Ecuaciones Diferenciales en la física Presenta: Didier Alejandro Patiño Rodríguez Asesor: Román Castro Rodríguez Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Índice Introducción Ecuaciones diferenciales Clasificación y orden Orden de las ED Clasificación Métodos de solución para ED Ecuaciones diferenciales de primer orden Separación de variables Ecuaciones diferenciales exactas Ecuaciones diferencial lineal de primer orden Conversión a la ecuación integral Métodos de soluciones a ecuaciones lineales de segundo orden Método de coeficientes indeterminados Método de separación de variables Ejemplos de la ecuaciones diferenciales para la solución de sistemas físicos Oscilador armónico simple Oscilador armónico amortiguado Oscilador armónico forzado Problemas donde intervienen péndulos Ecuaciones diferenciales parciales en la física Ejemplos de Ecuaciones de transporte Ejemplos de Ecuaciones de Onda Ejemplos de la ecuación de Helmholtz Ejemplos de la ecuación de Laplace Ejemplos de la ecuación de Schrödinger Átomo de hidrogeno 3 4 4 4 5 7 7 7 7 8 11 12 14 15 16 21 23 28 30 33 34 46 52 61 68 77 2 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Introducción. Una de las herramientas matemáticas más utilizada en la actualidad para la descripción de fenómenos físicos son las ecuaciones diferenciales. Dado que al tratar de entender cualquier fenómeno físico, la mente crea una idealización y lo plasma en un modelo matemático, donde al tomar el aspecto central del fenómeno, estudia sus causas y lo describe en forma matemática (figura 1). Gracias a esta teoría es posible describir tanto el fenómeno como las aplicaciones que este pudiera tener. El estudio de las propiedades de la ecuación obtenida permiten sondear otras características que no son tan evidentes, incluso se pueden predecir hechos o fenómenos que de la observación no se obtienen. Las ecuaciones diferenciales se dividen en dos grandes grupos: las ecuaciones diferenciales ordinarias y las ecuaciones diferenciales parciales. Si una ecuación diferencial es empleada en la descripción de un fenómeno físico, matemáticamente la solución nos dará una función, la cual al ser utilizada para describir el sistema esta podrá estar representada como un desarrollo ya sea en el tiempo, el espacio y demás variables que ayuden a la descripción del fenómeno. Pocas ecuaciones diferenciales tienen una solución analítica sencilla, la mayor parte de las veces es necesario realizar aproximaciones, estudiar el comportamiento del sistema bajo ciertas condiciones. Para ello mostrare el desarrollo de varios fenómenos físicos en forma de una ecuación diferencial, así como encontrar el método para poder encontrar una solución esta, y así poder darle un sentido físico a dicha solución. Modelos Matemáticos Observación Fenómeno físico No Satisfacen el problema real Solución con condiciones observables Si Solución Fig. 1.- Diagrama que ilustra el empleo de las Ecuaciones Diferenciales en la física 3 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Ecuaciones diferenciales. Llamamos ecuación diferencial (E. D.) a una ecuación que relaciona a una función, a su variable o variables independientes, y a sus derivadas. Si la ecuación contiene derivadas respecto a una sola variable independiente entonces se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (E.D.O.); y si contiene las derivadas parciales respecto a dos o más variables independientes se llama ecuación en derivadas parciales (E.D.P.). Clasificación y orden de una E.D. Orden de las E.D. El orden de una E.D.O. esta dado por el orden de la derivada de más alto valor, la manera más general de representarla es: 𝐹 𝑥, 𝑢 𝑥 , 𝑢 𝑥 ′ , … , 𝑢 𝑛 𝑥 =0 1 Lo cual nos describe una E.D.O. de orden n. la ecuación (1) representa una relación entre la variable independiente x y los valores de la función u y sus n primeras derivadas, si convenientemente decimos que 𝑢 𝑥 = 𝑦 pudiendo rescribir (1) como 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦′, … , 𝑦 𝑛 = 0 2 Un ejemplo entonces de una ecuación diferencial de orden 3 será 𝑦 ′′′ + 2𝑒 𝑥 𝑦 ′′ + 𝑦𝑦 ′ = 𝑥 4 Una ecuación diferencial parcial para una función 𝑢 𝑥, 𝑦, … con derivadas parciales 𝑢𝑥 , 𝑢𝑦 , 𝑢𝑥𝑥 , 𝑢𝑥𝑦 , 𝑢𝑦𝑦 , … es una relación de la forma 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑢𝑥 , 𝑢𝑦 , 𝑢𝑥𝑥 , 𝑢𝑥𝑦 , 𝑢𝑦𝑦 , … = 0 3 Donde F es una función de las variables 𝑥, 𝑦, … , 𝑢𝑥 , 𝑢𝑦 , 𝑢𝑧 , 𝑢𝑥𝑥 , 𝑢𝑥𝑦 , 𝑢𝑦𝑦 , … en donde solamente ocurrirán un número finito de derivadas. Una función 𝑢 𝑥, 𝑦, … es solución de (3), si en algún espacio de sus variables independientes, la función y sus derivadas satisfacen la ecuación idénticamente en 𝑥, 𝑦, … 4 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Como en las E.D.O. una E.D.P. es de orden n, si las derivadas de mayor orden que ocurren en F son de orden n. las ecuaciones diferenciales parciales se clasifican también según el tipo de función F considerada. En particular tenemos la E.D.P. lineal si F es lineal en la función incógnita y sus derivadas, y la ecuación diferencial parcial casi-lineal que es más general, si F es lineal en al menos una de las derivadas de más alto orden. Clasificación. Las ecuaciones diferenciales ordinarias se clasifican según su tipo de orden y linealidad. Se llama solución (o integral) de la E.D.O. a cualquier función 𝑦 = 𝑦(𝑥) que introducida en la ecuación diferencial la transforma en igualdad. Tipos de soluciones: Explicitas: la variable dependiente de y se expresa tan solo en términos de la variable independiente x y constantes. Implícitas: se trata de una relación 𝐺 𝑥, 𝑦 = 0 en la que no se puede despejar y mediante funciones elementales. Son soluciones todas las 𝑦(𝑥) que cumplen 𝐺 𝑥, 𝑦 = 0. Una E.D.O puede tener una cantidad infinita de soluciones que corresponden a las posibles elecciones de valores para los parámetros. Para las E.D.P. la clasificación es un poco distinta, para sistemas de E.D.P. de segundo orden con dos variables por ejemplo la ecuación diferencial puede ser expresada como: Sea 𝑢(𝑥, 𝑦) con x e y variables independientes se llama ecuación con derivadas parciales de segundo orden si 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑢𝑥 , 𝑢𝑦 , 𝑢𝑥𝑥 , 𝑢𝑥𝑦 , 𝑢𝑦𝑦 = 0 Donde: 𝑢𝑥 = 𝜕𝑢 𝜕𝑥 , 𝑢𝑦 = 𝜕𝑢 𝜕𝑦 , 𝑢𝑥𝑥 = 𝜕 2𝑢 𝜕 2𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝑥𝑦 , 𝑢𝑥𝑦 = 2 = 𝑢𝑦𝑦 = 4 𝜕 2𝑢 𝜕𝑦 2 . De manera similar se sigue para mas variables independientes. Anteriormente dijimos que una ecuación se llama lineal con respecto a las derivadas de orden mayor si 𝑎 𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 + 2𝑏 + 𝑐 + 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑢𝑥 , 𝑢𝑦 = 0 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥𝑦 𝜕𝑦 2 (5) donde los coeficientes a,b,c son funciones de las variables independientes que admiten desarrollos en series de Taylor y no se anulan simultáneamente. 5 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Si los coeficientes a,b,c dependen no solo de x e y, sino que son al igual que f funciones de 𝑥, 𝑦, 𝑢𝑥 , 𝑢𝑦 , entonces tal ecuación se denomina cuasi lineal. La ecuación se llama lineal, si es lineal tanto respecto a las derivadas de orden mayor, como a la función u y a sus primeras derivadas; es decir: 𝑎 𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑢 + 2𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 + 𝑔𝑢 + 𝑓 = 0 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥𝑦 𝜕𝑦 2 𝜕𝑥 𝜕𝑦 6 donde 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑔, 𝑓 son funciones solo de x e y. Si los coeficientes de la ecuación 6 no dependen de 𝑥 e 𝑦, esta es una ecuación lineal con coeficientes constantes. La ecuación se llama homogénea, si 𝑓 𝑥, 𝑦 = 0. Como la ecuación (6) es de segundo orden, siempre es posible reducir los coeficientes de las derivadas de segundo orden a constantes muy simples mediante un cambio de coordenadas definidas por un sistema de ecuaciones de la forma 𝜉 = 𝜉 𝑥, 𝑦 𝜂 = 𝜂 𝑥, 𝑦 𝑐𝑜𝑛 𝜕 𝜉, 𝜂 ≠0 𝜕(𝑥, 𝑦) 7 Tal que (6) en las nuevas coordenadas es equivalente a una de los siguientes tipos de ecuaciones mas sencillas, llamadas Formas Normales, o bien, formas Canonícas de (6) 1. 𝑎. 1. 𝑏. 𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠 : 2. 𝑎. 2. 𝑏. 3. 𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 − + 𝑇. 𝑂. 𝐼. = 0 𝜕𝜉 2 𝜕𝜂2 𝜕2𝑢 + 𝑇. 𝑂. 𝐼. = 0 𝜕𝜉𝜂 𝜕2𝑢 + 𝑇. 𝑂. 𝐼. = 0 𝜕𝜂2 𝜕2𝑢 + 𝑇. 𝑂. 𝐼. = 0 𝜕𝜉 2 𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 − + 𝑇. 𝑂. 𝐼. = 0 𝜕𝜉 2 𝜕𝜂2 8 De las formas normales identificamos a T.O.I., como los términos de orden inferior al efectuar el cambio de coordenadas (7) en (6) para obtener (8). Con esto entonces podemos decir que la ecuación (6) puede ser de tipo Hiperbólica, Parabólica o Elíptica, si y solo si existe un cambio de coordenadas tal que la ecuación se puede escribir en la forma normal 1.., 2.., o 3., respectivamente. 6 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 De tal modo que en fenómenos físicos se puede representar a una E.D.P. como 𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 − = 0 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑂𝑛𝑑𝑎 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝜕𝑥 2 𝜕𝑡 2 𝜕 2 𝑢 𝜕𝑢 − =0 𝜕𝑥 2 𝜕𝑡 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 − = 0 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒 𝐵𝑖𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 Estas ecuaciones son ejemplos inmediatos de ecuaciones del tipo Hiperbólica, Parabólica y Elíptica respectivamente. Métodos de solución importantes para E.D. Ecuaciones diferenciales de primer orden. En el estudio de sistemas físicos nos vemos envueltos en estudiar la solución de ecuaciones diferenciales de primer orden. Las cuales están descritas de forma general como 𝑑𝑦 𝑃 𝑥, 𝑦 = 𝑓 𝑥, 𝑦 = − 𝑑𝑥 𝑄 𝑥, 𝑦 9 La ecuación (9) claramente es una ecuación diferencial Ordinaria de primer orden, dado que no existen derivadas de orden superior y la función solo tiene como variable independiente a x. Separación de variables Este método es utilizado para resolver ecuaciones del tipo (9). Frecuentemente la ecuación (9) puede ser escrita de la forma 𝑑𝑦 𝑃 𝑥 = 𝑓 𝑥, 𝑦 = − 𝑑𝑥 𝑄 𝑥 10 De modo que (10) puede ser rescrita como 7 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑦 𝑑𝑦 = 0 (11) La cual podemos integrando de 𝑥0 , 𝑦0 a 𝑥, 𝑦 tenemos que 𝑥 𝑦 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑥0 𝑄 𝑦 𝑑𝑦 = 0 12 𝑦0 Podemos definir los límites inferiores 𝑥0 y 𝑦0 como constantes, con esto podemos ignorar los límites inferiores de la integración y sólo se tiene que añadir una constante de integración. Es de suma importancia tener en cuenta que esta técnica de separación de variables no requiere que la ecuación diferencial sea lineal. Ecuaciones diferenciales exactas. La ecuación (9) podemos rescribirla tal que 𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 (13) Esta ecuación se dice que es exacta si se puede igualar a una diferencial 𝑑𝜑; es decir: 𝑑𝜑 = 𝜕𝜑 𝜕𝜑 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 14 Puesto que la ecuación (13) es cero por la derecha, tenemos que buscar una función desconocida 𝜑 𝑥, 𝑦 = 𝑐𝑡𝑒. y 𝑑𝜑 = 0. Tenemos que si existe una función 𝜑 𝑥, 𝑦 la siguiente igualdad 𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 𝜕𝜑 𝜕𝜑 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 15 entonces tenemos que 𝜕𝜑 = 𝑃 𝑥, 𝑦 , 𝜕𝑥 𝜕𝜑 = 𝑄 𝑥, 𝑦 𝜕𝑦 16 La condición necesaria y suficiente para que nuestra ecuación sea exacta es que las segundas derivadas parciales mixtas de, 𝜑 𝑥, 𝑦 , sean independiente del orden de la diferenciación (esto solo es posible si se cumple que 𝜑 es continua); es decir 𝜕2𝜑 𝜕𝑃 𝑥, 𝑦 𝜕𝑄 𝑥, 𝑦 𝜕2𝜑 = = = 𝜕𝑦𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑥𝜕𝑦 17 8 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 si 𝜑 𝑥, 𝑦 existe, entonces la solución para la ecuación (13) y (15) será 𝜑 𝑥, 𝑦 = 𝐶 18 Bien podría resultar que la ecuación (13) no sea exacta, si no se cumple con la ecuación (17). Sin embargo, siempre existe al menos uno o tal vez una infinidad de factores de integración, ∝ 𝑥, 𝑦 , tales que 𝛼 𝑥, 𝑦 𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝛼 𝑥, 𝑦 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 (19) Haga exacta a la E.D. Desafortunadamente, el factor de integración no es siempre obvio y fácil de encontrar. A diferencia del caso de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, no hay manera sistemática para desarrollar un factor de integración de la ecuación (13). Una ecuación diferencial en el que las variables han sido separadas automáticamente es una E.D. exacta. Caso contrario es que una ecuación diferencial exacta no es necesariamente separable. Ecuación Diferencial Lineal de Primer orden. Si 𝑓(𝑥, 𝑦) en la ecuación (9) es de la forma 𝑞 𝑥 − 𝑝 𝑥 𝑦, entonces la ecuación (9) será 𝑑𝑦 + 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑞(𝑥) 𝑑𝑥 20 La ecuación (20) es la manera más general