Apuntes mecanica de solidos I - Cap01

UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA
Mecánica de Sólidos I
Apuntes del curso
Original:
Sergio Lavanchy Merino
Contenido
CAPÍTULO 1 ESTADO DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES EN UN PUNTO ............................. 4
1.1
Introducción ............................................................................................................. 4
1.2
Definición de esfuerzos en un punto ....................................................................... 4
1.3
Estado de esfuerzos plano ....................................................................................... 8
1.4
Esfuerzos principales y esfuerzo de Corte máximo. .............................................. 11
1.5
Representación gráfica por medio del círculo de Mohr ........................................ 15
1.6
Casos especiales de estados de esfuerzos ............................................................. 18
1.7
Concepto de deformación en un punto................................................................. 23
1.8
Deformaciones producidas por estados de esfuerzos planos ............................... 25
1.9
Medición de deformaciones .................................................................................. 28
CAPÍTULO 2 RELACIONES ESFUERZO-DEFORMACIÓN PARA MATERIALES DE
COMPORTAMIENTO ELÁSTICO LINEAL ................................................................................. 34
2.1
Introducción ........................................................................................................... 34
2.2
Curvas Esfuerzo-Deformación................................................................................ 34
2.3
Constantes elásticas , G, E. Ley de Hooke ........................................................... 37
2.4
Ley generalizada de Hooke .................................................................................... 40
2.5
Energía de Deformación Elástica. .......................................................................... 42
CAPÍTULO 3 ESFUERZOS UNIFORMES................................................................................... 49
3.1
Introducción ........................................................................................................... 49
3.2
Esfuerzos axiales uniformes ................................................................................... 49
3.3
Efecto de la temperatura sobre las deformaciones. Dilatación térmica. .............. 55
3.4
Problemas hiperestáticos o estáticamente indeterminados................................. 57
3.5
Esfuerzos de corte uniforme .................................................................................. 62
3.6
Estanques de pared delgada con simetría axial..................................................... 64
CAPÍTULO 4 TORSIÓN ........................................................................................................... 78
4.1
Introducción ........................................................................................................... 78
4.2
Torsión de barras de sección circular .................................................................... 78
4.3
Torsión de barras de sección no circular ............................................................... 91
4.4
Torsión de secciones compuestas por rectángulos delgados................................ 94
4.5
Torsión de secciones tubulares de pared delgada. ............................................... 98
CAPÍTULO 5 FLEXIÓN .......................................................................................................... 104
5.1
Introducción ......................................................................................................... 104
Apuntes Mecánica de Sólidos
1
5.2
Flexión pura de barra recta.................................................................................. 104
5.3
Condición de ejes principales de inercia.............................................................. 112
5.4
Flexión Compuesta............................................................................................... 113
5.5
Fuerza de corte y momento de flexión en vigas .................................................. 119
5.6
Relaciones entre carga, fuerza de corte y momento de flexión. ......................... 122
CAPÍTULO 6 ESFUERZO DE CORTE TRANSVERSAL .............................................................. 135
6.1
Teoría de Jourawsky............................................................................................. 135
6.2
Interpretación de la Integral Q ............................................................................ 136
6.3
Esfuerzo de Corte en Sección de Perfiles Estructurales ...................................... 137
6.4
Centro de Corte.................................................................................................... 139
CAPÍTULO 7 BARRA CURVA SOMETIDA A FLEXIÓN ............................................................ 145
7.1
Flexión en viga curva ............................................................................................ 145
CAPÍTULO 8 TEORÍAS DE FALLA .......................................................................................... 150
8.1
Falla ...................................................................................................................... 150
8.2
