modelos nucleares

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5. MODELOS NUCLEARES
5.1 Introducción
En los capítulos anteriores se ha descrito en cierto detalle las propiedades de las
partículas que forman el núcleo y las interacciones entre ellas. Desafortunadamente
dicho conocimiento no alcanza para determinar directamente el comportamiento de un
sistema nuclear de muchos cuerpos. Esto se debe a la gran complejidad matemática del
problema. Por supuesto este tipo de inconveniente no es exclusivo del problema nuclear.
Algo similar ocurre al considerar una gota líquida, un volumen de gas, el sistema
planetario, un átomo pesado, etc. Sin embargo, en casos tales como los dos primeros el
número de partículas es tan grande que uno puede aplicar métodos estadísticos. En
otros, como por ejemplo en los dos últimos, existe un centro de fuerzas de manera que
la interacción de las partículas con dicho centro es mucho más fuerte que las fuerzas
entre ellas y, por lo tanto, estas últimas pueden entonces ser tratadas como una
perturbación de la fuerza de interacción con el centro. En el caso nuclear (y esto es lo
que hace el problema particularmente difícil) hay muy pocas partículas como para tratar
al sistema en forma estadística y no existe un centro de fuerzas que permita tratar la
interacción entre las partículas como una perturbación.
Si bien en los últimos 50 años ha habido grandes progresos en el desarrollo de
métodos matemáticos para tratar el problema nuclear desde un punto de vista de
“primeros principios”, ha sido principalmente a través de la propuesta de distintos
modelos que se llegó a comprender buena parte de la física nuclear. La idea de un
modelo es buscar una situación física que sea conocida y cuyas propiedades se asemejen
a las del sistema de interés (un núcleo en nuestro caso). Entonces se estudia el modelo
en detalle esperando que las nuevas propiedades que se puedan descubrir también sean
propiedades del sistema. Este proceso de extrapolación tiene, por supuesto, que fallar en
algún punto, pero es sorprendente hasta cuan lejos se puede llegar mediante él. Es
importante destacar que aún cuando el modelo comience a fallar, el entender porqué
esto sucede puede ser de gran interés permitiendo la modificación y mejora del modelo.
Por supuesto, ningún modelo puede explicar todas las características conocidas de los
núcleos y por lo tanto es necesario recurrir a distintos tipos de modelos según lo que nos
interese describir.
Los modelos desarrollados a lo largo del tiempo cubren una gran gama de
posibilidades: desde modelos donde los nucleones interactúan débilmente (modelos de
partícula independiente), hasta modelos con nucleones fuertemente correlacionados
(modelos colectivos). Claramente, la situación real está en algún punto intermedio entre
estas aproximaciones extremas y contradictorias entre sí. Modelos que intentan conciliar
ambas situaciones extremas han sido desarrollados (modelos unificados).
Los modelos de partícula independiente que trataremos en este capítulo son el
modelo de gas de Fermi y el modelo de capas. Entre los modelos colectivos
describiremos el modelo de la gota líquida y el modelo rotacional-vibracional. Al final
del capítulo daremos una breve descripción del así llamado modelo unificado.
5.2 Modelo del gas de Fermi
1
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Tal vez uno de los primeros modelos nucleares fue el propuesto por H. Bethe en
1935. En este modelo se considera que si se desprecian las fuerzas entre pares de
nucleones y se toma en cuenta una fuerza promedio sobre cada nucleón representada
por el hecho de que todos estos están contenidos en una esfera de volumen Ω y radio R
= r0 A1/3, entonces el núcleo puede tratarse como un gas cuántico.
Hay que notar que un gas cuántico de fermiones tiene propiedades muy distintas
a las de un gas clásico. En un gas clásico real las interacciones entre partículas crecen
en importancia a medida que se baja la temperatura a presión constante. Por lo tanto el
comportamiento del sistema se aparta cada vez más del comportamiento de un gas ideal.
En el caso del gas de Fermi, en cambio, todos los niveles más bajos están ocupados. De
esta manera, la transferencia de energía y momento entre partículas, que son una
consecuencia normal de las fuertes fuerzas de interacción existentes entre partículas,
están prohibidas por el principio de exclusión de Pauli. Consecuentemente, a bajas
temperaturas el sistema tiende a comportarse como un gas cuántico ideal. Este hecho da
una justificación para despreciar la interacción entre partículas en este tipo de modelo.
