INVEST. DE OPERACIONES libro

Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
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INDICE
UNIVERSIDAD PRIVADA DOMINGO SAVIO
SANTA CRUZ – BOLIVIA
PROGRAMA ANALITICO
IDENTIFICACIÓN
Carreras
:
Ingeniería de Sistemas
Ingeniería Comercial
I.
Materia
:
Investigación de Operaciones
Carga Horaria
Nivel
:
:
60 hrs
Sexto Semestre
Pre­requisitos
:
Estadística II
JUSTIFICACION
Toda organización empresarial día a día se enfrenta a la toma de decisiones (en lo
que se refiere a la administración de sus recursos) para desarrollar cada una de las
actividades que relacionan a la misma con el medio en el que se desenvuelve; es en
este sentido que de la administración óptima de los recursos dependerá el éxito o el
retraso de la organización, por lo que contar con herramientas científicas para
plantear, desarrollar y resolver problemas de optimización permitirá a la organización
una mejor toma de decisiones.
II.
OBJETIVO DE LA MATERIA
Proporcionar al estudiante las herramientas básicas y técnicas necesarias, para el
planteamiento, desarrollo y solución de modelos matemáticos que expresen la
Optimización de los recursos (humanos, materiales y económicos) inherentes a toda
organización empresarial; coadyuvando en la toma decisiones con fundamentos
científicos y racionales.
III.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
El alumno al concluir el curso podrá:
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1
Ciencias Empresariales
a)
Investigación de Operaciones
Formular
situaciones
optimización
y/o
reales
asignación
como
de
modelos
recursos
matemáticos
en
de
organizaciones
empresariales.
b)
Establecer una buena comprensión y adquirir destreza en el desarrollo
de problemas de optimización de recursos.
IV.
c)
Analizar y resolver problemas de optimización, a través de la aplicación
d)
de modelos matemáticos.
Interpretar y diferenciar los distintos tipos de modelos y soluciones.
UNIDADES PROGRAMÁTICAS
UNIDAD 1
INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
Objetivos de la unidad:
­
Analizar los orígenes, precursores y evolución de la Investigación de
­
operaciones (I.O.).
Conceptualizar y clasificar los distintos modelos matemáticos de optimización.
­
Comprender y aplicar la metodología que emplea la I.O. para la solución de
problemas de optimización.
1.1
Introducción
1.2
1.3
Origen de la Investigación de Operaciones (I.O.)
Precursores y estudiosos de la I.O.
1.4
1.5
Noción, Concepto y alcance de la I.O.
Modelos matemáticos de decisión y su clasificación
1.5.1 Concepto de modelo
1.5.2 Clasificación de los modelos matemáticos de decisión
a)
b)
Modelos Determinísticos
Modelos Estocásticos (Probabilísticos)
c)
d)
Modelos Estáticos
Modelos Dinámicos
1.6
Metodología de la Investigación de Operaciones
1.7
Aplicaciones de la I.O.
1.8
Beneficios con la aplicación de la I.O.
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2
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
UNIDAD 2
FORMULACIÓN DEL MODELO DE PROGRACMACIÓN LINEAL
Objetivos de la unidad:
­
Comprender y aplicar el procedimiento para formular un Modelo de
Programación Lineal (M.P.L.)
­
Desarrollar las diferentes formas de presentación de un Modelo de
Programación Lineal (M.P.L.)
2.1
Introducción
2.2
2.3
Concepto de Programación Lineal
Procedimiento para Formular un M.P.L.
2.3.1 Definición de Variables
2.3.2 Función Objetivo
2.3.3 Restricciones Estructurales o Funcionales
2.3.4 Restricciones de No negatividad
2.4
Formas de presentación de un M.P.L.
2.4.1 Formulación Canónica
2.5
2.4.2 Formulación Estándar
Planteamiento de los recursos por unidad de actividad
2.6
Problemas de aplicación
UNIDAD 3
SOLUCIÓN DEL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL
Objetivos de la unidad:
­
­
Analizar, representar é interpretar el método gráfico para resolver un M.P.L.
Analizar la teoría del Método Simplex
­
Aplicar los métodos de resolución Simplex, de las M’s y de las dos fases para
determinar la solución óptima.
3.1
Introducción
3.2
Método Gráfico
3.2.1 Fundamentos y mecánica del método gráfico
3.2.2 Región Factible (Solución Básica Factible)
3.2.3 Solución Óptima
3.3
3.2.4 Casos Especiales
Método Simplex
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3
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
3.3.1 Teoría del Método Simplex
3.3.2 Definición Matricial del problema de P.L.
3.3.3 Planteamiento del Algoritmo Simplex
3.4
Solución Óptima del problema de P.L.
3.4.1 Método Simplex
3.4.2 Método de las M’s
3.4.3 Método de las Dos Fases
3.4.4 Casos Especiales
UNIDAD 4
TEORIA DE LA DUALIDAD
Objetivos de la unidad:
­
Analizar y comprender la Teoría de la Dualidad.
­
Plantear y resolver problemas de P.L. mediante el método Dual­Simplex
4.1
4.2
Introducción
Formulación matemática del problema Dual
4.3
4.4
Comparación Primal ­ Dual
Interpretación Económica del problema Dual
4.5
Solución de problemas duales
4.5.1 Método Dual ­ Simplex
UNIDAD 5
ANALISIS DE SENSIBILIDAD
Objetivos de la unidad:
­
Analizar y aplicar los cambios en los parámetros y determinar como afectan
­
en los resultados finales.
Establecer controles y rangos de validez para las soluciones.
5.1
Introducción
5.2
Cambios Discretos
5.2.1 Cambios en el vector b
5.2.2 Cambios en el vector c
5.2.3 Cambios en los coeficientes tecnológicos
5.3
Cambios Continuos
5.4.1 Cambios continuos en el vector b
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4
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
5.4.2 Cambios continuos en el vector c
UNIDAD 6
MODELO DE TRANSPORTE Y ASIGNACIÓN
Objetivos de la unidad:
­
­
Establecer é identificar los problemas de transporte de recursos.
Analizar, formular y resolver problemas de transporte.
­
Analizar, formular y resolver problemas de asignación de recursos
6.1
Introducción
6.2
Problema de Transporte
6.2.1 El Modelo de Transporte
6.2.2 Algoritmo del Modelo de Transporte
6.2.3 Balanceo de problemas de transporte
6.3
Solución del Modelo de Transporte
6.3.1 Método de la Esquina Noroeste
6.3.2 Método de Aproximación de Vogel
6.3.3 Método del Costo Mínimo
6.4
Problema de Asignación
6.4.1 Formulación del modelo
6.3.2 Solución del modelo (Método Húngaro)
UNIDAD 7
TEORIA DE REDES
Objetivos de la unidad:
­
Establecer é identificar los problemas de optimización mediante la teoría de
redes.
­
Analizar, formular y resolver problemas de redes, aplicando los métodos de
la ruta más corta, el flujo máximo y árbol de extensión mínima.
­
Analizar, formular y resolver problemas de planeamiento de actividades
mediante CPM y PERT
7.1
Introducción
7.2
7.3
Definición de Red
Problema del Árbol de extensión mínima
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5
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
7.4
Problema de la Ruta mas corta
7.5
Problema del Flujo máximo
7.6
Redes de Planeamiento
7.6.1 Proceso de Planificación por red
7.6.2 Representación de la red
7.7
CPM. y PERT
7.7.1 Representación de la red
7.7.2 La Ruta Crítica
7.7.3 Diferencias entre CPM y PERT
V.
METODOLOGÍA DE LA ENSEÑANZA
La metodología que se empleará es de objetivos por unidad, con exposiciones teórico
prácticas; apoyados estos por material visual ( acetatos ) preparado para la
interpretación gráfica de los diferentes conceptos desarrollados en clase. Además la
realización de trabajos de investigación individual y por grupos (desarrollo de ejercicios
prácticos), que permitan una mayor comprensión por parte del alumno.
VI.
SISTEMA DE EVALUACIÓN
Materia tipo C ( Sistema Modular )
VII.
Examen parcial
40 puntos
Actividad Académica
20 puntos
Examen final
TOTAL
40 puntos
100 puntos
BIBLIOGRAFÍA
BASICA:
1.
Taha, Hamdy A., Investigación de Operaciones una introducción (Sexta
edición), Prentice Hall, 1998
2.
Terrazas Pastor, Rafael, Modelos Lineales de Optimización (tercera
edición), Etreus Impresores , 2005
3.
Lieberman Hiller,
Operaciones.
Frederik,
Introducción
a
la
Investigación
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6
de
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
LAS ORIENTACIONES METODOLÓGICAS
1. Introducción.
La asignatura de Investigación de Operaciones se constituye en una de las asignaturas
importantes dentro del ciclo profesional en el ámbito de las ciencias administrativas y de ingeniería,
esto por la relación de coherencia temática que presenta con otras asignaturas de la malla
curricular como Administración, Costos, Producción, Proyectos y específicamente con asignaturas
que sirvan de base para la toma de decisiones en los distintos niveles de las Organizaciones
empresariales privadas y/o estatales.
La resolución de sistemas de inecuaciones y las operaciones con matrices, además de los
conceptos básicos de administración, costos y producción son un requisito básico de conocimiento
previo para la asignatura de Investigación de Operaciones.
El nivel de profundidad y complejidad que abarca el desarrollo del módulo esta enfocado a
desarrollar competencias básicas y complementarias; en cuanto se refiere a la toma de decisiones,
proporcionando al estudiante los elementos científicos para el análisis, solución é interpretación de
problemas de aplicación práctica.
1.1. Objetivos Generales
Desarrollar habilidades cognitivas desde un enfoque científico para la solución de problemas
relacionados con los distintos ámbitos de las organizaciones empresariales, encaminados éstos
a respaldar la toma de decisiones.
Desarrollar las capacidades de abstracción y síntesis por medio de la aplicación del
razonamiento matemático a través de los distintos métodos de solución de problemas,
interpretación de resultados y toma de decisiones.
Los objetivos planteados están orientados a profundizar las siguientes competencias:
· Formular matemáticamente los problemas.
· Resolver problemas planteados matemáticamente.
· Analizar é interpretar los resultados obtenidos.
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7
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
2.­ DESARROLLO.
2.1.­ NÚCLEOS TEMÁTICOS.
PRIMER ENCUENTRO
UNIDAD 1 INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
Objetivos de la unidad:
­
Analizar los orígenes, precursores y evolución de la Investigación de operaciones (I.O.).
­
Conceptualizar y clasificar los distintos modelos matemáticos de optimización.
­
Comprender y aplicar la metodología que emplea la I.O. para la solución de problemas
de optimización.
1.6
Introducción
1.7
1.8
Origen de la Investigación de Operaciones (I.O.)
Precursores y estudiosos de la I.O.
1.9 Noción, Concepto y alcance de la I.O.
1.10 Modelos matemáticos de decisión y su clasificación
1.5.1 Concepto de modelo
1.5.2 Clasificación de los modelos matemáticos de decisión
a)
Modelos Determinísticos
b)
c)
Modelos Estocásticos (Probabilísticos)
Modelos Estáticos
1.6
d)
Modelos Dinámicos
Metodología de la Investigación de Operaciones
1.7
Aplicaciones de la I.O.
1.8
Beneficios con la aplicación de la I.O.
UNIDAD 2:
FORMULACIÓN DEL MODELO DE PROGRACMACIÓN LINEAL
Objetivos de la unidad:
­
Comprender y aplicar el procedimiento para formular un Modelo de Programación
Lineal (M.P.L.)
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8
Ciencias Empresariales
­
Investigación de Operaciones
Desarrollar las diferentes formas de presentación de un Modelo de Programación
Lineal (M.P.L.)
2.5
Introducción
2.6
2.7
Concepto de Programación Lineal
Procedimiento para Formular un M.P.L.
2.3.1 Definición de Variables
2.3.2 Función Objetivo
2.3.3 Restricciones Estructurales o Funcionales
2.3.4 Restricciones de No negatividad
2.8
Formas de presentación de un M.P.L.
2.4.1 Formulación Canónica
2.4.2 Formulación Estándar
2.5
Planteamiento de los recursos por unidad de actividad
2.6
Problemas de aplicación
SÍNTESIS
En el desarrollo de las unidades 1 y 2 que corresponden al primer encuentro se presentan:
· Definiciones y conceptos teóricos relacionados con las bases de la Investigación de
operaciones.
· El análisis de las etapas de formulación de un Modelo de Programación Lineal y sus
diferentes formas de presentación.
· Las aplicaciones prácticas de la formulación de los distintos modelos de programación
lineal, paso a paso.
SEGUNDO ENCUENTRO
UNIDAD 3:
SOLUCIÓN DEL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL
Objetivos de la unidad:
­
­
Analizar, representar é interpretar el método gráfico para resolver un M.P.L.
Analizar la teoría del Método Simplex
­
Aplicar los métodos de resolución Simplex, de las M’s y de las dos fases para determinar
la solución óptima.
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Ciencias Empresariales
3.5
Introducción
3.6
Método Gráfico
Investigación de Operaciones
3.2.1 Fundamentos y mecánica del método gráfico
3.2.2 Región Factible (Solución Básica Factible)
3.2.3 Solución Óptima
3.2.4 Casos Especiales
3.7
Método Simplex
3.3.1 Teoría del Método Simplex
3.3.2 Definición Matricial del problema de P.L.
3.3.3 Planteamiento del Algoritmo Simplex
SINTESIS
En el desarrollo de los temas que corresponde al segundo encuentro presentan:
· Definiciones de las distintas características que presenta los métodos de solución de
M.P.L.
· Los algoritmos de resolución de los distintos métodos (gráfico y analíticos)
· Aplicaciones de los métodos en formulados en las unidades 1 y 2.
TERCER ENCUENTRO
3.8
Solución Óptima del problema de P.L.
3.4.1 Método Simplex
3.4.2 Método de la M
3.4.3 Método de las Dos Fases
3.4.4 Casos Especiales
UNIDAD 4:
TEORIA DE LA DUALIDAD
Objetivos de la unidad:
­
­
Analizar y comprender la Teoría de la Dualidad.
Plantear y resolver problemas de P.L. mediante el método Dual­Simplex
4.1
Introducción
4.2
Formulación matemática del problema Dual
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10
Ciencias Empresariales
4.3
Comparación Primal ­ Dual
4.4
Interpretación Económica del problema Dual
4.5
Solución de problemas duales
4.5.1 Método Dual ­ Simplex
UNIDAD 5:
Investigación de Operaciones
ANALISIS DE SENSIBILIDAD
Objetivos de la unidad:
­
Analizar y aplicar los cambios en los parámetros y determinar como afectan en los
resultados finales.
­
Establecer controles y rangos de validez para las soluciones.
5.1
Introducción
5.2
Cambios Discretos
5.2.1 Cambios en el vector b
5.2.2 Cambios en el vector c
5.3
5.2.3 Cambios en los coeficientes tecnológicos
Cambios Continuos
5.4.1 Cambios continuos en el vector b
5.4.2 Cambios continuos en el vector c
SINTESIS
En el desarrollo de los temas que corresponde al tercer encuentro se presenta:
· La solución de un M.P.L. por medio de los métodos de penalización (método de la M y
métodos de las dos fases)
· La formulación, análisis é interpretación del modelo dual y su interpretación económica.
· El análisis de sensibilidad, variando los recursos para obtener una nueva solución a partir
de la solución ya obtenida.
CUARTO ENCUENTRO
UNIDAD 6:
MODELO DE TRANSPORTE Y ASIGNACIÓN
Objetivos de la unidad:
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Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
­
Establecer é identificar los problemas de transporte de recursos.
­
Analizar, formular y resolver problemas de transporte.
­
Analizar, formular y resolver problemas de asignación de recursos
6.5
6.6
Introducción
Problema de Transporte
6.6.1 El Modelo de Transporte
6.6.2 Algoritmo del Modelo de Transporte
6.6.3 Balanceo de problemas de transporte
6.7
Solución del Modelo de Transporte
6.3.1 Método de la Esquina Noroeste
6.3.2 Método de Aproximación de Vogel
6.3.3 Método del Costo Mínimo
6.8
Problema de Asignación
6.4.1 Formulación del modelo
6.3.2 Solución del modelo (Método Húngaro)
SINTESIS
En el desarrollo de los temas que corresponde al cuarto encuentro se presenta:
· Definición y planteamiento del modelo de transporte y asignación.
·
Aplicación de los métodos (M.E.N., M.C.M. y M.A.V.) para obtener una solución básica
factible inicial.
·
Optimización de la solución básica factible inicial, é interpretación de la solución óptima.
· Aplicaciones del modelo de asignación y transbordo.
METODOLOGIA DE ESTUDIO PARA EL ESTUDIANTE
La sugerencia metodológica de estudio que puede conducirle a una interesante experiencia de
aprendizaje en la asignatura, considera importante los siguientes principios:
1º
Lectura de las definiciones, conceptos y características de los algoritmos presentados en
el texto guía.
2º
Analizar los ejemplos resueltos en el texto guía, mediante la revisión y verificación de los
resultados.
3º
Resolver los ejercicios planteados, que se encuentran a continuación de los ejemplos
resueltos.
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Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
Lectura de conceptos,
definiciones y
características de los
algoritmos
Leer, para estudio
comparativo
TAHA
No
Analizar, revisar y
verificarlos ejemplos
¿Entendió los ejemplos
resueltos?
Si
Resolver tarea
Asistir al encuentro del
día sábado. El docente
realizará las
aclaraciones y
profundizará el tema
NUCLEO TEMATICO PARA ESTUDIO INDEPEDIENTE
A través de interacción por plataforma (foro, tareas y chat) y clases practicas a acordar,
se proporcionará orientación y pautas el estudio de los temas que contempla este núcleo
temático.
UNIDAD 7:
TEORIA DE REDES
Objetivos de la unidad:
­
Establecer é identificar los problemas de optimización mediante la teoría de redes.
­
Analizar, formular y resolver problemas de redes, aplicando los métodos de la ruta
más corta, el flujo máximo y árbol de extensión mínima.
Dirección de Educación a Distancia _UPDS_ Modalidad Cursos por Encuentros
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Ciencias Empresariales
7.8
Investigación de Operaciones
Introducción
7.9 Definición de Red
7.10 Problema del Árbol de extensión mínima
7.11 Problema de la Ruta mas corta
7.12 Problema del Flujo máximo
2.2.­ BIBLIOGRAFÍA COMENTADA
1. El Libro de texto de Investigación de Operaciones, cuyo autor es el Ing. John Walter Soria
Martínez., es el resultado de siete años de interacción y experiencia continua en la enseñanza
de las matemáticas y de la ingeniería, adecuándose a las características heterogéneas de
conocimientos previos de estudiantes que buscan su profesionalización en aulas de nuestra
Universidad.
Presenta ejemplos de fácil comprensión y aplicaciones básicas que van gradualmente
incrementando su complejidad hasta alcanzar un nivel intermedio, que proporcionan al
estudiante bases sólidas que le permitan alcanzar un mayor logro en la comprensión de los
temas.