Teoría de fallas ..................................................................................................... 150
8.2.1
Teoría del esfuerzo normal máximo ............................................................. 150
8.2.2
Teoría del esfuerzo de corte máximo ........................................................... 151
8.2.3
Teoría de la deformación normal máxima ................................................... 152
8.2.4
Teoría de la energía de distorsión máxima .................................................. 153
8.2.5
Comparación de las Teorías.......................................................................... 157
CAPÍTULO 9 ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA CURVA ELÁSTICA .......................................... 165
9.1
ECUACIÓN DIFERENCIAL ...................................................................................... 165
CAPÍTULO 10 MÉTODOS DE ENERGÍA ................................................................................ 170
10.1
Energía de deformación ...................................................................................... 170
10.1.1
En barra en carga axial.................................................................................. 170
10.1.2
En barra de sección circular sometida a torsión .......................................... 171
10.1.3
Corte directo en flexión ................................................................................ 172
10.1.4
Viga sometida a flexión................................................................................. 173
10.2 Teoremas de energía ........................................................................................... 174
10.2.1
Trabajo mutuo o indirecto ............................................................................ 174
10.2.2
Teorema de reciprocidad de Maxwell .......................................................... 175
10.2.3
Teorema de Clapeyron ................................................................................. 176
Apuntes Mecánica de Sólidos
2
10.2.4
10.3
Teorema de Castigliano ................................................................................ 176
Aplicación Teorema de Castigliano a deflexión en Vigas ................................. 178
Apuntes Mecánica de Sólidos
3
CAPÍTULO 1
ESTADO DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES EN UN PUNTO
1.1 Introducción
Las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo, o más específicamente sobre un
elemento mecánico o estructural, producen una distribución de fuerzas internas cuya
intensidad en un punto recibe el nombre de tensión o esfuerzo.
Bajo la acción de estas fuerzas, el cuerpo experimenta una deformación que se
manifiesta como un cambio de forma y/o volumen.
El objetivo de este capítulo es estudiar las magnitudes esfuerzo y deformación,
comenzando con la definición general en un sistema tridimensional, para enseguida
derivar a los casos particulares de esfuerzo plano y deformación plana, ya que la mayoría
de los problemas elementales de la Resistencia de Materiales se reducen en estas
situaciones.
1.2 Definición de esfuerzos en un punto
La Fig. 1- 1 Cuerpo con cargas externas muestra un cuerpo en equilibrio, bajo la acción
de las cargas externas
.
Fig. 1- 1 Cuerpo con cargas externas
Apuntes Mecánica de Sólidos
4
Consideremos un punto P en el interior del cuerpo y un plano que contenga a P y
divida el cuerpo en dos partes. Debido a la acción de las cargas externas, y teniendo
presente el hecho de que cada parte del cuerpo debe permanecer en equilibrio, se
produce en la superficie de separación una fuerza distribuida que corresponde a la
interacción de una parte del cuerpo sobre la otra.
Si se considera un pequeño elemento de área
del plano, que contenga a P,
actuará sobre él una fuerza elemental
. En el punto P se define el esfuerzo ( ), para el
elemento de área considerando a:
(1. 1)
El valor del esfuerzo S definido de esta manera en el punto P, dependerá de la
orientación del elemento de área utilizado, es decir, dependerá de la dirección de n. Por
esto, se hace necesario utilizar en la notación del esfuerzo dos subíndices, el primero
indicará la dirección normal al elemento de área donde actúa el esfuerzo, y el segundo su
dirección.
Es útil descomponer el vector esfuerzo
en dos componentes, una en la
dirección normal al área (
y otra tangencial (
, tal como se muestra en la Fig. 1- 2
(a). En ingeniería se acostumbra a denotar las componentes normal y tangencial con las
letras griegas y , respectivamente. En el caso de la componente normal bastará utilizar
un solo subíndice.
En la Fig. 1- 2 (b), se ha hecho coincidir la dirección n con la dirección z de un
sistema cartesiano de coordenadas x, y, z. Las direcciones x e y, se han tomado
arbitrariamente en el plano que contiene el elemento de área. De esta forma, el esfuerzo
resultante en un punto da origen a tres componentes cartesianas del esfuerzo; que para el
caso de la Fig. 1- 2 (b) son
.
Para definir el estado de esfuerzos en un punto respecto a un sistema cartesiano x,
y, z, se consideran en él tres elementos de áreas planos, infinitesimales, perpendiculares
entre sí, y cuyas normales coinciden con el sistema de referencia, Fig. 1- 3(a). Para cada
uno de los planos existe un valor de S de acuerdo a la definición de la expresión. Así con la
notación ya establecida, actuarán en los planos cuyas normales son las direcciones x, y, z
los esfuerzos
cuyas direcciones son
, respectivamente.