Para calcular la distribución de partículas vamos a suponer que las mismas se
encuentran encerradas en un cubo de lado a, y por lo tanto, de volumen Ω = a3. Las
soluciones de la ecuación de Schoedinger correspondiente son
ψ ( x, y,z ) = N sin ( k x x ) sin ( k y y ) sin ( k z y )
(5.1)
donde N es una constante de normalización y
k x a = mx π ; k y a = m y π ; k z a = mz π
(5.2)
con mx, my, mz enteros positivos. Cada conjunto de enteros define una energía
2
Emx my mz =
2
2
2M
⎡kx
⎣
+ k y2 + k z2 ⎤⎦ =
k2
2M
(5.3)
Si representamos cada conjunto de enteros como un punto en un espacio
tridimensional, para un dado k, estos puntos se ubican dentro de un octante de esfera de
radio m = ka/π. Si k es suficientemente grande el total de puntos puede aproximarse
muy bien por el volumen de dicho octante. Por lo tanto el número de estados posibles es
(aproximadamente) dos veces (debido al spin) por el volumen del octante
n=2
14
Ω
π m3 = 2 k 3
83
3π
(5.4)
Si se tiene un gas de Fermi con np partículas, los np estados de energía más baja
estarán llenos. Es decir, estarán ocupados aquellos estados con k ≤ kmax , donde kmax está
dado por
( )
k max = 3π
2 1/ 3 ⎛
⎜
⎜
⎝
np
Ω
1/ 3
⎞
⎟
⎟
⎠
o equivalentemente los estados con energía E ≤ E F , donde
2
(5.5)
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2
EF =
2M
k
2
max
= ( 3π
)
2
2 2 /3
2M
⎛ np ⎞
⎜
⎟
⎝Ω⎠
2/ 3
(5.6)
Esta energía EF. recibe usualmente el nombre de energía de Fermi. La densidad
de estados en función de la energía es
ρ (E ) =
dn
3 n p 1/ 2
E
=
dE
2 E F3 / 2
(5.7)
por lo que la energía promedio es
ε=
EF
∫
0
3
dE E ρ ( E ) = n p E F
5
(5.8)
Aplicaremos ahora el formalismo recién desarrollado al caso nuclear. En este
caso el volumen esta dado por Ω = 4/3 π R3 con R = r0 A1/3. Por otro lado, np es el
número de protones Z o de neutrones N. Por lo tanto,
1 ⎛ 9π Z ⎞
= ⎜
⎟
r0 ⎝ 4 A ⎠
1/ 3
k
prot
max
1 ⎛ 9π N ⎞
= ⎜
⎟
r0 ⎝ 4 A ⎠
1/ 3
y
k
neut
max
(5.9)
Si definimos
C=
2
2 M p r02
⎛ 9π ⎞
⎜
⎟
⎝ 4 ⎠
2/ 3
(5.10)
obtenemos
Z⎞
⎟
⎝ A⎠
⎛
EFprot = C ⎜
2/3
y
N⎞
⎟
⎝ A⎠
⎛
2/ 3
EFneut = C ⎜
(5.11)
Para r0 =1.2 la constante C toma el valor C = 53.09 MeV . Por lo tanto, si
consideramos un núcleo liviano standard, es decir con Z = N = A/2, resulta
E F ≅ 33.44 MeV . Usando este valor junto con el hecho de que la energía de ligadura
por nucleón es ≈ 8 MeV, podemos pensar que las partículas (n y p) se están moviendo
en un pozo de aproximadamente 41 MeV de profundidad. Por otro lado la energía
cinética media por nucleón es
ε
A
=
3
3
prot
neut
−2 / 3
⎡ Z EF + N EF ⎤ = C 2
≈ 20 MeV
⎣
⎦
5A
5
3
(5.12)
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Finalmente, veremos que el núcleo standard Z = N = A/2 es en verdad el más
estable para un dado A. Si definimos ∆ε = ε ( Z , N ) − ε ( A / 2, A / 2 ) y reemplazamos por
las expresiones anteriormente obtenidas resulta
∆ε =
3 C ⎡
Z
5 A2/ 3 ⎢⎣
5 /3
+(A− Z)
5 /3
−
A5/ 3 ⎤
22 / 3 ⎥⎦
(5.13)
Definiendo δ = ( N − Z ) / A , reemplazando en la Ec.(5.13) y expandiendo a segundo
orden en δ (asumiendo en este último paso que δ << 1) se obtiene
1 C
1
(Z − N )
∆ε =
Aδ 2 = EFδ =0
2/3
32
3
A
2
(5.14)
Por lo que se deduce que energéticamente la situación más favorable es aquella
con N = Z . Este efecto es un efecto netamente cuántico ya que es una consecuencia del
carácter fermiónico de los nucleones.