2. Terrazas Pastor, Rafael, “ Modelos Lineales de Optimización (tercera edición)” , Etreus
Impresores , 2005
Este libro sustenta la base teórica fundamental de la asignatura, proporcionando de manera
clara los esquemas de las características, algoritmos y ejemplos que presentan los distintos
temas considerados en el desarrollo de la asignatura.
3. Taha, Hamdy A., “Investigación de Operaciones una introducción (Sexta edición)” ,
Prentice Hall, 1998
Este libro sustenta también la base teórica fundamental y nos proporciona parte de los ejemplos
que se desarrollan en la asignatura, además de ofrecernos el software “TORA” que nos permite
resolver los ejercicios haciendo uso de la computadora.
2.3.­ MATERIAL EXPLICATIVO
Dirección de Educación a Distancia _UPDS_ Modalidad Cursos por Encuentros
14
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
El texto guía incluye ejercicios de aplicación práctica, con un nivel básico simple que
gradualmente se incrementa su complejidad.
2.4.­EJEMPLIFICACIÓN
·
Una aplicación práctica y relevante de la Investigación de Operaciones, específicamente
de la programación lineal es: Si suponemos que se producen tres productos (A, B y C)
en una fábrica, los cuales proporcionan utilidades diferentes (UA, UB y UC); conocemos
también que los recursos (Materia prima, Mano de obra, maquinaria, etc) disponibles son
limitados. También se tiene información respecto a la demanda máxima o mínima de los
tres productos.
¿Usted como responsable de la empresa debe decidir cuantas unidades de cada
producto (A, B y C) deben producirse para que su utilidad total sea máxima?
Análisis cualitativo del problema
Si bien en este tipo de problemas se pueden tomar decisiones respaldadas por la experiencia,
en muchos de los casos esas decisiones tienen un grado muy elevado de incertidumbre. Debido
a que muchas de nuestras decisiones pueden ocasionar grandes pérdidas, entonces debemos
recurrir a la aplicación de algunas herramientas científicas que nos permitan reducir la
incertidumbre; es en este sentido que la I.O. nos proporciona métodos y técnicas para tomar
decisiones que tengan un menor grado de incertidumbre.
2.5.­ MÉTODOS A UTILIZAR
Encuentro físico
El docente realizará una evaluación diagnóstica cualitativa del núcleo temático correspondiente
al encuentro, por medio de preguntas y respuestas orales.
A través de exposición magistral consolidará los elementos más relevantes del núcleo temático;
así mismo, profundizará las extensiones de los temas tratados.
Planteará ejemplos representativos que contribuyan a la comprensión profunda del tema. La
resolución de dichos ejemplos se realizará en forma grupal cooperativo o individual.
Encuentro virtual
El estudiante y el docente dispondrán de dos sesiones semanales, cada sesión con tiempo de
duración de dos horas para interactuar mediante la plataforma (foro, tarea y chat).
El docente planteará ejemplos representativos para realizar seguimiento del estudio
independiente del estudiante; así mismo, responderá a las consultas de los estudiantes
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15
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
atendiendo dudas referentes al texto guía, las tareas y/o prácticos planteados.
3.­ CONCLUSIONES
La segunda unidad del texto Guía presenta un menú de ejercicios propuestos (práctico 1), las
unidades 3, 4 y 5 son aplicadas en parte del grupo de ejercicios del práctico 1.Los ejercicios
propuestos para la unidad 7, serán complementados por el docente durante el desarrollo del
curso; los cuales deberán ser resueltos en los plazos y términos señalados en plataforma del
sistema.
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16
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
UNIDAD 1
INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
1.1
Intr oducción
El término de Investigación de operaciones muy a menudo es asociado con la aplicación
de técnicas matemáticas que permiten representar y analizar por medio de un modelo,
problemas reales que implican la toma de decisiones.
El campo de estudio de la I.O. (llamada también Ciencia de la Administración),
aparentemente es nuevo, pero éste data desde la segunda guerra mundial; pero su
impacto social es tremendo, contándose actualmente con aplicaciones que van desde el
aspecto laboral hasta el plano criminal, pasando por los sistemas de salud, transporte,
sistemas financieros, sistemas de comercialización, pólución, todos los ámbitos de la
Industria en general, además de otros.
En la actualidad la I.O. no solo se aplica en los ámbitos privados, si no tambien en el
sector de los servicios públicos gubernamentales, tanto en los países desarrollados como
los países en vías de desarrollo; alcanzando una presencia relevante debido al avance
tecnológico en el desarrollo de los computadores, que permiten resolver algoritmos
complejos.
1.2
Or igen de la Investigación de Oper aciones
En el siglo pasado, las organizaciones industriales de U.S.A. y el Reino Unido estaban
constituidas por un número reducido de empleados los que ocupaban espacios muy
pequeños, los cuales eran dirigidos por una sola persona.
Todo este panorama cambia en el periodo de la Primera revolución industrial, la cuál
trajo consigo el desarrollo de la energía, las maquinarias y los equipos. Al mecanizarse
la producción ocurrió la segmentación funcional y geográfica de la administración;
consecuentemente vino la división del trabajo y aparecieron las responsabilidades de
Dirección de Educación a Distancia _UPDS_ Modalidad Cursos por Encuentros
17
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
producción, finanzas, mercado, personal, ingeniería é investigación y desarrollo.
Específicamente se puede señalar que la I.O. surge durante la Segunda Guerra mundial,
con los intentos de asignar de manera óptima los recursos que contaban los frentes a las
operaciones militares. Posteriormente como resultado de la revolución industrial, ha ido
cobrando cada vez mayor importancia, dado el crecimiento y la complejidad de las
nuevas organizaciones.
Desde un principio los científicos y matemáticos se han interesado por desarrollar el
concepto de optimización, intentado encontrar la mejor solución a un determinado
problema; entonces podemos decir que la idea de optimizar proviene de la antigüedad,
donde la riqueza de las naciones ha estado determinada por su capacidad de crear y
utilizar bienes ú objetos que sean útiles al ser humano.
A partir del crecimiento industrial, la gestión y asignación óptima de los recursos a las
actividades se torna mas compleja y difícil; ésta necesidad hace que se encamine la
búsqueda de un instrumento científico más eficiente que apoye el manejo
organizacional y sobre todo que ayude a una eficiente y eficaz toma de decisiones. Es
en este contexto que la investigación de operaciones y el concepto de optimización
comienzan a jugar un rol muy importante en el mundo moderno.
Fue el doctor “George Dantzig” que el año 1947, resumiendo los trabajos de muchos
de sus antecesores, reconoce la estructura matemática de muchos problemas de logística
militar y desarrolla el “método simplex”, lo cuál dio inicio a la programación lineal.
Finalmente en los años 50, la optimización y la investigación de operaciones reciben
otro impulso con el advenimiento de la era espacial, donde los problemas de trayectoria
óptima de los proyectiles, son tratados a través de la programación dinámica y el
principio del máximo; extendiéndose rápidamente su utilización a la ingeniería y
economía.
1.3
Pr ecur sores y estudiosos de la Investigación de Oper aciones
La investigación de operaciones ha ido evolucionando y desarrollándose a través del
tiempo gracias al aporte realizado por muchos estudiosos y científicos que se han
Dirección de Educación a Distancia _UPDS_ Modalidad Cursos por Encuentros
18
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
constituido en los precursores é impulsores de ésta fundamental herramienta. Entre los
precursores más importantes se pueden destacar a:
PRECURSORES Y ESTUDIOSOS DE LA INVESTIGACIÓN DE
OPERACIONES
PRECURSORES
FECHA
APORTE
Lagrange
1736 – 1813 Teoría de los multiplicadores
Euler
1703 – 1783 Cálculo de variaciones
Gauss
1777 – 1855
Taylor
1881
Estudio de tiempos
Gilbreth
1885
Estudio de movimientos
Erlang
1908
Teoría de colas
Brandeis
1910
Teoría de la administración científica
Lanchester
1915
Simulación
Kantarovich
1930 – 1950
Teoría de mínimos cuadrados y
La teoría del control
Estudio sistemático del problema de
Asignación de recursos
Dantzig
1947
Programación lineal
Shannon
1948
Teoría de la información
Bellman
1955
Programación dinámica
Dantzig – Fulkerson – Jonson
1955
Redes de optimización
Gomory – Land – Doig – Everreth
Von Neumann
Programación entera
1974
Teoría de juegos y dualidad
Kuhn – Tucker
Programación no lineal
Rafia
Análisis de decisiones
Arrow – Karlin – Scarf ­ Whitin
Inventarios
Fuente: Modelos Lineales de Optimización (Rafael Terrazas P.)
1.4
Natur aleza y alcance de la Investigación de Oper aciones
Para poder definir la Investigación de Operaciones, es necesario analizar cinco
elementos importantes y esenciales que constituyen la esencia de la I.O., estos son:
Sistemas, Modelos, Optimización, Decisión y Método Científico.
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19
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
ELEMENTOS ESENCIALES DE LA I.O.
SISTEMA
MODELO
METODO
CIENTIFICO
DECISIÓN
OPTIMIZACIÓN
Si relacionamos estos cinco elementos desde un enfoque del Mundo Real y el Mundo
Ideal, donde se hace una abstracción del Sistema, para luego de un proceso de análisis
encontrar soluciones óptimas a los problemas del mundo real y apoyar con la toma de
decisiones; se tiene el siguiente esquema:
RELACION INTEGRAL ENTRE LOS ELEMENTOS
ESENCIALES DE LA I.O.
MUNDO REAL
IDEAL
SISTEMA
(Pr oblema)
Intuición
MUNDO
Por Abstr acción
MODELO
(Matemático)
METODO
CIENTIFICO
Análisis
DECISIÓN
(Acción a tomar )
OPTIMIZACIÓN
(Resultados)
Por Inter pr etación
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20
Ciencias Empresariales
1.5
Investigación de Operaciones
Concepto de la Investigación de Operaciones
La investigación de operaciones (ó Investigación Operativa), es un procedimiento ó
enfoque que permite resolver problemas relacionados con la optimización y la toma de
decisiones en los diferentes campos de aplicación, tales como: la industria, la economía,
el comercio, la política, la educación, la salud, la defensa, etc.
En conclusión la Investigación de oper aciones es la aplicación por grupos
interdisciplinarios del método científico en el análisis y solución de problemas
relacionados con el control de las organizaciones del mundo real (Industria, economía,
comercio, educación, defensa, etc); que deben ser concebidos como sistemas y
entidades complejas que manejas recursos (humanos, materiales, equipos, útiles,
información, etc). Estos sistemas son representados en el mundo ideal por modelos
matemáticos, cuyo análisis y solución busca la optimización de resultados que deben
ser interpretados y comprometidos para ofrecer apoyo a la toma de decisiones.
1.6
Modelos matemáticos de Decisión y su Clasificación
1.6.1
Concepto de Modelo
Se entiende por modelo a la representación simplificada é idealizada, de manera
cualitativa o cuantitativa de un sistema real; de acuerdo a los objetivos de estudio del
sistema.
En esencia un modelo es una imagen de un sistema, y en función a las interrogantes que
se plantean los sistemas pueden presentar diversos modelos.
La I.O. se centra en manejar Modelos Matemáticos que permitan interaccionar variables
(de entrada y salida) mediante relaciones funcionales y/o ecuaciones, de tal forma que la
solución del modelo permita encontrar la combinación óptima de resultados en cuanto a
las variables que intervienen.
1.6.2 Clasificación de los Modelos matemáticos de decisión
La I.O. al centrar su interés en los modelos matemáticos de decisión, considera la
siguiente clasificación de los mismos:
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21
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
a) Modelo Estático: Es aquel que representa a un sistema, de manera que las
variables y relaciones funcionales, no sufren alteraciones debido a cambios
en el tiempo.
b) Modelo Dinámico: Es aquel que representa a un sistema, de manera que el
tiempo juega un rol muy importante.
c) Modelos Deter minísticos: Son aquellos que no incluyen propiedades
relacionadas con fenómenos aleatorios, como ser: La programación lineal, la
programación entera, el modelo de transporte, la teoría de localización o
redes, etc.
d) Modelos Pr obabilísticos: Son aquellos que incluyen variables o relaciones
funcionales que dependen de fenómenos aleatorios, como ser: Las cadenas
de Markov, la teoría de juegos, las líneas de espera, los modelos de
simulación, etc.
Las soluciones de los diferentes modelos pueden ser de tipo analítico o numérico.
CLASIFICACIÓN DE LOS MODELOS
MATEMÁTICOS DE DESICIÓN
Estáticos
Dependencia con el
Tiempo
Dinámicos
Determinísticos
MODELOS
MATEMÁTICOS
Naturaleza de las
Variables
Probabilísticos
Analíticos
Tipo de Solución
Numéricos
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22
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
Fuente: Modelos Lineales de Optimización (Rafael Terrazas P.)
1.7
Metodología de la Investigación de Oper aciones
La metodología que utiliza la I.O. como herramienta para resolver problemas
sistémicos, se basa en la metodología científica (propuesta por Sir Francis Bacon en
1620), que consta de cuatro pasos, los cuales son:
1°
Obser vación de un sistema físico
2°
For mulación de una Hipótesis (modelo matemático)
3°
4°
Pr edicción del comportamiento del sistema (obtención de soluciones)
Experimentación para probar la Validez de las hipótesis
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23
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN
DE OPERACIONES
Definición y For mulación del Pr oblema
Definición de los objetivos, alternativas y
escenarios
Constr ucción del Modelo ( INPUT )
( Modelo matemático )
Es la definición de una función económica
y sus restricciones
OBSERVACIÓN
F ORMULACIÓN
Deducción de la Solución ( OUTPUT )
Hallar la Solución Óptima del modelo
( Por medios analíticos y/o numéricos )
PREDICCIÓN
Validación (Pr ueba) del modelo
Utilizar datos pasados
Permitiendo operar al modelo
Contr oles sobre la Solución
Interpretación de los resultados
(Análisis de Sensibilidad o cambios en parámetros)
Implementación del Modelo
Toma de decisiones para la operación y
control del Modelo ­ Retroalimentación
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24
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
Fuente: Modelos Lineales de Optimización (Rafael Terrazas P.)
1.8
Aplicaciones de algunos modelos de la I.O.
·
Pr ogramación Lineal: Tiene sus aplicaciones en problemas relacionados con la
optimización de mezclas, manufacturación de productos, recursos humanos,
finanzas, mantenimiento de inventarios, marketing, etc.
·
Modelos de Transpor te: Se utiliza cuando un producto determinado se tiene
que distribuir desde puntos de oferta (orígenes) hacia punto de demanda
(destinos), donde se pretende encontrar un plan de distribución óptimo.
·
Modelos de Asignación: Se utiliza para diseñar planes de asignación de
recursos y trabajos óptimos.
·
Teor ía de Redes: Es muy utilizado en la planificación y programación de
proyectos, programación de horarios, etc.
·
Pr ogramación Entera: Es utilizado en el estudio para la localización de
proyectos.
·
Pr ogramación Dinámica: Utilizado en la programación de etapas múltiples.
·
Sistema de Inventar ios: Se utiliza en el manejo y almacenamiento de
productos.
·
Modelos de Simulación: Son utilizados cuando se tiene dificultad para
establecer relaciones analíticas aceptables desde el punto de vista computacional
o cuando el problema es netamente probabilístico.
1.9
Beneficios de la aplicación de un pr oyecto de I.O
·
Incr ementa la posibilidad de tomar mejores decisiones: Generalmente las
organizaciones que no aplican la I.O. en la toma de decisiones, éstas lo hacen de
forma intuitiva, ignorando la mayor parte de las veces las interrelaciones que
existen entre cada uno de los componentes del sistema.
·
Mejora la coor dinación entr e los múltiples componentes de la organización:
La I.O. genera un nivel mayor de ordenamiento; es decir que logra integrar en su
estudio el mecanismo de coordinación, para evitar que los componentes del
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25
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
sistema aisladamente unos de otros.
·
Mejora el contr ol del sistema: Al establecer procedimientos sistemáticos que
supervisan las operaciones que se llevan acabo en la organización.
·
Per mite obtener un sistema mejorado: Al lograr que éste opere con costos
mas bajos, interaccionando de manera mas fluida; a demás de minimizar los
cuellos de botella, logrando una mejor coordinación entre los elementos más
importantes del sistema.
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26
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
UNIDAD 2
FORMULACIÓN DEL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL
2.1
Intr oducción
Uno de los modelos más importantes y de mayor aplicación en la I.O. es la
PROGRAMACIÓN LINEAL; siendo ésta técnica del modelado matemático diseñada
para optimizar el empleo de recursos limitados, presentando como característica
principal el manejo de ecuaciones y relaciones funcionales de tipo lineal.
La Programación lineal tiene su aplicación práctica en cualquier tipo de actividad
comercial y/o de producción, desde la publicidad, planificación de la producción,
finanzas y otros; buscando optimizar los ingresos, utilidades, costos, ventas, etc.
2.2
Concepto de Pr ogr amación Lineal
La P.L. es un modelo de programación matemática que busca lograr la mejor asignación
de los r ecur sos limitados (Restr icciones) hacia actividades que se encuentran en
competencia (Var iables de decisión), de tal forma que se pueda lograr la optimización
(Maximización o minimización) de una función económica (Función objetivo) y
cuyo resultado servirá para apoyar una futura toma de decisión.
2.3
Pr ocedimiento para For mular un M.P.L.
Luego de leer el enunciado del problema las veces que sean necesarias hasta
comprender completamente; se recomienda seguir en general los siguientes pasos para
formular un Modelo de Programación Lineal.
2.3.1 Definición de Var iables
Son la base fundamental del M.P.L., que por lo general son identificados una vez
conocido el objetivo (o el fin) para el cual está diseñado el problema. Es muy
importante tomar en cuenta las unidades correspondientes a cada variable identificada,
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27
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
representándose por x1 , x 2 , x 3 ,..., x n
Nota: En muchos casos, identificar y definir las variables de decisión es la etapa más
difícil; pero una vez que se definen las mismas, el resto del proceso fluye de modo
natural.
