Analisis no lineal Rev.1

C ÁT E D R A S D E G E O T E C N I A Y
CIMENTACIONES
• RELACIONES TENSIÓN – DEFORMACIÓN - NO LINEALES
• MODELO DE WINKLER SEGÚN TERZAGHI
• EJERCICIOS DE APLICACION
RESUMEN DE PUNTOS PRINCIPALES
2003
EDITADO POR CECILIA BASUALDO
REVISIÓN I ABRIL 2005
1
ANÁLISIS NO LINEAL DE LAS RELACIONES TENSIÓNDEFORMACIÓN EN LOS SUELOS
(Resumen de puntos principales)
Los suelos están constituidos por partículas discretas y presentan tres fases:
sólida – liquida – gaseosa, y su comportamiento ingenieril se caracteriza por su
resistencia mecánica y su deformabilidad.
Cuando los macizos de suelo entran en contacto con los elementos estructurales
de fundación se genera una I N T E R A C C I O N S U E L O - E S T R U C T U R A , es decir, un
comportamiento interdependiente.
Hay una gran diferencia de resistencia y deformabilidad entre, por ejemplo, una
base de hormigón y un suelo de fundación de manera que su caracterización no
es la misma.
Durante el proceso de interacción las propiedades mecánicas de las estructuras
σ
permanecen “CONSTANTES”, pero en los suelos varían estas propiedades ( , E,
ν)
con el incremento de las deformaciones y de las tensiones. (Núñez 1996)
La ley de variación de
σ
R
, E y
ν
es generalmente
N O L I N E A L y resulta muy
importante su conocimiento para predecir el comportamiento de las estructuras.
Antes del desarrollo masivo de las computadoras, los análisis de tensióndeformación suponían un comportamiento elástico y lineal de los suelos pero con
los métodos numéricos de cálculo tales como el Método de los Elementos Finitos
es posible aproximar el comportamiento no lineal en un análisis tensióndeformación.
Naturalmente que para aproximar dicho comportamiento es necesario predecir y
d e s c r i b i r u n m o d e l o e n t é r m i n o s cuantitativos , es decir, una ley de variación
aceptable, y además generar técnicas que permitan incorporar el comportamiento
en dichos análisis. ( D u n c a n e t a l 1 9 7 0 )
MODELO HIPERBÓLICO DE KONDNER
Kondner (1963) demostró que un comportamiento no lineal tensión-deformación
σ, ε )
(
puede estar representado adecuadamente por medio de una HIPÉRBOLA,
q u e i n c l u y e e n s u e c u a c i ó n d o s constantes hiperbólicas d e f i n i d a s p o s t e r i o r m e n t e
como a y b. La ecuación general puede según Kondner representarse como lo
indica la figura 1 con la siguiente expresión:
σ
ε
=
a + b
(1)
ε
y
=
x
a + b x
con asíntotas dadas por las ecuaciones:
ε
σ
-α
=
u
=
β
2
Para encontrar los valores de la tangente para
σ
dε
d
ε = 0 derivamos la (1)
1
ε=0
a
Como se observa en la figura 1, la derivada para
ε
= 0, es decir, la tangente (OA)
a la curva en ese punto no es más que el Módulo inicial de deformación Ei
∴
Ei
=
1 / a
Con respecto al valor último de
∴
σ último
=
σ
u
=
σ, se obtiene cuando el valor de ε
∞
1 / b
Se ven claramente estos valores con un ejemplo numérico.
Suponemos en la ecuación (1)
σ
ε
=
a + b
ε
a = 0,01
que
b = 0,5
ε
σ
=
≅ 0,00001
0,00001
0,01 + 0,5 . 0,00001
≅
0,00001
≅
0,001
0,01
3
Ei
∆σ
∆ε ε
=
Para evaluar
∴ σU
σ
=
=
0,001
0
100
≅
1 / a
0,00001
suponemos ahora que
u
=
≅
100000
ε
= 100000
100000
0,01 + 0,5 . 100000
=
2
=
1 / b
50000
Una transformada en los ejes coordenados permite rescribir la ecuación (1)
ε
σ
=
a + b
ε
(2)
que es la ecuación de una recta que en su forma aplicada es:
σ
ε
1
-
=
σ
a + b
ε
(2´)
3
ε / σd
b
1
FIGURA 2
a
ε
Esta ecuación es muy útil y fácil de visualizar como se muestra en la figura 2. Es
decir, que la ordenada al origen a e s 1 / Ei y la pendiente b es 1 /
transformada se obtiene rápidamente Ei y
σ ult..