5.3 Modelo de la gota líquida
Vamos a considerar ahora un modelo del tipo de nucleones fuertemente
correlacionados. Se trata del llamado modelo de la gota líquida propuesto por N. Bohr
en 1935. Como ya hemos visto en el Cap. 3 una de las características más notables de
los núcleos es que la energía de ligadura por nucleón es aproximadamente constante (B
∝ A). Si cada partícula del núcleo interactuara con todas las demás la energía de
interacción, y por lo tanto la de ligadura, debería ser aproximadamente proporcional al
números de pares interactuantes. Como cada una de las A partículas puede, en principio,
interactuar con las A – 1 restantes, entonces el numero de pares es A(A-1)/2. Por
consiguiente en núcleos pesados se debería encontrar que B ∝ A2, lo que está en
desacuerdo con lo que se encuentra experimentalmente. Es decir que para entender la
relación B ∝ A hay que considerar que cada partícula interactúa con un número limitado
de las restantes. La situación es semejante a lo que ocurre con una gota de líquido,
donde la energía para separar una molécula es N EB. Aquí N es el número de ligaduras a
la que está sujeta cada molécula y EB la energía necesaria para romper cada ligadura. Si
cada molécula interactúa con unas pocas vecinas se dice que la fuerza está saturada. Es
claro que en el caso nuclear este efecto de saturación se debe al corto alcance de la
interacción fuerte.
El modelo que surge de considerar que el núcleo se comporta como una gota
líquida permite obtener una fórmula que resulta muy importante para entender la
sistemática de las masa nucleares . La masa de un núcleo (A,Z) está dada por
M ( A, Z ) = m p Z + mn ( A − Z ) − B( A, Z )
(5.15)
donde B(A,Z) es la energía de ligadura. Tal como hemos discutido al principio de esta
sección, si suponemos que el núcleo se comporta como una gota líquida, la energía de
ligadura debe contener un término de la forma
4
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BV = aV A .
(5.16)
Este es un término de volumen ya que R = r0 A1/3 y, por lo tanto, el volumen es 4/3 π R3
∝ A.
Por otro lado, en una gota líquida también aparece una contribución a la energía
debida al término de superficie. Esta se debe a que, en realidad, las moléculas de la
superficie tienen menos vecinos con los cuales interactuar (tensión superficial). Dicha
contribución es proporcional al tamaño de la superficie. Como la superficie de una gota
esférica es 4 π R2 en el presente caso ésta resulta ser proporcional a A2/3. Luego la
contribución a la energía de ligadura es
BS = −aS A2 / 3
(5.17)
Ahora bien, como el núcleo tiene una carga eléctrica debe existir un término que
tome en cuenta la energía coulombiana. Para una esfera de carga Z y radio R dicha
energía esta dada por
3 Z 2e 2
∝ Z ( Z − 1) A−1/ 3
5 R
(5.18)
BC = − aC Z ( Z − 1) A−1/3
(5.19)
EC =
Luego
Finalmente, para describir las características observadas de las masas nucleares
es necesario agregar otros dos términos más. Uno toma en cuenta el efecto cuántico
debido al carácter fermiónico de los nucleones y, como hemos visto en la sección
anterior, hace que haya una tendencia a que Z = N. Este término se denomina de
asimetría protón-neutrón y se expresa como
Ba = −a a
(N − Z )2
A
(5.20)
El otro término toma en cuenta el efecto mencionado en el Cap. 3 de que los
núcleos pueden dividirse en tres grupos: impar-impar, par-impar y par-par siendo los
primeros los menos abundantes. Este término se llama término de apareamiento y se
expresa como
⎧ −a p f ( A)
⎪
∆ ( A) = ⎨
0
⎪ a f ( A)
⎩ p
impar − impar
par − impar
(5.21)
par − par
Existen en la literatura diversas formas funcionales para f(A), siendo
f ( A) = A−1/ 2 una de las más utilizadas.