2.3.2 Definición de la Función Objetivo
Se debe definir la ecuación económica que debe ser optimizada (maximizar o
minimizar); siendo ésta ecuación la que cuantifica el valor máximo o mínimo, debiendo
estar planteada en función a las variables de decisión identificadas en el sistema. Se
denota como:
F .O . :
Optimizar
Z = c 1 x1 + c 2 x 2 + ... + c n x n
Donde: c n = Coeficiente de costo o ganancia
2.3.3. Restr icciones Estr uctur ales (o funcionales)
Son ecuaciones o desigualdades (=, ≥ ó ≤), que se plantean en función
a la
disponibilidad de cada uno de los recursos limitados con los que cuenta una empresa;
por ejemplo: mano de obra, materia prima, capital de operaciones, sistemas de
inventarios, etc. Las restricciones estructurales se representan de la siguiente manera:
ìa11 x1 ± a12 x2 ± ... ± a1n xn £ = ³ b1 ¬ R1
ïa x ± a x ± ... ± a x £ = ³ b ¬ R
ï
22 2
2n n
2
2
Sujeto a ( s.a .) : í 21 1
M
M
M
M
ï M
ïîa m1 x1 ± a m 2 x2 ± ... ± a mn xn £ = ³ bm ¬ Rm
Donde: a mn
= Cantidades que se consumen en cada actividad
bm
= Disponibilidad o requerimiento de los recursos (lados derechos)
Rm
= Restricciones estructurales o funcionales
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28
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
2.3.4 Restr icciones de No Negatividad
Todas las variables de decisión identificadas en un sistema, no deben asumir valores
negativos en el resultado final; es decir:
No negativos :
x1 , x 2 ,..., x n ³ 0
Ejemplo: Proceso de formulación del Modelo de Programación Lineal
El banco Ganadero dispone de 18 millones de dólares para ofrecer préstamos de riesgo
alto y riesgo medio, cuyos rendimientos son del 14% y 7% respectivamente; por otro
lado se conoce que se debe dedicar al menos 4 millones de dólares a préstamos de
riesgo medio y que el dinero invertido en alto y medio riesgo debe estar a lo sumo a
razón de 4 a 5. Formular un M.P.L. que permita determinar ¿cuánto debe dedicarse a
cada uno de los tipos de préstamos para maximizar el beneficio?
Var iables de decisión
x1 =
Cantidad de dinero dedicada a préstamos de riesgo alto [millones de $us]
x 2 = Cantidad de dinero dedicada a préstamos de riesgo medio [millones de $us]
Función Objetivo
F .O. : Max. z = 0.14 x1 + 0.07 x2 [millones de $us.]
Restr icciones Estr uctur ales
Sujeto a (s.a .) :
ì x1 + x2 £ 18 [ millones de $ us .]
ï
x2 ³ 4 [ millones de $ us .]
í
ï5 x - 4 x £ 0 [ millones de $ us .]
2
î 1
Restr icciones de No Negatividad
No negativos : x1 ; x2 ³ 0
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29
Ciencias Empresariales
2.4
Investigación de Operaciones
Planteamiento de los recur sos por unidad de actividad
Suponiendo que se tiene un número “m” de recursos limitados que se pueden asignar a
un número “n” de actividades. La estructura que muestra el siguiente cuadro,
proporciona los elementos necesarios (datos) para que un M.P.L. maneje la asignación
de recursos por unidad de actividad:
Recur sos
Actividad
1
2
3…….. …n
disponibles
a 1n
... a 2 n
b1
b2
1
2
a 11
a 21
M
M
M
m
a m1
a m 2 ...
Contr ibución a Z por
c1
a 12
a 22
Cantidad de r ecur sos
...
c2
M
M
...
bn
a mn
cn
unidad de actividad
Donde: Recursos disponibles : i = 1, 2 ,..., m
;
Actividades : j = 1 , 2 ,..., n
Z : Función objetivo que debe maximizarse o minimizarse
x j : Nivel de actividad j (Variable de decisión)
c j : Coeficiente costo o ganancia para la actividad j­ésima (parámetro)
a ij : Cantidad del recurso i que consume cada unidad de la actividad j
b i : Cantidad disponible del recurso i para asignar a las actividades j
2.5
For mas de pr esentación de un M.P.L.
2.5.1 For mulación canónica
La formulación canónica tiene las siguientes características:
·
La función objetivo es Maximizar
·
Las restricciones estructurales son del tipo “menor o igual que” ( ≤ )
·
Las variables de decisión son mayores o iguales a cero ( ≥ )
Ejemplo:
F .O. : Max. z = 2 x1 + 3 x2
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30
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
ì x1 + x2 £ 3
î5 x1 - 4 x2 £ 2
S. a . : í
No negativos : x1 ³ 0 ; x2 ³ 0
2.5.2 For mulación Mixta
La formulación mixta tiene las siguientes características:
·
La función objetivo es Maximizar o Minimizar
·
Las restricciones estructurales son “menor o igual” o “mayor o igual” ( ≤ o ≥
)
·
Las variables de decisión son mayores o iguales a cero ( ≥ )
Ejemplo:
F .O. : Min . z = x1 + 4 x2 + 2 x3
ì x1 + 5 x2 + 4 x3 £ 9
î 3 x1 + 2 x2 + x3 ³ 1
S. a . : í
No negativos : x1 ; x2 ; x3 ³ 0
2.5.3
For mulación Estandar
La formulación estandar tiene las siguientes características:
·
La función objetivo es Maximizar o Minimizar
·
Las restricciones estructurales son del tipo “igual que” ( = )
·
Las variables de decisión son mayores o iguales a cero ( ≥ )
·
Los elementos del lado derecho de cada ecuación son positivos
Ejemplo:
F .O. : Max. z = 2 x1 + 3 x2 + 0h1 - 0 s 2
S. a . :
=3
ì x1 + x2 + h1
ï
- s2 = 2
í 5 x1 + 4 x2
ï2 x + x
=4
2
î 1
No negativos : x1 ; x2 ; h1 ; s 2 ³ 0
2.6
EJ ERCICIOS DE FORMULACIÓN
Dirección de Educación a Distancia _UPDS_ Modalidad Cursos por Encuentros
31
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
PROBLEMA DE UN TALLER DE CARPINTERIA
Supongamos que un taller de carpintería dispone de determinadas piezas para la
elaboración de dos productos finales. El taller dispone de 8 “piezas pequeñas” y 6
1)
“piezas grandes”, que son utilizadas para elaborar sillas (usando 2 piezas pequeñas y 1
pieza grande) y mesas (usando 2 piezas de cada tipo). Nos interesa decidir cuántas sillas
y mesas se debe fabricar de modo que se obtenga la máxima utilidad, dado que se tiene
un beneficio neto de $us. 15 por cada silla y de $us. 20 por cada mesa fabricada.
FORMULACIÓN: Primero identificamos cuales son los recursos con los que se
dispone y cuales son las actividades que deben realizar
RECURSOS
Piezas pequeñas
ACTIVIDADES
Fabricar sillas
Piezas grandes
Fabricar mesas
Recursos
Piezas por unidad de Disponobilidad
de piezas
Sillas
Mesas
Piezas pequeñas [ Pza. / u ]
Piezas grandes [ Pza. / u ]
2
1
2
2
Utilidad [ $us. / u ]
15
20
1º
8
6
[ Pzas. ]
[ Pzas. ]
Var iables de decisión
x1 =
Número de sillas a fabricar [ u. ]
x 2 = Número de mesas a fabricar [ u. ]
2º
Función Objetivo
F .O. : Max. z = 15 x1 + 20 x2 [$us.]
é $us. ù é $us. ù
ê u * u ú + ê u * u ú = [$us.]
ë
û ë
û
3º
Restr icciones Estr uctur ales
Dirección de Educación a Distancia _UPDS_ Modalidad Cursos por Encuentros
32
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
Pzas. pequeñas : 2 x1 + 2 x2 £ 8
Pzas. grandes :
x1 + 2 x2 £ 6
é Pzas. ù é Pzas. ù
ê u * u ú + ê u * u ú = [Pzas.]
ë
û ë
û
4º
Restr icciones de No Negatividad
No negativos : x1 ³ 0 ; x2 ³ 0
Resumen:
F .O. : Max. z = 15 x1 + 20 x2 [$us.]
ì 2 x1 + 2 x2 £ 8
î x1 + 2 x2 £ 6
S .a . : í
No negativos : x1 ³ 0 ; x2 ³ 0
2)
PROBLEMA DE MEZCLAS (EMPRESA MONOPOL)
La empresa de pinturas MONOPOL, produce pinturas tanto para interiores como para
exteriores, a partir de dos materias primas M1 y M2. La siguiente tabla proporciona los
datos básicos del problema:
Materia Prima
Toneladas de Materia Prima
Disponibilidad
por tonelada de Pintura para
Máxima Diaria
Exteriores
Interiores
(Toneladas)
M1
6
4
24
M2
1
2
6
5
4
Utilidad por Tonelada
(1000 $us.)
Una encuesta de mercado restringe la demanda máxima diaria de pintura para interiores
a 2 toneladas. Además, la demanda diaria de pintura para interiores no puede exceder a
la pintura para exteriores por más de 1 tonelada. La empresa MONOPOL quiere
determinar la mezcla de productos óptima de pintura para interiores y para exteriores
Dirección de Educación a Distancia _UPDS_ Modalidad Cursos por Encuentros
33
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
que maximice la utilidad total diaria.
FORMULACIÓN: En este caso no es necesario el cuadro de disponibilidad de
recursos y actividades, ya que en el planteamiento del problema se tiene como datos.
RECURSOS
Materia prima M1
ACTIVIDADES
Producir pintura para exteriores
Materia prima M2
Restricciones de Demanda
Producir pintura para interiores
1º
Var iables de decisión
x1 =
Cantidad de pintura para exteriores a producir [ Tn. / día ]
x 2 = Cantidad de pintura para interiores a producir [ Tn. / día ]
2º
Función Objetivo
F .O. : Max. z = 5 x1 + 4 x2
é Miles $us. Tn ù é Miles $us. Tn ù é Miles $us.ù
*
=
ê Tn. * día ú + ê Tn.
día úû êë día úû
ë
û ë
3º
Restr icciones Estr uctur ales
Materia prima M1:
6 x1 + 4 x 2 £ 24
é Tn. M 1 Tn ù é Tn. M 1 Tn ù é Tn. M 1 ù
ê Tn . * día ú + ê Tn . * día ú = ê día ú
ë
û ë
û ë
û
Materia prima M2:
x1 + 2 x 2 £ 6
é Tn. M 2 Tn ù é Tn. M 2 Tn ù é Tn. M 2 ù
ê Tn . * día ú + ê Tn . * día ú = ê día ú
ë
û ë
û ë
û
Relación de Demanda:
Demanda de pintura p/ext.:
4º
x 2 £ x1 + 1
éTn .
ù
día úû
êë
x2 £ 2
é Tn .
ù
êë
día úû
Restr icciones de No Negatividad
No negativos
: x1 ³ 0 ; x 2 ³ 0
Dirección de Educación a Distancia _UPDS_ Modalidad Cursos por Encuentros
34
Ciencias Empresariales
Resumen:
Investigación de Operaciones
F .O. : Max. z = 5 x1 + 4 x2 [Miles $us. / día ]
ì 6 x1 + 4 x 2
ï
ï x1 + 2 x 2
S .a . : í
ï - x1 + x 2
ïî
x2
No negativos
£ 24
£
6
£
1
£
2
: x1 ³ 0 ; x 2 ³ 0
3)
PROBLEMA DE LA DIETA
Una persona debe cumplir una dieta que le exige consumir por semana al menos 1 Kg.
de carbohidratos y ½ Kg. de proteínas. Para ello cuenta con dos tipos de alimentos (A) y
(B) que están constituídos exclusivamente por carbohidratos y proteínas. El alimento
tipo (A) contiene 90% (en peso) de carbohidratos y el resto de proteínas, mientras que el
alimento tipo (B) contiene 60% de carbohidratos y el resto de proteínas; se sabe que el
alimento tipo (A) cuesta 20 $us. / Kg. y el alimento tipo (B) 40 $us. / Kg.
¿Qué cantidad de cada alimento deberá consumir la persona para que el costo de su
dieta sea mínimo?
NUTRIENTES
Carbohidratos
Proteínas
Nutrientes
ALIMENTOS
Tipo (A)
Tipo (B)
Kg. de alimentos
Requerimiento
Mínimo
Tipo (A) Tipo (B)
Carbohidratos [ Kg. carb. / Kg. ]
0.9
0.6
1
Proteínas [ Kg. prot. / Kg. ]
0.1
0.4
0.5 [ Kg. prot. / sem. ]
20
40
Costo [ $us. / Kg. ]
1º
[ Kg. carb. / sem. ]
Var iables de decisión
x1 =
Cantidad de alimento tipo (A) a consumir [ Kg. / sem. ]
x 2 = Cantidad de alimento tipo (B) a consumir [ Kg. / sem. ]
2º
Función Objetivo
F .O. : Min. z = 20 x1 + 40 x2 [$us. / sem.]
Dirección de Educación a Distancia _UPDS_ Modalidad Cursos por Encuentros
35
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
é $us. Kg . ù é $us. Kg . ù é $us. ù
*
*
ê
ú+ê
ú=ê
ú
ë Kg . sem. û ë Kg . sem. û ë sem. û
3º
Restr icciones Estr uctur ales
Carbohidratos :
0.9 x1 + 0.6 x2 ³ 1
é Kg.carb. Kg . ù é Kg.carb. Kg . ù é Kg.carb. ù
*
+
*
=
ê
sem. úû êë Kg .
sem. úû êë sem. úû
ë Kg .
Proteínas
:
0.1 x1 + 0.4 x2 ³ 0.5
é Kg. prot. Kg. ù é Kg. prot. Kg. ù é Kg. prot. ù
*
+
*
=
ê
sem. úû êë Kg .
sem. úû êë sem. úû
ë Kg.
4º
Restr icciones de No Negatividad
No negativos : x1 ³ 0 ; x2 ³ 0
Resumen:
F .O. : Min . z = 20 x1 + 40 x2 [$us. / sem.]
ì 0 . 9 x1 + 0 .6 x2 ³ 1
î 0 . 1 x1 + 0 .4 x2 ³ 0 . 5
S .a . : í
No negativos : x1 ³ 0 ; x 2 ³ 0
4)
PROBLEMA DE INVERSIONES FINANCIERAS (BANCO BISA)
El Banco BISA tiene un capital de 500000 $us. para invertir en dos tipos de acciones A
y B. El tipo A tiene bastante riesgo siendo el interés anual del 10% y el tipo B es
bastante seguro con un interés anual del 7%. La política de inversiones del banco
considera invertir como máximo 300000 $us. en las acciones con bastante riesgo (tipo
A) y como mínimo 100000 $us. en las acciones mas seguras (tipo B), además por
regulaciones del mercado el banco debe invertir en las acciones tipo A por lo menos
tanto como en las del tipo B. ¿Usted como gerente comercial de valores del banco
deberá proponer al directorio cómo invertir los 500000 $us. para maximizar sus
intereses anuales?
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36
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
CONDICIONES DE INVERSION
Inversión de Capital
Tipo (A)
Políticas de inversión
Tipo (B)
Inversión en acciones
Condiciones de
Inversión en $us.
1º
INVERSION EN ACCIONES
Límites de
Inversión en $us.
Tipo (A)
Tipo (B)
Inversión de Capital
1
1
500000
Inv. Acciones Tipo (A)
1
―
300000
Inv. Acciones Tipo (B)
―
1
100000
Interés anual [ % ]
10
7
Var iables de decisión
x1 =
Monto de dinero a invertir en acciones tipo (A) [ $us.]
x 2 = Monto de dinero a invertir en acciones tipo (B) [ $us.]
2º
Función Objetivo
F .O. : Max. z = 0.1x1 + 0.07 x2 [ $us.]
3º
Restr icciones Estr uctur ales
:
x1 + x2 £ 500000 [$us.]
Inv. Acciones Tipo (A):
x1 £ 300000 [$us.]
Inv. Acciones Tipo (B):
x2 ³ 100000 [$us.]
Relacion de inversión :
x1 ³ x2
Inversión de capital
4º
[$us.]
Restr icciones de No Negatividad
No negativos : x1 ³ 0 ; x2 ³ 0
Resumen:
F .O. : Max. z = 0 .1x1 + 0.07 x2 [$us.]
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37
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
ì x1 + x2 £ 500000
ï
£ 300000
ïx
S .a . : í 1
x2 ³ 100000
ï
ïî x1 - x2 ³ 0
No negativos : x1 ³ 0 ; x 2 ³ 0
2.7
EJ ERCICIOS PROPUESTOS (PRACTICO Nº 1)
1. La empresa de confecciones “IMAGEN” produce camisas y trajes de vestir para
varones. Cada camisa requiere 2 hrs. Hombre y 1 hora de maquinado; cada traje
requiere 10 hrs. Hombre y 4 horas de maquinado. Para la confección de una camisa
se requiere 1 metro de tela y para un traje 3 metros de tela. Ambas telas son
diferentes. Se dispone semanalmente de 80 metros de tela para camisa y 90 metros
de tela para trajes. Se trabaja 5 días a la semana con 10 operarios y 4 maquinas de
costura. Las utilidades son: 20 Bs. / camisa y 80 Bs. / traje. Cual es el mejor plan de
producción para la empresa.
2. Un agropecuario tiene 20 hectáreas de tierra en el norte que piensa sembrar la
próxima temporada. No ha podido decidir que sembrar porque tiene limitaciones con
el dinero y el personal. Para sembrar arroz los gastos son 4500 Bs./ha. y se requiere
80 hrs.– hombre/ha.; para sembrar maíz se requiere 3800 Bs./ha. y 85 hrs. – hombre /
ha. el agropecuario cuenta con 85000 Bs. para cubrir los gastos de producción y 3
personas que trabajan durante 60 días hábiles, 10 hrs. diarias. Por cada hectárea de
maíz se gana 5000 Bs. y por cada ha. de arroz se gana 5800 Bs. Formular un modelo
para decidir el uso de la tierra y los recursos.
3. Un nutricionista desea controlar la cantidad de grasa de los alimentos que consumen
los enfermos en el “HOSPITAL J APONES”. Todas las comidas deben tener 5 % o
menos de grasa. El plato del día consiste en arroz y pollo. El pollo tiene 12 % de
grasa y el arroz 1 %. Cada enfermo consume un total de 400 gramos de alimento en
el almuerzo. El kilo de pollo preparado cuesta 11 Bs. y el arroz preparado con
verduras cuesta 12 Bs. Determinar la cantidad optima de arroz y pollo que debe
servirse a cada enfermo a un costo mínimo.
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38
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
4. Un agricultor posee 200 cerdos que consumen 90 libras de comida especial todo los
días. El alimento se prepara con las siguientes composiciones:
ALIMENTO
CALCIO
PROTEINA
FIBRA
COSTO ($US. / LB.)
Maíz
0.001
0.09
0.02
0.20
Harina de Soya (Lb.)
0.002
0.60
0.06
0.60
Determine la mezcla de alimento con el mínimo costo por día, si los requisitos
diarios de alimento para los cerdos son:
a) Cuando menos 0.1 % de calcio
b) Por lo menos 30 % de proteínas
c) Máximo 5 % de fibra
5. La empresa de confecciones “ROMY” fabrica ropa industrial: camisas y overoles
para las diferentes empresas. Cada camisa requiere 2 hrs.–hombre y cada overol
requieren 10 hrs.– hombre. Para la confección de una camisa se requiere 1 metro de
tela y para un overol 3 metros de tela. Ambas telas son diferentes. Se dispone
semanalmente de 120 metros de tela para camisas y 300 metros de tela para overoles.
Se trabaja 5 días a la semana con 10 operarios. Las utilidades son de 20 Bs. / camisa
y 80 Bs. / overol. ¿Cuál es el mejor plan de producción para la empresa?.
