6-Capitulo 2 Control I

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CAPITULO 2 Modelos Matemáticos y su Representación
2.1 INTRODUCCIÓN
La modelación de sistemas complejos es difícil, de alto costo y lenta,
especialmente cuando se incluyen pasos importantes de verificación experimental. Una
vez que se obtiene un modelo en forma de ecuaciones dinámicas, generalmente
ecuaciones diferenciales ordinarias, el paso siguiente es resolver estas ecuaciones para
aprender la naturaleza de la respuesta del sistema. En general, la resolución de
ecuaciones dinámicas es difícil por que la mayoría de los modelos prácticos y reales son
de alto orden, varían en el tiempo y no son lineales.
Un sistema se denomina lineal si se aplica el principio de superposición. Este
principio establece que la respuesta producida por la aplicación simultánea de dos
funciones de entradas diferentes es la suma de las dos respuestas individuales. Por
tanto, para el sistema lineal, la respuesta a varias entradas se calcula tratando una
entrada a la vez y sumando los resultados. Este principio permite desarrollar soluciones
complicadas para la ecuación diferencial lineal a partir de soluciones simples. Si en una
investigación experimental de un sistema dinámico son proporcionales la causa y el
efecto, lo cual implica que se aplica el principio de superposición, el sistema se considera
lineal. Un sistema es no lineal si no se aplica el principio de superposición. Por tanto, para
un sistema no lineal la respuesta a dos entradas no puede calcularse tratando cada una a
la vez y sumando los resultados.
Sistemas lineales invariantes y variantes con el tiempo.- Una ecuación diferencial
es lineal si sus coeficientes son constantes o son funciones sólo de la variable
independiente. Los sistemas dinámicos formados por componentes de parámetros
concentrados lineales invariantes con el tiempo se describen mediante ecuaciones
diferenciales lineales invariantes con el tiempo (de coeficientes constantes). Tales
sistemas se denominan sistemas lineales invariantes con el tiempo (o lineales de
coeficientes constantes). Los sistemas que se representan mediante ecuaciones
diferenciales cuyos coeficientes son funciones del tiempo, se denomina sistemas lineales
variantes con el tiempo.
En control, es importante mantener el sistema en un punto de equilibrio y se puede
considerar la respuesta del sistema a señales pequeñas en torno a este equilibrio. De aquí
que se pueda aproximar el comportamiento no lineal por un modelo lineal para variables
pequeñas alrededor de este equilibrio. Más aún, las variaciones en el tiempo son a menudo
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muy pequeñas comparadas con la velocidad de las señales de interés y los parámetros del
sistema son constantes para el análisis inicial. Por tanto, se dedicará la atención al
estudio de la respuesta de sistemas lineales e invariables en el tiempo.
Hay tres formatos en los cuales se puede estudiar la respuesta dinámica. Estos son
el plano s, la respuesta de frecuencia y el espacio-estado. La herramienta matemática
básica del plano s es la transformada de laplace. Los conceptos principales de la teoría
que se utilizaran serán la función de transferencia, diagramas de bloques y su
manipulación, polos y ceros y expansión en fracciones parciales. El concepto central de la
respuesta de frecuencia es la respuesta sinusoidal en magnitud y fase como función de la
frecuencia. Esta respuesta se puede obtener como un caso particular de la transformada
de Laplace o de forma independiente. Un mérito especial de la respuesta de frecuencia
es el hecho que a menudo estos datos se pueden obtener experimentalmente sin
necesidad de modelación. Por esta razón, la respuesta de frecuencia se utiliza a menudo
para describir sistemas complejos, incluyendo amplificadores retroalimentados y muchos
dispositivos y sistemas electromecánicos. La descripción espacio-estado es otra forma de
estudio y es una manera estándar de presentar un conjunto de ecuaciones diferenciales.
Cuando las ecuaciones se escriben como un conjunto de ecuaciones diferenciales de
primer orden, decimos que están en la forma de espacio-estado. El principal atractivo de
esta forma es que pueden aplicarse fácilmente algoritmos de diseño asistidos por
computadora. Además, se observan más fácilmente algunos desarrollos teóricos como
control óptimo y la relación entre variables internas y variables externas de entrada y
salida si las ecuaciones tienen esta forma. Finalmente, el estudio de sistemas de control
con más de una entrada y/o más de una salida es más fácilmente tratable en la
estructura de espacio-estado y es más confusa en otros dominios. La información
matemática necesaria para el estudio de ecuaciones de espacio estado es principalmente
el álgebra lineal.
2.2 FUNCIONES DE TRANSFERENCIA
Una de las herramientas más importantes de la representación entrada-salida es la
función de transferencia. La idea de emplear funciones de transferencia para
representar sistemas físicos es una consecuencia natural del uso de la transformada de
Laplace para resolver ecuaciones diferenciales lineales. Resulta razonable que estos
métodos tengan un gran valor en la representación de sistemas, ya que han resultado
sumamente exitosos en la simplificación y sistematización del problema que se presenta
para obtener la respuesta en el tiempo de un sistema.
En la figura 2.1 se muestra la configuración general de un sistema de control en
lazo cerrado, el cual esta formado por dos elementos básicos: la planta y el controlador.
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Figura 2.1 Sistema de Control en lazo cerrado
La planta comprende la parte inalterable del sistema. Para obtener un desempeño
adecuado del sistema global, el diseñador añade el controlador. Para comprender como se
emplean las funciones de transferencia en la representación de la planta, supóngase que
si se tiene una planta general de n-ésimo orden, con una entrada de control u(t) y una
salida y(t), como se muestra en la figura 2.1. Se puede obtener una aproximación del
comportamiento de los sistemas físicos que se deseen controlar por medio del
comportamiento de una ecuación diferencial lineal e invariante con el tiempo de n-ésimo
orden que relacione la entrada y la salida. La forma general de dicha ecuación esta dada
por
(n)
( n −1)
•
(m)
( m −1)
•
a 0 y (t ) + a1 y (t ) + ... + a n −1 y (t ) + a n y (t ) = b0 u (t ) + b1 u (t ) + ... + bm −1 u (t ) + bm u (t ) ⇒ ( n ≥ m)
(2.1)
Aquí se da por hecho que todas las ai y las bi son constantes, porque se analiza el caso
invariante en el tiempo.
