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CH-FyA-0516
Guía 100: Real-Mente
Guía
100
Meta 34
GRADO 11
GUÍA DEL ESTUDIANTE
REAL - MENTE
2
Guías de Aprendizaje de Cualificar Matemáticas
Fe y Alegría Colombia
Fe y Alegría Colombia
Víctor Murillo
Director Nacional
Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos
Jaime Benjumea - Marcela Vega
Autores de la guía 100
Ashley Miyereth Gallo Silva, I.E Minuto de Dios Policarpa Salavarrieta
Luis Alberto Avellaneda Cáceres, I.E Minuto de Dios Policarpa Salavarrieta
Coordinación pedagógica
Francy Paola González Castelblanco
Andrés Forero Cuervo
GRUPO LEMA www.grupolema.org
Revisores
Jaime Benjumea
Karla Yelitza Florez Carrero, I.E Minuto de Dios Policarpa Salavarrieta
Francy Paola González Castelblanco
Andrés Forero Cuervo
3
Guía
REAL - MENTE
100
GRADO 11
GRADO 11 - META 34 - PENSAMIENTO - ALEATORIO
Guía 100
(Duración 13 h)
Guía 101
(Duración 13 h)
ACTIVIDAD 1
• Números reales (Representación en
• Funciones a trozos
la recta númerica.
• Funciones inversas
• Relación de orden, operaciones
• Dominio y rango de una función
entre números reales.
inversa
ACTIVIDAD 2
• Intervalos.
•
Inecuaciones
(desigualdades)
lineales de una incógnita.
Guía 102
(Duración 13 h)
●
●
●
●
●
●
Funciones racionales
Asíntotas de una función.
Familias de funciones
trigonométricas
Funciones trigonométricas
inversas.
Ecuaciones trigonométricas
sencillas
Asíntotas de funciones
trigonométricas.
META DE APRENDIZAJE N. 34
Analizo y resuelvo problemas en contextos en los que se estudian ingresos, utilidades según costo de producción,
velocidad media, interés compuesto, crecimiento poblacional, tasa de natalidad y mortalidad, entre otros.
Representar estas situaciones con funciones (polinómicas, racionales, trigonométricas; funciones a trozos),
identifico rangos de variación y procesos de aproximación sucesiva en algunos intervalos, para ver cómo varía la
función cuando la variable se aproxima tanto como se quiera a un punto dado o infinito. Con gráficas, tablas numéricas
y software o applets de Geogebra, analizo y visualizo intuitivamente límites de funciones (cuyo valor es un número o
infinito).
PREGUNTAS ESENCIALES:
Actividad 1:
● ¿En qué situaciones de la vida cotidiana podemos evidenciar la presencia de los números reales?
● ¿Conoces situaciones reales en las que puedas aplicar la relación de orden y explicarlas matemáticamente?
Actividad 2:
● ¿Cómo nos pueden ayudar los intervalos para estimar ciertas situaciones cotidianas como por ejemplo, establecer
la duración de una cita o una reunión, indicar un rango de precios o indicar el rango de edades?
● ¿Cómo crees que las inecuaciones me pueden ayudar en problemas como límites de velocidad en la autopista,
pagos mínimos en las tarjetas de crédito, el número de mensajes de texto que puedes enviar desde tu celular
cada mes, el tiempo que te toma llegar al trabajo?
4
EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE
Actividad 1:
● Identificó la contenencia que se presenta entre los conjuntos numéricos.
● Estimo el error posible de un cálculo aproximado haciendo uso de la notación científica o de números con una
expansión decimal infinita.
Actividad 2:
● Reconozco los intervalos como subconjuntos de los reales, los represento mediante desigualdades y los
grafico en la recta numérica.
● Resuelvo en el contexto de situaciones problema inecuaciones de la forma f(x)≥k y
f(x)≥g(x) dadas gráfica o algebraicamente.
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GUÍA 100
ACTIVIDAD
GRADO
11
1
ACTIVIDAD 1: NÚMEROS REALES
Conozcamos la clasificación de los números reales y cómo podemos representarlos en la recta real.
A) Activando saberes previos
RECUERDA QUE...
