INTEGRALES TEORIA

Ingeniería en Perforaciones
2011
MATEMATICAS III
Área de una superficie definida por
Suponga que G es la superficie definida por
sobre
la región cerrada y acotada S en el Plano XY. Suponga,
además, que f tiene primeras derivadas parciales continuas
y .Dividamos la región S con rectas paralelas a los ejes X e
Y. Sean entonces:




los rectángulos resultantes
la porción de la superficie que se proyecta sobre
el punto de
que se proyecta sobre la esquina de
con las menores coordenadas x e y
el paralelogramo del plano tangente en
que se
proyecta sobre
Calculemos el área del paralelogramo
forman los lados de . Entonces
Y el área del Paralelogramo
Por lo tanto, el área de
cuya proyección es
. Sean
y
los vectores que
es
es
Luego sumamos las áreas de todos estos paralelogramos tangentes y consideramos el límite para obtener
el área de la superficie G
Que en notación simplificada
Integrales
GERARDO
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Ejercicios
1- Calcular el área de la porción de superficie
situada sobre la región triangular R del
plano XY con vértices (0,0), (0,2) y (2,2).2- Si S es la región rectangular en el plano XY acotada por las rectas
.
Calcule el área de la parte de la superficie cilíndrica
que se proyecta sobre S.
3- Calcular el área de la superficie
que está bajo el plano
.
Integrales: Revisión
Suponga que y=f (x) determina una curva en el plano xy y suponga
que f es continua y no negativa en un intervalo cerrado [a,b].
Consideremos la región S acotada por las gráficas de y=f (x), x = a, x
=b, y el eje X.
El Problema: Hallar el área de la región S.
Comencemos dividiendo el intervalo [a,b] en n sub-intervalos por
medio de los puntos a=x0 < x1 < x2 < x3 <.....< xn=b y sea ∆x = xi – xi-1 con el mismo ancho ∆x =(b-a)/n
y en cada intervalo un punto muestra xi .
Entonces el área del í-ésimo rectángulo es f (xi ) ∆x .
Integrales
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MATEMATICAS III
Intuitivamente el área de S se aproxima calculando la suma de las áreas de éstos rectángulos
Rn = f (x1 ) ∆x + f (x2) ∆x +......+ f (xn ) ∆x
n
 f ( x )x  f x x  f x x  ......  f x x
i
i 1
1
2
n
La aproximación al valor real del área puede mejorarse a medida que se incrementa el número de subintervalos
o que la partición se hace más fina
(la norma de la partición tiende a 0)
Si tomamos el límite de la suma de Riemann conforme
. Si
existe, decimos que f es
integrable en [a,b] y
denominada integral definida
de f de a a b, está dada
por
Si f(x)>0 la integral
es el área debajo de la curva
y=f(x) desde a a b
Integrales Múltiples:
Sea f una función continua de dos variables
paralelos a los ejes coordenados es decir
cuyo dominio R es un rectángulo con lados
R  x, y  / a  x  b, c  y  d   a, b c, d 
Suponga que f (x,y)> 0 en R, de manera
que la gráfica de z = f(x,y) es una
superficie que está arriba del rectángulo
R. Sea S el sólido que está encima de R
y debajo de la gráfica de f es decir


S  x, y, z  R3 / 0  z  f x, y , x, y  R
Integrales
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Primero dividamos el rectángulo R en n sub-rectángulos por medio de rectas paralelas al eje X y al eje
Y. Entonces [a,b] quedará dividido en n sub-intervalos por medio de los puntos a=x0 < x1 < x2 < x3
<.....< xn=b y sea ∆x = xi – xi-1 , con el mismo ancho ∆x =(b-a) / n y [c,d] quedará dividido en n subintervalos por medio de los puntos c=y0 < y1 < y2 < y3 <.....< yn=d y sea ∆y = yj – xj-1 , con el mismo
ancho ∆y =(d-c) / n
Cada rectángulo Rij