6. Muebles “HURTADO” fabrica 3 clases de sillones cada una requiere una técnica
diferente de fabricación. El sillón de lujo requiere 35 hrs. de mano de obra, 9 hrs. de
maquinado y produce una utilidad de 25 $us.; el sillón estándar requiere 30 hrs. de
mano de obra, 7 hrs. de maquinado y produce una utilidad de 20 $us.; el sillón
económico requiere 25 hrs. de mano de obra, 5 horas de maquinado y produce una
utilidad de 12 $us. Se dispone 1800 hrs. de mano de obra y 450 hrs. de maquinado
cada mes. La demanda mensual llega máximo 20 und. para los modelos de lujo y 25
para los modelos estándar. Formule un modelo para determinar el mejor plan de
producción.
7. La empresa “K­RROS” fabrica dos modelos de carritos a motor para niños,
utilizando como materia prima el hierro y la madera, para lo cual se destina 28 hrs.
en fabricar una und. del modelo estándar y 16 hrs. para el modelo sencillo.
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39
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
Actualmente se tiene disponible 7200 hrs. para la producción de estos modelos.
Existe un pedido de 16 und. del modelo sencillo. En el siguiente cuadro se detalla los
insumos e ingresos para cada modelo:
MODELO
HIERRO
MADERA REQUISITOS
(Lb.)
(m 2)
DE MOTOR
Sencillo
950
65
Estándar
4000
645300
Disponibilidad
COSTO
PRECIO
UNITARIO DE VENTA
(Bs.)
(Bs.)
1
1010
1460
120
1
1205
2100
22790
450
Elaborar un modelo de Programación Lineal para determinar el mejor plan de
producción.
8. La compañía de investigaciones “EL PAHUICHI” tiene un capital de 10 millones
de $us. para invertir. El objetivo principal consiste en maximizar el retorno de la
inversión para el próximo año. Existen 4 alternativas de inversión según el cuadro.
Se ha establecido que por lo menos el 30 % deberá ser colocado en las alternativas 1
y 2, no más del 40 % en las alternativas 3 y 4. Se debe invertir todo los 10 millones
disponibles. Formular un modelo de Programación Lineal que permita estimar la
cantidad de dinero a invertir en cada alternativa.
N°
ALTERNATIVA DE
INVERSION
RETORNO
ESPERADO (% )
INVERSION MAXIMA
(MILLONES $US.)
1
Vivienda tipo Chalet
6
7
2
Vivienda Semi Lujo
8
5
3
Vivienda Sencilla
9
4
4
Lotes
12
2
9. María requiere regular su alineación, actualmente dispone los siguientes alimentos
para consumo: torta de chocolate, helado de chocolate, soda coca­cola, empanada de
queso. Cada porción de torta cuesta 3 Bs., el vaso de helado cuesta 4 Bs., cada
botella de soda personal cuesta 3 Bs. y cada empanada cuesta 1 Bs. Cada día debe
ingerir por lo menos 50 calorías, 6 onzas de chocolate, 12 onzas de azúcar y 8 onzas
de grasa. El contenido nutritivo por unidad de cada alimento se muestra en la
siguiente tabla:
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40
Ciencias Empresariales
ALIMENTO
Investigación de Operaciones
CALORIAS
CHOCOLATE
AZUCAR
GRASA
(ONZAS)
(ONZAS)
(ONZAS)
Torta
40
3
4
2
Helado
20
2
4
2
Soda
15
0
3
0
Empanada
50
0
2
3
Formular un modelo lineal que permita responder a los requerimientos
alimenticios diarios a un costo mínimo.
10. El gerente de personal de la empresa de seguridad “LIDER” debe elaborar un
programa de vigilancia de modo que se satisfagan los requerimientos que se
muestran en el Cuadro Nº 1. Los guardias trabajan turnos de 8 hrs., todos los días hay
6 turnos. En él Cuadro Nº 2, se dan los horarios de entrada y salida de cada turno. El
gerente de personal de dicha empresa quiere determinar cuantos guardias deberán
trabajar en cada turno con el objeto de minimizar él número total de guardias que
satisfaga los requerimientos de personal.
CUADRO Nº 1
CUADRO Nº 2
REQUERIMIENTO DE PERSONAL
TURNOS
PROGRAMACION
DE
N°
TIEMPO
MINIMO
DE
GUARDIAS
Media noche → 4 am.
5
4 am.
→ 8 am.
7
8 am.
Medio día
15
Medio día
→ 4 pm.
7
4 pm.
→ 8 pm.
12
8 pm.
Media noche
9
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41
TURNO
Ciencias Empresariales
UNIDAD 3
MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE UN
HORA
ENTRADA – SALIDA
1
Investigación
Media
noche de
→Operaciones
8 am.
2
4 am.
Medio día
3
8 am.
→ 4 pm.
4
Medio día
→ 8 pm.
5
4 pm.
Media noche
6
8 pm.
→ 4 am.
M.P.L.
El objetivo de esta unidad es estudiar los métodos de solución y las propiedades que son
propias de la solución de un M.P.L.; que pueden determinarse de forma gráfica y/o
analítica. Existen varios métodos que permiten llegar a la solución de un problema de
programación lineal, entre los cuales tenemos a los métodos:
a)
Método Gráfico
b)
Método Simplex
c)
Métodos de Penalización
a)
ALGORITMO DEL MÉTODO GRÁFICO
Es uno de los métodos más simples, que tiene 2 características especiales:
i)
Solo sirve para resolver problemas en dos dimensiones (a lo sumo tres).
ii)
La aplicación y solución mediante este método, permite importantes
interpretaciones de tipo geométrico y conceptual en relación a la teoría de la
P.L.
PROCEDIMIENTO:
Paso 1:
M.P.L.
Graficar en un sistema de coordenadas cada una de las restricciones del
Paso 2:
Reemplazar un punto por encima y por debajo de la recta, para
determinar el sentido que indica la desigualdad.
Paso 3:
La intersección de todas las rectas y el dominio de las restricciones con el
primer cuadrante del sistema de coordenadas, daran lugar a la formación de
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42
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
un conjunto o espacio solución denominado REGIÓN F ACTIBLE
Paso 4: Graficar la F UNCIÓN OBJ ETIVO, reemplazando con un valor arbitrario
la función objetivo Z
Paso 5: Para hallar la Solución Óptima, se desplazará paralelamente la recta Z
obtenida en el paso 4, hasta intersectar con un punto de intersección de las
restricciones; esto según:
a) Si se trata de Maximizar, se debe encontrar el punto más alejado del
origen.
b) Si se trata de Minimizar , se debe encontrar el punto más cercano al
origen .
Paso 6: Interpretar los resultados obtenidos
a.1)
INTERPRETACION DE LA SOLUCIÓN GRÁFICA
Solución Óptima: Son los valores de las variables y el valor de la función
objetivo
Restr icciones Activas: Son aquellas que pasan por el punto óptimo y hacen uso
total de los recursos
Restr icciones Inactivas: Son aquellas que no pasan por el punto óptimo, pero sí
delimitan la región factible y hacen uso parcial de los recursos.
Restr icciones Redundantes: Son aquellas que no delimitan la región factible, por
lo tanto no influyen en la solución óptima.
EJ EMPLOS:
1) Aplicar el algoritmo del método gráfico para resolver el problema del taller de
carpintería, cuyo modelo de programación lineal formulado es:
F .O. : Max. z = 15 x1 + 20 x2 [$us.]
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43
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
ì 2 x1 + 2 x2 £ 8 K R1
î x1 + 2 x2 £ 6 K R2
S .a . : í
Pzas . pequeñas
Pzas . grandes
No negativos : x1 ³ 0 ; x2 ³ 0
Donde: x1 =
Número de sillas a fabricar [ u. ]
x 2 = Número de mesas a fabricar [ u. ]
SOLUCIÓN GRÁFICA
·
Primeramente las restricciones (desigualdades) las representamos como igualdades
solo para poder encontrar los puntos que nos permitan trazar las rectas que
representan a las restricciones en un sistema cartesiano.
R1 : 2 x1 + 2 x2 = 8
R2 : x1 + 2 x2 = 6
x1 = 0 Þ x2 = 4 ® P1 ( 0 , 4 )
x2 = 0 Þ x1 = 4 ® P2 ( 4, 0 )
x1 = 0 Þ x2 = 3 ® P1 ( 0 ,3)
x2 = 0 Þ x1 = 6 ® P2 ( 6, 0 )
·
Luego verificamos la solución de cada una de las desigualdades para delimitar la
Región Factible.
R1 : 2 x1 + 2 x2 £ 8
R2 : x1 + 2 x2 £ 6
SI
( 0 ,5 ) Þ 0 + 10 £ 8 NO
( 0 ,0 ) Þ 0 + 0 £ 8
SI
( 0 , 4 ) Þ 0 + 8 £ 6 NO
( 0 ,0 ) Þ 0 + 0 £ 6
·
Una vez ubicada la región factible, asignamos un valor arbitrario a “z” en la función
objetivo para luego trazar la recta que representa a dicha función, con la cual
encontraremos el punto óptimo.
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44
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
En Max. z = 15 x1 + 20 x2
Si z = 30 Þ 15 x1 + 20 x2 = 30
x1 = 0 Þ x2 = 1 .5 ® P1 ( 0 ,1 .5 )
x2 = 0 Þ x1 = 2 ® P2 ( 2 ,0 )
Solución óptima:
x1 = 2 [u .] sillas
x2 = 2 [u .] mesas
R / en z = 15 x1 + 20 x2
z = 15( 2) + 20( 2)
z = 70 [$us.]
Tipos de r estr icciones:
·
R1 y R2
Son restricciones activas, ya que ambas pasan por el punto
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45
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
óptimo.
·
No tiene restricciones inactivas ni redundantes.
El taller de carpintería debe fabricar 2 sillas y 2 mesas,
Inter pr etación:
obteniendo una utilidad máxima de 70 $us., haciendo uso total de sus recursos.
2)
Resuelva el problema de Pinturas Monopol por el método gráfico y analice sus
resultados.
Siendo: x1 =
Cantidad de pintura para exteriores a producir [ Tn. / día ]
x 2 = Cantidad de pintura para interiores a producir [ Tn. / día ]
F .O. : Max. z = 5 x1 + 4 x2 [Miles $us. / día ]
ì 6 x1 + 4 x 2
ï
ï x1 + 2 x 2
S .a . : í
ï - x1 + x 2
ïî
x2
No negativos
£ 24 K R 1
£
6 K R2
£
1 K R3
£
2 K R4
M1
M 2
R . Demanda
Demanda
Ext .
: x1 ³ 0 ; x 2 ³ 0
SOLUCIÓN GRÁFICA
R1 : 6 x1 + 4 x2 = 24
R2 : x1 + 2 x2 = 6
x1 = 0 Þ x2 = 6 ® P1 ( 0 ,6 )
x2 = 0 Þ x1 = 4 ® P2 ( 4, 0 )
x1 = 0 Þ x2 = 3 ® P1 ( 0 ,3)
x2 = 0 Þ x1 = 6 ® P2 ( 6, 0 )
R3 : - x1 + x2 = 1
R4 : x2 = 2
x1 = 0 Þ x2 = 1 ® P1 ( 0,1)
x2 = 0 Þ x1 = - 1 ® P2 ( - 1, 0 )
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46
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
Verificando las soluciones individuales:
R1 : 6 x1 + 4 x2 £ 24
R2 : x1 + 2 x2 £ 6
SI
(5,0 ) Þ 30 + 0 £ 24 NO
( 0 ,0 ) Þ 0 + 0 £ 24
SI
( 7 ,0 ) Þ 7 + 0 £ 6 NO
( 0 ,0 ) Þ 0 + 0 £ 6
R3 : - x1 + x2 £ 1
SI
( 0 , 2 ) Þ - 0 + 2 £ 1 NO
( 0 ,0 ) Þ - 0 + 0 £ 1
Función Objetivo:
R4 : x 2 £ 2
SI
( 0 , 4 ) Þ 4 £ 2 NO
( 0 ,0 ) Þ 0 £ 2
En Max. z = 5 x1 + 4 x2
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47
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
Si z = 20 Þ 5 x1 + 4 x2 = 20
x1 = 0 Þ x2 = 5 ® P1 ( 0 ,5 )
x2 = 0 Þ x1 = 4 ® P2 ( 4, 0 )
Solución óptima:
x1 = 3 [Tn. / día ] Pintura exterior
x2 = 1.5 [Tn. / día ] Pintura interior
R / en z = 5 x1 + 4 x2
z = 5(3) + 4 (1.5)
z = 21 [ Miles $us. / día ]
Tipos de r estr icciones:
·
R1 y R2
Son restricciones activas, ya que ambas pasan por el punto
óptimo.
·
R3 y R4
Son restricciones inactivas, ya que ambas delimitan la región
factible, pero no pasan por el punto óptimo.
·
No tiene restricciones redundantes.
Inter pr etación:
La empresa de Pinturas Monopol deberá producir 3
Tn./día de pintura para exteriores y 1.5 Tn./día de pintura para interiores,
obteniendo de esta manera una utilidad máxima de 21000 $us./día.; haciendo uso
total de sus materias primas M1 , M2 y no cubriendo totalmente con las
restricciones de demanda.
3)
PROBLEMA DE LA DIETA
x1 =
Cantidad de alimento tipo (A) a consumir [ Kg. / sem. ]
x 2 = Cantidad de alimento tipo (B) a consumir [ Kg. / sem. ]
F .O. : Min. z = 20 x1 + 40 x2 [$us. / sem.]
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48
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
ì 0 . 9 x1 + 0 .6 x2 ³ 1
î 0 . 1 x1 + 0 .4 x2 ³ 0 . 5
S .a . : í
No negativos: x1 ³ 0 ; x2 ³ 0
Solución óptima:
x1 = 0.33[Kg. / sem.] Alimento
TipoA
x2 =1.17[Kg. / sem.] Alimento
TipoB
R / en z = 20 x1 + 40 x2
z = 20(0.33) + 40 (1 .17 )
z » 53.4 [$us. / sem.]
Tipos de r estr icciones:
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49
Ciencias Empresariales
R1 y R2
·
Investigación de Operaciones
Son restricciones activas, ya que ambas pasan por el punto
óptimo.
No tiene restricciones inactivas ni restricciones redundantes.
·
Inter pr etación:
La persona para cumplir con su dieta deberá consumir
0.33 Kg. / sem. del alimento Tipo (A) y 1.17 Kg. / sem. del alimento Tipo (B),
con lo que alcanzará un costo mínimo de 53.4 $us. / sem. , logrando satisfacer sus
necesidades mínimas de carbohidratos y proteínas.
a.2)
TIPOS DE SOLUCIÓN GRÁFICA DE UN MODELO DE P.L.
Los M.P.L. con dos variables suelen clasificarse según el tipo de solución gráfica
que presenta, en:
· FACTIBLES: Si existe el conjunto de soluciones o valores que satisfacen las
restricciones. Estas a su vez pueden ser:
x2
acotada
x1
x1
Solución única
·
x2
x2
x1
Solución múltiple
F.O.
F.O.
Solución no
F.O.
NO FACTIBLES: Cuando no existe el conjunto de soluciones que cumplen
las restricciones; es decir que algunas restricciones son inconsistentes
x2
b)
MÉTODO SIMPLEX
x1
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50
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
Es un método analítico (o algebraico) que utiliza las operaciones con filas (desarrolladas
en matrices) para obtener la solución a los modelos de programación lineal.
Previamente a desarrollar el algoritmo del método simplex, debemos conocer algunas
reglas básicas de transformación.
b.1) REGLAS DE TRANSFORMACIÓN DE UN M.P.L.
Antes de desarrollar el algoritmo del método simplex, debemos considerar las siguientes
reglas de transformación para las restricciones que considera un M.P.L.:
1°
Para convertir las inecuaciones (desigualdades) en igualdades, se deben añadir
variables de compensación, pudiendo ser éstas:
i) De Holgur a ( h i ): Se utilizan cuando las restricciones son del tipo
(£)
ii) Supér fluas o de exceso ( Si ): Se utilizan cuando las restricciones son del tipo
(³)
Ejemplo:
Si a 11 x1 + a 12 x 2 £ b1 ,
a 11 x1 + a 12 x 2 +
h1
2°
1
se
transforma
como:
entonces
se
transforma
como:
= b1
Si a 11 x1 + a 12 x 2 ³ b1 ,
a 11 x1 + a 12 x 2 - S
entonces
= b1
Si las restricciones son del tipo ( = ), entonces ésta equivale a dos restricciones del
tipo ( £ ) y
(³)
Ejemplo:
Si
a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 ,
entonces
se
transforma
como:
ì a 11 x 1 + a 12 x 2 £ b 1
í
î a 11 x 1 + a 12 x 2 ³ b 1
O
también
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como:
51
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
ì a 11 x 1 + a 12 x 2 £ b 1
í
î - a 11 x1 - a 12 x 2 £ - b 1
3°
La Función Objetivo, se transforma según las siguientes equivalencias:
Max Z º Min (- Z )
Max (- Z ) º Min Z
Ejemplo:
Exprese en sus formas Canónica y Estandar el M.P.L. siguiente:
F .O. : Min. z = 6 x1 - 2 x2 + 3 x3
ì x1 + x2 + x3 £ 15
ï
S .a . : í 2 x1
- x3 ³ 12
ï
x2
= 2
î
No negativos : x1 ³ 0 ; x2 ³ 0 ; x3 ³ 0
b.2)
ALGORITMO DEL MÉTODO SIMPLEX
Es un algoritmo que aplica un procedimiento iterativo de solución, de forma sistemática
considerando tres fases fundamentales:
i)
FASE INICIAL
Paso 1: Colocar el Modelo de Programación Lineal en su forma estandar.
Paso 2: Plantear la tabla inicial o solución inicial (iteración 0)
ii)
FASE DE CONTROL
Paso 3: Verificar si los coeficientes de la F.O. son todos positivos.
·
Si son positivos, entonces pare (es la solución)
·
Si no, vaya al siguiente paso.
Paso 4: Realizar un cambio de base, aplicando la “regla de entrada y salida de la
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52
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
base” (encontrar el pivote)
·
Regla de entr ada: Se elige como variable que entra a la base, aquella
variable nó básica que tenga el valor mas negativo en la fila de “Z”
(se obtiene la columna pivote)
·
Regla de salida: Se elige la variable básica que tenga menor radio
( r ), llamándose ésta, fila pivote.
·
Para el cálculo de ( r ), se tiene la siguiente expresión:
r =
valores
Lados _ Derechos
_ de _ la _ columna
_ pivote
Nota: Se debe ignorar aquellos valores de la columna pivote que son “negativos o
cero”
iii)
FASE ITERATIVA
Paso 5: Aplicar operaciones elementales de fila y columna, para obtener ceros en
la columna pivote (aplicar Gauss­Jordan)
Paso 6: Volver a la fase de control
Ejemplo:
Aplicando el algoritmo simplex, determine la solución del M.P.L. siguiente:
F .O. : Max. z = 5 x1 + x2
ì x1 + x2 £ 5 K R1
ï
S .a . : í x1
£ 3 K R2
ï x + 3 x £ 12 K R
2
3
î 1
No negativos: x1 ³ 0 ; x2 ³ 0
SOLUCIÓN:
PASO 1:
F .O. : Max. z = 5 x1 + x2 + 0h1 + 0h2 + 0h3
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53
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
= 5
ì x1 + x2 + h1
ï
S .a . : í x1
+ h2
= 3
ïx + 3x
+ h3 = 12
2
î 1
No negativos : x1 ; x2 ; h1 ; h2 ; h3 ³ 0
PASO 2:
Iteración 0:
F .O. : Max. z - 5 x1 - x2 - 0h1 - 0h2 - 0h3 = 0
C.P.
x1
x2
h1
h2
h3
L.D.