La forma completa para la fórmula de masas, llamada fórmula semiempírica de
masas o formula de Weizsaeker, es
5
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Z ( Z − 1)
( N − Z ) + ∆( A)
− aC
− aa
1/ 3
A
A
2
B ( A, Z ) = aV A − aS A
2/3
(5.22)
Para fijar los valores de las constantes que aparecen esta formula se realiza un
ajuste a las masas determinadas experimentalmente. Un buen ajuste se obtiene con el
siguiente juego de constantes
av = 15.56 MeV
aS = 17.23 MeV
aC = 0.7 MeV
(5.23)
aa = 23.29 MeV
a p = 12 MeV para f ( A) = A-1/ 2
La Ec. (5.22) permite entender, entre otras cosas, la formación del llamado valle
de estabilidad como consecuencia de la competencia entre el término coulombiano y el
de asimetría.
Es interesante observar las parábolas de masas que resultan de graficar M vs Z
para A fijo. Algunos ejemplos aparecen en la Fig. 5.1. El número de parábolas depende
de si A es par o impar. Si A es impar ∆(A) = 0 y por lo tanto hay una sola parábola. Si A
es par, entonces hay dos parábolas. Como los decaimientos β sólo conectan estados
que difieren en una unidad de carga, resulta evidente que en el primer caso sólo puede
existir un nucleido β estable por A, mientras que en el segundo puede haber dos o más
nucleidos β estables por A.
Fig. 5.1: Energías de ligadura en función de Z para valores fijos
de A obtenidas utilizando la formula semi-empírica de masas.
6
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5.4 Modelo de capas
El modelo de la gota líquida resultó ser extremadamente exitoso. Permitió
entender diversos procesos tales como el de fisión, el de fusión, numerosos
decaimientos nucleares, etc. Esto hizo que por un tiempo los modelos de partícula
independiente (p.ej modelo del gas de Fermi) quedaran relegados. Además, para
muchos investigadores resultaba difícil aceptar que los nucleones, que como hemos
visto sufren fuertes potenciales de interacción, pudieran comportarse como partículas
independientes. Sin embargo, hacia fines de la década de 1940 se había acumulado una
importante cantidad de datos experimentales (masas, momentos magnéticos, etc.) que
indicaban que diversas propiedades nucleares presentaban discontinuidades para ciertos
valores de N o Z.
Un ejemplo claro son las energías de ligadura que aparecen en la Fig.5.2. En
dicha figura se comparan los resultados del modelo de la gota líquida con los valores
experimentales.
Fig. 5.2: Energías de ligadura por nucleón determinadas experimentalmente
comparadas con las predichas por la fórmula semi-empírica de masas.
Similares discontinuidades aparecen en otras propiedades nucleares, como por
ejemplo, las energías de separación de un neutrón definida por
S ( N , Z ) = B( N , Z ) − B(N − 1, Z )
y que se muestran en la Fig. 5.3. Algo similar ocurre con la de protones.
7
(5.24)
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Fig.5.3: Energía de separación de neutrones en función del número de neutrones.
Los números de protones o neutrones que dan al núcleo particular estabilidad, y
que son los valores para los cuales se producen estas discontinuidades se conocen con el
nombre de números mágicos. Experimentalmente se encuentra que dichos números son
2, 8, 20, 28, 50, 82 y 126
La aparición de estos números mágicos hizo que se volviera sobre los modelos
de partícula independiente. En verdad estos números parecen indicar que los nucleones
se mueven en un potencial promedio de manera muy semejante a la que los electrones
lo hacen alrededor del núcleo. Como es bien sabido existen átomos que son
particularmente estables: los de los gases inertes. El número de electrones de dichos
átomos es tal que justo alcanza para llenar una capa de los niveles de energía del
potencial Coulombiano. Dado que la separación en energía entre los niveles que forman
una capa es mucho menor que la existente entre dos niveles de capas diferentes, agregar
un electrón a un átomo de un gas inerte implica un costo de energía mucho mayor que el
relacionado con agregar un electrón a un átomo cuya última capa no este llena. Este el
motivo por el cuál los átomos de un gas inerte son particularmente estables.
Se comenzaron a hacer entonces diversos intentos para predecir los números
mágicos en forma teórica utilizando potenciales promedios adecuados. Resulta ser que
el orden de los niveles no depende demasiado de la forma del pozo. Algunos potenciales
que fueron utilizados debido a su simplicidad matemática son el pozo esférico y el
oscilador armónico. Para el pozo se obtienen los valores 2, 8, 18 , 20, 34, 40, 58, etc.,
mientras que para el oscilador armónico tridimensional definido por el potencial
1
V ( r ) = − V0 + m ω 2 r 2
2
(5.25)
se obtienen los números 1, 8, 20 , 40, 70 , 112 , etc. Esto se ilustra en la Fig.5.4.
