2. Diseño de Vigas de Concreto

Predimensionamiento
altura (h)
Viga
Simplemente
Un extremo
Dos extremos
apoyada
continuo
continuos
L/16
L/18.5
L/21
Tabla 2.9.5-a (Espesores mínimos en vigas)
CHOC 2.21.3.1.4
base (b)
a. No menor a 25cm.
b. No mayor a el ancho del elemento soportante (columnas).
En la práctica no encontramos estos ejemplos:
Fig. 11.8 Nilson “Coeficientes para el cálculo de momentos del ACI”
Voladizo
L/8
Cálculo del peralte efectivo (d)


Recubrimiento en vigas = 4cm mínimo
Anillos #3 como mínimo hasta #11
Ejemplos
d = h – recubrimiento – Øanillo – Ø#8/2
d = 40 – 4 – 0.95 – 2.54/2 = 33.78 cm
y1 = 4 + 0.95 + 2.54/2 = 6.22 cm
y2 = 4 + 0.95 + 2.54 + 1.91/2 = 8.45 cm
As(Z) = (3#8) y1 + (2#6) y2
As #6 = 2.84 cm2
(2)#6 = (2)2.84 = 5.68 cm2
As #8 = 5.10 cm2
(3)#8 = (3)5.10 = 15.30 cm2
As total = 20.98 cm2
20.98 cm2(Z) = (15.30)(6.22) + (5.68)(8.45)
Z = 6.82 cm
d = 50 – 6.82 = 43.18 cm
Revisión de Vigas
Las dimensiones, propiedades y refuerzo de la viga ya están dadas y se verifica si resisten las
cargas.
Ejemplo de revisión de viga:
Wd= 4500lb/ft (sin peso propio) Wl= 3000 lb/ft
Fc’ = 3000 psi
fy = 40,000 psi



Revisar si resisten las cargas por flexión.
Revisar si la cuantía de acero es la adecuada.
Revisar si la separación entre varilla longitudinales es adecuada.
1. ØMn ≥ Mu
Wu = 1.4Wd + 1.7Wl
Mu=Mmax =
𝑊L2
8
ØMn = ØAsfy (d-a/2)
Peso propio = 150 lb/ft3*12.5/12*20/12 = 260.42lb/ft Wu =
1.4(4500+260.42)+1.7(3000)=11,764.59 lb/ft
Mu = 11,764.59x15x15/8=330,879.03 lb-ft = 3,970,548.41 lb-in
As = 4#9 = 4*1in2 = 4.00 in2
a=
Asfy
0.85fc’b
= 5.02 in
d = (20 – 1.57 – 0.375 – 1.128/2) in = 17.49 in
ØMn = 2,157,120.00 lb-in
2,157,120.00 lb-in < 3,970,548.41 lb-in
Por lo tanto, la viga NO cumple por flexión.
2.
ρmin < 𝝆 < ρmax
ρ=
𝐴𝑠
𝑏𝑑
= 4.00/(12.5*17.49) = 0.0183
ρmin= 0.005
ρmax = 0.0278
0.005 < 0.0183 < 0.0278
Ayudas de Nilson, tabla A-5
Por lo tanto, la viga si cumple por cuantía.
3. Espaciamiento entre varillas longitudinales.
s = 12.5 - 2(1.57) - 2(0.375) - 1.128(4)
3
1.366 in =S ≥ Ø varilla longitudinal = 1.128 in
1.33 (tamaño del agregado grueso) = 0.99 in
1”
Por lo tanto, la viga si cumple el
espaciamiento entre varillas
lonfitudinales
Diseño de vigas
A. Iteraciones sucesivas del valor de "a".
B. Ayudas de diseño de Nilson.
Ejercicio #1
Wd = 3000 kg/m (SPP)
Wl = 2000 kg/m h=40 cm
b=30 cm
hmin = L/16 = 600/16 = 37.5 cm = 40 cm
Inicialmente comenzamos con los valores de resistencia de los material más económicos.
fc’ = 210 kg/cm2 fy = 2800 kg/cm2
Wu = 1.4Wd + 1.7Wl
Mu=Mmax =
𝑊L2
8
a
Mn = ØAsfy (d – )
2
PP= 2400*0.30*0.40 = 288 kg/m
Wu = 1.4(3000+288)+1.7(2000)=8,003.2 kg/m
Mu = 36,014.4 kg-m = 3,601,440 kg-cm
Iteraciones sucesivas de ‘a’:
 Proponer un valor de ‘a’ ya que no lo conocemos.
Asfy

