Cuadernillo-de-Matemática-II-Medio-Segundo-Semestre-2016

COLEGIO SANTO DOMINGO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
CUADERNILLO DE EJERCICIOS Y
PROBLEMAS DE MATEMÁTICA PARA
SEGUNDO MEDIO 2016
SEGUNDO SEMESTRE
NOMBRE:
________________________________
1
Introducción:
Una de las formas más fáciles para estudiar matemática es repasar y
aplicar los conceptos analizados en clases a través de ejercicios y problemas; este
cuadernillo pretende ser una ayuda que debes usar tanto en su casa como en el
colegio con el fin de facilitar tu aprendizaje.
Algunos de los ejercicios y problemas de las guías que forman parte del
cuadernillo han sido cuidadosamente seleccionados de los texto de estudio
existentes en el mercado y otros son creaciones de tus profesores.
Esperamos que este conjunto de guías te sirva como un apoyo para tu
aprendizaje de la matemática en el presente año.
Muchos éxitos.
Departamento de Matemática
2
UNIDAD SISTEMA DE ECUACIONES
I). Resolver los siguientes sistemas:
x=5
x+y=8
x + y =9
y=2x – 5
x–y=9
y=10
II) Resolver los siguientes sistemas por el método gráfico
2x = y – 5
y= x – 2
x+y=7
x–y=3
2x + 3y = -2
x = y +4
y = 4x – 5
5y= 2x – 3
2x – y = 1
x + y = -10
x+ 3y = 2
x – 2y =-8
III). Resolver los siguientes sistemas por igualación
3x + y = -2
y =2 – x
7y = 3x – 5
5y= 2x – 3
4x – 3y =11
3x + 2y =1
3x + 4y =6
x – y =9
3x + y = 10
2x + 3y = 10
3x + 5y = 2
9x = 10y + 1
IV). Resolver los siguientes sistemas por sustitución:
x+y=7
x – 2y = -2
4x – 3y = -5
2x + 5y = -9
3x + y = -3
5x – 6y = -5
x – 2y = 10
3x + 4y = 10
3x + 2 y = 1
y – 4x = 6
4x – y = -5
3y = 2x + 10
3x + y = 4
–x + y = – 8
2x + 5y = 4
3x + 4y = -1
3
V). Resolver los siguientes sistemas por reducción
4x – 9y =33
3x + 12y =6
3x + 5y = 5
2y – 4x = 54
2x – 3y = 2
6x + 6y = 1
6x + 2y = 2
x – 3y = 1
5x – 2y = 25
2x = 7 – 4y
3x – 10y = – 56
4x + 7y = 27
VI). Resolver los siguientes sistemas por el método que más le acomode:
5x = 4y - 36
9x = y - 40
–x + 2 –1 = 0
2x + 5y – 25 = 0
3x – 9y = -2
15x – 21y = 6
4x = 6y -2
7x = 11y - 2
x + 5y + 21 = 0
–2x + 3y – 3 = 0
x + 2y = 1
3x + 5y = 0
2x + 5y + 19 = 0
5x + 2y -5 = 0
–4x + 3y – 6 = 0
–16x + 21y – 33 = 0
3x – y = 12
x + 4y = 5
VII). Determinar el tipo de cada uno de los siguientes sistemas:
3x – 4y = 15
9x + 12y = 12
2x + 4y = 15
y=
x
+6
2
9x + 6y = 3
3x + 2y = 1
6x + 8y = 12
3x + 4y = 6
x + y= 5
x+y=7
2x + y = 6
4x + 2y= 2
4
VIII). Resuelve los siguientes problemas utilizando sistemas de ecuaciones:
1) La suma de dos números es 6 y su diferencia 4, ¿cuáles son los números?
2) Tengo $ 4.050 en monedas de $50 y $100, en total tengo 46 monedas, ¿cuántas monedas
tengo?
3) Pedro compró 3 lápices y 2 cuadernos por $ 1300, Andrea compró 2 lápices y 4 cuadernos del
mismo tipo por $ 2.500, ¿cuánto valen los lápices y los cuadernos?
4) Tengo 18 aves entre patos y gallinas, la diferencia entre el doble de los patos y el triple de las
gallinas es 1, ¿cuántos patos y gallinas tengo?
5) En un corral hay conejos y gallinas, se cuentan 36 orejas y 110 patas, ¿cuántos animales hay?
6) Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo están en la razón de 2:3 ,¿cuánto mide cada
uno?
7) En un torneo de tenis se inscriben 42 jugadores, los mejores ranqueados pasan
automáticamente a la segunda ronda y los demás deben jugar la primera ronda, ¿ cuántos
jugadores deben jugar la primera ronda?
8) La suma de las cifras de un número de dos cifrases 11, asi se invierten el número aumenta en
27 unidades, ¿cuál es el número?
9) Un padre reparte $ 15.000 entre sus dos hijos, al mayor le da $ 2.00 más que al menor, cuánto
recibe cada hijo?
10) El perímetro de un rectángulo es 30 cm.; el doble del largo tiene 6 cm. más que el ancho,
¿cuánto miden sus lados?
11) La suma de dos números es 45. Si al primero se le suman 5 y al segundo se le restan 5 se
obtienen dos números tal que el primero es el doble del segundo, ¿cuáles son los números?
12) Calcular la medida de los ángulos del triángulo:
x+y