Como se ve ninguno de ellos reproduce los números mágicos experimentales. Se
probó también sin éxito con potenciales intermedios, tales como el llamado “potencial
de Wood-Saxon” cuyo espectro aparece también en la Fig. 5.4. Dicho potencial sigue la
distribución de nucleones, es decir
8
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V0 ( r ) = − V0 f ( r )
(5.26)
donde
f (r ) =
1
1 + exp[(r − R ) / a ]
(5.27)
aunque las constantes que aparecen en Ec. (5.27) no necesariamente deben coincidir con
las utilizadas para definir la densidad nuclear.
Fig.5.4: Niveles de energía de algunos potenciales sencillos.
Fue en esta situación que Mayer y Jensen y colaboradores propusieron, en forma
independiente, incluir además del potencial central un término del tipo spin-órbita, de
manera que
→ →
V ( r ) = V0 ( r ) + Vso ( r ) l ⋅ s
(5.28)
En el caso atómico este tipo de término aparece como una corrección relativista
(término de Thomas). Sin embargo, una aplicación directa de dicha corrección al caso
nuclear da una contribución muy pequeña y de signo contrario al que se necesita para
reproducir los números mágicos nucleares. En el caso nuclear el término spin-órbita
proviene, en su mayor parte, de la componente spin-órbita del potencial nucleónnucleón. Normalmente se utiliza para Vso ( r ) la misma relación funcional con V0 que
aparece en el término de Thomas, es decir
9
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Vso ( r ) = V0( so)
1 d f (r )
r dr
(5.29)
pero con valor a determinar para la constante V0( ) . El espectro que se obtiene se
muestra en la Fig.5.5.
so
Fig.5.5: Esquema de niveles sin y con interacción espín-orbita.
Dado que el operador espín-órbita l ⋅ s tiene autovalores
⎧ l / 2 ; si
l ⋅s = ⎨
⎩− ( l + 1) / 2; si
j = l + 1/ 2
j = l − 1/ 2
(5.30)
es fácil ver que la interacción espín-órbita separa en dos todos los estados con l > 0. Por
ejemplo el estado 1p se separa en 1p1/2 y 1p3/2. La separación entre los estados
depende de V0( so ) que se ajusta para obtener los valores experimentales. Es de notar que
dado que
d f (r)
<0
dr
resulta que, para un dado valor de l, los estados con j = l − 1/ 2 tienen menor energía
que aquellos con j = l + 1/ 2 .
10
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Debido al principio de exclusión resulta que, al igual que en los átomos, los
núcleos de capa cerrada tienen J = 0 y simetría esférica. Por otra parte, para aquellos de
capa cerrada + 1 partícula(agujero) el J es el de la partícula o agujero en exceso. Por
ejemplo, el espín total J de los nucleidos O16, Ca40 y Pb208 (núcleos de doble capa
cerrada) es cero. Para el caso del N15 se tiene J=1/2, para O17 J=5/2, para K 39 J=3/2,
Pb207 J=1/2 y Bi 209 .J=9/2. Es de notar que el valor para el Pb207 difiere de la
predicción de la Fig.5.5. Volveremos sobre esto mas abajo.
El espín j de la última partícula puede obtenerse a partir de j = l + 1/2 o de
j = l -1/ 2 . Por lo tanto, para j fijo, ambas posibilidades difieren en ∆l = 1 y, como
consecuencia, defieren en su paridad. Es decir, que para un núcleo con una partícula
(agujero) fuera de capa cerrada la paridad de todo núcleo depende del l de la última
partícula.
El modelo de capas también da información acerca de los niveles más bajos de
los núcleos con una partícula (agujero) fuera de capa cerrada tal como se puede verificar
comparando los datos experimentales que aparecen en la Fig.5.6 con las predicciones
que se pueden obtener a partir de la Fig.5.5.
Fig.5.6: Interpretación de acuerdo al modelo de capas de los primeros niveles del O17 y del F17. Se
muestran todos lo niveles por debajo de, aproximadamente, 5 MeV. Notar que los niveles de paridad
positiva se pueden explicar en forma simple en términos de excitaciones del nucleón fuera de capa,
mientras que los niveles de paridad negativa tiene estructura más complicada. Para estos últimos se
muestra una sólo una configuración posible.