Luego calcular a =

Iterar hasta que coincida.
0.85fc’b
a inicial = 5 cm
Mu ≤ ØMn
Mu = ØMn
a
Mu
2
∅fy(d – )
Mu = ØAsfy (d – ) → As =
a
2
No conocemos ‘d’ todavía, entonces considerar d = 0.8h = 32 cm
As =
Mu
a
∅fy(d – )
2
Asfy
a = 0.85fc’b
= 48.45 cm2
a = 25.33cm
2da iteración:
a = 25.33 cm
As=73.90 cm
2
a = 38.64cm
 Iterar hasta 5 veces, si se aleja aumentar dimensiones.
Al realizar la 5ta iteración se observó que
el valor de "a" se alejaba cada vez más,
por lo que se decide aumentar las
dimensiones y resistencia de los
materiales.
*Se propone aumentar la altura a 50 cm y la
resistencia de los materiales a f´c=4000 psi
(280 kg/cm2) y fy=60000 psi (4200 kg/cm2).
Con estas nuevas dimensiones cambia el peso propio, siendo ahora:
PP= 2400*0.30*0.50 = 360 kg/m
La Carga Última Mayorada ahora es:
Wu = 1.4( 3000+360) +1.7( 2000) =8,104 kg/m
Por lo tanto el Mu para esta nueva sección es:
Mu = 36,468 kg-m = 3,646,800 kg-cm
Diseñando para esta nuevo sección considerando también el aumento en la resitencia de los materiales se tiene que:
Considerando a inicial = 5 cm
Mu ≤ ØMn
Mu = ØMn
1ra iteración:
a
Mu
2
∅fy(d – )
Mu = ØAsfy (d – ) → As =
a
2
No conocemos ‘d’ todavía, entonces considerar d = 0.8h = 40 cm
As =
Mu
a
∅fy(d – )
2
= 25.73 cm2
a=
Asfy
0.85fc’b
2da iteración:
a = 15.13 cm
As=29.74 cm2
a = 17.49 cm
As=30.87 cm2
a = 18.15 cm
As=31.19 cm2
a = 18.34 cm
As=31.29 cm2
a = 18.40 cm
3ra iteración:
a = 17.49 cm
3ra iteración:
a = 18.15 cm
4ta iteración:
a = 18.34 cm
a = 15.13 cm
Considerando varilla #8 (la selección del diámetro de la varilla queda a criterio del diseñador y de la disponibilidad comercial)
No. de Varillas = As Total/As #8 = 31.29 cm2 / 5.10 cm2 = 6.14 varillas, podemos probar entonces con 6 ó 7 varillas #8.
Probando con 6 #8 dispuestas de la siguiente forma:
Durante el diseño tuvimos que utilizar d=0.80 h, debido a que no conocíamos la disposición del acero de refuerzo, ahora que
conocemos el acero de refuerzo, verificamos que la viga cumpla con valores reales, siendo estos los siguientes:
d REAL = Altura - Rec - anillo #3 - #8 = 50 - 4 - 0.95 - 2.54 = 42.51 cm
As REAL = 6(5.10) = 30.60 cm2
a=
As fy
0.85fc’b
a = 30.60(4200)/0.85(280)(30) = 18 cm
ØMn = ØAsfy(d-a/2) = 0.9x30.60x4200x(42.51-18/2) = 3,876,034.69 kg-cm
Mu = 3,646,800 kg-cm
Mu ≤ ØMn
La viga cumple por Flexión
Revisando el espaciamiento entre varillas longitudinales
s = 30- 2( 4) - 2( 0. 95) - 2.54( 3)
2
6.24 cm = S ≥ Ø varilla longitudinal = 2.54 cm
1.33 (tamaño del agregado grueso) = 0.99 in = 2.51 cm
1” = 2.54 cm
La viga cumple el espaciamiento
entre varillas longitudinales.
Revisando la Cuantía de Acero
ρ=As/bd = 30.60/42.51(30) = 0.0239
Del Apéndice A.5 del libro de Nilson
ρmin= 0.0033
ρmax=0.0214
No cumple por cuantía, aumentar dimensiones.
Trabajo en casa
Probar ahora con una sección de 55x30, f´c = 4000 psi y fy = 60,000 psi, esta viga debería de
cumplir todas las revisiones.
Ejercicio #2
Diseñar la siguiente viga:
L = 770 cm fc’ = 210 kg/cm2 fy = 2800 kg/cm2
Predimensionamiento:
hmin = L/21 = 770/21 = 36.07 cm = 40 cm
WuL2/11 (Momento arriba)
WuL2/11 (Momento arriba)
WuL2/16 (Momento abajo)
Áreas tributarias:
A1 = (
8.00+0.50
2
)*3.75 = 15.94 cm2
A1 = A2
Atotal = 31.88 cm2
Ocupación: Oficina → CV= 250 kg/m2
SCM= 300 kg/m2
