precalculo1 valor absoluto

Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor absoluto: Ecuaciones e Inecuaciones en
una Variable Real
Carlos A. Rivera-Morales
Precáculo I
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Tabla de Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Objetivos:
Discutiremos:
la definición de valor absoluto.
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Objetivos:
Discutiremos:
la definición de valor absoluto.
propiedades de valor absoluto.
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Objetivos:
Discutiremos:
la definición de valor absoluto.
propiedades de valor absoluto.
resolución de ecuaciones y desigualdades con valor absoluto.
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Definición:
El valor absoluto de un número real x, denotado por |x|
está dado por:
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Definición:
El valor absoluto de un número real x, denotado por |x|
está dado por:
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Definición:
El valor absoluto de un número real x, denotado por |x|
está dado por:
Ejemplos:
1 | − 2.5| =
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Definición:
El valor absoluto de un número real x, denotado por |x|
está dado por:
Ejemplos:
1 | − 2.5| = 2.5
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Definición:
El valor absoluto de un número real x, denotado por |x|
está dado por:
Ejemplos:
1 | − 2.5| = 2.5
2 −| − 4| =
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Definición:
El valor absoluto de un número real x, denotado por |x|
está dado por:
Ejemplos:
1 | − 2.5| = 2.5
2 −| − 4| = − 4
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Definición:
El valor absoluto de un número real x, denotado por |x|
está dado por:
Ejemplos:
1 | − 2.5| = 2.5
2 −| − 4| = − 4
3 |0| =
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Definición:
El valor absoluto de un número real x, denotado por |x|
está dado por:
Ejemplos:
1 | − 2.5| = 2.5
2 −| − 4| = − 4
3 |0| = 0
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Definición:
El valor absoluto de un número real x, denotado por |x|
está dado por:
Ejemplos:
1 | − 2.5| = 2.5
2 −| − 4| = − 4
3 |0| = 0
4 −| − 8 − 3| − (−8 − (−3)) =
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Definición:
El valor absoluto de un número real x, denotado por |x|
está dado por:
Ejemplos:
1 | − 2.5| = 2.5
2 −| − 4| = − 4
3 |0| = 0
4 −| − 8 − 3| − (−8 − (−3)) = − 6
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Definición:
El valor absoluto de un número real x, denotado por |x|
está dado por:
Ejemplos:
1 | − 2.5| = 2.5
2 −| − 4| = − 4
3 |0| = 0
4 −| − 8 − 3| − (−8 − (−3)) = − 6
|(−3)3 + (52 − 3)|
5
=
−15 ÷ (−3)(2)
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
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Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Definición:
El valor absoluto de un número real x, denotado por |x|
está dado por:
Ejemplos:
1 | − 2.5| = 2.5
2 −| − 4| = − 4
3 |0| = 0
4 −| − 8 − 3| − (−8 − (−3)) = − 6
|(−3)3 + (52 − 3)|
1
5
=
−15 ÷ (−3)(2)
2
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Algunas Propiedades del valor absoluto:
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Algunas Propiedades del valor absoluto:
1. ∀x ∈ R , |x| ≥ 0; además , |x| = 0 ⇐⇒ x = 0.
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Algunas Propiedades del valor absoluto:
1. ∀x ∈ R , |x| ≥ 0; además , |x| = 0 ⇐⇒ x = 0.
2. ∀x ∈ R , |x| = | − x|.
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Algunas Propiedades del valor absoluto:
1. ∀x ∈ R , |x| ≥ 0; además , |x| = 0 ⇐⇒ x = 0.
2. ∀x ∈ R , |x| = | − x|.
3. ∀x ∈ R , |x|2 = x2 .
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
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Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Algunas Propiedades del valor absoluto:
1. ∀x ∈ R , |x| ≥ 0; además , |x| = 0 ⇐⇒ x = 0.
2. ∀x ∈ R , |x| = | − x|.
3. ∀x ∈ R , |x|2 = x2 .
4. ∀x, y ∈ R , |x × y| = |x| × |y|.
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Algunas Propiedades del valor absoluto:
1. ∀x ∈ R , |x| ≥ 0; además , |x| = 0 ⇐⇒ x = 0.
2. ∀x ∈ R , |x| = | − x|.
3. ∀x ∈ R , |x|2 = x2 .