x
x + 3y – 10
IX) Resolver por el método de doble reducción
x + 3y – z = 3
2x – y + 4z = 14
5 – 5y + z = 15
x+y–z=2
x–y+z =3
x+y+z=0
x + 3y = 9
2x – z = 8
y + 4z = – 6
5
3x – 2y – 3z = 12
x+y+=3
– 2x – y– 2z = –3
GUÍA ALTERNATIVAS: SISTEMAS DE ECUACIONES
1) La solución del sistema de ecuaciones
a)
b)
c)
d)
e)
(3,-1)
(3,1)
(1,-3)
(-2,1)
(-3,1)
2) El sistema de ecuaciones
a)
b)
c)
d)
e)
y = 2x –1
x= y+6
tiene por solución el punto:
(1,1)
(3,5)
(-5,-11)
(5/2,4)
El sistema no tiene solución
3) La suma de los valores de x e y en el sistema
a)
b)
c)
d)
e)
4
5
6
19
Otro valor
4) El producto de los valores de x e y en el sistema
a)
b)
c)
d)
e)
es:
2x + 5y = 1
x–y=4
3x – y = 7
2x+ 3y = 12
es:
7x – 4y = -34
4x + 3y = 7
es:
2
5
10
-10
-2,5
-4x + 3y = -30
5) El valor de la expresión 2x – y que se obtiene al resolver el sistema 3x + 5y = 8
a)
b)
c)
d)
e)
10
12
13
14
Otro valor
6) El sistema de ecuaciones
a)
b)
c)
d)
e)
12x + 6y = 50
10x + 5y = 60
Una solución
Dos soluciones
Infinitas soluciones
Ninguna solución
Ninguna de las anteriores
6
tiene:
es:
7) En el sistema de ecuaciones
a)
b)
c)
d)
e)
5x + 6y = 7
–3x – 2y = -1
el valor de (x + y – 1) es:
-1
0
1
2
Otro valor
4x + 7y = -2
12x – 14y = 19
8) El valor de la expresión xy que se obtiene al resolver el sistema
a)
b)
c)
d)
e)
es:
15/28
-15/28
3/4
5/7
Otro Valor
-1
-1
9) Se sabe que x + y = 10 y que xy = 20; entonces el valor de x + y es:
a)
b)
c)
d)
e)
-1
1
2
-1/2
1/2
10) Encontrar al valor de la expresión
y
cuando las ecuaciones 2x – 3y = 8 y 6x – 2y = 3 se
x
satisfacen simultáneamente
a)
b)
c)
d)
e)
-6
6
3/2
-3/2
Otro valor
2
2
11) Si x + y = 11 y x – y = 9 entonces el valor de x – y es:
a)
b)
c)
d)
e)
1
10
18
64
Otro valor
2
2
12) Si u + 2v = 8 y u – 4v = 32 entonces el se afirma que:
I)
II)
III)
u – 2v = 4
u=6
v = -1
De las afirmaciones son verdaderas
a) Ninguna
b) Sólo I
c) Sólo II
d) Sólo III
e) I y II
7
2
13) En el sistema compuesto por las ecuaciones 3u – v = 12 y 2u + v = -7 el valor de v – 1 es:
a) -2
b) 0
c)
1
d) 80
e) -82
14) En un establo hay pollos y conejos; en total hay 18 orejas y 66 patas; Si C es la cantidad de
conejos y P la cantidad de pollos el sistema de ecuaciones que permite contestar ¿Cuántos
animales de cada tipo hay? Es:
a)
C + P = 18
2C+ P = 66
b)
2C + P = 18
4C+ 2P = 66
d)
2C + P = 18
2C – P = 66
e)
c)
2C = 18
4C+ 2P = 66
2C – P = 18
2C+ P = 66
15) La suma de dos números da como resultado 18 y su cuociente 2; entonces el producto de los
números es:
a)
b)
c)
d)
e)
72
36
18
6
No se puede determinar
16) Pedro Compró dos cuadernos y 3 lápices; Anita compro 7 cuadernos y 5 de lápices del mismo
tipo; Pedro gastó $ 1.650 y Anita $ 4.950 ¿Cuánto Gastará Gastón si compra 1 cuaderno y dos
lápices?
a)
b)
c)
d)
e)
$ 700
$ 800
$ 1.450
$ 1.500
Otra cantidad
17) La suma de dos números es 20 y la diferencia de sus cuadrados es 40; entonces la diferencia
de estos números es:
a)
b)
c)
d)
e)
0
2
9
11
Otra cantidad
8
18) El triple de un número más el doble de otro es 16 y el cuociente entre ellos es 2 entonces el
producto de los números es:
a)
b)
c)
d)
e)
2
4
8
16
32
19) En el sistema
x3
2
y
el valor de x – y es:
2x + 6 = 3 + y
a)
b)
c)
d)
e)
-2
-1
0
1
2
20) Una promoción permite comprar una polera en $ a y la segunda con un 50% de descuento.
Pedro Compró un pantalón en $b y 4 poleras gastando $ 20.000. Andrés dice que si compra 6
poleras se ahorra $ 6.000. Con respecto a la situación se afirma que
I) El valor de un pantalón y una polera es $ 12.000
II) 2a + b = 16.000
III) El costo de dos pantalones y 6 poleras es (2b + 6a)
De las afirmaciones son verdaderas
a) Sólo I
b) Sólo II
c) I y II
d) II y III
e) I, II y III
9
GUÍA: TRAZOS PROPORCIONALES
En las siguientes figuras las rectas l, m, n y p son paralelas se pide encontrar el valor del trazo o
incógnitas pedidos
a)
l
e)
l
y
3 cm
y=
m
15cm
12 cm
12cm
15 cm
v=
n
8cm
b)
v
l
6cm
x
8cm
m
m
x=
f)
n
x=
15cm
x
12cm
c)
10cm
n
u
12cm
15cm
p
g)
u=
12cm
l
20cm
m
21cm
n
u
u=
d)
u
m
v
6cm
7cm
n
u 2