Esta ecuación diferencial proporciona una descripción completa de la planta, en el
sentido de que se puede determinar la salida cualesquiera que sean las condiciones
iniciales y la entrada. En realidad, la ecuación diferencial, ya es un modelo matemático
que sólo se aproxima al comportamiento de la planta física. No obstante, este modelo es
poco manejable y por ende, rara vez se le emplea de esta forma.
El conjunto de ecuaciones diferenciales que describen las leyes físicas que
determinan el comportamiento de los componentes individuales de la planta es el punto de
partida básica.
Si se aplica la transformada de Laplace a la ecuación diferencial, y considerando
que las condiciones iniciales son cero, se obtiene:
Función de transferencia = Gp(s) =
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L [salida ]
L [entrada ]
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condiciones iniciales cero
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Es decir:
Gp(s) =
Y ( s ) b0 S m + b1 S m −1 + ... + bm −1 S + bm
=
U ( s ) a 0 S n + a1 S n −1 + ... + a n −1 S + a n
(2.2)
Las funciones de transferencia Gp(s) de una planta se define como el cociente de
la transformada de Laplace de la salida Y(s) entre la transformada de Laplace de la
entrada U(s), si se considera que las condiciones iniciales son cero.
Nótese que la función de transferencia es el cociente de dos polinomios en S,
conocidos como el polinomio del númerador y el polinomio del denominador. Como se verá
el polinomio del denominador desempeña un papel muy importante en la determinación del
carácter del comportamiento de la planta.
En este punto es menester hacer varios comentarios. El primero es que la función
de transferencia Gp(s) caracteriza completamente a la planta, debido a que contiene
toda la información referente a los coeficientes de la ecuación anterior, la cual es la
ecuación diferencial original que describen a la planta. En otras palabras, es posible
reconstruir la descripción de las ecuaciones diferenciales dada la función de
transferencia. De hecho, se puede realizar esta reconstrucción por inspección, al
multiplicar de un modo cruzado y remplazar el término Sny(s) por la K-ésima derivada de
Y (t).
El segundo comentario es que la función de transferencia depende solamente de la
planta y no de la entrada o de las condiciones iniciales. La entrada no forma parte de la
función de transferencia por que esta se define como la relación de la transformada de
Laplace de la salida entre la transformada de Laplace de la entrada. Es necesario
observar que la entrada no aparece en el segundo miembro de la ecuación (2.2). La
afirmación de que Gp(s) no depende de las condiciones iniciales resulta hasta cierto punto
errónea puesto que según la definición de una función de transferencia es necesario que
estas sean cero. Si las condiciones iniciales no son cero, se debe regresar a la descripción
de la ecuación diferencial (2.1)) o usar la representación en variables de estado que se
trata posteriormente. Puesto que muchas propiedades de interés se encuentran
completamente determinadas por la planta, la falta de información de las condiciones
iniciales no es un problema serio,y las funciones de transferencia encuentran una gran
cantidad de usos . Sin embargo, se recuerda que no debe olvidar la suposición básica de
las condiciones iniciales son cero cuándo trabaje con funciones de transferencia.
Se dice que la función de transferencia de la ecuación (2.2) tiene n polos y m
ceros. La razón de esta afirmación es más clara si la función de transferencia Gp (s) se
representa en la forma factorizada como :
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(s + δ ) (s + δ 2) ...(s + δ m)
Kp Np(s)
1
Gp(s) = Cm _____________________ = _________
(s + λ1) ( s + λ 2)...(s + λ n)
Dp (s)
donde
Np(s) = (s + δ1) (s + δ 2) ...(s + δ m)
Dp(s) = (s + λ 1) ( s + λ 2)...(s + λ n)
KP = Cm
Aquí, C se cambia por Kp para enfatizar que es una ganancia inherentemente
m
asociada con la planta. Los m valores de s denominados - δ1,- δ2,....,- δm, que hacen al
polinomio del numerador Gp(s) cero, se conoce como los ceros de Gp(s). Los n valores de
S, denominados – λ1 , - λ2, ...., - λn, que hacen al polinomio del denominador de Gp (s) igual a
cero, o hacer infinita a la función de transferencia que tienen n polos y m ceros.
A una función de transferencia que posea más polos que ceros de un modo estricto
se le llama estrictamente propia. Se puede afirmar que ningún sistema físico puede
reaccionar instantáneamente a un cambio en la entrada, aunque algunos sistemas
eléctricos puedan reaccionar de una forma muy rápida. Es posible modelar un sistema que
no reaccione instantáneamente por medio de una función de transferencia estrictamente
propia. Por lo general, se da por hecho que los modelos de los sistemas físicos se modelan
a través de dichas funciones. Se permite que los componentes de un controlador se
modelen mediante una función de transferencia propia, es decir, una función de
transferencia que posee igual números de polos y ceros. Ningún sistema físicamente
realizable se podría modelar mediante una función de transferencia, en la que el grado
del polinomio del denominador sea menor que el del numerador, es decir, una función de
transferencia impropia.
Para ilustrar el método, se supondrá que se ha escrito una ecuación
modelo y que tiene la forma de la ecuación
ÿ + 3ý + 2y = 2ú + u
La transformada de Laplace de esta ecuación, con condiciones iniciales
cero, está dada por
s2Y(s) + 3sY(s) + 2Y(s) = 2sU(s) + U(s)
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La ecuación anterior es una ecuación algebraica en vez de una ecuación
diferencial, y de este modo la relación entre Y y U se encuentra fácilmente
como
2s + 1
Y(s) = ------------- U(s)
s2 + 3s + 2
= H(s)U(s)
la función H(s) es
2s + 1
H(s) = ------------s2 + 3s + 2
Esta función H(s), que es la ganancia de transferencia desde U(s) a Y(s) entrada a salida- es la llamada función de transferencia del sistema.
Como otro ejemplo de una función de transferencia se expondrá el siguiente caso:
Ejemplo 2.1.- Considere el sistema descrito por :
d2y
dy
du
+ 6 + 8y = −
+ 5u
2
dt
dt
dt
Solución:
Para encontrar la función de transferencia, se aplica la transformada de Laplace al
sistema de ecuaciones, con condiciones iniciales cero, y se forma la relación de la
transformada de la salida a la transformada de la entrada.