σ u.
Puede relacionarse experimentalmente el valor de rotura de un ensayo
(
σ
1
-
σ
3
) Rot. con
σ ult.
Con esta
σd
R
ó
que es la asintota mediante un factor R f (Relación a la
σd
σu
falla), de tal manera que
R
=
Rf
(3)
S e h a e n c o n t r a d o q u e p a r a e s t e m o d e l o d e h i p e r b ó l i c o R f varía entre 0,75 y 0,95
aproximadamente.
σu
=
σd
R
=
1/b
Rf
4
Teniendo en cuenta la (3) la expresión (1) queda:
σ
d
ε
=
ε
=
a + b
ε
(4)
1 / Ei + ( R f .
ε / σdR)
(Hipérbola)
y la transformada (2´)
ε
σd
=
1
+
Rf .
ε
σd
Ei
=
1
+
( a
(5)
σu
Ei
R
ε
+
b
(Recta)
ε
)
RELACIONES ENTRE LA PRESION DE CONFINAMIENTO Y Ei
Se ha verificado para todos los suelos en condición CD ó CU (salvo en suelos en
condición UU saturados, donde
φu =
0) que el módulo tangente inicial Ei a u m e n t a
con la presión de confinamiento; asimismo crece
σd
R
cuando aumenta
σ . Estas
3
relaciones, según Janbu se expresan:
Ei
=
k . pa
σ
.
n
(6)
3
pa
d o n d e k y n s o n n ú m e r o s ; n e s e l e x p o n e n t e q u e d e t e r m i n a l a v a r i a c i ó n d e Ei y k
es un coeficiente numérico que afecta directamente a E.
pa
= p r e s i ó n a t m o s f é r i c a q u e d e b e e x p r e s a r s e e n l a s m i s m a s u n i d a d e s q u e E i.
La figura 3 muestra un gráfico doble
determinarse los coeficientes k y n.
La (6) puede escribirse:
Ei
=
σ
k.
pa
ó
n
logarítmico
a
partir
del
cual
pueden
(6´)
3
pa
log
Ei
=
log k
+
n . log
pa
y
σ
(7)
3
pa
=
a
+
b . x
Es la ecuación de una recta.
E n e l s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s l o g E i - log
σ , la figura 3 da un ejemplo de la Ley
3
de variación de Ei.
5
Las figuras 4 y 5 muestran metodológicamente una secuencia de series triaxiales
CD ejecutados sobre arenas finas uniformes donde se exhiben:
•
Resultados de ensayos triaxiales para
•
Transformada de Kondner (hipérbola
σ
3
= 1 , 3 , 5 Kg/cm
2
recta)
6
ARENAS DENSAS
ARENAS SUELTAS
FIGURAS 4 Y 5
Ecuación transformada a partir del modelo de Kondner.
7
La figura 6 resume los resultados de los ensayos sobre las arenas densas y
sueltas aplicando el criterio de Janbu, variación de Ei c o n
σ
3
.
FIGURA 6
Todos los ensayos fueron extraídos de Seed y Chang (1970)
V A R I A C I Ó N D E L M O D U L O S E C A N T E ( E s) C O N
σd
Es necesario en ciertos problemas conocer como varia la deformabilidad con las
s o l i c i t a c i o n e s , e s d e c i r , Es = f(
σ
d
). Las técnicas se denominan iterativas. Este
procedimiento puede emplearse en situaciones donde intervengan cargas o
presiones y deformaciones, por ejemplo:
ü Ensayos de carga sobre platos o bases : donde es de uso el “coeficiente
de reacción” o balasto en el cual la relación esta dada por:
2
3
q (Kg/cm )
=
k (Kg/cm )
y (cm)
donde
q = presión aplicada al plato de carga
y = deformación vertical
D e a c u e r d o c o n e l m o d e l o e x p u e s t o l a d e f o r m a b i l i d a d d a d a p o r “k ” no puede ser
constante sino variable.
k = f( q )
ü Ensayos de carga sobre pilotes : d o n d e s e p u e d e n r e l a c i o n a r l a s c a r g a s
sobre el pilote (Q) contra la llamada “constante del resorte” definida como si el
pilote se considerara sobre un RESORTE.
