COLUMNAS ESBELTAS SOMETIDAS A FLEXO-COMPRESIÓN. PRESCRIPCIONES REGLAMENTARIAS. CIRSOC-2005.

1
Instituto de Mecánica Estructural
y Riesgo Sísmico
HORMIGÓN II
Unidad 5:
COLUMNAS ESBELTAS SOMETIDAS A
FLEXO-COMPRESIÓN.
PRESCRIPCIONES REGLAMENTARIAS. CIRSOC-2005.
Profesor:
CARLOS RICARDO LLOPIZ.
2
Contenido
5.1 Introducción
5.2 Columnas Cargadas Axialmente
5.2.1 Consideraciones Generales
5.2.2 Columnas sin Desplazamiento de Extremos
5.2.3 Columnas con Desplazamiento de Extremos
5.2.4 Columnas dentro de la Estructura
5.3 Compresión y Flexión
5.3.1 Momentos de Primer y Segundo Orden
5.4 Problemas Referidos a la Estabilidad
5.5 Diferencia entre comportamiento de columna no esbelta y esbelta
5.6 Resumen de los factores que afectan el comportamiento de las columnas esbeltas
5.7 Criterio del CIRSOC 201-05 para Definir Pórticos Desplazables e Indesplazables
5.8 Criterios del CIRSOC 201-05 para Tener en Cuenta o Ignorar la Esbeltez
5.9 Diseño de Columnas Esbeltas. Criterios.
5.10 Procedimiento de Diseño dado por el Código ACI-318-05 y CIRSOC 201-05
El método de la Magnificación de Momentos
5.10.1 Fundamentos
5.10.2 Procedimiento de Aplicación
5.10.3 Momentos Amplificados. Pórticos Indesplazables
5.10.4 Momentos Amplificados. Pórticos Desplazables
5.11 Ejemplo de Aplicación E1
5.12 Ejemplo de Aplicación E2
5.13 Ejemplo de Aplicación E3
5.14 Ejemplo de Aplicación E4
5.15 Análisis de Segundo Orden para Efectos de Esbeltez
5.16 Breve comentario sobre las consideraciones sobre columnas esbeltas según las
normas DIN
5.16.1 Introducción
5.16.2 Criterio de rigidez lateral
5.16.3 Obtención del factor de esbeltez
5.16.4 Excentricidad de las cargas
5.16.5 Definición de columna esbelta de acuerdo a normas DIN
5.16.6 Otras consideraciones
5.17 Bibliografía
Filename
T5-COLESBEL.doc
Páginas
Emis
0
Feb
2006
41
Revis
1
Ago
2007
43
Revis
2
Oct
2007
42
Revis
3
Ene
2009
60
Revis
4
Oct
2009
60
Observaciones
3
COMPORTAMIENTO DE ELEMENTOS DE HORMIGÓN ARMADO ESBELTOS
SOMETIDOS A FLEXO-COMPRESIÓN
5.1 INTRODUCCIÓN. ESBELTEZ
Las columnas se pueden clasificar, de acuerdo a sus dimensiones (sección y altura) y
condiciones de borde, en columnas no esbeltas y columnas esbeltas. Una columna no
esbelta es aquella en la cual su carga última, para una excentricidad dada, está
gobernada solamente por la resistencia de los materiales y las dimensiones de la
sección. En otras palabras, el diagrama de interacción M-P obtenido a partir de las
dimensiones y del contenido de armadura de la sección transversal es suficiente para
determinar la resistencia nominal de la columna en flexo-compresión.
Una columna es esbelta cuando la carga última que puede soportar está
influenciada además por la esbeltez, la cual produce un momento adicional debido a
deformaciones transversales.
Se ha preferido en este trabajo referirse a columnas no esbeltas en vez de
llamarlas cortas pues la tipología de columna corta en diseño sismo resistente se
refiere a un tipo de estructura que se desea evitar. En la práctica, como se verá, la
mayoría de las columnas son no esbeltas, salvo casos muy especiales de dimensiones
pequeñas de la sección transversal y sobre todo cuando están acompañadas de
deformaciones estructurales entre los bordes de las columnas que amplifican su altura
de cálculo más allá de la constructiva. El grado de esbeltez  , ref.[1], define si la
columna es o no esbelta y se expresa como:
l
l
(1)
 e  e
r
I
A
donde con le se designa a la longitud efectiva de pandeo de la columna y r el radio de
giro, I es el momento de inercia con respecto al eje alrededor del cual se produce la
flexión por pandeo (sería el menor I si pudiera deformarse en ambas direcciones) y A
es el área de la sección transversal. Se referirá con detalle más adelante a la longitud
efectiva. Como introducción al problema, y para crear una rápida idea de esbeltez,
digamos que se puede expresar de una forma simplificada el radio de giro r , para una
sección rectangular, como:
r
bh 3 / 12
 h 1 / 12  0.289 h  0.30 h
bh
(2)
Este es el valor que como se verá toma la norma CIRSOC, ref.[8], para evaluar
el radio de giro en forma aproximada. Para poner casos muy visibles, digamos que si el
grado de esbeltez está por debajo de 30 puede decirse que no es esbelta, pero si es
del orden de 100 es muy esbelta. Tomemos el caso de una columna que tenga
condiciones de deformación entre sus extremos tal que su longitud efectiva de pandeo,
le , sea casi la misma que su longitud o altura libre l . Si es una columna con dimensión
de su sección en la dirección de pandeo del orden de la décima parte de su altura, o
sea l / h  10 , (por ejemplo l  3.0m y h  0.30m , resultará casi no esbelta, ya que
  l / r  l / 0.3h  10 / 0.3  33 , poco mayor de 30. Por el contrario, si l / h  30 (luz libre
de la columna 30 veces la altura h de la sección), resulta   l / r  l / 0.3h  30 / 0.3  100 ,
es decir muy esbelta. Los tipos de fallas son muy diferentes para ambos casos, por lo
que las metodologías de diseño también lo serán.
4
5.2 COLUMNAS CARGADAS AXIALMENTE.
5.2.1 COSIDERACIONES GENERALES. CARGA CRÍTICA. PANDEO ELÁSTICO E
INELÁSTICO.
La teoría del comportamiento de columnas rectas, biarticuladas en sus extremos y
esbeltas fue estudiada y resuelta por Leonhard Euler en 1757, Ref.[1].
(c)
(d)
Fig. 5.1 (a) y (b) Modelo de Columna esbelta articulada utilizada para derivar la fórmula de
Euler; (c) Curva elástica de flexión y rotaciones; (d) Diferentes modos de pandeo.
La Fig. 5.1 muestra en forma resumida los modelos de análisis. La ecuación que
relaciona las curvaturas  con el momento flector M a una distancia x desde el origen,
con rotación  y desplazamiento y , es:
d d 2 y M
P

 2 

y
dx dx
EI
EI
(3)
con los significados que se aprecian en la figura. Resolviendo la ecuación diferencial de
segundo orden (para detalles ver Ref.[1]) lleva a la expresión:
n 2 2 EI
Pcr 
L2
(4)
la cual para el mínimo valor de la carga crítica buscada, n=1.0, vale:
Pcr 
 2 EI
L2
(5)
donde I es el momento de inercia de la columna y E el módulo de elasticidad
longitudinal del material considerado lineal y elástico. La generalización de la fórmula
para el caso de una columna con longitud real L  l , pero con longitud efectiva de
pandeo kl , y para ley constitutiva de material f- donde se pueda especificar el módulo
de elasticidad más allá del límite de proporcionalidad, Et, como muestra la Fig. 5.2, es:
Pcr 
 2 Et I
(kl ) 2
(6)
5
Fig. 5.2
(a) Curva Tensión vs.
Deformación del material, por
ejemplo, para el hormigón y
(b) Efecto de la esbeltez (kl/r) en
la carga de falla de una
columna.
La Fig. 5.1(a) muestra el caso más simple de columna articulada en los dos
extremos, de material con módulo de elasticidad E según Fig. 5.2(a). Si  es elevado,
para la carga crítica evaluada según ecuación (6) el elemento originalmente recto
fallará por pandeo y adoptará una forma de media onda sinusoidal como muestra la
figura. Una vez iniciado el mecanismo de inestabilidad, en cualquier sección en la
altura de la columna aparece la excentricidad y según indica la Fig. 5.1(a) y se inducen
los momentos flectores M= Py. Estas deflexiones continúan aumentando hasta que la
combinación creciente del esfuerzo de compresión con el momento produce la falla del
elemento.
En la Fig. 5.2(b) se muestra la representación de la carga de falla vs. esbeltez.
Esta situación podría corresponder a una columna de hormigón armado de longitud real
l , longitud efectiva kl y sección transversal Ag= b.h, a la que corresponde r 0.3h, con
armadura determinada, Ast, calidad de hormigón, f´c, y acero, fy, definidos. Se ve que
para esbeltez reducida hasta un valor límite la falla de la pieza se produce cuando se
alcanza la resistencia nominal Pn. En este rango la resistencia de la pieza es
independiente de la esbeltez: es una columna no esbelta. Note que el valor de la
resistencia no depende ni del factor (EI), pues no está en flexión, ni del mismo valor E,
módulo de elasticidad, sino que la falla se producirá cuando la deformación máxima del
hormigón alcance su capacidad, c= 0.002 según CIRSOC 201-05, ref.[4]. Por ello se
define como falla por aplastamiento o agotamiento del hormigón en compresión. Como
muestra también la Fig. 5.3, la resistencia nominal para excentricidad cero, Po, como la
designa la citada norma está dada por:
Po = 0.85f´c (Ag–Ast) + fy Ast
(7)
Fig. 5.3
Ensayo a compresión simple de una
columna no esbelta. Componentes de
la contribución a la resistencia
nominal.
6
Una vez superado el valor límite de esbeltez, por ejemplo porque su altura real l
aumenta o la efectiva ( kl ) crece, pese a que tiene la misma sección transversal de
hormigón armado, el valor de la carga de falla irá decreciendo en función de lo que
indica la ecuación (6). De allí se ve que: (i) la carga Pcr decrece rápidamente con el
crecimiento de ( kl )2, y (ii) si la deformación de la fibra extrema de la sección crítica es
tal que fcfp en la Fig. 5.2, el módulo de elasticidad Ec puede considerarse como aún
constante y el pandeo se produce en rango elástico. Como en la sección de hormigón
armado están involucrados ambos materiales, por observación de Fig. 5.3 podría
decirse que el límite es cuando ambas curvas se transforman en francamente no
lineales y en esa figura es cuando el acero entra en plasticidad. Este sería un caso de
pandeo elástico. Si en cambio la falla se produce cuando el material ya está en
comportamiento no lineal, el pandeo es inelástico: ver cómo disminuye el valor de E.
5.2.2 CONDICIONES DE BORDE: COLUMNAS SIN DESPLAZAMIENTO DE SUS
EXTREMOS. FACTOR DE LONGITUD EFECTIVA k .
La Fig. 5.4 (b) corresponde a columnas cuyos extremos no sufren
desplazamiento lateral ni rotaciones en sus extremos, es decir ambos bordes
empotrados. La configuración inestable muestra que se pandea entre los puntos de
inflexión que se ubican a una distancia entre sí que es la mitad de la que corresponde
a la de bordes perfectamente articulados de Fig. 5(a). Para la misma longitud real l , la
longitud efectiva es ahora la mitad, o sea ( kl /2), por lo que la ecuación (6) nos dice
que en condiciones de empotrada la columna resistirá cuatro veces más que
articulada.
(a)
(b)
(c)
Fig. 5.4 Longitud efectiva de columnas con impedimento de desplazamiento lateral.
Sin embargo, las columnas rara vez, y menos en estructuras de hormigón
armado, se encuentran con condiciones de borde ideales como biarticuladas o
perfectamente empotradas. La condición real es alguna intermedia entre ambas
situaciones ideales que en forma esquemática está representada en la Fig. 5.4(c). Allí
se ve que los extremos tienen restricciones limitadas a la rotación, por lo que los
7
puntos de inflexión estarán en alguna sección entre el borde articulado y la sección
ubicada a l / 4 del extremo. En este caso, la longitud efectiva es menor que la real,
pero mayor que la mitad, es decir 1/2k1. Como el problema de inestabilidad, en este
caso de nudos indesplazables, hace que se pase de un caso de compresión simple a
uno de flexión, lo que controla el grado de impedimento a rotación es, para una
columna de rigidez determinada, la relación entre la rigidez a flexión de la columna en
estudio en el extremo considerado con respecto a la rigidez a flexión de las vigas que
llegan al nudo. Cualquiera sea el caso, nudos indesplazables horizontalmente o
columnas con bordes desplazables, que a continuación se trata, importa el grado de
rigidez a impedimento de deformaciones horizontales. Por lo tanto, en forma similar a
cuando se estudia la rigidez de los pórticos a acciones horizontales, la rigidez de la
estructura, y de cada elemento en particular, depende de la condición de los nudos
para permitir o no la rotación de los elementos que a él llegan. De una manera similar
al método de Muto, ver ref.[2], apéndice A, el grado de restricción de un extremo de
una columna comprimida se evalúa a partir del coeficiente  que relaciona la rigidez a
rotación de las columnas con las de las vigas que concurren al nudo extremo de la
columna:
( EI / l )columnas
 