de escribir una ecuación diferencial linear de primer orden. Si 𝑞 𝑥 = 0, se dice que es una ecuación homogénea. La ecuación (20) es lineal, ya que cada término de esta es lineal en 𝑦 o existan cosas de orden superior, esto es, 𝑦 2 , y no productos, 𝑦 linealidad se refiere a y o 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 . Es decir no . Tenga en cuenta que la ; 𝑝 (𝑥) y 𝑞 (𝑥) no tiene por qué ser lineal en 𝑥. La ecuación 20, es una de las más importantes ecuaciones diferenciales de primer orden para la física. Ahora busquemos un factor integrante 𝛼 𝑥 tal que 𝛼 𝑥 𝑑𝑦 + 𝛼 𝑥 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝛼 𝑥 𝑞(𝑥) 𝑑𝑥 21 Lo cual podemos rescribir como 𝑑 𝛼 𝑥 𝑦 =𝛼 𝑥 𝑞 𝑥 𝑑𝑥 22 9 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Lo anteriormente escrito es para hacer alusión al lado izquierdo de la ecuación (20) y hacer así a este lado de la ecuación derivable de modo que pueda ser integrado. Lo que hace también que la ecuación (20) sea exacta. Expandiendo (22) obtenemos lo siguiente 𝛼 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝛼 + 𝑦 = 𝛼 𝑥 𝑞(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 23 Comparando esto con la ecuación (21) tenemos que esto exige que 𝑑𝛼 𝑥 = 𝛼 𝑥 𝑝(𝑥) 𝑑𝑥 24 Esta es una ecuación diferencial para 𝛼 𝑥 , con 𝛼 y 𝑥 las variables separables. Con las variables separables e integrando obtenemos 𝑥 𝛼 𝑥 = exp 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 (25) El cuál es nuestro factor de integración. Si conocemos 𝛼 𝑥 podemos proceder a integrar la ecuación (22). Lo que nos da 𝑥 𝑑 𝛼 𝑥 𝑦(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 𝑥 𝛼 𝑥 𝑞(𝑥)𝑑𝑥 Ahora integrando obtenemos 𝑥 𝛼 𝑥 𝑦 𝑥 = 𝛼 𝑥 𝑞(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶 Donde C contiene a la integral resultante del límite inferior de la integración. Dividiendo por 𝛼(𝑥), obtenemos 𝑦 𝑥 = 𝛼 𝑥 −1 𝑥 𝛼 𝑥 𝑞 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 Finalmente sustituyendo la ecuación (25) en la anterior tenemos que 𝑥 𝑦 𝑥 = exp − 𝑥 𝑝 𝑡 𝑑𝑡 𝑠 exp 𝑝 𝑡 𝑑𝑡 𝑞 𝑠 𝑑𝑠 + 𝐶 (26) De esto las variables de integración han sido rescritas para evitar la ambigüedad. La ecuación (26) es la solución general completa de la ecuación diferencial lineal de primer orden. La parte 10 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 𝑥 𝑦1 𝑥 = 𝐶 exp − 𝑝 𝑡 𝑑𝑡 (27) Corresponde al caso de la ecuación diferencial homogénea; es decir cuando 𝑞 𝑥 = 0.y el termino correspondiente a la ecuación (26), 𝑥 𝑦2 𝑥 = exp − 𝑥 𝑝 𝑡 𝑑𝑡 𝑠 exp 𝑝 𝑡 𝑑𝑡 𝑞 𝑠 𝑑𝑠 + 𝐶 (26) Es la solución particular correspondiente a la solución general cuando la ecuación diferencial no es homogénea es decir 𝑞 𝑥 ≠ 0. Es decir, para ecuaciones diferenciales de primer orden lineales la ecuación será homogénea si 𝑞(𝑥) en la ecuación (20) es cero, entonces la ecuación es separable. De lo contrario, para el caso donde 𝑝 = 𝑐𝑡𝑒., 𝑞 = 𝑐𝑡𝑒., o 𝑞 𝑥 = 𝑎𝑝(𝑥);es decir, la ecuación no es homogénea, entonces la ecuación (20) no es separable. Conversión a la ecuación integral. Nuestra ecuación diferencial de primer orden descrito en la ecuación (9), puede ser convertida a una ecuación integral por medio de una integración directa lo que nos da 𝑥 𝑦 𝑥 − 𝑦 𝑥0 = 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑥 𝑑𝑥 (27) 𝑥0 Para esta ecuación integral es posible encontrar una solución en términos de las series de Neumann con una aproximación inicial como 𝑦(𝑥) ≈ 𝑦(𝑥0 ). En términos de la teoría de Ecuaciones diferenciales este método es llamado “el método de aproximaciones sucesivas de Picard”. Ecuación Diferencial de primer orden Ecuación Diferencial Lineal Ecuación integral En casos especiales Método de separación de variables Cuando las variables sean separables Método de ecuaciones exactas Figura 2.- diagrama de cómo se solucionan las ecuaciones diferenciales de primer orden 11 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 En la figura dos exhibo una descripción de cómo se solucionan las ecuaciones diferenciales de primer orden. Métodos de soluciones a ecuaciones lineales de segundo orden. Sea 𝑢(𝑥) una función con x una variable independiente, podemos escribir su ecuación diferencial como en la ecuación (4) 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑢𝑥 , 𝑢𝑥𝑥 = 0 (28) Ahora bien otra manera de representar esta ecuación es del siguiente modo 𝑎𝑢𝑥𝑥 + 𝑏𝑢𝑥 + 𝑐𝑦 = 𝑑 (29) Donde a,b,c,d son constantes que dependen de x e y del hecho de que 𝐹 sea una función lineal es que llegamos a la ecuación (29). Dos casos importantes para la solución de este problema son cuando 𝑑 ≠ 0 lo cual como ya lo habíamos mencionado, esto es una ecuación diferencial no homogénea, y en el caso en que 𝑑 = 0 esto nos lleva a una ecuación diferencial homogénea. Primero analicemos el caso de una E.D. homogéneas, entonces de la ecuación (29) tenemos que 𝑎𝑦′′ + 𝑏𝑦′ + 𝑐𝑦 = 0 Donde como ya sabíamos 𝑢𝑥𝑥 = 𝑑2𝑦 𝑑𝑥 2 = 𝑦′′ y 𝑢𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 (30) = 𝑦 ′ . Una solución general para la ecuación (30) es del modo 𝑦 = 𝑒 𝑘𝑥 (31) Donde k es un parámetro a determinar. Entonces procedemos a estimar la primera y la segunda derivada respecto de x lo cual no resultara en 𝑦′ = 𝑘𝑒 𝑘𝑥 (32) 𝑦′′ = 𝑘 2 𝑒 𝑘𝑥 (33) Sustituyendo esto en (30) tenemos que 𝑎𝑘 2 𝑒 𝑘𝑥 + 𝑏𝑘𝑒 𝑘𝑥 + 𝑐𝑒 𝑘𝑥 = 0 (34) 𝑒 𝑘𝑥 𝑎𝑘 2 + 𝑏𝑘 + 𝑐𝑦 = 0 12 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 𝑎𝑘 2 + 𝑏𝑘 + 𝑐𝑦 = 0 (35) A la ecuación (35) se le conoce como ecuación característica de la ecuación diferencial. Su importancia es que si 𝑘 es una raíz de la ecuación del polinomio anterior, entonces 𝑦 = 𝑒 𝑘𝑥 es una solución a la E.D.O. Ya que tenemos una ecuación cuadrática procedamos a tratar de encontrar su solución, sea esto así entonces utilizando la formula general tenemos que 𝑘= −𝑏 ± 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 (36) Centrémonos en el radical dado que de este podemos tener tres soluciones posibles las cuales son: a) 𝑠𝑖 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 > 0 tendremos una solución real. b) 𝑠𝑖 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 < 0 tendremos una solución con coeficientes imaginarios. c) 𝑠𝑖 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 0 lo cual nos da la solución mas sencilla. Los métodos para solucionar la ecuación diferencial, se resolverán entonces por los siguientes métodos: a) Para el primer caso cuando tenemos una solución real distinta de cero la solución de la ecuación diferencial será entonces: 𝑦1 𝑥 = 𝑒 𝑘 1 𝑥 𝑦 𝑦2 𝑥 = 𝑒 𝑘 2 𝑥 (37) Por tanto la solución general de la ecuación diferencial será: 𝑦 = 𝑐1 𝑦1 𝑥 + 𝑐2 𝑦2 𝑥 = 𝑐1 𝑒 𝑘 1 𝑥 + 𝑐2 𝑒 𝑘 2 𝑥 b) Para el segundo caso donde tenemos raíces complejas estas están descritas como: 𝑘1 = 𝛼 + 𝑖𝛽 𝑦 𝑘2 = 𝛼 − 𝑖𝛽 Sustituyendo esto en (37) tenemos que 𝑦1 𝑥 = 𝑒 (𝛼+𝑖𝛽)𝑥 𝑦2 𝑥 = 𝑒 (𝛼−𝑖𝛽)𝑥 𝑦 (38) Recordando un poco el calculo de variables complejas sabemos que existe una ma nera de redefinir la ecuación (38) en términos de la formula de Euler, la cual nos dice que los exponenciales se pueden escribir como: 𝑒 𝑖𝑥 = cos 𝑥 + 𝑖 sin 𝑥 𝑦 𝑒 −𝑖𝑥 = cos 𝑥 + 𝑖 sin 𝑥 13 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Entonces sabiendo esto rescribamos cada una de las ecuaciones en (38) 𝑦1 𝑥 = 𝑒 𝛼𝑥 𝑒 𝑖𝛽𝑥 = 𝑒 𝛼𝑥 (cos 𝛽𝑥 + 𝑖 sin 𝛽𝑥) 𝑦2 𝑥 = 𝑒 𝛼𝑥 𝑒 −𝑖𝛽𝑥 = 𝑒 𝛼𝑥 (cos 𝛽𝑥 − 𝑖 sin 𝛽𝑥) Combinando las ecuaciones anteriores tenemos 𝑦1 + 𝑦2 = 𝑐1 𝑒 𝛼𝑥 cos 𝛽𝑥 + 𝑖 sin 𝛽𝑥 + 𝑐2 𝑒 𝛼𝑥 cos 𝛽𝑥 − 𝑖 sin 𝛽𝑥 𝑦1 − 𝑦2 = 𝑐1 𝑒 𝛼𝑥 cos 𝛽𝑥 + 𝑖 sin 𝛽𝑥 − 𝑐2 𝑒 𝛼𝑥 (cos 𝛽𝑥 − 𝑖 sin 𝛽𝑥) Realizando las operaciones anteriores y reorganizando todo llegaremos a la solución general la cual será: 𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝛼𝑥 cos 𝛽𝑥 + 𝑐2 𝑒 𝛼𝑥 sin 𝛽𝑥 c) Para el último caso cuando tenemos que la ecuación característica es igual a cero entonces las raíces serán: 𝑘1 = 𝑘2 = −𝑏 2𝑎 Esto es las dos raíces dan la misma solución la cual nos quedara de la siguiente forma: 𝑦 = 𝑐𝑒 −𝑏𝑥 2𝑎 Las constantes 𝑐 seran obtenidas de las condiciones de frontera del problema a resolver. La solución para las ecuaciones no homogéneas; es decir, las soluciones donde 𝑔(𝑥) ≠ 0 se obtienen apartir de encontrar las soluciones a la ecuación homogénea y encontrar una solución particular para 𝑔(𝑥). Existen diferentes tipos de encontrar una solución para esta función, aquí enunciare los mas importantes: Método de coeficientes indeterminados. Este método consiste fundamentalmente en intuir la forma de una solución particular para 𝑔(𝑥). Esto es muy intuitivo dado que se dejan muchos coeficientes sin especificar. La expresión supuesta se sustituye en la ecuación diferencial y se intenta determinar el coeficiente, de manera que esta ecuación se satisfaga. Si no se encuentra una solución es conveniente cambiar la suposición inicial e intentar de nuevo. Las desventajas de este método es que solo podemos considerar términos homogéneos que consisten de polinomios funciones exponenciales, senos y cosenos. 14 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 A continuación muestro una tabla donde muestro la forma de una solución particular 𝑔𝑝 (𝑥) de 𝑦 𝑥 = (𝑥) es decir cuando la ecuación tiene coeficientes constantes; siendo su polinomio característico 𝑃(𝑘) y 𝑝𝑝 , 𝑞𝑝 , 𝑃𝑝 , 𝑄𝑝 y polinomios de grado p (𝑥) 𝑥 = 𝑝𝑝 𝑥 = 𝑎𝑝 𝑥 𝑝 + ⋯ + 𝑎0 𝑥 = 𝑎𝑒 𝛼𝑥 𝑥 = 𝑎 cos 𝛽𝑥 + 𝑏 sin 𝛽𝑥 𝑥 = 𝑝𝑝 𝑥 𝑒 𝛼𝑥 𝑥 = 𝑝𝑝 𝑥 cos 𝛽𝑥 + 𝑞𝑝 𝑥 sin 𝛽𝑥 𝑔𝑝 (𝑥) 𝑔𝑝 𝑥 = = 𝑥 𝑚 𝐴𝑝 𝑥 𝑝 + ⋯ + 𝐴 0 𝑔𝑝 𝑥 = 𝐴𝑥 𝑚 𝑒 𝛼𝑥 𝑔𝑝 𝑥 = 𝑥 𝑚 𝐴 cos 𝛽𝑥 + 𝐵 sin 𝛽𝑥 𝑔𝑝 𝑥 = 𝑃𝑝 𝑥 𝑒 𝛼𝑥 𝑔𝑝 𝑥 = 𝑥 𝑚 [𝑃𝑠 𝑥 cos 𝛽𝑥 + 𝑄𝑠 𝑥 sin 𝛽𝑥] 𝑥 𝑚 𝑃𝑝 Método de separación de variables. El método de separación de variables tiene la ventaja (gracias a que es un método general) de que se puede aplicar a cualquier ecuación diferencial y no requiere de suposiciones detalladas con respecto a la forma de la solución. Entonces para la utilización de este método tenemos que rescribir (30) como 𝑦 ′′ + 𝑃 𝑥 𝑦 ′ + 𝑄 𝑥 𝑦 = 𝑔 𝑥 (39) Suponiendo una solución particular para esta ecuación de la forma: 𝑦 𝑥 = −𝑦1 𝑥 𝑦2 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑦2 𝑥 𝑊 𝑥 𝑦1 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑊(𝑥) Donde 𝑊 es el Wronskiano de las soluciones 𝑦1 e 𝑦2 . El Wronskiano se define como: 𝑦1 𝑊= 𝑦 ′ 1 𝑦2 𝑦2 ′ Dado que los Métodos de soluciones para ED son muy variados, ya que no solo existen soluciones analíticas, sino que también existen diversos métodos numéricos para encontrar soluciones aproximadas para una ED, continuare con el ensayo dando pasos a los ejemplos más importantes en la física, y si se diera el caso explicar el método por el cual encontré la solución. 15 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Ejemplos de la Ecuaciones Diferenciales para la solución de sistemas físicos. En el contexto de la física el uso de Ecuaciones Diferenciales es el pan de cada día, por ejemplo la segunda ley de Newton en su forma de ED es de la siguiente manera: 𝑓 𝑥, 𝑥 , 𝑡 = 𝑚𝑥 Lo cual por lo anteriormente descrito, nos dice que es una ecuación de segundo orden. A razón de dar ejemplos de cómo son de gran importancia las ED en la física empecemos con algunos ejemplos básicos de su utilización y después procedamos a realizar algunos ejemplos mas específicos. Empecemos suponiendo un campo magnético descrito como 𝐵 = 𝑏0 𝑘 supongamos que una carga eléctrica 𝑞 la cual irrumpe en este campo eléctrico, la manera de encontrar sus ecuaciones de movimiento es de la siguiente forma: 𝐵 = 𝑏0 𝑘 Fig. 3.