Carta de Smith Γ= U+ jV Fue desarrollada por PHILLIP HAGAR SMITH un ingeniero eléctrico en 1939 y se fundamenta en dos conjuntos de círculos ortogonales. Smith desarrolló la carta mientras trabajaba en los laboratorios Bell con el objetivo de encontrar un método gráfico y un poco más sencillo para resolver problemas relacionados con las líneas de transmisión. Sin embargo, para efectos prácticos se realizará un cambio de variable en donde, Dicha carta surgió debido a que Smith tenía un problema al querer emparejar una línea de transmisión con una antena por su tamaño. La primera solución gráfica que diseñó fue en la forma de diagrama rectangular y poco a poco fue desarrollando una serie de pasos, pero esta primera carta era limitada por la gama de datos que se podía acomodar. Al tiempo, específicamente en 1936 él hizo un nuevo diagrama que eliminó gran parte de las dificultades, esta era de forma coordenada polar especial, con el cual podía acomodar todos los valores de los componentes de la impedancia. U=x ^ V=y A continuación, se podrá observar una serie de distintas ecuaciones creadas a la hora de variar el valor constante de la resistencia normalizada r, desde 0 hasta 2 con un paso de 0.5. Ahora, se puede observar en la figura 1 la gráfica de las ecuaciones anteriormente mencionadas. La Carta de Smith es un diagrama polar que contiene círculos de resistencia, círculos de reactancia, círculos de relación de onda estacionaria constantes y curvas radicales que representan los lugares geométricos de desface en una línea de valor constante; que nos sirve para calcular parámetros de impedancia, admitancia entre otros, orientado hacia antenas y líneas de transmisión. Origen de la Carta de Smith Dado una resistencia (r) y una reactancia (X) normalizada, se puede graficar el coeficiente de transmisión para una impedancia determinada. Antes de iniciar se debe recordar la formula del coeficiente de transmisión: Figura 1. Gráfica de impedancias con distintos valores de r constante. Como se puede observar, a medida que el valor de la resistencia normalizada crece, el diámetro del circulo decrece. A continuación, se podrá observar una serie de distintas ecuaciones creadas a la hora de variar el valor constante de reactancia normalizada X, desde 0.5 hasta 2 con un paso de 0.5. específico, la magnitud de Γ tiene un valor igual a 1 y se puede encontrar un valor de la impedancia normalizada igual a infinito lo cual conlleva a un circuito abierto. En la figura 3 se podrá observar ambas figuras en el mismo plano. Y en la figura 4, se tiene la Carta de Smith. Ahora, se puede observar en la figura 2 la gráfica de las ecuaciones anteriormente mencionadas. Figura 3. Gráfica de impedancias con distinto valores constantes de r y X. Figura 2. Gráfica de impedancia con distintos valores de X constante. Al igual que en la figura 1, en la figura dos también se observa que a medida que la reactancia normalizada crece, el diámetro de estos círculos decrece. Si los valores de X hubieran sido negativos, los círculos mapeados serían igual solo que reflejados con respecto al eje x. Del mismo modo, los círculos mapeados hubieran descrito una impedancia capacitiva en vez de una inductiva. En las dos series de círculos tangenciales de la figura 1 y 2, el punto en donde se cruzan es en el par ordenado de (0,1). En este punto en Figura 4. Carta de Smith Black Magic Design Explicación de los ejes de la carta de Smith En la carta de Smith los ejes se pueden utilizar para ubicar impedancias y admitancias normalizadas, cómo se aprecia en la figura inferior el eje horizontal en la carta representa los valores con impedancias meramente reales además es importante notar como en esa recta están todos los valores resistivos desde un corto circuito hasta un circuito abierto, este eje representa los casos en que la parte imaginaria de la impedancia de carga nula. En la imagen anterior podemos observar como la componente imaginaria y la componente real del coeficiente de reflexión en la carga siguen un orden similar al de las coordenadas rectangulares. Conforme la magnitud de la reactancia en la carta aumenta las líneas que inician en el punto de impedancia infinita se desvían del extremo del corto circuito, en la figura inferior las líneas verdes son tres de estas curvas en la que la reactancia es constante. Las curvas azules en la figura anterior representan círculos de resistencia constante, es decir, círculos en los que la parte real de la impedancia de carga normalizada es constante, estos círculos aumentan en tamaño a la hora de reducirse la resistencia que representan. Otra manera en la que es importante entender la carta de Smith es la siguiente Sin embargo a la hora de realizar estos cálculos como no se cuenta con una escala alineada con ambas componentes resulta más accesible describír el coeficiente de reflexión de forma polar, es decir midiendo su magnitud desde el centro de la carta al punto dónde se encuentra la carga ZLN está medición después se coloca en una escala que se encuentra en la parte inferior las en el "Black Magic Design" de la carta de Smith Al tener la medida de la magnitud del coeficiente simplemente se alineada con la métrica que indica "RFL COEFF" de corregirme de reflexión. Su ángulo correspondiente de obtiene trazando una línea del centre al exterior de la carta que pase por la carga así simplemente se busca dónde dicha línea se encuentre en el anillo que mide el ángulo del coeficiente en el exterior de la carta. Este eje que rodea a la carta también es usado para medir distancias eléctricas es decir distancias en unidades relativas a la longitud de onda, estas podrían medirse hacia el generador (giro horario) o hacia la carga (giro antihorario) En esta imagen, se parte desde una longitud cero en el punto verde y se desplaza hacia el generador así en el primer punto negro en este arco señala un desplazamiento de un octavo de la longitud de onda, en el segundo un cuarto de la misma y en el tercero tres octavos de la longitud de onda. Estos desplazamientos coinciden con un desplazamiento angular de noventa grados entonces podemos deducir que a partir de cualquier impedancia en la carta si se realiza un desplazamiento de media longitud de onda en cualquiera de las dos dirrecciones se regresaria al mismo punto inicial, pues la mitad de la longitud de onda equivale a un vuelta entera, de acuerdo con las escalas que rodean la carta de Smith.