En este caso K = Q /
δ
= f ( Q)
K es la constante del resorte:
k = Q /
δ
= t/cm ó Kg/cm
8
ü
σd)
Ensayos triaxiales : d o n d e Es = f (
σd)
ENSAYOS TRIAXIALES
Es = f (
Para un modelo que puede ajustarse como hiperbólico, la experiencia permite
apuntar hacia una variación lineal entre Es y
m = pendiente = Ei /
E s = Ei
– m .
( y =
-
a
E s = Ei
σd
σ
σ d tal como se indica en figura 7.
U
m . x )
–
Ei
σd
.
σu
=
Ei
1 -
1
σu
σd
donde:
σu
σ
=
R
Rf
⇒
Es
=
Ei
1 -
σd
σ
.
Rf
(8)
R
(7)
→ La variación de Es c o n
σ d es lineal.
Adicionalmente:
σd
=
1
Rf
σ
R
+
(8´)
1
Ei .
ε
P u e d e d e m o s t r a r s e a s i m i s m o q u e l a v a r i a c i ó n d e E t con
σd es parabólica
9
Et
=
Ei
1 -
Rf .
σd
σ
2
(9)
R
relación aplicable a técnicas i n c r e m e n t a b l e s
ENSAYOS DE PLATOS DE CARGA
k = f (q)
(Núñez 1998)
La misma técnica de Kondner expuesta para las relaciones
σ -ε
en ensayos
triaxiales, puede emplearse para interpretar ensayos sobre platos de carga que
permiten valorizar k (coeficiente de reacción).
La figura 8 (sin escala) presenta el aspecto típico de un ensayo de plato de carga,
y su interpretación a partir del modelo hiperbólico.
Empleando el modelo hiperbólico puede asimilarse la ecuación (1)
σ
ε
=
1
a + b
ε
k
a
b
Rf
donde
∴
a la expresión
q / y
q / y
=
1
a + b x
=
=
=
=
q /
1 /
1 /
qR
=
y
ki
qu
/ qu
1
1
ki
+
Rf
. y
qR
S a c a n d o f a c t o r c o m ú n 1 / ki
10
k =
q / y
=
1
1
1
=
+
ki
=
c
1 + Dy
ki
Rf . y
1
+
=
(10)
ki . R f . y
q R . 1 / Ki
qR
q u e e s l a e c u a c i ó n d e u n a hipérbola
k = f (1 / y)
Figura 8 c)
Si se efectúa una transformada de ejes puede escribirse:
1 + ki . R f . y
1 / k
=
y / q
=
qR
=
ki
1
+
Rf . y
ki
;
(a + b x)
(11)
qR
La ecuación (10) es la de una recta transformada a partir de la hipérbola (Figura 8
(c))
ENSAYOS DE CARGA SOBRE PILOTES k = f(Q)
(Núñe z 1998)
Siguiendo con los mismos conceptos ya expuestos, en la figura 9 se muestra un
croquis de un ensayo a compresión de un pilote. A partir del mismo puede
obtenerse la constante K de un resorte equivalente (F = K . x), es decir, la
respuesta del terreno a la pieza de transferencia de cargas que es justamente el
pilote.