Rij  xi1 , xi  y j 1 , y j

Tendrá un Área
∆A= ∆x ∆y
Si elegimos un punto muestra
en cada
x , y 
ij
, entonces podemos aproximar el vol. de la
parte de S que está encima de cada Rij mediante una caja rectangular de base R ij y altura
.
Entonces el volumen de ésta caja es
 f x , y  A
n
Si formamos la suma de Riemann
n
i 1 j 1
ij
ij
obtendríamos una aproximación del volumen del sólido S, si f(x,y)>0
Al hacer la partición más fina de modo que los R ij sean más pequeños es
decir
, intuitivamente la aproximación al volumen real mejora
de modo que esperaríamos que
V  lim  f xij , yij A
n
n 
n
i 1 j 1
Usamos la expresión
para definir el volumen de un sólido S que está debajo de la gráfica de f y
por encima del rectángulo R.
Los límites de ésta clase se presentan con frecuencia no sólo en el cálculo de
volúmenes, sino también en situaciones muy diversas, incluso cuando f no es una función positiva. Así
que estableceremos la siguiente definición
Definición La integral doble : Sea f una función de dos variables, definida en un rectángulo cerrado R,
si
existe, decimos que f es integrable en R. Además
llamada la Integral Doble de f en R, está dada por
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ij
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No toda función de dos variables es integrable en un rectángulo dado R.
TEOREMA:”Teorema de integrabilidad”
“Si f está acotada en el rectángulo cerrado R y si es continua ahí, excepto en un número finito de curvas
suaves, entonces f es integrable en R. En particular si f es continua en todo R, entonces f es integrable en
R”
Sean f y g funciones integrables en el rectángulo R, y sea c una constante. Entonces f + g
integrables y
y
c f son
  f ( x, y)  g ( x, y)dA   f ( x, y)dA  g ( x, y)dA
R
R
R
 cf ( x, y)dA  c f ( x, y)dA
R
R
La integral doble es aditiva en rectángulos que se traslapan sólo en un segmento de recta
 f ( x, y)dA   f ( x, y)dA  f ( x, y)dA
R
R1
R2
Si f (x,y)≥ g (x,y) entonces
 f ( x, y)dA  g ( x, y)dA
R
R
Cálculo de integrales dobles
La evaluación de las integrales dobles a partir de su definición suele ser compleja, pero es posible
expresar una integral doble como una integral iterada, la cual puede determinarse después al calcular
dos integrales sencillas.
Integrales iteradas
Suponga que f es una función de dos variables continua sobre un
rectángulo R  x, y  / a  x  b, c  y  d   a, b c, d 
Suponga que f (x,y)>0 de modo que podamos interpretar la integral doble
como el volumen del sólido bajo la superficie
Supongamos que para calcular el vol. del sólido, lo rebanamos en láminas
delgadas por medio de planos paralelos al XZ. El área de la cara de la lámina depende de la distancia al
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plano XZ, es decir depende de y.
Por lo tanto denotemos esta área
por A(y). El vol. de la lámina
estará dado por ∆V=∆A(y) ∆y
Por lo que el volumen del sólido
debe estar dado de manera
aproximada por la suma de
Riemann
n
V   A( yi )yi
i 1
cuando n →∞ obtenemos el
vol. del sólido como la integral
definida entre c y d y
d
V   A( y )dy
c
Por otro lado para un y fijo podemos calcular A(y) por medio de la
integral simple ordinaria, de hecho
b
A( y)   f ( x, y)dx
a
En la integral anterior
 
d
d
b
V    f ( x, y )dx  dy

c 
a

b
La integral c  a f ( x, y )dx  dy se conoce como integral iterada, pues se obtiene integrando


respecto a x y luego integrando respecto de y.
Como
es igual al volumen V. Se obtiene
 f ( x, y)dA   
d
b
c
a
R
f ( x, y )dx dy

De haber comenzado rebanando el sólido con plano paralelos al YZ,
habríamos obtenido otra integral iterada, donde las integrales aparecen
en el orden inverso

R
b
d
f ( x, y)dA    f ( x, y )dy  dx

a 
c
d
Donde
y
A( x)   f ( x, y)dy
c
Comentarios:
* El concepto de integral iterada y las ecuaciones anteriores proporcionan un método para calcular la
integral doble de una función de dos variables.
* Aunque partimos de la suposición de que f(x,y)es positiva, es válida para f(x,y) en general.
* Todo esto es válido siempre y cuando estas integrales puedan calcularse
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Evaluación de integrales dobles
El teorema siguiente brinda un método práctico para evaluar una integral doble al expresarla como una
integral iterada (en cualquier orden)
Teorema:“Teorema de Fubini”
Si f está acotada y es continua en el rectángulo cerrado R  x, y  / a  x  b, c  y  d   a, b c, d 
excepto en un número finito de curvas suaves entonces