- movimiento del campo magnético De la fuerza de Lorentz tenemos que: 𝑓 = 𝑞𝐸 + 𝑞𝑣 × 𝐵 Dado que aquí no hay interacción con el campo eléctrico entonces 𝐸 = 0 entonces la ecuación anterior nos queda como: 𝑓 = 𝑞𝑣 × 𝐵 (40) 16 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Realizando el producto cruz de la velocidad y el campo magnético tenemos que 𝑖 𝑗 𝑘 𝑓 = 𝑞𝑣 × 𝐵 = 𝑣𝑥 𝑣𝑦 𝑣𝑧 = 𝑞𝐵0𝑣𝑦𝑖 − 𝑞𝐵0𝑣𝑥 𝑗 0 0 𝐵0 (41) Sabemos que la velocidad se escribe como: 𝑣=𝑥 Entonces sustituyendo esto en (41) y haciendo un poco de algebra tenemos que 𝑓 = 𝑞𝐵0 𝑦𝑖 − 𝑥𝑗 Sustituyendo esto en (40) y usando la definición de leyes de newton tenemos que: 𝑞𝐵0 𝑦𝑖 − 𝑥 𝑗 = 𝑚𝑥 + 𝑚𝑦 + 𝑚𝑧 Por esto tenemos un sistema de tres ED las cuales estarán dadas como 𝑚𝑥 = 𝑞𝐵0 𝑦 𝑚𝑦 = −𝑞𝐵0 𝑥 𝑚𝑧 = 0 En el apartado tres vemos que la ecuación es igual a cero lo que nos dice que 𝑧 = 0 entonces multipliquemos a 1 y 2 por 𝑚 y rescribamos las ecuaciones como 𝑥= 𝑞𝐵0 𝑦 𝑚 𝑦=− Haciendo que 𝑤 2 = 𝑞𝐵0 𝑚 𝑞𝐵0 𝑥 𝑚 entonces podemos rescribir las ecuaciones anteriores como 𝑥 = 𝑤2 𝑦 (42) 𝑦 = 𝑤2𝑥 (43) 17 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Esto nos da un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas entonces usaremos el apartado 3 para desacoplarlas, por tanto: 𝑑2 𝑧 𝑑 𝑑𝑧 𝑧= 2= =0 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Por tanto 𝑧 = 𝑐𝑡𝑒 Lo que implica que podemos escribir a 𝑧 como 𝑧 𝑡 𝑑𝑧 = 𝐶 𝑧0 𝑑𝑡 𝑡0 𝑧 − 𝑧0 = 𝐶 𝑡 − 𝑡0 𝑧 = 𝑧0 + 𝐶 𝑡 − 𝑡0 Donde C es una constante, entonces derivando (43) tenemos que 𝑦 = −𝑤 2 𝑥 𝑥=− 𝑦 𝑤2 Sustituyendo esto en (42) obtenemos lo siguiente − 𝑦 = 𝑤2 𝑦 𝑤2 𝑦 = −𝑤 4 𝑦 Esto lo podemos rescribir como 𝑑 𝑑 𝑦 = −𝑤 4 𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Lo cual nos queda como: 𝑦 + 𝑤4 𝑦 = 0 (44) Lo cual nos da una ecuación diferencial de segundo orden donde podemos suponer una solución de la forma: 𝑦 = 𝐴 cos(𝛽𝑡) Donde 𝛽 2 = 𝑤 4 . Si obtenemos la primera y la segunda derivada tenemos que: 18 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 𝑦 = −𝐴𝛽 sin 𝛽𝑡 𝑦 = −𝐴𝛽 2 cos 𝛽𝑡 Sustituyendo esto en (44) tenemos que 𝑦 + 𝛽2 𝑦 = 0 −𝐴𝛽 2 cos 𝛽𝑡 + 𝐴𝛽 3 cos 𝛽𝑡 = 0 La solución para 𝑦 = 𝐵 sin(𝛽𝑡) obtendremos una solución similar, por tanto la solución más general para este problema será: 𝑦 𝑡 = 𝐴 cos 𝛽𝑡 + 𝐵 sin 𝛽𝑡 (45) Entonces (45) nos describe la solución para un oscilador armónico que dadas las condiciones iníciales y de frontera podemos obtener las constantes A y B. Otra aplicación de las Ecuaciones diferenciales en las leyes de Newton es el de obtener todas sus ecuaciones de cinemática a partir de ED, sea 𝑓(𝑡) una función dependiente del tiempo y usando la definición de la segunda ley de Newton tenemos que 𝑚𝑥 = 𝑓(𝑡) Esto se puede rescribir como: 𝑑𝑥 1 = 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 𝑚 Lo cual puede ser rescrito como: 𝑑𝑥 = 1 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝑚 Integrando esto desde un punto inicial y uno final tenemos que 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥0 1 𝑚 𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 𝑡0 Lo cual nos da 𝑥 = 𝑥0 + 1 𝑚 𝑡 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 (46) 𝑡0 19 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Lo cual cuando conozcamos la función podemos obtener la velocidad del movimiento. Haciendo un análisis igual al anterior pero para la ecuación (46) obtendremos la descripción del movimiento respecto a su posición; es decir haciendo lo siguiente: 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑥= Sustituyendo esto en (46) tenemos que: 𝑑𝑥 = 𝑥0 + 𝑡 1 𝑚 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑡0 Integrando lo anterior desde un punto inicial y otro final obtenemos: 𝑥 𝑡 𝑑𝑥 = 𝑥0 𝑡0 1 𝑥0 + 𝑚 𝑡 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑡0 Lo que nos resultara en: 1 + 𝑚 𝑥 = 𝑥0 + 𝑥0 𝑡 − 𝑡0 𝑡 𝑡 𝑡0 𝑡0 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 (47) Lo cual si conocemos la función podemos obtener el desplazamiento del movimiento de una partícula. Como ejemplo supongamos 𝑓 𝑡 = 𝑒𝐸0 cos 𝑤𝑡 lo que describe esta función es el movimiento de un electrón en un campo eléctrico 𝐸 = 𝐸0 cos 𝑤𝑡 . Entonces sustituyendo esto en (46) tendremos 𝑡 1 𝑥 = 𝑥0 + 𝑚 𝑡0 𝑒𝐸0 cos 𝑤𝑡 𝑑𝑡 Suponiendo una posición inicial igual a cero a un tiempo inicial igual a cero entonces la velocidad del electrón será: 1 𝑥 = 𝑥0 + 𝑚 𝑡 𝑡 0=0 𝑒𝐸0 cos 𝑤𝑡 𝑑𝑡 𝑡 𝑡 0=0 𝑒𝐸0 cos 𝑤𝑡 𝑑𝑡 = 𝑥 = 𝑥0 + 𝑒𝐸0 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 𝑚𝑤 𝑒𝐸0 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 𝑚𝑤 La ecuación anterior nos describe la velocidad del electrón a un tiempo t, ahora para ver su desplazamiento haciendo lo mismo en la ecuación (47) tendríamos que 20 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 𝑥 = 𝑥0 + 𝑥0 𝑡 + 1 𝑚 𝑥 = 𝑥0 + 𝑥0 𝑡 + 𝑡 𝑡 0=0 𝑒𝐸0 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 𝑚𝑤 𝑑𝑡 𝑒𝐸0 cos 𝑤𝑡 − 1 𝑚𝑤 2 Lo que nos da el desplazamiento (o posición) del electrón. Es hora de darnos entonces a la tarea de describir ejemplos físicos donde estén implícitas ecuaciones diferenciales y encontremos una solución a la ecuación diferencial dado condiciones iníciales y de frontera que considere pertinentes para el problema. Oscilador armónico Simple El ejemplo típico es el de una masa colgada a un resorte. Cuando se aleja la masa de su posición de reposo, el resorte ejerce sobre la masa una fuerza que es proporcional al desequilibrio (distancia a la posición de reposo) y que está dirigida hacia la posición de equilibrio. Si se suelta la masa, la fuerza del resorte acelera la masa hacia la posición de equilibrio. A medida que la masa se acerca a la posición de equilibrio y que aumenta su velocidad, la energía potencial elástica del resorte se transforma en energía cinética de la masa. Cuando la masa llega a su posición de equilibrio, la fuerza será cero, pero como la masa está en movimiento, continuará y pasará del otro lado. La fuerza se invierte y comienza a frenar la masa. La energía cinética de la masa va transformándose ahora en energía potencial del resorte hasta que la masa se para. Entonces este proceso vuelve a producirse en dirección opuesta completando una oscilación. Fig. 4.- descripción del movimiento de un oscilador armónico simple 21 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Comencemos entonces nuestro análisis, para esto empecemos por describir el movimiento en términos de la ecuación de newton y la ley de Hooke lo cual nos dará la siguiente relación: −𝑘𝑦 = 𝑚𝑦 Entonces obtendremos la siguiente ecuación diferencial: 𝑦+ Haciendo a 𝑘 𝑚 𝑘 𝑦=0 𝑚 = 𝑤 2 tendremos 𝑦 + 𝑤2 𝑦 = 0 Como anteriormente describimos esta es una ED homogénea, mas aun sabemos que la solución a esta ecuación esta descrita por: 𝑦 𝑡 = 𝐴 cos 𝑤𝑡 + 𝐵 sin 𝑤𝑡 (48) Podemos rescribir (48) de la siguiente manera: 𝑦 𝑡 = 𝑅 cos 𝑤𝑡 + 𝜑 O bien 𝑦 𝑡 = 𝑅 cos 𝜑 cos 𝑤𝑡 + 𝑅 sin 𝜑 sin 𝑤𝑡 (49) Comparando (48) y (49) encontramos que A,B,R,𝜑 están relacionadas por las ecuaciones: 𝐴 = 𝑅 cos(𝜑) , 𝑦 𝐵 = 𝑅 sin 𝜑 Por lo tanto 𝑅= 𝐴2 + 𝐵 2 , 𝑦 tan 𝐵 𝐴 De esto entonces sabemos que como en la figura 4 la grafica que describe un movimiento cosenoidal desplazado podemos obtener el periodo de oscilación el cual sabemos que esta dado por: 2𝜋 𝑚 𝑇= = 2𝜋 𝑤 𝑘 1 2 22 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Oscilador armónico amortiguado Una de las variaciones más importantes del oscilador amónico, es el caso del oscilador armónico amortiguado. Se diferencia del oscilador armónico estándar, en que además de la fuerza del resorte existe también una fuerza de rozamiento que es proporcional a la velocidad. Este seria el caso, por ejemplo, si la masa conectada al resorte en la figura 4 estuviera moviéndose en un medio viscoso. serian el aire o un fluido. Ejemplos de medios viscosos Fig. 5.- descripción del movimiento de un oscilador armónico amortiguado. En la figura 5 tenemos la descripción de un oscilador armónico amortiguado donde el medio viscoso es un fluido. Entonces la ecuación que describe este movimiento será: 𝑚𝑦 = −𝑏𝑦 − 𝑘𝑦 (50) Donde b es el coeficiente de rozamiento, rescribiendo (50) de manera similar que en la ecuación del movimiento armónico simple tenemos que 𝑦+ 𝑏 𝑘 𝑦+ 𝑦=0 𝑚 𝑚 Podemos rescribir esto utilizando el método del polinomio característico lo cual seria 𝑝2 + 𝑏 𝑘 𝑝+ =0 𝑚 𝑚 Donde las raíces de este serán dadas por la ecuación general de binomios cuadrados el cual sustituyendo los valores correspondientes obtendremos lo siguiente : 𝑝= − 𝑏 ± 𝑚 𝑏 𝑚 2 2 −4 𝑘 𝑚 =− 𝑏 ± 2𝑚 𝑏 2𝑚 2 − 𝑘 𝑚 23 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Donde el radical nos dará la descripción del movimiento dado que 𝑠𝑖 𝑏 2𝑚 < 𝑘 𝑚 tendremos la descripción del movimiento infra-amortiguado Haciendo las siguientes sustituciones: 𝑤0 = 𝑘 , 𝑚 𝑏 , 2𝑚 𝛾= 𝑤1 = 𝑤02 − 𝛾 2 Entonces podemos rescribir la solución para la ecuación característica como: 𝑟1,2 = −𝛾 ± 𝑖𝑤1 Entonces la solución más general de la forma: 𝑦 𝑡 = 𝑐1 𝑒 −𝛾+𝑖𝑤 1 𝑡 + 𝑐2 𝑒 −𝛾−𝑖𝑤 1 𝑡 1 1 2 2 Haciendo que 𝑐1 = 𝐴𝑒 𝑖𝜃 , y 𝑐2 = 𝐴𝑒 −𝑖𝜃 y como lo mencionamos antes de la formulación de Euler tenemos que: 𝑦 𝑡 = 𝐴𝑒 −𝛾𝑡 cos 𝑤1 𝑡 + 𝜃 Obtengamos la primera derivada de la ecuación anterior 𝑦 𝑡 = −𝛾𝑦 𝑡 − 𝑤1 𝐴𝑒 −𝛾𝑡 sin 𝑤1 𝑡 + 𝜃 Evaluando la anterior para 𝑡 = 0 tenemos que 𝑦 𝑡 = 0 = 𝐴 cos 𝜃 𝑦 𝑡 = 0 = −𝛾𝑦 𝑡 = 0 − 𝑤1 𝐴 sin 𝜃 Entonces obtenemos lo siguiente 𝐴= 𝑦(𝑡 = 0) , cos 𝜃 𝑦 tan 𝜃 = 𝑦 𝑡 = 0 + −𝛾𝑦 𝑡 = 0 . 𝑤1 𝑥(𝑡 = 0) La solución en este caso decrece exponencialmente con el tiempo, como resultado de la fuerza de amortiguamiento y la amplitud de las oscilaciones varía entre ± 𝐴 𝑒 −𝛾𝑡 . Fig. 6.- descripción del movimiento de un oscilador armónico infra-amortiguado. 24 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 La figura 6 muestra el ejemplo del comportamiento del oscilador armónico infraamortiguado. 𝑠𝑖 𝑏 2𝑚 > 𝑘 𝑚 tendremos la descripción de un movimiento armónico sobre amortiguado. En este caso, las dos raíces son reales y diferentes por lo tanto de 𝑝=− 𝑏 ± 2𝑚 2 𝑏 2𝑚 − 𝑘 𝑚 (51) Haciendo ahora las siguientes igualdades: 𝛾2 = 𝑏 , 2𝑚 𝑤2 0 = 𝑘 . 𝑚 Entonces podemos rescribir la ecuación (51) como: 𝑝 = −𝛾 ± 𝛾 2 − 𝑤02 Entonces sus raíces serán: 𝑝1 = −𝛾 − 𝛾 2 − 𝑤02 𝑝2 = −𝛾 + 𝛾 2 − 𝑤02 Entonces dadas estas raíces tenemos que la solución general será entonces: 𝑦 𝑡 = 𝑐1 𝑒 𝑦 𝑡 = 𝑐1 𝑒 𝛾 + 𝛾 2 −𝑤 02 𝑡 𝛾 2 −𝑤 02 𝑡 + 𝑐2 𝑒 + 𝑐2 𝑒 𝛾− 𝛾 2 −𝑤 02 𝑡 − 𝛾 2 −𝑤 02 𝑡 𝑒 −𝛾𝑡 Si consideramos las siguientes condiciones iníciales: a 𝑡0 = 0, 𝑦 = 0 𝑒 𝑦 = 𝑦0 ; para utilizar esto entonces derivemos la solución anterior lo cual nos dará: 𝑦 𝑡 = 𝑐1 𝛾 2 − 𝑤02 𝑒 𝛾 2 −𝑤 02 𝑡 − 𝑐2 𝛾 2 − 𝑤02 𝑒 − 𝛾 2 −𝑤 02 𝑡 −𝛾𝑒 −𝛾𝑡 25 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Sustituyendo las condiciones iníciales tenemos que para 𝑦 𝑦 0 = 𝑐1 + 𝑐2 = 0 Entonces 𝑐1 = −𝑐2 Usando esto y sustituyendo el valor inicial para 𝑦 tenemos que 𝑦 𝑡 = 𝑐1 𝛾 2 − 𝑤02 − 𝑐2 𝛾 2 − 𝑤02 −𝛾 = 𝑦0 𝛾 2 − 𝑤02 + 𝛾 2 − 𝑤02 −𝑐2 −𝛾 = 𝑦0 𝛾 2 − 𝑤02 + 𝛾 2 − 𝑤02 = 𝑦0 𝑐2 𝛾 𝑐2 = 𝑦0 𝛾 2 𝛾 2 − 𝑤02 Entonces la solución general quedara como 𝑦 𝑡 = − 𝑦 𝑡 = 𝑦0 𝛾2 𝛾 2 − 𝑤02 𝑦0 𝛾 𝛾2 − 𝑒 𝑤02 𝑒 −𝛾𝑡 𝛾 2 −𝑤 02 𝑡 −𝑒 + 𝑦0 𝛾 2 𝛾 2 −𝑤 02 𝑡 𝛾2 +𝑒 2 − 𝑤02 𝑒 − 𝛾 2 −𝑤 02 𝑡 𝑒 −𝛾𝑡 − 𝛾 2 −𝑤 02 𝑡 (51) Usando la definición de senes hiperbólicos tenemos que 𝑒 𝑝 − 𝑒 −𝑝 = sinh 𝑝 2 Usando esto en (51) tenemos que 𝑦 𝑡 = 𝑦0 𝛾 𝛾2 − 𝑤02 𝑒 −𝛾𝑡 sinh 𝛾 2 − 𝑤02 𝑡 26 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 2 4 6 8 10 12 Fig.7 .- descripción del movimiento de un oscilador armónico sobre-amortiguado. 𝑠𝑖 𝑏 2𝑚 = 𝑘 𝑚 este caso nos describe un amortiguamiento critico En este caso las raíces son reales e idénticas entonces la ecuación característica estará dada como 𝑝 = −𝛾 Entonces la solución e la ecuación del oscilador amortiguado estará dada por 𝑦 𝑡 = 𝑐1 + 𝑐2 𝑡 𝑒 −𝛾𝑡 Si consideramos las siguientes condiciones iníciales: a 𝑡0 = 0, 𝑦 = 0 𝑒 𝑦 = 𝑦0 ; para utilizar esto entonces derivemos la solución anterior lo cual nos dará: 𝑦 0 = 𝑐1 = 0 𝑦 𝑡 = − 𝑐1 𝛾 + 𝑐2 𝑡𝛾 + 𝑐2 𝑒 −𝛾𝑡 = 𝑦0 𝑦 0 = −𝑐2 = 𝑦0 Entonces la solución quedaría como 𝑦 𝑡 = −𝑦0 𝑡 𝑒 −𝛾𝑡 27 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Fig.8 .- descripción del movimiento de un oscilador armónico amortiguamiento critico Oscilador armónico Forzado Otra variación interesante del oscilador amónico es el llamado oscilador forzado, este se trata de un oscilador amortiguado normal sobre el que, además se le aplica una fuerza externa periódica, la ecuación que describirá entonces este tipo de movimiento será: 𝑚𝑦 = −𝑏𝑦 − 𝑘𝑦 + 𝑓 𝑡 (52) Donde 𝑓(𝑡) es la fuerza externa que se le aplica al oscilador. Ahora supongamos que esta fuerza esta dada por: 𝑓 𝑡 = 𝑓0 cos(𝑤𝑡) Entonces si multiplicamos por el inverso de m y sustituimos el valor de la función la nueva ecuación nos quedara: 𝑦+ 𝑏 𝑘 1 𝑦 + 𝑦 = 𝑓0 cos 𝑤𝑡 𝑚 𝑚 𝑚 (53) Dado que esta ecuación ya no es homogénea entonces primero se tiene que encontrar una solución para la ecuación homogénea y después otra solución para el caso particular. Comencemos con la solución a la ecuación particular, para esto tendremos que suponer que dicha solución tiene una determinada forma general, que depende de algún parámetro desconocido, y ajustaremos ese para que sea compatible con la ecuación diferencial. Por tanto digamos que dicha solución sea: 𝑦 𝑡 = 𝑏 + 𝑐 sin 𝑤𝑡 + 𝜑 (54) Ya que es de esperar que, que bajo una fuerza periódica, el oscilador se mueva oscilando periódicamente con la misma frecuencia y la misma fuerza. Los parámetros a ajustar para que se cumpla la ecuación (53) son entonces, b, c y 𝜑. 28 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Entonces obtengamos la primera y la segunda derivada de (54) 𝑦 𝑡 = 𝑐 𝑤 cos 𝑤𝑡 + 𝜑 55 𝑦 𝑡 = −𝑐 𝑤 2 sin 𝑤𝑡 + 𝜑 56 Sustituyendo (55) y (56) en (53) pero tomando en cuenta en (53) que 𝛾 = 𝐹0 = 𝑓0 𝑚 𝑏 2𝑚 , 𝜔02 = 𝑘 𝑚 y entonces rescribiendo (53) con estas modificaciones y sustituyendo (55) y (56) tenemos que: −𝑐 𝑤 2 sin 𝑤𝑡 + 𝜑 + 2𝛾𝑐 𝑤 cos 𝑤𝑡 + 𝜑 + 𝜔02 𝜔02 𝑏 + 𝑐 sin 𝑤𝑡 + 𝜑 = 𝐹0 cos 𝑤𝑡 Ahora, sacando factor común separadamente a los senos y cosenos, sabiendo que sin 𝑎 ± 𝑏 = sin 𝑎 cos 𝑏 ± sin 𝑏 cos 𝑎 cos 𝑎 ± 𝑏 = cos 𝑎 cos 𝑏 ∓ sin 𝑏 sin 𝑎 Entonces cos 𝑤𝑡 −𝑐 𝑤 2 − 𝜔02 sin 𝜑 + 2𝛾𝑐 𝑤 cos 𝜑 − 𝐹0 + sin(𝑤𝑡) −𝑐 𝑤 2 − 𝜔02 cos 𝜑 + 2𝛾𝑐 𝑤 sin 𝜑 = −𝜔02 𝑏 Suponiendo ahora que b=0 entonces tenemos que: cos 𝑤𝑡 −𝑐 𝑤 2 − 𝜔02 sin 𝜑 + 2𝛾𝑐 𝑤 cos 𝜑 − 𝐹0 + sin 𝑤𝑡 −𝑐 𝑤 2 − 𝜔02 cos 𝜑 + 2𝛾𝑐 𝑤 sin 𝜑 =0 Y ahora, tenemos que elegir c y 𝜑 para que se anule también la parte izquierda. Tras varios cálculos algebraicos llegamos a que: 𝑤 2 − 𝜔02 tan(𝜑) = 2𝑤𝛾 𝑦 𝐹0 𝑐= 𝑤 2 − 𝜔02 2 + 4𝑤 2 𝛾 2 Entonces la solución particular tendrá la forma: 𝑦 𝑡 = 𝐹0 𝑚 𝑤 2 − 𝜔02 2 + 4𝑤 2 𝛾 2 sin 𝑤𝑡 + 𝜑 Entonces la solución general para la ecuación (53) estará dada por 𝑦 𝑡 = 𝑦(𝑡)𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑒𝑎 + 𝐹0 𝑚 𝑤 2 − 𝜔02 2 + 4𝑤 2 𝛾 2 sin 𝑤𝑡 + 𝜑 29 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Problemas donde intervienen péndulos físicos. Otro de los problemas fiscos donde intervienen ED son los problemas de los péndulos, como ejemplo veamos un péndulo físico simple: 𝜃 m Fig.9 .