cte. del resorte:
K = Q /
δ
(t/cm)
Q = carga en la cabeza del pilote
δ
= hundimiento de la cabeza del pilote
Con la misma metodología de casos anteriores:
K
=
Ki
( 1 -
Relación lineal
R f . Q / QR )
(12)
k = f (Q)
Adicionalmente:
11
Q
=
ki
1/
δ
+
(13)
y
ki . R f
QR
δ
=
1
ki
1
Q
(14)
-
Rf
QR
MODELO DE WINKLER
RESUMEN DE PUNTOS IMPORTANTES
ü
El modelo de Winkler supone que una base rígida que trasmite una
presión p al suelo se asienta un valor y tal como lo haría en un líquido de peso
unitario:
γL
=
p / y
3
= k
(t/m )
En efecto (figura 1) Por el principio de Arquimides, el empuje E será:
B
p
y
FIGURA 1
E
=
E
=
∴
γ L . Vol. de s a l o j a d o
γ L . B . y . 1 , la presión reactiva es: E / Área
p = E / A =
γL . B . y . 1 = γL . y
B . 1
y
p / y
=
γL
Si p / y = k = cte.
=
k
3
(t/m )
⇒ el modelo elástico es lineal
REACCION DE LA SUBRASANTE
Es la presión de contacto entre una viga ó base cargada, y la subrasante a la cual
transfiere su carga.
ü
Terzaghi (1955) trató el problema presión-deformación
un análisis elástico lineal.
p-y
mediante
12
ü
La primera simplificación de Terzaghi consiste en suponer que el
coeficiente de reacción vertical definido como:
3
kv = p / y
(t/m )
ó
(t/cuft)
es constante e independiente del valor de p a p l i c a d o s o b r e e l s u e l o , a u n q u e h a c e
la salvedad que esta relación lineal debe emplearse para solicitaciones lejanas a
la rotura. (Por ejemplo: ¼ a 1/5 de la rotura)
ü
La segunda simplificación supone que kv tiene el mismo valor para
cualquier punto de la superficie de contacto.
ü
Lo que si resulta claro en el análisis de Terzaghi, es que el valor final de
kv depende de las propiedades elásticas del material y de la forma y dimensiones
del área cargada.
•
Según Núñez (1996) conviene reanalizar el problema y caracterizar los
materiales de subrasante para una relación tensión-deformación NO LINEAL y
extender el concepto de Terzaghi.
•
k1
NOTACION
coeficiente de reacción para una placa o viga de ancho
B
k1
coeficiente de reacción para un plato cuadrado de
1ft x 1ft
=
1ft
•
Para examinar la influencia del ancho B de la superficie cargada se emplea
el concepto del BULBO DE TENSIONES.
•
Terzaghi asume que el bulbo significativo se extiende hasta una presión
σv
inducida del orden del 0,25p en superficie (
≅
σv
0 , 2 5 p v) dado que la mayor
p o r c i ó n d e l c a m p o d e t e n s i o n e s , y e n c o n s e c u e n c i a de los asientos s e d e s a r r o l l a n
en dicho volumen.
•
COEFICIENTES KV PARA MATERIALES COHESIVOS
Se considera que E es constante con la profundidad y en todo el ANCHO de la
base.
B1
= 1 foot
n . B1 = B
B1
p
p
y1
yn
D
nD
Se examinan dos bases ó vigas y sus respectivos bulbos de tensiones.
La presión es p es la misma en todos los casos.
13
Obviamente:
D1 = n . D
•
Para un mismo valor de p el asiento se incrementa proporcionalmente a B y
a las dimensiones del bulbo. (Recordar la expresión: y = q . B . ( 1 -
ν
2
) . Is . Id )
E
•
Con este antecedente los asientos respectivos serán:
para B 1 = 1 foot
y1
yn
=
n . y1
para
B = n . B1
Según la expresión general:
kv =
p / y n = p / n . y1
Multiplicando y dividiendo por B 1 / B 1 q u e d a
(B 1 = 1ft)
kv = p / n . y 1 . B 1 / B 1 = p / y 1 . B 1 / n . B 1
⇒
kv
=
k1 . 1 / B
(I)
k 1 es el valor para una placa de ancho B 1 = 1 ft
•
k1
Expresión general de k 1 según Terzaghi para una placa rectangular
=
k 1 . ( L + 0,5 )
siendo el ancho B 1 = 1 ft. y largo = L (ft)
1,5 L
S i e n d o k 1 el coeficiente para un plato de 1 ft x 1 ft, se denota con L el multiplicador
de la relación entre el largo y el ancho de 1 ft.
