Teoria-de-Filtros-2011

SISTEMAS ELECTRÓNICOS DE
CONTROL
TEORÍA DE FILTROS
Introducción
Diagramas de Bode
Filtros Eléctricos
Filtro Pasivos y Activos Analógicos
Consideraciones Generales Sobre los Filtros
Diseño de un Filtro Pasa bajo
Diseño de un Filtro Pasa alto
Diseño de un Filtro Pasa banda
Diseño de un Filtro Elimina Banda
Tablas de Coeficientes
6° B – ELECTRÓNICA
2011
E.E.T Nº 460 “Guillermo Lehmann”
Departamento de Electrónica
Sistemas Electrónicos de Control
1. INTRODUCCIÓN
El filtro eléctrico fue inventado de manera independiente en 1915 por George Campbell en
Estados Unidos y por K. W. Wagner en Alemania. Con
on el surgimiento de la radio en el periodo
1910 – 1920, se creó la necesidad de reducir el efecto del ruido de la estática en el
radiorreceptor. Cuando surgieron las transmisiones regulares de radio en la década de 1920,
Campbell y otros desarrollaron el filtro RLC utilizando inductores, capacitares y resistencias. A
estos filtros se les llama filtros pasivos debido a que se componen de elementos pasivos. En la
década de 1930, S. Darlington,
Darlington S. Butterworth y E. A. Guillemin desarrollaron la teoría
necesaria
a para diseñar filtros pasivos. El filtro pasa bajo tipo Butterworth se di a conocer en
Wireles Engineering en 1930.
Cuando se incorporan dispositivos activos, de manera típica amplificadores operacionales,
en un filtro eléctrico, al filtro se le llama filtro activo.. Puesto que los inductores son
relativamente grandes y pesados, los filtros activos suelen construirse sin inductores utilizando,
por ejemplo, sólo amplificadores operacionales, resistencias y capacitares. Los primeros filtros
activos RC prácticos
os se inventaron durante la Segunda Guerra Mundial y se documentaron en
un escrito clásico de R. P. Sallen y E.L. Key (Sallen y Key, 1955).
2. DIAGRAMAS DE BODE
Es común usar gráficas logarítmicas de la respuesta en frecuencia en lugar de gráficas
lineales.
s. Las gráficas logarítmicas se denominan Diagramas de Bode en honor de H. W. Bode,
quien las utilizó ampliamente en su trabajo con amplificadores en los laboratorios de la Bell
Telephone durante las décadas de 1930 y 1940.
En los diagramas de Bode se representa
representa en forma separada, el módulo de la función de
respuesta en frecuencia en ordenadas, en una escala lineal expresada en decibeles, y la
frecuencia en abscisas en una escala logarítmica, obteniéndose así el diagrama de Bode de
amplitud o módulo. El diagrama
agrama de Bode de fase se obtiene llevando la fase en ordenadas, en
grados sexagesimales en forma lineal, y la frecuencia en abscisas en escala logarítmica.
Para representar gráficamente los resultados, suele emplearse papel semilogarítmico, en el
cual la magnitud, expresada en decibeles y el ángulo de fase, expresado en grados, se
representan como ordenadas en la escala lineal o rectangular, en tanto que la frecuencia se
representa como abscisa en la escala logarítmica. El uso de escalas logarítmicas amplía
amplí el
intervalo de las frecuencias representadas en el eje horizontal.
A continuación se observa un filtro pasa bajo pasivo y su función de transferencia:
Figura 1.- Filtro pasa bajo pasivo de 1º orden.
VOUT
=
VIN
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1
1
1
C.s
=
=
1
1 + R.C.s 1 + τ .s
R+
C.s
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Donde
s = jω , j = - 1 y R.C = τ
El módulo de la función de transferencia es: VOUT V IN =
El módulo
1
12 + (τ .ω )
2
VOUT VIN ≅ 1 cuando ω = 0,1 τ , es igual a 0,707 cuando ω = 1 τ y es
aproximadamente
e igual a 0,1 cuando ω = 10 τ . Estos puntos son utilizados
utilizad en la gráfica de la
figura 2 para realizar una aproximación asintótica del diagrama.
La curva asintótica aproximada de la ganancia está formada por dos rectas, una coincidente
con ell eje de frecuencias, y otra con una pendiente de -6dB/octava
6dB/octava (cada duplicación de
frecuencia recibe el nombre de octava) o -20dB/década
20dB/década la cual corta a la otra recta en el punto
de abscisa ω = 1 τ , llamada pulsación de corte.
El diagrama de
e fase para el filtro pasa bajo o cualquier otra función de transferencia es
calculado según la siguiente ecuación:
 Re 
−1  ω.τ 
 = −tg 

 Im 
 1 
φ = tg −1 
Figura 2.2 Diagrama de Bode de un filtro pasa bajo pasivo.
El diagrama de fase es mucho más difícil de aproximar ya
ya que la función tangente no es
lineal. Normalmente el cálculo de fase se realiza para la frecuencia de corte.
Como regla general, todo polo real produce una caída de -6dB/octava
6dB/octava a partir de su valor
cambiado de signo, y todo cero real produce una elevación
elevación de la pendiente en +6dB/octava a
partir de su valor cambiado de signo.