v 3
x
h)
x=
x
y
12cm
z
9cm
x:y = 8:3
z=
10
m
n
15cm
i)
m)
10cm
m
6cm
m
w
n
8cm
n
12cm
n)
20cm
w
12cm
3cm
p
x
j)
x=
12cm
m
25cm
u
6cm
9cm
n
ñ)
m
k)
l
8cm
21cm
24cm
m
n
8cm
u
p
v
n
12:u = 20:5
u=
v=
y
p
8cm
o)
m
6cm
l)
m
n
r
p
q
l
7cm
n
4cm
x=
x
6 cm
p
12cm
9cm
r=
x+2
q=
11
p)
x-2
x+1
s)
m
x+1 n
2x-5
x+3
x=
x+5
x=
12cm
18cm
q)
l
18cm
m
12cm
t)
x=
14cm
x-2
n
x+10
p
w=
m
w
n
r)
m
u+1
u+4
21cm
u+7
u–1
n
u=
12
w+1
GUÍA TALLER PSU IIº MEDIO:TRAZOS PROPORCIONALES
1) El la figura m II n, entonces el valor del trazo a es:
a)
b)
c)
d)
e)
6,666 cm
10cm
12 cm
15 cm
21,6 cm
2) En la figura AB // CD ; entonces el valor de x es:
a)
b)
c)
d)
e)
25 cm
24 cm
15 cm
12 cm
9,6 cm
3) En el triángulo de la figura
de AD es:
a)
b)
c)
d)
e)
AB // DE ; DC = 10 cm, CE = 12 cm; EB = 9 cm ; entonces la medida
7,5 cm
9 cm
12 cm
13 cm
13,333
4) En la figura p // q; entonces el valor de u es:
a)
b)
c)
d)
e)
22,5 cm
10 cm
6 cm
5 cm
1,6 cm
13
5) Las rectas m, n y p de la figura son paralelas; el valor de x es:
a)
b)
c)
d)
e)
4 cm
34 cm
42 cm
45 cm
49 cm
6) Las rectas m, n y p de la figura son paralelas, entonces el valor del trazo a es:
a)
b)
c)
d)
e)
43,2 cm
36 cm
30 cm
24 cm
3,33333 cm
7) Las rectas a, b y c son paralelas, entonces el valor del trazo x es:
a)
b)
c)
d)
e)
20,57 m
24 m
28 m
36 m
42 m
8) En la figuras las rectas AB, CD y EF son verticales; se sabe además que AC = BD y que CE
mide 7 cm, entonces podemos calcular la medida de:
a)
b)
c)
d)
e)
AB
CD
EF
AC
DF
14
9) En la figura AB // CD // EF ; además OA = 8 cm, OB = 9 cm; y CE = 24 cm; entonces se puede
afirmar que
a)
b)
c)
d)
e)
AC = 8 cm
BD = 27 cm
AB = 9 cm
DF = 27 cm
BD = 3 cm
10) En la figura las rectas m, n, p y r son paralelas, entonces el valor del trazo x es:
a)
b)
c)
d)
e)
12,5 cm
7,5 cm
6,25 cm
4,8 cm
3 cm
11) En la figura m // n ; entonces el valor del trazo a es:
a)
b)
c)
d)
e)
6 cm
8 cm
12 cm
15 cm
18 cm
12) En la figura los segmentos que unen las rectas son verticales, entonces el valor de x es:
a)
b)
c)
d)
e)
36 cm
20,25 cm
18 cm
16 cm
12 cm
13) En la figura l // m, a = 20 cm; b = 32 cm y d = 16; entonces c =?
a)
b)
c)
d)
e)
10 cm
16 cm
20 cm
25,6 cm
30 cm
15
14) En la figura se ven tres líneas verticales; se sabe que a = 24 cm; b = 20 cm c = 8cm y d =
30 cm; entonces el valor de f es:
a)
b)
c)
d)
e)
5,333 cm
6,66 cm
8 cm
9,6 cm
10 cm
15) En la figura AC // BD ; además AB = 56 cm, EB = 24 cm y CE = 28 cm; entonces ED =?
a)
b)
c)
d)
e)
18 cm
21 cm
37,333 cm
49 cm
74,666 cm
16) En la figura AB // CD // EF // GH ; Se sabe que BD = 4 cm; DF = 12cm, FH = 6 cm y CE =
9 cm, entonces se afirma que :
I)
II)
III)
AC = 3 cm
CG = 12 cm
EG = 4,5 cm
De las afirmaciones son verdaderas:
a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo III
d) I y III
e) II y III
17) En la figura AB // CD // EF ; EO = 24 cm; AC = 8 cm y BD = 10 cm; entonces es falso que:
a)
b)
c)
d)
e)
Si OA = 10 cm entonces OB = 12,5 cm
Si CE = 6 cm entonces DF = 7,5 cm
OF = 30 cm
Si CE = 3 cm entonces DF = 4 cm
Si AE = 16 cm entonces BF = 20 cm
16
18) En la figura las rectas m // n // p, además AB = 15 cm, AO = 21 cm AC = 25 cm y EO = 4 cm;
a partir del enunciado se afirma que :
I)
II)
III)
DE = 10 cm
OF = 6 cm
DF = 19 cm
De las afirmaciones son verdaderas
a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo III
d) II yIII
e) I. II y III
19) En la figura si AD = 20 cm, AC = 6 cm. y ED = 18 cm., entonces DB =?
a)
b)
c)
d)
e)
5,4 cm
9 cm
11 cm
12 cm
12,6 cm
E
B
58°
A
58°
C
D
En la figura las rectas L1 y L2 son paralelas , determinando los segmentos a, b, c, d, e, f, y g sobre
las rectas L3, L4 y OP ; a partir de la información dada y de la figura contestar las preguntas de la
20 a la 25
20) Si se sabe que c : d : e = 10 : 5 : 6 y además b = 15 cm; entonces el valor de a es:
a)
b)
c)
d)
e)
7,5 cm
9 cm
15 cm
18 cm
30 cm
17
21) Si c : d : e = 7 : 4 : 6 entonces es falso que:
a)
b)
c)
d)
e)
a:b=7:4
f:g=3:2
b:a=7:4
c:e= 7:6
e:d=6:4
22) La única de las siguientes afirmaciones que es falsa es:
a)
b)
c)
d)
e)
a:b=c:d
d :e = f : g
a:c=b:d
e:f=d:g
d:b=c:a
23) Se sabe que a = 15 cm, b = 12 cm y d = 10 cm; entonces es posible calcular el valor de:
a)
b)
c)
d)
e)
c
e
f
g
OP
24) Si se sabe que b = d = g = 18 cm y que a = 24 cm, con respecto a la situación se afirma que:
I)
II)
III)
c = 24 cm
f = 18 cm
c:d=4:3
De las afirmaciones son verdaderas
a) Sólo I
b) Sólo II
c) I y III
d) II y III
e) I, II y III
25) Si a : b = 4 : 3; d : e = 3 : 4, c = 8 cm entonces el valor de OP es:
a)
b)
c)
d)
e)
No se puede calcular
22 cm
20 cm
8 cm
6 cm
18
GUÍA: APLICACIÓN DE LA SEMEJANZA
En las siguientes figuras las rectas m, n y p son paralelas, se pide encontrar el valor del trazo o
incógnitas pedidos
1) En la figura ABC  DEF; si AB =12cm,
BC = 16cm, EF =6cm y FD =9cm. Se pide
encontrar la medida de AC y DE
4)
m
15m
n
x
x=
C
12m
45m
F
A
B
D
5)
E
2) En la figura AC =36cm y RQ =5 cm;
además PQ:BC = 1:3 se pide encontrar AB,
BC, PR y PQ
4,2m
3,8m
u
C
P
3,5m
R