Ejemplos:
1)
largo = 2 ft
L = 2
ancho = 1 ft
∴
k1
=
k 1 . ( 2 + 0,5 )
=
0,833
=
0,88 k 1
=
1,00 k 1
=
0,67 k 1
k1
1,5 . 2
2)
largo = 1,5 ft
L = 1, 5
∴
ancho = 1 ft
k1
=
k 1 . ( 1,5 + 0,5 )
1,5 . 1,5
3)
largo = 1 ft
L = 1
ancho = 1 ft
∴
k1
=
k 1 . ( 1 + 0,5 )
1,5 . 1
4)
largo = 100 ft
L = 100
∴
ancho = 1 ft
k1
=
k 1 . ( 100 + 0,5 )
1,5 . 100
14
De esta manera el valor kv para las distintas relaciones de forma el valor kv
apunta hacia:
•
kv
=
k1
Placa cuadrada
B
•
kv
=
0,67 . k 1
Placa de gran longitud
B
Si se emplean unidades métricas, por ejemplo para una placa cuadrada:
kv
=
3
k1
(Kg/cm )
B
B expresa cuantas veces el ancho de la base es 30,48 cm. Por ejemplo si el ancho
es = 91,44 cm entonces B = 3 ( 91,44 / 30,48 = 3)
V A L O R E S D E K1 ( s e g ú n T e r z a g h i ) t / c u f t
CONSISTENCIA
q u (t/sqft)
firme
muy firme
Dura
1 - 2
2 - 4
> 4
50-100
100 – 200
> 200
1,6 – 3,2
3,2 – 6,4
> 6,4
≅ ( K g / c m 2)
en (t/cuft)
Rango
3
en (Kg/cm )
Conversión de unidades:
1 t/cuft = 0,032 Kg/cm
3
•
COEFICIENTES K v EN MATERIALES NO COHESIVOS
El modulo E se incrementa con la profundidad, es decir, con el confinamiento
(Scheidig, Jambu), de manera que a un bulbo más grande no corresponde un
asiento proporcional a su tamaño.
Las investigaciones aceptan que la relación de asientos entre un bulbo grande
( a n c h o B ) y u n o d e a n c h o B 1 es:
M
=
yn
=
y1
∴
kv
2
2 B
B + 1
=
p
yn
=
p
=
M . y1
Se acepta según Terzaghi que:
∴
kv
=
k1
B + 1
k1
p
1
y1
M
≅
=
k1
B + 1
2
2 B
k1
2
2 B
15
V A L O R E S D E k1 ( s e g ú n T e r z a g h i ) p a r a a r e n a s
Dr
suelta
media
Densa
20 – 60
60 – 300
300 – 1000
0,64 – 1,92
1,92 – 9,6
9,6 – 32
25
80
300
0,8
2,56
9,6
(t/cuft)
Seca ó
húmeda
3
(Kg/cm )
(t/cuft)
sumergida
3
(Kg/cm )
COEFICIENTES HORIZONTALES DE REACCIÓN (PILOTES)
§
SUELOS NO COHESIVOS
Se acepta en arenas que el coeficiente de reacción sea proporcional a la
profundidad dado que E crece con la misma.
∴
kh
=
nh
.
z
B
→ constante de la reacción horizontal (pendiente de la variación)
nh
VALORES DE nh para placas de 1 ft x 1 ft
Dr
suelta
media
Densa
7
21
56
0,224
0,672
1,792
4
14
34
0,128
0,448
1,088
(t/cuft)
Seca ó
húmeda
3
(Kg/cm )
(t/cuft)
Sumergida
3
(Kg/cm )
§
SUELOS COHESIVOS
Se admite que los valores de
kh1
≅
k1
Por lo tanto
∴
kh
=
k1 .
1
=
0,67
B
k1
B
EXAMEN DE LOS MATERIALES A TRAVÉS DE LA TEORÍA ELÁSTICA
(ejemplos prácticos)
§ Si se toma el suelo como un sólido elástico para cálculos de asientos, una
placa rígida c u a d r a d a en superficie se asentaría:
B
y
=
q . B . ( 1 -
ν
2
)
. If
B
E ui
16
q / y
=
E ui
B . ( 1 -
ν
2
)
. If
Si el asiento es sólo con cambio de forma
ν
= 0 , 5. Si la placa esta en superficie
no hay corrección por profundidad.