A partir de las necesidades del ser humano surgieron diferentes conjuntos de números
El primer conjunto ideado fue el conjunto de los números naturales o también llamado conjunto de los
números enteros positivos, que no es otra cosa que los números que utilizamos para contar. Este conjunto
lo escribimos como:
El segundo conjunto llamado conjunto de los números enteros se obtiene de unir los naturales con sus
opuestos aditivos y el cero; este conjunto se nota así:
El tercer conjunto se denomina números racionales y está formado por todos los números que se pueden
expresar como la razón entre dos números enteros. Recuerde que no se puede dividir entre cero. Este
conjunto se determina por comprensión así:
Existe un cuarto conjunto llamado números irracionales que está formado por aquellos números que no se
pueden expresar como el cociente de dos números enteros. Este se nota con la letra.
Algunos números irracionales son:
Finalmente, el conjunto de los números reales resulta de la unión entre el conjunto de los números racionales
y los números irracionales.
El siguiente esquema muestra la clasificación del conjunto de los números reales.
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ACTIVIDAD
GRADO
11
1
PRÁCTICA
1. Observe y analice el diagrama dado, que muestra la relación de contenencia entre los conjuntos
numéricos.
Basándose en el diagrama anterior complete las expresiones dadas con los signos ⊂
(contenido) o = (igual) según la relación entre los conjuntos dados sea de contenencia o
de igualdad
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ACTIVIDAD
GRADO
11
1
2. Determine si la afirmación es verdadera (V) o falsa (F). En todos los casos, justifique su respuesta.
____ Todos los números racionales son también números enteros.
____ Algunos números enteros son irracionales.
____ Todos los números racionales son también números reales.
____ El 0 es un número entero pero no es un número racional.
____ Todos los números reales son también números irracionales.
3. En cada casilla escriba Sí, si el número dado es un elemento del conjunto indicado en la primera
columna, en caso contrario escriba No.
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ACTIVIDAD
GRADO
11
1
Verifica las respuestas de la sección A con tu profesor.
B) CONCEPTOS
EXPLORACIÓN.
Andrés observó que la distancia desde su casa a su colegio está entre 3 y 6 kilómetros. Luego de observar
la recta numérica dijo que los únicos números que había entre 3 y 6 eran 4 y 5.
¿ Qué opinas de la conclusión dada por Andrés?
En realidad entre 4 y 5 hay una cantidad infinita de números. Por ejemplo, si se toma la unidad entre 4 y 5
y se halla su punto medio, se encuentra el número 4,5. Si luego se halla el punto medio entre 4,5 y 5 se
halla un nuevo punto: 4,75. Si se continúa de esa forma, se seguirán encontrando más y más números sin
que se termine el proceso.
Como todo en matemáticas, si conocemos los cuidados que es necesario tener, podemos salir adelante al
localizar puntos en la recta y coordenadas en el plano cartesiano. Como tantas cosas en matemáticas, asusta
un poco (o un mucho) cuando no se entiende.
Analicemos la siguiente situación:
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ACTIVIDAD
GRADO
11
1
Aquiles y la tortuga
Aquiles se dispone a correr frente a una tortuga que los dioses han enviado a modo de desafío para el de
los pies alados. Puesto que Aquiles se siente muy superior propone que la tortuga salga algún tiempo antes
que él. La tortuga sabia acepta la ventaja y parte antes. Todo lo que Aquiles tiene que hacer es alcanzarla
y luego rebasarla para llegar antes a la meta. Para ello, tiene que alcanzar primero el punto que la tortuga
tenía en el momento en que el parte. Cuando llega allí, la tortuga ha avanzado hasta un punto más allá que
Aquiles tendrá que alcanzar antes de dar caza a la tortuga. Cuando llega a este nuevo punto la tortuga ya
lo ha abandonado para hallarse un poco más allá. Por tanto, si la tortuga no se detiene, Aquiles nunca será
capaz de alcanzarla.
En conclusión :
1. Para que un cuerpo en movimiento alcance a otro, también en movimiento, que se halla en un punto A es
preciso que el primero pase antes por cada uno de los puntos A1<A2...<An<... que aquel va dejando atrás en
la persecución.
2. El cuerpo perseguidor tiene que completar una serie infinita de tareas antes de alcanzar al perseguido,
Por tanto: El segundo cuerpo (el perseguidor) nunca puede alcanzar a otro (el perseguido) si este no se
detiene.