Apuntes Mecánica de Sólidos
5
Fig. 1- 2 Componentes del esfuerzo
Para una mejor representación gráfica, las caras positivas y negativas de los tres
planos de referencia se separan a una cierta distancia dando origen al elemento de la Fig.
1- 3(b). Para simplificar la representación, los valores de
y
se dibujan
solamente en las caras positivas, entendiéndose que en las caras negativas estas
componentes actúan en la misma dirección pero en sentido contrario.
y
, dan origen a las siguientes componentes cartesianas del esfuerzo.
De acuerdo a esto, el estado de esfuerzos en un punto queda definido respecto a
un sistema cartesiano de referencia por nueve componentes. Estas nueve componentes
quedan representadas por un tensor de segundo orden (matriz) y se escriben:
[
]
[
]
[
]
Con
En la Fig. 1- 3 (c) se muestran las componentes del esfuerzo, en las direcciones
positivas convencionales.
Consideremos un elemento rectangular infinitesimal, de manera que contenga al
punto P en su centro, Fig. 1- 4.
Apuntes Mecánica de Sólidos
6
Fig. 1- 3 Estado de esfuerzos en un punto.
Apuntes Mecánica de Sólidos
7
Fig. 1- 4 Equilibrio de momentos.
La condición de equilibrio de momentos alrededor de la dirección m-m que pasa
por P y es paralela al eje x, queda expresada por:
(
)
(
)
De donde se obtiene:
(1. 2)
Para claridad de la Fig. 1- 4, no se han dibujado las componentes tangenciales del
esfuerzo paralelas a la dirección m-m, y que por lo tanto, no originan momentos respecto
a ella.
En forma análoga se determina que
,
y
, con lo que
se concluye que el esfuerzo en un punto queda definido por seis componentes
independientes.
1.3 Estado de esfuerzos plano
El estado de esfuerzos plano se caracteriza porque todas las componentes del
esfuerzo en una dirección determinada son nulas, por ejemplo en la dirección z.
En este caso, la matriz que representa el estado de esfuerzos queda como:
Apuntes Mecánica de Sólidos
8
[
]
[
]
El estado de esfuerzos en un punto queda definido entonces por sólo tres
componentes que son
y
La representación gráfica es la que se muestra en la
Fig. 1- 5.
Las componentes
y
son esfuerzos normales y de corte en un punto, que
actúan en elementos de área cuyas normales son las direcciones x e y, sin embargo, la
elección del sistema de referencia para, definir el estado de esfuerzos es arbitraria.
Fig. 1- 5 Estado de esfuerzos plano
En la Fig. 1- 6 se muestra el estado de esfuerzos referido a un sistema n,t que está
rotando respecto al sistema original x, y en un ángulo , de manera que las componentes
y
corresponden ahora a los esfuerzos normales y de corte en los planos cuyas
normales son las direcciones n y t, respectivamente.
Apuntes Mecánica de Sólidos
9
Fig. 1- 6 Componentes del esfuerzo en el sistema n,t.
Las expresiones que relacionan las componentes
y
en el elemento
rotado, con las componentes
y
del elemento orientado según las direcciones x,
y, se obtiene estableciendo la condición de equilibrio de fuerzas en las direcciones n y t
para el elemento que se muestra en la Fig. 1- 7.
Fig. 1- 7 Equilibrio de fuerzas.
De la condición de equilibrio de fuerzas en la dirección n, se tiene:
(
(
(
(
Apuntes Mecánica de Sólidos
10
Pasando el ángulo doble se llega a la expresión:
(1. 3)
La expresión para
tiene la misma forma que la expresión (1. 3), hay que
considerar que en el lugar del ángulo , habría que utilizar el ángulo (
).