4,9m
Q
m
n
u=
6) Los triángulos de la figura son semejantes;
y m║n encontrar x

A
B
6cm
3) En la figura AB║CD OC = 4m, AC= 10m,
CD = 6m ¿Cuánto mide AB?
m
8cm
O
9cm
C
D
n
x
7)
A
B
12cm
x
20cm
8cm
m
19
3cm
n
x=
9cm
p
8)
5m
___ ___
12) En la figura DF ║BC ; AF = 15m, AD
= 18m, BD = 6m, DF = x -3, BC = x +3;
encontrar la medida de DF, BC y AC.
x=
24m
A
4m
x
F
m
n
___ ___
9) En la figura AB ║ DE ; AB = 3x – 7,
CE=6cm, EB=15cm y DE=x; se pide
encontrar x
C
E
C
D
B
B
D
13) En la figura los segmentos que miden 18
y 24 metros son paralelos ¿Cuánto mide
u?
A
10) En la figura el segmento que mide 2cm
es paralelo al que mide 8cm, entonces
¿Cuánto vale u?
u
18m
5m
u
24m
8cm
3cm
14) En la figura AB ║CD ║ EF; además
DC=12m, OD=20m, OA=12m, OB=15m y
CF=4m. Se pide calcular la medida de EF,
OC y DE
2cm
11) En la figura los segmentos que miden 20
y 24 cm son paralelos ¿Cuánto mide y?
A
B
y
20cm
3cm
O
24cm
D
E
20
C
F
GUÍA EJERCICIOS: SEMEJANZA
1) Dos rectángulos son semejantes de modo que el perímetro del rectángulo mayor es 36 cm y el
perímetro del rectángulo menor es 12cm; si se sabe que el ancho del rectángulo menor es 2 cm;
entonces el largo del rectángulo mayor es:
a)
b)
c)
d)
e)
4 cm
6cm
8cm
10 cm
12 cm
2) El mayor de dos triángulos semejantes tiene un perímetro de 20 metros y el menor de ellos tiene
un perímetro de 40 centímetros; entonces la razón entre los lados homólogos del triángulo mayor y
el triángulo menor es:
a)
b)
c)
d)
e)
50:1
1:50
2:1
1:2
500:1
3) Los triángulos de la figura son semejantes, con respecto a ella se afirma que:
AC AB

DF DE
FE AB

II)
CB DE
DF CA
III)

FE CB
I)
De las afirmaciones son verdaderas:
a)
b)
c)
d)
e)
Sólo I
I y II
II y III
I y III
I, II y III
4) En la figura
a)
b)
c)
d)
e)
DE // AB , si se sabe que AC = 28 cm. AD = 12 cm y AB = 35 cm, entonces DE=?
15 cm
16 cm
18 cm
20 cm
No se puede calcular
21
5) La razón entre los radios de dos círculos es 5:2: entonces la razón entre sus perímetros es:
a)
b)
c)
d)
e)
5:2
10:2
25:4
100:4
2:5
6) De las siguientes afirmaciones:
I) Todos los cuadrados son semejantes entre sí
II) Todos los círculos son semejantes entre sí
III) Todos lor rectángulos son semejantes entre sí
Son verdaderas
a) Sólo I
b) Sólo III
c) I y II
d) II y III
e) Todas
7) Dos triángulos son semejantes de modo que la razón entre sus lados correspondientes es 3:2;
entonces si el lado mayor del triángulo mayor mide 18 cm, el lado menor del triángulo menor
a)
b)
c)
d)
e)
Mide 6 cm
Mide 12 cm
Mide 18 cm
Mide 27 cm
No se puede calcular
8) Los lados de dos cuadrados están en la razón 7:3; entonces sus áreas están en la razón
a)
b)
c)
d)
e)
7: 3
14: 6
14:3
49 : 3
49: 9
9) En el triángulo ABC de la figura PM // AB . Si PM = 10, AB = 15 y CT = 12, entonces ¿En cuál
de las opciones se presenta la proporción correcta para determinar el valor de x?
a)
b)
c)
d)
e)
10 12  x

15
12
10 12  x

15
x
10 x  12

15
12
10
12

15 12  x
10 12

15 x
22
10) En la figura
de DE es:
a)
b)
c)
d)
e)
AB // DE , además se sabe que AB = 12 cm, AC : CE = 4:3, entonces la medida
9 cm
12 cm
15 cm
20 cm
No se puede calcular
11) Con respecto a la figura se realizan las siguientes afirmaciones
I)
II)
III)
 ABE   AFD
 FEC   BDC
 CFE   ABE
De las afirmaciones son verdaderas:
a) Sólo I
b) Sólo I y II
c) Sólo I y III
d) Sólo II y III
e) I, II y III
12) En la figura AB // CD , si CD mide el doble que AB, entonces se afirma que:
I)
II)
III)
Los triángulos OAB y OCD son rectángulos
Los triángulos OAB y OCD son semejantes
AC = 2  OA
De las afirmaciones son verdaderas
a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo I y II
d) Sólo II y III
e) I, II y III
13) Considera los siguientes trazos y sus medidas
De ellos, Estan divididos interiormente en la razón 2: 3
a) Sólo III
b) Sólo I y II
c) Sólo I y III
d) Sólo II y III
e) I, II y III
23
14). ¿Qué significa que dos triángulos sean semejantes?
a)
b)
c)
d)
e)
Que tienen igual área.
Que tienen igual perímetro.
Que sus lados son proporcionales.
Que sus tres lados respectivos coinciden
Que sus ángulos son proporcionales, en razón distinta de uno.
15). Una niña que mide 1 m proyecta una sombra de 2 m de largo. Si a esa misma hora y en ese
mismo lugar, un árbol proyecta una sombra de 8 m de largo, ¿cuál es la altura del árbol?
a) 2 m
b) 3 m
c) 4 m
d) 8 m
e) 16 m
16). De acuerdo con la figura 6 Pedro realiza las siguientes afirmaciones
I)
∆ ACD  ∆ CBE
II)
∆ BEC  ∆ AEB
III)
∆ ACD  ∆ CAB
De las afirmaciones de Pedro, son falsas
a) Ninguna
b) Sólo I
c) Sólo II
d) Sólo III
e) II y III
17) Con respecto a la figura se realizan las siguientes afirmaciones
C
:
I)
II)
III)
DE ║ AB
ABC ~ DEC
DE:AB = 12:4
12m
De las afirmaciones son verdaderas:
D
a) Sólo I
b) Sólo II
c) I y II
d) II y III
e) I, II y III
4m
A
24
15m
E
5m
B
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
1) Dado el triángulo rectángulo en C, determine las funciones trigonométricas de α
C
B
2
5
α
A
2) Determine las funciones trigonométricas del ángulo