Un punto a tener en cuenta es que, en general y tal como se muestra en la
Fig.5.7, la energía de los niveles depende del número de masa A. Esto hace también
que, a medida que A crece, se produzcan algunas inversiones respecto del orden de los
estados indicados en la Fig.5.5. Esto explica la diferencia antes mencionada para el caso
del Pb207 .
11
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Fig.5.7: Energías de los niveles de partícula independiente en función del numero de masa A
Otra observación importante es que hay una fuerte tendencia de los nucleones de
un mismo tipo a acoplarse en pares del mismo (j, l) y m iguales en módulo pero de
signo opuesto (la interacción responsable de este comportamiento se denomina
interacción de apareamiento). Esto hace que la mayoría de los nucleidos par-par tengan
un estado con J π = 0+ como estado fundamental. En muchos casos se encuentra que los
nucleidos vecinos con N o Z impar tienen el espín total y paridad de la partícula
desapareada. Hay, sin embargo, excepciones a esta regla.
5.4.1 Momentos magnéticos y momentos cuadrupolares eléctricos
En los núcleos par-par todos los momentos magnéticos de los nucleones están
acoplados a cero, por lo tanto µ = 0. De acuerdo al modelo de capas, por lo tanto, el
momento magnético de los núcleos de A impar está dado por el nucleón desapareado. El
→
operador momento magnético µ es
→
→
→
µ = gl l + g s s
(5.31)
De la definición
µ = (l
)
1 j
2 m= j
µ3 ( l
12
)
1 j
2 m= j
(5.32)
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y de la expresión para la funciones de onda
(l )
j
1
2 m= j
=
∑ l ,l ; ,m − l
1
3 2
3
l3
j , m Yl ,l3 (θ , φ ) 12 , m−l
3
(5.33)
se puede probar que el momento magnético µ de una partícula de espín 1/2 en un estado
(l,j,m) puede expresarse como
→ →
µ = j m µ⋅ j j m
( j + 1)
(5.34)
lo cual da lugar a
⎧
1 ⎞ gs
⎛
⎪ gl ⎜ j − 2 ⎟ + 2
⎪
⎝
⎠
µ=⎨
⎪g j − 1 ( g − g ) j
l
s
l
⎪
2
j +1
⎩
j = l + 1/ 2
(5.35)
j = l − 1/ 2
donde los valores de g s y gl para protones y neutrones son
⎧ g = 5.586µ N
protón ⎨ s
⎩gl = µ N
⎧ g = −3.826µ N
neutrón ⎨ s
⎩gl = 0
(5.36)
Los valores de momento magnético obtenidos con las Ecs.(5.35) y (5.36) reciben el
nombre de valores de Schmidt y las curvas que representan µ vs j reciben el nombre
de líneas de Schmidt. Estas se muestran en la Fig.5.8.
Fig.5.8: Momentos magnéticos experimentales comparados con la predicción del modelo de capas
A pesar de que casi todos los valores de µ caen entre los límites dados por estas líneas
sólo unos pocos (los que están cerca de capa cerrada) caen sobre las líneas o muy cerca
13
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de ellas. Esto implica que en general los estados correspondientes no son estados de
partícula independiente puros.
También es posible evaluar los momentos cuadrupolares eléctricos que resultan
de la existencia de un nucleón desapareado. Se obtiene
Q=−
y
2 j −1 2
r
2j+2
donde j = l ± 1/ 2
(5.37)
r 2 es el radio cuadrático medio del último nucleón. Si Q < 0 se trata de un estado
de agujero y si Q > 0 se trata de estado de partícula. Los valores experimentales de los
momentos cuadrupolares de los núcleos con un número impar de protón o neutrón
aparecen en la Fig. 5.9.
Fig.5.9: Momentos cuadrupolares experimentales comparados con la predicción del modelo de capas
Las líneas llenas indican los valores que surgen de emplear la Ec. (5.37). Los datos
están dentro de los límites indicados por estas líneas excepto en las regiones 60 < Z <
80, Z > 90, 90 < N < 120 y N > 140 donde los valores experimentales resultan ser más
de un orden de magnitud mayores que los predichos por el modelo de capas.
Volveremos sobre esta discrepancia en la Sec. 5.5.
5.4.2 Fundamentación del modelo de capas
14
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En esta sección daremos una breve fundamentación para el modelo de capas.