- péndulo físico En la figura 9 se describe el movimiento de un péndulo físico donde la cuerda es de longitud 𝑙 y el objeto es de masa 𝑚. Usando la mecánica de Lagrange tenemos que la energía cinética del péndulo esta descrita por: 1 1 𝑚𝑥 2 + 𝑚𝑦 2 2 2 (57) 𝑚𝑔𝑙 cos 𝜃 (58) Y la energía potencial dada por: Entonces la ecuación de Lagrange está dada como: 𝐿= 𝑇−𝑉 Sustituyendo (57) y (58) en la ecuación de Lagrange tenemos que 𝐿= 1 1 𝑚𝑥 2 + 𝑚𝑦 2 − 𝑚𝑔𝑙 cos 𝜃 2 2 Ahora por la geometría del problema sabemos que 𝑥 = 𝑙 sin(𝜃) 𝑦 𝑦 = 𝑙 cos 𝜃 30 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Sustituyendo esto en (57) y rescribiendo la ecuación de Lagrange tenemos que: 𝐿= 1 2 2 𝑚𝑙 𝜃 − 𝑚𝑔𝑙 cos 𝜃 2 Para encontrar la ecuación de movimiento de este problema tenemos que introducir esta Lagrangiana en la ecuación de Euler-Lagrange la cual está dada por: 𝜕 𝜕 𝜕 − 𝜕𝑡 𝜕𝑞 𝜕𝑞 Donde 𝑞 es la derivada respecto al tiempo de la coordenada 𝑞 utilizando esto y sustituyendo la Lagrangiana tenemos que: 𝜕 𝜕 𝜕 − 𝐿 = 𝑚𝑙2 𝜃 + 𝑚𝑙𝑔 sin 𝜃 = 0 𝜕𝑡 𝜕𝑞 𝜕𝑞 Entonces la ecuación de movimiento es tara dada por: 𝜃+ Entonces si 𝑔 𝑙 𝑔 sin 𝜃 =0 𝑙 = 𝑤 2 entonces 𝜃 + 𝑤 2 sin 𝜃 = 0 Si suponemos pequeñas oscilaciones tenemos que 1 sin 𝜃 = 𝜃 − 𝜃 2 + ⋯ 2 Entonces la ecuación de movimiento quedara como 𝜃 + 𝑤2 𝜃 = 0 Esta solución ya es conocida por nosotros y describe un movimiento armónico simple: del cual ya conocemos su solución la cual es: 𝜃 𝑡 = 𝐴 cos 𝑤𝑡 + 𝐵 sin 𝑤𝑡 Donde su periodo de oscilación estará dado como 𝑇= 2𝜋 𝑔 𝑙 31 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Fig.11 .- péndulo Móvil La figura 11 en un resorte que oscilara sobre el eje z y el péndulo seguirá el movimiento de un péndulo simple, la ecuación esta regida por los siguientes parámetros 𝑥 = 𝑙 sin 𝜃 𝑦 = −𝑧 − 𝑙 cos 𝜃 Donde sus derivadas respecto al tiempo serán: 𝑥 = 𝑙𝜃 cos 𝜃 𝑦 = −𝑧 − 𝑙𝜃 sin 𝜃 Entonces la ecuación Lagrangiana en termino de sus energías cinéticas y potenciales quedara de la siguiente manera: 𝐿= 1 1 1 𝑚𝑧 2 + 𝑚 𝑧 2 − 2𝑧 𝑙𝜃 sin 𝜃 + 𝑙2 𝜃 2 − 𝑘 𝑧 − 𝑙0 2 2 2 2 + 𝑚𝑔𝑧 Donde l es la longitud de la varilla que une a la masa con la polea y 𝑙0 la elongación adicional después de que el resorte se estira. Siendo esto así la ecuación de Lagrange se puede rescribir como 1 1 𝐿 = 𝑚𝑧 2 + 𝑚𝑧 𝑙𝜃 sin 𝜃 + 𝑚𝑙2 𝜃 2 − 𝑘 𝑧 2 − 2𝑧𝑙0 + 𝑙02 + 𝑚𝑔𝑧 2 2 Entonces usando la definición de la ecuación de Euler-Lagrange para z y 𝜃 las ecuaciones de movimiento quedaran como: 𝜕𝐿 = 𝑚𝑧 − 𝑚𝑙𝜃 sin 𝜃 , 𝜕𝑧 𝜕𝐿 𝜕𝜃 = 𝑚 −𝑙𝑧 sin 𝜃 + 𝑙2 𝜃 , 𝜕𝐿 𝑚𝑔 = −𝑘 𝑧 − 𝑙0 − 𝜕𝑧 𝑘 𝜕𝐿 = −𝑚𝑙𝑧 𝜃 sin 𝜃 𝜕𝜃 32 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Definamos lo siguiente 𝑢 = 𝑧 − 𝑙0 − 𝑚𝑔 𝑘 Entonces las ecuaciones de movimiento quedaran como 𝑢 − 𝑙𝜃 sin 𝜃 − 𝑙𝜃 2 cos 𝜃 + 𝑘 𝑢=0 𝑚 −𝑢 sin 𝜃 + 𝑙𝜃 = 0 Tratando de encontrar soluciones para este sistema de ecuaciones no puede encontrar alguna referencia que me ayudara, así que dejare este problema abierto para que el profesor me pudiera orientar en su resolución. Ecuaciones diferenciales parciales en la física. Las EDP son de gran importancia en la fisca dado que gracias a ellas podemos modelar un sinfín de problemas físicos. El método más usado para resolver este tipo de ecuaciones estilizando la técnica de separación de variables, lo cual explicare a continuación. El método de separación de variables supone que la solución al problema consiste en la multiplicación de funciones de una sola variable. Es decir, si suponemos una ecuación diferencial dada por: 𝑚𝑥 + 𝑚𝑦 + 𝑚𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 (59) Podemos suponer una solución del tipo 𝜑 𝑥, 𝑦, 𝑥 = 𝑋 𝑥 𝑌 𝑦 𝑍 𝑧 La cual vuelve a la ecuación (59) fácil de resolver dado que encontraremos un conjunto de soluciones lineales para 𝜑 𝑥, 𝑦, 𝑥 . Ahora procederé a poner ejemplos de problemas físicos donde intervengan EDP, empleare el método de separación de variables para obtener la solución del sistema de ecuaciones. 33 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Ecuaciones de Transporte Ecuación de Fick en una dimensión espacial. La ecuación que rige este movimiento es la ecuación de transporte para una dimensión. La cual está dada por: ∇2 𝜑 = 1 𝜕𝜑 𝑘 𝜕𝑡 ∇2 𝐶 = 1 𝜕𝐶 𝐷 𝜕𝑡 Para una dimensión tenemos que Sonde D es el coeficiente de difusión de masa y C la concentración. Entonces usando la definición de separación de variables descrita anteriormente tenemos que 𝐶 𝑥, 𝑡 = 𝑋 𝑥 𝑇 𝑡 El Laplaciano para una dimensión esta descrito como 𝜕2𝐶 𝜕𝑥 2 Para una dimensión entonces remplazando esto por la C de la separación de variables tendremos que 𝜕2 𝑋 𝑥 𝑇 𝑡 1 𝜕𝑋 𝑥 𝑇 𝑡 = 2 𝜕𝑥 𝐷 𝜕𝑡 Dado que 𝑋(𝑥) solo depende de la variable x y 𝑇(𝑡) solo depende del tiempo entonces tenemos que: 𝑇 𝑡 𝑑2 𝑋 𝑥 𝑋 𝑥 𝑑𝑇 𝑡 = 2 𝑑𝑥 𝐷 𝑑𝑡 Multiplicando ambas partes de la ecuación anterior por 1 𝑋 𝑥 𝑇 𝑡 34 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Entonces tendremos que 1 𝑑2 𝑋 𝑥 1 𝑑𝑇 𝑡 = 𝑋 𝑥 𝑑𝑥 2 𝐷𝑇 𝑡 𝑑𝑡 Entonces realicemos el siguiente reordenamiento 1 𝑑𝑇 𝑡 1 𝑑2 𝑋 𝑥 2 = −𝜆 = 𝐷𝑇 𝑡 𝑑𝑡 𝑋 𝑥 𝑑𝑥 2 Entonces podemos reordenar esto y conseguir dos ecuaciones diferenciales las cuales serán 1 𝑑𝑇 𝑡 = −𝜆2 𝐷𝑇 𝑡 𝑑𝑡 1 𝑑2 𝑋 𝑥 = −𝜆2 2 𝑋 𝑥 𝑑𝑥 Entonces la forma de resolver la primer ecuación es de tal forma que 1 𝑑𝑇 𝑡 = −𝜆2 𝐷𝑇 𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑇 = −𝜆2 𝐷𝑑𝑡 𝑇 𝑑𝑇 = 𝑇 −𝜆2 𝐷𝑑𝑡 𝑇 = 𝐴0 𝑒 −𝜆 2 𝐷𝑡 La segunda ecuación entonces quedaría como 𝑑2 𝑋 𝑥 + 𝜆2 𝑋 𝑥 = 0 𝑑𝑥 2 Este es un problema de oscilación simple entonces como ya lo hemos visto es que tendrá una solución como: 𝑋 𝑥 = 𝐴 cos(𝑤𝑥) + 𝐵 sin(𝑤𝑥) Considerando las condiciones de contorno 𝑋 tendremos que 𝑥=0 =0=𝑋 𝑥=𝐿 . Teniendo esto en cuenta 𝑋 0 = 𝐴 cos(𝑤0) + 𝐵 sin(𝑤0) = 𝐴 = 0 35 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Para la segunda condición tendremos que 𝑋 𝑥 = 𝐵 sin(𝑤𝐿) = 0 Dado que 𝐵 ≠ 0 entonces solo nos queda que sin(𝑤𝐿) = 0 por tanto sabemos que 𝑤𝐿 = 𝑛𝜋 𝑤= 𝑛𝜋 𝐿 Por tanto la solución de la parte X será 𝑋 𝑥 = 𝐵𝑛 sin( 𝑛𝜋 𝑥) 𝐿 Entonces juntado la solución de T y X tendremos que 𝐶 𝑥, 𝑡 = 𝐴0 𝑒 −𝜆 2 𝐷𝑡 𝐵𝑛 sin( 𝑛𝜋 𝑥) 𝐿 Entonces haciendo las sustituciones convenientes tenemos que 𝑅𝑛 = 𝐴0 𝐵𝑛 Y que 2 𝑅𝑛 = 𝐿 𝐿 0 sin 𝜆𝑛 𝑥 𝑑𝑥 Entonces la solución completa normalizada a 𝑡 = 0 sera ∞ 𝑅𝑛 𝑒 −𝜆 𝑛 𝐶 𝑥, 𝑡 = 0 = 𝑓(𝑥) = 𝑛=1 2 𝐷𝑡 sin( 𝑛𝜋 𝑥) 𝐿 Ejemplo 1 Transporte de Temperatura Hallar la temperatura de un paralelepípedo que está comprendido entre 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑙1 , 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑙2 , 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑙3 si su temperatura inicial es una función arbitraria de x, y, z, y la temperatura de la superficie se mantiene igual a cero. 36 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Primero sabemos que la ecuación de calor está dada por ∇2 𝜑 = 1 𝜕𝜑 𝑐 2 𝜕𝑡 (60) Donde c es el coeficiente de difusividad térmica. Entonces utilicemos el método de separación de variables sea entonces 𝜑 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = 𝑋 𝑥 𝑌 𝑦 𝑍 𝑧 𝑇 𝑡 (61) Ahora bien el Laplaciano en coordenadas rectangulares esta descrito como ∇2 = 𝜕 𝜕 𝜕 + 2+ 2 2 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Sustituyendo (61) en (60) tendremos que el Laplaciano quedara como 𝜕 2 𝑋𝑌𝑍𝑇 𝜕 2 𝑋𝑌𝑍𝑇 𝜕 2 𝑋𝑌𝑍𝑇 1 𝜕𝑋𝑌𝑍𝑇 + + = 2 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2 𝑐 𝜕𝑡 Multiplicando ambos lados de la ecuación anterior por 1 𝑋𝑌𝑍𝑇 para cambiar las diferenciales parciales por totales tendremos que 1 𝑑2𝑋 1 𝜕 2𝑌 1 𝜕 2𝑍 1 𝜕𝑇 + + = 2 2 2 2 𝑋 𝑑𝑥 𝑌 𝜕𝑦 𝑍 𝜕𝑧 𝑇𝑐 𝜕𝑡 Entonces podemos hacer las siguientes sustituciones e igualdades 1 𝑑2𝑋 1 𝜕𝑇 1 𝜕 2 𝑌 1 𝜕 2 𝑍 2 = −𝜆 = − − 𝑋 𝑑𝑥 2 𝑇𝑐 2 𝜕𝑡 𝑌 𝜕𝑦 2 𝑍 𝜕𝑧 2 1 𝜕2𝑌 1 𝜕𝑇 1 𝜕 2 𝑍 2 = −𝜂 = 2 − + 𝜆2 𝑌 𝜕𝑦 2 𝑇𝑐 𝜕𝑡 𝑍 𝜕𝑧 2 1 𝜕2𝑍 1 𝜕𝑇 = −𝜁2 = 2 + 𝜂 2 + 𝜆2 2 𝑍 𝜕𝑧 𝑇𝑐 𝜕𝑡 1 𝜕𝑇 = −Ω2 = 𝜂 2 + 𝜆2 + 𝜁2 𝑇𝑐 2 𝜕𝑡 Entonces las ecuaciones diferenciales a resolver serán 𝑑2𝑋 + 𝜆2 𝑋 = 0 𝑑𝑥 2 (62) 𝜕2𝑌 + 𝜂2 𝑌 = 0 𝜕𝑦 2 (63) 37 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 𝜕2𝑍 + 𝜁2 𝑍 = 0 𝜕𝑧 2 (64) 1 𝜕𝑇 = −Ω2 𝑇𝑐 2 𝜕𝑡 (65) La manera de resolver (62), (63), (64) describen la ecuación de un oscilador armónico, del cual ya conocemos que se encuentran sus soluciones y (64) se soluciona por medio de integración las condiciones de frontera para estos problemas son tales que 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑙1 , 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑙2 , 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑙3 , 𝜑 𝑥 =0 = 𝜑 𝑥=𝑙 1 = 0, 𝜑 𝑦=0 = 𝜑 𝑦=𝑙 2 = 0, 𝜑 𝑧=0 = 𝜑 𝑧=𝑙 3 = 0, 0 < 𝑡 < ∞ y también que 𝜑 𝑡=0 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 , de esto entonces, la solución para (62) será 𝑑2𝑋 + 𝜆2 𝑋 = 0 𝑑𝑥 2 𝑋 𝑥 = 𝐴 cos(𝜆𝑥) + 𝐵 sin 𝜆𝑥 𝑋 0 = 𝐴 cos(𝜆0) + 𝐵 sin 𝜆0 = 𝐴 = 0 𝑋 𝑙1 = 𝐵 sin 𝜆𝑙1 = 0 Dado que B no puede ser cero entonces solo nos queda que sin 𝑤𝑙1 = 0 por tanto solo nos queda que 𝜆𝑙1 = 𝑛𝜋 𝜆= 𝑛𝜋 𝑙1 Quedando entonces la solución de 𝑋(𝑥) como 𝑋 𝑥 = 𝐵𝑛 sin 𝑛𝜋 𝑥 𝑙1 De manera similar obtenemos soluciones para las ecuaciones (63) y (64) las cuales nos darán 𝑌 𝑦 = 𝐵𝑚 sin 𝑚𝜋 𝑦 𝑙2 𝑍 𝑧 = 𝐵ñ sin ñ𝜋 𝑧 𝑙3 Ahora encontremos la solución para (65) la cual será 1 𝜕𝑇 = −Ω2 𝑇𝑐 2 𝜕𝑡 38 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 𝜕𝑇 = −Ω2 𝑐 2 𝑑𝑡 𝑇 𝜕𝑇 = 𝑇 −Ω2 𝑐 2 𝑑𝑡 ln 𝑇 = −Ω2 𝑐 2 𝑡 𝑇 = 𝐵0 𝑒 −Ω 2𝑐 2𝑡 Entonces la solución general para el sistema de ecuaciones diferenciales en términos de las soluciones 𝑋(𝑥), 𝑌(𝑦), 𝑍(𝑧), 𝑇(𝑡) tendremos que 𝜑 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = 𝐵𝑛 𝐵𝑚 𝐵ñ𝐵0 𝑒 −Ω 2𝑐2𝑡 sin 𝑛𝜋 𝑚𝜋 ñ𝜋 𝑥 sin 𝑦 sin 𝑧 𝑙1 𝑙2 𝑙3 Rescribiendo 𝐵𝑛.𝑚 .ñ = 𝐵𝑛 𝐵𝑚 𝐵ñ 𝐵0 entonces la solución se escribirá como 𝜑 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = 𝐵𝑛 ,𝑚 ,ñ𝑒 −Ω 2𝑐2𝑡 sin 𝑛𝜋 𝑚𝜋 ñ𝜋 𝑥 sin 𝑦 sin 𝑧 𝑙1 𝑙2 𝑙3 Entonces sabiendo que normalizando a 𝐵𝑛,𝑚 ,ñ cuando 𝑡 = 0 entonces 𝐵𝑛 ,𝑚 ,ñ = 8 𝑙1 𝑙2 𝑙3 𝑙1 𝑙2 𝑑𝜉 0 𝑑𝜂 0 𝑙3 𝑓 𝜉, 𝜂, 𝜁 sin 0 𝑛𝜋 𝑚𝜋 ñ𝜋 𝜉 sin 𝜂 sin 𝜁 𝑑𝜁 𝑙1 𝑙2 𝑙3 Quedando entonces la solución como ∞ 𝜑 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = 𝐵𝑛 ,𝑚 ,ñ𝑒 𝑛 ,𝑚 ,ñ=1 −𝜋 2 𝑛 2 𝑚 2 ñ2 2 + + 𝑐 𝑡 𝑙1 𝑙2 𝑙3 sin 𝑛𝜋 𝑚𝜋 ñ𝜋 𝑥 sin 𝑦 sin 𝑧 𝑙1 𝑙2 𝑙3 Ejemplo 2 Transporte de Temperatura Hallar la temperatura de un sector cilíndrico infinito 𝑟1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑟2 , 0 ≤ 𝜑 ≤ 𝜑0 si las superficies 𝑟 = 𝑟1 𝑦 𝑟 = 𝑟2 intercambian calor por convención con un medio de temperatura cero, las caras 𝜑 = 0 y 𝜑 = 𝜑0 , están aislados térmicamente y su temperatura inicial es 𝑢 𝑡=0 = 𝑓 𝑟, 𝜑 , 𝑟1 < 𝑟 < 𝑟2 , 0 < 𝜑 < 𝜑0 39 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 La ecuación de transporte para este problema estará descrita como 𝜕𝑢 𝜕 2 𝑢 1 𝜕𝑢 1 𝜕 2 𝑢 2 =𝑎 + + 𝜕𝑡 𝜕𝑟 2 𝑟 𝜕𝑟 𝑟 2 𝜕𝜑2 Entonces usemos el ya conocido método de separación de variables declarando que 𝑢 𝑟, 𝜑, 𝑡 = 𝑅 𝑟 Φ 𝜑 𝑇(𝑡) Entonces nuestra ecuación de transporte quedara como 𝜕𝑅 𝑟 Φ 𝜑 𝑇 𝑡 𝜕2𝑅 𝑟 Φ 𝜑 𝑇 𝑡 1 𝜕𝑅 𝑟 Φ 𝜑 𝑇 𝑡 1 𝜕2𝑅 𝑟 Φ 𝜑 𝑇 𝑡 = 𝑎2 + + 𝜕𝑡 𝜕𝑟 2 𝑟 𝜕𝑟 𝑟2 𝜕𝜑2 Multiplicando ambos miembros de la ecuación por 1 𝑅 𝑟 Φ 𝜑 𝑇(𝑡) para convertir las ecuaciones parciales por ecuaciones totales tendremos que 1 𝑑𝑇 1 𝑑2 𝑅 1 𝑑𝑅 1 𝜕2Φ 2 =𝑎 + + 𝑇 𝑑𝑡 𝑅 𝑑𝑟 2 𝑅𝑟 𝑑𝑟 Φ𝑟 2 𝜕𝜑2 1 𝑑2 𝑅 1 𝑑𝑅 1 𝜕2 Φ 1 𝑑𝑇 + + = −𝜆2 = 2 2 2 2 𝑅 𝑑𝑟 𝑅𝑟 𝑑𝑟 Φ𝑟 𝜕𝜑 𝑇𝑎 𝑑𝑡 Entonces podemos proceder a solucionar la ecuación de la parte temporal como ya se a solucionado así que 1 𝑑𝑇 = −𝜆2 𝑎2 𝑇 𝑑𝑡 𝑑𝑇 = −𝜆2 𝑎2 𝑑𝑡 𝑇 𝑑𝑇 = 𝑇 −𝜆2 𝑎2 𝑑𝑡 ln 𝑇 = 𝐶𝑒 −𝜆 2𝑎 2𝑡 Entonces ocupémonos de las ecuaciones restantes las cuales serán 1 𝑑2 𝑅 1 𝑑𝑅 1 𝑑2 Φ + + = −𝜆2 𝑅 𝑑𝑟 2 𝑅𝑟 𝑑𝑟 Φ𝑟 2 𝑑𝜑2 40 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Multiplicando por 𝑟 2 en ambos lados de la ecuación y agregando otra constante de separación entonces tendremos 𝑟2 𝑟 2 1 𝑑2 𝑅 1 𝑑𝑅 1 𝑑Φ + + = −𝜆2 𝑅 𝑑𝑟 2 𝑅𝑟 𝑑𝑟 Φ 𝑑𝜑2 1 𝑑2 𝑅 1 𝑑𝑅 1 𝜕2Φ 2 2 + + 𝜆 = −Ω = 𝑅 𝑑𝑟 2 𝑅𝑟 𝑑𝑟 Φ𝑟 2 𝜕𝜑2 La ecuación angular ya es conocida por nosotros dado que es la solución para un oscilador entonces la solución para esta ED será 𝑑2 Φ + Ω2 Φ = 0 𝑑𝜑2 Donde como ya sabemos la solución para esta ED es de la forma Φ φ = 𝐴 cos Ω𝜑 + 𝐵 sin Ω𝜑 Las condiciones de frontera para este problema son 𝜕𝑢 𝜕𝜑 = 𝜑=0 𝜕𝑢 𝜕𝜑 =0 𝜑=𝜑 0 Entonces la primer derivada de Φ y usando las condiciones de frontera tenemos que Φ φ = −𝐴Ω sin Ω𝜑 + 𝐵𝜔 cos Ω𝜑 Φ 0 = −𝐴Ω sin Ω0 + 𝐵Ω cos Ω0 = 𝐵Ω = 0 Φ 𝜑0 = −𝐴Ω sin Ω𝜑0 = 0 Dado que A no puede ser cero entonces lo único que puede ser cero es el sin 𝜔𝜑0 entonces Ω𝜑0 = 𝑛𝜋 Ω= 𝑛𝜋 𝜑0 Entonces la solución quedara como Φ φ = 𝐴 cos 𝑛𝜋 𝜑 𝜑0 Ahora solo nos quedara resolver la solución radial, la cual quedara como 41 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 𝑟2 1 𝑑2 𝑅 1 𝑑𝑅 + + 𝜆2 = −Ω2 2 𝑅 𝑑𝑟 𝑅𝑟 𝑑𝑟 Hagamos las siguientes sustituciones y