ρ
z
­5
­1
0
0
0
0
N.S.C.
h1
1
1
1
0
0
5
5/1=5
h2
1
0
0
1
0
3
3/1=3
h3
1
3
0
0
1
12
12/1=12
F.P.
NOTA: Los pasos 3 y 4 son realizados en la misma tabla de iteración 0
PASO 5:
Iteración 1:
x1
x2
h1
h2
h3
L.D.
ρ
z
0
­1
0
5
0
15
N.S.C.
h1
0
1
1
­1
0
2
2/1=2
x1
1
0
0
1
0
3
N.S.C.
h3
0
3
0
­1
1
9
9/3=3
NOTA: El paso 6 se realiza en la misma tabla de iteración 1
Iteración 2:
x1
x2
h1
h2
h3
L.D.
z
0
0
1
4
0
17
x2
0
1
1
­1
0
2
x1
1
0
0
1
0
3
h3
0
0
­3
2
1
3
ρ
Dirección de Educación a Distancia _UPDS_ Modalidad Cursos por Encuentros
54
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
Como todos los valores de la fila z son positivos (caso maximizar), entonces se encontró la
solución é interpretamos dicha solución.
SOLUCIÓN BÁSICA
SOLUCIÓN ÓPTIMA
SOLUCIÓN NO BÁSICA
x1 = 3 [u ]
x2 = 2 [u ]
h3 = 3 [u ] Abundante
h1 = 0 ü
ý Escasos
h2 = 0 þ
z = 17 [u .m.]
Inter pr etación:
Se deben producir 3 unidades de
x1
y 2 unidades de
x2 ,
obteniéndose un beneficio de 17 unidades monetarias.
c)
MÉTODOS DE PENALIZACIÓN
Para resolver problemas que incluyen otros tipos de restricciones como ( ≥ y/o = ), se
emplean los llamados Métodos de Penalización, que consideran las características
siguientes:
i)
Para las restricciones ( ≥ y/o = ) se añaden variables artificiales (que sirven
como artificio matemático) que facilitan la solución de problemas de este
tipo.
ii)
Generalmente si el problema tiene solución factible, éstas se convierten en
variables no básicas con valor final igual a cero.
iii)
c.1)
La iteración cero o paso inicial debe ser corregida en función de las
modificaciones que se hagan en la función objetivo.
Método de la “ M ”: Este
método
introduce
variables
artificiales
que
son
penalizadas en la función objetivo, para obligarlas a un nivel cero durante el curso
de las iteraciones simplex. El valor que se considera como “M” es un valor positivo
suficientemente grande.
Pr ocedimiento: El método de la “M” utiliza el siguiente procedimiento:
Dirección de Educación a Distancia _UPDS_ Modalidad Cursos por Encuentros
55
Ciencias Empresariales
Paso 1:
Paso 2:
Investigación de Operaciones
Colocar el M.P.L. en su forma estandar , añadiendo:
·
Variables de holgura ( h i ) a las restricciones del tipo ≤
·
Variables artificiales ( a i ) a las restricciones del tipo =
·
Variables superfluas ( s i ) y artificiales ( a i ) a las restricciones del tipo ≥
En la F.O. las variables de holgura ( h i ) y superfluas ( s i ) tienen coeficiente
cero (0). Las variables artificiales ( a i ) se las penaliza con un valor grande, (­
M) en el caso de maximizar y (+M) en el caso de minimizar .
Paso 3:
Las variables básicas que corresponden a la tabla inicial (Iteración cero) deben
incluir a las variables artificiales, pero sus coeficientes en la F.O. no son cero
sino “M”, por lo que deberán volverse cero utilizando operaciones elementales
de filas, considerando aquellas filas que incluyen a estas variables.
Paso 4:
Obtenida la tabla con la F.O. corregida, se continúa con los pasos del simplex
hasta obtener el resultado óptimo.
Ejemplo:
Aplicando el método de la M, determine la solución del M.P.L. siguiente:
F .O. : Min. z = 5 x1 + x2
ì x1 + x2 = 5 K R1
ï
S .a . : í x1
£ 3 K R2
ï x + 3 x ³ 12 K R
2
3
î 1
No negativos: x1 ³ 0 ; x2 ³ 0
SOLUCIÓN:
Paso 1:
F .O. : Min. z = 5 x1 + x2 + Ma1 + 0h2 - 0 S3 + Ma 3
= 5 ® R1
ì x1 + x2 + a 1
ï
S .a . : í x1
+ h2
= 3 ® R2
ï x + 3x
- S 3 + a 3 = 12 ® R3
2
î 1
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56
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
No negativos : x1 ; x2 ; a1 ; h2 ; S3 ; a 3 ³ 0
Paso 2: Corregimos la función objetivo despejando las variables artificiales de las
restricciones que las contienen:
R1 : a 1 = 5 - x1 - x2
R2 : a 3 = 12 - x1 - 3 x2 + S3
Reemplazamos
a1 y a 3 en la F.O.:
Min. z = 5 x1 + x2 + M (5 - x1 - x2 ) + 0h2 - 0 S3 + M (12 - x1 - 3 x2 + S3 )
Min. z = (5 - 2 M ) x1 + (1 - 4 M ) x2 + 0h2 + MS3 + 17 M
Min. z + ( 2 M - 5) x1 + ( 4 M - 1) x2 - 0h2 - MS3 = 17 M
Iteración 0:
C.P.
x1
x2
a1
h2
S3
a3
L.D.
ρ
z
2M­5
4M­1
0
0
­M
0
17M
N.S.C.
a1
1
1
1
0
0
0
5
5/1=5
h2
1
0
0
1
0
0
3
N.S.C.
a3
1
3
0
0
­1
1
12
12/3=4
X1
x2
a1
h2
S3
a3
L.D.
ρ
z
(2M­14)/3
0
0
0
(M­1)/3
(1­4M)/3
M+4
N.S.C.
a1
2/3
0
1
0
1/3
­1/3
1
1/(2/3)=1.5
h2
1
0
0
1
0
0
3
3/1=3
x2
1/3
1
0
0
­1/3
1/3
4
4/(1/3)=12
Iteración 1:
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57
F.P.
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
Iteración 2:
x1
x2
a1
h2
S3
a3
L.D.
ρ
z
0
0
7­M
0
2
­(M+20)/3
11
N.S.C.
x1
1
0
3/2
0
1/2
­1/2
3/2
1.5/0.5=3
h2
0
0
­3/2
1
­1/2
1/2
3/2
N.S.C.
x2
0
1
­1/2
0
­1/2
1/2
7/2
N.S.C.
X1
x2
a1
h2
S3
a3
L.D.
ρ
z
­4
0
1­M
0
0
­(M+14)/3
5
S3
2
0
3
0
1
­1
3
h2
1
0
0
1
0
0
3
x2
1
1
1
0
0
0
5
Iteración 3:
Como todos los valores de la fila z son negativos (caso minimizar), entonces se encontró la
solución é interpretamos dicha solución.
SOLUCIÓN BÁSICA
SOLUCIÓN NO BÁSICA
SOLUCIÓN ÓPTIMA
x2 = 5 [u ]
x1 = 0 No producir
h2 = 3 [u ] ü
ý Abundantes
S3 = 3 [u ]þ
a1 = 0 ü
ý V. artificial es
a 2 = 0þ
z = 5 [u .m.]
Inter pr etación:
Se deben producir 5 unidades de
x2 y
ninguna unidad de
x1 ,
obteniéndose un beneficio de 5 unidades monetarias. Además se tienen los recursos
correspondientes
h2 y S3
c.2)
a
las
restricciones
R2 y R3
como
abundantes,
ya
que
se encuentran en la base.
Método de las Dos Fases: Este método trabaja también con variables
artificiales, pero no considera la introducción de un valor grande “M”; ya que
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58
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
computacionalmente, la consideración de éste valor “M” puede hacer que la
solución verdadera se distorsione; es por esto que el método de las dos fases
resulta mas eficiente.
Algor itmo:
El método de las dos fases utiliza el siguiente procedimiento:
FASE 1: Considera cinco pasos
Paso 1:
Paso 2:
Se formula el M.P.L. en la forma estandar, añadiendo:
·
Variables de holgura ( h i ) a las restricciones del tipo ≤
·
Variables artificiales ( a i ) a las restricciones del tipo =
·
Variables superfluas ( s i ) y artificiales ( a i ) a las restricciones del tipo ≥
En la F.O. las variables de holgura y superfluas tienen coeficiente cero (0) ,
pero las variables artificiales tienen como coeficiente uno (1)
Nota: Si el problema tiene solución factible, las variables artificiales deben
ser cero en la tabla final (variables no básicas).
Paso 3:
Se construye una F.O. adicional ( z
variables artificiales.
Paso 4:
Las var iables básicas en la tabla inicial ( o iteración cero ) deben incluir a
0
) que solo tome en cuenta a las
las var iables ar tificiales ( ya que éstas forman la matriz identidad ), pero
sus coeficientes en la F.O. no son cero sino uno; por lo que estos coeficientes
deben transformarse a cero operando con filas que incluyen a éstas variables
y que luego deben sumarse a la fila de ( z 0 ).
Paso 5:
Obtenida la tabla corregida en la F.O., se procede a iterar siguiendo los pasos
del simplex hasta llegar a que la F.O. sea cero, garantizando que las
variables artificiales desaparezcan de la base (es decir que sean cero).
FASE 2: Considera dos pasos:
Paso 1:
Se toma en cuenta la última tabla de la fase 1, eliminando las columnas
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59
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
correspondientes a las var iables ar tificiales; y se introducen los valores
originales de la F.O. Se presentará el problema de que las var iables básicas
finales no tienen coeficientes cero en la F.O., esto se corrige con operaciones
elementales de filas.
Paso 2:
Se verifica la optimidad viendo si todos los coeficientes de la F.O. son
mayores o iguales a cero (caso Maximizar); si esto no ocurre, entonces se
procede a iterar con los pasos del simplex.
Ejemplo:
Aplicando el método de las Dos Fases, determine la solución del M.P.L.
siguiente:
F .O. : Min. z = 2 x1 + 6 x2
= 2 K R1
ì x1
î 2 x1 + 2 x2 ³ 5 K R2
S .a . : í
No negativos: x1 ³ 0 ; x2 ³ 0
SOLUCIÓN: Si maximizamos en vez de minimizar, entonces debemos transformar la F.O.
según las reglas de transformación vistas anteriormente, obteniendo:
F .O. : Min. z = 2 x1 + 6 x2
F .O. : Max. ( - z) = -2 x1 - 6 x2
Ahora podemos aplicar el algoritmo de las dos fases:
FASE 1
Paso 1 y 2:
Expresamos el M.P.L. en su forma estandar
F .O. : Max. ( - z) = -2 x1 - 6 x2 - 1a1 - 0 S3 - 1a 2
+ a1
= 2 ® R1
ì x1
î 2 x1 + 2 x2 - S 2 + a 2 = 5 ® R2
S .a . : í
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60
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
No negativos : x1 ; x2 ; a 1 ; S 2 ; a 2 ³ 0
Paso 3: Construimos la F.O. adicional ( z
0
) que considera solo a las variables
artificiales
F .O. : Max. ( - z0 ) = -1a1 - 1a 2
F .O. : Max. ( - z0 ) + 1a1 + 1a 2 = 0
Paso 4:
Iteración 0
x1
x2
a1
S2
a2
L.D.
z0
0
0
1
0
1
0
a1
1
0
1
0
0
2
a2
2
2
0
­1
1
5
Corregimos la fila ( z 0 ), mediante operaciones elementales de filas
(­1) a1
:
­1
0
­1
0
0
­2
(­1) a2
:
­2
­2
0
1
­1
­5
z0
:
0
0
1
0
1
0
z0 Corregido :
­3
­2
0
1
0
­7
Luego la tabla con los valores de la F.O. corregida (fila z 0), será:
x1
x2
a1
S2
a2
L.D.
ρ
z0
­3
­2
0
1
0
­7
N.S.C.
a1
1
0
1
0
0
2
2
a2
2
2
0
­1
1
5
5/2
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61
Ciencias Empresariales
Paso 5:
Investigación de Operaciones
Iteración 1:
x1
x2
a1
S2
a2
L.D.
ρ
z0
0
­2
3
1
0
­1
N.S.C.
x1
1
0
1
0
0
2
N.S.C.
a2
0
2
­2
­1
1
1
1/2
x1
x2
a1
S2
a2
L.D.
ρ
z0
0
0
1
0
1
0
x1
1
0
1
0
0
2
x2
0
1
­1
­1/2
1/2
1/2
Iteración 2:
NOTA: La condición de parada es la misma que en el método simplex normal;
la diferencia estriba en que pueden ocurrir dos situaciones cuando se produce la
parada:
·
Si la F.O. toma un valor cero ( z 0 = 0 ) , significa que el problema original
tiene solución y se pasa a la fases 2.
·
Si la F.O. toma un valor distinto de cero ( z 0 ¹ 0 ) , entonces significa que
el modelo no tiene solución.
Como todos los valores de la fila z 0 son positivos y el valor de la F.O. es cero,
entonces el modelo tiene solución y se pasa a la fase 2.
FASE 2
Paso 1: Introducimos los valores originales de la F.O. en la tabla final de la fase 1 (sin
tomar en cuenta las columnas que corresponden a las variables artificiales) y corregimos
mediante operaciones con filas dichos valores.
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62
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
F .O. : Max. ( - z) + 2 x1 + 6 x2 + 0 S3 = 0
Iteración 3:
x1
x2
S2
L.D.
­z
2
6
0
0
x1
1
0
0
2
x2
0
1
­1/2
1/2
Corregimos la fila ( ­ z ), mediante operaciones elementales de filas
(­2) x1
:
­2
0
0
­4
(­6) x2
:
0
­6
3
­3
(­z)
:
2
6
0
0
(­z) Corregido
:
0
0
3
­7
Iteración 4:
x1
x2
S2
L.D.
­z
0
0
3
­7
x1
1
0
0
2
x2
0
1
­1/2
1/2
Como todos los valores de la fila z son positivos (caso maximizar), entonces se encontró la
solución é interpretamos dicha solución.
SOLUCIÓN BÁSICA
SOLUCIÓN NO BÁSICA
SOLUCIÓN ÓPTIMA
x1 = 2 [u ]
x2 = 1 / 2 [u ]
S 2 = 0 Escaso
z = 7 [u.m.]
Inter pr etación:
Se deben producir 2 unidades de x1 y 0.5 unidades de
x2
obteniéndose un beneficio de 7 unidades monetarias. Teniendo como escaso el recurso
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63
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
R2
correspondiente a la restricción
.
TIPOS DE SOLUCIONES QUE SE PRESENTAN EN LA SOLUCIÓN
ANALÍTICA DE UN M.P.L.
La interpretación de la solución analítica de un M.P.L. presenta los siguientes casos:
i)
Solución No Factible: Se presenta cuando alguna de las variables artificiales
añadidas, nó desaparecen de la base; conociéndose esto como solución no factible.
F .O . : Max .Z = 2 x1 + 6 x 2
Ejemplo:
= 2
ì x1
î 2 x1 + 2 x 2 ³ 5
S .a . : í
No negativos: x1 ³ 0 ; x2 ³ 0
ii)
x1
x2
a1
S2
a2
L .D .
z
M+4
0
2M+6
M
0
12­M
x2
1
1
1
0
0
2
a2
­1
0
­2
­1
1
1
Solución Óptima No Acotada: Se conoce también como solución infinita y se presenta cuando en una
F .O . : Max .Z = 2 x1 + 6 x 2
Ejemplo:
= 2
ì x1
î 2 x1 + 2 x 2 ³ 5
S .a . : í
No negativos: x1 ³ 0 ; x2 ³ 0
x1
x2
a1
S2
a2
L .D .
ρ
z
0
0
M­4
­3
M+3
7
N.S.C.
x1
1
0
1
0
0
2
N.S.C.
x2
0
1
­1
­1/2
1/2
1/2
N.S.C.
Dirección de Educación a Distancia _UPDS_ Modalidad Cursos por Encuentros
64
Ciencias Empresariales
ii)
Investigación de Operaciones
Solución Óptima Múltiple:
Se reconoce cuando una variable no básica tiene
coeficiente cero en la función objetivo.
F .O. : Max.Z = 5 x1 + 5 x2
Ejemplo:
ì x1 + x 2 £ 5
£ 3
î x1
S .a . : í
No negativos: x1 ³ 0 ; x2 ³ 0
iv)
x1
x2
h1
h2
L .D .
ρ
z
0
0
5
0
25
N.S.C.
x2
0
1
1
­1
2
N.S.C.
x1
1
0
0
1
3
3/1=3
x1
x2
h1
h2
L .D .
z
0
0
5
0
25
x2
1
1
1
0
5
h2
1
0
0
1
3
Soluciones Cíclicas y Degener adas: Estas soluciones se presentan cuando se
tiene un empate para elegir la variable de entrada, empate que se rompe
arbitrariamente; pero cuando se tiene empate en el radio ( r ) a veces elegir
arbitrariamente puede conducir a un Ciclaje . Es decir que luego de varias
iteraciones se repite la solución inicial, sin lograr obtener la solución óptima.
Este tipo de casos generalmente se presenta en problemas con soluciones factibles
básicas degeneradas; es decir en aquellas que tengan por lo menos un lado
derecho igual a cero.
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65
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
UNIDAD 4
TEORIA DE LA DUALIDAD
4.1
Intr oducción
Los problemas de P.L. pueden ser propuestos de una manera diferente; un
planteamiento en base ya no a la asignación de recursos, sino a la utilización de los
mismos. Este tipo de razonamiento tiene relación con lo que se llama Interpretación
Dual.
4.2
Definición
La dualidad es una técnica matemática alternativa y complementaria a la programación
lineal, ya que en algunos casos permite simplificar la resolución de un M.P.L.; siendo
útil cuando:
·
Se tienen que resolver problemas lineales que tienen más restricciones que
variables.
·
Se quiere profundizar en la interpretación económica del problema primal,
analizando conceptos como el de: variable dual, precio sombra o valor
marginal de los recursos consumidos, además propiedades como la de
holgura complementaria y consumo de recursos limitados.
Nota
Todos los modelos matemáticos de programación lineal conocidos hasta ahora se
conocen como programas primales.
Una aplicación importante de la teoría de la dualidad es, que puede resolverse el
problema dual directamente con el método simplex, con la finalidad de identificar una
solución óptima para el problema primal. A demás la teoría de la dualidad juega un
papel importante en el análisis de sensibilidad.