S2Y(s)+6SY(s)+8Y(s)= -SU(s)+5U(s)
transformada de Laplace con condiciones iniciales
cero.
Y(s)[S2+6S+8]=U(s)[-S+5]
despejando
Y (s)
−S +5
= G (s)
= 2
U (s) S + 6S + 8
Función de transferencia
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Ejemplo 2.2.- Considere el siguiente sistema descrito por:
d3y
d2y
dy
d 2u
du
y
+
6
+
2
+
4
=
−
5
+8
3
2
2
dt
dt
dt
dt
dt
Solución:
s3Y(s)+6s2Y(s)+2sY(s)+4 Y(s) = -5s2U(s)+8sU(s)
Y(s)[s3+6s2+2s+4 ]= U(s) [-5s2+8s]
G (s) =
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− 5 S 2 + 8S
Y (s)
= 3
U ( s) S + 6S 2 + 2S + 4
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Una metodología a seguir para la determinación de la función de transferencia de
un sistema es la siguiente:
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1) Identificar las ecuaciones de equilibrio o leyes físicas involucradas en el sistema.
2) Siguiendo las ecuaciones de equilibrio plantear las ecuaciones integro-diferenciales
correspondientes a cada variable de interés.
3) Obtener la transformada de Laplace de cada ecuación considerando condiciones
iniciales cero.
4) Relacionar la variable de salida con la variable de entrada.
2.3 DIAGRAMAS DE BLOQUES
Por lo general resulta útil realizar una representación gráfica de una función de
transferencia por medio del uso de una técnica conocida como diagramas de bloques. La
cantidad que contiene un bloque es la función de transferencia que relaciona la entrada y
la salida del bloque. Es común asumir que un diagrama de bloques representa la
transformación de la información solamente en una dirección, de la entrada a la salida,
como se indica con las flechas en la figura 2.2. En otras palabras, si se fuerza a la salida
Y(s) a tener un cierto tipo de comportamiento, a partir del diagrama de bloques se asume
que la entrada no se ve afectada. Por otro lado, si se conoce la entrada, se puede
encontrar la salida si se emplea una función de transferencia.
Figura 2.2 Diagrama a bloques
.
Pese a que los diagramas de bloques no son más que una representación gráfica de
la ecuación de laplace, la representación mediante el diagrama de bloques resulta ser útil
para tener una clara comprensión de un problema de control, ya que permite visualizar la
interrelación entre las diferentes partes del problema.
En este punto se previene al lector ante la siguiente trampa, aunque la ecuación
Y(s)
------- = Gp(s)
U(s)
(2.3)
sea correcta y no ambigua, la representación "análoga" en el dominio del tiempo
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Y(t)
--------- = Gp(t)
u(t)
(2.4)
carece de sentido alguno. Es evidente que las dos representaciones no son análogas. La
manera en la que se expresa la relación entre la entrada y la salida mediante la función
de transferencia de la ecuación (2.3) solo tiene sentido para cantidades expresadas
mediante una transformada. De hecho, esto es la base para definir la función de
transferencia: un cociente de la transformada de Laplace de la salida entre la
transformada de Laplace de la entrada con condiciones iniciales cero.
Por tanto, se ve que la ecuación diferencial que la describe, la función de
transferencia y los diagramas de bloques son métodos de representación completamente
equivalentes. Por inspección es posible determinar una de las representaciones a partir
de cualquiera de ellas. Estas formas de representación constituyen lo que se ha
denominado el método de representación entrada-salida de la planta.
2.4 MODELOS DE CIRCUITOS ELECTRICOS
Los circuitos eléctricos se componen de interconexiones de fuentes de voltaje y
corriente eléctrica; elementos pasivos como resistores, capacitores, e inductores; y
elementos electrónicos activos, especialmente amplificadores operacionales. Estos
dispositivos son a menudo componentes de un sistema de control retroalimentado por la
enorme flexibilidad que le dan a el diseñador para modificar y procesar señales. Los
amplificadores operacionales son mismos ejemplos de complejos sistemas
retroalimentados, y algunos de los más importantes métodos de diseño han sido
desarrollados por los diseñadores de amplificadores retroalimentados, principalmente en
los laboratorios de la Bell Telephone de 1925 a 1940. Los componentes eléctricos y
electrónicos tienen también un papel importante en dispositivos de conversión
electromecánico de la energía, como son los motores y generadores eléctricos.
Con la electrónica podemos incrementar el conjunto de elementos eléctricos
agregando dispositivos activos, incluyendo diodos y transistores, como a través de
interconexiones altamente complejas en circuitos integrados de varias clases. En el
procesamiento de señales y en circuitos para el control de sistemas, el propósito más
común de los dispositivos electrónicos es la amplificación, y la idealización de esta
función se expresa en el amplificador operacional, o " op amp".
Las restricciones impuestas por las interconexiones se llaman leyes de Kirchhoff que son
Leyes de corriente de Kirchhoff (LCK): La suma algebraica de todas las corrientes que
dejan o llegan a un punto de unión o nodo en un circuito es cero.
Leyes de voltaje de Kirchhoff (LVK): La suma algebraica de todos los voltajes tomados
en torno de un trayectoria cerrada en un circuito es cero.
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Con circuitos complejos de varios elementos es esencial que la escritura de las
ecuaciones este bien organizada y cuidadosamente hecha. De los numerosos métodos para
hacerlo, seleccionamos para la descripción e ilustración el popular y poderoso esquema
conocido como análisis de nodos. La primera idea básica del análisis de nodos es
seleccionar un nodo como referencia y considerar los voltajes de todos los otros nodos
como desconocidos. La elección de la referencia es arbitraria en cuanto al método, pero
en circuitos electrónicos activos, el terminal común, o tierra, es la elección normal y
obvia.
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Ejemplo 2.3
Como primer ejemplo considérese el circuito eléctrico sencillo que de muestra en
la figura 2.3.
Figura 2.3. Circuito eléctrico Sencillo
Si se escribe una función de malla Kirchhoff para este circuito se tiene que
di(t)
L ------- + (R1+ R2) i(t) = u(t)
dt
y el voltaje de la salida y(t) está formada por
Y(t) = R2 i(t)
si estas dos ecuaciones se combinan y se suprime i(t), la ecuación diferencial que resulta
es
L
.
