DETERMINANDO LA ALCANCE MÁXIMO UTILIZANDO UN HIDROCOHETE (Huamán Valera Anghela I.E.P KEPLER Trujillo- Perú) Resumen: En el siguiente documento se evidencia una forma teórico-práctico del movimiento parabólico de una partícula, en la que involucramos un hidrocohete y una base inclinada con un ángulo de 45º para determinar el alcance máximo; y gracias a algunos materiales como el hidrocohete una base de cartón. Por último, no menos importante un cronometro y una guincha para capturar los datos que nos sirven para poder interpretar el tiro parabólico. Gracias a estos datos podemos hacer algunos análisis para dar con una gráfica que nos ayudaran a entender mejor los resultados que obtendremos. Palabras Clave: movimiento parabólico, tiempo, velocidad inicial, alcance máximo. Abstract: The following document shows a theoretical-practical form of the parabolic movement of a particle, in which we involve a hydro-rocket and a base inclined with an angle of 45º to determine the maximum range; and thanks to some materials like the hydro-rocket a cardboard base. Last but not least, a stopwatch and a winch to capture the data that help us to interpret the parabolic shot. Thanks to these data we can do some analysis to find a graph that will help us better understand the results we will obtain. Keywords: parabolic movement, time, initial speed, maximum reach. I. INTRODUCCION: Se sabe por experiencia propia que, al ser soltada, una piedra desciende hasta tocar la superficie de la tierra, este hecho es conocido por el hombre desde su aparición sobre el planeta. En la antigüedad ya se especulaba cómo debía estar relacionado el tiempo de caída de los cuerpos con el peso' de los mismos. Entre los diversos planteamientos que se dieron destaca el del filósofo griego Aristóteles, quien en su obra sobre los cielos señala: La rapidez de caída de los objetos es proporcional al peso de los mismos. De tal planteamiento Aristóteles dedujo que un objeto al caer recorre una distancia en determinado tiempo y un objeto más pesado cubre la misma distancia en menor tiempo, de donde concluimos que el tiempo de caída de los cuerpos es inversamente proporcional al peso. Por ejemplo, si un cuerpo pesa el doble que otro, tardará la mitad de tiempo en caer la misma altura. Figura 01: La histórica Torre de Pisa (Italia), en donde según se comenta Galileo Galilei hizo algunas pruebas para verificar sus hipótesis. Hoy en día bastaría poner en práctica un método simple de medida del tiempo para demostrar experimentalmente que un cuerpo de peso doble que otro, emplea el mismo tiempo en caer. Sin embargo, esto era un problema, por ejemplo, para los sabios del Renacimiento, Leonardo Da Vinci, uno de ellos, llegó a plantear sobre la caída de los cuerpos que la rapidez de caída es directamente proporcional al tiempo. Se trató de demostrar ésta y otras teorías en la práctica misma, pero surgían algunos inconvenientes, como por ejemplo la acentuada rapidez con que se producía la caída de los cuerpos. Figura 02: Leonardo Da Vinci, entre otras actividades que realizaba, fue un gran inventor de muchos mecanismos y dispositivos. La fotografía muestra el esquema de un prototipo de un automóvil que funcionaba con resortes. El problema de la caída de los cuerpos fue resuelto en cierta forma por el sabio Florentino Galileo Galilei haciendo rodar bolas de bronce pulido sobre un canal