 ( EI / l )vigas
c
e
v
e
(8)
Sólo deben incluirse los elementos del piso que estén dentro de un plano en
cualquiera de los extremos de la columna. La ref.[4], aclara que para la determinación
de las rigideces de vigas y columnas se deben tener en cuenta los efectos de
diferentes cuantías de armaduras y de fisuración, los cuales inciden en forma directa
en la rigidez. De forma aproximada, para las vigas se puede tomar como I ev  0.35 I g y
para las columnas I ec  0.70 I g , valores similares a los que adopta el IC-103-2005,
ref.[3], (tablas 2.1 y 2.2), para evaluar la rigidez ante acciones sísmicas. La Fig. 5
muestra un esquema de caso típico a analizar, la nomenclatura y elementos a
considerar. Las longitudes de los elementos se toman a eje o centros de apoyos.
Fig. 5.5.
Para el nudo A se toma la columna a estudiar y la que
está por encima, junto con las vigas a izquierda y
derecha de A.
En la Fig. 5.6 se muestran los nomogramas de Jackson y Moreland que acepta el
CIRSOC 201-05 para la determinación aproximada del factor k de longitud efectiva a
partir de los valores de los coeficientes  de los extremos. Es importante ver que los
valores de k están comprendidos entre 0.5 y 1.0, valores extremos para el caso de
pórticos de nudos indesplazables y que corresponden a los casos ideales. En el caso
de que la rigidez de las vigas sea muy pequeña con relación a las de las columnas, el
8
denominador de la ecuación (8) tiende a cero (0), y el resultado tiende a , es decir  A
= B = . Se está cerca del caso con ambos extremos son articulados, al que
corresponde k=1.0, Fig. 5.4(a).
Fig. 5.6
Nomogramas para determinar
gráficamente el factor de longitud
efectiva k para el caso de
columnas con Nudos arriostrados.
Por otro lado, si ahora la rigidez de las vigas es muy grande con respecto a la de las
columnas, éstas prácticamente no pueden rotar, estarán empotradas, y el denominador
tiende a  lo cual quiere decir que la tendencia es a A=B = 0, es decir ambos
extremos están empotrados, por lo que k= 0.50, caso de Fig. 5.4(b). El lector podrá
demostrar, y luego se verá en un ejemplo, que es más efectivo para reducir la esbeltez
de pandeo aumentar la rigidez de las vigas en vez de aumentar las dimensiones de la
columna. Dado que   kl / r , aumentando la dimensión de la columna, a lo cual uno
estaría tentado en primera instancia, aumentaría el denominador r , pero a la vez el
factor  crece por lo cual el numerador aumenta más que el denominador.
Note que de los gráficos se ve que si a uno de los extremos corresponde = 0 y al
otro =  el caso es empotrado y articulado y le corresponde k= 0.70.
9
El reglamento argentino CIRSOC 201-05, copia del ACI-318, también permite
utilizar expresiones analíticas para obtener el valor de k. Para columnas con
desplazamiento lateral impedido, dice que se puede adoptar como límite superior para
el factor de longitud efectiva, k, el menor de los que responde a las expresiones de
Cranston (ref. [5]):
k = 0.7 + 0.05 (a+b)  1.0
k = 0.85 + 0.05 mín  1.0
(9a)
(9b)
pudiendo adoptar el menor de ambos, y siendo mín el menor de los .
5.2.3 COLUMNAS CON DESPLAZAMIENTO DE EXTREMOS.
La situación es muy diferente a las de Fig. 5.4 si ahora alguno de los extremos
de la columna se puede desplazar con respecto al otro. Distintas situaciones se
muestran en la Fig. 5.7, donde se ve que ahora el valor mínimo de k= 1.
(a)
(b)
(c)
Fig. 5.7 Longitud efectiva de columnas con posibilidad de desplazamiento lateral.
Si la columna está perfectamente empotrada en un extremo y totalmente libre
en el otro, en voladizo o cantilever o tipo poste como se la conoce, caso que se
muestra en la Fig. 5.7(a), la longitud de la semionda sinusoidal es ahora el doble de la
longitud real, por lo que k= 2. Esto sugiere que los puntos de inflexión están uno en el
extremo libre y el otro en la extensión imaginaria de la onda de pandeo, para
asemejarlo al caso de Euler biarticulado, y que puedan ser válidas las ecuaciones
antes vistas.
Si la columna ahora está fija contra rotación en ambos extremos, pero uno de
ellos puede moverse horizontalmente respecto del otro, la configuración deformada
por pandeo es la de Fig. 5.7(b). Se ve que los puntos de inflexión están separados una
10
distancia igual a la longitud real de la columna, donde uno de los puntos está a mitad
de altura de la columna real y el otro en la mitad de la extensión imaginaria. Si se
compara este caso con el de la Fig. 5.4(b) se observa que al ser la longitud efectiva
ahora el doble del caso de nudos no desplazables, la carga crítica será cuatro veces
menor.
Esto demuestra el hecho de que los elementos sometidos a compresión que
están sujetos a pandeo teniendo posibilidades de desplazamiento lateral son siempre
más vulnerables que en el caso que a la estructura se la provea de arriostramiento que
minimicen los desplazamientos horizontales. Por ello es importante tener en cuenta
que la falta de rigidez, o la alta flexibilidad de columnas a las que se les pudiera haber
dado en el diseño “solo responsabilidad” a cargas gravitatorias, podrían colapsar por
exceso de desplazamientos entre sus extremos. Es decir, el comportamiento real
podría no responder a las intenciones de diseño y la columna transformase en muy
esbelta por falta de arriostramiento lateral de la estructura en su conjunto.
El caso de Fig. 5.7(c) es el más real que se presenta en pórticos desplazables,
pues los extremos no corresponden a situaciones ideales sino a intermedias. En este
caso el pandeo ocurre con longitudes efectivas que van desde poco más grandes que
la longitud real hasta casos en que el valor de k puede crecer mucho y la longitud
efectiva ser varias veces mayor que la real (incluso teóricamente no tiene límite). Si los
extremos tienen vigas muy rígidas se aproximan al caso de k= 1.0. Si las vigas son
muy flexibles la situación se parece al de columna biarticulada pero con posibilidad de
desplazamiento lateral, por lo que esto tiende a ser inestable y numéricamente el valor
de kl crece muchísimo. Esto lleva a que el valor de Pcr tienda a cero, es decir,
cualquier carga de compresión, por pequeña que sea, puede producir el colapso.
Nuevamente se pueden utilizar los nomogramas de Jackson y Moreland que se
muestran en la Fig. 5.8 para determinar k a partir de los valores de  de los extremos.
Del gráfico se ve que los extremos de k= 1.0 corresponden a rigidez muy grande de
vigas, con valores de  que tienden a cero, ver Fig. 5.7(b), y el más desfavorable a
rigidez despreciable de vigas, con lo cual los con valores de  que tienden a infinito y
lleva a k a valores extremadamente grandes.
En la sección 10.13.1, el CIRSOC 201-05 dice que debe tomarse k>1.0, y en los
comentarios, sección 10.12.1 establece que para pórticos desplazables:
Si m < 2.0
k
Si m  2.0
20  m
1  m
20
k  0 .9 1   m
(10a)
(10b)
siendo m el promedio de los valores de , factores de restricción al giro en los nudos,
en los dos extremos del elemento.
En elementos desplazables y con un extremo articulado:
k  2  0.3
siendo  el valor en el extremo restringido.
(10c)
11
Fig. 5.8 Nomogramas para determinar gráficamente el factor de longitud efectiva k para el caso
de columnas de pórticos con desplazamiento horizontal o no arriostrados.
12
5.2.4 LAS COLUMNAS DENTRO DE
ARRIOSTRADOS Y NO ARRIOSTRADOS.
LA
ESTRUCTURA.
PÓRTICOS
En estructuras de hormigón armado raramente se trabaja con elementos
individuales. En general, los pórticos son de nudos rígidos (no quiere decir
empotrados), es decir con resistencia a momentos (no articulados). Esto es
particularmente cierto en zonas sísmicas donde si bien se pretende filosofía de
columna fuerte y viga débil, (y esto refiere a resistencia) éstas deben tener suficiente
rigidez como para mantener los desplazamientos horizontales dentro de ciertos límites.
La rigidez de la columna a desplazamientos laterales depende de la rigidez global de la
estructura a la que el pilar pertenece o a la que está de alguna manera vinculada. En la
Fig. 5.9 se ven distintas configuraciones de deformaciones globales, de donde se
induce los posibles factores de longitud efectiva.
Fig. 5.9 Modos de pandeo para pórticos (a) arriostrados y (b) no arriostrados contra
desplazamiento lateral.
La Fig. 5.10(a) muestra cómo tabiques de hormigón armado (en este caso
utilizados en el mismo plano del pórtico) pueden controlar y minimizar la deformación
lateral (induciendo un tipo de deformación lateral de flexión). Si bien no lo sugiere el
gráfico, cuando hay tabiques continuos los desplazamientos en los pisos son pequeños
por lo que los desplazamientos relativos también resultan pequeños. No ocurre lo
mismo en el caso de la Fig. 5.9(b), donde una estructura porticada de nudos rígidos
ante cargas laterales adquiere una deformación típica de corte con desplazamiento
relativo entre cabeza y pie de columnas significativo y potencial efecto P- muy serio.
La Fig.5.9(c) muestra el caso de una estructura con un piso inferior "blando", para el
cual el desplazamiento relativo de los pilares del piso inferior puede ser muy grande.
Para los pisos superiores, los nudos extremos de la columna se mantienen casi sobre
la misma vertical, y ahí el efecto P- será mucho menor que para los pilares inferiores.
(a)
(b)
(c)
Fig. 5.10 Diferentes casos de pórticos interactuando con tabiques.
13
Fig. 5.11 Esquemas conceptuales para longitudes de pandeo para el caso de pórticos de un
nivel (a) arriostrado lateralmente; (b) sin arriostramiento.
La Fig. 5.11 muestra en forma esquemática varias de las consideraciones que se
han llevado a cabo hasta ahora para el caso de pórtico de un solo piso.
5.3 COLUMNAS EN COMPRESIÓN MÁS FLEXIÓN.
En la mayoría de los casos, en las columnas, la compresión está acompañada
de flexión, ya sea provocada por cargas transversales en los tramos o por continuidad
estructural.
5.3.1 MOMENTOS DE PRIMER Y SEGUNDO ORDEN.
Consideremos una columna esbelta, inicialmente recta, sometida a las fuerzas
de compresión P y momento inicial M= P.e, tal cual muestra la Fig.5.12.
Fig. 5.12 Columna esbelta con carga excéntrica.
En este caso particular la disposición de las cargas P produce una
flexión en la pieza con curvatura simple (momento de un solo signo a lo
largo de su altura). La deformación de flexión produce en la sección que
corresponde a la sección crítica, una excentricidad adicional , que se
agrega a la excentricidad inicial e para incrementar el momento flector
que en esa sección se hace máximo.
Un análisis estructural basado en la teoría de primer orden nos daría un
diagrama de momento flector como el que corresponde a la Fig.5.13(b). Se ve que si la
carga axial no estuviera presente, el Momento Mo sería constante a lo largo del
elemento e igual al de los extremos Me. Para este caso la flexión del elemento sería
como se indica con línea punteada en Fig.5.13(a). Por acción de P el momento en
cualquier punto se incrementa en una cantidad igual a P por el brazo de palanca. Ahora
la deformación se indica con línea continua. Para el cálculo de las solicitaciones por la
teoría de segundo orden se debe tener en cuenta la posición final de la pieza; en otras
palabras, para el cálculo de la excentricidad se debe considerar la deformación de la
pieza sometida a las cargas actuantes. Así entonces, un análisis basado en la teoría de
segundo orden daría un diagrama de momento flector como el indicado en Fig.5.13(b).
14
Fig. 5.13 Momentos en elementos esbeltos que se someten a compresión más flexión,
deflectados en curvatura simple.
Se observa que el considerar el efecto de la deformación propia del pilar en las
solicitaciones aumenta el momento máximo desde (P.e) a [P(e+)]. Este efecto es
comúnmente conocido como el efecto P-. En elementos flexo comprimidos y esbeltos
el efecto P- puede adquirir relevancia, lo cual depende del tipo de carga y, como antes
se expresó, de las condiciones de borde del elemento estructural. El valor del momento
es entonces:
M  M o  Py
(11)
La Fig. 5.13(c) presenta el caso en que la flexión es producida por la carga
transversal a la columna designada como H. Si P está ausente, el momento en
cualquier punto a distancia x es Mo= Hx/2, con máximo en el centro e igual a Hl/4. El
diagrama se indica con Mo en Fig. 5.13(d), y la deformada en trazo discontinuo en
Fig.5.13(c). Cuando se aplica P, aparecen los momentos adicionales Py, distribuidos
como se muestra y el momento en cualquier punto de la columna consta de las dos
componentes mencionadas, siendo válida la ecuación (11).
En la Ref.[6] se indica que las flechas y de columnas elásticas como las que se
muestran en la Fig. 5.13 se pueden obtener a partir de los valores de yo, es decir de
aquellas independientes de la carga axial, a partir de:
y  yo
1
1  P / Pc
(12)
Si  es la flecha en correspondencia con el momento máximo, se puede escribir:
M max  M o  P  M o  P o
1
1  P / Pc
(13)
Según la misma referencia, la misma ecuación puede ser expresada como:
15
M max  M o
1 P / Pc
1  P / Pc
(14)
donde  es un coeficiente función del tipo de carga y que varía aproximadamente entre
+0.20 y –0.20, en la mayoría de los casos. Además, como P/Pc es relativamente
pequeño, entonces el término (P/Pc) es muy pequeño y despreciable, por lo que:
M max  M o
1
1  P / Pc
(15)