4. ∀x, y ∈ R , |x × y| = |x| × |y|.
x
|x|
5. ∀x, y ∈ R , | | =
; y 6= 0.
y
|y|
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
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Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Interpretación geométrica del valor absoluto:
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
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Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Interpretación geométrica del valor absoluto: Podemos
interpretar el valor absoluto de un número real a como la
distancia de a al origen de una recta numérica.
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Interpretación geométrica del valor absoluto: Podemos
interpretar el valor absoluto de un número real a como la
distancia de a al origen de una recta numérica.
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Interpretación geométrica del valor absoluto: Podemos
interpretar el valor absoluto de un número real a como la
distancia de a al origen de una recta numérica.
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Fórmula de la distancia en la recta numérica real
Definición: Sean A y B dos puntos en la recta numérica con
coordenadas respectivas a y b.
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
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Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Fórmula de la distancia en la recta numérica real
Definición: Sean A y B dos puntos en la recta numérica con
coordenadas respectivas a y b. Entonces, la distancia de A a
B, denotada por d(A, B) se define como:
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Fórmula de la distancia en la recta numérica real
Definición: Sean A y B dos puntos en la recta numérica con
coordenadas respectivas a y b. Entonces, la distancia de A a
B, denotada por d(A, B) se define como:
d(A, B) = |b - a|
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Fórmula de la distancia en la recta numérica real
Definición: Sean A y B dos puntos en la recta numérica con
coordenadas respectivas a y b. Entonces, la distancia de A a
B, denotada por d(A, B) se define como:
d(A, B) = |b - a|
Nota: |a − b| = |b − a|
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Fórmula de la distancia en la recta numérica real
Definición: Sean A y B dos puntos en la recta numérica con
coordenadas respectivas a y b. Entonces, la distancia de A a
B, denotada por d(A, B) se define como:
d(A, B) = |b - a|
Nota: |a − b| = |b − a|
Razón: b − a = −(a − b).
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Fórmula de la distancia en la recta numérica real
Definición: Sean A y B dos puntos en la recta numérica con
coordenadas respectivas a y b. Entonces, la distancia de A a
B, denotada por d(A, B) se define como:
d(A, B) = |b - a|
Nota: |a − b| = |b − a|
Razón: b − a = −(a − b). Por lo tanto, por la propiedad que
establece que |x| = | − x|, se tiene que |a − b| = |b − a|.
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Fórmula de la distancia en la recta numérica real
Definición: Sean A y B dos puntos en la recta numérica con
coordenadas respectivas a y b. Entonces, la distancia de A a
B, denotada por d(A, B) se define como:
d(A, B) = |b - a|
Nota: |a − b| = |b − a|
Razón: b − a = −(a − b). Por lo tanto, por la propiedad que
establece que |x| = | − x|, se tiene que |a − b| = |b − a|.
Por lo tanto,
d(A, B) = d(B, A)
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejemplos: Calcule la distancia entre los punto A y B con
coordenadas respectivas a y b.
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejemplos: Calcule la distancia entre los punto A y B con
coordenadas respectivas a y b.
1
a = 4, b = 9
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejemplos: Calcule la distancia entre los punto A y B con
coordenadas respectivas a y b.
1
a = 4, b = 9
2
a = 9, b = 4
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejemplos: Calcule la distancia entre los punto A y B con
coordenadas respectivas a y b.
1
a = 4, b = 9
2
a = 9, b = 4
3
a = 0, b = 6
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Propiedad de ecuaciones que envuelven |x|
Para p > 0
|x| = p ⇐⇒ x = p o x = −p
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Propiedad de ecuaciones que envuelven |x|
Para p > 0
|x| = p ⇐⇒ x = p o x = −p
Ejemplo: |x| = 5 ⇐⇒ x = 5 o x = −5
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Propiedad de ecuaciones que envuelven |x|
Para p > 0
|x| = p ⇐⇒ x = p o x = −p
Ejemplo: |x| = 5 ⇐⇒ x = 5 o x = −5
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Propiedad de ecuaciones que envuelven |x|
Para p > 0
|x| = p ⇐⇒ x = p o x = −p
Ejemplo: |x| = 5 ⇐⇒ x = 5 o x = −5
Nota: Si p < 0, la ecuación |x| = p no tienen solución.
