Elecrtrometria

Departamento de Ingeniería Eléctrica,
Electrónica y de Control
UNIVERSIDAD NACIONAL
DE EDUCACIÓN A DISTANCIA
E.T.S. DE INGENIEROS INDUSTRIALES
“Electrometría”
Adenda
Curso 2010/2011
(Código 642032)
Equipo Docente de la asignatura
“Electrometría (642032)”. Adenda.
Curso 2009/2010
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Electrometría
GUÍA DE LA ASIGNATURA
1) INTRODUCCIÓN.
Se trata de una asignatura que tiene un carácter fundamentalmente tecnológico. Su
objetivo principal es proporcionar al alumno una base científica y técnica que le permita
conocer y entender la naturaleza de los problemas relacionados con las medidas de las
distintas magnitudes eléctricas.
2) CONTENIDOS.
El programa de la asignatura se ha dividido en seis temas agrupados, siguiendo la
metodología de la UNED, en tres Unidades Didácticas:
UNIDAD DIDÁCTICA 1. La medida eléctrica.
TEMA 1.
La medida eléctrica. Instrumentos de valor.
TEMA 2.
Instrumentos de lectura. Instrumentos de relación e instrumentación
complementaria.
UNIDAD DIDÁCTICA 2. Medidas de las magnitudes eléctricas.
TEMA 3.
Medidas de tensiones e intensidades.
TEMA 4.
Medida de resistencias, capacidades e inductancias.
TEMA 5.
Medida de potencias y energías.
UNIDAD DIDÁCTICA 3. Incertidumbres de medida.
TEMA 6.
Determinación de las incertidumbres de medida.
“Electrometría (642032)”. Adenda.
Curso 2009/2010
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PROGRAMACIÓN:
No existen Unidades Didácticas editadas por la UNED en esta asignatura, por lo que
es necesario utilizar una obra general externa. El libro seleccionado como texto base es el del
autor F.J. CHACON, Medidas eléctricas para ingenieros (cuyas referencias completas
aparecen en el apartado 3) y la propia Adenda para la Unidad Didáctica 3.
Seguidamente se detalla qué capítulos y apartados debe estudiar de ese libro, de
acuerdo al programa de la asignatura, para cada una de las dos ediciones (1 y 2) que coexisten
de dicho texto.
Dado que los contenidos de esta asignatura son los mismos en ambas ediciones,
aunque los apartados y capítulos correspondientes varían, puede utilizarse cualquiera de las
dos. Por lo anterior es muy importante que preste atención a los contenidos que se señalan,
que acotan los capítulos y apartados del texto a estudiar según la edición que utilice.
Le sugerimos una atenta lectura y marcado de las partes del texto base a estudiar,
puesto que para facilitar el estudio de la asignatura, y no entrar en profundidades que se
escapan del objetivo de la asignatura, se ha efectuado una selección de los apartados y puntos
a estudiar, que se recoge a continuación, de manera separada para la edición nº 1 y la edición
nº 2:
UNIDAD DIDÁCTICA 1. La medida eléctrica.
Texto base 1ª edición:
Capítulo 1. La medida eléctrica [completo, excepto los apartados 6 y 7 (págs. 41 a
53)]
Capitulo 2. Instrumentos de valor [completo (Págs. 55 a 80)]
Capítulo 3. Instrumentos de lectura o indicación [completo, excepto el apartado 3
(págs. 101 a 114)].
Capítulo 4. Instrumentos de relación [completo, excepto los apartados 3 a 7 (págs.
152 a 169)].
Capítulo 5. Instrumentación complementaria [completo, excepto el apartado 3 (págs.
174 a 194)].
Texto base 2ª edición:
Capítulo 1. La medida eléctrica [completo, excepto los apartados 6 y 7 (págs. 37 a
50)]
Capitulo 2. Instrumentos de valor [completo (Págs. 51 a 71)]
Capítulo 3. Instrumentos de lectura o indicación [completo, excepto el apartado 3
(págs. 94 a 104)].
Capítulo 4. Instrumentos de relación [completo, excepto los apartados 3 a 7 (págs.
136 a 151 y el apartado 8.1 (págs. 152 a 154)].
Capítulo 5. Instrumentación complementaria [completo, excepto el apartado 3 (págs.
158 a 187)].
“Electrometría (642032)”. Adenda.
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UNIDAD DIDÁCTICA 2. Medidas de las magnitudes eléctricas.
Texto base 1ª edición:
Capítulo 6. Medición de tensiones e intensidades [completo, excepto los apartados
2.1.4 (págs 206 a 209), 2.2.4 (págs. 215 a 217); 3 y 4 (págs. 218 a 238) y
5.3 (págs. 253 a 272)].
Capítulo 7. Medida de resistencias, capacidades e inductancias. [completo, excepto
los apartados 2.3 (págs. 279 a 283), 4.3 (págs. 291 a 295), los epígrafes
“shunt magnético” y siguientes (págs. 301 a 308) y el apartado 5.1.2
(págs. 308 a 310)].
Capítulo 9. Medida de resistencias de valor elevado. [completo, excepto apartados
2.1, 2.2 y 2.3 (págs. 338 a 345)].
Capítulo 11. Medida de capacidades [completo, excepto apartados 2.1 y 2.2 (Págs.
377 a 396) y apartado 3 (págs. 399 a 407)].
Capítulo 12. Medidas de inductancias [completo, excepto apartado 1.1 (págs. 412 a
420) y apartado 2 (págs. 424 a 436)].
Capítulo 13. Medida de potencias y energías [completo, excepto los apartados 3.3 a
3.5 (págs. 447 a 453), 5.4 a 5.6 (págs. 466 a 468) y apartado 6.4 (págs.
474 a 475)].
Texto base 2ª edición:
Capítulo 6. Medición de tensiones e intensidades en cc [completo, excepto los
apartados 2.2.3 (págs. 198 a 201), 2.3.3 (págs. 207 a 209), 3 y 4 (págs.
210 a 231).
Capítulo 7. Medida de tensiones e intensidades en ca [completo, excepto los
apartados 3, 4 y 5 (págs. 246 a 264)].
Capítulo 8. Medida de resistencias [completo, excepto los apartados 2.2 (págs. 271 a
275), 4.3 (págs. 282 a 286) y 5 (págs. 286 a 287)].
Capítulo 10. Medida de resistencias de valor elevado. [completo, excepto apartados
3.1, 3.2, 3.3 y 3.4 (págs. 317 a 325)].
Capítulo 12. Medida de capacidades [completo, excepto apartados 1.2.1, 1.2.2 y 1.3
(págs. 357 a 367)] y medida de inductancias [completo, excepto
apartados 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3 y 2.2 (págs. 368 a 378)].
Capítulo 13. Medidas de impedancias [únicamente los apartados 4, 4.1 y 4.2 (págs.