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3. FILTROS ELÉCTRICOS
Se empieza considerando un filtro ideal. Por conveniencia, se supone que tanto la entrada
como la salida de este filtro son voltajes. Este filtro ideal separa su
su voltaje de entrada en dos
partes. Una parte se deja pasar sin modificación a la salida; la otra se elimina. En otras
palabras, la salida de un filtro ideal es una copia exacta de parte de la entrada del filtro. Para
entender cómo opera un filtro eléctrico,
eléctric considérese el siguiente voltaje de entrada:
entrada
vent (t ) = cos ω1 ⋅ t + cos ω 2 ⋅ t + cos ω 3 ⋅ t
Esta entrada consiste en una suma de señales senoidales,, cada una en una frecuencia
diferente. (Por ejemplo, los voltajes periódicos pueden representarse de esta manera utilizando
la serie de Fourier).
). El filtro separa el voltaje de entrada en dos partes, utilizando la frecuencia
como base de la separación. Hay varias formas de separar esta entrada en dos partes y, por
consiguiente, son diversos los tipos de filtros ideales.
ideales En la figura 3 se muestran los diferentes
tipos de filtros que existen..
Figura 3.- Filtros ideales.
Si tomamos como ejemplo el filtro pasa bajo ideal, que aparece en la figura 3, y planteamos
su función de red obtenemos:
1∠0º → ω < ω c
H (ω ) = 
0 → ω > ω c
A la frecuencia ωc se la llama frecuencia de corte. La frecuencia de corte separa el intervalo
de frecuencias en dos bandas, la banda de paso, en donde ω < ωc y la banda supresora o de
corte, en donde ω > ωc. Los componentes de la entrada cuyas frecuencias están dentro de
d la
banda de paso experimentan una ganancia unitaria y un desplazamiento de fase nulo. Estos
términos se dejan pasar, sin modificación, a la salida del filtro. Los componentes de la entrada
cuyas frecuencias están en la banda de corte experimentan una ganancia
ganancia igual a cero. Estos
términos se eliminan o suprimen. Un filtro ideal separa su entrada en dos partes: los términos
cuyas frecuencias están en la banda de paso y los términos cuyas frecuencias están en la
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banda de corte. La salida del filtro consta de los términos cuyas frecuencias están en la banda
de paso. Desafortunadamente, los filtros ideales no existen, en realidad los filtros prácticos son
aproximaciones a los ideales.
4.. FILTROS PASIVOS Y ACTIVOS ANALÓGICOS
Un filtro analógico, como su nombre lo
lo indica, es un filtro que funciona con componentes
analógicos, por lo que puede ser implementado físicamente con elementos tales como
resistencias,
istencias, bobinas, capacitores y amplificadores operacionales.
Los filtros pasivos son conocidos por este nombre, puesto
puesto que para su implementación se
utilizan dispositivos pasivos como lo son capacitores, bobinas y resistencias. La principal
desventaja de estos filtros es el tamaño de la bobina, las cuales llegan a ser muy voluminosas
a bajas frecuencias, de allí la necesidad
necesidad de contar con filtros sin inductores.
En los filtros activos se incluyen resistencias, capacitores y amplificadores operacionales,
operacio
eliminándose las bobinas y obteniéndose las siguientes ventajas:
• La bobina es el elemento que más aleja al filtro de su comportamiento ideal, sobretodo a
bajas frecuencias, por lo que su eliminación permite mejorar el comportamiento del
mismo.
• Generalmente tienen muy alta impedancia de entrada y muy baja de salida, presentando
por lo tanto muy buena capacidad de aislamiento,
aislamiento, permitiendo la conexión en cascada
de células de filtrado sin afectar la respuesta, ya que prácticamente es independiente de
las impedancias de carga y fuente.
• Posibilidad de amplificación, tanto de tensión como de corriente, particularidad
importante para señales de bajo nivel.
• Factor de calidad relativamente grande, alcanzando valores de hasta Q = 500.
• Facilidad de puesta a punto y regulación continúa de la banda pasante.
Por otro lado, los filtros activos presentan las siguientes desventajas respecto
respect a los pasivos:
• Necesidad de una o dos fuentes de alimentación que pueden introducir ruido.
• Limitación del margen dinámico de salida, para valores mayores a ±10 V de amplitud de
la señal de entrada el amplificador operacional puede saturarse, además la corriente
co
de
salida se limita a algunos miliamperes. Con valores bajos de amplitud de la señal de
entrada el ruido intrínseco del amplificador puede enmascarar la señal. El margen
dinámico está limitado a unos 120 dB.
• Muy sensibles a los cambios de temperatura
temperatura y al envejecimiento de componentes, que
producen un considerable desplazamiento de los polos de la función de transferencia,
con la posibilidad de tornar inestable al circuito.
• Limitación del rango superior de frecuencias, no utilizándoselos en general más allá de 1
MHz.
En resumen, puede decirse que el campo de utilización reservado a los filtros activos es el
de baja frecuencia, donde el filtro pasivo resulta muy costoso por la dificultad de construir
bobinas de alto Q.
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Figura 4.4 Filtro pasa bajo de segundo orden pasivo y activo.
5. CONSIDERACIONES GENERALES SOBRE LOS FILTROS
El circuito RC que se observa en la figura 5,
5, constituye el filtro pasa bajo más simple de
implementar.
Figura 5.- Filtro pasa bajo pasivo de 1° orden.
Su función de transferencia
erencia es la siguiente:
1
1
R.C
A( s ) =
=
1
1 + s.R.C
s+
R.C
La función de respuesta en frecuencia del circuito se obtiene reempleando
A( jω ) =
s por jω . Así:
1
1 + jω.R.C
Con el objeto de analizar el problema de una forma más general, normalizaremos la variable
de frecuencia compleja s por la siguiente definición:
sn =
De donde:
jω
ωc
= j
s
ωc
f
= jΩ = s n
fc
La frecuencia de corte del circuito
circuit de la figura 5 viene dada por:
fc =
2011
1
.