De la condición de equilibrio de fuerzas en la dirección t, se tiene:
(
(
(
(
(
)
(
Pasando el ángulo doble se llega a la expresión:
(1. 4)
Las expresiones (1. 3) y (1. 4) permiten conocer las componentes normal y
tangencial del esfuerzo en un punto, para un plano con cualquier orientación definida por
el ángulo .
1.4 Esfuerzos principales y esfuerzo de Corte máximo.
La expresión (1. 3) muestra la variación del esfuerzo normal
con el ángulo . Los
esfuerzos normales máximo y mínimo, reciben el nombre de esfuerzos principales, los
planos donde ellos actúan se llaman planos principales y las direcciones normales a estos
planos son las direcciones principales.
Las direcciones principales se denotarán con los número 1 y 2 y los esfuerzos
principales serán y .
Si llamamos al ángulo que forma la dirección principal 1 con la dirección x, se
deberá cumplir para valores máximos o mínimos de que:
(
)
(
Apuntes Mecánica de Sólidos
11
De donde:
(1. 5)
Como:
(
Se tiene los ángulos que definen las direcciones principales 1 y 2 como:
(
)
Si suponemos que
y se reemplazan los valores de
y
derivada del esfuerzo normal respecto del ángulo , se comprobará que:
(
)
(
)
en la segunda
Valor máximo para
Valor mínimo para
Para obtener los valores de los esfuerzos principales
los valores de los ángulos
y
en la expresión(1. 3).
y
bastará con reemplazar
Así se obtienen los esfuerzos principales como:
√(
)
(1. 6)
√(
)
De las expresiones (1. 3) y (1. 4) se obtiene la relación:
Apuntes Mecánica de Sólidos
12
Y como en los planos principales se cumple que:
Se deduce entonces que el esfuerzo de corte en los planos principales es nulo.
El estado de esfuerzo en un punto para un elemento orientado, según las
direcciones principales, se puede ver en la Fig. 1- 8.
Fig. 1- 8 Direcciones y esfuerzos principales.
Al sumar las expresiones (1. 6), se obtiene:
En forma más general se demuestra que al sumar las expresiones de
obtiene:
y
se
(1. 7)
Esto significa que la suma de los esfuerzos normales es independiente de la
orientación del elemento (cantidad invariante).
La expresión (1. 4) muestra la variación del esfuerzo de corte
con el ángulo .
Con un razonamiento similar al que se hizo para el esfuerzo normal , se puede
obtener el valor y la ubicación de los planos donde actúa el esfuerzo de corte máximo.
En los planos donde el esfuerzo de corte es máximo se debe cumplir entonces que:
Apuntes Mecánica de Sólidos
13
Donde ahora
se obtiene así:
es el ángulo que define la posición de los planos con corte máximo,
(1. 8)
Como se cumple que:
Se deduce que los ángulos (
y(
difieren en 90º y, por lo tanto, los ángulos
y en 45º, esto significa que las direcciones y los planos de esfuerzo de corte máximo
son perpendiculares con los que se tienen para las direcciones principales.
Si se reemplaza ahora el valor del ángulo
obtiene para estos planos
, donde:
en la expresión para
y
, se
La Fig. 1- 9 Direcciones principales y direcciones de esfuerzo de corte máximo.
muestra los planos de esfuerzo de corte máximo.
Apuntes Mecánica de Sólidos
14
Fig. 1- 9 Direcciones principales y direcciones de esfuerzo de corte máximo.
Reemplazando el valor de este ángulo en la expresión
corte máximo como:
√(
se obtiene el esfuerzo de
)
(1. 9)
1.5 Representación gráfica por medio del círculo de Mohr
El ingeniero alemán Otto Mohr (1835-1918), ideó un sistema gráfico para representar
el estado de esfuerzos en un punto.
Para efectos de graficar el círculo de Mohr, se adopta la siguiente convención de
signos para el esfuerzo de corte . Positivo si la tendencia de giro del elemento es en el
sentido horario y negativo si la tendencia es en el sentido antihorario, como se ilustra en
la Fig. 1- 10.
Fig. 1- 10 Convención de signos para el esfuerzo de corte.
