METODOLOGÍA DE LOS TRABAJOS PRÁCTICOS INTRODUCCIÓN La Física es una ciencia típicamente experimental. Como en cualquier otra ciencia experimental, las teorías existentes se basan en unas hipótesis, que se confirman mediante resultados experimentales o medidas. Todas las experiencias tienen algo en común: cada medida está sujeta a una incertidumbre experimental. Esto significa que si realizamos varias medidas de una determinada magnitud, encontraremos con toda seguridad una variación en los valores obtenidos. Ello es debido a que ni los instrumentos de medida son perfectos ni nuestros sentidos son absolutamente perspicaces. Por otro lado, en muchos casos intervienen en las fórmulas números irracionales (π, e, g, etc.) o bien operaciones (log, funciones trigonométricas, etc.) cuyos resultados no pueden tomarse con todas sus cifras, sino que hay que tomarlos con un número limitado de cifras decimales. Podemos asegurar, por tanto, que toda medida que efectuamos, cualquiera que sea la bondad del instrumento utilizado y la pericia del experimentador, es inexacta, pues aún suponiendo que casualmente alguna fuera exacta, no tenemos medio de comprobarlo y por ello de saberlo. El problema radica en encontrar los límites dentro de los cuales estará el valor exacto de la magnitud que se ha medido con una alta probabilidad, es decir, establecer los límites de la incertidumbre, ya que consideramos que ésta cuantifica de una forma clara la variación que se ha encontrado en un valor medido. En consecuencia, el resultado de una medida debe ir siempre acompañado de esa incertidumbre que nos indica la calidad de la medida realizada. Es importante aclarar que en el leguaje experimental nos encontraremos también con la expresión error, cuyo significado es el mismo que el de incertidumbre, y por lo tanto no debe dársele el sentido habitual de fallo o confusión. Nosotros utilizaremos indistintamente una u otra expresión a lo largo del texto. CAUSAS DEL ERROR EN LAS MEDIDAS Las causas se deben a la propia naturaleza de la medida, que es algo muy complejo, ya que son diversos los factores que en ella intervienen: 1º) El propio objeto a través del cual se materializa la magnitud a medir. Por ejemplo las variaciones en el grosor de una lámina cuando determinamos sus dimensiones, o la falta de homogeneidad cuando medimos la temperatura de una habitación. El sentido común nos indica que debemos realizar varias medidas en diferentes puntos y "promediar" los valores hallados. 2º) El instrumento de medida, indispensable intermediario en toda determinación. Todo instrumento de medida es causa de error, bien por imperfecciones en su construcción o por el uso continuado. Estas causas tienden a permanecer durante largos períodos de tiempo, por lo que los errores introducidos serán constantes en cuantía y signo. A estos errores se les llama sistemáticos ya que tienden a permanecer con el instrumento. Este mismo carácter les hace en gran parte controlables, pudiendo por ello ser corregidos en mayor o menor grado. Uno de éstos es el denominado error del cero del instrumento. Por ejemplo: cuando al introducir un termómetro en hielo fundente no marca cero, o bien, cuando en un calibre se ponen las patillas a tope (la distancia que los separa es nula) y la lectura en la escala no es cero. 1 Si en estas circunstancias el aparato marca menos de cero, el error será por defecto y deberemos sumarlo a las medidas realizadas con este instrumento. Si, por el contrario, marca más de cero, el error será por exceso y deberemos restarlo. Aún suponiendo que el aparato fuera perfecto, necesariamente nos conduce a error siempre que la aguja o señal de medida se encuentre entre dos divisiones de la escala, ya que la lectura a realizar es imprecisa. Como el máximo error que podemos cometer por esta causa, es inferior al valor de la menor división de la escala del instrumento, tomaremos como límite de error o precisión del instrumento el valor de la menor división de la escala. La precisión, pues, da cuenta del límite de error introducido por el instrumento, aparte de haber ajustado el cero y corregido la lectura correspondiente. 