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Propiedad de ecuaciones que envuelven |ax + b|
Para p > 0
|ax + b| = p ⇐⇒ ax + b = p o ax + b = −p
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Propiedad de ecuaciones que envuelven |ax + b|
Para p > 0
|ax + b| = p ⇐⇒ ax + b = p o ax + b = −p
Ejemplo: |3x − 5| = 7
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Propiedad de ecuaciones que envuelven |ax + b|
Para p > 0
|ax + b| = p ⇐⇒ ax + b = p o ax + b = −p
Ejemplo: |3x − 5| = 7
3x − 5 = 7 o 3x − 5 = −7
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Propiedad de ecuaciones que envuelven |ax + b|
Para p > 0
|ax + b| = p ⇐⇒ ax + b = p o ax + b = −p
Ejemplo: |3x − 5| = 7
3x − 5 = 7 o 3x − 5 = −7
3x = 12 o 3x = −2
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Propiedad de ecuaciones que envuelven |ax + b|
Para p > 0
|ax + b| = p ⇐⇒ ax + b = p o ax + b = −p
Ejemplo: |3x − 5| = 7
3x − 5 = 7 o 3x − 5 = −7
3x = 12 o 3x = −2
2
x=4 o x=−
3
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Propiedad de ecuaciones que envuelven |ax + b|
Para p > 0
|ax + b| = p ⇐⇒ ax + b = p o ax + b = −p
Ejemplo: |3x − 5| = 7
3x − 5 = 7 o 3x − 5 = −7
3x = 12 o 3x = −2
2
x=4 o x=−
3
2
C. S. = {- , 4}
3
Nota: Si p < 0, la ecuación |ax + b| = p no tiene solución.
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Propiedad de ecuaciones que envuelven |ax + b| y |cx + d|
|ax + b| = |cx + d| ⇐⇒ ax + b = cx + d o ax + b = −(cx + d)
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Propiedad de ecuaciones que envuelven |ax + b| y |cx + d|
|ax + b| = |cx + d| ⇐⇒ ax + b = cx + d o ax + b = −(cx + d)
Ejemplo: Resuelva la ecuación |2x − 7| = |4x + 6|
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Propiedad de ecuaciones que envuelven |ax + b| y |cx + d|
|ax + b| = |cx + d| ⇐⇒ ax + b = cx + d o ax + b = −(cx + d)
Ejemplo: Resuelva la ecuación |2x − 7| = |4x + 6|
Solución:
C.S. = {-
13 1
, }
2 6
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejercicios: Resuelva cada ecuación y grafique su conjunto
solución.
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejercicios: Resuelva cada ecuación y grafique su conjunto
solución.(Continuación.)
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Soluciones:
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven |x|
Para p > 0,
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven |x|
Para p > 0,
|x| < p ⇐⇒−p < x < p
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven |x|
Para p > 0,
|x| < p ⇐⇒−p < x < p
|x| ≤ p⇐⇒−p ≤ x ≤ p
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven |x|
Para p > 0,
|x| < p ⇐⇒−p < x < p
|x| ≤ p⇐⇒−p ≤ x ≤ p
|x| > p⇐⇒ x < −p o x > p
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven |x|
Para p > 0,
|x| < p ⇐⇒−p < x < p
|x| ≤ p⇐⇒−p ≤ x ≤ p
|x| > p⇐⇒ x < −p o x > p
|x| ≥ p⇐⇒ x ≤ −p o x ≥ p
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven |x|
Para p > 0,
|x| < p ⇐⇒−p < x < p
|x| ≤ p⇐⇒−p ≤ x ≤ p
|x| > p⇐⇒ x < −p o x > p
|x| ≥ p⇐⇒ x ≤ −p o x ≥ p
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejemplo 1: |x| ≤ 3
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejemplo 1: |x| ≤ 3 ⇐⇒−3 ≤ x ≤ 3
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejemplo 1: |x| ≤ 3 ⇐⇒−3 ≤ x ≤ 3
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejemplo 1: |x| ≤ 3 ⇐⇒−3 ≤ x ≤ 3
Ejemplo 2: |x| > 5
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejemplo 1: |x| ≤ 3 ⇐⇒−3 ≤ x ≤ 3
Ejemplo 2: |x| > 5 ⇐⇒ x < −5 o x > 5
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejemplo 1: |x| ≤ 3 ⇐⇒−3 ≤ x ≤ 3
Ejemplo 2: |x| > 5 ⇐⇒ x < −5 o x > 5
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Si en las expresiones anteriores reemplazamos x por ax + b,
obtenemos:
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Si en las expresiones anteriores reemplazamos x por ax + b,
obtenemos:
Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven
|ax + b|
Para p > 0,
|ax + b| < p ⇐⇒−p < ax + b < p
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Si en las expresiones anteriores reemplazamos x por ax + b,