Apuntes Mecánica de Sólidos
15
El procedimiento para la representación gráfica es el siguiente. Supongamos en
primer lugar, que
y dibujemos un sistema de ejes cartesiano de
como se
muestra en la Fig. 1- 11 Círculo de Mohr.
Fig. 1- 11 Círculo de Mohr.
Cada punto en este sistema
, representa un posible plano con sus respectivas
componentes de esfuerzo normal y esfuerzo de corte. Así por ejemplo, el pu nto A, sobre
el círculo, Fig. 1- 11, tiene coordenadas (
) y, por lo tanto, representa el plano
cuya normal es la dirección x. El punto B de coordenadas (
)representa el plano que
tiene como normal la dirección y.
Los puntos A y B se unen por medio de una línea que corta al eje horizontal en el
punto C. El punto C es el centro del círculo de Mohr, se procede a dibujarlo.
Los infinitos puntos que componen el círculo de Mohr, corresponderán a los
infinitos planos que pueden pasar por el punto en cuestión.
Demostraremos, que el punto N sobre el círculo, representa el plano cuya normal
es n y que está rotado un ángulo respecto a la dirección x, que es la normal al plano que
en el círculo de Mohr está representado por el punto A.
Apuntes Mecánica de Sólidos
16
De la Fig. 1- 11 se tiene:
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
(
̅̅̅̅
̅̅̅̅
Como:
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
Luego:
̅̅̅̅
Que corresponde a la expresión para el esfuerzo normal
normal estaba en un ángulo respecto de la dirección x.
en un plano cuya
Análogamente se muestra que:
̅̅̅̅̅
Que corresponde a la expresión del esfuerzo de corte
para este plano.
Dos puntos del círculo de Mohr desfasados en un ángulo
planos físicos desfasados en un ángulo .
,representan dos
Los puntos donde el círculo de Mohr corta el eje horizontal representan los planos
principales (planos con esfuerzo de corte nulos), y los puntos P y Q representan a los
planos de esfuerzo de corte máximo.
El radio del círculo de Mohr está dado por:
̅̅̅̅
√(
)
Y que corresponde al esfuerzo de corte máximo en el punto.
También del círculo de Mohr se obtiene:
Apuntes Mecánica de Sólidos
17
1.6 Casos especiales de estados de esfuerzos
Estado de esfuerzo uniaxial:
Se caracteriza porque existe sólo una de las componentes normales, puede ser de
tracción
, ó de compresión
.
Así:
La Fig. 1- 12 muestra la representación gráfica y el círculo de Mohr
correspondiente para el caso en que:
En este caso, las direcciones principales de esfuerzo corresponden a las direcciones
x e y.
Fig. 1- 12 Estado uniaxial de esfuerzos.
Estado de corte puro:
Se caracteriza porque existe sólo la componente de corte en el plano donde
máximo. Así
es
En la Fig. 1- 13 se puede ver la representación gráfica correspondiente, que
muestra los planos de esfuerzo de corte y esfuerzos normales máximos.
Apuntes Mecánica de Sólidos
18
Fig. 1- 13 Estado de corte puro.
El elemento orientado, según las direcciones xe y, tiene actuando en los planos
correspondientes sólo la componente de corte , de aquí que reciba el nombre de estado
de corte puro. Sin embargo, para cualquier otra orientación del elemento existen
componentes normales del esfuerzo. Así, por ejemplo, el elemento orientado según las
direcciones principales, Fig. 1- 13, tiene, de acuerdo al círculo de Mohr, una tracción y una
compresión con valor , es decir:
De acuerdo a esto, se podría formular una definición más general del estado de
esfuerzo de corte puro, diciendo que es aquel en que la suma de los esfuerzos normales es
nula, vale decir, para una orientación (n,t) cualquiera se debe cumplir que:
Como esta es una cantidad invariante, resulta entonces que para cualquier otra
orientación del elemento se cumplirá que la suma de los esfuerzos normales es nula. El
círculo de Mohr en este caso particular resulta centrado respecto del origen.
Apuntes Mecánica de Sólidos
19
Ejemplo:
El estado de esfuerzo en un punto de la
superficie de un elemento mecánico se muestra
en la figura.