Peso Propio Viga
PP= 2400*0.40*0.30= 288 kg/m
Predimensionamiento Losa
Perímetro de losa/ 180 = 770+770+720+720/180 = 0.17 cm
Peso Propio Losa
Wlosa = 2400*0.17 = 408 kg/m2
CM = (
CV = (
(300+408)∗31.88
8
(250)∗31.88
8
) = 2821.38 kg/m
)=
996.25kg/m
Wu = 1.4(2821.38+288)+1.7(996.25)=6,046.76 kg/m
Obteniendo el Momento Máximo Negativo, utilizando de los coeficientes del ACI: WuL2/11 = 32,592.04 kg-m
De manera similar el Momento Máximo Positivo WuL2/16 = 22,407.03 kg-m
Se realizan Iteraciones sucesivas de ‘a’:
No cumple con esta sección
se aumentó ‘h’ →
y las propiedadesde los materiales
fc’ = 280 kg/cm2 fy = 4200 kg/cm2
PP= 2400*0.50*0.30= 360 kg/m
CM = 2821.38 kg/m
CV = 996.25kg/m
Wu = 1.4(2821.38+360)+1.7(996.25)=6,147.56 kg/m
Obteniendo el Momento Máximo Negativo, utilizando de los coeficientes del ACI: WuL2/11 = 33,135.35 kg-m
De manera similar el Momento Máximo Positivo WuL2/16 = 22,780.55 kg-m
Para Mu(-)=33,135.35 kg-m
a inicial = 10 cm
As =
Mu
a
2
∅fy(d – )
d = 0.8(50)= 40 cm
= 25.05 cm2
2da iteración:
As= 26.86 cm2
3ra
4ta
5ta
a = 15.80 cm
a = 16.06 cm
a = 16.13 cm
iteración:
As= 27.45 cm2
Asfy
0.85fc’b
= 14.73 cm
As =
a = 16.15 cm
Mu
a
2
d = 0.8(50)= 40 cm
= 17.22 cm2
∅fy(d – )
iteración:
As= 17.24 cm2
3ra
iteración:
As= 27.42 cm2
a=
a inicial = 10 cm
2da
iteración:
As= 27.31 cm2
Para Mu(+)=22,780.55 kg-m
a = 10.15 cm
iteración:
As= 17.26 cm2
a = 10.15 cm
a=
Asfy
0.85fc’b
= 10.12 cm
La selección del diámetro de la varilla queda a criterio del diseñador y de la disponibilidad comercial), a
continuación algunas posibilidades:
Para As(-)=27.45 cm2
Total, de varillas a utilizar: #4 → As= 1.29 cm2 → 27.45/1.29 = 21.28 = 21-22 varillas.
#6 → As= 2.84 cm2 → 27.45/2.84 = 9.67 = 9-10 varillas.
#8 → As= 5.10 cm2 → 27.45/5.10 = 5.38 = 5-6 varillas.
Elegiré esta opción
Verificación con valores reales
Ya tenemos las dimensiones, refuerzos y propiedades dadas, verificamos que se cumpla
ØMn ≥ Mu.
Ø #8= 2.54 cm
dreal = 50-4-0.95-2.54/2 = 43.78 cm
areal= 15 cm
Asreal= 5 #8 = 5*5.10 = 25.50 cm2
ØMn = 3,479,029.20 kg-cm
ØMn ≥ Mu → 3,479,029.20 kg-cm ≥ 3,313,535 kg-cm
Cumple por Flexión.
* Revisar Cuantía y Espaciamiento
de Varillas Longitudinales.
Para As(-)=17.26 cm2
Total, de varillas a utilizar: #4 → As= 1.29 cm2 → 17.26/1.29 = 13.38 = 13-14 varillas.
#6 → As= 2.84 cm2 → 17.26/2.84 = 6.08 = 6-7 varillas.
#8 → As= 5.10 cm2 → 17.26/5.10 = 3.38 = 3-4 varillas.
Elegiré esta opción
Verificación con valores reales
Ya tenemos las dimensiones, refuerzos y propiedades dadas, verificamos que se cumpla
ØMn ≥ Mu.
Ø #8= 2.54 cm
dreal = 50-4-0.95-2.54/2 = 43.78 cm
areal= 9 cm
Asreal= 3 #8 = 3*5.10 = 15.30 cm2
ØMn = 3,479,029.20 kg-cm
ØMn ≥ Mu → 2,271,719.52 kg-cm ≥ 2,278,055 kg-cm
Cumple por Flexión.
* Revisar Cuantía y Espaciamiento
de Varillas Longitudinales.
Diseño de vigas de concreto reforzado
Partimos de Mu y se diseña b, h, As, fc, fy.
a. Iteraciones sucesivas del valor de ‘a’.
b. Ayudas de diseño de Nilson.
Cuando no cumple ØMn ≥ Mu.
 Aumentar dimensiones/ aumentar ‘d’ es más efectivo.
 Aumentar propiedades del material.
 Aumentar As.
En algunos casos:
La altura de la viga y las propiedades están restringidas y con Asmax y aun no se cumple
ØMn ≥ Mu, en estos casos se puede agregar acero en la zona de compresión para elevar ØMn.