practicado en una tabla, de esta forma Galileo hacia que la caída de los cuerpos transcurriera más lenta y al relacionar los desplazamientos de las bolas con el tiempo, pudo determinar las velocidades en diferentes instantes. También a partir de sus experimentos sobre el movimiento pendular, Galileo puso en tela de juicio la tesis según la cual el tiempo de caída dependía del peso de los cuerpos. En sus experimentos verificó que el tiempo de oscilación del cuerpo que está suspendido de un hilo, no depende del peso del cuerpo, por ello Galileo señalaba que Aristóteles estaba equivocado, mas se le presentó una dificultad. Si el peso de un cuerpo no influye en el tiempo de caída, ¿por qué una piedra y una pluma al ser soltadas de la misma altura no caen al mismo tiempo? Esta situación la superó hábilmente Galileo al plantear que en ausencia del aire la piedra y la pluma descienden en línea recta y para iguales desplazamientos se emplean iguales intervalos de tiempo. Figura 03: Galileo interpretó como caída al descenso del cuerpo y el tiempo (t) no dependía de la masa (m). Figura 04: En presencia del aire, la pluma describe un trayecto complicado y demora más en llegar a la superficie. Figura 06: Trayectorias distintas. Figura 05: El deporte salto largo en ausencia de efectos del aire sería un ejemplo de movimiento parabólico de caída libre. Años más tarde, el físico-químico francés Robert Boyle realizó un experimento de caída libre en un tubo de vacío de aire y demostró la validez de la tesis de Galileo. II. MOVIMIENTO PARABÓLICO DE CAÍDA LIBRE: Este movimiento que vamos a analizar, como todos los movimientos de caída libre, es una aproximación de casos reales, como, por ejemplo: el lanzamiento de jabalina, el salto largo, el movimiento de una pelota de béisbol, el disparo de un proyectil desde un cañón, etc. Como podemos ver, son innumerables las situaciones que se asemejan a un movimiento con trayectoria parabólica. El estudio de balística, parece que, en el Renacimiento, impulsó el análisis del movimiento de los proyectiles; sobre todo para obtener los mayores alcances horizontales. Los eruditos de aquella época consideraban que la trayectoria (parabólica) que seguían los proyectiles era el resultado del conflicto entre la atracción de la Tierra y el ímpetu del cuerpo, pero como no tenían conocimiento de la inercia, no podían explicar satisfactoriamente el movimiento parabólico. El enfoque del movimiento de los proyectiles lo resolvió de manera astuta Galileo Galilei, ya que consideraba que dicho movimiento resultaba de la unión de dos movimientos que se realizan independiente y simultáneamente. Según Galileo el movimiento del proyectil a lo largo de la horizontal es uniforme, es decir, ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝐻 = 𝑐𝑡𝑒, mientras que a lo largo de la vertical es uniformemente variado debido a que consideró constante la aceleración de la gravedad. eee Figura 07: Según el enfoque de Galileo el movimiento parabólico era la unión del MRU y MVCL. Figura 08: La foto muestra los arcos parabólicos que siguen las partículas incandescentes que se originan a la hora de soldar. III. DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO PARABÓLICO: Plasmemos la idea examinando el dada por siguiente Galileo caso: El movimiento de la piedra es uniforme, entonces 𝑣𝐻 = 30 m/s (cte.) y en esta dirección se tienen características del M.R.U. ∴ Cada 1s la piedra avanza 30 m en dicha dirección, luego en 3 s: 𝑑𝐻 90 m. También el alcance horizontal (𝑑𝐻 ) realizado se puede calcular así 𝑑𝐻 = 𝑣𝐻 𝑡 Figura 09: Una piedra es lanzada horizontalmente con 30 m/s desde el alto de un acantilado por un joven (considere g = 10𝑚⁄𝑠2 ). He aquí las siguientes consideraciones: 1. Despreciamos efectos del aire para que la piedra esté en caída libre, solo bajo el efecto de la atracción terrestre. 