3º) El observador o experimentador. Algunos defectos en los sentidos o factores psicológicos pueden introducir por parte del observador errores imprevisibles o de carácter anárquico. La forma de reducirlos, ya que no es posible anularlos, consiste en realizar un gran número de observaciones, aspecto que trataremos más adelante. CLASIFICACIÓN DE LOS ERRORES En una primera clasificación, podemos dividir los errores en sistemáticos y accidentales. Los primeros, como ya hemos dicho anteriormente, son debidos a defecto del instrumento de medida o por una tendencia errónea del observador y por tanto se manifiestan siempre en el mismo sentido. Sólo pueden ser puestos de manifiesto cambiando de observador o de instrumento de medida. Los errores accidentales se deben a causas imponderables e imposibles de controlar, que alteran bien en un sentido u otro los valores hallados, de manera que este tipo de error conduce a resultados dispersos al azar alrededor del valor verdadero. Debido a su aleatoriedad, responden a distribuciones probabilísticas de forma que pueden analizarse por métodos estadísticos. La teoría de errores no es otra cosa que la aplicación de la estadística matemática a la estimación de estos errores. Sin embargo, no es nuestra intención entrar en consideraciones teóricas, ya que ello nos alejaría de nuestro interés primordial, tendente a la determinación práctica de los errores en las situaciones experimentales más usuales. Por lo tanto vamos a utilizar algunas de las aplicaciones del análisis estadístico con el fin de hallar, tanto el valor de la medida experimental como el límite superior de su error. La repetición de las medidas es el arma para luchar contra los errores accidentales. Por su mismo carácter es de esperar que, con igual probabilidad, unas veces el resultado de la medida será superior al verdadero valor de la magnitud que se mide y otras veces será inferior, por lo que un valor medio será una buena aproximación del número que se busca. En la mayoría de los casos es aconsejable expresar la incertidumbre en las mismas unidades que la cantidad medida, en este caso hablaremos de error absoluto ( ε a ). El error absoluto no sirve para juzgar la calidad de una medida, para esto es necesario recurrir al error relativo ( ε r ), que se define como el resultado de dividir el error absoluto entre el valor exacto. ε εr = a (1) M En ocasiones este error se da en %. 2 En general el error absoluto es un índice de la sensibilidad del método de medida utilizado mientras que el error relativo da idea de la precisión de aquélla. DETERMINACIÓN DEL ERROR ABSOLUTO DE UNA MAGNITUD MEDIDA DIRECTAMENTE Veamos a continuación cómo estimar el error absoluto de una magnitud que se mide directamente a) Error absoluto de una sola medida. La cota de error que asignaremos a una sola medida coincide con la sensibilidad del aparato utilizado, o sea el valor de la menor división que se pueda apreciar en los aparatos calibrados. Por ejemplo, con una regla cuya división más pequeña sea de un milímetro, habremos de asignar a la medida un error absoluto (también llamado error de escala) de 1mm. b) Error absoluto de una magnitud de la cual se han realizado varias medidas. En este caso debemos realizar al menos tres medidas de la magnitud y asignamos como valor de la magnitud el valor medio, obtenido mediante la expresión: n ∑ Mi M = i =1 n donde n representa el número de medidas realizadas. Puesto que las medidas aparecerán dispersas entre sí, asignaremos como error de la magnitud (o error accidental) el resultado de la expresión: n σ n −1 = ∑( M i =1 i − M )2 n −1 (2) Donde σ n−1 representa en estadística la desviación típica (también desviación estándar). Su significado estadístico muy simple: suponiendo que las desviaciones son debidas al azar, la desviación típica nos dice que aproximadamente los dos tercios de todas las medidas caen dentro de σ n−1 . Un estudio más detallado de los aspectos estadísticos nos llevan a afirmar que la forma de reducir el error accidental es aumentar el número de medidas Dependiendo de la precisión del aparato y de las condiciones de medida puede suceder que, en ocasiones, el error accidental sea menor que el de escala del aparato y viceversa, en conclusión, tomaremos como criterio general, que el error absoluto en el caso de medidas directas de una magnitud será la suma del error debido a la escala del aparato y del error accidental. LIMITACIÓN EN EL NUMERO DE CIFRAS Puesto que el error absoluto es una estimación y por tanto está sujeto a incertidumbre, no tiene sentido especificarlo con una gran cantidad de cifras. Una sola cifra significativa o a lo sumo dos, suele ser suficiente para designar el error final del resultado. 