operaciones algebraicas 1 𝑑2 𝑅 1 𝑑𝑅 Ω2 2 + +𝜆 = 2 𝑅 𝑑𝑟 2 𝑅𝑟 𝑑𝑟 𝑟 Ω2 𝑣 =− 2 𝑟 2 𝜆2 = 𝛾 2 𝑥 =𝛾𝑟 𝑟= 𝑥 𝛾 Derivando r tendremos que 𝑑𝑥 = 𝛾𝑑𝑟 𝑑𝑟 = 𝑑𝑥 𝛾 También tenemos que 𝑑2 𝑑 𝑑 = 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 Por tanto 𝑑2 𝑥 = 𝑑𝑥𝑑𝑥 = 𝛾 2 𝑑𝑟 2 Entonces 𝑑𝑟 2 𝑑𝑥 2 = 2 𝛾 Utilizando esto y multiplicando ambos lados de la ecuación radial por 𝑅 𝑥2 entonces realizando esto obtendremos 𝑅 𝑥𝛾 𝑥 2𝛾2 𝑅′ + 𝑅′′ + 𝑥 − 𝑣 2 = 0 2 2 𝑥 𝛾𝑅 𝑅𝛾 42 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 1 𝑣2 𝑅′′ + 𝑅′ + 1 − 2 = 0 𝑥 𝑥 Lo cual nos conduce a la función de Bessel de primer orden donde la solución general está dada por 𝑅 𝑟 = 𝐴𝐽𝑛 𝑟 + 𝐵𝑁𝑛 𝑟 Donde 𝐽𝑛 𝑟 so funciones de Bessel y 𝑁𝑛 𝑟 son funciones de Neumann entonces dadas las condiciones de frontera son 𝜕𝑢 − 1 𝑢 𝜕𝑟 = 𝑟=𝑟1 𝜕𝑢 + 2 𝑢 𝜕𝑟 𝑟=𝑟2 =0 Entonces la solución estará dada como 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑅𝑛 = 𝑍𝑛 𝜆𝑘 𝑟 = 𝜆𝑘 𝐽 ′ 𝑛𝜋 𝜆𝑘 𝑟1 − 1 𝐽 ′ 𝑛𝜋 𝜆𝑘 𝑟1 𝜑0 𝜑0 (𝑛) 𝑛 (𝑛) − 𝜆𝑘 𝑁 ′ 𝑛𝜋 𝜆𝑘 𝑟1 − 1 𝑁𝑛𝜋 𝜆𝑘 𝑟1 𝜑0 𝜑0 𝑛 𝑁𝑛𝜋 𝜆𝑘 𝑟1 − 𝜑0 (𝑛) 𝐽𝑛𝜋 𝜆𝑘 𝑟 𝜑0 Entonces la solución normalizada para esta ecuación estará dada por ∞ 𝐴𝑛,𝑘 𝑒 −𝜆 𝑢 𝑟, 𝜑, 𝑡 = 2𝑎 2𝑡 𝑛 𝑍𝑛 𝜆𝑘 𝑟 cos 𝑛,𝑘=0 𝑛𝜋 𝜑 𝜑0 Ejemplo 3 Transporte de Temperatura Hallar la temperatura de una esfera de radio 𝑟0 , cuya superficie se mantiene a temperatura nula, si en el instante inicial la temperatura de la esfera era 𝑢 𝑡=0 =𝑓 𝑟 , 0 ≤ 𝑟 < 𝑟0 La ecuación de conductividad térmica, en virtud de la simetría radial, se escribe 𝜕𝑢 𝜕 2 𝑢 2 𝜕𝑢 = 𝑎2 + 𝜕𝑡 𝜕𝑟 2 𝑟 𝜕𝑟 entonces la solución a este problema viene de responder el siguiente par de ecuaciones diferenciales 𝑑𝑇 = −𝛾 2 𝑎2 𝑑𝑡 𝑇 43 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 1 2𝑟𝑅′ + 𝑟 2 𝑅′′ + 𝛾 2 𝑅 = 0 𝑟2 Entonces como ya lo sabemos la solución a la ecuación temporal está dada como 𝑇 = 𝐴𝑒 −𝑎 2𝛾 2 𝑡 La solución a la ecuación radial estará dada haciendo la siguiente simplificación 2 𝑅 ′′ + 𝑅 ′ + 𝛾 2 𝑅 = 0 𝑟 𝑟𝑅 ′′ + 2𝑅′ + 𝛾 2 𝑟𝑅 = 0 Las condiciones de frontera imponen que 𝑅 0 = 𝑅 𝑟0 = 0. El problema para R se reduce a un desarrollo por series de Fourier. Entonces haciendo los siguientes cambios de variables tenemos que 𝑆 = 𝑟𝑅 Obtendremos que 𝑆 ′′ + 𝛾𝑆 ′ = 0, 𝑆 0 = 𝑆 𝑟0 = 0 Entonces tendremos que 𝛾𝑛 = 𝑛 2 𝜋 2 , ∀𝑛 ∈ ℕ Entonces la solución para S quedara como 𝑆𝑛 = sin(𝑛𝜋𝑠) Por tanto esto a la solución para R tenemos que 𝑅𝑛 𝑟 = 𝐴 𝑛𝜋 sin 𝑟 𝑟 𝑟0 Entonces la solución general a la ecuación será: ∞ 𝑢 𝑟, 𝑡 = 𝑛𝜋 𝑟 𝑟0 𝐴𝑛 sin 𝑛=1 𝑟 Donde 𝐴𝑛 = 2 𝑟0 𝑟0 0 𝑟𝑓 𝑟 sin 𝑛𝜋 𝑟 𝑑𝑟 𝑟0 44 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Ejemplo 4 Transporte de Temperatura Se tiene un disco plano conductor de calor con un radio de b, y su temperatura es 𝑢 𝑟, 𝜃, 0 = 𝑇0 𝑟 𝑎 sin 𝑣𝜃 para el tiempo 𝑡 > 0, la frontera del disco disipa calor al ambiente que se mantiene a 0º. La ecuación de conducción de calor en coordenadas esféricas estará dada como 𝜕𝑢 𝜕 2 𝑢 1 𝜕𝑢 1 𝜕𝑢 = 𝑎2 + + 𝜕𝑡 𝜕𝑟 2 𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 Utilizando el método de separación de variables tenemos que 𝑢 𝑟, 𝜃, 𝑡 = 𝑅 𝑟 Θ 𝜃 𝑇 𝑡 Por lo usado anteriormente esto se reduce a la separación de las ecuaciones temporales, radial, y angular entonces el sistema de ecuaciones diferenciales a resolver estará dado como 𝜕2𝑅 𝑟 Θ 𝜃 1 𝜕𝑅 𝑟 Θ 𝜃 1 𝜕2𝑅 𝑟 Θ 𝜃 + + 2 𝜕𝑟 2 𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 2 + 𝛾2𝑅 𝑟 Θ 𝜃 = 0 𝑑𝑇 = −𝑎2 𝛾 2 𝑑𝑡 𝑇 La primera ecuación todavía la podemos reducir un poco mas entonces obtendremos las siguientes ecuaciones 1 𝑑2 𝑅 1 𝑑𝑅 𝑣2 + − = −𝛽 2 𝑅 𝑑𝑟 2 𝑟 𝑑𝑟 𝑟2 Θ′′ + 𝑣 2 Θ = 0 Entonces las soluciones adquieren la forma 𝑅 𝛽, 𝑟 = 𝐽𝑛 𝛽𝑟 + 𝑁𝑛 𝛽𝑟 Θ 𝑣, 𝜃 = 𝐴 sin 𝑣𝜃 + 𝐵 cos 𝑣𝜃 𝑇 𝑡 = 𝑒 −𝑎 2𝛾 2𝑡 Donde 𝛾 2 = 𝛽 2 + 𝑣 2 , ahora apliquemos las condiciones de frontera. Entonces la solución del problema de manera general es 45 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 ∞ ∞ 2 𝑒 −𝑎𝛽𝑚 𝐵𝑚𝑣 sin 𝑣𝜃 + 𝐶𝑚𝑣 cos 𝑣𝜃 𝑅𝑣 𝛽𝑚 , 𝑟 𝑇 𝑟, 𝜃, 𝑡 = 𝑚 =1 𝑣=0 Ecuaciones de onda Ejemplo 1 ecuación de onda para una cuerda vibrante con los extremos fijos Supongamos el problema de una cuerda vibrante de longitud l con extremos fijos donde las condiciones de frontera para el problema están dados como 𝑢 𝑥, 0 = 𝑓 𝑥 , 𝑢 𝑥, 0 = 𝑔 𝑥 𝑢 𝑥=0 =𝑢 𝑥=𝑙 =0 Entonces la ecuación de onda esta descrita por la siguiente ED 𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 2 = 𝑐 𝜕𝑡 2 𝜕𝑥 2 Entonces usando el método de separación de variables tenemos que 𝑢 𝑥, 𝑡 = 𝑋 𝑥 𝑇 𝑡 Sustituyendo esto en la ecuación de onda tenemos que nuestro sistema de ecuaciones quedara como 1 𝑑2 𝑇 1 𝑑2 𝑋 = = −𝛾 2 𝑇𝑐 2 𝑑𝑡 2 𝑋 𝑑𝑥 2 Entonces las soluciones a resolver tendrán la forma 𝑋 ′′ + 𝛾 2 𝑋 = 0 𝑇 ′′ + 𝑐 2 𝛾 2 𝑇 = 0 Ahora procedamos a resolver estas ecuaciones: Para 𝑋 dada las condiciones iníciales 𝑢 𝑥=0 =𝑢 𝑥=𝑙 = 0 tendremos que 𝑋 ′′ + 𝛾 2 𝑋 = 0 𝑋 𝑥 = 𝐴 cos(𝛾𝑥) + 𝐵 sin 𝛾𝑥 𝑋 0 = 𝐴 cos(𝛾0) + 𝐵 sin 𝛾0 = 𝐴 = 0 46 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 𝑋 𝑙 = 𝐵 sin 𝛾𝑙 = 0 𝛾𝑙 = 𝑛𝜋 𝛾= 𝑛𝜋 𝑙 Quedando entonces la solución para 𝑋 como 𝑋 𝑥 = 𝐵𝑛 sin 𝑛𝜋 𝑥 𝑙 Ahora analicemos la solución para la parte temporal. 𝑇 ′′ + 𝑐 2 𝛾 2 𝑇 = 0 𝑇 𝑡 = 𝐶 cos 𝛾𝑐𝑡 + 𝐷 sin 𝛾𝑐𝑡 Sustituyendo el valor que ya conocemos para 𝛾 tenemos que 𝑇 𝑡 = 𝐶𝑛 cos 𝑛𝜋𝑐 𝑛𝜋𝑐 𝑡 + 𝐷𝑛 sin 𝑡 𝑙 𝑙 Entonces la solución quedara como ∞ 𝑢 𝑥, 𝑡 = 𝐶𝑛 cos 𝑛=1 𝑛𝜋𝑐 𝑛𝜋𝑐 𝑡 + 𝐷𝑛 sin 𝑡 𝑙 𝑙 sin 𝑛𝜋 𝑥 , ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑙 Ahora utilicemos las condiciones iníciales 𝑢 𝑥, 0 = 𝑓 𝑥 , 𝑢𝑡 𝑥, 0 = 𝑔 𝑥 para resolver las constantes 𝐶𝑛 , 𝐷𝑛 ∞ 𝑢 𝑥, 0 = 𝐶𝑛 sin 𝑛=1 𝑛𝜋 𝑥 = 𝑓 𝑥 → 𝐶𝑛 = 𝑙 𝑙 0 2 𝑛𝜋 𝑓 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 , ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑙 𝑙 Suponiendo que la serie se puede derivar termino a termino obtendremos que ∞ 𝑢 𝑥, 0 = 𝑛=1 Pues 𝑛𝜋𝑐 𝑙 𝑛𝜋𝑐 𝑛𝜋 2 𝐶𝑛 sin 𝑥 = 𝑔 𝑥 → 𝐷𝑛 = 𝑙 𝑙 𝑛𝜋𝑐 𝑙 𝑔 𝑥 cos 0 𝑛𝜋 𝑥 𝑑𝑥 , ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑙 𝐶𝑛 son los coeficientes del desarrollo de g en senos. 47 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Ejemplo 2 ecuación de onda para resolver las vibraciones entre dos superficies esféricas Para este problema tendremos que la ecuación de onda y las condiciones iníciales y de frontera tendrán la forma 𝜕2𝑢 𝜕 2 𝑢 2 𝜕𝑢 = + , 1 ≤ 𝑟 ≤ 2, 𝑡 ∈ ℝ 𝜕𝑡 2 𝜕𝑟 2 𝑟 𝜕𝑟 𝑢 𝑟=1 =𝑢 𝑟=2 =0 𝑢 𝑟, 0 = 𝑓 𝑟 , 𝑢 𝑟, 0 = 𝑔 𝑟 Entonces usando el método de separación de variables tenemos que 𝑢 𝑥, 𝑡 = 𝑅 𝑟 𝑇 𝑡 Sustituyendo esto en la ecuación de onda tenemos que nuestro sistema de ecuaciones quedara como 2 𝑅 ′′ + 𝑅′ 𝑇′′ 𝑟 = = −𝛾 𝑅 𝑇 Entonces las soluciones a resolver tendrán la forma 𝑟𝑅 ′′ + 2𝑅 ′ + 𝛾𝑟𝑅 = 0 𝑇 ′′ + 𝛾𝑇 = 0 Las condiciones de frontera imponen que 𝑅 1 = 𝑅 2 = 0. El problema para R se reduce a un desarrollo por series de Fourier. Entonces haciendo los siguientes cambios de variables tenemos que 𝑆 = 𝑟𝑅 Obtendremos que 𝑆 ′′ + 𝛾𝑆 ′ = 0, 𝑆 1 = 𝑆 2 = 0 Ahora bien, haciendo 𝑟 = 𝑠 + 1 𝑆 ′′ + 𝛾𝑆 ′ = 0, 𝑆 0 = 𝑆 1 = 0 48 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Entonces tendremos que 𝛾𝑛 = 𝑛 2 𝜋 2 , ∀𝑛 ∈ ℕ Entonces la solución para S quedara como 𝑆𝑛 = sin(𝑛𝜋𝑠) Por tanto esto a la solución para R tenemos que 𝑅𝑛 = sin(𝑛𝜋𝑟) 𝑟 Para estos valores de 𝛾 las soluciones para la parte temporal son 𝑇𝑛 = 𝐴𝑛 cos(𝑛𝜋𝑡) + 𝐵𝑛 sin(𝑛𝜋𝑡) Entonces la solución quedara como ∞ 𝑢 𝑟, 𝑡 = 𝐴𝑛 cos 𝑛𝜋𝑡 + 𝐵𝑛 sin 𝑛𝜋𝑡 𝑛=1 sin 𝑛𝜋𝑟 𝑟 Las condiciones iníciales entonces nos imponen que: ∞ 𝑢 𝑟, 0 = sin 𝑛𝜋𝑟 = 𝑓 𝑟 , ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑟 𝐶𝑛 𝑛=1 ∞ 𝑢 𝑟, 0 = 𝑛𝜋𝐶𝑛 𝑛=1 sin 𝑛𝜋𝑟 = 𝑔 𝑟 , ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑟 Para hallar los coeficientes del desarrollo de una función en las auto funciones 𝑅𝑛 (𝑟), utilicemos el problema de Sturm-Liouville: 𝑟 2𝑅′ ′ + 𝛾𝑟 2 𝑅 = 0 Como 2 𝑅𝑛 , 𝑅𝑛 = 1 𝑟2 sin2 𝑛𝜋𝑟 1 𝑑𝑟 = 𝑟2 2 Y 2 𝑓, 𝑅𝑛 = 1 𝑟 2𝑓 𝑟 sin 𝑛𝜋𝑟 1 𝑑𝑟 = 𝑟 2 49 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Entonces podemos concluir que 2 𝐶𝑛 = 2 2 𝐷𝑛 = 𝑛𝜋 𝑟𝑓 𝑟 sin 𝑛𝜋𝑟 𝑑𝑟 1 2 𝑟𝑔 𝑟 sin 𝑛𝜋𝑟 𝑑𝑟 1 Ejemplo 3 ecuación de onda en tres dimensiones Sea el problema de valores iníciales para las ondas en 3 dimensiones espaciales 𝜕2 𝑢 𝜕2 𝑢 𝜕2 𝑢 𝜕2 𝑢 2 = 𝑐 + + , 𝜕𝑥2 𝜕𝑦2 𝜕𝑧2 𝜕𝑡2 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ3 , 𝑡 ∈ ℝ Dadas las condiciones iníciales 𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑧, 0 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 , 𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑧, 0 = 𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧 De la formula se puede deducir de manera análoga a la formula de D’Alembert para 𝑛 = 1. Si aceptamos el hecho que, si 𝑓 ∈ 𝑐 3 y 𝑓 ∈ 𝑐 2, esa solución viene dada por la formula de Poisson o de Kirchoff la cual viene dada por 𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = 𝜕 1 𝜕𝑡 4𝜋𝑐 2 𝑡 𝑓𝑑𝑠 + 𝐶 1 4𝜋𝑐 2 𝑡 𝑔𝑑𝑠 (66) 𝐶 Donde 𝐶 es la superficie de la bola de centro 𝑥, 𝑦, 𝑧 y radio 𝑐𝑡 (figura 12). 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝜃 𝑐𝑡 ∅ Fig.12.- representación de una ecuación de onda en 3 dimensiones Utilizando la simetría de la figura 12 para coordenadas esféricas, entonces podemos parametrizar esta superficie mediante los ángulos 𝜃 y ∅ introduciendo esto en la ecuación (66) tenemos que 50 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = 𝜕 𝑡 𝜕𝑡 4𝜋 2𝜋 𝜋 𝑓 𝑥 + 𝑐𝑡 sin 𝜃 cos ∅ , 𝑦 + 𝑐𝑡 sin 𝜃 sin ∅ , 𝑧 0 0 + 𝑐𝑡 cos 𝜃 sin 𝜃 𝑑𝜃𝑑∅ 𝑡 2𝜋 𝜋 + 𝑔 𝑥 + 𝑐𝑡 sin 𝜃 cos ∅ , 𝑦 + 𝑐𝑡 sin 𝜃 sin ∅ , 𝑧 4𝜋 0 0 + 𝑐𝑡 cos 𝜃 sin 𝜃 𝑑𝜃𝑑∅ Ejemplo 4 ecuación de onda en dos dimensiones Sea el problema de valores iníciales para las ondas en 3 dimensiones espaciales 𝜕2 𝑢 𝜕2 𝑢 𝜕2 𝑢 2 =𝑐 + , 𝜕𝑥2 𝜕𝑦2 𝜕𝑡2 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2 , 𝑡 ∈ ℝ Dadas las condiciones iníciales 𝑢 𝑥, 𝑦, 0 = 𝑓 𝑥, 𝑦 , 𝑢 𝑥, 𝑦, 0 = 𝑔 𝑥, 𝑦 Al igual que en el ejemplo anterior este tiene una solución como 𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑡 = 1 𝜕 2𝜋𝑐 𝜕𝑡 𝑓 𝜉, 𝜂 𝑑𝜉𝑑𝜂 𝐵 𝑐2𝑡2 − 𝜉 −𝑥 2 − 𝜂−𝑦 2 𝑔 𝜉, 𝜂 𝑑𝜉𝑑𝜂 + 𝐵 𝑐2𝑡2 − 𝜉−𝑥 2 − 𝜂−𝑦 2 Donde 𝐵 todo el circulo de centro 𝑥, 𝑦 y radio 𝑐𝑡. Nota: tanto el ejemplo 3 y el ejemplo 4 se pueden prestar para el cambio de coordenadas haciendo las sustituciones pertinentes. La manera de interpretar la ecuación (66) los valores de u solo dependen de los 𝑓 y 𝑔 sobre el borde de la esfera 𝐵 𝑥, 𝑦, 𝑧 , 𝑐𝑡 . Si para 𝑡 = 0 hay una perturbación concentrada en un punto P del espacio, en otro 𝑡 solo están perturbados los puntos de la superficie esférica de centro P y radio 𝑐𝑡, pues para los demás puntos es 𝑓 = 𝑔 = 0 sobre la superficie C. 51 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Ecuación de Helmholtz La ecuación de Helmholtz esta descrita por ∇2 𝑢 + 𝑘 2 𝑢 = 𝜌 Ejemplo 1. Ecuación coordenadas esféricas. de Helmholtz en Resolvamos la ecuación homogénea de Helmholtz en coordenadas esféricas. Usemos el método de separación de variables. Entonces siendo esto así tenemos que ∇2 𝑢 + 𝑘 2 𝑢 = 0 Primero tenemos que declarar la una función de separación de variables la cual será 𝑢 𝑟, 𝜃, 𝜑 = 𝑅 𝑟 Θ 𝜃 Φ 𝜑 La ecuación de Laplace en coordenadas esféricas está dada por ∇2 = 1 𝜕 2 𝜕 1 𝜕 𝜕 1 𝜕2 𝑟 + sin 𝜃 + 𝑟 2 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑟 2 sin 𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝜃 𝑟 2 sin 𝜃 𝜕𝜑2 Sustituyendo esto en la ecuación de Helmholtz tenemos que 1 𝑑 2 𝑑𝑅 1 𝜕 𝜕Θ 1 𝜕2Φ 𝑟 + sin 𝜃 + + 𝑘2 = 0 𝑟 2 𝑅 𝑑𝑟 𝑑𝑟 Θ𝑟 2 sin 𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝜃 Φ𝑟 2 sin 𝜃 𝜕𝜑2 Para separar las variables, primero multiplicamos toda la ecuación por 𝑟 2 sin2 𝜃 y separamos la ecuaciónΦ. Se obtiene entonces sin2 𝜃 𝑑 2 𝑑𝑅 sin 𝜃 𝜕 𝜕Θ 1 𝜕2Φ 𝑟 + sin 𝜃 + + 𝑟 2 sin2 𝜃 𝑘 2 = −𝑚 2 𝑅 𝑑𝑟 𝑑𝑟 Θ 𝜕𝜃 𝜕𝜃 Φ 𝜕𝜑2 𝜕2 Φ + 𝑚2Φ = 0 2 𝜕𝜑 52 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Entonces llegamos a que Φ s como ya la sabemos la ecuación de oscilador. Ahora separamos las ecuaciones de Θ y 𝑅 multipliquemos ambos lados de la ecuación por 1 sin 2 𝜃 entonces obtendremos que 1 sin2 𝜃 sin2 𝜃 𝑑 2 𝑑𝑅 sin 𝜃 𝜕 𝜕Θ 𝑟 + sin 𝜃 + 𝑟 2 sin2 𝜃 𝑘 2 = −𝑚 2 𝑅 𝑑𝑟 𝑑𝑟 Θ 𝜕𝜃 𝜕𝜃 1 𝑑 2 𝑑𝑅 1 𝜕 𝜕Θ 𝑚2 2 2 𝑟 +𝑟 𝑘 =− sin 𝜃 + 2 = 𝑙(𝑙 + 1) 𝑅 𝑑𝑟 𝑑𝑟 Θ sin 𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝜃 sin 𝜃 Donde por conveniencia nombraremos a la constante de separación por 𝑙 𝑙 + 1 . Entonces las ecuaciones para cada variable nos quedaran 𝑑 2 𝑑𝑅 𝑟 + 𝑟 2𝑘2 − 𝑙 𝑙 + 1 𝑅 = 0 𝑑𝑟 𝑑𝑟 1 𝜕 𝜕Θ 𝑚2 sin 𝜃 +Θ 𝑙 𝑙+1 + 2 sin 𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝜃 sin 𝜃 =0 Realicemos el siguiente cambio de variable en la primera ecuación 𝑅= 𝑆 𝑟 Y en la segunda ecuación 𝑥 = cos 𝜃 Desarrollemos la ecuación radial y veamos a donde llegamos 𝑑 2 𝑑𝑅 𝑟 + 𝑟 2𝑘2 − 𝑙 𝑙 + 1 𝑅 = 0 𝑑𝑟 𝑑𝑟 2𝑟𝑅′ + 𝑟 2 𝑅 ′′ + 𝑟 2 𝑘 2 − 𝑙 𝑙 + 1 𝑅 = 0 2 ′′ 𝑟 𝑆 + 𝑟𝑆 ′ 1 𝑟 𝑘 − 𝑙+ 2 2 2 2 𝑆=0 53 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 La cual es la ecuación de Bessel. Ahora hagamos lo mismo pata la ecuación de Θ 1 𝜕 𝜕Θ 𝑚2 sin 𝜃 +Θ 𝑙 𝑙+1 + 2 sin 𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝜃 sin 𝜃 =0 1 𝑚2 ′ ′′ cos 𝜃 Θ + sin 𝜃 Θ + Θ 𝑙 𝑙 + 1 + 2 sin 𝜃 sin 𝜃 1 − 𝑥 2 Θ′′ − 2xΘ′ + Θ 𝑙 𝑙 + 1 + 𝑚2 sin2 𝜃 =0 =0 Esta ecuación es la ecuación de Legendre. Sabiendo esto de la ecuación