LA RECTA REAL: La recta numérica es una línea recta en la que se pueden ubicar todos los números reales
debido a que está graduada, es decir, tiene marcados los números enteros ordenados y espaciados
homogéneamente (a la misma distancia cada uno y el siguiente).
Las flechas indican que continúa hasta el infinito en ambos sentidos. Al centro de la recta numérica va el
número cero, a la derecha van los positivos y a la izquierda los negativos. Recordemos que el cero no tiene
signo. El número con el que se identifica cualquier punto en la recta numérica indica la distancia de dicho
punto hacia el centro de la misma.
Los números enteros se ubican directamente en la posición correspondiente al número. El -2 está 2
unidades a la izquierda (por ser negativo) del 0 mientras que el 1 está 1 unidad a la derecha (por ser
positivo) del 0.
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ACTIVIDAD
GRADO
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1
Para ubicar las fracciones es necesario tener ciertos cuidados
Paso 1: Acude a tu docente y pide mayor información.
Paso 2: haz los ejemplos que el docente te oriente.
paso 3: practica tú mismo algunos ejercicios dados por el docente.
Las fracciones propias positivas siempre van entre el 0 y el 1. Para ubicar 3/4, por ejemplo, se divide la
unidad en cuatro partes y se elige la tercera división. Para ubicar 1/2, se divide la unidad en dos partes y
se elige la primera división.
Las fracciones aparentes son realmente números enteros, por lo que van en la posición entera
correspondiente:
Las fracciones impropias podemos reescribirlas como números mixtos para que sea más sencillo ubicarlas.
Es muy importante que la recta numérica tenga al menos hasta la unidad siguiente al ubicar un número
mixto, para que la partición de la última unidad pueda hacerse adecuadamente.
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ACTIVIDAD
GRADO
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1
Para ubicar los números con decimales (como los irracionales), se parte la unidad en 10 partes y se ubica
tan aproximado como se pueda la posición del punto. 1.45 está a la mitad entre 1.4 y 1.5:
Para tomar en cuenta
A la recta numérica también se le conoce como recta real y se le considera una representación visual del
conjunto de los números reales, los cuales tienen un orden que se aprecia en la recta. Como habíamos
mencionado, cualquier número a la derecha de otro es mayor a él.
LA RELACIÓN DE ORDEN:
El conjunto de los números reales es un conjunto ordenado. Lo anterior significa que: Dados dos números
reales, siempre se pueden comparar y decidir si son iguales, cuál es el mayor o cuál es el menor.
Recordemos:
En la recta a < b, significa que el punto que corresponde a a está a la izquierda del punto que corresponde
a b.
Si a < b, ¿qué se puede afirmar de “b” con respecto a “a”?
Propiedad de tricotomía: Si a y b son dos números reales, se cumple sólo una de las siguientes relaciones:
a=b
a<b
a>b
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ACTIVIDAD
GRADO
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1
Propiedad transitiva: Si a, b, y c son números reales tal que
a < b y b < c, entonces a < c.
Propiedad aditiva: Si a < b y c es un número real, entonces
a+c<b+c
Propiedad multiplicativa 1: Si a < b y c es un número real positivo, entonces
ac < bc
Propiedad multiplicativa 2: Si a < b y c es un número real negativo, entonces
ac > bc
MINI-EXPLICACIONES: REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA
Números reales
en la recta
numérica
Observa cómo se ubican números reales en la recta numérica.
Represente en la recta numérica los siguientes números racionales:
Solución:
Recordemos además que el número racional a/b se puede considerar como el cociente
que se obtiene al dividir “a” por “b”; en donde “b” indica el número de partes en que
se divide la unidad y “a” el número de partes que se toman.
De esta manera, si se divide en dos partes iguales cada segmento unidad en la recta
numérica, podemos representar los números racionales cuya representación
fraccionaria tiene como denominador 2.
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ACTIVIDAD
GRADO
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1
Números irracionales en la recta numérica
A cada número racional le corresponde un punto en la recta pero en realidad estos
no completan la recta, también la constituyen los irracionales. En general,
representar un número con infinitas cifras decimales no periódicas es imposible y
por lo tanto nos tendríamos que conformar con una aproximación.