1
 se conoce como factor de amplificación de momento, ya que
El factor 
 1  P / Pc 
representa la cantidad que debe incrementarse a Mo por efecto de esbeltez. La Fig.
5.14(a) muestra cómo se incrementa el momento por encima de Mo cuando aumenta la
esbeltez que implica disminución de Pc como muestra la Fig. 5.2(b).
Fig.5.14
Momentos
en
columnas.
Efecto de:
(a) la esbeltez,
(b) la carga axial
las
Es importante notar la diferencia de dónde ocurren los incrementos de
momentos por esbeltez. En la Fig. 5.13, en ambos casos, el mayor momento que
produce P, designado como P, se suma directamente al máximo de primer orden, sea
el Mo que se induce en los apoyos, o el M o  Hl / 4 del caso de Fig. 5.13(c). A medida
que la carga aumenta, el momento en el centro de la luz se incrementa más rápido que
la carga P (no son lineales), con ley de variación dada por la ecuación (11) y (14) para
el máximo, lo cual se grafica en Fig. 5.14(b). La falla del elemento se producirá cuando
la combinación M-P alcance los valores de Mn-Pn, resistencias nominales de la sección
transversal.
El momento máximo producido por P, o sea (M=P), no siempre se presenta en
la misma sección donde ocurre el máximo momento de primer orden, Mo, y entonces la
suma directa de ambos efectos máximos no siempre ocurre. Por ejemplo, en la Fig.
5.15 los momentos extremos son iguales pero de distinto signo, generando un
diagrama de momentos Mo indicado en 5.15(b). Las deflexiones producidas sólo por
Mo, indicadas con línea de trazos en 5.15(a), se verán nuevamente amplificadas
cuando se aplica la carga P, pasando la deformada a ser la línea continua de (a).
Según la Ref.[6], las flechas totales se pueden aproximar mediante:
y  yo
1
1  P / 4 Pc
(16)
Al comparar con la ecuac. (12) se ve que la amplificación es bastante menor por
la presencia del factor 4 que divide a P/Pc.
16
Fig. 5.15 Elementos esbeltos
sometidos a compresión más
flexión con doble curvatura.
Los momentos adicionales
Py se distribuyen según (c)
y su máximo, a cierta
distancia del apoyo, no se
corresponde
con
los
máximos de Mo, o sea
Momax=Me que ocurren en
los apoyos.
Los momentos totales,
M=Mo+Py pueden tener
configuraciones como se
muestran en (d) y (e), una u otra. En el primer caso ocurriría que el momento máximo
sigue estando en el apoyo, es decir es Me, por lo cual se concluye que en ese caso la
presencia de la fuerza axial no produce incrementos de los momentos máximos (sí en
la altura). En el caso (e) se plantea la alternativa de que el máximo total se desplace
del apoyo, y por lo tanto sea mayor que Me.
Al comparar las Figs. 5.13 y 5.15, se pueden sacar las siguientes conclusiones:
(i)
para columnas sometidas a momentos que producen curvatura simple:
(a) Si la columna está sometida a momentos iguales en ambos extremos o a cargas
simétricas (caso (c) de Fig. 5.13), las secciones donde se dan los máximos
valores de Mo coinciden con los máximos de yo, por lo cual la amplificación de
Py también es máxima.
(b) Si los momentos en los extremos son diferentes, existirá amplificación de Mo,
aún en forma importante, pero no tanto como en caso anterior.
(ii)
para columnas sometidas a momentos que producen curvatura doble (es
decir hay punto de inflexión dentro del elemento), no existirá amplificación o
ésta será pequeña.
Si se plantea el caso general de momentos en extremos de distinto valor, digamos
M1 y M2, se puede demostrar que para los casos de Figs. 5.13(a) y 5.15, la
amplificación depende entonces de la magnitud relativa de los momentos en los
extremos y está dada por:
Cm
M max  M o
(17)
1  P / Pc
Se ve que esta ecuación es casi idéntica a la (15), con la sola variación de la
presencia del factor Cm, y que puede tomar como máximo el valor de 1.0, en cuyo caso
ambas coinciden.
El CIRSOC 201-05, en su sección 10.12.3.1, dice que para los elementos que
pertenecen a pórticos indesplazables, con cargas transversales:
Cm  1.0
(18)
17
y para elementos sin cargas transversales, en pórticos no arriostrados, la expresión
general del coeficiente Cm, que es un factor que relaciona el diagrama real de
momentos con un diagrama equivalente de momentos uniforme, está dada por:
1.0  Cm  0.6  0.4
M1
 0.4
M2
(19)
M1 es el menor de los dos momentos, M2 el mayor, es decir M2= Mo. La relación
(M1/M2) se toma como positiva si los momentos producen curvatura simple, con lo cual
si ambos son iguales se llega a la máxima amplificación, Cm= 1.0. Para doble
curvatura, la relación se toma negativa, por lo que si fueran iguales los momentos la
ecuación (18) daría un Cm menor del mínimo (0.2), por lo que se adopta el valor mínimo
de 0.4 indicado. Es obvio que si M1= 0, Cm= 0.6. Esto se expresa en la Fig. 5.16.
Fig. 5.16
Tomada de CIRSOC 201-05, Fig.
10.12.3.1. Valores de Cm.
Se verá a continuación que
la ecuación (19) sólo es válida
para el caso de pórticos
arriostrados, ya que para los
desplazables el coeficiente Cm
no se puede tomar como
reductor de momentos.
Entre los elementos que
están
arriostrados
contra
desplazamiento horizontal se
incluyen
columnas
que
puedan formar parte de
estructuras en las que los
desplazamientos están minimizados por: muros suficientemente rígidos en su propio
plano, Fig. 5.10(a), arriostramiento vertical en otros planos (como los suministrados por
muros de hormigón armado en los núcleos de circulaciones verticales en edificios), o
rigidizaciones que se coloquen en el pórtico al que pertenece la columna.
Si no se suministra tal arriostramiento, el desplazamiento lateral ocurre para el
pórtico completo y en forma simultánea. Se había dicho que para columnas sin
desplazamiento, momentos extremos con signos cambiados (doble curvatura, punto de
18
inflexión en el tramo) era favorable. Obsérvese ahora la Fig. 5.17, y compárese con la
Fig. 5.18.
Fig. 5.17.
Pórtico empotrado
y sin
arriostramiento
lateral.
Fig. 5.18.
Pórtico empotrado y con
arriostramiento lateral
En el pórtico simple
de la Fig. 5.17, se supone
que actúa la carga horizontal
H, (por viento o sismo), junto
con fuerzas de compresión
P, debido a cargas gravitatorias. Los momentos Mo sólo debidos a H aparecen en dicha
figura (b). La deformación asociada se indica en línea de trazos. El desplazamiento de
sus extremos superiores provoca que P induzca momentos adicionales, graficados en
(c), y que a su vez provocan mayores desplazamientos horizontales que ahora se
totalizan en la línea continua. El diagrama total se indica en (d). Se observa que los
momentos máximos, tanto los debidos a H como los debidos a P (que en la teoría de
primer orden no existen), ocurren en el mismo sitio, en los extremos de las columnas.
Son aditivos y producen una considerable amplificación de los momentos. Sin
embargo, si el pórtico está impedido de desplazarse, como se esquematiza en la Fig.
5.18, los máximos momentos, los debido a P por teoría de primer orden o sea Mo,máx, y
los máximos que las mismas fuerzas P provocan por deformación de las columnas o
sea MP,máx, se dan en secciones diferentes. Si hubiera amplificación, como antes se
expresó, sería mucho menor, como lo intenta cuantificar la expresión de Cm.
Debe observarse que los desplazamientos horizontales podrían provenir no
solamente de cargas de viento o acciones de sismo, sino de asimetría de cargas
verticales, o de asimetría en la estructura, o ambas.
En síntesis:
(i) En elementos esbeltos sometidos a flexión, la compresión produce mayores
deflexiones y momentos adicionales Py. Los incrementos aumentan con la esbeltez.
(ii) En elementos arriostrados, si la flexión produce curvatura simple, los
momentos de primer y segundo orden ocurren en el mismo sitio o muy cercanos, por lo
19
cual hay amplificaciones importantes. Si los momentos Mo producen doble curvatura, la
amplificación o no existe o es pequeña.
(iii) En elementos no arriostrados, los momentos Mo y Py se producen en las
mismas secciones: extremos de las columnas. En consecuencia, hay suma de
máximos, a pesar de la existencia de un punto de inflexión.
5.4 PROBLEMAS REFERIDOS A LA ESTABILIDAD.
A los efectos de enfatizar el fenómeno físico de la inestabilidad, se lleva a cabo a
continuación una descripción cualitativa del problema.
Fig. 5.19.
Equilibrio e Inestabilidad en
columnas y la diferencia con
las vigas.
Se supone una columna idealmente recta, relativamente alta, con un extremo
empotrado y otro libre. Con referencia a la Fig. 5.19, si se aplica una carga axial P
relativamente pequeña a dicha columna, la misma sufrirá un acortamiento, deformación
menor de compresión, pero permanece recta. Además, si cuando está actuando P se le
aplica una pequeña carga horizontal Q, la misma experimentará un pequeño
desplazamiento horizontal, que desaparece al quitar la acción Q que la produjo. El
mismo ejercicio se puede llevar a cabo muchas a veces hasta valores de P justo por
debajo del crítico Pcr de Euler. Como al sacar la carga Q la columna vuelve a su
posición vertical, es decir deflexión cero, el equilibrio es estable.
Al alcanzar el valor crítico de axial, Pcr, la columna permanecerá con una
deformada permanente luego de la remoción de Q. La posición vertical se puede
recuperar si la pequeña carga Q se aplica en sentido contrario. Esta condición
instantánea se llama estado de equilibrio neutro o indiferente. Cuando se ha alcanzado
el valor de Pcr la aparición de una fuerza horizontal, aunque de magnitud insignificante,
puede precipitar el pandeo lateral y por lo tanto destruir la precaria condición de
equilibrio en la que se encuentra la columna en posición recta. Si la fuerza P se
incrementa por encima de Pcr, aunque sea por un valor insignificante, si la columna es
sometida a un mínimo valor de Q, luego de que ésta sea removida, no retornará a su
posición recta. Esta respuesta se esquematiza en la Fig. 5.19(b) con línea llena, y
según se indica, con las posibilidades de desplazamiento en cualquiera de las
direcciones, equilibrio indiferente, punto de bifurcación. Analíticamente, ver Ref.[1], y
con referencia a la Fig. 5.19, se podría demostrar que con apenas un incremento del
1.5 % por sobre Pcr (es decir el aplicar 1.015 Pcr) puede llevar a desplazamientos de la
columna del orden del 22 % de la altura, suponiendo comportamiento elástico del
material. Este grado de desplazamientos no puede ser tolerado en las construcciones.
Baste recordar, por ejemplo, que para acciones últimas de sismo severo las rotaciones
de piso máximas que se pueden admitir no superan el 2.0 a 2.5 %, es decir, 10 veces
menos que lo antes expresado. En consecuencia, la determinación de la carga Pcr es
fundamental en los casos en que el pandeo pueda influir, pues realmente representa la
capacidad última de una columna ideal. En la práctica, las columnas, que
20
inevitablemente no son estrictamente rectas y además no pueden ser cargadas en
forma perfectamente axial, tendrán desde el principio una deflexión inicial. Como
referencia se recuerda que el CIRSOC 201-05 en su sección 6.5.2 establece
tolerancias de verticalidad de columnas construidas in situ del orden de 1 a 2 por mil
(0.001 a 0.002). Para una columna real, con comportamiento indicado por la línea
punteada de la Fig. 5.19(b), la ordenada de valor Pcr representa una asíntota y valor
techo muy significativo.
En contraste, el comportamiento de una viga, (sin esfuerzo axial) con
desplazamiento lateral restringido, como la indicada en la Fig. 5.19(c) es graficada en la
Fig. 5.19(d). En este caso la deflexión del extremo de la viga es una función lineal de P
(   Pl 3 / EI ). Si la carga se duplica de la misma forma se incrementa la flecha. En el
caso de la columna y antes de que se alcance Pcr, el aumentar al doble o cuatro veces
el valor de P no produce un efecto apreciable. No hay un graduable incremento del
desplazamiento horizontal que preavise del nivel de carga peligrosa alcanzado. Paso
siguiente, un repentino pandeo se produce al acercarse o alcanzar Pcr, como
esquematiza Fig. 5.19(b). El diagrama de carga P vs. deflexión no es una función lineal
con P. Por ello, las fallas de columnas en las estructuras de ingeniería son catastróficas
y en muchos casos por problemas de inestabilidad.
Fig. 5.20
Diagrama Cargas P vs. Deformación v. Estados
de equilibrio.
Según la Fig. 5.20, Ref.[7], para el
caso de curva 1, barra recta a compresión sin
flexión, por debajo de Pki= Pcr se está en
equilibrio estable, caso 1a, y apenas
alcanzado el mismo, se pasa al estado de
equilibrio
indiferente,
con
bifurcación,
pudiendo seguir 1b o 1c.
Para el caso de curva 2, se ve que actúan desde el inicio un axial P y un
momento P(e+v). La pieza no es tan esbelta y la falla se produce por agotamiento de la
tensión máxima en la sección crítica: es un problema tensional. Como se verá luego,
debido al efecto de segundo orden (deflexión v), hay una reducción en la capacidad de
M-N (ya no hay relación lineal de M con N con la excentricidad total) con respecto al