radial, angular y acimutal entonces la solución general será: 𝐽𝑙+1 𝑘𝑟 2 𝑢 𝑟, 𝜃, 𝜑 = 𝑙,𝑚 𝑟 𝑃𝑙𝑚 cos 𝜃 𝑒 ±𝑖𝑚𝜑 Donde dadas las condiciones de frontera de la ecuación podremos escribir los polinomios. Ejemplo 2. Ecuación de Helmholtz en una dimensión Sea una partícula en una dimensión, restringida a moverse a lo largo de una circunferencia. Donde la partícula está restringida a moverse en el área 2𝜋𝑅. El problema puede estar descrito por la ecuación de Schrödinger en una dimensión, entonces supongamos que no existe fuerza sobre la partícula, podemos considerar que V=0. Entonces si la partícula se encuentra en el punto 𝑥 o 𝑥 + 2𝜋𝑅, no debería cambiar ninguna propiedad física. Esta situación física se traduce a una condición de periodicidad sobre la función de onda para la cual imponemos que Φ 𝑥 = Φ 𝑥 + 2𝜋𝑅 A las funciones que satisfacen esta condición a veces se les llama funciones univaluadas, ya que esta condición implica que la función de onda Φ 𝑥 vale lo mismo para el punto 𝑥 y todo los puntos que difieren de 𝑥 en un múltiplo entero de 2𝜋. 54 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Matemáticamente tenemos entonces que la partícula queda descrita por la función de onda Φ 𝑥 que satisface la ecuación de Schrödinger, entonces tenemos que ℏ 𝑑2 Φ 𝑥 − = 𝐸Φ 𝑥 2𝑚 𝑑𝑥 2 Escribamos la ecuación de Schrödinger en términos de la variable ∅ en vez de la variable x, obtenemos que − ℏ 𝑑2 Φ ∅ = 𝐸Φ ∅ 2𝑚𝑅2 𝑑∅2 Donde Φ ∅ = Φ ∅ + 2𝜋 Entonces podemos reescribir la ecuación de Schrödinger como Φ ′′ + 2𝑚𝑅 2 2𝑚𝑅 2 ′′ + λΦ ∅ , 𝑐𝑜𝑛 λ = Φ ∅ = Φ ℏ2 ℏ2 La solución general para esta ecuación estará dada por Φ ∅ = 𝐴𝑒 𝑖𝜙 𝜆 Utilizando las condiciones de frontera las cuales son Φ ∅ = Φ ∅ + 2𝜋 Tenemos que 𝑒𝑖 ∅+2𝜋 𝑒 𝑖2𝜋 𝜆 = 𝑒 𝑖𝜙 𝜆 =1 𝜆 𝜆 = 𝑛𝜖ℤ Entonces las funciones de onda y los valores de energía son Φ ∅ = 𝐴𝑒 𝑖𝑛𝜙 , 𝑛 2 ℏ2 𝑦 𝐸𝑛 = , ∀𝑛 ∈ ℤ 2𝑚𝑅 2 55 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Esto nos lleva entonces a que la solución mas general de la partícula en un circulo estará dado por ∞ 𝐶𝑛 𝑒 𝑖𝑛𝜙 Φ ∅ = −∞ Ejemplo 3. Ecuación de Helmholtz en dos dimensión En coordenadas rectangulares la ecuación de Helmholtz quedara como ∂2 Ψ x, y ∂2 Ψ x, y + + 𝑘 2 Ψ x, y = 0 ∂x 2 ∂y 2 Por separación de variables tenemos que Ψ x, y = X x Y y Entonces como antes ya lo hemos hecho la ecuación tendrá la forma 1 𝑑2 𝑋 1 𝑑2 𝑌 + + 𝑘2 = 0 𝑋 𝑑𝑥 2 𝑌 𝑑𝑦 2 Entonces poniendo las constantes como ya se ha hecho tenemos que 𝑑2 𝑋 + 𝑎12 𝑋 = 0 2 𝑑𝑥 𝑑2 𝑌 + 𝑘 2 − 𝑎12 𝑌 = 0 2 𝑑𝑦 Si definimos en la segunda ecuación la siguiente igualdad 𝑎22 = 𝑘 2 − 𝑎12 Entonces como ya sabemos las ecuaciones las soluciones a este par de ED son 𝑋 𝑥 = 𝑒 𝑖𝑎 1 𝑥 𝑌 𝑦 = 𝑒 𝑖𝑎 2 𝑦 56 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Ya que llegamos a esto la solución general a la ecuación de Helmholtz estará dada por 𝛹 𝑥, 𝑦 = 𝑎1 𝑎2 𝑐 𝑎1 , 𝑎2 𝑒 𝑖𝑎 1 𝑥 𝑒 𝑖𝑎 2 𝑦 𝑑𝑎1 𝑑𝑎2 Ahora supongamos que tratamos de encontrar la forma de la función armónica 𝛹 𝑥, 𝑦 en el interior de la región rectangular 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎, 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑏, sujeta a las condiciones de frontera 𝛹 𝑥, 0 = 𝛹 𝑥, 𝑏 = 0, 0 < 𝑥 < 𝑎 𝛹 0, 𝑦 = 𝛹 𝑎, 𝑦 = 0, 0 < 𝑦 < 𝑏 De aquí podemos ver que la condición restante no cambia para 𝛹 𝑥, 𝑏 = 𝑓(𝑥). Ahora podemos ver que la condición 𝑎12 + 𝑎22 = 0, entonces podemos ver que 𝑎1 y 𝑎2 no pueden ser ambos números reales, ya que la única posibilidad de satisfacer la ecuación, seria que ambos fueran cero. Entonces dado que la parte de X está sujeta a condiciones de Dirichlet tiene soluciones solo si 𝑎12 es un número real, por lo tanto 𝑋 𝑥 = sin 𝑛𝜋𝑥 𝑛𝜋 , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎1 = 𝑎 𝑎 Dado que 𝑎12 = −𝑎22 podemos rescribir la ecuación para y como 𝑑2 𝑌 𝑛2 𝜋 2 − 2 𝑌=0 𝑑𝑦 2 𝑎 Utilizando las condiciones de frontera tenemos que𝑋 𝑥 𝑌 𝑏 = 𝑓(𝑥). Entonces la solución quedara como 𝑌 𝑦 = 𝐵1 sinh 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑦 + 𝐵2 cosh 𝑦 𝑎 𝑎 Para satisfacer las condiciones de frontera tenemos que 𝑌 𝑦 = 𝐵1 sinh 𝑛𝜋 𝑦 𝑎 Entonces la solución armónica para 𝛹 𝑥, 𝑦 quedara como ∞ 𝛹 𝑥, 𝑦 = 𝐴𝑛 sin 𝑛=1 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑥 sinh 𝑦 𝑎 𝑎 57 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Entonces dada la condición de frontera que no hemos empleado tenemos que ∞ 𝛹 𝑥, 𝑏 = 𝑓 𝑥 = 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑥 sinh 𝑦 𝑎 𝑎 𝐴𝑛 sin 𝑛=1 Ya sabemos que esto es una expresión de una serie de Fourier en una dimensión entonces obtendremos que 𝑎 0 𝑚𝜋 𝑓 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎 ∞ 𝑛=1 ∞ = 𝑎 𝑛𝜋 𝐴𝑛 sinh 𝑏 𝑎 sin 0 𝑚𝜋 𝑛𝜋 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 𝑎 𝑎 𝑛𝜋 𝑎 𝑎 𝑚𝜋 𝑏 𝛿𝑚.𝑛 = 𝐴𝑚 sinh 𝑏 𝑎 2 2 𝑎 𝐴𝑛 sinh 𝑛=1 Despejando el coeficiente 𝐴𝑚 obtendremos que 𝐴𝑚 = 𝑎 2 𝑚𝜋 𝑎 sinh 𝑏 𝑎 𝑓(𝑧) sin 0 𝑚𝜋 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑧 𝑑𝑧 sin 𝑥 sinh 𝑦 𝑎 𝑎 𝑎 En el caso particular en que la función 𝑓 𝑥 = 𝑉 con 𝑉 = 𝑐𝑡𝑒, obtenemos 𝑎 𝑉 sin 0 𝑛𝜋 𝑎𝑉 𝑛𝜋 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 𝑎 𝑛𝜋 𝑎 𝑎𝑉 =− 𝑛𝜋 −1 𝑛 𝑎 0 =− 𝑎𝑉 cos 𝑛𝜋 − 1 𝑛𝜋 0 − 1 = 2𝑎𝑉 𝑛𝜋 𝑛 𝑝𝑎𝑟 𝑚 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 Por lo cual, la función armónica será ∞ 𝛹 𝑥, 𝑏 = 4𝑉 𝑛=𝑛+1 𝑛𝜋 sinh 𝑛𝜋 𝑏 𝑎 sin 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑥 sinh 𝑦 𝑎 𝑎 Ejemplo 4. Ecuación de Helmholtz en dos dimensión Consideremos ahora el problema de un aro circular metálico de radio a, dividido en dos semicircunferencias aisladas entre sí. Las mitades del aro se mantienen a un potencial +𝑉 y – 𝑉 respectivamente. 58 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Lo que tenemos que hacer entonces es calcular el campo eléctrico en la región interior del aro. Entonces lo que tenemos que hacer es calcular el potencial electroestático 𝜑 el cual debe satisfacer la ecuación de Laplace Entonces la ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas es 1 𝜕 𝜕𝜑 1 𝜕2𝜑 𝜌 + 2 =0 𝜌 𝜕𝜌 𝜕𝜌 𝜌 𝜕∅2 Entonces las condiciones de frontera para el potencial son 𝜑 𝑎, ∅ = 𝑓 ∅ = +𝑉 0<∅<𝜋 −𝑉 − 𝜋 < ∅ < 0 Entonces procedamos a la ya conocida separación de variables 𝜑 𝜌, ∅ = Ρ 𝜌 Φ 𝜙 Las ecuaciones de Helmholtz con la condición de que 𝑘 2 = 0, nos dará el siguiente sistemas de ecuaciones. 𝑑2 Φ + 𝑚2Φ = 0 𝑑∅2 𝜌 𝑑 𝑑𝑃 𝜌 + 𝑚2 𝑃 = 0 𝑑𝜌 𝑑𝜌 La solución para la coordenada Φ es ∞ Φ 𝜙 = 𝐶0 + 𝐶𝑚 𝑐𝑜𝑠 𝑚𝜙 + 𝐷𝑚 𝑠𝑖𝑛 𝑚𝜙 m=1 La ecuación racial entonces quedara como 1 𝑚2 𝑃′′ + 𝑃′ − 2 𝑃 = 0 𝜌 𝜌 Entonces esta ecuación se conoce como la ecuación de Euler y sus soluciones son 𝑃𝑚 𝜌 = 𝐶 = 𝑐𝑡𝑒. 𝑦 log 𝜌 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚 = 0 𝜌𝑚 𝑦 𝜌−𝑚 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚 > 0 Así las soluciones a la ecuación de Laplace quedaran como Φ0 𝑃0 𝜌 = 𝐴0 𝐷0 log 𝜌 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚 = 0 59 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Donde 𝐴0 y 𝐷0 son constantes, mientras que en el caso 𝑚 > 0, las soluciones son de la forma Φm ∅ 𝑃𝑚 𝜌 = 𝐴𝑚 𝜌𝑚 cos 𝑚∅ , 𝐵𝑚 𝜌𝑚 sin 𝑚∅ 𝐸𝑚 𝜌 −𝑚 cos 𝑚∅ , 𝐹𝑚 𝜌−𝑚 sin 𝑚∅ De aquí podemos eliminar varias soluciones dado el campo eléctrico 𝐸 se obtiene a través de un gradiente, es decir 𝐸 = ∇𝜑, lo que se define como el potencial electroestático el cual esta definido en 𝜌 = 0. Entonces las soluciones 𝜌 −𝑚 y log 𝜌 no son admisibles. Por tanto la solución quedara como ∞ 𝜌𝑚 𝐴𝑚 𝑐𝑜𝑠 𝑚𝜙 + 𝐵𝑚 𝑠𝑖𝑛 𝑚𝜙 𝜑 𝜌, ∅ = 𝐴0 + m=1 Entonces las utilizando las ecuaciones de frontera tenemos que ∞ 𝑎𝑚 𝐴𝑚 𝑐𝑜𝑠 𝑚𝜙 + 𝐵𝑚 𝑠𝑖𝑛 𝑚𝜙 𝜑 𝜌 = 𝑎, ∅ = 𝑓 ∅ = 𝐴0 + m=1 Esto es la función escalón de Fourier, con la diferencia que tendremos la siguiente diferencia 𝑎𝑚 𝐵𝑚 = 𝑏𝑚 , entonces después de cierta algebra llegaremos a que la solución final del potencial estará dada por 4𝑉 𝜑 𝜌, ∅ = 𝜋 𝑚 =𝑚+1 1 𝜌 𝑚 𝑎 𝑚 sin 𝑚∅ . 60 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Ecuaciones de Laplace Ejemplo 1 Solución de la ecuación de Laplace armónicos esféricos Ahora presentare la solución a la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas donde limitaremos el análisis a los casos en que la solución 𝜑 es independiente del Angulo acimutal 𝜙. Entonces la ecuación de Laplace en términos de este problema quedara como 1 𝜕 2 𝜕𝜑 1 𝜕 𝜕𝜑 𝑟 + 2 sin 𝜃 =0 2 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑟 sin 𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝜃 67 Donde empleamos el método de la separación de variables la cual estará dada por 𝜑 𝑟, 𝜃 = 𝑅 𝑟 Θ 𝜃 Sustituyendo esto en la ecuación (67) tendremos que 1 𝜕 2 𝜕𝑅 𝑟 Θ 𝜃 𝑟 𝑟2 𝜕𝑟 𝜕𝑟 + 1 𝑟2 sin 𝜕 𝜕𝑅 𝑟 Θ 𝜃 sin 𝜃 𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝜃 =0 Separando las variables dependientes de las constantes para convertir las derivadas parciales por derivadas totales tendremos que Θ 𝜃 𝑑 2 𝑑𝑅 𝑟 𝑟 𝑟2 𝑑𝑟 𝑑𝑟 + 𝑅𝑟 𝑟2 sin 𝑑 𝑑Θ 𝜃 sin 𝜃 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜃 Multiplicando ambos lados de la ecuación por 1 𝑑 2 𝑑𝑅 𝑟 𝑟 𝑅 𝑑𝑟 𝑑𝑟 + 𝑟2 𝑅𝑟 Θ𝜃 =0 tendremos que 1 𝑑 𝑑Θ 𝜃 sin 𝜃 Θ 𝜃 sin 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜃 =0 Dado esto podemos hacer lo siguiente 1 𝑑 2 𝑑𝑅 𝑟 𝑟 𝑅 𝑑𝑟 𝑑𝑟 =− 1 𝑑 𝑑Θ 𝜃 sin 𝜃 Θ 𝜃 sin 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜃 El lado izquierdo de esta ecuación es función únicamente de 𝑟 y el lado derecho es función de 𝜃. La única forma en que una función de 𝑟 puede ser igual a una función de 𝜃 para todos los valores de 𝑟 y 𝜃 es que ambas funciones sean constantes. En consecuencia, igualaremos cada miembro de la ecuación anterior a k la constante de separación. 61 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Consideremos primero la ecuación para 𝜃, la cual es conocida como ecuación de Legendre, a continuación pondré los primeros 4 polinomios de Legendre los cuales son 𝑃𝑛 𝜃 1 cos 𝜃 n 0 1 2 3 1 3 cos2 𝜃 − 1 2 1 5 cos3 𝜃 − 3 cos 𝜃 2 Entonces podemos escribir lo siguiente 1 𝑑 𝑑Θ 𝜃 sin 𝜃 sin 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜃 + 𝑘𝑃 = 0 (68) Las únicas soluciones físicamente aceptables que están definidas en el intervalo de 𝜃, que va desde 0 hasta 𝜋 las cuales corresponden a 𝑘 = 𝑛(𝑛 + 1), siendo 𝑛 un entero positivo. La solución para una 𝑛 en particular se representara con 𝑃𝑛 𝜃 . Las soluciones de la ecuación (68) para otros valores de 𝑘 no se comportan bien en la vecindad de 𝜃 = 0 o 𝜃 = 𝜋 radianes, volviéndose infinitas o incluso indefinidas para estos valores de 𝜃. Ahora la ecuación radial será 𝑑 2 𝑑𝑅 𝑟 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝑟 = 𝑛 𝑛+1 𝑅 Donde hemos empleado la forma explícita de k que dio soluciones de 𝜃 aceptables. Las soluciones para la ecuación radial serán: 𝑅𝑛 = 𝑟 𝑛 𝑦 𝑅𝑛 = 𝑟 −𝑛 Las soluciones a la ecuación de Laplace se obtienen mediante el producto 𝜑 𝑟, 𝜃 = 𝑅 𝑟 Θ 𝜃 , donde debe tenerse especial cuidado para que Θ 𝜃 y 𝑅 𝑟 correspondan al mismo valor de 𝑛. Entonces nos la solución de Laplace tendrá la forma de 𝜑 𝑟, 𝜃 = 𝑟 𝑛 𝑃𝑛 𝜃 , 𝑜 𝜑 𝑟, 𝜃 = 𝑟 − 𝑛+1 𝑃𝑛 𝜃 A estas dos soluciones se les conoces como los armónicos esféricos, donde 𝑃𝑛 𝜃 es uno de los polinomios de la tabla presentada en esta sección, y n es un entero positivo o cero. 62 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Ejemplo 2 esfera conductora Supongamos el caso de una esfera conductora descargada, colocada en un campo eléctrico inicialmente uniforme, 𝐸0 . Entonces hagamos que el centro de la esfera coincida con el origen de nuestro sistema coordenado y que se mantenga constante el eje z es decir que sea independiente de la coordenada acimutal, esto nos reduce a la solución de los armónicos esféricos. La esfera es de radio a, a la cual representaremos como un potencial 𝜑0 . Entonces nuestro problema es hallar una solución de la ecuación de Laplace en la región exterior a la esfera que se reduzca a 𝜑0 sobre la esfera misma y que tenga la forma limitadora correcta a grandes distancias. Entonces la solución puede expresarse como 1 𝜑 𝑟, 𝜃 = 𝐴1 + 𝐶1 𝑟 −1 + 𝐴2 𝑟 cos 𝜃 + 𝐶2 𝑟 −2 cos 𝜃 + 𝐴3 𝑟 2 3 cos2 𝜃 − 1 3 1 + 𝐶3 𝑟 −3 3 cos2 𝜃 − 1 + ⋯ 3 Donde las A y las C son constantes arbitrarias. Para r grande, el campo eléctrico se verá como 𝐸 𝑟, 𝜃 𝜑 𝑟, 𝜃 𝑟→∞ 𝑟→∞ = 𝐸0 = 𝐸0 𝑘 = −𝐸0 𝑧 + 𝑐𝑡𝑒. = −𝐸0 𝑟 cos 𝜃 + 𝑐𝑡𝑒. De esto tenemos que para r muy grande 𝐴2 = −𝐸0 y todas las demás A deberán ser cero. El término 𝐶1 𝑟 −1 produce un campo radial que, como podría esperarse, es compatible solo con un conductor esférico que tiene una carga total neta. Como nuestro problema se trata de un conductor descargado entonces 𝐶1 = 0. Entonces en la superficie de la esfera, 𝜑 = 𝜑0 , y el potencial debe ser independiente del ángulo 𝜃. Los dos términos en que interviene cos 𝜃 pueden eliminarse entre sí, pero los términos con potencias inversas de r, mayores no pueden eliminarse entre sí debido a que contienen funciones de Legendre diferentes. La única posibilidad es igualar todas las 𝐶𝑖 a cero cuando 𝑖 ≥ 3. Después de todo esto la solución tendrá la siguiente forma 𝜑 𝑟, 𝜃 = 𝐴1 − 𝐸0 𝑟 cos 𝜃 + 𝐶2 𝑟 −2 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑟 ≥ 𝑎 𝜑 𝑎, 𝜃 = 𝜑0 Dado que las dos expresiones deben ser iguales en 𝑟 = 𝑎, 𝐴1 = 𝜑0 y 𝐶2 = 𝐸0 𝑎3 . 