fracciones

FRACCIONES
Cuando estudiamos el conjunto de los números naturales
( IN ), vimos que era necesario extender dicho conjunto a
otro más amplio que nos permita efectuar la resta o
sustracción para todos los casos, apareciendo entonces el
conjunto de los NÚMEROS ENTEROS (ZZ ).
Pero ahora se nos presenta otra dificultad, al tratar
de efectuar ciertas divisiones de números enteros, como
por ejemplo:
El numerador 5, representa la cantidad de partes que
se ha tomado de la unidad.
l La fracción como cociente
Queremos repartir dos tortas entre tres niños en
partes iguales, a cada uno le corresponde 2/3 de la
torta, esto significa que la fracción 2/3 es el cociente
de dividir dos entre tres; es decir:
2  3 = 2/3 para cada niño
¿Cómo divido una deuda de
S/.150 en 18 cuotas? ............................... 150  18
¿Cómo divido una cuerda de
cinco metros en dos partes iguales? ................ 5  2
¿Cómo divido una torta en
dos partes iguales? ....................................... 1  2
En todos estos casos anteriores no encontramos
solución en el conjunto de los números enteros, ante esta
situación surge la necesidad de ampliar dicho conjunto a
otro que en adelante llamaremos el CONJUNTO DE LOS
NÚMEROS RACIONALES que lo reconoceremos por la
letra Ql .
¿Qué es una fracción?
Una fracción es una división indicada de dos números
enteros. En tal división, el divisor es diferente de cero.
l La fracción como operador
“La mitad”, “la tercera parte”, “la cuarta parte”, etc.,
son nombres de operadores que fraccionan. Así:
*
1
1 8 8
de 8 
 4
2
2
2
*
1
1  15
de 15 

3
3
*
3
3  20
de 20 

5
5
Observación: La fracción a/b es un operador que
multiplica por “a” y divide entre “b”.
Es decir: a/b, donde: b 0
Además “a” y “b” son los términos de la fracción y
reciben el nombre de NUMERADOR y DENOMINADOR
respectivamente.
Algunos significados de fracción
l La fracción como parte de la unidad
Si dividimos un papel en seis partes iguales y pintamos
cinco de dichas partes, entonces toda la parte pintada
del papel la representamos por 5/6.
Comparación de una fracción con la unidad
l Fracción propia
Se llama así cuando el numerador es menor que el
denominador, estas fracciones son menores que la
unidad.
Ejemplo: De un pastel tomamos las 3/4 partes.
5
6
El denominador 6, representa la cantidad de partes
iguales en que se ha dividido la UNIDAD.
l Fracción impropia
Se llama así cuando el numerador es mayor que el
denominador, estas fracciones son mayores que la
unidad.
Ejemplo: De un pastel no podemos servirnos las 5/4
partes, entonces tomamos dos pasteles así:
Del ejemplo anterior:
*
Observación: Si el numerador es igual al denominador,
la fracción es igual a la unidad. Ejemplo:
-
De un pastel tomemos las 4/4 partes.
Transformar
2
3 a fracción impropia:
+
2
3
3  5  2 17

3
3
=
Fracciones equivalentes
Dos fracciones:
c
a
b
y d
son equivalentes, si se cumple que:
Transformación a mixtos
Ejemplo:
3
9
5 y 15 son equivalentes
3
9
5 = 15 porque: 3  15 = 9  5
Llamamos números mixtos a una forma de representar
las fracciones mayores que la unidad. Así:
1
2 es un número MIXTO,
donde:
45 = 45
Fracción irreductible
la PARTE ENTERA es
la PARTE FRACCIONARIA es 1/2
Este MIXTO puede ser desdoblado también así:
1
+ 2
Ejemplo:
Entonces, también es cierto que:
1
+ 2 =
Si los términos de una fracción tienen como único
divisor común a la unidad, dicha fracción es irreductible o
irreducible.
3
5
1
2
Simplificación de fracciones
¿Cómo transformamos una fracción impropia a número
mixto?
Veámoslo en un ejemplo:
* Transformar 17/3 a mixto.
Dividimos el numerador entre el denominador
Significa transformarla en otra equivalente y a la vez
irreductible. Para lograrlo dividimos sucesivamente los
términos de la fracción entre divisores comunes hasta
lograr una fracción irreductible.
24
180
Ejemplo: Simplificar
17 3
15 5
2
2
24
180
Cociente = 5, es la parte entera
Residuo = 2, es el numerador de la parte fraccionaria
Divisor = 3, es el denominador de la parte fraccionaria
=
2
12
90
2
3
6
45
=
2
=
2
15
3
Luego:
17
3 =
2
3
Relación de orden
Regla de productos cruzados
¿Cómo transformamos
impropia?
un
mixto
a
una
fracción
Para efectuar esta transformación, multiplicamos el
denominador de la parte fraccionaria por la parte entera
y a este producto le sumamos el numerador obteniendo así
el numerador de la fracción buscada. El denominador es el
mismo.
*
¿Cuál de las siguientes fracciones es mayor?
7 3
9;5
Hacemos:
35 =
7
9
3
5
= 27
Y como: 35 > 27
fracciones a otras equivalentes, de tal forma que
todas tengan ahora el mismo denominador.
7 3
Entonces: 9 > 5
Veamos un ejemplo gráfico:
Transformando las fracciones a denominador común
+
* Ordenar las siguientes fracciones de menor a
mayor:
5
9
Paso 1:
1
2
7
2
; 5 y 12
Hallamos el m.c.m. de los denominadores:
+
+
1
4
1
8
+
Reducción a común denominador:
á m.c.m. (9; 5; 12) = 180
+
+
=
Paso 2:
5 100

9 180
2
72

5 180
7 105

12 180
Paso 3: Ordenando de acuerdo a los numeradores:
72
100 105
<
<
180 180 180
ADICIÓN EN NÚMEROS FRACCIONARIOS
a. De igual denominador
Para efectuar la suma o adición de dos o más
fracciones con igual denominador, se suman los
numeradores y se escribe el mismo denominador.
Veamos en forma gráfica:
3
6
+
=
2
6
+
2
8
+
1
8
7
8
=
b.1 . Método del mínimo común múltiplo (m.c.m.)
Hallamos el m.c.m. de los denominadores y lo
escribimos como DENOMINADOR del resultado.
2
5
7
<
<
5
9
12
+
4
8
=
5
6
4 - 8 - 20
|2
2 - 4 - 10
|2
1-2-5
| 2 m.c.m. = 2 x 2 x 2 x 5 = 40
1-1-5
|5
1-1-1
|
Entonces:
1 3
7
 

4 8 20
40
Dividimos el m.c.m. por cada denominador y el
resultado lo multiplicamos por el respectivo
numerador.
Luego:
1 3
7
10  15  14 39
 


4 8 20
40
40
b.2. Regla de productos cruzados
a c ad  cb
 
b d
bd
Ejemplo:
Ejemplo:
3
5
2
10



17 17 17 17
b. De diferente denominador
Para efectuar la suma o adición de fracciones de
diferente denominador, buscamos transformar las
3
7
33  28 61




4 11
44
44
17
44