Suponiendo que solo tenemos interacciones de dos cuerpos, el hamiltoniano H del
sistema esta dado por
H=
∑
⎛
⎜−
⎜
i =1 ⎝
2
A
∑V ( r )
⎞
2m
A
∇ i2 ⎟⎟ +
(5.38)
ij
⎠
i> j
donde V(rij) es el potencial entre el nucleón i y el nucleón j.
Una manera de obtener el hamiltoniano del modelo de capas es introducir el
correspondiente potencial promedio de un cuerpo V(ri) de la siguiente manera
H=
∑ − 2m ∇ + V ( r )
A
i =1
2
⎛
⎜
⎝
2
i
i
⎞
⎟+
⎠
H'
(5.39)
donde
H'=
∑
A
V ( rij ) −
i> j
∑V (r )
A
(5.40)
i
i =1
El hecho de que el modelo de capas describa correctamente ciertas propiedades
nucleares implica que, en esos casos, H' es pequeño y puede usarse como una
perturbación.
5.5 Modelos colectivos
Hemos visto que el modelo de capas nos permite predecir propiedades del
espectro de núcleos con una partícula fuera de capa cerrada. Sin embargo, si uno mira
los estados excitados de núcleos par-par es evidente que resulta muy costoso desde el
punto de vista energético crear una excitación por medio de un par partícula-agujero. Es
más eficiente realizar movimientos colectivos, que como veremos en esta sección
pueden ser de vibración o de rotación.
Consideremos primero núcleos cercanos a capa cerrada. Estos tienen una
configuración esférica por lo que no pueden rotar. En consecuencia, sólo podrán tener
modos de excitación vibracionales. Utilizando el modelo de la gota líquida es posible
modelar estas excitaciones pensando que ésta puede oscilar alrededor de su posición de
equilibrio. En general, la superficie de la gota puede expresarse en términos de
armónicos esféricos. Es decir,
⎡
R(θ , φ ) = R0 ⎢1 +
⎣
∑ ∑α
∞
λ
λ =0 µ =− λ
⎤
λµ
(t )Yλµ (θ , φ )⎥
(5.41)
⎦
El modo con λ = 0 corresponde a oscilaciones radiales, lo cual es imposible en si
se supone que la materia nuclear es incompresible. El modo con λ = 1 corresponde a
una traslación del núcleo como un todo, es decir al movimiento del centro de masa. Por
lo tanto este modo tampoco corresponde a una excitación intrínseca del núcleo. La
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Versión preliminar 20/04/04
siguientes vibraciones son la cuadrupolar (λ = 2), la octupolar (λ = 3) y la hexadepolar
(λ = 4). Estos modos corresponden a las vibraciones que se indican en la Fig.5.10.
Fig.5.10: Momentos multipolares con λ < 5. Como se explica en el texto sólo aquellos con λ > 1
corresponden a posibles modos de vibración nucleares
Para el caso cuadrupolar
⎡
R (θ , φ ) = R0 ⎢1 +
⎣
∑α
⎤
2
µ =−2
2µ
( t ) Y2 µ (θ , φ ) ⎥
(5.42)
⎦
es decir que las vibraciones del núcleo se pueden describir en términos de los cinco
parámetros α 2 µ ( t ) . Suponiendo que ellos dependen del tiempo es posible obtener un
hamiltoniano del tipo
1
H = T +V ≈
2
∑B α
µ
•
2µ
2
+
1
2
∑C α
µ
2
2µ
(5.43)
Utilizando la fórmula semiempírica de masas en la aproximación en que se
supone al “fluido” nuclear como incompresible e irrotacional es posible obtener las
siguientes expresiones para los parámetros B y C,
B=
3
A m p R02
8π
C = 4 R0 as −
3 Z 2e2
10π R0
(5.44)
Es posible verificar que mientras que la expresión para C conduce a resultados que están
en buen acuerdo con los valores que se extraen del análisis de los datos experimentales,
la expresión para B no lo hace. Por dicho motivo para obtener en forma teórica valores
razonables de B es necesario, en general, ir más allá de la aproximación de “fluido”
nuclear incompresible e irrotacional.
El tipo de espectro que se obtiene a partir de este modelo de vibraciones
cuadrupolares está en buen acuerdo con el espectro de estados mas bajos observado en
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Versión preliminar 20/04/04
ciertos núcleos par-par, como por ejemplo el Te120 cuyo espectro se muestra en la
Fig.5.11. Allí aparecen claramente los estados correspondientes a una sola excitación
cuadrupolar (primer 2+), el triplete de estados correspondientes a dos fonones
(excitaciones vibracionales) y el quintuplete de tres fonones. El estado 3- se debe
presumiblemente a una excitación octupolar.