El valor de If p a r a c e n t r o d e u n c u a d r a d o e s :
∴
kv
=
q / y
=
E ui
0,82
=
0,82 . 0,75 . B
Una aproximación indicaría
kv
≅
1
E ui
0,615
B
≅
1,6 E ui
B
1,5 E ui
B
§
Si se considera una placa rectangular de gran longitud podría estimarse k
teniendo en cuenta las expresiones de Terzaghi para placas rectangulares.
L
→ ∞
B
kv
≅
0,67 k1
k1
=
1,5
B
Para
kv
k
≅
=
E ui
B
k1
B
=
0 , 6 7 . 1,5 . E ui
1
≅
kv
≅
B
1 E ui
B
Es decir se observa que el coeficiente varia groseramente entre 1,5 y 1. E ui / B
EJEMPLO DIDÁCTICO DESARROLLADO POR E. NÚÑEZ
Recordar:
kv
kv
≅
≅
1,5 E / B
placa cuadrada
E / B
placa L
Solera de B = 1,5 m
L
→∞
→∞
Suelo cohesivo muy compacto.
2
S u b r a s a n t e d e E ui = 3 5 0 K g / c m
1) k 1
k 1i
→
=
( para un plato de 30 x 30 cm = 1 ft )
1,5 . E / B
=
1,5 . 350 Kg/cm
2
=
17,5 Kg/cm
3
30 cm
Este k vi corresponde a un valor inicial del módulo E ui.
17
2) Si aplicamos la ecuación:
k
=
ki . ( 1 – Rf . q / qR ) y c o n s i d e r a m o s q u e l a c a r g a p = q para la cual se
calcula es q
=
½ . q R , y a d e m á s Rf
k1
=
k i . ( 1 – 0,9 . 0,5 )
k1
=
0,55 . ki 1
L
k1
k1 . 0,67
kv =
k1
=
=
•
•
0,55 . 17,5
9,62 . 0,67
6,44 . 30
B
•
0,55 k i
=
0,9 tendremos:
=
9,62 Kg/cm
3
→∞
Para
=
=
=
≅
=
150
=
6,44 Kg/cm
6,44 . 1
=
3
para B = 30,48 cm
1,29 Kg/cm
3
para B = 150 cm
5
La introducción del concepto de fundaciones sobre apoyos elásticos lleva al
concepto de la constante del resorte equivalente, donde:
F
=
K . x
siendo:
K = kv . A, es decir, que la constante K se calcula multiplicando kv
por el área A de influencia de cada resorte.
Una aplicación muy importante es el calculo de plateas por el método de los
elementos finitos, donde la misma esta formada por áreas discretas que
asignan un valor de la constante del resorte para cada una de ellas.
Según lo expuesto la usual pregunta:
¿Puede usted darme una constante del resorte, que yo calcularé una platea?
No puede ser respondida en estos simples términos. (Ulrich 1992)
APLICACIONES DE LAS RELACIONES TENSIÓN-DEFORMACION
NO LINEALES (Según Duncan)
Coeficientes de reacción de subrasante.
• ARENAS
Se supone una solera cuadrada en arena suelta con los datos de la figura 1.
Ham River
DR = 35 %
k = 890
n = 0,26
Rf = 0,78
φ = 31°
2 m
2 m
SP (saturada)
→ γ = 2 t/m 3
FIGURA 1
El módulo de deformabilidad no es constante sino que aumenta con la presión
σ,
3
es decir, con la profundidad z.
18
Para evaluar las propiedades elásticas se emplea un punto promedio situado a:
z = z 0 = 0,75 . B
Según Jambu
Ei
=
σ
k . pa
n
(1)
3
pa
Calculo didáctico de k 1
≅
B
σ
3
=
30 cm
γ
sat.