390 a 397)].
Capítulo 14. Medida de potencias y energías [completo, excepto los apartados 2.4 y
2.5 (págs. 416 a 418), 4.4 y 4.5 (págs. 431 a 433)].
UNIDAD DIDÁCTICA 3. Incertidumbres de medida.
Adenda de esta Asignatura.
Como orientación para cuando planifique el estudio de la asignatura, del tiempo total
que le dedique creemos que le debe llevar estudiar la primera Unidad Didáctica un 30% de ese
total, un 50% la segunda y un 20% la tercera.
“Electrometría (642032)”. Adenda.
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Por último, al final de este documento se explica y desarrolla con más detalle el
programa propuesto, se relaciona con los apartados concretos del texto básico y se exponen
algunos puntos necesarios que o bien no vienen en el libro o bien, si están, los desarrolla de
forma mucho más extensa de lo que necesitamos. Con esta explicación podrá entender la unidad
lógica de contenido que hemos seguido en la concepción del programa de la asignatura.
3) TEXTO BASE
− “Adenda de Electrometría”, realizada por el equipo docente de la asignatura,
DIECC-UNED (es este mismo documento, que se encuentra también en la página
que la asignatura tiene en el servidor del Departamento en Internet,
http://www.ieec.uned.es, en la sección “Docencia del DIEEC”).
− CHACON, F.J. Medidas eléctricas para ingenieros. Ed. Departamento de
Publicaciones de la Universidad Pontificia de Comillas. ISBN 84-89708-97-5.
Madrid, 2000 1ª edición, ó ISBN 978-84-8468-222-6 de la 2ª edición Madrid 2007.
4) BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA
El libro dado como bibliografía básica junto a la Adenda que hemos escrito es suficiente
para preparar de forma completa el contenido de la asignatura. Sin embargo, para aquellos
alumnos que deseen consultar además otros textos, se pueden destacar, por ejemplo, los
siguientes:
− CEA-ENAC-LC/02, documento de la Entidad Nacional de Acreditación, ENAC,
descargable en la dirección web de ENAC (www.enac.es) siguiente:
http://www.enac.es/docs/documentos/CEA-ENAC-LC-02%20Rev.%201.pdf
− Expression of the uncertainty of measurement in calibration. EA 4/02. December
1999. Este documento puede descargarlo de Internet en la dirección:
http://www.europeanaccreditation.org/Docs/0002_Application%20documents/0002_Application%20do
cuments%20for%20Laboratories%20Series%204/00100_EA-4-02rev01.PDF
− The expression of uncertainty and confidence in measurement. M3003. UKAS.
Edition 2. January 2007. Este documento puede descargarlo de Internet en la
dirección:
http://www.ukas.com/Library/downloads/publications/M3003.pdf
− Guidelines for evaluating and expressing the uncertainty of NIST measurment
results. NIST technical Note 1297. 1994 edition. Este documento puede
descargarlo de Internet en la dirección:
http://physics.nist.gov/Pubs/guidelines/contents.html
“Electrometría (642032)”. Adenda.
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5) OTRO MATERIAL DE APOYO.
Desde este curso existe una página de la asignatura en el servidor del Departamento en
Internet donde se ofrece información referente a la misma que le puede ser útil. También
incluye enlaces con otros servidores de empresas e instituciones importantes del sector
eléctrico. Pretendemos que esta información que vaya enriqueciendo y actualizando a lo
largo del curso, para lo que nos gustaría contar con su colaboración.
La dirección de Internet del servidor del Departamento, a la que debe conectarse, es:
http://www.ieec.uned.es y allí buscar la asignatura en el apartado “Docencia del DIEEC”.
6) PRUEBAS DE EVALUACIÓN A DISTANCIA. PRÁCTICAS DE LABORATORIO
En esta asignatura no hay que realizar Pruebas de Evaluación a Distancia. Tampoco
hay Prácticas de Laboratorio.
7) PRUEBAS PRESENCIALES
Al ser una asignatura cuatrimestral del primer cuatrimestre, solamente hay Pruebas
Personales finales en febrero y septiembre.
Estas pruebas constarán de varios ejercicios teórico prácticos en examen eliminatorio
de tipo test, junto con el desarrollo de algunos problemas de tipo práctico, similares a los
incluidos en esta Adenda. Lea atentamente el enunciado de cada uno de los ejercicios antes de
resolverlos.
No podrá aprobarse la asignatura si no se supera la prueba tipo test en al menos el 70 %
del mismo, independientemente de la nota de los problemas y tenga en cuenta que errores
graves de concepto pueden hacer que la Prueba finalmente no se supere, sea cual sea la media
obtenida. En cualquier caso, los errores graves, tanto en la parte de test como en problemas,
podrán bajar la nota final. Como ocurrirá posteriormente en su vida profesional como Ingeniero,
es mejor que si no sabe algo, no conteste cualquier cosa por peregrina que sea.
Las Pruebas Presenciales tienen por objeto evaluar los conocimientos del alumno en las
materias tratadas en la asignatura, no a determinar si el alumno sabe resolver mecánicamente los
problemas tipo. Por ello le aconsejamos que no “aprenda a hacer problemas”. Desde el
principio, trate de comprender las materias propuestas y de conocer y valorar los parámetros de
los que dependen cada uno de los temas tratados en el programa. Con ello aprenderá además a
juzgar si un resultado es coherente o incoherente y sabrá si ha cometido algún error en el
desarrollo de un problema.
“Electrometría (642032)”. Adenda.
Curso 2009/2010
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En las Pruebas Presenciales no está permitido el uso de ningún tipo de material de
consulta; sólo se puede utilizar calculadora. Dispone de dos horas para realizar la Prueba.
Además, el Equipo Docente podrá proponer temas de desarrollo voluntarios a lo largo
del curso, cuya valoración se tendrá en cuenta en la nota final de la asignatura, y podrán pasar a
formar parte de los textos de consulta de la misma para cursos posteriores. La información
correspondiente aparecerá en la web de la asignatura en el Departamento y en el curso virtual.
8) HORARIO DE ATENCIÓN AL ALUMNO
Las consultas se puede realizar durante la guardia, por teléfono o personalmente, y
por correo postal o electrónico.
Horario de guardia:
Lunes, de 16:00 a 20:00 horas.
Teléfono:
Fax:
Correo electrónico:
91 398 6474 (Prof. M. Valcárcel)
91 398 6028
[email protected]
En Internet:
http://www.ieec.uned.es y allí buscar la asignatura en el
apartado ”Docencia del DIEEC”.
Dirección:
Depto. de Ingeniería Eléctrica, Electrónica y de
Control
E.T.S. de Ingenieros Industriales - UNED
Ciudad Universitaria s/n.
28040 MADRID
“Electrometría (642032)”. Adenda.
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Electrometría
ADENDA
INTRODUCCIÓN.