R
f ( x, y )dA  
d
c

b
a
f ( x, y)dxdy  
b
a
 f ( x, y)dA   
b
d
a
c
R

d
c
f ( x, y)dydx
f ( x, y )dy  dx

La integral doble sobre regiones elementales o más generales
Regiones:“Tipo 1 o y-simples”
Se dice que una región D es de tipo 1 si existen funciones continuas
definidas en [a,b]
tales que D es el conjunto de puntos (x,y) que satisfacen
D  x, y  / a  x  b, g1 ( x)  y  g 2 ( x)


Regiones:“Tipo 2 o x-simples”
Se dice que una región D es de tipo 2 si existen funciones continuas
definidas en [c,d]
tales que D es el conjunto de puntos (x,y) que satisfacen
D  x, y  / h1 ( y)  x  h2 ( y), c  y  d 
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Regiones:“Tipo 3 ”
Una región de Tipo 3 es aquella que es de
Tipo 1 y Tipo 2; esto es la región se puede
describir tanto como una región de tipo 1
como una región del tipo 2.Un ejemplo de
región tipo 3 es el disco unitario
Si el
conjun
to D no es ni del Tipo 1 ni del Tipo 2, por lo general se puede
considerar como una unión de piezas que tienen una propiedad o la
otra. Por ejemplo, éste anillo no es simple en ninguna dirección,
pero es la unión de dos conjunto y-simples S1 y S2
Si D es una región elemental del
plano. Encerremos D en un
rectángulo R cuyos lados son paralelos a los ejes coordenados. (es
decir lo estamos acotando).
Dada f definida y continua en D, definimos una nueva función F con
dominio R mediante
 f ( x, y) si( x, y )está en D
F ( x, y )  
0 si (x, y) D y (x, y) R
Si la integral doble de F existe sobre R, entonces definimos la integral
doble de f sobre D como
 f ( x, y)dA   F ( x, y)dA
D
R
Nota: El procedimiento resulta razonable ya que F(x,y)=0 cuando (x,y)
está afuera de D, por lo que no contribuye a la integral. Esto significa
no importa el rectángulo R que usemos en tanto contenga a D.
Cuando
en D podemos interpretar la integral
como el volumen de la región tridimensional
entre la gráfica de f y D.
Si R es un rectángulo R=[a,b]×[c,d]que contiene a D,
podemos usar los resultados de integrales iteradas para
obtener

D
Integrales
f ( x, y)dA   F ( x, y)dA  
d
c
R

b
a
F ( x, y)dxdy  
GERARDO
b
a

d
c
F ( x, y)dydx
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Región tipo 1: reducción a integrales iteradas
Escojamos R que contenga a D R=[a,b]×[c,d] por el teorema de Fubini
b
d
a
c
 f ( x, y)dA   F ( x, y)dA   
D
R
Observe que F ( x, y)  0 si y  g1 ( x) o y  g 2 ( x)
(x,y) está fuera de D. En consecuencia

d
c
F ( x, y)dydx
F ( x, y)dy  
g2 ( x)
g1 ( x )
dado que F(x,y)=f(x,y) cuando
F ( x, y)dy 
g2 ( x)
g1 ( x )
puesto que
f ( x, y)dy
g1 ( x)  y  g 2 ( x)
Teorema: reducción a integrales iteradas
Si D es una región de tipo 1, entonces

D
Nota:
En el caso de
para todo (x,y)
que es la fórmula de Área que conocíamos
f ( x, y )dA  
b
a

g2 ( x)
g1 ( x )
b
g2 ( x)
a
g1 ( x )

tenemos
f ( x, y )dydx
f ( x, y)dydx   g 2 ( x)  g1 ( x)dx  A( D)
b
a
Ejercicios
1-Evalúe la integral
2- Evalúe
donde D es la región acotada por las parábolas
y
3- Hallar el volumen del tetraedro acotado por los planos
Teorema: Integrales iteradas para regiones tipo 2
Si el conjunto D es una región del tipo 2 los métodos son completamente análogos. Específicamente
tenemos el siguiente teorema
[c,d] y h 1(x) ≤ x≤h2(x). Si f es continua en D,
Suponer que D es el conjunto de puntos (x,y) tales que y
entonces