2.π .R.C
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Por lo tanto
s n = s.R.C y la función de transferencia puede reescribirse de la siguiente
manera:
A( s ) =
1
1 + sn
Para el valor absoluto de la función de transferencia, es decir para la relación de amplitud en
las señales senoidales
idales de entrada obtenemos:
A( jΩ ) =
1
1+ Ω 2
Para Ω >> 1, es decir para f >> fc, |A| = 1/Ω;; esto corresponde a una reducción de ganancia
de -20dB
20dB por década de frecuencia o -6dB por octava.
Si se requiere un decrecimiento más pronunciado de ganancia, se pueden conectar n filtros
pasa bajo en cascada, como se observa en la figura 6.
Figura 6.6 Filtro pasa bajo pasivo de cuarto orden.
La expresión de la función de transferencia queda, en forma general, de la siguiente forma:
A( s n ) =
1
(1 + α 1 .s n ).(1 + α 2 .s n )...(1 + α n .s n )
n
donde los coeficientes α1, α2, α3 son reales y positivos. Para Ω >> 1, |A| es proporcional a 1/Ω ;
la ganancia disminuye entonces n x 20 dB por década. Se puede ver que la función de
transferencia posee n polos negativos reales. Ésta es la característica de los filtros pasa bajo
RC pasivos de orden n.. Si se conectan
conectan en cascada filtros pasa bajo de idénticas frecuencias de
corte desacoplados, se tiene:
α 1 = α 2 = ...α n = α =
n
2 -1
Cada filtro paso bajo individual tiene entonces una frecuencia de corte que es igual a la del
filtro completo multiplicada por el factor 1/α.
En la figura 7 se muestra la respuesta en frecuencia de un filtro pasa bajo de 4° orden, que
se obtuvo de la conexión en cascada de cuatro filtros pasa bajo de 1° orden. La atenuación de
cada filtro individual es de -20 dB/década (curva 1), mientras que la
a atenuación total del filtro
llega a -80
80 dB/década (curva 2). Hay que tener en cuenta que en el eje de las abscisas se
utiliza la frecuencia normalizada Ω, es decir Ω = f/fc.
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Nota: Curva 1: filtro pasa bajo de 1° orden, Curva 2: fil tro pasa bajo de 4° orden, Curva 3: filtro pasa baj o de 4°
orden ideal.
Figura 7.- Respuesta amplitud-frecuencia un filtro pasivo RC pasa bajo de 4° orden.
La función de transferencia
nsferencia de un filtro pasa bajo tiene la forma general:
A(s ) =
A0
(1 + a1 s + b1 s ).(1 + a 2 s + b2 s 2 )...(1 + a n s + bn s 2 )
2
Donde an y bn son reales y positivos. Para n de orden impar, el coeficiente b1 es cero.
Existen diferentes aspectos teóricos para los cuales la respuesta en frecuencia puede ser
optimizada. Cualquiera de tales aspectos conduce a un grupo diferente de coeficientes an y bn.
Al originarse polos complejos conjugados, éstos no se pueden obtener con elementos
pasivos RC.. Una manera de obtener polos complejos conjugados es el uso de redes RLC. En
frecuencias altas, la realización de las bobinas necesarias no presenta usualmente dificultades,
pero en el margen de baja frecuencia suelen ser necesarias inductancias grandes que, además
de ser difíciles de obtener, tienen malas propiedades
propiedades eléctricas. Sin embargo, el uso de
bobinas en bajas frecuencias se puede evitar por la adición de elementos activos (por ejemplo
amplificadores operacionales) a las
la redes RC. Tales circuitos se llaman filtros activos.
En los siguientes apartados se va a analizar brevemente la respuesta en frecuencia de las
optimizaciones más importantes,
importantes cuyo diseño e implementación se explicaran más adelante.
5.1
.1 FILTRO PASA BAJO DE BUTTERWORTH
Los filtros pasa bajo de Butterworth tienen una respuesta horizontal o “plana”
“plana de amplitudfrecuencia todo lo “ancha” posible y descienden bruscamente antes de la frecuencia de corte.
Su respuesta muestra un considerable sobreimpulso que aumente en los filtros del orden más
alto.
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Figura 8.- Respuesta amplitud-frecuencia de un filtro
tro pasa bajo de Butterworth.
5.2
.2 FILTRO PASA BAJO DE CHEBYSHEV
CHEBYS
Los filtros pasa bajo de Chebyshev tienen una caída en su ganancia aún más abrupta que
los filtros pasa bajo de Butterworth. Sin embargo, en los filtros pasa banda la ganancia varía y
tiene una
na ondulación o rizado de amplitud constante. Para un orden dado, la atenuación por
encima de la frecuencia de corte es más acusada cuanto mayor sea la ondulación permitida. El
sobreimpulso en la parte inclinada de su respuesta es incluso mayor que en los filtros de
Butterworth.
Figura 9.- Respuesta amplitud-frecuencia de un filtro pasa bajo de Chebyshev.
Chebys
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5.3
.3 FILTRO PASA BAJO DE BESSEL
Los filtros pasa bajo de Bessel dan la óptima respuesta de onda cuadrada. La condición
subyacente es que el retardo de grupo
grupo es constante en el margen de frecuencia más amplio
posible, es decir, el deslizamiento de fase en este margen de frecuencia es proporcional a ésta,
La respuesta amplitud-frecuencia
frecuencia de los filtros de Bessel no desciende tan bruscamente como
los filtros de Butterworth o Chebyshev.