En esta Adenda se explica y se desarrolla con más detalle el programa propuesto y se
relaciona con los apartados concretos del texto básico (esos apartados del libro se indican en la
Adenda [en cursiva y entre paréntesis rectos], de manera separada para cada una de las dos
ediciones del texto base) correspondiente a las Unidades Didácticas 1 y2.
También se incluye el material a estudiar para la Unidad Didáctica 3, así como una
breve explicación de las otra dos, con lo podrá entender la unidad lógica de contenido que
hemos seguido en la concepción del programa de la asignatura.
Por esta razón y tal y como se indica en el punto 3 de la “Guía de la asignatura”, esta
Adenda no es tan sólo un documento con orientaciones que simplemente debe leer al principio
de la asignatura, sino que es parte de la bibliografía que debe estudiar. Téngalo muy en cuenta.
UNIDAD DIDÁCTICA 1. La medida eléctrica.
Texto base edición 1ª
TEMA 1.
La medida eléctrica. Concepto de Medida, error y precisión, precisión de
la instrumentación y errores sistemáticos [Capítulo 1 (salvo apartados 6 y
7)]. Instrumentos de valor: patrones de tensión, resistencia, capacidad e
inductancia [Capítulo 2].
TEMA 2.
Instrumentos de lectura o indicación: instrumentos galvanométricos y
electrométricos [Apartados 1 y 2 del capítulo 3], Osciloscopios [Apartado 4
del capítulo 3]. Instrumentos de relación: conjuntos divisores y
transformadores de medida [Apartados 1 y 2 del Capítulo 4] y Sensores
[Apartado 8 del Capítulo 4]. Instrumentación complementaria: detectores
de cero y sistemas de alimentación [Apartados 1 y 2 del Capítulo5].
Texto base edición 2ª
TEMA 1.
La medida eléctrica. Concepto de Medida, error y precisión, precisión de
la instrumentación y errores sistemáticos [Capítulo 1 (salvo apartados 6 y
7)]. Instrumentos de valor: patrones de tensión, resistencia, capacidad e
inductancia [Capítulo 2].
TEMA 2.
Instrumentos de lectura o indicación: instrumentos galvanométricos y
electrométricos [Apartados 1 y 2 del capítulo 3], Osciloscopios [Apartado 4
del capítulo 3]. Instrumentos de relación: conjuntos divisores y
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transformadores de medida [Apartados 1 y 2 del Capítulo 4] y Sensores
[Apartado 8 (salvo el punto 8.1) del Capítulo 4]. Instrumentación
complementaria: detectores de cero y sistemas de alimentación [Apartados
1 y 2 del Capítulo5].
En esta Unidad Didáctica se abordan los conceptos básicos de la asignatura. Así, en el
tema 1 se presenta la problemática de la medida. Esta primera parte del tema 1 es meramente
descriptivo y se completa y puntualiza en la Unidad Didáctica 3, donde se desarrolla la
sistemática de las mediciones, que en la UD 1 únicamente se presenta.
En la segunda parte del tema 1 se definen los patrones (instrumentos de valor, también
conocidos como aparatos o dispositivos de materialización de las unidades de medida),
elementos imprescindibles para garantizar la trazabilidad de las medidas.
En el tema 2 se describen de manera general los distintos tipos de aparatos de medida,
según sus principios de funcionamiento, que se desarrollan en los temas siguientes. Por su uso
e importancia, merece la pena destacar el estudio del osciloscopio y de los puentes de medida.
Tenga en cuenta las partes de los capítulos del texto base que debe estudiar, según la
relación que aparece en el apartado 2 de esta adenda.
UNIDAD DIDÁCTICA 2. Medidas de las magnitudes eléctricas.
Texto base edición 1ª
TEMA 3.
Medidas de tensiones e intensidades. Introducción, medidas en cc
[Apartados 1 y 2 (salvo los puntos 2.1.4 y 2.2.4) del Capítulo 6], medida de
tensiones e intensidades periódicas [Apartado 5 del Capítulo 6 (salvo el
punto 5.3)].
TEMA 4.
Medida de resistencias: medidas de resistencias con voltímetro y
amperímetro, medidas de resistencias por métodos de comparación,
puente de Wheaststone [Apartados 1 a 4 del Capítulo 7 (salvo los puntos 2.3
y 4.3)], métodos de lectura directa [Apartado 5 del Capítulo 7 (salvo los
puntos “shunt magnético” a 5.2)]. Medida de resistencias de valor elevado
[Capítulo 9 (salvo los puntos 2.1, 2.2 y 2.3)]. Medida de capacidades
[Apartados 1 y 2 (salvo los puntos 2.1 y 2.2) del Capítulo 11]. Medidas de
inductancias [Apartados 1 (salvo el punto 1.1) y 1.2 del Capítulo 12].
TEMA 5.
Medida de potencias y energías. Consideraciones iniciales, medidas de
potencias en cc, medida de potencia activa en ca monofásica, medida de
potencia reactiva en ca monofásica, medida de potencia activa en sistemas
trifásicos [Apartados 1 a 3.2 y 4 5.3 del Capítulo 13]. Medida de potencia
reactiva en sistemas trifásicos [Apartados 6.1 a 6.3 del Capítulo 13]. Medida
de la energía activa y medida de la energía activa en sistemas trifásicos
[Apartados 7 y 8 del Capítulo 13].
“Electrometría (642032)”. Adenda.
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Texto base edición 2ª
TEMA 3.
Medidas de tensiones e intensidades. Introducción, medidas en cc
[Apartados 1 y 2 (salvo los puntos 2.2.3 y 2.3.3) del Capítulo 6], medida de
tensiones e intensidades en ca [Apartados 1 y 2 del Capítulo 7].
TEMA 4.
Medida de resistencias: medidas de resistencias con voltímetro y
amperímetro, medidas de resistencias por métodos de comparación,
puente de Wheaststone [Apartados 1 a 4 del Capítulo 8 (salvo los puntos 2.2
y 4.3)], métodos de lectura directa [Apartado 6 del Capítulo 8]. Medida de
resistencias de valor elevado [Capítulo 10 (salvo los puntos 3.1, 3.2, 3.3 y
3.4]. Medida de capacidades [Apartado 1 (salvo los puntos 1.2.1, 1.2.2 y 1.3)
del Capítulo 12 y apartados 4 y 4.1 del Capítulo 13]. Medidas de
inductancias [Apartado 2 (salvo los puntos 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3 y 2.2) del
Capítulo 12 y apartado 4.2 del Capítulo 13].
TEMA 5.