3 Se admite por convenio que el error absoluto sólo puede darse con dos cifras significativas si la primera de ellas, es decir la de mayor orden, es un 1. En todos los demás casos, es decir cuando la cifra de mayor orden es un 2, 3, ... etc se dará el error con una sola cifra significativa. Esto nos lleva también a indicar un criterio para eliminar los guarismos sobrantes. Esta operación se denomina redondeo de números. Por lo tanto, cuando el error tiene varias cifras significativas (más de una o dos según los casos anteriores), se empieza el redondeo eliminando la cifra de menor orden; si ésta es menor que 5, se elimina sin más; pero si es mayor o igual a 5 se aumenta en una unidad la cifra correspondiente al orden inmediato superior es decir la cifra a su izquierda. Este proceso se repite tantas veces como sea necesario para que finalmente tengamos el error con una o dos cifras significativas como se indicó anteriormente. Lógicamente y de acuerdo con este criterio, el valor de la medida de la magnitud que obtengamos ha de tener las cifras significativas necesarias para que la última de ellas sea del mismo orden decimal que la última del error absoluto. Nótese que el redondeo y acotación de cifras se hacen primeramente con el error y luego con la medida. A continuación damos unos ejemplos de valores incorrectamente expresados (columna izquierda) y los valores correctos correspondientes (columna derecha), para poner de manifiesto todo lo dicho. NÚMEROS INCORRECTOS 3,417 32 45.387 0,01682 + + + + NÚMEROS CORRECTOS 0,124 0,055 1.784 0,0068 3,42 32,00 45.400 0,017 + + + + 0,12 0,06 1.800 = (4,54 + 0,18)104 0,007 = (1,7 + 0,7)10-2 Como puede verse en estos ejemplos es aconsejable expresar tanto el error como la medida, bien en forma decimal o bien en potencia de diez. DETERMINACIÓN DEL ERROR DE UNA MAGNITUD MEDIDA INDIRECTAMENTE La medida indirecta de una magnitud se alcanza por aplicación de una fórmula física a un conjunto de magnitudes medidas directamente (variables independientes o datos) que las relaciona con la magnitud problema. Mediante dicha fórmula se obtiene también el error de la medida como vamos a explicar. Supongamos el caso de una magnitud y, la cual es función de varias magnitudes k, x, z, etc.. que se pueden medir directamente. La relación que las liga puede expresarse brevemente con la expresión matemática y = f (k, x, z ...), siendo la función f la fórmula que relaciona las magnitudes. Hallamos a continuación la diferencial total de la expresión, a continuación aplicamos la consideración de que es posible hacer una asimilación entre la diferencial de una variable con el error absoluto de la magnitud física que representa. Además todos los términos obtenidos en la diferenciación se convierten en positivos con el fin de considerar el error final en el caso más desfavorable, es decir cuando los errores no se compensan (recordemos que los errores absolutos pueden ser por exceso o por defecto). 4 Así pues: dy = ∂f ∂f ∂f dk + dx + dz + ... ∂x ∂k ∂z (3) ∂f ∂f ∂f ε( k ) + ε( x ) + ε( z) + ... ∂k ∂x ∂z (4) o bien: ε( y) = con lo cual obtenemos la expresión fundamental del cálculo de errores en las medidas indirectas. Debemos hacer notar que los valores de las magnitudes conocidas que se introducirán en los términos de la expresión anterior serán los valores medios hallados anteriormente. Aunque k es una constante, puede venir afectada de error como en el caso de un número irracional o transcendente (π, e, cos, log, etc...). En este caso se tomará un número adecuado de cifras, tal que el error cometido sea como máximo diez veces menor que el obtenido al sumar los de las magnitudes medidas directamente. En general este problema se solventa hoy día si se trabaja con todos los dígitos que aparecen en la pantalla de la calculadora, de esta manera el error es despreciable y podemos prescindir tanto de su error absoluto como relativo. Veamos a continuación algunas situaciones de interés: A=B+C; A=B-C; A = B2 ; A = B.C ; A = B/C ; ε(A) = ε(B) + ε(C) ε(A) = ε(B) + ε(C) ε(A) = 2B.