Determine:
- Los esfuerzos principales y el esfuerzo de
corte máximo en el punto, indicando la
correcta orientación de los planos donde
ellos actúan.
- El esfuerzo normal y el esfuerzo de corte
en el plano A-A.
Solución:
Para el estado de esfuerzo dado, el círculo de Mohr se muestra en la figura
siguiente, donde:
⁄
⁄
⁄
Los puntos Ay B representan, respectivamente los planos cuyas normales son las
direcciones x e y:
Los esfuerzos principales corresponden a los puntos donde el círculo de Mohr
corta el eje horizontal. Los valores pueden obtenerse directamente del círculo, o bien con
las expresiones:
√(
(
)
(
√(
)
De donde:
⁄
⁄
Apuntes Mecánica de Sólidos
20
El esfuerzo de corte máximo está dado por la expresión:
√(
)
Y corresponde al radio del círculo de Mohr.
De acuerdo a los valores se obtiene:
⁄
El ángulo que define la posición del plano principal 1, está dado por:
(
De donde:
La correcta orientación del elemento, según las direcciones principales, y las
direcciones del máximo esfuerzo de corte, se muestra a continuación.
Apuntes Mecánica de Sólidos
21
de
El plano A-A, está representado en el círculo de Mohr por el punto D. Los valores
y
se pueden obtener a partir del círculo de Mohr o bien con las expresiones:
(
(
De donde:
⁄
Y
(
De donde:
⁄
Es interesante hacer notar que el signo negativo de
indica que su dirección está
en sentido contrario a la dirección del eje t, esto no se contrapone con la convención de
signos para efectos de la representación gráfica en el círculo de Mohr, donde a
le
correspondería signo positivo para el plano considerado.
Apuntes Mecánica de Sólidos
22
1.7 Concepto de deformación en un punto
La acción de cargas externas produce en los cuerpos una distribución de esfuerzos
y además una deformación.
La deformación es una magnitud física que requiere de una definición formal. En
primer lugar se definirá el concepto de deformación normal en un punto.
La Fig. 1- 14 Deformación normal en un punto., muestra un punto A(x0) y un punto
vecino B(x0+dx0) de un elemento unidimensional orientado en la dirección X. Si este
elemento se deforma por alargamiento los puntos A y B se desplazan a los punto A’ y B’ de
coordenadas (x,x+dx) respectivamente. En el punto A se define la deformación normal
convencional en la dirección X se denota por
a:
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
(
̅̅̅̅
El alargamiento del trazo ̅̅̅̅ es
con lo que:
(
Si la deformación es uniforme para el trazo ̅̅̅̅ de longitud finita
deformación, o alargamiento unitario se puede expresar como
, entonces la
Fig. 1- 14 Deformación normal en un punto.
Apuntes Mecánica de Sólidos
23
En la Fig. 1- 14 (b), el segmento OA está orientado según una dirección n
cualquiera, definida por el ángulo . Después de la deformación el punto A pasa al punto
A’, para pequeñas variaciones del ángulo , se puede considerar que:
y corresponderían en este caso a las proyecciones sobre las direcciones x e y,
respectivamente, del alargamiento unitario .
La deformación por esfuerzo de corte o deformación angular, se ilustra en la Fig. 115 para un estado de esfuerzos de corte puro.
Fig. 1- 15 Deformación por esfuerzo de corte.
Para el caso de pequeñas deformaciones angulares, se tiene:
Los subíndices x e y indican que la deformación angular se produce en el plano xy.
La componente
es entonces, de acuerdo a esta definición, la variación que
experimenta durante la deformación un ángulo inicialmente recto formado por las
direcciones x e y.
La deformación angular que se muestra en la Fig. 1- 15, tiene además de la
deformación propiamente tal, una parte de rotación como elemento rígido. En la Fig. 1- 16
se muestra la parte que corresponde a deformación angular pura y la parte de rotación.
Apuntes Mecánica de Sólidos
24
Fig. 1- 16 Componente de rotación en la deformación angular.