caso en que la esbeltez fuera despreciable. Pero no hay problemas de inestabilidad.
Si la barra es bastante esbelta, caso 3, para valores de P por debajo de Pkr, es
decir v<vkr, el equilibrio es estable. Al llegar a v=vkr es punto de equilibrio indiferente.
Cuando se supera el valor, por ejemplo en v2, ya es inestable pues cualquier
perturbación por pequeña que sea lleva al colapso de la barra. En este caso, la barra
que podría haber tenido una resistencia seccional por combinación M-N como el caso
2, ya no podrá alcanzar el agotamiento de la sección por problema de tensión sino de
estabilidad.
21
5.5 DIFERENCIA ENTRE EL COMPORTAMIENTO DE COLUMNA NO ESBELTA Y
COLUMNA ESBELTA.
En una columna no esbelta o corta su carga última no está reducida por las
deformaciones de flexión puesto que las excentricidades adicionales son despreciables
u ocurren lejos de la sección crítica. Sin embargo, para una columna esbelta la carga
última se ve reducida por el incremento de momento debido al efecto P-.
La Fig. 5.21 muestra estos dos comportamientos claramente diferentes, tomando
como base el diagrama de interacción M-P. El comportamiento de la columna de
Fig.5.21(a), bajo la acción de carga monotónica y proporcionalmente creciente está
graficado en Fig.5.21(c) con respecto al diagrama de interacción de la sección crítica
de la columna (altura media de la misma).
Cuando el efecto P- es despreciable, el máximo momento es M= P.e, y crece
linealmente con el incremento de P, al permanecer la excentricidad inicial invariable
(cualquier recta que se trace desde el origen y busque la curva P-M representa un valor
de e=constante. Note que para e=0, corresponde al eje vertical, sólo axial. Para e=,
corresponde a axial cero y puro momento: eje de abcisas). Este es el comportamiento
de una columna no esbelta y la falla de la pieza se producirá por falla del material
hormigón armado cuando la recta que define el comportamiento de “columna corta”
alcance el diagrama de interacción M-P. Eso es lo que indica la parte izquierda de la
Fig. 5.2(c) donde la falla, es por aplastamiento o desintegración del hormigón y es, por
debajo de lim, independiente de la esbeltez.
(a)
(b)
(c)
Fig. 5.21 Interacción de la resistencia en columnas no esbeltas y esbeltas. Comportamiento
hasta la falla. Diferentes tipos de fallas.
Si la columna es esbelta, al incrementar P también se incrementa la excentricidad
(al crecer ) que es ahora (e+ y el momento resulta M= P(e+), dejando de
responder a una ley lineal ya que M= f(P,). M es entonces una función de las
variaciones de P y de . Se pueden distinguir dos situaciones de columnas esbeltas:
1. la columna, aunque esbelta, es estable ante la deformación lateral , y
corresponde a la curva indicada como de “falla de material” en Fig.5.21(c). En
este caso se alcanza el diagrama de interacción M-P por agotamiento de la
22
resistencia de los materiales de la sección de hormigón armado. Es clara la
reducción de la carga última con respecto a la que corresponde a la columna no
esbelta. Es el caso 2 de Fig. 5.20. Este tipo de falla generalmente ocurre en
columnas esbeltas que forman parte de pórticos cuyos desplazamientos
laterales están restringidos.
2. el segundo caso de columna esbelta, y que corresponde a la curva “falla de
estabilidad”, ocurre cuando el pilar por ser tan esbelto se vuelve inestable antes
de alcanzar el diagrama M-P, con consecuentes incrementos de  y reducción
de la carga última Pu. Es el caso que suele ocurrir en columnas de pórticos que
no están arriostrados lateralmente con elementos de rigidez suficiente y sus
nudos tienen amplia libertad de desplazarse horizontalmente. Este, es un
comportamiento que debe ser evitado por el tipo no deseado de falla que
genera. Es el caso 3 de Fig. 5.20, y se observan en Fig.5.21 como falla de
estabilidad
Fig. 5.22 Diagramas de interacción para resistencias nominales en función de la esbeltez y de
las condiciones de carga y excentricidades.
En la Fig. 5.22 se muestra cómo influye la esbeltez en la degradación de la
resistencia a flexo-compresión. Se ve que el caso más desfavorable corresponde a
columnas con deflexión con curvatura simple, caso a, es decir e2= e1, y luego le sigue
el b con e2= 0, y el más favorable es el c, con e2= -e1. Se deja al lector obtener otras
conclusiones.
23
5.6 RESUMEN DE LOS FACTORES QUE AFECTAN EL COMPORTAMIENTO DE
LAS COLUMNAS ESBELTAS
En base a lo expuesto en los puntos anteriores, los factores de mayor significación
son entonces:
1. la relación entre la altura libre de la columna y la profundidad de la sección en la
dirección posible de pandeo, Lu/d. (Note que este cociente por sí solo no
cuantifica el factor de esbeltez que más adelante se definirá).
2. las excentricidades e/h (e=M/P), de extremos de columna y el signo de las
mismas. La Fig.5.16 muestra distintos casos para nudos no desplazables. Como
se observa, la mayor reducción de la carga última Pu corresponde al caso (a)
(pues a él corresponde la mayor deformación por flexión), mientras que el menor
efecto sobre la capacidad del pilar ocurre en el caso (c), cuando el diagrama de
momento flector en la altura de la columna es lo suficientemente cruzado.
3. el grado de restricción rotacional en los extremos del pilar. Mientras más rígida la
viga de conexión, menor posibilidad de reducción de la capacidad última Pu.
4. la flexibilidad lateral. Una columna con desplazamientos relativos de sus
extremos sufre una reducción de Pu mayor que aquella en la que sus nudos se
mantienen sobre la misma vertical.
5. el contenido de acero y la resistencia de los materiales. Esto afecta la resistencia
y por ende la rigidez a flexión de la sección de la columna.
6. la duración de la carga. La deformación diferida del hormigón aumenta las
deformaciones de la columna, crece su flexibilidad y disminuye entonces Pu.
Se ha presentado un resumen de las consideraciones teóricas que están
relacionadas con el comportamiento de columnas esbeltas que constituye un problema
bastante complejo. Las disposiciones del ACI-318 que son las que adopta el CIRSOC
201-05 se basan en las consideraciones y ecuaciones antes presentadas. De alguna
manera, éstas tienen en cuenta las complejidades asociadas al hecho de que el
hormigón no es un material elástico, que la fisuración a tracción modifica las
condiciones de rigidez y que bajo carga sostenida en el tiempo, efecto de cargas de
larga duración, el flujo plástico aumenta las deflexiones a corto plazo, lo cual provoca
variaciones y redistribuciones en los esfuerzos internos.
El empleo de hormigones y armaduras de mayor resistencia, acompañado de
métodos de diseño y análisis más precisos lleva a la posibilidad de diseñar secciones
de hormigón armado más pequeñas y por lo tanto más esbeltas. La necesidad de
procedimientos de diseño confiables y racionales para columnas esbeltas se convierte
así en una consideración importante en el diseño de columnas.
El CIRSOC 201-05 en C.10.10.1 aclara las limitaciones que existen para aplicar
los métodos avanzados de diseño y análisis, en las cuales incluso menciona que se
debe mostrar evidencia de los resultados de ensayos sobre columnas esbeltas en
sistemas planos indesplazables, en sistemas desplazables y en pórticos con columnas
de diferentes rigideces. Programas computacionales de amplio uso en el medio como
SAP y ETABS tienen opciones incluidas para considerar los efectos de segundo orden.
La alternativa a los análisis avanzados de segundo orden es el método de
amplificación de momentos, que luego se presenta en este trabajo.
24
5.7 CRITERIO DEL CIRSOC 201-05 PARA DEFINIR PÓRTICOS DESPLAZABLES E
INDESPLAZABLES
Ha quedado clara la gran diferencia de comportamiento que poseen las
columnas de pórticos desplazables con respeto a indesplazables. Por ello el CIRSOC
201-05 especifica previsiones separadas para pórticos indesplazables a partir de su
sección 10.12, y otras para pórticos desplazables a partir de la sección 10.13.
No existen en la realidad estructuras extremadamente rígidas o flexibles. Se dan
casos intermedios, y lo que el diseñador debe verificar es si, por ejemplo, a través de
los muros estructurales dispuestos en todo el edificio, los núcleos rígidos de escaleras
y ascensores, o estructuras de rigidización especialmente dispuestas, son suficientes
para mantener los desplazamientos por debajo de ciertos límites.
El primer criterio que da la norma para calificar a una columna desplazable o
indesplazable, sección 10.11.4.1, es llevar a cabo los dos análisis, el de primer orden y
el de segundo orden. Si debido a los efectos de segundo orden los momentos en los
extremos de las columnas se ven incrementados en menos de un 5%, la columna se
puede considerar indesplazable. Obvio que no es muy práctico esto pues hay que
hacer ambos análisis. La norma aclara que el análisis de primer orden es un análisis
elástico que no incluye las variaciones en los esfuerzos internos que se originan por las
deformaciones.
En la sección 10.4.2 da una alternativa a partir de evaluar lo que llama índice de
estabilidad de un piso, designado como Q, al cual corresponde:
Q
Pu  o
Vu lc
(20)
Pu = sumatoria de todas las cargas verticales mayoradas que actúan en el piso.
Debe ser tal que maximiza su valor.
Vu= corte en el piso que produce o.
o = deflexión relativa por análisis de primer orden entre la parte superior y la
inferior del piso.
lc  longitud del elemento a compresión medido entre ejes de nudos de pórticos
(ejes de viga superior e inferior).
Esta expresión no es aplicable si Vu= 0. El CIRSOC 201-05 en su comentario
C.10.13.6 dice que los valores de Vu y o utilizados para calcular Q se pueden obtener
a partir de cualquier conjunto real o supuesto arbitrario de cargas horizontales.
Obviamente las deflexiones utilizadas en (20) deben corresponder a ese corte Vu.
La citada norma establece, sección 10.11, que para obtener las solicitaciones,
momentos, axiales, cortes, y cuando sea necesario determinar los desplazamientos de
piso, se puede utilizar el análisis de primer orden pero hay que tener en cuenta efectos
de fisuración, cargas de larga duración, fluencia lenta o deformación por cargas de
larga duración que en forma efectiva reducen el valor del módulo E. Además, se deben
considerar los efectos de las diferentes cuantías de acero que tengan las secciones de
hormigón. Como alternativa, la norma da la tabla que sigue para afectar las
propiedades de las secciones:
25
Tabla de sección 10.11.2 de norma CIRSOC 201-2005.
El módulo de rigidez a flexión, establece en la sección 10.12.3, se debe evaluar a
partir de cualquiera de estas expresiones:
EI 
0.2 Ec I g  Es I se
(21)
1 d
o
EI 
0.4 Ec I g
(22)
1 d
Ec módulo de elasticidad del hormigón,
Es módulo de elasticidad del acero,
Ig y Ag se calculan en base a la sección bruta de hormigón, despreciando el refuerzo,
Ise momento de inercia de la armadura con respecto al eje baricéntrico de la sección,
d en pórticos arriostrados es relación entre la máxima carga axial mayorada que actúa
en forma permanente (carga de larga duración, carga muerta D por ejemplo) y la
máxima carga axial mayorada asociada a la misma combinación de cargas (D+L),
d en pórticos NO arriostrados es relación entre el máximo corte mayorado que actúa
en forma permanente (carga de larga duración) en un entrepiso y el corte máximo
mayorado en ese piso.
26
5.8 CRITERIO DEL CIRSOC 201-05 PARA TENER EN CUENTA O IGNORAR LA
ESBELTEZ
El CIRSOC 201-05 indica tres situaciones muy claras con relación al grado de
esbeltez y que quedan resumidas en la Fig. 5.23 obtenida de la sección 10.13.7.
Fig. 5.23 Criterio del CIRSOC201-05 para esbeltez.
Como se dijo al inicio de este trabajo, se debe evaluar la esbeltez, ecuación (1),
a través del radio de giro, ecuación (2) y de la longitud del elemento. En la sección
10.11.2 da los lineamientos que se expresan en la Fig. 5.24 para el radio de giro y Fig.
5.25 para lu que es la longitud sin soporte lateral.
Fig. 5.24 Criterio del CIRSOC 201-05 para evaluar radio de giro.
27
Fig. 5.25 Criterio del CIRSOC 201-05 para cuantificar lu.
De la Fig. 5.23 se ve que en cualquier caso, si la esbeltez supera el valor de 100
es necesario llevar a cabo un análisis avanzado de segundo orden. En los comentarios
pone más limitaciones (se remite al lector a consultarlas). Esto implica que se le pone
un límite a la aplicación de métodos aproximados, como el de amplificación de
momentos que a continuación se verá. El valor límite de esbeltez de 100, según el
C.10.11.5 representa el mayor valor obtenido a través de ensayos de pórticos para
elementos comprimidos esbeltos. Por aplicación de métodos más sofisticados no
aparece un límite superior.
En la sección 10.12.2 establece que el efecto de esbeltez puede ignorarse en
pórticos indesplazables si se cumple que:

