Práctica 3: Carta de Smith Objetivo Contenidos Preparación Previa

Radiación y ondas guiadas
Práctica 3: Carta de Smith
Objetivo
•
Familiarización con el manejo de la Carta de Smith.
Contenidos
•
Representación de impedancias y admitancias.
•
Obtención de parámetros de las líneas empleando la Carta de Smith.
•
Adaptación de impedancias mediante cortocircuito variable.
•
Líneas con perdidas.
Preparación Previa:
Estudio de los conceptos básicos de la Carta de Smith:
− Construcción.
− Representación de impedancias y admitancias.
− Obtención de parámetros de la línea: coeficiente de reflexión, relación
de onda estacionaria, impedancia vista desde un punto.
− Adaptación de impedancias.
Para la realización de la práctica es necesario el siguiente material: lápiz,
regla, compás y 3 cartas de Smith como mínimo (cada bloque de cuestiones se
puede realizar en la misma carta de Smith).
Bibliografía
[1] S. Y. Liao. Microwave devices and circuits, pp. 82-95, Prentice-Hall. 1990.
[2] S. V. Marshall, G.G. Skitek. Electromagnetic concepts and applications, pp.
398-413, Prentice Hall Int. Ed. 1990.
[3] D. K. Cheng. Field and Wave Electromagnetics, pp. 485-509, AddisonWesley Pub. Co. 2ª ed. 1989.
[4] N. N. Rao. Elements of Engineering Electromagnetics, pp. 469-490,
Prentice Hall Int. Ed. 1994.
[5] J. D. Krauss. Electromagnetics, pp. 509-521, Mc.Graw-Hill Inc. 4ª Ed. 1992.
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Introducción
La carta de Smith consiste en la representación gráfica, en el plano del
coeficiente de reflexión, de la resistencia y la reactancia normalizadas. Esta
herramienta gráfica permite la obtención de diversos parámetros de las líneas
de transmisión y la resolución de problemas de adaptación de impedancias,
evitando las operaciones con números complejos que suelen implicar estos
cálculos.
Construcción de la carta de Smith
Recordemos la expresión del coeficiente de reflexión en la carga,
ρL, en función de ésta, ZL, y de la impedancia característica de la línea, Z0:
ρL =
Z L − Z0
= ρ L e jθ L = ρ r + j ρ i
Z L + Z0
(1)
que se puede expresar en forma de módulo y fase ρ L , θ L , o como parte real e
imaginaria ρr, ρi.
La impedancia de carga ZL, normalizada con respecto a la impedancia
característica de la línea Z0, también puede escribirse en sus partes real e
imaginaria como:
ZL 1 + ρL
=
= r + jx
Z0 1 − ρ L
(2)
donde r y x son la resistencia y la reactancia normalizadas, respectivamente.
A partir de (1) y (2) se pueden obtener las partes real e imaginaria de ρ L :
ρ L = ρ r + j ρi =
( r + jx ) − 1
r2 − 1+ x2
2x
=
+j
( r + jx ) + 1 ( r + 1) 2 + x 2
( r + 1) 2 + x 2
(3)
Tomando las dos ecuaciones contenidas en (3) para las partes real e imaginaria
y por eliminación de r o x, pueden obtenerse las siguientes ecuaciones:
2
r 