La figura 7 muestra las respuestas amplitud-frecuencia
amplitud frecuencia de los tres tipos de filtro descritos,
desc
siendo todos ellos de 4° orden, mientras que en la figura 8 se observa su respuesta de fase. Se
puede ver que
ue el filtro pasa bajo de Chebyshev
hev tiene la más abrupta transición desde la banda
de paso a la banda de detención. Esto es ventajoso, pero tiene el efecto adicional de una
ondulación en la banda de paso de la respuesta amplitud-frecuencia.
amplitud frecuencia. Como esta ondulación
on
se
reduce gradualmente,
te, el comportamiento del filtro de Chebychev se aproxima al del filtro de
Butterworth. Por otra parte, los filtros de Bessel sólo presentan un despreciable sobre impulso.
Figura 10.- Comparación de la respuesta amplitud-frecuencia
amplitud
de un filtro pasa bajo
baj de 4° orden.
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Figura 11.- Comparación de la respuesta de fase de un filtro pasa bajo de 4° orden.
6.. DISEÑO DE UN FILTRO PASA BAJO
La siguiente ecuación representa la forma general de la función de transferencia de un filtro
pasa bajo.
A(s ) =
A0
(1 + a1 s + b1 s ).(1 + a 2 s + b2 s 2 )...(1 + a n s + bn s 2 )
2
Como ya se había mencionada anteriormente, en un filtro de 1° orden el coeficiente b
siempre es cero, por lo que la ecuación anterior la podemos reescribir de la siguiente forma:
A( s ) =
A0
1 + a1 s
Las etapas de 1° y 2° orden constituyen los bl oques básicos para la construcción de filtros
de un orden mayor.
La figura 12 muestra de que manera se construyen los filtros de orden superior, utilizando
básicamente filtros de 1° y 2° orden. Solo se muest ra hasta un filtro de 6° orden, pero el mismo
criterio
terio se utiliza para filtros de orden superior.
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Figura 12.- Conexión en cascada de filtros de 1° y 2° orden par a la obtención de filtros de orden
superior.
6.1 FILTRO PASA BAJO DE 1° ORDEN
La figura 13 y 14 muestran un filtro pasa bajo de 1° orden en s u configuración no inversora e
inversora, respectivamente.
Figura 13.-- Filtro pasa bajo de 1° orden en configuración no inversora .
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Figura 14.14 Filtro pasa bajo de 1° orden en configuración inversora.
La función de transferencia de estos circuitos es:
R2
R3
A( s ) =
1 + ω c .R1 .C1 .s
1+
R2
R1
A( s ) =
1 + ω c .R2 .C1 .s
-
y
El signo negativo indica que le amplificador inversor produce un cambio de fase de 180° en
la señal de entrada. Es decir que a la salida obtendremos
obtendremos la señal de entrada invertida.
Comparando los coeficientes de de ambas funciones de transferencia obtenemos:
A0 = 1 +
R2
R3
y
a1 = ω c .R1 .C1
y
A0 = -
R2
R1
a1 = ω c .R2 .C1
Para el diseño del circuito, tendremos como dato la frecuencia de corte (fc), la ganancia del
circuito (A0) y el valor de C1 que será definido de antemano. Con estos datos solo nos resta
calcular R1 y R2.
R1 =
a1
2.π . f c .C1
y
R2 = R3 .( A0 - 1)
y
R2 =
a1
2.π . f c .C1
R1 = -
R2
A0
El coeficiente a1 se obtiene por tabla (ver apartado 10).. Para los filtros de 1° orden de todos
los tipos, este coeficiente toma el valor 1, sin embargo, para filtros de un orden superior este
coeficiente toma valores diferentes a 1.
Ejemplo 1. Diseño de un filtro pasa bajo de 1° orden con ganancia unitaria.
Diseñar un filtro pasa bajo de 1° orden con una frecuencia de corte f c = 1 kHz y C1 = 47 nF.
R1 =
2011
a1
1
=
= 3,38kΩ
3
2.π . f c .C1 2.π .1.10 Hz.47.10 -9 F
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Cuando la ganancia del amplificador es unitaria, la configuración no inversora del
amplificador operacional se reduce a una configuración seguidor de tensión, como se observa
en la siguiente figura:
Figura 15.- Filtro pasa bajo de 1° orden no inversor, con ganancia unitaria.
6.2 FILTRO PASA BAJO DE 2° ORDEN
Existen dos topologías para los filtros pasa bajo de 2° orden, la Sallen -Key
o red con fuente
controlada, la cual siempre tiene ganancia positiva en la banda pasante y no invierte la fase a
frecuencias bajas. La otra topología de filtro es
es la llamada de Rauch o de realimentación
múltiple, en la cual la ganancia en frecuencia cero, A0 es negativa, y por lo tanto, produciendo
un desfasaje de 180° entre la salida y la entrada a frecuencias menores que la de corte. A
continuación analizaremos en detalle la topología Sallen-Key.
6.2.1
.2.1 Topología Sallen-Key
Sallen
La topología Sallen-Key
Key general, para un filtro pasa bajo,, se puede observar en la figura 15
1
y su función de transferencia se muestra a continuación:
A(s ) =
A0
1 + ω c .[C1 .( R1 + R2 ) + (1 - A0 ).R1 .C 2 ].s + ω c2 .R1 .R2 .C1 .C 2 .s 2
Si el circuito de la
a figura 15 lo modificamos de manera tal que su ganancia sea unitaria,
obtenemos el circuito de la figura 16,
1 , cuya función de transferencia es la siguiente:
A(s ) =
1
1 + ω c .C1 .( R1 + R2 ).s + ω c2 .R1 .R2 .C1 .C 2 .s 2
Si comparamos la función de transferencia anterior, con la función de transferencia
trans
general
de un filtro pasa bajo,, podemos obtener los coeficientes A0, a1 y b1.
