft = 3,970,548.41 lb-in As = 4#9 = 4*1in2 = 4.00 in2 a= Asfy 0.85fc’b = 5.02 in d = (20 – 1.57 – 0.375 – 1.128/2) in = 17.49 in ØMn = 2,157,120.00 lb-in 2,157,120.00 lb-in < 3,970,548.41 lb-in Por lo tanto, la viga NO cumple por flexión. 2. ρmin < 𝝆 < ρmax ρ= 𝐴𝑠 𝑏𝑑 = 4.00/(12.5*17.49) = 0.0183 ρmin= 0.005 ρmax = 0.0278 0.005 < 0.0183 < 0.0278 Ayudas de Nilson, tabla A-5 Por lo tanto, la viga si cumple por cuantía. 3. Espaciamiento entre varillas longitudinales. s = 12.5 - 2(1.57) - 2(0.375) - 1.128(4) 3 1.366 in =S ≥ Ø varilla longitudinal = 1.128 in 1.33 (tamaño del agregado grueso) = 0.99 in 1” Por lo tanto, la viga si cumple el espaciamiento entre varillas lonfitudinales Diseño de vigas A. Iteraciones sucesivas del valor de "a". B. Ayudas de diseño de Nilson. Ejercicio #1 Wd = 3000 kg/m (SPP) Wl = 2000 kg/m h=40 cm b=30 cm hmin = L/16 = 600/16 = 37.5 cm = 40 cm Inicialmente comenzamos con los valores de resistencia de los material más económicos. fc’ = 210 kg/cm2 fy = 2800 kg/cm2 Wu = 1.4Wd + 1.7Wl Mu=Mmax = 𝑊L2 8 a Mn = ØAsfy (d – ) 2 PP= 2400*0.30*0.40 = 288 kg/m Wu = 1.4(3000+288)+1.7(2000)=8,003.2 kg/m Mu = 36,014.4 kg-m = 3,601,440 kg-cm Iteraciones sucesivas de ‘a’: Proponer un valor de ‘a’ ya que no lo conocemos. Asfy Luego calcular a = Iterar hasta que coincida. 0.85fc’b a inicial = 5 cm Mu ≤ ØMn Mu = ØMn a Mu 2 ∅fy(d – ) Mu = ØAsfy (d – ) → As = a 2 No conocemos ‘d’ todavía, entonces considerar d = 0.8h = 32 cm As = Mu a ∅fy(d – ) 2 Asfy a = 0.85fc’b = 48.45 cm2 a = 25.33cm 2da iteración: a = 25.33 cm As=73.90 cm 2 a = 38.64cm Iterar hasta 5 veces, si se aleja aumentar dimensiones. Al realizar la 5ta iteración se observó que el valor de "a" se alejaba cada vez más, por lo que se decide aumentar las dimensiones y resistencia de los materiales. *Se propone aumentar la altura a 50 cm y la resistencia de los materiales a f´c=4000 psi (280 kg/cm2) y fy=60000 psi (4200 kg/cm2). Con estas nuevas dimensiones cambia el peso propio, siendo ahora: PP= 2400*0.30*0.50 = 360 kg/m La Carga Última Mayorada ahora es: Wu = 1.4( 3000+360) +1.7( 2000) =8,104 kg/m Por lo tanto el Mu para esta nueva sección es: Mu = 36,468 kg-m = 3,646,800 kg-cm Diseñando para esta nuevo sección considerando también el aumento en la resitencia de los materiales se tiene que: Considerando a inicial = 5 cm Mu ≤ ØMn Mu = ØMn 1ra iteración: a Mu 2 ∅fy(d – ) Mu = ØAsfy (d – ) → As = a 2 No conocemos ‘d’ todavía, entonces considerar d = 0.8h = 40 cm As = Mu a ∅fy(d – ) 2 = 25.73 cm2 a= Asfy 0.85fc’b 2da iteración: a = 15.13 cm As=29.74 cm2 a = 17.49 cm As=30.87 cm2 a = 18.15 cm