ε(B) ε(A) = C.ε(B) + B.ε(C) ε(A) = ε(B)/C + B.ε(C)/C2 (5) (6) (7) (8) (9) Analizaremos a continuación un ejemplo que nos permita aplicar los criterios antes citados. Supongamos que queremos determinar el valor de la aceleración de la gravedad g, utilizando para ello un péndulo simple. La expresión del período viene dada por: T = 2π l g (10) de manera que si se mide directamente la longitud del hilo l y el valor del período T, es posible hallar g, ya que: 4π 2 l g= 2 (11) T Sea l = 1,470 + 0,001 m la cual hemos medido una sola vez puesto que la longitud del hilo no variará de una medida a otra habida cuenta de la regla utilizada. El período T se ha medido con una célula fotoeléctrica que aprecia milésimas de segundo y los resultados han sido: T1 = 2,431 + T2 = 2,435 + T3 = 2,430 + T4 = 2,433 + T5 = 2,432 + 5 0,001 s 0,001 s 0,001 s 0,001 s 0,001 s 5 T= ∑T i i =1 n = 2,4322 ε(T) = εescala + εaccidental = εescala + σ n−1 = 0,001 + 0,001924 = 0,003 por lo tanto: T = (2,432 + 0,003) s y el valor de g será: g= 4π 2 l = 9 ,8118 m/s2 T2 Para determinar el valor del error de g, utilizamos la expresión (4), con lo que nos resulta: ε(g ) = ∂g ∂g 8π 2 l 4π 2 ε (T ) + ε ( l) = ε(T ) + ε(l) = 8,0689 . 0,003 + 6,6747 . 0,001 = 0,03 ∂T ∂l T3 T2 nótese que en la expresión no aparecen las derivadas parciales respecto de 2 ni π ; en el primer caso porque es un valor constante sin error y en el segundo porque empleamos todas las cifras de la calculadora como ya se dijo anteriormente. Obtenemos por lo tanto para g: g = (9,81 + 0,03) m/s2 GRÁFICAS Cuando los datos obtenidos de una experiencia se representan gráficamente, es posible detectar ciertos comportamientos que difícilmente encontraríamos si los analizamos directamente a partir de una tabla de valores. Una representación gráfica puede indicarnos: a) El rango de medida utilizado. b) La incertidumbre de cada medida. c) La existencia o no de una cierta tendencia en los datos obtenidos (p.e. pueden ligarse a una línea recta, una curva o estar distribuidos al azar). d) Qué puntos no siguen una determinada tendencia mostrada por la mayoría de los datos. e) Encontrar el valor de alguna magnitud, generalmente a partir de la pendiente o el punto de corte con algún eje coordenado de una recta. En este caso emplearemos el método de mínimos cuadrados que explicaremos más adelante. Para la elaboración de gráficas existe una serie de normas o convenios que faciliten su trazado y comprensión. Habitualmente los datos se representan por parejas de números en un sistema cartesiano XY, de manera que la magnitud elegida por el experimentador como variable independiente, se pone a lo largo del eje horizontal, mientras que la variable dependiente se traza a lo largo del eje vertical. Por ejemplo, si estudiamos el alargamiento de un muelle sometido a diferentes fuerzas, asignaremos como variable independiente a la fuerza, la cual se representará en el eje de las X, mientras que el alargamiento será la variable dependiente, representada en el eje Y. En relación con lo anterior diremos que es habitual 6 encontrar en el lenguaje científico la expresión “representar la magnitud A frente a la magnitud B”. Con ello se quiere significar que la magnitud A es la variable dependiente y la B será la variable independiente. En el caso anterior, se diría entonces: “representar el alargamiento de un muelle frente a la fuerza aplicada”. Los ejes deben nombrarse claramente con las magnitudes en estudio, así como las unidades de medida que se pondrán entre paréntesis, por ejemplo: longitud l (m), tiempo t(s) o fuerza F(N). El papel de las gráficas puede obtenerse en una variedad de rayados, según las necesidades. Los más comunes son los lineales o milimetrados (Fig.1) y los logarítmicos. Fig.1 La elección de la escala debe hacerse con las siguientes consideraciones: a) Las escalas sobre los ejes han de ser claras y a intervalos regulares, de manera que los puntos experimentales no aparezcan apretados unos con otros, para ello debemos escoger el rango de la escala de forma que los puntos cubran la hoja de forma razonable, aunque para ello en el origen de coordenadas no se ponga, a veces, el cero de la escala correspondiente (Fig.2). Fig.2 b) La escala debe ser simple. Lo más sencillo es que el número de centímetros o milímetros que ha de abarcar la unidad de escala, ha de ser uno de los siguientes números: 1, 2, 5, 10, 20, 50, ... unidades de la cantidad medida. Cualquier otro tipo de escala debe evitarse pues dificulta tanto el trazado como su lectura (Fig.3). 