1.8 Deformaciones producidas por estados de esfuerzos planos
Cuando un elemento rectangular infinitesimal, como el que se muestra en la Fig. 117, está sometido a un estado de esfuerzos planos, se deforma de manera que hay
componentes normales y de corte al mismo tiempo.
En la Fig. 1- 17,
y corresponden a los alargamientos unitarios en las
direcciones x e y respectivamente. La componente
es igual a la variación angular
(
, la rotación como elemento rígido corresponde a
.
El concepto se puede generalizar al caso tridimensional, donde el elemento
infinitesimal volumétrico, orientado según las direcciones de referencia x, y, z, se deforma
dando origen a tres deformaciones normales , , y a tres deformaciones angulares
,
,
que forman la matriz deformación.
Fig. 1- 17 Estado de deformaciones.
Apuntes Mecánica de Sólidos
25
[
]
[
]
En la Fig. 1- 17, n es una dirección cualquiera que forma un ángulo con la
dirección x, la dirección t es normal a n, y por lo tanto, el sistema n, t puede ser
considerado un nuevo sistema de referencia, rotado respecto al sistema inicial x, y.
Si en el mismo punto, el elemento de referencia estuviera orientado según las
direcciones n, t estarían las componentes de deformación , y , cuya interpretación
física ya se ha visto.
Para relacionar las componentes referidas al sistema x, y, y las componentes
referidas al sistema n, t hacemos uso de la Fig. 1- 17, donde se cumple que:
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
Por tratarse de deformaciones pequeñas, se puede despreciar la variación que hay
entre la dirección de ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ y, por lo tanto, considerar ̅̅̅̅ como alargamiento sufrido
por ̅̅̅̅ en la dirección n, así:
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅(
Además en el triángulo OPA’ se cumple que:
(̅̅̅̅
̅̅̅̅(
(
(̅̅̅̅
(
(̅̅̅̅
(
(
)
(
)
Como:
̅̅̅̅
(
que
(
y
̅̅̅̅
(
Expresando las funciones de
, se llega a:
en términos del ángulo doble y teniendo presente
Apuntes Mecánica de Sólidos
26
(1. 10)
La expresión (1. 10) tiene la misma forma que la expresión (1. 3) que da el
esfuerzo normal
para un plano cualquiera. Por analogía, al esfuerzo normal , le
corresponde la deformación , y al esfuerzo de corte la deformación angular ⁄ .
Todos los conceptos y expresiones estudiadas para el caso de los esfuerzos, se
pueden aplicar para el caso de deformaciones, así, la deformación angular
se puede
escribir en forma análoga a la expresión (1. 4) para
como:
(1. 11)
La Fig. 1- 18, muestra el estado deformado de un elemento rectangular
infinitesimal que está orientado según las direcciones n, t.
Fig. 1- 18 Elemento deformado según las direcciones n,t.
En el caso de las deformaciones, las direcciones principales de deformación,
corresponderán a las direcciones en que se producen las deformaciones normales máxima
y mínima y respectivamente, y deformación angular nula. A su vez, las direcciones de
deformación angular máxima, se encuentran desfasadas en 45º de las direcciones
principales de deformación. Las expresiones correspondientes se pueden escribir por
analogía con la de los esfuerzos.
Apuntes Mecánica de Sólidos
27
√(
)
(
)
(1. 12)
√(
√(
)
(
)
)
(1. 13)
Para las deformaciones se comprueba también que la suma de las componentes
normales de la deformación es invariante respecto al sistema de referencia.
(1. 14)
El círculo de Mohr para deformaciones, se dibuja en igual forma que para el caso
de esfuerzos. Es necesario adoptar una convención de signos para la deformación angular
de los trazos orientados según la dirección x y la dirección y. El círculo de Mohr y la
convención de signos utilizada, se muestra en la Fig. 1- 19.
1.9 Medición de deformaciones
Es importante poder medir las deformaciones, ya que como se verá más adelante,
esto permitirá conocer el valor de los esfuerzos en los puntos de interés de una pieza
cargada o de un elemento estructural.