de la figura
A
2 3
β
C
B
1
1
3
5
4) Determine las funciones trigonométricas del ángulo  sabiendo que sec  
3
5) Determine las funciones trigonométricas del ángulo  sabiendo que ctg   5
6) Determine las funciones trigonométricas del ángulo  de la figura. ABC isósceles con
AB  10, AC  BC  12 . Sugerencia: trace altura hc
3) Determine las funciones trigonométricas del ángulo  sabiendo que
C

A
B
25
sen  
7) Resolver los siguientes problemas
a) Un cohete es lanzado a nivel del suelo, en un ángulo de 60º hasta una distancia de 3000
metros. Determine a qué altura se encuentra del suelo.
b) Un avión despega en ángulo de 10º y vuela con una velocidad de 75 m/seg. ¿Cuánto
tardará en alcanzar una altitud de 15.000 metros?
c) Una escalera de 8 metros se encuentra apoyada en una pared y forma con esta un ángulo
de 40º. Calcule la distancia entre la pared y el pie de la escalera.
d) Desde un punto P situado a 12 metros de un edificio se observa un letrero luminoso que
está en una ventana del edificio, bajo un ángulo de elevación de 30º, y desde el mismo
punto P se observa el techo del edificio con un ángulo de elevación de 60º. Calcule la
altura del edificio.
26
GUÍA ALTERNATIVAS: TRIGONOMETRÍA
1) El seno del ángulo x del triángulo de la figura es
a) Sen x = 5/8
b) Sen x = 8/5
c) Sen x = 1
d) Sen x =
e) Sen x =
39 / 8
39 /5
2) El coseno del ángulo x de la figura es:
a) Cos x = 10/3
b) Cos x = 7/3
c) Cos x = 91 / 10
d) Cos x = 0,3
e) Cos x =
91 / 3
3) Con respecto a la figura se afirma que
I)
II)
III)
Sen  = c/a
Cos  = a/c
Tan  = b/a
De las afirmaciones son verdaderas:
A) Sólo I
B) Sólo II
C) I yII
D) I y III
E) II y III
4) Si se sabe que Tan  =
a)
b)
c)
d)
e)
2
entonces la medida de h es:
5
65 cm
52 cm
26 cm
10,4 cm
5,2 cm
27
5) La única de las siguientes afirmaciones en relación a la figura que es falsa es:
a)
b)
c)
d)
e)
Sen  = y/z
Cos  = y/z
Tan  = y/x
Cos  = x/z
Sen  = x/z
6) Si Sen  = 0,8 entonces cos  es:
a)
b)
c)
d)
e)
1,2
0,8
0,7
0,6
No se puede determinar
7) Una subida tiene una pendiente de 15º , la diferencia de altitud entre al inicio de la subida y el
final es de 500 metros, entonces la longitud L de la subida esta dada por la expresión
a)
L
500
Sen15º
b) L = 500 Sen 15º
c)
L
500
Cos15º
d) L = 500Cos 15º
e) L = 500Tan 15º
8) Una escalera de 2,5 metros de largo, forma con el suelo un ángulo de 78º Para saber a que
altura del muro donde se apoya llega debemos realizar el cálculo:
a)
b)
c)
d)
2,5 Sen 78º
2,5 Cos 78º
2,5 Tan 78º
78 Sen 2,5º
e)
2,5
tan 78º
9) Una persona observa la parte más alta de un árbol con un ángulo de inclinación de 80º; si ella se
encuentra a 12 metros del pie del árbol puede calcular la altura del árbol al realizar la operación:
a)
b)
c)
d)
12 Sen 80º
12 Cos 80º
12 Tan 80º
80 Sen 12º
e)
12
Tan80º
28
GUÍA: CONSTRUCCIONES
I) Dividir los siguientes segmentos en la cantidad de partes iguales que se indican utilizando el
teorema de Thales
En 4 partes
En 5 partes
En 3 partes
En 6 partes
29
II) Dividir los siguientes segmentos en las razones indicadas
Interiormente en la razón 2:3
Interiormente en la razón 4:1
Exteriormente en la razón 2:5
Exteriormente en la razón 5:3
30
HOMOTECIA
I) A partir del centro de homotecia O y de la razón dada construir figuras nomotéticas a la dadas
1) O 
Razón 5:2
2) O 
Razón 1: 3
3)
O
Razón 1:1
4)
O
Razón 2:3
31
II) Determinar los centros de homotecia que existen entre las siguientes parejas de figuras
nomotéticas
1)
2)
3)
4)
III) Resolver los siguientes problemas
1) Trazar una recta por un punto que sea convergente con otras dos que se cortan fuera de los
límites del dibujo
2) Inscribir un cuadrado en un triángulo de modo que uno de los lados del cuadrado coincida con
un lado del triángulo y los dos restantes vértices del cuadrado queden sobre cada uno de los otros
dos lados del triángulo
32
GUÍA DE ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
I) Calcular la medida en cm. de los siguientes arcos (considerar
 = 3,14)
1) El arco mide 30º y el radio 8 cm.
2) El arco mide 135º y el radio 5 cm.
3) El arco mide 45º y el radio 6 cm.
4) El arco mide 240º y el radio 10 cm.
5) El arco mide 63º y el radio 2 cm.
II) Calcular la medida de los ángulos pedidos en cada una de las siguientes figuras, en cada una de
ellas O es el centro de la circunferencia.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
33
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
34
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
35
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
36
31)
32)
33)
34)
35)
36)
37)
38)
37
39) Calcular la medida de  y  en los siguientes casos.
a)
b)
38
39
40
p)
40).- Encuentra el valor de x e y en las siguientes figuras:
41
41).- En la figura x = 69º e y = 29º . ¿Cuánto miden  y ?
42).- Según lo que observamos en la figura, si
PB es tangente, ¿cuánto mide el ángulo ?
43).- Calcula la medida de los ángulos indicados:
a)
b)
42
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
43
k)
l)
m)
n)
ñ)
o)
p)
q)
44
r)
s)
t)
u)
v)
x)
W)
y)
45
III) Realiza las siguientes demostraciones
1).- En la figura AD  DC .¿Cómo puedes probar que
2) .- En la figura ABCD es un cuadrado y
triángulo APB es un triángulo rectángulo.
3) En la figura
AP
BP
BD es bisectriz?
son tangentes. Comprueba que el
PB  PD . Verifica desarrollando la demostración que AB  CD
46
GUÍA ALTERNATIVAS: ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
1) En la figura, la recta BD es tangente a
la circunferencia de centro O en el punto
B. De las siguientes afirmaciones
AO  OC
DBO = 90º
AOC = 90º
I)
II)
III)
C
O
Son verdaderas
A)
B)
C)
D)
E)
B
A
D
Sólo I
Sólo II
I y II
I y III
II y III
T
2) TC tangente; BOA = 30º; el TCB
mide:
A)
B)
C)
D)
E)
B
60º
30º
90º
75º
15º
C
A
O
3) Si y = 54º, ¿cuánto mide el ángulo x?
B
A)
B)
C)
D)
126º
54º
27º
108º
E) 36º
C
x
y
A
4) Si y = 114º, entonces el ángulo x mide:
A)
B)
C)
D)
E)
114º
57º
228º
66º
24º
x
47
y
5) En la circunferencia de centro O, la
medida
del
arco
EF
es
circunferencia. El  EGF mide:
1
6
de
G
la
O
A)
B)
C)
D)
E)
15º
25º
30º
35º
60º
F
E
6) En la figura, =35º. La medida del
ángulo ADB es:
C
D