2  1 
ρ r −
 + ρi = 

1+ r 

1 + r 
(ρ r − 1)2
2
1
1

+ ρ i −  =
x

x2
2
(4)
(5)
Si representamos la ecuación (4) sobre el plano ( ρr , ρi ) para valores de r
constante, las gráficas obtenidas son círculos de radio 1 /(1 + r ) centrados en el
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eje real en los puntos: ρ r = r /(1 + r ) , ρi = 0 . Los distintos valores de r dan lugar
a círculos de radio diferente con centro en distintas posiciones del eje real. La
figura 1 muestra, en línea continua, los casos r=0, 0.5, 1 y 2. Todos los círculos
pasan por el punto (1, 0).
La ecuación (5), para valores de x constante, también describe círculos de
radio 1 / x , centrados en ρ r = 1, ρ i = 1 / x . En la figura 1 se muestra, en línea
discontinua, los casos x=0, ±0.5, ±1 y ±2. Nuevamente, todos los círculos pasan
por el punto (1, 0).
1
x=1
x=2
P
x=0.5
0.5
r=0
ρ
i
0
r=0.5
r=2
r=1
x=0
-0.5
x=-0.5
x=-1
-1
-1
-0.5
0
ρ
x=-2
0.5
1
r
Figura 1. Carta de Smith
Representación de impedancias normalizadas
La intersección de un círculo r y un círculo x define un punto que representa
una impedancia normalizada: r+jx. Por ejemplo, el punto P de la figura 1
representa la impedancia normalizada 0.5+j, un cortocircuito ρL=-1 se
representa en el punto (-1, 0) y un circuito abierto ρL=1 en el punto (1, 0).
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Obtención del coeficiente de reflexión
Si pensamos en la carta de Smith como una representación en polares, la
distancia de un punto al origen de coordenadas se corresponde con el módulo
del coeficiente de reflexión y el ángulo con respecto al eje real positivo se
corresponde con su fase:
ρr 2 + ρ i 2 = ρ L
ρ
arctan  i
 ρr