A0 = 1
a1 = ω c .C1 .( R1 + R2 )
b1 = ω c2 .R1 .R2 .C1 .C 2
Definiendo C1 y C2 distintos, los valores de R1 y R2 se obtiene resolviendo el sistema de dos
ecuaciones
aciones con dos incógnitas dado por a1 y b1.
R1, 2 =
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a1 .C 2 ± a12 .C 22 - 4.b1 .C1 .C 2
4.π . f c .C1 .C 2
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Para obtener valores reales dentro de la raíz, C2 debe satisfacer la siguiente condición:
C 2 ≥ C1 .
4.b1
a12
Figura 16.1 Filtro pasa bajo de 2° orden de topología Sallen- Key.
Figura 17.- Filtro pasa bajo de 2° orden de topología Sallen- Key con ganancia unitaria.
Ejemplo 2. Diseño de un filtro pasa bajo de 2° orden con ganancia unitaria.
Diseñar un filtro pasa bajo de Chebyshev de 2° orden con una frecuencia de cort e fc = 3 kHz
y un ripple de 3 dB en la banda pasante.
En primer lugar, de la tabla 1, obtenemos los coeficientes a1 y b1 para un filtro de
Chebyshev con 3 dB de ripple.
a1 = 1,0650
b1 = 1,9305
Si definimos C1 = 22nF podemos determinar el valor de C2 como sigue:
C 2 ≥ C1 .
4.b1
4.1,9305
= 22.10 -9 nF .
≅ 150nF
2
a1
1,0650 2
Con el valor de C1 y C2 podemos determinar el valor de R1 y R2.
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R1 =
1,0650.150.10 -9 - (1,0650.150.10 -9 ) 2 - 4.1,9305.22.10 -9.150.10 -9
R2 =
4.π .3.10 3.22.10 -9.150.10 -9
= 1,26kΩ
1,0650.150.10 -9 + (1,0650.150.10 -9 ) 2 - 4.1,9305.22.10 -9.150.10 -9
4.π .3.10 3.22.10 -9.150.10 -9
= 1,30kΩ
Con estos valores el circuito queda formado de la siguiente manera:
Figura 18.- Filtro pasa bajo de Cebyshev de 2° orden con ganancia unitaria.
Tabla 1.- Coeficientes para un filtro de 2° orden.
En la topología Sallen--Key, puede darse el caso especial en el que R1 = R2 = R y C1 = C2 =
C.. En tal caso, la función de transferencia queda de la siguiente forma:
A(s ) =
A0
1 + ω c .R.C.(3 − A0 ).s + (ω c .R.C ) 2 .s 2
con
A0 = 1 +
R4
R3
Comparando esta función de transferencia con la función de transferencia general de un
filtro pasa bajo,, podemos obtener los coeficientes a1 y b1.
a1 = ω c .R.C.(3 − A0 )
b1 = (ω c .R.C ) 2
Dando un valor a C y resolviendo el sistema de ecuaciones anterior obtenemos el valor de
R.
R=
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b1
2.π . f c .C
y
A0 = 3 -
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a1
b1
= 3−
1
Q
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El circuito de la figura 19,
1 , permite cambiar el tipo de filtro ajustando el valor de R4, es decir
variando la relación R4/R3.
Figura 19.- Filtro pasa bajo de 2° orden con ganancia unitaria.
6.3 FILTRO PASA BAJO DE ORDEN SUPERIOR
Para necesidades en que la característica de un filtro de 2° orden no sea lo suficientemente
abrupta en la región de atenuación de la banda deberán emplearse filtros de un orden superior,
que pueden lograrse conectando en cascada filtros de 2° orden para n par, y agregando a la
cascada uno de primer orden para n impar. La respuesta en frecuencia del filtro total es igual al
producto de las respuestas en frecuencia de los filtros individuales. Dicho esto, podríamos estar
tentados a calcular un filtro de segundo orden, y, por ejemplo, para n = 6,, conectar en cascada
tres secciones idénticas, esto no es correcto porque el filtro resultante tendrá una frecuencia de
corte diferente a la de los filtros individuales como puede demostrarse si en un diagrama
logarítmico sumamos tres respuestas iguales.
Aquí es donde aparece la optimización de la respuesta frecuencial con los distintos tipos de
filtros
tros que conducen a grupos diferentes de coeficientes para los filtros individuales de tal modo
que el producto de las respuestas frecuenciales de por resultado la respuesta con la frecuencia
de corte y características deseadas.
Ejemplo 3. Diseño de un filtro
fil pasa bajo de 5° orden con ganancia unitaria.
Diseñar un filtro pasa bajo de Butterwoth de 5° orden con una frecuencia de cor te fc = 50
kHz.
En primer lugar hay que obtener el valor de los coeficientes para un filtro de Butterworth de
5° orden.
2011
ai
bi
Filtro 1
a1 = 1
b1 = 0
Filtro 2
a2 = 1,6180
b2 = 1
Filtro 3
a3 = 0,6180
b3 = 1
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A partir de estos coeficientes y especificando el valor de los capacitores, calculamos el valor
de las resistencias en cada etapa. Recordemos la configuración de un filtro pasa bajo de 1°
orden.
Figura 20.- Filtro pasa bajo de 1° orden con ganancia unitaria.
Si establecemos el valor de C1 en 1nF.