2. Como el lanzamiento es horizontal, a la piedra se le comunica velocidad solo en dicha dirección 𝑣𝐻 = 30 m/s y 𝑣𝑉 = 0, como el aire no ofrece resistencia ésta no cambiará. 3. Verticalmente la piedra inicia su movimiento 𝑣𝑉 = 0 y por acción de la aceleración de la gravedad en cada 1s su rapidez varía en 10m/s. donde t es el intervalo de tiempo utilizado en efectuar dicho alcance. Verticalmente: En esta dirección hay la influencia de la atracción de la Tierra. Esto se refleja en el efecto que ejerce sobre la variación de la velocidad (aceleración 𝑔 causada por la atracción terrestre) de modo que cada 1 s su velocidad vertical (𝑣𝑉 ) aumenta en 10 m/s y su descenso aumenta también en 10 m cada un segundo. Efectivamente durante el primer segundo desciende 5 m, luego 15 m, después 25 m, ... así sucesivamente. La componente vertical está sujeta a las leyes del movimiento vertical de caída libre ya estudiadas en el apartado anterior, de ahí que el desplazamiento vertical en 3 s sería 𝑑𝑉 = (5+15+25) = 45 m y para cualquier instante de tiempo se puede calcular así 1 ⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑉 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑂𝑉 𝑡 + 𝑔𝑡 2 2 Debemos tener en cuenta que: Figura 10: Así quedaría con las condiciones planteadas. Horizontalmente: (02) Figura 11: La velocidad de la piedra en cualquier instante es tangente a la trayectoria parabólica. de donde, en función de los componentes definimos vectorialmente 𝑣𝑃 = ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝐻 + ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑉 En módulo |⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑃 | = √𝑣𝐻2 + 𝑣𝑉2 También es importante tener en cuenta que: Figura 13: Horizontalmente M.R.U. se verifica un 𝑥 = 𝑣𝐻 𝑡 ∴𝑡= Figura 12: Todo instante la aceleración del objeto es 𝑔 y en algunos casos podemos descomponerla rectangularmente. 𝑔 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑎𝑁 + ⃗⃗⃗⃗ 𝑎𝑟 𝑥 𝑣𝐻 (01) Verticalmente (M.V.C.L.), usamos la ecuación vectorial 1 𝑦 = 𝑣𝑂𝑉 𝑡 + 𝑔𝑡 2 2 Remplazando 𝑥 1 𝑥 2 𝑦 = 0 ( ) + (−𝑔) ( ) 𝑣𝐻 2 𝑣𝐻 Simplificando 2 −𝑔 𝑦 = ( 2 ) 𝑥2 2𝑣𝐻 donde: 𝑎𝑁 : aceleración normal (cambia sólo la dirección de la velocidad). 𝑎𝑟 : aceleración tangencial (cambia sólo el módulo de la velocidad). Ahora pasemos a demostrar que la trayectoria es realmente la parábola. Como el movimiento ocurre en el plano cartesiano XY; será necesario hallar una relación entre dichas coordenadas. Empezamos trazando nuestro plano cartesiano cuyo origen coincide con la posición de lanzamiento así Donde 2 −𝑔 ( 2 ) = 𝐾; 𝐾 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 2𝑣𝐻 Por lo tanto 𝑦 = 𝐾𝑥 2 es la ecuación de una parábola con vértice en el origen de coordenadas y como K< 0, es cóncava o abierta hacia abajo. Por lo tanto, la piedra realiza un movimiento parabólico de caída libre (M.P.C.L.). V. Figura 14: El lanzamiento de los proyectiles impulsó el estudio del movimiento parabólico. La figura muestra el hecho siguiente: el descenso vertical es independiente de la velocidad horizontal de lanzamiento. IV. 1. 