 = θ L

(6)
(7)
La carta de Smith proporciona ambas escalas, tanto para la lectura del
módulo (en la parte inferior) como para la lectura de la fase (sobre el círculo
r=1).
Todas las impedancias que presenten el mismo módulo del coeficiente
de reflexión se situarán sobre un círculo centrado en el origen. Por ejemplo, el
punto P (0.5, 1) se corresponde con un coeficiente de reflexión 0.62 ∠83º y en la
figura 1 se observa el círculo que representa ρ = 0.62.
Obtención de la ROE
Si recordamos la expresión que relaciona la ROE con el coeficiente de
reflexión:
ROE =
1+
1−
ρL
ρL
(8)
y la comparamos con la ecuación (2) vemos que la ROE coincide con el valor de
la impedancia normalizada cuando la fase del coeficiente de reflexión es cero,
es decir, la intersección del círculo ρ = cte con el eje real positivo.
Situación de los puntos V max y V min
Partiendo de la expresión de la onda de tensión en la línea en función
del coeficiente de reflexión:
V( z ) = V + ⋅ 1 + ρ(z )
(9)
es fácil comprobar que los máximos se producirán cuando la fase del
coeficiente de reflexión sea cero y los mínimos cuando dicha fase sea π.
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Transformación de impedancias
Si nos desplazamos desde la carga hacia el generador, el coeficiente de
reflexión en cualquier punto z de la línea viene dado, en función del coeficiente
de reflexión en la carga, por la expresión:
ρ(z ) = ρ Le 2γz
(10)
Un caso particular es el de las líneas sin pérdidas, donde la ecuación (10)
se reduce a:
ρ( z ) = ρ Le j2βz
(11)
Por lo tanto, en una línea sin pérdidas, un desplazamiento z se traduce
en un cambio de fase del coeficiente de reflexión, pero el módulo se mantiene
constante. Por ejemplo, un desplazamiento de z=λ/8 supone un incremento de
fase de +π/2 sobre el círculo de módulo constante. Esto nos lleva a la
obtención de un nuevo punto en la carta de Smith, que se corresponde con la
impedancia vista desde ese punto.
De esta forma, la transformación de impedancias producida a lo largo de
la línea puede deducirse observando los valores de r y x que se leen al
desplazarse sobre círculos centrados en la carta (espirales si hay pérdidas). La
carta de Smith proporciona dos escalas adicionales sobre su perímetro en ∆z/λ
(en longitudes de onda), una para los movimientos hacia el generador y otra
para los movimientos hacia la carga.
Obtención de admitancias
Partiendo de la ecuación de la impedancia vista desde un punto z hacia
la carga ZL, en una línea sin pérdidas:
Zin = R 0
Z L − jR 0 tg( βz )
R 0 − jZ L tg( βz )
(12)
Si normalizamos y vemos el caso particular de z=λ/4:
Z in R 0 YL
=
=
R 0 ZL
Y0
(13)
obtenemos la admitancia de carga normalizada. Vemos pues como el
transformador λ/4 actúa como un inversor de impedancias. Un
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desplazamiento de un cuarto de longitud de onda equivale a un cambio de
fase de π radianes en el coeficiente de reflexión, por lo tanto el punto de la
admitancia está diametralmente opuesto al de la impedancia correspondiente.
También es posible emplear la carta de Smith como diagrama de
admitancias, muy útil para resolver problemas de conexiones de líneas en
paralelo (donde las admitancias se suman). Si se trabaja con admitancias
normalizadas las posiciones de cortocircuitos y circuitos abiertos están
invertidas respecto de la carta de impedancias y también se invierte la posición
de los lados capacitivo e inductivo.
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Desarrollo de la práctica 3
Nombre y apellidos
Grupo: ...............
1. Cálculo de parámetros
Las tareas que se proponen a continuación deben resolverse empleando la
Carta de Smith y mediante las ecuaciones de las líneas de transmisión:
1. Calcular la impedancia de entrada de una línea de transmisión de
impedancia característica 50Ω y 0.3λ de longitud, cargada con las siguientes
impedancias:
a) ZL1=-j100Ω
Zin1= ............
b) ZL2=50+j75Ω
Zin2= ............
2. La impedancia de entrada de un tramo de longitud l de la línea anterior
terminada en circuito abierto es una reactancia capacitiva de 90Ω. ¿Cuál es
la longitud eléctrica l/λ de la línea?
l/λ= ............
2. Adaptación de impedancias
l2
ZL
Z0
Z0
Z0
Z2
Z1
l1
3. La línea de transmisión de la figura presenta una impedancia característica
de 50Ω y está cargada con una impedancia de ZL=100+j75Ω. Determinar la
longitud (l1) y la posición (l2) del cortocircuito necesarias para adaptar la
línea.
l1= ..............
l2= ..............
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3. Líneas con pérdidas
4. Para determinar las pérdidas en una línea de transmisión de
aproximadamente 75Ω de impedancia característica se mide, a 30 MHz, la
impedancia de entrada en un tramo cortocircuitado de 0.196λ, obteniéndose
un valor de 45+j200Ω. Determinar la constante de atenuación de la línea.
α= .............
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Cuestiones de revisión
1. ¿Qué es el diagrama de Smith y por qué es útil para efectuar cálculos con
líneas de transmisión?
2. ¿Qué representan las coordenadas rectangulares del diagrama de Smith? ¿Y
las polares?
3. ¿Qué punto de la carta de Smith representa una carga adaptada?
4. En los problemas de adaptación de impedancias ¿cómo utilizarías la carta
de Smith, como diagrama de impedancias o de admitancias? ¿por qué?
5. Demostrar que el punto que representa una impedancia en la carta de Smith
está diametralmente opuesto, es decir desplazado λ/4, al que representa la
admitancia correspondiente.
6. Obtener, utilizando la carta de Smith, la impedancia correspondiente a una
admitancia de 600+j300Ω -1, enumerando los pasos seguidos.
7. Explicar por qué el valor de la relación de onda estacionaria se mira en el
semieje horizontal derecho.
8. Para una línea de transmisión conectada a una carga ZL≠ Z0 ¿Cuántas
posiciones (menores de media longitud de onda) de un cortocircuito
variable permiten adaptar la carga a la línea? ¿Y cuántas longitudes?
9. ¿Qué diferencia habría si se empleara un circuito abierto para adaptar?
10. ¿Permanece constante la relación de onda estacionaria en una línea con
pérdidas?
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