Medida de potencias y energías. Consideraciones iniciales, medidas de
potencias en cc, medida de potencia activa en ca monofásica, medida de
potencia reactiva en ca monofásica, medida de potencia activa en sistemas
trifásicos [Apartados 1 a 2.3 y 3 a 5.3 (salvo los apartados 4.4 y 4.5) del
Capítulo 14]. Medida de potencia reactiva en sistemas trifásicos [Apartado
5 del Capítulo 14]. Medida de la energía activa y medida de la energía
reactiva en sistemas trifásicos [Apartados 6 y 7 del Capítulo 14].
En esta Unidad Didáctica se estudian las medidas de las magnitudes eléctricas
principales: tensiones, intensidades, resistencias, capacidades, inductancias, potencias y
energías. De todas ellas es de especial interés, las tres primeras y las de potencias y energías.
Tenga en cuenta las partes de los capítulos del texto base que debe estudiar, según la
relación que aparece en el apartado 2 de esta adenda.
UNIDAD DIDÁCTICA 3. Incertidumbres de medida.
TEMA 6.
Determinación de las incertidumbres de medida [Adenda].
Esta Unidad Didáctica aborda uno de los aspectos de tipo general que afectan a todas
las medidas, tanto eléctricas, como de otras magnitudes, que es el cálculo de la incertidumbre
de la medida.
Esta parte de la Asignatura se introduce en el comienzo del Texto Base (apartado 2 del
capítulo 1) y tiene como objeto determinar en cuánto “nos equivocamos”, cada vez que se
realiza una medida, para así poder establecer el intervalo de confianza donde razonablemente
se encuentra el verdadero valor de la medición.
Para ilustrar este problema, a continuación se plantea el caso de la medida de la
temperatura ambiente de una sala. El caso parece sencillo, pues a cualquiera se le ocurre
utilizar un termómetro y leer el valor que alcanza.
“Electrometría (642032)”. Adenda.
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Sin embargo, desde el punto de vista metrológico hay que formularse las preguntas
siguientes:
a)
b)
c)
d)
¿se conoce cómo mide el termómetro?
¿se conoce con qué resolución se puede leer el termómetro?
¿se sabe si está cambiando la lectura?
¿se utiliza correctamente el termómetro?. Si se sujeta con la mano, ¿se está
calentando?
e) La humedad relativa de la habitación cambia mucho, ¿se tiene en cuenta cómo
afecta esto al termómetro?
f) ¿importa en qué parte de la habitación pongo el termómetro?
g) ¿se mide una única vez o varias?
Todas estas preguntas tienen su respuesta y su influencia en el valor de la medición, de
manera más o menos importante.
Algunas de las cuestiones parecen sencillas, aunque conviene ser cautos, para poder
obtener las respuestas adecuadas. Así, a continuación se relacionan los
aspectos/criterios/fenómenos para poder tenerlos en cuenta
a) ¿cómo mide el termómetro?: depende de:
• Su forma constructiva (bulbo, digital, etc.).
• Exactitud.
• Deriva con el tiempo.
b) ¿con que resolución puedo leer el termómetro?
• Si es digital puede ser con décimas de grado, por ejemplo: una lectura de 23,4 ºC
supone un redondeo de todos los valores desde 23,35ºC hasta 23,45ºC.
• Si es analógico influye la vista del operador.
• Tener en cuenta que siempre existe un redondeo al registrar un valor numérico.
c) ¿cómo varía la lectura?
• Debido a la variación de la temperatura en la sala.
• Por la variación de las características propias del termómetro.
• Por otras influencias: modo de sujetarlo.
d) ¿Se está calentado al sujetarlo con la mano?
• Para evaluar el efecto se puede sujetar con un soporte, dejarlo estabilizar y
comparar los resultados.
• Se puede formar al técnico explicando la forma en que debe sujetar el termómetro.
• Se puede cambiar el método de medida.
• En todo caso evaluar la influencia del operador.
e) ¿cómo afecta la humedad relativa de la habitación?
• Afectará sobre todo a las sondas y medidores electrónicos.
• El fabricante del termómetro deberá estudiar como afecta la HR a la indicación del
termómetro.
• En todo caso se deberá valorar la influencia del entorno, por ejemplo debido a las
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magnitudes de influencia siguientes:
- Gravedad local
- Tensión de alimentación, en su caso.
- Presión
- Flujo de aire.
- Etc.
- Vibraciones.
f) ¿está definido el punto donde se debe medir la temperatura?
• La altura y el lugar de la sala donde sitúe el termómetro influirá en el resultado de
la medida.
• También influirá el momento, ya que habrá variaciones más o menos cíclicas.
• En todos los casos se debe definir lo más precisamente posible el mensurando.
• Existirá una fuente de incertidumbre por este motivo.
g) ¿una única vez o varias?
• Cuantas más medidas se obtendrá una mejor estimación del valor de la medida.
Las respuestas a estas preguntas, traducidas convenientemente a su valor numérico,
conformarán el intervalo donde podremos esperar que se encuentre el verdadero valor de la
medición, con un cierto grado de confianza.
1. INTRODUCCION
Como primera idea fundamental, hay que tener en cuenta por tanto que el resultado
completo de una medición consiste en el valor estimado del mesurando (X) y la incertidumbre
expandida asociada (U). La expresión de la medición se expresará como:
X±U
El valor estimado (X) se obtendrá de la lectura de los aparatos de medida (en el caso
de medidas directas), de los cálculos derivados de varias lecturas, etc.. Será el valor leído (en
caso de una única lectura) o el valor medio de las medidas realizadas cuando haya varias
lecturas. En otros casos X se obtendrá de la medida de varias magnitudes combinando los
resultados de estas medidas según una función determinada.
La incertidumbre es el intervalo (realmente el semiintervalo) donde se encuentra el
verdadero valor de X, en las condiciones de la medición.
La determinación de la incertidumbre (U) requiere un estudio detallado, que es el
objeto de esta Unidad Didáctica.
Según lo señalado anteriormente, el resultado de la medida de la temperatura de la sala
del ejemplo sería:
X±U
Donde:
X = media de las medidas realizadas
U = incertidumbre resultante de la combinación de las fuentes de
incertidumbre antes señaladas, que no son más que los valores numéricos
de los factores señalados como a) a g) del ejemplo.
“Electrometría (642032)”. Adenda.
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La medida será mejor cuanto más pequeño sea el intervalo alrededor de X, esto es,
cuanto menor sea su incertidumbre U. Esto se consigue gracias a valores pequeños en los
factores a) a g) del ejemplo o, en otras palabras, valores pequeños en las incertidumbres
debidas a dichos factores, cuya composición de lugar a una U pequeña.
Es un típico problema ingenieril tomar decisiones sobre la calidad de la medición,
pues a menudo es un compromiso entre el valor de la incertidumbre que podamos asumir y las
acciones a tomar para reducirla.