D
f ( x, y )dA  
d
c

h2 ( y )
h1 ( y )
f ( x, y )dxdy
Ejercicios
Integrales
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1-Evalúe la integral
2- Evalúe
donde D es la región acotada por la recta y=x-1 y la parábola
3- Hallar el volumen de la región sólida R acotada por la superficie f ( x, y)  e  x y los planos y=0, y=x,
x=1
2
Cambio en el orden de integración
Supongamos que D es una región de tipo 3. Así al ser del tipo 1 y de tipo 2, puede expresarse como el
conjunto de puntos (x,y) tales que
,
Y también como el conjunto de puntos (x,y) tales que
tenemos las fórmulas
b g2 ( x)
 f ( x, y)dA  
a
D
g1 ( x )
,
, por lo tanto
f ( x, y )dydx  
d
c

h2 ( y )
h1 ( y )
f ( x, y )dxdy
Si se nos pide calcular una de las integrales iteradas anteriores, lo podemos hacer evaluando la otra;
esta técnica se llama cambio del orden de integración
Ejercicios
1-Intercambiando el Orden de Integración, calcular las siguientes integrales
a)
b)
1 1

0 x
1

1  y 2 dy dx
x
2x
0 x
x2
1
1. La integral
  ( x  2 y)dydx  ?
0
a) 9
20
ey
dy dx
y
b) 2
0
9
c) 1
4
d) 5
4
e) 20
9
2. La integral que representa el volumen es:
Integrales
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2. La integral que representa el volumen es:
4. La integral que representa el volumen es:
Integrales dobles en Coordenadas Polares
Ciertas curvas en el plano, como los círculos, cardioides y las rosas, son más fáciles de describir en
términos de coordenadas polares que en términos de coordenadas rectangulares. Ej.
Tomemos una región R con la siguiente forma:
Integrales
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Que llamaremos rectángulo polar
A fin de calcular
, donde R es un rectángulo polar, comenzamos dividiendo el intervalo [a,
b] en m sub-intervalos
con un ancho igual a
en n sub-intervalos
; También dividamos el intervalo
,
con ancho igual a
Por lo que el rectángulo polar queda dividido en pequeños rectángulos
Polares
El centro de cada
tiene coordenadas
,
Sabiendo que el área de un sector circular con radio r y ángulo central
es
, el área del rectángulo polar lo podemos calcular como la
diferencia entre dos sectores circulares con ángulo central
Entonces el área de
.
es:
Las coordenadas rectangulares del centro de
son
De modo que la suma de Riemann es
Al considerar el limite cuando la norma de la partición tiende a cero o m, n tiende a infinito, este límite
es una integral doble
Teorema: Cambio de Variable a forma polar
Sea R una región plana formada por todos los puntos
condiciones
donde
que satisfagan las
.
Si f es continua en R entonces
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Que al aplicar el Teorema de Fubini nos permite escribir la integral doble como una integral iterada
Si
es una superficie sobre R y f es continua y no negativa en R, el teorema anterior puede
interpretarse como el volumen V del solido bajo esta superficie y arriba de R.
Ejercicios:
1- Sea R la región en forma de anillo comprendida entre las
circunferencias
y
. Calcular la integral
2- Calcule el volumen del solido bajo la superficie
arriba del rectángulo polar
3- Determine el volumen del solido acotado por el plano
y por
y el
paraboloide
Integrales dobles en coordenadas polares:
Regiones Generales: Así como extendimos la integral doble sobre un rectángulo común R a la
integral sobre una región elemental S, encerrando dicha región en un rectángulo y dando a la
Integrales
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función por integrar el valor cero fuera de S, podemos hacer lo mismo para integrales polares
dobles, excepto que usamos rectángulos polares en vez de rectángulos ordinarios.
Los conjuntos de particular interés son los r-simples y los θ-simples
Regiones “r-simples”: Se dice que una región S es del tipo “r-simples” si tiene la forma
Sea S una región plana formada por todos los puntos
condiciones
donde
y f es continua en R, entonces
. Si
y
que satisfagan las
son continuas en
Regiones “ -simples”: Se dice que una región S es de tipo “ -simple” si tiene la forma
Y la integral doble quedara
Integrales
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Ejercicios
1- Calcular en coordenadas polares el área de un circulo de radio 3
2- Calcule en coordenadas polares el volumen de la esfera de radio 5
3- Determine el volumen del solido bajo la superficie
, sobre el plano XY y dentro del
cilindro
Integrales triples
Así como las integrales dobles nos permiten trabajar con situaciones más generales que las que pueden
resolverse mediante integrales sencillas, las integrales triples nos permiten resolver problemas aun más
generales. Usamos las integrales triples para calcular el volumen de formas tridimensionales, la masa, el