2. PROPIEDADES DEL M.P.C.L: A un mismo nivel 𝑡𝑠𝑢𝑏 = 𝑡𝑐𝑎𝑖𝑑𝑎 𝑣𝑠𝑢𝑏 ≠ 𝑣𝑐𝑎𝑖𝑑𝑎 En módulo: |𝑣𝑠𝑢𝑏 | = |𝑣𝑐𝑎𝑖𝑑𝑎 | Además, un cuerpo alcanza su 𝐻𝑚á𝑥 en el instante que la componente vertical (𝑣𝑉 ) de la velocidad sea nula. 3. El alcance máximo se logra con una inclinación de 45º. 4. Si se lanza una partícula con la misma velocidad inicial y con ángulos de elevación complementarios, entonces obtendremos el mismo alcance. Figura 15: Foto estroboscópica con destellos de 1/10 s que muestra a una esfera que ha sido soltada y al mismo tiempo otra es lanzada horizontalmente del mismo lugar. Para cualquier intervalo de tiempo en la dirección vertical descienden lo mismo. ECUACIONES: 𝑉𝑦 = 𝑉𝑜 sin 𝛼 (02) 𝑉𝑥 = 𝑉𝑜 cos 𝛼 (03) Tiempo de vuelo 𝑇𝑣 = 2𝑉𝑜 sin 𝛼 2𝑉𝑦 = 𝑔 𝑔 (04) Altura máxima 𝐻𝑚𝑎𝑥 = 𝑉𝑜2 sin 𝛼 2 𝑉𝑦2 = 2𝑔 2𝑔 (05) Alcance horizontal 𝐷= VI. 2𝑉𝑜2 sin 𝛼 × cos 𝛼 𝑔 2𝑉𝑜2 sin 2𝛼 = 𝑔 (06) ERRORES O INCERTIDUMBRES DE LAS MEDICIONES: La precisión necesaria de una medida física depende, tanto de la naturaleza de la magnitud a medir, como de su tamaño. Por ejemplo, tan absurdo seria pretender fijar la distancia entre dos ciudades con errores menores que un milímetro, como despreciar esta unidad en el espesor de una chapa de oro. La física emplea procedimientos adecuados en cada caso, estudiando los posibles errores, siendo tan inconveniente el obtener resultados pobres en fracciones que los aparatos pueden medir, como el ampliar el número de cifras decimales por un simple cálculo, rebasando los limites precisión de del aparato. Error Absoluto (εA ) Es la diferencia entre la medida exacta de una magnitud y la medida obtenida experimentalmente, la cual se considera con signo positivo. εA = ± 𝑥𝑣 − 𝑥𝑚 (07) Donde: 𝑥𝑣 es el valor verdadero o teórico y 𝑥𝑚 es el valor medido. B. Una bolsa Un cúter Aguja grande MÉTODOS: Seguimos estos pasos para construir nuestro experimento. 1º Paso: Nota: El error absoluto nos define un intervalo donde podemos encontrar nuestra medida con cierto grado de probabilidad si se realizan varias mediciones. Marcamos el embudo donde se estrecha la botella y marcamos, luego cortamos. Error relativo (εR ) Es el cociente del error absoluto entre el valor exacto de la magnitud. εR = ± |𝑥𝑣 − 𝑥𝑚 | 𝑥𝑣 × 100% = ± εA 𝑥𝑣 × 100% (08) VII. MATERIALES Y METODOS: A. MATERIALES: Figura 17: Para ello utilizamos un marcador indeleble. Para este trabajo fue necesario el uso de los siguientes materiales e instrumentos. 2º Paso: Colocamos una pelota de tecnopor en el embudo de la botella, marca donde cae la pelota y corta. Figura 16: materiales empleados construir nuestro experimento. para Dos botellas de litro y medio Dos pastas para anillar Una silicona pequeña y regla (artesco) Una bola de tecnopor de número 2 Un corcho y pistón Un plumón indeleble Cinta aislante Figura 18: Adhiérelo con la silicona líquida. 3º Paso: Introduce una bolsa para que resista a los golpes del aterrizaje. Figura 22: La primera lo doblamos hacia adelante, la segunda hacia atrás y así sucesivamente. Figura 19: Ajústalo con la otra botella en la parte inferior. 4º Paso: Después fíjalo bien con cinta aislante. 7º Paso: Con la parte que nos sobró de la primera botella vamos a marcar un rectángulo para que podamos meter la puntilla del inflador. Figura 20: Envuelve todo el pico si es posible. 