Por ejemplo, cuanto “mejor” sea el aparato de medida (factor a)), su incertidumbre
propia será menor, como también su deriva con el tiempo. La resolución del aparato (factor
b)) también contribuye de manera muy efectiva en la calidad de la medición. La variación del
mensurando (factor c)) es más difícil de disminuir, dado que en muchas ocasiones no se puede
actuar sobre el mismo. El factor d), es la influencia del operador (de la persona que maneja el
aparato y efectúa la medición) cabe mejorarlo mediante la formación, experiencia y
conocimiento. Las magnitudes de influencia (factor e)) contribuyen de manera muy diferente
a la incertidumbre de la medida y, en muchas ocasiones no resulta posible evitar su influencia;
en cada caso es preciso analizar detenidamente cuáles afectan a la medida. También es
importante, sobre todo en un caso como el del ejemplo, definir bien la medición (factor f)),
pues la medición de una sala dependerá del lugar exacto de la misma y de la variación o
estratificación de la temperatura posible de una parte a otra de la misma. Finalmente, la
repetición de las medidas (factor g)) resulta una de las medidas más efectivas para reducir la
incertidumbre: cuantas más medidas se hagan, su incertidumbre será menor.
Por otra parte, con respecto a la expresión anterior “valor de la incertidumbre que
podamos asumir”, cabe señalar que en muchas ocasiones la realización de las mediciones
tiene como objetivo saber si el valor del mensurando está dentro o no de unos límites dados.
Por ejemplo, saber si el calentamiento de unos devanados de un transformador superan o no
un valor límite dado. A menudo estos límites se denominan “tolerancia” de la medida.
En la figura siguiente se representan las distintas situaciones que pueden presentarse
respecto a los límites inferior y superior de una tolerancia de una medida. El valor obtenido se
representa mediante los tramos verticales, donde el rombo es el valor de la medida y los dos
tramos por encima y por debajo de dicho punto representan la incertidumbre correspondiente.
Límite superior
Límite inferior
caso 1 caso 2
caso 3
caso 4
caso 5
En los casos 1 y 5 el resultado es claro: en el caso 1 el valor de la medida está dentro
de la tolerancia y en el 5 está claramente fuera. Los casos de dudas son los tres casos
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intermedios, en los que la incertidumbre condiciona el cumplimiento o no de la tolerancia, por
cuanto si se consigue disminuirla, se podrá estar en las mismas condiciones que los casos 1 ó
5.
Todo lo anterior condiciona la elección del aparato de medida, su utilización, la
persona que ejecuta la medida, las magnitudes de influencia, la repetición de la medida, etc.
de manera que la incertidumbre de la medida permita comparar el valor de la medida con la
tolerancia de la misma.
2. IDEAS GENERALES Y DEFINICIONES
Como se ha indicado, la expresión del resultado de una medición está completa sólo
cuando contiene tanto el valor atribuido al mensurando como la incertidumbre de medida
asociada a dicho valor. En el presente documento, todas las magnitudes que no se conocen
exactamente se tratan como variables aleatorias, incluso las magnitudes de influencia que
pueden afectar al valor medido.
La incertidumbre de medida es un parámetro, asociado al resultado de una medición,
que caracteriza la dispersión de los valores que pueden atribuirse razonablemente al
mensurando. En el presente documento, se utilizará el término abreviado incertidumbre en
lugar de incertidumbre de medida siempre que no exista el riesgo de equívocos. El Anexo C
contiene una lista de las fuentes típicas de incertidumbre en una medición.
Los mensurandos son las magnitudes particulares objeto de una medición. En
calibración, es frecuente que sólo se disponga de un mensurando o magnitud de salida Y, que
depende de una serie de magnitudes de entrada Xi (i =1, 2, ..., N), de acuerdo con la relación
funcional siguiente, que se denomina función modelo:
Y = f ( X 1 , X 2 ,..., X N )
(2.1)
La función modelo f representa el procedimiento de medición y el método de
evaluación. Describe cómo se obtienen los valores de la magnitud de salida Y a partir de los
valores de las magnitudes de entrada.
En medidas directas de magnitudes, en las que no interviene más que la propia
magnitud en cuestión, la magnitud de entrada y la de salida es la misma y, por tanto: Y = X.
Como ejemplo de función que combina dos magnitudes de entrada está el caso de la medida
de potencia absorbida por una resistencia en cc a partir de la tensión y la intensidad; en este
caso la función modelo Y sería el producto de las dos magnitudes de entrada Xi (V e I) y por
tanto, tendrá la expresión siguiente: P = V I .
En la mayoría de los casos, la función modelo corresponde a una sola expresión
analítica, pero en otros casos se necesitan varias expresiones de este tipo que incluyan
correcciones y factores de corrección de los efectos sistemáticos, en cuyo caso existe una
relación más complicada que no se expresa explícitamente como una función. Es más, f puede
determinarse experimentalmente, existir sólo como un algoritmo de cálculo que deba ser
numéricamente evaluado, o ser una combinación de todo ello.
El conjunto de magnitudes de entrada Xi puede agruparse en dos categorías, según la
forma en que se haya calculado el valor de la magnitud y la incertidumbre asociada al mismo:
“Electrometría (642032)”. Adenda.
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15
-
magnitudes cuyo valor estimado y cuya incertidumbre asociada se determinan
directamente en la medición. Estos valores pueden obtenerse, por ejemplo, a partir de
una única observación, observaciones reiteradas o juicios basados en la experiencia.
Pueden exigir la determinación de correcciones de las lecturas del instrumento y de las
magnitudes de influencia, como la temperatura ambiental, la presión barométrica o la
humedad relativa;
-
magnitudes cuyo valor estimado e incertidumbre asociada se incorporan a la medición
desde fuentes externas, tales como magnitudes asociadas a patrones de medida
calibrados, materiales de referencia certificados o datos de referencia obtenidos de
manuales.
Una estimación del mensurando Y, la estimación de salida expresada por y, se obtiene
de la ecuación (2.1) utilizando las estimaciones de entrada xi como valores de las magnitudes
de entrada Xi
y = f ( x1 , x 2 ,..., x N )
(2.2)
(como se observa, se utiliza la notación en mayúsculas cuando se trata de la magnitud
y en minúsculas cuando se trata del valor numérico de la misma).
Se supone que los valores de entrada xi son las mejores estimaciones (valores medios
de las medidas realizadas: media aritmética o el promedio, en el caso de varias lecturas) o la
lectura obtenida (en el caso de una única lectura) de la magnitud Xi..
Así, suponiendo el caso de que la magnitud de entrada Xi sea medida repetidas veces,
tendrá el valor Q. Con n (n >1) veces (observaciones estadísticamente independientes), el
valor estimado de la magnitud es q , la media aritmética o el promedio de todos los valores
observados q j (j =1, 2, ..., n)
1 n
(2.3)
∑ q
q=
n j =1 j
Para calcular el intervalo de confianza se utiliza la desviación típica experimental de
la media aritmética de las medidas, que proporciona una medida de la dispersión de los
valores. Esta desviación típica se calcula a partir de la varianza de las mismas.