A)
B)
C)
D)
E)
17,5
35º
70º
55º
145º
B
A
7) En la figura, C + D + E = 57º;
AOB=
A) 19º
B) 57º
C) 38º
D) 90º
E) 180º
D
C
O
E
B
A
8) Si arco BED = 220º;
¿Cuánto mide ABD?
A)
B)
C)
D)
E)
AC tangente,
D
E
35º
70º
140º
110º
Ninguna de las Anteriores
A
48
B
C
9) En la figura, la recta PB es tangente a la
circunferencia en el punto B, y el ABP =
84º¿Cuánto mide el arco ACB?
A)
B)
C)
D)
E)
P
96º
84º
192º
276º
180º
84º
B
A
C
10) Si ABC mide 32º, ¿cuánto mide el
CAB?
A)
B)
C)
D)
E)
C
58º
32º
64º
90º
No se puede calcular
A
B
O
11) Si OBC mide 70º, entonces el ACO
mide:
A)
B)
C)
D)
E)
C
20º
30º
35º
40º
70º
A
12) Si ABCD es un cuadrilátero inscrito en
la circunferencia ¿Cuánto mide el ángulo δ
si el ángulo γ mide 36º?
A)
B)
C)
D)
E)
B
O

18º
36º
54º
72º
144º

49
13) ABCD es un cuadrilátero inscrito en la
circunferencia, ABC = 85º, FAD=100º.
Entonces la medida del ADE es:
A)
B)
C)
D)
E)
C
25º
42,5º
95º
85º
77,5º
O
A)
B)
C)
D)
E)
y
x
z
C
100º
B
A
en la
7x
100º
90º
80º
70º
10º

O
10x
16) Si la medida del arco AB es 80º y la
medida del arco CD es 120º, ¿cuánto mide
el ángulo x?
A)
B)
C)
D)
E)
B
D
80º
100º
180º
200º
260º
15) ¿Cuál es el valor de 
circunferencia de centro O?
A
F
14) La figura muestra un trapecio de bases
AB y CD inscrito en una circunferencia.
Entonces z + y - x =
A)
B)
C)
D)
E)
D
E
A
20º
100º
40º
160º
200º
11x
D
x
B
C
50
17) En la figura, el ángulo x mide 105º,
entonces cuanto mide y?
A)
B)
C)
D)
E)
80º
130º
92,5º
25º
12,5º
50º
x
y
18) En la figura, la medida del arco EA es
120º y la medida del arco BD es 80º,
entonces la medida del angulo x es:
A)
B)
C)
D)
E)
E
D
200º
40º
100º
20º
160º
O
x
C
B
A
19) En la figura, α = 26º, entonces el arco
EA mide:
E
A)
B)
C)
D)
E)
16º
31º
52º
62º
88º
D
O

C
B
A
20) En la figura, calcular la medida del arco
BD, si la medida del arco DA es 240º y la
medida del ángulo β es 35º
A)
B)
C)
D)
E)
36º
D
155º
170º
102,5º
137,5º
120º

O
A
51
B
C
21) En la figura, AB y BC tangentes a la
circunferencia, entonces “y” mide:
A)
B)
C)
D)
E)
C
110º
100º
70º
50º
140º
y
x
B
70º
A
22) Si TA es tangente a la circunferencia
de centro O y la longitud de la cuerda AB
es igual al radio, entonces el ángulo x
mide:
A)
B)
C)
D)
E)
O
20º
30º
45º
60º
90º
A x
B
T
23) El arco AB es una semicircunferencia
de radio OB , en que CD // AB .
Si ACD = 20º, entonces ABC mide:
A)
B)
C)
D)
E)
D
20º
50º
60º
70º
90º
C
A
O
24) En la circunferencia de centro O, AB y
CD son cuerdas. Arco AC = 2x +1; arco
CB = 3x – 2; arco BD = 4x – 5 y
arco DA = x – 4. Entonces CMA mide:
B
C
B
M
A)
B)
C)
D)
E)
37º
75º
109º
150º
218º
O
A
D
52
25) En la circunferencia de centro O,
COB = 80º y DAF = 30º, entonces el x
mide:
A)
B)
C)
D)
E)
A
B
F
10º
30º
40º
50º
60º
O
x
D
C
26) De acuerdo con los datos de la figura,
α es:
A)
B)
C)
D)
E)
B
85º
42,5º
170º
95º
Falta información
O

C
A
40º
45º
27) Encontrar α si O es centro de la
circunferencia yCAB = β
C
A) β
B) 2 β
C) β - 90º
D)