7 Fig.3 c) Sobre los ejes sólo se indican los valores correspondientes a las divisiones enteras de la escala, jamás los valores obtenidos en las medidas realizadas. d) Los valores experimentales se representan sobre papel milimetrado por el punto correspondiente a sus dos coordenadas y rodeados por el llamado rectángulo de error cuya base abarca desde x-ε(x) hasta x+ε(x) y cuya altura se extiende desde y-ε(y) hasta y+ε(y). En el caso en que ε(x), ε(y), o ambos a la vez sean despreciables en comparación con la escala correspondiente utilizada, el rectángulo de error se reduce a un simple segmento vertical, horizontal o simplemente al punto correspondiente respectivamente (Fig.4). Fig.4 e) Las gráficas han de ser líneas finas y continuas, nunca quebradas, que han de pasar por dentro de todos los rectángulos de error, aunque para ello dejen muchas veces de cruzar por los puntos experimentales, que pueden quedar a la derecha o izquierda de la gráfica. Si al hacer esta operación, alguno de los rectángulos de error queda excesivamente alejado de la forma continua de la gráfica, es prueba de que esa medida es errónea por alguna causa accidental y debe repetirse (Fig.5). 8 Fig.5 f) Cuando en una misma gráfica se van a representar puntos experimentales que se refieren a condiciones diferentes, se pueden utilizar distintos símbolos como *, ∆ , +, o colores diferentes. Si la gráfica resulta demasiado complicada, es mejor dibujar cada conjunto de gráficas separadas (Fig.6). Fig.6 AJUSTE DE UNA RECTA POR EL MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS Una vez representados nuestros resultados gráficamente, en ocasiones tendremos que deducir de los puntos obtenidos (al menos cinco) una función analítica que nos permita determinar los parámetros desconocidos; dicho de otra forma, encontrar las incógnitas de la ley física que se estudia. Cuando entre las variables manejadas hay una relación más o menos fuerte, diremos que ambas están en correlación. Al representarlas gráficamente nos podemos encontrar con que los puntos se distribuyen sensiblemente sobre una línea geométrica que va a ser representativa de la relación de dependencia o relación funcional de Y respecto de X. Tal línea recibe el nombre de línea de regresión de Y sobre X. La forma de obtener esta línea, cuya característica principal es la de ser la que mejor ajusta a los puntos obtenidos, se fundamenta en el método de los mínimos cuadrados. En el caso particular de que los puntos se distribuyan a lo largo de una línea recta, se tiene la regresión lineal y a la recta la llamaremos recta de regresión de Y sobre X. Supongamos que realizamos medidas de una pareja de magnitudes xi, yi de un determinado fenómeno. Entre los n puntos representativos del fenómeno pueden pasar muchas rectas, ahora bien, el método de los mínimos cuadrados consiste en determinar la ecuación de la recta Y = a + bX tal que si yi es la ordenada experimental de un cierto punto e Yi la teórica, la suma de los cuadrados de las desviaciones de cada punto con respecto a la recta sea mínimo, es decir: n n i =1 i =1 M = ∑ ( y i − Yi ) 2 = ∑ ( y i − a − bx i ) 2 = mínimo 9 (12) Fig.7 Para calcular los valores de a (ordenada en el origen) y b (pendiente), con la condición anterior, es necesario que las derivadas parciales de M con respecto a ellas sean nulas. n ∂M ⎫ = −2∑ ( y i − a − bx i ) = 0 ⎪ ∂a ⎪ i =1 ⎬ o bien n ∂M = −2∑ ( y i − a − bx i ) x i = 0⎪ ⎪⎭ ∂b i =1 donde se ha tenido en cuenta que n n ⎧ na b x yi + = ∑ ∑ i ⎪ ⎪ i =1 i =1 ⎨ n n n ⎪a x + b x 2 = x y ∑ ∑ i i i i ⎪⎩ ∑ i =1 i =1 i =1 n ∑ a = na . i =1 Al resolver el sistema, y definiendo los sumatorios siguientes: n n P = ∑ xi n Q = ∑ yi i =1 R = ∑ x i yi i =1 n i =1 n S = ∑ x i2 W = ∑ y i2 i =1 i =1 obtenemos para los valores de a y b: a= b= QS − PR nS − P 2 nR − PQ nS − P 2 10 (13) (14) Valores que sustituidos en la ecuación Y = a + bX nos permite obtener la ecuación de la recta de regresión. Si la recta a ajustar pasa por el origen de coordenadas, únicamente necesitaremos la pendiente b y la ecuación será: Y = bX. El cálculo de las expresiones de los errores de a y b implica un estudio más complejo de la situación, lo cual cae fuera de nuestro análisis. Sin embargo, dada su necesidad en los casos de aplicación práctica, daremos sus expresiones finales. 