La expresión de la varianza s2(q) de los valores qj es la siguiente:
s 2 (q ) =
n
1
∑ (q − q )
n −1 j = 1 j
(2.4)
Su raíz cuadrada se denomina desviación típica experimental. La mejor estimación de
la varianza de la media aritmética q es la varianza experimental de la media aritmética, que
tiene el valor siguiente:
s 2 (q)
(2.5)
s 2 (q ) =
n
“Electrometría (642032)”. Adenda.
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16
Su raíz cuadrada positiva se denomina desviación típica experimental de la media
aritmética.
Finalmente, la incertidumbre típica u(q) asociada a la estimación de entrada q es la
desviación típica experimental de la media:
u (q ) = s(q )
(2.6)
La incertidumbre típica de medida asociada a la estimación de salida o al resultado de
la medición y, expresada por u(y), es la desviación típica del mensurando Y. Se determina a
partir de los valores estimados xi de las magnitudes de entrada Xi (estos valores estimados
serán sus valores medios según (2.3) en el caso de varias lecturas) y sus incertidumbres típicas
asociadas u(xi).
La incertidumbre típica asociada a un estimado tiene la misma dimensión que éste.
En algunos casos, puede utilizarse la incertidumbre típica relativa de medida, que es
la incertidumbre típica de medida asociada a un estimado dividida por el módulo de dicho
estimado y, por consiguiente, es adimensional. Este concepto no es aplicable cuando el
estimado es igual a cero.
3.
EVALUACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE DE MEDIDA DE LAS
ESTIMACIONES DE ENTRADA
La incertidumbre de medida asociada a las estimaciones de entrada se evalúa
utilizando uno de los siguientes métodos: “Tipo A” o “Tipo B”.
La evaluación Tipo A de la incertidumbre típica es el método de evaluar la
incertidumbre mediante el análisis estadístico de una serie de observaciones. En este caso, la
incertidumbre típica es la desviación típica experimental de la medida (expresiones 2.4 a 2.6).
La evaluación Tipo B de la incertidumbre típica es el método de evaluar la
incertidumbre mediante un procedimiento distinto al análisis estadístico de una serie de
observaciones. En este caso, la estimación de la incertidumbre típica se basa en otros
conocimientos científicos.
La evaluación Tipo B de la incertidumbre típica es la evaluación de la incertidumbre
asociada a un estimado xi de una magnitud de entrada Xi por otros medios distintos al análisis
estadístico de una serie de observaciones. La incertidumbre típica u(xi) se evalúa aplicando un
juicio científico basado en toda la información disponible sobre la posible variabilidad de Xi.
Los valores que caigan dentro de esta categoría pueden derivarse de:
•
•
•
•
•
Datos de certificados de calibración de los equipos de medida utilizados.
Valores adoptados de manuales técnicos o tablas de reconocida solvencia.
Datos de medidas previas.
Especificaciones fiables de fabricantes de los equipos de medida.
Conocimiento y experiencia con los mensurandos y los sistemas de medida
implicados.
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•
17
Valores recomendados asociados a la utilización de buenas prácticas de laboratorio
o normas.
Cada uno de estos aspectos tendrá su incertidumbre asociada, aunque es frecuente que
en muchos de ellos el valor sea despreciable o simplemente desconocido. En la tabla siguiente
se recogen varios de los aspectos anteriores con su valor de incertidumbre y tipo de
distribución.
ASPECTO
Incertidumbre de calibración,
U, (con nivel de confianza
del 95%).
Intervalo de tolerancia de un
equipo de medida de valor1
±T
Resolución de un equipo de
medida, R
Intervalo de amplitud T
alrededor de un valor medio
TIPO DE DISTRIBUCIÓN
INCERTIDUMBRE
Normal
U /2
Rectangular
T
3
Rectangular
R
2
3
Triangular
T
6
Tabla 3.1.
4. CÁLCULO DE LA INCERTIDUMBRE TÍPICA DE LA ESTIMACIÓN DE SALIDA
Para el cálculo de la incertidumbre típica de la estimación de salida de la función
y = f ( x1 , x 2 ,..., x N )
(4.1)
se utiliza la ley de propagación de incertidumbres:
∑
N
u =
2
y
i =1
⎛ ∂f
⎜⎜
⎝ ∂X i
⎞
⎟⎟
⎠
2
u 2 ( xi )
(4.2)
X i = xi
Se definen coeficientes de sensibilidad los factores siguientes:
ci =
∂f
∂X i
(4.3)
X i = xi
Por lo que la expresión (4.2) se convierte en la siguiente:
1
En ocasiones se utiliza coloquialmente el término “precisión” para referirse al límite de tolerancia T del
instrumento de medida.
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18
N
u =
2
y
∑ c u (x )
2
i
2
i
(4.4)
i =1
El valor de la incertidumbre de la medida es la raíz cuadrada de la expresión anterior.
Las expresiones anteriores se pueden considerar aceptables siempre que la función de
salida sea aproximadamente lineal, y siempre que además las magnitudes de entrada Xi sean
independientes unas de otras. Aunque se trata de una simplificación, a efectos de esta
asignatura se considera que se darán ambas circunstancias en todos los casos.
5.
INCERTIDUMBRE EXPANDIDA DE MEDIDA
En el ámbito de los laboratorios de calibración se obtiene una incertidumbre
expandida de medida U, que se calcula multiplicando la incertidumbre típica u(y) de la
estimación de salida y por un factor de cobertura k.
U = k u(y)
(5.1)
Este factor k amplía (extiende) la incertidumbre calculada y proporciona el nivel de
confianza con el que se expresa el valor de incertidumbre. El nivel de confianza normalizado
para el valor de la incertidumbre expandida es del 95 %.
Como se estudiará en la asignatura de estadística, este factor podrá tener distintos
valores según el tipo de distribución estadística a la que se asocie el mensurando o función de
salida. Lo más habitual es considerar que se cumplen las condiciones del teorema central del
límite y que el mensurando presenta una distribución normal (gausiana) en la que k=2 supone
una probabilidad de cobertura de, aproximadamente, un 95%,
Cuando la incertidumbre asociada a la magnitud de salida no siga una distribución
normal, el factor de cobertura k será distinto de 2 (puede ser mayor o menor).
6.
PROCEDIMIENTO, PASO A PASO, PARA EL CÁLCULO DE LA
INCERTIDUMBRE DE MEDIDA.
A continuación, se ofrece una guía para la aplicación práctica del presente documento:
a) Definir la función modelo.
Cuando se trate de la medición de una magnitud (X) de lectura directa, la función
modelo será Y = X + C (donde C representa la corrección a aplicar al instrumento
que, en algunos casos puede ser nula)
Hay que tener en cuenta que es necesario que en la función modelo aparezcan
todas las magnitudes de influencia (incluso aquellas cuyo mejor estimador es nulo)
ya que aunque no intervienen en el cálculo de la magnitud de salida, aportan
incertidumbre.
