MÓDULO DIDÁCTICO 1. Combinatoria. Muestras ordenadas
3. PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN
Para calcular el cardinal del producto cartesiano entre dos conjuntos X y Y se utiliza el
llamado principio de la multiplicación. Este principio se puede generalizar para más
de dos conjuntos; es el llamado principio de la multiplicación generalizado.
3.1 Principio de la multiplicación
Proposición 1.11
Si 𝑋 y 𝑌 son dos conjuntos finitos, entonces |𝑋 × 𝑌| = |𝑋|. |𝑌|
Ejemplo 1-25
Si consideramos 𝑋 = {1,2,3} , 𝑌 = {a, 𝑏, 𝑐, 𝑑 } ; entonces el conjunto 𝑋 × 𝑌 es:
𝑋 × 𝑌 = {(1, a), (1, 𝑏), (1, 𝑐 ), (1, 𝑑 ), (2, a), (2, 𝑏), (2, 𝑐 ), (2, 𝑑 ),
(3, a), (3, 𝑏), (3, 𝑐 ), (3, 𝑑 )}
Efectivamente |𝑋 × 𝑌| = 12, además siendo |𝑋| = 3 y |𝑌| = 4; por lo tanto se
verifica la igualdad |𝑋 × 𝑌| = |𝑋|. |𝑌|
Una manera de construir (sistemáticamente) el conjunto 𝑋 × 𝑌 del ejemplo
anterior es la que utilizamos en la figura siguiente, en que se aplica un diagrama
en árbol que permite la escritura de todas las parejas ordenadas. Análogamente,
podemos utilizar este tipo de diagramas para construir los elementos de conjuntos
producto del tipo 𝑋 × 𝑌 × 𝑇, etc.
a
→
(1, a)
→
1a
𝑏
→
(1, 𝑏)
→
1𝑏
𝑐
→
(1, 𝑐 )
→
1𝑐
𝑑
→
(1, 𝑑 )
→
1𝑑
a
→
(2, a)
→
2a
𝑏
→
(2, 𝑏)
→
2𝑏
𝑐
→
(2, 𝑐 )
→
2𝑐
𝑑
→
(2, 𝑑 )
→
2𝑑
a
→
(3, a)
→
3a
𝑏
→
(3, 𝑏)
→
3𝑏
𝑐
→
(3, 𝑐 )
→
3𝑐
𝑑
→
(3, 𝑑 )
→
3𝑑
1
2
3
Demostración
La demostración de la igualdad |𝑋 × 𝑌| = |𝑋|. |𝑌| resulta sencilla si tenemos en
cuenta que el conjunto 𝑋 × 𝑌 se puede pensar como una unión disjunta de
conjuntos en que cada uno de ellos es de cardinal igual al cardinal de 𝑌 .
De la hipótesis:
∎ |𝑋| = 𝑛 → 𝑋 = {𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 }
∎ |𝑌| = 𝑚 → 𝑌 = {𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 }
Definamos los conjuntos:
𝑃𝑖 = {(𝑥𝑖 , 𝑦1 ), (𝑥𝑖 , 𝑦2 ), … , (𝑥𝑖 , 𝑦𝑚)}
𝑐𝑜𝑛 𝑖 ∈ {1,2,3, … , 𝑛}
Los cuales, satisfacen lo siguiente:
∎ |𝑃𝑖 | = 𝑚
∎ ∀𝑖 ≠ 𝑗: 𝑃𝑖 ∩ 𝑃𝑗 = ∅, 𝑐𝑜𝑛 𝑗 ∈ {1,2,3, … , 𝑛}
𝑛
∎ 𝑋 × 𝑌 = ⋃ 𝑃𝑖
𝑖=1
Por lo tanto:
𝑋 × 𝑌 = 𝑃1 ∪ 𝑃2 ∪ … ∪ 𝑃𝑛
Y de acuerdo con el principio de la adición generalizado, tenemos:
|𝑋 × 𝑌| = |𝑃1 | + |𝑃2 | + ⋯ + |𝑃𝑛 |
|𝑋 × 𝑌 | = 𝑚 + 𝑚 + ⋯ + 𝑚
|𝑋 × 𝑌| = 𝑛. 𝑚
|𝑋 × 𝑌 | = |𝑋 |. |𝑌 |
𝒍. 𝒒. 𝒒. 𝒅
3.2 Principio de la multiplicación generalizada
Proposición 1.12
Si 𝑋1 , … , 𝑋𝑚 son conjuntos finitos, entonces el cardinal del conjunto:
𝑋1 × … × 𝑋𝑚 es el producto de los cardinales de cada conjunto. Es decir:
|𝑋1 × … × 𝑋𝑚 | = |𝑋1 | ∙ … ∙ |𝑋𝑚 |
Comentario.
La demostración de esta proposición se realiza aplicando el método de inducción
y considerando los pasos de la demostración del Principio de la Multiplicación.