0,75 . B
. z
=
22,5 cm
3
=
2 t/m . 0,225 m
=
0,45 t/m
2
=
0,045 Kg/cm
2
Reemplazando en (1)
Ei
=
2
890 . 1Kg/cm
0,045 Kg/cm
1 Kg/cm
k 1i
=
1,5 . E
=
=
0,26
=
890 . 1 . 0 , 4 9
=
436 Kg/cm
2
2
1,5 . 436 Kg/cm
B
k 1i
2
2
30 cm
21,8 Kg/cm
3
Si se supone que la presión que se le impone a la base es q = ¼ de q R , entonces
k1
=
k i ( 1 - Rf . q / qR )
k1
=
17,5 Kg/cm
=
21,8 ( 1 - 0,78 . 0,25 )
3
Se ve claramente que aunque la presión que se aplica a la zapata esta muy lejos
de la ruptura el valor k 1 ha disminuido notablemente.
Si se compara el resultado con los valores de Terzaghi para:
DR
=
k1
medianamente densa (según tabla)
≅
5 a 6 Kg/cm
3
lo que indica que los valores de Terzaghi son consevativos.
Volviendo a las dimensiones reales de la placa si se aplica Winkler se tendrá (2m
x 2m)
kv
= k1
( B + 1 )
2
B = 2m = 6,56”
2B
19
Kv
≅
180 t/cuft
6,56 + 1
2
=
59 t/cuft
≅
1,90 Kg/cm
3
2 . 6,56
Si se aplican las expresiones de elasticidad no lineal
Ei
=
890 . 1 Kg/cm
2
.
0,3 Kg/cm
1Kg/cm
Ei
σ
=
3
k vi
650 Kg/cm
6,26
2
2
=
γ.z
=
1,5 . 650 Kg/cm
=
2
3
2 t/m . 0,75 . 2m
2
2
=
3 t/m
=
=
¼ de qR
0,3 Kg/cm
2
=
200 cm
k vi
=
4,88 Kg/cm
3
Si volvemos a considerar que:
kv
=
k vi . ( 1 – 0,78 . 0,25) =
kv
=
3,92 Kg /cm
q
3
Otra vez se cumple que el valor de k no es constante y disminuye con la
solicitación q.
•
SUELOS COHESIVOS
Se estudia una zapata de longitud tendiendo a infinito según lo indica la figura 2.
C u = 1,5 Kg /cm
Eiu
≅
2
3 0 0 . Cu
Eiu = 450 Kg /cm
L
→ ∞
φ ≅
u
2
0°
Rf = 0,85
B = 0,5 m = 50 cm
FIGURA 2
Si se a plica el criterio de Terzaghi se tendría:
kv
=
0,67 . k 1
B
20
t o m a n d o l o s v a l o r e s r e c o m e n d a d o s p o r T e r z a g h i d e t a b l a : k1
Kg/cm
kv
=
3
150 t/cuft
≅
5
p a r a u n v a l o r d e c o m p r e s i ó n s i m p l e qu = 3 t/sqft
0,67 . 150 t/cuft
=
61 t/cuft
B = 1,64 . B 1
1,64
ó
≅
kv =
B = 1,64 . 0,306 = 0,50 m = 50 cm
0,67 . 5 K g / c m
≅
3
3
2 Kg/cm (unidades decimales)
50 cm / 30,48 cm
Si se emplean relaciones no lineales se tendría:
k 1i
=
1,5 . E
=
1,5 . 450 Kg/cm
B
≅
2
22 K g / c m
3
30
Para q = ¼ . qR
k1
=
k i ( 1 – Rf . q / q R )
=
22 ( 1 - 0,85 . 0,25 )
≅
17 Kg/cm
3
Obviamente este valor es mucho mayor que el propuesto por Terzaghi
≅5
Kg/cm )
kv =
Ei
(
3
=
B
450
=
9 Kg/cm
3
50
S i l a p r e s i ó n f u e s e 0 , 5 0 qR , e n t o n c e s :
k1
=
22 ( 1 - 0,85 . 0,5 )
=
12 Kg/cm
3
Si se aplica este valor a la expresión de Terzaghi
kv
=
0,67 k1
=
0,67 . 12 Kg/cm
B
kv
=
4,90 Kg/cm
3
=
1,64
3
3
en lugar de kv = 12 Kg/cm según se calculo antes.-
21