La herramienta más importante del ingeniero para el análisis experimental de
esfuerzos, es tal vez, la resistencia eléctrica denominada “Strain Gauge” o “Banda
extensométrica”.
El principio en el cual se basa esta forma de medición fue descubierta por William
Thompson y más tarde por Lord Kelvin (1956).
Kelvin, encontró que la resistencia eléctricas de alambres de Cobre y Hierro
cambiaba cuando eran sometidos a carga, y concluyó que este cambio se debía a una
variación de la resistividad eléctrica del conductor, además, determinó que un Puente de
Wheatstone permitía medir pequeños cambios de resistencia en el conductor.
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Fig. 1- 19 Círculo de Mohr y convención de signos para deformaciones.
Utilizando el principio enunciado, en 1930 y en forma independiente, Simmons
(Instituto Tecnológico de California) y Ruge (Instituto Tecnológico de Massachusetts)
desarrollaron el Strain gages, que consistía en un alambre pegado a la superficie del
elemento que se iba a deformar, de manera que la deformación fuera tomada también
por el conductor y medida con un circuito eléctrico simple.
En la Fig. 1- 20, se muestra la configuración de un Strain gauge.
Actualmente existe gran variedad de estos elementos, Fig. 1- 21, y sus aplicaciones
incluyen medición de deformaciones en estructuras de aviones, barcos, estanques a
presión, puentes, etc.
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Fig. 1- 20 Strain gage.
Fig. 1- 21 Strain gauges típicos.
La resistencia de un conductor está dada por la expresión:
Donde:
: Resistividad eléctrica
L: Longitud del Conductor
A: Sección transversal del conductor.
Se define como factor del conductor (gauge factor K) a la razón entre la variación
unitaria de la resistencia y la variación unitaria de longitud, es decir:
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Diferenciando la expresión de R y dividiendo por R, se tiene entonces:
Así, el factor K se puede escribir como
Los dos primeros términos reflejan la incidencia que en la resistencia del conductor
tiene la variación de dimensiones debido a deformación elástica, mientras que el último
corresponde al cambio de la resistencia específica con la deformación.
El strain gauge es un elemento que mide sólo deformaciones normales en una
dirección dada. Para conocer completamente el estado de deformaciones en un punto, se
puede proceder como en el siguiente ejemplo.
Ejemplo:
Determinación del estado de deformaciones en un punto utilizando una roseta 0º,
60º, 120º.
Supongamos que en un punto de un elemento tenemos la roseta de la figura que
nos da las deformaciones en las direcciones (a), (b) y (c), digamos , , .
Veremos que estas tres deformaciones normales, definen completamente el
estado de deformaciones en el punto. Elegimos el sistema de referencia x, y, de manera
que, por ejemplo, la dirección x coincida con la dirección (a).
La expresión que nos da la deformación normal es una dirección n cualquiera es:
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Ahora, aplicando esta expresión en forma sucesiva para las direcciones (a), (b) y
(c), tendremos:
Resolviendo este sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas, se obtiene:
(
,
y
√
(
definen el estado de deformaciones en el punto.
Ejemplo:
y
Construir el círculo de Mohr para deformaciones si se conocen los valores de
con la roseta de la figura.
,
, y son valores conocidos, es deformación principal mayor, que se supone
estará a un cierto ángulo medido en el sentido antihorario respecto a la dirección de .
En primer lugar se traza el eje vertical que
corresponde a los valores de
, y en seguida se dibuja
una horizontal auxiliar que corta a la vertical en el punto
0’. Sobre la horizontal auxiliar se copian los valores ,
y , y en estos puntos se dibujan líneas verticales. Se
selecciona un punto D sobre la vertical trazada en y a
partir de esta vertical, se dibujan los ángulos y como
se muestra en la figura, cuyos lados libres cortan las otras
dos verticales en los puntos B y A. El círculo de Mohr
debe pasar por estos tres puntos, de manera que con las
medianas de los trazos ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ se determine el centro
del círculo de Mohr C, sobre el cual debe pasar el eje horizontal definitivo.
Es fácil visualizar que esta forma de construcción satisface las condiciones
geométricas del problema.
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