M 
klu
 34  12 1 
r
 M2 
(23)
con límite de:
M 
34  12 1   40
 M2 
(24)
M1 y M2 son los momentos menores y mayores respectivamente, y con los signos
que antes se indicaron para la ecuación (19).
En la sección 10.12.1, CIRSOC 201-05 dice que k debe tomarse igual a 1, a no ser
que se justifique por medio de un análisis un valor inferior. De la Fig. 5.6 se observa, y
ya se comentó, que el mínimo valor es 0.5, que corresponde a una situación ideal de
vigas extremadamente rígidas, =0, por lo que seguramente el valor mínimo está por
encima del que corresponde a situación ideal. Las expresiones analíticas dan un mayor
valor.
En la sección 10.13.2 establece que el efecto de esbeltez puede ignorarse en
pórticos desplazables si se cumple que:

klu
 22
r
En la sección 10.13.1 el CIRSOC 201-05 dice que k > 1.
(25)
28
5.9 DISEÑO DE COLUMNAS ESBELTAS. CRITERIOS
Como se expresó, en la práctica hay dos formas de abordar el problema del diseño
de columnas esbeltas:
1. utilizando un método “exacto”, o bien
2. usando algún método aproximado.
En el primer caso se debe utilizar un método de análisis que tenga en cuenta:
1. la rigidez real de los elementos estructurales.
2. los efectos de las deformaciones en el valor de las solicitaciones internas.
3. el efecto de la duración de las cargas.
Este tipo de análisis, por ya incluir los efectos de segundo orden, arrojará las
solicitaciones internas finales (momentos, cortes, axiales) con los cuales las secciones
pueden ser diseñadas sin necesidad de corrección posterior alguna. Sin embargo este
procedimiento es muy complejo (depende por supuesto de la estructura en estudio),
requiere un soporte computacional de importancia y su rigurosa aplicación no siempre
es necesaria. Como depende de una buena modelación, como siempre, la sofisticación
de los métodos de análisis no asegura resultados indiscutibles.
Como alternativa, los métodos aproximados se basan en obtener las
solicitaciones a través de un análisis estructural convencional de primer orden, y luego
las secciones son dimensionadas para resistir acciones modificadas (mayoradas) que
tienen en cuenta en forma aproximada el efecto de las deformaciones en las
solicitaciones reales de la estructura. Los métodos mas comúnmente utilizados son los
dados por el código ACI-318, las normas DIN 1045 y las recomendaciones del Comité
Europeo CEB-FIP.
5.10 PROCEDIMIENTO DE DISEÑO DEL CÓDIGO ACI-318-05 y CIRSOC 201-05
EL MÉTODO DE LA MAGNIFICACIÓN DE MOMENTOS
3.10.1 FUNDAMENTOS.
El método parte de las solicitaciones obtenidas por medio de un análisis
estructural de primer orden. A posteriori, el momento último de diseño se magnificará
con un factor  que tendrá en cuenta los efectos de segundo orden.
.q
.H
Mu
Pu
Vu
: Coeficiente de mayoración de cargas
(coef. de seguridad)
(a) Estructura y cargas.
(b) Solicitaciones por análisis de primer orden
para una columna.
Figura 5.26. Pórtico simple. Cargas y solicitaciones.
29
Supongamos la estructura simple de la Fig.5.26. La columna de la derecha, por
ejemplo, tendrá como solicitaciones últimas de primer orden el axial Pu y el momento
Mu= Pu.e. Los fundamentos en los que se apoya el método de magnificación de
momento del ACI-318 quedan ilustrados en la figura Fig.5.27. Se supone que la
columna es esbelta y por tanto que el método es de aplicación.
P
Fig. 5.27. Diagrama de interacción.
Magnificación de momentos. ACI
(1) Momento y carga de falla determinados
por análisis estructural convencional.
(3) Momento y carga de falla supuestos para
el diseño final.
Pu
(1)
Pu´
(3)
(2)
(a)
Mu
(b)
M
Mu
Del análisis de primer orden Mu
y Pu son el par de valores que
producen la falla de la columna si esta
no fuera esbelta, y dan un punto (1) en
el diagrama (a) de interacción M-P.
Ese diagrama corresponde a una
sección de hormigón armado de
determinadas dimensiones y cantidad
de armadura. Sin embargo, dado que
la columna es esbelta la relación M-P
deja de ser lineal y de utilizarse esa
sección de hormigón armado la rotura
de la pieza se alcanzaría en el punto
(2) del diagrama (a) de interacción,
con la consecuente reducción de la
capacidad última Pu de la columna, ya
que P'u < Pu.
El método consiste en encontrar un factor  de magnificación del momento Mu
para que .Mu y Pu sean el par de solicitaciones últimas para el diseño del pilar. Esto
implicará que será necesario utilizar una sección de hormigón armado tal que le
corresponda el mismo valor Pu como capacidad axial de columna y un momento último
.Mu, donde  > 1,0. En otras palabras, una sección de hormigón armado a la que le
corresponda un diagrama de interacción M-P como el (b) de Fig.5.27, donde la rotura
de la columna se alcance en correspondencia con el punto (3) del citado diagrama M-P
que es el que finalmente se usará en la verificación del diseño de la pieza.
5.10.2 PROCEDIMIENTO DE APLICACIÓN
El método en su aplicación es bastante simple e involucra tres pasos:
1. obtención de las solicitaciones últimas Mu y Pu, usando teoría de primer orden.
2. calcular , coeficiente de mayoración de Mu.
3. diseñar para las solicitaciones Pu y Mu.
donde el factor de magnificación de momento  se designa como ns para el caso de
pórticos indesplazables y s para pórticos desplazables, ya que el método es válido
para ambos casos, y el CIRSOC 201-05 los trata en forma separada y en la forma que
a continuación se presenta.
30
5.10.3 MOMENTOS AMPLIFICADOS. PÓRTICOS INDESPLAZABLES
En la sección 10.12 la norma especifica que los elementos comprimidos se
deben diseñar para la carga Pu que resulta de cargas mayoradas (método LRFD) y el
momento asociado Mu2 (es el mayor) amplificado por un factor ns tal que:
M c   ns M u 2
(26)
El factor amplificador está dado por:
 ns 
Cm
Pu
1
0.75 Pc
(27)
La expresión es igual a la ecuación (17), en la que se incluye k= 0.75 factor de
reducción de rigidez (no de resistencia) para tener en cuenta las diferencias entre las
características de los elementos reales y los calculados
El factor Cm de efecto de extremos, ver Fig. 5.16, vale:
1 Cm= 0.6+0.4(M1/M2) ≥ 0.4 para columnas cuyo desplazamiento lateral está
impedido y sin cargas transversales entre los apoyos del pilar.
2 Cm= 1.0 para los otros casos, por ejemplo cuando hay cargas transversales
entre los apoyos del pilar.
M1: el menor de los momentos últimos de extremo de la columna obtenido con análisis
de primer orden, y es positivo para pilar flexado con curvatura simple, y negativo si lo
está con curvatura doble.
M2: el mayor de los momentos de extremo de la columna y que se toma siempre
positivo.
Pu: carga última de la columna según la teoría de primer orden.
Pc: carga crítica de pandeo elástico dada por la expresión teórica de Euler:
Pc 
 2 EI
(klu ) 2
(28)
Lu: longitud libre de la columna.
EI : rigidez de flexión de la sección de la columna, y viene dada por la expresión o (21)
o (22), cualquiera de ellas.
En la sección 10.12.3.2 el CIRSOC 201-05 establece que en los casos en que la
columna es esbelta pero sus momentos últimos de primer orden son nulos o pequeños,
se debe diseñar con excentricidad mínima, dada por:
M 2  M 2 min  Pu (15  0.03h)
(29)
Se aclara que no es necesario que se aplique en forma simultánea respecto a
los dos ejes principales.
31
5.10.4 MOMENTOS AMPLIFICADOS. PÓRTICOS DESPLAZABLES.
En el método que utiliza el ACI-318 y CIRSOC 201-05 para pórticos sujetos a
desplazamiento horizontal considerable, las cargas que actúan en la estructura deben
separarse en dos categorías: cargas que no producen desplazamiento lateral (o
cuando este es mínimo) y cargas que generan desplazamientos laterales de
consideración. Se requieren entonces de dos análisis independientes del pórtico, uno
para cada tipo de carga, además de que para cada caso deben usarse los factores k y
d que son diferentes.
La norma, en la sección 10.13.3, establece que los momentos de diseño M1 y M2
en los extremos de un elemento individual comprimido son:
y
M1 = M1ns + s . M1s
(30)
M2 = M2ns + s . M2s
(31)
M1 y M2 = son los momentos menor y mayor, respectivamente, mayorados (es
decir para diseño por resistencia) en cada extremo del elemento.
M1ns = momento mayorado que actúa en el extremo de M1 causado por cargas
que no producen desplazamiento lateral, y obtenido de análisis de primer orden.
M2ns = momento mayorado que actúa en el extremo de M2 causado por cargas
que no producen desplazamiento lateral, y obtenido de análisis de primer orden.
M1s = momento mayorado que actúa en el extremo de M1 causado por cargas
que sí producen desplazamiento lateral, y obtenido de análisis de primer orden.
M2s = momento mayorado que actúa en el extremo de M2 causado por cargas
que sí producen desplazamiento lateral, y obtenido de análisis de primer orden.
s= factor de amplificación de momentos en pórticos no arriostrados contra
desplazamiento horizontal para reflejar dicho desplazamiento.
Los máximos momentos causados por cargas horizontales ocurren en los
extremos de las columnas, pero los que generan las cargas gravitatorias pueden ocurrir
en cualquier sitio de la zona central de la columna, variando la ubicación en función de
los momentos extremos. Como en la mayoría de los casos los momentos máximos
para ambos tipos de carga no ocurren en el mismo sitio, la norma no aplica el
coeficiente de amplificación s a los momentos gravitacionales. Es decir, es poco
probable que el momento máximo real exceda la suma de los momentos
gravitacionales no amplificados y los momentos inducidos por desplazamientos
horizontales amplificados. De allí la forma de las ecuaciones anteriores.
En definitiva, la norma en su sección 10.13.4 indica que los momentos
amplificados por efectos de desplazamiento lateral se pueden determinar de tres
modos:
(i) a partir de un análisis elástico de segundo orden, basado en las rigideces
degradadas de los elementos, según antes se indicó.
(ii) Obteniendo el factor de amplificación s a partir del índice de estabilidad Q.
(iii) Obteniendo el factor de amplificación s a partir de relación entre cargas últimas y
cargas críticas de pandeo del piso en que se encuentra la columna.
En la sección 10.13.4.2 especifica que:
32
s 
1
 1.50
1 Q
(32)
Si el valor del factor s es mayor de 1.50 se deben utilizar otros métodos,
utilizando la siguiente expresión, similar a la ecuac. (27) con Cm= 1.0:
s 
1
 1.0
Pu
1
0.75Pc
(33)
Pu  es la carga axial total para todas las columnas del piso en consideración.
Pc  es la carga de pandeo crítica total para todas las columnas del piso en
consideración.
La equivalencia cercana entre Q y Pu/Pcr, que sugieren las ecuaciones (32) y
(33) para estructuras de hormigón armado se puede demostrar a partir del
comportamiento de una columna con posible desplazamiento horizontal en uno de sus
extremos y con ambos restringidos a la rotación, como el caso de Fig. 5.7(b). Para esa
columna el índice de estabilidad está dado por ecuac. (20):
Q
Pu  o
Vu lc
(34)
Dado que:
Vu 12 EI
 3
o
lc
(35)
es la rigidez a desplazamiento horizontal, por lo que entonces el índice Q vale:
Q
Pu
(36)
(12 EI / lc2 )
Para una columna como esa, con k= 1.0, de longitud no soportada o libre (unsupported
length) lu  0.9lc , la carga crítica de Euler es, según ecuac. (6):
Pcr 
 2E I
(lu ) 2
(37)
Por lo que la relación:
P
Pu
Pu
 2

2
Pc  EI /(0.9lc )
(12.18 EI / lc2 )
(38)
Las ecuaciones (36) y (38) confirman lo expresado.
La Ref.[2] indica que para valores de Q<0.6 el índice de estabilidad se aproxima
a la relación P/Pc.
Las ecuaciones (30) y (31) están derivadas en la suposición de que en pórticos
desplazables los momentos máximos están ubicados en los extremos de las columnas.
33
Sin embargo, según se vio en la Fig. 5.15(e), el momento máximo podría ocurrir en
cualquier punto de la altura de la columna. Por ello se debe tener otra consideración,
ver sección 10.13.5, que a continuación se explica.
En los comentarios de la norma, C.10.12.2, se dice que el límite que impone la
ecuac. (23) para pórticos indesplazables se hizo a partir de la ecuac. (27) suponiendo
que es aceptable considerar un incremento del 5 % en los momentos debidos a la
esbeltez. En esta deducción no se incluyó el efecto del factor de reducción de rigidez
k= 0.75. Ya se expresó antes que para valores de Q>0.6, existe una gran similitud
entre Q y P/Pc, por lo cual, para el caso de Q= 0.05, límite que se impuso para separar
pórticos desplazables de arriostrados, la ecuac. (27), sin k y para Cm= 1.0 sería:
 ns 
1
1

 1.05
1  Q 1  0.05
(39)
En los comentarios, C10.13.5, se dice que si:
lu

r
35
Pu
f c´ Ag
(40)
el momento máximo en cualquier punto a lo largo de la altura de dicha columna será
menor que 1.05 veces el momento máximo extremo.
Como ejemplo, supongamos dos casos, uno en que el esfuerzo axial es
importante, tal que la relación Pu / f c´ Ag  0.49 y otro con poco nivel de axial, digamos
Pu / f c´ Ag  0.16 . Podría ser el caso de una columna de 200mmx200mm, con f´c=25MPa,
por lo que, suponiendo d= 0.2:
EI 
0.4 x 23500 x0.133 x10 9
 1.04 x1012 Nmm 2
1.2
La carga crítica:
Pc 
 2 x1.04 x1012
3300 2
N  0.95 x10 6 N  95t
Para el caso de gran axial, Pu= 0.49x0.25x202= 49 t, y para bajo nivel de axial
sería de 16t. En el primer caso el segundo miembro de ecuac. (40), es decir el índice
de axial (en realidad su valor es inverso al índice de axial) es (35/0.70= 50), y en el
segundo caso el índice es (35/0.40= 87.5).
Si lu  3300 mm y la columna fuera de h  200mm , la relación
lu / r  3300 / 0.3x200  55. Se ve que para el caso de poca carga axial, se cumpliría la
ecuac.(40) ya que 55 < 87.5. Si, por ejemplo, k= 1.0 y M1= 0, la ecuac. (23) daría:
klu
 55  34
r
34
por lo que la esbeltez no puede ser ignorada, y el momento amplificado nunca
superaría en su altura el 1.05Mmáx, por la condición impuesta a Q<0.05.
Para el nivel más bajo de axial, de 16 toneladas:
 ns 
0.6
 0.78
16
1
0.75 x95
En cambio para axial de 49 toneladas:
 ns 
0.6
 1.92
49
1
0.75 x95
Para el caso de gran carga axial, 55 > 50, es decir no se cumple la ecuac. (40), y
por esa condición de carga axial importante podría suceder que en algún punto de la
columna, [la norma indica ver referencia 10.25], el momento superará el máximo en
más de 1.05 veces. Esto es lo que demuestran los valores de 0.67 (que debe tomarse
1.05) y el de 1.92, que representa ahora 92.5% mayor del máximo. Por ello, en la
sección 10.13.5, el CIRSOC 201-05 indica que para valores de:
lu

r
35
Pu
f c´ Ag
(41)
se debe diseñar la columna para la carga Pu y un momento Mc de acuerdo a la ecuac.
(26) y (27). Los valores de M1 y M2 se deben determinar con las ecuac.(30) y (31). El
menor de los momentos se usa para determinar Cm. El valor de k corresponde a pórtico
arriostrado, y d según el estado de carga que se considere.
El CIRSOC 201-05 también, sección 10.13.6, incluye verificaciones adicionales
para pórticos desplazables para protegerlos del pandeo lateral de todo un piso bajo
cargas gravitatorias solamente. Las restricciones dependen del método utilizado para
evaluar sMs:
(i)
si se utilizó análisis elástico de segundo orden la relación entre las
deformaciones laterales de segundo y primer orden no debe exceder 2.5,
para las combinaciones de U=1.2D+1.6L más las cargas laterales
mayoradas.
(ii)
si se usó la ecuac.(39), debe cumplirse que Q  0.6 (lo cual implica s 2.50).
(iii)
si utilizó la ecuac.(33), debe cumplirse que s>0 y s 2.50.
35
5.11 EJEMPLO DE APLICACIÓN E1.
Pórtico de un vano y un piso. Hormigón H27. Acero ADN-420.
Columnas 35x35cm. Viga Superior 25x50cm. Viga de Fundación 25x25cm.
H total de piso a ejes = 4.50m. Luz de viga a ejes L=6.0m
Requerido: Diseño de Columna CD. Suponer pórtico arriostrado.
Fig. E1-1
Geometría y
Cargas.
1. Análisis de Primer Orden.
De la Fig. E1-2 se ve que el desplazamiento lateral debido a las cargas U=1.2D+1.6L
es de 8 mm en la parte superior del piso.
De la Fig. E1-3 se ve que el momento flector en la parte superior de Col(CD) es 16.66
tm sin considerar efecto P- y considerando dicho efecto es de 16.76 tm, a partir del
programa ETABS.
2. Verificación si el Pórtico es o no desplazable.
(i) Dado que (16.76/16.66 = 1.006 < 1.05), es decir se podría decir que es
“indesplazable”.
(ii) A partir del índice de estabilidad, se necesitaría un valor de Vu, o sea algún tipo de
carga horizontal que produzca desplazamiento lateral. Como no existe fuerza horizontal
en la estructura, la norma permite utilizar algún valor de referencia y con respecto a él
obtener o. A partir del mismo modelo, y con las reducciones de rigidez que dice la
norma resultó que para una fuerza unitaria, 1.0 ton, en la parte superior del piso originó
un desplazamiento horizontal de 4.0 mm. Las fuerzas axiales últimas en las columnas
son:
PuAB  26t
PuCD  40t
Pu  66t
36
Fig. E1-2. Deformada por análisis primer orden y debida a U=1.2D+1.6L.
Fig. E1-3. Esfuerzos internos por análisis primer orden debidos a U y de segundo orden,
valores indicados ( ).
37
El índice es entonces:
Q
66tx0.004m
 0.059  0.05
1tx 4.50m
Se ve el pórtico entraría en la categoría de desplazable, a no ser que existieran, por
ejemplo, líneas estructurales paralelas que puedan rigidizar todo el edificio, incluyendo
este pórtico, y hacer bajar el valor de Q por debajo de 0.05.
Como se demostró, existe una similitud entre Q y la relación P/Pc. Para evaluar la
estabilidad de otra manera, se procede a verificar la relación anterior. Es necesario
calcular las Pcr de ambas columnas. Se requiere EI y ( kl ).
Ec  4700 27  24422 MPa  24422 N / mm 2  2442200 t / m 2
I g  (0.35m) 4 / 12  1.25 x10 3 m 4
 dAB 
UD
 12t / 26t  0.46
U ( D L )
 dCD 
UD
 24t / 40t  0.60
U ( D  L)
EI AB 
0.4 x 2442200 x1.25 x10 3
 836 tm2
(1.46)
EI CD 
0.4 x 2442200 x1.25 x10 3
 763tm2
(1.60)
Valores de longitud efectiva de pandeo:
Factores  de extremos:
 A  0 ya que está empotrada.
C 
0.7 x35 x353 x6
 2 x1.4 x1.43 x1.333  10.24
3
0.35 x 25 x 25 x 4.5
 B ,D 
0.7 x35 x353 x6
 2 x1.4 x0.73 x1.333  1.28
0.35 x 25 x50 3 x 4.5
Utilizando las expresiones analíticas:
(k ) AB  0.7  0.05(0  1.28)  0.764
(k ) AB  0.85  0.05(0)  0.85
El menor valor para Col(AB) es (k)= 0.764.
(k ) CD  0.7  0.05(10.24  1.28)  1.276
(k ) CD  0.85  0.05(1.28)  0.914
El menor valor para Col(CD) es ( k )= 0.914.
Ahora se pueden evaluar las cargas críticas de pandeo de cada columna.
38
 2 836 tm2
PcrAB 
(0.764 x 4.125 m) 2