A

O

2
B
E) 90º - β
28) En la figura AD y BC son cuerdas,
α = 30º. Calcular la medida de x + y
A)
B)
C)
D)
E)
x
A
220º
240º
200º
270º
300º

C
B
y
53
D
E
29)
AC y BE son diámetros de la
circunferencia de centro O.
Si AOB = 2   BOC, entonces el BDC
mide:
A)
B)
C)
D)
E)
D
E
30º
45º
60º
120º
130º
C
O
B
A
30) En la circunferencia
de centro O,
BCD = 125º. Entonces BAD mide:
A)
B)
C)
D)
E)
C
D
55º
60º
45º
65º
No se puede determinar
A
54
O
B
GUÍA DE ¨PROPORCIONALIDAD EN LA CIRCUNFERENCIA
Determina el valor de x en cada uno de los casos:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
10
g)
h)
55
i)
j)
k)
l)
m)
n)
56
ñ)
o)
p)
q)
r)
s)
D
A
4
6
x+2
P
O
B
2x
C
PA=
PC=
57
t)
v)
u)
w)
Il) .- Calcula el valor de los segmentos pedidos en cada una de las siguientes figuras.
a)
b)
58
c)
d)
e)
g)
f)
h)
59
i).- En la figura, PA es tangente al círculo y AB es radio. Si PC = 7,2 cm. y BC = 13,8 cm. ¿cuánto
mide el radio del círculo?
III) Calcular la longitud del segmento pedido en cada caso.
a)
b)
60
GUÍA ALTERNATIVAS: PROPORCIONALIDAD EN LA CIRCUNFERENCIA
1) En la circunferencia de la figura el valor del trazo a es:
a)
b)
c)
d)
e)
11 cm
10 cm
9 cm
8 cm
Otro valor
12 cm
6 cm
a
5 cm
2) En la figura el valor de x es:
a)
b)
c)
d)
e)
3 cm
20/3 cm
9,6 cm
15 cm
Otro valor
10 cm
8 cm
15 cm
3) El valor del trazo y en la figura es:
a)
b)
c)
d)
e)
12 cm
x
1,5 cm
5 cm
20/3 cm
15 cm
Otro valor
10 cm
y
4) El valor de u en la figura es:
a)
b)
c)
d)
e)
100 cm
50 cm
10 cm
Otro valor
No se puede determinar
5 cm
20 cm
u
5) En la figura AP= 16 cm AB = 22 cm, PD =8cm, entonces CD =?
a)
b)
c)
d)
e)
D
88/3 cm
64/3 cm
12 cm
16,5 cm
20 cm
B
P
A
C
61
6) Calcular el valor de x a partir de la información
obtenida de la figura
x+3
a)
b)
c)
d)
e)
3
6
9
15
Otro valor
3x
3x – 3
x+1
7) En la figura PA = 8 cm., PB = 21 cm., PC = 6 cm., entonces el valor de CD es:
a)
b)
c)
d)
e)
16/7 cm.
6 cm.
12 cm.
22 cm.
28 cm
P
C
D
A
B
8) En la circunferencia de la figura calcular al valor de x es:
a)
b)
c)
d)
e)
-2,1
2,1
6
12
15
2x+1
2x
2x+3
2x – 7
9) En la circunferencia de la figura, de diámetro 15 cm. el punto O es el centro de la circunferencia
y PC =3 cm. , entonces el valor del trazo a es:
C
a) 3 cm
P
b) 9 cm
a
c) 18 cm
O
d) 40,5 cm
e) No se puede determinar
10) El valor de x en la circunferencia de la figura es:
a)
b)
c)
d)
e)
125 cm.
12,5 cm.
10 cm.
100 cm.
No se puede determinar
20 cm.
x
x
62
5 cm.
11) En la circunferencia de centro O de la figura, PA =
36 cm. y la tangente mide 24 cm. Entonces el radio
de la circunferencia mide:
a)
b)
c)
d)
e)
8 cm.
10 cm.
16 cm.
20 cm
Otro valor
P
O
A
12) En una circunferencia la potencia de un punto P ubicado en su interior es 60. Una cuerda de
extremos A y B contiene al punto P entonces se afirma que:
I)
II)
III)
Si P es el punto medio de la cuerda entonces PA = 30 cm.
Si PA = 6 cm y la cuerda contiene al centro de la circunferencia, entonces el radio de
ésta es 8 cm.
Si PA = 12 cm. entonces PB = 5 cm
De las afirmaciones son verdaderas:
a) Sólo I
b) Sólo II
c) I y II
d) II y III
e) I, II y III
13) En una circunferencia la potencia de un punto P exterior a ella es 144. PT es una tangente a
ella y A y B son los puntos donde una secante que parte del punto P corta a la circunferencia, con
respecto a la situación se afirma que:
I)
II)
III)
La medida de la tangente PT es 72 cm.
Si PA = 8 cm entonces AB = 10 cm
Si PB = 24 cm. Entonces PA = 6 cm
De las afirmaciones son verdaderas:
a) sólo I
b) Sólo II
c) Sólo III
d) I y II
e) II y III
14) En una circunferencia se tiene una cuerda AB que contiene en su interior a un punto P de
modo que PA = 12 cm. y PB = 3 cm. con respecto a otra cuerda CD que también contiene al punto
P se afirma
I)
II)
III)
Si P es el punto medio de dicha cuerda entonces CD = 12 cm.
Si CP = 4 cm. entonces CD = 9 cm.
Si DP = 8 cm entonces PC = 12,5 cm
De las afirmaciones son verdaderas
a) Sólo I
b) Sólo II
c) I y II
d) II y III
e) I, II y III
63
GUÍA: ESTADÍSTICA
I) Calcular manualmente rango, varianza y desviación típica en cada una de las siguientes
situaciones
1) Las notas de Mauricio en estadística son:
7
5
4
7
7
2) Las edades de los jóvenes de un patrulla scout son: 12
13
15
14
15
15
3) Las calificaciones de Horacio en historia son 7
7
7
2
2
1
7
4) La cantida de hermanos de los jugadores de un equipo de basquetbol son:
0
1
II) Calcular, usando calculadora rango, varianza y desviación típica en cada una de las siguientes
situaciones
1) El profesor jefe de un curso obtuvo en un test de razonamiento abstracto para 20 alumnos los
siguientes puntajes: 16;22;21;20;23; 22; 17; 15; 13; 22; 17; 18; 20; 17; 22; 16; 23;21; 22; 18 .
2) .Los datos corresponden al total de días que estuvieron fuera de la cuidad los alumnos de los
terceros medios de un colegio durante el verano
7
12
18
13
20
20
19
16
10
18
15
20
7
10
12
12
13
8
7
14
8
8
9
9
16
10
7
12
13
16
7
10
14
14
7
14
12
15
16
10
13
15
9
17
10
9
18
12
19
15
3)- Se han medido 75 alumnos, en centímetros, obteniéndose los siguientes
175