R1 + R2
------ Y(t) + ------------- Y(t) = u(t)
R2
R2
Entonces, la función de transferencia para este circuito se determina al aplicar la
transformada de Laplace a esta ecuación (se asume que las condiciones iniciales son cero)
manipulando para obtener la relación Y (s) / U (s), que ha dado como resultado :
Gp(s)= Y(s)/U(s) = R2 / Ls+(R1+R2) = (R2/L)/( s+(R1+R2) / L )
En la figura 2.4 se muestra el diagrama de bloques para este sistema.
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Figura 2.4 Diagrama a bloques de circuito
Se debe señalar en este ejemplo que en el diagrama de bloques se indica una
relación de causa-efecto por medio de las flechas. En este caso U(s) es la entrada y Y(s)
es la salida. Si se diera una corriente como fluye en el circuito, no sería posible predecir
el efecto que tendría sobre U(t). En general, lo anterior es cierto. El diagrama de bloques
presupone que la entrada está indicada con el flujo de información como lo muestra la
flecha.
2.5 DINÁMICA DE SISTEMAS MECÁNICOS
Los sistemas mecánicos son una parte fundamental de la vida común, ya que
cualquier cuerpo físico se comporta como tal. En general los sistemas mecánicos son
gobernados por la segunda ley de Newton, la cual establece para sistemas mecánicos de
traslación que "la aceleración de un cuerpo es directamente proporcional a la suma de
fuerzas aplicadas a dicho cuerpo
Para la obtención de un modelo matemático, o la ecuación de movimiento, para un sistema
mecánico es fundamental usar la ley de Newton.
Σ F = m a,
(2.5)
donde
Σ F = vector suma de todas las fuerzas aplicadas a cada cuerpo en un sistema, en Nt,
a = vector aceleración de cada cuerpo, m/s o ft/s,
m = masa del cuerpo, kg
La aplicación de esta ley requiere definir las coordenadas adecuadas para el movimiento
del cuerpo -posición, velocidad, y aceleración- que determinan las fuerzas que actúan
sobre él, utilizando un diagrama de cuerpo libre, y luego escribir la ecuación del
movimiento a partir de la ecuación anterior.
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En un elemento mecánico en serie, la fuerza aplicada f(t) es igual a la suma de las fuerzas
actuantes en cada elemento y todos los elementos tienen el mismo desplazamiento
Figura 2.5 Elementos mecánicos en paralelo
La ecuación de equilibrio para el arreglo de la figura 2.5
y su transformada de Laplace considerando condiciones iniciales iguales a cero es:
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F(s) = (m s2 + B s + k) X(s)
donde la impedancia mecánica es:
Z(s) = m s2 + B s + k
Elementos mecánicos en paralelo.
En este tipo de arreglo la fuerza aplicada f(t) se transmite a través de todos los
elementos. Además, la deformación o corrimiento total es la suma de los desplazamientos
de cada elemento. La figura 2.6 muestra un ejemplo de este tipo de arreglo en el que
considerando las ecuaciones ya transformadas el desplazamiento total está dado por:
la relación fuerza a desplazamiento queda como:
Figura 2.6 Arreglo mecánico en serie
Un ejemplo ayudaría a clarificar las ideas. Suponga que tenemos un caso como el
que se muestra en la figura 2.7. Para simplificar, supondremos que la inercia rotacional de
las ruedas es despreciable y que hay una fricción que retarda el movimiento del carro,
fricción que es proporcional a la velocidad de éste. El carro puede describirse
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aproximadamente usando el diagrama de cuerpo-libre que se observa en la figura 2.7,
para propósitos de modelación, que muestra todas las fuerzas sobre el cuerpo y la
coordenada de su posición x, será positiva hacia la derecha.
Figura 2.7 Sistema de ejemplo
La ecuación del movimiento es, entonces
.
..
u–bx=Mx
(2.6)
o
..
b .
u
x + ---- x = ----M
M
Otro ejemplo se muestra en la figura 2.8. Consiste en dos masas interconectadas
por un resorte y un amortiguador. La fuerza del resorte actúa sobre ambas masas en
proporción a sus desplazamientos relativos, mientras que el amortiguador ejerce
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Figura 2.8 Ejemplo de sistema resonante
Figura 2.9 Fuerzas en cada masa para sistema resonante.
una fuerza sobre cada masa proporcional a su velocidad relativa. En la figura 2.9 se
muestra el diagrama de cuerpo libre de cada masa. Obsérvese que las fuerzas del
resorte sobre ambas masas son iguales en magnitud pero actúan en sentidos opuestos, y
lo mismo ocurre con el amortiguador. Aplicando la ecuación (2.5) a cada masa y
observando que las fuerzas sobre la masa de la derecha tienen sentido negativo, se tiene
que
. .
..
u + b(y - x) + K(y - x) = M x
. .
..
- K(y - x) - b(y - x) = m y,
(2.7)
Sistemas mecánicos de rotación.
Los sistemas mecánicos de rotación son quizá el tipo de sistemas que con mayor
frecuencia se encuentran en aplicaciones cotidianas. Estos abarcan cualquier sistema
cuyo elemento motriz es un motor o una máquina rotatoria. Al igual en que los sistemas
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mecánicos de traslación se tienen un conjunto de elementos básicos los cuales se
encuentran resumidos en la tabla
Para el sistema relacionado en la figura siguiente se aplica la segunda ley de Newton para
un sistema rotacional:
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Relacionando la variable de salida de la Posición angular con la variable de entrada del par
aplicado se tiene:
donde Ω (s) es la transformada de laplace de la posición angular y T(s) es la transformada
de laplace del torque aplicado.
2.6 MODELOS DE SISTEMAS ELECTROMECANICOS: MOTORES Y GENERADORES
Corriente eléctrica y campos magnéticos interactúan en varias formas, tres de las
cuales son las más importantes para entender la operación de la mayoría de los
dispositivos de conversión electromecánico de la energía, tales como motores lineales y
rotatorios, y sensores eléctricos de movimientos. Para estudiar más detalladamente los
principios electromagnéticos descubiertos por investigadores como Ampere, Faraday,
Weber, Tesla y muchos otros. Para introducción general a la aplicación de estos
principios a los dispositivos de conversión de energía electromecánica ver Smith (1980), y
para un tratamiento completo de motores de CD ver Electrocaft (1980).