CD
cr
P
 2 763tm2
(0.914 x 4.125 m) 2
 830 t
 530 t
Pu
66t

 0.0485  0.05 y tiene una diferencia cercana al 20 % con el valor
Pcr (830  530 )t
obtenido para Q (es cercano; no se esperaba igualdad por supuesto).
Se ve que está en el límite, y se va a considerar que hay “otros elementos” en la
estructura que proveen la suficiente rigidez como para considerarlo pórtico arriostrado.
3. Verificación de la esbeltez.
klu 0.914x4.125
3.7

 36  34  12(
)  34  12(0.22)  34  2.67  36.66
r
0.3x0.35
16.66
Se ve que está casi en el límite de esbeltez, por debajo por lo cual podría
considerarse que no es esbelta. De todos modos se continuará con el ejemplo
suponiendo que es esbelta (debería hacerse pues hay una diferencia de 1.8%).
4. Método de Amplificación de Momentos.
Cm  0.6  0.4(0.22)  0.6  0.088  0.512
 ns 
0.512
0.512

 0.57
40
0
.
899
1
0.75 x530
El factor de amplificación es menor que 1.0, por lo que no habría que incrementar
los valores de los momentos.
5. Provocamos mayor esbeltez en el ejemplo: aumentamos la altura de
columna entre ejes a H=8.0 m.
La altura de la columna se lleva a 8.0 m, es decir se incrementa 8/4.5= 1.78 veces,
como se esquematiza en la Fig. E1-4.
Reevaluamos factor de longitud efectiva:
C 
0.7 x35 x353 x6
 2 x1.4 x1.43 x0.75  5.76
0.35 x 25 x 253 x8

0.7 x35 x353 x6

 2 x1.4 x0.73 x0.75  0.72
3
0.35 x 25 x50 x8
B, D
Utilizando las expresiones analíticas:
(k ) CD  0.7  0.05(5.76  0.72)  1.02
(k ) CD  0.85  0.05(0.72)  0.886  0.89
39
klu 0.89 x7.625

 65  36.66
r
0.3x0.35
Es esbelta, pero como no supera el valor de 100 es posible continuar con método
aproximado. Ahora se puede evaluar la carga crítica de pandeo de la columna.
PcrCD 
 2 763tm2
(0.89 x7.625 m) 2
 164 t
Los valores de los momentos en los extremos casi no han cambiado, por lo que:
0.512
0.512
 ns 

 0.76
40
0.675
1
0.75 x164
Fig. E1-4. Geometría en escala aumentando
notablemente la altura de la columna.
Se ve que aunque la columna es esbelta, el
factor de amplificación no es aplicable.
Sin embargo, si el pórtico no estuviera
arriostrado sería obviamente “desplazable”. En
ese caso, como m=(5.76+0.72)=3.24>2, el factor
de longitud es:
k  0.9 1  3.24  1.85
La esbeltez resulta:
klu 1.85x7.625

 135  100
r
0.3x0.35
Por lo que supera el límite y ya no puede ser analizada por un método aproximado.
Como se ve, la gran diferencia la hace el hecho de ser o no desplazable, que incide en
la longitud efectiva de pandeo.
Aunque no es correcto, se sigue con el método aproximado.
(k ) AB  0.7  0.05(0  0.72)  0.74
(k ) AB  0.85  0.05(0)  0.85
PcrAB 
 2 836 tm2
(0.74 x7.625 m) 2
s 
 262 t
1
1.0

 1.18
66
1  0.15
1
(262  164)
Se observa que por éste método (se reitera, no aplicable en este caso), el
incremento en los momentos extremos de las columnas sería del orden del 20%. Note
que el factor de estabilidad es aproximadamente Q0.15.
40
6. Provocamos mayor esbeltez en el ejemplo: inducimos curvatura
simple en col(CD), pero la suponemos arriostrada por otros
elementos.
Movemos en apoyo en C hacia el interior, como lo indica la Fig. E1-5, donde
además se muestra los esfuerzos resultantes.
Fig. E1-5.
Modificación de
apoyo de
columna en
estudio, CD.
Esfuerzos
internos.
Se supone
indesplazable
(arriostrada por
otros), es decir
k<1.0.
klu 0.89 x7.625
12.31

 65  34  12(
)  34  12(0.90)  34  11  23
r
0.3x0.35
13.63
Cm  0.6  0.4(0.90)  0.6  0.36  0.96
 ns 
0.96
0.96

 1.42
40
0
.
674
1
0.75 x164
Se aprecia la fuerte incidencia que tiene el hecho de tener columna con curvatura
simple, y para colmo, con momentos casi iguales en ambos extremos, es decir relación
(M1/M21.0), lo que aumenta Cm de 0.512 a 0.96 (1.875 veces).
El momento de diseño sería:
M uCD  1.42 x13.63tm  19.35tm
41
Fig. E1-6. Sección Transversal de Columna y Diagrama de interacción Resistencias Nominales.
42
5.12 EJEMPLO DE APLICACIÓN E2.
Pórtico de un vano y un piso similar a Ejemplo E1. Se aumenta la altura total.
Hormigón H27. Acero ADN-420.
Columnas 35x35cm. Viga Superior 25x50cm. Viga de Fundación 25x25cm.
H total de piso a ejes = 7.0 m.
Luz de viga a ejes L=6.0m
Se le agrega carga Horizontal de E=10 ton en Losa.
Requerido: Diseño de Columna CD.
Fig. E2-1. Pórtico Esbelto de Ejemplo E2.
1. Análisis de Primer Orden.
De la Fig. E2-1 se ve que el desplazamiento lateral debido a cargas E, que es el que
provoca Vu, es de 134 mm en la parte superior, es decir rotación de piso cercana a 2%.
2. Verificación si el Pórtico es o no desplazable.
Del análisis de primer orden a cargas mayoradas, o sea U=1.2D+1.6L, los esfuerzos
axiales máximos resultantes en el piso son:
PuAB  27t
PuCD  40t
Pu  67t
43
Q
67tx0.134m
 0.128  0.05
10tx7.0m
Por lo que si no es arriostrado por otros elementos, el pórtico es “desplazable”.
3. Verificación de la esbeltez.
C 
0.7 x35 x353 x6
 2 x1.4 x1.43 x0.857  6.60
3
0.35 x 25 x 25 x7
 B ,D 
0.7 x35 x353 x6
 2 x1.4 x0.73 x0.857  0.82
0.35 x 25 x50 3 x7
Utilizando las expresiones analíticas:
 m  (6.60  0.82) / 2  3.71  2
k  0.9 1  3.71  1.95
klu 1.95x(7.0  0.125  0.25) 12.93m


 123  100
r
0.3x0.35
0.105m
La longitud efectiva, al ser desplazable, se ha elevado a casi 13 metros. Es muy
esbelta pues supera por amplio margen el valor de 22, pero además supera el valor de
100, límite para poder aplicar el método aproximado.
4. Se rediseña la estructura para disminuir la esbeltez.
Es conveniente bajar la longitud efectiva de pandeo, o sea el factor (k/r).
Posibilidades:

en primer lugar generalmente aparece la tentación de aumentar la dimensión
de la columna, en particular hc, para aumentar el valor del radio de giro r, con
lo cual bajaría la esbeltez. Por ejemplo, si se lleva hc= 0.50 m, sin variar el
ancho de 35 cm, resulta:
(i)
r= 0.30 x 0.50 m = 0.15 m, es decir un aumento del 43 % con relación al
valor anterior de r= 0.105m
El problema está en que también se modifican los factores  que tienen en cuenta
la “relación de rigideces de vigas y columnas que llegan al nudo”.
(ii)
Los factores  son ahora:
0.7 x35 x50 3 x6
 
 2 x1.4 x 23 x0.857  19
3
0.35 x 25 x 25 x7
C
44
 B, D 
0.7 x35 x50 3 x6
 2 x1.4 x1.03 x0.857  2.40
3
0.35 x 25 x50 x7
 m  (19.40  2.40) / 2  10.70  2
k  0.9 1  10.70  3.07
klu 3.07 x6.625 20.33m


 136  123  100
r
0.3x0.50
0.15m
Por lo cual, si mantenemos las dimensiones de las vigas, en vez de mejorar hemos
empeorado el problema, pues la longitud efectiva creció a más de 20 metros, y pese a
que el radio de giro es mayor, el factor de esbeltez crece de 123 a 136.

La dependencia de k= f(), es muy fuerte, y la misma se puede apreciar en
los gráficos de Fig. 5.8. Es claro que lo que hay que hacer es hacer que los
valores de  sean pequeños. En el límite, si ambos son cero el factor k toma
su mínimo valor que para pórticos desplazables es k=1.0. Para ello, lo que se
debe hacer es aumentar la rigidez, a través de momento de inercia I, de las
vigas con relación a las columnas.
Por ejemplo, si dejamos las columnas de 35x35cm, pero aumentamos la
altura de la viga de fundación a 50 cm, igual a la de piso, tal que C= D
=0.82 (corresponde a columna de hc =35cm y viga de hv =50cm).
 m  0.82  2
k
20  0.82
1  0.82  1.29 , en vez de 3.07 !!!!!
20
klu 1.29 x6.625 8.55m


 81  100
r
0.3x0.35
0.105m
Ahora pese a que el radio de giro es menor, la longitud efectiva de pandeo se redujo
notablemente, de 20 a 8.55 metros.
Note además que el volumen de hormigón que se gastaría en aumentar la viga de
fundación es V(volumen)vigaF = 0.25x0.25x5.65m= 0.35m3, es bastante menor que el que
corresponde al aumento de las dimensiones de las columnas, que sería para este caso
V(volumen)Col = 0.15x0.35x6.5mx2= 0.70m3, es decir el doble.
Es mucho más efectivo aumentar la rigidez de las vigas, ya que el problema de
inestabilidad es un problema de rigidez, de desplazamientos, de configuración de
deformación lateral, y la rigidez de una columna está fuertemente controlada por la
rigidez de las vigas extremas.
45
5. Cálculo de los Momentos Amplificados.
El factor de amplificación de momentos se puede obtener como:
1
1
1
s 


 1.15
1  Q 1  0.128 0.87
6. Momentos de extremo de Columnas.
Con referencia a la Fig. E2-2:
M u1  2.93  1.15 x8.62  12.85tm
M u 2  10.77  1.15 x13.96  26.82tm
Como referencia, se comenta que del análisis de primer orden, el momento mayor
M2u= 13.96+10.77 = 24.73 tm. De un análisis con ETABS solicitando que se tenga en
cuenta efectos de segundo orden, el M2u-P= 25.67tm. El lector puede sacar sus propias
conclusiones.
Fig. E2-2. Pórtico Esbelto de Ejemplo E2. Esfuerzos internos
46
5.13 EJEMPLO DE APLICACIÓN No3:
DISEÑO DE COLUMNA DE PÓRTICO ARRIOSTRADO.
Se requiere el diseño de una columna esbelta de un pórtico arriostrado, según
muestra la Fig. E3-1, aplicando los lineamientos del Reglamento CIRSOC 201-2005,
basado en el ACI-318-2005, por el método de amplificación de momentos.
El pórtico es de varios pisos y formando parte de un edificio arriostrado, por
ejemplo por núcleo rígido de circulaciones verticales, posee vigas de 1.20 m de ancho
por 0.30 m de alto, con luz (a ejes de columnas) de 7.30m. La altura de los pisos del
pórtico es de 4.30 m, con luz libre entonces lu= 4.0m. Las columnas se han
prediseñado en 45cmx45cm. La estructura estará sometida a cargas permanentes, D, y
accidentales o de uso, L. Se ha llevado a cabo un análisis estructural de primer orden
y, para la distribución de cargas vivas L que se muestra en la figura, la columna C3,
Línea C, 3er. nivel, estaría sometida a los máximos momentos con curvatura simple y
carga axial, con los siguientes valores de solicitaciones a nivel de cargas de servicio:
Carga Permanente D
P= 115 t
P= 85 t
M2s = 0.35 tm
M2s = 17 tm
M1s = -0.35 tm (doble curvatura)
Carga Accidental L
M1s = 16 tm (curvatura simple)
Se ve entonces que la columna queda sometida a curvatura doble cuando actúa
sólo la carga muerta y a curvatura simple para carga viva o superposición de ambas.
Fig. E3-1. Pórtico de
hormigón armado que forma
parte de un edificio
arriostrado.
Características
materiales:
de
los
Hormigón H25,
Ec = 23500 MPa,
Acero ADN-420.
Solución:
En principio se diseña la columna como NO esbelta. Los valores de las cargas de
diseño mayoradas son:
Pu  1.2D  1.6L  1.2 x115  1.6x85  274t
M u  1.2 x0.35  1.6 x17  28tm
Se hace el prediseño de la columna a flexo-compresión, haciendo notar que es una
columna fuertemente comprimida ya que:
Pu
274