R1 =
a1
1
=
= 3,18kΩ ≅ 3,16kΩ
2.π . f c .C1 2.π .50.10 3.1.10 -9 F
Figura 21.- Filtro pasa bajo de 2° orden con ganancia unitaria.
Para la segunda etapa definimos C1 = 820pF.
C 2 ≥ C1 .
4.b2
4.1
= 820.10 -12 F .
= 1,26nF ≅ 1,5nF
2
a2
1,618 2
Con C1 y C2 calculamos el valor de R1 y R2 con la siguiente fórmula:
R1, 2 =
R1 =
R2 =
2011
a1 .C 2 ± a12 .C 22 - 4.b1 .C1 .C 2
4.π . f c .C1 .C 2
1,618.1,5.10 -9 - (1,618.1,5.10 -9 ) 2 - 4.1.820.10 -12.1,5.10 -9
4.π .50.10 3.820.10 -12.1,5.10 -9
1,618.1,5.10 -9 + (1,618.1,5.10 -9 ) 2 - 4.1.820.10 -12.1,5.10 -9
4.π .50.10 3.820.10 -12.1,5.10 -9
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= 1,87kΩ
= 4,42kΩ
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Para el cálculo de la tercera etapa se procede de la misma manera que en la etapa anterior,
con la diferencia de que los coeficientes a utilizar serán a3 y b3 en lugar de a2 y b2. Para esta
etapa definimos C1 = 330pF y obtenemos C2.
C 2 ≥ C1 .
4.b2
4.1
-12
F.
= 3,46nF
2 = 330.10
a2
0,618 2
4,7nF
Con C1 = 330pF y C2 = 4,7nF, los valores de R1 y R2 son:
R1 = 1,45kΩ
1,47kΩ
R2 = 4,51kΩ
4,53kΩ
La figura 22 muestra el circuito definitivo.
Figura 22.- Filtro pasa bajo de Butterworth de 5° orden con ganancia unitaria y f c = 30kHz.
7.. DISEÑO DE UN FILTRO PASA ALTO
Los filtros normalizados pasa bajos pueden ser convertidos en filtros normalizados pasa
altoss cambiando la variable normalizada sn por 1/sn. Este cambio de variable significa en el
gráfico de Bode, por encima de la frecuencia de corte, dibujar la imagen especular de la
respuesta amplitud-frecuencia
cuencia del filtro pasa bajo,, como se observa en la figura 23. La
ganancia A0 en bajas frecuencias se convierte en A∞ o ganancia en alta frecuencia.
Figura 23.- Respuesta amplitud-frecuencia
amplitud
de un filtro pasa alto comparada con la de un filtro pasa bajo.
2011
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La función de transferencia general de un filtro pasa alto queda de la siguiente forma:
A∞
A(s ) =
(1 +
a n bn
a1 b1
a 2 b2
+ 2 ).(1 +
+ 2 )...(1 +
+ )
s s
s s
s s2
Como sucedía en los filtros pasa bajos de 1° orden, en un filtro pasa alto de 1° orden el
coeficiente b es cero, por lo que la ecuación anterior la podemos reescribir de la siguiente
forma:
A( s ) =
A∞
a1
1+
s
7.1 FILTRO PASA ALTO DE 1° ORDEN
La figura 24 y 25 muestran un filtro pasa alto de 1° orden en su configuración no inversora e
inversora, respectivamente.
Figura 24.-- Filtro pasa alto de 1° orden en configuración no inversora.
Figura 25.25 Filtro pasa alto de 1° orden en configuración inversor a.
La función de transferencia de estos circuitos es:
R2
R3
A( s ) =
1
1
1+
.
ω c .R1 .C1 s
1+
2011
y
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R2
R1
A( s ) =
1
1
1+
.
ω c .R1 .C1 s
20
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El signo negativo indica que le amplificador inversor produce un cambio de fase de 180° en
la señal de entrada. Es decir que a la salida obtendremos la señal de entrada invertida.
Comparando los coeficientes de de ambas funciones de transferencia obtenemos:
A∞ = 1 +
R2
R3
y
A∞ = -
R2
R1
El coeficiente a1 es el mismo para ambos circuitos.
a1 =
1
ω c .R1 .C1
Para el diseño del circuito, tendremos como dato la frecuencia de corte (fc), la ganancia del
circuito (A∞) y el valor de C1 que será definido de antemano.
no. Con estos datos solo nos resta
calcular R1 y R2.
R1 =
R2 = R3 .( A∞ - 1)
1
2.π . f c .a1 .C1
y
R2 = -R 1 . A∞
7.2 FILTRO PASA ALTO DE 2° ORDEN
Para un filtro pasa alto de 2° orden se utilizan las mismas dos topologías q ue para los filtros
pasa bajo de 2° orden, la Sallen -Key
Key o red con fuente controlada y la topología llamada de
Rauch o de realimentación múltiple.
7.2.1
.2.1 Topología Sallen-Key
Sallen
La topología Sallen-Key
Key general,
gene
para un filtro pasa alto,, se puede observar en la figura 26
2 y
su función de transferencia se muestra a continuación:
A( s ) =
α
R2 .(C1 + C 2 ) + R1 .C 2 (1 α ) 1
1
1
1+
. + 2
. 2
ω c .R1 .R2 .C1 .C 2
s ω c .R1 .R2 .C1 .C 2 s
con
α = 1+
R4
R3
Figura 26.- Filtro pasa alto de 2° orden de topología Sallen -Key.
2011
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Si el circuito
ito de la figura 26
2 lo modificamos de manera tal que su ganancia sea unitaria (α =
1), y C1 = C2 = C obtenemos la función de transferencia que se muestra a continuación.