3.3 Ejercicios
Ejercicio 1.26
Si lanzamos tres dados distinguibles (rojo, azul, amarillo), ¿cuántos resultados
posibles podemos obtener?
Resolución
Cada resultado puede ser representado como una
terna, por ejemplo, (2; 5; 1) representa el resultado:
“2 en el dado rojo, 5 en el dado azul, 1 en el dado
amarillo”. Con esta interpretación, lo que tenemos
que hacer es calcular el cardinal del conjunto
𝑋 × 𝑋 × 𝑋 donde 𝑋 = {1,2,3,4,5,6}, por lo tanto:
|𝑋 × 𝑋 × 𝑋| = |𝑋|. |𝑋|. |𝑋| = 6.6.6 = 63 = 216
Ejercicio 1.27
Si lanzamos cinco dados distinguibles, ¿cuántos
resultados posibles podemos obtener?
Resolución
Considerando un razonamiento, análogo al ejercicio
anterior, con 𝑋 = {1,2,3,4,5,6} se obtiene:
|𝑋|. |𝑋|. |𝑋|. |𝑋|. |𝑋| = 6.6.6.6.6 = 65 = 7776
Ejercicio 1.28
Una empresa de ordenadores utiliza para identificar
las máquinas un número (número de identificación)
formado por dos letras, seguidas de dos dígitos
decimales, dos letras más y, finalmente, cuatro
dígitos decimales más. ¿Cuántos números de
identificación son posibles? (el alfabeto es de
veintiséis letras.)
Resolución
Un número de identificación arbitrario, lo podemos representar como:
Letras
Dígitos
Letras
D D
9
3
T
V
4
5
4
3
26
10
10
26
26
10
10
10
10
26
Dígitos
Luego, por el principio de multiplicación generalizado; la cantidad de posibles
números de identificación que se pueden formar serían de:
262 . 102 . 262 . 104 = 264 . 106 = 456 976 000 000
MÓDULO DIDÁCTICO 5. Fundamentos de grafos
1. CARACTERIZACIÓN DE UN GRAFO
1.3 Subestructuras de un grafo
Definición 5.8
Dado un grafo 𝐺 = (𝑉, 𝐴) un subgrafo de 𝐺 es un grafo 𝐾 = (𝑉′, 𝐴′) en donde
𝑉 ′ ⊂ 𝑉, 𝐴′ ⊂ 𝐴; de manera que las aristas del subgrafo, unen vértices del
subgrafo.
Ejemplo 5-14
El grafo 𝐺 = (𝑉, 𝐴) se representa en la Figura 1, de donde observamos que:
𝑉 = {1,2,3,4,5} y 𝐴 = {{1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, {2,3}, {2,4}, {3,4}, {3,5}, {4,5}}
Un subgrafo puede ser: 𝐾 = (𝑉′, 𝐴′) con 𝑉 ′ = {1,2,4,5} y 𝐴′ = {{2,4}, {4,5}}
La representación del subgrafo 𝐾 sería como se muestra en la Figura 2.
Figura 1
Figura 2
Definición 5.9
Dado un grafo 𝐺 = (𝑉, 𝐴) un subgrafo de 𝐺 es un g
•
Dado un grafo 𝐺 = (𝑉, 𝐴) y un subconjunto 𝑆 ⊂ 𝑉, se define el subgrafo
generado o inducido por 𝑆 en 𝐺 como el grafo ⟨𝑆⟩ = (𝑆, 𝐴′), de tal manera
que: {𝑢, 𝑣 } ∈ 𝐴′ ⟺ {𝑢, 𝑣 } ∈ 𝐴 y 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑆. Así, el conjunto de las aristas de
⟨𝑆⟩ son las que, siendo de 𝐺, conectan vértices de 𝑆.
•
Sean 𝐺 = (𝑉, 𝐴) y 𝐻 = (𝑉′, 𝐴′) dos grafos; se dice que 𝐻 es subgrafo
generador o de expansión de 𝐺 si 𝑉 ′ = 𝑉 y 𝐴′ ⊂ 𝐴
Considerando, nuevamente el grafo 𝐺 = (𝑉, 𝐴) de la Figura 1, tenemos:
Subgrafo generado por S en 𝐺:
⟨𝑆⟩ = (𝑆, 𝐴′) donde 𝑆 = {2,3,4,5} y 𝐴′ = {{2,3}, {2,4}, {3,4}, {3,5}, {4,5}}
La representación del subgrafo generado por S se muestra en la Figura 3.
Subgrafo generador H de 𝐺:
𝐻 = (𝑉′, 𝐴′) donde 𝑉 ′ = {1,2,3,4,5} y 𝐴′ = {{2,4}, {3,4}}
La representación del subgrafo generador H se muestra en la Figura 4.
Figura 3
Figura 4