As=31.19 cm2 a = 18.34 cm As=31.29 cm2 a = 18.40 cm 3ra iteración: a = 17.49 cm 3ra iteración: a = 18.15 cm 4ta iteración: a = 18.34 cm a = 15.13 cm Considerando varilla #8 (la selección del diámetro de la varilla queda a criterio del diseñador y de la disponibilidad comercial) No. de Varillas = As Total/As #8 = 31.29 cm2 / 5.10 cm2 = 6.14 varillas, podemos probar entonces con 6 ó 7 varillas #8. Probando con 6 #8 dispuestas de la siguiente forma: Durante el diseño tuvimos que utilizar d=0.80 h, debido a que no conocíamos la disposición del acero de refuerzo, ahora que conocemos el acero de refuerzo, verificamos que la viga cumpla con valores reales, siendo estos los siguientes: d REAL = Altura - Rec - anillo #3 - #8 = 50 - 4 - 0.95 - 2.54 = 42.51 cm As REAL = 6(5.10) = 30.60 cm2 a= As fy 0.85fc’b a = 30.60(4200)/0.85(280)(30) = 18 cm ØMn = ØAsfy(d-a/2) = 0.9x30.60x4200x(42.51-18/2) = 3,876,034.69 kg-cm Mu = 3,646,800 kg-cm Mu ≤ ØMn La viga cumple por Flexión Revisando el espaciamiento entre varillas longitudinales s = 30- 2( 4) - 2( 0. 95) - 2.54( 3) 2 6.24 cm = S ≥ Ø varilla longitudinal = 2.54 cm 1.33 (tamaño del agregado grueso) = 0.99 in = 2.51 cm 1” = 2.54 cm La viga cumple el espaciamiento entre varillas longitudinales. Revisando la Cuantía de Acero ρ=As/bd = 30.60/42.51(30) = 0.0239 Del Apéndice A.5 del libro de Nilson ρmin= 0.0033 ρmax=0.0214 No cumple por cuantía, aumentar dimensiones. Trabajo en casa Probar ahora con una sección de 55x30, f´c = 4000 psi y fy = 60,000 psi, esta viga debería de cumplir todas las revisiones. Ejercicio #2 Diseñar la siguiente viga: L = 770 cm fc’ = 210 kg/cm2 fy = 2800 kg/cm2 Predimensionamiento: hmin = L/21 = 770/21 = 36.07 cm = 40 cm WuL2/11 (Momento arriba) WuL2/11 (Momento arriba) WuL2/16 (Momento abajo) Áreas tributarias: A1 = ( 8.00+0.50 2 )*3.75 = 15.94 cm2 A1 = A2 Atotal = 31.88 cm2 Ocupación: Oficina → CV= 250 kg/m2 SCM= 300 kg/m2 Peso Propio Viga PP= 2400*0.40*0.30= 288 kg/m Predimensionamiento Losa Perímetro de losa/ 180 = 770+770+720+720/180 = 0.17 cm Peso Propio Losa Wlosa = 2400*0.17 = 408 kg/m2 CM = ( CV = ( (300+408)∗31.88 8 (250)∗31.88 8 ) = 2821.38 kg/m )= 996.25kg/m Wu = 1.4(2821.38+288)+1.7(996.25)=6,046.76 kg/m Obteniendo el Momento Máximo Negativo, utilizando de los coeficientes del ACI: WuL2/11 = 32,592.04 kg-m De manera similar el Momento Máximo Positivo WuL2/16 = 22,407.03 kg-m Se realizan Iteraciones sucesivas de ‘a’: No cumple con esta sección se aumentó ‘h’ → y las propiedadesde los materiales fc’ = 280 kg/cm2 fy = 4200 kg/cm2 PP= 2400*0.50*0.30= 360 kg/m CM = 2821.38 kg/m CV = 