Recordemos que los Números irracionales . Son los elementos de la recta real que
no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por
poseer infinitas cifras decimales.No los podemos expresar como fracciones debido
a que sus decimales siguen para siempre sin repetirse. Algunos ejemplos son:
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ACTIVIDAD
GRADO
11
1
Operaciones con
números reales
Sin embargo, con la ayuda del Teorema de Pitágoras no es difícil representar
geométricamente muchos números irracionales como √2, √3, √5, √6, √7,
√8, √10,etc.
Veamos como se puede representar, por ejemplo, √2
Para representarlo debemos seguir los siguientes pasos:
Paso 1: construir sobre la recta numérica un triángulo rectángulo de dimensiones 1
cm de ancho 1 cm de alto y vamos a llamar x a la hipotenusa.
Paso 2: aplicar el Teorema de Pitágoras como sigue:
Paso 3: Ya sabemos que el valor de la hipotenusa tiene como valor raíz
de 2, luego con la ayuda de un compás podemos representar en la recta
el valor de √2 de la siguiente manera. Con tu compás toma la dimensión
de la hipotenusa, que en este caso es √2, y toma como centro el cero.
Luego trazamos un arco de circunferencia y el punto de corte con la
recta numérica será el valor de raíz de 2 (longitud desde el punto cero
al punto P).
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ACTIVIDAD
GRADO
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1
En el recuadro se escribió la expresión dada pero aplicando alguna propiedad de las
operaciones entre números reales.
Ejemplo 1: Escriba la propiedad o propiedades que se aplican en cada proceso
ilustrado.
.
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ACTIVIDAD
GRADO
11
1
C) Resuelve y practica
1. Representa en la recta numérica los siguientes números reales. Luego, ordénelos de menor a mayor
2.
recordando cómo se representa geométricamente el número irracional haga la construcción
(utilizando escuadras y compás) del número 2 + √2
3. Observe la gráfica dada a continuación y complete las expresiones con los signos < (menor que), o, >
(mayor que) según corresponda en cada caso.
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ACTIVIDAD
GRADO
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1
4. En la siguiente tabla se muestra la marca, el precio por litro y la cantidad de litros de helado
vendidos por un distribuidor en cuatro tiendas distintas.
a) ¿Cuál es la marca de helado que más ha vendido el distribuidor en las cuatro tiendas?
______________
b) ¿Cuál tienda fue la que más dinero tuvo que darle al distribuidor?
_______________________________
5. Escriba el número real que resulta al resolver cada adición.
6. Simplifique las expresiones dadas aplicando las propiedades de los números reales.
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ACTIVIDAD
GRADO
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1
7. Resuelve las siguientes situaciones problema
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ACTIVIDAD
GRADO
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1
D) Resumen
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ACTIVIDAD
GRADO
11
1
E) Valoración
i) Califica tu comprensión por tema en tu
cuaderno
Evidencias
⚫⚪⚪
⚫⚫⚪
⚫⚫⚫
Todavía no Voy bien pero Comprendí
entiendo los quiero más
muy bien el
conceptos
práctica
tema
1.
2.
3.
4.
Evidencias actividad 1:
● Identificó la contenencia que se presenta
entre los conjuntos numéricos.
● Estimo el error posible de un cálculo
aproximado haciendo uso de la notación
científica o de números con una expansión
decimal infinita.
i) auto-diagnóstico.
Este es un espacio de auto-evaluación, acá el
estudiante valora cómo se siente frente al alcance de
las evidencias, de acuerdo, con la escala de la tabla.
ii) Preguntas de comprensión
Escribe verdadero o falso. Justifica tu
respuesta.
1) El opuesto de un número real es siempre un
número real negativo. ( )
2) Los números reales negativos son menores
que 0. ( )
3) √4 es un número irracional. ( )
4) ¿Los números racionales ocupan todos los
puntos de la recta? ( )
5) Se sabe que la suma de tres números es
850. El primer número es un tercio del
segundo y el tercer número es el doble del
segundo. ¿Cuáles son los números? Apóyese en
el esquema de barras para solucionar el
problema.
(Verifica las respuestas con tu profesor)
iii) Resuelvo un problema
El terreno donde Camila siembra verduras mide 20 metros de ancho por 30 metros de largo; su área
está dada por la expresión: 20 m × 30 m = 600 𝑚2 . Camila quiere sembrar una mayor área así que
decide ampliarlo, como se muestra en la figura.