En el caso general, se tendrá una función modelo del tipo de la expresión (2.1).
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b) Determinar la incertidumbre típica de las magnitudes de entrada.
Así, para cada una de las magnitudes:
Se tendrán incertidumbres de tipo A cuando se efectúen varias lecturas de una
misma magnitud de entrada (expresiones 2.4 a 2.6).
Se tendrán incertidumbres de tipo B resultantes de los distintos elementos y
aspectos que intervienen en la medición: aparatos de medida, condiciones de la
misma, etc. según la tabla 3.1.
c) Determinar la incertidumbre combinada, a partir de la aplicación de la ley de
propagación de incertidumbres (expresión 4.4).
d) Determinación de la incertidumbre expandida, según la expresión 5.1.
ANEXO B
GLOSARIO DE ALGUNOS TÉRMINOS UTILIZADOS
B1 media aritmética :suma de valores dividido por el número de valores.
B2 capacidad óptima de medida: incertidumbre de medición más pequeña que puede
conseguir un laboratorio para una determinada magnitud en condiciones ideales de
medición, dentro del alcance de su acreditación.
B3 correlación : relación entre dos o más variables aleatorias dentro de una
distribución de dos o más variables aleatorias.
B4 coeficiente de correlación : medida de la dependencia relativa mutua de dos
variables aleatorias, igual a su covarianza dividida por la raíz cuadrada positiva del
producto de sus varianzas.
B5 covarianza : medida de la dependencia mutua de dos variables aleatorias, igual al
valor esperado del producto de las desviaciones de las dos variables aleatorias con
respecto a sus respectivos valores esperados.
B6 factor de cobertura : factor numérico utilizado como multiplicador de la
incertidumbre típica de medida para obtener una incertidumbre expandida de
medición.
B7 probabilidad de cobertura : fracción, generalmente grande, de la distribución de
valores que como resultado de una medición, pueden atribuirse razonablemente al
mensurando.
B8 desviación típica experimental : raíz cuadrada positiva de la varianza
experimental
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20
B9 incertidumbre expandida: magnitud que define un intervalo en torno al resultado
de una medición que puede esperarse que incluya una fracción grande de la
distribución de los valores que pueden atribuirse razonablemente al mensurando.
B10 varianza experimental : magnitud que caracteriza la dispersión de los resultados
de una serie de n observaciones del mismo mensurando dada por la ecuación (3.2) del
texto.
B11 estimación de entrada : valor estimado de una magnitud de entrada utilizado en
la evaluación del resultado de una medición.
B12 magnitud de entrada : magnitud de la que depende el mensurando y que se tiene
en cuenta en el proceso de evaluar el resultado de una medición.
B13 mensurando : magnitud concreta objeto de la medición.
B14 estimación de salida : resultado de una medición calculado por la función
modelo a partir de las estimaciones de entrada.
B15 magnitud de salida : magnitud que representa al mensurando en la evaluación de
una medición.
B16 estimación combinada de la varianza: valor estimado de la varianza
experimental obtenido de una larga serie de observaciones del mismo mensurando en
mediciones bien caracterizadas y bajo control estadístico.
B17 distribución de probabilidad : función que da la probabilidad de que una
variable aleatoria adopte cualquier valor o pertenezca a un determinado conjunto de
valores.
B18 variable aleatoria: variable que puede adoptar cualquier valor de un determinado
conjunto de valores y que está asociada a una distribución de probabilidad.
B19 incertidumbre típica relativa de medición: incertidumbre típica de una
magnitud dividida por el valor estimado de dicha magnitud.
B20 coeficiente de sensibilidad asociado a una estimación de entrada: variación
diferencial en la estimación de salida generada por una variación diferencial en una
estimación de entrada dividida por la variación en la estimación de entrada.
B21 desviación típica : raíz cuadrada positiva de la varianza de una variable aleatoria.
B22 incertidumbre típica : incertidumbre de medida expresada como desviación
típica.
B23 Método de evaluación Tipo A método de evaluación de la incertidumbre de
medida por análisis estadístico de una serie de observaciones.
B24 Método de evaluación Tipo B método de evaluación de la incertidumbre de
medida por otro medio diferente al análisis estadístico de una serie de observaciones.
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B25 incertidumbre de medida parámetro, asociado al resultado de una medición,
que caracteriza la dispersión de los valores que pueden atribuirse razonablemente al
mensurando.
B26 varianza: valor esperado del cuadrado de la desviación de una variable aleatoria
con respecto al valor esperado.
ANEXO C
FUENTES DE INCERTIDUMBRE DE MEDIDA
C1 La incertidumbre del resultado de una medición refleja la falta de un conocimiento
completo del valor del mensurando. Un conocimiento completo exigiría una cantidad infinita
de información. Los fenómenos que contribuyen a la incertidumbre y, por tanto, al hecho de
que el resultado de una medición no pueda ser caracterizado con un único valor, se
denominan fuentes de incertidumbre. En la práctica, pueden existir muchas fuentes de
incertidumbre en una medición, entre ellas las siguientes:
a. definición incompleta del mensurando;
b. realización imperfecta de la definición del mensurando;
c. muestreo no representativo - la muestra medida no representa el mensurando
definido
d. efectos no adecuadamente conocidos de las condiciones ambientales o
mediciones imperfectas de las mismas;
e. desviaciones personales en la lectura de instrumentos analógicos;
f. límites en la discriminación o resolución del instrumento;
g. valores inexactos de los patrones y materiales de referencia utilizados en la
medición;
h. valores inexactos de constantes y otros parámetros obtenidos de fuentes
externas y utilizados en el algoritmo para la obtención de datos;
i. aproximaciones e hipótesis incorporadas en el método y el procedimiento de
medición;
j. variaciones en observaciones repetidas del mensurando realizadas en
condiciones aparentemente idénticas.
C2 Estas fuentes no son necesariamente independientes. Algunas de las fuentes (a) - (i)
pueden contribuir a (j).
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Ejercicio 1.
Para medir la intensidad en una rama de un circuito se efectuaron las cuatro medidas
siguientes: 3,42; 3,88; 2,99 y 3,17 A. Determinar:
• La mejor estimación del resultado del ensayo.
• La estimación de la desviación típica experimental de una medida.
• La estimación de la desviación típica experimental de la media.
• El resultado de la medida y su incertidumbre típica.
Suponer que el amperímetro utilizado tiene una exactitud muy grande en comparación con la
variación de las lecturas.