996.25kg/m Wu = 1.4(2821.38+360)+1.7(996.25)=6,147.56 kg/m Obteniendo el Momento Máximo Negativo, utilizando de los coeficientes del ACI: WuL2/11 = 33,135.35 kg-m De manera similar el Momento Máximo Positivo WuL2/16 = 22,780.55 kg-m Para Mu(-)=33,135.35 kg-m a inicial = 10 cm As = Mu a 2 ∅fy(d – ) d = 0.8(50)= 40 cm = 25.05 cm2 2da iteración: As= 26.86 cm2 3ra 4ta 5ta a = 15.80 cm a = 16.06 cm a = 16.13 cm iteración: As= 27.45 cm2 Asfy 0.85fc’b = 14.73 cm As = a = 16.15 cm Mu a 2 d = 0.8(50)= 40 cm = 17.22 cm2 ∅fy(d – ) iteración: As= 17.24 cm2 3ra iteración: As= 27.42 cm2 a= a inicial = 10 cm 2da iteración: As= 27.31 cm2 Para Mu(+)=22,780.55 kg-m a = 10.15 cm iteración: As= 17.26 cm2 a = 10.15 cm a= Asfy 0.85fc’b = 10.12 cm La selección del diámetro de la varilla queda a criterio del diseñador y de la disponibilidad comercial), a continuación algunas posibilidades: Para As(-)=27.45 cm2 Total, de varillas a utilizar: #4 → As= 1.29 cm2 → 27.45/1.29 = 21.28 = 21-22 varillas. #6 → As= 2.84 cm2 → 27.45/2.84 = 9.67 = 9-10 varillas. #8 → As= 5.10 cm2 → 27.45/5.10 = 5.38 = 5-6 varillas. Elegiré esta opción Verificación con valores reales Ya tenemos las dimensiones, refuerzos y propiedades dadas, verificamos que se cumpla ØMn ≥ Mu. Ø #8= 2.54 cm dreal = 50-4-0.95-2.54/2 = 43.78 cm areal= 15 cm Asreal= 5 #8 = 5*5.10 = 25.50 cm2 ØMn = 3,479,029.20 kg-cm ØMn ≥ Mu → 3,479,029.20 kg-cm ≥ 3,313,535 kg-cm Cumple por Flexión. * Revisar Cuantía y Espaciamiento de Varillas Longitudinales. Para As(-)=17.26 cm2 Total, de varillas a utilizar: #4 → As= 1.29 cm2 → 17.26/1.29 = 13.38 = 13-14 varillas. #6 → As= 2.84 cm2 → 17.26/2.84 = 6.08 = 6-7 varillas. #8 → As= 5.10 cm2 → 17.26/5.10 = 3.38 = 3-4 varillas. Elegiré esta opción Verificación con valores reales Ya tenemos las dimensiones, refuerzos y propiedades dadas, verificamos que se cumpla ØMn ≥ Mu. Ø #8= 2.54 cm dreal = 50-4-0.95-2.54/2 = 43.78 cm areal= 9 cm Asreal= 3 #8 = 3*5.10 = 15.30 cm2 ØMn = 3,479,029.20 kg-cm ØMn ≥ Mu → 2,271,719.52 kg-cm ≥ 2,278,055 kg-cm Cumple por Flexión. * Revisar Cuantía y Espaciamiento de Varillas Longitudinales. Diseño de vigas de concreto reforzado Partimos de Mu y se diseña b, h, As, fc, fy. a. Iteraciones sucesivas del valor de ‘a’. b. Ayudas de diseño de Nilson. Cuando no cumple ØMn ≥ Mu. Aumentar dimensiones/ aumentar ‘d’ es más efectivo. Aumentar propiedades del material. Aumentar As. En algunos casos: La altura de la viga y las propiedades están restringidas y con Asmax y aun no se cumple ØMn ≥ Mu, en estos casos se puede agregar acero en la zona de compresión para elevar ØMn.