La primera relación importante entre corriente y magnetismo es que una corriente
eléctrica establece un campo magnético la intensidad del campo en un punto particular
depende de la intensidad de la corriente el material y la geometría de la situación. Un
caso tipo idealizado se esboza en la figura 2.11, donde un toroide de radio R hecho de un
material con permeabilidad µ se envuelve con N vueltas de alambre con i amperes.
Figura 2.11 Toroide envuelto en N vueltas
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La intensidad del campo en el centro del toroide esta dada por
µ
B = ____ N i
(2.8)
2πR
El hecho importante es que la intensidad del campo es proporcional a la intensidad
de corriente y al número de vueltas de alambre en torno al toroide. La permeabilidad µ es
una propiedad del material y representa el grado en que el material ayuda a la corriente a
establecer el campo. Para el aire µo = 4 π x 10-7 Wb/A * m. Para materiales
ferromagnéticos como hierro en condiciones típicas no saturadas, la permeabilidad puede
ser varios miles de veces µ0. El efecto neto de estas relaciones entre corriente y campo
magnético es que un campo intenso se puede establecer por el envió de corriente a
través de muchas vueltas de alambre enrollado en torno a un material ferromagnético. Si
se hace un corte para producir un pequeño hueco en el núcleo del toroide del esquema de
la figura 2.11, entonces el campo se vera levemente reducido pero será accesible para
interactuar con los conductores que transportan la corriente y que pueden colocarse allí.
Tal dispositivo es un electromagneto, llamado así por que el campo se forma y se controla
por la corriente eléctrica en el alambre.
Algunos materiales conocidos desde tiempos prehistóricos, pueden generar un
campo magnético debido a las propiedades eléctricas de sus moléculas constituyentes.
Estos son llamados magnetos permanentes, Ya que el campo no viene y va con otra
corriente externa. En muchos casos tales como pequeños motores y generadores usados
en muchas aplicaciones de control, un magneto permanente puede ser enteramente
satisfactorio para generar el campo magnético requerido.
El segundo efecto electromagnético de interés para nosotros es el hecho que una
carga q moviéndose con un vector velocidad v en un campo magnético de intensidad B
experimenta una fuerza F dada por el vector producto cruz F = qv x B. Si la carga en
movimiento esta compuesta de una corriente de i amperes en un conductor de longitud de
l metros dispuestos en ángulos rectos al campo de intensidad de B teslas, entonces la
fuerza en el ángulo recto al plano de i y B tiene magnitud
F =Bli
newtons
(2.9)
Esta es la ecuación básica de uso de un campo magnético para convertir energía
eléctrica desde una fuente de corriente i en energía mecánica haciendo que la fuerza F
trabaje en algún objeto mecánico. Tales dispositivos se llaman motores y la ecuación (2.9)
es la ley del motor. Por ejemplo, un altavoz para reproducir el sonido desde señales
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eléctricas contiene tal motor una geometría típica se ilustra en la figura 2.12. El magneto
permanente crea un campo radical en el hueco cilíndrico entre los polos del magneto.
Cuando una corriente se hace fluir en el alambre de la bobina la fuerza hace que la
bobina se mueva a izquierda o derecha, Y el cono, contra el aire como el cono se desplaza
hacia delante y hacia atrás las fluctuaciones de la presión del aire se propagan y se
escucha un sonido.
Figura 2.12 Geometría de un altoparlante una forma de motor para movimiento lineal
Si aproximamos los efectos del aire como si el cono tuviera una masa equivalente M
y un coeficiente de amortiguación viscoso d, entonces se puede escribir la ecuación del
movimiento del dispositivo. Supóngase que el magneto crea un campo de 0.5 T y la bobina
tiene 20 vueltas con un diámetro de 2 centímetros. La corriente esta en el ángulo recto
al campo, y la fuerza de interés esta en ángulo recto al plano de i y B, de modo que se
aplica la ecuación (2.9). En este caso los valores de los parámetros son B = 0.5 T y
L = 20 x 2π / 100 = 1.26 µ
Por tanto,
F = 0.63 i newtons.
La ecuación mecánica, como se desarrollo en la sección anterior es
..
.
M x + d x = 0.63 i.
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(2.10)
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La ecuación (2.9) se puede usar también para encontrar la fuerza en el rotor de un
motor y en muchas otras aplicaciones útiles.
Además de la ecuación (2.9) que expresa fuerza (una variable mecánica) en términos de
corriente (una variable eléctrica), también se tiene una relación que da el efecto de un
movimiento mecánico en electricidad. El hecho básico es que si una carga se esta
moviendo en un campo magnético y se fuerza a lo largo de un conductor, se establece un
voltaje eléctrico entre los extremos del conductor. La relación es que si un conductor (el
cual esta lleno de partículas cargadas) de longitud l metros se mueve a una velocidad v
metros por segundo a través de un campo constante de B teslas en ángulo recto a la
dirección del campo entonces el voltaje entre los extremos del conductor esta dado por
e (t) = B l v volts.
(2.11)
Esta expresión se llama la ley del generador, y es la base para generar potencia
eléctrica moviendo un conductor en un campo y permitiendo que se origine una corriente
que fluya en un circuito externo.
Considerando nuevamente la situación de la figura 2.12 el altavoz, vemos que si el
movimiento resulta acorde con la ecuación (2.10), entonces el voltaje a través de la
bobina esta dado por la ecuación (2.11), donde la velocidad es x. El resultado es
.
ebobina = 0.63 x.
(2.12)
En el circuito de la figura 2.13 estos dos efectos son importantes. Supóngase que
la resistencia de salida es R y que la inductancia equivalente del altavoz L.
Figura 2.13 Un altavoz mostrando su circuito eléctrico
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Las ecuaciones del movimiento para la parte mecánica son,
..
.
M x + d x = 0.63i,
(2.13)
y para la parte eléctrica,
.
L di/dt + Ri = va - 0.63 x.
(2.14)
Para el control del movimiento rotatorio un componente común es el motor de
corriente-directa (CD). Un diagrama de los componentes básicos viene dado en la figura
2.14. Además de proteger y soportar la parte no giratoria (estator) tiene magnetos, que
establecen un campo a través de la parte giratoria (rotor). Los magnetos pueden ser
electromagnetos o, para motores pequeños, magnetos permanentes. El rotor se envuelve
con alambre a través del cual las escobillas pasan la corriente. El conmutador (rotatorio)
hace que la corriente siempre sea enviada por medio de la armadura, una colección de
vueltas de conductores para que produzca el toque máximo en la dirección deseada. Si se
invierte la dirección de la corriente, la dirección del toque se invierte.