1
A( s ) =
1+
2
1
1
1
. + 2
2 . 2
ω c .R1 .C s ω c .R1 .R2 .C s
Si comparamos la función de transferencia anterior, con la función de transferencia
transferenc general
de un filtro pasa alto,, podemos obtener los coeficientes
co
A∞, a1 y b1.
A∞ = 1
a1 =
b1 =
2
ω c .R1 .C
1
ω .R1 .R2 .C 2
2
c
Definiendo previamente el valor de C, a partir del sistema de ecuaciones anteriores
podemos encontrar el valor de R1 y R2.
R1 =
R2 =
1
π . f c .C.a1
a1
4.π . f c .C.b1
Figura 27.- Filtro pasa alto de 2° orden de topología Sallen- Key con ganancia unitaria.
7.3 FILTRO PASA ALTO DE ORDEN SUPERIOR
Al igual que los filtros pasa bajo, los filtros pasa alto de orden superior son diseñados
conectando en cascada etapas
etapas de filtros de 1º y 2º orden. Los coeficientes utilizados son los
mismos que para los filtros pasa bajo, los que se obtienen por tabla (apartado 10).
Ejemplo 5. Diseño de un filtro pasa alto de 3°° orden con ganancia unitaria.
Diseñar un filtro pasa alto de Bessel de 3°° orden con una frecuencia de corte f c = 1 kHz. Los
coeficientes del filtro se obtienen por tabla (ver sección 10).
2011
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ai
bi
Filtro 1
a1 = 0,756
b1 = 0
Filtro 2
a2 = 0,996
b2 = 0,4772
A partir de estos coeficientes y especificando el valor de los capacitores, calculamos el valor
de las resistencias en cada etapa.
Si establecemos el valor de C1 en 100nF.
R1 =
1
1
=
= 2,105kΩ ≅ 2,1kΩ
3
2.π . f c .a1 .C1 2.π .1.10 Hz.0,756.100.10 −9 F
Para la segunda etapa definimos C = 100nF.
1
1
=
= 3,18kΩ ≅ 3,16kΩ
3
π . f c .C.a1 π .1.10 Hz.100.10 −9 F .0,756
a1
0,9996
R2 =
=
= 1,67kΩ ≅ 1,65kΩ
3
4.π . f c .C.b1 4.π .1.10 Hz.100.10 −9 F .0,4772
R1 =
La figura 24 muestra el circuito definitivo.
Figura 28.- Filtro pasa alto de Bessel de 3° orden con ganancia unitaria y f c = 1kHz.
8.. DISEÑO DE UN FILTRO PASA BANDA
Un filtro pasa banda puede ser implementado conectando en serie un filtro pasa bajo y un
filtro pasa alto con frecuencias
ecuencias de corte f1 y f2, respectivamente. Asimismo, los filtros
normalizados pasa bajoss pueden ser convertidos en filtros normalizados pasa banda
cambiando la variable normalizada sn por:
1 
1
. s + 
∆Ω 
s
En este caso, el filtro pasa bajo es transformado
nsformado en la mitad superior de la banda pasante
del filtro y luego es espejado para formar la mitad inferior de la banda pasante, como se
s puede
observar en la figura 29.
2011
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Figura 29.- Transformación de un filtro pasa bajo en un filtro pasa banda.
banda
La frecuencia
ecuencia de corte del filtro pasa bajo,, se transforma entonces en la frecuencia de corte
inferior y superior del filtro pasa banda.. La diferencia entre ambas frecuencias es definida como
el ancho de banda normalizado:
∆Ω = Ω 2 − Ω1
En analogía con
n un circuito resonante, el factor de calidad Q es definido como la relación
entre la frecuencia media o mitad (fm) y el ancho de banda (B).
Q=
fm
fm
1
1
=
=
=
B
f 2 − f1 Ω 2 − Ω1 ∆Ω
Como se dijo anteriormente, la forma más simple de implementar un filtro pasa banda es
conectando
ctando en cascada un filtro pasa bajo y un filtro pasa alto,, lo que es un criterio valido para
la implementación de filtros de banda ancha, es decir con un bajo valor de Q. Para valores de
Q > 5 se recurre a circuitos resonadores.
Por otro lado, si conectamos
conecta
en cascada un filtro pasa bajo de 1º orden con un filtro pasa
alto de 1º orden, obtendremos un filtro pasa banda de 2º orden, de la misma forma, si
conectamos filtros pasa bajo y pasa alto de 2º orden, obtendremos un filtro pasa banda de 4º
orden.
8.1 FILTRO PASA BANDA DE 2° ORDEN
Para obtener la respuesta de un filtro pasa banda de 2º orden, aplicaremos la
transformación antes mencionada sobre la función de transferencia de un filtro pasa bajo de 1º
orden.
A(( s ) =
A0
1 
1
reemplazando s por
. s + 
1+ s
∆Ω 
s
De esta manera obtenemos la función de transferencia de un filtro pasa banda de 2º orden.
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A( s ) =
A0 .∆Ω.s
1 + ∆Ω.s + s 2
Cuando diseñamos un filtro pasa banda,, los parámetros a tener en cuenta para el diseño
son la ganancia en la frecuencia mitad (Am) y el factor de calidad Q, el que representa la
selectividad del filtro pasa banda.
banda. Por lo tanto, reemplazando en la ecuación anterior A0 por Am
y ∆Ω por 1/Q obtenemos:
Am
s
Q
A( s ) =
1
1+ s + s2
Q
8.1.1
.1.1 Topología Sallen-Key
Sallen
El circuito pasa banda,
banda de topología Sallen-Key,, que se observa en la figura 29 tiene la
siguiente función de transferencia:
A( s ) =
G.R.C.ω m .s
1 + R.C.ω m .(3 − G ).s + R 2 .C 2 .ω m2 .s 2
Figura 30.- Filtro pasa banda de topología Sallen-Key.