63 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Ejemplo 3 resolvamos la ecuación de Laplace para un rectángulo con condiciones de Dirichlet La ecuación de Laplace en coordenadas rectangulares estará dada por 𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 + =0 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 Supongamos que nuestro rectángulo está limitado a 0 < 𝑥 < 𝑎, 0 < 𝑦 < 𝑏 y que satisfaga las condiciones en la frontera dada como 𝑢 𝑢 𝑦=0 𝑥=0 =𝑢 =𝑢 𝑦=𝑏 𝑥=𝑎 = 0, 0 < 𝑥 < 𝑎 =𝑓 𝑦 , 0≤𝑦≤𝑏 Donde 𝑓 es una función dada sobre 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑏. Utilizando el método de separación de variables tenemos que 𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑋 𝑥 𝑌(𝑦) Entonces nuestra ecuación de Laplace tomara la forma 𝑋 ′′ 𝑌 ′′ =− =𝜔 𝑋 𝑌 Entonces nos quedaran el siguiente sistema de ED 𝑋 ′′ − 𝜔𝑋 = 0 𝑌 ′′ + 𝜔𝑌 = 0 La solución para la ecuación en Y sabemos que es un oscilador armónico entonces la solución está dada como 𝑌 𝑦 = 𝐴 cos 𝜔𝑦 + 𝐵 sin 𝜔𝑦 𝑌 0 = 𝐴 cos 𝜔0 + 𝐵 sin 𝜔0 = 𝐴 = 0 𝑌 𝑏 = 𝐵 sin 𝜔𝑏 = 0 𝜔𝑏 = 𝑛𝜋 𝜔= 𝑛𝜋 , ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑏 64 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Entonces las soluciones en Y como era de esperarse están dadas por 𝑌 𝑦 = 𝐵𝑛 sin 𝑛𝜋 𝑦 𝑏 La solución para la ecuación de X está dada por 𝑋 𝑥 = sinh 𝑛𝜋 𝑥 𝑏 Entonces la solución para esta ecuación quedara como 𝑢 𝑥, 𝑦 = sinh 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑥 sin 𝑦 𝑏 𝑏 Para satisfacer la condición no homogénea restante en la frontera cuando 𝑥 = 𝑎 entonces la solución se puede representar en términos de ∞ 𝑢 𝑥, 𝑦 = ∞ 𝑐𝑛 𝑢𝑛 𝑥, 𝑦 = 𝑛=1 𝑐𝑛 sinh 𝑛=1 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑥 sin 𝑦 𝑏 𝑏 Entonces como ya lo hemos hecho determinamos 𝑐𝑛 por medio de las series de Fourier lo cual nos quedara como ∞ 𝑢 𝑎, 𝑦 = 𝑐𝑛 sinh 𝑛=1 Por tanto, las cantidades 𝑐𝑛 sinh 𝑛𝜋 𝑏 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑎 sin 𝑦 =𝑓 𝑦 𝑏 𝑏 𝑎 deben ser los coeficientes de la serie de senos, de periodo 2b y se expresa por 𝑐𝑛 sinh 𝑛𝜋 2 𝑎 = 𝑏 𝑏 𝑏 𝑓(𝑦) sin 0 𝑛𝜋 𝑦 𝑑𝑦 𝑏 Ejemplo 4 resolvamos la ecuación de Laplace para un circulo con condiciones de Dirichlet Ahora consideremos el problema de resolver la ecuación de Laplace en la región circular 𝑟 < 𝑎, sujeta a la condición en la frontera 𝑢 𝑎, 𝜃 = 𝑓 𝜃 Donde f es una función dada sobre 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋. 65 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Entonces la ecuación de Laplace en coordenadas polares, la ecuación de Laplace toma la forma 𝜕 2 𝑢 1 𝜕𝑢 1 𝜕 2 𝑢 + + =0 𝜕𝑟 2 𝑟 𝜕𝑟 𝑟 2 𝜕𝜃 2 Aplicando de nuevo el método de separación de variables nos da 𝑢 𝑟, 𝜃 = 𝑅 𝑟 Θ θ Entonces nos quedaran el siguiente conjunto de ED 𝑟 2 𝑅′′ + 𝑟𝑅 ′ − 𝜍𝑅 = 0 Θ′′ + 𝜍Θ = 0 En este problema no hay condiciones homogéneas en la frontera; sin embargo, recuérdese que las soluciones deben ser acotadas y periódicas en 𝜃, con periodo 2𝜋. Entonces la condición de periodicidad requiere que 𝜍 sea real. Entonces para esto consideraremos los casos en que 𝜍 sea negativa, cero y positiva. Si 𝜍 < 0, sea 𝜍 = −𝜆2, en donde 𝜆 > 0; entonces la ecuación angular quedara como Θ′′ − 𝜆2 Θ = 0 Y por tanto la solución estará dada por Θ θ = c1 eλθ + c2 e−λθ Por tanto, Θ θ puede ser periódica solo si c1 = c2 = 0 por lo cual se concluye que 𝜍 no puede ser negativa. Si 𝜍 = 0, entonces la ecuación angular queda como Θ′′ = 0 Y por tanto la solución estará dada por Θ θ = c1 + c2 θ Por tanto, Θ θ puede ser periódica solo si c2 = 0 de modo que Θ θ es constante. Además para 𝜍 = 0, la ecuación radial quedara como 𝑟 2 𝑅′′ + 𝑟𝑅′ = 0 Lo que resulta en la una ecuación del tipo Euler y tiene solución 66 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 𝑅 𝑟 = 𝑘1 + 𝑘2 ln 𝑟 No es posible aceptar el termino logarítmico, si 𝑢 𝑟, 𝜃 ha de permanecer acotada cuando 𝑟 → 0; de donde, 𝑘2 = 0. Por tanto, se obtiene la solución 𝑢0 𝑟, 𝜃 = 1 Por último si 𝜍 > 0, sea 𝜍 = 𝜆2 , en donde 𝜆 > 0; entonces la ecuación angular y radial quedara como 𝑟 2 𝑅′′ + 𝑟𝑅 ′ − 𝜆2 𝑅 = 0 Θ′′ + 𝜆2 Θ = 0 La solución para la ecuación radial es una ecuación de Euler y tiene la solución 𝑅 𝑟 = 𝑘1 𝑟 𝜆 + 𝑘2 𝑟 −𝜆 Y como ya sabemos la solución a la ecuación angular estará dada por Θ θ = 𝑐1 cos 𝜆𝜃 + 𝑐2 sin 𝜆𝜃 Para que Θ sea periódica con el periodo 2𝜋 es necesario que𝜆 sea un entero positivo n. Con 𝜆 = 𝑛 se deduce que debe descartarse la solución 𝑟 −𝜆 , en virtud de que se vuelve no acotada cuando 𝑟 → 0. Como consecuencia 𝑘2 = 0 y las soluciones apropiadas son 𝑢𝑛 𝑟, 𝜃 = 𝑟 𝑛 cos 𝑛𝜃 , 𝑣𝑛 𝑟, 𝜃 = 𝑟 𝑛 sin 𝑛𝜃 Estas funciones, junto con 𝑢0 𝑟, 𝜃 = 1, forman un conjunto de soluciones fundamentales del presente problema. Entonces la solución estará dada como 𝑐0 𝑢𝑛 𝑟, 𝜃 = + 2 ∞ 𝑎𝑛 𝑐𝑛 cos 𝑛𝜃 + 𝑘𝑛 sin 𝑛𝜃 𝑛=1 Entonces, utilizando las condiciones de frontera tendremos que 𝑐0 𝑢 𝑎, 𝜃 = + 2 ∞ 𝑎𝑛 𝑐𝑛 cos 𝑛𝜃 + 𝑘𝑛 sin 𝑛𝜃 =𝑓 𝜃 𝑛=1 67 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Como la función extendida tiene periodo 2𝜋, es posible calcular su coeficiente por medio de series de Fourier entonces para el intervalo 0,2𝜋 , será 1 𝑎 𝑐𝑛 = 𝜋 𝑛 𝑎𝑛 𝑘𝑛 = 1 𝜋 2𝜋 𝑓 𝜃 cos 𝑛𝜃 𝑑𝜃 , ∀𝑛 ∈ ℕ 0 2𝜋 𝑓 𝜃 sin 𝑛𝜃 𝑑𝜃 , ∀𝑛 ∈ ℕ 0 Ecuaciones de Schrödinger Ejemplo 1 Oscilador armónico En mecánica clásica, un oscilador armónico es una partícula de masa m que presenta una fuerza 𝐹 = −𝑘′𝑥 (suponiendo el origen en x=0), siendo 𝑘′ la constante de fuerza. Esta fuerza entonces es proporcional al desplazamiento x de la partícula respecto a su posición 1 de equilibrio a x=0. La correspondiente función de energía potencial es 𝑈 = 𝑘 ′ 𝑥 2 (figura 2 13). Fig. 13.- barrera de potencial. Cuando la partícula se desplaza fuera del equilibrio oscilará con frecuencia 𝜔 = 𝑘 1 2 𝑚 La ecuación de Schrödinger para el oscilador armónico es − ℏ2 𝜕 2 Ψ 1 ′ 2 + 𝑘 𝑥 Ψ = 𝐸Ψ 2𝑚 𝜕𝑥 2 2 68 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Clásicamente sabemos dada una energía E, 𝑥 no puede ser mayor a la amplitud A (que es el máximo desplazamiento del equilibro). La mecánica cuántica sin embargo permite cierta penetración en las regiones clásicamente prohibidas pero la probabilidad disminuye a medida que la penetración aumenta (ya que la función de onda en la zona clásicamente prohibida es normalmente una exponencial decreciente). Por lo tanto la función de onda Ψ → 0 cuando 𝑥 → ∞. Reordenemos entonces la ecuación de Schrödinger escribiendo 𝜕 2 Ψ 2𝑚 1 ′ 2 = 2 𝑘 𝑥 −𝐸 Ψ 𝜕𝑥 2 ℏ 2 Vemos entonces que cuando 𝑥 → ∞ (sea x positivo o negativo) tal que sea positivo y entonces si Ψ es positiva y por lo tanto 𝜕 2Ψ 𝜕𝑥2 1 2 𝑘′ 𝑥 2 − 𝐸 también, la función será cóncava hacia arriba. La Figura 14 muestra 4 posibles comportamientos a partir de un punto x A. Fig. 14.-comportamientos de la partícula. Si la pendiente es inicialmente positiva, la función al ser cóncava hacia arriba crecerá a infinito como lo muestra la Figura 14(a). Si la pendiente es inicialmente negativa en el punto considerado, habrá tres posibilidades. Si la pendiente cambia muy rápido (curva b) la función terminará tendiendo a infinito a x grandes. Si la pendiente no cambia tan rápido la función cruzará el eje x (curva c). Al cruzar el eje x, Ψ y 𝜕 2Ψ 𝜕𝑥2 serán negativas. Esto hará que la función tienda finalmente a menos infinito. Otra posibilidad es la mostrada en la curva d. La curva se tuerce lo justo para tender asintóticamente al eje x. En este caso Ψ, 𝜕Ψ 𝜕𝑥 y 𝜕 2Ψ 𝜕𝑥2 tienden a cero a x grandes. Esta opción es la única que satisface la condición de contorno en 69 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 que Ψ → 0 cuando 𝑥 → ∞. Esto ocurrirá a solo ciertos valores de E. Es decir, considerando las condiciones de contorno, aparece la discretización de los valores de energía posibles. La ecuación rescrita de Schrödinger puede resolverse en forma exacta, las soluciones se llaman funciones de Hermite. Son funciones exponenciales multiplicadas por un polinomio en x. el estado con menor energía (el estado fundamental) tiene la función de onda − mk ′ x 2 2ℏ Ψ = Ce C es una constante que se elige de forma que Ψ esté normalizada. La energía correspondiente, es decir, la energía del estado fundamental del oscilador armónico es 𝐸0 = 1 1 k′ ℏω = ℏ 2 2 m Una resolución completa de la ecuación de Schrödinger nos dará que los niveles de energía permitidos del oscilador armónico son 𝐸𝑛 = 𝑛 + 1 k′ 1 ℏ = 𝑛 + ℏω 2 m 2 Donde n es el número cuántico que identifica a cada estado. La Figura 15 muestra los 6 niveles de energía más bajos así como la función energía potencial U. Fig. 15.-niveles de energía 70 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Para cada nivel n, el valor de 𝑥 al cual la línea horizontal que representa a la energía total En corta a U(x) nos da la amplitud An correspondiente al oscilador clásico. Ejemplo 2 Partícula en una caja Ahora resolveremos el problema de una partícula en una caja de paredes impenetrables en una dimensión. Para representar la caja podemos suponer que en las paredes existe un potencial infinito que no permite que la partícula escape y que dentro de la misma partícula puede moverse libremente. Entonces podemos suponer que la caja está situada de manera que el potencial𝑉(𝑥) esta dada por −∞ 𝑥<0 𝑉 𝑥 = 0 0≤𝑥≤𝐿 ∞ 𝑥>𝐿 Las condiciones de frontera para esta partícula dada que la función de onda debe ser continua en todos los puntos, y como la partícula no puede penetrar del otro lado de la caja son Ψ 𝑥 = 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 0, 𝑦 𝑥 > 𝐿 Entonces Ψ 𝑥 = 0, En las paredes de la caja. Ahora tenemos que ver que la primera derivada de la función de ondas sea continua en la frontera, entonces la ecuación de Schrödinger dentro de la caja es la ecuación de una partícula libre y está dada por ℏ2 𝜕 2 Ψ − = 𝐸Ψ 2𝑚 𝜕𝑥 2 𝜕 2 Ψ 2𝑚 + 2 𝐸Ψ = 0 𝜕𝑥 2 ℏ Entonces las soluciones para esta ecuación estarán dadas por 𝛹 𝑥 = 𝐴 sin 2𝑚𝐸 𝑥 + 𝐵 cos ℏ2 2𝑚𝐸 𝑥 ℏ2 71 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Aplicando las condiciones de frontera tendremos que 𝛹 0 = 𝐴 sin 2𝑚𝐸 0 + 𝐵 cos ℏ2 2𝑚𝐸 0 =𝐵=0 ℏ2 2𝑚𝐸 𝐿 =0 ℏ2 𝛹 𝐿 = 𝐴 sin 2𝑚𝐸 𝐿 = 𝑛𝜋 ℏ2 Entonces despejando para valores de E tendremos que 𝐸= 𝑛 2 𝜋 2 ℏ2 2𝑚𝐿2 Entonces la solución para la ecuación de Schrödinger será 𝛹 𝑥 = 𝐴 sin 𝑛 2 𝜋 2 ℏ2 𝑥 𝐿2 De la solución de esto podemos inferir que Los valores de la energía representan los posibles niveles de energía del sistema. Los niveles de energía están cuantizados y son discretos. Lo cual es una característica de los sistemas confinados. El número 𝑛 = 1,2,3, … es llamado el numero cuántico. La exclusión de E=0 es una consecuencia de la mecánica cuántica. La incertidumbre en la posición de la partícula dentro de la caja ∆𝑥 = 𝐿 implica que ℏ ∆𝑝 ≥ . 𝐿 72 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Ejemplo 3 función de onda Ahora trataremos de encontrar el cambio que sufre una función de onda para 𝑡 = 0 la cual está dada por 𝑖𝑝0 𝑥 𝑎2 𝑥 − 𝑥0 𝜑 𝑥, 0 = 𝑐 exp − ℏ 2 , 𝜇𝜔 𝑎= ℏ 1 4 Para resolver este problema se requiere determinar la función de onda 𝜑 𝑥, 𝑡 , la cual satisface la ecuación de Schrödinger 𝑖ℏ 𝜕𝜑 = 𝐻𝜑 𝜕𝑡 El cual tiene las condiciones de frontera que ya mencionamos. Si 𝐻 no contiene explícitamente al tiempo, la ecuación anterior tendrá las soluciones de la forma 𝑖𝐸𝑛 𝑡 ℏ 𝜑 𝑥, 𝑡 = 𝜑𝑛 𝑥 𝑒 − 69 Donde 𝜑𝑛 𝑥 es la auto función independiente del tiempo del operador 𝐻 donde 𝐻 𝜑𝑛 𝑥 = 𝐸𝑛 𝜑𝑛 𝑥 Si encontramos los coeficientes del desarrollo de 𝜑 𝑥, 0 en términos del conjunto de funciones𝜑𝑛 𝑥 serán tales que 𝜑𝑛 𝑥, 0 = 𝑎𝑛 𝜑𝑛 𝑥 𝑛 𝑎𝑛 = 𝜑∗ 𝑛 𝑥 𝜑𝑛 𝑥, 0 𝑑𝑥 Entonces la función 𝑖𝐸𝑛 𝑡 ℏ 𝑎𝑛 𝜑𝑛 𝑥 𝑒 − 𝑛 Satisface la ecuación de Schrödinger que definimos aquí, mas aun a 𝑡 = 0 es igual a 𝜑𝑛 𝑥, 0 . Ahora las auto funciones para la ecuación de Schrödinger serán − ℏ2 𝜇𝜔 2 2 𝜑𝑛 ′′ + 𝑥 𝜑𝑛 = 𝐸𝜑𝑛 2𝑚 ℏ 73 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Las cuales son como lo vimos anteriormente, de la forma siguiente 𝑎 2𝑥 2 2 𝜑𝑛 𝑥 = 𝑐𝑛 𝑒 − 𝐻𝑛 𝑎𝑥 Donde 1 4 𝜇𝜔 𝑎= ℏ , 𝑐𝑛2 = 1 𝑎 1 , 𝐸 = ℏ𝜔 𝑛 + 𝑛 2𝑛 𝑛! 𝜋 2 Así, la función de onda requerida 𝜑𝑛 𝑥, 𝑡 satisface, de acuerdo a (69), la relación 𝑖𝐸𝑛 𝑡 ℏ 𝑎𝑛 𝜑𝑛 𝑥 𝑒 − 𝜑𝑛 𝑥, 𝑡 = 𝑛 Donde ∞ 𝑎𝑛 = 𝑐𝑛 𝑐 −∞ 𝐻𝑛 𝑎𝑥 exp −𝑎2 𝑥 − 𝑥0 2 2 + 𝑖𝑝0 𝑥 𝑎2 𝑥 2 − 𝑑𝑥 ℏ 2 Para evaluar 𝑎𝑛 utilizamos la expresión para la función generadora de los polinomios de Hermite el cual esta descrito como ∞ exp −𝜆 + 2𝜆𝜂 = 𝑛=0 Entonces es fácil ver que 𝑎𝑛 𝑐𝑛 𝑐 es el coeficiente de 𝜆𝑛 𝐻 𝜂 𝑛! 