 0.54
´
f c Ag 0.25 x 452
47
Utilizando los diagramas de interacción de ayuda para diseño a flexo-compresión, ver
apunte de columnas Hormigón I, Fig. 4.36(a), para = 0.80, los coeficientes
adimensionales son:
P
274
n ´u 
 0.54
f c Ag 0.25 x 452
m
Pu e
2800

 0.122
´
f c Ag h 0.25 x 452 45
por lo que resultaría una cuantía del orden de 0.012. Sin embargo, del análisis de la
sección, como la columna está muy comprimida, el factor de reducción de resistencia
seguramente será = 0.65, por lo que se prediseña con una cuantía cercana a 1.8 %.
En definitiva se adoptan 4 barras de diámetro 25 mm en las esquinas y 2 barras
adicionales interiores en cada cara de diámetro 20 mm. El área total de acero es Ast =
4x4.91 + 8x3.14 = 45cm2, lo que da una cuantía de del 2.2%. Esta cuantía permitiría
incrementos de armadura en el caso que los efectos de esbeltez así lo soliciten, por lo
que se mantiene la sección de hormigón (a los efectos de que la esbeltez controle el
diseño).
El análisis de la sección a flexo-compresión arroja los siguientes resultados:
N= 0
N=274 t
Mn =35 tm
Mn =45 tm Md = 0.65 x 45 tm = 29 tm>28 tm
para una deformación de la última capa de acero s= 0.00126, es decir menor del 0.002
(0.2%), por lo que = 0.65, tal cual supuesto, y la columna tendría un tipo de rotura
frágil pues no llega a fluir antes de romper. Se aclara que este es un caso muy
particular, no muy usual en la práctica (ver altura de pisos, dimensiones de vigas, etc.)
pero ha sido elegido para poder incluir efectos de esbeltez. No es un buen diseño si el
pórtico es construido en zona sísmica.
Revisión inicial de la esbeltez: Reglamento CIRSOC 201-2005, sección 10.12.1
especifica que para elementos comprimidos en pórticos indesplazables el factor de
longitud efectiva k debe tomarse igual a 1.0, a menos que se justifique por medio de un
análisis la posibilidad de utilizar un valor menor. En ese caso se deben tener en cuanta
los valores de EI, rigidez a flexión, de la sección 10.11.1.
kl u 1.0 x 400

 30
r
0.3x 45
M1 = 1.2 (-0.35) + 1.6x 16 = 25.20 tm.
En este caso resulta:
 25.2 
34  12
  23
 28 
por lo que la esbeltez de 30 resulta mayor que este límite y no pueden ser ignorados
sus efectos en el diseño de la columna.
48
Re-evaluación de k. En la sección C-10.12.1 (comentarios), la norma dice que se
puede tomar, para sistemas o pórticos indesplazables, como factor de longitud efectiva
k el menor valor entre:
k= 0.7 + 0.05(A + B)  1.0
k= 0.85 + 0.05min  1.0
Para el caso que nos ocupa, para la columna:
Ic = 0.7 Ig = 0.7 x 454/12 cm4= 0.7 x 341719 cm4 = 239 x 103 cm4
y tomando a Lc = 4.30 m, resulta Ic/Lc = 556 cm3.
y para las vigas:
Iv = 0.35 Ig = 0.35 x 120 x 303/12 cm4 x 2 = 189 x 103 cm4
donde se ha aplicado un factor de 2.0 por ser la viga de sección T. Al respecto la norma
dice que se debería considerar el ancho efectivo definido en la sección 8.10, pero es
suficiente tomar para vigas T el valor de Ig como 2 veces el valor del Ig del alma. Como
Lv = 730 cm, resulta Iv/Lv = 259 cm3.
Con referencia a Fig. E3-1, como las vigas y columnas son de igual dimensión en
todos los niveles, los factores de restricción a rotaciones en los extremos A y B son
iguales y de valor:
 2 x556 
 A   B   min  
  2.15
 2 x 259 
Por aplicación de las expresiones anteriores, o gráficamente de las figuras
precedentes, el nuevo valor de k resulta:
k= 0.7 + 0.05 x 2 x 2.15 = 0.915
o
k= 0.85 + 0.05 x 2.15 = 0.81
por lo que se puede adoptar el valor de 0.81, con lo que el límite a considerar para
ignorar o no la esbeltez es ahora:
kl u 0.81x 400

 24
r
0.3x 45
y se ve que, aunque por poco, supera el valor de 23 antes calculado.
La norma a su vez exige en la sección 10.12.3.2 que el momento mayor M2
mayorado no debe ser menor de:
M2  M2,min = Pu (0.015 + 0.03h)
donde los valores de 0.015 y h se deben expresar en metros. En este caso:
M2,min = 274t (0.015m + 0.03 x 0.45) = 274 t x 0.0285 m = 7.81 tm
por lo que se continúa con el momento M2 obtenido del análisis estructural.
49
Coeficiente Cm.
En la sección 10.12.3 la norma dice que los elementos comprimidos se deben
diseñar para la carga Pu y un momento amplificado:
Mc = ns M2
Donde:
 ns 
Cm
 1.0
Pu
1
0.75Pc
es el factor de amplificación de momentos para pórticos indesplazables. En la
expresión se está tomando un factor de reducción de rigidez igual a k= 0.75 tanto para
columnas con estribos cerrados como zunchadas.
M
Cm  0.6  0.4 1  0.40
M2
En este caso la relación (M1/M2) vale 0.90, por lo que:
Cm = 0.60 + 0.4 x 0.90 = 0.96
Se observa que como la relación de momentos es casi 1.0, el factor Cm 1.0.
Coeficiente d.
La fluencia lenta debida a cargas de larga duración origina el incremento de la
deformación lateral de la columna, lo que se tiene en cuenta reduciendo la rigidez EI.
Para el caso en estudio:
1.2 D
1.2 x115t
d 

 0.50
1.2 D  1.6 L
274
Rigidez a flexión de la columna.
La norma permite utilizar cualquiera de las expresiones antes vistas
EI 
0.2 E c I g  E s I se
1  d
en este caso:
Ec = 235 t/cm2
Ig = 341719 cm4
Es = 2000 t/cm2
Ise = 13.92cm2x(18cm)2x2 + 6.28cm2x(6cm2)x2= 9472 cm4
para el primer diseño de armaduras, por lo que:
EI 
0.2 x 235 x 341719  2000 x 9472
 23.34 x10 6 tcm 2
1  0.50
y por la expresión simplificada:
EI 
0.4 Ec I g
1  d

0.4 x 235 x341719
 21.41x10 6 tcm 2
1.50
50
resultando una diferencia del 9 % mayor por aplicación de la más sofisticada, lo cual
indica que para cuantías reducidas la aproximación será mayor y el uso de la expresión
simplificada es justificada.
Carga crítica de pandeo.
Pc 
 2 EI
( klu ) 2

 2 23.34 x10 6 tcm 2
(0.81x 400 ) 2 cm
2
 2194 t
por lo que Pu= 274 t representa el 12 % de la carga crítica de pandeo.
Factor de amplificación de momentos.
Cm
0.96

 1.152
Pu
274
1
1
0.75 x 2194
0.75Pc
 ns 
por lo que la columna debe diseñarse para un incremento del 15.2 % del momento
obtenido del análisis de primer orden, es decir:
M2= Mu = 28 tm x 1.152 = 32.25 tm
Con el diseño anterior, cuantía de 2.2%, el momento de diseño era 29 tm, por lo que
hay que incrementar un poco las armaduras.
Rediseño de la sección.
Utilizando 12 barras de 25 mm distribuidas en todo el perímetro, es decir 4 por
cara, con Ast= 58.92 cm2 y = 2.9%, los resultados del análisis seccional son:
N= 0
N= 274 t
Mn= 44 tm
Mn= 51 tm Md = 0.65 x 51 tm = 33.15 tm > 32.25 tm
Note que si se recalcula la rigidez a flexión, con el nuevo momento de inercia por
incremento de armaduras, Ise= 13434 cm2,
EI 
0.2 x 235 x341719  2000 x13434
 28.62 x10 6 tcm 2
1  0.50
por lo que:
Pc 
 2 EI
( klu ) 2

 2 28.62 x10 6 tcm 2
(0.81x 400 ) 2 cm
2
 2690 t
y
 ns 
Cm
0.96

 1.11
Pu
274
1
1
0.75 x 2690
0.75Pc
finalmente:
M2= Mu = 28 tm x 1.11 = 31.10 tm
lo que implica un margen un poco mayor de resistencia a flexión.
51
5.14 EJEMPLO DE APLICACIÓN No 4:
DISEÑO DE COLUMNA DE PÓRTICO NO ARRIOSTRADO.
Se requiere el diseño de una columna, C3, esbelta de un pórtico NO arriostrado,
según muestra la Fig. E3-1, por el método de amplificación de momentos. Suponiendo
que el núcleo de circulaciones verticales del edificio del ejemplo anterior no posea
rigidez suficiente, la columna a diseñar puede considerarse de que forma parte de un
edificio que tiene desplazamientos horizontales importantes.
De una evaluación inicial se continúa con las dimensiones del ejemplo anterior,
disponiendo para las columnas interiores de 45x45cm de 12 barras de diámetro 25mm,
cuatro por cara, es decir Ast= 58.92 cm2 y = 2.9%. Para las exteriores de 40x40cm de
4 barras de 25mm en las esquinas y 2 barras más por cara de diámetro 20mm, es decir
un total de Ast= 4x4.91 + 8x3.14= 44.77 cm2 y = 2.8%.
El edificio está sometido a cargas permanentes D, accidentales L y Horizontales
debidas al viento, W. De un análisis elástico de primer orden para cargas de servicio en
D y L, y último para viento, y con valores de rigidez a flexión (EI) de la tabla de página 6
como exige la norma, resultan las siguientes solicitaciones, axiales, corte y momento,
para las columnas del 3er. Piso:
esfuerzo
ND
NL
NW
VW
M2D
M2L
M2W
M1D
M1L
M1W
A3 y F3
50 t
35 t
20 t
4t
B3 y E3
115 t
85 t
13 t
8t
C3 y D3
115 t
85 t
4 t
8t
0.35 tm
12 tm
18 tm
- 0.35
10 tm
20 tm
observaciones
servicio
“
último
“
servicio
“
último
servicio
“
último
El desplazamiento horizontal para el corte total de viento VW= (8+8+4)x2= 40 t
resultó ser de 3Vw= 2.50 cm.
Solución.
Se verifica si el pórtico puede considerarse arriostrado o no arriostrado.
La norma, en la sección 10.11.4.1 especifica que una columna de una estructura
se puede considerar como indesplazable si el incremento de los momentos en los
extremos de la columna luego de un análisis de segundo orden es menor o igual al 5 %
de los que se obtienen por un análisis de primer orden.
Alternativamente, para no hacer el análisis de segundo orden, la norma pide el
cálculo de un índice de estabilidad, Q, e impone esta condición para suponer nudos
indesplazables:
 Pu o
Q
 0.05
Vulc
siendo:
Pu = la carga vertical total del piso
52
Vu = esfuerzo de corte en el piso considerado.
o = desplazamiento relativo de primer orden entre parte superior e inferior debida a Vu
lc = longitud del elemento comprimido medida entre ejes de los nudos del pórtico.
Para la norma, la combinación (o una de ellas) para acción con viento es:
U= 1.2D + 1.6 L+ 1.0 W
De acuerdo a esto, entonces, las fuerzas axiales mayoradas para combinación
con viento pero para todo el piso son:
Columnas A3 y F3 Nu= 1.2 x 50 t + 1.6 x 35 t = 116 t
Columnas B3, C3, D3 y E3 Nu=1.2 x 115 t + 1.6 x 85 t = 274 t
valor este último que ya teníamos del ejercicio anterior.
Note que no se incluye las componentes del viento pues estas se cancelan al
considerar el piso en su totalidad. Sumatoria de cargas últimas para piso completo es:
Pu = 2 x 116 t + 4 x 274 t = 1328 t.
El índice de estabilidad es:
Q
 Pu o 1328 x 2.50 2900


 0.193  0.05
Vulc
40 x 430
17200
por lo que no puede considerarse arriostrado.
Verificación de factor k y esbeltez.
Se ha aclarado antes que es muy diferente el comportamiento de elementos
esbeltos comprimidos dependiendo de si forman parte de estructuras arriostradas
contra desplazamientos horizontales relativos de sus extremos. La carga crítica de
pandeo, Pc, depende de la longitud efectiva (klu), y mientras que en los pórticos
arriostrados el factor k varía entre 0.5k1.0, cuando hay desplazamientos entre
extremos es 1.0k. Por lo tanto, una columna no arriostrada presentará pandeo a
una carga mucho menor que otra idéntica de un pórtico arriostrado.
En la sección 10.13.1 dice que debe tomarse k>1.0, y en los comentarios,
sección 10.12.1establece que para pórticos desplazables:
Si m < 2.0
k
Si m  2.0
20   m
1  m
20
k  0.9 1   m
siendo m el promedio de los valores de , factores de restricción al giro en los nudos,
en los dos extremos del elemento.
53
En elementos desplazables y con un extremo articulado:
k  2  0.3
siendo  el valor en el extremo restringido.
Del ejemplo anterior:
 2 x556 
  2.15
 2 x 259 
 A   B   min  
por lo que:
k  0.9 1  2.15  1.60
y que se puede verificar en los nomogramas de Fig. C10.121.b antes presentada, e
implica para este caso un valor bastante mayor que 1.0.
La norma impone, en sección 10.13.2 que para ignorar los efectos de esbeltez
en columnas de pórticos desplazables se debe cumplir que:
kl u
 22
r
y en este caso el factor es:
kl u 1.60 x 400cm