4.3
For mulación del Dual
Las características de transformación del Pr imal al Dual son las siguientes:
i)
Si la F.O. del modelo pr imal es Maximizar , entonces la F.O. en el
Dirección de Educación a Distancia _UPDS_ Modalidad Cursos por Encuentros
66
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
modelo dual será de Minimizar y viceversa.
ii)
Cada restr icción del modelo pr imal genera una var iable en el modelo
dual.
iii)
Cada var iable del modelo pr imal genera una r estr icción en el modelo
dual.
iv)
La F.O. del modelo dual, se genera a partir de las var iables de cada
r estr icción y tienen como coeficiente a los lados der echos
de las
r estr icciones del modelo pr imal.
v)
Si alguna restr icción del modelo pr imal estuviese definido con la
igualdad, entonces ésta genera una var iable sin r estr icción de signo en
el modelo dual.
4.4
Comparación del modelo PRIMAL con el DUAL
PRIMAL
EQUIVALE
DUAL
Función Objetivo
Max Z
→
Función Objetivo
Min Z 0
Min Z
→
Max Z 0
Restr icciones
Si R i ≤ b i
Si R i = b i
→
→
Si R i ≥ b i
→
Var iables
Var iables
Yi ≥ 0
Y i S.R.S.
Yi ≤ 0
Restr icciones
Si X j ≥ 0
→
Rj ≥ cj
Si X j S.R.S.
Si X j ≤ 0
→
→
Rj = cj
Rj ≥ cj
Dirección de Educación a Distancia _UPDS_ Modalidad Cursos por Encuentros
67
Ciencias Empresariales
4.5
Investigación de Operaciones
Tabla r esumen de tr ansfor mación
Pr oblema Pr imal (x i )
4.6
Pr oblema Dual (y i )
Signo de la
F.O. Pr imal
F.O. Dual
Tipo de Restr icción
Var iable
Max. Z
Min. Z
Min. Z 0
Max. Z 0
≥
S.R.S.
S.R.S.
≤
Inter pr etación económica de las var iables duales
i)
Pr ecios Sombra: Son también conocidos como precios duales y se
define como el valor por unidad de recurso adicional que se quiere
utilizar.
Otras interpretaciones son:
·
Exactamente cuánto debe estar dispuesto a pagar una compañía por
hacer disponibles los recursos adicionales.
·
¿Es conveniente pagar a los trabajadores una cuota de tiempo extra
para incrementar la producción?
·
ii)
Analizar si vale la pena incrementar mas tiempo de uso de máquina a
un costo de “x” o más $us. por unidad producida.
Mientras que la utilidad total de todas las actividades sea menor que el
valor de los recursos, entonces la solución primal y dual correspondientes
no pueden ser óptimas.
iii)
Solo se llega a la utilidad máxima, cuando los recursos se han explotado
completamente, lo cual sucede cuando el valor de los recursos (Z 0)
excede a la utilidad (Z ).
EJ EMPLOS: En cada uno de los M.P.L. siguientes, realice la transformación del
Modelo Primal al Modelo Dual.
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68
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
1) Modelo Pr imal:
F .O. : Max. z = 5 x1 + 12 x2 + 4 x3
ì x1 + 2 x2 + x3 £ 10 K R1
î 2 x1 - x2 + 3 x3 = 8 K R2
S .a . : í
No negativos : x1 ; x2 ; x3 ³ 0
Pr imal Estándar :
F .O . : Max . z = 5 x1 + 12 x2 + 4 x3 + 0 h1 - Ma 2
ì x1 + 2 x2 + x3 + h1
í
+
î 2 x1 - x 2 + 3 x3
No negativos :
x1 ; x2 ; x3 ; h1 ;
S .a . :
-
-
-
-
R1
R2
R3
R4
Modelo Dual:
= 10 ¬ y1
a 2 = 8 ¬ y2
a2 ³ 0
Finalmente el Dual:
Min . z0 = 10 y1 + 8 y2
ì y1 + 2 y2 ³ 5 K R1
ï
S.a . :
í 2 y1 - y2 ³ 12 K R2
ïî y1 + 3 y2 ³ 4 K R3
y1 + 0 y2 ³ 0 K R4
y1 ; y2 S.R.S.
F .O. : Min. z0 = 10 y1 + 8 y2
ì y1 + 2 y2 ³ 5 K R1
ï
S.a . : í2 y1 - y2 ³ 12 K R2
ïî y1 + 3 y2 ³ 4 K R3
y1 ³ 0 ; y2 S.R.S.
Dirección de Educación a Distancia _UPDS_ Modalidad Cursos por Encuentros
69
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
2) Convierta al Modelo Dual el Modelo Primal siguiente:
F .O. : Min. z = 15 x1 + 12 x2
ì x1 + 2 x2 ³ 3 K R1
î 2 x1 + 4 x2 £ 5 K R2
S .a . : í
No negativos: x1 ³ 0 ; x2 ³ 0
3) Realice la transformación del M.P.L. (de pinturas Monopol) al Dual, encuentre
la solución óptima del modelo Dual y realice un análisis comparativo de ésta
solución con la última tabla de la solución del primal.
Siendo:
x1 = Cantidad de pintura para exteriores a producir [ Tn. / día ]
x 2 = Cantidad de pintura para interiores a producir [ Tn. / día ]
Modelo Pr imal:
F .O. : Max. z = 5x1 + 4 x2 [Miles $us. / día ]
ì 6 x1 + 4 x 2 £ 24 K R1
ï x + 2x £ 6
K R2
ï
1
2
S .a . : í
ï - x1 + x 2 £ 1 K R 3
ïî
x2 £ 2 K R 4
M1
M2
R . Demanda
Demanda Ext .
No negativos : x1 ³ 0 ; x2 ³ 0
Pr imal Estándar :
F .O . : Max . z = 5 x1 + 4 x2 + 0 h1 + 0 h 2 + 0 h3 + 0 h 4
= 24
ì 6 x1 + 4 x2 + h1
ïï x1 + 2 x2
+ h2
= 6
S .a . : í
- x1 + x2
+ h3
= 1
ï
ïî
x2
+ h4 = 2
No negativos :
x1 ; x2 ; h1 ; h 2 ; h3 ; h 4 ³ 0
Dirección de Educación a Distancia _UPDS_ Modalidad Cursos por Encuentros
¬
¬
¬
¬
y1
y2
y3
y4
70
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
-
-
-
-
-
-
R1
R2
R3
R4
R5
R6
Modelo Dual:
F .O. : Min . z0 = 24 y1 + 6 y2 + y3 + 2 y4
³ 5 K R1
ì 6 y1 + y2 + y3
S.a . :
í 4y + 2y + y + y ³ 4K R
1
2
3
4
2
î
y1
³ 0 K R3
y2
³ 0 K R4
y3
³ 0 K R5
y4 ³ 0 K R6
y1 ; y2 ; y3 ; y4 S.R.S .
Finalmente el Dual:
F .O . : Min . z0 = 24 y1 + 6 y2 + y3 + 2 y4
³5
ì 6 y1 + y2 + y3
î 4 y1 + 2 y 2 + y3 + y4 ³ 4
S .a . : í
No negativos : y1 ; y2 ; y3 ; y4 ³ 0
Aplicando el software TORA se obtienen los siguientes resultados:
Solución del modelo Dual
Tabla final: Aplicando el Método de la M, se obtiene en 4 iteraciones
Iteración 4:
y1
y2
y3
y4
S1
a1
S2
a2
L.D.
z0
0
0
­5/2
­1/2
­3
­97
­1/2
­98.5
21
h1
1
0
­0.38 ­0.13 ­0.25
0.25
0.13
­0.13
3/4
h2
0
1
1.25 0.75
­0.5
­0.75
0.75
1/2
0.5
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71
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
SOLUCIÓN BÁSICA
SOLUCIÓN NO BÁSICA
SOLUCIÓN
ÓPTIMA
y3 = 0 Escasa demanda
y4 = 0 Escasa demanda
S1 = 0 Escasa M1
S2 = 0 Escasa M 2
y1 = 0.75 [ Miles $us / Tn. M1]
y2 = 0.5 [ Miles $us / Tn. M 2]
z = 21[Miles $us. / día]
Inter pr etación:
Los
valores
obtenidos
de
las
variables
duales
y1 = 0.75 [ Miles $us / Tn. M1] ;
y2 = 0.5 [ Miles $us / Tn. M 2]
nos indican el precio unidad adicional de materia prima
M1 y M2 que se deben pagar, obteniendo como en el caso del primal una utilidad de
21000[$us. / día] .
Solución del modelo Pr imal
Tabla final: Aplicando el Método de Simplex, se obtiene en 3 iteraciones
x1
x2
h1
h2
h3
h4
L.D.
z
0
0
3/4
1/2
0
0
21
x1
1
0
1/4
­1/2
0
0
3
x2
0
1
­1/8
3/4
0
0
3/2
h3
0
0
3/8
­5/4
1
0
5/2
h4
0
0
1/8
­3/4
0
1
1/2
SOLUCIÓN BÁSICA
SOLUCIÓN NO BÁSICA
SOLUCIÓN
ÓPTIMA
x1 = 3 [Tn. / día ] p / ext.
x2 = 3 / 2 [Tn. / día ] p / int .
h3 = 5 / 2 Abundante Dem.
h4 = 1 / 2 Abundante Dem.
h1 = 0 ü
ý Escasos
h2 = 0 þ
z = 21[Miles $us. / día]
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72
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
Inter pr etación: La empresa de Pinturas Monopol deberá producir 3 Tn./día de pintura para
exteriores y 1.5 Tn./día de pintura para interiores, obteniendo de esta manera una utilidad
máxima de 21000 $us./día.; haciendo uso total de sus materias primas M1 , M2 y no
cubriendo totalmente con las restricciones de demanda.
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73
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
UNIDAD 5
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD
5.1
Intr oducción
En aplicaciones prácticas, no solamente interesa la solución del problema propuesto,
sino también se desea saber como cambia esta solución si las condiciones iniciales del
problema se modifican; es decir si cambian los coeficientes de la función objetivo, los
coeficientes de los recursos y la cantidad de recursos disponibles.
En este sentido el análisis de sensibilidad, convierte a la solución estática de la
programación lineal en un instrumento dinámico que evalúa las condiciones cambiantes
del problema.
Por lo tanto el Análisis de Sensibilidad adquiere mayor utilidad como instrumento
administrativo, ya que los negocios y las industrias están sometidos a cambios continuos
que dan lugar a una subsiguiente re­evaluación del sistema actual, logrando de esta
manera la prueba de Factibilidad y Optimalidad.
5.2
Tipos de cambios en un M.P.L.
El análisis de sensibilidad considera dos tipos de cambios en un M.P.L. (Discretos y
Continuos); los cambios que consideraremos en los ejemplos a analizar en la materia se
tratan de cambios discretos, los cuales se pueden realizar en:
i)
Cambios en el vector “ b ”: Los cambios en los parámetros de los
recursos disponibles ( b
i
), se realizan a partir de la tabla final del
Simplex, desarrollando los cálculos en base a las siguientes expresiones:
B -1 * (b + D ) ³ 0
x B = B -1 * b
z = CB * xB
Donde:
B -1
=
Matriz inversa, formada por las columnas de los precios
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74
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
duales
b
=
Matriz formada por la disponibilidad de los recursos
D
=
Incremento en la disponibilidad de un recurso
xB
=
Matriz (corregida) formada por la columna de las variables
básicas
CB
=
Matriz (corregida) formada por la fila de los coeficientes
que corresponden a las variables básicas.
ii)
Cambios en el vector “ C ”: Los cambios en los coeficientes de las
variables básicas en la función objetivo, se realizan mediante las siguientes
expresiones:
Z * - C = y* * (A - C )
A* = B - 1 * A
Donde:
C
A
y*
=
Matriz formada por los coeficientes de la función objetivo
=
=
Matriz formada por los coeficientes de las restricciones
Precios sombra (o precios duales)
EJ EMPLOS: Realice el análisis de sensibilidad para siguientes problemas.
11. La empresa de confecciones “ROMY” fabrica ropa industrial: camisas y overoles
para las diferentes empresas. Cada camisa requiere 2 hrs.–hombre y cada overol
requieren 10 hrs.– hombre. Para la confección de una camisa se requiere 1 metro de
tela y para un overol 3 metros de tela. Ambas telas son diferentes. Se dispone
semanalmente de 120 metros de tela para camisas y 300 metros de tela para overoles.
Se trabaja 5 días a la semana con 10 operarios. Las utilidades son de 20 Bs. / camisa
y 80 Bs. / overol. ¿Cuál es el mejor plan de producción para la empresa?.
CONF ECCIONES “ ROMY ”
x1 = Cantidad de Camisas a producir [u / sem.]
x2 = Cantidad de Overoles a producir [u / sem.]
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75
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
F .O. : Max Z = 20x1 + 80x2 [ Bs. / sem.]
ì2 x1 + 10 x2 £ 400 Mano de Obra
ï
S.a. : í x1
£ 120 Tela para Camisas
ï
3 x2 £ 300 Tela para Overoles
î
No negativos : x1 ³ 0 ; x2 ³ 0
Resolviendo el M.P.L. la solución óptima es:
x1
x2
h1
h2
h3
L.D.
z
0
0
8
4
0
3680
x2
0
1
0.1
­ 0.2
0
16
x1
1
0
0
1
0
120
h3
0
0
­ 0.3
0.6
1
252
SOLUCIÓN BÁSICA
SOLUCIÓN NÓ BASICA
x1 = 120 [u / sem.] Camisas
x2 = 16 [u / sem.] Overoles
h1 = 0 [h­h / sem.] Escasa M.O.
h2 = 0 [m / sem.] Escasa Tela
p/Camisas
h3 = 252 [m / sem.] Abundante Tela p/Overoles
SOLUCIÓN ÓPTIMA: z = 3680 [ Bs. / sem.] Utilidad máxima
Cambios en la disponibilidad de los r ecur sos (vector “b” ): Primeramente debemos
determinar los límites entre los cuales podemos variar el recurso que nos permita
mejorar la solución obtenida anteriormente, para luego modificar el recurso y calcular
los nuevos valores óptimos.
B -1
*
(b + D )
³0
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76
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
é 0.1 - 0.2 0ù é400+ Dù
ê 0
1
0úú * êê 120 úú ³ 0
ê
êë- 0.3 0.6 1úû êë 300 úû
ì 0.1( 400 + D ) - 0 .2 (120 ) + 0 (300 ) ³ 0 K (1)
ï
0 ( 400 + D ) + 1 (120 ) + 0 (300 ) ³ 0 K ( 2)
í
ï - 0 .3( 400 + D ) + 0 .6 (120 ) + 1 (300 ) ³ 0 K (3)
î
De (1) : D ³ -160
De (3) : D ³ 840
Luego encontramos el conjunto solución del sistema de desigualdades por el método
gráfico
D ³ - 160
D ³ 840
:
­ 160
:
840
C . solución :
­ 160
840
- 160 £ D £ 840
- 160 + 400 £ D + 400 £ 840 + 400
240 £ D + 400 £ 1240
Este último resultado nos indica que el recurso Mano de Obra se puede variar desde
240 horas­hombre hasta 1240 horas­hombre, lo cual permitirá que la nueva solución
sea factible y óptima.
Una vez obtenidos los límites de variación, entonces podemos realizar los cambios que
veamos conveniente para obtener una nueva solución, haciendo uso mas adecuado de
los recursos que tenemos como abundantes.
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77
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
En este sentido si incrementamos el número de operarios de 10 a 15, entonces la nueva
disponibilidad de M.O. será de 600 [ h­h / sem.].
é días ù é hr . ù
éh - hù
5ê
* 8ê
* 15 [operarios ] = 600 ê
ú
ú
ú
ë sem . û ë día û
ë sem . û
Con esta nueva disponibilidad procedemos a calcular la nueva solución, mediante la
expresión:
xB
=
é x 2 ù é 0 .1
ê ú ê
ê x1 ú = ê 0
êë h3 úû êë - 0 .3
B -1
- 0 .2
1
0 .6
*
b
0 ù é 600 ù
0 úú * êê120 úú
1 úû êë 300 úû
Þ
é x2 ù
é 36 ù
ê ú
ê
ú
ê x1 ú = ê120 ú
êë h3 úû
êë192 úû
NUEVA SOLUCIÓN BÁSICA
x1 = 120 [u / sem.] Camisas.
x2 = 36 [u / sem.] Overoles
h3 = 192 [m / sem.] Abundante Tela p/Overoles
Con estos valores de la nueva solución básica, calculamos nueva utilidad, mediante:
z=
CB
z = [20
*
80
xB
é1 20 ù
0 ]* êê 36 úú
êë192 úû
Þ
z = 5280 [Bs . / sem .]
Inter pr etación: Como podemos ver la nueva solución básica tiene un incremento de la
fabricación de overoles de 16 a 36 unidades y una reducción en la abundancia (de 252
metros a 192 metros) de la tela para los mismos; habiéndose incrementado también las
utilidades de 3680 a 5280 [ Bs./sem.].
2. La empresa de pinturas MONOPOL, produce pinturas tanto para interiores como
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78
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
para exteriores, a partir de dos materias primas M1 y M2. La siguiente tabla
proporciona los datos básicos del problema:
Materia Prima
Toneladas de Materia Prima
por tonelada de Pintura para
Disponibilidad
Máxima Diaria
Exteriores
Interiores
(Toneladas)
M1
6
4
24
M2
1
2
6
5
4
Utilidad por Tonelada
(1000 $us.)
Una encuesta de mercado restringe la demanda máxima diaria de pintura para
interiores a 2 toneladas. Además, la demanda diaria de pintura para interiores no
puede exceder a la pintura para exteriores por más de 1 tonelada. La empresa
MONOPOL quiere determinar la mezcla de productos óptima de pintura para
interiores y para exteriores que maximice la utilidad total diaria.
EMPRESA MONOPOL
Siendo:
x1 =
Cantidad de pintura para exteriores a producir [ Tn. / día ]
x 2 = Cantidad de pintura para interiores a producir [ Tn. / día ]
F .O. : Max. z = 5 x1 + 4 x2 [Miles $us. / día ]
ì 6 x1 + 4 x 2
ï
ï x1 + 2 x 2
S .a . : í
ï - x1 + x 2
ïî
x2
No negativos
£ 24 K R 1
£
6 K R2
£
1 K R3
£
2 K R4
M1
M 2
R . Demanda
Demanda
Ext .
: x1 ³ 0 ; x 2 ³ 0
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79
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
Resolviendo el M.P.L. la solución óptima es:
x1
x2
h1
h2
h3
h4
L.D.
z
0
0
3/4
1/2
0
0
21
x1
1
0
1/4
­1/2
0
0
3
x2
0
1
­1/8
3/4
0
0
3/2
h3
0
0
3/8
­5/4
1
0
5/2
h4
0
0
1/8
­3/4
0
1
1/2
SOLUCIÓN BÁSICA
ÓPTIMA
x1 = 3 [Tn. / día ] p / ext.
x2 = 3 / 2 [Tn. / día ] p / int .
h3 = 5 / 2 Abundante Dem.
h4 = 1 / 2 Abundante Dem.