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ACTIVIDAD
GRADO
11
2
ACTIVIDAD 2: INTERVALOS
Aprendiendo sobre el conjunto de números Reales comprendidos entre dos valores fijos llamados extremos
del intervalo.
A) Activando saberes previos
RECUERDA QUE...
Se llama intervalo en la Recta Real, a todo subconjunto de la misma comprendido entre dos puntos fijos
llamados extremos.
Clases de intervalos:
Abierto: es aquel en el que los extremos no forman parte del mismo, es decir, todos los puntos de
la recta comprendidos entre los extremos forman parte del intervalo, salvo los propios extremos.
⮚ En otras palabras
, observa que se trata de desigualdades
estrictas.
⮚ También se expresa en ocasiones como
.
a
b
⮚ Gráficamente:
Cerrado: es aquel en el que los extremos si forman parte del mismo, es decir, todos los puntos de la
recta comprendidos entre los extremos, incluidos éstos, forman parte del intervalo.
✔ En
otras palabras
estrictas.
, observa que ahora no se trata de desigualdades
a
b
✔ Gráficamente:
Semiabierto: es aquel en el que solo uno de los extremos forma parte del mismo, es decir, todos los
puntos de la recta comprendidos entre los extremos, incluido uno de éstos, forman parte del intervalo.
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ACTIVIDAD
GRADO
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2
✔ Semiabierto por la derecha, o semicerrado por la izquierda, el extremo superior no forma parte
del intervalo, pero el inferior si, en otras palabras
extremo que queda fuera del intervalo va asociado a una desigualdad estricta.
✔ También se expresa en ocasiones como
.
✔ Semiabierto por la izquierda, o semicerrado por la derecha, el
, observa que el
extremo inferior no forma parte
del intervalo, pero el superior si, en otras
CONCLUSIÓN:
la recta real no tiene cotas superiores ni inferiores, no está acotada,
ya que por definición es una sucesión ilimitada de puntos puestos éstos unos a continuación de los otros.
➢
➢
Observación 1: un intervalo es cerrado cuando posee máximo y mínimo.
Observación 2: un intervalo es abierto cuando no posee ni máximo ni mínimo.
2
5
Un INTERVALO es la expresión de un subconjunto de números reales y sirve para indicar que un elemento
puede estar en cualquier posición entre dos valores.
Te presento algunas situaciones de la vida diaria en donde puedes utilizar intervalos:
1. Para definir los horarios de atención al público de un local: atendemos de 9 am a 12 pm y de 2pm a 5pm.
2. Para establecer la duración de una cita o una reunión: la conferencia tendrá lugar de 10 am a 11 pm
3. Para indicar un rango de precios: las entradas al concierto están entre los 45$ y los 120$
4. Para indicar el rango de edades de una muestra: el estudio de mercado fue hecho para una población de
entre 15 y 29 años
5. Para indicar la cantidad de personas que pueden estar en un sitio: un auto compacto está hecho para
entre 1 y 5 pasajeros.
PRÁCTICA
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ACTIVIDAD
GRADO
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2
Intervalos.
Un intervalo es un conjunto de Números Reales comprendidos entre dos valores fijos llamados extremos
del intervalo.
I.
Dibujar los siguientes intervalos en la recta real, clasifícalos como abiertos, cerrados o
semiabiertos y expresarlos en forma de conjunto:
A = [-3, 3] ; B = (-3, 3) ; C = [-1, 4] ; D = (-4, 5]; E = ( - ∞, 2]; F= (- 6 , ∞)
II.
Usando la notación de conjunto y de intervalo; escribir los siguientes intervalos que están
representados en la recta real:
B) CONCEPTOS
MINI-EXPLICACIÓN: DESIGUALDADES
En matemáticas, una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores cuando estos son
distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad).
Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los reales, entonces
pueden ser comparados.
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ACTIVIDAD
GRADO
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2
La notación a < b significa a es menor que b
La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b;
La notación a > b significa a es mayor que b
La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b;
Estas relaciones se conocen como desigualdades
estrictas, puesto que a no puede ser igual a b;
también puede leerse como "estrictamente menor
estos tipos de desigualdades reciben el nombre de
desigualdades amplias (o no estrictas).
que" o "estrictamente mayor que".