obtenemos:
Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven
|ax + b|
Para p > 0,
|ax + b| < p ⇐⇒−p < ax + b < p
|ax + b| ≤ p⇐⇒−p ≤ ax + b ≤ p
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Si en las expresiones anteriores reemplazamos x por ax + b,
obtenemos:
Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven
|ax + b|
Para p > 0,
|ax + b| < p ⇐⇒−p < ax + b < p
|ax + b| ≤ p⇐⇒−p ≤ ax + b ≤ p
|ax + b| > p ⇐⇒ ax + b < −p o ax + b > p
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
Contenido
Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Si en las expresiones anteriores reemplazamos x por ax + b,
obtenemos:
Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven
|ax + b|
Para p > 0,
|ax + b| < p ⇐⇒−p < ax + b < p
|ax + b| ≤ p⇐⇒−p ≤ ax + b ≤ p
|ax + b| > p ⇐⇒ ax + b < −p o ax + b > p
|ax + b| ≥ p ⇐⇒ ax + b ≤ −p o ax + b ≥ p
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
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Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Si en las expresiones anteriores reemplazamos x por ax + b,
obtenemos:
Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven
|ax + b|
Para p > 0,
|ax + b| < p ⇐⇒−p < ax + b < p
|ax + b| ≤ p⇐⇒−p ≤ ax + b ≤ p
|ax + b| > p ⇐⇒ ax + b < −p o ax + b > p
|ax + b| ≥ p ⇐⇒ ax + b ≤ −p o ax + b ≥ p
Nota: Si p < 0, las ecuaciones |x| < p y |ax + b| < p no tienen
solución.
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
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Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejemplo 1: |x − 9| < 2
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Valor Absoluto
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Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejemplo 1: |x − 9| < 2 ⇐⇒−2 < x − 9 < 2
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
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Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejemplo 1: |x − 9| < 2 ⇐⇒−2 < x − 9 < 2
⇐⇒7 < x < 11
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Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejemplo 1: |x − 9| < 2 ⇐⇒−2 < x − 9 < 2
⇐⇒7 < x < 11
Rivera-Morales, Carlos A.
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Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejemplo 1: |x − 9| < 2 ⇐⇒−2 < x − 9 < 2
⇐⇒7 < x < 11
Ejemplo 2: |3x + 5| > 2
Rivera-Morales, Carlos A.
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Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejemplo 1: |x − 9| < 2 ⇐⇒−2 < x − 9 < 2
⇐⇒7 < x < 11
Ejemplo 2: |3x + 5| > 2 ⇐⇒ 3x + 5 < −2 o 3x + 5 > 2
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
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Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejemplo 1: |x − 9| < 2 ⇐⇒−2 < x − 9 < 2
⇐⇒7 < x < 11
Ejemplo 2: |3x + 5| > 2 ⇐⇒ 3x + 5 < −2 o 3x + 5 > 2
⇐⇒ 3x < −7 o 3x > −3
Rivera-Morales, Carlos A.
Valor Absoluto
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Objetivos
Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejemplo 1: |x − 9| < 2 ⇐⇒−2 < x − 9 < 2
⇐⇒7 < x < 11
Ejemplo 2: |3x + 5| > 2 ⇐⇒ 3x + 5 < −2 o 3x + 5 > 2
⇐⇒ 3x < −7 o 3x > −3
7
⇐⇒x < − o x > −1
3
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Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejemplo 1: |x − 9| < 2 ⇐⇒−2 < x − 9 < 2
⇐⇒7 < x < 11
Ejemplo 2: |3x + 5| > 2 ⇐⇒ 3x + 5 < −2 o 3x + 5 > 2
⇐⇒ 3x < −7 o 3x > −3
7
⇐⇒x < − o x > −1
3
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Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejercicios: Resuelva cada desigualdad y grafique su conjunto
solución.
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Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejercicios: Resuelva cada desigualdad y grafique su conjunto
solución.(Continuación.)
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Propiedades del Valor Absoluto
Ecuaciones con Valor Absoluto
Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Soluciones:
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