Fig.5.11: Espectro de
bajas energías del Te120
En los núcleos con A > 100, a medida que nos alejamos de capa cerrada el tipo de
espectro cambia tal como se puede observar en la Fig.5.12
Fig.5.12: Espectros de bajas energías de núcleos par-par representativos con A > 120
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Versión preliminar 20/04/04
Simultáneamente se encuentra que los momentos cuadrupolares son consistentemente
más grandes que los predichos por el modelo de capas (ver Fig. 5.9). La explicación de
este comportamiento es que estos núcleos tienen una deformación permanente y, por lo
tanto, pueden rotan.
La deformación del equilibrio es el resultado de dos tendencias opuestas. Por un
lado los nucleones fuera de capa cerrada tratan de deformar el carozo y por lo tanto se
tienden a mover en un potencial deformado. Por otro lado las fuerzas de apareamiento
tienden a acoplar dos nucleones del mismo tipo a espín cero, es decir tiende a forzar una
simetría esférica. A medida que nos alejamos de capa cerrada la tendencia a la
deformación aumenta. Primero no afecta la simetría pero al ser más deformable, la
excitación del carozo a través de vibraciones resulta más fácil. Finalmente la forma
esférica se torna inestable aún en el estado fundamental y entonces el núcleo se
deforma.
El Hamiltoniano de un rotor está dado por
J
∑
ℑ
2
2
H=
k
2
k
2
k
(5.45)
donde Jk son las componentes de J en el sistema rotante y ℑk las componentes
diagonales del tensor de inercia en un sistema de ejes principales.
Las constantes de movimiento son el módulo del impulso angular J y su
proyección sobre el eje z del sistema del laboratorio M. Sin embargo es posible mostrar
que la proyección sobre el eje z del sistema rotante K también lo es. Para el caso más
habitual en que el núcleo es axialmente simétrico (deformación cuadrupolar) tenemos
que ℑ1 = ℑ2 = ℑ ≠ ℑ3 por lo que
2
H=
2
⎛
⎜
⎝
J 2 − J 32 J 32 ⎞
+ ⎟
ℑ
ℑ3 ⎠
(5.46)
y entonces
EJ , K =
2
2
⎛
⎜
⎝
J ( J + 1) − K 2 K 2 ⎞
+
⎟
ℑ
ℑ3 ⎠
(5.47)
Para el estado fundamental de núcleos par-par resulta K = 0, ya que en este caso no hay
excitaciones intrínsecas. Por lo tanto,
2
EJgs =
2ℑ
J ( J + 1)
(5.48)
Además, si el núcleo tiene simetría cuadrupolar existe una simetría de reflexión en el
plano 1-2, por lo que sólo los J pares están permitidos.
Ahora bien, además de rotar un núcleo deformado puede vibrar. Para el caso
cuadrupolar hay dos tipos de vibraciones colectivas β y γ que corresponden a los
distintos modos que se indican en la Fig.5.13.
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Fig.5.13: Posibles modos de
vibración de un núcleo con
deformación cudrupolar
Cada una tiene su banda rotacional asociada y da lugar al tipo de espectro que
aparece en la Fig.5.14.
Fig.5.13: Estados de energía más bajos del Er164 . Se observa claramente las bandas
rotacionales del estado fundamental y de las vibraciones β y γ.
5.6 Modelos unificados
La discusión anterior de modelos colectivos se aplica a núcleos par-par. Para
núcleos con A impar se debe tener en cuenta además que existe una partícula que puede
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considerarse como fuera del carozo deformado. Para describir esta situaciones se
aplican los modelos unificados donde además del movimiento colectivo se considera
una partícula moviendose en un potencial promedio deformado. Para el caso de
deformaciones axialmente simétricas esto da origen a los llamados niveles de Nilsson
indicados en la Fig.5.14.
Fig.5.14: Niveles de partícula independiente en función de la deformación.
Sobre cada uno de los niveles de Nilsson puede aparecer una banda rotacional.
Un ejemplo del tipo de núcleo al cual se aplica este descripción es el Pu239 cuyo espectro
se muestra en la Fig.5.15.
Fig.5.15: Niveles de
energía del Pu239
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