Los principios fundamentales están dados por la ley del motor (Bli) y la ley del
generador (Blv). Sin embargo, mas que dar la intensidad del campo y la geometría de los
devanados, es normal expresar el desarrollo del torque en el rotor en términos de la
corriente de armadura y como una constante del motor Km
T = Km ia,
(2.15)
y para expresar el voltaje generado como resultado de la rotación en términos de la
velocidad rotacional del eje
ö y como una constante del generador Kg .
.
e = Kg Θ
(2.16)
Figura 2.14 Diagrama de un motor de CD
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Se puede emplear un motor de CD para posicionar la orientación angular de una
plataforma. La plataforma puede encontrarse apuntando un telescopio hacia una estrella,
o una antena a un satélite o un cañón a un blanco. Al motor se le puede llamar actuador
puesto que en este caso proporciona la energía para obtener la respuesta deseada. Hay
dos maneras de configurar un motor CD. En este ejemplo (véase figura 2.15), se examina
un motor de CD controlado por campo.
Figura 2.15 Diagrama esquemático de un motor de CD controlado por campo
Se asume que la corriente de la armadura es constante. La entrada es el voltaje de
campo aplicado e(t), la salida es la posición angular de flecha Θο(t) y
if(t) = corriente de campo
Ia = corriente de armadura constante
T(t) = torque
Rf = resistencia de campo
Ra = resistencia de armadura
Lf = inductancia de campo
β = coeficiente de amortiguamiento viscoso
J = momento de inercia del motor y la carga
Kτ = constante de par
La ecuación de Kirchhoff para el circuito es:
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.
Lf if(t) + Rf if(t) = e(t)
La ecuación de Newton para la carga mecánica es:
.
J öo(t) + β Θo(t) = T(t)
y la relación entre el par y la corriente del campo:
T(t) = Kτ if(t)
debido a que la corriente de armadura es constante.
Transformando cada una de estas tres ecuaciones se obtiene
(s Lf + Rf) If(s) = E(s)
(Js2 + β s) Θo(s) = T(s)
y
T(s) = Kτ If(s)
Estas tres ecuaciones algebraicas en el dominio de la frecuencia se pueden resolver
simultáneamente para obtener la función de transferencia deseada Θo(s)/E(s)
o
Θo(s) / E(s) = Kτ / ( (Js2 + β s)(Lf s + Rf) ) = ( Kτ / J Lf) / (s (s + B/J) (s + Rf / Lf) )
Θo(s) / E(s) = Kτ / ( J Lf s3 + (Lf β + Rf J) s2 + β Rf s )
La ecuación diferencial que se emplea para describir se puede expresar por inspección
como
.
J Lf
öo(t) + (Lf β + Rf J ) öo(t) + β Rf
Θo(t) = Kτ e(t)
2.7 REPASO DE LA RESPUESTA DINAMICA
Los modelos de componentes dinámicas se pueden controlar frecuentemente en la
forma de una ecuación diferencial ordinaria o de un conjunto de ecuaciones diferenciales
ordinarias. Además, cerca del equilibrio, las ecuaciones están bien aproximadas como
lineales e invariables en el tiempo. Una vez encontradas estas ecuaciones modelo, la
atención se dirige a su solución y, en ingeniería de control, aún más al análisis de sus
soluciones, de modo que no sólo se pueden estimar las características principales de la
respuesta dinámica, sino también visualizar cómo alterar el sistema para modificar la
respuesta hacia una dirección deseable. Un programa de computadora adecuado para la
resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias es suficiente para obtener una solución.
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Problema del arco y la Flecha
Considere el sistema general que consiste en un arquero que dispara una flecha con
su arco, como se ilustra en la figura 2.16a. Desarrolle, como un diagrama esquemático, el
modelo físico del sistema, a fin de describir el movimiento horizontal de la flecha.
Figura 2.16 El Problema del arco y la flecha
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Solución:
Paso I: Aislando el sistema. Como se ilustra en la figura 2.16b, el sistema consiste en la
combinación del arco y la cuerda, y la flecha. El arquero se considera solo en la medida en
que determina el movimiento de alimentación de la flecha y el desplazamiento de la región
media de la cuerda, y no debe incluirse en el sistema. Por lo tanto, las interacciones del
límite son: el marco del arco y la cuerda es fijo (en este caso, el desplazamiento de
entrada es cero: normalmente los arqueros sostienen el arco con bastante firmeza
mientras estiran la cuerda); la parte media de la cuerda se desplaza inicialmente en una
cantidad Xentrada; y existe una resistencia del aire al movimiento de la flecha en vuelo.
Asimismo, la fuerza de la gravedad actúa sobre la flecha, aunque esta fuerza no forma
parte del movimiento horizontal.
Algunas consideraciones que intervienen:
1. Si bien los movimientos ligeros del marco del arco afectan la dinámica de la flecha, en
el presente problema se puede ignorar este aspecto.
2. La flecha y la cuerda están siempre perfectamente centradas en relación con el marco
del arco, que asimismo se mantiene en posición vertical, de modo que no se requerirá una
descripción vectorial de las fuerzas de la cuerda.
3. La fricción entre la flecha y el marco del arco es pequeña y solo momentánea. Es más
importante la resistencia del aire durante el vuelo.
Observe que tal vez algunas de estas consideraciones no sean apropiadas para un
objetivo mas detallado de estudio, pero se enumeran solo para ilustrarlos.
Paso 2: División y correspondencias del comportamiento conceptual. Con base en la
intuición y en el conocimiento del comportamiento de ciertos elementos mecánicos, es
posible hacer las siguientes correspondencias:
Resorte para la cuerda y el arco
Masa para la flecha
Amortiguamiento hidrodinámico para la resistencia del aire
Modelo físico: La figura 2.16c muestra la interconexi6n, de manera constante, de los
componentes que se aislaron en el paso 1, pero que se representaron mediante símbolos
esquemáticos de acuerdo con las divisiones de comportamiento que se obtuvieron en el
paso 2.
