Análisis Numérico II.
Docente: Elsa Frı́as Silver; Alumno: Alfonso Vivanco Lira.
04/02/2021
1.
Actividad 1: Encontrando raı́ces de polinomios.
1. Resolver la ecuación x3 − 3 = 0 usando los métodos de regla falsa y de bisección.
Notamos que su solución es x ∈ R, x = 3( 1/3). Comenzamos con el método de la regla falsa con a1 = 0, a2 = 2,
i
ai
bi
f (ai )
f (bi )
ci
f (ci )
is ∈ [ai , ci ] is ∈ [ci , bi ]
1
0
2
-3
5
3/4
-165/64
No
Si
2
3/4
2
-165/64
5
114/97
-1.376697897
No
Si
3
114/97
2
-1.376697897
5
1.353315555
-0.5214526451
No
Si
4 1.353315555 2
-0.5214526451
5
1.414389214
-0.1705188364
No
Si
5 1.414389214 2
-0.1705188364
5
1.433702103
-0.05302284506
No
Si
6 1.433702103 2
-0.05302284506
5
1.439644432
-0.01622736949
No
Si
−3
7 1.43964432
2
-0.0162273649
5
1.441457168 −4,942075443 × 10
No
Si
8 1.44145718
2 −4,942075443 × 10−3
5
1.442008707 −1,502796522 × 10−3
No
Si
9 1.442008707 2 −1,502796522 × 10−3
5
1.442176366 −4,567895805 × 10−4
No
Si
1
Llegamos a un error del orden de O(t4 ) con x ≈ 1,442176366, lo cuál podemos ver en la gráfica 1 y por igual es interesante observar el comportamiento tipo
exponencial involucrado en el error por iteración, ası́ como existe una convergencia en el error → 0 cuando las iteraciones tienden hacia i → ∞.
i
ai
bi
pi
f (pi )
f (ai )
f (bi )
f (ai )f (pi ) < 0 f (bi )f (pi )
1
0
2
1
-2
-3
5
No
Si
2
1
2
1.5
3/8
-2
5
Si
No
3
1
1.5
5/4
-67/64
-2
-3/8
No
Si
4
5/4
1.5
11/8
-205/512
-67/64
3/8
No
Si
5
11/8
1.5
1.4375
-121/4096
-205/512
3/8
No
Si
6
1.4375
1.5
1.46875
0.1684265138
-0.02954101563
3/8
Si
No
7
1.4375
1.46875
1.453125
0.06837844849
-121/4096
0.1684265137
Si
No
8
1.4375
1.453125
1.4453125
0.01915407181
-121/4096
0.06837844849
Si
No
9
1.4375
1.4453125
1.44140625 −5,25945425 × 10−3
-121/4096
0.01915407181
No
Si
10 1.44140625
1.4453125
1.443359375 6,930790842 × 10−3 −5,25945425 × 10−3
0.01915407184
Si
No
11 1.44140625 1.443359375 1.442382813 8,315416053 × 10−4 −5,25945425 × 10−3 6,930790842 × 10−3
Si
No
−4
Paramos el algoritmo con i = 11 iteraciones ya que el orden de error es O(t ). Aquı́ observamos que la cantidad de iteraciones necesarias en este último método
es mayor que la cantidad de iteraciones para el método de la regla falsa, por lo que la convergencia es más rápida en este último método [2]. Para el método de la
bisección, si suponemos que f ∈ C[a, b], y que f (a) · f (b) < 0, se genera una secuencia de puntos {pn }∞
n=1 que aproxima un cero de la función con,
|pn − p| ≤
b−a
2n
Generándose una secuencia,
a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ ... ≤ bn ≤ b2 ≤ b1
De tal forma que las secuencias {an } ∧ {bn } convergen de forma monótona a a∞ ≤ b∞ y se asegura que este método convergerá [1].
2
3
Figura 1: Gráfica que muestra el error obtenido por iteración, notamos como ı → ∞, → 0.
Referencias
[1]
Department of Mathematics U. Berkeley. Bisection Method. url: https://math.berkeley.edu/ ~mgu/MA128AFall2017/MA128ALectureWeek3.pdf. (accessed:
04.02.2021).
[2]
UNADM. Unidad 1: Aproximación. url: https : / / campus . unadmexico . mx / contenidos / DCEIT / BLOQUE1 / MT / 05 / MANU2 / U1 / descargables / MANU2 _ U1 _
Contenido.pdf. (accessed: 04.02.2021).
4