𝑛 𝜆𝑛 𝑛! en el desarrollo en potencias de𝜆 de la expresión 𝑎 2 𝑥 − 𝑥0 𝐻𝑛 𝑎𝑥 exp −𝜆 + 2𝜆𝑎𝑥 − 2 −∞ ∞ 2 2 𝑖𝑝0 𝑥 𝑎2 𝑥 2 + − 𝑑𝑥 ℏ 2 A partir de esto se sigue que 𝑎𝑛 = 𝑐𝑛 𝑐 𝜋 𝑎𝑥0 + 𝑖𝑝0 ℏ 𝑛 exp − 𝑎 2 𝑥0 2 1 𝑖𝑝0 + 𝑎𝑥0 − 2 4 𝑎ℏ 2 después de ciertas operaciones matemáticas llegamos a que la solución será 74 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 𝑎2 𝑖𝜔𝑡 𝑥 − 𝑄 cos 𝜔𝑡 − 𝛿 2 − 𝑖𝑥𝑄𝑎2 sin 𝜔𝑡 + 𝛿 − 2 2 2 2 𝑎 𝑄 + 𝑖 sin 2 𝜔𝑡 + 𝛿 − sin 2𝛿 4 𝜑 𝑥, 𝑡 = 𝑐 exp − Ejemplo 4 oscilador aplicado a un campo colombiano Ahora consideraremos un potencial de la forma 𝑈=− 𝛼 𝑟 Esto nos lleva a una expresión del a ecuación de Schrödinger de la forma 𝑑2 𝑅 2𝑚 2𝑚𝛼 𝑅 𝐿2 + 𝐸𝑅 + + =0 𝑑𝑟 2 ℏ ℏ 𝑟 ℏ2 Donde L es el momento angular. Entonces haciendo 𝑝 𝑟 =𝑎+ 𝑝′ 𝑟 − 𝑝2 𝑏 𝑟 𝑏 𝑏 𝑟 =− 2− 𝑎+ 𝑟 𝑟 𝑝′ 𝑟 − 𝑝2 𝑟 = −𝑎2 − 2 2𝑎𝑏 𝑏 2 + 𝑏 − 𝑟 𝑟2 Entonces debemos hacer coincidir 2𝑚𝐸 = −𝑎2 ℏ2 2𝑚𝛼 = −2𝑎𝑏 ℏ2 𝐿2 = 𝑏2 + 𝑏 ℏ2 Despejando a del renglón de en medio tenemos que − 𝑚𝛼 =𝑎 𝑏ℏ2 75 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Introduciendo el valor del primer renglón obtendremos que 𝑚𝛼 2 𝐸=− 2𝑏ℏ2 Haciendo b=-n 𝐸𝑛 = − 𝐿= 𝑚𝛼 2 2𝑛 2 ℏ2 𝑛2 − 𝑛 ℏ Estableciendo que 𝑛 = 𝑙 + 1 entonces 𝐿= 𝑙2 + 𝑙ℏ Entonces encontramos los valores de energía para 𝐸𝑛 , para valores del momento angular con valores de los números cuánticos 𝑛 = 𝑙 + 1. Para las funciones de onda asociadas: 𝜑′ + 𝑝 𝑟 𝜑 = 0 𝜑′ + 𝑎 + 𝑏 𝜑=0 𝑟 𝑑𝜑 𝑏 = − 𝑎 + 𝑑𝑟 𝜑 𝑟 𝑑𝜑 = 𝜑 − 𝑎+ 𝑏 𝑑𝑟 𝑟 ln 𝜑 = −𝑎𝑟 − 𝑏𝑙𝑛 𝑟 + 𝑐 Donde c es una constante de integración, recordando ahora que 𝑏 = 𝑛, finalmente llegamos a que 𝜑𝑛 = 𝑐𝑟 𝑛 𝑒 −𝑎𝑟 Donde estas son las funciones de onda del campo colombiano para valores de los números cuánticos 𝑛 = 𝑙 + 1. 76 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Átomo de Hidrogeno Ahora queremos resolver el problema del movimiento de un electrón en un átomo alrededor de su núcleo. Entonces determinaremos los estados posibles y niveles de energía del átomo de hidrógeno y átomos hidrogenoides. El conocimiento de los niveles de energía servirá para explicar los espectros de emisión/absorción del átomo de hidrogeno. ´ Fig. 16.-ejemplificacion de átomos hidrogenoides Entonces consideremos un sistema el cual esta compuesto por un electrón y un núcleo que interaccionan mediante un potencial Coulombico 𝑉= 1 𝑍𝑒 2 4𝜋𝜀0 𝑟1 − 𝑟2 Donde Z es el numero atómico , 𝑒 es la carga del electrón, 𝑟1 y 𝑟2 los radio-vectores del núcleo y el electrón, y 𝜀0 es una constante conocida como permitividad en el vacío. La contribución de la energía cinética del electrón, energía cinética del protón y energía potencial electrón-núcleo. De modo que el Hamiltoniano que describe el sistema será: 𝐻 ≡ 𝑇𝑛𝑢𝑐 + 𝑇𝑒 + 𝑉 =− ℏ 𝜕2 𝜕2 𝜕2 ℏ 𝜕2 𝜕2 𝜕2 1 𝑍𝑒 2 + + − + + + 2𝑚𝑛 𝜕𝑥𝑛2 𝜕𝑦𝑛2 𝜕𝑧𝑛2 2𝑚𝑒 𝜕𝑥𝑒2 𝜕𝑦𝑒2 𝜕𝑧𝑒2 4𝜋𝜀0 𝑟𝑒 − 𝑟𝑛 77 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 siendo ħ la constante de Dirac. El movimiento de dos partículas puede separarse en el movimiento del centro de masa del sistema y el movimiento relativo de las dos partículas y esto afectará al Hamiltoniano (figura 17). Fig. 17.-movimiento del centro de masa entre dos partículas Esto mismo se puede ver matemáticamente. Consideramos el cambio a una sola dimensión (X) y a M la masa del centro de masas y a μ la masa reducida del sistema, tal que: 𝑀 = 𝑚1 + 𝑚2 𝑦 𝜇 = 𝑚1 𝑚2 𝑚1 + 𝑚2 78 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Después del cambio de variable del Hamiltoniano tenemos la Ecuación de Schrödinger (independiente del tiempo) para el sistema: 𝐻 ≡ 𝑇𝐶𝐷𝑀 + 𝑇𝑟𝑒𝑙 + 𝑉 ℏ 𝜕2 𝜕2 𝜕2 ℏ 𝜕2 𝜕2 𝜕2 1 𝑍𝑒 2 =− + + − + 2 + 2 + 2 2𝑀 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2 2𝜇 𝜕𝑥𝑟𝑒𝑙 𝜕𝑦𝑟𝑒𝑙 𝜕𝑧𝑟𝑒𝑙 4𝜋𝜀0 𝑟 Donde 𝑟= 2 2 2 𝑥𝑟𝑒𝑙 + 𝑦𝑟𝑒𝑙 + 𝑧𝑟𝑒𝑙 79 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 La ecuación diferencial es separable en unas coordenadas que describen el movimiento del centro de masa del sistema 𝑋, 𝑌, 𝑍 y unas coordenadas internas {𝑥𝑟𝑒𝑙 , 𝑦𝑟𝑒𝑙 , 𝑧𝑟𝑒𝑙 }. La solución del movimiento del CDM sería la de la partícula libre de masa 𝑀 = 𝑚1 + 𝑚2 .La energía correspondiente es la energía traslacional del sistema. 𝑇𝐶𝐷𝑀 𝜒 𝑋, 𝑌, 𝑍 = 𝜀𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 𝜒 𝑋, 𝑌, 𝑍 Pero el movimiento que nos interesa definir es el movimiento relativo entre el electrón y el protón. Tras el cambio de variable, el sistema se puede considerar como el de una partícula de masa 𝜇 que se mueve respecto al centro de coordenadas. Fig. 18.-particula de masa 𝜇 La forma del potencial (depende únicamente de la distancia al centro de coordenadas) hace que sea más factible resolver la ecuación diferencial en, coordenadas esféricas. Entonces el Hamiltoniano del movimiento relativo electrón-núcleo será ℏ2 𝜕 2 2 𝜕 1 2 1 𝑍𝑒 2 𝐻=− + + Λ + 2𝑀 𝜕𝑟 2 𝑟 𝜕𝑟 𝑟 2 4𝜋𝜀0 𝑟 Donde Λ es la parte angular del Hamiltoniano que recoge ambos ángulos. La parte angular del Hamiltoniano es análoga a la de la partícula en una esfera (ya que el potencial electrón-núcleo solo es función de la distancia) con la diferencia de que la distancia al centro de coordenadas no es constante. Podemos considerar el sistema como una partícula de masa 𝜇 que se mueve sobre la superficie de esferas concéntricas de radio variable. De esta manera, la parte angular de la función de onda serán las soluciones para la partícula en una esfera (armónicos esféricos) y quedara por resolver la dependencia radial de la función de onda. 80 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Entonces las funciones de onda para el átomo de hidrogeno tendrán la forma Ψ 𝑟, 𝜙, 𝜃 = 𝑅 𝑟 𝑌𝑙,𝑚 𝑙 𝜑, 𝜃 siendo 𝑅 la parte de la función dependiente únicamente de 𝑟 (la parte radial) e 𝑌 la parte de la función dependiente de 𝜑 y de 𝜃 (la parte angular). Los números 𝑙 y 𝑚𝑙 están relacionados con el momento angular del electrón, siendo este el producto vectorial del momento lineal del electrón (p) por su radio vector (r): 𝐿= 𝑟×𝑝 Y si sustituimos la expresión de la función de onda en la ecuación de Schrödinger 𝐻𝑖𝑛𝑡 Ψ 𝑟, 𝜙, 𝜃 = 𝜀Ψ 𝑟, 𝜙, 𝜃 − ℏ2 𝜕 2 2 𝜕 1 𝑍 + + 2 Λ2 𝑅 𝑟 𝑌𝑙,𝑚 𝑙 𝜑, 𝜃 + 𝑅 𝑟 𝑌𝑙,𝑚 𝑙 𝜑, 𝜃 = 𝜀Ψ 𝑟, 𝜙, 𝜃 2 2𝜇 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝑟 O lo que es lo mismo − ℏ2 ΘΦ 𝑑 2 𝑑𝑅 𝑅Φ 𝑑 𝑑Θ 𝑅Θ 𝑑2 Φ 𝑍𝑒 2 𝑟 + sin 𝜃 + + 𝑅ΘΦ 2𝜇 𝑟 2 𝑑𝑟 𝑑𝑟 2 𝑟 2 sin 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜃 𝑟 2 sin2 𝜃 𝑑𝜙 2 4𝜋𝜀0 𝑟 = E𝑅ΘΦ Multiplicando la ecuación anterior por 𝑟 2 sin 2 𝜃 𝑅ΘΦ y reordenando términos obtendremos que sin2 𝜃 𝑑 2 𝑑𝑅 sin 𝜃 𝑑 𝑑Θ 1 𝑑2 Φ 𝑟 2 𝜇 sin2 𝜃 𝑟 + sin 𝜃 + + 𝑅 𝑑𝑟 𝑑𝑟 2 Θ 𝑑𝜃 𝑑𝜃 Φ 𝑑𝜙 2 ℏ 𝑍𝑒 2 𝐸+ =0 4𝜋𝜀0 𝑟 En esta expresión, la variable 𝜙 está separada del resto en el tercer término. Cuando cambia 𝜑, la suma del primer, segundo y cuarto términos no cambia, ya que en ninguno de ellos interviene 𝜙, por lo que el tercer término tiene que ser constante también para que la suma pueda ser, para cualquier valor de 𝜙 , igual a cero. Por conveniencia, a esta constante le llamaremos −𝑚𝑙2 1 𝑑2 Φ = −𝑚𝑙2 Φ 𝑑𝜙 2 Podemos seguir separando variables. Sustituyendo −𝑚𝑙2 en la última ecuación y dividiendo por sin2 𝜃 81 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 1 𝑑 2 𝑑𝑅 1 𝑑 𝑑Θ 𝑚𝑙2 𝑟 2𝜇 𝑍𝑒 2 𝑟 + sin 𝜃 − + 𝐸 + =0 𝑅 𝑑𝑟 𝑑𝑟 2 Θ 𝑑𝜃 𝑑𝜃 sin2 𝜃 ℏ 4𝜋𝜀0 𝑟 Obsérvese que el primer y cuarto términos dependen sólo de r, y el segundo y tercero de 𝜃. Siguiendo el mismo razonamiento que hemos hecho para 𝜙, la suma de los términos que dependen de r debe ser igual a una constante a la que, por conveniencia, llamaremos 𝑙(𝑙 + 1), y la suma de los términos que sólo dependen de 𝜃 debe ser igual a −𝑙(𝑙 + 1). Estas últimas constantes no se toman a capricho sino que tiene una razón. De los dos momentos angulares que existen y que aquí son tratados como operadores mecanocuánticos, el momento angular orbital es el análogo de la magnitud clásica 𝐿 y es debido al movimiento de la partícula a través del espacio. Esta magnitud alrededor del núcleo puede demostrarse que es igual a 𝑙 𝑙+1 1 2ℏ La componente de 𝐿 a lo largo del eje z, 𝐿𝑧, puede demostrarse que es igual a 𝑚𝑙 ℏ. En resumen 𝑑 2 𝑑𝑅 𝑟 2𝜇 𝑍𝑒 2 𝑟 + 𝐸+ 𝑅 = 𝑙 𝑙+1 𝑅 𝑑𝑟 𝑑𝑟 2 ℏ 4𝜋𝜀0 𝑟 𝑑 𝑑Θ 𝑚𝑙2Θ sin 𝜃 − 2 = −𝑙 𝑙 + 1 Θ 𝑑𝜃 𝑑𝜃 sin 𝜃 La solución de la parte radial son las funciones asociadas de Laguerre. Consisten en una función exponencial multiplicada por un polinomio en 𝑟. Las diferentes soluciones dependen del número cuántico 𝑙 y de otro nuevo número cuántico 𝑛 (número cuántico principal). Las primeras soluciones son: 82 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Por otro lado, una solución de la parte angular es Φ = 𝑎 sin 𝑚𝑙 𝜙 La componente 𝑎 es la constante de normalización, es decir para que se cumpla 2𝜋 𝛷2 𝑑𝜙 = 1 0 Por tanto su valor debe ser 2𝜋 0 𝑎2 sin2 𝜙 𝑑𝜙 = 𝑎2 2𝜋 0 sin2 𝜙 𝑑𝜙 = 𝑎2 𝜙 sin 2𝜙 − 2 4 2𝜋 = 𝑎2 0 2𝜋 =1 2 83 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 𝑎= 1 𝜋 Donde la función Φ queda como Φ= 1 𝜋 Cualquiera que sea el valor de 𝑚𝑙 , la función anterior es solución de la ecuación de Schrödinger. Ahora bien, las condiciones frontera que hemos impuesto a la función de onda para que su cuadrado pueda tener sentido físico, limitan los valores posibles para 𝑚𝑙 . Una de dichas condiciones es que la función de onda tiene que tener un único valor en cada punto del espacio. Eso implica que el valor de 𝜙 para un ángulo 𝜙 tiene que ser igual que su valor para un ángulo 360° > (∅ + 2𝜋 ). En los siguientes ejemplos se muestra que esto sólo se cumple si 𝑚𝑙 es un número entero 0, ±1, ±2, ±3, … , 𝑒𝑡𝑐 𝑚𝑙 0 +1 +2 + 1 2 Φ = 𝑎 sin 𝑚𝑙 𝜙 𝑎 sin 0 𝑎 sin 𝜙 𝑎 sin 2𝜙 𝜙 𝑎 sin 2 = = = Distinto de Φ = 𝑎 sin 𝑚𝑙 ∅ + 2𝜋 𝑎 sin 0 𝑎 sin 𝜙 + 2𝜋 𝑎 sin 2𝜙 + 4𝜋 𝜙 𝑎 sin +𝜋 2 Hay una solución para Φ por cada valor entero de 𝑚𝑙 . De manera que las soluciones finales tienen la forma Ψ𝑛,𝑙,𝑚 𝑙 r, φ, θ = 𝑅𝑛 .𝑙 𝑌𝑙 𝑚 𝑙 𝜑, 𝜃 Hay una solución completa de Ψ por cada trío de valores 𝑛, 𝑙, 𝑚𝑙 donde 𝑛 puede tomar cualquier valor entero igual o mayor que 1, 𝑙 cualquier valor entero entre 0 y 𝑛 − 1, y 𝑚𝑙 cualquier valor entero desde 𝑙 hasta – 𝑙. Algunas funciones de onda completas (llamadas Orbitales) para el átomo de Hidrogeno (Z=1) son las siguientes 84 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 85 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Función de distribución radial Algunas de las soluciones a la ecuación de Schrödinger para el átomo de Hidrógeno son funciones complejas. Podemos buscar funciones reales (más fáciles de visualizar) usando la propiedad de los estados degenerados: “En estados degenerados, cualquier conjunto de combinaciones lineales que sean linealmente independientes son una descripción adecuada de esos estados del sistema”. Ejemplo: El orbital 2p0 es una función real pero los orbitales 2p +1 y 2p-1 son funciones complejas. El 2p0 se deja como está. Se suele llamar 2p z. Podemos tomar las siguientes combinaciones lineales de 2p +1 y 2p-1: Los orbitales resultantes son funciones reales y son también funciones propias del operador hamiltoniano del átomo hidrogenoide. Igual se hace con los orbitales 3p,4p, etc… 86 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Para los orbitales d: Forma de los orbitales reales Orbitales s: En ellos l=0, por lo tanto, la parte angular del orbital es 𝑌00 = 1 4𝜋 , que es constante. Los orbitales s tienen simetría esférica Fig. 19.-representacion de superficie 87 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Fig. 20.Representación de nubes de puntos. Nodos radiales: Son valores de r para los que la densidad de probabilidad es cero. Nº de nodos radiales=nl-1 Orbitales p: l=1. Las funciones de los ángulos. No tienen simetría esférica sino que están orientados en el espacio. 88 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Orbitales d: l=2 También están orientados en el espacio dependiendo de los ángulos. 89 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 Referencias H Haberman. ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES con Series de Fourier y Problemas de Contorno. Pentice Hall. Ss Strauss. PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS. An Introduction. Wiley, W Weimberger. ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES. Reverté MU Myint-U. PARTIAL DIFFRENTIAL EQUATIONS OF MATHEMATICAL PHYSICS. Elsevier T Tijonov-Samarski. ECUACIONES DE LA FISICA MATEMATICA. Mir Sp Stephenson. INTRODUCCION A LAS ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES. Reverté Ch Churchill. SERIES DE FOURIER Y PROBLEMAS DE CONTORNO. McGraw-Hill J John. PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS. Springer-Verlag Sk Stakgold. GREEN’S FUNCTIONS AND BOUNDARY VALUE PROBLEMS. Wiley BD Boyce-Di Prima. ECUACIONES DIFERENCIALES y problemas con valores en la frontera. Limusa Si Simmons. ECUACIONES DIFERENCIALES (con aplicaciones y notas históricas). McGraw-Hill Br Braun. ECUACIONES DIFERENCIALES Y SUS APLICACIONES. Interamericana R Ross. ECUACIONES DIFERENCIALES. Reverté E Elsgoltz. ECUACIONES DIFERENCIALES Y CALCULO VARIACIONAL. Mir MCZ Marcellán-Casasús-Zarzo. ECUACIONES DIFERENCIALES. PROBLEMAS LINEALES Y APLICACIONES. McGraw-Hill PA Puig Adam. CURSO TEORICO-PRACTICO DE ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADO A LA FISICA Y TECNICA. 90 Ecuaciones Diferenciales en la física 2011 http://www.math.osu.edu/~gerlach/math/BVtypset/node133.html http://www.nucleares.unam.mx/~vieyra/node33.html#SECTION000201000000 000000000 http://pelusa.fis.cinvestav.mx/tmatos/Estudiantes/ http://delta.cs.cinvestav.mx/~mcintosh/comun/tesis_leo_html/node8.html http://casanchi.com/fis/resol_es01.pdf 91