176
157
175
173
156
166
170
160
171
172
167
173
175
173
159
169
173
177
161
182
174
178
185
170
168
180
186
169
166
169
192
167
172
165
179
170
172
180
163
162
158
166
164
172
159
184
170
171
163
183
164
174
163
174
167
171
168
173
datos:
168
155
174
162
174
171
175
185
172
171
150
189
168
170
154
169
4) Las masas (gramos)de los peces extraídos por los pescadores de un bota son:
804
887
900
937
935
821
734
872
776
847
791
926
901
705
882
993
756
760
1.045
965
882
976
756
884
905
743
811
883
III) Explicar el significado que tiene el valor obtenido para la desviación típica en cada uno de los
casos calculados en los ejercicios I y II
64
IV) Compara las características de los siguientes conjuntos de datos a partir de las medidas de
tendencia central y los indicadores de dispersión
1) En un diagnóstico de educación física se pidió a los alumnos de los cuartos medios que hicieran
abdominales durante 3 minutos. Se obtuvieron los siguientes resultados:
4º A: 45
48
4º B: 43
28
38 43 29 34 60 54 27 32 33 23 34 34 28 56 62 56 57 45 47
54 33 45 44 41 34 36 34 54
45 44 38 34 46 43 42 43 45 57 44 38 38 37 43 61 38 37 45
42 49 40 37 34 44 41 43
2) El entrenador de un equipo de natación debe elegir a uno de sus integrantes para la próxima
competencia de estilo libre. Según los tiempos en segundos que obtuvieron los postulantes de las
cinco últimas carreras de 100 m de estilo libre, ¿qué nadador le conviene elegir?
Diego
Tomás
Sergio
61,7
61,5
60,7
61,7
62,9
62,4
62,3
62,9
62,7
62,9
63,7
62,7
63,1
63,7
63,2
3) La tabla que se presenta a continuación corresponden a los resultados de la PSU y las notas
del colegio de un grupo de alumnos de un cuarto medio
Alumno
Pedro
Luis
Catalina
Andrea
Ignacia
Juan
Diego
Alberto
José
Natalia
Jorge
Alejandra
Carlos
Felipe
Fernando
Loreto
Magdalena
Danilo
Elisa
Simón
Sandra
Humberto
Milton
Rogelio
Romina
Notas Lenguaje
67
44
41
48
55
47
68
66
54
58
61
47
55
56
68
64
67
59
64
63
68
49
53
40
44
Notas
Matemática
62
45
45
61
54
56
61
66
68
42
55
57
59
63
68
49
64
68
68
69
56
67
68
44
41
65
PSU Lenguaje
710
550
540
488
596
588
688
696
710
608
685
603
632
688
725
712
805
670
780
705
720
488
550
455
501
PSU Matemática
665
588
504
603
596
600
688
725
785
504
558
712
644
684
744
592
720
785
785
785
596
770
770
500
504
V) Calcular las medias y desviaciones típicas de las muestras y poblaciones de acuerdo a las
indicaciones dadas.
1) Las estaturas de los 5 jugadores titulares del equipo de básquetbol de un colegio son 168,
191,184, 179 y 188
a) Calcular la media y la desviación típica de los 5 jugadores
b) Calcular la media de todas las muestras de dos jugadores distintos y luego calcular la
media de esas medias y la desviación típica correspondiente
c) Calcular la media y la desviación típica de todas las muestras de 3 jugadores distintos
2) Las calificaciones de Daniel en los controles de estadística fueron: 4,7,5,6,7,7.
a) Calcular la media y la varianza poblacional
b) Considerar todas las muestras tamaño 2 y calcular sus medias y luego la media de
esas medias
c) Considerar todas las muestras de tamaño 3 de esa población y calcular sus medias y
sus varianzas, luego calcular la media de las medias y la media de las varianzas
3) Los números que aparecen a continuación corresponden a la cantidad de días que salieron los
alumnos de los terceros medios, fuera de la ciudad durante las vacaciones de verano.
12
7
12
10
10
15
10
2
15
12
6
12
17
3
30
36
18
3
18
15
52
4
8
16
5
30
0
6
44
12
16
48
3
14
21
0
12
5
28
12
10
24
30
22
12
30
1
15
0
42
10
1
12
a) Calcular la media y la desviación típica de la población
b) Considerar 10 muestras tamaño 3 y calcular sus medias y desviaciones y las medias de las
medias y las medias de las desviaciones
c) Considerar 10 muestras tamaño 5 y calcular sus medias y desviaciones y las medias de las
medias y las medias de las desviaciones
d) Considerar 10 muestras tamaño 10 y calcular sus medias y desviaciones y las medias de
las medias y las medias de las desviaciones
4) Los números que aparecen a continuación son los puntajes de los alumnos de un segundo
medio en la prueba PCA:
315
288
303
350
202
205
208
267
222
244
317
345
203
213
249
235
338
288
198
276
253
274
344
296
300
267
261
287
302
248
250
291
285
279
307
335
254
234
331
304
256
296
344
324
337
204
225
265
225
275
196
312
301
285
256
288
294
309
288
305
304
283
286
237
302
226
301
299
312
283
296
305
a) Calcular la media y la desviación típica de la población
b) Considerar 10 muestras tamaño 5 y calcular sus medias y desviaciones y las medias de las
medias y las medias de las desviaciones
c) Considerar 10 muestras tamaño 10 y calcular sus medias y desviaciones y las medias de
las medias y las medias de las desviaciones
d) Considerar 10 muestras tamaño 15 y calcular sus medias y desviaciones y las medias de
las medias y las medias de las desviaciones
e) Considerar 10 muestras tamaño 20 y calcular sus medias y desviaciones y las medias de
las medias y las medias de las desviaciones
66