Si comparamos la función de transferencia anterior, con la función de transferencia general
de un filtro pasa banda,, podemos obtener las siguientes ecuaciones:
2011
1
2.π .R.C
Frecuencia media:
fm =
Ganancia interna:
G = 1+
Ganancia en la frecuencia media:
Am =
R2
R1
G
3−G
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Q=
Factor de calidad:
1
3−G
La configuración Sallen-Key
Sallen Key tiene como ventaja que el factor de calidad (Q) puede ser
variado a través de la ganancia interna (G) sin
sin modificar la frecuencia media (fm). Como
desventaja podemos decir que el factor de calidad Q y la ganancia Am no pueden ser ajustadas
independientemente. Se debe tener cuidado cuando el valor de G se aproxima a 3, ya que la
ganancia Am pasa a ser infinita,
infinit lo que provoca que el circuito comience a oscilar.
Para el diseño del filtro definimos la frecuencia media (fm) y el valor de C y a partir de estos
valores calculamos el valor de R.
R=
1
2.π . f m .C
Debido a la dependencia entre Q y Am, existen dos
os posibilidades para el cálculo de R2.
Definir
efinir el valor de la ganancia en la frecuencia media:
R2 =
2. Am − 1
1 + Am
R2 =
2.Q − 1
Q
O definir el valor de Q:
9.. DISEÑO DE UN FILTRO DE ELIMINACIÓN DE BANDA
Un filtro de eliminación de banda o supresión
supresión de banda puede implementarse conectando a
un sumador
or analógico un filtro pasa bajo con frecuencia de corte f1 y un filtro pasa alto con
frecuencia de corte f2.
Al igual que para un filtro pasa banda,, el diagrama de Bode de un filtro de eliminación de
banda se puede hallar a partir de la respuesta en frecuencia de un filtro pasa bajos
bajo utilizando
una adecuada transformación de frecuencia. Para este caso se reemplaza la variable
normalizada sn por:
∆Ω
1
s+
s
Donde ∆Ω tiene la misma definición
definici que para un filtro pasa banda,, referido aquí a la banda
que suprime.
Al igual que en el caso de un filtro pasa banda,, la transformación de frecuencia duplica el
orden del filtro. Así, aplicando la transformación a un filtro pasa bajoss de 1º orden da por
resultado la función de transferencia de un filtro supresor de banda que tiene la siguiente
expresión:
A0 .(1 + s 2 )
A( s ) =
1 + ∆Ω.s + s 2
En este caso, el filtro pasa bajo es transformado en la mitad inferior de la banda suprimida
del filtro y luego es espejado para formar la mitad superior de la banda suprimida, como se
puede observar en la figura 31.
31
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Figura 31.- Transformación de un filtro pasa bajo en un filtro elimina banda.
Tomando la función de transferencia anterior y reemplazando ∆Ω por 1/Q nos queda:
A( s ) =
A0 .(1 + s 2 )
1
1 + .s + s 2
Q
9.1
.1 FILTRO ELIMINA BANDA EN T PARALELO
En la figura 32 se observa una red T pasiva cuyo factor de calidad Q = 0,25. Para
incrementar el valor de Q, el filtro pasivo es implementado dentro del lazo de realimentación de
un amplificador, convirtiéndose
onvirtiéndose así en un filtro elimina banda activo, como se observa en la
figura 33.
Figura 32.- Sección T pasiva.
2011
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Figura 33.- Filtro elimina banda activo.
La función de transferencia
transferen
del circuito de la figura 32 es la siguiente:
A( s ) =
k .(1 + s 2 )
1 + 2.(2 − k ).s + s 2
Si comparamos la función de transferencia anterior, con la función de transferencia general
de un filtro elimina banda, podemos obtener las siguientes ecuaciones:
1
2.π .R.C
Frecuencia media:
fm =
Ganancia interna:
G = 1+
Ganancia en la frecuencia media:
A0 = G
Factor de calidad:
Q=
R2
R1
1
2.(2 − G )
La configuración anterior tiene como ventaja que el factor de calidad (Q) puede ser variado
a través de la ganancia interna (G) sin modificar la frecuencia
frecuen
media (fm). Como desventaja
podemos decir que el factor de calidad Q y la ganancia Am no pueden ser ajustadas
independientemente.
Para el diseño del filtro definimos la frecuencia media (fm) y el valor de C y a partir de estos
valores calculamos el valor
lor de R.
R=
2011
1
2.π . f m .C
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Debido a la dependencia entre Q y Am, existen dos posibilidades para el cálculo de R2.
Definir el valor de la ganancia en la frecuencia media:
R2 = ( A0 − 1) R1
O definir el valor de Q:

1 

R2 = R1 .1 −
 2.Q 
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10.. TABLAS DE COEFICIENTES PARA LOS DIFERENTES
FILTROS
Tabla 2.- Coeficientes de Butterworth.
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Tabla 3.- Coeficientes de Chebyshev
hebyshev para 0,5 dB de ripple.
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Tabla 4.- Coeficientes de Chebyshev para 1 dB de ripple.
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Tabla 5.- Coeficientes de Chebyshev para 2 dB de ripple.
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Tabla 6.- Coeficientes de Chebyshev para 3 dB de ripple.
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Tabla 7.- Coeficientes de Bessel.
2011
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