 47.40
r
0.3x 45cm
por lo que la esbeltez no puede ser ignorada.
Note además que en la sección 10.11.15 se establece que si:
kl u
 100
r
sea desplazable o no la estructura, el diseño del elemento comprimido se debe hacer
en base a fuerzas y momentos mayorados obtenidos a partir de un análisis de segundo
orden, teniendo en cuenta además el comportamiento no lineal de los materiales, la
fisuración, la duración de las cargas, la contracción, la fluencia lenta y la interacción
suelo estructura. Esto y decir que no se use esa esbeltez es casi lo mismo.
Momentos amplificados.
Para el caso en estudio, con Q= 0.193, resulta:
s 
1
 1.24  1.50
1  0.193
con s siempre mayor que 1.0
En los comentarios se aclara que la expresión anterior para cuantificar el factor
s y los momentos amplificados resultantes, es sólo confiable para valores de s que se
mantengan por debajo de 1.5.
(iii) factor de amplificación s a partir de relación entre cargas últimas y cargas críticas.
En la sección 10.13.4.3 se especifica que:
54
s 
1
 1.0
 Pu
1
0.75  Pc
donde las sumatorias expresan que se deben involucrar a todas las columnas del piso
donde se encuentra la columna analizada.
En nuestro ejemplo:
Columnas A3 y F3:
I c  0.7 I g  0.7 x 404 / 12  0.7 x 213333cm 4  149333cm 4
por lo que la relación:
I c / lc  149333cm4 / 430cm  347cm3
Vigas:
I v  0.35I g  0.35 x 2 x120 x303 / 12  0.35 x 2 x270000 cm 4  189000 cm 4
por lo que la relación:
I v / l  189000 cm4 / 730cm  259cm3
Como son columnas externas, los factores de restricción rotacional  con dos
columnas y una viga para cada nudo son:
 2 x347 
 A   B   min  
  2.68
 259 
y para pórticos no arriostrados es:
k  0.9 1   m
y como m  2.0 en este caso:
k  0.9 1  2.68  1.73
Para calcular la rigidez a flexión, incorporando la armadura que ya se prediseñó:
EI 
0.2 E c I g  E s I se
1  d
Con:
I se  (2 x4.91  2 ) x16.502 x2  2 5.52 x2  9148cm4
para las armaduras, teniendo en cuenta una distancia de 4.5 cm de borde de hormigón
a eje de barra longitudinal.
EI 
0.2 x 235 x 213333  2000 x9148
 (10  18.3) x106 tcm 2  28.30 x106 tcm 2
1  d
donde el factor d para el caso se pórticos desplazables es la relación entre el máximo
corte mayorado que actúa en forma permanente (carga de larga duración) en un
entrepiso y el corte máximo mayorado en dicho entrepiso. Para el caso de cargas de
55
viento y sismo que no son de larga duración, el factor d= 0. El coeficiente no sería nulo
en pocos casos como el que se presentaría en un edificio ubicado en un lugar con
pendiente sometido a la presión del terreno de un solo lado.
La carga crítica para estas columnas es:
Pc 
 2 EI
( klu ) 2

 2 28.30 x106 tcm 2
(1.60 x 400 ) 2 cm
2
 682t
y se puede apreciar, con respecto a columnas en pórticos arriostrados, cómo la carga
crítica, para valores similares de (EI), se ha reducido drásticamente.
Columnas B3, C3, D3 y E3:
Con k= 1.60 y valores de (EI) anteriormente obtenidos:
Pc 
 2 EI
( klu ) 2

 2 28.62 x106 tcm 2
(1.60 x 400 ) 2 cm
2
 690t
y para todas las columnas del piso:
 Pc  2 x682t  4 x690t  4124t
y como Pu = 1328t, resulta:
s 
1
1

 1.75
 Pu
1328
1
1
0.75  Pc
0.75 x 4124
factor éste que resulta bastante mayor que el obtenido a partir del índice Q. Según los
autores, esto es normal cuando se comparan ambos métodos. De todas maneras, para
el ejemplo que se desarrolla se adoptará el menor valor, utilizando la alternativa (ii) de
la norma, es decir s= 1.24.
Momentos totales de diseño.
Recordando que:
y
M1 = M1ns + s . M1s
M2 = M2ns + s . M2s
En este caso:
donde Mns = 1.2 MD + 1.6 ML, es decir:
M1ns =1.2 x (-0.35) tm + 1.6 x 10 tm = 15.60 tm
M2ns =1.2 x 0.35 tm + 1.6 x 12 tm = 19.60 tm
Son los mayorados sin amplificar, y los amplificados son:
s . M1s = 1.24 x –14 tm = -17.40 tm
s . M2s = 1.24 x 18 tm = 22.30 tm
56
por lo que finalmente, los momentos de diseño para resistencia de la columna C3 son:
M1 = 15.60 – 17.40 = -3.40
M2 = 19.60 – 22.30 = 41.90
que se deben combinar con axiales de 274t  4 t.
Diseño de la sección de la columna.
Para el ejemplo No 3 se vio que para columna de 45x45cm y 12 barras diámetro
25 mm distribuidas el Md = 33 tm, lo cual no es suficiente en este caso. Se aumenta la
sección de armaduras reemplazando en las esquinas por barras de 32mm. La
armadura total es Ast = 4x8.04 + 8x4.91 = 71.45 cm2, que implica t = 3.53%, bastante
elevada. Los resultados del análisis seccional dan:
N= 0 Mn = 53 tm
N= 270 t Mn = 63 tm
Md = 63 tm x 0.65 = 41 tm
Es decir cubre el 98 % del Mu. Sin embargo, si se evalúa ahora nuevamente la
rigidez a flexión (EI) con la nueva armadura para la columna central:
I se  (2 x4.91  2 x8.04) x182 x2  2 x4.91x62 x2  17490 cm4
0.2 x 235 x341719  2000 x17490
 51x106 tcm 2
1  d
por lo que:
EI 
Pc 
 2 EI
( klu ) 2

 2 51x106 tcm 2
(1.60 x 400) 2 cm
2
 1227 t
 Pc  2 x682t  4 x1227t  6270t
y como Pu = 1328t, resulta:
s 
1
1

 1.40
 Pu
1328
1
1
0.75  Pc
0.75 x6270
que de todas maneras es mayor que el valor de 1.24 obtenido por la alternativa (ii). El
diseño, por lo ajustado que está, puede considerarse satisfactorio.
Requerimientos adicionales.
En la sección 10.13.5 la norma especifica condiciones adicionales a satisfacer
que no se tratan en este trabajo, y se remite al lector a la norma y al ejemplo para
completar las condiciones de diseño.
57
5.15 ANÁLISIS DE SEGUNDO ORDEN PARA EFECTOS DE ESBELTEZ.
En general se está de acuerdo que el método de amplificación de los momentos
propuesto por el ACI-318 funciona bastante bien cuando es aplicado a pórticos
arriostrados. Su extensión a pórticos con desplazamiento lateral aparece como más
delicado por las posibilidades de error en la evaluación del factor de amplificación.
Con la disponibilidad de computadoras y programas sofisticados de análisis
estructural, el ACI-318 estimula obtener directamente los efectos de esbeltez a partir de
análisis no lineales que tengan en cuenta el efecto P-, en particular para pórticos no
arriostrados. De todas maneras, la norma impone dos limitaciones adicionales que
aparecen en la sección 10.01.1 y se remite al lector a su lectura. Existen varios
programas disponibles que llevan a cabo análisis completos no lineales, incluyendo los
efectos de las deformaciones. Sin embargo, programas más simples se pueden utilizar
para llevar a cabo análisis no lineales mediante pasos iterativos de sucesivos análisis
lineales.
Fig 5.24. Pórtico sometido a cargas
horizontales y verticales.
La Fig. 5.24 muestra un pórtico simple sometido a
cargas horizontales H y cargas verticales P. El
desplazamiento horizontal  inducido por las cargas (sea
por H y/o por la no simetría de cargas verticales) se
puede obtener mediante un análisis de primer orden, con
las rigideces de los elementos según especifica la
norma. A medida que el pórtico se desplaza
lateralmente, los momentos en los extremos de las
columnas deben equilibrar los inducidos por las cargas
horizontales y además un momento de “piso” igual a
(P): es decir:
(Msup+Minf) = Hlc + P
donde  es el desplazamiento relativo entre la
parte superior e inferior del piso.
El momento P puede representarse por fuerzas cortantes horizontales
equivalentes (P)/lc, donde lc es la altura del piso. Las fuerzas asociadas a este
desplazamiento deben sumarse a las acciones horizontales H y la estructura debe
entonces analizarse de nuevo, obteniendo nuevos valores de desplazamiento y
momentos incrementados. Se pueden llevar a cabo varios pasos iterativos. Si con
respecto al análisis previo los desplazamientos de piso con las nuevas cargas
aumentan significativamente, por ejemplo en más del 5 por ciento, deben nuevamente
repetirse uno o más iteraciones hasta que los cambios sean insignificantes. En general,
con pocas iteraciones basta. La ref.[2] aclara que algunos autores sugieren una
corrección en el análisis debido a que el diagrama de momentos P real debería tener
la misma forma que la columna deflectada, pero en el análisis con fuerzas horizontales
equivalentes el diagrama es lineal. Por ello, como el real diagrama de momentos es
mayor, las deformaciones deberían ser mayores. Se sugiere entonces que las fuerzas
horizontales equivalentes sean incrementadas en un 15 % con respecto a los valores
que se obtienen después de cada iteración.
58
5.16 BREVE COMENTARIO SOBRE LAS CONSIDERACIONES SOBRE COLUMNAS
ESBELTAS SEGÚN LAS NORMAS DIN.
5.16.1 INTRODUCCIÓN.
Las normas DIN aceptan la aplicación del cálculo simplificado para el caso de
columnas esbeltas en reemplazo de la teoría de segundo orden dado la complejidad de
esta para su aplicación. Para tener en cuenta los efectos de segundo orden se adiciona
a la excentricidad inicial e un valor de excentricidad f, el cual nos dará un momento de
diseño mayorado con respecto al que se obtuvo del análisis estructural de primer
orden, con lo cual en suma la filosofía para resolver el problema del pandeo en
columnas de hormigón armado es similar a la utilizada por el código ACI-318. Sin
embargo las consideraciones en detalle y la definición de esbeltez límite para cada
caso como así también el criterio para discernir cuando una columna pertenece a
estructura con o sin nudos desplazables es diferente de lo estipulado en el ACI.
5.16.2 CRITERIO DE RIGIDEZ LATERAL.
Las normas DIN establecen que una estructura porticada de hormigón armado
puede considerarse como indesplazable cuando la restricción lateral esta impuesta por
tabiques de arriostramiento tal que se cumple la siguiente condición:
h.
h.
N
 0.6
Et .I
para n > 4.0
N
 0.2  0.1n
Et .I
para 1.0 < n < 4.0
h: altura del edificio desde nivel de fundación de los tabiques de arriostramiento hasta
la parte superior de la estructura.
N: suma de cargas verticales actuando sobre el edificio.
Et.I: suma de rigideces de flexión de todos los tabiques de arriostramiento, calculando
los momentos de inercia con la sección bruta de hormigón de cada tabique (estado I).
n: número de pisos.
5.16.3 OBTENCIÓN DEL FACTOR DE ESBELTEZ.
La esbeltez queda definida, al igual que lo hace el código ACI, de esta manera:
k.Lu
r
donde r= 0.289b y r= 0.25D para secciones rectangulares y circulares
respectivamente.

5.16.4 EXCENTRICIDAD DE LAS CARGAS.
La excentricidad de las cargas que actúan sobre las barras queda definida como
se ilustra en Fig. 5.16 como la mayor excentricidad que resulte de considerar el tercio
medio central del pilar. Las expresiones a usar son:
es 
M o  2M s
3P
59
ei 
2M o  M s
3P
Mo y Ms se deben utilizar con sus signos para obtener las excentricidades es y ei, las
cuales luego son comparadas en sus valores absolutos y de ellas se adopta la mayor
como excentricidad de las cargas de la barra.
5.16.5 DEFINICIÓN DE COLUMNA ESBELTA DE ACUERDO A NORMAS DIN.
En estas normas se estipula que se puede obviar la consideración del efecto de
segundo orden si se cumple al menos una de estás condiciones:
a. para pórticos de nudos desplazables: si   20
b. o siendo   20 si
1 e/d > 3.5 para 20 <   70 o bien si
2 e/d > 3.5 /70 para  > 70
lo cual implícitamente supone la disminución de los efectos de segundo orden en
barras a flexo-compresión con flexión importante.
c. para columnas de nudos indesplazables el pandeo no se considera si:
  45  25
M1
M2
Fig. 5.25.
Criterio para definir excentricidad de cargas según DIN 1045.
sk/3
(Mo+2Ms)/3p
sk/3
Ms/p
5.16.6 OTRAS CONSIDERACIONES.
sk/3
(2Mo+Ms)/3p
Cuando  > 45 la columna debe dimensionarse con
M 2  M 1  0, 2.P.d
para  > 100 debe hacerse análisis especial.
la deformación diferida del hormigón puede
considerarse si se cumple al menos una de las siguientes condiciones:
Mo/p
no
e/d > 2.0
 < 45 para caso de nudos desplazables.
 < 70 para caso de nudos indesplazables.
establecen las normas DIN que una columna debe considerarse con una excentricidad
no prevista de:
eu = sk / 300
donde sk es la longitud efectiva de pandeo.
60
5.17 BIBLIOGRAFÍA
[1] “Mechanics of Materials”. E. P. Popov. Prentice Hall, Inc. 1957.
[2] “Seismic Design of Reinforced Concrete and Masonry Structures”. T. Paulay and
M.N.J. Priestley. John Wiley & Sons. 1992.
[3] INPRES CIRSOC-103-II-2005. Reglamento Argentino para Construcciones Sismo
Resistentes. Julio 2005. Código y Comentarios.
[4] CIRSOC 201 y sus comentarios. Reglamento Argentino de Estructuras de
Hormigón. Noviembre 2005. (Basado en ACI-318-2005).
[5] “Analysis and Design of reinforced concrete columns”. W.B. Cranston. Research
report 20. Paper 41020 CCA. London 1972.
[6] “Diseño de Estructuras de Concreto”. Arthur H. Nilson. Mc Graw Hill – 12th.
Edición. 1999.
[7] “Estructuras de Hormigón Armado”. Tomo I. Fritz Leonhardt. El Ateneo. 1988.
[8] “Reinforced Concrete Structures”. R. Park and T. Paulay. John Wiley and Sons.
1975.
[9] “Cálculo límite de vigas y estructuras porticadas”. Ing. Alberto Hugo Puppo.
[10] “ Design of slender columns”. J. G. Mac Gregor, J. Breen and E. O. Pfrang. Journal
ACI Vol. 67. Nº1. Enero 1970.
[11] “Columns slenderness and charts for design”. R. W. Furlong. Journal del ACI Vol.
68. Nº 1. Enero 1971.
[12] “ Determination of effective length factors for slender concrete columns”. Breen,
Mac Gregor and Pfrang. Journal ACI Vol. 69. Nº 11. Noviembre 1972.