SOLUCIÓN NO BÁSICA
SOLUCIÓN
h1 = 0 ü
ý Escasos
h2 = 0 þ
z = 21[Miles $us. / día]
Inter pr etación: La empresa de Pinturas Monopol deberá producir 3 Tn./día de pintura para
exteriores y 1.5 Tn./día de pintura para interiores, obteniendo de esta manera una utilidad
máxima de 21000 $us./día.; haciendo uso total de sus materias primas M1 , M2 y no
cubriendo totalmente con las restricciones de demanda.
Dirección de Educación a Distancia _UPDS_ Modalidad Cursos por Encuentros
80
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
UNIDAD 6
MODELO DE TRANSPORTE Y ASIGNACIÓN
6.1
Intr oducción
En el ámbito de la I.O. existen problemas de P.L. que por su naturaleza presentan
características especiales, ya que manejan muchas variables, donde a veces éstas se
presentan como variables dobles.
Si bien este tipo de problemas pueden ser resueltos por los algoritmos clásicos, estos
métodos pueden resultar ineficientes y largos por la misma naturaleza del problema; de
manera que se han desarrollado algoritmos especiales que pueden llevarnos al resultado
óptimo de manera más rápida y más ordenada, lo cuál permite una mejor interpretación
de los resultados obtenidos. Uno de los modelos que se emplea con mucha frecuencia
principalmente en problemas de distribución, es el de Transporte y Asignación .
6.2. Modelo de tr anspor te
Es un modelo de la I.O. que se interesa por la distribución de un determinado producto
desde puntos de Ofer ta (llamados también Orígenes) hacia puntos de Demanda
(llamados también Destinos); cuyo objetivo principal es de encontrar el mejor plan de
distribución (embarque óptimo), que minimice el costo total de transportar los
productos, satisfaciendo los requerimientos de Oferta y Demanda.
6.2.1 For mulación matemática del modelo de tr anspor te
El modelo de transporte matemáticamente se puede formular de la siguiente manera:
F .O. : Min Z = C11 x11 + C12 x12 + L + C mn xmn
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81
Ciencias Empresariales
S .a . :
Investigación de Operaciones
ì x 11 +
ï
ï x 21 +
ï M
ï
ï x m1 +
ï
í
ïx +
ï 11
ï x 12 +
ï
ï M
ï x1 n +
î
No negativos
:
x 12 + L + x 1 n = a 1
x 22 + L + x 2 n = a 2
M
M
M
Restricciones de Oferta
x m 2 + L + x mn = a m
x 21 + L + x m 1 = b 1
x 22 + L + x m 2 = b 2
M
M
M
Restricciones de Demanda
x 2 n + L + x mn = b n
Xi
j
³ 0 ; "i
j
Donde:
Z
X
i j
=
Función costo de transporte total, a ser minimizada
=
Nº de unidades del producto a transportar del origen “ i ” la
destino “ j ”
( i = 1 , 2 ,K , m )
Ci
;
( j = 1 , 2 ,K , n )
=
Costo unitario de transportar el producto del origen “ i ” la destino
ai
=
Oferta y/o capacidad del i­ésimo origen.
b
=
Oferta y/o Requerimiento j­ésimo desatino.
=
=
Número de orígenes y/o Ofertas
Número de destinos y/o Demandas
j
“j”
m
n
j
6.2.2 Matr iz de Costos del modelo de tr anspor te
La formulación anterior puede ser expresada como una matriz de costos de transporte ,
de la siguiente manera:
Dirección de Educación a Distancia _UPDS_ Modalidad Cursos por Encuentros
82
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
DEST IN OS
Oferta
1
O
R
I
G
E
N
E
S
1
2
C11
X11
…
C12
…
X12
2
C1n
a1
C2n
a2
X1n
C21
X21
n
C22
…
X22
X2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
m
Demanda
Xm1
Cm1
Xm2
Cm2
b2
b1
…
Xmn
Cmn
am
bn
…
SOLUCIÓN DEL MODELO DE TRANSPORTE
Para determinar la solución óptima al modelo de transporte, se deben considerar las
siguientes etapas:
ETAPA 1:Balancear el modelo (es decir que la oferta debe ser igual a la demanda)
å
ai =å bj
Si se presenta el desbalance, se debe considerar:
a) Si la Oferta > Demanda → Añadir una Demanda artificial
donde: Demanda artificial =
å
ai -
å
bj
b) Si la Demanda > Oferta → Añadir una Oferta artificial
donde: Oferta artificial =
å
bj -
å
ai
Nota: En ambos casos los costos deben ser igual a cero
Dirección de Educación a Distancia _UPDS_ Modalidad Cursos por Encuentros
83
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
ETAPA 2:Establecer una solución básica factible inicial, utilizando alguno de los
métodos siguientes:
a)
b)
Método de la Esquina Nor­oeste (M.E.N.)
Método del Costo Menor (M.C.M.)
c)
Método de Aproximación de Vogel (M.A.V.)
ETAPA 3:Hallar la solución óptima utilizando el algoritmo de transporte, empezando
con la solución de inicio dada; esta etapa incluye la verificación de la
optimalidad del problema.
Para determinar la solución óptima, se utiliza el Algoritmo Húngaro, cuyo
procedimiento es:
PASO 1: Balancear el problema; es decir que:
N° de Or ígenes = N° de Destinos
i) Si
N° de Orígenes < N° de ,Destinos →
Añadir filas ficticias con costo igual a
cero
ii) Si
N° de Orígenes >N° de Destinos
→
Añadir columnas ficticias con costo
igual a cero
iii) Si se quiere penalizar un Origen y/o destino
→
Se utiliza como costo asociado
M
PASO 2: Construir una nueva matriz de costos, donde aparezca por lo menos un Cero
en cada fila y columna (restar los valores menores de cada fila y/o columna
con los demás valores correspondientes de cada fila y/o columna ).
PASO 3: Probar una asignación tentativa en las posiciones con costo igual a cero; si ésta
es posible entonces el problema concluye, de lo contrario ir al paso 4.
Dirección de Educación a Distancia _UPDS_ Modalidad Cursos por Encuentros
84
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
PASO 4: Prueba de optimalidad: Trazar el Mínimo Número de líneas que tachen a
todos los ceros de la matriz.
a)
METODO DE LA ESQUINA NOR­OESTE (M.E.N.)
PASO 1: En la Posición a 11 de la matriz de costos se asigna el valor de x11 , donde
x11 = Mínimo
PASO 2: Determinar
los
(a 1 y b1 )
nuevos
valores
corregidos
de
la
Oferta
y
la
Demanda (a 1 y b1 ) ; analizando posteriormente:
a)
Si aˆ 1 corregido
es
donde x 21 = Mínimo
b)
Si bˆ1 corregido
es
donde x12 = Mínimo
cero,
(a
2
cero,
entonces
pasar
a
la
posición a 21 ,
pasar
a
la
posición a 12 ,
)
y bˆ1 .
entonces
(aˆ 1 y b 2 ) .
PASO 3: Se continua con el procedimiento, desde la posición asignada hasta llegar a
la posición (m ; n )
b)
METODO DEL COSTO MENOR (M.C.M.)
Este método encuentra una solución inicial mejor que la anterior, ya que toma en cuenta
las rutas más económicas del modelo.
PASO 1: Se asigna tanto como se pueda a la posición que tenga el costo mas bajo por
unidad (los empates se rompen arbitrariamente)
PASO 2: Se tacha las filas o columnas satisfechas; se ajusta la cantidad de la Oferta y la
Demanda conforme a ello. Si tanto una fila como una columna se satisfacen
simultáneamente, solo se tacha uno de ellos.
PASO 3:Se busca siempre la posición no tachada con el costo mas bajo por unidad y
repetimos el proceso hasta que quede exactamente una fila y una columna no
tachadas.
Dirección de Educación a Distancia _UPDS_ Modalidad Cursos por Encuentros
85
Ciencias Empresariales
c)
Investigación de Operaciones
METODO DE APROXIMACIÓN DE VOGEL (M.A.V.)
Este método es una versión mejorada del método de costo menor; éste generalmente
produce mejores soluciones iniciales. El procedimiento es el siguiente:
PASO 1: En la matriz de costos, calcular las diferencias de costo mínimas, tanto para
filas como para columnas (esto se consigue restando los dos valores menores
de costo).
PASO 2: Seleccionar la fila y/o columna con mayor diferencia y ubicar el costo mínimo
(i , j )
correspondiente a esta fila y/o columna. La posición
encuentre este costo será la variable (x ij
donde se
) a tomar en cuenta.
PASO 3: En la posición (i , j ) calcular x ij = Mínimo
(a
i
aˆ i = a i - x ij
←
Oferta
bˆ j = b j - x ij
←
Demanda
y b j ) ; luego actualizar:
PASO 4: Si aˆ i = 0 (oferta corregida), entonces eliminar esta fila del análisis.
Si bˆ j = 0 (demanda corregida), entonces eliminar esta columna del análisis.
PASO 5: Repetir los pasos anteriores hasta que no sea posible calcular las diferencias.
EJ EMPLO: Se quiere distribuir un producto desde 3 almacenes (A1, A2, A3) a dos
tiendas (T1, T2 ). Se sabe que llevar el producto del almacén A2, a la tienda T2 no es
posible por problemas de ruta. Se desea establecer el plan de embarque que proporcione
el mínimo costo de transporte; los costos unitarios, las ofertas y demandas de cada
almacén y tienda, se
muestran en la tabla de
costos siguiente:
TIENDA
A
A1
T1
T2
2
5
Oferta
30
Dirección de Educación a Distancia _UPDS_ Modalidad Cursos por Encuentros
86
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
L
A2
5
M*
40
A3
4
3
20
Demanda
50
30
M
A
C
E
N
ETAPA 1:
M* = Penalización con un costo “M”
BALANCEARmuy grande, por problemas
EL de ruta
MODELO
S a i = 90 (Oferta ) ; S b j = 80 ( Demanda )
Como la oferta es mayor a la demanda, entonces debemos aumentar una demanda
artificial,
que
en
nuestro
caso
será
una
tienda
artificial
TA = S a i - S b j
Þ
TA = 10 . Luego la tabla de costos balanceada será:
TIENDA
Oferta
T1
T2
TA
A1
2
5
0
30
A2
5
M*
0
40
A3
4
3
0
20
Demanda
50
30
10
A
L
M
A
C
E
N
ETAPA 2:
SOLUCIÓN BÁSICA FACTIBLE INICIAL
Dirección de Educación a Distancia _UPDS_ Modalidad Cursos por Encuentros
87
Ciencias Empresariales
a)
Investigación de Operaciones
METODO DE LA ESQUINA NOR­OESTE (M.E.N.)
TIENDA
T1
A
L
M
A
A1
A2
T2
Oferta
TA
2
5
0
5
M*
0
30
20
30
40
20
C
E
4
3
0
10
A3
10
20
N
Demanda
50
30
10
SOLUCIÓN BÁSICA FACTIBLE INICIAL
Variables Básicas
Variables No Básicas
x11 = 30
x21 = 20
x22 = 20
x32 = 10
x33 = 10
x12
x13
x23
x31
=0
=0
=0
=0
COSTO DE TRANSPORTE: z = 190 + 20 M [u .m.]
b)
METODO DEL COSTO MENOR (M.C.M.)
TIENDA
T1
A
L
A1
T2
2
20
Oferta
TA
5
0
10
30
Dirección de Educación a Distancia _UPDS_ Modalidad Cursos por Encuentros
88
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
M
A
5
A2
30
C
E
N
40
10
4
3
0
20
A3
Demanda
0
M*
50
20
30
10
SOLUCIÓN BÁSICA FACTIBLE INICIAL
Variables Básicas
Variables No Básicas
x11 = 20
x13 = 10
x21 = 30
x22 = 10
x32 = 20
x12
x23
x31
x33
=0
=0
=0
=0
z = 250 + 10 M [u .m.]
COSTO DE TRANSPORTE:
c)
METODO DE APROXIMACIÓN DE VOGEL (M.A.V.)
TIENDA
T1
A
L
A1
T2
2
5
A
C
A2
E
A3
5
0
M*
0
10
20
M
30
Demanda
3
0
20
20
50
30
30
40
10
4
N
Oferta
TA
10
SOLUCIÓN BÁSICA FACTIBLE INICIAL
Variables Básicas
Variables No Básicas
Dirección de Educación a Distancia _UPDS_ Modalidad Cursos por Encuentros
89
Ciencias Empresariales
x11 = 20
x12 = 10
x21 = 30
x23 = 10
x32 = 20
Investigación de Operaciones
x13
x22
x31
x33
=0
=0
=0
=0
z = 300 [u .m.]
COSTO DE TRANSPORTE:
ETAPA 3: Hallar la solución óptima, aplicando el algoritmo de verificación y
búsqueda del óptimo. Éste procedimiento es iterativo y trabaja bajo los
principios del método simplex.
PASO 1:
Calcular el valor de las variables duales u i (para las ofertas) y v j (para las
demandas). Este cálculo se realiza formando un sistema de ecuaciones con
las variables duales y los costos para todas las variables básicas, utilizando
la siguiente relación:
u i + v j = c ij
Nota: Como se tiene m + n – 1 variables básicas y m + n incógnitas,
entonces se tiene un grado de libertad, por lo que se asigna un valor
arbitrario generalmente a la variable dual con mayor número de
asignaciones y se obtiene las otras resolviendo el sistema de ecuaciones.
PASO 2:
(
)
Calcular el parámetro zij - c ij = c ij - u i + v j para todas las variables
no básicas, analizando:
PASO 3:
i)
Si zij - c ij ³ 0 ; " ij Þ La solución hallada es óptima.
ii)
Si zij - c ij £ 0 ; Para algún
( i, j ) Þ
seguir con el paso 3
REGLA DE ENTRADA: Introducir como variable básica aquella Xij que
tenga el valor de zij - c ij mas negativo.
PASO 4:
MECANISMO DE COMPENSACIÓN: Al elegir la variable de entrada
ésta tomará un valor + l que descompensará la oferta y/o demanda, por lo
Dirección de Educación a Distancia _UPDS_ Modalidad Cursos por Encuentros
90
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
que se construye un circuito cerrado de compensación, sumando y restando
l a las variables básicas.
PASO 5:
REGLA DE SALIDA: Se elige aquella variable básica que tenga el menor
valor rotulado con - l en el mecanismo de compensación.
PASO 6:
Repetir el procedimiento desde el PASO 1, hasta hallar la solución óptima
( zij - cij ³ 0 )
EJ EMPLO: Determine la solución óptima para el problema de los 3 almacenes y 2
tiendas, tomando como S.B.F.I. la obtenidos por el métodos del costo menor (M.C.M.)
SOLUCIÓN BÁSICA FACTIBLE INICIAL
Variables Básicas
Variables No Básicas
x11 = 20
x13 = 10
x21 = 30
x22 = 10
x32 = 20
x12
x23
x31
x33
=0
=0
=0
=0
z = 250 + 10 M [u .m.]
COSTO DE TRANSPORTE:
ITERACIÓN 1:
TIENDA
T1
A
L
A1
M
A2
A
T2
2
5
0
5
M*
0
+λ
20 ­ λ
C
4
E
ui
30
u1 = 0
40
u2 = 3
20
u 3 = 6­M
10
3
0
A3
N
Oferta
TA
Demanda
50
30 + λ
20
30
10 ­ λ
vj
v1 = 2
v2 = M­3
10
v3 = 0
Dirección de Educación a Distancia _UPDS_ Modalidad Cursos por Encuentros
91
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
VARIABLES BÁSICAS
VARIABLES NO BÁSICAS
zij - c ij = c ij - ( u i + v j )
u i + v j = c ij
u1 + v1 = 2
u1 + v3 = 0
u 2 + v1 = 5
u 2 + v2 = M
u 3 + v2 = 3
Si u1 = 0
® v1 = 2
® v3 = 0
® u2 = 3
® v2 = M - 3
® u3 = 6 - M
z12 - c12 = 5 - (0 + M - 3 ) = 8 - M ¬ V . entra
z23 - c 23 = 0 - (3 + 0 ) = - 3
z31 - c 31 = 4 - (6 - M + 2 ) = M - 4
z33 - c 33 = 0 - (6 - M + 0 ) = M - 6
Variable que entra
: x12
Variable que sale
: x22 porque 10 - l = 0 Þ l = 10
Con el valor de l = 10 procedemos a corregir los valores de las variables básicas
relacionadas con el circuito y se obtiene:
ITERACIÓN 2:
TIENDA
T1
A
A1
L
M
A2
A
C
T2
2
5
0
5
M*
0
10
10 + λ
ui
30
u1 = 0
40
u2 = 3
20
u3 = ­ 2
10 ­ λ
4
E
Oferta
TA
3
0
A3
N
Demanda
50
40 ­ λ
30
vj
v1 = 2
v2 = 5
VARIABLES BÁSICAS
+λ
10
v3 = 0
VARIABLES NO BÁSICAS
20
Dirección de Educación a Distancia _UPDS_ Modalidad Cursos por Encuentros
92
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
zij - c ij = c ij - ( u i + v j )
u i + v j = c ij
Si u1 = 0
u1 + v1 = 2 ® v1 = 2
u1 + v2 = 5 ® v2 = 5
u1 + v3 = 0 ® v3 = 0
u 2 + v1 = 5 ® u 2 = 3
u 3 + v2 = 3 ® u 3 = - 2
z22 - c 22 = M - (3 + 5 ) = M - 8
z23 - c 23 = 0 - (3 + 0 ) = - 3 ¬ V . entra
z31 - c 31 = 4 - (- 2 + 2 ) = 4
z33 - c 33 = 0 - (- 2 + 0 ) = 2
Variable que entra
: x23
Variable que sale
: x13 porque 10 - l = 0 Þ l = 10
Con el valor de l = 10 procedemos a corregir los valores de las variables básicas
relacionadas con el circuito y se obtiene:
ITERACIÓN 3:
TIENDA
T1
A
A1
L
M
T2
2
5
0
5
M*
0
3
0
A2
A
ui
30
u1 = 0
40
u2 = 3
20
u3 = ­ 2
10
20
C
E
Oferta
TA
4
A3
N
Demanda
vj
50
30
v1 = 2
30
v2 = 5
VARIABLES BÁSICAS
u i + v j = c ij
10
10
v3 = ­ 3
VARIABLES NO BÁSICAS
20
zij - c ij = c ij - ( u i + v j )
Dirección de Educación a Distancia _UPDS_ Modalidad Cursos por Encuentros
93
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
Si u1 = 0
u1 + v1 = 2 ® v1 = 2
u1 + v2 = 5 ® v2 = 5
u 2 + v1 = 5 ® u 2 = 3
u 2 + v3 = 0 ® v3 = - 3
u 3 + v2 = 3 ® u 3 = - 2
z13 - c13 = 0 - (0 - 3 ) = 3
z22 - c 22 = M - (3 + 5 ) = M - 8
z31 - c 31 = 4 - (- 2 + 2 ) = 4
z33 - c 33 = 0 - (- 2 - 3 ) = 5
Como todos los valores de zij - c ij son positivos, entonces se tiene la solución óptima
del modelo.