Algunas aproximaciones que podrían intervenir:
1. El cambio en la longitud de la cuerda es lo bastante pequeño como para permitir que
esta se considere un resorte ideal en lugar de un cable.
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2. La flecha es rígida (no hay desplazamiento) y no rota ni gira sobre su eje.
3. La resistencia del aire no es hidrodinámica ni viscosa, pero las velocidades que
intervienen son tales que el amortiguamiento viscoso no seria una buena aproximación.
Notas:
1. Las aproximaciones se realizan normalmente durante el desarrollo del modelo
matemático, pero se presentan aquí para ilustrar la continuidad entre el modelo físico y
el modelo de sistemas.
2. El desplazamiento inicial x = -Xentrada es negativo.
3. La interconexión entre la masa y el resorte es particular; la masa esta conectada al
resorte sólo en tanto x sea menor que cero. Para una x mayor o igual a cero, el modelo
consistiría sólo de la masa, la resistencia friccional y la fuerza de la gravedad. Sin
embargo, la flecha tiene una velocidad finita. Así, en la solución de modelos, el modelo
más completo se resolverá sólo cuando x = 0. Entonces, el valor de la velocidad de la en
este punto se utiliza para resolver el modelo reducido hasta que la flecha se detenga.
Figura 2.17 Sistemas de arco y flecha y diagramas
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El modelo físico desarrollado en el ejemplo (verse la figura 2. 16c) muestra los
componentes separados. Esta es la naturaleza de la mayor parte de los diagramas
esquemáticos y de circuitos eléctricos. La figura 2.17c muestra el diagrama de cuerpo
libre de cada uno de estos componentes.
La naturaleza y el comportamiento de cada componente son como sigue:
Amortiguamiento hidrodinámico (estático): Con base en la ecuación de arrastre,
Fd = β vrel lvrel l
lo cual proporciona
Fd = β v lv l
Masa (dinámica): La segunda ley de Newton, ecuación para el movimiento horizontal es
d 2 x  Fs
m 2 =
dt
− Fd
− Fd ( x ≤ 0)
( x ≥ 0)
v(O) = 0
Resorte de traslación (dinámico): Suponiendo que el resorte se estira muy poco cuando
se le tensa, la ley de Hooke para la interpretación de ∆x, nos dan
Fs = k(xo-x) = -kx
dx
=v ;
dt
x(O) = -xentrada
Notas:
1. Aunque en este caso el operador dinámico es la integración, las ecuaciones
diferenciales se escribieron como el formato preferido para los modelos matemáticos.
Por ahora, no debe haber confusión en tanto se reconozcan en estas relaciones las
entradas y salidas apropiadas. Por ejemplo, en el modelo para la masa, la salida es la
velocidad, y una solución para ella requiere de la integración de la fuerza de alimentación.
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2. Recuerde que solo es de interés el componente horizontal del recorrido de la flecha.
Para describir el movimiento en la direcci6n vertical, es preciso incluir el peso de la
flecha dentro de las fuerzas verticales.
3. La interacción entre la masa y el resorte es que las fuerzas que actúan sobre cada uno
son iguales y de dirección opuesta -tercera ley de Newton-, y que tienen un
desplazamiento común. Estas interacciones se incorporan directamente en los diagramas
de cuerpo libre como relaciones triviales.
4. Xo = O es una interacción externa del resorte. Asimismo, Vo = O (se desprecia la
velocidad del viento) es una interacción del limite sobre el amortiguador hidrodinámico.
2.8.- ALGEBRA DE DIAGRAMAS DE BLOQUES
Muy estrechamente ligado con el uso de diagramas de bloques para representar la
característica entrada-salida de una planta, se cuenta con un conjunto de procedimientos
que sirven para la manipulación de diagramas de bloques, comúnmente conocido como
álgebra de diagramas de bloques. En principio estas manipulaciones no son más que un
procedimiento gráfico para el manejo de las ecuaciones algebraicas. En consecuencia,
estos procedimientos resultan por lo general de gran utilidad para encontrar la función
de transferencia de una planta de cierta complejidad, por medio de la combinación de los
diagramas de bloques de diferentes partes de la planta para encontrar el diagrama de
bloques completo que relaciona la entrada con la salida.
Un diagrama de bloques de un sistema es una representación gráfica de las
funciones que lleva a cabo cada componente y el flujo de señales. En un diagrama de
bloques se enlazan una con otra todas las variables del sistema, mediante bloques
funcionales. El bloque funcional o simplemente bloque es un símbolo para representar la
operación matemática que sobre la señal de entrada hace el bloque para producir la
salida. La función de transferencia de los componentes por lo general se introducen en
los bloques correspondientes, que se conectan mediante flechas para indicar la dirección
del flujo de señales. Observe que la señal sólo puede pasar en la dirección de las flechas.
Por tanto, un diagrama de bloques de un sistema de control muestra explícitamente una
propiedad unilateral.
La figura (2.18) muestra un elemento del diagrama de bloques. La punta de flecha
que señala el bloque indica la entrada, y la punta de flecha que se aleja del bloque
representa la salida. Tales flechas se conocen como señales.
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Figura 2.18 Diagrama a bloques
Las ventajas de la representación mediante diagramas de bloques de un sistema
estriban en que es fácil formar el diagrama de bloques general de todo el sistema con
sólo conectar los bloques de los componentes de acuerdo con el flujo de señales y en que
es posible evaluar la contribución de cada componente al desempeño general del sistema.
Un diagrama de bloques contiene información relacionada con el comportamiento
dinámico, pero no incluye información de la construcción física del sistema. En
consecuencia, muchos sistemas diferentes y no relacionados pueden representarse
mediante el mismo diagrama de bloques.
Punto de Suma o Sumador.- Observando la figura (2.19), un círculo con una cruz es el
símbolo que indica una operación de suma. El signo de más o de menos en cada punta de
flecha indica si la señal debe sumarse o restarse. Es importante que las cantidades que
se sumen o resten tengan las mismas dimensiones y las mismas unidades. Este sumador
puede tener cualquier número de señales entrantes, pero sólo una señal de salida.
Figura 2.19 Punto de suma
Punto de Ramificación, Unión o Punto de Reparto.- Un punto de ramificación, unión o
punto de reparto es aquel a partir del cual la señal de un bloque va de modo concurrente
a otros bloques o puntos de suma, dicho de otra manera indica que la misma señal sale
hacia diferentes lugares, esto nos lo muestra la figura (2.20).