La notación a ≠ b '' significa que “a” no es igual a “b”. Tal expresión no indica si uno es
mayor que el otro, o siquiera si son comparables.
Generalmente se tienden a confundir los operadores según la posición de los elementos que se están
comparando; didácticamente se enseña que la abertura está del lado del elemento mayor. Otra forma de
recordar el significado, es recordando que el signo señala/apunta al elemento menor.
Recordemos los símbolos de mayor que, menor que, mayor-igual que, menor-igual que.
> (mayor)
< (menor)
≥( mayor-igual que)
≤(menor-igual que)
Sean a y b números reales. Entonces tenemos que:
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a > b si y sólo si a – b > 0
GUÍA 100
ACTIVIDAD
GRADO
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2
(a – b es positivo)
si y sólo si a > b o a = b
a < b si y sólo si b > a y a su vez a – b < 0
(a – b es negativo)
si y sólo si a < b o a = b.
Ejemplos:
a) 7 > 2 porque 7 – 2 > 0
b) – 8 > - 12 porque (-8) – (-12) = - 8 + 12 = 4 y 4 > 0
c) – 5 < - 2 porque (- 5) – (-2) = - 5 + 2 = - 3 < 0
MINI-EXPLICACIÓN: INECUACIONES
Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que aparecen una o más incógnitas. Resolver una
inecuación es encontrar los valores de la incógnita para los cuales se cumple la desigualdad. La solución de
una inecuación es, por lo general, un intervalo o una unión de intervalos de números reales. El método para
resolver una inecuación es similar al utilizado para resolver ecuaciones, pero teniendo presente las
propiedades de las desigualdades. Es conveniente ilustrar la solución de una inecuación con una gráfica. Si
la solución incluye algún extremo del intervalo, en la gráfica representamos dicho extremo con un círculo
en negrita; en cambio, si la solución no incluye el extremo, lo representamos mediante un círculo blanco
(transparente).
¿Para qué sirven las inecuaciones?
Una de las principales utilidades de las inecuaciones es su aplicación a los problemas de decisión: se trata
de programar una situación con el objetivo de decidirse por una alternativa que sea óptima. En general, el
proceso de optimizar consiste en lograr un resultado máximo o mínimo según convenga al problema
planteado.
Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que sus dos miembros aparecen ligados por uno de
estos signos:
2x − 1 <
< menor que
7
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≤ menor o igual que
> mayor que
≥ mayor o igual que
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ACTIVIDAD
GRADO
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2
2x − 1 ≤
7
2x − 1 >
7
2x − 1 ≥
7
Resolución de inecuaciones de primer grado
1º
Quitar paréntesis.
2º
Quitar denominadores.
3º
Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y los términos independientes en el otro.
4º
Efectuar las operaciones
5º
Como el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1, por lo que cambiará
el sentido de la desigualdad.
6º
Despejamos la incógnita.
Obtenemos la solución como una desigualdad, pero ésta también podemos expresarla:
De forma gráfica
Ejemplo ilustrativo 1:
las reglas para la solución de una inecuación son prácticamente las mismas que se emplean para la resolución
de ecuaciones.
se puede ilustrar la solución de una inecuación con una gráfica, utilizando la recta numérica y marcando el
intervalo entre los números que dan solución a la desigualdad. Si la solución incluye algún extremo definido
del intervalo, en la gráfica representamos dicho extremo con un círculo en negrita; en cambio, si la solución
no incluye el extremo, lo representamos mediante un círculo en blanco.
Ejemplo:
Los valores mayores e iguales a
7 se representan a la derecha de la recta numérica e incluyen al 7.
Ejemplo: Observa cómo se resuelve 2x + 1 ≥ 11 + 7x
OJO: cuando en una inecuación se pasa a multiplicar o dividir un número
negativo a otro lado, se debe invertir la desigualdad.
27
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GUÍA 100
ACTIVIDAD
GRADO
11
2
Resolver el siguiente problema:
La fábrica la hacienda las flores paga a sus representantes $10 por artículo vendido más una cantidad fija
de $500. La fábrica palmacará que es la competencia paga $15 por artículo y $300 fijas. ¿Cuántos artículos
debe vender el representante de la competencia para ganar más dinero que el primero?