SOLUCIÓN ÓPTIMA
Variables Básicas
Variables No Básicas
x11 = 20
x12 = 10
x21 = 30
x23 = 10
x32 = 20
x13
x22
x31
x33
=0
=0
=0
=0
z = 300 [u .m.]
COSTO DE TRANSPORTE:
INTERPRETACIÓN GRÁFICA:
ALMACEN
TIENDA
20
A1
10
T1
10
T2
30
A2
20
A3
TA
EJ ERCICIO:La empresa “BOLSEMILLAS S.A.” envia camiones cargados de grano
desde 3 silos de almacenamiento (S1, S2, S3 ) a 4 molinos (M1, M2, M3, M4). La oferta
y demanda en camiones cargados, junto con los costos de transporte (en cientos de $us
por camión) en las diferentes rutas se muestra en cuadro de costos siguiente:
Dirección de Educación a Distancia _UPDS_ Modalidad Cursos por Encuentros
94
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
MOLINOS
Oferta
M1
M2
M3
M4
S1
10
2
20
11
15
S2
12
7
9
20
25
S3
4
14
16
18
10
Demanda
5
15
15
15
S
I
L
O
S
6.3
MODELO DE ASIGNACIÓN
El problema de asignación es un caso particular del modelo de transporte, el cual
presenta dos características a ser tomadas en cuenta:
i)
Las variables de decisión X ij solo toman valores de 1 o 0, transformándose
en variables binarias de aceptación o no aceptación.
ii)
Las ofertas y demandas son todas iguales a 1, por lo que a i = b j = 1
El modelo de asignación consiste en asignar “ m ” centros de oferta a “ n ” centros de
demanda, debiendo realizarse la asignación uno a uno, con el objetivo de minimizar el
costo total asociado.
6.3.1 For mulación matemática del modelo de asignación
DESTINOS
O
R
1
2
C11
C12
.
.
C21
.
.
C22
.
.
.
.
.
Cm1
Cm2
1
1
1
2
I
G
E
N
E
m
…
…
…
…
n
C1n
1
C2n
.
.
1
.
.
Cmn
1
S
Demanda
…
Oferta
.
.
1
Dirección de Educación a Distancia _UPDS_ Modalidad Cursos por Encuentros
95
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
Para determinar la solución óptima, se utiliza el Algoritmo Húngaro, cuyo
procedimiento es:
PASO 1: Balancear el problema; es decir que:
N° de Or ígenes = N° de Destinos
i) Si
cero
N° de Orígenes < N° de Destinos
ii) Si
N° de Orígenes >N° de Destinos
→
→
Añadir filas ficticias con costo igual a
Añadir columnas ficticias con costo
igual a cero
iii) Si se quiere penalizar un Origen y/o destino
→
Se utiliza como costo asociado
M
PASO 2: Construir una nueva matriz de costos, donde aparezca por lo menos un Cero
en cada fila y columna (restar los valores menores de cada fila y/o columna
con los demás valores correspondientes de cada fila y/o columna ).
PASO 3: Probar una asignación tentativa en las posiciones con costo igual a cero; si ésta
es posible entonces el problema concluye, de lo contrario ir al paso 4.
PASO 4: Prueba de optimalidad: Trazar el Mínimo Número de líneas que tachen a
todos los ceros de la matriz.
PASO 5: Seleccionar el valor más pequeño que no este cruzado por las líneas; éste
valor restar de todo elemento no tachado y sumar a todo elemento intersectado
por una línea horizontal y vertical.
PASO 6: Volver al paso 3 hasta encontrar la asignación óptima.
EJ EMPLO: El gerente de una empresa de servicios integrales, debe tomar la decisión
de asignar a 3 de sus empleados (Fabiola, Wilson y Javier) la realización de 3 tareas
Dirección de Educación a Distancia _UPDS_ Modalidad Cursos por Encuentros
96
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
(Podar el césped, pintar la cochera y lavar automóviles) en el domicilio de un cliente.
Los costos de realizar cada una de las actividades por parte de los tres empleados se
muestra ne la tabla de costos siguiente:
PODAR
PINTAR
LAVAR
FABIOLA
15
10
9
WILSON
9
15
10
JAVIER
10
12
8
Todos los valores de costo están dados en dólares. Tomando como base esta
información ¿Cuál deberá ser la asignación óptima que debe realizar el gerente para que
el costo sea el mínimo?
PODAR PINTAR LAVAR Mínimo
FABIOLA
15
10
9
9
WILSON
9
15
10
9
JAVIER
10
12
8
8
ITERACIÓN 1:
PODAR PINTAR LAVAR
F
6
1
0
W
0
6
1
J
2
4
0
Mínimo
0
1
0
ITERACIÓN 2:
PODAR PINTAR LAVAR
F
6
0
0
W
0
5
1
J
2
3
0
Dirección de Educación a Distancia _UPDS_ Modalidad Cursos por Encuentros
97
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
Como es posible asignar a cada uno de los empleados una sola tarea, entonces es la
solución con costo mínimo.
COSTO [$us.]
10
EMPLEADO
FABIOLA
TAREA
PINTAR
WILSON
PODAR
9
JAVIER
LAVAR
8
27 [$us.]
COSTO TOTAL DE ASIGNACIÓN:
v Si suponemos que no se obtuvo la solución en el paso 3 (anterior solución), entonces
procedemos a optimizar realizando los pasos 4, 5 y 6.
ITERACIÓN 2:
ITERACIÓN 3:
PODAR PINTAR LAVAR
PODAR PINTAR LAVAR
F
6
0
0
F
9
0
3
W
0
5
1
W
0
2
1
J
2
3
0
J
2
0
0
NOTA: El valor elegido (3) se suma a los valores intersectados por una línea horizontal
y una línea vertical (6 y 0); los valores que no están afectados por una intersección se
mantienen, mientras que los valores que no están atravesados por ninguna línea son
restados con el valor elegido (3) como se muestra en el cuadro correspondiente a la
Iteración 3. Posteriormente se procede a la asignación.
v Como podemos observar, verificamos que la solución obtenida anteriormente es la
solución óptima.
EJ ERCICIO: El jefe de producción de la empresa “MUEBLES FÁTIMA” debe
asignar la utilización de cuatro máquinas a cuatro operarios que requieren el uso de las
mismas. Los tiempos en minutos registrados del uso de cada máquina para realizar cada
uno de los trabajos, se muestran en el siguiente cuadro:
OP1
OP2
OP3
OP4
Dirección de Educación a Distancia _UPDS_ Modalidad Cursos por Encuentros
98
Ciencias Empresariales
Usted
como
Investigación de Operaciones
M1
10
5
9
18
M2
13
19
6
12
M3
18
9
12
17
M4
11
6
14
19
profesional
entendido en el tema. ¿Cuál deberá ser la asignación que minimice el tiempo total de
uso de las máquinas?
6.4
EL MODELO DE TRANSBORDO
Este modelo reconoce que en la vida real, tal vez resulte más económico enviar a través
de nodos intermedios o transitorios, antes de llegar al punto de destino final. Este
concepto es más general que el propuesto por el modelo de transporte regular, donde los
envíos directos solo están permitidos entre puntos de origen y destino.
Para convertir un modelo de transbordo en un modelo de transporte regular , se utiliza
el concepto de Amortigüador , considerando que las cantidades de oferta y la demanda
en los diferentes nodos se calculan de la siguiente manera:
·
·
·
Oferta en un nodo puro de oferta
Oferta en un nodo puro de transbordo
Oferta de un nodo de transbordo y demanda
=
=
=
Oferta original
Amortigüador
Amortiguador
·
Demanda de un nodo puro de demanda
=
Demanda de un nodo de transbordo y demanda =
Amortigüador
Demanda original
Demanda
original
·
Demanda de un nodo puro de transbordo
Amortigüador
·
i)
=
+
Nodo pur o de Ofer ta: Es aquel nodo del cual salen las cantidades ( nodo
origen)
1
Nodo pur o de demanda: Es aquel nodo al cual llegan las cantidades ( nodo
destino )
ii)
2
Dirección de Educación a Distancia _UPDS_ Modalidad Cursos por Encuentros
99
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
Nodo de tr ansbor do: Es aquel nodo al cual llegan y salen las cantidades ( nodo
iii)
intermedio)
3
NOTA: El valor del amortigüador debe ser suficientemente grande para permitir que
todas las ofertas pasen por cualquiera de los nodos de transbordo, hasta llegar a la
demanda final. Generalmente se considera que sea igual a la sumatoria de la oferta; es
decir:
B = SOferta
EJ EMPLO: Una compañía de distribución tiene dos plantas (P­1, P­2), dos almacenes
mayoristas (A1, A2) y dos tiendas de venta al menudeo (T1, T2 ). En la red adjunta se
presentan las capacidades de las plantas, las demandas de las tiendas y los costos de
transporte por unidad [$us./u.].
1
100
6
A1
P­1
150
T1
4
1
3
5
1
3
200
P­2
2
A2
8
T2
150
Primeramente identificamos los tipos de nodos que se presentan en la red
·
Nodos puros de oferta
:
·
Nodos puros de demanda
:
·
Nodos puros de transbordo
:
P­1 , P­2
T2
A1 , A2
Dirección de Educación a Distancia _UPDS_ Modalidad Cursos por Encuentros
100
Ciencias Empresariales
·
Investigación de Operaciones
Nodos de transbordo y demanda
T1
:
Ahora construimos la tabla de costos de transporte, identificando los orígenes, destinos
y el valor del amortigüador
·
Orígenes
:
P - 1 , P - 2 , A1 , A 2 , T 1
·
Destinos
:
A1 , A 2 , T 1 , T 2
·
Valor del amortigüador
B = 300
:
DESTINOS
Oferta
A1
O
E
N
E
S
T1
T2
P­1
1
4
M
M
100
P­2
3
2
M
M
200
A1
0
1
6
M
300
A2
3
0
5
8
300
M
M
0
1
R
I
G
A2
T1
Demanda
300
300
300
450
150
Mediante el M.E.N. se tiene la solución básica factible inicial (S.B.F.I.)
DESTINOS
Oferta
A1
O
R
I
P­1
P­2
T2
1
4
M
M
100
3
2
M
M
200
1
6
M
300
5
8
300
0
1
200
A1
N
A2
S
T1
100
G
E
E
A2
T1
0
300
0
3
M
0
0
300
M
150
150
300
Dirección de Educación a Distancia _UPDS_ Modalidad Cursos por Encuentros
101
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
Demanda
300
300
450
150
SOLUCIÓN BÁSICA FACTIBLE INICIAL
Variables Básicas
Variables No Básicas
x11 = 100
x21 = 200
x31 = 0
x32 = 300
x12
x13
x14
x22
=0
=0
=0
=0
x42
x43
x53
x54
x23
x24
x33
x34
=0
=0
=0
=0
=0
= 300
= 150
= 150
x41 = 0
x44 = 0
x51 = 0
x52 = 0
z = 2650 [$us.]
COSTO DE TRANSPORTE:
Luego aplicamos la etapa de optimalidad para obtener la solución óptima.
DESTINOS
A1
O
P­1
1
T1
P­2
G
A1
E
A2
E
T1
S
200 ­ λ
3
+λ
M
M
100
u1 = 1
2
M
M
200
u2 = 3
6
M
300
u3 = 0
5
8
300
u3 = ­ 1
300
u3 = ­ 6
0
1
150
Demanda
300
300
450
150
vj
v1 = 0
v2 = 1
v3 = 6
v3 = 7
u i + v j = c ij
ui
4
0
1
0 + λ 300 ­ λ
3
0
0
300
M
M
150
VARIABLES BÁSICAS
Oferta
T2
100
R
I
N
A2
VARIABLES NO BÁSICAS
zij - c ij = c ij - ( u i + v j )
Dirección de Educación a Distancia _UPDS_ Modalidad Cursos por Encuentros
102
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
z12 - c12 = 2
z13 - c13 = M - 7
z14 - c14 = M - 8
z22 - c 22 = - 2 ¬ V . entra
z23 - c 23 = M - 9
z24 - c 24 = M - 10
z33 - c 33 = 0
z34 - c 34 = M - 7
z41 - c 41 = 4
z44 - c 44 = 2
z51 - c 51 = M + 6
z52 - c 52 = M + 5
Si v1 = 0
u1 + v1 = 1 ® u1 = 1
u 2 + v1 = 3 ® u 2 = 3
u 3 + v1 = 0 ® u 3 = 0
u 3 + v2 = 1 ® v2 = 1
u 4 + v2 = 0 ® u 4 = - 1
u 4 + v3 = 5 ® v3 = 6
u 5 + v3 = 0 ® u 5 = - 6
u 5 + v4 = 1 ® v4 = 7
Variable que entra
: x22
Variable que sale
: x21 porque 200 - l = 0 Þ l = 200
Con el valor de l = 200 procedemos a corregir los valores de las variables básicas
relacionadas con el circuito y se obtiene:
DESTINOS
Oferta
A1
O
R
P­1
I
P­2
G
A1
E
S
T1
1
T2
4
M
M
100
2
M
M
200
1
6
M
300
5
8
300
100
E
N
A2
3
0
200
100
3
A2
T1
Demanda
200
M
0
0
300
M
0
150
300
300
450
1
150
300
150
Siendo esta última tabla la solución óptima que nos da un costo de transporte mínimo
igual a z = 2250 [$us. ] , representamos gráficamente ésta solución:
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103
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
100
100
150
A1
P­1
1
100
200
T1
300
1
150 1
5
200
P­2
A2
150
T2
2
EJ ERCICIO: Dos fábricas de automóviles F1 y F2 están conectadas a tres
distribuidores D1, D2 y D3 , por medio de dos centros de tránsito T1 y T2 de acuerdo a
la red adjunta. Las cantidades de oferta en las fábricas F1 y F2 son de 1000 y 1200
automóviles, las cantidades de demanda en las distribuidoras D1, D2 y D3 son de 800,
900 y 500 automóviles respectivamente. El costo de envió por automóvil (en cientos de
dólares) entre los pares de nodos, se muestra en los eslabones (arcos) de conexión de la
red.
D1
800
8
1000
3
F1
T1
6
4
7
2
1200
5
D2
900
4
F2
3
T2
5
9
D3
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500
104
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
ÍNDICE
PROGRAMA ANAL ITICO..................................................................................................................1
I.
JUSTIFICACION ............................................................................................................................... 1
II.
OBJETIVO DE LA MATERIA ......................................................................................................... 1
III.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS ..................................................................................................... 1
IV.
UNIDADES PROGRAMÁTICAS .............................................................................................. 2
V. METODOLOGÍA DE LA ENSEÑANZA........................................................................................ 6
VII.
BIBLIOGRAFÍA............................................................................................................................. 6
BASICA: ................................................................................................................................................... 6
LAS ORIENTACIONES METODOLÓGICAS .................................................................................................7
1.
Introducción............................................................................................................................................. 7
1.1. Objetivos Generales.............................................................................................................................. 7
2.­ DESARROLLO. ........................................................................................................................................... 8
2.1.­ NÚCLEOS TEMÁTICOS....................................................................................................................... 8
2.2.­ BIBLIOGRAFÍA COMENTADA ........................................................................................................... 14
2.3.­ MATERIAL EXPLICATIVO ................................................................................................................. 14
2.4.­EJEMPLIFICACIÓN............................................................................................................................. 15
2.5.­ MÉTODOS A UTILIZAR ..................................................................................................................... 15
3.­ CONCLUSIONES................................................................................................................................. 16
UNIDAD 1 ..........................................................................................................................................17
INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES ..................................................17
1.1
Introducción .................................................................................................................................. 17
1.2
Origen de la Investigación de Operaciones................................................................................. 17
1.3
Precursores y estudiosos de la Investigación de Operaciones ................................................... 18
1.4
Naturaleza y alcance de la Investigación de Operaciones.......................................................... 19
1.5
Concepto de la Investigación de Operaciones ............................................................................ 21
1.6
Modelos matemáticos de Decisión y su Clasificación ............................................................... 21
1.6.1
Concepto de Modelo........................................................................................................... 21
1.6.2
Clasificación de los Modelos matemáticos de decisión .................................................. 21
1.7
Metodología de la Investigación de Operaciones ....................................................................... 23
1.8
Aplicaciones de algunos modelos de la I.O. ............................................................................... 25
1.9
Beneficios de la aplicación de un proyecto de I.O ..................................................................... 25
UNIDAD 2 ..........................................................................................................................................27
FORMULACIÓN DEL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL ...............................................27
2.1
Introducción .................................................................................................................................. 27
2.2
Concepto de Programación Lineal............................................................................................... 27
2.3
Procedimiento para Formular un M.P.L...................................................................................... 27
2.3.1
Definición de Variables...................................................................................................... 27
2.3.2
Definición de la Función Objetivo .................................................................................... 28
2.3.3.
Restricciones Estructurales (o funcionales) ...................................................................... 28
2.3.4
Restricciones de No Negatividad....................................................................................... 29
2.4
Planteamiento de los recursos por unidad de actividad.............................................................. 30
2.5
Formas de presentación de un M.P.L. ......................................................................................... 30
2.5.1
Formulación canónica ........................................................................................................ 30
2.5.2
Formulación Mixta ............................................................................................................. 31
2.5.3
Formulación Estandar......................................................................................................... 31
2.6
EJERCICIOS DE FORMULACIÓN .......................................................................................... 31
2.7
EJERCICIOS PROPUESTOS (PRACTICO Nº 1) .................................................................... 38
UNIDAD 3 ..........................................................................................................................................42
MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE UN M.P.L......................................................................................42
UNIDAD 4 ..........................................................................................................................................66
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105
Ciencias Empresariales
Investigación de Operaciones
TEORIA DE L A DUALIDAD.............................................................................................................66
4.1
Introducción .................................................................................................................................. 66
4.2
Definición...................................................................................................................................... 66
4.4
Comparación del modelo PRIMAL con el DUAL..................................................................... 67
4.5
Tabla resumen de transformación................................................................................................ 68
4.6
Interpretación económica de las variables duales....................................................................... 68
UNIDAD 5 ..........................................................................................................................................74
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD ........................................................................................................74
5.1
Introducción .................................................................................................................................. 74
5.2
Tipos de cambios en un M.P.L. ................................................................................................... 74
UNIDAD 6 ..........................................................................................................................................81
MODELO DE TRANSPORTE Y ASIGNACIÓN .............................................................................81
6.1
Introducción .................................................................................................................................. 81
6.2.
Modelo de transporte .................................................................................................................... 81
6.2.1
Formulación matemática del modelo de transporte.......................................................... 81
6.2.2
Matriz de Costos del modelo de transporte....................................................................... 82
6.3
MODELO DE ASIGNACIÓN .................................................................................................... 95
6.3.1
Formulación matemática del modelo de asignación......................................................... 95
6.4
EL MODELO DE TRANSBORDO............................................................................................ 99
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