12 ⎤ ⎡ SM ε(a ) = ⎢ ⎥ 2 ⎣⎢ (n − 2)(nS − P ) ⎦⎥ (15) 12 ⎤ ⎡ nM ε( b) = ⎢ ⎥ 2 ⎣⎢ (n − 2)(nS − P ) ⎦⎥ Fig.8 Fig.9 (16) En el ajuste de mínimos cuadrados realizado, hemos supuesto que Y era la variable dependiente, determinando los coeficientes a y b a partir de la condición expresada en la ecuación (12). Puesto que estamos estudiando la existencia de una relación lineal entre las variables X e Y, sería también correcto suponer que X es una función de Y, tratando de encontrar si los datos se corresponden con una recta de la forma X = a´ + b´Y. Un proceso análogo al realizado anteriormente nos permite encontrar los valores de a´ y b´ que serán distintos de los hallados en las ecuaciones (13) y (14), si bien existirá una relación entre ellos si existe correlación entre X e Y. Por lo tanto, si la correlación es completa, es decir, si los puntos están alineados según una recta, entonces: a′ ⎧ a=− ⎪ a′ 1 ⎪ b′ Y = a + bX = − + X ⇒ ⎨ b′ b′ ⎪b = 1 o bien b ⋅ b′ = 1 ⎪⎩ b′ En el caso de los estudios experimentales, se define un coeficiente de correlación r = bb′ que cuantifica el grado de relación lineal entre las variables X e Y. En otras palabras, es un índice que nos mide la bondad del ajuste de los datos experimentales a la recta teórica. El módulo de r varía entre 0 y 1, incluido ambos extremos. Si r = 1, el ajuste es perfecto y la correlación es máxima, mientras que si r = 0 no hay correlación. En general el coeficiente no será 1 debido al carácter experimental de los puntos ajustados, sin embargo, cuanto más se aproxime a la unidad, mayor será la posibilidad de que las variables X e Y dependan funcionalmente entre sí en forma lineal. La ecuación que nos permite calcular r viene dada por: 11 r= nR − PQ [(nS − P )(nW − Q )] 2 12 2 (17) Desde un punto de vista práctico el cálculo de las expresiones (13) a (17) implica un proceso largo y tedioso, sin embargo el alumno dispondrá en el laboratorio de un programa informático que hará la tarea muy sencilla. Veamos a continuación un caso práctico de aplicación del método de mínimos cuadrados. Para ello volvemos al ejemplo de la variación del período de un péndulo simple con la longitud, que ya vimos en el apartado dedicado a la determinación del error de una magnitud medida indirectamente. En este caso volvemos a aplicar la expresión conocida (10): l T = 2π g Si elevamos al cuadrado los dos miembros de la ecuación obtendremos: 4π 2 (18) l g donde observamos que T2 varía linealmente con l, de manera que si representamos gráficamente T2 frente a l obtenemos una recta que pasa por el origen de coordenadas y cuya pendiente resulta ser: T2 = b= T 2 4π 2 = l g (19) 4π 2 b (20) expresión que nos permite calcular el valor de g (*): g= En esta experiencia utilizamos varios péndulos simples de igual masa pero de diferentes longitudes, midiendo el período de cada uno de ellos. En la tabla que viene a continuación consignamos los datos obtenidos, teniendo en cuenta que el período obtenido para cada longitud es el valor medio de cinco medidas. De esta forma obtenemos: l (m) 0,588 + 0,001 0,708 + 0,001 0,925 + 0,001 1,010 + 0,001 1,181 + 0,001 T (s) (**) 1,543 + 0,003 1,684 + 0,003 1,932 + 0,003 2,017 + 0,003 2,187 + 0,003 T2 (s2) 2,381 + 0,009 2,836 + 0,010 3,73 + 0,02 4,07 + 0,02 4,78 + 0,02 El ajuste por mínimos cuadrados realizado introduciendo los datos de la tabla en el programa informático antes mencionado, nos da los siguientes resultados: pendiente: b = 4,06 ordenada en el origen: a = - 0,02 coeficiente de correlación: r = 0,9999118 (*) (**) ε(b) = 0,03 ε(a) = 0,03 Este método que hemos aplicado a la expresión (10) se denomina linealizar una ecuación. Conviene advertir que en este caso todos los errores absolutos coinciden debido al redondeo, pero no siempre sucederá así. 12 de esta forma, obtenemos mediante la expresión (20): 4π 2 = 9,72 4,06 dg ε(g) = ε(b) = 0,07 db g= por lo tanto: g = (9,72 + 0,07) m/s2 13