5º Paso: Figura 23: Procedemos a cortar con nuestro cúter la parte marcada. Procedemos hacer el plano de las aletas del cohete con nuestra pasta de anillado por lo que medimos 8cm x 20cm. 8º Paso: Con nuestra aguja, cuidadosamente atravesamos el corcho por la parte central. Figura 21: Repetimos esto cuatro veces y lo cortamos. 6º Paso: medimos 1.5cm a lo largo de nuestra aleta lo marcamos, luego lo cortamos y doblamos. Figura 24: luego introducimos el pistón correctamente sino quedará retazos de corcho dentro del pistón y obstruirá el paso del aire. 9º Paso: Colocamos el corcho en la botella. 12º Paso: Formar un cuadrado 5cm y hacer un huequito en el centro para colocar el inflador con el pistón. Figura 25: Apretamos bien el corcho para que salga con mayor impulso. 10º Paso unimos las 4 aletas a nuestro cohete con cinta aislante. Figura 28: pegarlo todo con silicona caliente y ya está terminado. VIII. DATOS: En el presente trabajo, se logró obtener los siguientes tiempos en 300ml de agua que agregamos a nuestro cohete y también los alcances medidos con la guincha. TABLA 01: calculando cinco tiempos con 300ml de agua. Figura 26: Ya está listo nuestro cohete. Ahora vamos hacer la base para lanzar el cohete con un ángulo de 45º. 11º Paso: Primero tenemos que tener una base de cartón de 30 cm x 70 cm. Luego colocar otro pedazo de cartón de 30 cm x 40cm con una inclinación de 45º a los dos vértices inferiores y pegarlos con silicona caliente. 300 ml 300 ml 300 ml 300 ml 300 ml 300 ml IX. tiempo 1.32s 1.26s 1.39s 1.20s 1.35s 𝑡𝑝𝑟𝑜𝑚 1.284s alcance 15.96m 14.50m 16.89m 13.96m 16.72m 𝑑𝐻 𝑝𝑟𝑜𝑚 ANÁLISIS DE DATOS: Lo primero que haremos es hallar la velocidad inicial de acuerdo con la tabla 01, con la ayuda del tiempo promedio. Utilizaremos la ecuación (04): 𝑇𝑣 = Figura 27: Hacer dos prismas cuadrangulares de base 35cm y 3.5 cm de grosor, forrarlo con cinta embalaje que para cuando se lance el cohete no se moje el cartón. 1.284𝑠 = 2𝑉𝑜 sin 𝛼 𝑔 2 × 𝑉𝑜 sin 45 9.78 𝑚⁄𝑠2 1.284𝑠 × 9.78 𝑚⁄𝑠 2 = 2 × 𝑉𝑜 √2 2 15.606m Considerando tres cifras decimales GRAFICO 01: Movimiento de Caída Libre VS. Movimiento Rectilineo Uniforme 12.558 𝑚⁄𝑠 = √2𝑉𝑜 2.5 𝑉𝑜 = 8.880 𝑚⁄𝑠 MCL Ahora vamos a calcular nuestro alcance, ya teniendo el valor de la velocidad inicial. Como tenemos un ángulo de 45º el alcance sería máximo por lo que utilizaremos la ecuación (06): 1.5 1 0.5 0 0 2𝑉𝑜2 sin 2𝛼 𝐷𝐻 = 𝑔 2(8.880 𝑚⁄𝑠 )2 sin 2(45) 𝐷𝐻 = 9.78 𝐷𝐻 = 157.7 𝑚2 ⁄𝑠2 sin(90) 9.78 𝑚⁄𝑠2 𝐷𝐻 = 157.709 𝑚2 ⁄𝑠2 (1) 9.78 𝑚⁄𝑠2 𝐷𝐻 = 16.126𝑚 Seguimos hallando el error absoluto y relativo con las ecuaciones (07) y (08). εA = ± 𝑥𝑣 − 𝑥𝑚 εA = ± 16.126 – 15.606 εR = ± |𝑥𝑣 − 𝑥𝑚 | 𝑥𝑣 × 100% |16.126 −15.606 | 16.126 2 × 100% εR = ± 0.032 × 100% εR = ± 0.032% Para finalizar haremos una gráfica del movimiento parabólicos según los datos que tenemos. 4 6 MRU X. CONCLUCIONES: En conclusión, se puede apreciar que el movimiento tiene dos dimensiones que puede ser ambos movimientos uniformes (un movimiento uniforme y el otro acelerado). El movimiento que describe una trayectoria curva que realiza dicho proyectil, Podemos decir que para desarrollar los conceptos de velocidad, distancia y gravedad debemos calcular bien dichos tiempos XI. BIBLIOGRAFIA: www.elumbreras.com.pe εA = ± 0.52 εR = ± d = -0.124t2 + t + 2E-15 R² = 1 2 8 10