Figura 2.20 Punto de Ramificación, Unión o Punto de Reparto
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A continuación se mostrarán cuales son los diagramas de bloques básicos que se usan
Figura 2.21
Figura 2.20 Bloques básicos
Diagrama de bloques de un sistema de lazo cerrado.- La figura (2.21) muestra un ejemplo
de un diagrama de bloques de un sistema en lazo cerrado.
Diagrama a bloques de un sistema de lazo cerrado.- La Figura (2.21) muestra un ejemplo
de diagrama de bloques de un sistema de lazo cerrado. La salida C(s) se realimenta al
punto suma, en donde se compara con la entrada de referencia R(s). La salida del bloque,
C(s) en este caso, se obtiene multiplicando la función de transferencia G(s) por la
entrada al bloque, E(s). Cuando la salida se realimenta al punto suma para compararse con
la entrada, es necesario convertir la forma de la señal de salida en la de la señal de
entrada.
Figura 2.21 Diagrama a bloques en lazo cerrado
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Reducción de un Diagrama a Bloque.- La modificación de los diagramas de bloques de
sistemas para efectuar simplificaciones u ordenamientos especiales se denomina álgebra
de los diagramas de bloques. Es importante señalar que los bloques pueden conectarse en
serie, sólo si la entrada de un bloque no se ve afectada por el bloque siguiente. Si hay
efectos de carga entre los componentes, es necesario combinarlos en un bloque único.
Un diagrama de bloques complicado que contenga muchos lazos de realimentación
se simplifica mediante un reordenamiento paso a paso mediante las reglas del álgebra de
los diagramas de bloques. La simplificación de un diagrama de bloques mediante
reordenamiento y sustituciones reduce de manera considerable la labor necesaria para el
análisis matemático subsecuente. Sin embargo, debe señalarse que, conforme se
simplifica el diagrama de bloques, las funciones de transferencia de los bloques nuevos se
vuelven más complejas, debido a que se generan polos y ceros nuevos.
Al simplificar un diagrama de bloques, recuerde lo siguiente:
1. El producto de las funciones de transferencia en la dirección de la trayectoria
directa debe ser el mismo.
2. El producto de las funciones de transferencia alrededor del lazo debe ser el mismo
A continuación se darán las reglas para la reducción de los diagramas de bloques y
así facilitar la reducciones de tales. Se hace la aclaración de que estas no son las únicas
pero son las más conocidas y fáciles de usar.
1. Suma de Bloques:
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2. Multiplicación de Bloques:
3. Intercambio de sumadores:
4. Cambio de un punto de suma hacia delante de un bloques:
5. Cambio de un punto de suma hacia atrás de un bloque:
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6. Cambio de un punto de bifurcación hacia delante de un bloque:
7. Cambio de un punto de bifurcación hacia atrás de un bloque:
8. Forma canónica:
Aquí vale la pena observar las ecuaciones, resolverlas y entonces relacionarlas con el
esquema. Tenemos
U1 = R + Y2
Y2 = H G U1
Y = G U1
La solución de estas ecuaciones es
G
Y(s) = ---------- R
1–HG
Podemos expresar la solución por la regla:
La ganancia de un sistema retroalimentado de lazo simple está dada por la ganancia
directa dividida por 1 menos la ganancia del lazo.
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Ejemplo de reducción de bloques
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Otro ejemplo del empleo de equivalencias para reducir un diagrama de entradas
simples, y salidas simples se muestra a continuación:
Ejemplo .Reducir el siguiente diagrama de bloques al diagrama más simples:
Como observamos lo primero que podemos reducir es el 5 con 1/s combinados en
cascada y se obtiene lo siguiente:
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EJEMPLO Para ilustrar la utilidad de las identidades de los diagramas de bloques de la
figura 2.3 en la representación de una planta, considérese una vez más el motor de CD
controlado por campo del ejemplo 2.3. En ese ejemplo se encontraron tres ecuaciones
algebraicas transformadas para diferentes partes de la planta. A continuación se repiten
dichas ecuaciones:
( Lf s + Rf ) If(s) = E(s)
y
( J s2 + B s ) θo(s) = T(s)
T(s) = Kτ If(s)
Estas tres ecuaciones se pueden representar por medio de tres diagramas be
bloques, como se muestra en la figura 2.22a. Si la entrada equivalente y las variables de
la salida de estos tres bloques se conectan, se obtiene como resultado el diagrama de
bloques que se muestra en la figura 2.22b. Es posible hacer uso ahora de la regla de
combinación en serie para obtener el diagrama de bloques que se muestra en la figura
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2.22c. Se debe observar que en este diagrama de bloques final las partes eléctrica y
mecánica de la planta se pueden todavía separar con facilidad.
Figura 2.22 Uso del álgebra de diagramas de bloques para encontrar la función de
transferencia del motor CD controlado por campo. a)Subsistemas; b)Subsistemas
conectados; c) diagrama de bloques global.
EJEMPLO Como un segundo ejemplo considérese la representación del motor de CD
controlado por armadura que se muestra esquemáticamente en la figura 2.23. Una vez
más, la carga es la inercia más la fricción. En este caso la corriente de campo se mantiene
constante. (Generalmente esto es mucho más fácil de obtener en la práctica que
mantener la corriente de armadura constante).
Figura 2.23 Subsistemas del motor de CD controlado por armadura.
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La ecuación de Kirchhoff para el circuito de armadura es
( La s + Ra ) Ia(s) = E(s)-Ec(s)
donde Ec(s) es la fuerza contraelectromotriz del motor:
Ec(s) = Kv s θo(s)
En la parte mecánica de la planta se tiene
y
(J s2 + β s) θo(s) = T(s)
T(s) = = Kτ Ia(s)
Si cada una de estas cuatro ecuaciones se presenta a través de un diagrama de bloques
se obtiene el resultado que se muestra en la figura 2.24. El siguiente paso consiste en
conectar loas variables equivalentes como se muestra en la figura 2.24a. A partir de este
diagrama de bloques final se puede escribir fácilmente la función de transferencia de la
planta o la ecuación diferencial que la describe.
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Figura 2.24 Diagramas de bloques del motor de CD controlado por armadura.
a)Subsistemas conectados: b)Primera reducción; c)Diagrama de bloques final.
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