MINI-EXPLICACIÓN: VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un número real cualquiera es el mismo número pero con signo positivo. En otras palabras,
es el valor numérico sin tener en cuenta su signo, ya sea positivo o negativo.
Por ejemplo, el valor absoluto del número −4 se representa como |−4| y equivale a 4, y el
valor absoluto de 4 se representa como |4|, lo cual también equivale a 4.
El valor absoluto de todo número real está definido por:
Así pues,
|𝑎 |es la distancia que existe entre el número a y el cero, la cual siempre es positiva.
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ACTIVIDAD
GRADO
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2
Ejemplo:
PROPIEDADES BÁSICAS DE VALOR ABSOLUTO
Propiedad 1
Propiedad 2
El valor absoluto de un número es siempre no El valor absoluto de un número
negativo:
x es 0 si, y sólo si, x=0
EJEMPLO:
|−2| = 2
|2| = 2
Propiedad 3
EJEMPLO
|0|=0
Propiedad 4
El valor absoluto de un producto es el producto de Valor absoluto del opuesto:
los valores absolutos de sus
factores:
Ejemplo:
Ejemplo:
C) RESUELVE Y PRACTICA
I.
Usando la notación de intervalos; escribir los siguientes intervalos que están en lenguaje de
conjunto:
1) {x ∈ R / - 6 ≤ x < 8} = [- 6, 8)
2) {x ∈ R / - 4 ≤ x < 0} =
3) {x ∈ R / - 4 ≤ x < ½} =
4) {x ∈ R / - 4 ≤ x ≤ 7} =
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ACTIVIDAD
GRADO
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2
5) {x ∈ R / -3 < x < 1} =
6) {x ∈ R / -2 ≤ x ≤ 2} =
7) {x ∈ R x / -2 ≤ x ≤ 4} =
8) {x ∈ R / ¼ ≤ x < 1} =
II. El intervalo
está formado por...
A. todos los números del al
B. ambos inclusive. todos los números del
C. sin incluir ni el ni el .
D. los números y .
III. El intervalo
está formado por
...
A. todos los números comprendidos entre
B. todos los números comprendidos entre
C. todos los números comprendidos entre
IV. Escribir
al ,
y
y
y
incluyendo el pero no el .
incluyendo el pero no el .
no incluidos por no ser cerrado el intervalo.
es equivalente a escribir...
A.
B.
C.
V. Escribir
es equivalente a ...
A. (3, 7)
B.
C.
VI . Representa gráficamente el intervalo
VII. La representación gráfica
¿Qué valores comprende?
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D) RESUMEN
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GRADO
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2
E) VALORACIÓN
i) Califica tu comprensión por tema en tu cuaderno
Evidencias
⚫⚪⚪
Todavía no
entiendo los
conceptos
⚫⚫⚪
Voy bien pero
quiero más
práctica
⚫⚫⚫
Comprendí
muy bien el
tema
ii) Preguntas de comprensión
1. Observe las distancias de A a B y de B
a C. Represéntelas como valor Absoluto y
justifique si son iguales o no.
5.
6.
7.
8.
2. Determina el intervalo solución de las
siguiente inecuación de primer grado,
2x < 4
Evidencias actividad 2:
a) (-infinito, 2)
b) (-infinito, 4)
● Reconozco los intervalos como subconjuntos de los
c) (2, infinito)
d) (4, infinito).
reales, los representa mediante desigualdades y los
grafica en la recta numérica.
● Resuelvo en el contexto de situaciones problema 3. Determina el intervalo solución de las
siguiente inecuación de primer grado, inecuaciones de la forma f(x)≥k y f(x)≥g(x) dadas
6 < (x+6)/2 < 0
gráfica o algebraicamente.
a) (-18, -6)
c) (-6, 18)
b) (6,18)
d) otro (justifica)
3. ¿Si a los dos miembros de una
desigualdad se les suma o resta un mismo
número o una expresión algebraica se
obtiene otra desigualdad del mismo
sentido?
a) falso b) verdadero
(Verifica las respuestas con tu profesor)
iii) Resuelvo un problema
Un estudiante necesita para aprobar su curso un promedio mínimo de 80. En los primeros tres exámenes
obtuvo 72, 80 y 91. ¿Qué calificación debe obtener en el cuarto examen para aprobar el curso?.
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