valor promedio de una función sobre una región tridimensional, etc. Las integrales triples también
surgen en el estudio de los campos vectoriales y el flujo de fluido en tres dimensiones.
Sea f una función continua de tres variables
en una región solida acotada B.
Supongamos primero que B es una caja rectangular (paralelepípedo rectangular)
Primero dividamos el rectángulo B en n sub-cajas. Para esto dividamos los tres lados en n partes
iguales. El intervalo
quedara dividido en n sub-intervalos
con un ancho igual a
,
quedara dividido en n sub-intervalos
con ancho igual
y finalmente, el intervalo
dividido en n sub-intervalos
con ancho igual a
Cada sub-caja
Integrales
tiene un volumen
. Si formamos la suma triple de Riemann
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Donde el punto muestra
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esta en
Definimos la Integral Triple como el límite de las sumas triples Riemannianas, para cuando la norma de
la partición tiende a cero
Sea f una función continua de tres variables, definida en una región solida acotada B, si
Existe, decimos que f es integrable en B. Ademas la
llamada la integral triple de f en
B, está dada por
Integrabilidad: No toda función de tres variables es integrable en una región solida B. “Si f esta acotada
en la región solida B y si es continua ahí, excepto en un numero finito de superficies suaves (es decir sus
discontinuidades están confinadas en graficas de funciones continuas como
) entonces f es integrable en B. En particular si f es continua en todo B, entonces es
integrable ahí”
Propiedades de la integral triple
Sean f y g funciones integrables de la región solida B, y sea c una constante, entonces
son integrables y
Donde B es la unión de dos regiones solidas
y
y
sin solapamiento.
Al igual que con las integrales dobles, el método practico para evaluar las integrales triples es
expresarla como integrales iteradas,
Teorema de Fubini para las integrales triples:
“si f es continua en una caja rectangular
integral iterada es igual a la integral triple”
Integrales
, entonces si existe cualquier
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Ejercicios
1- Evalúe la integral triple
2- Integrar
donde B es la caja rectangular dada por
sobre la caja
Definición:
La integral triple sobre regiones elementales: Sea S un conjunto
cerrado y acotado en el espacio tridimensional y sea B cualquier
caja que contiene a S
Dada f definida y continua en S, definimos a una nueva función F
con dominio B mediante
Si la integral triple de F existe sobre S, entonces definimos la integral triple de f sobre S como
Nota: esta integral existe si f es continua y la frontera de S es razonablemente suave.
Regiones “Tipo 1 o z-simples”: Se dice que una regio solida B es del tipo 1 si se halla entre las graficas
de dos funciones continuas de x e y, es decir
Integrales
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Donde
es la proyección en el plano XY. La frontera superior
del solido es la superficie de ecuación
en tanto que la
frontera inferior es la superficie de ecuación
Entonces si S es una región tipo 1
Además, si la proyección
de S sobre el plano XY es una región tipo 1
La ecuación se convierte en
Si la proyección
de S sobre el plano XY es una región tipo 2
La ecuación anterior se convierte en
Regiones tipo 2
Una región solida S es de tipo 2 si es de la forma
Donde
es la proyección sobre el plano es la proyección sobre el
plano YZ.
La superficie de atrás es
así tenemos:
Integrales
y la superficie de enfrente es
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Regiones Tipo 3: Una región solida S es de tipo 3 si la forma
Donde
es la proyección sobre el plano es la proyección sobre
el plano YZ.
La superficie de atrás es
así tenemos:
y la superficie de enfrente es
Ejercicios
1- Evalúe la integral
trazar la región de integración S e Interpretar.
2- Calcular
3- Calcular
Calculo de los límites de integración
Haga un bosquejo: Trace la región S junto con su “sombra” D proyectada verticalmente sobre el plano
xy. Marque las superficies fronteras superior e inferior de la región S. y las curvas de las fronteras de la
región D.
Determine los límites de integración en z:. Trace una recta M
paralela al eje z, que pase por un punto típico (x,y) en S. Cuando z
crece, M entra a S en
y sale en
Estos son
los límites de integración en z.
Determine los límites de integración en y:Trace una recta L
paralela al eje y, que pase por un punto (x,y) . Cuando y crece L entra
a D en
y sale en
Estos son los límites de
integración en y.
Determine los límites de integración en x elija los límites en x que