Solución:
La mejor estimación del resultado del ensayo es el valor medio:
3,42 + 3,88 + 2,99 + 3,17
= 3,365 A
4
i=
Desviación típica experimental:
s (ii ) =
1
n −1
Desviación típica experimental de la media:
Resultado de la medida:
∑ (i − i )
4
i
2
= 0,386 A
i =1
s (i ) =
s (ii )
n
=
0,386
4
= 0,193 A
i = (3,365 ± 0,193) A
Ejercicio 2.
Se conoce que la mejor estimación de una medida de tensión es: U=106 V con unos límites
máximos de variación de ± 1V, que siguen en cada caso una distribución de probabilidad
distinta. Calcular la incertidumbre típica tipo B para cada uno de los casos siguientes:
a) distribución normal con el 95%.
b) distribución normal con el 99%.
c) distribución triangular
d) distribución rectangular
Solución:
a) u(U)=1/2 = 0,5 V
b) u(U)=1/2,5 = 0,4 V
c) u(U)=1/ √ 6 = 0,41 V
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d) u(U)=1/ √ 3 = 0,58 V
Ejercicio 3.
Para la realización de una medida de tensión en cc, se han efectuado las mediciones
siguientes:
lectura nº
1
2
3
4
5
Valor (V)
10,11
10,13
10,14
10,21
10,18
Se ha utilizado un voltímetro, cuyas características son las siguientes: tolerancia = ± 0,3 % de
la lectura; y de su certificado de calibración resulta que tiene un 0,5 % de incertidumbre
expandida (k=2).
Calcular el resultado de la medición.
Solución:
La función modelo es V = Vmedia + δ 1 (V ) + δ 2 (V )
Por lo tanto, se tiene un único coeficiente de sensibilidad = 1 (expresión 4.3).
El valor medio de las cinco lecturas es = 10,154 V. También se obtiene de manera inmediata
las cantidades siguientes:
Varianza = 0,00163; Desviación típica experimental: s (vi ) =
1
n −1
∑ (v − v )
5
2
i
i =1
Desviación típica experimental de la media:
s (v ) =
s (v i )
n
=
0,04037
Magnitud
Fuente
Vmedia
Tipo A
δ1(V)
Tolerancia (tipo B)
Certificado de calibración
(tipo B)
δ2V)
5
= 0,1778 V
Valor de la
Valor de la
incertidumbre incertidumbre factor
en (V)
en %
0,04037
1
5
0,3 %
0,030462
1
3
0,5 %
0,05077
½
= 0,04037 V
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Aplicando la ley de propagación de incertidumbres, se calcula la incertidumbre
combinada:
2
2
⎛ 0,05077 ⎞ ⎛ 0,030462 ⎞ ⎛ 0,04037 ⎞
U (V ) = ⎜
⎟⎟ + ⎜⎜
⎟⎟ = 0,0358 V
⎟ + ⎜⎜
2
3 ⎠ ⎝
5 ⎠
⎝
⎠ ⎝
2
La incertidumbre expandida será:
U (V) = 2. 0,0358 = 0,072 V
El valor final buscado será:
V = 10,154 ± 0,072 V
Ejercicio 4.
Se trata de determinar la potencia eléctrica consumida por un juguete (que funciona en cc)
mediante medida de la tensión (V) y de la corriente consumida (I). Se obtienen los resultados
siguientes:
V=12,05 voltios
I=1,005 A
u(V)=1,0%
u(I)=1,0%
La impedancia interna del voltímetro es muy alta de forma
que para los valores de incertidumbre del problema se
puede considerar que I=I´.
Calcular la incertidumbre típica asociada a la medida de
potencia u(P).
Solución:
La función modelo es: P = V . I
V=12,05 voltios
I=1,005 A
u(V)=1,0%= 0,1205voltios u(I)=1,0%= 0,01005 A
P= V. I = 12,11 W
2
2
⎛ ∂P ⎞ 2
⎛ ∂P ⎞ 2
(
)
u 2 ( P) = ⎜
u
V
+
⎟
⎜ ⎟ u (I ) ⇒
⎝ ∂I ⎠
⎝ ∂V ⎠
u 2 ( P) = I 2 u 2 (V ) + V 2 u 2 ( I ) ⇒ sustituyendo
u ( P) = 0,17 W
P = (12,11 ± 0,17) W
I
I´ A
V
V
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Ejercicio 5.
Sobre el esquema del ejercicio anterior, calcular la incertidumbre típica asociada a la medida
de potencia u(P). A tal efecto, se han efectuado las lecturas que se recogen en las tablas
adjuntas, con los aparatos cuyas características se incluyen seguidamente:
Lecturas con el amperímetro:
lectura nº
1
2
3
4
5
6
Lecturas con el voltímetro:
Valor (I)
1,006
1,002
1,004
1,006
1,006
1,004
lectura nº
1
2
3
4
5
Características del amperímetro:
Tolerancia = ± 0,4 %
Incertidumbre de calibración= 0,9 %
Valor (V)
12,07
12,02
12,04
12,07
12,06
Características del voltímetro:
Tolerancia = ± 0,3 %
Incertidumbre de calibración= 0,5 %
Solución.
Medida de intensidad
lectura nº
1
2
3
4
5
6
Valor (A)
1,006
1,002
1,004
1,006
1,006
1,004
Valor medio =
Varianza=
desv típica=
u A=
u tolerancia (0,4 %)=
u calibr (0,9 %)=
Datos
Valor de la incertidumbre
valor %
valor FACTOR Valor en % en valor (A)
0,0016
√n
0,0664
0,0007
0,4
0,0040
√3
0,2309
0,0023
0,9
0,0090
1/2
0,4500
0,0045
u combinada=
0,51
0,005
u expandida=
1,02
0,01025
1,005
2,66667E-06
0,0016
Medida de tensión
lectura nº
1
2
3
4
5
Valor (V)
12,07
12,02
12,04
12,07
12,06
Valor medio =
Varianza=
desv típica=
u A=
u tolerancia (0,3 %)=
u calibr (0,5 %)=
12,05
0,00047
0,0217
Datos
Valor de la incertidumbre
valor % en valor FACTOR Valor en % en valor (V)
0,0217
√n
0,0804
0,00970
0,3
0,0362
√3
0,1732
0,02087
0,5
0,0603
1/2
0,2500
0,03013
u combinada=
0,315
0,03792
u expandida=
0,629
0,07583
“Electrometría (642032)”. Adenda.
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Potencia = P = U I = 12,11 W
⎛ ∂P ⎞ 2
⎛ ∂P ⎞ 2
u 2 ( P) = ⎜
⎟ u (V ) + ⎜ ⎟ u ( I ) ⇒
⎝ ∂I ⎠
⎝ ∂V ⎠
2
2 2
2 2
u ( P) = I u (V ) + V u ( I ) ⇒ sustituyendo
2
2
u ( P) = 0,15 W
P = (12,11 ± 0,15) W
... Y con esto acaba el programa de la asignatura “Electrometría”.