incluyan todas las rectas paralelas al eje y que pasen por D (x=a y
y=b en la fig)
Ejercicios:
1-
Evalúe la integral triple
donde S es el tetraedro solido acotado por los cuatro planos
2- La región del primer octante acotado superiormente por el cilindro
entre los planos verticales
y
y comprendida
3- El hemisferio superior dado por
Integrales
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4- La región limitada inferiormente por el paraboloide
y superiormente por la esfera
Interpretación Geométrica: Volumen, para una región solida simple S se define su volumen como
Ejercicios
1- Calcular el volumen de
2- Calcular el volumen del solido
Nota:
Coordenadas Cilíndricas: Revisión En el sistema de coordenadas cilíndricas, un punto P en el espacio
tridimensional se representa mediante una tripleta ordenada
donde r y son las coordenadas
polares de la proyección de P sobre el plano XY, y z es la distancia desde el plano XY a P.
Las ecuaciones para pasar de coordenadas cilíndricas a
rectangulares son:
Como resultado la función
se transforma en:
Integrales triples en coordenadas cilíndricas
Para expresar en coordenadas cilíndricas una integral triple, supongamos que S es una región sólida y f
es continua en S.
Dividamos S por medio de una cuadrícula cilíndrica, donde el elemento de volumen típico tiene la forma
de una “cuña cilíndrica” cuyo volumen es
Y la suma que aproxima la integral tiene la forma
Entonces al tomar el límite cuando la norma de la
partición tiende a cero, obtenemos la siguiente
integral triple:
Definición: La integral triple en coordenadas cilíndricas
Integrales
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Sea f una función continua de tres variables, definida en una región solida acotada S
Cuya proyección
en el plano XY puede describirse en coordenadas polares, es decir
región plana r-simple o -simple, entonces
Donde la integral doble se calcula en polares. Si
es una
es r-simple
La integral triple en coordenadas cilíndricas es
Para visualizar un orden particular de integración conviene interpretar la integral triple como una
secuencia de tres movimientos de barrido, cada uno de los cuales añade una dimensión al sólido
Por ejemplo, si el orden de integración es dr dθ dz
La primera integración tiene lugar en la dirección de r, como si un punto barriera un segmento radial
conforme r crece
*Seguidamente, al crecer θ, el segmento recto Barre un sector
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*Finalmente al crecer z, ese sector barre una cuña sólida
Ejercicios
1- Evalúe la integral
en coordenadas cilíndricas. Trazar la
región de integración S e interpretar.
2- Calcular en coordenadas cilíndricas el volumen de una esfera de radio a
3- Aplicando coordenadas cilíndricas, calcular el volumen de la región
,
,
Coordenadas esféricas: Revisión En el sistema de coordenadas esféricas,
un punto P en el espacio tridimensional se representa mediante una tripleta
ordenada
donde
es la distancia del origen a P,
es el
mismo ángulo que en las coordenadas cilíndricas y es el ángulo entre el
eje positivo Z y el segmento de recta OP. Observe que,
. Las ecuaciones para pasar de coordenadas esféricas
a rectangulares son:
Como resultado la función
se transforma en
Integrales triples en coordenadas esféricas
Para expresar en coordenadas esféricas una integral triple, supongamos que S es una región sólida y f es
continua en S. Dividamos S por medio de una cuadricula esférica, mediante las esferas
los semiplanos
y los semi-conos
. El elemento típico tiene la forma de una “cuña esférica” con
dimensiones
(el arco de un circulo con radio y un ángulo
). Y
(el arco de un
círculo
y un ángulo ). De modo que su volumen será
Y la suma que aproxima la integral será:
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Entonces, al tomar el límite cuando la norma de la partición tiende a cero, obtenemos la fórmula para la
integración triple en coordenadas esféricas:
Donde S es una cuña esférica dada por
Nota: la formula anterior dice que convertimos una integral triple, de coordenadas rectangulares a
coordenadas esféricas al escribir
Utilizando los limites de integración adecuados y sustituyendo dV por
Al igual que en coordenadas cilíndricas la integrales triples en coordenadas esféricas se calculan
mediante integrales iteradas. Se puede visualizar un orden particular de integración, interpretando la
integral triple como una secuencia de tres movimientos de barrido, cada uno de los cuales añade una
dimensión al sólido. Por ejemplo, para la integral iterada
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Ejercicios
1- Calcular la integral iterada
2- Evalúe la integral dV donde B es la bola unitaria
3- Use las coordenadas esféricas para determinar el volumen del sólido que esta encima del cono
y debajo de la esfera
4- Plantear la integral triple para hallar el volumen del solido acotado por el cilindro
y el paraboloide
y el plano
a.
En coordenadas cartesianas
b.
En coordenadas cilíndricas
5-
Plantear la integral triple para
hallar el volumen del solido acotado por el cilindro
paraboloide
y el plano
a. En coordenadas cartesianas
b. En coordenadas cilíndricas
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y el
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6- Plantear la integral triple para hallar el volumen del solido
debajo del
encima del disco
a. En coordenadas cartesianas
b. En coordenadas cilíndricas
7Plantear la integral triple
para hallar el volumen del solido
dentro del cono
y la
esfera
cuando
en coordenadas esféricas.
Aplicaciones físicas
Una de las aplicaciones de las integrales dobles es el cálculo de volúmenes. Otra de las aplicaciones
geométricas es la determinación de áreas de superficie.
Las integrales tienen importantes aplicaciones físicas, permiten determinar o calcular masa, momento
estático o de inercia, coordenadas del centro de masa.
Densidad y Masa
Consideremos en primer lugar, una lamina plana y delgada que tiene la forma de un recinto simple D.
Supongamos que la materia está distribuida en laminas uniformemente.
Si la densidad es constante (densidad = unidad de masa/unidad de área) porque la lamina está
constituida de material homogéneo, la masa de la lamina es proporcional al área de su superficie y se
define como el producto de la densidad por el área
(Para un solido
, para una lámina plana la densidad se mide en término de masa por unidad de
Área)
Si la densidad de la lamina es variable, es decir, laminas hechas de material no homogéneo, la densidad
en un punto (x, y) en D esta dada por f(x, y); el valor f(x, y) cambia en cada punto. Y representa la masa
por unidad de superficie. La densidad viene dada por una función no negativa y continua.
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En este caso la Masa Total de la lámina puede aproximarse considerando una subdivisión cualquiera del
recinto, y tomando cada sub-recinto, una densidad constante, que puede ser el valor máximo o mínimo o
un valor intermedio de la densidad en esa parte de la superficie.
Luego la masa de una sub-región Mi es aproximadamente
Donde
=área de Di
Si sumamos dichas masas obtenemos una aproximación de la masa total
La masa real m se obtiene considerando el límite de la expresión anterior cuando la norma de la
partición tiende a cero, lo que es una integral doble.
Ejemplo: una lamina con densidad
esta acotada por el eje x, la recta
y la curva
. Calcule su masa total.
Carga Total: los físicos también consideran otro tipo de densidad, la densidad de carga (unidad de carga
por unidad de área [Coulomb/cm2])
Si una carga eléctrica se distribuye a través de una región D y
da la densidad de carga, entonces
Momento Estático y Centro de Masa: Sabemos que del momento de una partícula sobre un eje es el
producto de su masa y la distancia dirigida desde el eje.
Si
es una colección de masas puntuales en cada
respecto al eje y y al eje x están dados por
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, entonces los momentos totales con
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Si tomamos el límite conforme el número de sub-rectángulos se incrementa, obtenemos el momento de
toda la lámina alrededor del eje x
De manera semejante el momento alrededor del eje y es
Además, las coordenadas del centro de masa (punto de equilibrio) por definición son
El significado físico es que la lámina se comporta como si toda la más estuviese concentrada en su centro
de masa. Como consecuencia la lámina se balancea horizontalmente cuando se sostiene por su centro de
masa.
Ejercicio: Determine el centro de Masa del ejemplo anterior
momentos respecto del eje x e y son
la masa era
los
Momento de Inercia: el momento de inercia (o segundo momento) de una partícula de masa m alrededor
de un eje se define como
donde r es la distancia de la partícula al eje.
Si ampliamos este concepto a una lamina con una función densidad
que ocupa una región D. y
dividimos D en pequeños rectángulos, se aproxima el momento de inercia de cada sub-rectángulo
alrededor del eje x, y tomamos el límite de la suma cuando el numero de sub-rectángulos aumenta
obtendremos los momentos de Inercia de la lamina en torno a los ejes.
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El momento de inercia alrededor del origen, que también se llama momento polar de Inercia
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